Sistemas y Señales

Índice de contenido1Introducción.............................................................................................................................22Función Rampa.......................................................................................................................2

2.1Notación ..........................................................................................................................22.2Definición y características...............................................................................................22.3Propiedades analíticas.....................................................................................................3

2.3.1No negatividad..........................................................................................................42.3.2Derivada....................................................................................................................42.3.3Transformadas..........................................................................................................4

2.4Propiedades algebraicas..................................................................................................42.4.1Idempotencia ...........................................................................................................4

2.5Otras propiedades............................................................................................................52.5.1Desplazamiento .......................................................................................................52.5.2Adopción de valor ajustado.......................................................................................5

3Bibliografía..............................................................................................................................6

Índice de ilustracionesIlustración 2.2.1: Gráfica de una función Rampa......................................................................3Ilustración 2.5.1: Gráfica de la función R(t-1)............................................................................5Ilustración 2.5.2: Gráfica de una función rampa con valor asignado.........................................6

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1 Introducción

En este trabajo se mencionan los conceptos mas importantes acerca de la función rampa; como su definición sus características y sus propiedades. Cabe destacar que este trabajo esta orientado hacia teoría de señales.

2 Función Rampa

La función rampa es una función real que como su nombre lo dice cuando se gráfica en el plano parece una rampa (Ilustración 2.2.1). Sus principales aplicaciones en el campo real de la ciencia estas orientadas al procesamiento de señales digitales, la mecánica de materiales, la teoría de desarrollo (Economía), etc.

La función rampa esta relacionada de manera directa con la función escalón, la función escalón va desde cero hasta uno de manera inmediata, pero la función rampa necesita un tiempo para que la amplitud de la señal vaya incrementándose desde cero hasta su valor ajustado, por lo que se dice que es una de las funciones matemáticas que mejor se parecer a una función en la vida real.

2.1 Notación

Matemáticamente la función rampa es denotada de la siguiente forma

R(x )

Aunque dependiendo del texto que se consulte1 puede encontrarse denotada como

ramp( t) ó r (t)

2.2 Definición y características

La rampa es una señal que vale cero para todos los valores negativos de t y t en cualquier otro caso

R(t)={t , t≥0 ;0, t<0 }

1 En la mayoría de los textos de procedencia española la función es denotada de estas dos maneras

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Como se puede ver en la Ilustración 2.2.1 la función rampa tiene una pendiente unitaria después del inicio de la rampa también puede definirse de las siguientes maneras equivalentes

En función de valor absoluto

R(t)=R (t)+∣R(t)∣

2

En función de escalón unitario o función de Heaviside

R(t)=t u (t) ó R(t)=t H (t)

En función de máximos

R(t)=max (t ,0)

En función de la integral del escalón unitario

R(t)= ∫b=−∞

a=t

u (τ )d τ

En términos mecánicos, una función rampa puede visualizarse del modo siguiente. Si la variable de entrada se representa como el desplazamiento angular de un eje, entonces la rotación de velocidad constante del eje brinda una representación de la función rampa.

Como una señal de prueba, la función de rampa nos permite evaluar cómo un sistema en tiempo continuo respondería a una señal que aumenta linealmente con el tiempo.

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2.3 Propiedades analíticas

La función rampa es una función que es continua y diferenciable un todo su dominio menos en el incio de la rampa o punto de inicio.

2.3.1 No negatividad

La función en todo su dominio es positiva, por lo que coincide con su valor absoluto

R(t)≥0 ; R(t)=∣R( t)∣

2.3.2 Derivada

Su derivada es la función escalón

R ' (t)=u(t )

2.3.3 Transformadas

La transformada de Furrier de la función rampa puede reducirse a:

F [R( t)]( f )= ∫a=−∞

b=∞

e−2πi ft R(t)dt=iδ ' ( f )

4π− 1

4π2 f 2

Donde δ es un impulso unitario.

La transformada de Laplace de la función rampa se puede expresar como

L[R(t )](s)= ∫a=0

b=∞

e−st R(t)dt= 1s2

2.4 Propiedades algebraicas

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2.4.1 Idempotencia 2

La función rampa es idempotente

R[R(t)]=R(t)

La cual se puede demostrar utilizando su propiedad que coincide con su valor absoluto.

R(R( t))=R( t)+∣R(t)∣

2=

R(t )+R(t )2

=2R (t )

2=R(t)

2.5 Otras propiedades

2.5.1 Desplazamiento

Como cualquier función en la teoría de señales de prueba esta puede ser adelantada o atarazada en el tiempo; vease la Ilustración 2.5.1

R(t−t 0)={t , t≥t 0

0, x<t 0}

2.5.2 Adopción de valor ajustado

La función rampa puede ser regulada, es decir puede ir incrementando su amplitud hasta llegar a un valor ajustado 3. Para estos casos se define de la siguiente manera:

2 La idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado. Ejemplo: 1x1x1x1=1(idempotencia por producto), 0+0+0+0=0(idempotencia por adición)

3 Cuando se trata a la función rampa como una señal de prueba

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R(t)={ 0, t<0tt 0

, 0≤t≤t 0

V a , t>t0}

Donde V a es el valor asignado.

En la Ilustración 2.5.2 se muestra la función rampa con un valor asignado de 3

3 Bibliografía

1. SEÑALES Y SISTEMAS (2da Edicion) por Oppenheim Alan V., Willsky Alan S. Publicado por Pearson ISBN: 970170116X

2. FUNDAMENTOS DE SEÑALES Y SISTEMAS USANDO LA WEB Y MATLAB (3ra edición) por Kamen Edward W. Publicado por Pearson ISBN: 9789702611875

3. SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO por Ogata Katsuhiko Publicado por Prentice Hall ISBN: 9688805394

4. http://es.wikipedia.org/wiki/Función_rampa

5. http://mathworld.wolfram.com/RampFunction.html

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