REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

AUTOR: Efrain Leonardo Cortez Zambrano

EDICIÓN 2015

La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos motivos fundamentalmente:

La dificultad o imposibilidad en el cálculo de una primitiva,

La función a integrar sólo se conoce por una tabla de valores.

Sea, entonces, una función f : [a, b] −→ R. Supongamos que se conocen los valores de f en los (n + 1) nodos distintos x0, x1, . . . , xn. Trataremos de aproximar la integral R b a f(x) dx por una fórmula de cuadratura del tipo:

Nos restringiremos al estudio de las fórmulas de tipo interpola torio polinómico, esto es:

Por tanto, los coeficientes de la fórmula son:

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan.El problema básico considerado por la integración numérica es

calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. 3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos

analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Teorema 1.- Una fórmula de cuadratura:

Es de tipo interpola torio

polinómico si y sólo si es exacta en

Pn (R).

Teorema 2.- Fórmula para el error de integración Sea [c, d] un intervalo que contenga a [a, b] y a los nodos x0, x1, . . . , xn. Si f ∈ C n+1([c, d]) y el polinomio π(x) = (x − x0). . .(x − xn) no cambia de signo en (a, b), entonces el error cometido por la fórmula de cuadratura de T.I.P. es:

II. PROPIEDADES 1. Invariancia por

traslaciones: Si entonces,

2. Modificación por homotecias:

Si entonces,

3. Simetría:

Si los nodos están dispuestos simétricamente respecto del centro del intervalo (a, b), es decir:

Entonces los coeficientes de la fórmula verifican

Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar

la integración de forma analítica. Es decir, Integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es

posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

Programas para integración numéricaLa integración numérica

es uno de los problemas estudiados más intensivamente en el análisis numérico. Entre las muchas implementaciones en programas se encuentran: QUADPACK  (parte

de SLATEC) (código fuente): QUADPACK es una colección de algoritmos en Fortran para

integración numérica basada en reglas gausianas.

GSL : GNU Scientific Library. La biblioteca Científica de GNU (GSL) es una biblioteca numérica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas matemáticas, como la integración por Montecarlo.

ALGLIB : Es una colección de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., para la integración numérica]].

Se pueden encontrar algoritmos de integración numérica en GAMS class H2.

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de

integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) está dada como

un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomio de la función.

Métodos basados en funciones de interpolaciónLos métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento

del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

Métodos basados en funciones de interpolación

Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otra función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación.

Típicamente estas funciones son polinomios.Fórmulas de Newton-CotesLa interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en [a,b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k= n+1 será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k=n-1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta.Regla del rectánguloEl método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del

punto (a,f(a)). Este método se llama la regla del rectángulo:

Regla del punto medioSi en el método anterior la función pasa a través del

punto , este

método se llama la regla del punto medio.

Grafica del punto medioRegla de SimpsonLa función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos (a,f(a)),

. Este

método se llama regla de

Simpson:

Grafica de SimpsonReglas compuestasPara cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo [a,b] en algún número n de sub-intervalos, hallando una aproximación para cada sub-intervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan

valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como:

donde los subintervalos tienen la forma [kh, (k+1)h]

con y k= 0,1,2,…,n-1.

Cuadratura de GaussSi se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de cuadratura de Gauss. Una

regla de cuadratura de Gauss es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces).

Introducción al Análisis NuméricoJesús Armando Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica

Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así.

A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y

posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano. Esta disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas.

De este modo, se podría deducirse que la disciplina del Análisis Numérico data de hace medio siglo. Pero un análisis un poco más

detallado de la historia de las Matemáticas indica que cuando los grandes científicos de la época (siglo XVIII esencialmente) desarrollaban el programa de Newton y establecían los principios y herramientas fundamentales del Análisis y del Cálculo Diferencial, estaban ya estableciendo los cimientos del Análisis Numérico. Esto fue primero con el objeto de construir el complejo edificio del Cálculo Diferencial a partir de la más simple aritmética, para después, ya en siglo XX, deshacer ese camino traduciendo las Matemáticas al lenguaje del ordenador.En concordancia, en el ámbito del área de ingeniería, se busca dar soluciones exactas a un

determinado problema, mediante la aplicaciónDe ahí que, se considera importante el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.

Método de BisecciónYoselin Cardina Barrera

El teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de

Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de

función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores

intermedios (ver Teorema de Darboux).Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una

solución de la ecuación f(a)=0.El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]

A continuación se verifica que 

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)

Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este

método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia

si f(a) y f(b) tienen distinto signo.Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.