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Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
EINIGE ANMERKUNGEN DER
ZUVERLÄSSIGKEITSTHEORIE
VON TECHNISCHEN
SYSTEMEN (FAHRZEUGEN)
Dr. Zvikli Sándor f. tanár
Széchenyi István Egyetem, Győr
Közlekedési Tanszék
E-mail: [email protected]
Web: http://rs1.sze.hu/~zvikli
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
Grundbegriffe der Zuverlässigkeit Definitionen
Klassifikation von Systemen
Zuverlässigkeit der Komponenten. Nicht reparierbares Element Ausfallsfunktion, theoretische Funktion der Ausfallrate
Zuverlässigkeitsfunktion, durchschnittliche Lebensdauer
Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, nicht reparierbaren Komponenten Serial-System, exponentielles Serial-System
Parallel-System, exponentielles Parallel-System, Block-System
Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen Grundlagen
Erneuerungsfunktion
Zuverlässigkeit des Systems mit unabhängigen, sofort reparierbaren Komponenten asymtotische Verfügbarkeit
Inhalt des Vortrages
228
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
Zuverlässigkeit von Elementen mit langen Reparaturzeiten Grundlagen
stationäre Verfügbarkeit
Zuverlässigkeit von Systemen mit langer Reparaturzeit, die über unab-
hängigen, während der Reparatur ausgeschaltenenen Komponenten verfügen Grundlagen - der stochastische Prozess
homogener Poisson (Markov) - Prozess
Zustandsübergandsgraph
Chapman - Matrix Differentialgleichung
Kolmogorov - Gleichungssystem
Parameter-Empfindlichkeit.
Beispiel-Lösungen
Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Elements
Berechnung der Zuverlässigkeitseigenschaften des Systems
Zuverlässigkeit von Systemen mit mehreren Zuständen
semi Markov Prozess, Lösungsalgorithm
Beispiel
Inhalt des Vortrages
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Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Ein wichtiges Merkmal des Betriebssystems von Fahrzeugen ist
die Verwendbarkeitsfunktion/Kennzahl.
Die Verwendbarkeit kann theoretisch als eine spezifische
integrierte Kenngröße der technischen Zuverlässigkeit
interpretiert werden.
Im weiteren Sinne versteht man unter dem Begriff Zuverlässigkeit
eines technischen Objekts, dessen Fähigkeit seine Qualität
(Eigenschaften des ursprünglichen Zustandes) im Laufe der
Lebensdauer (Verwendung und Nachhaltigkeit) zu bewahren. Die
Zuverlässigkeit lässt sich somit als die Änderungen der Qualität
im Laufe der Zeit definieren.
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Qualität betriebliche Effizienz
Verwendbarkeit
Fehlerlosigkeit
Nachhaltigkeit
Fähigkeit für Nachhaltigkeit
R(t) Zuverlässigkeitsfunktion
F(t) Ausfallsfunktion
λ(t) Funktion derAusfallrate
M(t) Nachhaltigkeitsfunktion
H(t) Erneuerungsfunktion
μ(t) Funktion der Wiederherstellungsrate
A(t) Verwendbarkeitsfunktion
U(t) Unverwendbarkeits-funktion
A – asymtotische Verwendbarkeit
U – asymtotische Unverwendbarkeit
Leistungfähigkeit
Grundbegriffe der
Zuverlässigkeit
laut MSZ IEC
50(191)
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Die Verwendbarkeit (Verfügbarkeit, Bereitschaft) ist diejenige Fähigkeit des
technischen Systems, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder
Zeitraum unter bestimmten Bedingungen seine
vorgeschriebenen Funktionen durchzuführen, wenn die
dazu notwendigen Ressourcen vorhanden sind.
Die Fehlerlosigkeit ist diejenige Fähigkeit des technischen Systems, zu einem
bestimmten Zeitpunkt oder Zeitraum unter bestimmten
Bedingungen seine vorgeschriebenen Funktionen
durchführen zu können.
(Es kann also vorkommen, dass das System fehlerlos ist, aber nicht verfügbar, weil die
dazu notwendige Ressoursen nicht zu erreichen sind.)
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Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Definitionen.
Die Nachhaltigkeit ist diejenige Fähigkeit des Systems, unter bestimmten
Betriebsbedingungen seinen Zustand zu erhalten oder
wiederherzustellen, unter welchem es seine vorgeschriebenen
Funktionen durchführen kann, falls seine Erhaltung bei
bestimmten Bedingungen und vorgeschriebenen Verfahren, mit
vorgeschriebenem Verwenden der Ressourcen organisiert ist.
Die Fähigkeit für Nachhaltigkeit ist diejenige Eigenschaft des gekoppelten
Organisationssystems, unter bestimmten Bedingungen
diejenigen Ressourcen zur Verfügung zu stellen, die bei
gegebener Nachhaltigkeitspolitik für die Erhaltung notwendig
sind.
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A Grundbegriffe der Zuverlässigkeit. Klassifikation von Systemen.
technisches Mittel (Element, System)
nicht reparierbar reparierbar
sofort reparierbar großer Zeitaufwand für die
Reparatur
unter der Reparatur ausgeschaltet
unter der Reparatur eingeschaltet
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: Die Ausfallfunktion.
Das Element (z.B.: ein Ersatzteil) beginnt seinen Betrieb zum
Zeitpunkt t = 0, zum Zeitpunkt t = fällt es aus.
