einfluss eines verbrennungsvorganges auf den wärme- und stoffaustausch in einer laminaren...
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Vol. IXb, 1958 259
Einftuss eines Verbrennungsvorganges auf den W~irme- und Stoffaustausch in einer laminaren Grenzschicht
Von ERNST i . G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT, St. Paul, Minn., US A 1)
Einleitung
Die Entwicklung der Technik hat auf verschiedenen Gebieten den Ingenieur vor die Aufgabe gestellt, Konstruktionselemente gegen deu Einfluss eines heissen Gasstromes zu schtitzen. Besonders stark beansprucht sind in dieser Hinsicht beispielsweise die W/inde der Brennkammern und der Dtisen yon Raketen, die einem Gasstrom von 3000~ und mehr ausgesetzt sind, und die Aussenhaut yon l]berschallflugk6rpern, da bei hohen Mach-Zahlen die um- gebenden Luftschichten durch innere Reibung Temperaturen annehmen, die h6her sein k6nnen als die Oberfl~ichentemperatur der Sonne. Als aussichts- reiches Kfihlverfahren fiir solche Verh/iltnisse hat sich die (c Schwitzkfihlung >, erwiesen. Bei diesem Verfahren werden die dem heissen Gasstrom ausgesetzten W~tnde aus einem por6sen Material hergestellt, und ein gasf6rmiges oder flus- siges Kfihlmittel wird dutch die Poren gedriickt, so class es sich zwischen den heissen Gasstrom und die Wand schiebt. Die gleiche Wirkung wird auch erzielt, wenn das Wandmaterial selbst an der Oberfl~iche verdampft.
Die Ktihlwirkung beruht zum Teil auf der W~trmekapazit~it einschliesslich der Verdampfungsw/irme des Ktihlmittels, zum Tell darauf, dass der Gasstrom, der die Oberfl~iche der Wand verl~isst, die Grenzschicht beeinflusst. Die Ge- schwindigkeitsverh~iltnisse und der Wiirmeiibergang in derartigea Grenzschich- ten sind bereits rechnerisch und versuchsm/issig eingehend untersucht worden [ 1 - 612). Bei den hohen Temperaturen, die wie vorher erw~ihnt in solchen Grenzschichten herrschen, werden hS.ufig chemische Reaktionen zwischen dem Sauerstoff in dem heissen Gasstrom und dem Kfihlmittel auftreten, und der Ablauf dieser Reaktionen wird den W~irme- und Stoffaustausch in der Grenz- schicht wesentlich beeinflussen. Dieser Vorgang wird vom Druck und der Temperatur im Gasstrom, yon der Natur des Kiihlmittels und der Temperatur der Wandoberfl~tche bestimmt und verlangt ffir eine Vorausberechnung die Kenntnis der Kinetik des Reaktionsvorganges, die heute noch weitgehend ungekl~irt ist. Ein Bild, das den tats~chlichen Vorgang in vielen F~illen quali- tat iv und in der Gr6ssenordnung auch quanti tat iv richtig wiedergeben sollte,
1) Universit~it von Minnesota, WS.rmetibergangslaboratorium. 2) Die Ziffern in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturverzeichnis, Seite ~272.
260 ERN'ST R. G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT ZAMP
l~isst sich jedoch dutch die rechnerische Untersuchung des folgenden verein- fachten Modells gewinnen.
Es wird die StrSmung eines Gases parallel zu einer ebenen Platte mit Aus- bildung einer laminaren Grenzschicht untersucht. Ein Massenstrom eines an- deren Gases yon der Oberfl~iche weg m6ge dutch Ausblasen durch die Poren der Platte oder durch Verdampfen an der Plattenoberfl~iche erzeugt werden. Es wird weiter vorausgesetzt, dass alle Stoffwerte innerhalb der Grenzschicht konstant, das heisst unabh~ingig yon der Temperatur und der Zusammensetzung des Gases sind, dass die chemische Reaktion (Verbrennung) zwischen dem Hauptstrom und dem Kiihlmittel mit sehr grosser Reaktionsgeschwindigkeit verl~iuft und dass die chemische Gleichgewichtsbedingung praktisch vollkom- mene Verbrennung vorschreibt.
