einführung in die meteorologie (met210) - teil iv: dynamik der atmosphäre
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Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre. Clemens Simmer. IV Dynamik der Atmosphäre. Kinematik Divergenz und Rotation Massenerhaltung Stromlinien und Trajektorien Die Bewegungsgleichung Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte Navier-Stokes-Gleichung - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Clemens Simmer
Einführung in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
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2
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
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3
IV.2 Die Bewegungsgleichung
• Die Newtonschen Axiome• Die wirksamen Kräfte
– Druckgradient– Schwerkraft– Reibungskraft– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
• Die Navier-Stokes-Gleichung• Skalenanalyse
– geostrophische Approximation– hydrostatische Approximation– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem
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4
IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem
constv K a
0
Axiom1.
Kdt
vdm a
Axiom2.
2112 KK
Axiom3.
i
iKK
) Axiom"("4. Korrolar
Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort.
Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).
Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem Vorzeichen (actio = reactio).
Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft.
Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.
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5
IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräftea) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar
ngschleuniguReibungsbe
gchleunigunSchwerebes
unigungentbeschleDruckgradi mit
gungBeschleuni oder
Kraft ifischemassenspez mit ,
3
2
1
3
1
f
f
fff
ffm
K
dt
vdK
dt
vdm
ii
aa
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6
Druckgradientbeschleunigung
BA
x0, y0, z0
Δx
Δz
Δy
x
z
y
• An allen Wänden des Volumens (ΔxΔyΔz) wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)
• Fläche A: p(x0+ Δx/2)=p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2)
• Fläche B: p(x0 - Δx/2)=p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2)
Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)=- (∂p/∂x)Δx
Nettokraft (Druck x Fläche) Kx= (∂p/∂x)ΔxΔyΔz= (∂p/∂x)V
massenspezifische Kraft (Beschleunigung) fx=Kx/m= (∂p/∂x)V/m (1/ρ)(∂p/∂x)
pz
pf
y
pf
x
pf zpypxp
1111
p,,, f oder , ,
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7
Schwerebeschleunigung
zN
yNNg
g
ggf
,
,
0
Ng zg
gsein cheErdoberflä der auf senkrecht muss
igunglbeschleunZentrifuga
on)(Gravitati AnziehungNewtonsche
mit
:bereits kennen Wir
g
g
g
ggg
Z
N
ZN
Im Inertialsystem dürfen wir aber die Zentrifugalbeschleunigung der Erde nicht einbeziehen.
Also gilt
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8
Reibungskraft (1)
x, y, z
Austausch von Molekülen zwischen
den Schichten unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch thermische Bewegung
=molekulare Reibung
Austausch von Luftpaketen zwischen
den Schichten unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch Turbulenz
=turbulente Reibung
«
Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen
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9
Reibungskraft (2)
Grundlegender Ansatz: Schubspannung, intuitiv zunächst nur für Reibung in der Horizontalen Zähigkeit , mit
ms
kgz
u
Druck der wiesdichteImpulsflus m
/ /2s
smkg
m
sm
ms
kg
)/( 20 zzxz
)/( 20 zzxz
Δx
Δy
Δzx0, y0,
z0
• τxz: Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in Richtung ±z
• wirkt oben und unten am Volumen
• Differenz bewirkt Nettoschub
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10
Reibungskraft (3)τxz(z0+Δz/2) = 0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0 Abbremsung
τxz(z0+Δz/2) > 0τxz(z0-Δz/2) < 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0 starke Beschleunigung
τxz(z0+Δz/2) >0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0 weder Abbremsung noch
Beschleunigung
Entscheidend für Abbremsung oder Beschneunigung ist also nicht der Impulstransport
selbst, sondern dessen räumliche Änderung: Konvergenz beschleunigt, Divergenz bremst.
z
u
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11
Reibungskraft (5)Berechnung der Nettokraft in x-Richtung (Impulsflussdivergenz):
xnach ngschleuniguReibungsbe
/)()/( über
)/()/(
,,
,
zm
V
zm
Kf
zzzzzzyxz
yxzzyxzzK
xzxzxRxR
xzxzxz
xz
xzxzxR
1
22
22
00
00
Laminare und turbulente Strömungen
tkoeffizienDiffusionser turbulentK
Zähigkeitmolekulare bzw. he,kinematisc ,mit
)(
)(1
11
ulent turb laminar
11
2
2
,
z
uzK
zz
u
z
uzK
zz
u
zz
u
z
z
u
zzf xz
xR
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12
Reibungskraft (6)
zyzx
yzyx
xzxy
yzxz
zyxy
zxyx
yx
zx
zy
1
f und R
1
0
0
0
Problem: Neben τxz existieren noch τxy und τxx,und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz.
Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft erledigt!
Lösung: Schubspannungstensor
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13
Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem
11N
a gpdt
vd
In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten die bekannten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf!Als brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem sein, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.
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14
b) im erdfesten Bezugssystem
• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.
• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im Inertialsystem beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert werden
IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem
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15
Coriolisbeschleunigung- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe)
nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der u-Bewegung von P.
• Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben.
• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert, durch die kleinere Entfernung von der Drehachse.
• Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.
• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.
t0
t+Δt
P P‘
Q
Q‘‘
Q‘
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16
Coriolisbeschleunigung- qualitativ (2) -
• Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit Δt.
• P wirft nach Q (blauer Vektor).
• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).
• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem anzeigt.
• Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘.