Die Lebensdauer des Elementes kann als Zufallsvariable
interpretiert werden. In diesem Falle dient sie als
Charakteristik für die Lebensdauer.
Verteilungsfunktion F(t) steht für die Wahrscheinlichkeit,
dass das Element zum Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. F(t)
ist nichts anderes, als die Ausfallfunktion des Elements.
t 0
F(t) = P( t)
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die Zuverlässigkeits-
funktion.
Ergänzung zur Ausfallfunktion ist die
Zuverlässigkeitsfunktion R(t),
die berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das Element erst
nach dem Zeitpunkt „t” ausfallen wird, d. h. sie repräsentiert im
Intervall 0, t die Wahrscheinlichkeit des fehlerlosen
Betriebes.
Die wichtigsten Eigenschaften der Zuverlässigkeitsfunktion:
R(t) monoton, nicht steigend
R(0) = 1
R(t) = 1- F(t) = P( >t)
0lim
tRt
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die durchschnittliche
Lebensdauer.
R(t) F(t)
F(t)
R(t)
T0
1,0
t 0
dttRdttftMT
00
0
Die durchschnittliche Lebensdauer T0 kann als Erwartungswert
der Zufallsvariable bestimmt werden. Dieser Wert ergibt den
durchschnittlichen Zeitraum des fehlerlosen Betriebes.
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische
Ausfallrate.
(t) theoretische Ausfallrate berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das bis zum Zeitpunkt „t” fehlerfrei
funktionierende Element im nachfolgenden Zeitraum (t 0) ausfällt.
tR
tft
dt
tRd
dt
tRd
dt
tFdtf
1
tRdt
tRdt
1
0lnln RtRdtt
t
o
[wo R(0) = 1, bzw. ln(1) = 0]
e
dttt
tR
0
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Die theoretische
Ausfallrate
I. Abschnitt: frühzeitige Ausfälle. Herstellungsfehler, Konstruktionsfehler.
II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes (t) = = const. Dominanz der
unerwarteten Ausfälle.
III. Abschnitt: Intervall tendenziöser Ausfälle.
I II III
Weibull ( < 1)
(t)
t 0
Normale, bzw. Weibull ( >2)
Exp. bzw. Weibull ( =1)
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenn-
größen.
I. Abschnitt: Intervall der frühzeitigen Ausfälle
Dieser Abschnitt kann in den meisten Fällen durch eine theoretische
Weibull-Verteilung mit Parameter < 1 gekennzeichnet werden.
Die Zuverlässigkeitsfunktion: e ttR
)(
Die Funktion der Ausfallrate: oT
tt
ttt t
e
e1
11
)(
Die durchschnittliche Lebensdauer:
010
)1
1(
dttT e
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenn-
größen
Die Zuverlässigkeitsfunktion:
Die Ausfallrate-Funktion:
Die durchschnittliche Lebensdauer:
II. Abschnitt: Intervall des normalen Betriebes
In diesem Intervall folgen die Ausfälle einer typischen Exponentialverteilung,
die Zuverlässigkeitsfuntion R(t) ist auch exponentiell (man kann diesen
Abschnitt auch mit einer Weibull-Verteilung mit Parameter =1
charakterisieren).
et
tR
conste
e
)t(R
)t(f)t(
t
t
0
0
1
dteT t
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element: quantitative Kenn-
größen
Die Zuverlässigkeitsfunktion:
Die Funktion der Ausfallrate
und die durchschnittliche
Lebensdauer:
III. Abschnitt: Intervall der tendenziösen Ausfälle
Hier folgt die Funktion F(t) und die Funktion R(t) im allgemeinen einer
Normalverteilung.
Die Funktion (t) kann auch im diesen Abschnitt durch eine Weibull-Verteilung mit
einem geeigneten Parameter ( >2) gekennzeichnet werden.
duu
tR
u
]2
exp[2
1 2
0Ttu
t
λ(t)
T0
0Tt
y
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.
Bestimmte Fahrzeugersatzteile vom gleichen Typ sind im kontinuierlichen normalen
Betriebsbereich zufallsweise in Zeitpunkten, wie folgt ausgefallen:
Frage:
Wie hoch ist die Betriebszeit, die mit 90 % Warscheinlichkeit einen fehlerfreien Betrieb
ermöglichen kann?
Lösung:
Weil die zufälligen Ausfälle keinen Dominanzfaktor haben, kann man annehmen, dass die
Zuverlässigkeitsfunktion eine exponentielle Natur hat. Die Aufgabe ist also die Bestimmung der
Betriebszeit „t0,9”, die dem Wert 0,9 der exponentiellen Zuverlässigkeitsfunktion R(t) entspricht.
Fehlerereignisse, Betriebsstunden (Bst.)
275 290 292 297 301 303 309 313 308 314
R(t)
t 0
1
0,9
t0,9
te)t(R
te)t(R
9,0t
e9,0
elnt9,0ln 9,0
T̂105,0105,09,0ln
t 9,0
T̂
1
- durchschnittliche erwartete
Lebensdauer
T̂
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Zuverlässigkeit der Elemente. Nicht reparierbares Element. Lösung der Aufgabe.
2,3001,03002ftT̂ j
10
1j
j
R(t) 0,8 0,7 0,6 0,5
t, (Bst.) 67 107 153 208
Die Wahrscheinlichkeit, dass bis
T= 300,2 Betriebsstunden kein
Ausfall vorkommt: 0,37.
