ejemplo4

Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________

Ejemplo 4

1

ESTUDIO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN SOLENOIDE DE RADIO R Y DE LARGO L R , FORMADO CON VUELTAS Y QUE TRASPORTA UNA CORRIENTE CONSTANTE

NI .

N

L

R z

I I

Método: Calcularemos el campo magnético usando la ley de Biot-Savart, ya que no existe suficiente simetría para usar la ley de Ampere. Primero calcularemos el campo magnético sobre el eje de una espira circular de radio R y luego usaremos la expresión resultante para obtener el campo creado por todo el solenoide en un punto sobre su eje. a) Cálculo del campo creado por una espira de radio R a una altura z sobre su plano

El origen del sistema de referencia lo ponemos justo en el centro de la espira de radio R. De la figura vemos que

I

dl x

z

θ r′ y

ˆr zk= (posición del punto donde queremos medir el campo magnético) y que

ˆ ˆcos sinr R i R jθ θ′ = + (posición de la fuente que crea el campo).

Mirando la figura, vemos que

ˆ ˆsin cosdl dr R d i R d jθ θ θ′= = − + θ donde 0 2θ π≤ ≤ . La diferencial de campo magnético viene dado por la ley de Biot-Savart:

03

( )4

I dl r rdBr r

µπ

′× −=

′−

_____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto


Ejemplo 4

2

Calculemos y su módulo: (r r′− )( )

2 2

ˆˆ ˆcos sinr r R i R j zk

r r R z

θ θ′− = − − +

′− = +

Usemos la forma del determinante para calcular el producto cruz:

ˆˆ ˆ

( ) sin coscos sin

i jdl r r R d R d 0

k

R R zθ θ θ θθ θ

′× − = −− −

2 2 ˆˆ ˆ( ) sin sindl r r i zR d j zR d k R d2θ θ θ θ′× − = − + θ

Reemplazando en Biot-Savart:

( )( )

2 2

0 03 3/2 2

ˆˆ ˆsin sin( )4 4

i zR d j zR d k R dI Idl r rdBr r R z

2

2

θ θ θ θµ µπ π

− +′× −= =

′− +

θ

=

Al integrar se eliminan las componentes x e y del campo magnético, ya que

, luego el campo magnético resultante apunta sólo a lo

largo del eje z:

2 2

0 0sin cos 0d d

π πθ θ θ θ=∫ ∫

( )2 20

3/ 20 2 2ˆ

4IR dB dB k

R z

πµ θπ

= =+

∫ ∫

Al variar el ángulo θ entre 0 y 2π recorremos toda la espira. Sin embargo, cuando

esto ocurre no varía ni z R , por lo tanto, el campo magnético ( )B z a lo largo del eje viene dado por: z

( )

20

3/ 22 2ˆ( )

2

IRB z kR z

µ=

+

( )B z

R

I



Ejemplo 4

3

b) Cálculo del campo magnético del solenoide, a partir del valor del campo magnético de una sola espira La figura muestra un esquema del solenoide de la figura inicial, indicando una corriente diferencial contenida en una espira de espesor diferencial , a una cierta

distancia (dI dz′

)z z′− sobre su eje, que genera un campo magnético diferencial . dB

dz′

dI

( )z z′−

z

x

z′

z

Usaremos el resultado obtenido en el punto anterior ( )

20

3/ 22 2ˆ( )

2

IRB z kR z

µ=

+, pero lo

escribiremos como diferencial dB , porque es creado por la corriente diferencial dI . No usaremos el vector unitario, porque ya sabemos que el campo apunta en la dirección

: z

( )( )2

03/ 222

( )2

RdB z dIR z z

µ=

′+ −

Nótese que hemos cambiado (z z z )′→ − , porque esa es la distancia de la espira con

corriente hasta el punto de observación del campo magnético. dI Ahora debemos escribir la corriente diferencial en función de las magnitudes que caracterizan a la espira. Sabemos que cada espira de todo el solenoide lleva una corriente

dI

I . Además sabemos que un solenoide está caracterizado por el número de

espiras por unidad de largo NnL

= . Por lo tanto, en un largo diferencial dz′ la

corriente diferencial que circula viene dada por dI nI dz′= . Insertando en la expresión para el campo, nos queda:

( )( )2

03/ 222

( )2

nIRdB z dzR z z

µ ′=′+ −

Integrando



Ejemplo 4

4

( )( )2

03/ 2220

( )2

LnIR dzB zR z z

µ ′=

′+ −∫

integrando

( )( )

022

0

( )2

L

z znIB zR z z

µ ′−= −

′+ −

Finalmente obtenemos:

( ) ( )( )

02 2 22

( )2

z z LnIB zR z R z L

µ ⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ + −⎣ ⎦

Si y al mismo tiempo imponemos la condición 0z = L R (condición que caracteriza al solenoide), el campo magnético en el extremo izquierdo del solenoide vale:

0( 0)2nIB z µ

= =

Si , el campo magnético en el extremo derecho del solenoide vale: z L=

0( )2nIB z L µ

= =

Si 2Lz = , el campo magnético en el centro del solenoide vale:

0( )2LB z nµ= = I

A partir de la expresión general obtenida para el campo magnético, podemos reobtener el campo de una sola espira. Para ello bastaría hacer . Si lo hacemos así, aparentemente obtenemos

0L→( ) 0B z = , lo cual sería incorrecto. Lo que ocurre es que el

parámetro L también existe en el parámetro NnL

= .

Reescribiendo el campo general, tenemos

( ) ( )( )2 2 22

0( )2

z z L

R z R z LNIB zL

µ

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥+ + −⎣ ⎦= .

En este caso, si , ocurre el caso 0L→ 0( )0

B z ⎛ ⎞→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Por lo tanto, usaremos la regla de

L’Hopital para obtener el límite deseado, es decir, derivamos por separado, numerador



Ejemplo 4

5

y denominador, con respecto a L y después aplicamos el límite . En símbolos, se trata de hacer lo siguiente:

0L→

( ) ( )( )2 2 22

0

0( )

2 ( )L

z z LddL R z R z LNIB z Lim d L

dL

µ→

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥+ + −⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

La derivada del denominador vale 1 y es independiente de L , por lo tanto basta calcular la derivada del numerador:

( ) ( )( )

( )( )2 2 2 22 2

z z L z Ld ddL dLR z R z L R z L

⎡ ⎤ ⎡− −⎢ ⎥ ⎢− = −⎢ ⎥ ⎢+ + − + −⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎦

( ) ( )( ) ( )( )

2

3/ 22 2 2 22 2

z z Ld RdL R z R z L R z L

⎡ ⎤−⎢ ⎥− =⎢ ⎥+ + − + −⎣ ⎦

Entonces L’Hopital queda:

( )( )2

03/ 20 22

( )2 L

NI RB z LimR z L

µ→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪+ −⎩ ⎭

Realizando el límite y considerando una sola espira 1N = , reobtenemos finalmente el campo magnético de una sola espira, que habíamos encontrado en a):

( )2

03/ 22 2

( )2

IRB zR z

µ=

+


ejemplo4

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