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F: 輻射強度
2007年11月12日
単位名学部 :天体輻射論I
大学院:恒星物理学特論IV
教官名 中田 好一
授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート+出欠」でつける。
授業の内容は下のHPに掲載される。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
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授業タイトル
A: 原子のエネルギー準位 2007年10月 1日
B: 化学平衡 2007年10月15日
C: 線吸収 2007年10月22日
D: 連続吸収 2007年10月29日
E: ダストの吸収 2007年11月 5日
F: 輻射強度 2007年11月12日
G: 黒体輻射 2007年11月19日
H: 等級 2007年11月26日
I: 色等級図 2007年12月 3日
J: 星間減光 2007年12月10日
K: 輻射方程式 2007年12月17日
L: エディントン近似 2008年 1月 7日
M: 吸収線の形成 2008年 1月21日
N: 星のスペクトル 2008年 1月28日
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F.1.輻射強度(Intensity)の定義
光子(振動数、位置、方向)の分布の2つの表現法
(1) 光子の分布関数(位置、運動量) (2) 輻射強度(インテンシティー)
f(x, p) I (x, ν , Ω )
物理 天文
光の強さをどう表現しようか?
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(1) f(x, p)
dN=dN´dx
=f(x,p)dxdp
=位置dx、運動量dpの箱内
の光子の数
(2) I (x, ν, Ω)
dE=I (x, ν, Ω)dνdΩdSdt
=位置x、法線方向Ωの微小面
dSを通り、Ω方向立体角dΩ
に時間dt内に流れる振動数
dν の光子エネルギー
f(x, p)=位相空間密度x
px
py
dx
dpx
dNdpy
dN
dS
dΩ
dE=I (x, ν, Ω)dνdΩdSdt
I (x, ν, Ω)
=輻射強度
(Intensity)
dE
dN=f(x,p)d3xd3p
下に位相空間の6軸中X、Px、Py
の3軸だけ描いた図を示す
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f と I をどうつなぐか?
(1) 分布関数 f を運動量に関し絶対値・角度表示する。
dN´=f(x,p)dp=f(x,|p|,Ω)・p2dpdΩ x
dΩdN
dp
dx
(2) dΩ方向に垂直な微小面をdSとする。
dn=dt 内に dΩ 方向へdSを通る光子数
=dN´・c・dS・dt
(3) dE=hν・dn
I (x, ν, Ω)dν・dΩ・dS・dt=hν・dN´・c・dS・dt
=hν・f(x,|p|,Ω)・p2dp・c・dΩ・dS・dt
輻射強度(Intensity)は基本的には
光子の位相密度関数 f を立体角表示したものである。
Py
Px
((4) 光子に対して、hν=c・p だから、dp=(h/c)dν
I (x, ν, Ω)=(h4ν3/c2)・f(x,p)
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注1: 光子に対しては、ε=hν=c・p からdp=(h/c)dνなので
f(x, p)d3p=f(x,p)・p2dp・dΩ
=(h3ν2/c3)・f(x,p)・dν・dΩ
したがって、 g (x, ν, Ω)=(h3ν2/c3)・f(x,hν/c) とおくと、
dN´=g (x, ν, Ω)・dν・dΩ
I (x, ν, Ω)=ε・c・g (x, ν, Ω)
注2:
したがって、輻射強度の変化は光子に対するボルツマン方程式で記述される。
これが輻射輸達方程式である。光子の吸収、放出はボルツマン方程式の衝突項にあたる。吸収、散乱のない輻射は無衝突ボルツマン方程式に相当する。
その場合に成立する「位相密度f(x、p、t)は軌道に沿って不変である」という
Liouvilleの定理は次に述べる輻射強度不変の法則に対応するわけである。
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dΩ
dΩ´
dS´
Ⅰ´
dE =Ⅰ´dS´dΩ´=ⅠdSdΩ
dS=R2dΩ´ dS´=R2dΩ
Ⅰ´R2dΩdΩ´=ⅠR2dΩ´dΩ
よって、Ⅰ=Ⅰ´
一様に光る円盤dSから放射される光を考えよう。
F.2. 輻射強度不変の法則
吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。
R
dS
Ⅰ
dSから輻射強度Ⅰ、立体角dΩで放射した光が全てR離れたdS´を輻射強度Ⅰ´、立体角dΩ´で通過する。
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この光線の広がりを、光子の位相密度関数の立場で考えてみよう。
