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Eine empirische Bewertung des Petersburger Spiels

Diplomarbeit

zur Erlangung des Grades eines Diplom-Ökonomen der Wirtschaftswissen-

schaftlichen Fakultät der Leibniz Universität Hannover

vorgelegt von

Hikmet Arslanoğlu

Geboren am 25. Februar 1979 in Sakarya/Türkei

Erstprüfer: Prof. Dr. Tibor Neugebauer

Hannover, den 26.03.2008

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand in der Zeit von Oktober 2007 bis März 2008.

Mein besonderer Dank gilt meinem akademischen Lehrer Herrn Professor Dr.

Tibor Neugebauer. Bei ihm möchte ich mich für die Übernahme des Prüfungs-

vorsitzes, für die informativ-kritischen Gespräche und seine Unterstützung be-

danken.

Weiterhin bedanke ich mich bei Herrn Dipl. Ök. Thomas Cornelißen für eine

kritische Durchsicht der Arbeit und für die vielen nützlichen Hinweisen.

Vor allem jedoch danke ich meinen Eltern, die mir in allen Phasen meiner Aus-

bildung stets den notwenigen Rückhalt gegeben und mir in vielerlei Hinsicht mit

liebevoller Unterstützung und Förderung zur Seite gestanden haben.

Trotz dieser vielfältigen Unterstützung lassen sich Fehler und Unverständlich-

keiten nicht vollständig vermeiden. Daher freue ich mich über jede Anmerkung

– natürlich auch sehr gern positiver Natur – und wünsche allen Lesern viel

Spaß mit dieser Diplomarbeit.

Inhaltsverzeichnis Seite I

Inhaltsverzeichnis

INHALTSVERZEICHNIS ............................................................................................................... I

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS .................................................................................................... II

ABBILDUNGSVERZEICHNIS ..................................................................................................... III

TABELLENVERZEICHNIS .......................................................................................................... IV

1 EINLEITUNG......................................................................................................................... 1

1.1 ZIELSETZUNG .................................................................................................................. 1

1.2 AUFBAU DER ARBEIT ........................................................................................................ 2

2 DAS ST. PETERSBURGER SPIEL ..................................................................................... 2

2.1 VERLAUF DES SPIELS ...................................................................................................... 2

2.2 DER HISTORISCHE HINTERGRUND DES SPIELS .................................................................. 3

3 DAS PARADOXON .............................................................................................................. 4

4 DIE LÖSUNGSANSÄTZE .................................................................................................... 6

5 DAS EXPERIMENT .............................................................................................................. 9

5.1 METHODISCHE VORGEHENSWEISE ................................................................................... 9

5.1.1 Aufbau der Untersuchung ..................................................................................... 9

5.1.2 Die Analyse und die Bestimmung der analytischen Methoden ........................... 13

5.1.2.1 Normalverteilung .......................................................................................................... 13

5.1.2.2 Mann-Whitney U-Test .................................................................................................. 15

5.2 ZUSAMMENSETZUNG DER STICHPROBE ........................................................................... 16

5.3 ERGEBNISSE DES EXPERIMENTS .................................................................................... 18

5.3.1 Ergebnisse in Zahlen .......................................................................................... 18

5.3.2 Ergebnisse nach Lösungsansätzen .................................................................... 22

5.3.3 Analyse nach Einkommen ................................................................................... 25

5.3.4 Analyse nach Geschlecht .................................................................................... 27

5.3.5 Analyse nach Beruf ............................................................................................. 29

5.3.6 Die Begründungen .............................................................................................. 32

5.3.7 Regressionsanalyse ............................................................................................ 33

6 FAZIT .................................................................................................................................. 37

7 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................ 39

8 ANHANG ............................................................................................................................. 41

Abkürzungsverzeichnis Seite II

Abkürzungsverzeichnis

d.h. das heißt

ED Experimentdaten

et. al. et alii (und andere)

EW Erwartungswert

ff. Fortfolgende

GE Geldeinheiten

MA Maximale Auszahlung

MW Mittelwert

n Anzahl

S. Seite

Std. Abw. Standard Abweichung

TN Teilnehmer

Wsk. Wahrscheinlichkeit

z.T. zum Teil

Abbildungsverzeichnis Seite III

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Der Verlauf des St. Petersburger Spiels 3

Abbildung 3: Berufe der Teilnehmer 16

Abbildung 4: Das Verhältnis des Geschlechtes der Teilnehmer 17

Abbildung 5: Die Einkommensverteilung der Teilnehmer 17

Abbildung 6: Die prozentuale Häufigkeitsverteilung der gesamten Zahlungsbe-

reitschaften der Teilnehmer

21

Tabellenverzeichnis Seite IV

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Test auf Normalverteilung für gesamte Experimentdaten 14

Tabelle 2: EW und Wahrscheinlichkeitsverteilung der Spiele nach MA 17

Tabelle 3: Die zentralen Messgrößen nach MA 18

Tabelle 4: Zentrale Ergebnisse des von Neugebauer durchgeführten Expe-

riments

18

Tabelle 5: Verteilung der Einsätze, bei denen der Einsatz größer als der

EW

20

Tabelle 6: EW, MW und ihr Verhältnis nach MA 21

Tabelle 7: Die Analyseergebnisse des MWU-Tests 22

Tabelle 8: Die Anzahl der Teilnehmer nach Einkommensklassen pro Spiel 26

Tabelle 9: Korrelationsanalyse vom Einsatz zu Einkommen 27

Tabelle 10: Die Messgrößen nach Geschlecht 28

Tabelle 11: Die prozentuale Änderungen in Vergleich 28

Tabelle 12: Die Ergebnisse der Korrelationsanalyse 29

Tabelle 13: Berufsverteilungstabelle 29

Tabelle 14: Die Korrelationsergebnisse nach Beruf 30

Tabelle 15: Korrelation der Einsätze und Studienfächer 31



Tabelle 18: Die Modellzusammenfassung der Regression 35

Tabelle 19: ANOVA-Tabelle des Modells 36

Tabelle 20: Koeffiziententabelle des multiplen Regressionsmodells 36

Einleitung Seite 1

1 Einleitung

1.1 Zielsetzung

Die Situationen, die den Menschen zu einer Entscheidung veranlassen, sind

eng mit unserem Leben verbunden. Es vergeht kein Tag, sogar keine Stunde in

der nicht vielseitige, einfache oder schwierige Entscheidungen zu treffen sind.

Die Menschen befinden sich oft vor Entscheidungssituationen, die als „Dilem-

ma“ oder „Impasse“ erscheinen. Es ist keine „Ausnahme“ in solchen Situationen

Hilfe von anderen Personen in Anspruch zu nehmen. Entscheidungen zu tref-

fen, ist einer der notwendigsten Kompetenzen eines jeden Menschen. Je mehr

ein Mensch richtige Entscheidungen trifft, desto erfolgreicher und im engeren

Sinn „glücklicher“ kann sein Leben sein. Die „richtige“ Entscheidung führt zum

innerlichen Selbstvertrauen. Daher ist die Formulierung und Lösung von Ent-

scheidungsproblemen für unterschiedliche wissenschaftliche Disziplinen zu ei-

nem zentralen Thema geworden. Darüber hinaus hat sich die Entscheidungs-

theorie als interdisziplinärer Untersuchungsschwerpunkt gebildet.

Das St. Petersburger Paradoxon ist ein zentrales Thema der Entscheidungs-

theorie, die seit Jahrhunderten diskutiert und zur Lösung unterschiedlicher An-

sätze verwendet wurde. Das St. Petersburger Paradoxon stellt eine große Ab-

weichung der Realität von der Lehre der Entscheidungstheorie dar.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Petersburger Spiel empirisch untersucht.

Nach einigen Wissenschaftlern u.a. Bernoulli und Gorovitz werden im Peters-

burgerspiel kleine Gewinnwahrscheinlichkeiten vernachlässigt. Im Rahmen die-

ser Untersuchung wurde die Größe der Vernachlässigung empirisch bestimmt.

Weiterhin wurde betrachtet welchen Einfluss statische Größen wie Einkommen,

maximaler Gewinn, Beruf usw. auf die Zahlungsbereitschaft der Teilnehmer hat.

Die Vernachlässigung von sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten spielt bei der vor-

liegenden Forschungsarbeit eine besondere Rolle und wird deshalb den

Schwerpunkt dieser Ausarbeitung bilden.

Das St. Petersburger Spiel Seite 2

1.2 Aufbau der Arbeit

Die Arbeit gliedert sich in sechs Teilbereiche. Nach einer Einleitung wird im

zweiten Kapitel das fundamentale Spiel, das im Rahmen dieser Arbeit sehr be-

deutend ist, erläutert. Anschließend wird im Kapitel 3 das St. Petersburger Pa-

radoxon erklärt. Das vierte Kapitel gibt eine historische Übersicht des St. Pe-

tersburger Paradoxon. Weiterhin werden die Lösungen unterschiedlicher Wis-

senschaftler erläutert.

Das fünfte Kapitel stellt das durchgeführte Experiment vor. In 5.1 werden die

methodischen Grundlagen der Untersuchung aufgezeigt. In 5.2 wird zunächst

eine Übersicht über die grundlegenden Ergebnisse des Experiments dargestellt.

Im folgenden Abschnitt 5.3 werden die Daten des Experimentes analysiert,

kommentiert und aufgezeigt. Ein Fazit im sechsten Kapitel schließt die Untersu-

chung ab.

2 Das St. Petersburger Spiel

2.1 Verlauf des Spiels

Im Folgenden wird das St. Petersburger Spiel von Daniel Bernoulli beschrieben:

Es handelt sich hierbei um eine mehrstufige Lotterie. Eine faire Münze wird bei

diesem Spiel solange geworfen bis erstmals die Zahl oben liegt. Wenn beim

ersten Wurf gleich Zahl fällt, erhält der Spieler der Lotterie 2 Dukaten. Fällt

Kopf, wird weitergespielt. Ist das Ergebnis des zweiten Wurfes Zahl, erhält der

Spieler 2² = 4 Dukaten. Fällt Zahl erst beim n-ten Wurf, werden 2n Dukaten

ausgezahlt.

Die Abbildung 1 gibt einen grafischen Überblick über den Verlauf des ST. Pe-

tersburger Spiels. Die minimale Auszahlung des ST. Petersburger Spiels be-

trägt wie in der Abbildung 1 dargestellt 2 GE.

Das St. Petersburger Spiel Seite 3

Abbildung 1: Der Verlauf des St. Petersburger Spiels

(Quelle: Eigene Darstellung)

2.2 Der historische Hintergrund des Spiels

Das St. Petersburger Spiel hat historisch seinen Ursprung in den Wahrschein-

lichkeitstheorien.

"Un problème relatif aux jeux de hasard, proposé a un austère janséniste par un

homme du monde, a été l’origine du calcul des probabilités."1

Auf diese Anmerkung von Poisson, die ein Problem, welches Chevalier De Me-

re Blaise Pascal 1654 zutrug, und die anschließende Korrespondenz zwischen

Pascal und Pierre de Fermat in Bezug auf Glückspielprobleme behandelt, wird

oft von denjenigen verwiesen, die den Ursprung der Wahrscheinlichkeitstheorie

prinzipiell in Glücksspielen sehen.2 Der niederländischer Wissenschaftler Chris-

tiaan Huygens studierte bei einer Reise nach Paris im Jahre 1655 die Briefe

von Pascal und Pierre De Fermat. Nach seiner Rückkehr verfasste er eine wis-

senschaftliche Arbeit über die Wahrscheinlichkeitstheorie und ließ diese wis-

senschaftliche Arbeit auf lateinisch übersetzen. Anschließend begann Christi-

1 Poisson, S. D.; Seite 1. Deutsche Übersetzung:” Ein Problem mit den Glücksspielen, das einem

strengen Jansenisten von einem Mann der Welt vorgeschlagen wurde, war die Ursprung der Be-

rechnung der Wahrscheinlichkeiten“

2 Vgl. Dutka, J.; Seite 14 ff.

Zahl

Kopf

Kopf

Kopf

Zahl

Zahl

2 GE

4 GE

8 GE

∞

Kopf

Zahl 2n

GE

Das Paradoxon Seite 4

aan Huygens mit Niklaus Bernoulli sich durch Briefverkehr über die Probleme

von Wahrscheinlichkeitstheorien auseinanderzusetzen. Niklaus Bernoulli setzte

sich auch mit De Montmort per Korrespondenz über die Probleme von Wahr-

scheinlichkeitstheorien auseinander. Ein Meilenstein zur Entwicklung der Wahr-

scheinlichkeitstheorie wurde durch die Veröffentlichung der Arbeit von Jakob

Bernoulli im Jahr 1713 gelegt. Jakob Bernoulli beschreibt im Jahr 1713 im vier-

ten Kapitel seines Buches das von ihm benannte „Goldene Theorem“, dass in

der modernen Zeit als „Bernoulli’s Prinzip“ bekannt wurde. Weitgehend wird in

der Literatur Daniel Bernoulli (1938) als Erfinder des St. Petersburger Spiels

genannt. Er selbst gibt jedoch als Quelle seinen Verwandten Nicolas Bernoulli

an, der das St. Petersburger Spiels durch Pierre Rémond de Montemort in dem

Werk "L'analyse sur Les Jeux De Hazard" (1713) veröffentlicht hat.3

3 Das Paradoxon

Beim St. Petersburger Spiel endet das Spiel immer mit einem Gewinn. Bei ei-

nem fairen Spiel soll es einen Ausgleich zwischen Gewinn und Verlust geben,

deshalb wird eine Teilnahmegebühr benötigt. Das Paradoxon entsteht bei dem

Versuch einen fairen Einsatz für das Spiel zu bestimmen.

Der Erwartungswert (the expected value) einer Lotterie ist die Summe der mög-

lichen Zustände mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Wert.4 Ein

Beispiel zum Erwartungswert wurde in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2: Alternativ Lotterien und Erwartungswerte


3 Vgl. Bernoulli, D.; Seite 31

4 Vgl. Laux, H., Seite 134

Das Paradoxon Seite 5

Im Beispiel hat die Lotterie 1 einen Erwartungswert von

. Der Erwartungswert der Lotterie 2 ist

. Nach dem Erwartungswertprinzip soll die

Lotterie 2 bevorzugt werden, da sein Erwartungswert größer als seine Alternati-

ve ist.

Nach der Entscheidungstheorie sollte für Entscheidungen unter Risiko der Ein-

satz dem Erwartungswert entsprechen. Das Spiel hat einen unendlichen Erwar-

tungswert, der durch die unten dargestellte Formel ausgedrückt wird.

Der zu erwartende Gewinn ist unendlich hoch. Demnach lohnt sich das Spiel für

den Spieler auch, wenn er sehr hohe Einsätze zahlen muss. Alle endlichen Bei-

träge führen nach dieser Rechnung dazu, dass das Spiel unfair gegenüber dem

Spielgeber ist und der Spieler einen Vorteil hat.

Wenn man den Teilnehmer vor die Entscheidung stellt, entweder eine sichere

Auszahlung von einer Million zu erhalten oder am Spiel teilzunehmen, sollte ein

rationaler Mensch nach dem Erwartungswertprinzip die Teilnahme auswählen.

Allerdings würde dies in der Realität kein geistig gesunder Mensch [inklusive

der spielsüchtigste Hasardeur] machen.5 Nach Bernoulli haben die Teilnehmer

am Petersburger Spiel ohne die sichere Alternative nur eine maximale Zah-

lungsbereitschaft von 20 Dukaten.6 Dies lässt vermuten, dass eine sichere Al-

ternative von mehr als 20 Dukaten präferiert wird.

Diese Problematik wurde als eindeutiges Paradox betrachtet und wird in der

Literatur als St. Petersburger Paradoxon bzw. Bernoulli Paradoxon benannt.

Viele Forscher haben versucht eine Erklärung dafür zu finden.7

5 Vgl. Eisenführ, F.;Weber, M., Seite 209

6 Vgl. Bernoulli, D.; Seite 31 und Chernoff, H.; Moses, L. Seite 104

7 Vgl. Menger, K.; Seite 3.

Die Lösungsansätze Seite 6

4 Die Lösungsansätze

Seit das St. Petersburger Spiel erfunden worden ist, und als Diskrepanz be-

trachtet wurde, versuchen Wissenschaftler aus unterschiedlichen Fachberei-

chen wie Mathematik, Psychologie und Wirtschaft, eine vernünftige Lösung des

Paradoxon zu finden. Einerseits bemühen sich einige Wissenschaftler den op-

timalen Einsatz für das Spiel zu bestimmen und dadurch das Paradox zu lösen,

andererseits versuchten manche Wissenschaftler den Grund zu erklären, wa-

rum ein unendlicher Einsatz für das St. Petersburger Spiel unlogisch wäre. So-

gar einige Wissenschaftler, wie z. B. der amerikanischer Wirtschaftler Robert

W. Vivian8, sehen kein Paradox bei dem St. Petersburger Spiel. Es gibt auch

Wissenschaftler wie der amerikanische Wirtschaftswissenschaftler William P.

Bottom, die eine Auffassung vertreten, dass es keine universelle Lösung des St.

Petersburger Paradoxons geben kann.9

Die Lösungen des St. Petersburger Paradoxons, die von unterschiedlichen

Wissenschaftlern erarbeitet wurden, können in fünf Ansätze gruppiert werden.

In der vorliegenden Arbeit sind nur drei Ansätze von Bedeutung10, die im fol-

genden näher erläutert werden.11

Begrenzter Eigentum der Spieler

Begrenzter Nutzen des Gewinns

Vernachlässigung der kleinen Wahrscheinlichkeiten

Begrenzter Eigentum der Spieler: Der Spieler setzt keinen unendlichen Be-

trag ein, da er selbst diesen Betrag nicht besitzt.

Als Kritik kann benannt werden, dass wenn der Erwartungsnutzen des Spiels

einen begrenzten aber sehr hohen Wert haben würde trotzdem keine vernünfti-

ge Person einen Anreiz hätte einen Betrag in der Höhe des Erwartungswertes

einzusetzen. Beispielsweise angenommen das Spiel hat einen Erwartungswert

8 Vgl. Vivian, R.W.; Seite 331 ff.

9 Bottom, W.-P.; Seite 141

10 Die weiteren zwei Ansätze sind die begrenzte Wahrscheinlichkeitswahrnehmung und die Erwar-

tungsheuristik vgl. Neugebauer, T.; 2007.

11 Vgl. Neugebauer, T.; 2007


von 100 Milliarden Euro. Diese Summe besitzen bestimmt einige wenige Men-

schen auf der Welt. Aber es wäre unvernünftig zu erwarten, dass eine der Per-

sonen diesen Betrag zahlen würde, um am St. Petersburger Spiel teilzuneh-

men.

Begrenzter Nutzen des Gewinns: Der begrenzte Nutzen des Gewinns wird

mathematisch so formuliert:

Spieler entscheiden nicht nach dem statistischen Erwartungswert, sondern

nach dem erwarteten Nutzen . Bei der Erklärung dieses Experimentes postuliert

Bernoulli, dass der subjektive Wert von Geld nicht für jeden Menschen gleich

ist. Der Spieler bewertet die Gewinne des Spiels nur als einen Vermögenszu-

wachs. Die Bewertung von Vermögenszuwächsen hängt aber vom Vermögen

des Bewertenden ab.

Die Entscheidung eines Spielers richtet sich nicht nach dem statistischen Er-

wartungswert, sondern nach dem erwarteten Nutzen. Nach Bernoulli ist der

subjektive Wert von Geld für jeden Menschen nicht gleich. Der Spieler bewertet

die Gewinne des Spiels nur als einen Vermögenszuwachs. Die Bewertung des

Vermögenszuwachses findet in Abhängigkeit vom Vermögen des Spielers statt.

Ein Spieler der viel Vermögen besitzt, wird dieselbe Summe geringer bewerten

als ein Spieler mit einem kleineren Vermögen.12 Dies lässt sich anhand eines

Beispiels veranschaulichen. Für die meisten die eine Million Euro besitzen, wird

der Zuwachs an Nutzen von einer auf zwei Millionen Euro nicht so groß sein,

wie für Spieler die keine Million besitzen. Daraus ist zu schließen, dass der Zu-

wachs an Geld und der Zuwachs an Nutzen nicht proportional steigt. Es liegt

ein abnehmender Grenznutzen des Geldes vor.

Mit Hilfe vom Grenznutzen des Gelds eines rationalen Menschen behauptet

Bernoulli, dass der Grenznutzen des Gelds abnimmt, während das Geldein-

kommen zunimmt, und dies ist der Grund, warum sich rationale Menschen wei-

gern am Spiel teilzunehmen.13

12

Vgl. Menger, K.; Seite 469 ff.

13 Vgl. Senetti, J.-T.; Seite 960


Die Vernachlässigung von Wahrscheinlichkeiten:

Ein weiterer Lösungsversuch stellt die Annahme auf, dass in der Praxis mit Er-

eignissen, deren Wahrscheinlichkeit sehr klein ist, überhaupt nicht gerechnet

wird.14

Es wurden unterschiedliche Untersuchungen zur Ermittlung von Werten durch-

geführt, bei denen Individuen die Wahrscheinlichkeiten vernachlässigen.15 Un-

terschiedliche Wissenschaftler haben dazu in ihren Untersuchungen verschie-

dene Ergebnisse erhalten.

Bei einer Wahrscheinlichkeit kleiner als 1/32 stellen Individuen nach Bernoulli

die Annahme auf, dass diese Wahrscheinlichkeit Null ist. 16 Samuel Gorovitz

sagt dagegen, dass Individuen die Wahrscheinlichkeiten erst dann als Null an-

nehmen, wenn sie kleiner als 1/64 sind.17 Neugebauer zeigt bei einem Experi-

ment , dass die Wahrscheinlichkeit zwischen 1/20 und 1/200 trunkiert werden.18

Gegenstand der Forschung dieser Diplomarbeit ist es, genauere Werte zu

bestimmen an der Wahrscheinlichkeiten trunkiert werden.

J. L. D’Alembert und G. L. L. Buffon bestätigen die Annahmen von Nicholas,

dass jede Wahrscheinlichkeit unterhalb eines sehr geringen Wertes auf Null

gesetzt werden kann.19 Vergleichsweise zu Bernoulli erhielt Buffon jedoch bei

seinen Messungen einen Wert von 1/10189, bei der Individuen die Wahrschein-

lichkeit auf Null setzen.20

Das in dieser Arbeit konzipierte Experiment untersucht diese angesprochenen

Wahrscheinlichkeitsgrößen, bei der Individuen die Annahme aufstellen, dass

die Wahrscheinlichkeit ab einem bestimmten Wert als Null angenommen wird.

14

Vgl. Menger, K.; Seite 471 ff.

15 Dazu ein Beispiel: Stellen wir uns z. B. ein Glückspiel vor, bei welchem 100 Millionen Losen eine

einzige Prämie im Betrage von einer Milliarde Euro ausgelost wird. Der Erwartungswert des Besit-

zers jedes einzelnen Loses beträgt 10 €. Werden sich aber z. B. unter den Millionen Europäern viele

finden welche 10 € in einer Lotterie riskieren, bei welcher ein einziger Europäer Milliardär werden

soll. Vgl. Menger,K.; S. 471

16 Vgl. Dutka, J.; Seite 24



19 Vgl. Samuelson, P. A.; Seite 44

20 Vgl. Dutka, J.; Seite 33

Das Experiment Seite 9

Hierzu ist es von Relevanz die Forschungsarbeit auf die Frage zu richten, ab

welcher Größe das Individuum die Wahrscheinlichkeiten auf Null setzen.

5 Das Experiment

In Kapitel 4 wurden die Lösungsansätze des St. Petersburger Paradoxon dar-

gestellt. Das im 18. Jahrhundert durchgeführte Spiel wurde im Rahmen dieser

Arbeit konzipiert und als ein Experiment verwirklicht. Das Ziel ist eine empiri-

sche Untersuchung der Lösungsansätze, insbesondere die der von Bernoulli et.

al. und Gorovitz et al.

Über das St. Petersburger Spiel konnte in der Literatur nur ein Experiment mit

konkreten Ergebnissen gefunden werden. Das Experiment wurde von Herrn

Tibor Neugebauer durchgeführt. Die zentralen Ergebnisse wurden in einem

Vortrag veröffentlicht (siehe Kapitel 5.3.1).

Im folgenden Abschnitt wird zunächst die methodische Vorgehensweise der

Untersuchung dargestellt (Abschnitt 5.1). Im Anschluss werden die Eckdaten

der Ergebnisse aufgezeigt. Hinterher werden die Experimentdaten analysiert

und erläutert.

5.1 Methodische Vorgehensweise

5.1.1 Aufbau der Untersuchung

Zur Durchführung einer wissenschaftlichen Untersuchung werden einige Modifi-

kationen des St. Petersburger Spiels vorgenommen:

Die unbegrenzten Gewinnmöglichkeiten im Bernoulli’schem Spiel wer-

den auf unterschiedliche Auszahlungen begrenzt.

Bernoulli führte das Spiel in Kasinos durch. Das Experiment dieser Aus-

arbeitung hingegen wurde in der Mensa der Leibniz Universität Hanno-

ver durchgeführt. Die Teilnahmebereitschaft, bzw. die Zahlungsbereit-

schaft für Glücksspiele ist ortsabhängig. Der Teilnahmeeinsatz von Indi-

viduen an einem Glückspiel ist in einem Kasino größer. In der Mensa re-

agierten die Versuchspersonen bei einem Angebot eines Glückspiels

z.T. überrascht. Es gab Teilnehmer, die für das Spiel keinen Einsatz leis-


ten würden bzw. eine Zahlungsbereitschaft von Null Euro hatten. So ein

Fall würde in einem Kasino nicht auftreten und wäre auch nicht möglich.

Diese maximale Zahlungsbereitschaft besteht grundsätzlich bei Teil-

nehmern, welche gewöhnlich keine Glücksspiele spielen.

Statt einer Münze wurde ein Würfel eingesetzt. Um eine Eintrittswahr-

scheinlichkeit von 50% zur Fortsetzung des Spieles zu gewährleisten,

wurden nur gerade und ungerade Zahlen vorausgesetzt. Dies war erfor-

derlich, um dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit wie bei einer fairen Mün-

ze zu erlangen.

Im St. Petersburger Spiel wurde das Spiel insofern fortgesetzt, solange

man „Kopf“ gewürfelt hat. In dem Experiment dieser Diplomarbeit muss-

ten die Teilnehmer vor jedem Wurf vorhersagen, ob eine gerade oder

ungerade Zahl vorkommt. Diese kleine Modifizierung machte das Spiel

attraktiv und gab einen Anreiz für die Teilnahme. Trotz dieser Verände-

rung bleibt der Erwartungswert sowie die Wahrscheinlichkeit der maxi-

malen Auszahlung wie beim Ausgangsspiel unverändert.

Darüber hinaus zahlte das St. Petersburger Spiel den Teilnehmern einen

Mindestbetrag von 2 Euro aus, wenn der Teilnehmer eine Zahl geworfen

hat. Dagegen wurde bei dem durchgeführten Experiment dieser Diplom-

arbeit den Teilnehmern ein Mindestbetrag von 1 Euro ausgezahlt, falls

eine Zahl gewürfelt wurde.

Bei dem Experiment wurden unterschiedliche maximale Auszahlungen angebo-

ten. Jeder Teilnehmer hat nur eine Auszahlung erhalten. Am Anfang war die

maximale Auszahlung 10 €, 100 € und 1.000 €. Im Anschluss der Datenerhe-

bung für die drei unterschiedlichen maximalen Auszahlungen fand eine Ergeb-

nisanalyse statt. Aufbauend auf den Ergebnissen wurde anschließend das Ex-

periment mit einer maximalen Auszahlung von 50€ durchgeführt, nach einer

weiteren Analyse mit 25€ und letztendlich mit 16€. Ausführliche Informationen

über diese Analyse werden in Abschnitt 5.1.2 gegeben.

Um einen seriösen Eindruck an die Teilnehmer zu vermitteln, wurden die fol-

genden Maßnahmen getroffen:


Ein Namensschild, mit dem Logo der Leibniz Universität Hannover und

des Lehrstuhls für Finanzmarkttheorie der Leibniz Universität Hannover

wurde getragen.

Während des gesamten Experiments wurde eine Geldkasse immer mit-

getragen.

Ein fairer 6-seitigen Würfel wurde eingesetzt,

und ein Würfelbecher.

Der Ablauf des Experiments mit einem Probanden verlief folgendermaßen:

1. Erläuterung der Spielregeln

Es wird ein Würfel so lange geworfen, bis nicht die Zahl fällt, welche der Teil-

nehmer vor seinem Würfelwurf vorhergesagt hat (das ist entweder eine ungera-

de oder gerade Zahl). Bei einem ungeraden Wurf sind es die Zahlen 1,3 und 5.

Bei einem geraden Wurf sind es dementsprechend die Zahlen 2, 4 und 6. Trifft

der Teilnehmer beim ersten Wurf nicht seine Vorhersage, so erhält er 1 Euro

ausbezahlt (denn dieser Euro war ihm sicher). Trifft der Teilnehmer seine Vor-

hersage richtig, so erhält er 2 Euro sicher und darf weiterwürfeln. Trifft der Teil-

nehmer beim dritten Wurf seine Vorhersage richtig, erhält er 4 Euro und spielt

weiter. Beim vierten richtigen Wurf, erhält er 8 Euro, usw. Mit jedem richtigen

Wurf wird die Auszahlung verdoppelt, bis zu einer Maximalauszahlung von X

Euro. Die Auszahlungen im Glückspiel und die entsprechenden mathemati-

schen Wahrscheinlichkeiten sind in der vorliegenden Abbildung dargestellt. Die

Minimalauszahlung ist 1 Euro und die Maximalauszahlung X Euro.

Während der Erläuterung der Spielregeln wurde dem Teilnehmer parallel eine

Grafik zum Überblick vorgezeigt (siehe Anhang A).

2. Frage an die Probanden über ihren maximalen Einsatz

„Wie viel würden Sie für so ein Spiel maximal einsetzen, um am Spiel teilneh-

men zu dürfen?“.

Nach der Aussage der Teilnehmer wurde eine Überprüfungsfrage gestellt, ob er

sich bezüglich des Betrages sicher sei. Um die maximale Zahlungsbereitschaft


zu finden, wurde den Teilnehmern als Bespiel das Spiel unter anderen Bedin-

gungen veranschaulicht. Das Spiel hat eine begrenzte Anzahl von Angeboten

und vielen Nachfragern, d.h. wer bereit ist, den höchsten Betrag zu zahlen, darf

letztendlich an dem Spiel teilnehmen (vergleichsweise wie bei einer Auktion).

Jeder Teilnehmer wurde gefragt, bis zu welchen Betrag er bei der „Auktion“

mitgehen würde. Diese zweite Antwort des Teilnehmers wurde als „korrigierte

maximale Zahlungsbereitschaft“ angenommen und auch bei der Analyse ver-

wendet.

3. Begründung der maximalen Zahlungsbereitschaft

Dann wurde eine dritte Frage gestellt, warum der Teilnehmer diesen Betrag

gewählt hat, um herauszufinden, was die Gründe für die angegebene maximale

Zahlungsbereitschaft sind.

4. 5 € Angebot

Unabhängig von der Zahlungsbereitschaft der Teilnehmer wird jedem die Frage

gestellt, ob er mit einem realen Geldbetrag von 5 Euro umgehend am Spiel teil-

nehmen würde.

5. Maximale Zahlungsbereitschaft bei veränderter maximaler Auszahlung

Zuletzt wurden die gefragten, wie viel der Teilnehmer maximal einzusetzen be-

reit ist, wenn der maximale Auszahlungsbetrag sich ändern würde. Bei den

Spielen mit maximaler Auszahlung von 10€, 25€, 50€ und 100€ ist, wurde die

Teilnehmer gefragt, wie viel sie bei einer maximalen Auszahlung von 1000€

bereit wären einzusetzen. Bei einem tausend Euro Spiel wird die Auszahlungs-

änderung auf 10€ reduziert.

6. Fragen über persönliche Daten

Am Ende wurden persönliche Daten des Teilnehmers (Beruf und Einkommen)

für statistische Zwecke erfragt. Teilnehmer, deren Haupttätigkeit das Studium

ist, wurden zudem nach ihrer Fachrichtung und der Semesterzahl gefragt. Die

Frage über die Berufstätigkeit wurde gestellt, um untersuchen zu können, ob

die maximale Zahlungsbereitschaft eine Abhängigkeit vom Beruf aufweist. Das

gleiche gilt für die Frage nach dem Einkommen.


5.1.2 Die Analyse und die Bestimmung der analytischen Methoden

Die erhobenen Daten werden mit dem Software Programm SPSS (Version 16)

analysiert. Als analytische Methode wird aus dem „nichtparametischen Test“

das „zwei unabhängigen Stichproben Verfahren“ eingesetzt.

Die P-Werte sind in den Tabellen als asymptotisches Signifikanzniveau ange-

geben. Die angegebenen P-Werte sind zweiseitig. Für unsere Analyse dagegen

sind ausschließlich die einseitigen P-Werte entscheidend. Darüber hinaus wird

bei allen Untersuchungen ein Signifikanzniveau von 5 % angenommen.

5.1.2.1 Normalverteilung

Um durch die erhobenen Daten erfolgreiche Ergebnisse zu erreichen, ist zwi-

schen den parametrischen und nichtparametrische Testmethoden eine auszu-

wählen.

Der parametrische Test setzt voraus, dass die zu testenden Variablen eine

Normalverteilung (Gauß´sche “Glockenkurve”) aufweist. Anders ausgedrückt,

es ist eine Verteilung bei der sich die Mehrheit der Werte um einen Mittelwert

verteilen und nach den Seiten hin in einem Gleichmaß abnehmen. Wenn diese

Vorbedingung nicht vorliegt, sind nichtparametrische Methoden anzuwenden.21

Optimal erfolgt die Prüfung auf das Bestehen einer Normalverteilung mit einem

Anpassungstest. Hierfür wird der Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest sehr

häufig verwendet und wurde aus diesem Grund in dieser Arbeit eingesetzt, um

statisch genau nachzuweisen, ob eine Normalverteilung vorliegt.

Die Null- und Alternativhypothese des Tests lauten:

H0: Fn(x) = F0(x) x

H1: Fn(x) ≠ F0(x) x

Die Nullhypothese bedeutet, dass die beobachteten Zufallszahlen aus einer

gleich verteilten Grundgesamtheit bestehen und demnach selbst gleich verteilt

sind. Die zu testende Variable hat eine Normalverteilung.

21

Vgl. Kähler, W.-M.; S. 28


Die Darstellung des Kolmogorov-Smirnov-Tests erfolgt in Tabelle 1. Der Test

wird mit der größten und somit der absoluten Abweichung der empirischen von

der theoretischen Verteilung durchgeführt. Die größte absolute, die größte posi-

tive und die größte negative Abweichung der beiden Verteilungen voneinander

werden als stärkste Differenzen in der Tabelle ausgewiesen.

Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest

Einsatz

N 361

Parameter der Normalverteilunga Mittelwert 3,85

Std.Abw. 6,927

Extremste Differenzen Absolut ,315

Positiv ,315

Negativ -,289

Kolmogorov-Smirnov-Z 5,982

Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,000

a. Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.

Tabelle 1: Test auf Normalverteilung für gesamte Experimentdaten

Weiterhin findet eine Angabe der Parameter der Normalverteilung statt, mit der

die empirische Verteilung verglichen wird. Die Parameter einer Normalvertei-

lung stellen den Mittelwert und die Standardabweichung dar.

Der ausgewiesene Wert für die Grundgesamtheit n=361 mit einer Standardab-

weichung von 6,927 stimmt mit den Werten der Variablen „Einsätze“ in der be-

trachteten Stichprobe überein. Die Einsätze der Teilnehmer für alle Spiele

betragen somit durchschnittlich 3,85€.

Das betrachtete Testergebnis wird durch die in der letzten Zeile vorhandene

asymptotische Signifikanz dargestellt. Hierbei handelt es sich um die Irrtums-

wahrscheinlichkeit, die mit einem Zurückweisen der Nullhypothese verbunden

ist.

Die Aussage der getesteten Nullhypothese ist, dass die maximale Teilnehmer

Zahlungsbereitschaft in der Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgt. Die

Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der Hypothese beträgt Null, wobei folglich

die Nullhypothese zurückgewiesen werden kann. Aber auch bei dieser geringen


Irrtumswahrscheinlichkeit besteht die Möglichkeit, dass eine beinahe Normal-

verteilung der Werte in der Grundgesamtheit bestehen. Dieses reicht bereits als

Voraussetzung für viele statistische Verfahren aus.

5.1.2.2 Mann-Whitney U-Test

Da die Experimentdaten keine Normalverteilung aufweisen, und deshalb para-

metrische Verfahren nicht geeignet sind, wurde für die Analyse der Experiment-

daten die nichtparametrische Testart ausgewählt.

Die nichtparametrische Testart unterteilt sich in unterschiedliche Verfahren: den

unabhängigen und den abhängigen Verfahren. Wobei diese Verfahren seiner-

seits sich aus der Anzahl der Stichproben zusammensetzen. Hierzu sind als

Beispiel für nichtparametrische Tests der Wilcoxon-Rangsummentest und Vor-

zeichentest zu nennen. Da die Vertiefung der nichtparametrischen Tests nicht

das Ziel der Arbeit ist, wird hier nicht weiter auf sie eingegangen.

Der U-Test für unabhängige Stichproben oder auch Mann-Whitney U-Test ge-

nannt, ist eine Methode zur Auswertung eines Zwei-Gruppen-Experiments. Die

Bedingungen des U-Tests unterscheiden sich in einer unabhängigen Variable.

Der U-Test prüft ähnlich wie beim T-Test für unabhängige Stichproben, ob die

Differenzen in den zwei Gruppen (bezüglich einer abhängigen Variable) zufälli-

gen oder systematischen Einflüssen unterliegen.

Der Unterschied zwischen dem T-Test und dem U-Test ist, dass der U-Test die

Messwerte nicht direkt, sondern die den Messwerten zugeordneten Rangplätze

analysiert.

Der Mann-Whitney-U-Test wird wie folgt beschrieben:

Ist X ein mindestens ordinal skaliertes und bezüglich seiner Verteilung nicht

näher bestimmtes Merkmal über zwei Grundgesamtheiten, dann heißt dass

nichtparametrische Verfahren zum Prüfen der Homogenitätshypothese H0:

F1(x)=F2(x) über die zwei zugehörigen Verteilungsfunktionen Fj(x) (j=1,2) auf-

grund von zweiunabhängigen Zufallsstichproben von Umfang nj Mann-Whitney-

Test.


Charakteristisch für den Mann-Whitney-Test ist ein verteilungsunabhängiger

Rangsummentest, der vor allem empfindlich ist gegenüber Differenzen in den

Medianen zwei stetiger Verteilungen. Aufgrund dessen wird der Mann-Whitney

auch zur Prüfung der Homogenität zweier Mediane benutzt.22

5.2 Zusammensetzung der Stichprobe

Im Rahmen dieses Experiments wurden 361 Teilnehmer befragt. Das Experi-

ment wurde in der Mensa der Leibniz Universität Hannover23 durchgeführt. Das

Experiment fand im Zeitraum vom 22 Oktober bis zum 09 Januar 2008 statt.

Ein Item des Experiments ist der Beruf. Die Berufe wurden in fünf Fächer kate-

gorisiert: Student, Universitätsbedienste, Auszubildende, Schüler und Sonstige.

Die Abbildung 3 stellt die Verteilung der Teilnehmer nach ihrem Beruf dar. Die

Teilnehmer waren überwiegend Studenten (313 Person, 87,19%). Die weitere

Aufteilung setzt sich wie folgt zusammen: 17 Universitätsbediente, eine Auszu-

bildende und 28 Teilnehmer haben sonstige Berufe. Unter den sonstigen Beru-

fen waren die meisten Teilnehmer Universitätsabsolventen. Weil keiner der

Teilnehmer Schüler war, wurde dieses aus den Kategorien herausgenommen.

Diese Berufsverteilung zeigt uns, dass das Bildungsniveau der Teilnehmer im

Durchschnitt relativ hoch ist.

Abbildung 3: Berufe der Teilnehmer


22

Eckstein, P.P.; Seite 162

23 Callinstraße 23 in Hannover


Das Geschlechterverhältnis der Teilnehmer ist in Abbildung 4 dargestellt. Mehr

als zwei Drittel der Teilnehmer sind männlich.

Abbildung 4: Das Verhältnis des Geschlechtes der Teilnehmer


Die Einkommensverteilung der Teilnehmer wird in der Abbildung 5 dargestellt.

Aus der Abbildung ist zu erkennen, dass die Mehrheit der Teilnehmer ein mo-

natliches Einkommen von 500€ haben. Insgesamt haben 6 Teilnehmer die Aus-

kunft über ihr Einkommen verweigert.

Abbildung 5: Die Einkommensverteilung der Teilnehmer


Die Wahrscheinlichkeiten und die Erwartungswerte der angebotenen maxima-

len Auszahlungen sind aus Tabelle 2 zu entnehmen.

10€ 16€ 25€ 50€ 100€ 1000€

EW 4,625 5,0 5,781 6,781 7,781 10,977

Wsk. 1/16 1/16 1/32 1/64 1/128 1/1024

Tabelle 2: EW und Wahrscheinlichkeitsverteilung der Spiele nach MA


5.3 Ergebnisse des Experiments

5.3.1 Ergebnisse in Zahlen

Bedeutende Messgrößen des Experiments sind in Tabelle 3 dargestellt. Der

Median der Teilnehmereinsätze für alle Spiele ist 2 €. Die spielindividuellen Me-

dianwerte sind in Tabelle 3 wiedergegeben. Dementsprechend beträgt der Mit-

telwert 3,85 € und die Standardabweichung 6,927.

10 € 16 € 25 € 50 € 100 € 1.000 €

Mittelwert 1,36 € 2,58 € 3,54 € 3,17 € 4,82 € 5,91 €

Median 1,00 € 2,00 € 3,00 € 3,00 € 3,00 € 3,00 €

Maximal 10,00 € 6,00 € 10,00 € 10,00 € 100,00 € 50,00 €

Minimal 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 €

Std. Abw. 1,53 € 1,61 € 2,32 € 1,98 € 10,92 € 8,81 €

n 50 50 51 50 85 75

Tabelle 3: Die zentralen Messgrößen nach MA

Um einen Vergleich mit den Ergebnissen von Neugebauer (2007) aufstellen zu

können, werden seine Ergebnisse in Tabelle 4 dargestellt.

10 100 1000 Unendlich

Mittelwert 0,39 € 1,22 € 1,09 € 0,89 €

Median 0,10 € 0,99 € 0,99 € 0,50 €

Maximal 2,12 € 6,05 € 3,50 € 5,00 €

Minimal 0,01 € 0,01 € 0,01 € 0,01 €

Std. Abw. 0,57 € 1,64 € 1,15 € 1,20 €

n 46 19 22 28

Tabelle 4: Zentrale Ergebnisse des von Neugebauer durchgeführten Experi-

ments

Insgesamt haben 21 Teilnehmer ausgesagt, dass sie aus Prinzip keinen Cent

für ein Glückspiel einsetzen würden.

Insgesamt haben 23 Personen im Experiment 5 € eingesetzt. Darunter

fielen 16 einzelne Teilnehmer, zwei zweier Gruppen und eine dreier

Gruppe. Die Gruppen haben unter sich den Einsatzbetrag zusammenge-


legt. Letztendlich wurde 19 Mal das Spiel gespielt. Nur ein Spieler hat

mehr Gewinn erzielt als er eingesetzt hat.

121 Teilnehmer haben ihre maximale Zahlungsbereitschaft nach dem

dargestellten Beispiel positiv geändert. Dagegen haben 10 Teilnehmer

ihren Einsatz vermindert. Bei 230 Teilnehmern waren die maximale Zah-

lungsbereitschaft und die korrigierte Zahlungsbereitschaft identisch. Die

Detaillierte Tabelle ist im Anhang B zu finden.

Bei dem 10€-Spiel haben 36 Teilnehmer maximal 1 € eingesetzt. Obwohl

der Erwartungswert des Spiels 4,625 € ist, beträgt der Mittelwert der Ein-

sätze 1,36 €. Das ist ca. 29% des Erwartungswertes. Das ist das nied-

rigste Verhältnis des Mittelwertes zum Erwartungswert. Nur bei einem

Teilnehmer war die Einsatzbereitschaft höher als der Erwartungswert

des Spiels. Dieser Teilnehmer gehört zu der Einkommensklasse 1 und

kommt mit weniger als 300 € pro Monat aus.

Bei dem 10€-Spiel hat kein Teilnehmer 5 € eingesetzt und das Spiel ge-

spielt, obwohl einer der Teilnehmer seine maximale Zahlungsbereitschaft

als 10€ ausgesagt hat.

8 Teilnehmer haben bei dem 16€-Spiel ihre maximale Zahlungsbereit-

schaft als 5 € und mehr ausgesprochen. Davon haben 4 Teilnehmer

wirklich 5 € eingesetzt und das Spiel gespielt.

Die Einsätze von 99 Teilnehmern beträgt 5 € und höher. Dagegen haben

nur 23 Teilnehmer wirklich 5 € aufgeboten und gespielt. Ein Grund des

Nichteinsatzes ist die persönliche finanzielle Lage der Teilnehmer. Ein

anderer Grund könnte eventuell das Misstrauen an den Spielleiter sein,

in der Annahme, er würde den Gewinn nicht auszahlen.

Bei den 16€, 25€, 50€ und 100€-Spielen wurden die Teilnehmer gefragt

wie hoch ihre Einsatzbereitschaft wäre, wenn das Spiel bis 1000 € ge-

spielt werden. 13 Teilnehmer haben ihren Einsatz vermindert. 197 Teil-

nehmer haben denselben Betrag eingesetzt. 73 Teilnehmer haben ihre

Einsatzbereitschaft erhöht.


Ein Teilnehmer hat für ein 1.000€-Spiel 0,00 € einsetzt, während er für

ein 10€-Spiel 1€ auszugeben bereit war.

Bei dem 25€-Spiel beträgt der Erwartungswert genau 5,78125 €. Durch-

schnittlich haben die Teilnehmer 3,539 € eingesetzt. Dieser Mittelwert

entspricht ca. 61% des Erwartungswerts.

Die Anzahl der Teilnehmer, die einen höheren Betrag als den Erwar-

tungswert des Spiels einsetzt haben, betrug 28. Die Tabelle 5 verdeutlich

die Verteilung der Einsätze nach Spielen mit den jeweiligen Erwartungs-

werten und dem Mittelwert der Einsätze. Aus der Tabelle sind die Ver-

hältnisse der Erwartungswerte der jeweiligen Spiele zum Mittelwert der

Einsätze zu entnehmen.

MA n Einsätze über EW Einsätze / n

10€ 50 1 2,00%

16€ 50 3 6,00%

25€ 51 5 9,80%

50€ 50 1 2,00%

100€ 85 11 12,94%

1000€ 75 7 9,33%

361 28 7,76%

Tabelle 5: Verteilung der Einsätze, bei denen der Einsatz größer als der EW ist.

Aus der Tabelle 5 ist auch zu entnehmen, dass die Anzahl der Einsätze,

die mehr als die Erwartungswerte betragen, unabhängig aus der Steige-

rung der maximalen Auszahlungen sind.

Die Tabelle 6 stellt dar, dass das Verhältnis zwischen dem Mittelwert der

Einsätze und der Erwartungswerte der Spiele unabhängig von den ma-

ximalen Auszahlungen der Spiele verlaufen.


MA EW MW MW/EW

10€ 4,625€ 1,360€ 29,41%

16€ 5,000€ 2,58€ 51,60%

25€ 5,781€ 3,539€ 61,22%

50€ 6,781€ 3,170€ 46,75%

100€ 7,781€ 4,824€ 61,99%

1000€ 10,977€ 5,907€ 53,81%

Total

Tabelle 6: EW, MW und ihr Verhältnis nach MA

151 Teilnehmer erhöhen nicht ihren Einsatz, bei einer Änderung der ma-

ximalen Auszahlung auf 1.000 €. Dagegen würden 95 Teilnehmer ihren

Einsatz erhöhen, und 12 Teilnehmer ihren Einsatz vermindern.

Abbildung 6: Die prozentuale Häufigkeitsverteilung der gesamten

Zahlungsbereitschaften der Teilnehmer


In Abbildung 6 werden die Einsätze für alle Spiele in prozentualen Zah-

len veranschaulicht. Es ist zu erkennen, dass die meisten Teilnehmer

(23%) zwischen 1,00 € und 1,99 € einsetzten. Insgesamt haben 79 Teil-

nehmer (21,88% der gesamten TN) für die Spiele 1 € eingesetzt. 30,5%

der Teilnehmer haben keinen Cent eingesetzt (0,00 € bis 1,00 €), um

kein Risiko einzugehen.


Im gesamten Experiment haben 88,1% der Teilnehmer maximal 5 € für

die Spiele eingesetzt.

5.3.2 Ergebnisse nach Lösungsansätzen

Nach dem jeweils 50 Teilnehmer die 10€, 100€ und 1000€ maximale Auszah-

lungsangebote erhalten haben und die Spiele durchgeführt worden sind, wur-

den die Daten per SPSS analysiert.

Bei dieser Analyse wird primär die Richtigkeit der im vorherigen Kapital behan-

delten Ansätze von Bernoulli und Gorovitz geprüft.

Für die Analyse wird die Methode „Mann-Whitney U-Test“ (MWU) genutzt. Der

MWU-Test gehört zu den nichtparametrischen Testverfahren.

Die Hypothese des Tests lautet:

H0: Die Zahlungsbereitschaften steigen nicht mit der Maximalauszahlung.

H1: Die Zahlungsbereitschaften steigen mit der Maximalauszahlung.

In Tabelle 7 sind die Signifikanzniveaus einzelner Untersuchungen von Spielen

dargestellt, die man durch den Mann-Whitney U-Test erhält. Die linke Spalte

der Tabelle 7 zeigt die jeweiligen Spiele, die der Mann-Whitney U-Test zur Kal-

kulation des Signifikanzniveaus gegenüberstellt.

Spiele Asymp. Signifikanzniveau (Einseitig)

10 € - 16 € 0,000

10 € - 25 € 0,000

10 € - 50 € 0,000

10 € - 100 € 0,000

10 € - 100 € * 0,000

16 € - 25 € 0,017

25 € - 50 € 0,312

50 € - 100 € 0,388

100 € - 1.000 € 0,131

100 € - 1.000 € * 0,380

Tabelle 7: Die Analyseergebnisse des MWU-Tests


Primär wurde untersucht, ob die maximale Auszahlung eine Steigerung der

Zahlungsbereitschaft für Spiele verursacht, die zwischen 10€ und 100€ oder

zwischen 100€ und 1.000€ liegen. Aus den Ergebnissen der Analyse resultiert,

dass das Signifikanzniveau des Bereiches zwischen 100€ und 1.000€ eine Hö-

he von 0,131 besitzt. Das Signifikanzniveau für den Bereich zwischen 10€ und

100€ ist dagegen 0,000.

Aus diesen Signifikanzniveaus kann auch abgeleitet werden, dass die Teilneh-

mer sich nicht unterscheiden, wenn die maximale Auszahlung 100€ oder

1,000€ ist. Das bedeutet, dass mit hoher Wahrscheinlichkeit der Bruchpunkt

nicht zwischen 100€ und 1.000€ liegt, sondern zwischen den Beträgen von 10€

und 100€.

Entsprechend dieser Analyseergebnisse, besteht die Möglichkeit, dass die Teil-

nehmer, die sich während der Befragung in einer Gruppe befanden, sich ge-

genseitig beeinflusst haben. Daher wurde die Zahlungsbereitschaft der Teil-

nehmer von einem Gruppenmittelwert und einer Gruppe von einer Person an-

genommen. Somit ist die Teilnehmeranzahl von 100€ und 1.000€-Spielen mög-

lichst nah an 50.

Im Rahmen der Erweiterung wurde noch mit 25 Teilnehmern ein 1.000€-Spiel

und mit 35 Teilnehmern ein 100€-Spiel durchgeführt. Um die gesamte Teilneh-

meranzahl entnehmen zu können, ist die Tabelle 2 zu verwenden. Die erhobe-

nen Daten wurden noch mal mit SPSS analysiert. Bei dieser Analyse wurden

die Einsätze von den Teilnehmern, die sich bei der Befragung in einer Gruppe

befanden, aus dem Gruppenmittel berechnet. Damit wird jede Gruppe als ein

Teilnehmer angenommen. Aus den Analysen folgende Signifikanzniveaus sind

in Tabelle 7 mit einem Stern gekennzeichnet.

Nach Erweiterung der Teilnehmerzahl folgte das Ergebnis, dass das Signifi-

kanzniveau zwischen 10€ und 100€ erneut 0,000 ist und zwischen 100€ und

1.000€ eine Höhe von 0,37 einnimmt. Daraus folgt, dass die Ergebnisse durch

die Erweiterung der Teilnehmerzahl nicht verändert wurden. Der Bruchpunkt

sollte deshalb zwischen 10€ und 100€ gesucht werden. Die Ergebnisse der

Analyse sind unverändert geblieben. Daraus kann abgeleitet, dass die Grup-

penatmosphäre den Entscheider nicht in einem entscheidenden Ausmaß beein-


flusst. Deshalb wird im weiteren Verlauf des Experiments, ob die Teilnehmer

sich in einer Gruppe befinden oder nicht, außer Acht gelassen.

Nach Feststellung, dass der Unterschied der Einsätze deutlicher zwischen dem

10€-Spiel und dem 100€ als zwischen dem 100€-Spiel und dem 1.000€-Spiel

ist, wird bei der nächsten Etappe für das Spiel die maximale Auszahlung 50€

betragen.

Das 50€-Spiel wurde ebenfalls mit 50 Teilnehmern durchgeführt. Die erhobenen

Daten wurden analysiert. Es wurde untersucht, ob zwischen dem 10€-Spiel und

dem 50€-Spiel die Einsätze deutlichere Unterschiede zeigen, als zwischen dem

50€-Spiel und dem 100€-Spiel. Die Analyseergebnisse sind in der Tabelle 7

dargestellt.

Die Ergebnisse der Analyse sind ähnlich wie bei der ersten Stufe des Experi-

ments. Das Niveau der asymptotischen Signifikanz weicht ebenso drastisch ab.

Deshalb ist es ziemlich einfach zu entscheiden, in welchem Bereich das Expe-

riment in der dritten Etappe fortgeführt werden soll. Dieser Bereich wird ent-

sprechend den Ergebnissen der Analyse mit der ersten Gruppe vertreten 10€-

50€.

Als nächstes wurde das 25€-Spiel angeboten. An dem 25€-Spiel haben 51 Per-

sonen teilgenommen. Nach den Ergebnissen der Analyse, die auch aus Tabelle

7 entnommen werden können, besitzt das Signifikanzniveau der Spiele zwi-

schen 10€ und 25€ eine Höhe von 0,000 und zwischen 25€ und 50€ eine Höhe

von 0,313. Daraus kann abgeleitet werden, dass es eine deutliche Abweichung

zwischen dem 10€ und 25€ Angebot gibt, als bei dem 25€ und 50€ Angebot.

Im Weiteren Verlauf des Experiments wurden weiteren 50 Probanden ein Spiel

angeboten, welches eine maximale Auszahlung von 16€ hat. In dieser Stufe ist

zu beachten, das die 10€ und 16€-Spiele die gleiche Wahrscheinlichkeit (1/16)

für die maximale Auszahlungen haben. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit 25€

zu gewinnen 1/32.

50 Teilnehmer haben bei dem 16€-Spiel ihre maximalen Einsätze ausgesagt.

Die erhobenen Daten wurden mit dem Software-Programm SPSS analysiert.


Die Ergebnisse aus der Analyse zeigen, dass zwischen den 10€ und 16€ Spie-

len ein Signifikanzniveau in Höhe von 0,000 besteht und zwischen den 16€ und

25€ Spielen sich ein Signifikanzniveau in Höhe von 0,017 ergibt.

Die beiden Bereiche haben ein Signifikanzniveau unterhalb von 5%. Wenn die

Irrtumswahrscheinlichkeit als 1% angenommen wird, sollte hier ein neuer empi-

rische Lösungsansatz gefunden werden. Das heißt, die Menschen setzen nicht

unendlich viel Geld beim St. Petersburger Spiel ein, weil sie die Wahrschein-

lichkeit unterhalb von 1/16 als Null annehmen. In dieser Arbeit wurde aber die

Irrtumswahrscheinlichkeit als 5% vor der Durchführung des Experiments ange-

nommen. Deshalb kann diese Arbeit keine neue Lösung bieten, sondern die

Lösung von Bernoulli et. al. bestätigten.

Als Schlussfolgerung kann man sagen, dass für die Menschen die Wahrschein-

lichkeit ab 1/32 unwahrscheinlich anzunehmen ist. Das bedeutet ob eine maxi-

male Auszahlung in einem solchen Glückspiel 32€ oder 1000€ ist, hat für die

Menschen empirisch keine Unterschied.

5.3.3 Analyse nach Einkommen

Die Frage, wie hoch der direkte Beeinflussungsgrad des Einkommen auf die

Einsätze ist, ist weiterhin ein Untersuchungsthema der Arbeit.

In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen den Einsätzen und dem

Einkommen behandelt. Ein Item des Experiments ist wie bereits erwähnt, das

Einkommen der Teilnehmer. Dieser wurde klassenweise aufgenommen. Die

Klassen sind aus der Tabelle 16 zu entnehmen. Die Klassenabstände sind nicht

gleichmäßig. Daher ist eine direkte Korrelationsanalyse unnützlich.

Die Tabelle 8 zeigt auch die Teilnehmerzahl der Spiele nach Einkommensklas-

sen. Die Einkommensklassenverteilung der Teilnehmer ist nicht gleichmäßig.

Zum Beispiel haben insgesamt nur 3 Personen, die zur Einkommensklasse 8

(>2500€) gehören, an dem Experiment teilgenommen. Dabei gehören 107 Teil-

nehmer zu der Einkommensklasse 2 (300€ - 500€). Daher ist dieses auch keine

Grundlage für einen gesunden Befund. Aus diesem Grund stellt dies keine aus-

reichende Grundlage zur Interpretation der Ergebnisse dar.


10 € 16 € 25 € 50 € 100 € 1.000 € Gesamt

<300 13 9 14 15 17 15 83

300€ - 500€ 14 15 13 13 24 28 107

500€ - 700€ 7 7 13 14 21 14 76

700€ - 1.000€ 5 6 7 3 10 9 40

1.000€ - 1.500€ 4 3 3 3 6 2 21

1.500€ - 2.000€ 3 5 0 2 5 2 17

2.000 - 2.500€ 2 3 0 0 1 2 8

>2.500€ 0 0 1 0 0 2 3

Gesamt 48 48 51 50 84 74 355

Tabelle 8: Die Anzahl der Teilnehmer nach Einkommensklassen pro Spiel

Eine Umstrukturierung der Einkommensklassen ist für die Überbrückung der

ungleichmäßigen Verteilung unverzichtbar. Daher sind die Einkommensklassen

1 und 2 in einer Gruppe verbunden. Die restlichen Klassen bilden die andere

Gruppe. Die neuen Einkommensklassen lauten dann EK1, wenn das Einkom-

men unterhalb von 500€ liegt und. Die EK2 besteht aus den Teilnehmern, die

mehr als 700€ Einkommen erlangen.

Nach der Umstrukturierung kann geprüft werden, ob zwischen Einsatz und Ein-

kommen eine direkte Beziehung besteht. Mit einer Korrelationsanalyse kann die

Stärke des Zusammenhangs dieser zwei Variablen festgestellt werden.24 Diese

Analyse kann auch die Richtung des Zusammenhangs erklären, falls ein Zu-

sammenhang vorhanden ist.

In der SPSS wurden die zur EK1 zugehörigen Teilnehmer als „0“ angegeben.

Und die restliche Teilnehmer als „1“. Die Ergebnisse der Korrelationsanalyse

sind in Tabelle 9 dargestellt. Die Analyseergebnisse zeigen, dass zwischen

dem Einkommen der Teilnehmer und ihren Einsätzen mit 5,8% und einer Irr-

tumswahrscheinlichkeit von 10,1%, ein starker positiver Zusammenhang be-

steht. Dieser Koeffizient kann so interpretiert werden, dass bei steigendem Ein-

kommen mit sehr kleiner Wahrscheinlichkeit (10,1%) auch der Einsatz zu-

24

Vgl. Von Zwerenz, V. K., Seite 214


nimmt.25 Diese Wahrscheinlichkeit wird in der Literatur als „schwache Korrelati-

on“ bezeichnet.26

Korrelationen

Einsatz Einkommen

Einsatz Korrelation nach Pearson 1 ,101 Signifikanz (2-seitig) ,058 N 355 355

Einkommen Korrelation nach Pearson ,101 1 Signifikanz (2-seitig) ,058 N 355 355

Tabelle 9: Korrelationsanalyse vom Einsatz zu Einkommen

Die in Abschnitt 5.3.1 vorhandene Tabelle 3 veranschaulicht den Mittelwert der

Einsätze sowie den Median, die Standardabweichung, Maximum, Minimum der

Teilnehmer nach ihrem Einkommen und nach der maximalen Auszahlung.

An dieser Stelle wird die Behandlung des Einkommens bis zum nächsten Ab-

schnitt der Regressionsrechnung nicht mehr fortgeführt.

5.3.4 Analyse nach Geschlecht

In diesem Abschnitt werden die Daten des Experimentes nach Geschlecht der

Teilnehmer behandelt. Das Ziel dieser Behandlung ist nicht das St. Petersburg

Paradoxon nach Geschlecht zu erklären, sondern das Verhalten der Teilnehmer

geschlechtsspezifisch zu untersuchen.

Die Tabelle 10 bildet die Messgrößen nach Geschlecht und nach den maxima-

len Auszahlungen ab.

Aus der Tabelle 10 kann entnommen werden, dass die maximalen Einsätze der

männlichen Teilnehmer größer als der weiblichen Teilnehmer sind. Die Stan-

dardabweichungen der Frauen sind kleiner als die der Männer. Die beiden Ge-

schlechter zeigen keinen stetigen Verlauf nach maximalen Auszahlungen.

25

Vgl. Monka, M.; Voß, W.; Seite 188 26

Vgl. Fahrmeir, v. L., Kunstler,R., Pigeot, I., Tutz, G., Seite 139


Mittelwert Median Max Min Std. Abw.

F M F M F M F M F M

10 € 1,07 1,59 1,00 1,00 3,00 10,00 0,00 0,00 0,71 1,93

16 € 2,59 2,58 2,00 2,00 5,00 6,00 0,00 0,00 1,97 1,54

25 € 4,00 3,40 4,00 3,00 5,00 10,00 2,00 0,00 1,13 2,58

50 € 2,61 3,29 2,50 3,00 5,00 10,00 0,00 0,00 1,87 2,00

100 € 3,34 5,44 3,00 3,00 10,00 100,00 0,00 0,00 2,44 12,88

1.000 € 3,90 6,69 2,00 4,50 20,00 50,00 0,00 0,00 4,85 9,86

Gesamt 2,87 4,25 2,00 3,00 20,00 100,00 0,00 0,00 2,82 8,01

Tabelle 10: Die Messgrößen nach Geschlecht

Während beispielsweise die Frauen durchschnittlich 1,07€ für ein 10€-Spiel

einsetzten, waren sie bereit für ein 16€-Spiel im Durchschnitt 2,59€ aus-

zugeben. Die Steigung des maximalen Gewinns ist 60%, bei dem Erwartungs-

wert 8%. Die Wahrscheinlichkeit den maximalen Gewinn zu erreichen bleibt

unverändert (1/16). Dagegen steigt der durchschnittliche Einsatz der Frauen ca.

142%. Im nächsten Spiel (für ein 25€-Spiel) steigt der durchschnittliche Einsatz

um 4,00€. Die Bereitschaft sinkt, obwohl der maximale Gewinn sich verdoppelt

(50€-Spiel, Einsatz: 2,61). Die Tabelle 11 verdeutlicht die geschlechtsspezifi-

schen Reaktionen der Teilnehmer auf die Veränderungen bei den Erwartungs-

werten und maximalen Auszahlungen.

10€ auf16€ 16€ auf 25€ 25€ auf 50€ 50€ auf 100€ 100€ auf 1.000€

MA 60% 56% 100% 100% 900%

EW 8% 16% 17% 15% 41%

Frauen 142% 55% -35% 28% 17%

Männer 62% 32% -3% 65% 23%

Tabelle 11: Die prozentuale Änderungen in Vergleich

Letztlich wird die Korrelation des Einsatzes und Geschlechts untersucht. Dafür

wird das Geschlecht in Dummyvariablen umgewandelt. Es wird Für Männer „0“

und für die Frauen „1“ eingegeben. Die Analyseergebnisse werden in der Tabel-

le 12 veranschaulicht. Die Ergebnisse können so interpretiert werden, dass mit

8,5% Irrtumswahrscheinlichkeit zwischen Einsatz und Geschlecht ein negativer

starker Zusammenhang von 9,10% besteht.


Korrelationen

Einsatz Geschlecht

Einsatz Korrelation nach Pearson 1 -,091 Signifikanz (2-seitig) ,085 N 361 361

Geschlecht Korrelation nach Pearson -,091 1 Signifikanz (2-seitig) ,085 N 361 361

Tabelle 12: Die Ergebnisse der Korrelationsanalyse

5.3.5 Analyse nach Beruf

In diesem Abschnitt werden die Daten des Experimentes nach Beruf unter-

sucht. Die detaillierte Berufsverteilung ist der Tabelle 13 zu entnehmen. Die

Verteilung der Teilnehmer nach Beruf ist nicht gleichmäßig. Daher kann auf den

ersten Blick keine allgemeine und saubere Aussage getroffen werden.

Student Universitätsbe-

dienste Auszubil-

dende Sonstiges Gesamt

10 € n 40 5 1 4 50

% 80,00% 10,00% 2,00% 8,00%

16 € n 38 3 0 9 50

% 76,00% 60,00% 0% 18,00%

25 € n 46 2 0 3 51

% 90.20% 3,92% 0% 5,88%

50 € n 50 0 0 0 50

% 100% 0% 0% 0%

100 € n 71 6 0 8 85

% 83,53% 6,06% 0% 9,41%

1.000 € n 68 3 0 4 75

% 90,67% 4,00% 0% 5,33%

Gesamt n 313 19 1 28 361

% 86,70% 5,26% 0,28% 7,76%

Tabelle 13: Berufsverteilungstabelle

Trotzdem werden hier zwei Berufskategorien verglichen: „Universitätsbediens-

tete“ und „Sonstiges“. Beide Gruppen werden per SPSS nach der Korrelation

analysiert. Dabei wird für die Kategorie „Universitätsbedienstete“ eine „1“ und

die Kategorie „Sonstiges“ eine „0“ eingegeben. Die in Tabelle 14 dargestellten


Ergebnisse der Korrelationsanalyse zeigen, dass das zweiseitige Signifikanzni-

veau ziemlich hoch ist, und daher kein Zusammenhang zwischen Beruf (in die-

sem Fall Universitätsbedienstete und Sonstiges) und Einsatz besteht.

Korrelationen

Einsatz Beruf

Einsatz Korrelation nach Pearson 1 ,112 Signifikanz (2-seitig) ,454 N 47 47

Beruf Korrelation nach Pearson ,112 1 Signifikanz (2-seitig) ,454 N 47 47

Tabelle 14: Die Korrelationsergebnisse nach Beruf

Ein ähnliches Ergebnis kommt auch bei der Korrelationsanalyse zwischen Stu-

denten (Dummywert „1“) und Restlichen (Dummywert „2“) zustande. Hierbei

ergibt sich ein zweiseitiges Signifikanzniveau von 29%.

Bezüglich der Berufe werden die studentischen Teilnehmer nach ihrer Fachrich-

tung und -semester gefragt. Die Variable „Fachrichtung“ kann vermutlich einen

Beitrag zur Erklärung des Verhaltens bei dem St. Petersburger Spiel hergeben.

Die Fachrichtungen können in zwei Kategorien zusammengefasst werden: „Na-

turwissenschaftler“ und „Sozialwissenschaftler“. Unter Naturwissenschaftler

werden alle Ingenieurfächer, Physik, Biologie, Chemie, Mathematik, Geowis-

senschaft, Architektur, Wirtschaftswissenschaften usw. aufgenommen. Die rest-

lichen Fächer werden unter „Sozialwissenschaftler“ zusammengeführt, dass

sind Fächer wie Soziologie, Geschichte, Pädagogik, Sprachwissenschaften,

Politik.

Bei der Kategorisierung ist das Kriterium eine Vermutung, dass Studenten die

sich mit Zahlen intensiv beschäftigen auf die Wahrscheinlichkeit und den Erwar-

tungswert mehr achtet als alle Anderen. Und damit ihre Einsätze nach diese

Rechnung erstellen.

Bei der Analyse wurden die Naturwissenschaftler mit der Zahl „1“ und die Sozi-

alwissenschaftler mit „0“ festgelegt. Die Korrelation der Einsätze und der Stu-

dienfächer liegen in der Tabelle 15 der dargestellten Ergebnisse nicht vor. Die

Anlehnung an diese Aussage besitzt ein 80,1% Signifikanzniveau.


Korrelationen

Korrigiert Fach

Korrigiert Korrelation nach Pearson 1 ,014 Signifikanz (2-seitig) ,801 N 313 313

Fach Korrelation nach Pearson ,014 1 Signifikanz (2-seitig) ,801 N 313 313

Tabelle 15: Korrelation der Einsätze und Studienfächer

Der Zusammenhang kann ebenso innerhalb der Kategorien entnommen wer-

den. Dann wären die beiden Zusammenhänge vergleichbar.

