Eindhoven University of Technology

MASTER

Parameterschatting aan renogrammen van patienten met gezonde nieren

Zijlmans, J.

Award date:1976

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Vakgroep Meten en Regelen.

Afdeling der Elektrotechniek.

Technishe Hogeschool

Eindhoven.

Parameterschatting aan renogrammen

van patienten met gezonde nieren.

door J. Zijlmans.

Afstudeeronderzoek verricht aan de

Technische Hogeschool te Eindhoven

van maart 1975 tot maart 1976

in de vakgroep Meten en Regelen

onder supervisie van Prof. dr. ire J.E.W. Beneken.

coaches: ire A.A.H. Damena

d=s. M. Stapper.

, ,'~,.' ... ~ • ,.__, :....,1 "-0

- O. I --

Samenvatting:

EaE~eieEs£h~tiigg_a~n_h~t_r~n£gE~·

Doel: Ret verkrijgen van kwantitatieve informatie over de nier­

funktie en nierdoorbloeding uit het tijdsverloop (het

renogram) van de radioaktiviteit in de nier, welke op­

treedt na een injektie in de armader van hippuran, dat

gemerkt is met 1131.

Voortgang:

Na bestudering van de fysiologie en anatomie van de nier

en de waterhuishouding van het lichaam, is een model

opgesteld, dat het verloop van de hoeveelheid hippuran

in de nieren mathematisch beschrijft d.m.v. 3 e-machten.

Er is een schattingsprogramma ontwikkeld berustend op

het principe van Marquardtschatting, dat h.O.V. hat model

de 6 parameters (2 coefficienten, 3 exponenten en 1 ver­

tragingstijd van de e-machten) van een renogram scnat.

Onderzocht is of deze parameters omgerekend kunnen worden

in fysiologische grootheden, die de arts kwantitatieve

informatie verstrekken over enkele aspekten van de werking

van de nier van een patient.

- 0.2-

Summary:

Ea~~eie~e~tim~tio£~n~ ih~ Ee£ogr~~

Aim: To get quantitative information about kidney function

and bloodsupply to the kidney from the radioactivity

as function of time (the renogram) which occurs in

the kidney after injection with Hippuran labelled with

1131 •

Method: After the study of physiology and anatomy of the kidney

and the bodywater-regulation, a model has been designed

which describes the quantity of Hippuran in the kidney

by means of 3 exponentials (6 parameters).

An estimationprogram has been developed, based on the

principle of Marquardt, which estimates. ~ith the aid

of the model, the 6 parameters of a renogram.

We have investigated whether these parameters may be

converted into physiological quantities, which give

the physician numerical information about some aspects

of the function of the patient's kidney.

- 0.3-

Hierbij wil ik eenieder van de vakgroep hartelijk danken voor

zijm steun, goede raad en gezellig gepraat in de koffiehoek.

In het bijzonder:

Prof. dr. ire J.E.W. Beneken wil ik bedanken veor zijn

enthOllsiaste begeleiding.

Ir. A.A.H. Damen wil ik bedanken voar zijn spitsvondigheden

en goede discussies.

Drs. M. Stapper wil ik bedanken voer de suggesties, voortvloeiend

uit een heldere kijk op mijn problematiek.

Dr. J.A. Flendrig wil ik bedanken voor zijn medewerking aan

dit projekt en het geduld wat daaraan verbonden is.

W. Carpay wil ik bedanken voor het selekteren en beschikbaar

stellen van meetwaarden.

J. Zijlmans

Eindhoven Maart '76.

- O. l.f -

Inhoud.

I

Inleiding.

Modelbouw.

1.1 • an£ltQ,mie_eu U§..iQ,lgp;ie_vg,n_d§.. g,i§..r.:..

1.1.1. Taak van de nieren.

1.1.2. Ligging van de nieren.

1.1.3. Bouw van de nieren

1.1.4. Bloedtoevoer en -afvoer.

I. '1 .5. Werking van de nefronen.

1.1.5.1. Ultrafiltratie.

1.1.5.2. Reabsorptie en secretie.

1.1.5.3. Het juxtagIomerulaire apparaat.

1.1.6. Urineafvoer.

1.2. ~aih§..m~tis£h~ £e~chrijyiggL ~o£elb£u~.

blz.1.

bIz.2.

bIz.5.

bIz.6.

bIz.7.

bIz.S.

bIz.9.

bIz.10.

1.2.1.

II.

Schematische beschrijving van de hippuranhuishouding

van een nefron.

Verdeling van de IichaamsvIoeistoffen.

Hippuranverdeling.

Schattingmodel.

Meetprocedures.

bIz.11.

bIz.13.

bIz.27.

II.1 • E.r.!.n£iJ2.e_v~n_d§.. !B,eiigg_eg £e_g§.bE.uikie_aEP~r.§:.t:!luE.'

11.1.1. Eigenschappen van het 1131.

ILL 2. Meetapparatllur.

III. 1.

III. 2.

- 0. 5 -

11.2. !1e~tl2.r.2.c!:d:!!r~s.!..

11.2.1. Methode gebruikt in het st. Catharinaziekenhuis.

11.2.2. De CABBS methode.

III. Informatieverwerking.

111.1.1. De gradient methode.

111.1.2. De Gauss-Newton methode.

111.1.3. De methode van Marquardt.

lie.§.ult§.t~n_v~n_s£h!!:t!i!!g~n_a§.n_r~n.2.gE.8.£!ID~n_

yaEl I!.a!i~n!e!! !!!e! B:e~o!!d!: !li~r~n.!..

111.2.1. Schatting met het 2 e-machtenmodel.

111.2.2. Schatting met het 3 e-machtenmodel.

III. 3.

111.3.1. Model- op modelschatting.

111.3.2. Hoogtekaartplot van een gegenereerd renogram.

111.3.3. Hoogtekaartplot van een echt renogram.

111.3.4. Omrekenen van de geschatte parameters

in fysiologische grootheden.

1111. Conclusie en aanbevelingen.

11111. Literatuurlijst.

111111. Appendix (listing van het computerprogramma).

blz.27.

blz.33.

blz. 36.

blz.37.

1)lz.38.

blz.39.

blz.42.

blz.45.

blz.57.

blz.68.

blz.74.

blz.80.

blz.89.

- 0.6 ~

1nleiding.

Renografie is het registreren van de radioactiviteit in de nier,

welke optreedt na een injektie in de armader van hippuran, dat

gemerkt is met 1131. Als injektievloeistof heeft men hippuran

gekozen, omdat het een lichaamsvreemde stof is, die uitsluitend

en volledig door de nieren wordt uitgescheiden en niet meer

voorkomt in de nierader.

Het doel van de renografie is het verkrijgen van informatie

over de nierfunktie.

In het St. Catharinaziekenhui.s te }!Jindhoven wordt renografie

toegepast. Men vroeg zich daar af of er met behulp van de com­

puter meer informatie ui teen renogram gehaald kan \'1Orden. Onze

vakgroep is gespecialiseerd in parameterschatti'lg' en boad.

daarom aan dit onderzoek te verrichten.

Na bestudering van de anatomie en de fysiologie van de nier

en de waterhuishouding van het lichaam, is een model opgesteld,

dat het verloop van de hoeveelheid hippuran in de nier beschrijft.

Met dit model gaan we schattingen uitvoeren aan renogrammen

van patH~nten met gezonde ni.eren. We nemen hiervoor mensen met

gezonde nieren om de schattingsresultaten te kunnen beoord~len.

-1-

Hoofdstuk I. Modelbouw.

1.1. Anatomie en fysiologie van de nier.

1.1.1. 1:aiJ:k_v.!~:.n_d~ £i~r~n.

De nieren reguleren direkt de samenstelling en het volume van de

extraeellulaire vloeistof en indirekt die van de intr~eellulaire

vloeistof. Ze houden het voehtgehalte en de eoneentratie van opge­

loste stoffen op peil" (water- en zouthuishouding), en zorgen er

mede voor, dat het evenwieht tussen zuren en basen bewaard blijft.

Deze taak wordt zo goed verrieht, d.at bij een grote variatie van

de toevoer van vloeistof met de daarin opgeloste staffen, het volu­

me, de samenstelling en de zuurgraad van de liehaamsvIoeistoffen

opmerkelijk konstant blijft.

1.1.2. 1i,gging ~a£ .9:.e_nie!.e£.

De nieren .zijn twee boonvormige organen, gelegen aehter boven in

de buikholte ter hoogte van de lendenstreek, links en reehts van

de wervelkolom. Ze liggen tegen de diepe laag van rugspieren aan

aehter het peritoneum (buikvlies).

De reehter nier Iigt onder de lever; het hoogste punt ligt op de

hoogte van de twaaIfde rib. :De linker nier ligt hager; het hoogste

punt ligt ter hoogte van de eIfde en twaalfde rib.

De nieren zijn ongeveer 11 em. lang, 7 em. breed en 3 em. dik en

hebben een gewicht van 120-160 gram. Het middelpunt van de nier

ligt ge;niddeld 6 em... onder de vpPoI'vlakte van de rug.

De nieren liggen gebed i.n sen dJ.kke vetmassa, waardoor zij op hun

plaats worden gehouden. Om deze vetlaag loopt een stevige fascie

(bindweefsel), die voor de wervelkolom langs van de ene naar de

andere nier loopt. Onder de vetlaag heeft de nier nog een dunne vrij

stevige laag bindweefsel, het zogenaarnde kapsel, dat vast op de

nier zit en de nier een glad glanzend uiterlijk geeft. De nier is

bruinig van kleur.

De bolle kant van de nier ligt naar buiten gericht, de holle zijde

naar de wervelkolom toe. In deze holte komen de bloedvaten en zenu­

wen de nier binnen en verlaten d.e bloedvaten sarnen met de urinelei­

der de nier.

1.1.3. ~o£w_v~n_d~ £i~r.

Beziet men de nier op doorsnede, dan ziet men aan de holle zijde

het nierbekken (pyelum). Hierin verzamelt zich de urine.

fig. 1. Overlangse doorsnede van een nier~

(uit: Renal Function. dool' Heinz V1'~l tin).

- .')-

- Het nierweefsel bestaat uit twee lagen:

de buitenste smalle laag, de schorslaag of cortex; deze is gespik­

keld.

de binnenste brede laag, de merglaag of medulla; deze ziet er

streperig uit en is gerangschikt in de vorm van piramiden.

- De tappen hiervan, de zogenaamde papillen, zijn naar het nierbek­

ken gericht. Er zijn in totaal 8-15 piramiden in een nier.

- De papillen steken iets uit in het nierbekken en duwen daarbij

de uitlopers van het nierbekken, de nierkelken of calyces, iets in.

- In de schorslaag en merglaag liggen de ± 1 miljoen nierkanaaltjes,

nefronen genaamd. Men schat de lengte ervan op 50 mm.

Men onderscheidt hieraan:

1. Het nierkapsel of kapsel van Bowman; dit is een dubbelwandig

zakje, dat met een laag platte epitheelcellen is bekleed. Het

kapsel heeft een diameter van 0.2 mm.

2. De wanden van het kapsel zetten zich vQort in een gekronkeld

kanaaltje, de proximale tubulus.

3. De proximale tubulus gaat over in de lis van Henle, gelegen in

het merge Deze bestaat uit een afdalend en een opstijgend been.

4. De lis van Henle zet zich voort in een gekronkeld kanaaltje,

de distale tubulus; dit deel ligt weer in de sehors.

5. De distale tubulus mondt uit in het verzamelbuisje, dat in de

merglaag ligt. Een verzamelbuisje verzamelt de urine afkomstig

uit verschillende nierkapsels en mondt uit in het nierbekken

via de papil van een piramide.

- 1.;-

- Aan de hand van hun ligging, bouw en werking onderscheidt men twee

typen nefronen. (zie fig. 2)

1. De corticale nefronen: hiervan ligt het kapsel van Bowman in de

buitenwand van de cortex. Ze hebben een korte lis van Henle, die

slechts doordringt in de buitenste rand van de medulla.

2. De juxtamedullaire nefronen: hiervan ligt het kapsel van Bowman

diep in de cortex, tegen de medulla aan.

De lis van Henle dringt ver door in de medulla, soms zelfs tot in

de papillairpunt.

De bijbehorende glomerulus is grater dan bij de corticale nefronen.

De bloedtoevoer is ook anders geregeld.

De mens heeft 8 maal zoveel corticale nefronen als medullaire

nefronen. Als de mens in rust is werkt slechts 1/10 van aIle

nefronen.

""'" I

• t•• , l\U" ,,'

,.... """ .. '\Ill ,,' I.

( b)

CORTEX

SUBCORTICAllONE

OUTERMEDULLA

iNNERMEDULLA

rjRPl\,P! LtA

fi.g. 2: corticaal en llieclullair nefX'();c, ':1let (b)

en zcnter (a) ~a?illair netwerk.

1.1.4. ~lQ.e£.tQ.e:ro§..r_eE.=.aivQ.e£..

De nierslagader, de arteria renalis, die in het bovenste buikgedeelte

direkt uit de aorta ontspringt, komt de nier binnen en splitst zich

daar in de arteria anterior en posterior. Deze splitsen zich verder

en gaan over in de afferente arteriolen, die naar de schors lopeno

- De afferente arteriool die naar een corticaal nefron gaat, is om-

geven door spierweefsel, dat de plasmaflow in de arteriool kan

regelen. Ret spierweefsel wordt beinvloed door het sympatische

zenuwstelsel en door concentratie van bepaalde stoffen in het bloed.

- De afferente arteriool, die naar een medullair nefron gaat, is niet

omgeven door spierweefsel. De plasmaflow is dan ook afhankelijk van

de bloeddruk.

Iedere afferente arteriool mondt uit in een kapsel van Bowman. In het

kapsel van Bowman vindt men een kluwen van slagaderlijke capillairen

(6-10), glomerulus genaamd. Deze verenigen zich binnen het kapsel weer

tot een arteriool, het vas efferens.

- Bij de corticale nefronen is de doorsnede van het vas efferens klein

en daardoor ook de stroomsnelheid in de glomerulus.

Bij de medullaire nefronen is het vas efferens omgeven door spier­

weefsel dat de stroomsnelheid in de glomerulus regelt. Ret spier­

weefsel reageert op het sympatische zenuwstelsel en op de aanwezigheid

van het antidiuretisch hormoon.

Het vas efferens treedt door een opening van het kapsel van Bowman naar

buiten.

Bij de corticale nefronen vertak't het zioh daar direkt weer in een

capillairnet. Dit capillairnet zit geweven om de proximale en distale

tubuli en om de lis van Henle van het hetzelfde nefron en om die van

andere nefronen. In di t capillairnet ga.an zuursto:(rijke capillairen

over in zuurstofarme. Deze verenigen zich tot adertjes, die zich

op hun beurt verenigen tot de nierader.

- Bij de medullaire nefronen splitst het vas efferens zich in een

capillairnet en in een aantal kronkelige vaten, de vasa recta.

Deze vasa recta gaan in bundels naar het binnenste van de medulla

of de papillen. Daar splitsen ze zich weer in een capillairnet,

dat de verzarnelbuizen en de oplopende benen van de lissen van Henle

omgeeft. Daarna komen ze weer sarnen en vormen een vas rectum, deze

vasa recta gaan in bundels naar de cortex. Daar vormen ze adertjes

die uitmonden in de nierader.

Naar de nier stroomt 1/5 van de cardiac output. Dit komt neer op

500 - 650 mI. bloed per minuut voor iedere nier.

1.1 .5. lie!,king yag i.e_n~.f!,ogeg.

1.1.5.1. Ultrafiltratie.

De nierarterie is een vertakking van de aorta. De druk in de nier­

arterie is daarom hoog en blijft hoag tot in de glomeruli. Daar is

hij ongeveer 60% van de aortadruk. Dat betekent, dat de druk in de

glomeruli veel hoger is dan de colloid-osmotische druk van de plasma

eiwitten; deze is 25 rom. Hg. Het gevolg is dat vocht uit de capillairen

van de glomerulus door de wand hiervan wordt geperst naar het inwendige

van het kapsel van Bowman. Dit proces noemt men ultrafiltratie. Het

is een passief proces. Hierbij worden weI water en zouten gefilterd,

maar niet of nauwelijks de grote eiwitmoleculen. De hoeveelheid

glomerulair ultrafiltraat bedraagt 120 mle/min.; dit is ongeveer 1/5

van de haeveelheid aangevoerd plasma.

1.1.5.2. Reabsorptie en secretie.

De rest van het plasma dat niet gefilterd is, stroomt via de vas

efferens naar het capillairnet, dat de proximale en distale tubulus

en de lis van Henle omgeeft. Tegelijkertijd stroomt het gefilterde

plasma, het glomerulair ultrafiltraat, via de proximale tubulus en

de lis van Henle naar de distale tubulus.

In de proximale en distale tubulus en in de lis van Henle vindt nu

tweeerlei transport plaats. Er worden water en opgeloste stoffen

vanuit de proximale tubulus getransporteerd naar de intracellulaire

vloeistof van de cellen van de tubuluswand , en van daaruit naar het

peritubulair bloed; dit noemt men het reabsorptieproces. 80% van het

water, veel natrium, It grootste deel van de fosfaten en aminozuren

en aIle glucose wordt uit de proximale tubulus gereabsorbeerd. Ook

uit de lis van Henle wordt nog water en natrium gereabsorbeerd.

Anderzijds worden er ook stoffen getransporteerd van het peritubulaire

bloed naar de intracellulaire vloeistof van de tubuluswand en van

daaruit naar het inwendige van de tubulus; dit noemt men het secretie-

proces. Dit proces, alsook het reabsorptieproces, is een aktief proces;

er wordt namelijk energie en ook zuurstof verbruikt. Het secretieproces

zorgt ervoor, dat o.a. de lichaamsvreemde stoffen zoals PAH (para-amino-

hippuurzuur) en Hippuran, uit de bloedbaan naar de proximale tubulus

worden getransporteerd. Hippuran is voor ± 70% aan proteine gebonden

en voor een klein deel ook aan rode bloedlichaampjes. Deze kunnen beide

niet door het passieve ultrafiltratieproces gefilterd worden maar weI

door het proximaal filtratieproces. Zolang de dosis niet te groat is,

worden PAR en Hippuran voor bijna 100% uitgescheiden.

-0-

De distale tubuli en de stijgende benen van de lissen van Henle zorgen

ervoor, dat er zoveel water gereabsorbeerd wordt, dat het volume van

de lichaamsvloeistoffen konstant blijft; wat teveel is wordt uitge­

scheiden. (Dit wordt o.a. geregeld door het antidiuretisch hormoon).

De distale delen reguleren door selectieve uitscheiding ook de samen­

stelling en de zuurgraad van de lichaamsvloeistoffen.

1.1.5.3. Ret juxtaglomerulaire apparaat (JGA).

De meeste corticale nefronen hebben speciale epitheelcellen, de macula

densa cellen, in het begin van de distale tubulus en tevens speciale

secretiecellen in een gedeelte van de bloedtoevoer en -afvoer. (zie

fig. 3) Ze liggen daar waar de afferente en efferente arteriool de

glomerulus binnengaat, respectievelijk verlaat. Deze twee soorten

cellen, behorende tot hetzelfde nefron, raken elkaar.

Ret JGA scheidt renine af, dat de spieren van de afferente arteriool

prikkelt. Men beweert, dat bet JGA onderdeel is van een teruggekoppeld

systeem, dat zorgt voor de autoregulatie Vrol het nefron; d.w.z. voor

het konstant houden van de glomerulaire filtratiesnelheid en van de

nierdoorbloeding. Dit heeft tot gevolg, dat de vertragingstijd van

een nefron, dat is de tijd, die verstrijkt tussen het moment waarop

een stof aankomt bij de glomeTI~lus en het moment waarop het van het

nefron naar de verzamelbuis gaat, vrij konstant is voor deze nefronen.

We kunnen dus stellen, dat de vertragingstijd onafhankelijk is van de

urineproduktie ofweI diureses

Men neemt aan dat aIleen corticale nefronen het JGA kunnen bezitten.

De doorstroming van de medullaire nefronenwordt geregeld door het

sympatische zenuwstelsel en het antidi11retisch hormoon. Ze hebben dan

ook een andere vertraging3tijd dan de nefrons met het JGA (zie Britton

en Brown blz~ 207 e.v.).

- q.-

fig. 3: het juxtaglomerulaire apparaat:

de distale tubulus raakt het vas

efferens en het vas afferens.

\ '

,', ..

De urine, die uiteindelijk gevormd is, komt via de verzamelbuisjes in

het nierbekken (ong. t ml./min.)

Vanuit het nierbekken gaat de urine naar de urineleider of ureter.

Door middel van peristaltische bewegingen wordt de urine naar de blaas

gebracht.

- Ie -

1.2. Mathematische beschrijving,modelbouw.

Hiervoor hebben we globaal de werking van de nier beschreven. Voor

ons is vooral van belang de verwerking door de nier van het radio-

aktief gemerkte hippuran. Het zijn voornamelijk de corticale nefronen,

die hippuran uitscheiden. Men stelt, dat ze verantwoordelijk zijn voor

80% van de uitscheiding van hippuran. We stellen de nier voor door

een groot nefron met zijn diverse processen:

l~PC;-::t:!!=---,-.(-)------~OUTPUT'ATERY J 51 T,I-S) I-F (I-S)(H)(i-K)· --+ VEIN

--------..,',///

Fdt.r i~-----'

~-p-;.llmQI 1

tubul. Cliis

fig. 4: model van hippuranuitscheiiing door een nefron.

(uit: Clinical Renography by Britton en Brown)

Een zeer Kleine fraktie 8 (+ 3%) van de input gaat via de vaten,

die het nierkapsel en de pelviswand van bloed voorzien, rechtstreeks

naar de outputader.

- De fraktie (1-8) gaat naar de glome~lli. Een fraktie F (± 6%) wordt

hier passief gefilterd. F is evenredig met de "glomerular filtration

rate", GFR. De fraktie F is klein vanwege de binding van hippuran

aan proteine (± 70%) en aan rode blJedlichaampjes (4-5%), die beide

niet door het ultrafilter van de glomerulus kunnen.

- 11-

De restfraktie (1-S)(1-F) gaat via de efferente arteriool naar de

peritubulaire haarvaten. Een fraktie K (+ 83%) wordt door de cellen

van de proximale tu'bulus getransporteerd naar het inwendige van de

tubulus. K is dus een maat voor de opname-efficientie van de proxi­

male tubulus. Het secretiemechanisme van de proximale tubulus is

niet in staat al het hippuran uit het bloed te halen. Dit wordt

deels veroorzaakt door de proteinebinding en deels doordat het

mechanisme concentratieafhankelijk is. De concentratie wordt lager

naarmate het hippuran verder doordringt in het haarvat vanwege

filtering van hippuran en vanwege reabsorptie van water.

- De fraktie, die uiteindelijk in de verzamelbuis komt is gelijk

aan (1-S)F + (1-S)( 1-F)K•.

We definieren nu de extractieverhouding E als 1 minus de fraktie

in de output-ader:

E = (1-S) - (1-S)(1-F)(1-K) ~ 81,5%

Deze extractieverhouding is een belangrijke maat voor de werking

van de nier.

1.2.2. ye£.d~linB: ~a£ ~e_Iicha~m~vlo~i~t.2.f.f.e£.

Voordat we een model kunnen opstellen, moeten we eerst onderzoeken

hoe het hippuran door de rest van het lichaam verwerkt wordt. Daar­

toe beschouwen we de verdeling van de lichaamsvloeistoffen over de

diverse ruimtes.

Het lichaam bestaat voor 50 - 70% uit vocht. Dit percentage hangt

af van de h06veelheid vet, die iemand heeft. Vetweefsel bevat weinig

vocht. Aangezien vrouwen relatief meer vet hebben dan mannen zal

voor hen het percentage dichter bij de 50% liggen.

Het vocht is over twee ruimtes verdeeld: een extracellulaire en een

intracellulai:re.

