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ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile – Indirizzo Strutture

D.I.S.T.A.R.T. Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, dei Trasporti,

delle Acque, del Rilevamento e del Territorio

Tesi di Laurea Specialistica in Teoria delle Strutture

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo

Studente:

NICHOLAS FANTUZZI

Relatore:

Chiar.mo Prof. Ing. ERASMO VIOLA

Correlatore:

Dott. Ing. FRANCESCO TORNABENE

Anno Accademico 2008/2009 III Sessione


INDICE

Prefazione………………………………………………………………………………….vii

Bibliografia………………………………………………………………………………...xi

Capitolo Primo – Introduzione alla Teoria dei Gusci Moderatamente Spessi in Materiale

Anisotropo considerando la Deformazione Trasversale, l’Inerzia Rotazionale e l’Effetto

della Curvatura

Introduzione………………………………………………………………………………...1

Breve Rassegna sulla Teoria dei Gusci……………………………………………………..2

Capitolo Secondo – Cenni sulla Teoria delle Superfici

Introduzione……………………………………………………………………………….25

2.1 Elementi di geometria differenziale…………………………………………………...25

2.1.1 Curve nello spazio…………………………………………………………………...25

2.1.1.1 Rappresentazione parametrica di una curva……………………………………….26

2.1.1.2 Versore tangente…………………………………………………………………...26

2.1.1.3 Piano osculatore e normale principale……………………………………………..28

2.1.1.4 Curvatura…………………………………………………………………………..29

2.1.2 Superfici nello spazio………………………………………………………………..30

2.1.2.1 Curve parametriche: prima forma fondamentale…………………………………..30

2.1.2.2 Normale alla superficie……………………………………………………………32

2.1.2.3 Seconda forma fondamentale……………………………………………………...33

2.1.2.4 Curvature principali e direzioni principali………………………………………...35

2.1.2.5 Derivate dei versori lungo le linee parametriche…………………………………..38

2.1.2.6 Teorema fondamentale della teoria delle superfici………………………………...41

2.1.2.7 Curvatura gaussiana……………………………………………………………….42

2.1.2.8 Classificazioni delle superfici……………………………………………………..44

2.1.2.8.1 Classificazione basata sulla forma………………………………………………44

2.1.2.8.2 Classificazione basata sulla curvatura…………………………………………...45

2.1.2.8.3 Classificazione basata sulla sviluppabilità………………………………………46

2.1.2.9 Definizione di una superficie di rivoluzione………………………………………46

2.1.2.10 Definizione di una superficie cilindrica di traslazione…………………………...52

Tesi: N. Fantuzzi

i

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Capitolo Terzo – Meccanica dei Gusci Moderatamente Spessi in Materiale Anisotropo

considerando l’Effetto della Curvatura

Introduzione……………………………………………………………………………….55

3.1 Teoria dei gusci moderatamente spessi………………………………………………..58

3.1.1 Ipotesi fondamentali…………………………………………………………………58

3.1.2 Coordinate di un guscio generico……………………………………………………60

3.1.3 Equazioni di congruenza…………………………………………………………….64

3.1.3.1 Modello cinematico………………………………………………………………..64

3.1.3.2 Caratteristiche della deformazione………………………………………………...67

3.1.4 Equazioni di legame…………………………………………………………………76

3.1.4.1 Leggi generalizzate di Hooke……………………………………………………...76

3.1.4.1.1 Materiali anisotropi……………………………………………………………...78

3.1.4.1.2 Simmetria materiale……………………………………………………………..79

3.1.4.1.3 Materiali monoclini……………………………………………………………...80

3.1.4.1.4 Materiali ortotropi……………………………………………………………….80

3.1.4.1.5 Materiali trasversalmente isotropi……………………………………………….83

3.1.4.1.6 Materiali isotropi………………………………………………………………...83

3.1.4.2 Materiali compositi………………………………………………………………..84

3.1.4.2.1 Compositi fibrosi: la lamina unidirezionale……………………………………..86

3.1.4.2.2 Compositi granulari: “functionally graded materials” ………………………….89

3.1.4.2.3 Trasformazione delle componenti di tensione e di deformazione……………….92

3.1.4.2.4 Trasformazione dei coefficienti elastici…………………………………………96

3.1.4.2.5 Compositi laminati………………………………………………………………99

3.1.4.2.6 Equazioni costitutive per la teoria del primo ordine (FSDT) ………………….101

3.1.4.3 Caratteristiche della sollecitazione……………………………………………….104

3.1.5 Equazioni indefinite di equilibrio…………………………………………………..116

3.1.5.1 Vettore delle azioni esterne generalizzate………………………………………...117

3.1.5.2 Equazioni del moto mediante il principio di Hamilton…………………………..118

3.1.5.3 Equazioni del moto dedotte mediante il metodo diretto………………………….132

3.1.6 Equazioni fondamentali…………………………………………………………….143

3.1.7 Specializzazione dei risultati per gusci di rivoluzione……………………………..164

3.1.7.1 Equazioni di congruenza…………………………………………………………166

3.1.7.2 Equazioni di legame……………………………………………………………...168

3.1.7.3 Equazioni indefinite di equilibrio………………………………………………...169

Tesi: N. Fantuzzi

ii

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo 3.1.7.4 Equazioni fondamentali…………………………………………………………..170

Capitolo Quarto – Principali Strutture a Guscio

Introduzione……………………………………………………………………………...181

4.1 Gusci di rivoluzione a doppia curvatura……………………………………………...184

4.1.1 Guscio a meridiano iperbolico……………………………………………………..194

4.1.2 Guscio a meridiano avente forma di catenaria……………………………………..199

4.1.3 Guscio a meridiano cicloidale……………………………………………………...202

4.1.4 Guscio a meridiano parabolico……………………………………………………..204

4.1.5 Guscio a meridiano ellittico e circolare…………………………………………….207

4.2 Gusci di rivoluzione a singola curvatura……………………………………………..219

4.2.1 Guscio conico………………………………………………………………………219

4.2.2 Guscio cilindrico circolare…………………………………………………………227

4.3 Gusci di traslazione a singola curvatura……………………………………………...233

4.4 Gusci degeneri………………………………………………………………………..243

4.4.1 Piastra circolare…………………………………………………………………….243

4.4.2 Piastra rettangolare…………………………………………………………………248

Capitolo Quinto – Laminati e Schemi di Laminazione

Introduzione……………………………………………………………………………...255

5.1 Rigidezze dei gusci a doppia curvatura………………………………………………260

5.1.1 Coefficienti di rigidezza……………………………………………………………261

5.1.1.1 Lamine orientate………………………………………………………………….261

5.1.1.2 Lamine incrociate o cross-ply……………………………………………………262

5.1.2 Coefficienti posizionali…………………………………………………………….262

5.1.2.1 Coefficiente di primo grado……………………………………………………...263

5.1.2.2 Coefficiente di secondo grado……………………………………………………263

5.1.2.3 Coefficiente di terzo grado……………………………………………………….264

5.1.2.4 Coefficiente di quarto grado……………………………………………………...265

5.1.2.5 Coefficiente di quinto grado……………………………………………………...265

5.1.2.6 Coefficiente di sesto grado……………………………………………………….266

5.1.3 Studio dei materiali compositi……………………………………………………...267

5.1.3.1 Gusci composti da una singola lamina…………………………………………...267

5.1.3.1.1 Compositi costituiti da una singola lamina isotropa…………………………...268

Tesi: N. Fantuzzi

iii

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo 5.1.3.1.2 Compositi costituiti da una singola lamina “functionally graded” ……………269

5.1.3.1.3 Compositi costituiti da una singola lamina ortotropa…………………………..271

5.1.3.1.4 Compositi costituiti da una singola lamina anisotropa o monoclina…………...273

5.1.3.2 Gusci con schema di laminazione simmetrico…………………………………...274

5.1.3.2.1 Laminato simmetrico costituito da lamine isotrope……………………………275

5.1.3.2.2 Laminato simmetrico costituito da lamine ortotrope…………………………..276

5.1.3.2.3 Laminato simmetrico costituito da lamine anisotrope o monocline……………279

5.1.3.3 Gusci con schema di laminazione antisimmetrico……………………………….280

5.1.3.3.1 Laminato antisimmetrico costituito da lamine orientate……………………….280

5.1.3.3.2 Laminato antisimmetrico costituito da lamine incrociate……………………...284

5.1.3.4 Gusci bilanciati…………………………………………………………………...289

Capitolo Sesto – Sesta Equazione Indefinita di Equilibrio in Termini di Spostamento

Introduzione……………………………………………………………………………...293

6.1 Sesta equazione fondamentale………………………………………………………..294

6.1.1 Guscio a doppia curvatura in coordinate generiche………………………………..294

6.1.2 Guscio di rivoluzione a doppia curvatura…………………………………………..296

6.1.2.1 Equazione per il guscio di rivoluzione in coordinate sferiche…………………...296

6.1.2.2 Equazione per il guscio di rivoluzione in coordinate curvilinee…………………297

6.1.2.3 Equazione per il guscio sferico…………………………………………………..298

6.1.3 Guscio di rivoluzione a singola curvatura………………………………………….299

6.1.3.1 Equazione per il guscio conico…………………………………………………...299

6.1.3.2 Equazione per il guscio cilindrico circolare……………………………………...299

6.1.4 Guscio di traslazione a singola curvatura…………………………………………..300

6.1.5 Gusci degeneri……………………………………………………………………...300

6.1.6 Gusci composti da una singola lamina isotropa……………………………………301

6.1.6.1 Guscio a doppia curvatura in coordinate generiche……………………………...301

6.1.6.2 Guscio a doppia curvatura in coordinate sferiche………………………………..301

6.1.6.3 Guscio a doppia curvatura in coordinate curvilinee……………………………...302

6.1.6.4 Guscio sferico…………………………………………………………………….302

6.1.6.5 Guscio conico…………………………………………………………………….302

6.1.6.6 Guscio cilindrico circolare……………………………………………………….302

6.1.6.7 Guscio di traslazione a singola curvatura………………………………………...302

6.2 Teoria semplificata…………………………………………………………………...303

Tesi: N. Fantuzzi

iv

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo 6.2.1 Semplificazioni di base…………………………………………………………….303

6.2.2 Caratteristiche della sollecitazione…………………………………………………304

6.2.3 Sesta equazione indefinita di equilibrio……………………………………………307

6.2.3.1 Guscio conico…………………………………………………………………….309

6.2.3.2 Guscio cilindrico circolare……………………………………………………….309

6.2.3.3 Guscio di traslazione a singola curvatura………………………………………...310

6.2.3.4 Conclusioni……………………………………………………………………….310

Capitolo Settimo – Teoria dei Gusci di Reissner-Mindlin

Introduzione……………………………………………………………………………...313

7.1 Teoria dei gusci moderatamente spessi………………………………………………314

7.1.1 Ipotesi fondamentali………………………………………………………………..314

7.1.2 Equazioni di congruenza…………………………………………………………...314

7.1.3 Equazioni di legame………………………………………………………………..315


7.1.5 Equazioni di equilibrio……………………………………………………………..317

7.1.6 Equazioni fondamentali…………………………………………………………….317

7.1.7 Specializzazione dei risultati per gusci di rivoluzione……………………………..324

7.1.7.1 Equazioni di congruenza…………………………………………………………325

7.1.7.2 Equazioni di legame……………………………………………………………...326

7.1.7.3 Equazioni indefinite di equilibrio………………………………………………...326

7.1.7.4 Equazioni fondamentali…………………………………………………………..327

7.1.8 Principali strutture a guscio………………………………………………………...331

7.1.8.1 Gusci di rivoluzione a doppia curvatura………………………………………….331

7.1.8.1.1 Guscio a meridiano circolare o sferico…………………………………………337

7.1.8.2 Gusci di rivoluzione a singola curvatura…………………………………………341

7.1.8.2.1 Guscio conico…………………………………………………………………..341

7.1.8.2.2 Guscio cilindrico circolare……………………………………………………..345

7.1.8.3 Gusci di traslazione a singola curvatura………………………………………….349

7.1.8.4 Gusci degeneri……………………………………………………………………352

7.1.8.4.1 Piastra circolare………………………………………………………………...353

7.1.8.4.2 Piastra rettangolare……………………………………………………………..354

Tesi: N. Fantuzzi

v

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Capitolo Ottavo – Teoria dei gusci di Kirchhoff-Love

Introduzione……………………………………………………………………………...357

8.1 Teoria dei gusci sottili………………………………………………………………..358

8.1.1 Ipotesi fondamentali………………………………………………………………..358


8.1.2.1 Modello cinematico………………………………………………………………359

8.1.3 Caratteristiche della deformazione…………………………………………………360



8.2 Gusci di rivoluzione………………………………………………………………….365


8.2.2 Equazioni di legame………………………………………………………………..366


8.2.4 Principali strutture a guscio………………………………………………………...367

8.2.4.1 Gusci di rivoluzione a doppia curvatura………………………………………….367

8.2.4.2 Gusci di rivoluzione a singola curvatura…………………………………………369

8.2.4.2.1 Guscio conico…………………………………………………………………..369

8.2.4.2.2 Guscio cilindrico circolare……………………………………………………..370

8.2.4.3 Gusci di traslazione a singola curvatura………………………………………….371

8.2.4.4 Gusci degeneri……………………………………………………………………372

8.2.4.4.1 Piastra circolare………………………………………………………………...372

8.2.4.4.2 Piastra rettangolare……………………………………………………………..373

Tesi: N. Fantuzzi

vi


PREFAZIONE

Il corso di teoria delle strutture è terminato con lo studio dei gusci a doppia curvatura in

regime membranale e con il calcolo delle equazioni indefinite di equilibrio per i gusci

stessi. Nel seguente elaborato si sono trattati i gusci a doppia curvatura in materiale

anisotropo secondo la teoria di Reissner-Mindlin considerando la deformazione trasversale

a taglio, l’inerzia rotazionale e l’effetto della curvatura.

Tutto il lavoro è frutto di un apprendimento che va oltre il corso di teoria delle strutture,

poiché è stata studiata una teoria nuova, partendo dalla sola conoscenza della statica dei

gusci a doppia curvatura in regime membranale.

Nel capitolo primo, a scopo introduttivo, vi è una trattazione storico-letteraria del

problema riguardante la risoluzione delle strutture a guscio. È stata brevemente illustrata

l’evoluzione di tutte le teorie ingegneristiche fin ora sviluppate per la risoluzione dei gusci

di varia forma e materiale.

Nel capitolo secondo sono stati ripresi alcuni elementi sulla teoria della geometria

differenziale. Detta teoria è stata utilizzata per ottenere le equazioni di congruenza

governanti il problema dei gusci a doppia curvatura in materiale anisotropo (capitolo

terzo), avendo fissato a priori il campo di spostamenti per l’elemento di guscio di

riferimento.

Dalle equazioni di congruenza, che definiscono le componenti di deformazione (sul

solido tridimensionale) in funzione dei parametri di spostamento, si sono ottenute le

caratteristiche della deformazione che sono definite sulla superficie media del guscio.

Poiché la teoria oggetto di studio è più ampia della teoria di Reissner-Mindlin le

caratteristiche della deformazione risultano essere 10, anziché 8, poiché si hanno due

scorrimenti angolari medi distinti 01γ e 0

2γ (anziché 012γ ) e due curvature torcenti distinte

1ω e 2ω (anziché 12χ ).

Successivamente si introduce il legame costitutivo, tra componenti di tensione e

componenti di deformazione. Infatti, oltre all’ottenimento delle equazioni fondamentali per

i gusci a doppia curvatura in materiale anisotropo, un altro obiettivo della tesi è lo studio

dei gusci laminati. Nel capitolo terzo, vi è una descrizione dettagliata su gran parte dei

legami costitutivi elastico lineari. Noto il legame costitutivo, è possibile, previa

integrazione, ottenere dalle componenti di tensione le caratteristiche della sollecitazione.

Le prime sono definite sul solido tridimensionale, le seconde sono definite sulla superficie

Tesi: N. Fantuzzi

vii

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo media dell’elemento di guscio. Analogamente a quanto visto precedentemente per la

congruenza, anche in questo caso, si hanno 10 caratteristiche della sollecitazione anziché 8.

Poiché gli sforzi e 12 21,N N 12 21,M M sono diversi tra loro a due a due, mentre nella teoria

di Reissner-Mindlin si può scrivere che 12 21N N= e 12 21M M= poiché è lecito trascurare i

termini del tipo 1Rζ , 2Rζ rispetto all’unità ( 1 1Rζ , 2 1Rζ ), gli errori che questa

assunzione introduce non sono superiori a quelli relativi alle ipotesi di base.

Dopo il legame costitutivo, si sono ottenute le equazioni indefinite di equilibrio

dinamico del concio elementare. Tali equazioni si sono ottenute utilizzando due metodi

classici: il principio di Hamilton, ed il metodo diretto. Con il primo caso si ottengono 5

equazioni di campo e tutte le condizioni al bordo, mentre con il secondo si ottengono 6

equazioni. La sesta equazione (legata al grado di libertà rotazionale rispetto all’asse

normale alla superficie media) non può essere ottenuta con il principio di Hamilton poiché

tale grado di libertà non è stato definito nel modello cinematico di partenza. Alla sesta

equazione, che deve essere uguale a zero per le assunzioni fatte, è stato dedicato un

capitolo a sé stante (capitolo sesto) in cui viene dimostrato per quali geometrie la sesta

equazione risulti verificata rimanendo nell’ambito della teoria ingegneristica oggetto di

studio. Si ricorda che la sesta equazione risulta invece sempre verificata passando al solido

tridimensionale grazie alla simmetria del tensore degli sforzi ( 12 21τ τ= ).

Infine, avendo ottenuto congruenza, legame ed equilibrio si determinano le equazioni

indefinite di equilibrio in termini di spostamento per un guscio generico a doppia curvatura

in materiale anisotropo.

Avendo ricavato le equazioni governanti il problema del guscio generico, nel capitolo

quarto, si sono dedotte congruenza, legame, equilibrio ed equazioni fondamentali per

geometrie più semplici proponendo una classificazione delle varie tipologie strutturali (cfr.

figura 4.1). Attraverso la specializzazione delle equazioni per i gusci di rivoluzione si

studiano i gusci con meridiano: iperbolico, parabolico, cicloidale, a catenaria, ellittico e

circolare (guscio sferico). Dai gusci di rivoluzione a doppia curvatura si ricavano i gusci a

singola curvatura, a meridiano rettilineo inclinato rispetto all’asse di rotazione (guscio

conico) od a meridiano rettilineo parallelo all’asse di rotazione (guscio cilindrico

circolare). Oppure, partendo sempre dai gusci di rivoluzione a doppia curvatura, si

ottengono i gusci di traslazione a singola curvatura cioè le volte a generatrice generica,

volte a botte con profilo: iperbolico, parabolico, cicliodale, a catenaria, ellittico e circolare.

Infine, dal guscio conico e dal guscio cilindrico si ottengono i gusci degeneri: piastra

Tesi: N. Fantuzzi

viii

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo circolare e piastra rettangolare facendo tendere all’infinito il raggio di curvatura rimanente.

Nel capitolo quinto si sono approfonditi i legami costitutivi introdotti nel capitolo terzo

ed in particolare si sono volute osservare le implicazioni che si hanno nel legame

costitutivo. In particolare si è notato che utilizzando un materiale elastico lineare il

problema non risulta essere disaccoppiato come invece è per la teoria classica di Reissner-

Mindlin. Questo è dovuto ai coefficienti legati alla curvatura ( , , , , , ) che

complicano notevolmente il legame aggiungendo alla matrice di legame classica di

Reissner-Mindlin altre 6 matrici.

1a 2a 3a 1b 2b 3b

Per dimostrare che dalla teoria più generale è possibile ottenere le teorie semplificate,

nei capitoli settimo ed ottavo sono illustrate la teoria di Reissner-Mindlin classica e la

teoria di Kirchhoff-Love. In entrambi i casi sono stati eseguiti gli stessi sviluppi mostrati

nel capitolo terzo e quarto, cioè si sono ottenute congruenza, legame, equilibrio ed

equazioni fondamentali per ogni tipologia di guscio a partire da quelli a doppia curvatura

generici fino ai gusci degeneri. Fanno eccezione, data la loro elevata complessità, le

equazioni fondamentali per la teoria di Kirchhoff-Love che non sono state ricavate in

maniera esplicita, ma che possono essere ricavate facendo uso dei risultati ottenuti per la

teoria in parola.

Lo sviluppo successivo di questa tesi può articolarsi secondo due percorsi.

Si possono risolvere le equazioni fondamentali per i gusci di rivoluzione a doppia

curvatura in materiale anisotropo via G.D.Q., cioè esprimendo le derivate come somme di

termini formati dal prodotto di un coefficiente di ponderazione per lo spostamento.

Si può approfondire il legame costitutivo del materiale e, facendo uso del metodo polare

per la rappresentazione delle rigidezze del materiale, è possibile individuare criteri

specifici per la progettazione di laminati speciali come i laminati quasi isotropi, laminati

disaccoppiati, laminati quasi omogenei, ecc…. Una strada non preclude l’altra, ma la

completa, facendo collimare l’aspetto computazionale e quello teorico.

Tesi: N. Fantuzzi

ix


Tesi: N. Fantuzzi

x


BIBLIOGRAFIA • General equations of anisotrpic plates and shells including transverse shear

deformations, rotary inertia and initial curvature effects – M. H. Toorani, A. A.

Lakis, Journal of Sound and Vibration 237, 561-615, 2000.

• Modellazione e Soluzione di Strutture a Guscio in Materiale Anisotropo – F.

Tornabene, Bologna 2007.

Tesi: N. Fantuzzi

xi


Tesi: N. Fantuzzi

xii

Capitolo Primo

Introduzione alla Teoria dei Gusci Moderatamente Spessi in Materiale

Anisotropo considerando la Deformazione Trasversale, l’Inerzia

Rotazionale e l’Effetto della Curvatura

INTRODUZIONE

I gusci sono ampiamente utilizzati come elementi strutturali nella moderna ingegneria

civile, nell'ingegneria dei velivoli, nella costruzione di navi, di razzi, nell'industria

nucleare, aerospaziale e aeronautica, così come le industrie del petrolio e del petrolchimico

(recipienti in pressione, conduttore), ecc.

È molto importante, perciò, che il comportamento statico e dinamico di queste strutture,

soggette a differenti carichi, sia compreso chiaramente, in modo che possano essere usate

in modo sicuro in ogni campo di applicazione. Molti progetti di ricerca hanno studiato a

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo fondo le analisi dei gusci elastici sottili soggetti a carichi stati e dinamici. Questi gusci

sono stati studiati prendendo in considerazione diversi aspetti come: grandi spostamenti,

variazioni di spessore, tensioni residue, inerzia rotazionale, anisotropia, effetto della

curvatura e l'effetto del mezzo circostante (aria, liquido), ecc.

Molte teorie sono state sviluppate per i gusci elastici sottili, sia nei casi lineari che non-

lineari, e sono basate sulla prima approssimazione della teoria di Kirchhoff-Love che,

poiché non prende in considerazione la deformazione traversale a taglio, può essere

approssimativamente in errore nel predire le deformazioni trasversali, i carichi di buckling

e le frequenze naturali. Nei casi di piastre e gusci laminati, gli errori nella previsione sono

ugualmente marcati. L'effetto trasversale a taglio sulle vibrazioni non-lineari e il

comportamento di post-buckling è significativo specialmente per laminati moderatamente

spessi.

Questo lavoro presenta le equazioni generali dei gusci moderatamente spessi in

materiale anisotropo (equazioni di equilibrio, costitutive e cinematiche) considerando

l'effetto della deformazione a taglio, l'inerzia rotazionale e l'effetto della curvatura. Queste

relazioni sono poi applicate a differenti geometrie di gusci: gusci di rivoluzione, cilindrici,

sferici e conici così anche alle piastre rettangolari e circolari.

BREVE RASSEGNA SULLA TEORIA DEI GUSCI

La rassegna letteraria copre tre grandi aree. Nella prima sono esaminate sia le teorie

lineari che quelle non-lineari sulle strutture a piastra ed a guscio. Queste teorie erano, in

molti casi, studiate per materiali isotropi prima di essere estese alle applicazioni con

materiale anisotropo. La seconda parte riguarda lo studio sull'effetto della deformazione a

taglio sul comportamento statico e dinamico di piastre e gusci; specialmente quelli prodotti

con materiali anisotropi avanzati. Nell'ultima parte verrà discussa brevemente l'effetto

dell'interazione fluido-struttura sulle vibrazioni di piastre e gusci. Particolare attenzione

verrà posta a gusci cilindrici immersi o riempiti di liquido o soggetti ad una corrente fluida.

Una struttura a guscio può essere definita come un corpo chiuso tra due superfici curve

molto vicine. In generale, un guscio ha tre caratteristiche fondamentali con le quali viene

definito, la superficie di riferimento, il suo spessore e i suoi bordi. Di questi, la superficie

di riferimento è significativa poiché il comportamento del guscio è governato dalla

superficie di riferimento.

Tesi: N. Fantuzzi

2


Molte teorie sui gusci sono derivate dalle equazioni dell'elasticità. Le relazioni

deformazione-spostamento dei gusci possono essere ricavate dalle relazioni cinematiche e

da quelle deformazione-spostamento 3-D scritte in termini di coordinate curvilinee

arbitrarie. In realtà, il comportamento della superficie superiore ed inferiore di un guscio

sotto carico può variare largamente.

Il primo tentativo di formulare una teoria flessionale dei gusci dalle equazioni generali

dell'elasticità è stata fatta da Aron nel 1874. Secondo Aron, un guscio sottile è una struttura

in cui lo spessore è piccolo rispetto alle dimensioni complessive della superficie di

riferimento del guscio, dunque fu usata una teoria bidimensionale (2-D) per approssimare

il fenomeno tridimensionale (3-D). Molte teorie classiche sui gusci erano sviluppate

originariamente per i gusci elastici sottili, e sono basate sulle ipotesi di Kirchhoff-Love che

sono: (1) il guscio è sottile; (2) gli spostamenti e le rotazioni sono piccole; (3) le normali

alla superficie di riferimento del guscio prima della deformazione rimangono normali dopo

la deformazione; e (4) le tensioni normali trasversali sono trascurabili. Queste ipotesi

permisero alla teoria del guscio sottile di essere viste come un'estensione della teoria della

piastra di Kirchhoff che è spesso chiamata teoria della piastra di Kirchhoff-Love.

Gli effetti della deformazione trasversale normale sono spesso trascurate nella

cinematica rispetto agli effetti delle deformazioni nel piano a causa della snellezza del

guscio, e il guscio è supposto essere in un approssimativo stato piano di tensione. Le

tensioni nel piano diventano dominanti perché la tensione normale traversale è, in generale,

dell'ordine di h R volte le tensioni flessionali, invece le tensioni trasversali taglianti,

ottenute dalle equazioni di equilibrio, sono dell'ordine di h L volte le tensioni flessionali.

Perciò, per 10L R < , la tensione normale trasversale è trascurabile rispetto alle tensioni

traversale taglianti.

D'altro canto, la deformazione traversale normale può essere generalmente inclusa nelle

analisi grazie alle relazioni costitutive. Derivando le equazioni di equilibrio, staticamente

le forze ed i momenti equivalenti agenti sulla superficie di riferimento possono essere

definiti integrando le tensioni sullo spessore. In questo modo, il comportamento del guscio

3-D può essere descritto compiutamente utilizzando una approssimazione 2-D.

La terza ipotesi della teoria di Kirchhoff-Love non permette che le deformazioni

traversali taglianti possano essere scritte in termini di spostamento, ciò permette di

ignorare completamente tali deformazioni sebbene le tensioni traversali a taglio

dovrebbero essere incluse nelle equazioni di equilibrio.

Tesi: N. Fantuzzi

3

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Indagini delle varie teorie classiche sui gusci possono essere trovate nel lavori di Bert,

Reissner e Naghdi. Quest’ultimo taglia, l'espansione in serie di Taylor per gli spostamenti

tangenziali dopo i termini lineari nelle coordinate dello spessore, e molti altri hanno

seguito questa sua assunzione.

Un eccellente collezione di ricerche, svolte su questo tema, sono state prodotte da

Leisssa. Rappresentazioni eleganti sia lineari che non lineari, della teoria sul guscio di

Love possono essere derivate, rigorosamente attraverso le definizioni, dalla teoria della

superficie senza riferimento alle relazione 3-D. Una delle più conosciute tra queste teorie,

la prima ipotesi di Love, produce risultati sufficientemente accurati quando (1) il rapporto

tra la dimensione laterale e lo spessore ( )L h è grande; (2) le eccitazioni dinamiche

avvengono con un range basso di frequenze; (3) non è forte l'anisotropia del materiale.

Tuttavia, l'applicazione di queste teorie a gusci laminati in materiale anisotropo può portare

ad errori nel calcolo delle frequenze naturali, negli spostamenti, nelle tensioni e nei carichi

di buckling.

C'è una incongruenza nella versione originale della teoria di Love a causa del fatto che

tutta la deformazione non si annulla con movimenti di moto rigido. È stata forse questa

incongruenza che ha incoraggiato molti ricercatori a sviluppare teorie sui gusci di poco

differenti. Molte teorie sui gusci, basate più o meno sulle ipotesi di Love, sono state

sviluppate, e differiscono una dall'altra dal momento che ciascuna di esse a modo suo

trascura o approssima piccoli termini. Sanders ridefinisce la forza ed il momento risultante

in modo tale che tutte le deformazioni si annullino con ogni moto di corpo rigido.

L'ipotesi di guscio sottile nella teoria di Love non deve essere presa in considerazione

nelle teorie di Flügge at al., che impone una richiesta meno restrittiva sullo spessore del

guscio. Questa teoria elimina anche l'anomalia delle deformazioni di corpo rigido. Koiter

esaminò il significato della prima teoria di Love e, basandosi su uno studio più accurato,

precisò che le raffinatezze della prima teoria di Love non si possono fare coerentemente

senza includere gli effetti della deformazione tagliante. Altre teorie di rilievo su questo

tema includono quelle di Novozhilov.

Informazioni utili sulle vibrazioni di strutture tipo guscio possono essere trovate nella

monografia di Soedel in accordo con differenti geometrie di travi, piastre e gusci, isotropi e

con materiali compositi, metodi computazionali e temi avanzati affini.

Due tipi di equazioni base, corrispondenti o alle equazioni di Flügge o quelle di Donnell

per i gusci isotropi, sono state formulate in letteratura. La derivazione di Donnell non è

Tesi: N. Fantuzzi

4

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo semplice da seguire, dato che essa trascura completamente un numero di termini sia nelle

relazioni tra variazioni di curvatura sia nella torsione sia nello spostamento, e nelle

equazioni delle caratteristiche della sollecitazione ed in quelle dei momenti risultanti in

termini di spostamento.

Dong et al. hanno utilizzato i piccoli spostamenti per l'analisi flessionale delle piastre e

gusci anisotropi. Si sono specializzati per fornire le equazioni lineari di Donnell per i gusci

cilindrici in materiale anisotropo. Bogner et al. sviluppò un elemento finito di guscio

cilindrico lineare ed isotropo basato sulla teoria classica dei gusci. Morley estese i limiti

della teoria di Donnell. Reissner applicò le ipotesi di Donnell su un guscio sferico

ribassato. Le equazioni di Donnell-Mushtari-Vlasov sono ottenute dalle ipotesi di Donnell

e applicate su un guscio ribassato di geometria arbitraria.

Cheng and He hanno sviluppato una teoria lineare esatta per i gusci circolari cilindrici

basati sulle ipotesi di Love. Conservando tutti i termini infinitesimi che sono stati

trascurati, ai vari livelli, dalle altre teorie, l'usuale operatore dell'ottavo ordine

nell'equazione che governa l'equilibrio dello spostamento trasversale può essere separato in

due operatori complessi coniugati, riducendo così la complessità della soluzione. Una

teoria generale per i gusci sottili in materiale isotropo, che non compie semplificazioni con

approssimazioni oltre le ipotesi fondamentali, è stata sviluppata da Markov.

Padovan usò una procedura di integrazione numerica complessa multi-segmento, che

può trattare l'analisi statica di gusci di rivoluzione laminati in materiale anisotropo con

un'arbitraria variazione del meridiano nello spessore e nelle proprietà del materiale caricati

meccanicamente, e termicamente. Le equazioni governanti si basano sulla teoria di Love-

Reissner (non considerò l'effetto della deformazione a taglio nel suo lavoro).

Basar e Ding usarono gli elementi finiti rotazionali per le analisi non-lineari di strutture

a guscio sottili. Nello sviluppo dell'elemento finito non-lineare utilizzando le ipotesi di

Kirchhoff-Love, il problema essenziale è l'eliminazione del vettore rotazione (il vettore

divergenza) senza perdita di accuratezza. Per fare questo tali ipotesi sono espresse da due

serie di condizioni equivalenti: una delle quali è usata nella forma di equazioni variazionali

lineari per l'eliminazione delle variabili rotazionali incrementali; dell'altra, non-lineare, c'è

bisogno per il calcolo esatto del vettore rotazione dello stato fondamentale.

Molte delle teorie descritte si qui sono state applicate a gusci così sottili che tutti gli

effetti della deformazione tagliante, delle tensioni trasversali e delle deformazioni può

essere trascurato. Questi effetti trasversali diventano molto pronunciati quando il guscio

diventa più spesso relativamente alle sue dimensioni nel piano e al raggio di curvatura.

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Questo è particolarmente vero per le deformazioni trasversali, siccome le teorie classiche

possono essere grossolanamente in errore nel predirre gli spostamenti trasversali, i carichi

che portano ad instabilità, le frequenze naturali. È ben noto da osservazioni sperimentali

che poiché la teoria classica delle piastre trascura le deformazioni trasversali, questo porta

a sottostimare le spostamenti verticali e sovrastimare le frequenze naturali e i carichi che

portano ad instabilità. Questi errori sono ugualmente elevati nel caso di piastre e gusci

composti da materiali laminati come la grafite-resina epossidica e born-epoxy, dove il

rapporto tra i moduli elastici e i moduli elastici tangenziali sono molto elevati (dell'ordine

di 25-40 invece che 2-6 per il materiali isotropi). Come ha fatto notare Koiter, raffinatezze

sulle approssimazione della teoria di Love di gusci elastici sottili è senza senso, a meno che

gli effetti del taglio trasversale e le tensioni normali siano tenute in considerazione. La

deformazione trasversale tagliante gioca un ruolo molto importante nella riduzione

dell'effettiva rigidezza flessionale di piastre e gusci laminati in materiale anisotropo poiché

il rapporto tra i moduli elastici nel piano e quelli a taglio è elevato.

L'effetto tagliante sulle vibrazioni non-lineari ed il comportamento post-instabile è

significativo, specialmente per i laminati con spessori moderatamente significativi, un

elevato numero d'onda tangenziale e un elevato numero di strati. Lo studio della

deformazione a taglio mostra che questi effetti possono diventare abbastanza significativi

per alcuni parametri geometrici, come un piccolo spessore radiale o piccoli rapporti

lunghezza-spessore, così come per piccole lunghezze d'onda o gusci di considerevole

lunghezza.

In aggiunta alla deformazione tagliante, dovrebbe essere considerato l'effetto della

curvatura per l'analisi di gusci spessi come indicato da Voyiadjis e Shi per materiali

isotropi. L'effetto della curvatura è molto importante per fare calcoli accurati sulle tensioni

anche nella zona centrale. Nelle strutture a guscio, la curvatura di ogni parallelo è

differente attraverso lo spessore del guscio. Per considerare l'effetto della curvatura, il

termine 1 Rζ+ deve essere incluso, infatti, la presenza della curvatura incrementa

notevolmente la rigidezza strutturale.

Nelle teorie raffinate dei gusci che tengono in conto dell'effetto trasversale a taglio, le

normali alla superficie di riferimento dei gusci hanno il permesso di ruotare così che le

sezioni piane originariamente perpendicolari alla superficie media rimangano piane, ma,

come conseguenza della deformazione, non sono più perpendicolari. Il taglio trasversale è

rappresentato dall'inclusione di un grado di libertà indipendente (d.o.f.) nella cinematica. I

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo gusci sono ancora descritti compiutamente dal comportamento della superficie di

riferimento e perciò questi approcci rappresentano la teoria 2-D.

Hildebrand et al. furono i primi a dare contributi significativi facendo a meno

dell'ipotesi di Love e assumendo invece un espansione a tre termini della serie di Taylor

per il vettore spostamento per i gusci ortotropi e omogenei. Naghdi ha utilizzato il

principio variazionale misto di Reissner per sviluppare una formulazione completa dei

gusci simile a quella di Hildebrand et al., conservando due e tre termini nelle espansioni in

serie di Taylor rispettivamente per le componenti di spostamento tangenziale e trasversale.

La prima analisi per incorporare la coppia flessione ed allungamento fu portata avanti

da Ambartsumyan. Egli assunse che gli strati singolarmente ortotropi erano orientati in

modo tale che gli assi di simmetria principali del materiale coincidessero con quelli delle

coordinate principali della superficie di riferimento del guscio. Gli effetti della

deformazione trasversale tagliante, delle tensioni traversali normali e della deformazione

trasversale normale sul comportamento dei gusci laminati può essere incorporato, sulla

base del modello matematico, attraverso l'inclusione di termini di ordine superiore nello

sviluppo in serie di potenze del campo di spostamento assunto.

Dong e Tso furono forse i primi a presentare la teoria della deformazione a taglio del

primo ordine (FSDT), conservando uno o due termini nelle serie di Taylor per le

componenti di spostamento trasversale e tangenziale rispettivamente. La teoria include gli

effetti della deformazione tagliante trasversale per tutto lo spessore del guscio, e da qui

hanno costruito una teoria dei gusci laminati ortotropi. Hildebrand et al. scoprirono che gli

effetti dei termini supplementari sullo spostamento trasversale, che portavano a

deformazioni trasversali normali non nulli, erano trascurabili. Reissner usò queste relazioni

cinematiche per analizzare prima le piastre e poi i gusci a sandwich. I termini legati

all'inerzia rotazionale sono stati inclusi nell'analisi dinamica delle piastre da Mindlin.

Le teorie taglianti del primo ordine sopra citate, derivano dalla cosiddetta cinematica di

Reissner-Mindlin (RM), non soddisfano le condizioni limite trasversale a taglio nelle

superfici superiore e inferiore del guscio o della piastra, dato che si è assunto un angolo a

taglio costante per tutto lo spessore, e le sezioni rimangono piane. Per questa ragione, le

teorie basate su queste relazioni cinematiche spesso richiedono fattori di correzione a taglio

per considerazioni di equilibrio. I fattori di correzione a taglio sono funzione solamente dei

parametri delle lamine (numero di strati, sequenza degli strati, grado di ortotropia e

orientazione delle fibre in ogni singolo strato).

Levinson e Reddy hanno sviluppato teorie che includono termini cinematici di

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo spostamento nel piano. Usarono una deformazione tagliante parabolica per tutto lo

spessore per ottenere una tensione trasversale a taglio nulla sulla superficie superiore ed

inferiore del guscio, così producendo un più vicino accordo con la elasticità lineare. La

deformazione tagliante parabolica è stata usata per analizzare il comportamento vibratorio

lineare di gusci cilindrici in materiale isotropo da Bhimaraddi.

Gli effetti della deformazione trasversale a taglio e isotropia trasversale come anche

l'espansione termica lungo lo spessore dei gusci cilindrici sono stati esaminati da Gulati e

Essenburg, Zukas e Vinson, Dong et al., Hsu e Wang, Chaudhuri e Abu-Arja e Khdeir et

al.. Whitney e Sun svilupparono una teoria sulla deformazione tagliante per i gusci

cilindrici laminati che include sia lo scorrimento trasversale a taglio sia la deformazione

normale trasversale così come le deformazioni dilatanti. La teoria è basata su un campo di

spostamenti in cui gli spostamenti sulla superficie del guscio sono sviluppati come

funzioni lineari delle coordinate dello spessore e lo spostamento trasversale è sviluppato

come una funzione quadratica delle coordinate dello spessore. Non hanno, inoltre,

considerato il prodotto delle derivate al primo ordine delle componenti tangenziali dello

spostamento riguardo ad x, y e z nelle relazioni tra deformazione-spostamento. Queste

relazioni si basano sulla teoria di von Karman.

Reddy ampliò la teoria di Sanders per gusci laminati semplicemente sostenuti da strati

intrecciati assumendo 5 d.o.f.s per nodo. La teoria si basa su un campo di spostamento in

cui gli spostamenti della superficie media sono sviluppati come una funzione cubica delle

coordinate dello spessore, e lo spostamento trasversale è assunto costante lungo tutto lo

spessore. Le soluzioni esatte di Navier per le vibrazioni naturali e flettenti sono presentate

per gusci cilindrici o sferici sostenuti semplicemente dalle condizioni limite.

Una generalizzazione delle teorie sulla deformazione geometricamente lineare a taglio

per piccole deformazioni elastiche è stata presentata per i gusci multistrato asimmetrici di

forma generica da Touratier. Egli propose una teoria generale sulla deformazione a taglio

per gusci multistrato, moderatamente spessi, asimmetrici. La teoria, che è geometricamente

lineare, è sviluppata per piccole deformazioni elastiche ed è limitata a gusci asimmetrici

soggetti a carichi asimmetrici e condizioni al contorno classiche. Il principale vantaggio di

questa teoria è che non ha bisogno dei fattori di correzione a taglio.

Ji-Fan He propose l'analisi statica di gusci laminati usando una teoria deformativa

tagliante. In accordo con questa teoria, lo spessore del guscio deve essere piccolo se

confrontato con i raggi di curvatura principali. Ci si può aspettare che la teoria in parola

dovrebbe essere abbastanza accurata per i gusci laminati con molti strati. Hsu e Wang e Di

Tesi: N. Fantuzzi

8

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Sciuva proposero un campo di spostamento specialmente progettato con continuità delle

trazioni sulle interfacce degli strati, e Reissner propose un altro tipo di teoria generale, sui

gusci per materiali trasversalmente isotropi, basata sul principio variazionale misto con le

tensioni trasversali assunte indipendenti.

Più recentemente, Jing e Tzeng derivarono una teoria deformativa tagliante mista per i

gusci laminati moderatamente spessi di forma generica basata sul metodo proposto da Jing

e Liao. Il campo di spostamento usa una funzione zig-zag in aggiunta agli spostamenti tipo

Reissner-Mindlin nel piano e uno spostamento trasversale costante. Kant e Ramesh

svilupparono equazioni fondametali complete per un guscio spesso laminato composito. La

teoria si basa su tre termini dello sviluppo in serie di Taylor del vettore spostamento e

generalizza la legge di Hooke, come il modello di spostamento di Hildebrand et al., ed è

applicabile a materiale a strati ortotropi che hanno i piani di simmetria coincidenti con le

coordinate del guscio.

Materiali compositi avanzati sono usati sempre più in industrie di vario genere poiché

hanno una resistenza elevata e rapporti elevati tra rigidezza-peso; questo ha portato ad una

rapida crescita dell'uso di questi materiali nelle applicazioni strutturali nel decennio

passato. Elementi strutturali composti con materiali compositi avanzati fibro-rinforzati

offrono vantaggi unici al di là di quelli composti di materiale isotropo. Sono ampiamente

usati in aree di alta e bassa tecnologia, per esempio, nell'industria aerospaziale, dove

complesse configurazioni a guscio sono comuni elementi strutturali.

Le tecniche filament-winding per i gusci di rivoluzione fabbricati in materiale composito si

sono recentemente ampliati nei velivoli, nella cantieristica navale, nell'industria del

petrolio e altre industrie. In generale, questi materiali sono laminati fibro-rinforzati,

simmetrici o antisimmetrici intrecciati a croce o ad angolo generico, che consistono in

numerosi strati ognuno dei quali ha una sua orientazione delle fibre. Sebbene il laminato

nel suo complesso possa mostrare proprietà simili ai materiali ortotropi, ogni strato della

lamina è di solito anisotropo; così le singole proprietà di ogni strato devono essere tenute

in conto cercando di ottenere un quadro degli effettivi campi di tensione e deformazione.

Ottimizzando le proprietà possiamo ridurre il peso complessivo della struttura poiché

rigidezza e resistenza possono essere progettate solo dove sono richieste. Un basso peso

della struttura si traduce in una migliore prestazione. Dal momento che i sistemi strutturali

ottimizzati sono spesso più sensibili all'instabilità, è necessario agire con cautela. Il

progettista dovrebbe essere maggiormente abile ad evitare ogni tipo di instabilità, se,

quando viene predetta la massima capacità di carico, o conoscendo i percorsi di equilibrio

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo degli elementi strutturali o facendo una accurata modellazione del comportamento carico-

spostamento della struttura.

Piastre e gusci laminati in materiale anisotropo hanno una ulteriore complicazione che

deve essere considerata durante il processo progettuale: potenzialmente grandi variazioni

direzionali delle proprietà irrigidenti in queste strutture fatte su misura significa che gli

effetti tridimensionali posso divenire molto importanti. Le ipotesi bidimensionali classiche

possono portare imprecisioni grossolane, sebbene possano essere valide per una identica

struttura a guscio composta di materiale isotropo.

Comunque, sebbene abbiano proprietà che sono superiori ai materiali isotropi, le strutture

composite presentano alcuni problemi tecnici sia nella progettazione sia nella

fabbricazione. Per ragioni computazionali, lo studio dei materiali compositi porta allo

studio o dei loro comportamenti a livello microscopico come le risposte ai caricamenti

lineari e non lineari, le frequenze naturali, i carichi che portano ad instabilità, ecc., o le loro

proprietà micro-meccaniche come il cracking, delaminazione, distaccamento fibra-matrice,

ecc.

Esiste un numero elevato di teorie per i gusci laminati anisotropi in letteratura. Molte di

queste teorie sono state sviluppate per i gusci sottili e si basano sulle ipotesi di Kirchhoff-

Love. La prima analisi fu di Ambartsumayan che incorporò la coppia flessione-

allungamento (dovuta alla asimmetrica laminazione nei compositi).Nella sua analisi,

assunse che gli strati ortotropi singolarmente erano orientati così che gli assi principali

della simmetria del materiale coincidevano con le coordinate principali della superficie di

riferimento del guscio. Egli ha scritto in maniera estesa sull'argomento, basando il suo

lavoro sulla teoria di Love con alcune dissertazione sulle tensioni trasversali.

L'ipotesi semplificativa di laminato anisotropo è spesso usata nell'applicazione della teoria

2-D delle piastre e dei gusci composti da strati di materiale composito. In questo approccio,

ogni singola proprietà dei materiali costituenti il composito, le fibre e la matrice, sono

“spalmati” e così ogni lamina è trattata come un materiale ortotropo.

Uno studio sull'analisi dei gusci compositi multistrato che usa il principio variazionale

di Reissner è stato fatto da Grigolyuk e Kulikov. Sostenendo che l'anisotropia del laminato

mantenga una perfetta solidità tra gli strati, e che l'inter-strato adesivo abbia uno spessore

infinitesimale ma infinita rigidezza. Questo approccio porta alla teoria classica delle piastre

laminate (classical laminated plate theory CLPT) ed i riferimenti di Jones e Whitney e

Pagano al CLPT si basano sulle assunzioni di Kirchhoff-Love. Comunque, entrambi i

riferimenti fanno notare che lo scorrimento trasversale tagliante è maggiormente

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo significativo nelle strutture laminate anisotrope piuttosto che nelle medesime strutture

isotrope.

Bert usò la teoria dei gusci di Vlasov per formulare una teoria lineare per i gusci

laminati simile al CLPT. Pagano e Wang e Srinivas e Rao hanno sviluppato alcune

soluzioni esatte delle equazioni dell'elasticità 3-D governanti le piastre composite che sono

state usate per convalidare la teoria a taglio. Essi concludono che la teoria CLPT fornisce

in maniera corretta buone approssimazioni sia per gli spostamenti che per gli sforzi se la

piastra è sottile. Teorie a taglio di ordine superiore non forniscono così buoni risultati per

quanto riguarda lo sforzo trasversale ma gli spostamenti mostrano un miglioramento

consistente al di là della CLPT per le piastre spesse. Gli sforzi trasversali sono calcolati nel

migliore dei modi dall'equilibrio invece che dalle equazioni costitutive. Ren in ugual modo

risolse le equazioni dell'elasticità 3-D per i gusci cilindrici laminati in flessione cilindrica.

Il suo lavoro si occupò di quello che oggi è noto come gusci laminati ortotropi piuttosto

che gusci laminati anisotropi. Nei gusci laminati anisotropi, gli strati individualmente sono,

in generale, anisotropi, e gli assi principali della simmetria del materiale dei singoli strati

coincide con solo uno dei principali assi coordinati del guscio (la coordinata normale lungo

lo spessore). Whitney e Pagano applicarono la teoria di Reissner-Mindlin all'analisi della

piastra in materiale composito. L'instabilità dei gusci cilindrici laminati fu studiata da

Hirano. Reddy e Chao applicarono la soluzione in forma chiusa alla piastra spessa in

materiale composito.

Reddy ha esteso l'approccio cinematico in forma cubica all'analisi delle piastre laminate

in materiale anisotropo e le ha applicate per risolvere parecchi problemi statici lineari e di

instabilità. In più, Soldatos applicò la teoria del taglio parabolico per esaminare la stabilità

dei pannelli laminati cilindrici non simmetrici. Cheng e Ho presentarono un'analisi dei

gusci laminati anisotropi usando la teoria dei gusci di Flügge. Una teoria in prima

approssimazione per la deformazione asimmetrica di gusci cilindrici elastici non-

omogenei, anisotropi è stata derivata da Widera et al. per mezzo dell'integrazione

asintotica delle equazioni dell'elasticità. Per un materiale isotropo, la teoria riduce le

equazioni di Donnell.

Noor e Peters presentarono l'analisi sulle vibrazioni libere dei gusci di rivoluzione

laminati anisotropi oltre che la sensibilità della loro risposta con i coefficienti di un

materiale anisotropo. La loro formulazione analitica si basa sulla forma della teoria dei

gusci di Sanders-Budiansky, includendo gli effetti di entrambe le risposte sia dello

scorrimento trasversale a taglio sia del materiale laminato isotropo. Ogni variabile dei

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo gusci è espressa in termini di funzioni trigonometriche nelle coordinate tangenziali ed è

usato un modello ad elementi finiti misto a tre campi per la discretizzazione nella direzione

del meridiano. Usarono un metodo di riduzione che comporta l'uso successivo del metodo

agli elementi finiti e la tecnica classica di Bubnov-Galerkin per ridurre sostanzialmente la

dimensione del problema agli autovalori.

Zienkiewicz introdusse un approccio agli elementi finiti con uno scorrimento trasversale

indipendente e gradi di libertà rotazionali tale che si ottenga un elemento di guscio

deformabile a taglio tipo RM. Un approccio con piccole rotazioni per i gusci anisotropi è

stato sviluppato da Librescu e Schmidt.

Successive approssimazioni, relativamente alla valutazione delle relazioni

deformazione-spostamento esatte per i gusci dove spostamenti, grandi deformazioni e

rotazioni erano tutte inizialmente permesse, sono presentate per i gusci isotropi da Sanders

e per i gusci anisotropi da Librescu.

Kant e Komminemi presentarono teorie di ordine superiore per i materiali ortotropi

generici così come i gusci laminati. Queste teorie erano derivate dalle equazioni

dell'elasticità tridimensionale espandendo il vettore spostamento in serie di Taylor per le

coordinate dello spessore. L'articolo presentava alcuni elementi, che possono essere

applicati con successo all'analisi delle piastre e dei gusci sia sottili che spessi. Kui et al.

applicarono il metodo agli elementi finiti, con elementi agli spostamenti, per analizzare i

gusci sottili e per superare il fenomeno dello shear-locking.

Pryor e Barker svilupparono un elemento finito lineare tipo piastra basato sulla teoria

RM. Usarono un elemento rettangolare con 28 d.o.f.s (8, 12, 8 per dilatazione, flessione e

effetti a taglio rispettivamente), per avere la continuità della tensione trasversale ad ogni

interfaccia. Hinrichsen e Palazotto applicarono una funzione cubica (costruita con una serie

di punti dati e avendo un certo numero di derivate continue) nell'analisi non-lineare delle

piastre composite spesse. La loro teoria si basa sulle ipotesi usuali di Kirchhoff. La teoria è

stata sviluppata considerando le deformazioni Lagrangiane insieme al secondo tensore di

Piola-Kirchhoff per ipotesi. La formulazione permette ad un elemento semi-

tridimensionale che unisce grandi spostamenti con grandi rotazioni ma è limitato a piccole

deformazioni.

Schmit e Monforton formularono un elemento finito a guscio cilindrico anisotropo, che

permise loro di ottenere il comportamento geometricamente non-lineare di una piastra

sandwich e delle strutture a guscio cilindriche, basato sulle ipotesi della teoria dei gusci

sottili. Altri articoli recenti di Meroueh e Surana possono essere menzionati. I gusci

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo cilindrici sono in generale utilizzati nell'industria aerospaziale, nell'industria navale, nelle

industrie petrolifere e strutturali. Sono le strutture a guscio più semplici da analizzare dal

punto di vista strutturale ma sono invece molto complessi da studiare a causa della loro

geometria. Il problema lineare dei gusci cilindrici compositi è stato esaminato in larga

misura da un numero di ricercatori che usano differenti teorie dei gusci. Basandosi sulle

ipotesi di Kirchhoff, per esempio, Dong studiò le vibrazioni libere dei gusci cilindrici

laminati ortotropi con condizioni omogenee al bordo.

Le equazioni governanti i gusci cilindrici ortotropi sono state risolte attraverso un paio

di equazioni differenziali complesse conigate del quarto ordine da Cheng e He. Il loro

lavoro si basa sulle ipotesi di Kirchhoff. Per il problema statico, Flügge e Kelkar e Yao

ottennero una soluzione esatta per lunghi cilindri isotropi chiusi soggetti ad una trazione

superficiale generica bidimensionale. Usando il metodo di Forbenius, Srinivas sviluppò

una soluzione esatta tridimensionale per i cilindri limitati ortotropi con condizioni semplici

sul vincolamento. Varadan e Bhaskar portarono a termine anche l'analisi statica della

tensione usando le procedure proposte da Srinivas. Pagano ottenne la distribuzione degli

sforzi per un cilindro chiuso omogeneo, anisotropo soggetto a carichi superficiali

bidimensionali nei quali i problemi sono indipendenti dalle coordinate assiali.

Ren presentò una soluzione esatta per i pannelli cilindrici circolari a lamine incrociate

semplicemente appoggiati di infinita e finita lunghezza nella direzione assiale. Leissa et al.

analizzarono la vibrazione di pannelli cilindrici a sbalzo usando il metodo di Ritz, con

funzioni polinomiali agebriche per gli spostamenti.

Widera e Logan studiarono un guscio elastico cilindrico circolare non-omogeneo,

anisotropo, usando il metodo dell'espansione asintotica in termini di piccoli parametri

assieme al principio variazionale di Reissner. Nel loro lavoro, la procedura usata per

derivare l'equazione del guscio parte con la sostituzione delle coordinate del guscio a-

dimensionali in funzione di una caratteristica scala di lunghezza per variazioni ditensioni e

spostamenti e per la direzione del funzionale di Reissner. Il lavoro della formulazione in

termini del principio di Reissner permette di ottenere automaticamente tutte le equazioni

necessarie per formulare un problema al bordo completo per l'analisi dei gusci in prima

approssimazione. Tensioni, spostamenti e direzione del funzionale di Reissner a-

dimensionali, sono introdotti e considerati per essere rappresentabili dalle espansioni

asintotiche in serie di potenza in termini di piccoli parametri dei gusci.

Recentemente, Bert et al. e Hsu et al. presentarono le soluzioni esatte sulla flessione e le

vibrazioni per i gusci cilindrici sottili laminati tipo cross-ply. Queste soluzioni sono

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo limitate ai gusci cilindrici e ad una distribuzione sinusoidale del carico trasversale, e la

procedura usata è simile a quella usata da Whitney e Leissa, Whitney e Pagano, Bert e

Chen, e Reddy e Chao per la piastre composite laminate.

Tzeng propose una teoria deformativa a taglio mista per l'analisi flessionale per laminati

arbitrari, pannelli anisotropi e cilindri chiusi. L'effetto della curvatura incluso nelle

relazioni deformazione-spostamento, nelle risultanti di tensione e nelle presunte tensioni

trasversali a taglio. Due tipi di geometria dei gusci, pannelli cilindrici infintamente lunghi e

cilindri chiusi di lunghezza finita, sono impiegati nello studio numerico. Suzuki e Leissa

analizzarono le vibrazioni libere di gusci cilindrici circolari e non circolari aventi spessore

variabile tangenzialmente.

La risposta statica al problema assialsimmetrico di laminati arbitrari, gusci cilindrici

arbitrari di lunghezza finita usando le equazioni dell'elasticità tridimensionale è stato

studiato da Jing e Zeng. Il cilindro chiuso è semplicemente appoggiato sui entrambe le

facce. Le equazioni differenziali alle derivate parziali strettamente accoppiate sono ridotte

ad equazioni differenziali ordinarie con coefficienti variabili scegliendo la soluzione

composta da funzioni trigonometriche lungo la direzione assiale.

Kant et al. presentarono varie teorie di ordine superiore per gusci cilindrici laminati

compositi usando elementi finiti. Kant ed i collaboratori fecero ampie indagini

numeriche sulle piastre e i gusci laminati, entrambi con analisi statiche e dinamiche,

usando elementi finiti e differenti teorie di ordine superiore. Dimostrarono che

l'imposizione delle condizioni di taglio nullo al bordo sopra e sotto i piani di bordo del

laminato forniscono soluzioni più rigide se confrontate con la soluzione dell'elasticità

tridimensionale e con vari modelli agli spostamenti per laminati piani. Uno avendo 9

d.o.f.s per nodo produce risultati molto vicini alla soluzione dell'elasticità 3-D.

0C

0C

Una teoria deformativa tagliante di ordine superiore delle piastre tiene conto delle

deformazioni di von Karman presentate da Reddy. Questa teoria contiene le stesse

incognite dipendenti come quelle nella teoria deformativa tagliante al primo ordine di

Hencky-Mindlin. Gli spostamenti sono sviluppati in potenze dello spessore della piastra, e

tiene conto della distribuzione parabolica delle deformazioni trasversali a taglio per tutto lo

spessore della piastra. Il principio di Hamilton è stato usato per ottenere le equazioni del

moto e la procedura di soluzione di Navier è stata usata per risolvere le equazioni delle

piastre semplicemente appoggiate.

Jing e Liao proposero una funzione mista con gli spostamenti e le tensioni trasversali a

Tesi: N. Fantuzzi

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Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo taglio come variabili indipendenti e stabilirono l'elemento per l'analisi delle piastre

laminate spesse. Alcuni paragoni tra i risultati ottenuti per le piastre da queste due funzioni

sono state fatte da Jing e Tzeng.

Una teoria delle piastre laminate raffinata è stata sviluppata da Whitney e Sun ed è

applicabile ai materiali fibrorinforzati compositi soggetti ad urti. La teoria include anche

per la prima volta moto tipo thickness shear e thickness stretch , così come il primo modo

antisimmetrico tipo thickness shear, includendo termini di ordine superiore nello sviluppo

degli spostamenti sul piano medio del laminato in maniera del tutto simile a quella di

Mindline Medick per la piastre omogenee ed isotrope.

Reddy e Phan usarono una teoria deformativa tagliante di ordine superiore per

determinare le frequenze naturali e i carichi che portano ad instabilità per le piastre in

regime elastico. La teoria tiene conto dello scorrimento trasversale e dell'inerzia

rotazionale. Questo lavoro si occupava delle soluzioni esatte della teoria come applicata

alle vibrazioni libere e all'instabilità di piastre rettangolari laminate, isotrope e ortotrope

con condizioni al contorno di semplice appoggio. Reddy sviluppò una teoria deformativa a

taglio di ordine superiore per le piastre composite laminate. Questa teoria utilizza un

approccio agli spostamenti simile a quello delle teorie tipo RM. Gli spostamenti nel piano

sono sviluppati come funzione cubica delle coordinate dello spessore e la deflessione

trasversale è costante per tutto lo spessore della piastra.

La forma è dettata dal soddisfacimento delle condizioni che le tensioni trasversali a

taglio spariscono sulle superfici della piastra e sono non nulle altrove. Questo richiede l'uso

di un campo di spostamenti in cui gli spostamenti nel piano sono funzione cubica delle

coordinate dello spessore e la deflessione trasversale è costante lungo tutto lo spessore

della piastra. Ren e Hui formularono una teoria semplice sulla flessione non-lineare per le

piastre rettangolari in materiale composito generalmente laminate, che giustifica gli

scorrimenti trasversali usando il principio degli spostamenti virtuali. Inoltre, poiché la

deflessione totale di una piastra è decomposta in una deflessione dovuta alla flessione ed

una dovuta al taglio, la soluzione delle equazioni governanti delle teoria attuale diventa più

semplice.

Il funzionale di Jing e Liao, modificato dal principio di Hellinger-Reissner dalla

separazione del campo tensionale in una parte flessionale ed una trasversale tagliante e

lasciando solo gli spostamenti e le tensioni trasversali taglianti come variabili indipendenti,

è stato usato da Jing e Tzeng per analizzare piastre laminate con soddisfacente accuratezza.

Ci sono molte situazioni in meccanica in cui alcune ipotesi semplificatrici devono

Tesi: N. Fantuzzi

15

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo essere considerate un aiuto per l'analista per ottenere risultati accurati e opportuni. Tuttavia

vari veicoli e strutture di aria, di terra e di mare come aeroplani, razzi, serbatoi in

pressione, elementi petroliferi e petrolchimici, ecc., posso essere soggetti ad impatti,

collisioni, esplosioni e/o altri carichi di intensità transitoria che possono causare grandi

deformazioni strutturali transitori e danni.

I gusci sottili soggetti a carichi dinamici posso avere deflessioni dell'ordine dello

spessore del guscio o più elevate. I gusci sottili possono anche subire il fenomeno di

impatti dinamici o instabilità dinamica e collasso, che sono attribuiti alla possibilità nello

stato di equilibrio caratterizzante il modo di risposta al carico. La risposta di queste

tipologie non può essere predetta correttamente utilizzando la teoria degli spostamenti

piccoli o intermedi. Nell'approccio non-lineare intermedio, i termini non-lineari che

rappresentano le rotazioni nel piano del guscio sono trascurate. Questa teoria è spesso usata

nell'analisi della stabilità.

Gli elementi strutturali composti da materiali compositi avanzati subiscono grandi

deformazioni prima diventano anelastici, a causa dell'elevato modulo elastico e dell'elevata

resistenza dei materiali compositi. Perciò, una diagnosi adeguata della risposta transitoria è

possibile solo quando si tiene conto della non linearità geometrica.

Ci sono anche casi in cui gli elementi strutturali hanno solo piccole deformazioni sotto il

carico ma possono crollare catastroficamente a causa della loro configurazione geometrica.

Si dimostra che questa classe di sistemi strutturali può essere accuratamente analizzata

sulla base di piccole deformazioni, materiale elastico lineare e non linearità geometrica. Il

bisogno di metodi accurati ed efficienti per l'analisi e il progetto delle strutture,

specialmente per questa categoria di problemi che cercano la risposta dinamica di sistemi

caratterizzati da grandi deformazioni (non linearità geometrica) e comportamento elasto-

plastico (non linearità del materiale) stanno sviluppando apparentemente in questo periodo.

Nel metodi di analisi non-lineare proposti, per esempio, nei riferimenti, molti dei termini

legati allo spostamento non-lineare possono essere considerati trascurabili dipendendo,

certamente, dalla specifica situazione. Per esempio, una caratterizzazione carico-

spostamento accurata della piastra piana si basa sull'equazione di von Karman dove molti

temini rotazionali non lineari devono essere omessi. Assunzioni simili per gli elementi a

guscio risultano nelle equazioni del tipo proposto da Donnell, Sanders e Novozhilov.

Queste formulazioni sono solitamente valide per la cosiddetta non linearità intermedia o

teorie che permettono solo moderate rotazioni.

Le relazioni deformazione-spostamento che includono termini di spostamento non

Tesi: N. Fantuzzi

16

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo lineare sono usati per rappresentare grandi spostamenti e rotazioni degli elementi

differenziali di una guscio. Vibrazioni non lineari dei gusci cilindrici circolari laminati

genericamente furono esaminati usando le ipotesi cinematiche di Timoshenko-Mindlin ed

una estensione della teoria di Donnell.

Gli effetti dello scorrimento trasversale, dell'inerzia rotazionale e delle imperfezioni

geometriche iniziali sono inclusi nell'analisi. La procedura di Galerkin fornisce un'infinità

di sistemi di equazioni in funzione del tempo, che si risolvono con il metodo dell'equilibrio

armonico.

È riconosciuto che il comportamento non lineare dei gusci cilindrici compositi gioca un

ruolo importante nella determinazione della stabilità e della risposta dinamica di questi

gusci. Chu presentò per primo un analisi sui gusci cilindrici circolari ed isotropi con una

non linearità di tipo incrudente (hardening) per la risposta ampizza-frequenza. Nowinski

confermò i risultati di Chu impegnando le vibrazioni non lineari di gusci cilindrici

ortotropi. Later, Evensen fecero notare che la deforamata modale assunta da Chu non

soddisfava la condizione di continuità dello spostamento nel piano tangenziale. Uno studio

molto più rigoroso delle vibrazioni libere flessionali non lineari dei gusci cilindrici

circolari fu condotto da Atluri, il quale paragonò i suoi risultati con i dati disponibili e

concluse accettando la possibilità di una non linearità di tipo rammollente (softening).

Chen e Babcock adottarono una tecnica perturbativa nel considerare le vibrazioni di grande

ampiezza di un guscio cilindrico sottile rinforzato. Ramachandran studiò la vibrazione non

lineare dei gusci cilindrici di vario spessore. Khot studiò il comportamento post-instabile

dei gusci cilindrici laminati soggetti ad un carico torcente assiale usando le equazioni di

von Karman-Donnell. I risultati ottenuti da Khot mostrano che, in generale, gusci

compositi sono meno sensibili alle imperfezioni dei gusci isotropi.

Recentemente, Iu e Chia esaminarono la vibrazione non lineare e il comportameno post-

instabile dei gusci cilindrici circolari, composti da strati incrociati antisimmetrici, sulla

base delle ipotesi cinematiche di von Karman-Donnell e gli effetti del taglio trasversale sul

comportamento non lineare di questi gusci utilizzando le ipotesi cinematiche di

Timoshenko-Mindlin. Trascurarono molti termini (ad es., il prodotto misto delle derivate

dello spostamento) nelle relazioni deformazione-spostamento non lineari.

Trascurando i termini rotazionali trasversali non lineari come risulterà nella teoria dei

gusci lineare tipo-Love. Queste successive approssimazioni sulle relazioni deformazione-

spostamento del guscio sono esaminate nell'articolo di Librescu e Sanders. Nell'ultimo

lavoro, le deformazioni sono limitate dalle ipotesi di Kirchhoff (lo scorrimento e la

Tesi: N. Fantuzzi

17

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo deformazione normale sono trascurate), le deformazioni della superficie media sono

assunte piccole e le rotazioni sono assunte essere moderatamente piccole. Molti degli

approcci sopra citati possono includere vari gradi di non linearità nelle relazioni

deformazione-spostamento che rappresentano gli spostamenti e le rotazioni. Considerevoli

semplificazioni furono ottenute nelle equazioni di Donnell utilizzando l'ipotesi che che le

deformazioni non lineari membranali derivarono solo dalle rotazioni fuori dal piano.

Per esempio, la teoria di Donnell non è adatta per l'analisi di gusci in cui il modo di

instabilità coinvolge meno di tre onde piene attorno alla circonferenza. Più accurate

equazioni non lineari dei gusci sono fornite da Sanders e da Novozhilov, ma queste sono in

qualche modo più complesse delle equazioni fornite da Donnell. Si sono conservati molti

termini poiché si sono fatte meno ipotesi sull'importanza relativa dei vari termini nel

legame deformazione-spostamento non lineare. Reddy e Chandrashekhara risolsero i

problemi dei gusci laminati, sia cilindrici che sferici, assumendo la teoria di RM ed una

non linearità intermedia.

Ci sono poche soluzione in forma chiusa per le geometrie dei gusci, specialmente per

quelle che governano il comportamento non lineare.

La formulazione e la procedura computazionale sono presentati per l'analisi non lineare

geometrica di gusci compositi anisotropi e laminati ortotropi basata su il principio

incrementale modificato di Hellinger-Reissner e la descrizione Langrangiana totale di

Rothert e Di. In questa indagine, un modello computazionale per un'analisi

geometricamente non lineare è stata studiata sulla base di un approccio razionale per un

modello ibrido di tensione.

L'ipotesi di spessore completo usato nella formulazione Lagrangiana è introdotto,

incorporando la formulazione non lineare con l'ipotesi di grandi rotazioni. Noor e Peters

analizzarono la risposta non lineare di un pannello cilindrico anisotropo che include lo

scorrimento trasversale. La loro formulazione è basata su la tecnica di Rayleigh-Ritz e

sull'approccio misto agli elementi finiti tipo guscio ribassato.

Stein utilizzò un approccio, che includeva anche lo scorrimento trasversale, troncando gli

sviluppi in serie delle relazioni deformazione-spostamento non lineare nei gusci. Le

relazioni deformazione-spostamento non lineare furono sviluppate in serie, esse

contenevano i termini al primo ed al secondo grado; solamente il primi termini sono stati

conservati per gli spostamenti.

Geometricamente gli approcci semi-tridimensionali non lineari per le piastre ed i gusci

compositi laminati sono stati sviluppati Palazotto e Win, Hinrichsen e Palazotto e Dennis e

Tesi: N. Fantuzzi

18

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Palazotto. Il loro lavoro è limitato alle piccole deformazioni; la relazione esatta

deformazione-spostamento di Green e la relazione deformazione-spostamento lineare sono

assunte per le deformazioni nel piano e gli scorrimenti, rispettivamente, così l'accuratezza

nella rotazione è limitata dall'ipotesi lineare sugli scorrimenti trasversali.

Tsai e Palazotto hanno sviluppato una formulazione agli elementi finiti per l'analisi di

vibrazioni geometriche non lineari per i gusci cilindrici, basata su un elemento finito a

guscio sottile a forma di quadrilatero curvo, avente 36 d.o.f.s. Le equazioni del moto si

basano sul campo di autorità Lagrangiano totale. Un metodo beta, che è una

generalizzazione dello schema di integrazione temporale di Newmark e del metodo

iterativo di Newton-Raphson, sono entrambi applicati per risolvere la serie di equazioni del

moto non lineari scritte in forma numerica.

La soluzione di una serie di equazioni differenziali non lineari del secondo ordine che

descrivono un guscio di rivoluzione anisotropo fu presentato da Martin e Drew. La loro

analisi si basa sulla teoria dei gusci non lineare di Sanders senza considerare gli effetti

degli scorrimenti trasversali. Il metodo per risolvere queste equazioni segue la procedura

usata da Budiansky e Radkowski.

Kant e Kommineni presentò un'analisi transiente geometricamente non lineare per

compositi laminati (trasversalmente isotropi) e i gusci sandwich, basata sulla teoria di von

Karman. Nel dominio del tempo, il metodo di integrazione esplicito alle differenze centrali

è usato insieme allo speciale schema di diagonalizzazione della matrice di massa, che

conserva la massa totale dell'elemento e include gli effetti dovuti all'inerzia rotazionale.

Rotter e Jumikis hanno presentato una serie di relazioni deformazione-spostamento non

lineari per i gusci sottili assialsimmetrici soggetti a grandi spostamenti con moderate

rotazioni, conservando molti termini. I loro lavoro è basato sulle ipotesi di Kirchhoff.

Hanno mostrato che le deformazioni non lineari derivando dal prodotto dei termini di

deformazione nel piano, che furono omessi nelle teorie precedenti, possono essere

importanti in certi problemi di instabilità. Le nuove relazioni sono particolarmente

importanti quando i gusci sezionati sono stati studiati e quando il modo di instabilità può

coinvolgere una traslazione del nodo sezionato. Il loro lavoro non include alcun tipo di

risultato numerico.

Una approssimazione modale nella derivazione delle equazioni del moto per le vibrazioni

flessionali non lineari di un guscio cilindrico, utilizzando la teoria dei gusci ribassati di

Donnell, fu presentata da Dowell e Ventres. Lo scopo del loro lavoro fu quello di

soddisfare in maniera più accurata le condizioni al bordo e di continuità e di esaminare i

Tesi: N. Fantuzzi

19

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo loro effetti sulla forma delle equazioni modali.

Horrigmoe e Bergan presentarono principi variazionali classici per problemi non lineari

considerando le deformazioni incrementali di un continuo. Wunderlich e Stricklin et al.

hanno recensito vari principi dell'analisi incrementale e le procedure di soluzione per

problemi geometricamente non lineari rispettivamente. Noor e Hartley impiegarono la

teoria dei gusci ribassati con lo scorrimento traversale e le non linearità geometriche per

sviluppare elementi finiti triangolari e quadrangolari.

Chao e Reddy, Reddy e Chandrasekhara hanno presentato la teoria deformativa a taglio

del primo ordine basata sulla ipotesi cinematica e geometrica della teoria dei gusci sottili di

Sanders per l'analisi geometricamente non lineare dei gusci a doppia curvatura compositi.

Un'analisi sulle risposte dinamiche dei gusci cilindrici che includono non linearità

geometriche e del materiale sono state fatte da Wu e Witmer. I metodi dell'analisi ad

elementi finiti furono applicati al problema dei grandi spostamenti, alla risposta dinamica

elasto-platica di gusci cilindrici con caricamento transitorio. La formulazione è basata sul

principio dei lavori virtuali e sul principio di D'Alembert. Wu e Witmer usarono un

polinomio bilineare per lo spostamento assiale, e polinomi di forma cubica sia per lo

spostamento tangenziale sia per lo spostamento trasversale, escludendo esplicitamente i

modi di corpo rigido.

La soluzione analitica delle equazioni del moto dei gusci è generalmente considerata

essere di difficile realizzazione. Metodi semplificati possono essere usati

convenientemente (ad esempio, il metodo alle differenze finite, il metodo di Galerkin, il

metodo di Rayleigh-Ritz, il metodo della matrice di trasferimento e il metodo agli elementi

finiti). Tutti questi metodi hanno vantaggi e svantaggi. Uno dei criteri più importanti per

determinare la versatilità della risoluzione è la capacità di predire, con precisione, sia le

basse che le alte frequenze.

Nel metodo alle differenze finite, i valori iniziali sono noti e questo metodo richiede

moltissimo tempo di calcolo. L'approccio di Galerkin perde al livello di precisione nelle

alte frequenze dei gusci. Il metodo Reyleigh-Ritz presenta parecchi inconvenienti, tra i

quali la funzione spostamento scelta, che deve tenere in conto delle condizioni al contorno,

e la necessità di utilizzare un elevato numero di termini delle funzioni sullo spostamento

indicato. Inoltre nel metodo di Galerkin, entrambe le condizioni al contorno geometriche e

sulle forze devono essere soddisfatte. D'altro canto, il metodo agli elementi finiti è

soddisfacente secondo i punti di vista seguenti.

L'accuratezza delle soluzioni ottenute con la formulazione agli elementi finiti agli

Tesi: N. Fantuzzi

20

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo spostamenti fanno affidamento sulle funzioni del modello assunte accuratamente e sui

modi deformative delle strutture. Per soddisfare questo criterio, Lakis ed il suo gruppo

hanno sviluppato un elemento finito ibrido, attraverso il quale le funzioni dello

spostamento nel metodo agli elementi finiti sono derivate dalla teoria del guscio classico

di Sanders. Questo metodo è stata applicato con risultati soddisfacenti all'analisi dinamica

lineare e non lineare dei gusci cilindrici, sia chiusi che aperti, sferici, conici, isotropi ed

anisotropi, gusci uniformi e gusci assialmente non uniformi, sia vuoti che pieni di liquido.

Questo metodo è stato anche applicato all'analisi dinamica delle piastre circolari ed anulari

da Lakis e Selmane.

L'effetto del mezzo circostante (aria, liquido, ecc.) sulla vibrazione delle piastre e dei gusci

è l'interesse primario degli scienziati e degli ingegneri che lavorano nel campo

aerospaziale, marittimo e nella tecnologia nucleare. L'effetto di un fluido sulla risposta

strutturale è spesso significativa ad eccezione dei casi in cui i gusci siano estremamente

spessi. La risposta dinamica dei gusci quando sono soggetti ad una corrente fluida, così

come l'influenza della velocità del fluido nelle vibrazioni liberedi un guscio, fu studiata da

molti ricercatori. Lakis e Païdoussis, Païdoussis e Denis, Weaver e Unny, Cheng e Jain.

Païdoussis e Li scrissero una elaborata recensione sull'argomento.

Si può tenere conto dell'effetto del fluido sul comportamento dinamico della struttura

considerando la massa idrodinamica, che è aggiunta alla matrice di massa della struttura.

La massa effettiva è una funzione della forma modale considerata, dei parametri geometrici

del liquido e del guscio, più i parametri fisici. In aggiunta, devono essere considerate le

forze esercitate dal moto libero della superficie; la distribuzione di pressione dovuta al

moto della superficie durante la vibrazione potrebbe essere trascurata; tuttavia, siccome le

frequenze risonanti dei gusci sottili solo considerevolmente più bassi delle frequenze

naturali del sistema composto fluido-struttura.

Le dinamiche degli accoppiamenti gusci-fluido furono trattate in maniera estesa da

Yang e Brown. L'analisi dinamica dei sistemi fluido-struttura fu studiata da Brenneman e

Yang, facendo uso dei metodi modale ed ibrido. Ottennero i modi della struttura e del

fluido applicando i metodi della rigidezza e della cedibilità, seguendo l'approccio di

MacNeal. Crouzet-Pascal e Garnet studiarono un guscio cilindrico ad anello rinforzato

immerso in un mezzo fluido, e la sua risposta dinamica ad un impulso assimmetrico per

passi. MacNeal presentò un altro approccio, che è basato sulla formulazione ibrida degli

elementi finiti in cui la struttura è modellata considerando gli spostamenti variabili

incognite, ed il fluido è modellato con una pressione variabile. Per utilizzare i programmi

Tesi: N. Fantuzzi

21

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo dell'analisi strutturale già esistenti, MacNeal mostrò come ottenere la simmetria

manipolando le equazioni e aggiungendo varabili ausiliarie al problema.

Le vibrazioni libere di gusci cilindrici verticali semplicemente appoggiati parzialmente

riempiti o sommersi in un fluido sono stati analizzati da Gonçalves e Batista. Il metodo di

Rayleigh-Ritz fu usato per ottenere una soluzione approssimata, che coincide con la

soluzione esatta con i casi di guscio vuoto o di guscio completamente in contatto con il

fluido. Il loro lavoro è in accordo con la teoria di Sanders. Il fluido è considerato non

viscoso e compressibile ed è tenuto in conto l'accoppiamento tra il guscio deformabile e

questo mezzo acustico.

Siccome la più piccola frequenza naturale delle vibrazioni flessionali dei gusci, immersi

o riempiti di un fluido, è molto più piccola della corrispondente frequenza naturale di un

guscio in aria, esaminarono gli effetti di un'altezza di fluido variabile sulla risposta

vibratoria di cilindri verticali riempiti o sommersi in un mezzo fluido. In generale, la

frequenza più bassa dipende dal livello liquido, dalle forme modali, dalla geometrica del

guscio e del liquido e dai parametri fisici.

L'analisi in vibrazione libera di serbatoi cilindrici con spessore variabile lungo l'asse e

parzialmente riempiti di fluido fu studiata da Han e Liu. Il serbatoio è modellato usando la

teoria dei gusci sottili di Flügge (per il caso isotropo) ed il fluido nel serbatoio, in accordo

con la teoria del flusso potenziale, è assunto non viscoso ed incompressibile. Nel loro

lavoro, gli effetti dello scorrimento a taglio non sono stati considerati. Risolsero le

equazioni differenziali alle derivate parziali utilizzando la tecnica della matrice di

trasferimento.

Un'analisi delle vibrazioni non lineari dei gusci cilindrici di spessore variabile con un

fluido incompressibile fu fatta da Ramachandran. La procedura di Rayleigh-Ritz fu usata

per analizzare le vibrazioni non lineari trasversali di gusci cilindrici ortotropi ed elastici

con variazione lineare dello spessore, inserito in un fluido incompressibile (non è presente

l'effetto dello scorrimento a taglio nel suo lavoro). Ci sono molteplici ragioni per

intraprendere lo sviluppo di questa teoria. Per prima cosa, sviluppando una teoria o per

l'analisi dinamica o per l'analisi della tensione di piastre e gusci laminati anisotropi, con

forme geometriche variabili. La predizione accurata della risposta dinamica o il fallimento

delle caratteristiche di queste strutture, costituite di materiali compositi avanzati, richiede

l'uso di una teoria raffinata dove gli effetti dello scorrimento tagliante e altri fattori come

l'inerzia rotazionale e l'effetto della curvatura devono essere presi in considerazione.

Questo perché lo scorrimento trasversale gioca un ruolo fondamentale nella riduzione

Tesi: N. Fantuzzi

22

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo dell'effettiva rigidezza flessionale delle piastre e dei gusci composti da queste materiali

avanzati rispetto agli stessi composti però da materiale isotropo; questo studio si focalizza

su quest'ultimo aspetto.

Il prossimo passo permette di studiare le vibrazioni libere caratteristiche dei gusci

cilindrici laminati sottili e anisotropi basati sulla teoria seguente. Uno dei criteri di

valutazione del successo del metodo può considerarsi la sua capacità di avere elevati livelli

di snervamento, nonché basse, frequenze naturali e forme modali paragonabili alla

accuratezza elevata. Il metodo numerico si baserà su una combinazione dell'analisi ad

elementi finiti ibridi e la raffinata teoria dei gusci con scorrimento tagliante. Questo ci

permette l'equazione del guscio sottile in toto per la determinazione delle funzioni

spostamento, e quindi la matrice di massa, di rigidezza e risultante di stress, invece di usare

le funzioni spostamento di tipo polinomiale maggiormente usate.

Questa formulazione produce le frequenze naturali e le forme modali di un guscio

definite da condizioni arbitrarie senza cambiamenti nelle funzioni spostamento in ogni

caso. Saranno presentati risultati numerici per le frequenze fondamentali dei gusci

cilindrici laminati anisotropi.

Allo stesso tempo, sarà studiato l'effetto del fluido fluente sulle frequenze naturali di

gusci cilindrici aperti e anisotropi.

Tesi: N. Fantuzzi

23

Capitolo Secondo

Cenni sulla Teoria delle Superfici

INTRODUZIONE

Prima di giungere all’equazioni governanti il problema dei gusci, è opportuno

premettere i principi che stanno alla base della teoria delle superfici. Dato che la teoria

delle superfici coinvolge i risultati della teoria delle curve, risulta utile partire dai risultati

della geometria differenziale.

2.1 ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE

2.1.1 CURVE NELLO SPAZIO

Per ragioni di completezza, si forniscono alcuni risultati fondamentali relativi alla teoria

delle curve nello spazio tridimensionale. Tali risultati faciliteranno lo sviluppo successivo

della teoria delle superfici.


2.1.1.1 Rappresentazione parametrica di una curva

Una curva tridimensionale in un sistema globale di coordinate ortogonali C 1 2 3, ,x x x

può essere rappresentata attraverso il luogo dei punti descritti dal vettore posizione

(figura 2.2):

x

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3x x xξ ξ ξ= + +x e e 3e (2.1)

per ogni valore assunto dal parametro ξ nell’intervallo chiuso [ ]1 2,ξ ξ . Nella (2.1)

sono i versori degli assi del sistema di riferimento. Se le componenti del vettore posizione

1 2 3, ,e e e

ix , , sono funzioni lineari nel solo parametro 1, 2,3i = ξ , allora un dato valore di ξ

definisce un solo punto della curva.

2.1.1.2 Versore tangente

Si indichi con l’ascissa curvilinea sulla curva tridimensionale definita dalla s C (2.1).

La derivata del vettore posizione x rispetto ad risulta essere: s

31 21 2

dxdx dxdds ds ds ds

= + +x e e 3e (2.2)

Facendo il prodotto scalare di tale derivata per se stessa, si ottiene: 2

31 2 dxdx dxd dds ds ds ds ds

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22x x (2.3)

Per il calcolo differenziale essendo i j ijδ⋅ =e e , ove ijδ denota il delta di Kronecker

(1.83), si ha:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2ds dx dx dx= + + 2

3 (2.4)

Per la (2.4), il primo membro della (2.3) risulta essere uguale ad uno:

1d dds ds

⋅ =x x (2.5)

Il vettore d dsx ha modulo unitario e rappresenta, quindi, un versore. La sua

interpretazione geometrica può essere fornita osservando la figura 2.2.