Korrelationen

Erwartungswert Einsatz SW

Erwartungswert Korrelation nach Pearson 1 ,395(**) Signifikanz (2-seitig) ,000 N 84 84 Einsatz SW Korrelation nach Pearson ,395(**) 1 Signifikanz (2-seitig) ,000 N 84 84

** Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.

Tabelle 16: Die Ergebnisse der Korrelationsanalyse zwischen Erwartungswert

und den Einsätzen der Teilnehmer aus der Kategorie Sozialwissenschaften

Die Tabelle 17 stellt die Ergebnisse der Korrelationsanalyse zwischen dem Er-

wartungswert und den Einsätzen der Teilnehmer dar, die zur „Sozialwissen-

schaft“ -Kategorie zugeordnet sind. Die folgende Tabelle zeigt auch gleiche

Analyseergebnisse von Naturwissenschaftlern.

Korrelationen

Erwartungswert Einsatz NW

Erwartungswert Korrelation nach Pearson 1 ,247(**) Signifikanz (2-seitig) ,000 N 229 229 Einsatz NW Korrelation nach Pearson ,247(**) 1 Signifikanz (2-seitig) ,000 N 229 229

** Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.

Tabelle 17: Die Ergebnisse der Korrelationsanalyse


Die Tabellen weisen die hoch signifikanten Korrelationen der jeweiligen Fach-

richtungen und Erwartungswerte nach. Zwischen den Einsätzen von Sozialwis-

senschaftlern und den Erwartungswerten des jeweiligen Spiels liegt ein 39,5%

starker, gleichgerichteter Zusammenhang vor. Wenn der Erwartungswert des

angebotenen Spiels steigt, steigt auch der Einsatz.

Der Zusammenhang ist auch bei den Naturwissenschaftlern positiv. Die Stärke

des Zusammenhangs ist überraschend weniger als bei den Sozialwissenschaft-

lern und liegt bei 22,9%. Das bedeutet, dass auf den Erwartungswert nicht wie

erwartet die Naturwissenschaftler Beachtung schenkten sondern die Sozialwis-

senschaftler.

5.3.6 Die Begründungen

In diesem Abschnitt wird der Item „Begründung“ behandelt. Diese Begründung

bezieht sich auf die maximale Zahlungsbereitschaft und wird von den Teilneh-

mern dargelegt, bevor mit dem Spiel gestartet wird.

Es ist von Bedeutung vor der Untersuchung zu erwähnen, dass die Begründung

der maximalen Zahlungsbereitschaft ein vollständiges Forschungsgebiet von

Physiologen und Wirtschaftswissenschaftlern ist. Daher werden wir in diesem

Experiment entgegenstehende Aussagen möglichst ohne Kommentar erklären.

Nachdem die Teilnehmer ihre maximale Zahlungsbereitschaft ausgedrückt ha-

ben, begründeten sie ihre Aussage. Die Begründungen der Teilnehmer fallen

unterschiedlich aus. Ebenso haben einige Teilnehmer mehr als nur eine Be-

gründung und andere wiederum keine Begründung für ihren Einsatzbetrag. All-

gemein können die Begründungen in sechs Gruppen kategorisiert werden:

Wahrscheinlichkeit

Situation

Plusminus Null-Konstellation

Verlust

Kein Glückspiel Spieler

Restlichen

Wahrscheinlichkeit: Insgesamt haben 59 Teilnehmer ihren Einsatz in erster

Linie „größere Gewinne sind Unwahrscheinlicher“ begründet. 29 Teilnehmer


haben denselben Grund sekundär ausgesagt. Weiterhin haben 4 Teilnehmer

ihre Einsätze entsprechend ihren angenommenen Treffern bestimmt.

Situation: 60 Teilnehmer haben ihre Einsätze primär situationsabhängig argu-

mentiert. Unter der Situation ist „Kasino gegen Straßenspiel“, „Die Höhe des

MA“, „persönliche finanzielle Lage“ und „positive oder negative Gefühlslage“

„Bauchgefühl“ zu zählen. Die Anzahl der Teilnehmer, die in der Situation se-

kundäre Argumente angegeben haben, beträgt 16.

Plus-Minus Null Konstellation: Obwohl 5 aus 22 Teilnehmern mehr als 1€ ma-

ximal für Spiele einsetzen, haben sie ihre Einsätze mit einer Plusminus Null Si-

tuation argumentiert.

Verlust: Unter dieser Kategorie ist das Verlustrisiko, Verlustscheu, Verlustge-

fahr, Risikoavers und Risikofreudig zu verstehen. Insgesamt haben 103 Teil-

nehmer ihren Einsatz mit Verlust erklärt. Darunter sind 19 Teilnehmer mit Ver-

lustrisiko, 23 Teilnehmer mit der Aussage „ich bin ein Risikoscheutyp“, 45 Teil-

nehmer mit der Aussage „wahrgenommener Kaufkraftverlust bei X€“, 15 Teil-

nehmer mit „“X€ Verlust macht nichts“. 14 Teilnehmer haben in ihrem zweiten

bzw. verstärkten Argument den Verlust benutzt.

Kein Glückspiel Spieler: 61 aus 361 Teilnehmern spielen nach ihrem Angaben

keine Glückspiele. Darunter spielen 3 Personen nicht, weil sie schon schlechte

Erfahrung mit Glücksspielen gemacht haben. Trotz dieser Begründung setzen

10 Personen aus diesen 61 Teilnehmern 5€ oder einen höheren Betrag ein. 11

Teilnehmer hatten den Grund als zweites Argument benutzt.

Restliche: Nur einer der Teilnehmer hat den Erwartungswert des Spiels in Be-

tracht gezogen und als Grund erwähnt. Dagegen haben 8 Teilnehmer „aus

Spaß“ und 6 Teilnehmer „Der Wert des Spiels“ und 2 Teilnehmer nach ihrem

Vertrauen an ihrem Glück sowie 2 Teilnehmer „weil es in der Mitte ist“ als

Grund erklärt.

5.3.7 Regressionsanalyse

In diesem Abschnitt der Arbeit wird versucht aus den Daten des Experiments

ein allgemeines Regressionsmodell zu erstellen. Zuerst wird die Regression

kurz erklärt. Anschließend wird der Modellaufbau und die Modifikationen vorge-


stellt. Am Ende des Abschnitts wird die Beziehung zwischen Einsatz und der

maximalen Auszahlung innerhalb des aufgebauten Regressionsmodells intensiv

bearbeitet.

Eine Regression ist ein statistisches Verfahren der Datenanalyse zur Bestim-

mung der Abhängigkeit einer zu erklärenden Variablen von einer (einfache Reg-

ression) oder mehreren (multiple Regression) erklärenden bzw. unabhängigen

Größen.

Dabei wird nach einer Verknüpfung gesucht, die zwischen den Variablen beste-

henden Zusammenhang möglichst gut wiedergibt und die dadurch auch zur

Vorhersage der interessierenden Zielgrößen herangezogen werden kann.27

Das Ziel ist die Analyse (d.h. das bessere Verständnis des Kausalzusammen-

hangs) oder die Prognose von bestimmten Größen. Die Folgende Formel stellt

ein Beispiel zum multiplen Regressionsmodell dar, wobei Y für die zu erklären-

de Variable und βi für den Betakoeffizienten von erklärten Variablen, xi für er-

klärte Variable und letztendlich für die unerklärbaren Variablen (Störterm) ste-

hen.

Im Folgenden wird ausgehend von einer einfachen linearen Regression die

multiple Regression abgeleitet.

Mit dem konstruierten Modell wollen wir die Zahlungsbereitschaft der Teilneh-

mer anhand der Daten, die bei dem Experiment erhoben wurden, erklären. Die

erklärenden Variablen der Zahlungsbereitschaft sind das Geschlecht und das

Einkommen der Teilnehmer, die maximale Auszahlung des Spiels und die

Gruppen.

Das Geschlecht der Teilnehmer stellt eine Dummyvariable der Regression dar.

Die Frauen sind mit 1 gekennzeichnet und die Männer mit 0. Die Einkommens-

variable kann nicht direkt in die Regression aufgenommen werden, da die Ein-

kommensstufen voneinander abweichen. In Abschnitt 5.3.3 wurde dazu eine

detaillierte Erklärung abgegeben.

27

Vgl. Bänsch, A., Seite 85


Die Teilnehmer mit einem Einkommen unterhalb von 300€ werden unter 1 zu-

sammengefasst. Die Teilnehmer mit einem Einkommen zwischen 300€ und

500€ werden unter 2, zwischen 500€ und 700€ unter 3 und größer als 700€

unter 4 zusammengefasst.

Die Variable der maximalen Auszahlung wird in das Model integriert. Bei einer

maximale Auszahlung kleiner und gleich 25 ist die Dummyvariable mit 1 festge-

legt, andererseits bei einer bei einer maximalen Auszahlung, die größer als 25

ist die Dummyvariable mit 0 festgelegt.

Die letzte Variable ist die Gruppenvariable. Diese Variable zeigt, ob die Teil-

nehmer sich während der Durchführung des Experiments in einer Gruppe be-

finden oder alleine sind. Wenn sich der Teilnehmer während der Befragung in

einer Gruppe befindet, wird es in das Modell mit der Zahl 1 integriert, sonst 0

mit.

Die Formel des Regressionsmodells sieht wie folgt aus:

Modell R R-

Quadrat Korrigiertes R-

Quadrat Standardfehler des Schätzers

1 ,201a ,040 ,030 6,8997

a Einflussvariablen : (Konstante), Geschlecht, maximale Auszahlung, Gruppen, Einkommen

Tabelle 18: Die Modellzusammenfassung der Regression

Rund 3% (korrigiertes R-Quadrat) der Varianz der Variablen von der Zahlungs-

bereitschaft kann insgesamt durch die Variablen Geschlecht, Einkommen,

Gruppen und maximalen Auszahlung erklärt werden. Dieser durch die Regres-

sion erklärte Varianzanteil ist auch im Vergleich zur Gesamtvarianz hochsignifi-

kant (F = 6,8997, d.f. = 4, p = 0,006). Die Teilnehmer, die über ihr Einkommen

keine Auskunft gegeben haben, sind nicht in die Regression einbezogen. Aus

der Tabelle 19 kann entnommen werden, dass insgesamt die Daten von 354

Teilnehmern für das Regressionsmodell verwendet wurden.


ANOVAb

Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz

1 Regression 703,155 4 175,789 3,693 ,006a Residuen 16661,859 350 47,605 Gesamt 17365,014 354

a Einflussvariablen : (Konstante), Geschlecht, maximale Auszahlung, Gruppen, Einkommen b Abhängige Variable: Zahlungsbereitschaft

Tabelle 19: ANOVA-Tabelle des Modells

Koeffizientena

Modell Nicht standardisierte

Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten

T Signifikanz

B Standardfehler Beta B Standardfehler

1 (Konstante) 3,557 1,442 2,466 ,014

MA -

2,117 ,835 -,149

-2,535

,012

Einkommen ,508 ,340 ,080 1,493 ,136

Gruppe ,441 ,993 ,026 ,444 ,657

Geschlecht -

1,076 ,818 -,070

-1,315

,189

a Abhängige Variable: Zahlungsbereitschaft

Tabelle 20: Koeffiziententabelle des multiplen Regressionsmodells

Die für diese Gleichung benutzten Betakoeffizienten dienen dazu, die individuell

beobachteten Rohwerte der Variablen Geschlecht, Einkommen, Gruppen und

maximale Auszahlung so zu gewichten, dass die optimale Schätzung der Ein-

sätze berechnet wird.

Die Analyseergebnisse der Regression sind in der Formel abgebildet:

Wie in der Tabelle 20 dargestellt, ist die Konstante und die MA eine signifikante

Variable des Modells. Das Einkommen besitzt ein Signifikanzniveau von 13,6%.

Das Signifikanzniveau des Geschlechts beträgt 18,9% und der Gruppen 65,7%.

Daher sind diese drei Variablen des Modells statistisch nicht signifikant.