Rechtsablenkung
P
P‘
P
P‘
QQ‘
Q
Q‘
Q‘‘
Q‘‘
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17
Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (1) -
A
t1
+
2
3
v
s
C
B
Δs= ΔuΩ Δt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt =(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt mit λ Länge und φ Breite
Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer konstanten Beschleunigung nach Ost: →s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R → Δt= Δφ R/v folgtbC= 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ) = - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ = 2Ωvsinφ
• Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.
• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, und hat nach Δt die Strecke Δs nach Osten zurückgelegt.
sin, vb uC 2• Der Körper beschleunigt nach
rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite
Δ
Δ
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18
Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (2) -• Ein Körper bewege sich mit der
Relativgeschwindigkeit u nach Ost.• Er hat dann die
Absolutgeschwindigkeit ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ.
• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni-gung von (ua)2/r.
r
uur
r
ru
r
ua2
222
2
• Der erste Term ist das bekannte gz.• Die beiden letzten Terme beschreiben
die zusätzliche Zentrifugalbeschleuni-gung durch die (relative) u-Bewegung.
• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen (Abbildung).
• Offensichtlich erfolgt in der Horizon-talen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung
sin, ub vC 2
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19
Coriolisbeschleunigung- formal (1) -
• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem
• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems
• Anwendung auf den Vektor der absoluten Geschwindigkeit.
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20
Coriolisbeschleunigung- formal (2) -
x
y
z
i
j
k
x‘z‘
y‘
i
j
k
adt
ad
kajaiadt
ad
kajaiadt
addt
kda
dt
jda
dt
ida
dt
ad
kdt
adj
dt
adi
dt
ad
kdt
daj
dt
dai
dt
da
dt
ad
kajaia
kajaia
a
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
System gtenbeschleuni im
Änderungebeobachtet
folgt daraus
Vektor
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21
Coriolisbeschleunigung- formal (3) -
adt
ad
dt
ad
rv
dt
rdr
dt
d
dt
vd
rvrdt
d
dt
vd
vΩdt
vd
dt
vd
rvrdt
rd
dt
rd
v
aaa
v mit identisch a
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22
Coriolisbeschleunigung- formal (4) -
VIVIIIIII
rvrdt
d
dt
vd
dt
vd a
2
I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur ErdoberflächeII. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s
kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)IV. CoriolisbeschleunigungV. Zentrifugalbeschleunigung
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23
Coriolisbeschleunigung- formal (5)
cos
sin
cossin
u
u
wv
wvu
kji
vf zyxC
2
2
2
22
Coriolisbeschleunigung
y
z
Äqu.
sin
cos
da
ΩΩ
ΩΩ
Ω
z
y
x
0
Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt für die horizontale Komponente
h
hC
vkf
u,vwfu
fv
fu
wfvf
da , cos
,
2
Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben?
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24
Navier-Stokes-Gleichung (1)
rvrdt
d
dt
vd
dt
vd a
2
11kgp
dt
vd a+
Rfvkgpvvt
v
dt
vd
21
)(
Dabei wurden• totale Ableitung in partielle Ableitungen gesplittet • Rotationsvektor als konstant angenommen• Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert• d‘/dt=d/dt gesetzt• Reibung verallgemeinert
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25
Navier-Stokes-Gleichung (2)
Rfvkgpvvt
v
dt
vd
21
)(
komponentenweise
zR
yR
xR
f -g uz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dt
dw
fvy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dt
dv
fwvx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
du
,
,
,
cos
sin
cossin
21
21
21
gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung
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26
IV.2.3 Skalenanalyse- für synoptische Systeme der mittleren Breiten -
• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)
-> statische Grundgleichung• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente
(Horizonalwind)
-> der geostrophische Wind
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27
Skalenanalyse (2)- charakteristische synoptische Größen -
• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s• Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s• Länge L ~ 106 m (1000 km)• Höhe H ~ 104 m (10 km)• Luftdruckvariat. P ~ 103 Pa (10 hPa)• Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag)• Coriolisparam. f = 2sin ~ 10-4 s-1
• Luftdichte ~ 1 kg/m3
• Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)
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28
Skalenanalyse (3) – horizontale Bewegungsgleichung -
xFrFwvx
p
dt
du,)cossin(
21
yFrFuy
p
dt
dv, sin
21
U/T 1/ p/L fU fW -
10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2
...Coriolisbeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!
y
pfu
x
pfv
1
1
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29
synoptische Skalenanalyse (4) – geostrophischer Wind -
pkf
pvk, fy
pfu
x
pfv
h
hh
1
111
hv
oder
,
p
p 3 p
p 2 p
p 1 p
F
F P,H
C ,H
vg
T
H
x
p
ρf , v
y
p
ρ u
pkρf
v
gg
hg
11
1
geostrophischer Wind:
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30
synoptische Skalenanalyse (5)- 3. Bewegungsgleichung -
zFfugz
p
dt
dw,cos
21
W/T 1/ po/H g fU -
10-7 10 10 10-3 - m/s2
gz
p ...Schwerebeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!
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31
Synoptische Skalenanalyse (6)- Berücksichtigung der Beschleunigung -
agag u
g
v
g uufdt
dvvvf
dt
du
y
pfu
dt
dv
x
pfv
dt
du
)( , )(
,
11
Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes.
Wann ist das wichtig?
ist. groß Zahl,-Rossby ,²
,
, Wenn o
UL
RfL
U
fUL
U
fU
U
fUT
U
fvfudtdv
dtdu
Mit gegebenen Zahlen gilt Ro=0,1, also 10% Fehler bei Anname des geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen gilt Ro=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U größer bei Hurrikanen)
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Übungen zu IV.2
1. Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung, wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt.
2. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator.
3. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab.
4. Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.
5. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.
6. Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel.