EJEMPLO 2 La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0.72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad SOLUCIN Se trata de una distribucin binomial de parmetros 1)

p=0.72 ---> vacuna

p=0.28 ---> probabilidad de la enfermedad.

n=15

La distribucin binomial es

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

a)

P(X=0) = C(15,0) * 0.28^0 * 0.72^15

P(X=0) = 0.0072

b)

P(X=15) = C(15,15) * 0.28^15 *0.72^0

P(X=15) = 0.000000005

c)

P(X=2) = C(15,2) * 0.28^2 * 0.72^13

P(X=2) =0.1150

2) La probabilidad de xito de una determinada campaa publicitaria es 0,72. Calcula la probabilidad, una vez realizada en 15 comunas del pas, obtener:

a) Ninguna halla fracasob) En toda las comunas halla fracasoc) Dos de ellas halla fracaso

Definimos la variable X: numero de comuna en donde tuvo xito la campaa de publicidad. Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15 ; 0,72)

1) Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya ms de 3 personas con dicha enfermedad si en promedio hay 5 personas con esa enfermedad. Calcular el nmero esperado de habitantes que la padecen.

1. Se realiz un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel especfico en el torrente sanguneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada frmaco registrndose el tiempo en minutos que tard en alcanzar un nivel especfico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.Medicamento AMedicamento B

nA= 12nB= 12

SA2= 15.57SB2= 17.54

Solucin:

2.359.25Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel especfico es mayor para el medicamento B.

Para construir la tabla tenes que establecer rangos. De esa manera contars la cantidad de alumnos que sacaron notas dentro de cada rango para establecer la frecuencia absoluta y relativa.En este caso yo establecera 5 rangos:[1 a 10), [10 a 20), [20 a 30), [30 a 40) y [40 a 50] Ten en cuenta que el smbolo "[" significa que comprende a ese nmero, es decir que el nmero pertenece a ese rango y el ")" significa que ese nmero no est dentro del rango, sino que todas las notas hasta el nmero MENOS ese nmero.-------------------xi-------fi------fr[1 a 10)--------2-------2-----2/40[10 a 20)------6-------8-----8/40[20 a 30)-----10-----18----18/40[30 a 40)-----17-----35-----35/40[40 a 50]------5------40-------1

La MODA es el nmero o los nmeros que ms se repiten. En este caso es el 38

Mediana es el valor central de un grupo de valores ORDENADOS. En el caso de que el nmero de valores sea par, como los valores centrales sern 2, la mediana ser la suma de esos dos valores divido por 2. En este caso la Mediana: (32+32)/2 = 32

Media aritmtica= ( Sumatoria de xi*fi )/ sumatoria de fi = 1027/40 -->Controlar con calcu!

Los cuartiles dividen a las observaciones en 4 partes CASI iguales. El Q1 corresponder al valor que tenga el 25% aprox de los valores menores a l y el 75% aprox. de los valores mayores, el Q2 es la Mediana, que tiene el 50% de los valores menores a l y el 50% mayores, el Q3 tiene aprox. el 75% de los calores menores que l y el 25% mayores. Con las observaciones ordenadas:Q1=(n+1)/4 --->Q1=(41)/4=10.25 (Corresponder al rango entre 10 y 20)

Q2=(2*(n+1))/4= (n+1)/2 --->41/2 = 20.5 (Corresponde al rango entre 20 y 30, al igual que la Mediana)

Q3= 3*(n+1)/4 = (3*41)/4 --> Q3= 30.75 (Corresponde al rangoentre 30 y 40)

Se lanza un dado al aire Cul es la probabilidad de que salga el nmero 4? Si sabemos que el resultado ha sido un nmero par, se ha modificado esta probabilidad?Solucin:El espacio muestral que corresponde a este experimento es

y se ha de calcular la probabilidad del suceso. Si el dado no est trucado, todos los nmeros tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definicin de probabilidad de Laplace,

Obsrvese que para calcular la probabilidad deAsegn la definicin de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:

Por otro lado, si ha salido un nmero par, de nuevo por la definicin de probabilidad de Laplace tendramos

Esta misma probabilidad se podra haber calculado siguiendo la definicin de la probabilidad condicionada, ya que si escribimos

y entonces

Problema44: ProbabilidadEj44.En un campus universitario existen tres carreras sanitarias, se sabe que el 50% cursan estudios de Enfermera, el 30% de Medicina y el 20% de Veterinaria.