- /2--

De extracellulaire vloeistof is de vloeistof buiten de cellen en

omvat: het bloedplasma

de interstitiele vloeistof

de transcellulaire vloeistof (vocht in de hersenen, ruggemerg,

ogen, longvlies, buikvlies en spijsverteringssappen)

het lymfevocht.

De intracellulaire vloeistof omvat de vloeistof binnen aIle cellen

van het lichaam. Tussen de interstitiele en vasculaire ruimte vindt

uitwisseling plaats van water met de daarin opgeloste stoffen, met

uitzondering van de meeste eiwitten en sommige lipoiden.

Tussen de interstitiele en intracellulaire vloeistof vindt uit-

wisseling plaats van voedingsstoffen v66r, en afbraakprodukten van

de cellen.

De produktie van urine door de nieren kan opgevat worden als een out-

flow van water uit het bloedplasma.

Zoals al eerder werd opgemerkt, blijft de totale hoeveelheid li-

chaamsvocht gemiddeld konstant. Dit houdt in dat het volume van de

diverse compartimenten konstant is, en dat de totale inflow van een

compartiment gelijk is aan de totale outflow van dat compartiment.

Dit is van groot belang voor ons model.

~- -/ntrr;;jce//LlIQ/r - - -)1(- - ex tI"'Qce//ti/GI/r - - - - ->

~lIU ~ I'()., ~ I... ....... ......

~~ ~ ~

() ~ ~:IU

'cl ~~

,-,,'::'i ~

I~-....: ."lJ

~.::t- I.\)'\:) , ~, \) a

'i-J

~ ~ Ion 'i.JI \.l .V) "-J t ~

\I) ~ ~~

"C) , .... """'" lI) I '1 "

"') "- ~ \U~) .......... ~ \l) ~'l.l

~ 'lJ ~ l~ ~ ~ a.~ ~~ .~

~ Q, ~ ............... "'J ~

'-- --J... -'-_~ ____'_ .l.-__----l

fig. 5: verdeling van de lichaamsvloeistoffen.

- /3-

1.2.3. !!iEP:!:a:r§!l:ye£d~ling.

Hippuran, dat opgelost is in een vloeistof met dezelfde osmotische

druk als bloedplasma, wordt in een armader geinjecteerd. Door de

snelle bloedcirculatie en de goede menging in de beide ventrikels

wordt het hippuran in verhouding tot de samplefrekwentie zeer snel

over het hele bloedvatenstelsel verdeeld.

Vanuit dit bloedcompartiment vindt uitwisseling plaats van water

en stoffen, waaronder hippuran, met de interstitiele vloeistof.

Men neemt aan, dat er geen uitwisseling van hippuran plaatsvindt

tussen de interstitiele en de intracellulaire vloeistof.

Van de cardiac output gaat ongeveer 1/5 rechtstreeks naar beide

nieren. Deze scheiden het aangeboden hippuran voor het grootste deel

uit. Dit gaat via de ureter naar de blaas.

De verdeling van hippuran over het lichaam, zoals hier beschreven,

kunnen we schematisch weergeven zoals in fig. 6 is gebeurd (z.o.z.)

1. 2.4. licl!a1tings!!!oS!.el.

Aan de hand van dit schema kunnen we een model opstellen voor de

hippuranhuishouding. Dit model zullen we gebruiken voor parameter­

schatting aan renogrammen van patienten met gezonde nieren.

Eij het opstellen van het schattingsmodel hebben we gezocht naar

een compromis.

- Enerzijds willen we zoveel mogelijk informatie (fysiologische

grootheden) uit het renogram halen. Daartoe maken we gebruik

van de parameterschattingstechniek. De funktie die het model

beschrijft wordt daarbij over de meetcurve gelegd, en er wordt

gezocht naar een best fit.

--ILj -

Interst,l./e-/e f- - - - - - ~b/oed-

11\ I

v/oeistof~-----

" T,II

IIh crace /luIQ/re Iv/oe/stof I

I/Jer/tl.fhl.t!Q/re !]/orneru /1

cCJ!JI/lat'ren

( //nks) ( hnks)If'>

I,II I.. 'II

jerI t:tlotllaire glomeruIt'I

cOjJi/IQ/ren

{,.echt:~} (reChCS)1'\I

(rechLs)

(recht'S)

(9 6.

(~ ~ iry eC'cJe

- - -~ ::.. welterflow 20hcler hp'p/..Irr:~J?

,~ <:. £..,;at.erflow I??et hifJpurOn

T _ it"9h :5!);rC1t/-e

-/~-

Het heeft echter geen zin om een gedetailleerd model op te stellen,

dat beschreven wordt door een gecompliceerde funktie, als de meet­

curve (het renogram) veel ruis bevat. De parameters, die dan ge­

vonden worden hebben een grote variantie.

- Anderzijds kunnen we een eenvoudig model opstellen. De parameters,

die we bij schattingen met dit model vinden zijn betrouwbaar, maar

nu bestaat de kans, dat er tussen de parameters en de fysiologische

grootheden geen duidelijk verband meer bestaat.

We starten met een eenvoudig twee e-machtenmodel.

De variantie en de fysiologische relevantie van de resultaten

van de schattingen met dit model bepalen of we het model verder zullen

detailleren.

We doen de volgende vooronderstellingen:

- de invloed van de niercapillairen kan verwaar100sd word.en.

- de nieren scheiden al het hen aangeboden hippuran uit (dat betekent

dat de voorheen afgeleide extractieverhouding E gelijk aan 100%

gesteld wordt)

- de volumina van en de waterflows van en naar de compartimenten

zijn konstant.

- op t = 0 (moment van injectie) is al het hippuran gelijkmatig ver­

deeld over het bloedcompartiment (omdat de circulatietijd van het

bloed klein is t.o.v. de duur van een meetinterval.)

- aIle nefronen van 1 nier hebben dezelfde vertragingstijd; we maken

dus geen onderscheid tussen corticale en juxtamedullaire nefronen.

- de extracellulaire activiteit wordt verw&arloosd.

de menging van de nefronen wordt verdiskonteerd in de menging van

de pelvis.

Het schattingsmodel, dat we hiermee verkrijgen is getekend in

onderstaande figuur.

I. r i.'-oilb10edfJ /Qt>·I'J?Q.I-----:....:..:.=----~, ,,,let-oSc/i./ele

v!oeistofyoltt""e v.,.

I, (//#1k.)

I·JeJ-Miaidekle

vert,cuj/nq:s .I t:la de" l7efrom

( N!!t:hl;~)

!Ie "",/~r;lelcle

Vt:. t-t. rQ'j;h9S­eye( a'erne!ro/rs

r - -

hierbekken.

pO!I.In,e Yd'P /00501, 6i' het .3 e­mGlchtehrYIoclel niet.

IJi het: .2 e- h-1achten·

moc;le/ lIerWQar-

;.;-- e'e inv/oecl Veln het.I

nierk eld..'en wordtI

I

I

I

1/

Creche:!» !

n leI"be.tken

vo/LtJ'¥1e Vt,-p

___1_ - - - Jr---------.J

( It'y,Ic~)I

I

I

IL _ _

r·r'f], 7 Schott./nqs mode/.

Het verkregen schattingsmodel bestaat uit:

- 5 volumina 1. bloedcompartiment

2. interstitieel compartiment

3. nierbekken linkernier

4. nierbekken rechternier

5. blaas

(v1 )

(V2

)

(V3P

)

(V4P

)

(V5)

- 2 vertragingslijnen 1. gemiddelde vertragingstijd

van aIle nefronen links (T3

)

2. gemiddelde vertragingstijd

van aIle nefronen rechts (T4

)

We gebruiken voor de fysiologische grootheden de volgende symbolen:

V.~

T

Gij=Gji

Q.~

= volume van compartiment

= vertragingstijd van nefrO!leD

= de waterflow van compartiment i naar j

= hoeveelheid hippuran in compartiment i

= totale flow van en naar bloedcompartiment;

Voor het schattingsmodel gelden de volgende beginwaarden:

Q1(O) = K : K = hoeveelheid geinjecteerd hippuran

Q2(O) = QT3(O) = Q3P(O) = QT4(O) = Q4P(O) = Q5(O) = O.

De hoeveelheid hippuran aanwezig in de blaas, Q5(t), kan gesplitst

worden in Q5,3(t) en Q5,4(t), hoeveelheden afkomstig van respectieve­

lijk het linker- en rechternierbekken.

De vergelijkingen voor de hoeveelheden in de diverse compartimenten

kunnen afgeleid worden met behulp van een aantal standaardtechnieken

beschreven in "Compartments in Biology and Medicine". Deze berekeningen

zijn uitgevoerd door R. Haak (zie literatuur). Daze vergelijkingen luiden:

t ~o [.2J

o~ t< 7j ~)

t ~~ {it)

O~ t. <T'f (s)

t '?-lit (6)

O~ t. < 13 (1)- ';lJ(t -7i)

~.z 6.%. ) e • C) 73 (iP).:1;3 - AZ

f;,(t) :;

- 16'-

t~o' OJ

~4'P{t) = 0

6"i4fJ rt; = /" 6~

::I y - A,

&~3 (t) .. 0I

o~t<73 (/1)

o~ t. <~ ~2)

- Jq-

In deze vergelijkingen is gebruik gemaakt van een aantal mathematische

parameters, die als voIgt uitgedrukt kunnen worden in de fysiologische

parameters:

- 4 exponenten:

~. = ~[( t + ~:)+VC<;; + ~2)'-'t( q'J ~~. " ~)1~.5 = c;3~

ltjp

- 8 co~ffici~nten:

~6}

(; f))

OJ. = k (~I _Go) =AI - :l.l v,

aJ = -k 4'2-'A'-';\2 VI

- 1<. I(-~ r~ )-V(~ ~ ~t-ltCff4~Clo/ ~~) (2 I}

( 0.E....,. C;,2.).t _ ,,(C'~.+C;,o/ i\- C;,:z.v, V2. v, Vol

+k. c;":l.

k'A, - ').z

-2C '-

Oz _- -':41

v,

- 2 vertragingstijden:

T3 = vertragingstijd van de linker nier.

T4 = vertragingstijd van de rechter nier.

Voor de renografie is van belang het verloop van de hoeveelheid radio-

activiteit in de nieren. De stralingsdetector meet echter de hoeveel-

heid radioactiviteit, die uit de richting van d0 nieren komt en meet

derhalve ook de activiteit afkomstig van weefsel voor en achter de nier.

Verder dient opgemerkt te worden, dat de meetwaarden, die we zullen

aangeven met Mt . (t slaat op het sampletijdstip, i is een indikatie,J.

van het meetgebied),geen kontinue funkties van de tijd zijn. De detek-

tor telt gedurende een interval van een halve minuut de hoeveelheid

quanten, die uit de richting van de nier komt. De eindwaarde is ~~n

meetpunt en is de uitkomst van een integratie over het tijdsinterval

At. We kunnen derhalve schrijven:I)AC

M L • ~ fc.~ i {j/ ~j' {t)l crthlJc:// ' 1. \Je l

(h-I)At

(~8)

Hierin is: Q.(t) de hoeveelheid hippuran in compartiment jJ

f .. de fraktie van de quanten, die afkomstig zijn uit com­JJ.

partiment j en meegeteld worden bij de meting in gebied i.

C 18 de omrekeningsfaktor hoeveelheid hippuran - aantal quanten Q

- :!./-

Voor deze integratie maken we gebruik van de midpointregel.

Daarom voeren we in t' =(t - iAt) met t = nAt; n = 1,2 ••• 41; t = ~ min.

Er zijn vier metingen mogelijk:

1) Bloedplasma en interstiti~le ruimte:

2) Linkernier + a.chtergrond:

(2q)

3) Rechternier + achtergrond:

4) Blaas + achtergrond:

1'1t,,,, ~ CAt \ /~.", Q~(tJ -I-!", fi, (0,. (2,. {}2 a1 jOmdat de detector het hele niergebied bestrijkt geldt:

f T3 ,2 = f 3P ,2 = f T4 ,3 = f 4P ,3 = f 5,4 = 1.

Na invullen van de vergelijkingen 1 tim 15 krijgen we de volgende

vergelijkingen:

- 22-

[ j; - ~d'] t o~t<I't {35}bl( + {-bit -f- j:3 (), f- 23 r4j) e

L:Jt.c } [_ 63 f- b~~lj e ">,,TI( f- {3Qf + {z3 Q3 Je_ Aft J

I'1t ,3 -:: +':\Y-AI

[- b't +'h~;; ~ ] - ~zt 'by Ai( e -f /J (12. of 23 CI'f e of

';\ 'i- AI

_ [ 'At 63 + ~2. b" 1 e- ~ • u - /4.) i c~T't (31)';\lj- 'A I ?tt - A~ J

Mt 4 is voor ons onderzoek (nog) niet van belang, omdat het erg moeilijk

is om uit dit signaal kwantitatieve informatie te halen. Desgewenst kan

Mt 4 gevonden worden door de vergelijkingen 11 tim 15 in te vullen in

vergelijking 32.

We zullen gedurende dit onderzoek voornamelijk te maken hebben met

Mt 2 en Mt 3. Omdat Mt 3 analoog is aan Mt 2 beperken we ons bij de

nu volgende beschouwing tot Mt 2.

We nemen aan, dat de frakties van het bloedcompartiment en inter-

stitiele ruimte, die door de detector gezien worden, vrij klein zijn.

Stel f 12 = f 22 = O. Dan vinden we de benadering voor het renogram:

/'1(2.( _p~tJ) ( -PlIt)

o~t<?5" (39):::: Pi I-e ff3 I-e

!'1t ,i.(f:lfJ!" I!-z eP:J.!1r) - ~2 t'

= 'pI e - / of - e. 1-/6-12

,P ( ;tf~ fJLt e. fJ'IP~) -I'll t'J e - I r /-- - e f-

16 -1'1( -jJ6 a-rJ t~?~ (39)flfh +- f 3/'7 ) e

fJ6 -/2 f6 -/2

Hierin zijn P1 tim P6 de parameters van het schattingsmodel. Er geldt:

P1 = ~ t. b 1

P 2 ='). 1

p3

=At.b2

P4 =).2

Ps = T3

P6 = ~ 3

(~o)

(t-il)

( '12)

(¥3)

(tt'l)

(0/6)

pelvisvolume.

flow van bloedccmpartiment naar

volume interstiti~le vloeistof.

renal plasma flow RPF.

v - 3 liter1

V2 = 15 liter

V3P = 5 mle

G13 = 500 mle/min. = G

14

G12 = 1 liter/min.

Met de volgende gegevens berekenen we P1 tim P6:

volume bloedplasma.

interstiti~le ruimte.

G35 = G

45 = 2,5 mle/min.

T3 = T

4 = 2,5 min.

G10 = G12 + G13 + G14 = 2

K = Q1(0)

We vinden:

P1 = 0,14.K

P2 = 0,03

P3 = 0,11.K

P4 = 0,70

P5 = 2,50

P6 = 0,50

helft van de gemeten diurese.

gemiddelde vertraginstijd der nefronen.

lit./min.totale flow uit bloedcompartiment.

hoeveelheid geinjecteerd hippuran.

Met deze waarden kunnen we een "renogram" genereren. 1)e amplitude

hiervan is afhankelijk van de hoeveelheid gelnjecteerd hippuran K.

Omdat bij de patienten deze hoeveelheid sterk varieert, normeren

we de renogrammen op een maximale amplitude van 1, wat ons in staat

stelt de parameters van verschillende renogrammen met elkaar te ver-

gelijken.

Bij de schattingen gebruiken we straks respectievelijk een 2 e-machten-

model (daarbij verwaarlozen we het compartiment van het nierbekken,

zie fig. 7) en een 3 e-machtenmodel (daarbij verwaarlozen we dit

compartiment niet).

De berekende P1 is O,14.K

De berekende P3 is O,11.K

Voor het 2 e-machtemmodel vinden we de genormeerde parameters:

P1 = 1,3

P3 = 1,1

Voor het 3 e-machtenmodel vinden we ~e genormeerde parameters:

p' = 1,13

Het met het 2 e-machtenmodel gegenereerde renogram ziet er als volgt uit:

It>

I:

]I:

-'--'--'--.........----.L-'---'-......' -;.-,---:'::;,=::;:.:::4'F""i~_,.......,,.-,.-.....·-.-....- .....-"r--<"'......,--...----r--r-~

- 6 , ~ N 4 ~ " ff ~ 7 ~ ~

.,.....--------~"":::::-=::::::~=~------.---...........-.-4,'_'__' ~.>-+. ......- • • eo --e .. • • '--.--...-.....--.

fig.9: op 1 genormeerd renogram (2 e-machtenmodel).

Het met het 3 e-machtenmodel gegenereerde renogram ziet er als voIgt uit:

I:

lZ:

'/.e

q

1.6

/'0

/.3

1.1

1.0

0.8

0.5'-

(>.}

0.1

",0

-o..J

-0.7

-0.$

-0.9·-

-/.()

-1./

-1.1

-I.J

-I.¥

-I.~

-1.6 I

!~I

*"'"" I .----

'" ~' '" " 7 ,4' 'f U -7 ;,."it.

fig. 10: op 1 genormeerd~renogram

(3 e-machtenmodel).

Als we de beide modellen met elkaar vergelijken, zien we dat het

3 e-machtenmodel goed overeenkomt met een echt renogram. Het 2 e­

machtenmodel gelijkt niet zozeer op een echt renogram vanwege zijn

spitse top.

We starten toch met schattingen met het 2 e-machtenmodel om het

schattingsprogramma te testen.

Op grond van de theorie verwachten we dat voor dit vereenvoudigd

model -de variantie van de geschatte parameters klein is

-de parameters niet om te rekenen zijn in fysiologische

grootheden.

Daarna voeren we schattingen uit met het 3 e-machtenmodel. We zijn

in onze opzet geslaagd als.

-de variantie van de parameters voldoende klein is

-de parameters omgerekend kunnen worden in fysiologische

grootheden.

Hoofdstuk II. Meetprocedures.

11.1. Principe van de meting en de gebruike apparatuur.

Voordat we overgaan tot toetsing van het hiervoor beschreven model

is het nodig, dat we eerst iets afweten van het meetproces om straks

de schattingsresultaten op een juiste wijze te kunnen beoordelen.

We bespreken achtereenvolgens: de eigenschappen van het 1131; de

gebruikte apparatuur en verschillende meetprocedures.

Uit een fles met een fysiologische zoutoplossing, waarmee het 1131

hippuran vermengd is, wordt met een injectiespuit van 2 mI. de toe

te dienen dosis gezogen. Als injectievloeistof heeft men hippuran

gekozen, omdat het een lichaamsvreemde stof is, die uitsluitend en

volledig door de nieren wordt uitgescheiden en niet meer voorkomt

in de nierader. Het hippuran is gemerkt met de radioactieve stof

1131 (soms gebruikt men 1123).

De eenheid van stralingsactiviteit is de Curie. Een stof heeft een

aktiviteit van 1C als er per sec. 3,7.1010 desintegraties plaatsvinden.

Het isotoop 1131 zendt daarbij zowel j& als r stralen uit. Het desinte­

gratieschema van 1i31 is in fig. 11 weergegeven.

IJII ·6J

________________.,_+~lt

/4/

Xe ·5';

fig. 1~; desinteeratieschema van 1131.

_ ?ofJ.-~ .

De horizontale lijnen geven de verschillende energieniveau's aan dle

ontstarol nadat het 1131 j3quanten heaft afgestaan. Eij uitzending van

rquanten komt de gehele energie van het desbetreffende niveau vrij.

Energieen van de verschillende straling:

/) 1250 KeV 2,8%

/b .2'2, '7, t; KeV 9,3%.,,1 ~,.,'

,g - 61C KeV 879 2%I 5

812KeV 0,7%

{1 722 KeV 2 9 8%

(2 637 ICe-\;- 9,3%

(3 364 KeV 80,9%

f4 284 KeV 6,3%

rS 163 KeV 0,7;10I

(6 80 KeV 6,3%

E1.J ui 'cH:!nuige meting van radioactivitei t binnen in het lichaam d€'1~1:-'

teer"G men alleen de )" quanten; deze hebben ee~ groot doordringend ,,';r-

mogen in tegenstelling tot de j3 quanten.f

h · . r (r .... qd'l,J.ervan J.s 3 \C.J,,/-;,: deze neeft €9n q~antumenergiG van 364 keY.

Bij de wisselwerking tussen deze (straling en materie treden de y: 1-

gende processen op:

I

1) fotolelectrisch effect: volledige absorptie van een r qua.ntum.

2) compton verstrooiing: onvolledige absorptie van de energi6 van -,er

(quantum gepaard gaande met een richtingsverandering van het u~ar­

door minder energierijke r quantum.

3) klassieke verstrooiing: richtingsverandering van het onverzwakte

rquantum.

Door deze effecten kan men uitwendig nooit exact meten hoeveel 1131

er in het lichaam aanwezig is.

--29-

De halveringstijd van 1131 is ongeveer 8 dagen, zodat de stralings-

energie van een dosis 1131 konstant verondersteld mag worden gedurende

een test van ea. 20 minuten.

De dosering is afhankelijk van het lichaamsgewicht van de patient. In

het Catharinaziekenhuis te Eindhoven houdt men aan 2/3~C/kg. lichaams­

gewicht.

Bij deze dosis is de toevoer naar de niertubuli vele malen kleiner dan

de maximum uitscheidingscapaciteit van de nieren. De dosis in de spuit

aanwezig wordt eerst gemeten. Opgemerkt dient te worden dat deze meting

niet erg nauwkeurig is (absolute fout 5jlC).

11.1.2. ~e~t§P~a~a1u~r. (System 70 Scanning Gamma Camera)

Hieronder zien we een blokschema van de gebruikte opstelling.

QYJU/y­

,s"(;1 tOr.-

I kr, sta/r 005 te rVi ...---

(oto Mulbpl, - /,'nec;1

CaLOr hYI [) -4 ve,- ')'}

I(e".

fig. 11: blokschema van de meetopstelling.

De meting van de r straling geschiedt met behulp van een scintillatie­

kristalrooster. De patient neemt plaats voor dit rooster, waarbij men de

hoogte ervan zo instelt, dat het hele niergebied bestreken wordt.

Het rooster is een matrix, opgebouwd uit 14 rijen en 21 kolommen.

Als zoln kristal een yquant invangt produceert het een lichtquant

(zie mechanisme 2 op de vorige bIz.)

- Ongeveer twee uur na de 1njeotie vindt een 8 minuten durende

motin~ plaats met de voorheen beschreven apparatuur. Het resultaat

10 len nieraoan (zie fig. 13), die gebru1kt wordt om onregelmatig-

had en op te eporen in de oortex en tevens om vast te stellen,

waar de nieren preoiee liggen.

fig. 13& nierscan.

- De volgende dag wordt het renogram opgenomen. De patiijnt urineert

en drinkt daarna 750 ml. the~ of water. De patiijnt gaat voor de

oamera zitten. Van het nog aanwezige Technetium wordt de aktiviteit

met een quantumenergie groter dan 220 keV. gemeten. Bij het op-

nemen van het renogram worden de meetwaarden hiervoor gecorrigeerd.

Bij deze meting ziet men waar de nieren liggen, zodat de kristallen

die 1n de niergebieden liggen gemerkt kunnen worden (rechts 1, '

links 2; zie fig. 14).

-3/-

-21-19-17D?4c~

~5-13-11--9--7--5--3-1

.....-.-.._~- ......... -.........--.- ............ ~. . - - • • • • • • - • • • • • • • • -. 1 -I 1 ••~ 1·."....,.....1.. • -":l~ • - • • • • • • • - - • • • • • • • • ~ ~ ~ ~ • J • • • •

• • • • - • • - • • • • • • • • .. II • -''')OIo.ttCio.C,. • _• • • . . _..... ---......... ~ .. "" ..•. ····'-·-···1-1 11 ••....... - --- 4... 1 t····

•• __ ••••••••••••••••• ,*6.~ •••.~ 4.- . _~ '_~ # ~ • • • • • • • • • • .~.~.~ •• _ ••••

• . •- ..... - _. - c:......j?,. • • • • • • ••• 1 1 1 1 •. 1 • . . .. ~ ~ ~......... ~

• • • • • • - .. • - • .. - • - .. • • II • • ."CIIOOaactC~a.:.c," .> • - •' •••..• .,.f> .. I11" f'. .-_ ... • .--;::-·2 • •• " •• _1 ... - ••.

~ ~ ~ ••1~·.·.-_·.~~~~~........... .

~ .... . ..~

j~I~~il~~2 .... ·- .. 1.1~ • • • 0 - ~ • ~ ~ ~~~.c~..... . -....

~~~~~ ... • ..... ., • f'~ ~ •• " ••••• ' ••••••4 1

• • • • • . •• • • ·'lIC1ar:.. • • .. • • • • r ~ •--:> ••••• •• .. 1·1~ ... . . .. ~ ~ ~

····-·-·····~~DDGO~~~"'w. =-~. -4.·..._-'" -. • ••..•. -1.1·. -. ~ . - . ~ . . . ~ . , ~

f... Jo • • • • .. • • .. • • • - • .......I"'o.I"'5.l"i.l"I.l-,

• • • ~ ~ .. oM .. • .. _ _ • • ". .. "'__~~W"I.:...... .2·---·-·-··1.1_ a • • ~ ; ... - • • • - - • • ~ # ~.. ~ . ...-- . . . . . -- . ...... .· . . • • .-:;;:>-.. ~-'" . ... .. - . .. . . .. .. -- .., .. . .

• .. • .. • ~.~# • .. • • • • • • • • -. • 1 • 1 • 1 • .• • - • • _ • • • • .. • • • ~ ~ 6. # ~ • •

f ·· · · ~ · · · . .. . · · · · - ..........~ . ... - . . .... -- ., .... - .. - ..---.-........ ·.·~·.·.·.·~-~·o·• • • II••,-. -:;;:> • 2. - _ .

. ~ .. ~~~ ~ ~ . - ~. .....--. - . ............... -.....-.7e? .••.•... . ...--:. .:--. .. . . - ... ­. --..

HMLKJIHGFEoCB 1:A

fig. 14: scintillatierooster met gemerkte gebieden.

De patignt krijgt een injectie met hippuran 1131 (ongeveer 50 C).

Op hetzelfde moment wordt de apparatuur gestart. De pulsen af-

komstig van ieder kristal in bijvoorbeeld gebied 1 worden gedu-

rende een halve minuut gesommeerd. Dit levert een meetpunt. Een reno-

gram (fig.15)bestaat uit 41 van dergelijke meetpunten. De appa-

ratuur is in staat am 4 meetcurven op te nemen. Dus behalve de

2 renogrammen kunnen curven opgenomen worden van nog 2 gebieden,

(zo kan de weefselactiviteit gemeten worden).

Na de meting urineert de ~atHint ::n €Jen ITH·.l8.tkolf. Men kan zo onge-

veer bepalen hoe groat de diurese was tijdens de meting.

- 3.2 -

Ongelijkheden in de kristallen worden ondervangen door de meetop-

stelling te calibreren met behulp van een "flat pool". Dit is een

plaat met een homogeen verdeelde radioactieve stof.

De intensiteit van de lichtflits afkomstig van een kristal is even-

redig met het aantal ingevangen quanten. reder kristal is optisch

gekoppeld aan de fotokathode van een fotomultiplicatorbuis. Het

ui tgangssignaal hiervan is een elektrische puIs. I'let behulp van een

pulsteller, waarop pulsbreedte en pulshoogte kunnen worden ingesteld,

worden de uitgestraalde quanten geteld. Hierbij zorgt men ervoor, dat

aIleen de quanten afkomstig uit de richting van de beide niaren worden

meegeteld. De collimator absorbeert narnelijk de quanten met een kleine

invalshoek. De drempel van de teller i-Iordt zo ingesteld, dat aIleen

~ quanten met een energie groter dan 220 keY. worden geteld. De hier

gebruikte gamma quanten hebben een energie van maximaal 364 keY.

De pulsteller wordt gekoppeld aan een schrijver, die om de halve min-

nuut het aantal pulsen weergeeft afkorustig van respectievelijk de

linker- en de rechternier. De verzameling van de meetwaarden noemt men

het renogram.

We bespreken achtereenvolgens twee procedures:

1) de methode, die gebruikt wordt in het St. Catharinaziekenhuis te

Eindhoven.

2) de zogenaamde CABBS methode.

r1.1.3.1. 11ethode gebruikt in het St. Cai:;ha1.inaziekenhuis.

- E~n dag voor de eigenlijke meting wordt de pati§nt ingespoten met

een vloeistof, die glucoheptonaat bevat gemerkt met Tc 89m.

Te~hnetium 89m. is een radioaktieve stOT', die gamma q~anten uitzendt.

Ret glucoheptonaat hoopt zich op in de cortex.

[ ~ ~/n.

.p123456"789

101 1121314­.151617181. 9202122232425262728293031323334

- 33-

QanCQ/ COt/hCS

L,. 9040 352604 363360 373752 3S3999 394385 404474 4144783995349631042705264123232347215921862'31231851179416681608152416111577154514631301129913601295128e12331237

TOT CNT

10sa1185106a1147116710221071

86349

68697071727374

fig. 15: het renogram van de linkernier.

11.1.3.2. De CABBS methode.

De voorheen beschreven methode heeft het nadeel, dat behalve de acti-

viteit afkomstig van de nier ook die van het weefsel voar en achter

de nier geteld wordt. Bij het opstellen van ons model hebben we deze

activi tei t verwaarloo·3d. Dit kan s"traks moeilijkheden a;even bij dE

schattingen en de verwerking van de schattingsresultaten. We bespreken

daarom een methode, die het renogram corrigeert voor deze achtergrond-

activiteit.

Bij de CABBS (computer assisted blood background subtraction) methode

gaat men als voIgt te werk. Men injecteert voor het nieronderzoek

een hoeveelheid radioactieve stof, die niet door de nieren wordt

opgenomen en/of uitgescheiden. Men gebruikt hiervoor een dosis van

+ 10~C RIHSA , radio iodinated human serum albumin. Na ongeveer

5 minuten heeft dat zich stabiel verdeeld over het lichaam. Men meet

nu de activiteit met drie detectoren: een voor de rechternier, een

voor de lir-kernier, en een voor de subclaviculaire regia (gebied

direkt onder het sleutelbeen). Men kan nu de verhoudingen bepalen

tussen subclaviculairepen rechternieractiviteit en tussen subclavi-

culaire en linkernieractiviteit. Met dit meetresultaat kan men de

aftrekfaktor bepalen. De " a ftrekfaktor" van een bepaalde radioactieve

stof op een bepaald moment na injectie in een patient, is dat getal

waarmee de straling gemeten met de subclaviculaire detector vermenig-

vuldigd moe~ worden om een waarde te krijgen voor de straling van de

bloedvaten en het weefsel in het niergebied.

We vinden twee aftrekfaktoren FL voor de linker- enFR voor de rechter­

nier. A~ngen0men mag worden, dat F1

en FR

konstant zijn in de tijd

en gelijk zijn voar RIHSA en hippuran. Om bij het o;nam~~ van het

~tjSnt - :. -evonien ~et de RIHSA ~ethoae, e~ trakk~n a~t 2) ~e

:<",nts i2,"F:neteil met de nierdetectoreJ.l. Ui t uJ.tvoer.ige me·i:;in.g'Em v;O.:.J.

r _0on en Brown id gebleken, dat vaal' de verwachtingswaarde gelrtt:

1; - 0,89 met standaarddeviatie () "H' = 0,39~.

-1

E (.", 1 -- 1 , () 3 met standaarddeviatie vFR = 0,42. ,e;,'

E .1-''''' 0,88 met standaarddeviatie (jFT/Fp 0,29.L1 J! = =L L

-35-

Opmerkingen:

Bij deze meetmethode wordt geen gebruik gemaakt van de Tc 89m

injektie voor de nierscan.

- Men maakt gebruik van 3 afzonderlijke detectoren. Aangezien de

nieren niet gelocaliseerd zijn, worden de detectoren gewoon op de

niergebieden gericht. De camera's bestrijken een vrij groot gebied

maar dit is niet erg voor de correctie voor achtergrondactiviteit.

- 36-

Hoofdstuk III. Informatieverwerking.

Bij de beoordeling van het renogram maakt men in het St. Catharina-

ziekenhuis te Eindhoven gebruik van de volgende gegevens:

1) piektijd van het renogram, T •P

2) percentage, dat na twintig minuten nog aanwezig is in de nier,

de retentie. D.i. (meetpunt 41/topwaarde)x100%.

3) halfwaardetijd. D.i. tijd waarop de activiteit nog de helft bedraagt

van de topwaarde.

4) steilheid eerste fase. Maat hiervoor is: (meetpunt 2/topwaarde)x100%.

5) helling tweede fase genormeerd op de topwaarde. D.i.:

(topwaarde - meetpunt 2)/(tijdsinterval x topwaard~).

Omdat deze methode weinig informatie verstrekt over de toestands-

grootheden van de nier, vroeg men ons om te trachten meer informatie

ui t het renogram te halen met behulp van de compm;er. Daartoe hebben

we het verloop van de hoeveelheid hippuran aanwezig in de nier beschre-

ven d.m.v. een aantal e-machten. Hieruit afgeleid zijn de meetwaarden

Mt 2 en Nt 3 van blz.2/,

De procedure is nu als voIgt: men voert de meetwaarden van het echte

renogram en de theoretische renogrambeschrijving ft~) alsmede begin­

waarden voor /'31 tim p6 toe aan een programma op de computer. Er geldt:

~ (/1) =13'{/- e-;3z.1:)+j33{ I_e-/J<ttj 0$6:'<,85 (1.(6)

I ('A 1 _ ~ (J6:.J6" 11.1. e,82J~) -,4z C1

6 F) - /'"" e - / ~ /:._- e -r136 -j3z

Let weI: In voorgaande vergelijkingen gebruiken we links van het

gelijkteken de index t en rechts van het gelijkteken t 1• Dit komt

doordat de theoretische meetwaarde op het tijdstip t is afgeleid uit

de hoeveelheid hippuran aanwezig op het tijdstip t'; waarbij geldt:

t l = t - ~.6t

t = n.ot

metA t = ~ min.

me t n = -1, 2, 3, ••••• 41

De computer genereert nu m.b.v. fty£) een theoretisch renogram en

vergelijkt dit met het echte renogram. Door iteratieve verandering

van de coefficienten en exponenten van fty~) wordt gezocht naar een

best fit. Als deze gevonden is moeten we trachten uit de gevonden

parameterwaarden p. = crt·· -;1;6) T de gezochte informatie te verkrljgen.

We bespreken nu achtereenvolgens:

1) het computerprogramma.

2) resultaten van schattingen aan 52 renogrammen van 26 patienten.

3) verwerking van de resultaten.

III.-1. Beschouwing van het comnuterprogramma (berustend op het principe

van Marquardt).

Bij de curve fitting maken we gebruik van het principe der kleinste

kwadraten. D.w.z. we moeten minimaliseren:

Hierin is: Yt de gemeten waarde op tijdstip t = n4t.

ft(ft) de theoretische waarde op tijdstip t = nAt.(z.o.z.)

gebruikt: Wn

- 30- -

W zijn weegfactoren" De keuze hiervoor is gebaseerd opn

het feit, dat de gemeten waarden een poisson kansdicht-

heidsfunktie beantwo orden. Een treffende bespreking is te

vinden in Dell e.a. (zie lit.). De conclusie definieert:

1W = / Y I. Per abuis is in het rekenmachineprogramman nLlt.

= 1/VY~~ De resultaten zijn daarom beperkt

(interpreteerbaar.

Er zijn verschillende methoden omp te minimaliseren. We bespreken er

hier slechts twee: de gradient-methode (Steepest Descent) en de Gauss-

Newton methode. De methode van Marquardt is namelijk een kombinatie

van deze twee methoden.

We bekijken de hoogtekaart van een error-funktie~,diehier getekend

is voor een twee-dimensionaal geval.

I, . --~f,

fig.16: hoogtekaart van de error-funktie ~.

(0)

Bij de gradient-methode lopen we vanuit een bepaald startpunt~ via

een traject, dat in ieder iteratiepunt loodrecht op de bij dat iteratie-

punt horende hoogtelijn staat naar het minimum.(~is een schatter van p).I -

De vek-tor, die lood.recht op d5 == kOrJ3tant St21.t in het runt 16 (r) is;I /-

- 30-

Het bij deze gradient-methode horende algoritme luidt:

ofwel:

(5"0)

Hierin is ~ een kanstante grater dan 0; de stapgrootte is afhankelijk

van ~ • De stap mag niet te groot zijn vanwege de kans op oscilleren

rond het minimum. Naarmate het minimum dichter benaderd wordt, wordt

A dan ook grater gekozen. Het iteratieproces gaat door totdat een

Ll~(r) gevonden wordt, die relatief erg klein is.

We moeten minimaliseren:

p=

Hierin is: Yt

de gemeten waarde op t = nAt

ft~) de theoretische waarde op t - not

W de weegmatrix : wn = 1/{Y~t!

? is een funktie van de parameters 11 t/m;1J 6' f> is minimaal als

voor k =1 •••• 6

ofwel als:

1"

-L. r '"r1)}I / :'" c: -1_ voor k = '1 ••• 6

We nemen nu aan, dat het model de werkelijkheid exact beschrijft. Dan

geldt:

waarin: - f t dezelfde funktie is, die gebruikt wordt voor het

bepalen van de theoretische waarde ft(~).

- E = (P1 ••• P6)T de parameterwaarden zijn, die het renogram

beschrijven en die we d.m.v. parameterschatting trachten

te vinden.

- n t is ruis.

(s~)

We verwaarlozen nu 1e invloed van de rUls op de parameterschatting. De

invloed ervan onderzoeken we later bij model- op modelschatting.

Als de afstand (E -~) niet te groot is kunnen we de meetwaarden ft(E)

in een Tayllorreeks ontwikkelen rond het punt~ in de 6-dimensionale

ruimte. We krijgen dan:

(oS")

Als we deze vergelijking invullen in vergelijking (53) dan vinden we:

~ W n tYi -PLft)} dit tt?)~~/ Ofk(K:., .... 6)Hierbij hebben we de hogere orde termen 'rerwaarloosd.

Noem de eerste term gk' dan geldt:

~6)

_ L/I_

Dan wordt (56) als voIgt in matrixnotatie geschreven:

r~:t_oflTl/jf: WI

Hd~~ g~;t1II -/z I q/----O~I

~7)I

,

lCJf,,,t O!IfI.At 20r,L1C ;) f'tl.e.t-- .-L----

O/,6 ~;6 W'!I--- ¥6 jJ6 -(36 ~al'L

OfweI:

Als de beginwaarden ;,gco) en de meetwaarden y bekend zijn, kunnenr t

pT) W, P en g berekend worden. We kunnen dan oplossen:

We vinden een nieuwe parametervektor:

(bO)

(61)

~ ~Deze vektor I is een betere benadering voor 12. dan;1 • (de afstand

(£ -;1) wordt hierdoor kleiner en ook de fout, die we maken door bij

de Tayllorreeksontwikkeling de hogere orde termen te verwaarlozen).

;1cd/_ gebruiken we als beginwaardehvektor voor een nieuwe iteratie; los op:

fJ (f ) 11. (I J (i)~;.:J .=.:!Jr -

Dit iteratieproces gaat door totdat er eenA~ gevonden wordt, die t.o.v.

~ erg klein is, zodat aangenomen mag worden, dat het minimum van .f bereikt

is.

- '1'2-

De gradient methode arriveert snel in de buurt van het minimum

van 9" maar convergentie naar het uiteindelijke minimum vereist

een goede controle voor de stapgrootte van de correctievektor.

Dit vereist veel iteraties om bet minimum te bereiken. Aan de

andere kant gaat de Gauss Newton methode betrekkelijk langzaam

naar de buurt van het minimum van .¢ en is gau.w geneigd te gaan

oscilleren of divergeren als de begeinschatting te ver van de

uiteindelijke oplossing af wordt gekozen. Echter eenmaal in de

buurt van het minimum gekomen, convergeert deze methode snel

en efficient naar het minimum. Marquardt heeft daarom beide

methoden gecombineert.

1,a (r)~;- wordt gevonden door op te lossen:

Hierin is ~ een mengfaktor tussen de Gauss-Newton methode en de

gradient methode , en I is de identiteitsmatrix.

Als ~ klein is (bijv. 10-6 ) dan is de procedure gelijk aan de

Gauss-Newton methode.

De numerieke eigenschappen van de convergentie worden verbeterd

als we de A matrix en g op de volgende manier schalen:

akk , ·- (akk,/V~k {ak'~')·-

gk ·- (gk/Vakk) •.-Li~ (to) wordt nu op de volgende manier gevonden:

k= /. _. b

(/J (r) f -) ;err) *''I .L) LJ.l + A -

(r) "1;

9

~ ern) /J (r)IV.*. :.:: Iv/( -f

--:>. 7 I ' "= I' Wl'kk.

voor k == 1••• 6

De moeilijkheid bij deze methode is de keuze van een geschikte ?

bij i edere i teratie.

J3J."J" de r de 't t' b hJ. era J.e ge eurt et volgende:

Met behulp van de beginwaardenvektor1-(") kunnen we berekenen 1r) en

f?; ') moet daarbij zo gekozen worden, dat .rf({~IJJ kleiner wordt dan

;r::, (" (~). D dr ~ e proce ure, die hierbij gevolgd wordt is in het schema van

fig.17 samengevat. Hierbij gaan we ervan uit, dat de (r_1)de iteratie

is uitgevoerd met de juiste ~

(r_I/:ile it.en:;tie,..----_ .._--_._---.,-----------------------------,

rae

f/(r-I)

!/(r-I)

~ (r-I)

~el'e.teJ7 hierHoee

L1.;§ (,.. -I)

l.3en~keh h/~""'ee

(J,(;) Atr - ,) (r-1)I:: :: I:: -f Ll(!

IJ Cr) IJ rrJ /) I~)

g{r) q 0') i g(I')

~ (f'-II£.' ~ C,..-I) ~U -I). J) W

6ve.J:e" ""e,."",ee ~erekeh h/eo»ee &;eke~ J.lI'en'.,ee

11/E 1 t,.} I AA z (r) A;E /-,..)Bereker. hierWlee I 8el'e,ken h/ermee be;eJceh tll'e;mee

,) I, I) ( ) ~ CNI) t") (I')ll;r~II-:;:.J!/"~ A;§/I-J I j§/I'-rl):.~l" -f Aj}z" r~ 3 = t J + AeJ

13ere~el? J1Ie;w.ee &relceh hlQo'Hee .Be;eke", hienJ-1ee lJereA:en hie;mee

'i (r) ;:: ep (r) ~Ij"')) P (;2 /".,1) ) I P{;§' ~/I'._""I)_)__.-=----=.P_(_fE-;--;--i~_'t'_:_)):-;------1I heel?? I/{)Or ~(r) o!ie ? wOOrVOOt j> <: 1l"J{;1:(~1.'-.-------- _.- ---._. .. ._-=-_-=-_.::..1-_=-__-:....--1.

keuze. I

JJ =kOh~tQl?t

W~II.2,J····

Theoretisch is het iteratieproces klaar als4}2 = 0, dan is ook £ = o.

In de praktijk maakt men gebru.ik van een passend stopcriterium:

:: / ... 6

Co) 5 0- -3We nemen evenals Marquardt: 'A = 0,01; 11= 10; c= 3.10- ; {. =10 •

op de volgende bladzijde vindt u het flow diagram van het schattings-

programma, dat bek~st op het principe van Marquardt.

Een complete listing van het computerpxogramma treft u aan in de

appendix.

flO I-V

stof:Mocr"x All'-s Jingu/ier

nee

r------"'-----sto~ : lin e",;" -Qppli(and prr'1> tf rtJ

'-----------

111.2. Resultaten van schattingen aan renogrammen van patienten

met gezonde nieren.

Bij de informatieverwerking maken we aIleen gebruik van renogrammen

van 26 patienten met gezonde nieren. We hopen zo 6 parameters te

vinden ~1 timf 6) voor elke patient, die we later proberen am te

rekenen in fysiologiscne grootheden.

Patienten met gezonde nieren zijn mens en bij wie renografie is

toegepast vanwege klachten, die wijzen op een nierafwijking, maar

bij wie geen enkele afwijking .is geconstateerd. Dat wil zeggen ze

hebben een normale nierscan, een (op het oog) gezond renogram,

goede nierdoorbloeding en er zijn geen grate verschillen tussen

het linker- en het rechterrenogram. Omdat de amplitudes van de

renogrammen van verschillende patienten sterk va-v.-ieren, normeren

we aIle renogrammen op een maximale amplitude van 1. Uit de ampli-

tude van het renogram kunnen we tach geen informatie halen, omdat

de omrekeningsfaktor van aantal counts naar aantal mI. hippuran

a~~wezig in de nier niet berekend kan worden.

We voeren achtereenvolgens 2 schattingen uit. Bij de eerste schatting

gebruiken we een 2 e-machten model. Daarbij verwaarlozen we de

mengkamer van het nierbekken. Als V3P

= 0 (zie bIz. /6 ) dan wordt

(j6 =t~.I

Bij de tweede schatting maken we gebruik van een 3 e-machtenmodel.

Hierbij verwaarlozen we de mengkamer van het nierbekken niet.

Het renogram wordt benaderd door de funktie:

Als beginschatting voer j6; tim(3s nemen we de experimenteel gevonden

goed funktionerende vektor:}i{~= (4,4 0,06 0,75 2,0 2,5)T.

". . d . t /l {o} . t . .1:Jl J renogrammen, 1e me h2 n1e convergeren naar een m1n1mum

/-

( meestal vanwege een hoge piektijd> 3 min.), gebruiken we :

A~* T/_ = (4,4 0,06 0,75 2,0 3,5)

De renogrammen, Waarbij;4(~kiS gebruikt zijn gemerkt met een ster.

Ile nummering, die gebruikt is, is dezelfde als men gebruikt in

het archief van het St. Catharinaziekenhuis te Eindhoven. Een 1

achter het nummer van de patient duidt op het renogram van de

rechternier, een 2 op dat van linkernier.

Verklaring van de benamingen bij de tabellen van de hieropvolgende

bladzijden.

-f ~ timf 5 zijn de 5 g,e£chait~ parameters van een genormeerd renogram.r1 van het niet genormeerde renogram volgt als voIgt uit/1 ' :

f 1 =/1; ~ x maximum.

- maximum is het maximum van het renogram uitgedrukt in counts.

- Tpiek is de piektijd van het renogram in minuten.

- conv. crit. is de redan waarom het schattingsprogramma stopt.

- aant. it. is het aantal iteraties.

- p eind. is de eindfout van 1e~ genormeerde renogram:

Yt

= meetwaarde, ftj6) = modelwaarde.

- gi max. is het maximum van de elementen van g in het minimum.

gi = - d.f;8fti .

- diurese is de urineproduktie van be ide nieren samen.

De eindwaarden van de geschatte ~'s zijn gegeven in 5 decimalen

nauwkeurig, omdat deze decimalen signifikant zijn voor de mini-

't'/malep. De parametrs P1 tim Ps van de patient worden uit de eind-

sChattingen/61 t/m~5 berekend. Theoretisch moet Pk gelijk zijn

aanfk. Maar later bij model- op modelschatting zal blijken, dat

Pk slechts in een paar decimalen overeen kan komen met~k' omdat

door ruis op het renogram een aantal decimalen van de;6's onbe­

trouwbaar zijn.

Op de volgende pagina's treft U de resultaten aan van de schattingen

met het 2 e-machtenmodel.

Hierbij dient nog opgemerkt te worden, dat er schattingen zlJn

CD)uitgevoerd met verschillende beginwaarden~ / ,gekozen in de buurt

van de~(~ beschreven op de vorige bladzijde. Daze schattingen

leverden dezelfde eindwaarden op voor ~1 t/m;J5.

- L/[J-

I, .

f-----

0.05'-101

0.63g03

1.13 1/66.2. {) '-12.2 L.;

..3065'

50016£/

0. 0569°o.sI.l6/3

/ . .2 'I'7'h/.2. //96/.2

,35//

It.!};lJ.3

0.06630

O. '130.2 /

..3. f] it"/(3/

.2.597'163100

_2.5' -2.0- .l.5.

to I. Jtn(3i.. tol/ncL to I. IYlec.

17 I 12 /q'3tr6't':*/O·1 1326:1';'00.

1/. 3191/*/0-1

.22J3-X/o-1-L.6rJo't*lo"J -J.l3/1/f.IO·t

5 0 10'71/ .. /h.."n.

~'~C

75 /;:9.

JOiVu. i

.---- -t _.Jttf1.-_·_J _

~~ 1.;'11. I itt/I. 2.

'5.21625 b.ogit30 6.Q4'35"1

0.0'79°5 0.0'1762 0.0365'6

o.&o/!l.fg 0.60230 c.683g t/

o.l19 2!lf 0-/31.;56 o. 62. Jt]82.'-13616 2.-5,208& 2.'51_':.(,&

/6'-13 ..3'162 ~109

..3.0 2.!{) 3. 0

col. met co/ rn~I t.o! frJ{?L.

18 Ij ~.3

/633*10. ' g~Ji53~/O-21 /.lb3'1*IO·/

7 10'lft';'IO-1 -6. 5"rYOlt ~'IO-; - /. 3/2.3 it 10'"

1 3 n "1//.. /""111.

I

4L;/~C

10 kg.200-110

I'1NL.--+-

2.35.2. 330.1 330.2----+------1------_..._----

4-. b6sL;t]

vR.I,/ I I

e5lqcJ'It /v( IvL! I~---'- - ---.. L ..__.....:. .-'-... ..-.....----.--L

• /C£-U. Wi.- .liff}. / {(. .1. LI tJ. 2. ~t o/qJl i'c-----.

ft,' ,j. :<. OI"S"-:J 3.5"3569 6.064'9:3f2 0.062. 6 I 0.0.5qt,-f? 0.03/.1. 0

j2J1

o. tJ· {, IIIJ o.(l'i~61 0.8g12.1~'( o. (;3006 O.65(J6 l! 0.'-126 110

13 ~. 3.61733 J. Llg u90 2.5°/95I

/hCfx/mum .31.2.5" 25"9 5 26730

Ip/ek Lj.O .3.5 3.0

COh /I. cnt. CO I. n,ec. co! met t. 01. frJef:

~ant.il:. 13 12 I 13 I·1 ·1 -1if> . I I.L12g0 ;:/0 1.17'/1 -\LID g.2 "f'Schuo I I.e/hO.

g; I ....,QX r. - I ~l) -r} -6' -Ill",10 ;1(. 10 - G". 666 y{dO /. 2 9 '70 If.. 10 -

d,uresc 0/.0 ndj;-'flh. "';.6 m~"hdo::;/s

I11/-tc 40"t<.C

gewt"cJrt. l~kg. 6gkg.Itens/e /60 - 96' /6-0- 95

qes/Qcht VR. ltR.reno r.r. Ib3.1 163.2- 2.~o.l

---i /B 1

1J,263g6 2.&039& -5.0L;~Cl4

~~ 0.0'1913 0.016 2.6"

I0. 062 9 1

, ;63' 1.17984 0.92.1 10 0.42. 608~'( I o.~/5'3J9 0.5-5 651 2..2 'tClf6

~~ I 2 /)o,~ol 2.56'030 2.6·ofJ'-Ili .- 7'7

n?CI'K/lnt..lh? 5382. 5373 .2&211pick 0.0 .3.0 2.5

COhv.crlc.. tol. meL. co! tnee. CoI. WIef.C!(~~ t. if;. Ii. /6 /j-,

r.De/hd-/

I. '5- 08/*10 -, I I. og<]1* 10-1

1.10 'f&1f. I{) /

g; '··,.':;x ·c-I 672Qi-.'I{J"l l2qODVO-;g. t/j /tl -llID .2

clI4rese I I '- m» . .r. 0 n"1/j, •I . ~l 1'."1117. •J. I J~rJJP7.

dos/s 66?C. Itg,ftC9cl-//cllf lLfkg. I

I661:9I

tf'YISI·/"'. ,('0- tic> ~- () -:: - /30

i 1

!, 'I

-;~-;:;;; ---i7;;-!-~ 11.(.2 _!}5J~ _--~~---* ._'-;zg. 1 1'2Jq~-'

~/ 't.0l3q3 3.5"5080 3.53/62 3.L.;&655 5'1!tl5t!} I L;.!l1J200

~z 0.07 floo O.O!J223 0.018&6 0.066191 0.0'1601 o.Olt991

/9.}, 1 0.'13'10:J- o· 'I[} 322 0.33'-131 0.112999 0.53537 0.09'16'1'

jJ 't ~.8201.3 4']5379 Lt. 352 of} 1t.5017L 1.97399 I.7232./

; ~ -2..656/ 2.66[l19 J.6029; j,53q9o 2.5&;25 ..2. 53S2.9

, tnaXiJ-HLIN 692 b /.;5"g6 57°& 5'19/ 3551 ~-S20

IfJiek. 3.0 0.0 "T.O .3.0 2.5 ./.5

COnv.cJr/t. tol met. t.ol. me( {oJ. f'nec 1:.0/ met.. fo! met. .e.o/met..acm!:.. i/;. .2/ Itj /5 I 12 /3 .21

Pelhcl 1.:?:frJlt*IO-1 1.2.2.69*10-1

(jLlllf3¥;IO'z

1.01161-'.,10-1

/.215l1:1..lo-1

/.1&gl*IO-1

g. 1-nQy', 191.fOOf[ /O? IJlo06- 1.,-10-£ 1. &96.1 i\-I/I 0·. 7'323 ~u - - I. o330X 10 - 6.3760(10-6

d/t.lt"ese 6. j rn;;:',,"h. 3.0 r"'(it;'n. .3. &n7~U/h

o/O~/:J 66!.A-C 50./-tC stY,.Acgetlllchc 6bkg. 6&/(9· 11k!].cen:;/e ..<co-I3D IrfJ5-IOD O/v8.

• q"e ,-;lad, t _It.R /Ii{ MNL .

'--~eh.J?r / 0. / /go.2 -x .2 /3J. 1 -2.-~-- i -.2q6. I 1< .296.2 if

4/ II.qqLdlJ 3.tl1/36 --~&9113& .3.06015~...?C67'3 3:0115fJ

jg z o.o(]o!Jg 0.0jl}Lt2 0.0£655 00186'1' 00506; 0.05030

;a./ 0.1/990 022255 o.6'1LlI1 0.66/3/1 o,fJoor..QrY 0-j903g

pI-( 8,7°792 .tB.J..6/1..J1 1.18033 1. .3 .. 61,-<-; Q.1f950{} 0.'52'131

/6 ~-. 2..b25lf5 ,3.70322 .2.1-(6/60 .2.1(!(J96 3.'igtflLf! 3.'17 8172rnCJXlmc~nJ lf3bl 4'613 6211 556& 755Lf 5631

IjJiek ~.O ;",j' .2.5 .2.5 ft.o 3.15

conv.cl"d. lo/rnet. t.O!.fnet. to/hJet.. to/Met. eolr,..,et-. to/f"hec.

QQnt.. /t.. 2.0 21 Jl/ .23 ,12 13

, 15 e/hd. I. 536 I *' /0-1

1.302;:1;:-10 -I tl. 9063·VO'z I. o6~&* 10 -I II. &/6l Jf: /0 -I b/O71*10-.1.-t / -f:;"1 -6 ·{1 -/g; maX, l.sf}fo.2-J,IO 3.b!.;9(iXIO -<;'fd?",o*IO -l0t.;cY~*IO l-b.j6.1.N...IO . (1.&JI8,'/.-/0

-J 0 ry/// . !J. nil '1 n,!/ .: uiure;:£ I.~, 7/ho1/ fJ . .5' 'ljh-tIIJ. I /.'5" /h:lh,

, 01OU ,---",> .:3~ C. :J'-I/£.C , 6/,.« C

c;C~vicl7l~ 511.:9 I L?Jkq I I 7skr).

,te:-JSie IlY5-/10 I I /::)5 -liS I ! .200-135

_J~<',IQc/7t:.--.-t~--.-_l . __..1::1/1/1 ' _~ __ L 11fj,...Ll/..=.L..:...._..L.-. _

6/ kq 51.fkq

::3 1)-90 I //D-IIO

//1<. I I l/R.

......-------1----------

.

q2 .2.3/.1 ~ .2.:3 /.2 .2.3 g I 23q.2 4(-

--i

'132 J.3Q2.32 3. /;0053 5..2033/ 2. 117251,l

(};q o.o1..f221 0.06566 o.otllrc9o 0.10'-177 ~I

O.6fJ02/ 0.69'19"/ 0./6go!l 0.36 1fqq l595

I15lf 2.{}6!Ol I. LI/522 Jtl. '5t;5~5 .:?(J.2j35 /

15 9 3.'583'-19 2.ofJ(J6!:l ./]/6/(9 -3.68;50

7-2 61qo 55Lj!J /31.2 /3.38r

.2.'S 2.5 3.0 2.'S

met. I co! ;-net. col. h1et co! mel:.. to! met

I /If 31 .19 33*/0 -1. 17/15 *:. /0 -I I. 6020*./0'1

·12.. {)[963 *10 "IJ.379;:~uO

7';<10-9

1 I. 8&35* /011-/1922 * /0-'0 {; -;

I. O/vl ¥. 10 . "'02rJ *"10

61 hlfwu·h. 2.~ htfw.in.

..32/-<C .33/-<C

5"5kq ONI3.iI!d;0-90 /~-o -95 \I

,I:1NL AIR t

"* 206.1 3/6. JI

02 2062 I 3/6.2. II ,-----.--0l---- - -

-6-03 l02355 6.9362.0 4.tY6olh ! 5: 1.;'1';)-17;

t;33 O.05't4~ o.o'-!{}tll 0.05602 o.Ol..f755

lf03f} 0.2355/ O.3qOLrq 0. 52376 0.o1..f71fJ

001 .j&.5L;55 tl 6.11q '-t(}6 3.000&; J.l83375&2 .2-l2g19 .2. 6'1.2q I 2.°9386 .2.61//6

D& 5037 4 tli LI 1t6 t/o 3tJqoj" 30 30 -l. -S 2.~

thee. tol. met t. () I l1-le I. . t!.o! met to/. /'rIel:.

21 I-S I It; 17-I

1.//i26:;.:. 10-, .1. -z () -I

1* /0 I. ICJ:Jj' :;:'10 I 99.233'1; /0 /. 2 6(J -x !v·6

(J.//bl?f 10. ' I;. 536v)( 10-; J. 3116 X 10.6 5.q2 IJqY: 10-

25"1;/0;~j,' /0 11ot~ .5:9 }14/rJ HIli?

't7/-{C q6/C

reh.nr. 1{lgJ___ It}

/' 1 5.5713 9 5.1L;'0,

,/32 0.05"'-1';:> 0.06, ,0. 1.;8603f'3 D.'dJ

.~ 'f 3.11515 !.'t5I

.45 I 2.;5YIOI 2.6/I

maxif11um I 1t617 ..3BIp/ek 2.5 .2.0

COn v. crit.I

co/. met. to/Oc;hC.. it. /L; /3

¢ einol 7303'1* 10-1

tJ.l106

g; #'1'IQX 5.L;26b *" 10.1 -1/'1oI;l..Ire:>-e n.y,5. '; min.

doSi:s 5 11/<-(gewicht 66 kg.tef//sie 130 -9fiqesJocJlt MNL..

ren.nr. ~Joo./ 30, i

/J/¥}663 Iq 2.rJo

;g.2. 0.°9'793 D.OG, Ii 0.°9 102 0.6i 14- l2./~5S 0.85

: jJ:r 2.o6Cllb 0;)5"

; InQ Xii"" C-I r", ~f7670 J3v-

Ipiek 1;.5" J/COnV.Ct/~ co! met. to!Qant./c ~I /::>-

¢eihd l/rP55* 10"', 1.~;'1tl

J/mQx .317/6 ;iUO-~ .J. 3 ill(

d/c..lYe:5e 2 j! r...1. .. .....,n.do.5/s ;tfi/"C

,(lewichc (lJAq I~~.- ~ ,'" /50·· /2 01....1::;" v It.-

t ges/Qchl MNL

-_._------

2QrJ. / .1 0.2.2.2

met

3.399&6

0.°1295

I0.s(}29°.2/l2. 709

I

2.oc{'1() I

..3qrY&.2.0

folr-net..

lit

~-cY*lo-/1 {i'fC(2g¥IO-Z.

- {,I 1lf6*lo Y,l002 ~ 10-

236'

1'5'6

79Lt

0217°1DO

ren.nl". j2fJ. / 32{].2 27..__.

•) I

d. 8it137 .3516'1b Lt.lq01/;Jz 0.064'06 o. /If}76 0.06

~/ l.ofJo82 0.23 t.;6q 0. 6.3

fr O.3g639 3./977.3 1/34'

~~ .l.S c?~oll .2.58153 i .P. 0/6lhax.imUh? ~089 t;~n)9 I 'lto

/fJiek. 3.0 .3.25 .2.0

COn v.crit. cO/met. to! h?e!; 6::;1.

QQnt. /{ If} 20 16

qj eihC/ 1. 27/2 '1:10-1

1.220(1 ~ 10-I

1.2'1

9i hfCiX -2.0~7&*IO-7 -6-3.3'11.374'5* 10

diL/re:5e 2.0 mY,...in . &9dosis Lto/'-C. 3t,-

gew/cht. 6'-1kq 50teJl1<sie

l.1'10-100 /05-

fjes/Qc.ht VI( V.I

ren.nr. 25.2. / 202.2. 2q

// 0.967°2 3.rJ139Lt .3.Q3

.1 0.019053 0.0&115 0.07

g,. rn~t

i oIiurese

Ij>i~k· COn /I.cr/t.

QQnl: ./f.I·1:> e /11':::>/

.3.g0rY'I3 2. 6933 fJO.fo(f>JI o.oqqlJl

0.22796 o..3b65~-.3.fJ'S'!55 &.,36526.2-7.2/10 .3.61/,;53

5591) ~~c99

I}. 0 .3.0to! !net: I p(l-f-I):. g;((-)

JI 13

o.g2&0:t 10.2

fJ.{)lf22 'k10-2

't. 2931 ~ 10· 1 /. 't3~!l*,10-7

n", nrll .~'V 'Ii'vIln. I

0 C 5¥C

kg 6gkq&0 IjO-IOD

R __._~ .._.... __ '.......11..~---J--- _

I~ O:~_I~qrz.·~ * 2'10. I ¥ 2t.,to.2. 'It-

61'5 ..3.937&9 2.3231'-1 1JI2;(}O

IjO 0.01/;79 0.1035'1 I 010 1/29i o.liO/62. 0.1;2{}13 0.33 £"09 0.25'003 0.1;-5 113 O.l/.25/;7

..3. 312.lfO It.Q6-';)-Ol 5. 36/5{J 20.26693 1t6J!}.31 705620

2.561lfl 2.6205/ 0.60221 ..3-713(}g 3.5&76/ 3.66930.296~- .f262.1 566/ 6/6fJ 21~5 .2Cfq3

2. "S 2.6' d. 'S Lf. 0' 3. 0 j 3.5'cO/.l11et. c.ol.r-Y1et colJ1.1ei: eol.Y'Y1ec. to/mel. p(j-"")::>ji~)

15 16 11 It] /0' .21

5.6ICj6-x.1o-:Z 7°952*10-2: 1.0680f..·IO'1 1.3196*10-1 I. 2£171 Y:10 I 1.52.'21'*'10-1

5.6/00*10'1 2.6661t·/o-1 -3.q30Ih. lo1 5~2go2*ID-' I.Cl~70*IO-6 1.3&t/5~:·irl

I A ,..,/1 . /1 ,.../1 . f) 7. 1'1·,11 .. ..; 'jn-rlh . 'j11-1/h {Y",T /Y1-1/J?

otOSIS 6-f;;-<C 69/--<C ~0C I· ge~:.:c./;!.; lllq I (laIC) 5-glq !

·~:;:~~>t 1~~~11_~. 1/~~;ooJ J/507-9~- --'-.l__

_r._e_I1_.n_r_.-+_.2---eQQ.l-1 .2 fiG'. 2 216. 1 I .P16.2 1<

;£/ 2.'156'16- .').t~06-2. tI,'t1fiJ3 .2.69302

j3.l. o.o6L;oS D.II/6'1l 0.°1556 0.°125'9/6/ 1.1'161}6 0,'r1297 0 ..3°72 7 0.5201}3

;6¥ 0.01/1;>'-1 . .f.2b593 3.o'-!o[J{) .'1,1-1'625/

;4'5" 2,1di"025" .f.6fJg'5"g 2.6lt361 I .J. ltb311

mQX/mum Itt-&1 5258 J! /51 I /991

T;J/ek I J.O 3.0 3.0 3.0

c.Oh v. Cr/t ,1:0/ l1?eticoj. met . I CD! met to! met.QQnt. /l 23 1'.36 If /2e:peihd 3(jlo6~/(/ 1,l.t5"D2'i;IO-1 I. OIO/·UO·' 1 1.'t161t-IO·'

gi that -2.2002*10-(, l.og~6*(o·"J 6'92D'rltIO·' /,o.2I0l-lo·6

1

d/qrese b.B m/jtvtlh. 0/:4' """(hot!h,J

dashi .39.~C /3.,)!-[ !

gew/chf l;tlkq. /rYJ:q jtehMe /~o - &0 0!V6.

~'-"">-l,-"/o,,--,,c=-h=t:...cL-_Y_R V,-I( . _~__.__

, '., ., .., I

l 'lI

/

;ri -

Gemiddelde waarden:

Er is gemiddeld voor de gevaJ.len waarbi,j de tolerantie bereikt

werd en waarvoor g. ~ax.< 10-4 •J.

Dit geldt voor 23 rechterrenogrammen en 20 linkerrenogrammen.

maximum == 4278

Tpiek == 2,98

rechts en links (gemiddeld)

aant ~ it. == 17

;r... 6-1Jr eind = 1,1 94.102,60302

0,57534

== 0,06854

== 4,03169

links (2)

P1/6 2

I

17j!) 3 .-

/3 4 --

rechts (1)

/61 == 4,24251

P2 == 0,06461

/~ 3 == 0,58306

! P4 == 2,68263

jl} 5 == 2,80608 d 2,80402I~ I 5

iJ 1~133 == 7,27628/31~/g3 == 7,00'749

Conclusies van de schatting met het 2 e-machtenmodel:

- Ret schattinsprogramma werkt goed. In 50 van de 52 gevallen

wordt het stopcriterium "tol. met." bereikt.

- :De interindividuEHe spreiding van de parameters is groot.

Ret is in dit stadium moeilijk te zeggen of dit veroorzaakt

wordt door individuele verschillen bij de patienten of door

onvolledigheid van het model of door d.e I'"llis op de renogrammen.

op de volgende bladzijde zijn de geschatte parameters van de

verschillende renogrammen bijeen geplaatst. Vooral de parameters

1'3 en j34 vertonen een grote spreiding.

- We kunnen op de volgende manier bekijken of het model voldoet:

Genereer met de geschatte parameters een curve en schrijf

di t "renogr8.l11" over het echte renogram. (zie blz. ~-5 ). We

zien, dat het laatste stuk goed benaderd wordt terwijl er in

het eerste stuk grote afwijkingen optreden. Dit is nog duide­

lijker te zien aan de curve op blz.~6 , waar het verschil

tussen het gemeten en geschatte renogram is uitgezet. Opgemerkt

dient te worden, dat deze curve representatief is voor alle

gevallen. Er is dus een deterministisch residue We concluderen

hieruit, dat het 2 e-machtenmodel niet volledig genoeg is, en

gaan daarom onderzoeken of het 3 e-machtenmodel, waarbij

de mengkamer van het nierbekken niet wordt verwaarloosd,

beter voldoet.

geschatte parameters. (2 e-machtenmodel).

T!" 1- .,. ... "I I,I ,

I, IJ I I

I I"I I ,I II I

10 I III

9 :® n

;II

1 r I I

: ~

G} :~..~

'03

1.~

1.0

::I~"1

0.'1

0.5\~~ [0.3

1otrair0.0 _L_.' __'- .J__L_ ..! _1_--1._

..J

I I

o L~~__L_L._'_'_'_~'" L 0 .. ,--,-.l._,.-'---'-~L-.C-L...L_~

It.Of tj5j~ • : G

;.0 [

.... G 0H • : 0 {" : C> .;;)

• ~D l_L.J_ ~~..J.._,_'_ -'_,_..._I.J.-.L....L.'-- ,

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s~~~~_.~ I"c1J",o:;irQ," nr

Fig.18: geschatte parameters. De puntjes stellen de waarde voor

van een parameter. Gelijknamige parameters V'an een patient

zijn verbonden door een stippellijn. Langs de horizontale as

staat het patientnummer.

VE~GELIoJ:<H.G VAN RE:'\CGRHI 277.1 MET GESCHH r1£"JCGRA~

GESCHAT.

\:.YCDc+

TYJ(M:i~.J

D.se no ~ !:U1 '" C'.) 2~71 2.3751 • :, IJ 3692 33162. (]( ~ co C 4020:2.Su .3 9.i (; 45 c;o3. CQ 3550 40053. 50 3260 31 134.CU 3018 26251,.50 2015 23435.0G 2400 2160J5. 50 22CE> 20 '50·6. CO 2037 19 &1b.5? 19!f 4 1 ~ 8'47", c:) 1 ~ ,I=j '5 18237. 'v: 1569 17 65e .. 'J '.: 1621 17 0).5 .. ':};J 1639 165794 J;'j 14se 1 s 000;.5) 144E 1~:5 7

10.G0 13" 8 151)le.50 1324 1:' 6'..1 : • CIJ 1270 14H1 1 • ~ Cl 1312 137 0

>1 Z .. l~':"!

"I -,: c, 13 35,.L'.JlJ

12.5 v 1 0' , - : Z 94,~.)

- -. J'.• ~ 1 : 4 1255.. ::. 5 ~ 1139 lZlf14. '~'':: 1280 11 ~:;

1 4 .. c r'. :109 Ii 44"15 .. GJ 1~57 11 101.,.5 Q le!5 1u70:. :S .. GQ lOS 9 1 C 4.316.~G t097 1 U12

17. "'J le18 9 d 117 10: .... 97& 951• oJ '.J

l,j.CJ 1822 92210.5,) :1oa d91+1 9 .. ~-.i 9251 &611~.5C 90.3 d 412C.C) 936 d162C.50 5&5 791

0%I

Ii~+

~+

11 •

J+Ii ~

25:I

+ :::. :;+~

~ ;I

+ #+ It

~ Ii

+ I:

+:/-• d+ #

+ II

+ I!

it+

II +

t ..it +

so:I

:

+

..

75:>:

+

100tI

I,j)

TYJ GO'ETEN( ~ 1 ~ I

92C 9·~ 3 -S3 -I - - - - - - - -2971 2315 5% l - ~'*- -:H:?2 3 !1O 376 , - -"- -- - -4COC 4 C20 -20 I - - - - - - -,*- t-- -~93C ~596 -6,,& 1*- - - - - -- I- - -,5050 4 CO" -35" 1 - - -'*- - - - 1- --32&0 ' 3 11 " hl , -I - - - -*- -3C 18 2£:25 393 I , - - --:.::*Z6le.> 2J43 272 1 I -----2400 21109 231 I

.-I '"22US 205 C 156 I I _.-

2e37 19" 1 70 I t 'A'"I

1944 1 Ea~ 50 I ..1385 1 C2 ~

• ';J _L--l I,,-15cl9 17" 5 -1TS ---- -*::;- I

~16'~ 1 1/09 - 3(3...~*~ I

1)J9 1': ';)( -l'l ~

I_...

1488 i cU" -113 to;- - t,

144 IJ 1557 -109 > I1366 IS10 -142 .' I1324 1464 -140 L 11210 1 ,1 '/ -149 1._ I1HZ : !.l S - f)4 "-1' 1

1268 1 3 ~ 5 - 51 " 11243 12?4 -~ 1 )r. 11 114 1 (:)5 -141 *;::

~

I1139 1 [,1 / - 7d ""- I12JC 1 100 2J 1 -_"1--*:109 1 1" 4 -:5 I r I-.C';,1 1:10 ... s-S I .:~ IlCl5 1GT" -1 1 "', I1 OS 9 1 C Ie, 3 26

~

t*_I: CSff 1 CU 35 I I ::.0:cu~ 'i ' , \7 I I ,.~u _

Silt r;5 'i. 25 I 1 *~10;;: 2 922 100 I J -.,

9 q A t 94 9 f, I , ...929 807 bZ I f~a 3 241 02 1 A,_

9d S il16 170 I ~ -;;*

dt-5 /91 74 1 ....

H).....~•I'.)

0

tJ:j <:~ ro

Ii/-'. OJtil Q

::r'p.. .....p ~.....p.. "f-ro p~ r.o1-" r.o

c.... roI='i' ::;

r.o ::r''d roIi c+

~ ~ro ro

!3<: ro!lJ c+::; ro

::;roro ro::; ::;p, Ot!m roc+ r.o(!) Q

Ii ::r'S (lJ..... c+i::l c+..... romc+ ~..... CDm tj....Q 0::r' ~

IiIi

~ror.o.....p..p

0 .. 50l.C01. 50~.00

2.50~ .. OJ3."0It.CO4.')05.CO5 ... ~0b. (.:O

" • 507.001. ':' Jcl. CQJ. '5)

'J. () ,j

OJ," 5 I)

10.~}J

10.SJ~l.vO

:l.)~;

1 r; ,....._ ..... \J\J

1 ~. CO

14.00

15.:0l :; __ GO

, / • (;'J

l·1.~O

13 .. \101 -3. ~011.001 'j. SO2 ~ .. ~'.}

L;).50

CC:SCrt.T VER5Crlll -605I

oI

333I

&65I

Ret renogram wordt benaderd door de funktie:

Als beginschatting voor~1 t/m;16 nemen we de experimenteel gevonden

goed funktionerende vektor: ;a~~ = (3,8 0,04 0,96 1,95 2,0 0,55).

Bij renogrammen, die met dezef1(~ niet convergeren naar een minimum

(meestal vanwege een afwijkende piekti,jd), gebruiken we:

p.(IJj'f 0,96 0,55)_ = (3,8 0,04 1,95 1 ,5

f-(O)#~ ( 0,04 0,96 1,95 0,55)_ = 3,8 3,0

jt!.\f= C3, 8 0,04 0,96 1,95 3,5 0,55).

Ook hier zijn evenals bij het 2 e-machtenmodel schattingen uit-

gevoerd met andere beginwaarden, die in de buurt liggen van boven-

genoemde beginwaarden. De eindresultaten blijven daarbij hetzelfde.

Voor de gebruikte benamingen bij de tabellen op de volgende

pagina's zie de verklaring op bIz. ~6.

'IGIOp de volgende pagina's treft U de resultaen aan van de schattingen

met het 3 e-machtenmodel.

II

II

j,

- -sf}­

~ rn.U -I:u .3 e-h1~dPL.--_._-- - .

ren.llr. 2'18. / Jh 18.2 L;Ltll L;l.; 7.2 ~'1I. 1 ';'11.2--I-.

l,' J.Q5q36 2. 6/7-6-9 &.'124'3 I 2.8g660 3.Q32911 5·1cPOltlI

13- O.O.35rJg 0.03910 0.01'163,

0. 0399° 0.0~2°1 0.04'152 j,

f;J I I. 0 (};ooI

0.62//7 0.71192 o. Clo 531} O. b'l£';22 °If}sb3tI

~i{ 0.381lt6 1. 0 5"(l9 Lt I 1.2..0613 1..2'1'5~O /.62.612 I. '-126'15~Iq~ 1.<9.3663 .3. I(JOIL.; 2.31(jrJ1 .P.o!J/J3 .?Lt5992 2.2ogo2

I I1&>6 °15b l}l o.6IJo80I

0.5/663 04-30 't~- 0.6932.0 0. 339.3'1I

/Y)aX/m (./ rn ..3126- .2596' 28.30 16lf3 .3£;62 3109 !I

7jJ/ek. ~.o -3.:5' -3.0 .3.0 2/fi 3.0

ICOnvent:. fo/. J??et. Col met c..ol.h?et co! !'net col met col met.

Giant.if . 42 16 II 11 12. 12

{J efhd 1/./603-*10-' I 6.olt!J~ .. 102 -z I; -2 6 -2 -2.3.630l.f ","10 .oao/ *" 10 2.'19 Lt~ 10 2l525~/O

-0'g/ max -/9462 tIO'; 8 -~ 2.28..35:y. 10'6' 1,1132 1 ~ 10-1 1.3Lt&lf ok /0-/ s.608g "t105.37 5.Jj- 10I

"/l./re;:Je 1;.0 m!/min ..3.6 h71rn/n 7 3 "'!/m/nctost's 7!,~tC %",uC t,.'i"t<Cgew/cht lb-kq 69*9 10k!] Itehsie 160 - 96 I~-O -jS 200 - liD

rae.slocht JtR. vI(. /"'fNL...-'

25 o~ 2 .,)(: '*ren.hr. 163./ 103.2 235'. I 3.3 0. I 330.2..,

J: l·glt53L; I. '180 01 ..3.29 633 J. {ilo79 tJool b3 .3.5t.tl l° I

I12 0.0520/ 10.06l.f2lf 0. 03169 0.023'10 0.04'33& 0.03220 I;&' o. ()3 (Jo'i °187°2. 0.16066 o.BIB1 't 1.2L;o60 a.Bo12B ,I 'J

if~ I. rS63() 1.0-8371 1.680'56 2.o66Bo 0. 05999 1. 61376 i

I

;36" 2.3.2276 2.51051 1.1l3/'59 ~./2.l03 0.12.353 1.93931 I.?b 0. 60956 0.542f)fi 0.7'/55'-1 O.32C120 I.O.25Iq O.ttfj533 I

II1?QX.1'nJ" m 53&2 ~;d73 2[}21 3100 .3511 .3065

t,Ip/ek. ..3.0 -3.0 .2.-5 .2.5 .2.5 2.0-

CDnv.crit. co/. met tol. h->etitof. h->e t col. h->et. f.ollYJet col met..aant ./c. 1 I '11. 1/ II :So II

r:ji e/" cI 5..2'706:1f 10.2 4.o30o*,/o-2.1.2.81qd-l(10-~ I. S'558:vo-1. -z

't.1191 *-IO'Z

:6. '1261'* 10~ . - ~ .,

-'1.9&01 uof '9,' 'hOI.. 722/2 ~ 10 • I.Q Lt76 '*10"1 . /. 1/ ~1 ~ 10 1- 8.05'03 ~ 10 ~. 0'791 ~(O

o'/ure6e /. 3 n-.1J1..?ih. 5.C n-,lJ1,fiJo? 5. 0 1?71,..,./"ctoSi~ b6~C ~9,PC ~s.,pC i

1"'*Q 66'9 76"*9Igew/cht.

t.ehsie 160-9° 20S-130 I ON8.flo." IncAC HNL. VI( I HNL.,/

-sq-

ddc.~~ mU --lief. ..3 e-~dd.

-

ren.nr. JiLt. I ¥ .f1'7.2 /65".1 16".).2 ~7q. I 27928' 2.'13!l21 ..f.JIt2lt2. /.11620 .2.3 7'3 I '-I 5.2{}tjll tt.23 093/ 'Iz ().0'!f}6'! 0.0 Y!}j'-l 0.0'-1605 O.Ot; IS 'I 0.022/6 0.0.2. 629

1./ °1/&/I 0]55// 0.;69.23 0.73501 o.fhlt5B °1/26P/3", .2/01CJ1 J.:2L.t2 'f9 /. 5 '1615" .2.09/-50 .2. o I I}(j 5 -R. /030 1,gs .2. 't{);Q2 ..2.3 3~66 3.00 2.29 .<.6'-I Il't6 /.fI I 8fNJ 1·9 j -056I

;56 0.5'0/.;0/ 0.6-0°70 0.2110-6 0.36·2 ttL; o.ttl)If l.tq 0. 5197'7,Met X.1m l.I h? 5920 '-159 6 '~floQJ 0(.19 1 ..35"57 L.;~.2D

Jp/ek 3.0 J.O 1;.0 30 -P.o 2. ~-

ICOn v. Crt i. tol l?1et. , t oJ. met. tol. met Colh1ct. 1:.01. fhet. t.ol n,e.t.Qqr;l .il. 13 /2 IS' 13 II 9 -2cP e;nct {; -3 -I. ./. ·z 2.6;65'1/0'2.Iogfh,/o I. 52-:>1"1: 10 /.353.2 • /0 l.qqfJox: 10 1.2911 '1-/0

gt' J?1Q ~ 51299 i' IO-(} 61..2569 ~ 10·1--f}

I. 599/ -If 10"1-0 I. s/fbl -,*;10'11.'-;'110 *10 ·j.l371 ,uo

o//C-Irese b.3 h-11n-,/n ..3.0 m!jn-,/n d tJ h7!/n"lh

dos/s ~B?c 50PC 6~C- gew/cht 80*9 68k9 71 J:.q

cehsie ..toO -loa ItY-:r-ID0 i ON8.025/ochl: /Ii?.

/90 .2 -j I/R.I

MNL.I...ren.nr. Iqo.1 .2/3. I ~/3.2 ..2q6. / ~q6 ..2 .

/6 I

--1-2.6 Lj /93 .2,/2 (65 I 6.1;72 ~-3 .2.101;30 It. /9033 2.6ofJolt/ ' IIz 0.Ot.;5j-:; O.OLfI6'i 0.0 t,-221 0.oltrP66 0.01190 0. 039°7'!

~' 0.69// 3 0.66363 1.0"0/:56- o·6J'f91° 1.2/56b O. &5'16lt

13'" 1.05134 1.63036 o.~())o56 /.66'1(// 0.17'25'50 o.108rY~-

;~ 3./1528 Lt.l7552 0.83554 1.77°25 I. 76691. .9. 5166'7'/J, O.LtOg55 0.3/613 1.20/6/ 0.027'16 0.6/2 tyQJ 0.'59"'7 1

!71QXiJUGlI'11 1;361 /;6/5 6.2/1 556tY !'5'j-tt 5'631

I f/elc It. 0 ".5" 2.5 :<. -5" 't.o 3/6-COhv.cn't col. met. Lol. met. to!. met. tol met. CO/ fYlef. CO/. l?1et. i

OQnt./t. 15 /3 2/ /0 32 11ep eincl

-2I. 23tY3·Uo- Z -1 -z r -( :G -21.323200 .2.1//0 J( 10 /.2013 *' 10 b.3055~/O 2.fJi 11. t 10 !

J.~a36tlri9 -10·-Z.hlf}2 *"10"& -'f.:J35/t/O·9 fJ.2/S2 "1.10'1

-~,9/ YnQ)( 1.3006 -1-;0 g1103~IO .o//t./yese /. 3 n,1w.in .t9.;,::;,h

l

I. 5' m'l~/h

%si'i 3~C Sl~Cgew/ ch t. 6'/ko t9Jka

I 1'5"'*9.I J

tensie 185-120 1.5-S - /I~ ..?OO -1,36-

19-e,SIQchI. vR fl1 N L l /'1I1/L... ~,.. ._.-.~.- _.~ .- ._._-_._.~. - -... _--~,--,_. -_._.-. -- .~--_ .._-_.- - ----_._- - ._-_._--'._---- ., - ---_._." -_.--,-------

-60-

ren.nr.--!!l9..J_. f-_ Iqq2 .2.3/./ 23/.2. 239,1 .23fj.2

/~/ Lt.l5612 3.4'329/ !}.5lft969 1.t/7530 3.50013 .J.OIt033

12 O.03q(}(J 0.07'116 0,00l07 0.o36f)1 0. 1/652 0.003tJ9

f/ I O}6b12 0-75"231 0.83301] 0.79973 o.tto666 0.8t.;Q:;-3 lI~Y ..2 .21(JO't ..3. 6131& .<.~-1728 .2,612 &1 .2.26'910 .l.25/fl2 l?(; 1·4/o-'Sl 1.66';13 ~.'Tl}rP31 :2.310/9 0.5/555 3.01'1211 f

/:36 0.4'5523 OJI1382 O.~6119 0. 55/!J'T 0 ..33211 0.15653

Yhaxt"h1t.1Yh /.;677 3rYJ.2. 6/qO 557'3 1312 133f1 1/ fiek 2.5 '<.0 .7. '5 2.5 3.0 2. S I

COnV.cr/t.. colh?et. CO/l?7et. ep(j-f'l»fiif) co/meL. lo/met. .Lh?OX::.6U;

QQnt./l. 16. -z 1'1 .27 .22.. 31 50 I~eiha/. ..2.9696\.10 1.f)039flo-z &'006fiIl0'

JI.OOJ-S-rJ*IO:z I Lf1lq *10" 1- 51'19'1-10":

gt' n;o x .e:5259'1ld {2~01"" IO·f! . 6.ltqol("tlo"6'1 lOLllovo'9 5.3623* 10-J J. 619 6• 10 '1.\

d/lIre~e '5. 't n,1h-r/...,. 67 n-.!j~ih 2.j' n,jn-,;,.,c1os/s 6'tpC 3.2,)<C ..3~C

gew/cht 66/(9 o-s*9' ON8.

tens/e /30· 95" 160 - go i /00 - 9~-

1 tjeslocht NNL. /1NL. 1/;< II ren.nr I ...300.1 300.2 j(¥ 206.1 .106.2 3/6.1 316.2.!I AI ( I 6 I: r' J.qqo't2. .1.39055' 0. 60575 1,-'1'S33 0 3rY2~2t../ '1. 9rl /. I1;$02 o.ooBt.r6 0.035"02 0.0083'1 0.03J68 I D.03Q91 0.03023

I :~~. 0.(}tj.30-S 0.83&fll 0.&327-:) 0.65.962 O.!O'i23 0]16:20!I fJj /&" lo3"J-3u' I 103792 /.65001 3. 22997' 2]163f) 2.tJl(.II~-

I I)" 3.'-t:lb96 I 2]t./,j(}! ,J.2n9~'t .2.'-1/952 :<.032.25 .<'./2321

I /g, 0 ..2 3269 o.'t66~96 0'//017 0.5'0061 0.635a2 o.6t,300

rnQx.inTLI;J-, 518o 33grY 'SD317''-i/'1 Lt{;tf'5 3&90

/?,ek ~. 5"" I d}5" J.O .3.0 .f. j 2.6-

COnll.C,./t. '>.>IO(JO/C>/o to/met. IrnQ'X col.h?et. co/n-,ec. col. mel~Qnt./t..31. /5 5D /0 II II

~eir,oI. 3.5372.-*:/0';' '5.-53'S'7'i-Io'z .3.1976 -1/0-

11L.53&31tIO"z I.Cj&26*IO'z .l.q613*IO-l

q,- YHQX -Z.O:J..II¥10-6

6.53&5'*/0.1

.l5;20+IOo !-9.6728oK-IO':: 7191/1uo·6J 1.'/1'I5'/;-/0"}

o'':urese .l.B fl7'l~,'n 5.9 rnJ~i'n /0 i"i?jh-7"n0"0::; Is lv~C I 4'lPC L,-o/C

gew/cht IJ.;I..TJ I bl):9 !' 1)~k9

i tf2hsie 1/00-120 130-90 flo-IIO

_9-S!.!>Io,cA:.! /l1NL. . L__vR . __-,-__~II~R-=---_..l.- _

g. rnC>'K

0'/4Yf?.5f2

do~/s

gewlchtcensieQe~'/Qcht.v

! gew/cht~ t. ehs/e

! geslDchlj _r---ten. nr.! .4 I

, /-'

fz;;g/r~'&5

// 1J6

#]QXlmL/f11

I I/J;e!<.

COhV.Cr;C.

OCihC. It.

<;$ e/ho/

- 6/-J-c4~9 ~ ~ 3 e- ~dd.

-r-;e-r.-7.-/l-r.-r--3- 2- q--.1---,-1-3-2-q..-.2--.----~--7- ..-/-'--.21-',l-·-2-,,--2-q-c9-:::-.-/---.~-,.-.2-9-rY-.2-

p/ 'r.5/C1q6 1.5"6/r'-f6 &.15593 -</!rl.fbl /.56010 1.f.0L.;.20l; ;

;.z o.oitlf}l o.orYt06 0.0.3'-12& 0.05.2&0 0.°9618 ! o.096lt3 :~/ /.1'-121° 0·7.2163 1.61611 0.16912. o.61-t601 0.535673 ~/~Iy 0. 3811(,.1 I. -j-IIJ6'6" 0.'1/Q92 2.37236 .2.36/19 .3.'166'75

I/65 I 0}1653 2l2 1 5'1 0,. 6fJo92 I. 106 !Y2. 2. 6C?37 I .2. 53999

,/~b 0·7'1305" o.'Sol;'~6 1.13500 061367' O.3!}~q4 {).55(J6'1

'hlQxilnl./m -So{Jq L;soq ~ooo ,{9rY& 5'59& ~5c99

If;iel: 3.0 3.2~ .1.0 '<.0 3.0 3.0'C.OI?v.cr/1:. fo/tnef.. cO/.h7e6. to/met fol.rnet. io!}')?ec. toln,et.

QQnf./t. Jtt /~ (zoet.J II /2 /3-2 -2. -1..2. - Z.P einci. .3.9752 *10 I. 0'067*10 1.2t962-t 10 1.2035 ~ 10 1.2190f- 10

66 .() ? /.(') -0 /. -$I 36 -c; -1q/ #?QX 1- qu +10 ~1'·9(.J6.3,* 10 7'.OI2t",uO . 113 tuo ~ I. 2lf39* lOT I

c1i!.lrese .!.0 h?!hot /h Il. (/ n,!k/J) !/.~ J1?j""" /;' ;d05i.5 L/o/c. 3YC 6-~C.

64k9 oo/\g 6ljKqlitO-loo los-flo /70 - 100

vA! . fiR. 1'1NL~

26-2.1 .2'J-2.2 I .2.90.1 ..2C)0.2. il* ..!~·O.l ,2t./o.2.. I

.~.6b6t;1 ,2.5'<101 i /.q&900 .2./°712 1.32./51 1'11110 '

0.06 I.tfJl. o.{)ol6j 0,0 426tl 0.035"16 0.0566 t; 0. 06395O.633Lrlf o.683~f5' O}!,to II 0.1077j O/(J'-IIf) 0.7167°.2.29715 .f.&28J.. 0 /. f}()"J61 tt 1.79139 :1/5 227 :(.~0905

.2,ol/5'56 ll..I.2.tl'IO J.29og1 /;'1611,3 :l.rJ56slj ...3.~7'.352

0.6222-:5 I o.:5'-fq()6 0. 2 rY.2lY) O.30lt22 O.3j/}26 o.'5oJ(}6

.2965 .2 62 I 566 I 0168 ..27 '-ItT ~ '193.:! .~- .2. '5 3. t) 4: 6" .3. 0 J.5

CO/met. I CO/met 6o!~et. t.ol}')?et. to/met. co/met.

10 II II /1 12. It;

1.1/6H10-z

J.1219~/O-2 tj.611!J*10·,j 1.03127tIO·l

1"'&57'*10-1

3.02£;7*10-Z

-0 -e1 .c9! -I. n t!l. "9 -0"I. l'-IuO ~I;:/O 1.305YiUO 1-1.'t~:;q.yIO 1-~..?1(Y6 ~/O - .6106~/O -/.j/C12 .... 'O ,

! ts m'/n-.li-}. 1/.7 #7!j~/h I Il7 "'f~/I?6-6~c 59",f-lC I ~2PC7 I Irq 80k9 I 6"9/9

(7'S-IOO /50-100 . /SO-95fUR hNL. I 7

;

;J

.,!

- 62­~9 /IUU /{u .$ e-~~.

reh.nr. .2Q{j, / ,pqq.2 .flb. I .216.1

13/ /.36g06 1..2q320 ./.'12 96-'1 .!.'1.2t;3 9/62 0. 0'1350 0.06(..168 003812 0.03316

A' 0.892.61 0.196.22 O}6560 0.855"6-9/1c5", 1.'10/66 2./6'162 1.73153 I. '13326jJ., .2.1l./191 .2.'1£933 B ~.2tjq31 Ig5"63 I

?t o. Y!.t363 0.'7'61b63 0.35'3ft'! 0.3/&56IJ?Qx/mllJ!n IfG&1 . 52-:tl} ,f.1".J-I ICjql

'lJ/ek 3.0 I .J.o .3.0 3.0

ConV.Crtl. tol mel.. i tD/mec. co/met. 10/metQQnf./t. Itt IJ 12 IIP eihol 6 ·z -2 .z. -2.2. 052 */0 I. /5/':J-'" /0 1.931J :X/0 1.50&3*10g/ n-tax -l.fJtofhIO1 &0912~/D-;

-6 -6>-1.1.:<1)3);-/0 --j-. ~3/.) ¥ 10

oIitwese beY 1~!jI-W/h 4-. '-t ;H~/hdos/s dg?-C /.y-<cgeW;"cht .y:~ /&k9cehs/e /20 - &0 DNI3 I

qe~/QChl kR IIR 1'" -_._----

Gemiqdelde waarden:

Er is gemiddeld voor de gevallen waarbij de tolerantie bereikt

werd en waarvoor g. max. < 10-4 •~

Dit geldtvoor 23 rechter- en 25 linkerrenogrammen.

rechts (1) links (2) links en rechts (gemiddeld)

/3 1 = 3,58741 /3 1 = 2,77836 maximum == 4180

;62 = 0,04804 /8 2 = 0,04549 Tpiek = 3,00 min.

;33== 0,90248 #3 = 0,75226 aant.it.= 15

1,53626 /:3 4 == 2,09462 teind-2

P4= = 2,8822.10

(65 = 1,96778I~ 5 = 2,47~05

;96 = 0,57705;66

= 0,48920

/2 11(33 = 3,97506 ?1!P3 = 3,69335

) ,

Conclusies van de schatting met het 3 e-machtenmodel:

- Het schattingsprogramma werkt goed. In 48 van de 52 gevallen

wordt het criterium "tol. met." bereikt.

- Ook hier is de interindividuele spreiding van de parameters

groot. Op de volgende bladzijde zijn de geschatte parameters

uitgezet. De kruisjes geven schattingen aan, waarbij het

criterium "tol. met." niet bereikt werd. Opvallend is, dat de­

ze renogrammen ook met het 2 e-machtenmodel moeilijk te schatten

waren. Ze hebben daar weI het criterium "tol. met." bereikt

maar hun waarden wijken daar sterk af van de gemiddelde waarden.In't

aJgameen blijkt, dat de renogrammen waarvan de geschatte para-

meters sterk afwijken van de gemiddelde waarden~moeilijk te

schatten zijn. D.w.z. er is een groot aantal iteratieslagen

nodig voordat zo'n programma stopt op het criterium "tol. met."

De schattingen, die meer dan 20 iteraties nodig hebben, zijn

gemerkt met een~. De spreiding van de waarden wordt aanzien-

lijk kleiner als we deze renogrammen buiten beschouwing laten.

We komen hierop later terug als we hoogtekaarten gaan maken

van de omgeving van de gevonden minimale error-waarde cf·Gemiddeld is het aantal iteraties bij het 3 e-machtenmodel

iets kleiner dan bij het 2 e-machtenmodel, respectievelijk 15 en 17.

We genereren weer een geschat renogram en schrijven dit over

het gemeten renogram. (zie bIz. 6') ).

Ook bekijken we weer het verschil tussen het geschatte en

gemeten renogram. (zie bIz. 66 ).

C.I!

1/ &.11

/0- 0.10

g

o

C.og

0.06

],1,I,, .

.....'~,

II

~..I,

6

.!A··

c.o/

I,I

II\I,,, ,

·a:I I

I I

: I, II II I I I

'XXXx0.00 -J,--J--'_.J..-..t-J,--L..-L_~_--.L.....J t ! I .l- L--\-......--L-L. ..J..-..l_...L..-J

O.OJ

.O.OS ,

II

O.O'{ .£ 1

0.07lc<>6

& I

'fI. ~ ~:

I I ,

~ ,. ,: ,~I L.? ~I II • •I •, .· :··

~ .&,, .oJ ::

4

,

••\

• •, .I •I•

z

'!I• •

I

~,II

III

I

~:I II •

0',,,•

.&,I

0.0

1-0

fJG9,.S

6.0

n

f.o

t;.S

1;.0

•J.~ , ,. ,, I03.0 • I

I I . ·:~. • 1 I

1.5 I · I I

;ifih ~ · , ,, • ~• · . , •2.0 . ,I

, , .~

I , , • ,I . X , •

~ ~. · I ,

I.S , . • I. ,I, • •II

I I I. :@'1·0 I I I, I I

~.

~0.5 Lt ~

··,•

~I

J. 1,...

.I.

I.

.• I

I

&:~

III

~

I

M

'"~::;<I • •I •

IIII

xXxlX£: I

: I 'III

I

I

',6: I

I ',I

I,I

I II.

•III•

·•

&I,

,~

, ..I. • ..•

.,;. ~

I,~

7

o _.....l.-J-L.~....L..-..J...., • I' III i-L..J

til~~&~~~~~i~~~~~~~~~Z~~~~

9

G

.J ,I

I •I ;& J

1

,

'T 'I-J f!;r.(,

I.~

l.,

I.~

1.1

1.1 ~loD

0-9

0.8

0)

0.6

(l~

D.~

,j e-WrQc,htenmotielJeSChQCCe /:>CI"Qmet.er~ tjevoJ.?den met het(X wil 2eqqeh: voor c:I/t renoqral<?? I~' c:le tol. niee beyedd; .

.6. wil 2eqqen: er 2jn ~eer GYal? LO ;t,ercd;~'eslt:~gen l1od/g)

~ Ii

- +

\'

+.,.

;'" +-

.......

SO,G

...

;-

~

~

:t

+;;i.

... ~

I/. .•

~ __ ~ - ~~ ~ ,~ - " __ m ac_._~

:t.;;: • .!"'.10'" + ~. +.< .\' 1 " "

~rt\l~1"\

~~1:"-....1:"-1­(\)

.'" · ". )

~.c S '::'

~ ~, ~

~ '" " ="() 01 ;. " ";'}

~("I ? .' "

"~, " . :.....

~ ........ .'.... ,.! fi-- .. :;

,.£:::

,

U\ ,. .-

'"c'

OJ(t) .. ::)',

~I

,~..... ~-

~ (tl t: ·.'

r-t-. '.

~ '" :J.')

r..,~

~ ~ • ,.(")... C/)

"

~ (\ , .. '

~

~, ,r, c ·v,

~1 ; ..'G

\"!-, · "~ ,.J-

~ ~ · ~ j 'J

Q. ~ · " · .. ,

~ " "~(i)~ · : ·, ';

'"' :> ,~· ·~

J .. , :1 c

~..

~1 ,

·)0% 1 c ·'. "~ '.~J · -'~ 1 '.:.. \... C~.

~ ::· ·.~ .. · J :j

," J ..

'JE.;·~'SC"'ll_

7 (5 l () ~ « ~ 1 J t

" .-: 1 ·..; '1 " !• ,.

f'. ~ r.: I. (; :. 3 .3 "," c .. J " f -, -

'.~ : " 1 J ·1, ;.. ., '; : .. " ? ~ , .-

,~ : '. 2 -"/,. ..,3 1 <- , ?

'. ( .. < ? -.: "

.. -/ ..;. ;. .. L

,.. :: ~ - j ..

, 'J " ~ , < . - .J .;

') 1 .. ,. ." . .~,

. , ., j -t, .J1 '-;I <- " v 7

" c .. -' , : , :,j 6(,

..:;, I, '"..

t :.> I ~,

~ c

".. 1 (. .:; u :; 1

1 ~., ,.' 3 -7

· ~ -:. 1 " : \; -~

'. ;.' C -, 1.. .. ·,~~ " 1 :, 1 :. 1 ;

J .. 1 " ~-" 2 ;;- <.

· .. • 1 1" '; r: ~ 1,L . .. 1 " c 11 ,; ,

l j '- ;j -? ]

·" J . 1 ~ .'

(j -,- j

1 ;3 0,,< ; j .' v -.. ~

,; J ·.0 : 2 -,; ?A

1 ! ~ ~ t

· , ~ 1 <. " (j :,, . ;. 1 ~-'. ? 1 -" ..1 ;: " .; , , " :- 1 51 ,.. :' .- 1 1 'I

" " :1 ~

, 1 , IJ. 6 I.1 j .. ; 1.2 2' ·')

1 .. j •0 '~ - - ::.1 :. 7 1 ;.) '. S -.- ..1 ; ;> G : v " ~ 7 to,

*

~

*

+

*

**

+

**

*I *1*

*I *II •

*

**

We zien hier een betere benadering dan bij het 2 e-machtenmodel.

De afwijking in het begin is aanzienlijk kleiner geworden. Dit

uit zich ook in de waarde van de eindfoutq5. Deze is gemiddeld

-2voor het 3 e-machtenmodel 2,8822.10 , voor het 2 e-machtenmodel

1,1694.10-1 •

Ook lijkt het residu (gemeten waarde minus geschatte waarde)

veel op witte ruis. nit blijkt ook uit een runs-test. We laten

daarom in het vervolg het 2 e-machtenmodel rusten.

We hebben het geluk, dat de 3 e-machten na elkaar uitsterven,

de gemiddelde waarden van de exponenten zijn:

;62 = 0,04671 /~4 = 1,82707 ~6 = 0,53129.

Dit maakt schatten met dit 3 e-machtenmodel mogelijk (zie lite-

ratuur Glass en Ga,retta).

Omdat we nog niet weten in hoeveel decimalen de pIS overeenkomen

met de fls, stellen we een beschouwing over de gevonden parameters

nog even uit.

-b8-

III.3. Verwerking van de resultaten.

Voordat we de geschatte parameters omrekenen in de fysische

parameters van het renogram, moeten we eerst onderzoeken hoeveel

invloed de ruis heeft op de waarden van de geschatte parameters.

Voordat we daarna deze parameters omrekenen in fysiologische

grootheden, moeten we eerst onderzoeken of een set van 41 meet­

punten een of meerdere sets van 6 parameters kan opleveren.

We voeren daartoe achtereenvolgens uit:

1) model- op modelschatting.

2) we plotten hoogtekaarten om de omgeving van de modelparameters

te bekijken; liggen er misschien een of meerdere minima naast

een globaal minimum?

3) we plotten hoogtekaarten om de omgeving van d~ geschatte

parameters te bekijken; dit doen we voor:

a) een renogram waaraan gemakkelijk geschat kan worden.

b) een renogram waarvoor veel iteraties nodig zijn en waarvan

de geschatte parameters afwijken van de gemiddelde waarden.

4) we proberen daarna de fysische parameters om te rekenen in

fysiologische grootheden.

III. 3.1. !'1o£,e.!.-_o.E, !!l0£,e.!.s£h~t1iEK~ ..

We genereren met 6 parameters, die in de buurt liggen van de

gemiddelde geschatte waarden, een renogram waarop we 20 verschil­

lende reeksen Poisson ruis snperpQneren. }).;; mC''3tmethode waarvan

gebruik gemaakt is (het tellen van quanten afkomstig nit de

richting van de nier) impliceert namelijk Poisson Tuis.

- 6tJ-'J

De errors in de countwaarden volgen een Poisson verdeling. Bij

zo'n verdeling is de variantie gelijk aan het gemiddelde. Het

totale aantal counts gemeten in ieder interval is een schatting

van het gemiddelde van de Poisson verdeling voor dat count-

interval.

Aangezien het aantal counts geteld in een interval vrij groot

is,mogen we de Poisson ruis benaderen door Normale ruis.

Voor het genereren van het renogram met Poisson ruis maken we

daarom gebruik van de volgende subroutine, die een normaal

verdeeld random getal met een gegeven gemiddelde en standaRrd-

deviatie berekent. Boven hebben we gezien, dat de variantie

gelijk is aan het gemiddelde in dit geval. Dus de standdaard­

deviatie is Vgemiddelde: Als gemiddelde nemen we het aantal

gemeten counts in dat interval.

Een benadering voor normaal verdeelde meetwaarden Yt

kan met de

volgende formule,waarbij gebruik gemaakt wordt van de uniform

verdeelde random getallen op de computer, worden berekend:

12.

!If; i '== Yt t- VYt . 2. Crt" - 6 )1= /

Hierin is: Yt

de waarde van het meetpunt van het gegenereerde

renogram zander ruis.

Yt ' idem maar nu met ruis.

r. is een uniform verdeeld random getal (0 ~ r. ~ 1)1 1

Met deze gegenereerde meetwaarden kunnen we het schattingspro-

gramma testen en de invloed var" de ruis onderzoeken. We weten

nu met welke parameters het "renogram" gegenereerd is, wat ons

in staat stelt de resultaten op de juiste wijze te beoordelen.

We voeren achtereenvolgens 2 schattingen uit, waarbij we als

beginwaarden nemen:

1) ~(O)= Eg = (2,76553-0,04783-0,73149- 1,84849-2,17632-0,582 54)

~

2) /6(0) = (3,8 0,04 0,96 1,95 3,5 0,55 )i-

f

ad 1) deze beginwaardenvektor is gelijk aan de vektor waarmee

het renogram gegenereerd is.

ad 2) deze beginwaardenvektor is gebruikt bij schatting aan

echte renogrammen.

De resultaten van beide schattingen zijn weergegeven op de vol-

gende bladzijde.

Beide schattingen leveren precies dezelfde waarden op (in 5

decimalen nauwkeurig). Schatting 1 heeft daarvoor gemiddeld

91 iteraties voor nodig, schatting ~ 121.

Verder dient opgemerkt te worden, dat de "renog"('ammen" 2386(NI) _ c.,.)

en 18216 bij de eerste schatting stoppen op het criterium 15 >~

terwijl ze bij de tweede schatting met dezelfde eindwaarden

het criterium "tol. met." bereiken!!!

Evenzo stoppen de "renogrammen" 1342 en 10121 bij de tweede

schatting op het criterium "count> 10", terwijl ze bij de

eerste schatting het criterium "tol. met." bereiken!!!

De diverse criteria zijn niet tegenstrijdig. Ret verdient echter

aanbeveling om in de toekomst een stopcriterium in te voeren,

dat beter aanduidt of het globale minimum bereikt is ja dan nee.

Op de hiervolgende bladzijden zijn de resuJt~ten van de schat-

tingen weergegeven in een tabel.

Ook is weer het residu bepaald, geschatte minus gegenereerde

waarde (zie bIz. 72 ).

-1' -irJ I:! I" f /J' ( .L. •Il100J. ()li f11"0()(;~A(... ..a... A~ftj. X = Se..--c;,..twQu,-de, voo;'de raI-1C!O;--;,-

~ 6qo'9 ','179/ -'l~llR;~;M61~&;'6~~-Il/OO. 12t]IIJ. l2!k;fl. 130/;{1 1326").'

1" I00'(1"3 00'1,'09 100"}01 iDOW;35 to'i917" O.M! 61 O.050,!'1 OM!6 I

~JJf I():~~2/:9 07J~I)'J·}65ci:)).· II ()-7:3110::J'·]o.~ \ {J.j23:V D.JI!O't ()!3I5D °P901 °P9 IJr ~?7 v , ~ jl//s. 33:,0. 3t;-S2. 33S13. J!I//J.

lei !.iY'IV{l'-f !/IO/'5r; If/IF?' I.flq!h/ ItSj279 l.!y'j-S'2. /./}IJ'SII 1.}1>126

() 2 If,'' 12 ( .. f') .. I)' 2gofC .22 r'7 ~? 2 /, 7" r?! AODrJ'j'" n ''''~r:i .1 ':'1/ I .Ol;:,'!:, \ .. 2 .• .-/ I' '7;/',' .<.~I 7·) .,.I:JO') ...:. ';' . ..I. /../,;.,.. ,1

It O.j"[j)2;j·~) I G-\'5S·I.)I/ I o {.O:':'J/ lo.60L'."b o.609Cl O.-S'(,:':"rjO I O' ..·,9,~·3tJ O.--S:Q2 9/COnv.Clrt.. {O/rnei i le!r.l.!. f.(>l.rrl~t. i LO/llle!. !Oi/-;;c!.. /c<!i1rt.lg;frt~~1/r)ltOI./}j(.}c,

~~?n,t"I;. I J 9 J II ) IJ. _~I 10 oj 10 '3 6 oJ q -.J

'0'/",{ .1'J~:, '."', 'I i," J:) ; 10,'i3.1J"Y' 10 i{""(/] , ,"J'J9]",'/0 !4'1'.iJ6"", ! {o/o! 1'- i<:"92 ",'10 ,

,s~·t'~~<: _' ~ ~~61_Kd, <'1 ! X.6f-Jq'~1 ~S6_j-'-'- 6'0'1 I,x' 'Z:t£ '..",/<>::1.1 K, ::"'!:6/1 2.(,(,,136 /.fJ.1 1J'.9 I J.P;,)) 0 12.":;o~'(, ,;(,ln323 .'(C'.j(,'q'5- 2.6/1;,(;1} J.b4'{)()O

;;/ /233(7. /3.N3. 13//6. I /3(j16. 12(jO/ I 1.3/'S/. I 12"sI3. 12·S)!I.

jJ2 o.ori571 O(J 1;6-::. 'I 0. (!/(lJl/ O.O!/{.7'Y O,()'/Sh' 10.05'000 D.O£/i('// o.Ol-j7CO

/1 0I"·;q3 i oPIj(··1 D},-S'16 0/,"/(,/ 1 DJSI" I0.71%6 O]~D92 "pR3!/1 1 c?I(f)I. ,3'120, J'52·S. 37'8,/. I 3'1'(?!! I ,~,315" J1-;66. Sf;('j'

I" I.g I( 6'1 I.J7&"'/ 1.8'10>0 'It1.('0 j"B,",,'; I/.Jlb 55 I. 8~73 / /IP t7IF J"'72 {O ..2.11(,9:' I .2.(..'9:/32 2.1/!?i3 I :!./lo2lJ 1/..;8(;/3 .'U,2Cf.19 lJ'i3tS3

'/[, os/!;./( O.·sq(}:.,·f., O.f:9[?39 0.-56-:>291 O.:S·33i3 o.6ht't55 D.53::3,/)' 0.53"::;'-11

CUr,L'.U:{. f_:)i.r.:.~t'l iO!.I»(;!.. iol.l'Y/cC tu/rueC I C-ol.n;f/: to!n--;t'!.." lO/.r",-,el {()I,/;...,ee-.

QC.//lt..tC.1 g {} 9 9 I (1 q tJ II. I -" -!- 'JI .J -J oj' 'I -i. 2~>_:..-'" :.'. _ ~~/:iC;!i._~ If) "16 q,;H,:rl */~ §Jh"" ..\JO I·j q;,!~./ 1('._ Jj3Jl.6.!!.O __ t,. ~/'/;'-'!....' /(i !J ~:s.:{).:,t>+<iJ ~jY';9E~~O_ ~

,,-~<m,c I Xj;:~~>;;~;;;~ :~~~;.; j;-;;;:~ (;;~<:5; i 0;bq l~i~;;:/" ~:::\t-jJ/ /276-~. 12t.rr;3. 12{,£1/. 130qo. I 12;'5!'). 12fl65.

2. / t:0.;:);) II'

0. 0 'lFr't]

0)325'-1

..31.(6(,.

/,{9j 6 l;3

2.16J! I

D.·SF/Jo

0.0 If}

0.001

0,01/

0.063

o .03Q

D.(J'l70()() , i· 1 ~l'~j.i,.,l ILl/.

O.73{;:; {?f

3 l/[! J.

I. 5p (;0

3312.

0.050::'/'

O}371/7' 1")->'1. ).

, fl,! c/. U',:" .; /

OJ; 5"/(?O

O / ... l 00.t..'Cj f .1.

3371·

I.fhJ.b7

I

illI -

12. ffj.36'/ I .?.I6ap "?30Y(J3 I :U977 (I i "U7,?J3

/J,: (? L., 0. I'?·' ..~.) ': ., r ...0- f· J I' /? .... ' I (.l. A.' 91l.!'.L.:' !'\ K' i',.·· 3

::,':: t;~"'[ I '~:;;:2! ;~;; ~;'rI (~,""I I ;~":':I I'l!.J:...~,!S: .. ~/)4'/~:~/.;c~L·/I~9'[l,~~~-}_ </]:--.'j,·/,';JI (/:).~ ... 'I:J!'f!;!Of'n...-

J!

~VERSCHIL~GE~ETEN_EN_GESCHAT_RUISRE~OGRAM_4561

~.

l'o Tya GE"1ETEN GESCHAT VERSCHIL -80 eo~

-40.0 0 40.0(MIN) I I I I I

---------------------------------------------------------------------------------0.50 1451 1467 -14 I .. I

~ "= 1.00 3089 3075 14 I I ..:t ('> 1.50 3882 3856 26 - I I ..

"'-\ 2.00 4308 4317 -9 I .. I)-- n 2.50 4624 4639 -15 I .. I\l;l 3"- 3.00 4503 4516 -12 I " Il"'t- .....: 3.50 408fl 4131 -45 I .- I

~4.00 3747 3717 30 I I

r,.,. 4.50 3421', 3346 81 I . I ..~ ~ 5.00 3028 3033 -5 I .. IIAn \.\ 5.50 2777 ?77fJ 2 I t Itl3' ~ 6.0C 2504 2565 -I'll I " I '1!~ :t (,.50 2406 2392 14 I I "r>-- 7.00 2212 2249 -17 I .. I I"'l- ~~ 7.50 205t, 2129 -73 I .. I~ I);) 8.00 208;> 2028 53 I I "~

n- 8.50 193'l 1941 -4 I " I~~

9.00 1~~3 1866 17 I I ..:l

(\) 9.50 1823 1799 24 I I ..cZ ~ 10.00 1698 1740 -42 I " I

") ro 10.50 1759 16B6 74 I I ..~ ~ 11.00 1593 1636 -43 I " I

~«l 11.50 1594 1591 3 I I"

" 12.00 1559 1548 11 I I "~ro 12.50 1497 1508 -11 I I

" 13.00 1392 1470 -78 I" IQ. 13.50 1485 1434 52 I I "I\) 14.00 1426 1399 27 I I "

14.50 1196 1365 30 I I "~ 15.00 1293 1333 -40 I I

~15.50 1322 1302 20 I I ..

I;) 16.00 12BO 1272 9 I I "~ 1(,.50 1252 1242 9 I I ..~ 17 .00 1260 1214 46 I I ..~ 17.50 122? 11 B6 36 I . I "~

le.oo 1121'1 1159 -31 I .. I1~.50 11 16 1132 -17 I .. I

~19.00 1130 1107 24 I I "19.50 1029 1082 -52 I iL I

~20.00 1072 1057 15 I I ..20.50 1001 1033 -32 I - .. I.....

'---

Conclusies van de schatting:

- Het schattingsprogramma funktioneert goed; de stopcriteria

moeten nog verbeterd worden.

- De standaard deviaties van de 6 parameters bedragen:

Vi = 0,069 ~2 = 0,002

V6 == 0,039.

r,· - ° 071v 4 - , (/s == 0,063

Van de geschatte parameters, die we gevonden hebben bij schattin-

gen aan echte renogrammen zijn respektievelijk slechts 1

)61 f3;64 Is /6) of 2 </2 ) decimalen betrouwbaar.

- Het residu van de vorige bladzijde vertoont veel overeenkomst

met dat van blz.6t; er dient echter opgemerkt te worden, dat

de amplitude van het residu van het 3 e-machtenmodel groter

is dan bij de model- op modelschatting. Hierbij rijst de vraag

of da~ ene resterende decimaal dan nog weI bet·'ouwbaar is

Dit dient nader onderzocht te worden.

Om uitsluitsel te geven over eventuele lokale minima in de

omgeving van het globale minimum, maken we twee-dimensionale

doorsnedes van de zes-dimensionale parameterruimte. We bekijken

de error-funktie zonder weging in de deelruimtes. Er geldt:

Hierin is:y{ de meetwaarde van het gegenereerde renogram met

ruis. We nemen hicrvoor "renogram"4S61 van blz.71.

ft~) is de theoretische meetwaarde (zie verg. 46 en 47)

Deze waarde, die afhangt van de;Ol s , wordt gevarieerd.

4;5 I S worden konstant gehouden. We nemen voor deze

~'~de bij de minimale error-waarde horende waarden.

2;5 's lopen van de bij de schattingen gevonden

minimale naar de maximale waarden.

op de volgende bladzijden zijn weergegeven :

In deze hoogtekaarten zijn weergegeven de iteratiestappen van de

(1,(0) ( ).schatting met beginwaarden/~ = 3,8-0,04-0,96-1,95-3,5-0,55.

Ret veld van de hoogtekaart is verdeeld in 18 vertikale en 18

horizontale hokjes. Ret programma berekent de waarden van

voor de bijbehorende 361 roosterpunten en geeft het daarbij

gevonden minimum aam met een X , en het maximum met een"t •

Uit de hoogtekaarten blijkt, dat er geen lokale minima liggen

in de buurt van het globale minimum voor deze do,)rsneden. Ret

heeft dan ook geen nut om de andere doorsneden ook te bepalen.

Verder blijkt, dat het schattingsprogramma goed naar het globale

minimum toeloopt. We mogen dus aannemen, dat de gevonden eind-

schattingen voor;G1 t/m;16 een-eenduidig bepaald worden door

de 41 meetpunten van het ~~~~~~~~~~~~. renogram.

Opmerking: op de nu volgende hoogtekaarten is de afstand tussen

de verschillende hoogtelijnen gelijk.

,iJG:l~" LJ _,

------==---==-=- ----------'-===_._----::_-=-------=--=--=-=.-=

__L_J-----.L.

. fJ 3,02

n/, '-

·92

8,,4

11

4 .08

[3 r~ TH

;>q.26hooqtel<aarcvoth

qeren ereerd

reho9r~#7.

(/t/)br)

- ------------

.::= ;;; "~~~.i;J·',--J~~'~.'

1._.1... I..I.

,l: ",.I

---- -:.....-....-----

-'0 (' C"'~·~ -----_._. U (y. I _ _

L/ ~".--" . -.~....... -~_.. .

-, i~ r'. /~ .__----'~~ ) lJ _'. (//"

! /

J),j ~'I.. r\L1 ,) ~- - .. __

~'-. ""- _--._-- ..

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

LJ;

__ ...--.,--_ .... ~ ~_~_..-.r".

"

2

< _. ---~--

C t1

(It-lI ,

1 '

.8

1 . S:2

_,13

.9\3

.58

.. 1

"13 Z

~96

!'q.2Fhooqtekaart­van9eq en eree,.drenoqrCi VV1

.(If-:i6/)

,07

BETR

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

\

) F- -- n)

1_., I__ ! I •

.2S

11.

f>q. zq: ' 2~)-;;ooqte kQt:;r tVClh ge f!jf2-l?ereer{)/

reno9rCtn--,(. cr-s-6 Jj

I;' q.

--lq-

,~) r~~

. l....Ju 1 . 1~

lrI

if, ,t

Ii·

--&0-

Om te kijken of de omgeving van de geschatte parameters verschil-

len vertonen met die van een gegenereerd renogram, maken we

weer een hoogtekaart van de error-funktie:

~/ ~13;: L (!:It- - /to))n.=:/

Hierin is Yt de meetwaarde van het echte renogram. We nemen

hiervoor reepectievelijk 441.1 en 330.1.

ft~) wordt bepaald zoals hiervoor (bIz. Iii ) beschre-

ven is.

In de hoogtekaarten liggen de hoogtelijnen weer op gelijke onderlinge

afstand. We bekijken eerst renogram 441.1.

Ook hier zijn de iteratiestappen van het schattingsprogramma

aangegeven. De voor deze schatting gebruikte beginwaardenvektor

was:~{o/ = (7,4-0,06-1,6-1,1-2,5-0,4).

Deze beginwaarden leveren exact dezelfde waarden op als de schat­

ting met beginWaarden:~{o/= (3,8-0,04-0,96-1,95-2,5-0,55).

Conclusies hoogtekaartplot van renogram 441.1:

In de buurt van het globale minimum liggen geen lokale minima.

De struktuur van de hoogtekaarten vertoont sterke overeenkomst

met die van het gegenereerde renogram.

lf~t schattingsprogramma loopt voor verschillende beginwaarden

naar het-zelfde globale minimum. Voordat we hieruit concluderen,

dat de geschatte parameters een-eenduidig bepaald worden door

een set van 41 meetpunten bekijken 'we eerst nog een hoogtekaart\(330,1)/

van een renogram, waarvan de teschattenparameters moeilijk te

schatten zijn en waarvan de parameters oak afwijken van de ge-

middelde waarden. Ook uit deze hoogtekaarten blijkt, dat het

programma naar een globaal minimum toeloopt. Ze zijn daarom niet

weergegeven.

2.64

VQn

5.52

BETR 1 4.8

4.08

3.36

. 2.64

1 .92

1 . 2.47

BETR 2

.68 .89 1.1 1.31 1.52 1.73

3.352.92.45

4

2

BETR

1 .551 . 1

-----_..

_.~--------------

L------__~ ~

-82-"

I!"-=--~~-. - --.:..--.:...:..--.---------..---------- _._---_._- -

~~~;-==-~==-====~~-= - --. . - -~~-=== -_.-

7.68

8.4

[;.9(3

[:i .24

3.36

2·54

BETR 1 4.8

4.08

!iq.31:

hoogtekQQrtltan

ren09rahr7 L,YI.!

8.4

7.58

6·~6

6.24

5.52

BETR 1 4·8

4.08

3.36

2.54

1 .92

1 . 21 . 5 2 2.5 3 , 3. 5

.07.06.05.04.03

2.64

3.36

/iq 32:

hooq tekoart 1. 2

lIqn

ren oqram 4'-1 I. /

1 .92

BETR

BETR

'.l '7• I..,

. CH-J S

.025

.035

, () t3

3,352.9

4

2

BET F~

1 .551 ' 1.65.02

.03

.05

.055

2. 045

.04

I~q 33 .

hooqtekoQrt/l4n

renoqrClvn

BETR

3 .25 I

3

2.75

BETR S·25

2

1 .75

1 .5

1 .25

1.02 .03 .04 .05 .06 .07

BETR 6

. U I

-85..065

.06

.055

.05

BETR('l.045i-

.04

.035

.03

.025

liq 3t.;: .02hooqtekQClrt .25 . 4

vanrenoqro lM t.;'1/,/

.55 .7

,i,f{.

I;