Formelzeichen
a Temperaturleitzahl; c r 6rtlicher Reibungsbeiwert = 2 zwl~ u~, / dimensionslose Stromfunktion [Gleichung (10)]; H Heizwert; i Enthalpie; k Diffusionszahl;
Massenstrom des Brennstoffes; q W~irmestrom in die Plattenoberfl~iche ohne Verbrennung; q' W~rmestrom in die Plattenoberfl~che mit Verbrennung; T Temperatur; u Geschwindigkeit parallel zur Platte; v Geschwindigkeit normal zur Platte; w Massenverh~ltnis -- Verh~Itnis der partiellen zur totalen Dichte; x Koordinate parallel zur Platte; y Koordinate normal zur Platte;
6rtliche W~irmeiibergangszahl = q / ( T ~ - Tw) ;
~i 6rtliche W~irmeiibergangszahl, definiert als q / ( i , - iw); [3 Stoffiibergangszahl = k ( O w / b y ) ~ / ( w o o - w~);
dimensionsloser Wandabstand [Gleichung (9)1; z9 dimensionslose Temperatur [Gleichung (10)1 ; 2 W~irmeleitzahl; v kinematische Z~higkeit ; ~o Dichte;
Schubspannung; Stromfunktion ; dimensionsloses Massenverh~iltnis IGleichung (10)l ;
Nu Nusseltsche Kennzahl = ~ x / 2 ;
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Nu., Nusseltsche Zahl ftir Stoffaustausch = /5 x /h ;
R e Reynoldsche Zahl = uoo x /v ;
P r Prandtlsche Zahl = v/a;
Sc Schmidtsche Zahl = v/k .
Eigen-; t Brennfl~iche;
Enthalpie; ~o ausserhalb der Grenzschicht; w Wand; 1 diffundierendes Kiihlgas; 2 Gas ausserhalb der Grenzschicht;
inertes Gas / 4 reagierendes Gas , ausserhalb der Grenzschieht;
5 Verbrennungsprodukt ; 6 Ktihlgas .
Wiirme- und Stoffaustausch ohne Verbrennung
Der W~trme- und Stoffaustausch in der laminaren Grenzschicht an einer ebenen Plat te wurde bereits verschiedentlich untersucht. Der Berechnungsgang und die Ergebnisse werden in diesem Abschnitt kurz geschildert, da sie die Grundlage der Behandlung der Austauschvorg/inge mit Verbrennung bilden.
Das yon der Wand ausgestossene Gas werde durch den Index 1, das ausser- halb der Grenzschicht der Wand entlangstr6mende Gas durch den Index 2 charakterisiert. Innerhalb der Grenzschicht str6mt dann ein Gemisch aus den beiden Gasen mit 6rtlich ver~tnderlicher Zusammensetzung. Die Stoffwerte werden als konstant und ftir beide Gase als nahezu gleich vorausgesetzt. Die folgenden Gleichungen beschreiben die KontinuitXt, den Impuls-, Energie-, und Stoffaustausch innerhalb der Grenzschicht, wenn die in der vorstehenden Tabelle angeftihrten Formelzeichen verwendet werden.