R(t)
t
0
1
0,90
t0,9 = 31,5
te)t(R
300
0,37 5,312,300105,0T̂105,0t 9,0
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System.
Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für seriell gehalten, wenn es
nur in dem Fall fehlerfrei funktioniert, in welchem alle seine – unabhängigen
– Elemente fehlerfrei sind, d.h. das System wird ausfallen, wenn ein
einziges von seinen Elementen ausfällt.
Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als Multiplikation der
Zuverlässigkeitsfunktion der Elemente von System Ri(t) hergestellt werden,
wo i = 1, 2, 3 … n ist der Zahl der unabhängigen Elemente des Systems.
n
i
ini tRtRtRtRtRtRtR1
321
eeeeee
t
n
t
i
tttt
dttdttdttdttdttdtt 000
3
0
2
0
1
0
n
i
ini ttttttt1
321
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Serial-System von Elemente mit
exponentiellem Zuverlässigkeitscharakteristik.
een
iii t
n
i
tn
i
i tRtR
1
11
Das von unabhängigen Elementen mit exponentieller
Zuverlässigkeitscharakteristik hergestellte Serial-System auch
exponentiell ist, wo die resultierende Ausfallrate und die
durchschnittliche Lebensdauer T0 mit folgenden Formel berechnet
werden kann:
n
i
i
1
n
i i
n
i
iT
T
11
01
111
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System.
Ein System wird vom Aspekt der Zuverlässigkeit für parallel gehalten, wenn
es auch in dem Fall fehlerfrei funktioniert, wenn mindestens eines seiner
unabhängigen Elemente fehlerfrei ist.
Das System wird ausfallen, wenn alle seine Elemente i = 1, 2, 3 … n
gleichzeitig ausgefallen sind.
Die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion R(t) kann als die ergänzende
Funktion der resultierenden Ausfallsfunktion F(t) von System hergestellt
werden.
n
i
ini tFtFtFtFtFtFtFtR1
321 111
Wenn alle Elemente die gleiche Zuverlässigkeit haben:
R(t) = 1 – [Fi (t)]n
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Parallel-System von Elemente mit
exponentiellem Zuverlässigkeitscharasteristik.
ntn
1i
te1e1tF i
nt
n
1i
te11e11tR i
n
1i0
nt
00
0i
11dte11dttF1dttRT
Im Fall einer parallelen Zuverlässigkeitsstruktur
durch die Steigerung der Zahl von Elemente mit gleichen
Eigenschaften kann nur im abnehmenden Maße die erwartete
Lebensdauer des Systems gesteigert werden.
Das zweite Element erhöht die resultierende Lebensdauer mit der
Hälfte der eigenen Lebensdauer, das dritte Element nur mit dem dritten
Teil, das vierte nur mit dem vierten Teil.
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.
1 2 3 … s
1 2 … n
1 2
m :
[Ri(t)]s = Rs
i(t) – resultierende Zuverlässigkeitsfunktion von einer seriellen
Zweiglinie (bei „s” unabhängigen Elemente, die gleiche Ri(t) Zuverlässigkeit
haben)
Fm(t) = 1 – Rsi(t)
m – resultierende Ausfallfunktion von „m” parallel
geschaltetem Zweig
Resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems:
nmsi )]t(R1[1 R(t)
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1 2 3 … s
1 2 … n
1 2
m :
Wenn die Elemente verschiedene Zuverlässigkeiten haben, berechnet sich
die resultierende Zuverlässigkeitsfunktion des Systems wie folgt:
n
k
m
j
s
i
i tR1 1 1
11 R(t)
Ri (t) – Zuverlässigkeitsfunktion von i. Element
i = 1, 2 ….. s
s – Zahl der seriell geschalteten Elemente in einem parallel geschalteten Zweig
j = 1, 2 ….. m
m – Zahl der parallel geschalteten Zweige
k = 1, 2 ….. n
n – Zahl der seriell geschalteten gemischten Blöcke
Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Gemischtes System.
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
Es gibt ein aus unabhängigen Elemente bestehendes System (siehe Abbildung
unten), das nur dann betriebsfähig ist, wenn neben Element R3 mindestens noch
ein Element betriebsfähig ist. Wie hoch ist die resultierende Zuverlässigkeit des
Systems im Zeitpunkt t= tv , wenn die Zuverlässigkeit der einzelnen Elemente die
folgenden sind?
R1 =0,80
R2 =0,90
R3 =0,95
R1 (tv) = R1 = 0,80
R2 (tv) = R2 = 0,90
R3 (tv) = R3 = 0,95
R(tv) = [1- (1- R1) (1- R2)] R3 = [1 – 0,2 0,1] 0,95 = 0,931
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
Verwendung des Bayes-Theorems.
E1
P1 = 0,80 E2
P2 = 0,90
E5
P5 = 0,95
E3
P3 = 0,80 E4
P4 = 0,90
Nehmen wir an, dass ein
System von Elementen E1
… E4 (siehe Abbildung
links) wegen der relativ
niedrigeren Zuverlässigkeit
von Elementen E1 und E3
mit einem solchen Element
E5 ergänzt wird, das mit
einer annehmbarer
Zuverlässigkeit die
Elemente E2 und E4
bedienen kann.
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Zuverlässigkeit nicht reparierbarer Systeme. Lösung der Aufgabe.
