einführung in die inversionstheorie und regularisierung
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Daniel Köhn Kiel, den 17. Januar 2005. Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierung. Was ist Inversion ?. Was ist Inversion ?. Physiker. Was ist Inversion ?. Physikalische Messung. Was ist Inversion ?. Physikalisches Modell. Test des Modells. Was ist Inversion ?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Einführung in die Inversionstheorie Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierungund Regularisierung
Daniel KöhnDaniel Köhn
Kiel, den 17. Januar 2005Kiel, den 17. Januar 2005
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Was ist Inversion ?Was ist Inversion ?
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Was ist Inversion ?
Physiker
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Was ist Inversion ?
Physikalische Messung
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Was ist Inversion ?
Physikalisches Modell
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Test des ModellsTest des Modells
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Was ist Inversion ?
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Was ist Inversion ?
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Was ist Inversion ?
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Was ist Inversion ?
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Was ist Inversion ?
Meßdaten
Modellparameter
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VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
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Vorwärtsmodellierung
Rate Modellparameter
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Vorwärtsmodellierung
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Vorwärtsmodellierung
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Vorwärtsmodellierung
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Vorwärtsmodellierung
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Vorwärtsmodellierung
Lange Iterationszeit beigroßem Parameterraum
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InversionInversion
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Inversionsproblem
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Inversionsproblem
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Inversionsproblem
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Inversionsproblem
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Inversionsproblem
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Inversion
Meßdaten: bModell-
parameter: m
Vorwärtsmodellierung: bmod = g(m)
Inversion: m = g-1(bobs)
Physikalisches Modell: g
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Lösung von Inversionsproblemen
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Typen von Linearen Typen von Linearen InversionsproblemenInversionsproblemen
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Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Physikalisches Modell:
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Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Setze Messwerte in Modell ein:
Messdaten Modellparameter
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Beispiel: Bestimmung des Temperaturverlaufes in einem Bohrloch
Lösung:
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Lineare Inversionsprobleme
Exakt bestimmtes Problem:
Es existieren exakt soviele Messungen, wie unbekannte Modellparameter =>
Quadratische Koeffizientenmatrix
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Physikalische Realität
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Lineare Inversionsprobleme
Überbestimmtes Problem:
Es existieren mehr Messungen, als unbekannte Modellparameter =>
Koeffizientenmatrix ist nicht quadratisch
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Lineare Inversionsprobleme
Lösung eines Überbestimmten Problems:
Residuum e = Abweichung zwischen gemessenen und modellierten Daten
Gauss: “Minimiere Summe der Quadrate des Residuums”
Objektfunktion E(mE(m)
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Lineare Inversionsprobleme
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Lineare Inversionsprobleme
Damit folgen die optimalen Lösungsparameter x zu:
Gauss-Newton Verfahren
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Gauss-Newton: Beispiel 1
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Gauss-Newton: Beispiel 2
1D Love-Wellen Inversion
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Ausbreitung von Love-Wellen
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Entstehung von Love Wellen
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Bestimmung von vs(z) aus den gemessenen
Phasengeschwindigkeiten vph
(T)
UntergrundmodellUntergrundmodellPhasengeschwindigkeits-Phasengeschwindigkeits-
residuenresiduen
S-Wellengeschwindigkeits-S-Wellengeschwindigkeits-residuenresiduen
A vs = vph
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Startmodell vs(z)
Asthenosphäre
MOHO
Oberer Mantel
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VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
Avs = vph
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Startmodell vph
(z)
vvphph
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Inversion mit Gauss-NewtonInversion mit Gauss-Newton
vs = (ATA)-1ATvph
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Lösung vs(z) nach einem Iterationsschritt
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Gauss-Newton: 1D Love-Welleninversion
Problem: Schlecht konditioniertes Gleichungssystem.
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RegularisierungRegularisierung
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Regularisierung
Regularisierung:
Die Untersuchung des Lösungsverhaltens und die anschließende Lösung eines schlecht
konditionierten Problems.
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Regularisierung
Singulärwertzerlegung (SVD):
V = Matrix aus den Eigenvektoren von AAT U = Matrix aus den Eigenvektoren von ATA
= Eigenwerte von A
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Orthogonalität der Matrizen V und U impliziert:VT=V-1 UT=U-1
Lösung des linearen Inversionsproblems:
Lösung des Inversionsproblems mit SVD:
Regularisierung
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Regularisierung
Verteilung der Singulärwerte für die Beispiele 1 und 2
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SVD: 1D Love-Welleninversion
![Page 54: Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierung](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062422/56813a68550346895da2619f/html5/thumbnails/54.jpg)
Marquardt-Levenberg Verfahren
Definiere Variabilität der Modellparameter:
Minimiere modifizierte Objektfunktion
Es folgt:
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Marquardt-Levenberg Verfahren
![Page 56: Einführung in die Inversionstheorie und Regularisierung](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062422/56813a68550346895da2619f/html5/thumbnails/56.jpg)
Beurteilung der Inversion
Modellkovarianzmatrix Datenresolutionsmatrix Modellresolutionsmatrix
Mathematische VerfahrenMathematische Verfahren
Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und Bewertung der Modelle nur nach mathematischen und nicht physikalischen Gesichtspunktennicht physikalischen Gesichtspunkten
Besser: Besser: VorwärtsmodellierungVorwärtsmodellierung
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SVD: Vorwärtsmodellierung
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Marquardt-Levenberg Verfahren: Vorwärtsmodellierung
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Beurteilung der Inversion
Man beachte:
Finden wir eine Lösung ? Wenn ja, ist diese Lösung eindeutig ? Wie beeinflußen Fehler in den gemessenen Daten die Lösung ?
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Zusammenfassung
Es existieren 2 Vorgehensweisen aus gemessenen Daten Modellparameter abzuleiten: Vorwärtsmodellierung und Inversion.
Die linearen Inversionsprobleme lassen sich grob in 3 Gruppen unterteilen: exakte, überbestimmte, sowie schlecht konditionierte Probleme.
Zur Analyse und Lösung von schlecht konditionierten Problemen können das SVD, bzw. Marquardt-Levenberg Verfahren herangezogen werden.
Die Beurteilung eines Modells sollte nach physikalischen und nicht ausschließlich nach mathematischen Gesichtspunkten erfolgen.
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