Il vettore è definito in modo tale da unire due punti e Δx P P′ posti sulla curva

(figura 2.3). Indicando con la lunghezza dell’arco tra tali punti, si può osservare che il

vettore

CsΔ

sΔ Δx ha la stessa direzione di Δx . A questo punto, facendo tendere a zero la

lunghezza (ovvero, avvicinando il punto sΔ P′ a ) è possibile constatare che il vettore P

Tesi: N. Fantuzzi 26


sΔ Δx diventa il vettore tangente alla curva nel punto . C P

3x

P

C

x

( )3x ξ 3e

2e O 2x

1e ( )1x ξ

( )2x ξ

1x

Figura 2.2 – Rappresentazione parametrica di una curva.

In base a quanto esposto, è lecito definire il versore tangente:

0lims

dds sΔ →

Δ= =

Δxt x (2.6)

A partire da esso, è possibile introdurre un altro vettore tangente tenendo presente la

dipendenza dal tempo del vettore posizione ( )( )s tx . La dipendenza in parola può essere

evidenziata se si pensa di generare la curva muovendo nel tempo un punto lungo .

La derivata del vettore :

C P s

( )( )s tx

ds ds st s dt dt

∂ ∂= = ⋅ = =∂ ∂x xx t t (2.7)

rappresenta, a tutti gli effetti, una velocità. La differenza sostanziale tra i vettori ed è

che il secondo non può essere interpretato come un versore, in quanto non è

necessariamente di lunghezza unitaria (lo scalare

t x

ds dt può non essere uguale ad uno).



3x

ddsx

sΔΔ

x sΔ P′

PΔx

+ Δx xs

C x

3e

2e O 2x

1e

1x

Figura 2.3 – Interpretazione geometrica di un versore.

2.1.1.3 Piano osculatore e normale principale

In precedenza è stato mostrato che la tangente ad una curva generica in un suo punto

risulta interpretabile quale posizione limite della retta che congiunge i punti e

P

P P′ al

tendere a zero della lunghezza dell’arco s PP′Δ = . Come passo successivo, si può

considerare la posizione limite assunta da un piano passante per tre punti consecutivi e

distinti posti su una generica curva, qualora due di questi punti tendano al terzo. In altre

parole, quello che si vuole definire è il piano oscuratore, ossia il piano contenente l’intorno

del punto appartenente alla curva . Esso può essere trovato specificando che il vettore

, congiungente un punto generico del piano osculatore (vettore posizione ) con un

punto generico appartenente alla curva (vettore posizione ), deve giacere sullo stesso

piano del vettore tangente x e del vettore x , dove quest’ultimo individua la velocità di

variazione del vettore . In base a quanto detto, si ha che un’espressione analitica per

definire il piano osculatore è data dalla relazione:

P C−X x X

x

x

( ) ( ) 0− ⋅ ∧ =X x x x (2.8)



poiché il prodotto misto di tre vettori complanari è nullo. La normale principale alla curva

nel punto rappresenta quel vettore del piano osculatore passante per che risulta

ortogonale alla tangente della curva nel medesimo punto.

P P

t

2.1.1.4 Curvatura

Per la (2.5), il prodotto scalare del vettore per se stesso è uguale all’unità.

Differenziando tale prodotto rispetto la coordinata curvilinea si ottiene:

t

s

( ) 2dds

0′⋅ = ⋅ =t t t t (2.9)

dove l’apice sta ad indicare la derivata rispetto . D’altra parte, ricordando la definizione

del versore t , è possibile anche ricavare la seguente espressione:

s

dt ts t ds∂ ∂ ′= = ⋅ =∂ ∂x xt x (2.10)

che, derivata rispetto ad , porta al risultato: s

( )2t t′ ′′ ′= +t x x (2.11)

Osservando le equazioni (2.9)-(2.11), si può notare come i vettori e risultino

perpendicolari tra loro e come il vettore

t ′t

′t appartenga al piano dei vettori x e , e cioè al

piano osculatore. Il vettore , parallelo alla normale principale nel punto considerato,

risulta proporzionale al vettore normale:

x

′t

k′ = =t k n (2.12)

dove rappresenta il versore della normale principale alla curva nel punto considerato e

definisce il vettore curvatura. Quest’ultimo esprime la variabilità della direzione del

vettore tangente qualora un punto si muova lungo la curva data. k è un fattore di

proporzionalità che rappresenta la curvatura, mentre il suo reciproco (

n

k

1R k −= ) viene

definito raggio di curvatura. Geometricamente, R rappresenta il raggio del cerchio

osculatore e cioè di quel cerchio appartenente al piano osculatore che passa attraverso tre

punti consecutivi della curva. Infine, si noti che se il verso di , e quindi di , è

determinato solamente dalla curva, quello della normale principale n risulta arbitrario.

Pertanto, il segno del fattore dipende dal verso assunto per . Per convenzione, si

assume che il vettore normale punti dal centro di curvatura verso l’esterno. Così, quando

il verso di n e è il medesimo si ha , quando il verso di n è opposto a quello di k

risulta k .

′t k

k n

n

k 0k >

0<



2.1.2 SUPERFICI NELLO SPAZIO

In base ai risultati preliminari ottenuti precedentemente, si può sviluppare l’analisi

geometrica delle superfici.

2.1.2.1 Curve parametriche: prima forma fondamentale

Una superficie S definita in un sistema globale di coordinate cartesiane 1 2 3, ,x x x può

sempre essere descritta come una funzione di due parametri 1α e 2α nel modo seguente:

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2, , , , ,x f x f x fα α α α α= = = α (2.13)

dove 1 2 3, ,f f f sono funzioni continue che forniscono un sol valore per ogni coppia di

parametri 1 2,α α . Tali parametri sono le coordinate curvilinee della superficie. Si può

notare che, fissando a turno una coordinata e incrementando l’altra, è possibile ottenere

una famiglia di curve definite curve parametriche o linee coordinate della superficie.

Queste curve sono mostrate in figura 2.4.

L’equazione (2.13) può anche essere scritta in forma vettoriale attraverso il vettore

posizione:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3, , , ,f f fα α α α α α α α= + +r e e e (2.14)

La variazione infinitesima , qualora si supponga di spostarsi sulla superficie dal

punto , di cui r è il vettore posizione, verso un punto

dr

P P′ infinitamente vicino ad esso,

può essere espressa nella forma:

1 2 ,1 1 ,21 2

d d d d d 2α α αα α∂ ∂

= + = +∂ ∂

r rr r αr (2.15)

Nella precedente relazione è stata introdotta la notazione:

(, 1, 2ii

iα

)∂= =∂

rr (2.16)

L’equazione (2.15) non rappresenta lo spostamento effettivo sulla superficie dal punto

al punto , ma è la differenza tra i vettori posizione relativi ai due punti suddetti. Dato

che si tratta di uno spostamento infinitesimo, risulta possibile valutare il quadrato dello

spostamento effettivo attraverso il prodotto scalare di per se stesso:

P P′

dr

( ) ( ) ( )2 21 1 2E 2F Gds d d d d d d 2

2α α α α= ⋅ = + +r r (2.17)



n

1 4aα =

,2r 1 3aα = ds

dr P′

P1 2aα =

,1r

Figura 2.4 – Rappresentazione parametrica di una superficie.

dove:

(2.18) ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2E , F , G= ⋅ = ⋅ = ⋅r r r r r r

L’equazione (2.17) è nota con il nome di prima forma fondamentale della superficie S

definita dal vettore posizione ( )1 2,α αr e le grandezze sono chiamate prime

grandezze fondamentali. In base alle definizioni introdotte, le lunghezze infinitesime degli

archi, staccate nelle direzioni delle linee parametriche, vengono valutate in forma esplicita:

E, F,G

1 1 2E , Gds d ds d 2α α= = (2.19)

essendo l’arco infinitesimo lungo la curva di costante 1ds 2α e l’arco infinitesimo

lungo la curva di costante

2ds

1α . Inoltre, poiché r ed r sono i vettori tangenti alle curve di ,1 ,2

3x

2 2bα = 2 3bα = 2 4bα =

1 1aα = S

r 2 1bα =

d+r r

3e

2x 2e

O

1e

1x



costante 2α ed 1α , rispettivamente, la quantità è nulla solo se le curve parametriche

definiscono una reticolo a maglie ortogonali.

F

In tal caso, la prima forma fondamentale assume il seguente aspetto:

( ) ( ) ( )2 22 21 1 2 2ds A d A d 2α α= + (2.20)

dove:

1 2E, G, F 0A A= = = (2.21)

Le due nuove entità 1 2,A A (2.20) vengono chiamate parametri di Lamè e permettono di

valutare la variazione di lunghezza di un arco sulla superficie dalle corrispondenti

variazioni di coordinate curvilinee. I parametri di Lamè possono essere definiti

agevolmente attraverso una interpretazione geometrica delle equazioni (2.19) e (2.20).

Esistono alcuni casi più complessi per i quali devono essere calcolati analiticamente

mediante le equazioni (2.14) e (2.18). Per un dato problema, la scelta del sistema più

opportuno di coordinate curvilinee, cui corrisponde la forma più semplice dei parametri

metrici, può sveltire e semplificare notevolmente la soluzione del problema stesso.

Prima di concludere è bene notare che, la prima forma fondamentale consente di

misurare delle distanze sulla superficie, ossia ne fornisce la metrica, ma non coinvolge le

grandezze che permettono di specificare la forma della superficie medesima. Utilizzando la

prima forma fondamentale è possibile calcolare la lunghezza di un arco di curva giacente

sulla superficie S :

1

0

2 21 1 2 2E 2F Gd d d ds d

d d d d

ξ

ξ

α α α α ξξ ξ ξ ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (2.22)

2.1.2.2 Normale alla superficie

In ogni punto appartenente ad una superficie esiste un versore normale P ( )1 2,α αn

perpendicolare ad ed e, quindi, al piano passante per che contiene i due vettori

, . In altre parole, per il punto passerà un versore

,1r ,2r P

,1r ,2r P ( )1 2,α αn ortogonale al piano

tangente ad S nel punto . Il versore n risulta parallelo al prodotto vettoriale tra ed

. Visto che un versore può essere interpretato come un vettore diviso per il suo modulo,

un’espressione per

P ,1r

,2r

( 1 2, )α αn viene fornita dalla relazione:



( ) ,1 ,21 2

,1 ,2

,α α∧

=∧

r rn

r r (2.23)

Indicando con θ l’angolo tra i vettori ed , sfruttando l’algebra vettoriale e le

equazioni

,1r ,2r

(2.18) si ricava:

,1 ,2 ,1 ,2

,1 ,2 ,1 ,2

sin

cos

θ

θ

∧

⋅

r r = r r

r r = r r (2.24)

( )2sin EG F EG

cos F EG

θ

θ

= −

= (2.25)

In questo modo si perviene ad un’espressione per ( )1 2,α αn del tipo:

( ) ,1 ,21 2,

Hα α

∧=

r rn (2.26)

essendo:

2H EG F 0= − ≠ (2.27)

Occorre osservare che la normale principale di una curva posta sulla superficie S non

è necessariamente normale alla superficie stessa. Il verso della normale alla superficie è

arbitrario per cui si adotterà la convenzione che le curve parametriche siano sempre

sistemate in modo tale che n vada dal lato concavo verso il lato convesso della superficie

oppure coincida con la normale uscente alla superficie.

n

2.1.2.3 Seconda forma fondamentale

Un’altra caratteristica importante delle superfici è rappresentata dalla seconda forma

fondamentale. Tale caratteristica deriva, essenzialmente, dall’uso delle proprietà del

vettore curvatura di una generica curva spaziale definita su di una superficie k S .

Se t indica il versore tangente della curva considerata si può scrivere:

ndds

′ t= = = +tk t k k (2.28)

essendo e le componenti normale e tangenziale alla superficie di k . Alla

componente viene dato il nome di vettore curvatura normale, mentre alla seconda

quello di vettore curvatura tangenziale. La curvatura normale, essendo orientata come la

normale alla superficie, è proporzionale ad n e può essere espressa come:

nk tk

nk



n nk= −k n (2.29)

dove è chiamata curvatura normale. Il segno meno tiene conto della convenzione che

considera positivo il verso di opposto al verso positivo di n .

nk

k

Poiché è perpendicolare a , eseguendo la derivata del prodotto scalare

rispetto all’ascissa curvilinea della curva posta sulla superficie, risulta:

n t 0⋅ =n t

s

0d d dds ds ds ds

⋅ + ⋅ = → ⋅ = − ⋅n t nt n t n dt (2.30)

Essendo anche perpendicolare a (il che significa che n tk 0t⋅ =n k ), eseguendo il

prodotto scalare per n di entrambe i membri dell’equazione (2.28), si ha:

( ) ( )n tdds ds

⋅ = ⋅ + ⋅ → ⋅ = ⋅t n k n k n n n k n

dt (2.31)

Dato che , se si esegue il prodotto scalare dell’equazione 1⋅ =n n (2.29) per n , si ricava:

( ) ( ) ( )n n nk⋅ = − ⋅ → − ⋅ =k n n n k n nk (2.32)

Tenendo conto che ( )2ds d d= ⋅r r , dalla combinazione delle ultime tre equazioni (2.30),

(2.31) e (2.32), si riesce ad esprimere come: nk

nd dkd d⋅

=⋅

r nr r

(2.33)

Notando che e possono essere definiti: dn dr

,1 1 ,2 2

,1 1 ,2 2

d d dd d d

α α

α α

= +

= +

n n nr r r

(2.34)

rispettivamente, la loro sostituzione nella relazione (2.33) permette di scrivere:

( ) ( )( ) ( )

2 21 1 2

21 1 2

L 2M NIII E 2F G

n

d d d dk

d d d d

α α α α

α α α α

+ += =

+ +2

22

(2.35)

Nell’equazione (2.35) sono presenti delle nuove quantità , chiamate seconde

grandezze fondamentali e definite attraverso le seguenti espressioni:

L, M, N

( ),1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,1 ,2 ,2L , 2M , N= ⋅ = ⋅ + ⋅ =r n r n r n r n⋅ (2.36)

Una modalità alternativa per descrivere queste quantità è fornita dalla derivazione delle

espressioni e , assumendo che r possieda una derivata seconda continua

(ciò assicurerà ). Infatti, in questo modo si possono valutare tali grandezze come:

,1 0⋅ =r n ,2 0⋅ =r n

,12 ,21=r r

2 2 2

,11 ,12 ,222 21 1 2 2

L , M , Nα α α α∂ ∂ ∂

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∂ ∂ ∂ ∂

r r rn r n n r n n r n (2.37)



Nelle precedenti relazioni è stata usata la seguente notazione:

(2

, , 1, 2iji j

i jα α∂

=∂ ∂

rr )= (2.38)

Si noti che nell’equazione (2.35) compare a denominatore la prima forma fondamentale,

mentre l’espressione a numeratore risulta essere la seconda forma fondamentale della

superficie S definita dal vettore posizione ( )1 2,α αr . Inoltre, poiché

sono tutte esprimibili in funzione di

E, F,G, L, M, N

1α ed 2α e poiché tali grandezze sono costanti in un

dato punto della superficie, dall’equazione (2.35) si può anche osservare che la curvatura

normale dipende solo dal rapporto 2d d 1α α . Tale rapporto definisce, a tutti gli effetti, una

direzione. Pertanto, è possibile stabilire che tutte le curve passanti per tale punto e tangenti

alla medesima direzione hanno lo stesso valore per . nk

2.1.2.4 Curvature principali e direzioni principali

Per ricercare quelle direzioni (e cioè quei rapporti 2d d 1α α ) per le quali la curvatura

normale presenta un massimo o un minimo, si può dividere numeratore e denominatore

dell’equazione

nk

(2.35) per 21dα . Definendo 2d d 1λ α α= , l’espressione della curvatura

normale assume l’aspetto:

( )2

2

L 2M NE 2F Gnk λ λλ

λ λ+ +

=+ +

(2.39)

In particolare, essendo una funzione nella sola variabile nk λ , tale curvatura assume un

valore estremo quando si annulla la derivata prima di fatta rispetto a nk λ :

( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2

22

E 2F G M N L 2M N F G0

E 2F Gndkd

λ λ λ λ λ λλλ λ λ

+ + + − + + += =

+ + (2.40)

Risolvendo l’equazione (2.40) si ricava quel valore di λ che, sostituito nell’equazione

(2.39), permette di definire il massimo o il minimo della funzione . Osservando il

numeratore ed il denominatore dell’equazione

nk

(2.39), si può notare che:

( ) ( )( ) (

2

2

E 2F G E F F GL 2M N L M M N

λ λ λ λ λ)λ λ λ λ

+ + = + + ++ + = + + + λ

(2.41)

da cui risulta:



( )( ) ( )( )E F M N F G L Mλ λ λ+ + = + + λ (2.42)

La relazione (2.42) permette di valutare il valore estremo della curvatura normale

mediante una delle seguenti espressioni equivalenti tra loro:

M N L MF G E Fnk λ λ

λ λ+ +

= =+ +

(2.43)

L’equazione (2.42) può porsi nella forma:

( ) ( ) ( )2MG NF LG NE LF ME 0λ λ− + − + − = (2.44)

La (2.44) è un’equazione di secondo grado che ha come soluzione due radici, 1λ e 2λ ,

corrispondenti a due direzioni, ( )2 1 1d dα α e ( )2 1 2

d dα α , di curvatura estrema. Una di

queste soluzioni è quella associata alla curvatura massima, mentre l’altra permette di

definire quella minima. In particolare, tali curvature saranno indicate con e a

seconda che si faccia riferimento, rispettivamente, a

1nk 2nk

1λ e 2λ . Le curvature in parola

vengono definite curvature principali della superficie S , mentre i loro reciproci 11 1nR k −=

e vengono denominati raggi principali di curvatura. 12 nR k −= 2

Tali curvature sono associate a direzioni di curvatura principale ortogonali. Tale aspetto,

se verificato, consente di dare all’equazione (2.44) la facoltà di individuare, mediante la

sua integrazione, le cosiddette linee di curvatura sulla superficie e cioè quelle linee che

formano una famiglia di curve ortogonali su S .

Quanto descritto risulta osservabile prendendo in considerazione due direzioni tangenti

alla superficie data, ad esempio, 2 1d dα α e 2 1δα δα . Si consideri l’angolo θ tra le due

direzioni tangenti alla superficie. La variazione del vettore posizione r lungo tali direzioni

risulta:

,1 1 ,2 2

,1 1 ,2 2

d d dα α

δ δα δα

= +

= +

r r rr r r

(2.45)

Dalla definizione di prodotto scalare, il coseno dell’angolo compreso tra e dr δr può

essere espresso:

1 1 1 2 2 1 2 2cos E F Gd d d ddd ds s ds s ds s ds s

α δα α δα α δα α δαδθδ δ δ δ⋅ ⎛ ⎞= = + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠r rr r δ

(2.46)

dove e ds sδ sono ottenute dalla prima forma fondamentale lungo ciascuna direzione

tangente. Quando 2θ π= , si ottiene la condizione di ortogonalità tra le due direzioni:

(2.47) ( )1 1 1 2 2 1 2 2E F Gd d d dα δα α δα α δα α δα+ + + 0=



Se si divide la relazione (2.47) per 1d 1α δα e si pone 1 2 1d dλ α α= , 2 2 1 si ha: λ δα δα=

( )1 2 1 2E F G 0λ λ λ λ+ + + = (2.48)

Le radici dell’equazione (2.44) sono:

( ) ( ) ( )( )

( )

2

1 2

LG NE LG NE 4 MG NF LF ME,

2 MG NFλ λ

− − ± − − − −=

− (2.49)

Al fine di operare la sostituzione nell’equazione (2.48), si ricava:

1 2 1 2LG NE LF ME,MG NF MG NF

λ λ λ λ− −+ = − =

− − (2.50)

Sostituendo le espressioni ricavate (2.50) nell’equazione (2.48), la condizione di

ortogonalità risulta soddisfatta. Dunque, le direzioni di curvatura principale definiscono

una famiglia di curve ortogonali sulla superficie S .

Si consideri la situazione in cui tali linee di curvatura siano assunte quali linee

parametriche (o curve parametriche) di una superficie. Nel caso in questione, è necessario

che l’equazione (2.44) sia soddisfatta contemporaneamente dalla condizione 1 2 0d dα α =

e dalla condizione 2 1 0d dα α = per cui, affinché ciò sia possibile, si deve avere:

LF ME 0, MG NF 0− = − = (2.51)

Poiché si è supposto che le linee parametriche debbano coincidere con le direzioni di

curvatura principale e poiché si è dimostrato che queste ultime sono ortogonali, il risultato

che ne consegue è l’annullamento di ( FF 0= ). Inoltre, dato che si può dimostrare che

, associando questo risultato a quello precedente, le restanti prime grandezze

fondamentali devono assumere valori diversi da zero. In base a quanto detto e

sfruttando le equazioni

2EG F 0− >

E,G

(2.51), si giunge ad affermare che anche deve essere nulla

( M ). In definitiva, le condizioni, affinché le linee parametriche coincidano con le

direzioni di curvatura principali, sono le seguenti:

M

0=

F M 0= = (2.52)

Ponendo nell’equazione F M 0= = (2.35) e considerando poi a turno 1 0dα = e

2 0dα = , risulta:

1 21 2

1 L 1 N,E Gn nk k

R R= = = = (2.53)

Si definisce sezione normale alla superficie S , la curva piana staccata sulla superficie

stessa da un piano contenente la normale n . Se si considera un punto generico su di una

superficie, si può interpretare ogni linea coordinata, passante per esso come una sezione



normale, caratterizzata da un raggio di curvatura diretto secondo la normale dal centro di

curvatura verso il punto. E’ ovvio che vi sono infiniti raggi di curvatura per un punto di

una superficie, essendo infinite le orientazioni possibili per le linee parametriche.

Da quanto precedentemente esposto, discende che esiste, per una data superficie, un

sistema di coordinate curvilinee ortogonali avente come raggi di curvatura, puntualmente,

il minimo e il massimo. Tale sistema di coordinate prende il nome di sistema principale ed

i raggi di curvatura sono detti principali. Le linee coordinate sono le direzioni di curvatura

principale. Da ora in poi, si considerano solamente sistemi ortogonali del tipo appena

introdotto. Lo sviluppo della teoria dei gusci elastici risulta notevolmente più semplice e

chiara nel caso in cui le linee di curvatura principale della superficie di riferimento siano

usate come linee parametriche.

2.1.2.5 Derivate dei versori lungo le linee parametriche

Occorre definire alcune espressioni relative alle derivate dei versori lungo le linee

parametriche adottate. Si consideri una terna di versori reciprocamente ortogonali e definiti

in un determinato punto sulla superficie P S . Questi versori, indicati con , sono

assunti in modo tale che i primi due risultino orientati secondo le tangenti alle direzioni

principali

1 2, ,t t n

1α ed 2α (linee parametriche), mentre il terzo è normale ad S . Comunque si

muova la terna sopra la superficie (ovvero, in qualunque punto venga definita), il modulo

dei versori costituenti si manterrà unitario e le loro direzioni rimarranno sempre ortogonali

a due a due. Ciò che varia, è l’orientamento della terna e, come conseguenza di questo

fatto, si deve prestare attenzione alle derivate di tali versori.

Un vettore unitario può sempre essere definito come il vettore diviso per il suo modulo,

per cui la terna di versori appena illustrata può essere definita analiticamente nel modo

seguente:

,1 ,1 ,2 ,2 ,1 ,21 2 1 2

1 2,1 ,2

, ,1 2A A A A∧

= = = = = ∧ =r r r r r r

t t n t tr r

(2.54)

Si noti come in tali relazioni sia stata adottata la notazione già introdotta nell’equazione

(2.21) per sistemi ortogonali di linee parametriche.

Siano le derivate del vettore unitario fatte rispetto ai parametri ,1 ,2,n n n 1α ed 2α .

Poiché sono anche vettori perpendicolari ad , esse giacciono nel piano ,1 ,2,n n n



individuato dai versori e, ognuno di essi può essere decomposto nelle sue componenti

secondo le direzioni di e :

1 2,t t

1t 2t

,1 1 2a b= +n t t (2.55)

Nelle (2.55) a e b sono incognite che rappresentano le proiezioni di secondo ,

rispettivamente. Ricordando le equazioni

,1n 1 2,t t

(2.37), (2.54) e che le linee parametriche

considerate sono ortogonali (cioè 1 2M 0= = ⋅t t ), tali incognite possono essere definite

dallo sviluppo del sistema di due equazioni:

( ) ( )

( ) ( )

,1 ,11 ,1 1 1 1 2

1 11

,2 ,12 ,1 2 1 2 2

2 2

LL

M0

a bA A a

Aa b b

A A

⋅⋅ = = = ⋅ + ⋅

=→

⋅⋅ = = = ⋅ + ⋅ =

r nt n t t t t

r nt n t t t t

(2.56)

Così facendo si riesce ad ottenere una prima espressione di sostituendo a e b

nell’equazione

,1n

(2.55). Tale espressione può essere ulteriormente particolarizzata, qualora si

tenga conto dell’equazione (2.53) relativa alla curvatura principale della prima linea

parametrica:

11 2

1 1 1

1 L L LEn

Ak

1R A R= = = → =

A (2.57)

Si perviene al seguente risultato finale:

1,1 1 ,1 1

1 1

L AA R

= → =n t n t (2.58)

Ragionando in modo del tutto analogo per , si ottiene: ,2n

2,2 2 ,2 2

2 2

L AA R

= → =n t n t (2.59)

D’altro canto, si prendano in considerazione i vettori unitari di cui

sono le rispettive derivate fatte rispetto alle linee parametriche indicate con

1 2,t t 1,1 1,2 2,1 2,2, , ,t t t t

1α ed 2α . Per

trovare queste ultime si procede in maniera analoga a quanto visto per le derivate di n . In

quest’ultimo caso, i passaggi risultano leggermente più complessi. Per funzioni con

derivate seconde continue, , dalle equazioni ,12 ,21=r r (2.54) si può scrivere:

( ) ( ) (1 1 2 2 2,1 1 1,2 1 1,2 2 2,1,2 ,12

1oppureA A A A AA

= = +t t t t t t )− (2.60)

Se, ad esempio si vuole trovare la derivata (derivata di fatta rispetto a 1,1t 1t 1α ) è



necessario osservare che essa è anche un vettore perpendicolare a e, quindi, giacente nel

piano definito dai vettori unitari . Ciò fa sì che tale vettore possa essere decomposto

nelle sue componenti secondo e indicato come:

1t

2,n t

2,n t

1,1 2c d= +t n t (2.61)

dove e sono le proiezioni incognite di secondo , rispettivamente. Per

determinare tali incognite si consideri il sistema di due equazioni costituito dai prodotti

scalari e . Per la reciproca ortogonalità dei vettori unitari , si ha:

c d 1,1t 2,n t

1,1⋅n t 2 1,1⋅t t 1 2, ,t t n

( ) ( )( ) ( )

1,1 2

2 1,1 2 2 2

c dc d

⋅ = ⋅ + ⋅ =⋅ = ⋅ + ⋅ =

n t n n n tt t t n t t

cd

(2.62)

L’ortogonalità dei versori permette di scrivere ( )1 0⋅ =t n e, di conseguenza,

. Sfruttando i risultati dell’equazione ( )1 1 ,1 1,1,10⋅ = ⋅ + ⋅ =t n t n n t (2.58), si ha anche:

11,1 1 ,1

1

Ac

R= ⋅ = − ⋅ = −n t t n (2.63)

Essendo e, di conseguenza, ( )2 1 0⋅ =t t ( )2 1 2 1,1 1 2,1,10⋅ = ⋅ + ⋅ =t t t t t t , ricordando i

risultati dell’equazione (2.60) e che è ortogonale a , si ottiene: 1,2t 1t

( )12 1,1 1 2,1 1 1,2 1 1,2 2 2,1 1,2

2 2

1d A A AA A

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ + − = −tt t t t t t t A (2.64)

Per le (2.63) e (2.64) l’espressione definitiva di 1,1t (2.61) ammette la rappresentazione:

11,1 2

1 2 2

1A AR A α

1∂= − −

∂t n t (2.65)

Procedendo in maniera analoga si possono dimostrare le rimanenti derivate:

2 1 21,2 2 2,1 1 2,2 1

1 1 2 2 2 1 1

1 1 1, , 2A A AA A R A

Aα α α∂ ∂

= = = − −∂ ∂

t t t t t n∂

∂t (2.66)

Si noti come le espressioni delle derivate dei versori siano espresse in funzione

dei vettori unitari medesimi per cui è possibile raggruppare le equazioni

1 2, ,t t n

(2.58), (2.59),

(2.65) e (2.66) all’interno di un’unica notazione matriciale:



1,2 1

2 1

2,1

11,1

1,21,21

22,12

2,2 2,1 2

,1 1 2

,2 1

1

2

2

0

0 0

0 0

0

0 0

0 0

A AA R

AA

AA

A AA R

AR

AR

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢=⎢ ⎥ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

tt

tt

tt

nnn

(2.67)

2.1.2.6 Teorema fondamentale della teoria delle superfici

Fino ad ora non si è stabilita alcuna relazione matematica tra i parametri di Lamè 1 2,A A

ed i raggi di curvatura principali 1, 2R R . Ebbene, esistono tre equazioni differenziali, note

come condizioni di Gauss-Codazzi, che legano tra loro le quantità 1 2 1 2, , ,A A R R di una

data superficie. In quanto parte del teorema fondamentale della teoria delle superfici, tali

equazioni vengono usate per accertare che una scelta arbitraria dei quattro parametri in

argomento permetta di definire una superficie reale nello spazio tridimensionale. In

particolare, dette relazioni si possono ricavare sfruttando l’uguaglianza delle derivate miste

del secondo ordine relative alla terna di versori descritta in precedenza. Perché ciò sia

valido, si assume la continuità delle derivate seconde dei vettori unitari.

In base alla supposta continuità delle derivate ed all’uso delle espressioni di

precedentemente definite, si ha:

,1 ,2,n n

1 2,12 ,21 1 2

1 2,2 ,1

0A AR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠n n t t = (2.68)

Le derivate indicate nell’ultima espressione (2.68) e le espressioni delle derivate di

fatte rispetto alle linee parametriche

1 2,t t

1α ed 2α , conducono a:

1,2 1 2,1 21 2

2 1 1 2,2 ,1

0A A A AR R R R

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜− + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

t t⎞⎟⎟⎠

(2.69)



L’equazione vettoriale (2.69) risulta soddisfatta solo se le espressioni contenute entro le

parentesi si annullano. Pertanto, devono essere verificate le seguenti espressioni:

1,2 1 2,1 2

2 1 1 2,2 ,1

,A A A AR R R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.70)

Le relazioni (2.70) sono note con il nome di condizioni di Codazzi. Partendo da una

delle due eguaglianze e 1,12 1,21=t t 2,12 2,21=t t , se si procede in maniera analoga, si ricava

una terza relazione differenziale:

2,1 1,2 1 2

1 2,1 ,2 1 2

A A A AA A R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R (2.71)

La (2.71) è conosciuta con il nome di condizione di Gauss.

Il ruolo delle condizioni di Gauss-Codazzi può essere espresso attraverso il teorema

fondamentale della teoria delle superfici: “Se ( E e ) sono funzioni

delle coordinate curvilinee

E,G, L, N 0> G 0>

1α e 2α , sono sufficientemente differenziabili e soddisfano le

condizioni di Gauss-Codazzi, allora esiste una superficie reale che ha come prima e

seconda forma fondamentale le seguenti espressioni:

( ) ( )( ) ( )

2 21

21 2

I = E G

II = L N

d d

d d

α α2

2α α

+

+ (2.72)

Tale superficie risulta univocamente determinata ad eccezione della sua posizione”.

In base al teorema fondamentale, le condizioni di Gauss-Codazzi possono essere

assegnate come condizioni di compatibilità della teoria delle superfici. Si vuol far notare

che il teorema fondamentale è ristretto a quelle superfici le cui linee di curvatura principale

sono anche le sue linee parametriche ( F M 0= = ). Considerando forme più generali per le

condizioni di Gauss-Codazzi rispetto a quelle derivate in precedenza, è possibile estendere

l’analisi al caso con linee parametriche generiche.

2.1.2.7 Curvatura Gaussiana

Osservando la condizione di Gauss, si può notare che al secondo membro

dell’equazione (2.71) compare il termine 1 21 R RΓ = raffigurante il prodotto tra le

curvature principali della superficie. Tale rapporto prende il nome di curvatura gaussiana

ed è una grandezza che svolge un ruolo fondamentale nella caratterizzazione dei gusci. In



particolare, sebbene la curvatura gaussiana sia facilmente calcolabile una volta noti 1 2,R R ,

la sua valutazione è raramente necessaria. Al fine della sola classificazione è spesso

sufficiente conoscere solamente il segno algebrico della curvatura in parola.

Con riferimento alle sezioni normali corrispondenti alle direzioni principali, e cioè alle

curve ottenibili dall’intersezione con la superficie di riferimento mediante i due piani

contenenti la normale n e, rispettivamente, i versori tangenti alle direzioni principali ,

se entrambi i centri di curvatura di queste sezioni si trovano dalla medesima parte rispetto

alla superficie, la curvatura gaussiana è positiva. Essa risulta negativa qualora tali centri

siano collocati su lati opposti rispetto alla superficie stessa. Inoltre, se uno dei due raggi di

curvatura è uguale ad infinito la curvatura gaussiana è evidentemente nulla, mentre se lo

sono entrambi il guscio degenera in una piastra (la piastra è un caso degenere di guscio con

curvatura gaussiana nulla). Si vuol far rilevare che la curvatura gaussiana è tecnicamente

una funzione puntuale di tipo scalare e che un guscio generico può presentare diverse

regioni aventi valori positivi, negativi o nulli per la suddetta funzione. Ciononostante, nella

pratica si incontrano quasi sempre gusci in cui la curvatura gaussiana possiede un segno

predominante tra quelli definiti se non, addirittura, unico.

1 2,t t

2C

2C 2C

2R 2R

2R 2α 2α

2α

1C 1R = ∞

1R 1R 1C

1α 1α

1α Curvatura positiva Curvatura nulla Curvatura negativa

Figura 2.5 – Rappresentazione grafica della curvatura gaussiana.

Per un guscio generico, quanto è stato descritto a parole può essere rappresentato

graficamente attraverso gli schemi di figura 2.5.

E’ bene notare nella classificazione dei gusci mediante la curvatura gaussiana, che se

essa è positiva o negativa, il guscio risulta essere a doppia curvatura, mentre, se tale

grandezza è nulla, la superficie presenterà un’unica curvatura oppure nessuna curvatura.



2.1.2.8 Classificazioni delle superfici

Vi sono differenti possibili classificazioni delle superfici che sono comunemente usate

nella pratica ingegneristica. In precedenza si è vista la classificazione basata sulla

curvatura gaussiana. Di seguito, si presentano altre categorie di superfici definite attraverso

la loro forma e il loro sviluppo geometrico.

2.1.2.8.1 Classificazione basata sulla forma

(a) Superfici di rivoluzione

Le superfici di rivoluzione sono generate dalla rotazione di una curva piana, chiamata

meridiano, attorno ad un asse che non necessariamente interseca il meridiano. Il cilindro

circolare, il cono, l’ellissoide di rivoluzione, il parabolide di rivoluzione, l’iperboloide a

una falda, la superficie sferica e i toroidi sono esempi di superfici di rivoluzione. Si può

osservare che il cilindro circolare e il cono hanno come meridiano un retta e quindi sono

superfici che presentano curvatura gaussiana nulla. L’ellissoide di rivoluzione, il

paraboloide di rivoluzione e la superficie sferica sono gusci caratterizzati da un curvatura

gaussiana positiva, poiché i centri dei raggi di curvatura principale giacciono dallo stesso

lato rispetto alla superficie. L’iperboloide di rivoluzione, invece, ha curvatura gaussiana

negativa, dato che i centri dei raggi di curvatura giacciono su lati opposti rispetto alla

superficie. La piastra circolare è un guscio di rivoluzione avente curvatura gaussiana nulla.

Ben diverso è il caso dei toroidi la cui curvatura gaussiana cambia da positiva a negativa a

seconda del punto considerato.

(b) Superfici di traslazione

Una superficie di traslazione viene definita facendo traslare una curva piana

parallelamente al piano contenente la curva stessa, lungo un’altra curva piana. I due piani

contenenti le curve sono tra loro ortogonali. Il paraboloide ellittico è un esempio di

superficie di traslazione. Esso viene ottenuto traslando una parabola su un’altra parabola.

Tale superficie possiede una curvatura gaussiana positiva. Un’altra famiglia di superfici

appartenente a questa classe è quella dei cilindri a direttrice generica. Essi sono ottenuti

traslando lungo un retta la curva direttrice parallelamente al piano della curva stessa.

Anche la superficie rettangolare può essere ottenuta traslando una retta lungo un’altra retta.



(c) Superfici rigate

Le superficie rigate vengono ottenute traslando una retta lungo due curve di estremità.

Le rette generatrici non sono necessariamente ortogonali ai piani contenenti le curve di

estremità. Il tronco di cono può essere considerato come una superficie rigata dal momento

che può essere generata traslando una retta lungo le due circonferenze di estremità. Esso è

ovviamente anche un guscio di rivoluzione. L’iperboloide a una falda è un altro esempio di

superficie rigata: può essere generato facendo traslare attorno alle due circonferenze di

estremità una retta. La superficie che si ottiene traslando una retta lungo un curva ad una

estremità e lungo una retta all’altra estremità prende il nome di conoide. Le ultime due

superfici hanno entrambe curvatura gaussiana negativa. Appartengono alla classe delle

superfici rigate anche le superfici rettangolari e i settori circolari.

2.1.2.8.2 Classificazione basata sulla curvatura

(a) Superfici a singola curvatura

Questi gusci possiedono tutti curvatura gaussiana nulla. Alcuni sono superfici di

rivoluzione (cilindro circolare, cono), altri sono superfici di traslazione o superfici rigate

(cilindri circolari e non).

(b) Superfici a doppia curvatura con curvatura gaussiana positiva

Fanno parte di questa categoria alcune superfici di rivoluzione (sfera, ellissoide di

rivoluzione, paraboloide di rivoluzione), alcune superfici di traslazione e superfici rigate

(paraboloide ellittico).

(c) Superfici a doppia curvatura con curvatura gaussiana negativa

Appartengono a questa categoria alcuni gusci di rivoluzione (iperboloide a una falda),

alcuni gusci di traslazione e superfici rigate (conoide).

(d) Superfici degeneri

Le superfici rettangolari e i settori circolari sono gusci degeneri. Esse hanno una

curvatura gaussiana nulla. Inoltre, sono caratterizzati dall’avere entrambi i raggi di

curvatura infiniti, e quindi curvature principali nulle.



2.1.2.8.3 Classificazione basata sulla sviluppabilità

(a) Superfici sviluppabili

Le superfici sviluppabili sono superfici che possono essere sviluppate in un piano senza

operare tagli e deformazioni. Tutti i gusci a singola curvatura sono sviluppabili.

(b) Superfici non sviluppabili

Le superfici non sviluppabili sono superfici che devono essere tagliate o deformate al

fine di svilupparle in un piano. I gusci a doppia curvatura sono di solito non sviluppabili.

Questa classificazione racchiude in sé un determinato significato meccanico. Dal punto

di vista fisico, i gusci non sviluppabili necessitano di una maggiore energia per essere

deformati di quella richiesta per deformare un guscio sviluppabile, e quindi occorre una

maggiore energia per farli collassare in un piano. In generale, tali strutture presentano

maggiore resistenza e stabilità dei corrispondenti gusci sviluppabili a parità di dimensioni

d’ingombro. In altre parole, le strutture a guscio non sviluppabili possiedono alcuni

vantaggi dovuti alla loro efficacia geometrica.

2.1.2.9 Definizione di una superficie di rivoluzione

Nelle applicazioni ingegneristiche si ha a che fare comunemente con gusci le cui

superfici di riferimento risultano superfici di rivoluzione. Questa è la tipologia strutturale

che si incontra maggiormente nell’ambito di problemi di interesse tecnico.

Una superficie di rivoluzione è ottenuta dalla rotazione di una curva piana (detta

generatrice) attorno ad un asse appartenente al piano stesso (denominato asse di

rivoluzione) di modo da formare una superficie chiusa o aperta (guscio chiuso o pannello).

La curva generatrice viene chiamata curva meridiana o, semplicemente, meridiano della

superficie ed ogni punto di essa identificherà il cosiddetto cerchio di latitudine o parallelo,

una volta che la suddetta curva sia stata ruotata attorno all’asse. Un esempio molto

familiare di superficie di rivoluzione è rappresentato dal globo terrestre.

Ipotizzando che la posizione dei paralleli venga definita attraverso la coordinata 3x del

sistema ortogonale assunto (figura 2.6), l’equazione della curva meridiana può essere

fornita dalla scrittura , dove ( )0 0 3R R x= 0R è il raggio del parallelo relativo alla quota 3x .



In base a tale definizione, osservando la figura 2.6 si può notare che il vettore posizione per

un dato punto della superficie di rivoluzione è esprimibile mediante la seguente

relazione:

P

( ) ( ) ( )3 0 3 1 0 3 2 3, cos sin 3x R x R x xϑ ϑ ϑ= +r e +e e (2.73)

3x

Curva Generatrice (Meridiano)

( )0 3R x P

Cerchio di Latitudine (Parallelo)

3e r

2e O 2x

1e ϑ

1x

Figura 2.6 – Geometria di una superficie di rivoluzione.

Attraverso l’equazione (2.73) si definisce una superficie di rivoluzione associando ad

1α la coordinata lineare 3x e ad 2α quella curvilinea ϑ (coordinate cilindriche).

Adottando questa notazione, si determinano le quantità necessarie per esprimere la prima e

la seconda forma fondamentale di tali superfici. Le derivate di ( )3,x θr fatte rispetto ai

parametri suddetti risultano essere:

,1 0 1 0 2 3

,2 0 1 0 2

cos sinsin cos

R RR R

ϑ ϑ

ϑ ϑ

′ ′= +

= − +

r e er e

+ ee

(2.74)

dove l’apice sta ad indicare la derivazione fatta rispetto alla coordinata 3x . In base alle

(2.74) è possibile scrivere la prima forma fondamentale delle superfici di rivoluzione.

Sostituendo le relazioni (2.74) nelle equazioni (2.18), si ha:



( )2 2,1 ,1 0 ,1 ,2 ,2 ,2 0E 1 , F 0, GR R′= ⋅ = + = ⋅ = = ⋅ =r r r r r r (2.75)

Dalle (2.75) si può osservare che i meridiani ed i paralleli definiscono una famiglia

ortogonale di linee parametriche. La prima forma fondamentale assume l’aspetto:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 23 0 3I E G 1ds d d dx d R dx R d 2

0ϑ ϑ′= ⋅ = = + = + +r r (2.76)

Inoltre, in base all’equazione (2.21) si ha:

( )21 0 2E 1 , G 0A R A′= = + = = R (2.77)

La normale (2.26) alla superficie di rivoluzione, tenendo conto delle equazioni (2.74),

risulta essere:

(,1 ,2 01 2 0cos sin

H HR Rϑ ϑ

∧ )3′= = − + −r r

n e e e (2.78)

dove:

( )2

0 0H 1R R ′= + (2.79)

Si osservi che l’equazione (2.78) indica un verso per la normale n orientato dal lato

concavo della superficie verso il suo lato convesso così come si era assunto in precedenza.

Una volta definito il versore n , è possibile scrivere la seconda forma fondamentale delle

superfici di rivoluzione. In base alle equazioni (2.37) e (2.78), e alle derivate fatte rispetto

3x e ϑ delle equazioni (2.74), si ottiene:

2

0 0 0,11 ,12 ,22L , M 0, N

H HR R R′′

= − ⋅ = = − ⋅ = = − ⋅ =r n r n r n (2.80)

da cui ne consegue che:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 20 0 03 3II L N

H HR R Rdx d dx d 2ϑ ϑ

′′= + = + (2.81)

Poiché le grandezze F ed risultano entrambe nulle, i meridiani ed i paralleli

definiscono le linee di curvatura principale della superficie di rivoluzione. Quindi, è

possibile dedurre i raggi di curvatura principale dalle equazioni

M

(2.53):

( )( )

( )

3 220

11 0

22 0

2

11 EL

1 G 1N

n

n

RR

k R

R Rk

′+= = =

′′

0R′= = = +

(2.82)

Considerando le espressioni (2.82), si può osservare che 1R rappresenta il raggio di

curvatura della curva di meridiano e il segno meno indica solo che esso ha direzione



opposta a quella del versore normale n .

3x

αn

( )0 3R x PA

α

2R Tangente in P

ϕ

r2C 1t

Curva Generatrice (Meridiano)

1R 3e

2x 2e O

1C

Figura 2.7 – Interpretazione geometrica del raggio . 2R

Per l’interpretazione geometrica di 2R si può osservare che:

( )

0

2 0 0

2 2 22 2 0 0

tan

tan

1

R

AC AP R R

C P AP AC R R R2

α

α

′=

′= =

′= + = + =

(2.83)

2R è la distanza lungo la normale alla curva meridiana disegnata a partire dal punto fino

ad arrivare all’asse di rivoluzione della superficie.

P

Per controllare che le quantità caratteristiche 1 2 1, , , 2A A R R di una superficie di

rivoluzione definiscano una superficie reale, è necessario eseguire il test fornito dal

teorema fondamentale della teoria delle superfici basato sulle condizioni di Gauss-Codazzi.

Una superficie di rivoluzione può essere anche descritta associando ad 1 2,α α le

coordinate curvilinee ,ϕ ϑ (coordinate sferiche), dove ϕ è l’angolo tra l’asse di

rivoluzione della superficie e la normale ad essa in un dato punto. Impiegando come

variabili indipendenti ϕ e ϑ , la prima forma fondamentale risulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 0I E Gds d d d d R d R d 2ϕ ϑ ϕ= ⋅ = = + = +r r ϑ (2.84)



3x

n( )0 3R x

PA

0dR A′ Tangente in PP′ϕ

2R

2C 1t

Curva Generatrice (Meridiano) 1R

3e dϕ

2x 2e O

1C

Figura 2.8 – Interpretazione geometrica della condizione di Gauss per superfici di rivoluzione.

dove il primo addendo della relazione rappresenta il quadrato della lunghezza infinitesima

dell’arco lungo la curva meridiana, mentre il secondo definisce il quadrato della lunghezza

infinitesima dell’arco lungo un parallelo. Le equazioni (2.21) consentono di scrivere:

1 1 2E , GA R A= = = = 0R (2.85)

Sostituendo le (2.85) nelle condizioni di Gauss-Codazzi espresse in funzione

dell’attuale sistema di coordinate, le condizioni di Codazzi risultano identicamente

soddisfatte, mentre la condizione di Gauss si riduce alla seguente relazione:

01 cosdR R

dϕ

ϕ= (2.86)

Considerando lo schema in figura 2.8 si può notare che:

2 2

0 2

0

0 1

sin

cos cos

C P R

AP R R

A P AP dR

dR PP R d

ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

= =

′ ′ − =

′= =

(2.87)

L’ultima delle relazioni (2.87) ribadisce il risultato dell’equazione (2.86), ossia è

verificato che la condizione di Gauss è certamente soddisfatta per la formulazione



alternativa in termini delle coordinate ,ϕ ϑ . L’angolo di meridiano ϕ e l’angolo di

parallelo ϑ prendono il nome di colatitudine e longitudine, rispettivamente.

Per descrivere una superficie di rivoluzione è anche possibile associare ad 1 2,α α le

coordinate curvilinee , sϑϕ , dove sϑ è l’ascissa curvilinea lungo il parallelo della superficie

in esame. La prima forma fondamentale risulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21I E Gds d d d ds R d dsϑϕ ϕ= ⋅ = = + = +r r 2 2

ϑ (2.88)

Il primo addendo della relazione più a destra della (2.88) rappresenta il quadrato della

lunghezza infinitesima dell’arco lungo la curva meridiana, mentre il secondo definisce il

quadrato della lunghezza infinitesima dell’arco lungo il parallelo. Per le (2.21) si ha:

1 1 2E , GA R A 1= = = = (2.89)

Dagli esempi riportati appare che i parametri di Lamè possono essere quantità costanti,

oppure funzioni più o meno complicate. La scelta del più appropriato sistema di

riferimento sulla superficie dipende dal tipo di problema, ovvero dalla geometria della

struttura in esame. Nei gusci a torre, essenzialmente strutture verticali, la coordinata 3x è

fisicamente la più indicata. Per gusci chiusi (cupole), abbastanza ribassati, la coordinata 3x

non si discosta molto dallo zero, nemmeno per paralleli relativamente distanti dall’apice. In

tali casi anche l’angolo ϕ presenta la medesima proprietà e quindi l’ascissa curvilinea

sembra essere la scelta più sensata. Nel caso in cui la curva meridiana presenti una

inflessione, la scelta della coordinata ϕ potrebbe causare problemi, quali la non

biunivocità nella corrispondenza tra i punti sulla superficie e i valori di ϕ .

La scelta più frequente, comunque, ricade sull’angolo ϕ , poiché le equazioni dei gusci

sferici (inizialmente i più studiati) si semplificano notevolmente.

In questa trattazione, verrà considerato come sistema di riferimento più appropriato per

lo studio dei gusci a doppia curvatura quello definito mediante il sistema di coordinate

sferiche 1 2,α ϕ α ϑ= = , mentre per lo studio dei gusci a singola curvatura e dei gusci

degeneri si adotterà il sistema di coordinate curvilinee 1 1 2,s 2sα α= = , dove rappresenta

la lunghezza infinitesima dell’arco di curva lungo la prima direzione coordinata, mentre

definisce la lunghezza infinitesima dell’arco di curva lungo la seconda direzione

coordinata. La prima forma fondamentale per quest’ultimo sistema risulta:

1s

2s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1I E Gds d d ds ds ds ds= ⋅ = = + = +r r 2

2 (2.90)

da cui si evince:



1 2E 1, G 1A A= = = = (2.91)

Operando la scelta opportuna è possibile scrivere in forma semplice le equazioni

governanti le tipologie di guscio considerate, e passare da una tipologia all’altra attraverso

l’imposizione di semplici condizioni geometriche.

2.1.2.10 Definizione di una superficie cilindrica di traslazione

Un cilindro o una volta a profilo variabile è una superficie di traslazione a singola

curvatura, generata dalla traslazione lungo una generica curva, detta direttrice, di una linea

retta parallelamente a se stessa. Da questa definizione, segue che per ogni punto della

superficie cilindrica passa una linea retta, chiamata generatrice. Tutti i piani normali alle

generatrici definiscono identiche curve di intersezione, che prendono il nome di profili. Il

tipo di cilindro viene caratterizzato attraverso la forma del profilo: cilindro ellittico,

circolare, cicloidale, parabolico, a catenaria. Tra questi solo il cilindro circolare è una

superficie di rivoluzione, mentre tutti gli altri sono superfici di traslazione.

Si consideri un cilindro di forma generica. Osservando la figura 2.9 si può notare che il

vettore posizione per un dato punto della superficie di traslazione è esprimibile

mediante la seguente relazione:

P

( ) ( ) ( )1 1 1 2, u vx xϕ ϕ= + +r e e 3ϕ e (2.92)

dove ( )u ϕ , ( )v ϕ sono le proiezioni lungo gli assi coordinati 2 3,x x , rispettivamente, in funzione dell’angolo ϕ , che la normale al profilo del cilindro forma con l’asse 3x .

Usando le coordinate 1 2, 1xα ϕ α= = per descrivere la posizione di un generico punto

sulla superficie cilindrica, la prima forma fondamentale assume l’aspetto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 1 1I E Gds d d d dx R d dxϕ ϕ= ⋅ = = + = +r r

22 (2.93)

dove il primo addendo della relazione rappresenta il quadrato della lunghezza infinitesima

dell’arco di curva lungo il profilo, mentre il secondo definisce il quadrato della lunghezza

infinitesima dell’arco di curva lungo una generatrice. Per le (2.21) si ha:

1 1 2E , GA R A= = = =1 (2.94)

Si può osservare che 1R rappresenta il raggio di curvatura principale del profilo del

cilindro, mentre il raggio di curvatura principale 2R della generatrice risulta infinito

( ). Per il cilindro circolare il raggio di curvatura principale risulta essere costante 2R = ∞



( 1R cost= ).

3x

P

r Generatrice

3e

O 2x

2e 1e

Profilo o Direttrice ϕ

1x 1R

1C

Figura 2.9 – Geometria di una superficie cilindrica.

Finora sono stati esposti tutti quei concetti e risultati della geometria differenziale che

saranno necessari per la modellazione analitica delle strutture a guscio. In particolare, nel

derivare la teoria dei gusci si farà un uso molto marcato del concetto di prima forma

fondamentale di una superficie e delle associate prime grandezze fondamentali oltre ai vari

aspetti legati all’ortogonalità delle linee di curvatura principale, alle condizioni di Gauss-

Codazzi ed alle proprietà delle superfici di rivoluzione e di traslazione.


Capitolo Terzo

Meccanica dei Gusci Moderatamente Spessi in Materiale Anisotropo

considerando l’Effetto della Curvatura

INTRODUZIONE

Gli elementi strutturali a guscio occupano una posizione importante nell’ingegneria

civile, meccanica, architettonica, aeronautica e navale. Esempi di strutture a guscio

nell’ingegneria civile e architettonica sono le coperture di grande luce, contenitori di

liquidi e serbatoi, gusci di contenimento per le centrali nucleari, torri di raffreddamento,

volte. Nell’ingegneria meccanica, le strutture a forma di guscio sono sfruttate in vari

impianti, nei componenti per turbine, nei recipienti in pressione, negli pneumatici delle

automobili. Aerei, missili, razzi, navi e sottomarini sono esempi che mostrano l’impiego

delle strutture in parola nell’ingegneria aeronautica e navale. Altre applicazioni si trovano

nell’ingegneria biomeccanica. Strutture a guscio sono presenti in diverse forme biologiche,

come per esempio l’occhio, il cranio, e anche nel mondo vegetale e animale.

L’ampio utilizzo dei gusci nell’ingegneria è dovuto a diversi vantaggi. Le strutture in

narrativa mostrano una straordinaria efficienza nel sopportare i carichi esterni, un alto


grado di resistenza, un’ottima rigidezza e un elevato rapporto peso-resistenza.

Quest’ultimo rapporto è un criterio comunemente usato per valutare l’efficienza di un

componente strutturale. Più elevato è il rapporto peso-resistenza, migliore risulta essere la

struttura. Secondo il suddetto criterio i gusci sono superiori alle altre tipologie strutturali a

parità di luce e di ingombro. I gusci risultano anche estremamente gradevoli dal punto di

vista estetico.

Un guscio è un corpo delimitato da due superfici curve che possono essere più o meno

vicine tra di loro. In particolare, la distanza tra le due superfici risulta piccola se

confrontata con le altre dimensioni della struttura. Qualora tali superfici degenerino in due

piani, il guscio prende il nome di piastra.

Il luogo dei punti equidistanti dalle due superfici curve viene chiamata superficie media

o superficie di riferimento (figura 3.1) La lunghezza del segmento perpendicolare alle

superfici curve individua lo spessore . Un guscio risulta interamente definito una volta

che siano state specificate la forma della superficie media e lo spessore in ogni suo punto.

h

Superficie di riferimento o superficie media

Spessore h

Figura 3.1 – Superficie di riferimento e spessore di un guscio.

E’ possibile caratterizzare le strutture a guscio in funzione dello spessore. Un guscio

viene definito sottile quando il rapporto tra lo spessore e il raggio di curvatura minimo o il

rapporto tra lo spessore e la dimensione minima della superficie media di riferimento può

essere trascurato rispetto all’unità. Dal punto di vista ingegneristico, un guscio sottile

soddisfa la condizione:



min min

1max , 20h h

R L⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

dove minR rappresenta il raggio di curvatura minimo ed la dimensione minima

definita sulla superficie media. I gusci moderatamente spessi, invece, vengono definiti

attraverso la relazione:

minL

min min

1max , 10h h

R L⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

I gusci per i quali non è verificata nessuna delle precedenti condizioni vengono

denominati gusci spessi. In questo caso, tutte le dimensioni strutturali sono comparabili tra

loro. Nella maggior parte delle applicazioni ingegneristiche, lo spessore di un guscio risulta

compreso all’interno del seguente intervallo:

min min

1 1max ,1000 10h h

R L⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ ≤

Un’altra caratteristica che contraddistingue gli elementi strutturali a guscio è la

curvatura che consente di operare una classificazione. Basandosi su di essa gli elementi

strutturali a guscio si distinguono in gusci cilindrici (circolari e non), conici, sferici,

ellissoidali, parabolici, cicloidali, toroidali ed iperbolici. Le strutture a curvatura nulla

come le piastre possono essere considerate come caso limite delle precedenti.

Un aspetto che assume un grande rilievo dal punto di vista tecnologico è il modello

reologico del materiale costituente. Le strutture a guscio possono essere costituite da un

unico materiale, oppure da più materiali accoppiati per realizzare le cosiddette strutture

laminate o composite. La presente trattazione analizzerà i gusci laminati moderatamente

spessi, costituiti da più strati di materiale isotropo, ortotropo e “functionally graded”.

Come ben noto, la teoria dell’elasticità tridimensionale è la base di molte teorie

ingegneristiche che, a loro volta, sono applicate alla progettazione strutturale e meccanica.

Un problema elastico risulta composto dell’equilibrio, dalla congruenza e dal legame

costitutivo. Il simultaneo soddisfacimento di ciascun aspetto del problema è spesso un

obbiettivo irraggiungibile dal punto di vista matematico. Pertanto, occorre operare

semplificazioni e approssimazioni per giungere a soluzioni semplici. Per derivare una

teoria semplificata o ingegneristica si può assumere un certo numero di postulati

fondamentali, inerenti il rapporto fra le dimensioni caratteristiche, l’ampiezza relativa degli

spostamenti che si manifestano sotto l’azione dei carichi, l’entità delle rotazioni della

normale alla superficie di riferimento e le azioni trasversali.



Un guscio è un corpo tridimensionale che può essere studiato attraverso i metodi della

teoria dell’elasticità. Le teorie ingegneristiche riconducono lo studio dell’equilibrio di un

guscio all’analisi della sua superficie di riferimento. In tal modo, il problema

tridimensionale si riduce ad un problema bidimensionale.

Nel corso degli anni sono state introdotte diverse teorie. Esse sono state sviluppate

originariamente per gusci sottili, sulla base delle ipotesi cinematiche di Kirchhoff-Love.

L’ipotesi fondamentale, nota comunemente con il nome di prima approssimazione di Love

(1881) o teoria classica, è che la normale rettilinea alla superficie di riferimento

indeformata si mantenga rettilinea e normale ad essa anche dopo la deformazione. In tal

modo si trascura la deformabilità trasversale dovuta agli sforzi di taglio. Per gusci

moderatamente spessi risulta necessario adoperare la cosiddetta teoria del primo ordine (o

di Reissner-Mindlin), o First-order Shear Deformation Theory (FSDT) che considera

anche la deformabilità tagliante. Facendo un’analogia con l’analisi teorica di strutture

monodimensionali, si può osservare che la teoria di Kirchhoff-Love dei gusci non è altro

che l’equivalente della teoria di Eulero-Bernoulli relativa alle travi. Allo stesso modo, la

teoria del primo ordine dei gusci può essere comparata alla teoria di Timoshenko della

trave. Si può inoltre osservare come la teoria di Kirchhoff-Love possa essere ricavata a

partire da quella di Reissner-Mindlin, imponendo l’annullamento degli scorrimenti

trasversali. In seguito, si farà riferimento alla teoria del primo ordine, in cui si è

considerato l’effetto della curvatura. Tale effetto permette di ottenere una teoria più

completa rispetto a quella classica.

3.1 TEORIA DEI GUSCI MODERATAMENTE SPESSI

3.1.1 IPOTESI FONDAMENTALI

Le equazioni fondamentali che permettono di descrivere il comportamento dei gusci

elastici moderatamente spessi sono state derivate originariamente da Reissner (1969) sulla

base di alcune ipotesi fondamentali meno restrittive rispetto a quelle di Kirchhoff-Love per

l’analisi di gusci sottili. Le ipotesi in parola e le equazioni che ne derivano definiscono la

teoria del primo ordine, nota nella letteratura anglosassone come First-order Shear

Deformation Theory (FSDT) oppure teoria di Reissner-Mindlin. In questa tesi è stata

sviluppata una teoria più ampia della teoria di Reissner-Mindlin propriamente detta,



poiché, come si vedrà in seguito, non viene trascurato l’effetto fornito dalla curvatura nelle

equazioni di congruenza. Questo effetto si ripercuote nella scrittura delle equazioni

indefinite di equilibrio in termini di spostamento, con l’aggiunta di molti termini rispetto

alla teoria classica di Reissner-Mindlin.

ζ


O′

1α

2α

( )1 2,h α α

Figura 3.2 – Geometria di un guscio generico e sistema di riferimento locale.

Il comportamento di un guscio moderatamente spesso può essere studiato

considerandone la relativa superficie media, che viene assunta come superficie di

riferimento. Per descrivere tale superficie occorre definire un sistema di riferimento locale.

In base alla geometria differenziale, il sistema di coordinate curvilinee sulla superficie

media può essere scelto coincidente con le linee ortogonali di curvatura principale della

superficie stessa, come mostrato in figura 3.2. Viene assunto come sistema di riferimento

locale il riferimento ortogonale 1 2Oα α ζ′ di origine O′ , in cui 1, 2α α individuano le linee

parametriche della superficie media e ζ rappresenta l’asse ortogonale a quest’ultima. Si

vuol far rilevare che i versori associati al suddetto sistema sono rispettivamente . I

primi due versori sono tangenti alle linee coordinate

1 2, ,t t n

1 2,α α , rispettivamente, mentre il terzo

è normale alla superficie in parola. La scelta di questo sistema di riferimento consente una

comoda definizione delle equazioni fondamentali.

Nel sistema locale è possibile descrivere il campo di spostamento di un qualsiasi punto

del solido attraverso la terna di componenti . Le componenti di spostamento 1 2, ,U U W



1 2, ,U U W secondo le linee coordinate 1 2, ,α α ζ , rispettivamente, dipendono dal tempo

oltre che dalla posizione del punto e sono definite nel modo seguente:

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,U U t U U t W W tα α ζ α α ζ α α ζ= = = (3.1)

Dopo la deformazione la superficie media prede il nome di superficie elastica.

La teoria del primo ordine (FSDT) dei gusci moderatamente spessi si basa sulle ipotesi

fondamentali di seguito elencate.

1) I segmenti rettilinei e normali alla superficie di riferimento del guscio nella sua

configurazione indeformata, si conservano rettilinei, ma non necessariamente normali

alla superficie elastica dopo la deformazione (rilassamento dell’ipotesi di Kirchhoff-

Love per gusci sottili). In questo modo, non si trascurano le deformazioni taglianti.

2) Tutti gli spostamenti sono piccoli, e in particolare lo spostamento W dei punti del

guscio, secondo la direzione normale alla superficie di riferimento, è indipendente da

ζ e piccolo rispetto allo spessore h del solido (ipotesi di piccoli spostamenti).

L’ipotesi sullo spostamento W può essere espressa simbolicamente:

( ) ( )1 2 1 2, , , , ,W W t W t hα α ζ α α= = (3.2)

Come conseguenza, le deformazioni secondo la normale alla superficie elastica sono

trascurabili. Ne consegue che la dilatazione lungo la normale al superficie media

risulta nulla:

0nε ≈ (3.3)

L’ipotesi di piccoli spostamenti consente di riferire tutti i calcoli alla configurazione

indeformata e di trascurare gli effetti del secondo ordine.

3) La tensione normale nσ , trascurabile rispetto alle restanti componenti di tensione, si

assume uguale a zero in tutti i punti del solido:

( )1 2, , , 0n n tσ σ α α ζ= = (3.4)

3.1.2 COORDINATE DI UN GUSCIO GENERICO

Si consideri un guscio generico avente spessore ( )1 2,h α α e sia 1 2Oα α ζ′ il sistema di

riferimento locale posto sulla superficie media (la definizione analitica della superficie di

riferimento può essere fornita attraverso l’espressione 0ζ = ). La posizione di un punto

arbitrario del guscio nello spazio può essere descritta dal vettore posizione (figura 3.3): P



( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , ,α α ζ α α ζ α α= +R r n (3.5)

dove è il vettore posizione del punto r P′ sulla superficie di riferimento, n è il versore

normale alla superficie media e ζ rappresenta la distanza del punto dalla sua

proiezione sulla superficie di riferimento (distanza staccata lungo n a partire dalla

superficie

P

P′

0ζ = ). 1 2,α α sono le linee parametriche della superficie di riferimento e

coincidono con le linee ortogonali di curvatura principale della superficie stessa.

Dato che il guscio è delimitato superiormente ed inferiormente da due superfici, la

distanza ζ non dovrà eccedere i limiti definiti dallo spessore locale ( 1 2,h )α α . Inoltre, un

guscio possiede di solito un’estensione limitata lungo le linee parametriche 1 2,α α . Nella

valutazione dei vettori presenti nell’equazione (3.5) 1 2,α α presentano dei limiti.

( 0 11 1 1α α α≤ ≤ e 0 1

2 2 2α α α≤ ≤ ).

Mediante l’equazione (3.5), si può valutare il quadrato della distanza tra un punto

arbitrario di coordinate P ( 1 2, , )α α ζ ed un punto , infinitamente vicino ad esso, di

coordinate

1P

( )1 1 2 2, ,d d dα α α α ζ ζ+ + + risulta:

( ) ( ) ( )2ds d d d d d d d dζ ζ ζ= ⋅ + + ⋅ + +R R = r n n r n n ζ (3.6)

Ricordando che il sistema di coordinate assunto è ortogonale, eseguendo le operazioni si

perviene al seguente risultato:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2

1 1 1 2 2 21 1ds A R d A R d d2 2ζ α ζ α= + + + + ζ (3.7)

I primi due termini a secondo membro della (3.7) rappresentano la prima forma

fondamentale di una superficie posta ad una distanza ζ dal superficie media, in analogia

alla (2.20).

* * * Di seguito si dimostra l’espressione (3.7) a partire dalla (3.6).

( ) ( ) ( )2ds d d d d d d d dζ ζ ζ ζ= ⋅ + + ⋅ + +R R = r n n r n n =

( )22 2 2 2d d d d d d d d d d dζ ζ ζ ζ ζ ζ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅r r + n n + n n + r n + r n + n n Sapendo che , e allora: d ⊥r n d ⊥n n 1⋅ =n n

( )22 2d d d d d d dζ ζ ζ= ⋅ ⋅ ⋅r r + n n + + r n

Essendo a conoscenza delle definizioni qui riportate:

,1 1 ,2 2d d dα α+r = r r e ,1 1 ,2 2d d dα α+n = n n

Allora il primo termine può essere scritto:



( ) ( )2 22 21 1 2 2d d A d A dα α⋅ +r r =

Il secondo diventa:

( ) ( )( )2 22 2,1 ,1 1 ,2 ,2 2 ,1 ,2 1 22d d d d d dζ ζ α α α⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅n n = n n n n n n α

Sfruttando le relazioni (2.58), (2.59) e sapendo che ,1 ,2⊥n n l’espressione precedente si può riscrivere:

( ) ( )2 2

2 22 2 1 21 1 1 2 2 22 2

1 2

A Ad d d d

R Rζ ζ α α

⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠n n = t t t t

L’ultimo, infine:

( ) ( )( )2 2

,1 ,1 1 ,2 ,2 2 ,1 ,2 1 2 ,2 ,1 1 22 2d d d d d d d dζ ζ α α α α α⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅r n = n r n r n r n r α

Sfruttando la relazione (2.54) e sapendo che ,1 ,2⊥n r e che ,2 ,1⊥n r l’espressione precedente si può

riscrivere:

( ) ( )2 2

2 21 21 1 1 2 2 2

1 2

2 2A A

d d d dR R

ζ ζ α α⎛ ⎞

⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

r n = t t t t

Sostituendo le espressioni trovate nell’espressione principale si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 22 2 2 1 21 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 2

A Ads A d A d d d d

R Rα α ζ α α ζ

⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠+ t t t t + 2 +

( ) ( )2 2

2 21 21 1 1 2 2 2

1 2

2A A

d dR R

ζ α α⎛ ⎞

+ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

t t t t =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 21 1 2 2

1 2

1 1ds A d A d dR Rζ ζ 2 2α α ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

* * *

Una volta stabilito il sistema di coordinate, si può definire l’elemento fondamentale o

infinitesimo di guscio come quell’elemento delimitato in direzione n da due superfici

poste ad una distanza infinitesima dζ , a partire da una quota ζ rispetto alla superficie di

riferimento e da quattro sezioni perpendicolari alla superficie media nelle direzioni 1 2,α α .

Ogni coppia di tagli è individuata da una coppia di linee parametriche adiacenti sulla

superficie media.

La rappresentazione grafica dell’elemento infinitesimo è riportata in figura 3.4, ove

sono indicate anche le componenti di tensione agenti sull’elemento stesso. Su ciascuna

faccia laterale agisce un tensione che può essere scomposta in tre componenti. In figura 3.4

sono riportate le componenti di tensione agenti sulle facce laterali di normale positiva, e in

particolare le componenti normali 1 2,σ σ , quelle tangenziali 1 2,n nτ τ dirette lungo la

normale ζ e le componenti tangenziali 12 21,τ τ dirette lungo le direzioni principali 1 2,α α ,

rispettivamente. Le lunghezze degli archi elementari sulle facce laterali che delimitano



l’elemento fondamentale sono, in accordo con l’equazione (3.7):

( ) ( )( ) ( )

1 1 1

2 2 2

1

1

ds A R d

ds A R d

1

2

ζ ζ α

ζ ζ α

= +

= + (3.8)

ζ

( )1 2,α αn

Superficie di riferimento o superficie media O′ ζ

Pζ n

ζ

P′1α

3x

R 2α r

( )1 2,h α α

3e 2x

2e O

1e

1x Figura 3.3 – Vettore posizione di un punto arbitrario del guscio.

mentre le aree infinitesime definite mediante le quattro sezioni descritte in precedenza

possono essere valutate moltiplicando le equazioni (3.8) per l’altezza infinitesima dζ :

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

1

1

d A R d d

d A R d d

ζ ζ α ζ

ζ ζ α ζ

Σ = +

Σ = + (3.9)



3.1.3 EQUAZIONI DI CONGRUENZA

In base a quanto definito nelle sezioni precedenti, il sistema di riferimento adottato

consente di definire il campo di spostamenti in un punto qualsiasi di un guscio mediante la

terna di componenti di spostamento , che risultano essere funzioni delle

coordinate del punto

1 2, ,U U W

( )1 2, ,α α ζ e del tempo . Le ipotesi della FSDT consentono di

definire il modello cinematico che descrive il comportamento delle strutture in esame. Da

tale modello si può risalire alle relazioni tra componenti di spostamento e componenti di

deformazione che costituiscono le equazioni di congruenza.

t

ζ


O′

dζ 1nτ

ζ 2nτ

1α 12τ

21τ ( )2ds ζ 1σ

( )1 2,h α α

2σ ( )1ds ζ

2α

2R 1R

Figura 3.4 – Elemento infinitesimo di guscio.

3.1.3.1 Modello cinematico

Lo spostamento di un generico punto è definito dal vettore spostamento: P



( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , T

t U t U t W t

t U U W

α α ζ α α ζ α α ζ α α ζ

α α ζ

= + +⇓

=

U t t

U

n (3.10)

ζ

( )1 2,α αn


O′ ζ W

P1U

2U w 1u P′

2u 1α

2α

( )1 2,h α α

w

P

1 1tanζ β ζβ≅ 1u

2u

2 2tanζ β ζβ≅ ζ

1u 2u

1β P′ 2β

Figura 3.5 – Interpretazione geometrica del modello cinematico.

dove sono, rispettivamente, i versori secondo le direzioni tangenti alle linee

parametriche

1 2, ,t t n

1 2,α α e la normale alla superficie di riferimento, mentre sono le

componenti del vettore spostamento nelle corrispondenti direzioni coordinate ortogonali.

Queste ultime rappresentano le componenti di spostamento di punto arbitrario del

guscio (figura 3.5) e possono essere definite localmente mediante un’opportuna

1 2, ,U U W

P



combinazione lineare.

Il campo di spostamento può essere descritto nella forma seguente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , ,

U t u tU t u tW t w t

α α ζ α α ζβ α αα α ζ α α ζβ α αα α ζ α α

= += +=

tt (3.11)

dove rappresentano le componenti del vettore spostamento del punto posto

sulla superficie di riferimento del guscio (corrispondente di lungo la normale n ),

mentre

1 2, ,u u w P′

P

1 2,β β sono le rotazioni attorno alle tangenti al piano medio orientate lungo le linee

parametriche 2 1,α α , rispettivamente. Le componenti di spostamento u u possono

anche essere interpretate come componenti di spostamento U U per

1 2, , w

W1 2, , 0ζ = , mentre

1 2,β β rappresentano le rotazioni della normale alla superficie di riferimento attorno alle

linee coordinate 2 1,α α , rispettivamente (figura 3.5). Si vuol far rilevare che nel modello

cinematico introdotto è stata trascurata la rotazione attorno alla normale . Esistono

modelli più sofisticati che tengono in considerazione anche questo contributo, tuttavia in

questa trattazione l’effetto in parola verrà trascurato.

n

, wζ


2β O′

1β

1 1,uα

2 2,uα

Figura 3.6 – Componenti generalizzate di spostamento.

Come conseguenza di questa assunzione, l’equilibrio alla rotazione attorno alla normale

dovrà essere identicamente soddisfatto. Dalle relazioni n (3.11) si può notare che per gli

spostamenti tangenziali U U si presume un modello di variazione lineare lungo lo 1 2,



spessore in funzione delle rotazioni 1 2,β β , mentre si è ipotizzata una variazione uniforme

per quanto riguarda la traslazione W lungo la coordinata ζ .

Per definire in maniera completa il campo di spostamento sono state introdotte cinque

nuove quantità 1 2 1 2, , , ,u u w β β riferite alla superficie di riferimento (figura 3.6),

denominate componenti generalizzate di spostamento. Esse sono le reali incognite, o gradi

di libertà, del problema in esame e rappresentano le variabili di configurazione del guscio

generico nel sistema di riferimento adottato. Possono essere interpretate come componenti

del seguente vettore spostamento generalizzato riferito alla superficie di riferimento:

( )1 2, ,α α 1 2 1 2

Tt u u w β β⎡ ⎤= ⎣ ⎦u

2

(3.12)

3.1.3.2 Caratteristiche della deformazione

In un sistema ortogonale di coordinate curvilinee le componenti di deformazione

normale e tagliante possono essere espresse in termini di componenti generalizzate di

spostamento. Allo scopo di semplificare la trattazione, l’equazione (3.7) può essere riscritta

in maniera più generale:

( ) ( )( )3

21 2 3

1

, ,ii ii

ds g dα α α α=

=∑ (3.13)

mediante le seguenti posizioni:

( ) ( )

( ) ( )( )

3

322

1 1 11 1 2

222 2 22 1 2

33 1 2 3

1

1 ,

1 , ,

W U

A R g

A R g

g

3

3

, ,

,

ζ α

ζ α α α

ζ α α α

α α α

==

+ =

+ =

=

(3.14)

Si considerino due punti e infinitamente vicini nella configurazione indeformata e

siano e i corrispondenti punti dopo la deformazione. Le coordinate curvilinee dei

punti e prima della deformazione sono

0P 1P

0P′ 1P′

0P 1P iα e i d iα α+ , mentre le coordinate

curvilinee dei punti e 0P′ 1P′ a deformazione avvenuta risultano i iα ξ+ e

i i id idα α ξ ξ+ + + . Le quantità iξ rappresentano le variazioni delle coordinate curvilinee

nel passaggio dalla configurazione indeformata a quella deformata. La distanza tra punti

e nella configurazione deformata assume l’aspetto: 0P′ 1P′



( ) ( )( )3

2 21 1 2 2 3 3

1

, ,ii i ii

ds g d dα ξ α ξ α ξ α ξ=

′ = + + + +∑ (3.15)

Nell’ipotesi di deformazioni infinitesime, sviluppando in serie di Taylor le quantità

( 1 1 2 2 3 3, ,iig )α ξ α ξ α ξ+ + + nell’intorno del punto ( )1 2 3, ,α α α e trascurando i termini di

ordine superiore al primo, si ha:

( ) ( ) ( )31 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 31

, ,, , , , ii

ii ii jj j

gg g

α α αα ξ α ξ α ξ α α α ξ

α=

∂+ + + = +

∂∑ (3.16)

In maniera analoga, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo ( )2idξ , si

può scrivere:

( ) ( ) ( ) ( )3

2 2 2 2

1

2 2 ii i i i i i i i

j j

d d d d d d d d dξjα ξ α α ξ ξ α α

α=

∂+ = + + = +

∂∑ α (3.17)

dove è stata introdotta la definizione del differenziale idξ :

3

1

ii

j j

d ξjdξ α

α=

∂=

∂∑ (3.18)

Introducendo le relazioni (3.16) e (3.17) nell’equazione (3.15) e trascurando ancora una

volta gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ottiene:

( )3 3 3

2

1 1 1

jii iij ii k ii jj i j

i j k k j i

gds g g g d dξξδ ξ

α α α= = =

⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂ ∂′ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑ ∑ α α (3.19)

dove ijδ rappresenta il delta di Kronecker. Definendo la quantità tra parentesi tonde più

esterne nell’equazione (3.19):

3

1

jii iij ij ii k ii jj

k k j

gG g g gi

ξξδ ξα α α=

∂⎛ ⎞∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∑ (3.20)

si ha:

( )3 3

2

1 1ij i j

i j

ds G d dα α= =

′ =∑∑ (3.21)

Si vuol far inoltre rilevare che i coefficienti sono simmetrici: ijG

ij jiG G= (3.22)

La lunghezza dell’elemento d’arco infinitesimo lungo una direzione coordinata iα nella

configurazione indeformata vale:

i iids g d iα= (3.23)

Nella configurazione deformata la lunghezza dello stesso elemento d’arco risulta essere:



i iids G d iα′ = (3.24)

La deformazione iiε secondo la direzione iα può essere allora definita nel seguente modo:

1 1ii i ii ii i ii ii iiii

i iiii i

G d g dds ds G G gds g gg d

α αε

α−′ − −

= = = − = + 1ii

− (3.25)

Sviluppando in serie di Taylor la radice presente nell’equazione (3.25):

11 1 ...2

ii ii ii ii

ii ii

G g G gg g− −

+ = + + (3.26)

e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ricava:

12

ii iiii

ii

G gg

ε −= (3.27)

Le deformazioni , ( )ij i jε ≠ , sono definite attraverso la variazione angolare dovuta alla

deformazione:

2ij ijπε θ= − (3.28)

L’angolo ijθ tra i due segmenti infinitesimi ids′ e può essere valutato nel seguente

modo:

ids

( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 ci j i jds ds ds ds ds os ijθ′ ′ ′ ′ ′= + − (3.29)

Per le (3.21) e (3.23), si ha:

cos ijij

ii jj

GG G

θ = (3.30)

Sostituendo la relazione (3.28) nella (3.30) e ricordando che si è fatta l’ipotesi di

deformazioni infinitesime, si ricava:

cos sin2 ij ij ijπ ε ε ε⎛ ⎞− = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.31)

Considerando le equazioni (3.20) e trascurando i termini di ordine superiore al primo

risulta lecita anche la seguente approssimazione:

ij ij

ii jj ii jj

G GG G g g

≅ (3.32)

Le deformazioni (ij i j)ε ≠ , assumono allora il seguente aspetto:

ijij

ii jj

Gg g

ε = (3.33)



Le relazioni che legano le componenti di spostamento secondo le direzioni

coordinate

iU

iα alle variazioni delle coordinate curvilinee iξ possono scriversi:

i iiU g iξ= (3.34)

Infine, introducendo le equazioni (3.20) e (3.34) nelle equazioni (3.27) e (3.33), si

deducono le espressioni generali delle componenti di deformazione:

3 3

1 1

1 12 2

12

1

i ii i iiii k

k ki ii k i ii kii kk

jiij ij ii jj

j iii jj

jiii jj

j iii jj ii jj

g U gg gg g

g gg g

UUg gg g g g

ξε ξα α α α

ξξγ εα α

α α

= =

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂∂= = + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ kU

3 3

(3.35)

dove per la prima ed , 1, 2,i j = , 1, 2,i j = con i j≠ per la seconda delle due relazioni

(3.35).

Introducendo le posizioni (3.14) nelle equazioni (3.35), si ottengono le relazioni tra

spostamenti e deformazioni per un generico guscio. Si è quindi in grado di scrivere le

equazioni di congruenza:

( )1 11

1 21 2 2 11 1

1 11

A AU U WA RA R

εα αζ

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂+ ⎝ ⎠

+

( )2 22

2 12 1 1 22 2

1 11

A AU U WA RA R

εα αζ

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂+ ⎝ ⎠

+

nWεζ

∂=∂

( ) ( ) ( )1

1 1 111 1 1 1

1 11 1n

UW A RA R A R

γ ζα ζζ ζ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

2 2 222 2 2

1 11 1n

UW A RA R A R

γ ζα ζζ ζ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠2

( ) ( )

2 1 1 1 2 212

1 2 2 2 1 11 1 2 2

1 11 1

U U A U U AA AA R A R

γα α αζ ζ

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠ ⎝ α

⎞⎟⎠

(3.36)

Le relazioni (3.36) sono del tutto generali. Pertanto, non tengono in considerazione

nessuna delle ipotesi introdotte dalla FSDT.



Le grandezze in parola, definite sul solido tridimensionale, quindi variabili da punto a

punto, prendono il nome di componenti di deformazione e possono essere raggruppate

all’interno del vettore algebrico:

1 2 12 1 2

T

n nε ε γ γ γ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ε (3.37)

* * * L’ultima relazione delle (3.36) è stata ricavata svolgendo le operazione di derivazione e tenendo conto della

condizione di Codazzi (2.70).