1. Wenn E5 fehlerhaft ist (Wahrscheinlichkeit dieses
Zustandes ist 0,05), beträgt die Wahrscheinlichkeit des
fehlerfreien Betriebes PR des Systems:
PR(Rf.frei / E5f.haft) = 0,9216
2. Wenn E5 fehlerfrei ist (Wahrscheinlichkeit dieses
Zustandes ist 0,95), beträgt die Wahrscheinlichkeit des
fehlerfreien Betriebes PR des Systems:
PR(Rf.frei / E5f.frei) = 0,99
Die Wahrscheinlichkeit des fehlerfreien Betriebes des
Systems im beliebig ausgewählten Zeitpunkt:
Pt
R = 0,050,9216 + 0,950,99 = 0,9866
Durch die Definition der Arbeitswege ist es möglich, diejenige Zustände des Systems
auszuwählen, die die Steigerung der Zuverlässigkeit des Betriebes ermöglichen.
0,80
0,80
0,90
0,90
1.
0,90
0,90
2.
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Grundlagen.
t1 = τ1 t2 = τ1 + τ2 t3 = τ1 + τ2 + τ3 . . ti = τ1 + τ2 + τ3 + … + τi . . tn = τ1 + τ2 + τ3 + … + τn
ti - die Zeitpunkte der unabhängigen Ausfälle
(Wiederherstellungen), die einen stochastischen
Erneuerungsprozess bilden.
i - (zufälliger) Betriebsintervall zwischen
Ausfällen i. und (i –1).
ν(t) - Zahl der Ausfälle in beliebigem Zeitraum t
(t = 0, 1, 2, …. n).
F(t) – Ausfall-Funktion (Verteilungsfunktion) der
Zufallsvariable .
t=0 t
τ1 τ2 τn …
t1 t2 ... tn
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.
t=0 t
τ1 τ2 τn …
t1 t2 ... tn
Für quantitative Charakterisierung des Prozesses dient die Zahl der Ausfälle ν(t)
während beliebiger Zeit t, bzw. der Erwartungswert dieser Zahl M[ν(t)].
ν(t) ist eine diskrete (0, 1, 2, …. n) Zufallsvariable, derer Verteilung und
Erwartungswert mit Hilfe der Ausfall-Verteilungsfunktion F(t) von kontinuierlicher
Zufallsvariable bestimmt werden kann.
Angenommen, dass i Zufallsvariablen unabhängig sind und die gleiche Verteilung
haben, die Erneuerungsfunktion H(t) und ihre Dichtefunktion h(t) kann wie folgt
bestimmt werden:
H(t) = M[ν(t)] = g[τ, F(t)] dt
)t(dH)t(h
Die Erneuerung-Dichtefunktion ergibt für jeden Zeitpunkt „t” die Zahl der Ausfälle für die
nachfolgende Zeiteinheit.
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elemente. Die Erneuerungsfunktion.
Wenn die Zufallsvariable einem exponentiellen Verteilung folg mit
Parameter λ (Poisson-Prozess), dann die Erneuerungsfunktion kann duch
die folgenden Formel bestimmt werden:
H(t) = λt
t
)t(H
Im Fall eines Prozesses mit Normalverteilung (Gauss-Prozess) – wenn σ <<
T0 – die Erneuerungsfunktion hat die Form:
÷
F
1 n
0
n
nT t ) t ( H
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Elementen. Die Erneuerungsfunktion.
Im Fall einer Weibull-Verteilung kann die Erneuerungsfunktion H(t) in
endlicher Form hergestellt werden. Für den Abschnitt [3 > α > 1] kann
eine Schätzung wie folgt gegeben werden:
00 T
t)t(H1
T
t
Für beliebige Verteilungsfunktion F(t) kann bewiesen werden:
0t T
1
t
)t(Hlim
Für einen notwendig langen Zeitraum ist die durchschittliche Zahl der
Ausfälle pro Zeiteinheit (nahezu) gleich mit dem Reziprok von
durchschnittlicher fehlerfreien Betriebszeit.
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Zuverlässigkeit von sofort reparierbaren Systeme. Die Erneuerungsfunktion.
Die Erneuerungsfunktion des Systems kann als die Summe der
Erneuerungsfunktionen seiner Elemente bestimmt werden.
n
1i
i
n
1i
i )t(H)]t([M)]t([M)t(H
n
1i
i )t()t(
1. Element
n. Element
i. Element
2. Element
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Zuverlässigkeit von Elemente mit bedautender Reperierungszeit. Grundlagen.
τ1 τ2 τ3 τi τn
τ*1 τ*
2
t1 t2 t3 ti tn=TG t*1 t*
2 t*i-1 t*
n-1 t=0
t
1
0
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Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.
t i – Zeitpunkte der Ausfälle d.h. Endpunkte der Betriebsperiode und gleichzeitig
Ausgangspunkte der Instandhaltungsperiode;
t*i – Endpunkte der Instandhaltungsperiode, und gleichzeitig Ausgangspunkte der nächsten
Betriebsperiode;
τ i = ti – t*i-1 : Betriebsintervalle (t*0 = 0);
τ*i = t*
i – ti : Instandhaltungsintervalle.
t n = τ1 + τ*1 + τ2 + τ*
2 + … + τ i + τ*i + … + τ n =
t*
n = τ1 + τ*1 + τ2 + τ*
2 + … + τ i + τ*i + … + τ n + τ*
n =
1n
1i
*i
n
1i
i
n
1i
*ii
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Zuverlässigkeit von Elemente mit bedeutender Reparaturzeit.