Kontinuit/it : Ou Ov O~ + ~ ---- O; (1)
Impuls :
Energie :
Stoff:
Zus/itzlich gibt
Ou Ou 02u u ~ - + v ~ - = v 0y~ ; (2)
OT OT 02T . u ~ - x + v ~ - = a (3) c)y~ '
Owl V Ow~ 02wl U ~ + Oy = h Oy z . (4)
wl + w2 = 1. (5)
262 ERNST R. G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT ZAMP
Die Grenzbedingungen lauten ftir
y = O : u = O , v = % , w l = w l w , T = T ~ ; (6)
y = oo: u = uoo, w 1- - w l o o , T = Too. (7)
In den vorgenannten Anwendungen ist das MassenverMltnis w 1 des Ktihl- gases ausserhalb der Grenzschicht gleich Null und die Plattenoberfliiche gegen das Gas 2 undurchl/issig. Die letztere Bedingung verlangt, dass der diffuse Strom des Gases 2 auf die Wand zu den konvektiven Strom, der vonder Wand weggerichtet ist, gerade ausgleicht, Dies ergibt die folgende zus~itzliche Bedin- gungsgleichung (0w2~ =
q k t Oy ]~ q2,o v~. (8)
Die partiellen Differentialgleiehungen k6nnen in fiblicher Weise in totale umgewandelt werden, wenn die Temperatur und das Massenverh/iltnis w t 1/ings der Oberfi/iche konstant ist. Durch Einftihren der Stromfunktion
( 0,, ~V u - - o x , V = ,
der unabMngigen Ver~inderlichen
y u x Y I/Re - (9) ~ = ~ - = ~ :
.und der abh~tngigen Ver/inderlichen
r - T w / _ ~ # _ l / ~ ~ " ' t o o - rw '
erMlt man die folgenden Differentialgleichungen: Impuls :
1 d~ = d3~ + ~- / o -
Energie"
Stoff:
d20 1 Pr dO = 0 ; @~ + ~ / dn
d2~o + 1 d@ d---- i- ~- / Sc = O.
Die Grenzbedingungen lauten ffir
d / _ o , / = / ~ = - 2 v ~ l / E , ~1 = 0 : d~ uoo
d/ ~1 = oo: ~ - = 1, 0 = 1 , 9~=1.
= ~-~-~--% .'-- (1o) I~0 ff-"l oo - - W l w
0 = 0 , . ~ = 0 "
(11)
( 1 2 )
(13)
(14)
(15)
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Aus der Gleichung (8) wird [ ~ d~o
- 1 1 6 / Z V l * a - W l ~ 1 7 6 Vw ~ S c
Uoo
Man erkennt sofort, dass die obigen Gleichungen fiir d/id~ = u/uoo, 0 und 9 sowie die zugeh6rigen Grenzbedingungen ffir Gase mit Pr = Sc = 1 identisch sind. Dies bedeutet, dass auch die Geschwindigkeits-, Temperatur-, und 9-Pro- file iibereinstimmen. Figur 1 zeigt als gestrichelte Linien diese Profile nach den ausgedehnten Berechnungen yon E~tMONS und LEICI~ [5]. Es ist bemerkenswert, dass die Profile fiir Werte des Massenstromparameters I/RT~ vw/uoo gr6sser als 0,619 sich yon der Oberfi~iche abl6sen in dem Sinne, dass in Wandn~ihe u/uoo = 0 = ~0 = 0 die L6sung der Gleichung darstellt. Als volle Linien sind in
I
II
o,#
0,2 i
II
s J j
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, / , / "" / tp
2
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zz I v~, o ,6 -~ l /g /
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(o,g7g) " '"l
i I
~, 0 8 10 1Z
Figur 1
Dimensionslose Geschwindigkeits-(u[uoo), T e m p e r a t u r - ( 0 ) , und Massenverhtiltnisprofile (9) ffir l aminare S t rSmung en t lang einer ebenen Plat te .
- - Pr = 0,7, Sc = 0,7; -- -- -- Pr = 1, Sc = 1.
Figur 1 auch die Temperaturprofile fiir Gase mit Pr = 0,7, beziehungsweise die 9-Profile fiir Gase mit Sc = 0,7 eingetragen. Die zugeh6rigen Geschwindigkeits- profile werden dabei immer noch dutch die gestrichelten Linien dargestellt.
Die Massenverh~tltnisse wlw an der Oberfl~iche lassen sich mit Gleichung (16) als Funktion des Massenstromparameters l /R~%/uoo berechnen. Damit sind dann auch die Massenverh~iltnisprofile innerhalb der Grenzschicht festgelegt.
264
1,0
0,8 [ ~ " ""
0,6 i
I 0,2
ERNST R. G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT
'%%
" ~ 0,25
%\
%
W] c.~= 0
10 17.
%
'X~ 5
5
Figur 2
Massenverh/iltnisprofile w, fiir laminare Str~Smung enttang einer ebenen Platte. - - S c =0 ,7 ; - - - - - - S c = 1 .
ZAMP
Figur 2 zeigt diese Profile ftir 3 Werte des Ausblaseparameters. Hiebei ist zu- s~ttzlich wl~o-- 0 vorausgesetzt. Der entsprechende Wert yon wl ~; ist ausserdem an den Profilen in Figur 1 in Klammern angegeben.