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 1 12 112

1 21 1 2 2 2 2

1 1

11 1 1

A R A RU UA RA R A R A R

ζ ζγ

α αζ ζ ζ

⎛ ⎞+ + ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂+ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1ζ=

+

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

2 2 2,1 2 2 ,1212 2 22

11 1 2 2 2 2

1 1 1,2 1 1 ,211 22

1 1 22 2 1 1

1 11 1 1

1 111 1

A R A A RU UA R A R A R

A R A A RU UA RA R A R

ζ ζγ

αζ ζ ζ

ζ ζ

ζ αζ ζ

⎛ ⎞+ +∂⎜ ⎟= −⎜ ⎟∂+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +∂⎜ ⎟+ −⎜ ⎟+ ∂+ +⎝ ⎠

+

=

( )( )( ) ( )

( )( )

2,1 1 1,2 22 112 2 1

1 2 1 11 1 2 2 2 2

1 11 111 1 1

A R A RU UU U

A RA R A R A Rζ ζ

γα αζ ζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +∂ ∂⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂+ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ζ=

+

( ) ( )2 1 1 1 2 2

121 2 2 2 2 2 1 11 1

1 111

U U A U U AA A R AA R

γα α ζ α αζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ + ∂ ∂+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

* * *

Inserendo il campo di spostamento (3.11) all’interno delle equazioni di congruenza si

ha:

( )1 1 1 11

1 21 2 2 1 1 2 21 1

1 1 11

u A A Au w

A R AA Rβε ζ

α α α αζ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟= + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

2β⎞⎟⎟⎠

( )2 2 2 22

2 12 1 1 2 2 1 12 2

1 1 11

u A A Au w

A R AA Rβ

1ε ζ βα α α αζ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟= + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎟⎠

0nwεζ∂

= =∂

( ) ( ) ( )1 1

1 1 111 1 1 1

1 11 1n

uw A RA R A R

ζβγ ζ

α ζζ ζ

⎛ ⎞+∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 2

2 2 222 2 2

1 11 1n

uw A RA R A R

ζβγ ζ

α ζζ ζ

⎛ ⎞+∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠2



( )2 1 1 2 1 1

121 2 2 1 2 21 1

11

u u A AA AA R

β βγ ζα α α αζ

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )

1 2 2 1 2 2

2 1 1 2 1 12 2

11

u u AA AA R

β βζα α α αζ

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A=⎟

n

(3.38)

Le due grandezze 1 2,nγ γ rappresentano gli scorrimenti angolari medi tra la normale e

ciascuna delle due direzioni principali 1 2,α α . Per comodità, le equazioni (3.38) possono

riscriversi:

( )

( )

( ) ( )

01 1 1

1

02 2 2

2

01 1

1

02 2

2

0 012 1 1 2 2

1 2

11

11

11

11

1 11 1

n

n

R

R

R

R

R R

ε ε ζχζ

ε ε ζχζ

γ μζ

γ μζ

γ γ ζω γ ζωζ ζ

= ++

= ++

=+

=+

= + + ++ +

(3.39)

dove 0 01 2,ε ε rappresentano le deformazioni o dilatazioni membranali secondo le linee

parametriche della superficie di riferimento, 01γ , 0

2γ sono gli scorrimenti angolari tra le

coordinate curvilinee della superficie media e misura la diminuzione dell’angolo compreso

tra le direzioni principali di curvatura a deformazione avvenuta, 1 2,χ χ sono le curvature

flessionali e 1ω , 2ω sono le curvature torsionali della superficie di riferimento. Le

quantità 0 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,ε ε γ γ χ χ ω ω vengono definite nel modo seguente:

1 1 101 2

1 1 2 2 1

1 1u A Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 202 1

2 2 1 1 2

1 1u A Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

10 21 1

1 1 2 2

1 1 Au uA A

γα α

∂⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

10 22 2

2 2 1 1

1 1u A uA A

γα α

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠



111 2

1 1 2 2

1 1 AA A

βχ βα α

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 22 1

2 2 1 1

1 1 AA A

βχ βα α

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

121 1

1 1 2 2

1 1 AA A

βω βα α

∂⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 22

2 2 1 1

1 1 AA A

β2ω β

α α⎛ ⎞∂ ∂

= −⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎟⎟

n

(3.40)

Le relazioni di congruenza (3.38) sono funzione delle dieci quantità indipendenti 0 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , ,nε ε γ γ χ χ ω ω γ γ . Le grandezze in parola, definite sulla superficie di

riferimento ( 0ζ = ), prendono il nome di caratteristiche della deformazione e possono

essere raggruppate all’interno del vettore algebrico:

0 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2

T

n nε ε γ γ χ χ ω ω μ μ⎡ ⎤= ⎣ ⎦η (3.41)

Impiegando la notazione introdotta nell’equazione (2.16), le caratteristiche della

deformazione possono porsi nella forma:

1,2 101 1,1 2

1 2 1

1 A Au u

A A Rε

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠w

2,1 202 2,2 1

2 1

1 A Au u

A A Rε

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠2

w

1,201 2,1

1 2

1 Au u

A Aγ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠1

2,102 1,2

2 1

1 Au u

A Aγ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠2

1,21 1,1

1 2

1 AA A 2χ β β⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2,12 2,2

2 1

1 AA A 1χ β β

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

1,21 2,1

1 2

1 AA A 1ω β β⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠



2,12 1,2

2 1

1 AA A 2ω β β

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 ,1 1 1

1 1

1n

Aw u A

A R 1μ β⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

22 ,2 2 2

2 2

1n

Aw u A

A R 2μ β⎛ ⎞

= − +⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (3.42)

* * * Di seguito vengono dedotte le equazioni (3.39) dalle equazioni (3.38):

( ) ( )( ) ( )1 1 1 11 11

1 2 2 21 2 2 1 1 2 2 11 1 1 1

1 1 1 11 1

A A A AuU U W u wA R A RA R A R

ζβε ζβ

α α α αζ ζ

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ +∂= + + = + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠ ⎝

⎞=⎟⎟

⎠

( )1 1 1 1 02 2

1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 21 1

1 11 1 1 11 1

u A AwuA A A R A A AR R

ββ

1 1ζ ε ζχα α α αζ ζ

=⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠⎝ ⎠+

( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 22

2 1 1 12 1 1 2 2 1 1 22 2 2 2

1 1 1 11 1

A A A AuU U W u wA R A RA R A R

ζβε ζβ

α α α αζ ζ

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ +∂= + + = + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠ ⎝

⎞=⎟⎟

⎠

( )2 2 2 2 01 1

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 11 1

u A AwuR A A A R A A A R

β2 2ζ β ε ζχ

ζ α α α α ζ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟= + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 1 1 1 2 212

1 2 2 2 1 11 1 2 2

2 2 1 11 1 1 2 2 2

1 2 2 2 1 11 1 2 2

1 11 1

1 11 1

U U A U U AA AA R A R

u uu A u AA AA R A R

γα α α αζ ζ

ζβ ζβζβ ζβα α αζ ζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛∂ + ∂ ++ ∂ + ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂+ +⎝ ⎠ ⎝ α

⎞=⎟⎟∂ ⎠

2 1 2 11 1

1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 1 1 1 11

u A AuR A A A A A A

βζ β

ζ α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

1 2 1 22 2

2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 1 1 11

u A AuR A A A A A A

βζ β

ζ α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

( ) ( )0 01 1 2 2

1 2

1 11 1R R

γ ζω γ ζωζ ζ

= + + ++ +

=

( ) ( ) ( )1

1 1 111 1 1 1

1 11 1n

UW A RA R A R

γ ζα ζζ ζ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

=

( ) ( ) ( )1 1

1 111 1 1 1

1 11 1

uw A RA R A R

ζβζ

α ζζ ζ

⎛ ⎞+∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

=

( ) ( ) ( ) 11 1 1

1 11 1

1 11 11 11

w R u RR RA R

ζβζ ζ

α ζ ζ ζ ζζ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ + ∂ ++ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1

=

( )( )( )

( )( )

( )1 1

1 12 21 11 1 1 1

1 11 1 11 1 1

R Rw u RR RA R R R

ζ ζ ζβ ζ βαζ ζ ζ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 11

=



1 01 1

1 1 1 1 1

1 1 11 1

uwR A R R

β μζ α ζ

⎛ ⎞∂= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ∂ +⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

2 2 222 2 2 2

1 11 1n

UW A RA R A R

γ ζα ζζ ζ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

=

( ) ( ) ( )2 2

2 222 2 2 2

1 11 1

uw A RA R A R

ζβζ

α ζζ ζ

⎛ ⎞+∂ ∂ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟∂ ∂+ +⎝ ⎠

=

( ) ( ) ( ) 22 2 2

2 22 2

1 11 11 11

w R u RR RA R

ζβζ ζ

α ζ ζ ζ ζζ

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ + ∂ ++ ⎝ ⎠ ⎝ 2

⎞=⎟⎟

⎠

( )( )( )

( )( )

( )2 2

2 22 22 22 2 2 2

1 11 1 11 1 1

R Rw u RR RA R R R

ζ ζ ζβ ζ βαζ ζ ζ

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22

=

2 02 2

2 2 2 2 2

1 1 11 1

uwR A R R

β μζ α ζ

⎛ ⎞∂= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ∂ +⎝ ⎠

Nelle ultime due componenti di deformazione, si è tenuta presente l’indipendenza dalla variabile ζ delle

grandezze 1 2 1 2, , ,A A u u in base alle ipotesi introdotte, inoltre si nota che la caratteristica di deformazione è

proporzionale alla componente di deformazione corrispondente a meno di un fattore che tiene conto

dell’effetto della curvatura.

* * *

Le equazioni di legame tra le componenti di deformazione e le caratteristiche delle

deformazione sin ora mostrate posso essere riassunte in forma matriciale compatta:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , ,α α ζ α α ζ α α=ε Z η (3.43)

In tale forma è ben visibile la distinzione tra caratteristiche della deformazione e

componenti di deformazione poiché le prime, definite sulla superficie di riferimento

( 0ζ = ), sono funzione solamente delle coordinate 1 2,α α dell’elemento di guscio; mentre

le seconde sono definite sul solido tridimensionale e sono funzione di 1 2, ,α α ζ . Tra i due

vettori si interpone la matrice che contiene l’effetto della curvatura, tale matrice in

forma estesa diventa:

Z

( )

1 1

2 2

1 21 2 1 2

1

2

1 0 0 0 0 0 0 0 01 1

10 0 0 0 0 0 0 01 1

1 10 0 0 0 0 0, ,1 1 1 1

10 0 0 0 0 0 0 0 01

10 0 0 0 0 0 0 0 01

R R

R R

R R R R

R

R

ζζ ζ

ζζ ζ

ζ ζα α ζ

ζ ζ ζ ζ

ζ

ζ

⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

Z

(3.44)



3.1.4 EQUAZIONI DI LEGAME

Per valutare il comportamento di una qualsiasi struttura, il legame costitutivo è di

fondamentale importanza, perchè mette in relazione le componenti di deformazione con le

componenti di tensioni. Il legame in parola dipende essenzialmente dal mezzo che

costituisce la struttura ed è definito da tante relazioni quante sono le componenti tensionali

agenti all’interno della struttura stessa.

3.1.4.1 Leggi generalizzate di Hooke

Le relazioni che legano le componenti di deformazione e quelle di tensione, prendono il

nome di equazioni costitutive e descrivono la legge secondo cui si deforma l’elemento di

materia per effetto dei carichi applicati.

I materiali per i quali il comportamento costitutivo risulta essere funzione solo dello

stato deformativo, sono chiamati elastici. Nel caso particolare in cui il lavoro compiuto

dalle azioni esterne durante la deformazione dipende solo dallo stato iniziale e da quello

deformativo finale, il materiale viene denominato iperelastico. Si definisce, poi, corpo

elastico un solido di materiale continuo capace di subire deformazioni che svaniscono

rimuovendo le forze applicate. L’elemento di materia riprende la sua forma iniziale una

volta che siano scomparse le cause che lo deformano.

Un materiale è omogeneo se le proprietà meccaniche sono costanti in tutti i punti del

volume occupato dal corpo (indipendentemente dalla posizione). In un mezzo eterogeneo

le proprietà meccaniche risultano funzione della posizione. Ad esempio, le strutture

composite costituite da strati uniformi di materiale differente sono eterogenei lungo lo

spessore. Un materiale anisotropo presenta nell’intorno di ciascun punto proprietà

meccaniche variabili con la direzione. Un materiale che presenta nell’intorno di un punto le

medesime proprietà meccaniche in tutte le direzioni uscenti dal punto stesso, viene

denominato isotropo. I materiali anisotropi e isotropi possono essere a loro volta omogenei

o non omogenei.

Si supponga che 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ sia il sistema di riferimento del materiale, denominato

sistema di coordinate del materiale. Il sistema di coordinate 1 2Oα α ζ′ rappresenta il

sistema di riferimento del problema o sistema di coordinate della geometria per

distinguerlo dal sistema di riferimento del materiale. Entrambi i sistemi sono definiti



all’interno del solido, hanno la medesima origine e sono orientati in maniera differente

l’uno rispetto all’altro (figura 2.15).

Si definisce materiale elastico lineare quello per cui i legami costitutivi risultano lineari,

ossia le relazioni tra le tensioni e le deformazioni sono lineari. Nella forma più generale le

relazioni in discorso si scrivono come segue:

ˆζ ζ≡

O′

2α̂ 1α

2α

1α̂ Figura 3.7 – Sistema di coordinate della geometria e del materiale.

,

,

ˆˆ

ˆ ˆ

hk hkij iji j

hk hkij iji j

C

K

σ ε

ε σ

=

=

∑

∑ (3.45)

Le relazioni (3.45) prendono il nome di leggi generalizzate di Hooke, perché

generalizzano la ben nota legge di proporzionalità tra tensione e deformazione per il caso

monoassiale, rilevata per la prima volta da Robert Hooke nel 1678. Le equazioni (3.45),

denominate equazioni costitutive per materiali linearmente elastici, legano lo spazio delle

deformazioni con quello degli sforzi nel punto e caratterizzano il materiale.

Si vuol far rilevare che le relazioni (3.45) sono valide quando gli spostamenti e quindi le

deformazioni si mantengono infinitesimi. Le costanti oppure hkijC hkijK possono

identificarsi con le componenti cartesiane di un tensore del quarto ordine, detto tensore di



elasticità.

I coefficienti e hkijC hkijK prendono il nome di costanti elastiche, poiché non dipendono

dalle componenti di tensione e deformazione nel punto. Nel caso più generale, ossia in

assenza della simmetria delle componenti di tensione e di deformazione, le costanti

elastiche distinte sono 81. I coefficienti sono denominati rigidezze, mentre i

coefficienti

hkijC

hkijK vengono chiamati cedibilità.

Se si ammette la simmetria dei tensori delle tensioni e delle deformazioni, le 81 costanti

elastiche indipendenti si riducono a 36. Sotto tale ipotesi le equazioni (3.45) si possono

scrivere nel modo seguente:

11 12 13 14 15 161 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 461 1

51 52 53 54 55 562 2

61 62 63 64 65 6612 12

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

n n

n n

n n

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

σ εσ εσ ετ γτ γτ γ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

(3.46)

11 12 13 14 15 161 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 461 1

51 52 53 54 55 562 2

61 62 63 64 65 6612 12

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

n n

n n

n n

K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K K

ε σε σε σγ τγ τγ τ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

(3.47)

* * * Si precisa che per le componenti di tensione e di deformazione è stata adottata la notazione nota come notazione di

Voigt-Kelvin, nella quale si utilizza un pedice per indicare le componenti di tensioni e di deformazione, due pedici

per indicare i coefficienti di rigidezza del materiale:

1 1ˆ ˆ

1σ σ= , 2ˆ ˆ

22σ σ= , 3 33ˆ ˆ ˆ

nσ σ σ= = , 4 13 13ˆ ˆ ˆ ˆ

n1σ σ τ τ= = = , 5 23 23 2ˆ ˆ ˆ ˆ

nσ σ τ τ= = = , 6 12ˆ ˆ

1̂2σ σ τ= =

1 1ˆ ˆ

1ε ε= , 2 2ˆ ˆ

2ε ε= , 3 33ˆ ˆ ˆ

nε ε ε= = , 4 13 13 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 nε ε γ γ= = = , 5 23 23 2

ˆ ˆ ˆ ˆ2 nε ε γ γ= = = , 6 12ˆ ˆ ˆ2 12ε ε γ= =

* * *

3.1.4.1.1 Materiali anisotropi

Assumendo che il materiale sia iperelastico, il numero di costanti elastiche indipendenti



si riduce a 21. In tal caso le matrici C e risultano simmetriche ( ,K ij jiC C= ij jiK K= ). Un

materiale, le cui costanti elastiche indipendenti sono 21, viene denominato anisotropo. Nel

sistema di riferimento del materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ le relazioni tensioni-deformazioni (3.46)

assumono la seguente forma:

11 12 13 14 15 161 1

12 22 23 24 25 262 2

13 23 33 34 35 36

14 24 34 44 45 461 1

15 25 35 45 55 562 2

16 26 36 46 56 6612 12

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

n

n n

n n

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

n


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

(3.48)

dove la matrice di dimensioni 6C 6× prende il nome di matrice di rigidezza. Le relazioni

inverse (3.47) diventano:

11 12 13 14 15 161 1

12 22 23 24 25 262 2

13 23 33 34 35 36

14 24 34 44 45 461 1

15 25 35 45 55 562 2

16 26 36 46 56 6612 12

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

n n

n n

n n

K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K K


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

(3.49)

dove la matrice di dimensioni 1−=K C 6 6× prende il nome di matrice di cedibilità.

Qualora il materiale sia omogeneo occorre determinare 21 costanti elastiche, in quanto le

proprietà meccaniche non dipendono dal punto.

3.1.4.1.2 Simmetria materiale

Quando i materiali possiedono uno o più piani di simmetria del materiale il numero dei

coefficienti elastici indipendenti si riduce. Se le costanti elastiche nell’intorno di un punto

presentano gli stessi valori per coppie di punti simmetrici rispetto ad un piano, il piano

stesso prende il nome di piano di simmetria materiale. Tale simmetria può essere dovuta,

ad esempio, alla simmetria interna della struttura, dipendente dalla forma cristallografica

oppure da una regolare disposizione di fibre o particelle. Si vuol far rilevare che la

simmetria in parola è una proprietà che dipende dalla direzione e non dalla posizione.

Quindi, un materiale può avere una certa simmetria elastica nell’intorno di ogni punto e,

allo stesso tempo, le proprietà meccaniche possono variare da punto a punto. Questa

dipendenza delle proprietà del materiale dalla posizione viene indica come non-omogeneità



del materiale.

3.1.4.1.3 Materiali monoclini

Ulteriori riduzioni nel numero di costanti elastiche indipendenti discende dalla

simmetria materiale. I materiali che presentano un solo piano di simmetria vengono

denominati monoclini. Le costanti elastiche indipendenti si riducono a 13. Nel caso in cui

la direzione ζ̂ sia normale al piano di simmetria materiale, le relazioni (3.48) e (3.49) si

trasformano nel modo seguente:

11 12 13 161 1

12 22 23 262 2

13 23 33 36

44 451 1

45 552 2

16 26 36 6612 12

ˆˆ 0 0ˆˆ 0 0ˆˆ 0 0ˆˆ 0 0 0 0ˆˆ 0 0 0 0ˆˆ 0 0

n

n n

n n

C C C CC C C CC C C C

C CC C

C C C C

n


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎥ (3.50)

11 12 13 161 1

12 22 23 262 2

13 23 33 36

44 451 1

45 552 2

16 26 36 6612 12

ˆ ˆ0 0ˆ ˆ0 0ˆ ˆ0 0ˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0ˆ ˆ0 0

n n

n n

n n

K K K KK K K KK K K K

K KK K

K K K K


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥

⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.51)

La direzione normale al piano di simmetria viene denominata direzione principale del

materiale.

3.1.4.1.4 Materiali ortotropi

Quando i materiali possiedono tre piani ortogonali di simmetria materiale, il numero dei

coefficienti elastici indipendenti si riduce a 9. I materiali caratterizzati solo da 9

coefficienti elastici vengono detti ortotropi. Le relazioni (3.50) e (3.51) per un materiale

ortotropo assumono la seguente forma:



11 12 131 1

12 22 232 2

13 23 33

441 1

552 2

6612 12

ˆˆ 0 0 0ˆˆ 0 0 0ˆˆ 0 0 0ˆˆ 0 0 0 0 0ˆˆ 0 0 0 0 0ˆˆ 0 0 0 0 0

n

n n

n n

C C CC C CC C C

CC

C

n


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥

⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.52)

11 12 131 1

12 22 232 2

13 23 33

441 1

552 2

6612 12

ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0

n n

n n

n n

K K KK K KK K K

KK

K


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥

⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.53)

Le proprietà dei materiali possono essere determinate in laboratorio in termini di

costanti ingegneristiche, come il modulo di Young E , il modulo di elasticità trasversale

e il coefficiente di Poisson

G

ν . Queste costanti sono misurate attraverso semplici test, come

la prova di trazione monoassiale e di taglio puro. A causa del loro significato fisico, le

costanti ingegneristiche vengono usate al posto dei più astratti coefficienti elastici e ijC

ijK . In particolare le costanti elastiche ijK sono legate in maniera diretta alle costanti

ingegneristiche.

Come conseguenza dell’ipotesi di elasticità lineare del materiale, è lecito applicare il

principio di sovrapposizione degli effetti. Questo vuol dire che se le forze applicate e le

restrizioni geometriche sono indipendenti dalla deformazione, allora la somma delle

deformazioni prodotte singolarmente da due sistemi di forze risulta uguale alla

deformazione prodotta dalla somma di due sistemi di forze applicati contemporaneamente.

In particolare, le deformazioni dello stesso tipo prodotte dall’applicazione di componenti di

tensione differenti possono essere sovrapposte. Per esempio, si considerino le tre

dilatazioni ( )11̂ε , ( )2

1̂ε e ( )31̂ε . La dilatazione ( )1

1̂ε , in direzione 1α̂ , prodotta dallo sforzo 1σ̂

che agisce nella stessa direzione, è 1ˆ 1Eσ , dove indica il modulo di Young del

materiale in direzione

1E

1α̂ . La dilatazione ( )21̂ε , prodotta da un secondo sforzo 2σ̂ che agisce

in direzione 2α̂ risulta 21 2 2ˆ Eν σ− , ove 21ν è il rapporto di Poisson pari a 21 1 2ˆ ˆν ε ε= − ed

è il modulo di Young del materiale nella direzione 2E 2α̂ . Infine, la dilatazione ( )31̂ε

prodotta da un terzo sforzo ˆnσ agente in direzione ζ̂ è pari a 31 3ˆn Eν σ− , con l’ovvio



significato dei simboli introdotti. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, la

deformazione 1̂ε prodotta dall’applicazione simultanea di tutte e tre le componenti normali

di tensione risulta pari a:

( ) ( ) ( )1 2 3 311 211 1 1 1 2

1 2 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ nE E Eνσ ν ˆε ε ε ε σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = + − + −⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ (3.54)

Procedendo in maniera analoga per le dilatazioni 2ε̂ , 3̂ε si ottiene:

3212 22 1

1 2 3

13 233 1 2

1 2

ˆˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ

n

n

E E E

3E E E

νν σε σ σ

ν ν σε σ σ

= − + −

= − − + (3.55)

Le prove di taglio puro per un materiale ortotropo forniscono i seguenti risultati:

1 2 121 2 12

13 23 12

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,n nn nG G G

τ τ τγ γ γ= = = (3.56)

Riscrivendo le equazioni (3.54), (3.55) e (3.56) in forma matriciale si ha:

3121

1 2 3

3212

1 11 2 3

2 213 23

1 2 3

1 1

132 2

12 12

23

12

1 0 0 0

1 0 0 0ˆ ˆˆ ˆ1 0 0 0ˆ ˆˆ ˆ10 0 0 0 0ˆ ˆˆ ˆ10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

n n

n n

n n

E E E

E E E

E E E

G

G

G

νν

ννε σε σν νε σγ τγ τγ τ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

(3.57)

dove , , sono i moduli di Young nelle direzioni del sistema di riferimento 1E 2E 3E

1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ , ijν è il rapporto di Poisson, definito come il rapporto della deformazione

trasversale nella j -esima direzione e della deformazione assiale nella i -esima direzione

quando lo sforzo agisce nella i -esima direzione. , , sono i moduli di elasticità

trasversale nei piani

13G 23G 12G

1ˆα̂ ζ− , 2

ˆα̂ ζ− , 1ˆ ˆ2α α− . Dato che la matrice , inversa della matrice

simmetrica C , è anch’essa simmetrica, si ottengono le seguenti uguaglianze:

K

31 13 32 2321 12

2 1 3 1 3

, ,2E E E E E E

ν ν ν νν ν= = = (3.58)



che in forma abbreviata divengono:

, , 1, 2,ij ji

i j

i jE E

3ν ν

= =

I 9 coefficienti elastici indipendenti per un mezzo ortotropo omogeneo sono allora:

1 2 3 13 23 12 12 13 2, , , , , , , ,E E E G G G 3ν ν ν

3.1.4.1.5 Materiali trasversalmente isotropi

Quando le costanti elastiche nell’intorno di un punto presentano gli stessi valori in tutte

le direzioni uscenti dal punto e parallele ad un piano, il piano in parola prende il nome di

piano di isotropia materiale. Se uno dei tre piani di simmetria materiale di un mezzo

ortotropo è anche un piano di isotropia materiale, il numero dei coefficienti elastici

indipendenti si riduce a 5. I materiali caratterizzati da 5 costanti elastiche vengono

denominati trasversalmente isotropi. Nel caso in cui la direzione ζ̂ sia normale al piano di

isotropia materiale, le relazioni (3.48) e (3.49) si trasformano nel modo seguente:

11 12 131 1

12 11 132 2

13 13 33

441 1

442 2

11 1212 12

0 0 0 ˆˆ0 0 0 ˆˆ0 0 0 ˆˆ

0 0 0 0 0 ˆˆ0 0 0 0 0 ˆˆ

ˆˆ 0 0 0 0 02

n n

n n

n n

C C CC C CC C C

CC

C C


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢=

⎥⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎦

(3.59)

( )

11 12 131 1

12 11 132 2

13 13 33

441 1

442 2

11 1212 12

ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 0 2

n n

n n

n n

K K KK K KK K K

KK

K K


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

−⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.60)

3.1.4.1.6 Materiali isotropi

Un materiale che presenta nell’intorno di ogni punto le medesime proprietà meccaniche

in tutte le direzioni uscenti dal punto, viene denominato isotropo. Quando i tre piani di

simmetria materiale di un mezzo ortotropo sono anche piani di isotropia materiale, il



numero dei coefficienti elastici indipendenti si riduce a 2. Le relazioni (3.50) e (3.51) per

un materiale isotropo assumono la forma:

11 12 12

12 11 121 1

12 12 112 2

11 12

1 111 12

2 2

12 1211 12

0 0 00 0 0 ˆˆ0 0 0 ˆˆ

ˆˆ 0 0 0 0 02 ˆˆ

ˆˆ 0 0 0 0 02 ˆˆ

0 0 0 0 02

n n

n n

n n

C C CC C CC C C

C C

C C

C C


⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.61)

( )( )

( )

11 12 121 1

12 11 122 2

12 12 11

11 121 1

11 122 2

11 1212 12

ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0ˆ ˆ0 0 0 2 0 0ˆ ˆ0 0 0 0 2 0ˆ ˆ0 0 0 0 0 2

n n

n n

n n

K K KK K KK K K

K KK K

K K


⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.62)

I materiali isotropi non hanno direzioni preferenziali, ossia posseggono infiniti piani di

simmetria. Per tali materiali si ha:

1 2 3 13 23 12 12 13 23, ,E E E E G G G G ν ν ν= = = = = = = = =ν

e, di conseguenza, le relazioni (3.57) assumono la seguente forma:

1 1

2 2

1 1

2 2

12 12

1 0 0 0

1 0 0 0ˆ ˆˆ ˆ1 0 0 0ˆ ˆˆ ˆ10 0 0 0 0ˆ ˆ

1ˆ ˆ0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

n

n n

n n

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ν ν

ν ν

n

ε σε σν νε σγ τγ τγ τ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎤

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− − ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢=

⎥⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎦

(3.63)

3.1.4.2 Materiali compositi

I materiali compositi sono costituiti combinando due o più materiali (costituenti) in

maniera da ottenere dal punto di vista macroscopico proprietà ingegneristiche migliori



rispetto ai materiali convenzionali, come ad esempio i metalli. Alcune delle proprietà che

possono essere migliorate attraverso la progettazione di un materiale composito sono la

rigidezza, la resistenza, la riduzione di peso, la resistenza alla corrosione, le proprietà

termiche, la vita a fatica, la vita utile e così via.

I costituenti vengono combinati a livello macroscopico. La maggior parte dei materiali

compositi sono costituiti da due materiali: un materiale di rinforzo chiamato fase di

rinforzo e un materiale di base denominato matrice.

I materiali composti possono essere classificati in tre differenti categorie:

1) compositi fibrosi o a fibre costituiti da fibre di un materiale immerse in una matrice

di un altro materiale;

2) compositi particellari o granulari costituiti da macroparticelle di un materiale

immerse in una matrice di un altro materiale;

3) compositi laminati costituiti da strati di materiali differenti, inclusi i compositi delle

prime due categorie.

Le macroparticelle e la matrice nei materiali compositi granulari possono essere

entrambi metallici o non metallici. Per questo motivo, esistono quattro possibili

combinazioni: metallo in matrice non metallica, non metallo in matrice metallica, non

metallo in matrice non metallica, metallo in matrice metallica.

Una lamina è uno strato di materiale composito e rappresenta un elemento

fondamentale per la progettazione dei laminati. La formulazione delle equazioni costitutive

per una lamina si basa sulle seguenti ipotesi:

1) la lamina è un corpo continuo: non esistono discontinuità o spazi vuoti;

2) il comportamento di una lamina è quello di un materiale elastico-lineare.

La prima ipotesi considera il comportamento macromeccanico della lamina, non

permettendo di analizzare il comportamento meccanico dei singoli costituenti e le loro

interazioni. Per lo studio di tali problematiche, occorre procedere seguendo l’approccio

micromeccanico. La seconda assunzione permette alle equazioni generalizzate di Hooke di

essere applicabili a tali materiali.

Se considerati da un punto di vista microscopico, i materiali compositi sono

intrinsecamente eterogenei. Da un punto di vista macroscopico, in cui le proprietà di tali

materiali derivano da una media ponderata delle proprietà dei costituenti, matrice e fase di

rinforzo, i materiali compositi possono essere assunti come omogenei.



3.1.4.2.1 Compositi fibrosi: la lamina unidirezionale

Le proprietà meccaniche di compositi fibrosi dipendono dall’orientazione delle fibre

stesse. La matrice tiene insieme le fibre e agisce come mezzo di trasferimento del carico tra

le fibre proteggendole pure dalle condizioni ambientali.

Il meccanismo base di trasferimento del carico tra matrice e fibra può essere illustrato

considerando una barra cilindrica (che rappresenta una singola fibra) e supponendo che tale

barra sia immersa nel materiale-matrice. Il trasferimento del carico trae origine dalle

tensioni tangenziali. Quando il carico applicato sulla matrice è di trazione, nella superficie

laterale della fibra si sviluppa l’azione tangenziale di taglio che genera uno sforzo di

trazione nella fibra. I due sforzi bilanciano il carico applicato sulla matrice.

ζ ζ

O′ O′

1α 1α

2α 2α

ζ ζ

O′ O′

1α 1α

2α 2α

Figura 3.8 – Lamine fibro-rinforzate con diversa disposizione delle fibre.

Una lamina fibro-rinforzata è costituita da molte fibre annegate in un materiale-matrice,

che può essere metallico, come l’alluminio, o non metallico, come i polimeri

termoindurenti o termoplastici. Spesso, per migliorare ed incrementare l’aderenza tra

matrice e fibre, vengono utilizzati degli additivi. La disposizione delle fibre all’interno

della matrice può essere continua, discontinua, intrecciata, unidirezionale, bidirezionale



(figura 3.8), ma anche distribuita casualmente.

Una lamina fibro-rinforzata, in cui la disposizione delle fibre è unidirezionale, può

essere pensata come una lamina di materiale ortotropo in cui due piani di simmetria

materiale sono uno parallelo e l’altro trasversale alla direzione delle fibre. Sulla lamina di

spessore costante viene definita una terna di riferimento del materiale h 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ (figura

3.9). Questa terna viene assunta sulla superficie media della lamina. L’asse 1α̂ viene scelto

parallelo alla direzione delle fibre, l’asse 2α̂ trasversale alla direzione delle fibre, l’asse ζ̂

normale alle linee parametriche della superficie media della lamina. Le lamine rinforzate

con fibre unidirezionali esibiscono la massima resistenza nella direzione delle fibre, ma

presentano un comportamento meccanico insoddisfacente nella direzione trasversale alle

fibre stesse. Scarsi ancoraggi delle fibre nella matrice causano un pessimo comportamento

meccanico in direzione trasversale alle fibre che può sfociare nell’espulsione delle fibre

dalla matrice o nella rottura delle fibre stesse.

ζ̂

O′

1α̂

2α̂

Figura 3.9 – Sistema di coordinate del materiale per una lamina unidirezionale.

Le proprietà meccaniche di una lamina ortotropa possono essere definite sia mediante

un approccio teorico, sia mediante opportune prove di laboratorio. L’approccio teorico,

denominato approccio micromeccanico, può essere usato per determinare le costanti

ingegneristiche di un materiale composito continuo rinforzato con fibre unidirezionali.

L’approccio in parola si basa sulle seguenti assunzioni:

1) esiste un legame perfetto tra matrice e fibra;



2) le fibre sono continue, parallele e uniformemente distribuite su tutta la lamina;

3) la matrice è priva di vuoti o di microfessure e non presenta stati tensionali residui;

4) le fibre e la matrice sono corpi isotropi ed entrambi obbediscono alle leggi di

Hooke (elasticità lineare);

5) le forze applicate sono parallele o perpendicolari alla direzione delle fibre.

Sulla base della teoria delle miscele, le frazioni in volume fV delle fibre e della

matrice sono definite nel modo seguente:

mV

v v,v v

f mf m

c c

V V= = (3.64)

dove v f , , rappresentano il volume delle fibre, della matrice e del materiale

composito, rispettivamente. Le quantità

vm vc

(3.64) sono legate dalla relazione:

1f mV V+ = (3.65)

da cui discende che il volume del materiale composito è la somma dei volumi dei

costituenti:

vc

v v vf m c+ = (3.66)

Le frazioni in massa M f delle fibre e della matrice sono definite nel modo seguente: Mm

m mM , Mm m

f mf m

c c

= = (3.67)

dove m f , , rappresentano la massa delle fibre, della matrice e del materiale

composito, rispettivamente. Le quantità

mm mc

(3.67) sono legate dalla relazione:

M Mf m 1+ = (3.68)

da cui discende che la massa del materiale composito è la somma delle masse dei

costituenti:

mc

m m mf m c+ = (3.69)

Ricordando che la densità ρ di un corpo viene definita come rapporto tra la massa m e

il volume occupato dal corpo stesso, dalle equazioni v (3.69) e (3.64) si ricava:

c f f mV mVρ ρ ρ= + (3.70)

dove fρ , mρ , cρ sono la densità del materiale costituente le fibre, la densità del materiale

costituente la matrice e la densità del materiale composito, rispettivamente.

In maniera analoga, è possibile dimostrare che le proprietà meccaniche, ossia i moduli

di Young, i moduli di elasticità trasversale ed i coefficienti di Poisson di un materiale



rinforzato con fibre unidirezionali possono essere espressi in funzione dei moduli di Young

e dei coefficienti di Poisson dei materiali costituenti il materiale composito. Siano fE , fν

il modulo di Young, il coefficiente di Poisson delle fibre e ,mE mν il modulo di Young, il

coefficiente di Poisson della matrice. Le costanti ingegneristiche del materiale composito

possono essere definite nel modo seguente:

1

2

12

12

f f m m

f m

f m m f

f f m m

f m

f m m

E E V E V

E EE

E V E V

v v V v V

G GG

G V G V

= +

=+

= +

=+ f

(3.71)

dove è il modulo di Young longitudinale lungo la direzione delle fibre, è il modulo

di Young trasversale,

1E 2E

12ν è il maggiore tra i rapporti di Poisson e è il modulo di

elasticità trasversale. Inoltre si ha:

12G

( ) ( ),

2 12 1f m

f mmf

E EG Gvv

= =++

(3.72)

Per i materiali ortotropi bidirezionali e generici le costanti ingegneristiche

1 2 3 13 23 12 12 13 23, , , , , , , ,E E E G G G ν ν ν possono essere determinate mediante opportune prove di

laboratorio.

3.1.4.2.2 Compositi granulari: “functionally graded materials”

Come affermato in precedenza, i “functionally graded materials” (FGM) appartengono

alla categoria dei compositi granulari. Questi sono caratterizzatati da una variazione

graduale continua delle proprietà meccaniche del materiale dalla superficie inferiore alla

superficie superiore della lamina di spessore costante . La variazione graduale delle

proprietà meccaniche riduce gli stress termici e le tensioni residue, nonché i fattori di

concentrazione di tensione. Sono principalmente costituiti da materiali isotropi come, ad

esempio, i metalli e le ceramiche. Vengono principalmente usati come barriere termiche in

situazioni con elevati gradienti di temperatura. Le ceramiche, infatti, conferiscono al

materiale composito elevata resistenza agli shock termici e i metalli forniscono elevata

resistenza e duttilità.

h



I “functionally graded materials”, che possono essere fabbricati per sinterizzazione,

combustione ad elevata temperatura, per centrifugazione, si presentano come materiali

isotropi non omogenei lungo la direzione ˆζ ζ≡ normale alla superficie media della

lamina, ossia lungo lo spessore (figura 3.10). h

Si consideri un materiale composito costituito combinando due materiali costituenti, ad

esempio un metallo e una ceramica. In seguito per semplicità si farà riferimento a questi

due costituenti, anche se in generale i materiali in parola possono essere ottenuti

miscelando due materiali metallici, oppure due materiali non metallici. La determinazione

delle costanti ingegneristiche di un siffatto materiale può essere ottenuta mediante un

approccio micromeccanico.

ˆζ ζ≡

O′

1 1ˆα α≡

2 2ˆα α≡

Figura 3.10 – Lamina di “functionally graded material”.

La tecnica di omogeneizzazione più usata per la modellazione delle effettive proprietà

macroscopiche di questi compositi è la teoria delle miscele, precedentemente introdotta per

descrivere il comportamento di un materiale composito fibro-rinforzato.

Sulla base della teoria delle miscele, le frazioni in volume MV del materiale metallico e

della matrice ceramica sono legate dalla relazione: CV

1C MV V+ = (3.73)

Si supponga che la variazione delle proprietà meccaniche sia definita attraverso una

legge esponenziale del tipo:



1 1oppure2 2

p p

C CV Vh hζ ζ⎛ ⎞ ⎛= − = +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎞⎟⎠

(3.74)

1 20p =

1 5p =

1 2p =

hζ

1p =

2p =

5p =

20p =

CV

Figura 3.11 – Frazione in volume ( )1 2 p

CV al variare di lungo lo spessore della lamina. hζ= − p

20p =

5p =

2p =

hζ

1p =

1 2p =

1 5p =

1 20p =

CV

Figura 3.12 – Frazione in volume ( )1 2 p

CV al variare di lungo lo spessore della lamina. hζ= + p

dove è il parametro che governa il profilo di variazione lungo lo spessore h della

lamina. Le due differenti leggi introdotte nella

p

(3.74) permettono di individuare se la

superficie inferiore della lamina è costituita da materiale ceramico o da materiale metallico



(figure 3.11 e 3.12). Infatti, se si considera la prima legge (3.74), per 2hζ = − , ossia sulla

superficie inferiore, si ha e quindi per l’equazione 1CV = (3.73) 0MV = . Ciò significa che

in corrispondenza della superficie inferiore il materiale composito presenta le proprietà

meccaniche proprie della ceramica.

Per 2hζ = , ossia sulla superficie superiore, si ha 0CV = e quindi per l’equazione

(3.73) 1 . Ciò significa che in corrispondenza della superficie superiore il materiale

composito presenta le proprietà meccaniche proprie del metallo. Considerando la seconda

legge

MV =

(3.74), invece, il materiale composito presenta sulla faccia superiore le proprietà

proprie della ceramica (per 2hζ = , si ha 1CV = e 0MV = ) e su quella inferiore le

proprietà meccaniche proprie del metallo (per 2hζ = − , si ha 0CV = e ). 1MV =

Ricordando che i materiali compositi in parola sono isotropi e non omogenei lungo la

direzione ζ , le proprietà meccaniche di un composito “functionally graded” possono

essere espresse nella seguente forma:

( )( )( )

( ) ( )( )( )2 1

C C M M

C C M M

C C M M

V V

E E V E V

V V

EG

v

ρ ζ ρ ρ

ζ

ν ζ ν ν

ζζ

ζ

= +

= +

= +

=+

(3.75)

dove , ,C C CEρ ν sono la densità, il modulo di Young e il coefficiente di Poisson del

materiale ceramico e , ,M M MEρ ν le corrispondenti grandezze del materiale metallico.

Nelle relazioni (3.75) è messa in evidenza la dipendenza delle proprietà meccaniche

dalla variabile ζ . Considerando l’equazione (3.73), le relazioni (3.75) possono esprimersi

anche nel seguente modo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

C M C M

C M C M

C M C M

V

E E E V

V

E

ρ ζ ρ ρ ρ

ζ

ν ζ ν ν ν

= − +

= − +

= − +

(3.76)

3.1.4.2.3 Trasformazione delle componenti di tensione e di deformazione

Fino ad ora è stata presentata la legge generalizzata di Hooke per diverse tipologie di

materiali nel sistema di riferimento proprio del materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ . Nella formulazione di



molti problemi accade spesso che tale sistema di coordinate non coincida con quello della

geometria. Infatti, una lamina può essere caratterizzata da una propria orientazione del

materiale rispetto al sistema di riferimento descrivente il problema geometrico. Per questo

motivo, nasce l’esigenza di introdurre relazioni in grado di trasformare le componenti di

tensione e di deformazione riferite ad uno specifico sistema di riferimento nelle

corrispondenti quantità in un altro sistema di riferimento.

Si consideri una lamina fibro-rinforzata unidirezionale. Sia 1 2Oα α ζ′ il sistema di

riferimento usato per descrivere le equazioni governanti il problema e 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ il sistema

di riferimento del materiale costituente la lamina. Considerando la figura 3.13 si nota che i

due sistemi di riferimento hanno la stessa origine O′ e sono definiti entrambi sulla

superficie di riferimento o superficie media della lamina, in modo che gli assi ζ e ζ̂ siano

coincidenti. Di conseguenza, le due superfici 1 2α α− e 1ˆ ˆ2α α− sono tra loro parallele.

Si assuma l’asse 1α̂ ruotato di un angolo θ (positivo in senso antiorario) rispetto

all’asse 1α del riferimento del problema. Le coordinate di un punto della lamina nei due

sistemi di riferimento sono legate dalla seguente espressione:

1 1

2

ˆ cos sin 0ˆ sin cos 0ˆ 0 0 1

2

α θ θ αα θ θ α

ζζ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.77)

L’inversa dell’equazione (3.77) risulta essere:

1 1

2

ˆcos sin 0ˆsin cos 0ˆ0 0 12

α θ θ αα θ θ αζ ζ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.78)

Si vuol far rilevare che l’inversa 1−H della matrice di trasformazione H , di ordine

, presente nell’equazione 3 3× (3.77), è uguale alla sua trasposta: , essendo

ortogonale.

1 TH− =H H

Si consideri ora la trasformazione tra le componenti di tensione nel sistema di

riferimento del problema e le componenti di tensione nel sistema di riferimento del

materiale. Siano σ e i tensori degli sforzi nei sistemi di riferimento del problema σ̂

1 2Oα α ζ′ e del materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ :



1 12 1 1 12 1

12 2 2 12 2 2

1 2 1 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ

n n

n n

n n n n n n

σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

σ σ ⎥⎥

T

(3.79)

I tensori (3.79) sono legati tra loro dalle seguenti espressioni:

ˆ ˆ,T= =σ H σH σ HσH (3.80)

Come ben noto, è la matrice dei coseni direttori H (3.77) che permette la

trasformazione di coordinate. Eseguendo le operazioni matriciali nelle prima delle

equazioni (3.80) e utilizzando la notazione vettoriale delle componenti di tensione, si

ottiene l’espressione compatta:

ˆ=σ Tσ (3.81)

che in forma estesa risulta essere: 2 2

1 12 2

2 2

1 1

2 22 2

12 12

ˆcos sin 0 0 0 sin 2ˆsin cos 0 0 0 sin 2ˆ0 0 1 0 0 0ˆ0 0 0 cos sin 0ˆ0 0 0 sin cos 0ˆsin cos sin cos 0 0 0 cos sin

n n

n n

n n

σ σθ θ θσ σθ θ θσ στ τθ θτ τθ θτ τθ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.82)

La relazione inversa tra e σ si ottiene esplicitando i termini della seconda equazione σ̂

(3.80):

ˆ =σ Gσ (3.83)

che in forma estesa assume l’aspetto: 2 2

1 12 2

2 2

1 1

2 22 2

12 12

ˆ cos sin 0 0 0 sin 2ˆ sin cos 0 0 0 sin 2ˆ 0 0 1 0 0 0ˆ 0 0 0 cos sin 0ˆ 0 0 0 sin cos 0ˆ sin cos sin cos 0 0 0 cos sin

n n

n n

n n

σ σθ θ θσ σθ θ θσ στ τθ θτ τθ θτ τθ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.84)

Si noti che la forma matriciale dell’equazione (3.84) può essere ottenuta dalla forma

matriciale (3.82) sostituendo θ con θ− .