Die Verwendbarkeitsfunktion.
Angenommen die Zufallsvariablen in den Betriebsintervallen und Instandhaltungsintervallen sind
unabhängig voneinander und haben den gleichen Verteilungstyp, kann die gemeinsame
Zuverlässigkeitsfunktion für die Betriebsperioden und die Instandhaltungsperioden wie folgt
bestimmt werden:
R(t) = P(τi > t) R*(t) = P(τ*i > t) Durchschn.
Betriebszeit
Die asymtotische Kenngröße „A” der Verwendbarkeitsfunktion A(t):
T0 T *0
*oo
0
0*oo
t TT
Tdt)t(F1
TT
1)t(AlimA
Durchschn.
Instandhal-
tunszeit
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Zuverlässigkeit von während der Reparatur ausgeschaltenen Systeme mit
bedeutender Reparaturzeit. Grundlagen.
Bei der Analyse der Zuverlässigkeit von Systeme mit bedeutender
Reparaturzeit muss der Zustand seiner Elemente während der
Wiederherstellung beabsichtigt werden.
Wenn während der Reparatur des ausgefallenen Elements die übrigen,
betriebsfähigen Elemente auch nicht arbeiten, dann spricht man über ein
während der Reparatur ausgeschaltetes System.
Es ist üblig anzunehmen, dass das System aus zahlreichen Elementen
besteht und die Ausfallsräte einzelner Elemente in bestimmenden Maße
die Ausfallrate des Systems nicht beeinflussen können. So kann man
das System beobachten, in dem die Betriebsperioden und
Erneuerungsperioden abwechselnd vorkommen.
Es kann bewiesen werden, dass in diesem Fall die Betriebsintervalle
einem stochastischen (Poisson) Prozess folgen mit abwechselnden
Parametern.
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Der stochastische Prozess. Grundlagen.
Der stochastische Prozess kann als eine bivariante Funktion ,t [kszí
omega té] in der Menge T x definiert werden, wo T , die
zählbare Parametermenge [in unserem Fall: T 0, Zeitvariable)],
0,1 die zugeordnete Wahrscheinlichkeitsmenge ist.
T
,t
T x
,t0
0,t
0
t0T
t A
ω
Der stochastische Prozess
kann auch als Menge von
Funktionen i,t
interpretiert werden, die sich
im Index i
unterscheiden.
0,t - Realizierungsfunktion
,t0 - Rand-
Wahrscheinlichkeitsfunktion
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Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Randbedingungen.
0
t
i/1Plim ttttt
0t
P(, tn+1) = in+1/ (, t1) = i1, (, t2) = i2, … (, tn) = in = P(, tn+1) = in+1/
(, tn) = in
(im Formel „t” bezeichnet einen Zeitpunkt, „i” einen Zustand)
Pt + t () - t() < X = Pv + t () - v() < X
für alle t, (t + t), v, (v + t) T, , v t, X reelle Zahl
(im Fall eines Ausfalls it bezeichnet einen betriebsfähigen Zustand, in allgemeinem einen
diskreten Zustand im Zeitpunkt „t”)
Randbedingungen im Falle eines im Zeitraum kontinuierlichen, im
Ereignisraum diskreten Prozesses
1. Seltenheit
2. Erinnerungs-
losigkeit
3. Stationarität
constt
i/1Plimt ttttt
0t
te)t(f
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Homogener Poisson (Markov) - Prozess. Grundgleichungen.
QtP
dt
tPd
N
1i
iP1
QP0t
Grundgleichungen:
P(t) – Zustandswahrscheinlichkeitsfunktion
P – Zustandswahrscheinlichkeit
Q – Erzeugermatrix
N – Zahl der diskreten Zustände im kompletten
Ereignissystem
Chapman
Matrix Differentialgleichung
Kolmogorov
algebraisches
Gleichungssystem
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Homogener Poisson (Markov) - Prozess. System mit zwei Zuständen.
te)t(f
te)t(f
Q
tPtPtPtP 2121
tPtPtPtPtPtP 212121
Elementarer
Modell:
tPtPtP
tPtPtP
212
211
Z1 betriebsfähiger
Zustand 1 - t
Z2 kein betriebsfähiger
Zustand 1 - μ t
t
μ t
T 2
1j
jZT
Z1 ∩ Z2 = Ø
Chapman
System von
Differentialgleichungen
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.
P1(0)=1,0 und P2(0)=0,0 seien die Anfangswerte,
dann ergeben sich die LAPLACE-Transformierte wie folgt:
sP1(s) – 1 = -λ P1(s) + µP2 (s)
sP2 (s) = λ P1(s) - µP2 (s) )s(s
s)s(P1
)s(s)s(P2
a
dK;
a
d1A
KeA)as(s
ds)s(F at
K
1A
)(a
d
t1 etP
t2 etP
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Verfügbarkeitsfunktion.
A = P1 = /( +)
U = P2 = /( + )
A(t)=P1(t)
U(t)=P2 (t)
P1 + P2 = 1
P
t
Pi (t)
0,1
0,9
0
t1 etV
1C
t2 etV
2C
t2 etP
t1 etP
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Kolmogorov-Gleichungen,.