Von besonderer Bedeutung ftir ingenieurm~issige Rechnungen sind der Rei- bungsbeiwert % die W~irmetibergangszahl 0~ und die Stoffaustauschzahl ft. Die Reibungszahl c I sowie die Nusseltsche Kennzahl Nu und die Stoffaustausch- kennzahl Nu~ sind durch die Gradienten der entsprechenden Profile in Figur 1 bestimmt und in Figur 3 als Funktion des Massenstromparameters V~vw/u_~ eingetragen. Aus diesen Werten 1/isst sich die 6rtliche Wandschubspannung, der W~trmestrom und der Massenstrom an der Plattenoberfl/iche berechnen. Man erkennt, dass mit zunehmendem Massenstromparameter der W/irmestrom in die Oberfl/iche stark verringert wird. Dies erkl/irt zum Teil die gute Ktihl- wirkung der Schwitzkiihlung.
Wiirme- und Stoffaustausch mit Verbrennung an der Oberfliiche
Nunmehr wird angenommen, dass das yon der Wand ausgestossene Gas mit dem Gas im Hauptstrom eine chernische Reaktion (Verbrennung) eingeht und dass diese Reaktion, wie vorher erw~ihnt, v611ig durch den Diffusionsvorgang bestimmt ist. Es sei ausserdem vorausgesetzt, class das Gas ausserhalb der Grenzschicht ein Gemisch aus zwei Komponenten ist, einern inerten Gas 3 und
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\ I 0,3 ~
\ e2
o,z 0,4 o,fi
Figur 3
Dimensionsloser, 6rtlicher Reibungswert ~ /~ cfl2, WS.rmetibergangszahl Null~Re und Stofftiber- gangszahl Nus/V-R-e fiir laminare StrSmung entlang einer ebenen Platte, aufgetragen tiber dem
Massenstromparameter l/Re vwiuoo. - - P r = 0 , 7 , S c = 0 , 7 ; P r = 1 , S c ~ 1 .
Der Reibungsbeiwert ist fiir beide Pr- und Sc-Werte durch die gestrichelte Linie gegeben.
einem reagierenden 4. Wenn ein Luftstrom an der Platte entlangstr6mt, dann entspricht der Stickstoff dem Gas 3 und der Sauerstoff dem Gas 4.
Wir wollen nun den Verbrennungsvorgang in der Weise betrachten, dass der Massenstrom w 1 w allm~ihlich, beginnend vom Werte Null, anwS~chst. Fiir kleine Werte yon ~ /~ Vw/Uoo erfolgt die Verbrennung unmittelbar an der Oberfl~iche. In Figur 4a sind als Beispiel die Verh~tltnisse fiir die Verbrennung yon Kohlen- stoff und Wasserstoff in Luft dargestellt. Es soil iedoch darauf hingewiesen werden, dass ftir manche dieser Reaktionen die Voraussetzung konstanter Stoff- werte nur schlecht zutrifft. In der Grenzschicht findet man ein Gemisch aus Gas 3 und 4 und aus dem Reaktionsprodukt 5 (CO2, CO oder H20 ). Die Massen- verh~iltnisse innerhalb der Grenzschicht sind in Figur 4b schematisch darge- stellt.
Die den Impuls und Energieaustausch beschreibenden Differentialgleichun- gen bleiben die gleichen wie im vorhergehenden Abschnitt [Gleichungen (1) bis (3)1. Der Stoffaustausch wird dagegen nunmehr durch 2 Differentialgleichungen
Ow3 Ow3 02w3 u + v = k- (17) ox ~ - Oy 2 '
Ow 4 0% O~w~ (18) u ~ ; - + v ~ - = k Oy ~
266 ERNST R. G. ECKERT und JAMES P. HARXNETT
3(Nz),#(O~)
~ ~ , t ,"5(c~ c~ ~ T t ' (C,H)
a)
Z A M P
I 3(Nz)
4 02)
5(C0 z,, ;O,H20)
b)
Figur 4
Skizze einer Grenzschicht mit Oberfl~cheaverbreanung (a) und MassenverhSltnisprofile in der Grenzschicht (b).