Le equazioni di trasformazione delle componenti di deformazione possono essere

ricavate per analogia dalle equazioni di trasformazione delle componenti di tensione. Si ha:

ˆ ˆ,T= =ε H εH ε HεHT (3.85)

In differente notazione si può scrivere:



2 21 1

2 22 2

1 1

2 22 2

12 12

ˆcos sin 0 0 0 sin cosˆsin cos 0 0 0 sin cosˆ0 0 1 0 0 0ˆ0 0 0 cos sin 0ˆ0 0 0 sin cos 0ˆsin 2 sin 2 0 0 0 cos sin

n n

n n

n n

ε εθ θ θ θε εθ θ θ θε εγ γθ θγ γθ θγ γθ θ θ θ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.86)

2 21 1

2 22 2

1 1

2 22 2

12 12

ˆ cos sin 0 0 0 sin cosˆ sin cos 0 0 0 sin cosˆ 0 0 1 0 0 0ˆ 0 0 0 cos sin 0ˆ 0 0 0 sin cos 0ˆ sin 2 sin 2 0 0 0 cos sin

n n

n n

n n

ε εθ θ θ θε εθ θ θ θε εγ γθ θγ γθ θγ γθ θ θ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.87)

La matrice T dell’equazione (3.82) è la trasposta della matrice quadrata presente

nell’equazione (3.87) e la matrice di trasformazione nell’equazione (3.86) è la trasposta

della matrice G nell’equazione (3.84):

ˆ ˆ,T= =ε G ε ε T εT (3.88)

ˆζ ζ≡

O′

2α̂ 1α

θ θ

2α

1α̂ Figura 3.13 – Lamina con fibre orientate di un angolo θ .



3.1.4.2.4 Trasformazione dei coefficienti elastici

Nelle pagine precedenti sono state analizzate le leggi di trasformazione delle

componenti di tensione e di deformazione dal sistema di riferimento del materiale al

sistema di riferimento del problema e viceversa. Restano da determinare le leggi di

trasformazione delle componenti della matrice di rigidezza del materiale . Per ricavare

tali relazioni è possibile usare le equazioni di legame

ijC

ˆ ˆ=σ Cε , unitamente alle equazioni di

trasformazione delle tensioni (3.81), (3.83), e delle deformazioni (3.88). Componendo le

relazioni in parola si ha:

ˆ ˆ T= = = =σ Tσ TCε TCT ε Cε (3.89)

dove è la matrice di rigidezza nel sistema di riferimento del materiale, mentre C C è la

matrice di rigidezza nel sistema di riferimento del problema. Si deduce che la

trasformazione della matrice di rigidezza è data dalla relazione: T=C TCT (3.90)

Siano ijC gli elementi della matrice di rigidezza C e gli elementi della matrice di

rigidezza . La matrice di rigidezza per un materiale anisotropo

ijC

C (3.48) e la (3.90)

consentono di scrivere:

( )4 3 211 11 16 12 66cos 4 cos sin 2 2 cos sinC C C C C 2θ θ θ θ θ= − + + +

3 426 224 cos sin sinC Cθ θ θ− +

( ) ( )4 3 212 12 16 26 11 22 66cos 2 cos sin 4 cos sinC C C C C C C 2θ θ θ θ θ= + − + + − +

in

( ) 3 426 16 122 cos sin sC C Cθ θ θ+ − +

2 213 13 36 23cos 2 cos sin sinC C C Cθ θ θ= − + θ

( ) ( )4 316 16 11 12 66 26 16cos 2 cos sin 3 cos sinC C C C C C C 2 2θ θ θ θ θ= + − − + − +

sin

( ) 3 466 12 22 262 cos sinC C C Cθ θ θ+ + − −

( )4 3 222 22 26 12 66cos 4 cos sin 2 2 cos sinC C C C C 2θ θ θ θ θ= + + + +

3 416 114 cos sin sinC Cθ θ θ+ +

2 223 23 36 13cos 2 cos sin sinC C C Cθ θ θ= + + θ

( ) ( )4 326 26 12 22 66 16 26cos 2 cos sin 3 cos sinC C C C C C C 2 2θ θ θ θ θ= + − + + − +

( ) 3 411 12 66 162 cos sin sinC C C Cθ θ θ+ − − −



33 33C C=

( ) ( )2 236 13 23 36cos sin cos sinC C C Cθ θ θ= − + − θ

( ) ( )3 266 16 26 11 22 12 662 cos sin 2 2 cos sinC C C C C C C 2θ θ θ= − + + − − θ +

( ) ( )3 426 16 662 cos sin cos sinC C C 4θ θ θ+ − + + θ

2 244 44 55 45cos sin 2 cos sinC C C Cθ θ θ= + − θ

( ) ( )2 245 45 44 55cos sin cos sinC C C Cθ θ θ= − + − θ

2 255 55 44 45cos sin 2 cos sinC C C Cθ θ θ= + + θ

( ) ( )3 2 214 14 15 46 24 56 25cos 2 cos sin 2 cos sin sinC C C C C C C 3θ θ θ θ θ= + − + − + θ

( ) ( )3 2 215 15 14 56 25 46 24cos 2 cos sin 2 cos sin sinC C C C C C C 3θ θ θ θ θ= + − + − + θ

( ) ( )3 2 224 24 46 25 14 56 15cos 2 cos sin 2 cos sin sinC C C C C C C 3θ θ θ θ θ= + − + − − θ

( ) ( )3 2 225 25 56 24 15 46 14cos 2 cos sin 2 cos sin sinC C C C C C C 3θ θ θ θ θ= + + + + + θ

34 34 35cos sinC C Cθ θ= −

35 35 34cos sinC C Cθ θ= +

( ) ( )3 2 246 46 56 14 24 15 25 46 56cos cos sin cos sin sinC C C C C C C C C 3θ θ θ θ θ= + − + − + − + − + θ

( )3 256 56 15 25 46cos cos sinC C C C Cθ θ θ= + − + +

3

( ) 224 14 56 46cos sin sinC C C Cθ θ+ − + − − θ (3.91)

Per ricavare le leggi di trasformazione delle componenti ijK della matrice di cedibilità è

possibile usare le relazioni di legame ˆ ˆ=ε Kσ , unitamente alle equazioni di trasformazione

delle tensioni (3.81), (3.83) e delle deformazioni (3.88). Componendo le relazioni in parola

si ha:

ˆ ˆT T T= = = =ε G ε G Kσ G KGσ Kσ (3.92)

dove è la matrice di cedibilità nel sistema di riferimento del materiale, mentre K K è la

matrice di cedibilità nel sistema di riferimento del problema. Dalla relazione (3.92) si

deduce: T=K G KG (3.93)

Siano ijK gli elementi della matrice di cedibilità K e ijK gli elementi della matrice di

cedibilità . Ricordando la forma della matrice di cedibilità per un materiale anisotropo K

(3.49), la (3.93) consente di scrivere:



( )4 3 211 11 16 12 66cos 2 cos sin 2 cos sinK K K K K 2θ θ θ θ θ= − + + +

3 426 222 cos sin sinK Kθ θ θ− +

( ) ( )4 3 212 12 16 26 11 22 66cos cos sin cos sinK K K K K K K 2θ θ θ θ θ= + − + + − +

( ) 3 426 16 12cos sin sinK K Kθ θ θ+ − +

2 213 13 36 23cos cos sin sinK K K Kθ θ θ= − + θ

( ) ( )4 316 16 11 12 66 26 16cos 2 cos sin 3 cos sinK K K K K K K 2 2θ θ θ θ θ= + − − + − +

( ) 3 466 12 22 262 2 cos sin sinK K K Kθ θ θ+ + − −

( )4 3 222 22 26 12 66cos 2 cos sin 2 cos sinK K K K K 2θ θ θ θ θ= + + + +

3 416 112 cos sin sinK Kθ θ θ+ +

2 223 23 36 13cos cos sin sinK K K Kθ θ θ= + + θ

( ) ( )4 326 26 12 22 66 16 26cos 2 2 cos sin 3 cos sinK K K K K K K 2 2θ θ θ θ θ= + − + + − +

( ) 3 411 12 66 162 2 cos sin sinK K K Kθ θ θ+ − − −

33 33K K=

( ) ( )2 236 13 23 362 cos sin cos sinK K K Kθ θ θ= − + − θ

( ) ( )3 266 16 26 11 22 12 664 cos sin 2 2 2 4 cos sinK K K K K K K 2θ θ θ= − + + − − θ +

( ) ( )3 426 16 664 cos sin cos sinK K K 4θ θ θ+ − + + θ

2 244 44 55 45cos sin 2 cos sinK K K Kθ θ θ= + − θ

( ) ( )2 245 45 44 55cos sin cos sinK K K Kθ θ θ= − + − θ

2 255 55 44 45cos sin 2 cos sinK K K Kθ θ θ= + + θ

( ) ( )3 2 214 14 15 46 24 56 25cos cos sin cos sin sinK K K K K K K 3θ θ θ θ θ= − + + + − θ

( ) ( )3 2 215 15 14 56 25 46 24cos cos sin cos sin sinK K K K K K K 3θ θ θ θ θ= + − + − + θ

( ) ( )3 2 224 24 46 25 14 56 15cos cos sin cos sin sinK K K K K K K 3θ θ θ θ θ= + − + − − θ

( ) ( )3 2 225 25 56 24 15 46 14cos cos sin cos sin sinK K K K K K K 3θ θ θ θ θ= + + + + + θ

34 34 35cos sinK K Kθ θ= −

35 35 34cos sinK K Kθ θ= +

( )3 246 46 56 14 24cos 2 2 cos sinK K K K Kθ θ θ= + − + − +



( ) 2 315 25 46 562 2 cos sin sinK K K Kθ θ θ+ − + − −

( )3 256 56 15 25 46cos cos sinK K K K Kθ θ θ= + − − +

3

( ) 224 14 56 46cos sin sinK K K Kθ θ+ − − + θ (3.94)

Per un materiale ortotropo orientato di un angolo θ rispetto al sistema di riferimento del

problema, le matrici di rigidezza (3.90) e di cedibilità (3.93) diventano:

11 12 13 1611 12 13 16

21 22 23 2621 22 23 26

31 32 33 3631 32 33 36

44 4544 45

45 5545 55

16 26 36 6616 26 36 66

0 00 00 00 00 00 0

,0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 00 0

K K K KC C C CK K K KC C C CK K K KC C C C

K KC CK KC C

K K K KC C C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

C K (3.95)

3.1.4.2.5 Compositi laminati

Un laminato è un materiale composito costituito da una serie di lamine o strati

sovrapposti (figura 3.14) di differenti materiali. Esistono molteplici combinazioni di

materiali che consentono di ottenere laminati ognuno con caratteristiche meccaniche

differenti. Le lamine costituenti il composito laminato possono essere identificate

attraverso la posizione all’interno del laminato, il materiale costituente e l’orientazione

rispetto al sistema di riferimento del laminato.

La sequenza delle diverse orientazioni di ogni lamina che concorre alla formazione del

laminato è detta schema di laminazione o sequenza di sovrapposizione. Lo schema di

laminazione e le proprietà del materiale di ogni singola lamina sono fattori che permettono

al progettista di ottenere compositi che sono in grado di sviluppare caratteristiche

meccaniche prestabilite. Tuttavia, l’eterogeneità delle proprietà dei materiali costituenti il

laminato, gli sforzi di taglio tra le lamine, specialmente lungo i bordi del laminato, possono

causare il fenomeno di “delaminazione”. I compositi “functionally graded” sono nati con

lo scopo di eliminare la non omogeneità fisica dei laminati fibro-rinforzati, ossia le

discontinuità geometriche e le concentrazioni di tensione.

Il processo produttivo dei laminati è molto delicato e deve essere eseguito con la

massima accortezza per evitare difetti di fabbricazione dei materiali compositi, quali vuoti

interlaminari, incorretta orientazione o danneggiamento delle fibre, variazione di spessore

delle lamine. Tuttavia, risulta impossibile eliminare tutti i difetti di fabbricazione. Pertanto,



nell’analisi e nella progettazione dei compositi laminati, occorre considerare i diversi

meccanismi di rottura e le possibili imperfezioni.

In figura 3.14 è rappresentato un generico laminato costituito, ad esempio, da l lamine

di materiali ortotropi o “functionally graded”. La prima lamina si trova in corrispondenza

della superficie inferiore del guscio e l’ultima in corrispondenza della superficie superiore.

ζ

1α

2α

ζ

l

k

2h

kζ

1kζ +lζ 2

1lζ + 3ζ 1

2h

2ζ 1α

1k kh kζ ζ+= − 1ζ

Figura 3.14 – Laminato costituito da diversi strati.

La -esima lamina è caratterizzata dalle coordinate k kζ e 1kζ + rispetto alla superficie di

riferimento del laminato e dallo spessore 1k kh kζ ζ+= − . Lo spessore costante del laminato

è definito dalla relazione:



1

l

kk

h=

= h∑ (3.96)

La superficie media, posta a distanza 2h dalla superficie superiore e inferiore del

laminato, viene assunta come superficie di riferimento.

Per ogni lamina o strato costituente il laminato valgono le relazioni di trasformazione

delle componenti di tensione (3.82), (3.84), di deformazione (3.86), (3.87) e delle costanti

elastiche (3.90), (3.93). Per la -esima lamina, le relazioni k (3.89) e (3.92) possono porsi in

forma compatta nel modo seguente:

( ) ( ) ( )k k=σ C ε k (3.97)

( ) ( ) ( )k k=ε K σ k (3.98)

dove le equazioni di legame sono definite nel sistema di riferimento del problema.

Qualora la -esima lamina sia costituita da materiale “functionally graded”, le leggi

esponenziali

k

(3.74) assumono il seguente aspetto:

( ) ( )1 1oppurep p

k kkC C

k k k k

hV Vh h h hζ ζζ+ +⎛ ⎞ ⎛ +

= − = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

k kζ ⎞⎟⎠

(3.99)

mentre per le proprietà meccaniche si ha:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

1per

2 1

k k k k kC M C M

k k k k kC M C M

k k k k kkC M C M

kk

k

V

E E E V E

V

EG

v

ρ ζ ρ ρ ρ

ζ

kζ ζ ζν ζ ν ν ν

ζζ

ζ

+

= − +

= − +

≤ ≤= − +

=+

(3.100)

3.1.4.2.6 Equazioni costitutive per la teoria del primo ordine (FSDT)

Per lo studio dei gusci laminati moderatamente spessi, occorre aggiungere alle ipotesi

fondamentali introdotte dalla teoria del primo ordine, o FSDT, le ipotesi qui di seguito

elencate e riguardanti le assunzioni relative al comportamento meccanico dei materiali

compositi.

1) Le lamine costituenti il laminato sono perfettamente incollate tra di loro e durante la

deformazione non si verificano slittamenti relativi tra le lamine.

2) Il materiale di ogni strato è elastico lineare e risulta omogeneo su superfici parallele

alla superficie di riferimento.



3) Ogni lamina ha spessore uniforme e costante.

4) Gli spostamenti, e di conseguenza le deformazioni, sono infinitesimi.

5) Le tensioni tangenziali agenti sulle superfici inferiore e superiore del laminato sono

nulle.

L’ultima assunzione riflette il fatto che il problema inizialmente tridimensionale viene

trasformato in un problema bidimensionale, definito sulla superficie di riferimento del

guscio laminato, non permettendo di considerare gli sforzi tangenziali sulle superfici

inferiore e superiore del laminato.

In base alle ipotesi della FSDT, è lecito trascurare le componenti di deformazione ˆnε e

di tensione ˆnσ . Per tener conto di queste ipotesi occorre modificare le equazioni costitutive

(3.97). Nel sistema di riferimento del materiale la legge di Hooke (3.48) per la -esima

lamina anisotropa e monoclina si specializza nella seguente forma:

k

(3.101)

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 11 12 16 1

2 12 22 26 2

12 16 26 66 12

1 44 45 1

2 45 55 2

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ 0

ˆˆ

ˆˆ

k k k k

k k k k

k k k k

kn

k k k kn n

k k k kn n

C C C

C C C

C C C

C C

C C

σ ε

σ ε

τ γ

σ

τ γ

τ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k

k

k

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

dove 1 2ˆ ˆ ˆ, , nσ σ σ sono le componenti di tensione normale lungo le tre direzioni mutuamente

ortogonali del sistema di riferimento del materiale e 1 2ˆ ˆ ˆ, , nε ε ε le corrispondenti componenti

di deformazione, mentre 1 2 12ˆ ˆ ˆ, ,n nτ τ τ sono le tensioni tangenziali e 1 2 1ˆ ˆ ˆ, ,n n 2γ γ γ le

corrispondenti deformazioni. Qualora la -esima lamina sia ortotropa, si ha: k( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 11 12 1

2 12 22 2

12 66 12

1 44 1

2 55 2

ˆˆ 0

ˆˆ 0

ˆˆ 0 0

ˆ 0

ˆˆ 0

ˆˆ 0

k k k

k k k

k k

kn

k k kn n

k k kn n

Q Q

Q Q

Q

Q

Q

σ ε

σ ε

τ γ

σ

τ γ

τ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k

k

k

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

(3.102)

dove sono le rigidezze della -esima lamina e vengono definite attraverso le seguenti

relazioni in funzione delle costanti ingegneristiche:

( )kijQ k



( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 211 22 12

12 21 12 21 12 21

66 12 44 13 55 23

, ,1 1 1

, ,

k kk k k

k k k k k k

k k k k k k

E EQ Q Q

Q G Q G Q G

ν12 2k kE

ν ν ν ν= = =

− −

= = =

ν ν− (3.103)

Visto che i laminati sono costituiti dalla sovrapposizione di diverse lamine, ognuna

della quali può essere arbitrariamente orientata rispetto al sistema di riferimento del

laminato, le equazioni costitutive di ogni lamina devono essere trasformate nelle

coordinate del problema geometrico. Per la -esima lamina arbitrariamente orientata si ha: k

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 11 12 16 1

2 12 22 26 2

12 16 26 66 12

1 44 45 1

2 45 55 2

0

k k k k

k k k k

k k k k

kn

k k k kn n

k k k kn n

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q

Q Q

σ ε

σ ε

τ γ

σ

τ γ

τ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k

k

k

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

(3.104)

Ricordando le definizioni (3.91), se la k -esima lamina è anisotropa o monoclina, i

coefficienti ( )kijQ risultano definiti nel modo seguente:

( ) ( )kij ijQ C= k (3.105)

Considerando le equazioni (3.91) e (3.102), se la k -esima lamina è ortotropa, i

coefficienti ( )kijQ assumono il seguente aspetto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 211 11 12 66 22cos 2 2 sin cos sink k k k k k k kQ Q Q Q Q 4 kθ θ θ= + + + θ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 4 412 11 22 66 124 sin cos sin cosk k k k k k k kQ Q Q Q Qθ θ θ θ= + − + + k ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 222 11 12 66 22sin 2 2 sin cos cosk k k k k k k kQ Q Q Q Q 4 kθ θ θ= + + + θ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 316 11 12 66 12 22 662 sin cos 2 sin cosk k k k k k k k k kQ Q Q Q Q Q Q kθ θ θ= − − + − + θ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 326 11 12 66 12 22 662 sin cos 2 sin cosk k k k k k k k k kQ Q Q Q Q Q Q kθ θ θ= − − + − + θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 4 466 11 22 12 66 662 2 sin cos sin cosk k k k k k k k kQ Q Q Q Q Qθ θ θ θ= + − − + + k ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 244 44 55cos sink k k kQ Q Q kθ θ= + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )45 44 55 cos sink k k kQ Q Q kθ θ= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )255 55 44cos sink k k kQ Q Q 2 kθ θ= + (3.106)

Qualora la -esima lamina sia isotropa omogenea oppure non omogenea lungo lo

spessore, come accade per i “functionally graded materials”, dalle equazioni

k

(3.106) si ha:



( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 11 22 22 12 122 2

66 66 44 44 55 55

16 16 26 26 45 45

,1 1

2 1

0

k kk k k k k k

k k

kk k k k k k k

k

k k k k k k

E EQ Q Q Q Q Q

EQ Q Q Q Q Q G

Q Q Q Q Q Q

ν

ν ν

ν

= = = = = =− −

= = = = = = =+

= = = = = =

k

(3.107)

da cui discendono le relazioni:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 12 1( ) ( ) ( ) ( )2 12 11 2( ) ( ) ( )12 66 12

( )

( ) ( ) ( )1 66 1( ) ( ) ( )2 66 2

00

0 0

0

00

k k k

k k k

k k

kn

k k kn nk k kn n

Q QQ Q

Q

QQ

σ εσ ετ γ

σ

τ γτ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k

k

k

⎤⎥⎥⎥⎦

(3.108)

Si vuol far notare che, a differenza di un materiale isotropo omogeneo, per un materiale

“functionally graded” le costanti ingegneristiche del materiale (3.100) dipendono da ζ . Di

conseguenza dalle equazioni (3.107), discende che anche le costanti elastiche ( )kijQ

presenteranno la stessa dipendenza ( ( ) ( ) ( )k kij ijQ Q ζ= ).

Sono state determinate le leggi di Hooke per la generica lamina, il cui sistema di

riferimento 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ è arbitrariamente orientato rispetto al sistema di riferimento del

laminato 1 2Oα α ζ′ . Il passo successivo consiste nel ricavare il secondo sistema di

equazioni fondamentali, ossia le caratteristiche della sollecitazione interna.

3.1.4.3 Caratteristiche della sollecitazione

In figura 3.4 sono rappresentate le componenti di tensione agenti sull’elemento

infinitesimo di guscio. La soluzione del problema in termini delle varie componenti di

tensione, in un qualunque punto ( 1 2, , )α α ζ del solido, è oggetto della teoria dell’elasticità

tridimensionale. Per semplificare il problema delineato, le teorie ingegneristiche si

riferiscono alle risultanti di tensione, ossia a forze e coppie risultanti per unità di

lunghezza, definite mediante criteri di equivalenza statica. Risolto il problema in termini di

risultanti, si ritorna alle tensioni puntuali mediante inversione delle equazioni di

equivalenza. Si vuol far rilevare che questo procedimento di inversione, in alcuni casi, può



effettuarsi solo in via approssimata. La formulazione in termini di azioni risultanti piuttosto

che in termini di azioni puntuali, costituisce la più importante semplificazione nella teoria

dei gusci moderatamente spessi.

Per integrare le tensioni lungo lo spessore del guscio è necessario impiegare le leggi

costitutive (3.104), sostituendovi all’interno le equazioni (3.39), ossia riscrivere le

componenti di tensione in funzione delle caratteristiche della deformazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0 0 0 01 11 1 1 16 1 1 12 2 2 16 2

1 2

0 0 0 02 12 1 1 26 1 1 22 2 2 26 2 2

1 2

0 0 0 012 16 1 1 66 1 1 26 2 2 66 2 2

1 2

1

1 11 1

1 11 1

01 1

1 1

k k k k k

k k k k k

kn

k k k k k

kn

Q Q Q QR R

Q Q Q QR R

Q Q Q QR R

σ ε ζχ γ ζω ε ζχ γ ζωζ ζ

σ ε ζχ γ ζω ε ζχ γ ζωζ ζ

σ

τ ε ζχ γ ζω ε ζχ γ ζωζ ζ

τ

= + + + + + + ++ +

= + + + + + + ++ +

=

= + + + + + + ++ +

=

2

( ) ( )

( )( ) ( )

454411 1 12 2

1 2

45 552 12 1 22 2

1 2

1 1

1 1

kk

n n

k kkn n n

QQR R

Q QR R

κ μ κ μζ ζ

τ κ μ κ μζ ζ

++ +

= ++ +

(3.109)

In forma matriciale compatta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , ,k kα α ζ α α ζ α α=σ Q Z η (3.110)

Dove il vettore delle componenti di tensione è:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 1 2

Tk k k k k kn nσ σ τ τ τ⎡ ⎤= ⎣ ⎦σ (3.111)

La matrice è mostrata dalla Z (3.44) ed il vettore delle caratteristiche della

deformazione dalla η (3.41), infine la matrice ( )kQ è così composta:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11 12 16

12 22 26

16 26 66

11 44 12 45

12 45 22 55

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

k k k

k k k

k k k k

k k

k k

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q

Q Q

κ κ

κ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q (3.112)

Si vuol far notare che la (3.110) discende direttamente dalla (3.97) in cui è stato inserito

il legame tra componenti di deformazione e caratteristiche di deformazione (3.43).

Si noti, dalle (3.109), come le due componenti di tensione 1 2,n nτ τ associate agli

scorrimenti trasversali siano state scritte dividendo l’espressione originaria per il fattore di

taglio, o fattore di forma, 01κ κ= che in generale può essere considerato diverso nelle 3



componenti come mostra la matrice (3.112) in cui compaiono 11κ , 12κ e . Esso è un

fattore correttivo con cui si tiene conto che, in analogia con la teoria della trave, le tensioni

tangenziali non siano distribuite linearmente lungo lo spessore del guscio, bensì presentino

un andamento parabolico. Tale andamento non permetterebbe una facile integrazione degli

sforzi

22κ

1nτ e 2nτ a differenza di quanto accade per le integrazioni di 1 2 12, ,σ σ τ . Il fattore di

forma rappresenta il rapporto tra il valore di picco della tensione tangenziale ed il suo

valore medio lungo lo spessore del guscio. Nel caso di gusci moderatamente spessi esso

può essere assunto uguale a quello di una sezione rettangolare e quindi, in base alla teoria

approssimata del taglio, pari a 0 6 5κ = , anche se, a livello quantitativo, varia al variare

della sezione della laminato e al variare dello schema di laminazione.

A questo punto si è in grado di integrare agevolmente tutte le distribuzioni di tensione

lungo lo spessore del guscio ed i risultati ottenuti, ovvero le forze e le coppie risultanti,

vengono definite, convenientemente, per unità di lunghezza sulla superficie di riferimento.

A tal proposito, in base allo schema di 3.4, si osservi che una forza generalizzata agente

nella sezione ortogonale alla linea coordinata 1α per una lunghezza unitaria di linea

parametrica 2α è fornita dal prodotto tra la componente di tensione ad essa associata e la

lunghezza calcolata mediante la seconda equazione 2ds (3.8). Analogamente, una forza

generalizzata agente nella sezione ortogonale alla linea coordinata 2α per una lunghezza

unitaria di linea parametrica 1α è data dal prodotto tra la componente di tensione ad essa

associata e la lunghezza calcolata mediante la prima equazione 1ds (3.8). Infine, le azioni

risultanti, agenti sull’elemento infinitesimo di guscio laminato lungo le due direzioni

coordinate 1 2,α α , possono essere valutate mediante l’integrazione delle quantità appena

definite lungo lo spessore del guscio. Per un laminato costituito da lamine, si ottiene: l

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 2 2 1 2 2 1 21 1

1k k

k k

l lk k

k kds d A R d d N A d

ζ ζ

ζ ζ2σ ζ ζ σ ζ ζ α α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 1 1 2 1 1 2 11 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ1σ ζ ζ σ ζ ζ α α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

12 2 2 12 2 2 12 2 21 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ

τ ζ ζ τ ζ ζ α α+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫



( ) ( ) ( ) ( )1 1

21 2 1 21 1 1 21 1 11 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ

τ ζ ζ τ ζ ζ α α+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 2 2 1 2 2 1 21 1

1k k

k k

l lk k

k kds d A R d d M A d

ζ ζ

ζ ζ2σ ζ ζ ζ σ ζ ζ ζ α α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 1 1 2 1 1 2 11 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ1σ ζ ζ ζ σ ζ ζ ζ α α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

12 2 2 12 2 2 12 2 21 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ

τ ζ ζ ζ τ ζ ζ ζ α α+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

21 1 1 21 1 1 21 1 11 1

1k k

k k

l lk k


ζ ζ

ζ ζ

τ ζ ζ ζ τ ζ ζ ζ α α+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 2 2 1 2 2 1 21 1

1k k

k k

l lk kn n

k kds d A R d d T A d

ζ ζ

ζ ζ2τ ζ ζ τ ζ ζ α α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 1 1 2 1 1 2 11 1

1k k

k k

l lk kn n

k kds d A R d d T A d

ζ ζ

ζ ζ1τ ζ ζ τ ζ ζ α

+ +

= =

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ α (3.113)

dove kζ e 1kζ + determinano la posizione delle facce superiore ed inferiore della -esima

lamina. Nelle definizioni appena mostrate le espressioni fra parentesi tonde rappresentano

le sollecitazioni interne per unità di lunghezza, nelle rispettive direzioni coordinate. Queste

quantità possono essere definite, in modo alternativo, sfruttando le definizioni di area

infinitesima

k

(3.9) e di lunghezza d’arco (3.8). Le azioni risultanti sono esprimibili anche

nel modo seguente:

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

21 1 1 2

1 12

10

k k

k k

l lk k

k k

dN R

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζdσ σ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

12 2 2 1

1 11

10

k k

k k

l lk k

k k

dN R

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζdσ σ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

212 12 12 2

1 12

10

k k

k k

l lk k

k k

dN R

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζdτ τ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

121 21 21 1

1 11

10

k k

k k

l lk k

k k

dN R

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζdτ τ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

21 1 1 2

1 12

10

k k

k k

l lk k

k k

dM R d

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζσ ζ σ ζ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫



( ) ( )( )

( ) ( )1 1

12 2 2 1

1 11

10

k k

k k

l lk k

k k

dM R d

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζσ ζ σ ζ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

212 12 21 2

1 12

10

k k

k k

l lk k

k k

dM R d

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζτ ζ τ ζ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

121 21 21 1

1 11

10

k k

k k

l lk k

k k

dM R d

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζτ ζ τ ζ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

21 1 1 2

1 12

10

k k

k k

l lk kn n

k k

dT R

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζdτ τ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

12 2 2 1

1 11

10

k k

k k

l lk kn n

k k

dT

ds

ζ ζ

ζ ζ

ζR dτ τ ζ ζ

+ +

= =

Σ= = +∑ ∑∫ ∫ (3.114)

Le equazioni (3.114) possono essere espresse in forma matriciale come segue: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

11

12 121 2

1 1

22

21 211 1

2 2

1 1

112 212

2

21

1

1

1

k

lk

k kn

k

lk

k kn

kl

kk

NN d

RT

NN d

RT

Md

M R

MM

κ

κ

κ

κ

κ

κ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

σζτ ζ

τ

σζτ ζ

τ

σ ζ ζ ζτ

+

+

+

=

=

=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢⎣

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫( )

( )

12

1 121

1kl

kk

dR

κ

κ

ζ

ζ

σ ζ ζ ζτ

+

=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎦ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∫

(3.115)

Dalle relazioni (3.115), si può notare che la simmetria del tensore degli sforzi ( 12 21τ τ= )

non implica necessariamente che le sollecitazioni e siano uguali tra loro o che lo

siano le azioni risultanti

12N 21N

12M e 21M . Ciò accade solo per gusci di rivoluzione caricati in

maniera assialsimmetrica, per il guscio sferico e per le piastre. Dal momento che la teoria

tiene conto dell’effetto della curvatura, è lecito risolvere il problema riferendosi alla

superficie media del guscio, non trascurando i termini del tipo 1 , 2R Rζ ζ rispetto

all’unità ( 1 21, 1R Rζ ζ ), quindi le azioni interne , e 12N 21N 12M , 21M sono diverse

tra loro a due a due: , 12 21N N≠ 12 21M M≠ . Sono state così definite le caratteristiche di

sollecitazione, e precisamente:



1N = sforzo normale associato a 1σ (sforzo di membrana lungo 1α )

2N = sforzo normale associato a 2σ (sforzo di membrana lungo 2α )

12N = sforzo di taglio associato a 12τ (taglio di membrana)

21N = sforzo di taglio associato a 21τ (taglio di membrana)

1M = momento flettente associato a 1σ (momento flettente in direzione 2α )

2M = momento flettente associato a 2σ (momento flettente in direzione 1α )

12M = momento torcente associato a 12τ (momento torcente in direzione 1α )

21M = momento torcente associato a 21τ (momento torcente in direzione 2α )

1T = sforzo di taglio associato a 1nτ (taglio trasversale ortogonale ad 1α )

2T = sforzo di taglio associato a 2nτ (taglio trasversale ortogonale ad 2α )

In sintesi, si vuol far notare che le caratteristiche di sollecitazione illustrate in figura

3.15 sono positive, per definizione, e sono in tutto dieci. Esse possono essere raggruppate

all’interno del vettore algebrico degli sforzi generalizzati per unità di lunghezza:

( ) [ ]1 2 1 2 12 21 1 2 12 21 1 2, , Tt N N N N M M M M T Tα α =S (3.116)

Inserendo nelle definizioni (3.115) le equazioni (3.109) si ottengono le equazioni di

legame tra le caratteristiche della sollecitazione e le caratteristiche della deformazione:

( ) ( ) ( ) (1

1 2 1 2 1 21

, , ,k

k

lk

kd

ζ

ζ

),α α α α ζ ζ α α+

=

⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠∑ ∫S Q R η⎟⎟ (3.117)

In forma estesa il legame costitutivo tra caratteristiche della sollecitazione e caratteristiche

della deformazione acquista la forma seguente:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

10 02

1 11 1 16 1 11 1 16 11 1

0 012 2 16 2 12 2 16 2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

RN Q Q QR

Q Q Q Q d

ζ

ζ

ζ ε γ ζ χ ωζ

ε γ ζ χ ω ζ

+

=

⎛ + Q= + + +⎜ +⎝

⎞+ + + + ⎟⎠

∑ ∫ +

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

10 0

2 12 1 26 1 12 1 26 11

0 0122 2 26 2 22 2 26 2

2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

N Q Q Q Q

R Q Q Q Q dR

ζ

ζ

ε γ ζ χ ω

ζ ε γ ζ χ ω ζζ

+

=

⎛= + + + +⎜⎝

⎞++ + + + ⎟+ ⎠

∑ ∫



( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

10 02

12 16 1 66 1 16 1 66 11 1

0 026 2 66 2 26 2 66 2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

RN Q Q QR

Q Q Q Q d

ζ

ζ

ζ ε γ ζ χ ωζ

ε γ ζ χ ω ζ

+

=

⎛ += + + +⎜ +⎝

⎞+ + + + ⎟⎠

∑ ∫ Q +

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

10 0

21 16 1 66 1 16 1 66 11

0 0126 2 66 2 26 2 66 2

2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

N Q Q Q Q

R Q Q Q Q dR

ζ

ζ

ε γ ζ χ ω

ζ ε γ ζ χ ω ζζ

+

=

⎛= + + + +⎜⎝

⎞++ + + + ⎟+ ⎠

∑ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

10 0 22

1 11 1 16 1 11 1 16 11 1

0 0 212 2 16 2 12 2 16 2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

RM Q Q QR

Q Q Q Q d

ζ

ζ

ζ ζ ε γ ζ χ ωζ

ζ ε γ ζ χ ω ζ

+

=

⎛ += + +⎜ +⎝

⎞+ + + + ⎟⎠

∑ ∫ Q+ +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

10 0 2

2 12 1 26 1 12 1 26 11

0 0 2122 2 26 2 22 2 26 2

2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

M Q Q Q Q

R Q Q Q Q dR

ζ

ζ

ζ ε γ ζ χ ω

ζ ζ ε γ ζ χ ω ζζ

+

=

⎛= + + + +⎜⎝

⎞++ + + + ⎟+ ⎠

∑ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

10 0 22

12 16 1 66 1 16 1 66 11 1

0 0 226 2 66 2 26 2 66 2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

RM Q Q QR

Q Q Q Q d

ζ

ζ

ζ ζ ε γ ζ χ ωζ

ζ ε γ ζ χ ω ζ

+

=

⎛ += + +⎜ +⎝

⎞+ + + + ⎟⎠

∑ ∫ Q+ +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

10 0 2

21 16 1 66 1 16 1 66 11

0 0 2126 2 66 2 26 2 66 2

2

11

k

k

lk k k k

k

k k k k

M Q Q Q Q

R Q Q Q Q dR

ζ

ζ

ζ ε γ ζ χ ω

ζ ζ ε γ ζ χ ω ζζ

+

=

⎛= + + + +⎜⎝

⎞++ + + + ⎟+ ⎠

∑ ∫

( ) ( )1

0 021 11 44 1 12 45 2

1 1

11

k

k

lk k

k

RT QR

ζ

ζ

ζκ μ κ Q dμ ζζ

+

=

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ ∫

( ) ( )1

0 12 12 45 1 22 55 2

1 2

11

k

k

lk

k

RT Q QR

ζ

ζ

ζκ μ κ μ 0k dζζ

+

=

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ ∫ (3.118)

Per poter svolgere le integrazioni si dovrà saper esprimere il termine contenente l’effetto

della curvatura in maniera più semplice, ad esempio sfruttando lo sviluppo in serie di

funzione si ottengono i risultati che seguono:



2 321 2

1

2 311 2

2

1 111 11

R a aRR b b bR

3

3

aζ ζ ζ ζζζ ζ ζ ζζ

+≅ + + +

++

≅ + + ++

(3.119)

In cui i coefficienti che compaiono a secondo membro ( , , , , , ) sono i

coefficienti che tengono conto dell’effetto della curvatura essendo funzione dei raggi di

curvatura

1a 2a 3a 1b 2b 3b

1R ed 2R . Tali coefficienti sono definiti:

1 2 3 22 1 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1; ;a a a2R R R R R

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ R R

1 2 3 21 2 2 2 1 1

1 1 1 1 1 1; ;b b b2R R R R R

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ R R (3.120)

* * * Si dimostra come si arrivi alla semplificazione (3.119) ed alla definizione dei coefficienti legati alla curvatura

(3.120).

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 1

1 2

2 2

1 1

1 1

R R

R R

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

−

−

+ ≅ − +

+ ≅ − +

1

2

R

R

Dopo aver sviluppato in serie di Taylor i termini mostrati sopra, si deve eseguire il prodotto tra i sue fattori: 2

2 3 221 22 2

1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2

22 3 21

1 22 22 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2

1 1 1 1 1 1 11 1 1 11

1 1 1 1 1 1 11 1 1 11

R a aR R R R R R R R R R R

R b b bR R R R R R R R R R R

ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζζ

ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζζ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+≅ + − + = + − + − + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+

≅ + − + = + − + − + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33

33

aζ

ζ

) +

Osservando con attenzione i prodotti ottenuti, scaturiscono immediatamente le definizioni fornite ai coefficienti

legati alla curvatura.

* * *

Introducendo le matrici , e B , denominate matrice di rigidezza membranale, matrice

di rigidezza flessionale e matrice di rigidezza d’accoppiamento flesso- membranale,

rispettivamente, e le matrici E, F, H (che dipendono in generale da un esponente superiore

al terzo grado dello spessore del guscio) le caratteristiche della sollecitazione in termini di

caratteristiche della deformazione assumono la forma:

A D

( ) (( )

0 0 0 01 11 1 12 2 16 1 16 2 11 1 12 2 16 1 16 2

0 0 0 01 11 1 16 1 11 1 16 1 2 11 1 16 1 11 1 16 1

0 03 11 1 16 1 11 1 16 1

N A A A A B B B B

a B B D D a D D E E

a E E F F

ε ε γ γ χ χ ω ω

ε γ χ ω ε γ χ ω

ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +



( ) (( )

0 0 0 02 12 1 22 2 26 1 26 2 12 1 22 2 26 1 26 2

0 0 0 01 22 2 26 2 22 2 26 2 2 22 2 26 2 22 2 26 2

0 03 22 2 26 2 22 2 26 2

N A A A A B B B B

b B B D D b D D E E

b E E F F



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

) +

) +

) +

) +

) +

) +

) +

κ μ

0μ κ μ

( ) (( )

0 0 0 012 16 1 26 2 66 1 66 2 16 1 26 2 66 1 66 2

0 0 0 01 16 1 66 1 16 1 66 1 2 16 1 66 1 16 1 66 1

0 03 16 1 66 1 16 1 66 1

N A A A A B B B B

a B B D D a D D E E

a E E F F



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) (( )

0 0 0 021 16 1 26 2 66 1 66 2 16 1 26 2 66 1 66 2

0 0 0 01 26 2 66 2 16 2 66 2 2 26 2 66 2 26 2 66 2

0 03 26 2 66 2 26 2 66 2

N A A A A B B B B

b B B D D b D D E E

b E E F F



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) (( )

0 0 0 01 11 1 12 2 16 1 16 2 11 1 12 2 16 1 16 2

0 0 0 01 11 1 16 1 11 1 16 1 2 11 1 16 1 11 1 16 1

0 03 11 1 16 1 11 1 16 1

M B B B B D D D D

a D D E E a E E F F

a F F H H



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) (( )

0 0 0 02 12 1 22 2 26 1 26 2 12 1 22 2 26 1 26 2

0 0 0 01 22 2 26 2 22 2 26 2 2 22 2 26 2 22 2 26 2

0 03 22 2 26 2 22 2 26 2

M B B B B D D D D

b D D E E b E E F F

b F F H H



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) (( )

0 0 0 012 16 1 26 2 66 1 66 2 16 1 26 2 66 1 66 2

0 0 0 01 16 1 66 1 16 1 66 1 2 16 1 66 1 16 1 66 1

0 03 16 1 66 1 16 1 66 1

M B B B B D D D D

a D D E E a E E F F

a F F H H



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) (( )

0 0 0 021 16 1 26 2 66 1 66 2 16 1 26 2 66 1 66 2

0 0 0 01 26 2 66 2 16 2 66 2 2 26 2 66 2 26 2 66 2

0 03 26 2 66 2 26 2 66 2

M B B B B D D D D

b D D E E b E E F F

b F F H H



ε γ χ ω

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + +

( ) 0 01 11 44 1 44 2 44 3 44 1 12 45 2T A a B a D a E Aκ μ= + + + +

( ) 02 22 55 1 55 2 55 3 55 2 12 45 1T A b B b D b E Aκ= + + + + (3.121)

Tale sistema di equazioni può essere scritto in forma matriciale compatta come segue:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , ,α α α α α α=S P η (3.122)

Avendo indicato con ( 1 2, )α αP la matrice costitutiva, in generale funzione delle

coordinate 1,α 2α in particolare può essere espressa come somma di matrici costanti

moltiplicate per i coefficienti legati alla curvatura (3.120).



( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 1 2 2 1 2 3 1 2

1 1 2 2 1 2 3 1 2

,

, , ,

, , ,

a a a

b b b

α α

α α α α α α

α α α α α α

= +

+ + +

+ + +

0

0 01 2

0 01 2

P P

A A

B B

+03

03

A

B

(3.123)

ζ Superficie di riferimento o

superficie media

O′

1T

12M 2T

21M 1α

12N 1N

2α 21N

2N

1M 2M

Figura 3.15 – Caratteristiche della sollecitazione agenti sul piano medio dell’elemento di guscio.

Di seguito si mostrano le matrici nel dettaglio, si noti come aggiungendo l’effetto della

curvatura si aggiungano molti termini al legame costitutivo, che nella teoria classica del

primo ordine solitamente vengono trascurati.

11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26 12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16 26 66 66

11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26 12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16

0 00 00 00 00 00 00 0

A A A A B B B BA A A A B B B BA A A A B B B BA A A A B B B BB B B B D D D DB B B B D D D DB B B B D D D DB B B B D

=0P

26 66 66

11 44 12 45

12 45 22 55

0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

D D DA AA A

κ κκ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.124)



11 16 11 16

16 66 16 66

11 16 11 16

16 66 16 66

11 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B B D D

B B D D

D D E E

D D E E

Bκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

01A (3.125)

11 16 11 16

16 66 16 66

11 16 11 16

16 66 16 66

11 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D D E E

D D E E

E E F F

E E F F

Dκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

02A (3.126)

11 16 11 16

16 66 16 66

11 16 11 16

16 66 16 66

11 44

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

E E F F

E E F F

F F H H

F F H H

Eκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

03A

0

0

0

0

(3.127)



22 26 22 26

26 66 26 66

22 26 22 26

26 66 26 66

22 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

B B D D

B B D D

D D E E

D D E E

Bκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

01B (3.128)

22 26 22 26

26 66 26 66

22 26 22 26

26 66 26 66

22 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

D D E E

D D E E

E E F F

E E F F

Dκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

02B (3.129)

22 26 22 26

26 66 26 66

22 26 22 26

26 66 26 66

22 55

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

E E F F

E E F F

F F H H

F F H H

Eκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

03B (3.130)

In altra forma il sistema può essere posto nel modo seguente:



1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= + + +⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎝

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

N A B 0 B' D' 0 D' E' 0 E' F' 0M B D 0 D' E' 0 E' F' 0 F' H' 0T 0 0 C 0 0 C' 0 0 G' 0 0 J'

B'' D'' 0 D'' E'' 0 E'' F'' 0D'' E'' 0 E'' F'' 0 F'' H''0 0 C'' 0 0 G''

⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠

ε0 γ

0 0 J'' μ

⎤⎥ +⎥⎥⎦

(3.131)

Gli elementi delle matrici , , , , , dipendono dai coefficienti elastici A D B E F H ( )kijQ

e sono definiti:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

2

1 1 1

3 4

1 1 1

, ,

, ,

k k k

k k k

k k k

k k k

l l lk k k

ij ij ij ij ij ijk k k

l l lk k

ij ij ij ij ij ijk k k

A Q d B Q d D Q d

5kE Q d F Q d H Q d

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ ζ

+ + +

+ + +

= = =

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (3.132)

Le relazioni (3.131) rappresentano le equazioni di legame costitutivo per un guscio in

materiale anisotropo. Esse definiscono il legame tra le variabili secondarie del problema, o

di seconda specie (le caratteristiche della sollecitazione interna) e le variabili primali, o di

prima specie (le caratteristiche della deformazione). Si vuole sottolineare ancora una volta

che, le variabili primali, come pure le variabili secondarie sono state definite sulla

superficie di riferimento, consentendo di trasformare il problema originariamente

tridimensionale in un problema bidimensionale.

3.1.5 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

A questo punto è possibile stabilire le relazioni che esprimono l’equilibrio dinamico

dell’elemento infinitesimo di guscio. Prima di effettuare questa operazione, risulta

necessario alterare la definizione di elemento infinitesimo. Infatti, la distribuzione delle

tensioni lungo lo spessore del guscio è stata sostituita con le risultanti delle azioni interne,

definite sulla superficie di riferimento, al fine di trasformare l’iniziale problema di

elasticità tridimensionale in un problema bidimensionale. D’ora in avanti, si assume che

l’elemento infinitesimo di guscio di spessore dζ (figura 3.4) venga sostituito da un

elemento di spessore costante , in accordo con l’integrazione eseguita lungo h ζ . In

generale, su questo elemento agiscono tutte le risultanti delle azioni interne definite

precedentemente, oltre alle forze esterne che si possono pensare suddivise in forze di

volume e forze di superficie. Le sollecitazioni interne sono applicate lungo i bordi laterali



dell’elemento infinitesimo (figura 3.15). Le forze di volume e le forze di superficie, invece,

agiscono in ogni punto del volume e sulle superfici inferiore e superiore dell’elemento

fondamentale, rispettivamente. Le risultanti degli sforzi interni sono definite per unità di

lunghezza sulla superficie di riferimento. Pertanto, risulta opportuno trasformare anche le

azioni esterne in forze staticamente equivalenti agenti sulla superficie media del guscio.

Dette forze, denominate azioni esterne generalizzate, rappresentano le variabili di sorgente

del problema e permettono di definire le equazioni che governano il comportamento di un

guscio moderatamente spesso. Le equazioni indefinite di equilibrio verranno determinate

seguendo due strade diverse: si sfrutta il principio di Hamilton verificandone i risultati

attraverso il metodo diretto, o dell’equilibrio di un elemento infinitesimo.

3.1.5.1 Vettore delle azioni esterne generalizzate

Il vettore delle forze esterne generalizzate include al suo interno tutti i possibili tipi di

forze di volume e di superficie agenti su una porzione d’area unitaria della superficie di

riferimento. Esso è il vettore algebrico duale del vettore degli spostamenti generalizzati

(3.12). Nel riferimento adottato la sua definizione è fornita dalla seguente scrittura:

( )1 2 1 2 1 2, ,T

nt q q q m mα α ⎡ ⎤= ⎣ ⎦q (3.133)

ζ


O′ nq

2m 1m

1q 1α

2q

2α

Figura 3.16 – Componenti del vettore delle azioni esterne generalizzate agenti sulla superficie di riferimento.

dove sono le componenti delle azioni esterne (agenti su un’area unitaria della 1 2, , nq q q



superficie media) nelle corrispondenti direzioni coordinate ortogonali 1 2, ,α α ζ ;

rappresentano le coppie distribuite per unità di superficie associate alle corrispondenti

rotazioni, mentre indica la variabile temporale. In figura 3.16 sono riportate le

componenti del vettore delle azioni esterne equivalenti agenti sulla superficie di

riferimento.

1 2,m m

t

3.1.5.2 Equazioni del moto mediante il principio di Hamilton

Le equazioni del moto per un guscio moderatamente spesso possono essere ricavate

attraverso il principio variazionale di Hamilton. Esso è estremamente efficace, in quanto

semplice ed elegante, permettendo di ricavare contemporaneamente sia le equazioni

indefinite di equilibrio che le condizioni naturali o statiche al contorno del problema.

Si consideri come corpo elastico un guscio che cambi continuamente il suo stato tra due

istanti consecutivi e e che sia in equilibrio sotto l’azione del vettore delle forze di

superficie

1t 2t

( )1 2, ,α α ζp e del vettore delle forze di volume ( )1 2, ,α α ζf . Definita con

u= + pS S S la superficie totale del guscio, generalmente si assume che le forze di

superficie risultino note sulla porzione pS del corpo, mentre gli spostamenti siano imposti

sulla porzione restante uS . Inoltre, sia il vettore spostamento nella configurazione di

equilibrio e si consideri un arbitrario vettore spostamento

U

δ+U U in cui la variazione δU

rappresenta un vettore, le cui componenti sono gli spostamenti virtuali. Sulla porzione di

superficie uS il vettore U è assegnato e quindi si ha δ =U 0 . Sulla porzione di superficie

pS , la variazione δU risulta arbitraria. Il principio di Hamilton afferma che il percorso

seguito dal corpo durante il processo dinamico in parola può esprimersi come segue:

(3.134) ( ) ( )2 2

1 1

0t t

t t

dt dtδ δ δ−Π = → − Π =∫ ∫T T 0

dove indica l’energia cinetica del sistema, T Π è l’energia potenziale totale e i termini

δT ,δ Π rappresentano le rispettive variazioni. In altre parole, l’equazione (3.134) afferma

che l’integrale tra e della funzione 1t 2t ( )−ΠT possiede un valore estremo, che si può

dimostrare essere un minimo. Nel caso in cui il processo sia statico (indipendenza del

problema dal tempo), si ottiene il principio di minimo dell’energia potenziale totale:

0δ Π = (3.135)



L’energia potenziale totale Π è definita dalla somma dell’energia elastica di

deformazione e del potenziale dei carichi esterni Φ H :

HΠ = Φ + (3.136)

L’energia elastica di deformazione Φ può essere espressa in termini di densità di

energia di deformazione φ (visto che si è fatta l’ipotesi di materiale elastico lineare), e il

potenziale dei carichi H è dato dalla somma dei lavori, cambiati di segno, delle forze di

superficie p e dalle forze di volume : f

1, , ,2 ij ijd iφ φ σ εΦ = = =∫

V

V 1, 2,3j (3.137)

T TeH L d d= − = − −∫ ∫p U f US

V

VS

(3.138)

L’energia cinetica T è definita dalla relazione:

12

T dρ= ∫ U UV

T V (3.139)

dove ρ è la densità del materiale. Sostituendo le equazioni (3.137) e (3.138) all’interno

dell’equazione (3.136) e il risultato così ottenuto nell’equazione (3.134), il principio di

Hamilton può essere espresso nella forma:

2

1

1 02

tT T T

t

d d d d dtδ ρ φ⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫U U p U f U

V V V

V V VSS

= (3.140)

In notazione più compatta si può scrivere:

( )2 2

1 1

0t t

et t

dt L dtδ δ−Φ + =∫ ∫T (3.141)

L’integrale di volume (3.139) può essere riscritto come integrale triplo nelle coordinate

ortogonali del sistema locale 1 2Oα α ζ′ . Sostituendo al vettore la sua definizione U (3.11) e

sviluppando tutte le operazioni e semplificazioni, l’energia cinetica T in termini di

spostamenti generalizzati (variabili di configurazione) assume il seguente aspetto:

( ) ( ) ( )( )1 2

2 2 2 2 20 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 22

I u u w I u u I A A d dα α

β β β β α= + + + + + +∫ ∫T α (3.142)

dove i termini 0 1 2, ,I I I prendono il nome di masse inerziali e sono definite nel modo

seguente:

( )1

1 1 2

1 1 , 0,k

k

lk i

ik

IR R

ζ

ζ

ζ ζρ ζ ζ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∫ 1,2d i = (3.143)



dato che si sta considerando un guscio laminato costituito da l lamine. E’ da notare che,

quando la -esima lamina è costituita da materiale “functionally graded”, occorre eseguire

l’integrazione lungo lo spessore, vista la dipendenza dalla variabile

k

ζ della densità del

materiale ( ) ( )kρ ζ espressa nell’equazione (3.100). In tutti gli altri casi, le equazioni

(3.143) diventano:

( ) ( )

( ) ( )

( )

11

11

2 2 3

01 11 2 1 2 1 2

2 3 3 4

11 11 2 1 2 1 2

22

1

1 12 2 3

1 12 3 3 4

1

kk

k k

kk

k k

l lk k

k k

l lk k

k k

k

I dR R R R R R

I dR R R R R R

IR

ζζ

ζ ζ

ζζ

ζ ζ

ζ

ζ ζ ζ ζ ζρ ζ ρ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ ζρ ζ ζ ρ

ζρ ζ

++

++

= =

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑∫

∑ ∑∫

( )1

1 3 4 4 5

1 12 1 2

13 4 4 5

kk

k k

l lk

k kd

R R R

ζζ

ζ

ζ ζ ζ ζ ζζ ρ+

+

= =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + + +⎜ ⎟

1 2R R⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑ ∑∫

(3.144)

In maniera analoga, dall’equazione (3.137) dell’energia elastica di deformazione Φ

risulta la seguente relazione:

( )( )1 2

1 2 1 2 1 21 1 1 , , 1,2 ij ij A A R R d d d i j

α α ζ

σ ε ζ ζ α α ζ⎛ ⎞Φ = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 2,3

)

2

(3.145)

Avendo ipotizzato che tutte le forze di volume e di superficie agenti sul guscio possono

essere sostituite da forze staticamente equivalenti, ma applicate sulla superficie di

riferimento , il lavoro compiuto dalle forze esterne ( 0ζ = (3.133) per gli spostamenti

(3.12) risulta:

( ) ( ) ( )1

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 10 0Te nL ds ds q u q u q w m m A A d d

α α α α

β β α= = + + + +∫ ∫ ∫ ∫q u α (3.146)

dove ( )1 0ds e sono date dalle equazioni ( )2 0ds (3.8). Nel definire il lavoro delle forze

esterne occorre tenere in conto che le tensioni agenti nelle zone laterali di confine del

guscio compiono anch’esse lavoro. Si dovrà aggiungere, quindi, il loro contributo al lavoro

1eL . I contribuiti aggiuntivi sono due: uno relativo ai bordi laterali ad 1α costante e l’altro

riferito ai bordi laterali ad 2α costante. Indicando con 1 12 1, , nσ τ τ le tensioni agenti lungo il

bordo ad 1α costante e con 2 21 2, , nσ τ τ le tensioni agenti lungo il bordo ad 2α costante

(figura 3.4), i suddetti contributi al lavoro complessivo risultano i seguenti: eL



( ) ( )

( )

2

2

2

1 1 12 2 1 2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2

e nL U U W ds d

N u N u T w M M A d

α ζ

α

σ τ τ ζ ζ

β β α

= + + =

= + + + +

∫ ∫

∫ (3.147)

( ) ( )

( )

3

1

1

21 1 2 2 2 1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1

e nL U U W ds d

N u N u T w M M A d

α ζ

α

τ σ τ ζ ζ

β β α

= + + =

= + + + +

∫ ∫

∫ (3.148)

Le relazioni (3.147) e (3.148) sono state ottenute sostituendo le quantità ( ) ( )1 2,ds dsζ ζ

e definite dalle espressioni 1 2, ,U U W (3.8) e (3.11), rispettivamente, ed eseguendo

l’integrazione lungo lo spessore. Inoltre, si è fatto uso della definizione delle caratteristiche

della sollecitazione interna (3.115) e del fatto che le componenti di spostamento

generalizzato sono indipendenti da ζ . In definitiva, il lavoro complessivo compiuto dalle

forze esterne risulta essere la somma dei tre contributi (3.146), (3.147) e (3.148):

1 2e e e 3eL L L L= + + (3.149)

* * * Di seguito vengono ricavate le espressioni dell’energia cinetica T (3.142), dell’energia elastica di

deformazione Φ (3.145) e del lavoro delle forze esterne eL (3.149) precedentemente introdotte. Ricordando

le definizioni (3.8), (3.11) ed il fatto che il guscio in materiale composito è costituito da l lamine, per quanto

riguarda l’energia cinetica T si ha:

( ) ( )1 2

1 2

1 12 2

T Td ds dsα α ζ

dρ ρ ζ ζ ζ= =∫ ∫ ∫ ∫U U U UV

T V =

( ) ( ) ( )1 2

2 2 21 2 1 1 2 2 1 2

1 1 12

U U W A R A R d d dα α ζ

ρ ζ ζ α α ζ= + + + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( )1 2

2 22

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 12

u u w A A R R d dα α ζ

dρ ζβ ζβ ζ ζ α α ζ= + + + + + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( )1 2

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 12

u u u u w A A R R d d dα α ζ

ρ ζ β ζ β ζ β ζ β ζ ζ α α ζ= + + + + + + + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( )1 2

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 12

u u w A A R R d d dα α ζ

ρ ζ ζ α α ζ= + + + + +∫ ∫ ∫

( ) ( )( )1 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 12

u u A A R R d d dα α ζ

ρζ β β ζ ζ α α ζ+ + + +∫ ∫ ∫ +

( ) ( )( )1 2

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 12

A A R R d d dα α ζ

ρζ β β ζ ζ α α ζ+ + + +∫ ∫ ∫ =

( )( ) ( )1 2

2 2 21 2 1 2 1 2 1

1 1 12

R R d u u w A A d dα α ζ

ρ ζ ζ ζ α α⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ 2= + +



( )( ) ( )1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 1 12

R R d u u A A d dα α ζ

2ρ ζ ζ ζ ζ β β α α⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ +

( )( ) ( )1 2

2 2 21 2 1 2 1 2 1

1 1 12

R R d A A d dα α ζ

ρ ζ ζ ζ ζ β β α α⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ 2 =

( ) ( ) ( )( )1 2

2 2 2 2 20 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 22


β β β β α= + + + + + +∫ ∫ α

dove: ( ) ( )1 1 2

01 11 2 1 2 1 2

1 1 1k k

k k

l lk k

k k

I dR R R R R R

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ dρ ζ ρ ζ+ +

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( )1 1 2 2 3

11 11 2 1 2 1 2

1 1k k

k k

l lk k

k k

I dR R R R R R

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ dρ ζ ζ ρ ζ ζ+ +

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

( ) ( )1 1 3 3 4

2 22

1 11 2 1 2 1 2

1 1k k

k k

l lk k

k k

I dR R R R R R

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ ζ dρ ζ ζ ρ ζ ζ+ +

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

Per quanto riguarda l’energia elastica di deformazione Φ , ricordando l’equazione (3.137) risulta:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 1 12 2ij ij ij ijd ds ds d A R A R d

α α ζ α α ζ

d dφ σ ε ζ ζ ζ σ ε ζ ζ α α ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = = = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

V

V

( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2 12 12 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 1 12 n n n n n n A R A R d d d

α α ζ

σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ ζ ζ α α ζ= + + + + + + +∫ ∫ ∫

Per quanto riguarda il lavoro delle forze esterne , ricordando le definizioni eL (3.8) e (3.11), si perviene al

seguente risultato:

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2

1 2 1 2, ,0 0 0Te e e eL L L L ds ds

α α

α α= + + = +∫ ∫q U

( ) ( ) ( ) ( )2 1

1 1 12 2 1 2 21 1 2 2 2 1n nU U W ds d U U W ds dα ζ α ζ

σ τ τ ζ ζ τ σ τ ζ ζ+ + + + + + =∫ ∫∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1

1 2 1 1 12 2 1 2 21 1 2 2 2 10 0Tn nds ds U U W ds d U U W ds d

α α α ζ α ζ

σ τ τ ζ ζ τ σ τ ζ ζ= + + + + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫q u

+

∫

( )1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2nq u q u q w m m A A d dα α

β β α α= + + + +∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )

2

1 1 1 12 2 2 1 2 2 21nu u w A R dα ζ

dσ ζβ τ ζβ τ ζ α ζ+ + + + + +∫ ∫ +

( ) ( )( ) ( )1

21 1 1 2 2 2 2 1 1 11nu u w A R dα ζ

dτ ζβ σ ζβ τ ζ α ζ+ + + + + +∫ ∫ =

+

( )1 2


β β α α= + + + +∫ ∫

( ) ( )2 1

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2 21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1N u N u T w M M A d N u N u T w M M A dα α

β β α β β α+ + + + + + + + + +∫ ∫

* * *

Sulla base delle definizioni (3.141) e (3.149), il principio di Hamilton può essere

riscritto come segue:



(3.150) ( ) (2 2

1 2 3

1 1

0t t

e e et t

dt L L L dtδ δ δ δ δ− Φ + + + =∫ ∫T )

Per valutare tutte le variazioni indicate nella relazione (3.150), occorre applicare le

proprietà dell’operazione di variazione.

1) L’operazione di variazione e quella d’integrazione sono commutative. Quindi gli

operatori δ e ∫ possono scambiarsi di posizione:

( ) ( )... ...x x

dx dxδ δ=∫ ∫ (3.151)

2) L’operazione di variazione e quella di derivazione sono commutative. Quindi gli

operatori δ e ∂ possono scambiarsi di posizione:

( ) ( )......

x xδ∂ ∂

=∂ ∂

δ (3.152)

3) L’operazione di variazione segue le stesse regole delle operazioni di derivazione e

d’integrazione. In particolare, si ha quanto segue:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(( )( )

)( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1

2

n nf x n f x f xf x g x f x g x f x g x

f x g x f x g xf xg x g x

δ δδ δ

δ δδ

−== +

−⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

δ

) 2

(3.153)

Partendo dall’equazione (3.150), la variazione dell’energia cinetica (3.142) assume

l’aspetto:

( )(

( ) ( )1 2

0 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1

I u u u u w w

I u u u u I A A d d

α α

δ δ δ δ

β δ δβ β δ δβ β δβ β δβ α

= + + +

+ + + + + +

∫ ∫T

α (3.154)

La variazione dell’energia elastica di deformazione (3.145) risulta la seguente:

( ) ( )( )1 2

1 2 1 2 1 21 1 , , 1,ij ij A A R R d d d i jα α ζ

δ σ δε ζ ζ α α ζΦ = + + =∫ ∫ ∫ 2,3 (3.155)

Ricordando le espressioni delle componenti di deformazione fornite dalle equazioni

(3.38) e le definizioni delle caratteristiche della sollecitazione (3.115), l’espressione

(3.155) può essere riscritta nella seguente forma:

1 2

1 1 1 2 111 2 2 1 2 2

1 2 1 1

u A A A AN A u w M A

Rα α

δ δβδ δ δα α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂⎜Φ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

∫ ∫2

δβ

2 2 1 2 222 1 1 2 1 1

2 1 2 2

u A A A AN A u w M A

Rδ δβδ δ δβα α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ 1

+



2 1 1212 2 1 12 2 1

1 2 1

u A AN A u M A

δ δβδ δα α α α

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ∂+ − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ 2

β⎞+⎟⎠

1 2 1 221 1 2 21 1 2

2 1 2

u A AN A u M A

δ δβδ δ

α α α α∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛

+ − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ 1

β⎞+⎟⎠

1 21 2 1 1 2 1

1 1

A AwT A u A AR

δ δ δβα

⎛ ⎞∂+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

+

1 22 1 2 1 2 2 1

2 2

A AwT A u A A d dR

δ2δ δβ α α

α

⎞⎛ ⎞∂⎟+ − (3.156) +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂⎝ ⎠⎠

In maniera analoga le variazioni dei lavori delle forze esterne (3.146)-(3.148)

ammettono la rappresentazione:

( )1

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2e nL q u q u q w m m A A dα α

dδ δ δ δ δβ δβ α= + + + +∫ ∫ α (3.157)

( )2

2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2eL N u N u T w M M A dα

δ δ δ δ δβ δβ= + + + + α (3.158) ∫

( )3

1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1eL N u N u T w M M A dα

δ δ δ δβ δβ α= + + + +∫ (3.159) δ

* * * Di seguito vengono ricavate le espressioni delle variazioni dell’energia cinetica δT (3.154), dell’energia

elastica di deformazione δ Φ (3.156) e del lavoro delle forze esterne 31 2

, ,e e eL L Lδ δ δ (3.157)-(3.159)

precedentemente introdotte. Per quanto riguarda la variazione dell’energia elastica cinetica δT si ha:

( ) ( ) ( )( )1 2

2 2 2 2 20 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 22


δ δ β β β β α α⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫T =

( ) ( ) ( )( )1 2

2 2 2 2 20 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 22


δ β β β β= + + + + + +∫ ∫ α α =

( ) ( ) ( )( )1 2

0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2I u u u u w w I u u u u I A A d dα α

δ δ δ β δ δβ β δ δβ β δβ β δβ α α= + + + + + + + +∫ ∫

La variazione della densità di energia elastica di deformazione per un corpo elastico assume l’aspetto

( )ij ij ij ijδφ φ ε δε σ δε= ∂ ∂ = e, per ipotesi, ( )1 2,w w α α= , 0nε = e quindi 0nδε = . Pertanto, per la

variazione dell’energia elastica di deformazione δ Φ , dalle definizioni (3.38) e (3.115), si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 21 1 1 1A R A R d d d A R A R d d dα α ζ α α ζ

δ δ φ ζ ζ α α ζ δφ ζ ζ α α ζ⎛ ⎞⎜ ⎟Φ = + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2 12 12 1 1 2 2 1 1 2 2 1 21 1n n n n A R A R d d dα α ζ

σ δε σ δε τ δγ τ δγ τ δγ ζ ζ α α ζ= + + + + + +∫ ∫ ∫ =



( )1 2

1 1 1 111 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2

1 1 1u A A A

u w A R d d dA R A

α α ζ

δ δβ1 2σ δ δ ζ δβ ζ α α ζ

α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫= + +

( )1 2

2 2 2 222 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 1 1

1 1 1u A A A

u w A R d d dA R A

α α ζ

δβ2σ δ δ ζ δβ ζ α α ζ

α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟+ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ +

( ) ( )1 2

2 2 1112 2 2 2 1 1 1 1 2

1 1 2 2

1 1u A AuA u R A u R d d d

α α ζ

δ δτ δ ζ δ ζ α α ζ

α α α α⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂

+ − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ +

( ) ( )1 2

12 2 112 2 2 2 1 1 1 1 2

1 1 2 2

1 1AAA R A R d

α α ζ

δβ δβd dτ ζ δβ ζ δβ ζ α α ζ

α α α α⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ +

( )1 2

11 1 1 2 2

1 1 1

1 1n

uw A A R d d dA R

α α ζ

δδ1 2τ δβ ζ α α ζ

α

⎛ ⎞∂+ − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )1 2

22 2 1 2 1

2 2 2

1 1n

uw A A R d d dA R

α α ζ

δδ1 2τ δβ ζ α α ζ

α

⎛ ⎞∂+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫

1 2

1 1 1 2 111 2 2 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2

u A A A AN A u w M A d d

Rα α

δ δβδ δ δβ α

α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ α +

1 2

2 2 1 2 222 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 1

u A A A AN A u w M A d d

Rα α

δβδ δ δβ

α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ α α+ + +

1 2

2 1 1 212 2 1 21 1 2 1 2

1 2 2 1

u A u AN A u N A u d d

α α

δ δδ δ

α α α α⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞

α α+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫+ −

1 2

1 22 112 2 1 21 1 2 1 2

1 2 2 1

A AM A M A d d

α α

δβ δβδβ δβ

α α α α⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ α α+ − +

1 2

1 21 2 1 1 2 1 1 2

1 1

A AwT A u A A d dR

α α

δ δ δβ α αα

⎛ ⎞∂+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

1 2

1 22 1 2 1 2 2 1 2

2 2

A AwT A u A A d dR

α α

δ δ δβ α αα

⎛ ⎞∂+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

3ePer quanto riguarda la variazione del lavoro compiuto dalle forze esterne 1 2, ,e eL L Lδ δ δ si ha:

1 2 3e e e eL L L Lδ δ δ δ= + +

( )1 2


δ β β α α= + + + + +∫ ∫

( ) ( )( ) ( )2

1 1 1 12 2 2 1 2 2 21nu u w A R dα ζ

dδ σ ζβ τ ζβ τ ζ α ζ+ + + + + +∫ ∫ +

( ) ( )( ) ( )1

21 1 1 2 2 2 2 1 1 11nu u w A R dα ζ

dδ τ ζβ σ ζβ τ ζ α ζ+ + + + + +∫ ∫ =

+

( )1 2


δ δ δ δβ δβ α α= + + + +∫ ∫ ( )

2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2N u N u T w M M A dα

δ δ δ δβ δβ α+ + + + +∫ +

( )1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1N u N u T w M M A dα

δ δ δ δβ δβ+ + + + +∫

α

* * *



Prima di definire le equazioni del moto e le condizioni al contorno attraverso il

principio di Hamilton occorre integrare le variazioni sopra calcolate. Ricordando la

proprietà commutativa dell’operazione di integrazione e la regola fondamentale di

integrazione per parti, che consente di eliminare le derivate fatte rispetto al tempo delle

variazioni presenti nell’espressione di δT e di rimuovere le derivate degli spostamenti

virtuali dall’espressione di δ Φ , si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dg x df xf x dx f x g x g x

dx dx= −∫ ∫ dx (3.160)

Integrando per parti nell’intervallo temporale [ ]1 2,t t la variazione dell’energia cinetica

δT (3.154), si perviene al risultato:

( ) ( )(

( ) ( ) )

( ) ( )(

( ) ( ) )

2

1 1 2

2

1

2

1 1 2

0 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0

1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2

0 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0

1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2

t

t

t

t

t

t

dt I u I u I u I u I w w

I u I I u I A A d d

I u I u I u I u I w w

I u I I u I A A d d d

α α

α α

δ β δ β δ δ

β δβ β δβ α α

β δ β δ δ

β δβ β δβ α α

= + + + + +

+ + + + +

− + + + + +

+ + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

T

t

(3.161)

Il primo temine risulta identicamente nullo, visto che per ipotesi, gli spostamenti virtuali

generalizzati vengono assunti nulli negli istanti di tempo . In altre parole, si sta

trattando con moti sincroni (

1 2,t t

( ) ( )1 2... ... 0t tδ δ= = ).

Integrando nell’intervallo temporale [ ]1 2,t t la variazione dell’energia elastica di

deformazione δ Φ (3.156) e sviluppando tutti i passaggi, l’energia elastica di

deformazione può essere riscritta nella seguente forma: Φ

( ) ( )2 2

1 1 1 2

1 2 21 1 1 2 1 212 2 1 1

1 2 2 1 1

t t

t t

N A N A A A A Adt N N T u

Rα α

δ δα α α α

⎛⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜⎜ ⎟Φ = − + + − + +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )12 2 2 1 2 1 1 2

21 1 2 21 2 1 2 2

N A N A A A A AN N T u

Rδ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )1 2 2 1 1 2

1 21 2 1 2

T A T A N N A A wR R

δα α

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+



( ) ( )1 2 21 1 1 2

12 2 1 1 2 11 2 2 1

M A M A A AM M T A A δβ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )12 2 2 1 2 1

21 1 2 1 2 2 1 21 2 1 2

M A M A A AM M T A A d dδβ α α

α α α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎝ ⎠ ⎠

dt+ +

+ + + +∫ ∫

+ + ( )2

1 1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1

t

t

N u N u T w M M A d dtα

δ δ δ δβ δβ α

(3.162) ( )2

1 2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2

t

t


δ δ δ δβ δβ α+ + + + +∫ ∫

Integrando nell’intervallo temporale [ ]1 2,t t le variazioni dei lavori 1 2, ,e e 3eL L Lδ δ δ

(3.157), (3.158), (3.159), si ha:

( )2 2

1

1 1 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

t t

e nt t

L dt q u q u q w m m A A d d dtα α

δ δ δ δ δβ δβ= + + + +∫ ∫ ∫ ∫ α α (3.163)

( )2 2

2

1 1 2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2

t t

et t

L dt N u N u T w M M A d dtα

δ δ δ δ δβ δβ α= + + + +∫ ∫ ∫ (3.164)

( )2 2

3

1 1 1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1

t t

et t

L dt N u N u T w M M A d dtα

δ δ δ δ δβ δβ α= + + + +∫ ∫ ∫

t

δβ +

d dt =

+ + + + + +⎜⎝

∫ ∫ ∫d =

(3.165)

* * * Di seguito vengono ricavate le espressioni dell’energia cinetica T (3.161) e dell’energia elastica di

deformazione Φ (3.162) sopra riportate. Partendo dall’energia cinetica T e ricordando che gli spostamenti

virtuali generalizzati vengono assunti nulli negli istanti di tempo t , si ha: 1 2,

( ) ( )(2 2

1 1 1 2

0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2

t t

t t

dt I u u u u w w I u u u uα α

δ δ δ δ β δ δβ β δ= + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫T

( ))2 1 1 2 2 1 2 1 2I A A dβ δβ β δβ α α+ +

= + ( ) ( )(2

1 2 1

0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2

t

t

I u u u u w w I u u u uα α

δ δ δ β δ δβ β δ δβ⎛⎜

( )) )2 1 1 2 2 1 2 1 2I dt A A dβ δβ β δβ α α+ +

2 2 2

2 2 2

11 1

1 2 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2 2 2

t t tt t t

tt tt t t

I u u u u dt u u u u dt w w w wdtα α

δ δ δ δ δ δ⎛ ⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎟+ − + −

⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝∫ ∫ ∫ ∫ ∫= − +

2 2 2 2

2 22 2

1 11 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t tt tt t

t tt tt t t t

I u u dt u u dt u u dt u u dtβ δ β δ δβ δβ β δ β δ δβ δβ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − + − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫



2 2

2 2

1 1

1 1

2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2

t tt t

t tt t

I dt dt A A d dβ δβ β δβ β δβ β δβ α α⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − + −

⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎠∫ ∫

( ) ( )1

2 2

1 2 1 1

0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2

t t

t t

I u u u u w w dt I u u u u dtα α

δ δ δ β δ δβ β δ δβ=⎛ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎜ ⎟ ⎜− + + + − + + +

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝⎝∫ ∫ ∫ ∫

⎞⎟ +⎟⎠

2

( )2

1

2 1 1 2 2 1 2 1

t

t

I dt A A d dβ δβ β δβ α α⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − +

⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎠∫

( ) ( )(2

1 1 2

0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2

t

t

I u u u u w w I u u u uα α

δ δ δ β δ δβ β δ δβ= − + + + + + + +∫ ∫ ∫

( ))2 1 1 2 2 1 2 1 2I A A dβ δβ β δβ α α+ + d dt

( ) ( )(2

1 1 2

0 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0

t

t

I u I u I u I u I w wα α

β δ β δ δ= − + + + + +∫ ∫ ∫

( ) ( ) )1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2I u I I u I A A d d dtβ δβ β δβ α α+ + + +

Integrando per parti i termini contenuti nell’energia elastica di deformazione Φ si ricava: 2 2

1 1 1 2

1 1 1 2 111 2 2 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2

t t

t t

u A A A Adt N A u w M A d d dt

Rα α

δ δβδ δ δ δβ

α α α α⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ∂

Φ = + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ α α

⎞⎟⎠

2

1 1 2

2 2 1 2 222 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 1

t

t

u A A A AN A u w M A d d dt

Rα α

δβδ δ δβ α α

α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ +

2

1 1 2

2 1 1 212 2 1 21 1 2 1 2

1 2 2 1

t

t

u A u AN A u N A u d d

α α

δ δδ δ

α α α α⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ dtα α +

2

1 1 2

1 22 112 2 1 21 1 2 1 2

1 2 2 1

t

t

A AM A M A d d

α α

δβ δβδβ δβ α αα α α α

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ dt +

2

1 1 2

1 21 2 1 1 2 1 1 2

1 1

t

t

A AwT A u A A d d dtR

α α

δ δ δβ α αα

⎛ ⎞∂+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ +

2

1 1 2

1 22 1 2 1 2 2 1 2

2 2

t

t

A AwT A u A A d d dtR

α α

δ δ δβ α αα

⎛ ⎞∂+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 21 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 2 1

t

t

N A A A AN A u d u d d N u d d N wd d

Rα α α α α α α

δ α δ α α δ α α δ α αα α

⎛⎛ ⎞∂ ∂⎜⎜ ⎟= − + +⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝∫ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

( )

2 1 2 1 2

1 2 11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

1 2

M A AM A d d d M d d

α α α α α

δβ α δβ α α δβ α αα α

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

( )

1 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 1 2

N A A A AN A u d u d d N u d d N wd d


δ α δ α α δ α α δ α αα α

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

( )

1 1 2 1 2

2 1 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 1


α α α α α


⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

( )

2 1 2 1 2

12 2 112 2 2 2 2 1 2 12 1 1 2

1 2

N A AN A u d u d d N u d d

α α α α α

δ α δ α α δ α αα α

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +



( )

1 1 2 1 2

21 1 221 1 1 1 1 1 2 21 2 1 2

2 1

N A AN A u d u d d N u d d

α α α α α

δ α δ α α δα α

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α α +

( )

2 1 2 1 2

12 2 112 2 2 2 2 1 2 12 1 1 2

1 2


α α α α α


⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

( )

1 1 2 1 2

21 1 221 1 1 1 1 1 2 21 2 1 2

2 1


α α α α α


⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

( )

2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 21 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 1

T A A AT A wd wd d T u d d T A A d d


δ α δ α α δ α α δβ αα

⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α +

( )

1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 22 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 2

T A A AT A wd wd d T u d d T A A d d dt


δ α δ α α δ α α δβ α αα

⎞⎛ ⎞∂⎟⎜ ⎟+ − − +⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

1 1 2

1 2 21 1 1 2 1 212 2 1 1

1 2 2 1 1

t

t


Rα α

δα α α α

⎛⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜⎜ ⎟= − + + − + +⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

∫ ∫ ∫

( ) ( )12 2 2 1 2 1 1 2

21 1 2 21 2 1 2 2


Rδ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+ + +

( ) ( )1 2 2 1 1 2

1 21 2 1 2

T A T A N NA A w

R Rδ

α α

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )1 2 21 1 1 2

12 2 1 1 2 11 2 2 1

M A M A A AM M T A A δβ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+ + +

( ) ( )12 2 2 1 2 1

21 1 2 1 2 2 1 21 2 1 2

M A M A A AM M T A A d dδβ α α

α α α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ − −⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

dt+ +

+ + + +∫ ∫

+ + ( )2

1 1

21 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1

t

t


δ δ δ δβ δβ α

( )2

1 2

1 1 12 2 1 1 1 12 2 2 2

t

t


δ δ δ δβ δβ α+ + + + +∫ ∫

* * *

Una volta esplicitati tutti i termini che compaiono nell’equazione (3.150), è possibile

scrivere in forma estesa il principio di Hamilton. Effettuando la sostituzione degli integrali

(3.161), (3.162) e (3.163)-(3.165) nell’espressione (3.150) e raccogliendo si perviene al

risultato:

( ) ( ) ( )2

1 1 2

1 2 21 1 1 2 1 212 2 1 1 0 1 1 1 1 2 1

1 2 2 1 1

t

t

N A N A A A A AN N T q I u I A A u

Rα α

β δα α α α

⎛⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜⎜ ⎟+ + − + + − −⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

∫ ∫ ∫ +

( ) ( ) ( )12 2 2 1 2 1 1 2

21 1 2 2 0 2 1 2 1 2 21 2 1 2 2

N A N A A A A AN N T q I u I A A u

Rβ δ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − + + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+ + +



( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2

1 2 0 1 21 2 1 2

n

T A T A N N A A q I w A A wR R

δα α

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 2

12 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 11 2 2 1

M A M A A AM M T A A m I u I A Aβ δβ

α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + − − + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )12 2 2 1 2

211 2

M A M A AM

α α

⎛ ∂ ∂ ∂⎜+ + +⎜ ∂ ∂ ∂⎝ 1α

+

( )11 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2

2

AM T A A m I u I A A d d dtβ δβ α α

α⎞∂ ⎞

− − + − − ⎟⎟ ⎟∂ ⎠ ⎠+

( ) ( ) ( )(2

1 1

21 21 1 2 2 2 2 2

t

t

N N u N N u T T wα

δ δ+ − + − + − δ + ∫ ∫

( ) ( ) )21 21 1 2 2 2 1 1M M M M A dδβ δβ α dt+ − + − +

( ) ( ) ( )(2

1 2

1 1 1 12 12 2 1 1

t

t

N N u N N u T T wα

δ δ+ − + − + − δ + ∫ ∫

( ) ( ) )1 1 1 12 12 2 2 2 0M M M M A d dtδβ δβ α+ − + − = (3.166)

L’espressione (3.166) risulta soddisfatta solo se tutti i coefficienti moltiplicativi di ogni

singola variazione sono nulli, essendo le variazioni 1 2 1, , , ,u u w 2δ δ δ δβ δβ degli

spostamenti generalizzati arbitrarie. Dall’annullamento dei coefficienti in parola si

ottengono le equazioni indefinite di equilibrio, oppure equazioni di Eulero-Lagrange, dette

anche equazioni del moto, nonché le condizioni al contorno per un guscio moderatamente

spesso in materiale anisotropo. Si ricavano così cinque equazioni del moto:

( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 2 1 212 2 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1

1 2 2 1 1

N A N A A A A AN N T q A A A A I u I

Rβ

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )12 2 2 1 2 1 1 221 1 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2

1 2 1 2 2


Rβ

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 0

1 2 1 2n

T A T A N N A A q A A A A I wR Rα α

∂ ∂ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 212 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1

1 2 2 1

M A M A A AM M T A A m A A A A I u I β

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂ ∂ ∂



( ) ( ) ( )12 2 2 1 2 121 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 2 1 2


α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂ ∂ ∂(3.167)

Si vuol far rilevare che le cinque equazioni (3.167) non riflettono le due ipotesi di

simmetria delle caratteristiche della sollecitazione 12 21N N= e 12 21M M= . Esiste una sesta

equazione indefinita di equilibrio deducibile dall’annullamento dei momenti attorno alla

normale all’elemento infinitesimo. Quest’ultima equazione non discende dal principio di

Hamilton e risulta identicamente soddisfatta se e soltanto se si fanno alcune ipotesi

(capitolo 6):

21 1221 12

2 1

0M M N NR R

− + − = (3.168)

Nella forma attuale l’equazione (3.168) non è verificata, se non per le piastre

( , ) e per gusci di rivoluzione caricati in maniera

assial-simmetrica ( ). Questa apparente inconsistenza, può essere

superata, considerando le definizioni di

1 2R R= = ∞ 1 2 3 1 2 3 0a a a b b b= = = = = =

12 21 12 21 0N N M M= = = =

12 21 12 21, , ,N N M M (3.115). Infatti, l’equazione

(3.168) può essere riscritta nella seguente forma integrale:

( )( )( )1 2 12 211 1R R dζ

ζ ζ τ τ ζ+ + −∫ 0= (3.169)

L’equazione (3.169) risulta verificata per la simmetria del tensore degli sforzi

( 12 21τ τ= ). Si vuol far rilevare che questo risultato discende dal modello cinematico

adottato (3.11). Infatti, è stata trascurata la rotazione attorno alla normale n . Pertanto,

l’equilibrio alla rotazione attorno alla normale deve essere identicamente soddisfatto. n

Per quanto esposto, il comportamento di un guscio moderatamente spesso in materiale

anisotropo è completamente definito dalle cinque equazioni del moto (3.167). Le prime tre

equazioni (3.167) rappresentano l’equilibrio lungo le tangenti alle linee coordinate 1 2,t t

1α , 2α e l’equilibrio lungo la direzione normale n , rispettivamente, mentre le ultime due

(3.167) definiscono l’equilibrio alla rotazione attorno alle direzioni coordinate 1α , 2α

rispettivamente.