Grundgleichungen und Lösungen, wenn für praktische Kenntnisse die
Grenzwert-Verteilung PPi ausreichend ist (Fall t ):
2
1i
iP1
QP0
21
21
21
1
0
0
PP
PP
PP
P1 = /( +)
P2 = /( +)
Kolmogorov-
algebraisches
Gleichung-System
(N=2)
2 – die mögliche Anzahl von
diskreten Zustände
Q
21 PP00
Lösung von
Kolmogorov-
Gleichungen bei N=2
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Ausfall-Ereignisse
Zeitintervall, Jahr 2006 2007 2008 2009 2010
Zahl der technischer Ausfälle, Stück 5446 6471 5593 6577 5615
relative Häufigkeit der Ausfälle, f(Δt)/Monat 0,015 0,018 0,016 0,018 0,016
kumulative Ausfallrate F(Δt) 0,000 0,217 0,401 0,590 0,811
empirische Zuverlässigkeitsfunktion R(Δt) 1,000 0,783 0,599 0,410 0,189
empirische Funktion der Ausfallrate λ(Δt), 1/Monat 0,015 0,023 0,026 0,045 0,083
Die Ausfallsereignisse einer bestimmten Schienenfahrzeugsflotte eines städtischen
Verkehrsunternehmens könnten von der Datenbank wie folgt hergestellt werden:
Aufgabe:
A.Herstellung einer Prognose für die Verfügbarkeitsfunktion der Flotte A(t)=P1(t)
B.Herstellung einer Prognose für die asymtotische Verfügbarkeit der Flotte A=P1
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Der Mittelwert der Ausfallsraten mit Berücksichtigung der Daten der letzten Zeile
der Tabelle: = 0,04/Monat
Die Ausgangsgröße des Mittelwertes der Reparaturrate konnte durch eine
fachmännische Schätzung - in gleicher Dimension wie – im Maße μ = 0,05
bestimmt werden
(Wenn die Effizienz der Reparaturarbeiten im Wirklichkeit höher ist, als es geschätzt wurde,
muss man mit einem größeren Wert von μ, im Gegenteil mit einem niedrigeren Wert von μ
rechnen.)
05,005,0
04,004,0Q
tP05,0tP04,0tP
tP05,0tP04,0tP
212
211
t05,004,01 e
04,005,0
04,0
04,005,0
05,0tP)t(A
Die Grundformeln:
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Berechnung der empirischen Werte der Verfügbahrkeitsfunktion A(t) = P1(t)
Jahr t,
Mo-nat
λ, 1/Monat
μ, 1/Monat
μ/(μ+λ) λ/(μ+λ) e exp[- (μ+λ)t] P1 (t)
relative Veränd.
von P1(t)
2005 0 0,040 0,050 0,556 0,444 1,000 1,000 0,000
6 12 0,040 0,050 0,556 0,444 0,341 0,707 -29,301
7 24 0,040 0,050 0,556 0,444 0,116 0,607 -14,121
8 36 0,040 0,050 0,556 0,444 0,040 0,573 -5,602
9 48 0,040 0,050 0,556 0,444 0,013 0,562 -2,022
10 60 0,040 0,050 0,556 0,444 0,005 0,558 -0,703
11 72 0,040 0,050 0,556 0,444 0,002 0,556 -0,241
12 84 0,040 0,050 0,556 0,444 0,001 0,556 -0,082
2013 96 0,040 0,050 0,556 0,444 0,000 0,556 -0,028
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Verfügbarkeitsfuntion
Jahr
P1(t
) W
ahrs
chein
lichkeit
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Relative Veränderung der Verfügbarkeit
Base: Jahr 2005
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Asymtotische
Verfügbahrkeit
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Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Schlussfolgerungen:
bei den geschätzten Mittelwerten der Ausfallrate und der
Reparaturrate μ des Systems im stationären Zustand kann für
das Funktionieren höchstens mit der Wahrscheinlichkeit 0,556
gerechnet werden
durch die Verminderung der Zufallsrate auf 0,01 Monat-1
könnte die Verfügbarkeit auf 83% gesteigert werden.
durch die Halbierung des Zeitaufwands der Instandhaltungs-
arbeiten könnte bei unveränderter Zufallsrate die Verfügbahrkeit
auf 64% gesteigert werden.
mit der Verminderung der Zufallsrate auf den Wert 0,01 und die
gleichzeitige Steigerung der Reparaturrrate auf Wert 0,1 könnte
ein Verfügbarkeitspotential von 91% erreicht werden.
die erhaltenen Ergebnisse sind als Informationen mit
Wahrscheinlichkeitscharakter zu verstehen.
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Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen.
Nehmen wir an, dass die
diskreten Betriebszustände
der Fahrzeugen die folgenden
sind:
betriebsfähiger Zustand
Störungsbehebung
Ausbesserung (planmässig
und unplanmässig)
Wartezeiten.
istonenziellexpnichtVerteilungdiewenn),t(
istonenziellexpVerteilungdiewenn,const)t(
Zustandsübergangsgraph des
Betriebssystems
Ereignisdichte des Prozesses
kann, wie folgt, definiert werden:
1. betriebsfähig 1 – (1.3+1.2+1.5.) t
2. Störungsaufhebung 1 – 2.1 t
5. Warten für Zustand 6 1 – 5.6 t
3. Warten für Zustand 4 1 – 3.4 t
4. planmässige Ausbesserung
1 – 4.1 t
f(t)
t
f(t)
λ
f(t)
t
λ
f(t)
t
λ
f(t)
t λ
f(t)
λ
f(t)
t
t
t t
f(t)
λ
6. unplanmässsige Ausbesserung
1 – 6.1 t
te)t(f
6.1 t
5.6 t
1.5 t
4.1 t
3.4 t
1.3 t
2.1 t
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Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Verwendbarkeit.