und die Bedingungsgleichung
w 3 + w 4 + w 5 = 1 (19)
beschrieben. Zu diesen Gleichungen geh6ren die Randbedingungen fiir
y = 0 : w~=w3w, w4=w~w; (20)
y = o o : w~=w~o ~, w4=Wao~. (21)
Nach einer Transformation in totale Differentialgleichungen werden die Gleichungen (17) und (18) und ihre Randbedingungen mit der Gleichung (13) und ihren Randbedingungen vSllig identisch. Demgem~tss stellen die 9~-Linien in Figur 1 auch die 93- und 9~a-Profile dar. Sie werden daher im folgenden mit
ohne Index bezeichnet. Zur Bestimmung der Massenverh~tltnisprofile selbst ist die Aufstellung zweier weiterer Gleichungen nStig. Die Bedingung, dass das
VoL IXb, 1958 Einfluss elnes Verbrennungsvorganges auf den Warme- und Stoffaustausch 267
inerte Gas 3 nicht durch die Oberfl~iche in die Platte eindringt, ergibt
[ Ow3 ~ (22)
In den (9, ~)-Koordinaten schreibt sich die Gleichung
Ausserdem muss der diffuse Massenstrom des reagierenden Gases 4 auf die Oberfl~che zu gleich sein der Summe aus dem konvektiven Massenstrom des Gases 4 yon der Oberfl~iche weg und dem diffusen und konvektiven Massen- strom des im Verbrennungsprodukte enthaltenen Gases 4. Diese Bedingung ergibt
Q k \ Oy l~, = Q*'~ % - K o k + K oa,o % , (24) \ Oy/w
wobei K das Molverh~iltnis yon Gas 4 zum Verbrennungsprodukt bedeutet. Fiir die in Figur 4a angegebenen Reaktionen ist beispielsweise K = 32/44 fiir die CO z Reaktion, K = 32/56 ffir die CO Reaktion, K = 32/36 ffir die HzO Reaktion. GIeichung (24) ergibt, wenn ausgedrfickt in den (% ~7)-Koordinaten und auf- gel6st nach w4, 0
3
7'tOa
Eine numerische Berechnung der Massenverh/iltnisse w 3 w und w a s wurde ftir das Beispiel derVerbrennung von Kohlenstoff in Luft (w3oo = 0,77, wa, o = 0,23) durchgeftihrt. Dabei wurde die Schmidtsche Kennzahl zu 0,7 angenommen. Das Ergebnis ist in Figur 5a als Funktion des Massenstromparameters 1 / ~ %/%0 dargestellt. Man erkennt, dass das Massenverh~iltnis des reagierenden Gases 4 (Sauerstoff) an der Wand mit wachsendem Massenstrom abf~tllt und bei 1 / ~ v~luoo = 0,034 den Weft Null erreicht. Ffir Massenstr6me, die gr6sser sind als dieser Grenzwert, hebt sigh die Brennfl~che (Flamme) yon der Platten- oberfl~iche ab, wie im n~tchsten Abschnitt gezeigt werden wird. Andererseits werden, wenn die Verbrennungsreaktion gentigend schnell abl/iuft, aller Sauer- stoff an einer Kohlenstoffoberfl~tche zur Reaktion kommen und die Geschwin- digkeit des Verbrennungsablaufes durch den Grenzwert 0,034 wiedergegeben. Derselbe Grenzwert folgt auch fiir die Verbrennung yon Kohlenstoff zu Kohlen- oxyd und fiir die Verbrennung von Wasserstoff zu Wasserdampf. Die Ergebnisse sind in der Tabelle eingetragen.
268 ERNST R. G. ECKERT u n d JAMES P. HARTNETT
O,B ~ a)
0,6
0 , 4 - -
1,3
1,2
1,1 - -
I
0,01
0 0,01 0,02 b}
I I J I
.,~ (Nc)
r
0,02 0,03
~ f
0,03
Figur 5
ZAMP
Massenverhfltnisprofile (a) und Verhfltnis der WS.rmeflfisse in die PlattenoberflSche ohne und mlt Verbrennung (b) aufgetragen fiber dem Massenstromparameter.