ti.....r,;\;,

~,~I'i •

---\=-===----========.82 !.68 . ~~! .'

~~~

.54 ---- '\, ~ ---------------------------

11G...J-::::::-,{ ::r:::=:r::::.:-....t-l..-L-L---J--J I \ 1 1 I ! ! .. Ld

• '.l .65 1,1 1.55 2 2.45 2.9 3.35

1 .8

1 .24

1 .38

1 .52

1 .66

BETR 3 1.1

.96

DCTn II

- 86- 1 . 8

1 . G6

1 .52

1 .38

1 .24

Bt_ TR ~ 1 . 1 I'-'

.. 96

.82

.68

.54

;;q,3S:' .4 ~--'-'-hocq tel<oortva"renoqrom L;~/, I

1 . 5 2 2 .5

BETR 5

3 3.5

1 . 8

1 . G6

1 .52

1 .38

1 .24

BETR 3 1 .1

.95

.82

.68

.54

. 42 l-. U

--------.L ._._L-l l _.J._..J__..L-l. I~_--.-l--.J

.4 .55 .7 .85 1 1.15

'iI,.',

,.~

"

;

,iI

,I, 1

-I'I,!I:II

\

\

"/!,BETR

2

.8

1 .7

2.3

1 . 1

2.9

2.6

1 .5

2

3.2

2.75

2.5

1 . 75

2.255

4

1 .25

I~q. 36: 1hooqtekoQrt

van CrLiI, Ireh(){Jra~

3.5

BETR

BETR

I .

-88-

", ,

..

\

BETR 6

3.5

3

3.25

.2.75

I-:q. 37;hoogcekaadL-Oh

rer709rQ~ '141. (

BETR

, ,: 1

1

I

ii

I ~, ,, '

; .~';. .

., .

-fJq -

Aan de hand van de hoogtekaarten kunnen we vaststellen, dat

een set van 41 meetpunten een set van 6 parameters bepaalt.

We kunnen daarom trachten de geschatte parameters om te rekenen

in fysische parameters.(P1 tim P6).

We moeten daarbij het volgende bedenken:

- We hebben gesteld, dat: Yt = ft(~) + nt. (Yt = meetwaarde)

Ten gevolge van de ruis nt

is hoogstens 1 decimaal van de

geschatte parameters betrouwbaar, bij~2 2 decimalen.

- We hebben gesteld, dat de funktie ft

van het model de werke­

lijkheid exact beschrijft.

- We hebben gesteld, dat de achtergrondactiviteit verwaarloos-

baar klein is.

Als het gestelde waar is, vinden we voor de gemiddelde waarden

der fysische parameters:

rechts links

P1 = 3,6 P1 = 2,8

P2 = 0,05 P2 = 0,05

P3 = 0,9 P3 = 0,8

P4 = 1 , 5 P4= 2,1

P 5= 2,0 P5

= 2,5

P6 = 0,6

P 1/P3 = 4,0

P6 = 0,5

P1/P3 = 3,5

Deze waarden voldoen niet geh~el san de v~~~achtingen. Er mnet

namelijk gelden: P2 (rechts) = P2

(links)

P4

(rechts) = P4 (links)

P1/P3 (rechts) = P1/P3

(links).

-qo-

De problemen, die hier Iiggen kunnen door mij i.v.m. tijdgebrek

niet meer opgelost worden. WeI kan ik nog kijken of deze para-

meters reeel zijn. Daartoe rekenen we ze m.b.v. de volgende

formules, die afgeleid zijn in hoofdstuk I, om in fysiologische

grootheden.

T

(ree-hts)1)6'= c;,,~ (J/nks) .

;- 0.P

Uit deze vergeIij~ingen destiIIeren we de volgende vergeIijkingen:

(z.o.z.)

-=- f2jJ't (ll T13)

j lt1. -rjJJjJ'i

- (J;-

C;;o ~ (;112 Z-f/Jjp~7.)(Pd jh)412 f'lJ3 (PL_jJ'I)7.

II, =J}!i!:!- (PI -r/JJ) 2

/12.. 1'/)3 {!:l ry )2

cI/L;re5e~~~-

2

Hierin vullen we de gemiddelde waarden in van blz.89. We vinden:

rechts: links:

G1o/V1 = 1 ,3 G1o/V1 = 1,9

G12/V1 = 1,0 G12/V1 = 1 ,4

G12/V2 = 0,22 G12/V2 = 0,21

G10/G12 =1,3 G10/G12 = 1,4

V1 /V2 = 0,22 V1 /V2 = 0,14

V3P = 4,1 mI. V

4P = 4,9 mI.

T = 2,0 min. T = 2,5 min.

Het gewicht van de patienten is gemiddeld 68 kg. De diurese is

gemiddeld 4,9 ml/min.

Vanwege de normering van de renogrammen kunnen we de absolute

waarden van de grootheden niet berekenen, de verhoudingen weI.

-92-

Om het resultaat te toetsen aan de werkelijkheid stellen we,

dat het volume van het bloedplasma gelijk moet zijn aan 2,8 liter!

Met deze waarden vinden we:

rechts: V1 = 2,81. V2 = 12,7

Gi0 = 3,6 liter/min.

1. V 3P = 4, 1 mL

G12 = 2,8 liter/min. G13 = 0,41/min.

links: V1 = 2,8 1. V2 = 20

G10 = 5,3 liter/min.

1. V4P = 4,9 ml.

G12 = 3,9 liter/min. G14 = 0,71/min.

Vooral de flows wijken sterk af van de realiteit.

We concluderen, dat de parameterschatting verbeterd moet worden,

en de verschillende knelpunten, die op de volgende bladzijde

worden genoemd,nader onderzocht moeten worden.

-~-

Conclusie en aanbevelingen:

Dit verslag bevat de eerste resultaten van parameterschatting

aan renogrammen van patienten met gezonde nieren.

Er wordt geschat met respectievelijk een 2 e-machtenmodel en

een 3 e-machtenmodel.

Als schattingsprogramma gebruiken we een programma dat berust

op het principe van Marquardt.

Vooral de curven gevonden met het 3 e-machtenmodel gelijken

goed op de echte renogrammen. Het residu gelijkt op witte ruis.

Het omrekenen van de geschatte parameters in fysiologische groot­

heden wordt echter bemoeilijkt door de volgende punten:

- Er zit ruis op de renogrammen. Hierdoor zijn de geschatte

parameters slechts in weinig decimalen betrouwbaar.

- Er is gekeken of de afbeelding van 41 meetpunten naar 6 ge­

schatte parameters een-eenduidig is. In enkele (3) gevallen

was dit niet zoo Hierbij convergeerde het computerprogramma

bij verschillende beginwaarden naar verschillende eindpunten.

- De achtergrondaktiviteit heeft invloed op de meting. De meting

wordt hiervoor niet gecorrigeerd.

- Het is niet bekend of het model de werkelijkheid exact beschrijft.

Vanwege deze moeilijkheden zijn de op bIz. 91 gevonden fysio­

logische grootheden dan ook weinig betrouwbaar.

In de toekomst zal D. de Vries, die met dit onderzoek verdergaat,

dezelfde schattingen nog gellS verrichten met een verbeterde

versie van de f0utenfunctie ~. (er wordt dan als weegmatrix

gebruikt wn = 1/ YnAt ).

Hij zal ook de achtergrondaktiviteit onderzoeken.

Ondergetekende wenst hem daarbij veel succes.

- {II.;-../

Literatuur.

Britton en Brown: Clinical Renography.

Lloyd Luke London. 1971.

Valtin H.

Atkins. G.L.

Renal Function.

Little, Brown and Company. 1973.

Multicompartmental models for biological

systems.

Methuen London. 1969.

Glass en Garreta: The Quantitative limitations of

exponential curve fitting.

Phys. Med. BioI. 1971 vol.16 no 1. 119-130.

Marquardt D.W. An algorithm for least-squares

estimation of non-linear parc:jeten~.

J. Soc. Indust. Appl. Mat. 11 no 2. 1963.

Dell R.B. et el.: A weighted least-squares technique for

analyses of kinetic data and its application

to the study of renal 133Xenon washout in

dogs and man.

Circulation Research 32 no 1. 1973.

Haak. R. Renography modelling and parameterestimation.

Eindhoven University of Technology. 1974.

Appehdi~' E I E f< I Z I ~I L 1,1 A N S I P A C I',\--/i------::: :<: 'j:: :: :: ~ ::: = ::: ~ :1; ., ::: :: ~ - ,.

: uEG1 f~ f

b 'SeT' Nt!'i!' Uf"ill~ F I ([~1 CE. DURE \ ~,~ i, :<l! Ur~. f'W T t. rJ pO r NS,N PA'" pAR, GRII D,t X, '( , ¥i" Ful~ , F J ,! 1', Ct G" 1 () L1 , TO l ~ •_-::"'=::;;;~::: :;;:..~=~:.:.: :' 'C,:::C-:-:=,=~==_ I TEIt l' 1 ~i i\ X, PHI I PHI r ,. Dr Ar, I' C() NVI' 0 UT j; r I lEO UT ) ;• V1\ L l) t::' NP0 J hl:::i I' I~ Pt\" 1 ~~ i\ Xt TuL 1, r [I L ? P [) PAI-(l' UU1 J~ ll~ 1 L l~ ER' NP U," NS l' I~ PA' l TUl p I MA1.)\ CON v' OUT;, i\ t: i\ L' 1 0 L 1 f' T0 l. ~ l' IJ H1 " i' I~ I I ,. DPili i ;

t 1\ I~ f~ h Y~ PAi'\I' G!U\ UJ' ,; [ ~, ] ,. )' p F [ *" to J }I rll G( *; ~ " ..... J ;t f Il.f-~ ~ r I l.f~ 0 u1 j

~ FP(l CCD1I f~ C t f' UI'; P ,) ,4, C;'uLGIi'J:1~*~~~~'A.~**~~*****'*~{A********ftA**~***R~******~**~****~**.**'**k*•• ~

PRO~EUURE MAR~UARDT

~**n***r.*****~*~*******n*~t.r~***~**wi******w*~***~~~*****r.***P.**r.******

~~

~ 1111S PRUC[UURL LSTIMATE~ THE PARAMEllKS OF A HODEL' THAT OECR1BlS A~ G1 VUJ P i~ QC[,S S \-! 1 THUN C LJ R '''~: REO UTP LJ Ts. H~ :> UCt-1 /\ WA Yto 'f Ii 1\ T PH r::;~ S !JtH ( 0 uHUn .)) P fI C~ [ SS ... 0 UTi' lH ( S) ~1 UDEL ),., * 2) 1 ~ I; S S ~~ t, Ll. AS~ PUSSXBLl..~ rm: I-IDOl\. cr\l~sI~TS uF A FUNCTION OR A seT OF FUNCTIONS" 111AT)) 0 L Cfd B[ S THt: 0 UTPUi , S) l) r TIi £ t': 0 D[L •

%~ PROCEDURE CALLt~; H1\ t: lJ LIt.. RDr ( HP0 JUS I l~ P i\ I P /;I( i' Gf{ 1\ D.. Xp Y, ri" FUN .. F, J ACp G·+ TULl ; T0 L 2;: I Tnuz Hd~XfI'Hl .. PlnI~OPArpCONV .. OUTI'FIU:OvT)J~~

~XXl~!~lii~~~~~~Zk~%~1Xt~~iIZ~ZZ~~ZI~~tZZ~~ZIII%I~1~lt~!Z~zt~hZ~t~i~~k1

1;~ HH. PROC[LUid:: Ft..:fj GU~U\j\T£S THE FUNCTror~VAluESI M/iTRIX rU,I<)Jl% 0 t,!':::I.; [) I t~ G u;~ r Hl G1 vE;: IN U[I) £: t~ [l E. tH vr'\ Hr l~ BLeV ECTon ~r J (P .. E. r I I,; E ) •% Iii E PH 0 (; [ll L! t< l ,) AC GL/.! [fU, TLS TIi E 0 ERI vAr n't vAllJ [ S J' t~ AT Id x G( ~ J '" ,011 ) ~

% D(Pl.f:O!NG xr.';:J~

%% NS~ r-wo~J /liP!'l!; 1. ill\ Xr TUl. 1)'; 'f01.21; ITLH~ Pillt Pill Ib Df'Af<" CUNY~

X

IW HtJ EH LJ F S ~ GN1'. LSfW !·i II CR li r p uI N T~

I IJU:1() I:. F~ lJ F P" f\ AHL 'I' [ f~ SlUI X UIU II, NUI·W EH UFIT Cn,\ T I 0 r~ s

I TULL~~N~l 1 (PHI/PHISTAHTl1 TUL d~ k h (; C 2 (N 0 Idol 0 / rw fH-I P Af( )

, J Ub EN I' ARM\ [T (K 'I TEf~ AT! 0 NCO UNT Er~ )1 SU~~ , Ii; :l r~ (J D( 'Y l .;; I 1: J ." F t '" ,. .;: J ) ~ ~i [ * # 'it P .. ) I' Y( ,~ , *J ... J: [ oJ< I *) ) )

I TH[ SAM [ t, S Plil fj U1 CHAN GrNG uUtd r~ G EA(' HIT EHAT 1eNz 1,1 I, X1 Ii UH () f 1', 8 ~ <u( ... ] I P I. R( '" J )

GI V[s T 11 I:': Rt:: ASO fH Ii H'( r HE PnQCEUlm ( s T0 f) SC() tJ if - v s THl (i I vi.r~ TO i. E~UI NSC 1. S M[TCo~ v' ~, 1 t r; 0 Vr.L. 1D STM<T 1 t'!(i pur rd F0 UNOCuiU .. c:: I 1 TL i( ;:, J ~i AX

% OUT>S:t;

~

~

% FILEOUT

CUNY ~ J :CUN" :: 4 tCUN" .,; J t

t oLTt.:rndl~Es

ou T .• 0OuT .. OJI tOUr - lvOl~

OUT :: 1\)02;• OU'fPUTFILE

.2MATRIX GTWG IS SINGULAR1..1NEMIN IS APPLIED I'I''\D hill Gir~ PHILAMG0A G1R p+8 OK COUNT GTH 10lHE uulPuT OF PRocEOuRE MAKUuARDT,OUT>; 0

NO t.;LITPUTouTPUT EVERY OUT ITERATIONS (1<~OUT<~1000)

Si'MiiDATATH[ RESUL T OF THE PHOCEOUf;E MARQUARDT

% PAIH*J% GfU,ut,,JZ xl*)

. % n~·.dJ

~ FI.*I'*)% wL*"".d:·)% G(*f* .. ,;,J%

::: PAfHltNPAJ- GHAuCl1NPh):,:, x, 1 :NPOJ::: Y(lq~PO .. lINS):;: FLlt"'\'Clpl:N~J

:: ~ ( 1 : NPO, 1 t N~1" 1 : f~ SJ~, G[ltNf'O ... ltNPf,,,,llNSJ

I PARA~ETLRVEcTUR

a GflAuI(NTVlCTOHI INDEPENCE~T VARIABLE VECTORt PHOCEsS N£ASUkEMENTSI MUDEL Ml~SURlMENTS

I W£IGHTI~GrlATRIX

1 DLRIVAT1VlMAT~IX

/.

.2.

~****.~*****.**~*~*~* ••****.****.*******.***~~~~*~****~****************~******~*~**~,~~~*~*******~.*~~***********~~***~.***********************

PROcEUUHE MAROUhRDTPROCEOUk[S AND DECLARATIONS

Z***~***~~*·~*~~)~*~~*********~~***~*'** •• *·*~*~******,.*******.*~**.**'HEf\L' \rf~L'('!~U:}~·,i:' ()HIt: (NPU.· NS, \)1' YI F);"'-VA-CU Ef·"-r~';;Ll/i·~·:;T- _._-~- ._...~+INTEGtR' NPU'NSJt H f~ k A )" 't I' F [ 1\' p ;, J f i/ [ 'I: l' *, 'I': ) ittJE(i!N f

, 'INTEGER' I/J,K;~ HEAV 5j~ AR1\ AY' A( 1 xr-i ~} J;S3:-:0; .

'font If:: 1 'STEP' 1 'Ui,TIL. ' NPO 'DU''BEGIN' . !' , •

· '(6R~ J~~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NS 'ua'~[JJt~ IN~HOn(K,l;NSf~(I,K)~F[I'Kl,~[!pK'JJ);s 1~ S"" I I'd P I~ 0 D( ;,<" 1 J 14 S.' 1\ [ t\ J ~ Y( I , K J'" r [ J. j; t\ J. );

~END'JPriIE:~ s;

'i:.ND~ PHIU:tB.!L\j.~Q.Ynt~J'l At:.~,-..l~J ~,.q_~ NPOI' NS fo i\ P p., I' PAR 1 X, ri f Gf. ~J A(.; , GT fi GI 0 I AG) i~ VII L LJ [' rH' (j 1 I ~ ~} J N!' 1', .:

I ltH [(;. [H ~ I~ PDJ iI/51' I'; fJ U, A f~ Hp, yIp 1\ H,. >; , D1/, \..; [ " J ~ GTh \oJ r i, , * 1p \".' GL '1:, .. , 11 J j, PRUe [ 6u f~ [' J II C;·u(Glr,,'I .

'INTEGER' I"J~K,L;'ARRAY' GO,Gl[lJNPA,lINPAJ)· ,JAC(NPU~PAR/X~G,N~);

'fOH' It:: 1 '~l~:P' 1 ;UN1'lV NPA 'DU'~FOR' Jt= I j~TEP; 1 'UNTIL 1 NPA iOO' GTWij(l"J]l~ GTWQ(J,I]r= 0;'rOR' r:= 1 'sTEpi 1 !UNT1L~ NPO ~D~~'BEGIN' . ,· 'FOH' Jt::: 1 '~TEP' 1 'ur'TIL' NPA '00'

·FOR' K*= 1 ~STEpl 1 ~U~TIL~ NS 'DO'GO(J,K)t~ DLi~PRO~(Lfi'NS"GtI,JpLJ'~[I,L'K])i'FOR' J~= 1 'STEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO'

• I 'I I',

'TH£I\', ,

'FOR~ K&~ 1 :~TEP~ 1 ~UNTIL~ NPA ~DO'

G1 [ J P 1< J :::: 0 L I I~ PHD u( t. I> 1 p NS 1 G0 ( J, L 1, Gt I I KR L ) ) ;'fUR' JI~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA '00'tFOR f Kl= 1 ~STEP~ 1 ~UNTIL~ NPA ~DO'GiiJlitJfJK)t~ GTkG(JJ!\)+ Gl[j'K); .

'END'':trol<' 1:'" ,. '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO' DIAGrpt= SORT<Gn~G(I.. I]);'rnn' IP' 1 '~Tf:.pi 1 ~UUTlL~ NPA ~l)U~~FOR' J:~ 1 ·~TEP; 1 'UNTIL' NPA 'DO'GHi eH 11' J J ~ r:: GTl JGr. L J } i C!J !P, CIt I ] ~ D! f., G[ J J )I

t t:.. ND' t>: M, E c; l' \'J GJt P t~ UCEO UH[' tv! t· Kf. GT \~ Y( t~ PO" r~ S .!" f~ PA" 1/·- Y; F' GJl f) I 1\ G' GT f'IY )); VALU-i"I-Nt";'~J" r~'~:~-i~'t:;'A;'-

·lNll.l;,b~H· iW[Jt IJS' liPA}• At( i\ AY~ [)1 AGIG Tin' l '" ] f f I' Y( 'k s- " ) .. Ii, G[ .. , 'iu '* J J

, ~ bEG I r~ ~ , " " ,, Ifn [ ci [ i~ f I I ..I ~ I{ I' L}, ARf< 1\ Y' (i 0 [ 1 t 1,,1,1 A ~ 1 t NS ) " G1 l 1 l NP t, ] J~rOR' i.= 1 'STEP' 1 'UNTLL' wPA 'DO' GTWY[Ilz= OJ·fQH ' 11= 1 ·~T[F! 1 JUNT1Li NPO iDO~t ~, . , ' .• ~ I'

• dECd 1-;tFOH~ ~J:;;:J, 'STE.PI 1 'li1l<TIl.' NPA 'DO'~fOR' Kt= l' '~TE~: 1 ~~HTI~f NS ~DO~GU ( ,) p K } r:~ DL. r j~ PH0 lJ ( L. /' 1 , I~ S, G[ I r J" L ) , w( ! , L, K 1 ) itfOR~ Jlu 1 9~T~P' 1 ·UN1IL' NPA '00'

~ • ! I

'IJEGIN f

, G1 t ,J J :~; 0 LIN P t~ CJ U( L~ 11 NS I' GO ( J,. L ] p YL I " L ) .. F ~ 11 L) ) ;GTii Y( .J ) :::: GT ~\ Y( .J ) l' G1 [ J 1J

'ENUI'[NU'i•ron' I::~ 1 • ~ 1 EP' 1 'u I~ Trl' r~ PA 'D 0' GT i': 1 ( 1 ) ;:l Gil, Y[ 1 ) / 0 1AG( I J;

'Lr~o' M!\,KE Gil~YJ' .. , "

r. ~~_~.¢if}~lRl-~.'_':_l.tc.rS.LJ?J..A~~1 N f\ l... ( t\ FAf G'I' f~ G, EL[M EN T) i, Vt<. L Ut: \ N:' u' L U. 1'1 to 1'\ 1 ;.tIN H~ L[: R' ~w f:.. Jf 1\ £ "L f F.l. 1:>,1 t I'! T;• II fOU, )" GTH (i [ *, 1'! ) ;

·I.;;EGIf·~i, , I r~ T[ GE!~' I}

IFOR' Il~ 1 "TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO' GT~G(r'I)l= ELEMENT)I ~, I , . 1 I

, L NUl ~: At< L () r,,\ G0 NAU5. ~.~.!~bJ:: ~.rL~~.. f~r\~~.~ L.0.\'LL_'__~JlJiT 1.tl.Y .f:;.( NOH f'; D" N(J HH P1\ H~ Pt1 I ~ TAHT) )

, 'r' ALu[t rJiJ ,n~ D.. NI) f\ [·1 P f, R f PHI ~) l 1', Fd )t r\l.I\ L ' . NO j( i-H) i' NU!\ i~ f' AlU t' HI .5 TAfn ;'U[ull'j', ~D~N':rNTEGER~ MAXTOL~)

·1~OOLt:AN' GUOr,,)GU(\ I~ t::: ; iii UL f ;

, I r' I~ 0 Ii HU 'E. y L ~ ~ f 6 f Ttl EN t MAY. TO L 2 1::3 0':{ • I

1F' NOH H() I r'~ 0 rd,1 PMl • L ~ S' TGL2 'T H£ N' ,<1 /; XTUL2 I:: MAXT0L 2 + 1)~ IF": P Hllf~ HIS "\ II RT 'l~ S:) ~ . TuL1 ~ em' t~ AxTDL2 ~ GTR ~ 5 'T HU~ :'U£GIN~

, GUQril:~ ~FAL":'[~)CONY::;; 0;

tEND' S PHI/PHISTART LSS lOll OR NO~~D/NORMPAR lSS TOL2I

'ELSE~

l'rCRI~ 1 Tt;n'" U~ £ NO' . I TEK GTK rr~ Ii XJC(JNlrNIJ!:::~ GOUN;

, E. N\) teo rn It~ uU6. 'i j ~~ Gee DUf([' L rN[ rH IH PAH1 Jl PHI d- HI I .. 0 ) ,

t;;-"-._.-..- ..---,,--~-.vALUE' I'IU;'~\t:AL' P,ilpPHlr;·AHHAY' PARI~D[*)~'l1[<.ilf\i', ~ IN TEuEll' r I' i~ 1-' LF i

, f\ [ .t, L f T.. Tr L U.j p TMrN J' r r "FP1.. us' nlI r~ ;, .HALF::.: 1J, 1'1 HI l. E' 11 ALF 'l SS: 1 1 'p. r~ 0; PHI I 'G TR' P t1 I'D (J ,I L.:t c: (' r,'It' . I; L) f;.., ..l ' 'It .

T;::: 065 +; "'t", ALF ~

'FOH' ll~ 1 ':.TLP' 1 'UI'lTll.' NPA ~D(J'PARI[l]l: PA~LI]+'O[I~~T; ·FUN(NPO,PARI~~,F~HS);

FF t::; PHr ~= (NP[J" r~ ~;... t'.J '{ fo F ) ;'Ir' rr 'bTR' PHI 'THtN' PHIlz~ FF.. . , 'ELSt.'·, ,

'l3£:G I i'I'TrLUS:~ 1.5-1; TM1N:= 065*T;'FOH' lt~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO'FAin t ! J t:: P i\i~ l I )+ . r.: l I ) *TPLUS; . I

FUi~ , ~J,.., UI' rAn 1 ~ X, F " i~ S ) ;fPLJSl~ PriIC(NPU'~S,W,Y'F);

, ~- 0 H' It:: 1 '~n: p I 1 'u I~ ilL' r~ p A ~ DO;~AHltr]:~ PA~[Il+'ctIJ*TMlNjfUN ( II PO, P II RI ~ x j r p l~ S ) ;r MI [~ g::. PH r [ ( r>J F0~ N~, ~x I' YfJ F) ;'lF~ rPLU~ 'L~S' FF 'THeN'tUEGL~' . . . ,

PtlII:::' FPlUS;'fOR' I~= 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA ~DQ'

rARItl]:~ PA~LIJ+ D[I)*rPLUS;'(NO' 'ELSE't 1f; , f MIN 'L S~, FF I I I, EI~ ,'8E~lH~ .. PHI!::::: ftHNi

'FOR' I:~ 1 t~lEP' 1 'UNTIL' NPA '00'~ARlt~l~= PARLI]. D[Ij*TMI4;

'(~u' 'tLSE', . _ I

.. 't3EGrl~'

PHlp:: FFJ~FOt\' rz~ 1 ':,T£P' 1 'UNTIL~ NPA 'Du'PAf{ ! ( I ] :::; Pf, f( l I J.: 'D [ I j *Ti

'END';'END' Ff L[~ fHX;

. HALf I ~ HAL.F .... li~lND'j Z HHILL HALF L~S 11 AND PHIL GTR PHI

't:NlJ t LINL/·:IN;2 ' I;' tW CLi JlJf~ r:' HLSLTLJ A ! A( r ,t.. t\ I ) jT· 'A-I~lfAyT'PA'fl'iT';-n---'--'--

:oEl;1N':lNTE.Gr::F~' r;PHIl::.: PHI;~fOR' 11= 1 ~~TEP: 1 ~UNTIL; NPA ~DO' PARLCllz= PAR(!l)

'c.NU~ REstToATAJ

8. 'PHUCEO'JRC ~ OUTPlJl (OUlPUT >1~f;l. utf'--o·~?f f Lirr--"~lNTEGtH' UUTPuT), Ii E(j I :~ •, ~U~TEU:l~~ IsJ .. U

'OViNt'I!~1r(~u(' K!·lF t QU'/f'UT 'i.-d:::O' 1 'rHE.N'·fjECrl~· ", IIF' OUTPuT 'LQL' 1001 'THEN'

• .1 E(', T r,' , Il.J .: ~* 1 t •

j'i F( I j [ Cf 1L £. 0UT" < ,I p ~ 6 ( tl * If ) " H .. s ... T.. A.. R.., T'" D... A.. T... f, .. tI I 56 ( "'" II J I

IIII f I, b ~ H f i\ n· i p Xl 13,~ " X", " p * ( r., 1 '> p n yIt I I 1 ) I I> I

NS,~FU~~ !:~ 1 'SlEpt 1 tUNTIL~ N~ :OO~ I>;'IF' Nro ~G(Q' NPA 'THEN i, ,_!. I il . , 1

L3t:.\J i~

\'t In TF: , f I l. LOU T.~ < 1i: ( / pEl 7 ~ 10., X141 U, 7 ~ 10 f 1< ( XI.p [ 17 e 10 ) » "NU,;. ; I 01< t If::: 1 's i EP ~ 1 • UN1" J. L ~ NPA 'DOt r PII H( I J I

X( 1 1:' h S ~ ~ F LJ ;; I ,j l:' 1 's Tt. P t 1 ~ U(~T I L ~ N 5 'D 0: y( 1 I' J ) 2 ) }, l F I i., f' LJ '(1'{ f~ I NPA 'T Ii t r... '

Ii h'! T[ ( F ! Lt.ll UT;· c: '* ( I , x2 1P £ i 7 ~ 1 L' f. * ( X4 ,. [ 17 & 10) ) > ,NPU-NVA~tfOH' If: NPA+l 'ST[~' 1 'UNTIL' NPO '00'[XLI J, j-j S I' ' f Uf\ ~ J &::: 1 • ~ TEl" 1 ~ UN TIL: i~ S 'D 0 ~ Y[ I i J ) ) ) ;

, E j~ U f % fd' G Gt Q !~ t; /~ ,. ~ELSEf

if 1< I l f , r' ILL 0 '.,' T" <: l~ ( I ,~ £: 1 'I .. 10 I X£4 , t: 1., • 10, * ( X4 , E 17 s 10 ) ) ,*(/~l17.l0», .NPO.'FOR' l: u 1 '~TlP' 1 'UNTIL' NPO 'Do' [PAR[lJ,XLI1,NS ." \ Fu H' ..I~, ~~ 1 t ST[ f' t ' 1 fUN TIL ' . NS '0 U I Y( I ,. J J ) ,. N~ A.. NPO,., FUI~ t Ii!.'! NP[) + 1 ' , ~ TEP' 1 ~ UNTIL' Iii PJ\ I [) L.J' PAR (! )) iiHU Tt.:: ( r ! U:: 0 uT'" c:. I I I .' II .. PHI ... ,;.; ....... I' t: 1 j t 1 1 8 I / I , 1 32 ( to 1( tt ) >1' P Hr );K ! ~ L I~ TrEH( NPAI)'~ ~ 8 ) ;\'{ RI i [ t FJ Lt. 0UT.' <I ,. ~ 32 ( II \( ft ) ,. II f X3p .. ! ft ;. ) ;

HNI1L~F1LLUUT[SPACE(O)J);

ri i <I 1 E. ( F ! LL [J UT, < I' ( f.. 9 /' ~, ( X:'i I' tI P i\ R( ,; ,. 1 ~ J It ] .1 , X1 1 ), I ) I I >,.KJ' frO,:' I ~:-~ 1 's l' LP f 1 'u NT1L' r, lOU' [' IF' (N PI, .. I it 5) 'G EI:i 'o i r i! L i~ t l L 1,:: 5J 'rLS l ' ' ( L ~:: 1'\ F' I, '" , I" i ) '* 5J , t F0 I~' J ,;: 1 • S TE. P1 :UinrL~ L ~LJC~ Li~ (i"l)"~JJ); "

'END' "ELSE''lr~ OUTPuT '~aL' 100~ lTHEN't bE \l I r~ " •! ~RiTElFILLOUT[SKI~(l)l);

WRI T[ <. F r LL 0 LJ r I' <L; UCHI': tt ) I' " ... T.. II ... E... _, .. R.. L .. S'" Uon L. T'" ..... 0 ... t ....... T.. H.. E..• _P_~~O~C_[_D.U~R~C .... ~M.A_K_Q_U ... A.RMDwTM·t,29(n*tt),111 I,II PHI <"_ ~: '" " I; I' C1e ~ 11 f II " It NUMOE H.. () F ... }. Tt:: Hf, T rUN .. :;:., .., tt , I LII II ," L i\ H Dl; A•., ,,; ...." H P L J. i3 t 1 1F I II I X2 ~ " I II I'

X! 2 ; Ii I ,\ R( J. J I: , ,; ! «.. " GH1\ 0 r [ NT[ I ) " , I I , t. CI , It:., 2 ( X5 I £ 1B • 1 1 ) >~ ,f-' II I I' 1 r [ t~ >' F HI I I' NPA, , f ar~' 1 ~:: 1 '5 Tt p' 1 'u NTIL' NPA '0 0 •( I P /) Ii t\ ( ! ] ,n CfI t, U( 1 ) J ) .: ' " , .wl~lTECFILLCUT6cll,hTHE~PRUClSS_TERMINATEs,_ulCAUSEI ...~»J, IF' (,. U j'i V 'L 0 L' 0 • T H£ N t

\.~ id h:. ( f 1 LLOU T f <" Tt1 E.. GI Vl N... TLl Lf. RMJ C[ .. IS .. 11 ET , " > >;, 1F ~ l: [J i-:'v I E.. Q L ~ 1 f THE hi •WrlITE'FILLOUT,<IIND~VAI.rD"STARTINGPQINT ... HAS"BEEN-FaUND."»;'IF' CONV '[G~· 2 'THEN'1m I h~ , F 1. Lt. 0UT, <tI rTER :: i ',I AX• If > )}tlF' lD~V 'EQL' 3 'THEN'~/ Ii I rt ( F rLI:: 0 IJ T, <.! I~ Ii Tt~ I x.. G,.. rI G.. I $ ... SIN GULAR• H > ) ;f IF' I.; 01'1 V 'E Ql.. I I~ 'T ti E. N'~i HliE \ F ILL 0 UT, <" L1/\ £ MIN ~ IS ... APPLIE U'" ANl1 ~. PHI 1 <. GT f~ .. PHI • " '0 ) ;

'IF' CONV 'EQL' 5 'THEN', . ,

WRITE(FILEOUT'<~LAN8DA_GTR.V+U.ORuCOUNT~GTR~10,"»J

Ii HIT E( F I Lt. 0 L.J T, <I 1 , 132 ( " '" It ) > J J'OW t tEL SE t

toE~IN' .,'1ft (ITE~/OUTPUT)~ENTI[RCITER/OUTPUT)'EQL' 0 'TrlEN'• 1 •'b["T .. 1

'" J. 10

Y/ r~ I TE" F I Lt: 0 uT,,, 1 " r 4 >, ITt: R' ) ,HKITE(FIL~OUTLSPACE(O)J)}

WKITE(fILlOUT,<*(X9,*(Ele.ll'X5),/),I'X9'"PHI~~~.H,

(18.111'1/ .. ,K,~FOKf If::: 1 ~STEP~.l

'G.[Qv 0 t IHEN~ [L:~ 5). Jt a 1 'STLP' 1 'UNTIL'

'lIW,tUJD'i .., LN() I , UW' 0 UTPUT .i~lNTtGER'J'JpK#L~M,N#COU~T;~ I ( [ AL.' C(\ ~ St, F' h CTp F r~ CTu RJI L /<, ~{ UD/; P L I, t·\ eDp, STAR T,. N0 t~ ~~ [) .• ~\ 0 n~': GT t~ Y~ 1tOR t1 PAR ~ NU'PHLST,;!\"r ;t [) 0 Ll L El;i~' ST;'l, In il J' pee [ PT L. Mi 8 Dr~ I Gf~ USS,:~ t\ Ri{ f\ Y 9 Pi\:~ 1 $ Dp () 1/\ GJ' Oi h yeA t N f-' /\ } t- l U~ (i T \'1 Gl 1 , Nr) h., 1 t NPA J j

• L t· i.' ~. L' r T I" Ii'. k.' ;• "lJ _. ., L" , ..... ; I

~**~**~*«*~.*~~**~*~*~**~**~*~.*A6~*******************.******~*****.***....1.1

PROCEDURE MARWUAROT8[Gl~ OF THE PROGRAM

I*~*~~~***~*~**~***~*~~·**·*~*.***********ft***.~*~*.** ****.*****.Q*****

1.t',1I;l~[)/... STAH1·~'·· OilO!)j'lL:nhD ~ ~ 1;'4·6;

L 1-\ r.J I.' DA : ~ 0 JNlJ t ~ 10;IT[H*;~ 0;Jl~ OJsTM<TAl:.; 'THUE'jGf>.U~S:~~ 'l'HUC';'tOk~ 12= 1 t~TEP' 1 :UNT1L 1 ~PA ~Dot PARI[l):= PAReIJ)%' ..

• --' i~ I ~ ! U. I ~~ TM: r II '0 U ''UIGI i~I-"'-"'---~- .

r' U!~ Ct~ POp IJ ,!\ fd I j, p F I I~ S ) JHA1\ E L, T H'; ( ('U·' 0,< IJ ~~ of [~P AJ' I'M\ r f xjl hI' G, J 1\ Cp GTI~ G.. UI AGI Jtil P. f, [ La Ill' ( i~ POi' r~:; t l~ P tl' rH '( " ~ , G" lJ I AG' Gl WY) ;1ft fd\ E l) I /1 G(J t,,; A. L. , I~ f' A, GT h \.1 P 1 ) i'Ir' , ~HULESKIDl~OHpuSITjON{l'NPA'bT~G,LU) 'TH~N',f iJ EGI ill ' II

J f ~j J+ 1;'1F t J 'GIRt J :THEH'• !3 EGI I~' . ., C0 I~ V:::l 1J

nESlTuATIHPARI);'GrlTO' FlrdSK}

····"£NU'; .tfon f I:~ 1 'STEP' 1 ~UNTrL~ NPA too''at~IN' ' .

'RtAL~ P,LMIN,EPLuSIpp~ PAHIL~J;

'IF' r 'EWL' 0 'THEN' PI= 0-1)r u(~ ( !~ f' 0 ~ P AHi, X I ~. , h S ) j

'EL.SE'!

PHIll~ PH1E(NPO'N~pW,y .. r)}PARl(lJI~ P*O,90;FUNCNPO,PARI .. X.F,NS»)EMINl= PHJE(NPO'N~,~ .. y .. F)JPAR1[L)l~ P*1.10irUN{NPO,PARI .. X~F,NS>;t:: PL US I:: PH rE , l'~ PO.' !, S1 I~ I YIF) ;

~IF~ CMIN 'LSS~ EPLUS :THEN:

[

' 8 E. GI I~ ,

- 'rt' t.MIN 'l.S~· PHIl 'THEN' PARI(IJt= P*O.90'. !ELSE' PARICI)a: PJ

, EI~!J ' , EL SEo '

'If' 'PLUS 'LSS' PHIl tTHEN i PARI(Ilt= P*1.10• ,t.. •. f'ELSE PARI[IJz= Pi• I

'END';...' EN D'

SrARiA== ~FAL~E';~t.110t STAR'It,;! .

i~O~i II~ 1 'STLP' 1 'UNT1L t NPA 'DO' PARCIlt= PARILX1)tUN<~PO,PAR~~$f,N~);' I I

P 11 I i:-: P tH S TMH i 1, PHI E , NP Q .. NS .. 10 y .. F ) J, rF' 0 UT • GTf<' 0 'T Ii Ei~' OUT PUT ( 100 1 ) ,'IF· OUT ~LSS' IM~X 'THEN~ uulPuT<O)J,~ l. Ii r'·H':: /, R ~ :;: ! N(]f( I~ 2 V{ N P j; I PAi~ >J.y,%

, .Hi I LE' CON THW[( i~ 0 R~, u~ r~ 0 tm f' f-dU PHI STAR T) ~ 00 f

·13[G.rr.~

IT EHI~: I H. R'" 1,;Courn::.:: 0;ACCl?TLAMdUA!= 'THUE~j

FUN ( NP0 .< P M\ I fi I.. f .. j~ s ) .:HPo 1\ L b Th (: ( NPOI' N;:) P I, P ;".." t' AI: r fA .. H.f G,. J AC.. GT ft GI' lJ I AG) ;MAKE GT~Y(NrO/NS'NP~IH'Y~f"GpUIAG'GTNY)J

NuHHGTII Y::: NUIn·~ 2 \' ( t-i PAi' (j T i1 YH

''''fllL.E' ACClrJrLAI'~oi)A 'DO'-bEGIN' t ,

. MA~( DIAG0NAL(NPA'GT~~'1+ LAMeDA);, IF' ., CHDL. [S I( 1DEC ~H).P 0 ~ IT I 0 rH 1.1' NPAI' Gr WG, L U) ~ THE N 'tUt:GJN'

c(mv::: 3)

RESlTuATA(PAR1);'GOTO' FlldSiU

'[NO'; .CH0 L Es ~( 1. SuL UT 10 N, 1, IH' AI' L U, GTv(y ,. () ) ;rAe TUt: 3 ;.~ l;'FOR' 1:= 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO''BEGIN' . .. . ., utl)~~ U(LJ/OIAG(I);

'IF' ABS'~[I]/PARLIJ) 'GTR' DPAR 'THEN', ,I ~ ,'GE~rl\'. FAC1E~ ABS(PAH[l]/O(IJ)*OPAR;

'AF' FACT 'LS~' FACTOR 'THEN' FACTO~:= FACT;• Et~ 0 • • Ei~ 0 t i ':; F0 H I:~ 1 STEP 1 UN tIL Nf' AtfUR' 'I:~'l '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO''{jEGlf~' . t· , •

. D( I ) I:' D[ l ) *FACT 0 H;fARI[!J:= PARr[I]~ O[lJ'

{}

'BEGIN'CuS Sf::; I ~~ p nOD ( I, 1 , NP A' PAR ( I 2 , u ( I ] ) I , N(J R1-\ PAR 1< I'J 0 HMD) ;, ! r' I,,; 0 SS 'G "," t 0 '- ?' 5 I THEN 't rc·,!·" . ~ ,tH.. h

, ACCEPH.M\bOAt:: 'FAL.)E'i" •. I ,

LINEM)NCPARI'PHI,PHII~D)J

, 1f' fJ H! 1 I G11,' Ptil 'T 11 [i~ ,~ tl E l~ r i~ ~ . . •

CUN\ll:~ 4;I~LSEiLiAT"(PM~ I);'I..Ol[)~ FlrdSHi

'U~D''I:I'JD' ~ CUSD bTH 0.75. . ~ELSE'

~IJEGII~'

. CuUNT:~ CWUNT+ 1;'LF' ~AMGUA 'LSS'~·U 'AND! COUNT 'LSS~ 10 :TH~N~'UEG!I":' .I ,

LAHtJDA:~ LAI.-IQOA*NUJR£SE1'Uf\TA{ fJltHI))

'~NDt ~ LA~bDA LSS @+6 ANU COuNT LSS 10

f t:!'lLl '; ;G f 0 I{ 1:: 1 ::)1 [. P 1 UN T ! L NPA

NORMU:~ NURM2 V(N~A-D)'

f 11 i~ ( NPO, P1\ nIp Id' F l' 1'1 S ) .:Prl I I :", PHJ. E( t~ ~J 0 1 NS; I~ I' Y, F ) ;'If' PHIl 'GTK' PHI 'THEN'~UEGIN~ ". ~lF~ uAUS~ ~THENt

, U[G 11~'

GAUSSt; ~fALSL';

LA~CO~ :~ LAMbDASTARTJRi.SE"fLJA i A(P/dU)J

~ END' GAU~S. 't:LSE"

! •

~ELSE~~ tJ EGr !~ ~

cur'~Vt:: 5)t~t:.S[TiJATA(PAHr);~uOlO: FIldSH;

'END'; ~ LAMD~ GTR .+b DR CaUNT dTR 10'ENU t

; ~·COSS LEO 0.75, t:: ND t lW T GALJ ;:; S}

'[NU' PHIl GTri PHI 'LL5E'• 8E Gi I~ ~ '!

'IF' ~GAUSS 'THEN' LAMBDA'= LAMeDA/NU;" ..ACe E. P1 L f\ i~ :.i DA ~:: {F {, L :;) F. ' ;

, E. ND' f-' i'II 1. U: l,.,) Pti 1; I '

'END' ACCEPTLAkBDAJ~FOH' l~= 1 'STEP: 1 ~UNTIL: NPA ~DO' PAR(IJ:. PARl[IJJNOR HPI, R l::= IH)f~ t·: 2 V( NPIv F"H nPHI:;:: PHIL;'IF' OUT 'U>S' U~I\X 'THEN' OUTPUTCOUT)J

, t:: I~ lJ· CON T 1NU~;' 1 •

f UH St1 ~FriIlt= lAfvl8Di,;fUNCNrO'PAR'X'F'N~);

1-\ f;. r< f GTr( G( NP UJ NS , i~ P AJ f' ARI' XI' Yl l' i.i,. J AC, GTYi G~ D1.1'. G) ;MAKE GTNYCNPO,NSPNPA,n.V,f,GrOIAG,GTWY);'fOH' I'~ 1 'sT~PI 1 'UNTIL' hPA 'DO' GRAU[Ill~ GThY[IJ*DIAG[lJJ! I I. I ~

'lr' OUT 'GTR' 0 'THE~' OUTPU1(l002)J• ,.. 1

'LN()' tJ,f,R(HJARUT i, ~ , Rt 5ET ' j~ t HI' 0 ~1I ", L~:I I) , • •