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtPtPtP
56.561.66
15.156.55
34.341.44
13.134.33
12.121.22
61.641.421.215.13.12.11
654321
56.561.6
15.156.5
34.341.4
13.134.3
12.121.2
61.641.421.215.13.12.1
PPPPPP1
PP0
PP0
PP0
PP0
PP0
PPPP0
1.61.6
6.56.5
1.41.4
4.33.4
1.21.2
5.13.12.15.13.12.1
0000
0000
0000
00λ00
0000
00)(
Q
1.5
6.1
1.5
5.6
1.3
4.1
1.3
3.4
1.2
2.1
6.1
1.5
5.6
1.5
4.1
1.3
3.4
1.3
2.1
1.2
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ11
1
1
1P
t
N
1i
iP1
QP0
QtP
dt
tPd
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Nehmen wir an, dass im vorher gezeigten Zustandsübergangsgraph die folgenden
Parameter gelten:
durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende Störungen T1.2 = 2880 Std.
durchschnittlicher Zeitaufwand der Behebung der StörungT2.1 = 0,5 Std.
durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende unerwartete Ausfälle T1.5=
4320 Std.
durchschnittliche Wartezeit auf Wiederherstellung nach einem unerwarteten Ausfall
T5.6 = 120 Std,
durchschnittlicher Zeitaufwand der Wiederherstellung eines unerwarteten Ausfalls
T6.1 = 340 Std.
durchschnittliche Zeitperiode zwischen zwei aufeinander folgende planmäßige Ausbesserungen
T1.3 = 8760 Std.
durchschnittliche Wartezeit auf eine planmässige Ausbesserung T3.4 = 6 Std.
durchschnittlicher Zeitaufwand der Wiederherstellung einer planmäßiger Ausbesserung T4.1 =
150 Std.
Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
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Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Beispiel.
Időtartam
[óra] T2.1/ T1.2 T3.4 / T1.3 T4.1 / T1.3 T5.6 / T1.5 T6.1 / T1.5
T1.2 2880 0,000174 0,000685 0,017123 0,027778 0,078704
T1.3 8760
T1.5 4320
T2.1 0,5 P1 = 0,889
T3.4 6
T4.1 150
T5.6 120
T6.1 340
5.1
1.6
5.1
6.5
3.1
1.4
3.1
4.3
2.1
1.21
11
T
T
T
T
T
T
T
T
T
TP
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
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Markov-Prozess. System mit mehreren Zuständen. Parameter-Empfindlichkeit.
Die Empfindlichkeit der Wahrscheinlichkeit P1 – als abhängige Variable – von
verschiedenen λ-Parameter – als variablen Faktoren – kann durch die Formel für die
partielle Empfindlichkeit i.j bestimmt werden.
j.ij.i
11
j.ij.i
11
j.i /
P/P
/
P/P
Empfindlich
-keit ε1.2 ε1.3 ε1.5 ε2.1 ε3.4 ε4.1 ε5.6 ε6.1
ΔP1 0,00001 0,00128 0,00772 -0,000014 -0,000054 -0,001352 -0,002191 -0,00618
ΔP1 % 0,0013% 0,1282% 0,7722% -0,0014% -0,0054% -0,1352% -0,2191% -0,618%
Rang-
ordnung 8 5 1 7 6 4 3 2
(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)
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Semi Markov-Prozess. System mit zwei Zuständen.
te)t(f
te)t(f
)t()t(
)t()t(Q
)t()t(
)t()t(tPtPtPtP 2121
tP)t(tP)t(tP)t(tP)t(tPtP 212121
Elementares
Modell:
tP)t(tP)t(tP
tP)t(tP)t(tP
212
211
t
iPt ttttt
t
/1lim
0
Z1 betriebsfähiger Zustand
1 - (t) t
Z2 kein betriebsfähiger
Zustand
1 – μ(t) t
(t) t
μ(t) t
T 2
1j
jZT
Z1 ∩ Z2 = Ø
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rnd{0,1} k
Ti.j(k)
F(t)
t 0
1
Semi Markov Modell. Lösungsalgorithm zum System mit zwei und mehreren
Zuständen.
t
f(t) f(t)
t
λ
k = k + 1
NEIN
JA
nein
JA
λi.j(k) = 1/ Ti.j
(k)
λi.j = 1/ Ti.j
Auftragen des
Zustandsübergangsgraphen
Bestimmung der Zeiträume der Ereignisse, Bestimmung
derer Verteilungstypen
exponentionelle Verteilung
Einführung der Zyklusvariablen k = 1
Aufschreiben der Generatormatrix Q(k)
Herstellung und Lösung der
Kolmogorov- Gleichung.
k > 30
Bestimmung der Ereignisdichten λi.j
Aufschreiben der Generator-Matrix Q
j.ij.i
iij.i /
P/P
Auswertung der Ergebnissen, Vorschläge
Bestimmung von λi.j(k)
.
Empfindlichkeits-analyse
Random- Generation von Ti.j
(k)
Herstellung und Lösung der
Kolmogorov_ Gleichung.