Ωo
SoS
Ω
X
左から右に進む光子の運動を考える。位置空間を位置Xとそれに垂直な面 S で表す。運動量空間としては、運動量Pと運動方向の広がり立体角Ωをとる。面Soを立体角Ωoで出たN= no・So・Ωo 個の光子の集団が位置Xに達する。その時の光子の空間的な広がりSはS=Ωo・X2で与えられ、方向の広がりはΩ=S/X2 で与えられる。、
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Ω
S
X1
S1
Ω1
位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変(Liouvilleの定理)
Ω0
S0
X
実空間(S)で広がる。 ⇔ 運動量空間(Ω)で絞られる。(SΩ=一定)
光子の総数N=n・S・Ωは変わらず、SΩ一定であるから位相密度 nは
不変である。これが光子の運動の最も単純な場合に対するLiouvilleの定理
の一例である。
位相密度nは輻射強度Iに比例するから n=一定 は I=一定 を意味する。
つまり、光束が広がると角度が絞られ、光束が縮むと角度が広がる結果、
輻射強度 I は一定に保たれるのである。
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F.3. 表面輝度(輻射強度の別名)
等方的に光る壁A-Bを点Xから見る。
A
XB
I(A,ωA)
I(X,ωA)
I(B,ωB)I(X,ωB)
I(X,ωA) =I(A,ωA)
斜めに見ると光線が圧縮されるので濃く見える。
遠くなると光が弱くなるので壁の輝きが弱まる。
××
XからAを見ると、A点はI(X,ωA)=I(A,ωA)の強さで光って見える。この強さはXによらず、A点固有の量である。そこで、I(A,ωA)を、[ 天文では実際に測定するのはI(X,ωA)だが ] A点でのωA方向
の表面輝度と呼ぶ。説明から分かるように表面輝度は輻射強度と同じである。
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zy
点yから見た壁
点zから見た壁
黄色い部分は小さく見えるが、そこの色、明るさは変わらない
壁から離れた点 y、 z での輻射強度は?
銀河の表面輝度は距離で変わらない。大きさが変わるだけ。
輻射強度=表面輝度は距離で変わらない。
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S=S k=法線ベクトルkの微小面
F. 4.フラックス(Flux)
dΩ=kdΩ=Ω方向の微小立体角(kはΩ方向の単位ベクトル)
θk
k´
S
k=Sの法線ベクトル(長さ1)
最初に定義を少し。(見にくいけれど太字はベクトル)
k
S=Sk
dΩ(k)
(k・k´)=cosθ
k´=kと角度θをなす単位ベクトル
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dΩ´=k´dΩ´=Ω´方向の微小立体角
θk
k´
cosθ SS
k
S=kS
単位時間にSを通る光子のエネルギーEを計算してみよう。
dΩ´=k´dΩ ´
θ
k′
Sを通る光(Ω ´方向)は法線k(Ω方向)に対し角度(θ)を持つ。
Ω´方向の光がSを通過するときは、Sを斜めに見るので、その有効面積は
S・cosθ= (k・k´) S=(S・k´)
Sを通り、dΩ´方向に流れるエネルギーdE´は、
dE´=I´(Ω´)(S・k´)dΩ´
= I´(Ω´)(S・dΩ´)
したがって、
E=∫dE´=∫I´(Ω´)(S・dΩ´)
=S・∫I´(Ω´)dΩ´
=S・F
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F=∫I(Ω)dΩ=輻射流束ベクトル=フラックスベクトル
F(k)=(k・F)
=k・ ∫I(Ω´)dΩ´
=∫I(Ω´)(k・dΩ´)
=∫I(Ω´)(k・k´)dΩ´
=∫I(Ω´)cosθdΩ´
Sを単位面積にしたときの F=(k・F) もフラックスというので注意。
I(k´)
θ
dΩ´=k´dΩ´
dS=kdS
F(k)=k方向の面を通るフラックス
=(k・F)
=フラックス(輻射流束)ベクトルFのk方向成分
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フラックスとインテンシティ
フラックス F インテンシティ I
周波数表示 W/m2/Hz W/m2/Hz/Str.
波長表示 W/m2/mμ W/m2/mμ/Str.
全エネルギー表示 W/m2 W/m2/Str.
と、フラックスとインテンシティは単位としては立体角(Str)当たりかどうかが違いであるが、立体角は無次元なので、実際にはフラックスとインテンシティは同じ単位で表される。
天文では、ジャンスキー(Jansky)=Jy=10-26W/m2/Hzという単位が多用される。
星などの点光源に用いられるときはフラックスの意味である。しかし、空の背景輻射など広がった天体の話で Jansky が現れたら、インテンシティの意味で使われているから注意が必要である。
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F.5. 体積輻射率ε
インテンシティ Iのソースはどこだろうか?