Aus den Ergebnissen der Analyse kann abgeleitet werden, dass bei einer Erhö-

hung des maximalen Gewinns des Spiels um 1€, würde die Zahlungsbereit-

schaft der Spieler um 2,117 € steigern. Außerdem weisen die Teilnehmer in der

Fazit Seite 37

Gruppe vergleichsweise zu Teilnehmern, die nicht in einer Gruppe sind eine um

ca. 0,441€ höhere Zahlungsbereitschaft. Letztendlich setzen Frauen ver-

gleichsweise zu Männern einen geringeren Betrag von ca 1,08€ ein.

6 Fazit

Das Ziel der Arbeit bestand darin, auf der Grundlage eines Experiments, Aus-

sagen über die Lösungsvorschläge des St. Petersburger Paradoxon. Insbeson-

dere den Lösungsansatz über die Vernachlässigung der kleinen Wahrschein-

lichkeiten empirisch zu testen.

In Kapitel 2 wird St. Petersburger Spiel dargestellt. Sowie die Regeln als auch

der Ablauf des Spiels wurden sehr detailliert erläutert. Das von Daniel Bernoulli

vorgelegte St. Petersburger Paradox wird im dritten Kapitel behandelt. Eine his-

torische Übersicht des Paradoxons wird im vierten Kapitel dargestellt.

Das Kapitel 5 stellt den wichtigsten Abschnitt der Arbeit dar. Das für diese empi-

rische Arbeit durchgeführte Experiment wurde in diesem Kapitel behandelt. In

diesem Kapitel wird vorerst die methodische Vorgehensweise des Experiments

erklärt. Nachdem vorgenommene Umkonstruktionen an das Spiel auf logische

Weise durchgeführt wurden und der Verlauf sowohl das einzelne als auch der

gesamte Experiment vorgestellt wurden, wird das analytische Verfahren be-

stimmt wurden. Das Grundziel des Experiments stellt die Frage „Wo wird die

Gewinnwahrscheinlichkeit trunkiert?“ dar. Im Rahmen dieses Ziels ist die Ana-

lyse so zu gestallten: Die Menschen unterscheiden vielmehr zwischen X und Y

wobei die X einen kleineren Gewinn und Y den größeren Gewinn darstellen

oder zwischen Y und Z (wobei X<Y<Z gilt). Das bedeutet, unsere Analyse soll

uns zeigen, welche aus den 2 unabhängigen Variablen eine höhere Homogeni-

tät besitzt. Eine Variable mit einer höhere Homogenität sagt aus, dass es für

den Menschen keinen Unterschied gibt und daher ihre Einsätze homogen sind.

Eine zu diesem Ziel kompatible Analysemethode zu finden, ist erst dann festzu-

stellen, wenn die zu analysierende Grundgesamtheit eine Normalverteilung

aufweißt. Es wurde nachgewiesen, dass die Daten des Experimentes keine

Normalverteilung besitzt. Deshalb sollte die Analyse mit einem nichtparametri-

sche Test durchgeführt werden.

Fazit Seite 38

Nachdem die Testart bestimmt wurde (nichtparametrische), bleibt nur ein Test-

verfahren, das an unsere Experimentdaten und Analysezwecke anpasst. Das

ist Mann-Whitney-Test.

Nach dem das Verfahren der Analyse festgestellt wurde, führt die Darstellung

der Eckdaten der Experimentergebnisse die Arbeit weiter. Dann folgt die Analy-

se mit Mann-Whitney-Test und die Ergebnisse daraus. Das wichtigste Ergebnis

der Analyse ist, dass die Menschen die Wahrscheinlichkeiten als gleich wahr-

nehmen, wenn sie kleiner als 1/32 ist.

Es folgt die Untersuchung der Zusammenhänge zwischen den Einsätzen und

den anderen Merkmalen, welche im Experiment Beachtung geschenkt wurde.

Einige Merkmale, wie z. B. Studienfach, kann nicht ohne eine Strukturänderung

nach Korrelation analysiert werden. Daher wurden bei einigen Merkmalen struk-

turelle Änderungen vorgenommen, welche im Grunde keinen Einfluss auf die

Daten haben, um die Analyse zu ermöglichen.

Das erste Merkmal ist den Zusammenhang der Einsätze und des Einkommens

der Teilnehmer zu untersuchen. Das Ergebnis der Analyse zeigt, dass ein posi-

tiver Zusammenhang besteht und 10,1 % stark ist.

Dann folgt das Merkmal, Geschlecht der Teilnehmer. Es ist zu erwähnen, dass

die Korrelation zwischen dem Geschlecht und dem Einsatz der Teilnehmer

ziemlich schwach (9,1%) ist. Und die Frauen risikoscheuer als Männer sind.

Der Beruf der Teilnehmer ist aus unterschiedlichen Perspektiven zu untersu-

chen. Hier ist zu erwähnen das ein Vergleich der Stärke des Zusammenhangs

innerhalb der Studienfächer von Studenten. Das Ergebnis aus der Analyse zeigt

uns erstaunlicherweise, dass die Teilnehmer, die in ein sozialwissenschaftliches

Fach studieren, mehr Aufmerksamkeit auf den Erwartungswert schenken als

die Naturwissenschaftler (%39,5 zu %24,7).

Literaturverzeichnis Seite 39

7 Literaturverzeichnis

Bänsch, A.

Wissenschaftliches Arbeiten : Seminar- und Diplomarbei-

ten, 8. Auflage, Oldenburg Verlag, 2003

Bernoulli, D.

“Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”,

Econometrica, Vol. 22, No. 1., Seiten. 23-36. Übersetzung

eines Aufsatzes von 1738 von Louise Sommer, 1954.

Bottom, W. P.

Bontempo, R. N.

Hougrave, D. R.

“Experts, Novices, and the St. Petersburg Paradox: Is One

Solution Enough?“, Journal of Behavioral Decision Making,

Vol. 2, Seiten 139-147, 1989

Chernoff, H.

Moses, L.

Elementary Decision Theory; John Wiley and Sons Inc.,

New York, 1959

Dutka, J.

“On the St. Petersburg Paradox”, 1989, New York

Eckstein, P. P.

Angewandte Statistik mit SPSS: praktische Einführung für

Wirtschaftswissenschaftler; 3. Auflage, Gabler Verlag, 2000

Eisenführ, F;

Weber, M.

Rationales Entscheiden, 4. Auflage, Springer Verlag, 2003

Fahrmeir, v. L.,

Kunstler,R.,

Pigeot, I.,

Tutz, G.

Statistik, 5. Auflage, Springer Verlag, 2004

Kähler, W.-M.

Statistische Datenanalyse: Verfahren verstehen und mit

SPSS gekonnt einsetzen; Vieweg Verlag; 1995

Laux, H.

Entscheidungstheorie, 7. Auflage, Springer Verlag, 2007

Monka, M.

Voß, W.

Statistik am PC : Lösungen mit Excel, 3. Auflage, Hanser

Verlag, 2003

Literaturverzeichnis Seite 40

Neugebauer, T.

The Petersburg Paradox: A Survey and Experimental Evi-

dence. Vortrag vom 17. Oktober 2007 an der UC, Fullerton.

Poisson, S. D.

„Recherches sur la probabilité des jugements en matière

criminelle et matière civile“, Adamant Media Corporation,

2001. (Das originale Buch wurde am 1837 in Paris veröf-

fentlich)

Samuelson, P. A.

„St. Petersburg Paradoxes: Defanged, Dissected, and His-

torically Described“, Journal of Economic Literature, Vol. 15,

No. 1., pp. 24-55, 1977

Sennetti, J.-T.

“On Bernoulli, Sharpe, Financial Risk and the St. Peters-

burg Paradox”, The Journal of Finance, Vol. 31, No. 3.

(Jun., 1976)

Vivian, R. W.

“Solving Daniel Bernoulli's St Petersburg Paradox: The

Paradox which Is Not and Never Was”, SAJEMS NS Vol 6,

No 2, 2003

Zwerenz, V. K.

Statistik: Datenanalyse mit EXCEL und SPSS, 3. Auflage,

Oldenburg Verlag, 2006

Anhang Seite 41

8 Anhang

Anhang A: Beispiel für Spielablauf mit Gewinnwahrscheinlichkeiten

Anhang B: Das Verhalten der Teilnehmer bei einer Ausbau des Spiels (auf

1000€)

Anhang C: Anzahl der Teilnehmer nach maximalen Auszahlungen

Anhang D: Die Verhaltensrichtungen der TN nach der Vorstellung

Anhang E: Relevante Messgröße der Experiment nach Einkommensklassen

Anhang Seite 42

A. Beispiel für Spielablauf mit Gewinnwahrscheinlichkeiten

B. Das Verhalten der Teilnehmer bei einer Ausbau des Spiels (auf 1000€)

Anhang Seite 43

C. Anzahl der Teilnehmer nach maximalen Auszahlungen

Max. Auszahlung 10€ 16€ 25€ 50€ 100€ 1.000€ Gesamt

n 50 50 51 50 85 75 361

D. Die Verhaltensrichtungen der TN nach der Vorstellung

10 € 16 € 25 € 50 € 100 € 1.000 € Gesamt

Steigen 10 25 24 11 31 20 121

Gleichbleiben 35 25 27 38 53 52 230

Sinken 5 0 0 1 1 3 10

Anhang Seite 44

E. Relevante Messgröße der Experiment nach Einkommensklassen

<300

500 - 700

700 - 1.000

1.000 - 1.500

1.500 - 2.000

2.000 - 2.500

>2.500 1

0 €

MW 1,77 1,18 1,64 1,00 1,50 0,33 -

SA 2,55 0,70 1,25 0,71 1,69 0,58 -

Med 1,00 1,00 1,50 1,00 0,75 0,00 -

Max 10,00 3,00 4,00 2,00 4,00 1,00 -

Min 0,00 0,00 0,01 0,00 0,49 0,00 -

16 €

MW 2,56 2,03 2,21 2,83 3,00 4,00 -

SA 0,88 1,37 1,47 1,72 2,00 2,83 -

Med 3,00 2,00 2,00 3,00 3,00 6,00 -

Max 4,00 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 -

Min 1,00 0,00 0,50 1,00 1,00 0,00 -

25 €

MW 3,86 5,57 3,04 3,71 2,67 - 0,00

SA 2,41 2,25 1,85 3,15 2,08 - -

Med 4,00 4,00 3,00 3,00 2,00 - 0,00

Max 10,00 10,00 7,00 10,00 5,00 - 0,00

Min 0,00 2,00 0,50 1,00 1,00 - 0,00

50 €

MW 4,13 3,19 2,68 3,33 1,67 1,25 -

SA 2,00 1,89 1,90 2,08 1,53 1,06 -

Med 4,00 3,00 3,00 4,00 2,00 1,25 -

Max 10,00 6,00 6,00 5,00 3,00 2,00 -

Min 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,50 -

100

€

MW 3,59 3,73 3,98 3,80 2,67 22,20 -

SA 1,91 3,03 4,34 3,55 1,51 43,53 -

Med 4,00 3,00 3,00 2,00 2,00 4,00 -

Max 8,00 10,00 20,00 10,00 5,00 100,00 -

Min 1,00 0,50 0,00 0,00 1,00 0,00 -

1.0

00 €

MW 3,67 3,57 10,29 9,89 12,50 3,00 10,00

SA 3,35 2,90 12,69 16,21 10,61 2,83 14,14

Med 2,00 2,00 6,50 5,00 12,50 3,00 10,00

Max 10,00 10,00 50,00 50,00 20,00 5,00 20,00

Min 1,00 0,00 1,00 0,00 5,00 1,00 0,00

*Legenden: MW: Mittelwert, SA: Standardabweichung, Med: Median.

**Alle Werten sind in Euro angegeben.

Erklärung

Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst

und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe,

dass alle Stellen der Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen

übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht und dass die Arbeit in glei-

cher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt wurde.

Hannover, 26.03.2008

Ort, Datum Unterschrift

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