Statistische Analyse von Pi
(k)
KuP̂P̂
KuP̂ ii P
iiP
i
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
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Nehmen wir an, dass in vorher gezeigter Stuktur mit mehreren Zuständen nach dem
Durchführung von H = 100 Beobachtungen konnte man die folgenden
durchschnittlichen Werte [Stunde] von exponenzieller Verteilung feststellen:
T1.2 T2.1 T1.3 T3.4 T4.1 T5.6
2880 0,5 8760 6 150 120
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1 2 3 4 5 6 7 8
t(1.5) osztályköz sorszáma
rela
tív
elő
ford
ulá
si g
ya
ko
ris
ág
)t(f̂
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t (6.1) osztálykozök sorszáma
rela
tív e
lőfo
rdu
lási g
yako
riság
)t(f̂
Im Falle t1.5 und t6.1 hatten die Zeitraumsverteilungen unterschiedliches von
exponenzieller Verteilung Merkmal:
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
t1.5 t6.1
rela
tive H
äfig
keit
rela
tive H
äfig
keit
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t1.5
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400
t1.5 [Stunden]
tapaszta
lati e
loszlá
sfü
ggvény é
rték
1
1
2
2
k
k
) t ( F ˆ
Wert
der
Vert
eilu
ngsfu
nktio
n
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Die empirische Verteilungsfunktion des Zeitraumes t6.1
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
200 220 240 260 280 300 320 340 360 380
tapaszta
lati e
loszlá
sfü
ggvény é
rték
2
1
2 1
k
k ) t ( F ˆ
Wert
der
Vert
eilu
ngsfu
nktio
n
t6.1 [Stunden]
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rnd(0,1) 0,41 0,92 0,75 0,48 0,22 0,77 0,43 0,25 0,74 0,05
T1.5(k) 3800 4175 3930 3825 3720 3950 3820 3725 3950 3600
k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Rnd(0,1) 0,86 0,97 0,98 0,17 0,96 0,09 0,36 0,18 0,36 0,21
T1.5(k) 4075 4225 4230 3675 4220 3625 3775 3675 3775 3700
k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Rnd(0,1) 0,44 0,01 0,29 0,50 0,26 0,65 0,72 0,81 0,43 0,69
T1.5(k) 3825 3525 3750 3845 3725 3875 3925 4000 3825 3900
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T1.5(k)
[durchschnittlicher Wert vonT1.5(k) beträgt 3855,5 Stunden]
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
Dr. Zvikli Sándor Üzemeltetés elmélete
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rnd(0,1) 0,38 0,85 0,93 0,51 0,93 0,69 0,78 0,96 0,43 0,31
T6.1(k) 273 300 330 278 330 290 295 335 275 270
k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Rnd(0,1) 0,27 0,61 0,97 0,41 0,34 0,69 0,67 0,59 0,05 0,16
T6.1(k) 265 285 340 275 270 290 285 280 230 260
k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Rnd(0,1) 0,70 0,07 0,07 0,88 0,97 0,54 0,91 0,09 0,77 0,20
T6.1(k) 290 205 235 305 335 280 320 235 295 285
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert T6.1(k)
[durchschnittlicher Wert von T6.1(k) beträgt 284,7 Stunden]
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
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k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P1(k) 0,8917 0,8934 0,883 0,8913 0,878 0,8914 0,8876 0,8771 0,8897 0,8878
K 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P1(k) 0,8989 0,8978 0,8875 0,8885 0.9005 0,8841 0,8887 0,8874 0,9003 0,8939
K 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
P1(k) 0,8887 0,9007 0,8987 0,8861 0,8771 0,8919 0,8849 0,9036 0,8877 0,8914
Erzeugen der Realizierungen von Erwartungswert der
Verfügbarkeitsfunktion P1(k)
KuP̂P̂
KuP̂ 1P
111P
1
88,75 % P1 89,23 %
(=0,05; u=1,96; k=30)
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
Széchenyi István Egyetem Közlekedési Tanszék
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Die Empfindlichkeitsindikatoren εi.j der Verfügbarkeit P1
j.ij.i
11j.i /
P/P
Empfind-
lichkeit ε1.2 ε1.3 ε1.5 ε2.1 ε3.4 ε4.1 ε5.6 ε6.1
ΔP1 0,000013 0,001282 0,008 -0,000014 -0,000054 -0,001352 -0,002191 -0,005
ΔP1 % 0,0013% 0,1282% 0,89% -0,0014% -0,0054% -0,1352% -0,2191% -0,56%
Rang 8 5 1 7 6 4 3 2
(Im Falle der aufeinander folgenden Veränderung Ti.j um +10%)
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.
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λ5.6
1. betriebsfähig 1 – (1.3+1.2+1.5.) t
2. Störungsaufhebung 1 – 2.1 t
5. Warten für Zustand 6 1 – 5.6 t
6. unplanmässsige Ausbesserung
1 – 6.1 t
3. Warten für Zustand 4 1 – 3.4 t
4. planmässige Ausbesserung
1 – 4.1 t
t
f(t)
λ
f(t)
t
λ
f(t)
t
λ
f(t)
t
f(t)
t
te)t(f
f(t)
t
5.1 5.2 5.n
6.1 6.2 6.m
1.51 1.52 1.5s
6.1 t
5.6 t
1.5.t
Semi Markov-Modell. System mit mehreren Zuständen. Lösung der Aufgabe.