1) 壁 I2=I1
I2I1
2) 途中からの輻射の集積 I2 =∫dI
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A点でのインテンシティ I への、途中B点での微小区間dXからの寄与をもう少し
丁寧に考えてみる。
長さ=dX,断面積=dsの微小体積dV=dsdXを考える。dV内で生み出される
光エネルギー率を、4πεdV とする。4πは後での記述の整理のために入れ
た定数。ε=体積放射係数と呼ぶ。4πεdVのエネルギーはB点から四方八
方に放出される。その内でA点でのインテンシティに寄与する割合を考える。
dX
X
ds=X2dω
dωdΩ
dS=X2dΩ
A点に微小面積dSを立てる。A点からB点のdsを見る立体角=dω=ds/X2
逆に、B点からdSを見込む立体角dΩ=dS/X2
A点
B点
dω
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dX X
ds=X2dω
dΩdS
したがって、dVからdSを通ってdωに放出されるエネルギー率は、
(4πεdV)(dΩ/4π)=(4πεX2dωdX)(dS/ 4πX2)=εdXdSdω
この式を見ると、dX部分からの I への寄与dIは dI=εdX である。
したがって、2)の場合は I=∫dI=∫εdx
注意: テキストによっては、dV内でのエネルギー放出率をεdVとしている。
この場合には dI=(ε/ 4π)dx I=∫dI=∫(ε/ 4π)dx となる。
dV内で発生する輻射(4πεdV)のうち、(dΩ/4π)がA点でdSを通り、dΩの方向に
流れていく。
4πεdV
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(a) 壁表面でのフラックス F
(1) F =∫I cosθdΩ
=∫∫I(θ、φ)cosθsinθdθdφ
(2) I(θ、φ)が壁の法線に関して軸対称 (φによらない) と、
F=2π∫0π/2 I (θ)cosθsinθdθ
=2π∫01 I (μ)μdμ (μ=cosθ)
(3) I(θ、φ)が一定 (等方) I=Io な場合、
F=2πIo∫0π/2cosθsinθdθ
=2πIo∫01μdμ
=πI0
Fを求める際の立体角Ωは壁前面なので2πに渡る。しかし、Fの計算には
Iにcosθの重みがかかる(F=∫IcosθdΩ)ので、<cosθ>=0.5のためF=2πIoでなく、F=πIoになるのである。
F.6. 簡単な例
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(b) 望遠鏡のF比
星雲を焦点距離 f、口径Dの望遠鏡で撮影する。簡単のため、望遠鏡の収差は無視する。
A
星雲上の点Aの像が焦点位置Bにできたとする。Bに置いた画像検出器(写真乾板、CCDなど)が受ける輻射量、すなわち像の明るさを考えよう。
f
B
D2η
A点から輻射強度=IAで出た光は、Dを通り、輻射強度=IBでB点に集まる。
A.2.でやったようにIA=IBである。B点でのフラックスFは収束光の立体角をωとすると、
F=∫IBcosθdΩ≒IBω≒πIBη2≒πIA(D/2f)2
(tanη=D/2f)
IA
IB
広がった像の単位面積当たりの光量=フラックス は (f / D)=F比 で決まる。
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焦点距離 = f
F比 = F
f
L
画像の長さ L=f・θ
θ
η
f
D
像が大きい
像が小さい
像が明るい像が暗い
tanη=D/2f=1/(2F)
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前頁の式に出てくる f/D を望遠鏡のF比(F-ratio)と呼ぶ。
一般に望遠鏡の画像の大きさは焦点距離 f で決まり、
画像の明るさはF比で決まる。
F比 大 F比 小
焦点距離f 大
焦点距離f 小
したがって淡い画像、例えば銀河の周りに広がる薄いエンベロープ、を検出しようとする際には口径の大きさよりもF比を重視しなければいけない。
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いくつかの例
すばる望遠鏡 口径=8m 主焦点(主鏡の焦点)の焦点距離=15m
F=15/8=1.9
岡山天体物理 口径=1.88m 主焦点(主鏡の焦点)の焦点距離=9.15m
観測所 F=9.15/1.88=4.9
1.88m望遠鏡
木曽観測所 口径=1.05m 主焦点(主鏡の焦点)の焦点距離=3.3m
シュミット望遠鏡 F=3.3/1.05=3.1
ニコン 口径=36mm 焦点距離=50mm
カメラ標準レンズ F=50/36=1.4
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(c) マゼラン雲内の恒星コラム数密度