Los que finalizaron sus estudios son el 20%, 10% y 5% respectivamente. Elegido un estudiante al azar, determinar:

a)Cul es la probabilidad de finalizar los estudios en estas carreras?

b)Hallar la probabilidad de un estudiante finalizado, sea de Medicina.

Realizamos una recopilacin de datos dados por el enunciado del problema:

E 'Estudiante de Enfermera'. M 'Estudiante de Medicina'. V 'Estudiante de Veterinaria'. F 'Estudiante que finaliza sus estudios'.

P(E) = 0.5. P(M) = 0.3. P(V) = 0.2.

P(F|E) = 0.2. P(F|M) = 0.1. P(F|V) = 0.05.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.

Apartado a)

En este apartado nos piden obtener los estudiantes que finalicen sus estudios, para ello, debemos emplear el teorema de laProbabilidad Total:P(F) = P(F|E)P(E) + P(F|M)P(M) + P(F|V)P(V) = 0.20.5 + 0.10.3 + 0.050.2 = 0.14

Por lo tanto, la probabilidad de finalizar los estudios en las carreras propuestas por el enunciado del problema es de0.14, una probabilidad baja.

Apartado b)

En esta ocasin, debemos obtener la probabilidad de dado que un estudiante finalice sus estudios, sea de la carrera de Medicina, para resolver este apartado, emplearemos laLey de Bayes:

Sustituimos valores para obtener la solucin:

Por lo tanto, la probabilidad de dado que un estudiante finalice sus estudios, sea de la carrera de Medicina es de, aproximadamente,0.214286, una probabilidad baja.

Problema24: VADEj24.Para estudiar la regulacin hormonal de una lnea metablica, se inyecta a ratas albinas un frmaco que inhibe la sntesis de protenas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del frmaco antes de que el experimento haya concluido.

Si se trata a 10 animales con el frmaco, determinar:

a)Cuntas ratas se espera que mueran?.

b)La probabilidad de que mueran 5 ratas.

c)La probabilidad de que al menos 8 ratas lleguen vivas al final del experimento.

Realizamos una recopilacin de datos del enunciado del problema:

X 'N de ratas que mueren por el frmaco antes de terminar el tratamiento'. La variable aleatoriaXsigue una distribucin Binomial: X ~ B(10, 0.2).

Pasamos a resolver los distintos apartados del problema.

Apartado a)

La probabilidad no es mas que la divisin entre el resultado a evaluar entre todos los posibles resultados existentes, por lo tanto, por definicin:P = k resultados / n de observaciones posibles

Despejamos k resultados y obtenemos la solucin a este apartado:k = Pn = 0.210 = 2

Por lo tanto, se esperan que meran, antes de terminar el tratamiento,2 ratas.

Apartado b)

Para este apartado, debemos hallar la siguiente probabilidad:P(X = 5) =10C50.25(1-0.2)10-5 0.026424

Por lo tanto, la probabilidad de que mueran, exactamente, 5 ratas es de0.026424.

Apartado c)

En este caso, tenemos:

Y 'N de ratas que no mueren por el frmaco antes de terminar el tratamiento'. La variable aleatoriaYsigue una distribucin Binomial: Y ~ B(10, 1-0.2) = B(10, 0.8).

Por lo tanto, pasamos a resolver el apartado:P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10) =10C80.88(1-0.8)10-8+10C90.89(1-0.8)10-9+10C100.810(1-0.8)10-10 0.67780

Por lo tanto, la probabilidad de que no mueran ms de ocho ratas antes de terminar el tratamiento es de0.67780.