Reaktion
C + 02 -~ CO 2 C + 02 -~ CO 2
2 C + O 2 - + 2 C O 2 C + O 2 - + 2 C O
2H= + 0 2 - + 2 H 2 0 2H 2 + 0 2-+2H~O
Maximum
140 O
0,7 0,034 1,0 0,027 0,7 0,062 1,0 0,051 0,7 0,012 1,0 0,0095
t q q
1,40 1,40 1,25 1,25 1,50 1,50
Vol. IXb, 1958 Einfluss eines Verbrennungsvorganges auf dea Wtirme- und Stoffaustausch 269
Nunmehr kann die Frage beantwortet werden, wie welt der W~irmeiiber- gang yon einer heissen Grenzschicht zur Oberfl~iche der Platte durch die Ober- fl~ichenverbrennung beeinflusst wird. Da es sich bei den in der Einleitung ge- nannten Anwendungen um sehr grosse Temperaturunterschiede handelt, soll dabei yon der folgenden VeraUgemeinerung Gebrauch gemacht werden. In einer frtiheren Arbeit E7] wurde bewiesen, dass W~trmeiibergangszahlen, die aus Rechnungen oder Messungen mit konstanten Stoffwerten gewonnen sind, sich mit einer Genauigkeit innerhalb etwa 4% auf Verh~iltnisse anwenden lassen, bei denen die Stoffwerte infolge grosser Temperaturuntersehiede stark schwan- ken, wenn sie auf die Enthalpiedifferenz bezogen werden, ftir wetche die Defini- tionsgleichung
q = ( is - ( 2 6 )
gilt. Es ergab sich, dass diese Gleichung sogar den Einfluss einer Dissoziation in der heissen Grenzschicht mit guter N~iherung wiedergibt [8]. Die Energie- umwandlung durch innere Reibung, die bei hohen Geschwindigkeiten den W~rmefibergang stark beeinflusst, ist durch Einffihrung der Eigenenthalpie i s (entsprechend der Eigentemperatur) berficksichtigt. Wenn Oberfl~ichenver- brennung auftrit t und trotzdem die Wandtemperatur nicht ge~indert werden soll, muss die Verbrennungsw~irme ins Innere der Platte abgeffihrt werden, und der W~irmefluss dutch die Plattenoberfl~iche ist
q' = ~, (is - iw) + / n H, (27)
wobei rh die Menge des je Zeiteinheit verbrannten Brennstoffes und H seinen Heizwert angibt. Das Verh~iltnis der WXrmefliisse mit und ohne Verbrennung l~isst sich aus den Gleichungen (26) und (27) mit Berticksichtigung der frtiheren Beziehungen in diesem Abschnitt berechnen zu
v w 1/~i Pr q ' *too H
- 1 + ( 2 8 ) q Nu i s -- i ,o
Ftir eine zahlenm~ssige Berechnung m6ge ein FlugkSrper untersucht werden, der mit einer Geschwindigkeit yon 4300 m/s (entsprechend einer Mach-Zahl 14 in grosser Flugh6he) fliegt. Die Wandtemperatur son durch Ktihlen auf 1100~ gehalten werden. Ffir die Enthalpiedifferenzi~ - i~ folgt damit etwa 1650 kcal/kg. Wenn man im weiteren die folgenden Verbrennungsw~irmen einffihrt: COz- - - 7800 kcal/kg, CO - - - 2 500 kcal/kg, H20 - - - 29 000 kcal/kg, den Massenstromparameter l / ~ v~/uoo aus der TabeUe entnimmt und N u / ] / ~ aus Figur 3 abliest, erhS.lt man schliesslich die in der letzten Kolonne der Tabelle eingetragenen Werte. In Figur 5b ist das W~irmeflussverh~iltnis q'/q fiber dem Massenstromparameter eingetragen.
270 ERNST R. G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT ZAMP
Es mSge nochmals darauf hingewiesen werden, dass wegen der Vereinfa- chungen des der Rechnung zugrunde gelegten Modells die Ergebnisse in der Tabelle nut als grSssenordnungsmfissig richtig angesehen werden sollten. Mit dieser Einschr~tnkung erkennt man, dass die betrachteten Oberfl~chenverbren- nungen den W~rmefibergang an den betrachteteu Flugk6rper tiberraschend wenig beeinflussen (nut 25 bis 50%).