光度(エネルギー総放出率)Lの星が数密度nで分布しているとする。体積dV内の星の総数=ndVだから、
4πεdV=LndV ε=Ln/4π
マゼラン雲の面輝度Bを測ったところ、B=10-5W/m2であった。マゼラン雲内の星の光度を仮に太陽の光度の100倍
Lo=3.85・1028W とし、途中の光吸収をゼロと仮定すると、
B=∫(Lo・n/4π)dx=(Lo/4π)(n・X)N=(n・X)=(4π・10-5/3.85・1028)/m2
=3.26・10-33/m2
=3.26・10-33・(3.08・1016)2/pc2
=3/pc2
次ページに示すのは マゼラン雲バーの中心7.8分角のJHK3色画像で
ある。 マゼラン雲までの距離を50kpcとすると、113pc四方となる。 この画像に写っている星は大部分が赤色巨星で100Loよりは明るく、星の数は1万程度なので、上の見積もりと大体合う。
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大マゼラン雲(LMC)
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(d) オルバースのパラドックス
オルバース(1758-1840)は、星が地球(太陽)の周りにどこまでも存在する宇宙を考えた。
星の半径=Ro、明るさ=Lo、星の数密度=n とする。
dN=4πR2dR・n=球殻中の星の数
R
dR
半径=R、厚み=dRの球殻
S=πRo2=一つの星の断面積ω=S/R2=π(Ro/R)2
=一つの星の立体角dΩ=ω・dN
=π(Ro/R)2・4πR2dR・n=4π2Ro2・n・dR
=球殻内の星が空を覆う立体角Ω(R)=∫0
RdΩ=4π2Ro2・n・R=地球から距離R以内の星全体が空を覆う立体角
オルバースは、「宇宙が一様で無限であるならΩ(R)が4πとなり全天が太陽表面と同じ明るさで輝くはずなのに、なぜ夜空は暗いのか」という問題を提唱した。
![Page 28: 大学院:恒星物理学特論IVIntensity.pdfF.1.輻射強度(Intensity)の定義 光子(振動数、位置、方向)の分布の2つの表現法 (1)光子の分布関数(位置、運動量)](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050412/5f895b8145e4a4709312ed97/html5/thumbnails/28.jpg)
この問題を輻射強度Iの言葉で表現してみよう。
例(c)で見たように、恒星数密度nの時ε=Lo・n/4π
だから、地球から距離R以内の恒星による輻射強度は、
I(R)=∫0RεdR=Lo・n・R/4π
I(R)はRに比例するので、Rが無限大になるとI(R)も発散する。
前頁のΩを数値で当ってみると、簡単のためRo=6.96・108m、n=1/pc3 として、
Ω(R)=4π2Ro2・n・R=4π2(6.96・108/3.08・1016)2R(pc)
=4π2・5.11・10-16R(pc)
Ω(R)=4πとなるのは、R=6.23・1014pc=2.03・1015光年
R=100億光年=1010光年とすると、
Ω=4π(1010/2.031015)=π・1.97・10-5=π・(4.43・10-3)2
1′=π/180=2.91・10-4なので、4.43・10-3=15.2′
太陽の視半径=16′なので、太陽近傍の恒星密度で宇宙が100億光年まで一様
であったら、夜空は昼間と同じくらいにまでは明るかったであろう。
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問題F 出題:平成19年11月12日解答レポートの第1頁には、氏名、学科、学年、提出月日を忘れず記入せよ。(なるべく) 翌週の授業に提出すること。
F-1黒体表面での輻射強度は等方的である。すなわち、黒体表面をどのような
角度から見ても同じ輝き(表面輝度)に見える。
下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景である。市街地を無限に広がる平面とみなし、W=100ワットの電球がN=0.1個/m2の密度で灯っているとしよう。公園の高さを市街からh=50mとし、公園における輻射強度を鉛直方向からの角度θ(°)の関数として求めよ。
等方的に光る電球を一様に並べたのに、なぜ市街地の表面輝度は一様でないのか、その理由を述べよ。
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F-2下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いこと(リムブライト
ニング)に気付くであろう。写真上での火の粉の面密度を測って、花火の中心からの距離の関数としてグラフにせよ。次にそれを適当なモデルで説明せよ。