W~irme- und Stoffaustausch mit Verbrennung in der Grenzschicht'
Die in der Kolonne 3 der Tabelle angef~ihrten Werte des Massenstrompara- meters beschreiben die Intensit~t der Verbrennung im untersuchten Modell, wenn der Massenstrom des Verbrennungsmittels (C oder H), der die Platten- oberfl~iche verl~sst, durch die Angabe bestimmt wird, wie viel yon dem rea- gierenden Gas 4 (Sauerstoff) je Zeiteinheit an die Plattenoberflfiche gelangt. Die Verbrennung einer Graphitoberfl~che in einem heissen Luftstrom stellt ein Beispiel eines solchen Vorganges dar. Es gibt auch F~lle, in denen der Massen- strom des Verbrennungsmittels durch einen anderen Vorgang gesteuert wird. Wenn man <~ Schwitzk~ihlung)) durch Ausblasen yon Wasserstoff durch eine por6se Wand verwirklicht, kann man im allgemeinen den Mengenstrom des Ktihlgases willkiirlich regeln. Wenn der Mengenstromparameter kleiner ist als der Grenzwert, dann tritt aueh in diesem Falle Oberfl~tehenverbrennung ein. Das Massenverh~ltnis des Sauerstoffes an der Oberfl~iche hat dann einen end- lichen Wert, wie in den Figuren 4 und 5 gezeigt wird. Ist der Massenstrom- parameter gr6sser als der Grenzwert, dann hebt sich die Reaktionszone yon der Plattenoberfl~che ab und erscheint als eine Brennfl~che innerhalb der Grenz- schicht, wie dies in Figur 6a dargestellt ist. Dieser Zustand kann auch bei der Verbrennung einer Graphitoberfl~che eintreten, wenn die Oberfl~chentempe- ratur gentigend hoch ist, so dass der Graphit verdampft. Die Grenzschicht besteht in diesem Fall aus zwei Zonen. In einer inneren Zone I zwischen der Plattenoberfl~che und der Brennfl~che befindet sich das K~hlgas 6 (Coder H2), das Inertgas 3 (N2) und das Verbrennungsprodukt 5 (CO 2, CO oder H20); w~thrend das Gasgemisch, bestehend aus dem Inertgas 3, dem reagierenden Gas 4 (Sauerstoff) und dem Verbrennungsprodukt 5 in der/iusseren Zone II ausserhalb der Brennfl~che enthalten ist. In Figur 6a sind diese Verh~ltnisse am Beispiel der KohlensAureverbrennung dargestellt, und in Figur 6b sind die Massenverh~ltnisse tier einzelnen Gase innerhalb der Grenzschicht skizziert.
Die den Massentransport beschreibenden Differentialgleichungen sind ft~r iede der beiden Zonen wieder die gleichen wie in den vorhergehenden Abschnit- ten. Daher kSnnen geeignete Abschnitte der Profile in Figur 1 verwendet werden, um die Massenverh~ltnisse in den Zonen I und II zu beschreiben, wenn die 9-Parameter in geeigneter Weise aus den folgenden Randbedingungen definiert werden.
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3(N 2} , 4 ( ~ .g
~ c ) t f f z
6(c) ~)
"I N'/
b)
Figur 6
Skizze einer Grenzschicht mit abgehobener Brennfl/iche (a) und Massenverh~iltnisprotile in der Grenzschicht (b).
Zone I ftir
r] = 0: w 3 = u'3~, w'~ = w s ~ , w 6 = w6w = 1 - - z v 3 ~ - ws~ ; (29)
= ~s: w a = w a l , w 6 = 0 , w s = ~ , 5 ~ = l - - w ' 3 s . (30)
Zone I I ftir
r l = r l f : w 3 = w a l , w 4 = O , w 5 = w ~ 1 = 1 - - w 3 i ; (31)
r / = o o : w 3 = w 3 o 0 ( = 0 , 7 7 ) , w 4 = w 4 o o ( = 0 , 2 3 ) , w 5 = 0 . (32)
Um die Massenverh/i l tnisse an den Zonengrenzen und dami t die Massenver- h~iltnisprofile zu berechnen, ben6t ig t man eine Reihe von Bedingungsgleichun- gen. Eine Durchs ich t de r Randbed ingungen zeigt, dass 4 U n b e k a n n t e vorhan- den sind, n/ imlich w 3 w , w ~ , w a 1 und ~1~. Auf der anderen Seite lassen sich je 2 Bedingungen an den be iden Grenzen ~1 = 0 und ~ = ~7~ durch Gleichungen
2 7 2 ERNST R. G. ECKERT und JAMES P. HARTNETT ZAMP
v o n d e r gleichen Art wie in den vorhergehenden Abschnitten ausdrficken. Die Snmme der Massenstr6me durch Diffusion und Konvektion fiir jedes der beiden Gase 3 (N2) und 5 (CO2) durch die Plattenoberfl/iche muss Null sein. Die Kon- tinuit~tt der Massenstr6me ffir Gas 3 (N2) und fiir den Brennstoff 6 durch die Brennfl~iche m~lss gewahrt werden. Damit ist das Problem im Prinzip gel6st. Die Ergebnisse numerischer Rechnungen sollen in einer sp/iteren Arbeit mit- geteilt werden.
Die den Temperaturverlauf in den beiden Zonen beschreibenden Differen- tialgleichungen haben ebenfalls dieselbe Form wie Gleichung (3), so dass ihre L6sung wieder durch Abschnitte der in Figur 1 gezeigten Kurven beschrieben wird, wenn man den Temperaturparameter 0 in geeigneter Weise aus den Wer- ten an den R/indern der Zonen definiert:
ffir ~ = 0: T = Tw; (33)
ffir ~7 = ~Ts : T = T I ; (34)
ftir r / = oo: T = Too. (35)
Die Temperaturen Tw und Too sind im allgemeinen vorgegeben; die Tem- peratur T I der Brennzone best immt man aus der Kontinuit/it des W~irme- flusses dureh die Brennfl/iche, wobei zu beachten ist, dass die Reaktionsw/irme eine W/irmequelle in der Brennfl/iche darstellt. Dies ergibt die Gleichung
OT a OT [a (Oy-)~t]II = [ (~3-Y-),lt]t-- '~ H . (36)
Die beiden Temperaturgradienten sind an der Brennfl~tche in Zone I bzw. I I einzusetzen. Aus dem so berechneten Temperaturprofil innerhalb der Grenz- schicht 1/isst sich der Gradient an der Plattenoberfl~tche entnehmen und damit der W/irmestrom nach der Wand bestimmen. Dieser Wert kann wieder mit dem W/irmestrom ohne Verbrennung verglichen werden.
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Summary
T h e in f luence of c o m b u s t i o n on h e a t a n d mass t r a n s f e r is i n v e s t i g a t e d on the fol lowing model . A m i x t u r e of a n i n e r t w i t h a c o m b u s t i b l e gas (air) flows in s t e ady , l a m i n a r flow ove r a f l a t p la te . A mass f lux of gaseous fuel a w a y f r o m t h e p l a t e su r face is p r o d u c e d b y some m e a n s . C o m b u s t i o n is a s s u m e d to occur w i t h v e r y f a s t r e a c t i o n r a t e so t h a t t h e process is p u r e l y c o n t r o l l e d b y d i f fus ion a n d t h e e q u i l i b r i u m is a s s u m e d as v e r y close to c o m p l e t e c o m b u s t i o n . I t is s t u d i e d u n d e r w h i c h c o n d i t i o n s t h e c o m b u s t i o n Occurs a t t h e su r face or w h e n t he f l ame is d i sp l aced in to t h e b o u n d a r y layer . T h e in f luence of c o m b u s t i o n on t h e h e a t t r a n s f e r f r o m a h o t gas to t h e p l a t e su r face is ca lcu la ted , for t he c o n d i t i o n t h a t c o m b u s t i o n occurs a t t h e sur face .
(Eingegangen: ~ September 1957.)
ZAMP IXb/18