Visto che anche gli ultimi due integrali delle equazioni (3.166) devono essere nulli per il

principio di Hamilton, si ha:



( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

2 2 2 1 1 1

21 21 1 12 12 2

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

21 21 1 12 12 2

0 0

0 0

0

0 0

0 0

N N u N N u

N N u N N u

T T w T T w

M M M M

M M M M

δ δ

δ δ

δ δ

δβ δβ

δβ δβ

− = − =

− = −

− = − =

− = − =

− = −

0

=

=

(3.170)

Le condizioni naturali al contorno su un bordo ad 1α costante sono:

1 1 1 1

12 12 2 2

1 1

1 1 1

12 12 2 2

oppure

oppure

oppureoppureoppure

N N u u

N N u u

T T w wM MM M

1β β

β β

= =

= =

=

= =

= =

= (3.171)

mentre su un bordo ad 2α costante risultano:

21 21 1 1

2 2 2

2 2

21 21 1 1

2 2 2

oppure

oppure

oppureoppureoppure

N N u u

N N u u

T T w wM MM M

2

2

β β

β β

= =

= =

=

= =

= =

= (3.172)

Le grandezze 1 2 21, ,N N N , 1 2,T T , 1 2 21, ,M M M , 1 2 1 2, , , ,wu u β β indicano le sollecitazioni e gli

spostamenti imposti al contorno, rispettivamente. Combinando in maniera opportuna le

equazioni (3.171) o (3.172) si possono ricavare tutte le tipologie di vincolamento possibili

lungo i quattro bordi laterali del guscio.

3.1.5.3 Equazioni del moto dedotte mediante il metodo diretto

Le equazioni indefinite di equilibrio possono essere ottenute anche mediante il metodo

diretto, cioè imponendo l’equilibrio di un elemento infinitesimo. Si consideri un elemento

fondamentale di guscio (figura 3.4) e si definisca il sistema di riferimento ortogonale locale

1 2Oα α ζ′ . L’elemento in parola è delimitato superiormente ed inferiormente da due

superfici poste ad una distanza l’una rispetto all’altra, oltre che da quattro sezioni

perpendicolari alla superficie di riferimento nelle direzioni coordinate

h

1α , 2α .



( )1 0ds ( )2 0ds ζ

2T

2N 21N O′

1T 12N

11 1

1

TT dα

α

∂+∂

1212 1

1

NN dα

α

∂+∂

21

21 2

2

NN dα

α

∂

∂+

22 2

2

TT dα

α

∂+∂

1N

1α

2R

11 1

1

NN dα

α

∂+∂

2

2 1

1

dsds dα

α

∂+

∂

2α

1R 2

2 2

2

NN dα

α

∂+∂

11 2

2

dsds dα

α

∂+∂

dη dψ

*dψ *dη

Figura 3.17 – Elemento fondamentale sollecitato dagli sforzi di membrana e di taglio.

Si supponga che sull’elemento infinitesimo agiscano tutte le componenti delle azioni

esterne rappresentate dal vettore delle azioni esterne generalizzate ( )1 2, , tα αq e dalle varie

componenti della sollecitazione interna applicate sulle facce laterali lungo i bordi della

superficie di riferimento. Si considerino anche le sollecitazioni indotte dalle forze inerziali

associate alle varie componenti di spostamento generalizzato. L’elemento descritto e

corredato da tutte le azioni considerate è riportato nelle figure 3.17, 3.18 e 3.19.

Nella prima sono riportati gli sforzi di membrana e di taglio, nella seconda le coppie

interne flettenti e torcenti e nella terza i carichi esterni unitamente alle forze inerziali.

Le caratteristiche di sollecitazione sono applicate sulla superficie di riferimento

dell’elemento di guscio ed i rispettivi incrementi sono rappresentati sulle facce di normale

positiva. Le azioni interne sono definite per unità di lunghezza dell’arco posto sulla

superficie di riferimento e le loro definizioni sono riportate nelle equazioni (3.115). Come

assunto in precedenza, l’elemento fondamentale viene sostituito dalla superficie media e

tutte le azioni agenti sono riferite ad essa.



( )1 0ds

( )2 0ds ζ

21M 2M O′

1M

12M

11 1

1

MM dα

α

∂+∂

2

2 2

2

MM dα

α

∂

∂+

1α

1212 1

1

MM dα

α

∂+

∂

22 1

1

dsds dα

α

∂+

∂

2α

2R 1R 21

21 2

2

MM dα

α

∂+∂

11 2

2

dsds dα

α

∂+∂

dη dψ

*dψ *dη

Figura 3.18 – Elemento fondamentale sollecitato dalle coppie interne.

L’elemento infinitesimo è individuato da quattro archi di curva posti sulla superficie di

equazione 0ζ = , e la loro estensione può essere definita sfruttando le equazioni (3.8). Gli

archi di curva lungo le linee coordinate 1α , 2α hanno lunghezza ( )1 10ds A d 1α= e

( )2 20ds A d 2α= , rispettivamente, mentre i restanti due presenteranno un incremento

infinitesimo rispetto ad essi. Per ogni arco di curva in parola è possibile definire la

rispettiva apertura angolare. Siano ,d dη ψ le due aperture lungo le linee del riferimento

1α , 2α e *,d d *η ψ le aperture incrementali.

Entrambe le coppie di aperture introdotte descrivono angoli infinitesimi. Di

conseguenza è lecito assumere che il coseno di uno qualsiasi degli angoli menzionati risulti

pari all’unità e che il seno di dη o di dψ sia confondibile con il seno di d *η o di *dψ ,

rispettivamente. Per l’ipotesi di spostamenti infinitesimi, è sempre possibile approssimare

il seno di un angolo piccolo con il valore dell’angolo stesso. E’ quindi lecito introdurre le

seguenti semplificazioni:



( )* *1 1sin sin , cos cos 1, 0d d d d d d dsη η η η η η≅ ≅ ≅ ≅ = R (3.173)

( )* *2sin sin , cos cos 1, 0d d d d d d dsψ ψ ψ ψ ψ ψ≅ ≅ ≅ ≅ = 2R (3.174)

( )1 0ds

( )2 0ds ζ

O′

0 2I u nq

2 2I β 0 1I u

2 1I β

2m 1m

1α 1q

2q 0I w

2α 2

2 1

1

dsds dα

α

∂+

∂

1R 2R

11 2

2

dsds dα

α

∂+∂

dη dψ

*dψ *dη

Figura 3.19 – Elemento fondamentale sollecitato dai carichi esterni e dalle azioni inerziali.

Sviluppando in pianta la superficie di riferimento (figura 3.20), essa definisce un’area

quadrangolare in cui solo un angolo risulta retto AO B′ . Infatti, a causa della differenza

infinitesima tra le lunghezze degli archi posti lungo la medesima direzione, i due angoli

O AC′ e O B risultano superiori all’angolo retto di quantità molto piccole che vengono

indicate con

C′

1γ e 2γ , rispettivamente, mentre l’angolo ACB , opposto all’angolo retto

, è più piccolo di quest’ultimo della somma AO B′ 1 2γ γ+ . Questo è causa del mancato

allineamento degli sforzi membranali incrementali rispetto alle direzioni coordinate 1α ,

2α come mostrato in figura 3.20.

L’area della superficie di riferimento dell’elemento fondamentale risulta data dalla



somma tra il prodotto delle lunghezze ed altre quantità di ordine superiore che

possono essere trascurate. L’area in parola può essere valutata attraverso il prodotto

in modo del tutto lecito, visto che gli incrementi di lunghezza sono infinitesimi. A

questo punto è possibile studiare attraverso il metodo diretto l’equilibrio dell’elemento

infinitesimo. Di seguito, si scrivono gli equilibri alla traslazione lungo le tre direzioni

coordinate

1,ds ds2

21ds ds⋅

1α , 2α , ζ e gli equilibri alla rotazione attorno agli assi coordinati 1α , 2α , ζ .

( )2 0ds

BO′ 2α

1γ

22 2

2

NN dα

α

∂+∂

1γ ( )1 0ds

11 2

2

dsds dα

α

∂+∂

21

21 2

2

NN dα

α

∂+∂

A 1γ

12

2

dsdα

α

∂

∂

2γ 12

12 1

1

NN dα

α

∂+∂

2γ C

2γ 1α

11 1

1

NN dα

α

∂+∂

2

1

1

dsdα

α

∂

∂

Figura 3.20 – Interpretazione planimetrica dell’elemento infinitesimo.

22 1

1

dsds dα

α

∂+

∂

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 1α :

Dalle figure 3.17, 3.18 e 3.19 attraverso considerazioni geometriche si evince

l’equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 1α :

*1 2

1 2 1 1 2 1 21 11 1

cos cos2 2

N dsd dN ds N d ds d N dsη ηα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

21 1 2 121 2 1 2 2 2 1 2 1

2 2 2 2

sinN ds N dsN d ds d N d ds dα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

γ +



12 212 1 2 1 2 1 2

1 1

sin sin2

N dsN d ds d T ds dηα α γα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

1 21 1 2 1 1 0 1 1 1 1 2

1 1

sin 02

T ds dT d ds d q I u I ds dsηα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.175)

Dalla relazione (3.175), effettuando le opportune semplificazioni in base alle ipotesi

precedentemente esposte, si perviene alla prima equazione indefinita di equilibrio:

( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 2 1 212 2 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1

1 2 2 1 1


Rβ

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

(3.176)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 2α :

In maniera analoga, dalle figure 3.17, 3.18 e 3.19 attraverso considerazioni geometriche

si ricava l’equazione di equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 2α :

*2 1

2 1 2 2 1 2 12 22 2

cos cos2 2

N dsd dN ds N d ds d N dsψ ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

12 2 1 212 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1 1 1

sinN ds N dsN d ds d N d ds dα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

γ +

21 121 2 1 2 1 2 1

2 2

sin sin2

N dsN d ds d T ds dψα α γα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

2 12 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2

2 2

sin 02

T ds dT d ds d q I u I ds dsψα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.177)

Dalla relazione (3.177), effettuando le opportune semplificazioni in base alle ipotesi

precedentemente esposte, la seconda equazione indefinita di equilibrio assume la forma

seguente:

( ) ( ) ( )12 2 2 1 2 1 1 221 1 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2

1 2 1 2 2


Rβ

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ (3.178)

(c) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ζ :

Dalle figure 3.17, 3.18, 3.19 e 3.20 attraverso considerazioni geometriche l’equilibrio

alla traslazione lungo la direzione coordinata ζ risulta:



*1 2

1 2 1 1 2 1 2 11 1

sin sin sin2 2

N dsd dN ds N d ds d N ds2

dη η ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

*

2 12 2 1 2 1 2

2 2

sin cos2 2

N ds dN d ds d T ds dψ ηα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

*

1 21 1 2 1 2 1

1 1

cos cos2 2

T ds dT d ds d T ds dη ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

2 12 2 1 2 0 1 2

2 2

cos 02 n

T ds dT d ds d q I w ds dsψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.179)

Dalla relazione (3.179), si ottiene la terza equazione indefinita di equilibrio:

( ) ( )1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 0

1 2 1 2n

T A T A N N A A q A A A A I wR Rα α

∂ ∂ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

(3.180)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 2α :

Dalle figure 3.17, 3.18, 3.19 e 3.20 attraverso considerazioni geometriche ed imponendo

l’equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 1α si ha:

1 21 2 1 1 2 1 21 1

1 1

M dsM ds M d ds d M dsα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

21 1 2 121 2 1 2 2 2 1 2 1

2 2 2 2

sinM ds M dsM d ds d M d ds dα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

γ +

12 2 112 1 2 1 2 1 2

1 1

sin cos2 2

M ds dsM d ds d T ds dηα α γα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

1 2 11 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2

1 1

cos 02 2

T ds ds dT d ds d m I u I ds dsηα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.181)

Dall’equazione (3.181), effettuando le opportune semplificazioni, si ricava la quarta

equazione indefinita di equilibrio:

( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 212 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1

1 2 2 1


α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂ ∂ ∂ (3.182)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 1α :

Dalle figure 3.17, 3.18, 3.19 e 3.20 attraverso considerazioni geometriche ed imponendo



l’equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 2α si può scrivere:

2 12 1 2 2 1 2 12 2

2 2

M dsM ds M d ds d M dsα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

12 2 1 212 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1 1 1

sinM ds M dsM d ds d M d ds dα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

γ +

21 1 221 2 1 2 1 2 1

2 2

sin cos2 2

M ds dsM d ds d T ds dψα α γα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

2 1 22 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2

cos 02 2

T ds ds dT d ds d m I u I ds dsψα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.183)

Dall’equazione (3.183) si deduce la quinta equazione indefinita di equilibrio:

( ) ( ) ( )12 2 2 1 2 121 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 2 1 2


α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂ ∂ ∂ (3.184)

(f) Equilibrio alla rotazione attorno direzione coordinata ζ :

Dalle figure 3.17, 3.18, 3.19 e 3.20 attraverso considerazioni geometriche imponendo

l’equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata ζ si ricava:

1 12 2 112 2 12 1 2 1 21 1

1 12 2ds N ds ds dsN ds N d ds d N dsα α

α α⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂

+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠2

2+

21 1 221 2 1 2 12 2

2 2

sin2 2

N ds dsN d ds d M ds dηα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

*

12 212 1 2 1 21 1

1 1

sin sin2 2

M ds dM d ds d M ds dη ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

*

21 121 2 1 2

2 2

sin 02

M ds dM d ds d ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.185)

Dall’equazione (2.346) si perviene alla la sesta equazione indefinita di equilibrio:

12 2112 21

1 2

0M MN NR R

− + − = (3.186)

* * * Vengono di seguito dimostrate le sei equazioni indefinite di equilibrio (3.167)-(3.168) ottenute per via


Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo diretta.

Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 1α :

*1 2 21 1

1 2 1 1 2 1 21 1 21 2 1 21 1 2 2

cos cos2 2

N ds N dsd dN ds N d ds d N ds N d ds dη ηα α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

α⎞+⎟

⎠

2 1 12 22 2 1 2 1 12 1 2 1 2 1 2

2 2 1 1

sin sin sin2

N ds N ds dN d ds d N d ds d T ds ηα α γ α α γα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

1 21 1 2 1 1 0 1 1 1 1 2

1 1

sin 02

T ds dT d ds d q I u I ds dsηα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

2 1 1 21 2 21 1 1 2 21 2 2 1 2 2

1 1 2 2 2 1

ds N ds N N dsN d d ds N d d ds N d d 1α α α α α

α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝α

⎞+⎟

⎠

( )12 1 2 112 1 2 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2

1 2 1 1

2 02

N ds ds T dN d d T ds T d d ds q I u I ds dsηα α α α βα α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 21 2 2 2 11 2 1 21 1 2 2 1 1 2 12

1 1 2 2 1 2 1 2

ds N ds N ds N ds dsN ds d N ds d N d d d N d 2α α α α α

α α α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠α +

( )12 1 2 1 11 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 1 2

1 2 1 1 1

2 02

N ds ds T dsd d T ds T ds d q I u I ds dsR

α α α βα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

( ) ( )1 2 21 1 2 2 2 11 2 2 1 1 2 12

1 2 1 2 1 2

N ds N ds ds N ds dsd d N d d d N 2dα α α α αα α α α α α

α +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )1 212 1 1 2 11 2 1 1 1 0 1 1 1 1 2

1 2 1 1 1

02

T dsN ds ds ds dsd d T d q I u I ds ds

R Rα α α β

α α α∂∂ ∂

+ + + + − −∂ ∂ ∂

=

( ) ( )1 2 21 1 2 11 2 1 2 2 1 2 12 1 2

1 2 1 2

N A N A A Ad d d d N d d N d dα α α α α α α α

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂+

( )1 21 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 2

1

0A A

T d d q I u I A A d dR

α α β α α+ + − − =

( ) ( ) ( )1 2 21 1 2 1 1 22 12 1 1 1 2 1 2 0 1 1

1 2 1 2 1


R 1βα α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata 2α :

*2 1 12 2

2 1 2 2 1 2 12 2 12 1 2 12 2 1 1

cos cos2 2

N ds N dsd dN ds N d ds d N ds N d ds dψ ψα α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

α⎞+⎟

⎠

1 2 21 11 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1

1 1 2 2

sin sin sin2

N ds N ds dN d ds d N d ds d T ds ψα α γ α α γα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

2 12 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2

2 2

sin 02

T ds dT d ds d q I u I ds dsψα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2 2 12 1 12 2 2 1 12 1 1 2 1 1

2 2 1 1 1 2

ds N ds N N dsN d d ds N d d ds N d dα α α α α α

α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2

⎞+⎟

⎠

( )21 2 1 221 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2

2 1 2 2

2 02

N ds ds T dN d d T ds T d d ds q I u I ds dsψα α α α βα α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2 12 1 1 1 22 1 2 12 2 1 1 2 1 2 21

2 2 1 1 2 1 2 1

ds N ds N ds N ds dsN ds d N ds d N d d d N 1dα α α α α

α α α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠α +



( )21 2 1 2 21 2 2 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 2

2 1 2 2 2

2 02

N ds ds T dsd d T ds T ds d q I u I ds dsR

α α α βα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

( ) ( )2 1 12 2 1 1 1 22 1 1 2 1 2 21

2 1 2 1 2 1

N ds N ds ds N ds dsd d N d d d N 1dα α α α αα α α α α α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂α +

( ) ( )2 121 2 1 2 2

1 2 2 2 2 0 2 1 2 1 22 1 2 2 2

02

T dsN ds ds ds dsd d T d q I u I ds ds

R Rα α α β

α α α∂∂ ∂

+ + + + − −∂ ∂ ∂

=

( ) ( )2 1 12 2 1 21 2 1 2 1 1 2 21 1 2

2 1 2 1

N A N A A Ad d d d N d d N d dα α α α α α α α

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂+

( )1 22 1 2 2 0 2 1 2 1 2 1 2

2

0A A

T d d q I u I A A d dR

α α β α α+ + − − =

( ) ( ) ( )2 1 12 2 1 2 1 21 21 2 2 1 2 1 2 0 2 1

2 1 2 1 2


R 2βα α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ζ :

* *1 2 2 1

1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 2 2

sin sin sin2 2

N ds N dsd dN ds N d ds d N d ds dη ηα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

dψ+

*

1 22 1 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1

sin cos cos cos2 2 2

T dsd d dN ds T ds T d ds d T ds2

dψ η ηα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

ψ+

( )*

2 12 2 1 2 0 1 2

2 2

cos 02 n

T ds dT d ds d q I w ds dsψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

2 1 1 21 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1

1 1 2 2

2 22 2

ds N ds Nd dN ds N d d ds N ds N d d dsη ψα α α αα α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂− + + − + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟

⎠

( )2 1 1 21 1 1 2 2 2 2 1 0 1 2

1 1 2 2

0n

ds T ds TT d d ds T d d ds q I w ds dsα α α α

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

2 1 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

2 22 2

ds N ds ds N dsN ds N ds d N ds N ds dR R

α αα α α α

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + − + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎟

⎠

( )2 1 1 21 2 1 2 1 2 0 1 2

1 1 2 2

0n

ds T ds TT ds d T ds d q I w ds dsα α

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

( ) ( )1 2 2 11 2 1 1 2 21 1 2

1 1 1 2 22 2N ds N dsds ds ds ds ds ds

N d N dR R R

α αα α

∂ ∂− − − −

∂ ∂ 22R+

( ) ( ) ( )1 2 2 1

1 2 0 11 2

0n

T ds T dsd d q I w ds dα α

α α∂ ∂

+ + + −∂ ∂ 2s =

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 1 2 1 2

1 2 1 2

0n

T A T A A A A Ad d d d N d d N d d q I w A A d d

R Rα α α α α α α α α α

α α

∂ ∂+ − − + −

∂ ∂=

( ) ( )1 2 2 1 1 21 2 1 2 0 1 2

1 2 1 2n

T A T A N N A A q A A I A A wR Rα α

∂ ∂ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 2α :

1 2 21 11 2 1 1 2 1 21 1 21 2 1 2

1 1 2 2

M ds M dsM ds M d ds d M ds M d ds dα α α

α α α α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂

− + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝α

⎞+⎟

⎠

2 1 12 22 2 1 2 1 12 1 2 1

2 2 1 1

sin sinM ds M ds

M d ds d M d ds d 2α α γ α α γα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+



( )*

1 1 2 11 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2

1 1

cos cos 02 2 2 2

ds T ds dsd dT ds T d ds d m I u I ds dsη ηα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− − + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

2 1 1 21 2 21 1 1 2 21 2 2 1 2 2

1 1 2 2 2 1

ds M ds M M dsM d d ds M d d ds M d d 1α α α α α

α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝α

⎞+⎟

⎠

( )12 1 2 1 112 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2

1 2 1 1

2 02

M ds ds T dsM d d T ds T d d ds m I u I ds dsα α α α β

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + − + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 21 2 2 21 2 1 21 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 2 1

ds M ds M ds M dsM ds d M ds d M d dα α α

α α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠2dα α +

( )1 12 1 2 1 112 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1

2 02

ds M ds ds T dsM d d d T ds T ds d m I u I ds dsα α α α βα α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

( ) ( )1 2 21 1 2 2 2 11 2 2 1 1 2 12

1 2 1 2 1 2

M ds M ds ds M ds dsd d M d d d M 2dα α α α αα α α α α α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂α +

( ) ( )1 212 1 1

1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 21 2 1

02

T dsM ds dsd d T ds ds d m I u I ds dsα α α βα α α

∂∂ ∂+ − − + − −∂ ∂ ∂

=

( ) ( )1 2 21 1 2 11 2 1 2 2 1 2 12 1 2

1 2 1 2

M A M A A Ad d d d M d d M d dα α α α α α α α

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂+

=

( )1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 0T A A d d m I u I A A d dα α β α α− + − −

( ) ( ) ( )1 2 21 1 2 12 12 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2

1 2 1 2

M A M A A AM M T A A m A A A A I u I 1βα α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata 1α :

2 1 12 22 1 2 2 1 2 12 2 12 1 2 1

2 2 1 1

M ds M dsM ds M d ds d M ds M d ds dα α α

α α α α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂

− + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝α⎞⎟⎠

1 2 21 11 1 2 1 2 21 2 1 2

1 1 2 2

sin sinM ds M ds

M d ds d M d ds d 1α α γ α α γα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )*

2 2 1 22 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2

cos cos 02 2 2 2

ds T ds dsd dT ds T d ds d m I u I ds dsψ ψα α βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

1 2 2 12 1 12 2 2 1 12 1 1 2 1 1

2 2 1 1 1 2

ds M ds M M dsM d d ds M d d ds M d dα α α α α

α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2α

⎞+⎟

⎠

( )21 2 1 2 221 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

2 1 2 2

2 02

M ds ds T dsM d d T ds T d d ds m I u I ds dsα α α α β

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− + + + + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2 12 1 1 12 1 2 12 2 1 1 2 1

2 2 1 1 2 1 2

ds M ds M ds M dsM ds d M ds d M d dα α α

α α α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠2dα α +

( )2 21 2 1 2 221 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2

1 2 1 2 2

2 02

ds M ds ds T dsM d d d T ds T ds d m I u I ds dsα α α α βα α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

( ) ( )2 1 12 2 1 1 1 22 1 1 2 1 2 21

2 1 2 1 2 1

M ds M ds ds M ds dsd d M d d d M 1dα α α α αα α α α α α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂α +

( ) ( )2 121 2 21 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 1 2

02

T dsM ds dsd d T ds ds d m I u I ds dsα α α βα α α

∂∂ ∂+ − − + − −∂ ∂ ∂

=

( ) ( )2 1 12 2 1 21 2 1 2 1 1 2 21 1 2

2 1 2 1

M A M A A Ad d d d M d d M d dα α α α α α α α

α α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂+



( )2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0T A A d d m I u I A A d dα α β α α− + − − =

( ) ( ) ( )2 1 12 2 1 2

1 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

2 1 2 1

M A M A A AM M T A A m A A A A I u I 2βα α α α

∂ ∂ ∂ ∂+ − + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

Equilibrio alla rotazione attorno direzione coordinata ζ :

1 12 2 1 2 21 112 2 12 1 2 1 21 1 21 2 1 2

1 1 2 22 2 2ds N ds ds ds N ds ds

N ds N d ds d N ds N d ds dα α α αα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2

2⎞

+⎟⎠

*

12 212 2 12 1 2 1 21 1

1 1

sin sin sin2 2

M dsd dM ds M d ds d M ds2

dη η ψα αα α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

*

21 121 2 1 2

2 2

sin 02

M ds dM d ds d

ψα α

α α

∂ ∂− + + =

∂ ∂

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 12 1 1 2112 2 12 1 1 2 21 1 21 2 2 1

1 1 2 2

2 22 2

ds N ds ds N dsN ds N d d ds N ds N d d dsα α α α

α α α α⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂

+ + − + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝2⎞+⎟

⎠

2 12 1 2112 2 12 1 1 2 21 1 21 2 2 1

1 1 2 2

2 22 2

ds M ds Md dM ds M d d ds M ds M d d dsη ψα α α αα α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

0⎞

=⎟⎠

2 12 1 1 21 212 2 12 2 1 21 1 21 1 2

1 1 2 2

2 22 2

ds N ds ds N dsN ds N ds d N ds N ds dα αα α α α

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + − + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎟

⎠

2 12 1 1 21 212 2 12 2 1 21 1 21 1 2

1 1 1 2 2 2

2 22 2

ds M ds ds M dsM ds M ds d M ds M ds dR R

α αα α α α

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

0⎞

=⎟⎟⎠

( ) ( )12 2 21 11 212 1 2 1 21 1 2 2

1 22 2N ds N dsds dsN ds ds d N ds ds dα αα α

∂ ∂+ − −

∂ ∂+

( ) ( )12 2 21 11 2 1 1 2 2

12 1 21 21 1 1 2 2 2

02 2

M ds M dsds ds ds ds ds dsM d M d

R R Rα α

α α∂ ∂

+ + − −∂ ∂ R

=

1 2 1 212 1 2 1 2 21 1 2 1 2 12 1 2 21 1 2

1 2

0A A A A

N A A d d N A A d d M d d M d dR R

α α α α α α α α− + − =

12 2112 21

1 2

0M M

N NR R

− + − =

* * *

3.1.6 EQUAZIONI FONDAMENTALI

Nel paragrafo precedente si sono ricavate tutte le equazioni che governano il

comportamento di un guscio moderatamente spesso in materiale anisotropo. In particolare,

risultano espresse le 5 equazioni del moto (3.167), o equazioni indefinite di equilibrio, le

10 equazioni di legame tra le caratteristiche della sollecitazione interna e le caratteristiche

della deformazione (3.121) e le 10 equazioni di congruenza (3.42), che legano le

caratteristiche della deformazione e le componenti generalizzate di spostamento, o gradi di

libertà del problema. In totale sono state definite 25 equazioni in funzione di 25 variabili. Il



problema risulta ben posto e può essere risolto una volta specificate tutte le condizioni al

contorno, unitamente alle condizioni iniziali.

Se si introducono le equazioni di congruenza (3.42) all’interno delle equazioni di

legame (3.121) ed il risultato così ottenuto viene inserito nelle equazioni indefinite di

equilibrio, è possibile descrivere il comportamento del generico guscio attraverso le

equazioni indefinite di equilibrio espresse in termini di componenti generalizzate di

spostamento, ossia in funzione dei gradi di libertà del problema. Le equazioni che derivano

da questa serie di sostituzioni concatenate prendono il nome di equazioni fondamentali.

Esse racchiudono, in un unico sistema fondamentale, i tre aspetti del problema

dell’equilibrio elastico di un guscio moderatamente spesso in materiale anisotropo, ovvero

congruenza, legame ed equilibrio dinamico.

Le equazioni di congruenza (3.42) possono essere riscritte in forma matriciale nel

seguente modo:

1

1 1 1 2 2 1

2

1 2 1 2 2 2

1

0 1 2 2 1 110

220

2 2 1 2 110

12

1 1 1 2 21

2 2

1 1 2 1 2 2

201

1 202

1 1 1 0 0

1 1 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 0 0 0

1 10 0 0

1 10 0 0

10 0 0

AA A A R

AA A A R

AA A A

AA A A

AA A A

AA A A

A A

α α

α α

α αεε

α αγγ

α αχχω α αωμμ

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥ ∂∂⎢ ⎥ −

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥

∂∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

1

2

1

2 1 1

2

2 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

1

1 10 0 0

1 10 1 0

1 10 0

uuw

AA

AA A A

R A

R A1

ββ

α α

α α

α

α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∂⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂⎢ ⎥−⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂

−⎢ ⎥∂⎣ ⎦

(3.187)

ed in notazione compatta:

=η Du (3.188)

dove è il vettore delle componenti generalizzate di spostamento, il

vettore delle caratteristiche della deformazione e l’operatore di congruenza.

( 1 2, , tα αu ) ( )1 2, , tα αη

D

Le equazioni di legame elastico, qui di seguito riportate solo in forma compatta per



esigenze di sintesi, ha la forma seguente:

11 12 13 14 15 16 17 181

21 22 23 24 25 26 27 282

31 32 33 34 35 36 37 3812

41 42 43 44 45 46 47 4821

51 52 53 54 55 56 57 581

61 62 63 642

12

21

1

2

0 00 00 00 00 0

P P P P P P P PNP P P P P P P PNP P P P P P P PNP P P P P P P PNP P P P P P P PMP P P P PM

MMTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

01020102

1

65 66 67 68 2

71 72 73 74 75 76 77 78 1

81 82 83 84 85 86 87 88 2

99 910 1

109 1010 2

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

n

n

P P PP P P P P P P PP P P P P P P P

P PP P

εεγγχχωωγγ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥

)

(3.189)

dove è il vettore delle caratteristiche della sollecitazione e l’operatore

costitutivo o matrice di rigidezza, la matrice in parola viene mostrata qui in forma

compatta dopo aver eseguito la somma

( 1 2, , tα αS P

(3.123). Le equazioni indefinite di equilibrio

(3.167) assumono la seguente forma:

1 21 21 12 21 1 2 11 0 1 1 1

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1

2 112 2 12 21 2 1 22 0 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2

2 11 2 1 2 1

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 1

1 1

1 1

A AN N N N N N T q I u IA A A A A A R

A AN N N N N N T q I u IA A A A A A R

A AT T T T NA A A A A A

βα α α α

βα α α α

α α α α

∂ ∂∂ ∂ + −+ + + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ + −+ + + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ + + −

∂ ∂ ∂ ∂2

01 2

1 21 21 12 21 1 21 1 1 1 2 1

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 112 2 12 21 2 12 2 1 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 1

1 1

nN q I w

R R

A AM M M M M M T m I u IA A A A A A

A AM M M M M M T m I u IA A A A A A 2

βα α α α

βα α α α

− + =

∂ ∂∂ ∂ + −+ + + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ + −+ + + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

(3.190)

Le equazioni (2.351) si possono scrivere in forma matriciale:



2 1

1 1 1 2 1 1 2 2 1

2 1

1 2 1 2 2 1 2 2 2

1 2

1 2 2 1 1 1 2 1

1 2

2 2 1 2 2 1 2 1

2 1

1 1 1 2 1 1 2 2

2

1 2 1 2 2 1

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 10 0 0

1 1 10 0 0

A AA A A A A R

A AA A A A A R

A AA A A A A

A AA A A A A

A AA A A A A

AA A A A

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α

∂ ∂∂+ − −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂− + −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+ −

∂ ∂ ∂

∂ ∂− +

∂ ∂

1

1

2 2

1 2

2 2 1 2 2 1 2 1

1 2

1 2 2 1 1 1 2 1

2

1 1 1 1 2 1

1

2 2 2 1 2 2

1 1 10 0 0

1 1 20 0 0

1 1 10 1 0

1 1 10 0 1

T

NN

AA

A AA A A A A

A AA A A A A

AR A A A

AR A A A

α

α α α

α α α

α α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂∂

+⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂∂⎢ ⎥+⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∂⎢ ⎥+ −

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥

∂∂⎢ ⎥+ −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

2

1211 0 1

2122 0 1

10

21 1 2

122 1 2 2

21

1

2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

n

N uq I IN uq I IM wq IM

m I IM

m I IMTT

1β

β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.191)

ed in notazione compatta ammettono la rappresentazione:

(3.192) + =*D S q Mu

dove è l’operatore di equilibrio o di bilancio, la matrice delle masse inerziali,

il vettore delle accelerazioni e

*D M

( 1 2, , tα αu ) ( )1 2, , tα αq il vettore delle azioni esterne.

Introducendo ora l’equazione di congruenza (3.188) all’interno dell’equazione di

legame (3.121) e il risultato ottenuto nell’equazione di equilibrio (3.192), si ha:

(3.193) + = + = + =* * *D S q D Pη q D PDu q Mu

Definendo infine l’operatore fondamentale = *L D ED , l’equazione (3.193) assume

l’aspetto:

+ =L u q Mu (3.194)

In particolare, sfruttando la notazione compatta (2.16), le equazioni indefinite di

equilibrio (3.194) in termini di spostamenti generalizzati possono essere scritte in forma

estesa:


( ) ( )2

111 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 1 1

1 1 AA a B a D a E A a B a D a EA Aα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1aa a AB D E A a B a D a EA A Aα α α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 1

⎞+⎟

⎠

( ) ( )2

266 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

2 2 2 2

1 1 AA b B b D b E A b B b D b EA Aα α

⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+



( )31 2 166 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1bb b AB D E A b B b D b EA A Aα α α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2

⎞+⎟

⎠

( )2

16 1 2 112 16 1 16 2 16 3 163

1 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1A A A AA A a B a D a EA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( ) 262 2 1 1 226 1 26 2 26 3 26 663 2 2

1 2 2 1 2 1 2 2 1

21 AA A AA b B b D b E AA A A A

A Aα α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ α α

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1

1 aA A aA a B a D a E B D EA A α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2 2

2 2 2 112 26 1 26 2 26 3 26 26 262 2

1 1 2 1 2 1 2 2

1 2A A AA A b B b D b E BA Aα α α α α

⎞ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎝

b bDα∂

+∂

( )22

3 1 226 66 22 1 22 2 22 3 222 2 2

2 2 1 2 1

1b A AE A A b B b D b EA Aα α α

⎞⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − − + + +⎟⎟ ⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠⎠

+

( ) ( )2

1 1166 1 66 2 66 3 66 44 1 44 2 44 3 44 12 2 2

1 2 2 1

1 A A a B a D a E A a B a D a E uA A R

κα

⎛ ⎞ ⎞∂− + + + − + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2

1 1aa a AB D E A a B a D a EA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2 1

1 1A AA a B a D a E A a B a D a EA A A Aα α

⎞∂ ∂+ − + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 1 226 26 26 16 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2 1

1 1bb b A AB D E A A b B b D b EA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 26 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1 2A AA b B b D b E A b B b D b EA A A Aα α

⎞∂ ∂− + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 1 211 1 11 2 11 3 11 163

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1A A A A AA a B a D a E AA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+



( )2

2 2 1 216 16 66 1 66 2 66 3 662 3

1 1 2 2 2 1

1A A A AA A A b B b DA Aα α α α

b E⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 1 2 2 2

1 bA A bA b B b D b E B D EA A α α α α α α

⎛ ⎛ ∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝

2b ⎞∂+⎟⎠

( )22

1 12 1 2 216 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A A A A AA A b BA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b D b E +

( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 22 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1 2

1 A AA A 2AA a B a D a E uA A A A R R

κα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )12 1111 1 11 2 11 3 11 44 1 44 2 44 3 44

1 1 1 2 1 1 1

1 AA a B a D a E A a B a D a EA R A R A R

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 16 4526 1 26 2 26 3 26 12

2 2 2 1 2 1 2

1 A AA b B b D b EA R A R A R

κα

⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( ) 31 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 aR aA a B a D a E B D EA R A Rα α

⎛ ⎞∂∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2aα α∂

+∂ ∂

( )1612 2 1 226 1 26 2 26 3 262 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2

1AA R R R A b B b D b EA R A R A Rα α α

∂ ∂ ∂− − − + + +

∂ ∂ ∂+

( )31 2 226 26 26 11 12 1 11 2 11 3 11

2 2 2 2 2 1 1 2 1

1 1bb b AB D E A A a B a D a EA R R A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) (2 112 22 1 22 2 22 3 22 16 1 16 2 16

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1 2A AA A b B b D b E A a B a DR A A R A Aα α

∂ ∂+ − − − − + + +

∂ ∂+

) ( )13 16 26 1 26 2 26 3 26

2 1 2 2

1 2Aa E A b B b D b E wR A A α

⎞∂+ + + + + ⎟∂ ⎠

+

( ) ( )2

111 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 1 1

1 1 AB a D a E a F B a D a E a FA Aα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1aa a AD E F B a D a E a FA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

266 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

2 2 2 2

1 1 AB b D b E b F B b D b E b FA Aα α

⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 166 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1bb b AD E F B b D b E b FA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+



( )2

16 1 2 112 16 1 16 2 16 3 163

1 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1B A A AB B a D a E a FA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1

1 aA A aB a D a E a F D E FA A α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 212 26 1 26 2 26 3 26 662 3

1 1 2 2 1 2

1A A AB B b D b E b FA Aα α α

1ABα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2

1 bA A bB b D b E b F D E FA A α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

261 2 166 22 1 22 2 22 3 222 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1

21 B 2A A AB B b D b E b FA A A A

Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

1 1166 1 66 2 66 3 66 44 1 44 2 44 3 44 12 2

1 2 2 1

1 A B a D a E a F A a B a D a EA A R

κ βα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + + + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2

1 1aa a AD E F B a D a E a FA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2 1

1 1A AB a D a E a F B a D a E a FA A A Aα α

⎞∂ ∂+ − + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 1 226 26 26 16 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2 1

1 1bb b A AD E F B B b D b E b FA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 26 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1 2A AB b D b E b F B b D b E b FA A A Aα α

⎞∂ ∂− + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 1 211 1 11 2 11 3 11 163

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1B B A A AB a D a E a F BA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 216 16 66 1 66 2 66 3 662 3

1 1 2 2 2 1

1A A A AB B B b D b EA Aα α α α

b F⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠



( )2

32 2 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

1 12 1 2 216 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A B A A AB B b DA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b E b F +

( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 22 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1

1 B AA AB a D a E a FA A A A R

2A κ βα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

1

1 0 1 1q I u I β+ = + (3.195)


( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2

1 1aa a AB D E A a B a D a EA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 116 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2

1 12A AA a B a D a E A a B a D a EA A A Aα α

⎛∂ ∂+ + + + + − + + +⎜∂ ∂⎝

+

( ) (2

2 226 26 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 262 2 3

1 1 2 2 2 2

1 1A AA A b B b D b E A b BA Aα α α α

⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ ∂+ + + + + + − + +⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠

b D +

) ( )31 2 23 26 26 26 26 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 1

1 1bb b Ab E B D E A b B b D b EA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 16 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1A AA b B b D b E A b B b D b EA A A Aα α

⎞∂ ∂+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 2 126 66 1 66 2 66 3 663

1 2 1 2 1 2 1 1 2

1A A A A AA A a B a D a EA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 226 22 1 22 2 22 3 22 262 3

1 1 2 2 1 2

1A A A AA A b B b D b EA Aα α α

1Aα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 122 1 22 2 22 3 22 22 22 222

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b+



( )22

1 12 1 2 226 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A A A A AA A b BA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b D b E +

( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 12 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1 2

1 A AA A 2AA a B a D a E uA A A A R R

κα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )2

166 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1aa a AB D E A a B a D a EA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

222 1 22 2 22 3 22 22 1 22 2 22 3 222 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 122 22 22 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1bb b AB D E A b B b D b EA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( )2

26 1 1 216 1 16 2 16 3 16 663

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1A A A AA a B a D a E AA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 266 12 26 1 26 2 26 3 262 3

1 1 2 2 2 1

1A A A AA A A b B b DA Aα α α α

b E⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

161 2 112 66 1 66 2 66 3 662 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1

21 A 2A A AA A b B b D b EA A A A

Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

1 2211 1 11 2 11 3 11 55 1 55 2 55 3 55 22 2 2

1 2 2 2

1 A A a B a D a E A b B b D b E uA A R

κα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + − + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) 26 4516 1 16 2 16 3 16 12

1 1 1 2 1 2 1

1 A AA a B a D a EA R A R A R

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )12 2222 1 22 2 22 3 22 55 1 55 2 55 3 55

2 2 2 1 2 2 2

1 AA b B b D b E A b B b D b EA R A R A R

κα

⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( ) 31 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 aR aA a B a D a E B D EA R A Rα α

⎛ ⎞∂∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2aα α∂

+∂ ∂



( )26 2 12 1 222 1 22 2 22 3 222 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2

1A R A R R A b B b D b EA R A R A Rα α α

∂ ∂ ∂− − − + + +

∂ ∂ ∂+

( )31 2 222 22 3 22 16 1 16 2 16 3 16

2 2 2 2 2 1 1 2 1

1 1 2bb b AB D b E A a B a D a EA R R A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 26 2 26 3 26 12 11 1 11 2 11 3 11

2 1 2 1 1 1 2 2

1 12A AA b B b D b E A A a B a D a ER A A R A Aα α

∂ ∂+ + + + + − − − −

∂ ∂+

( )122 12 1 22 2 22 3 22

2 1 2 2

1 A A A b B b D b E wR A A α

⎞∂+ − + + + ⎟∂ ⎠

+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 2 116 16 16 26 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1 2

1 1aa a A AD E F B B a D a E a FA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 116 1 16 2 16 3 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 2 1 1 2 2 1


⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ α

+∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜∂ ∂⎝

+

( )31 2 226 26 26 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 1

1 1bb b AD E F B b D b E b FA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 166 1 66 2 66 3 66 16 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1A AB b D b E b F B b D b E b FA A A Aα α

⎞∂ ∂+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 2 126 66 1 66 2 66 3 663

1 2 1 2 1 2 1 1 2

1B B A A AB B a D a E a FA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 226 22 1 22 2 22 3 22 262 3

1 1 2 2 1 2

1A A A AB B b D b E b FA Aα α α

1Bα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 122 1 22 2 22 3 22 22 22 222

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

1 12 1 2 226 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A B A A AB B bA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

D b E b F +



( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 12 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 2

1 B AA AB a D a E a FA A A A R

2A κ βα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )2

166 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

222 1 22 2 22 3 22 22 1 22 2 22 3 222 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 122 22 22 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 2


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( )2

26 1 1 216 1 16 2 16 3 16 663

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1B A A AB a D a E a F BA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 266 12 26 1 26 2 26 3 262 3

1 1 2 2 2 1


b F⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

161 2 112 66 1 66 2 66 3 662 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1


Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

1 2211 1 11 2 11 3 11 55 1 55 2 55 3 55 22 2

1 2 2 2

1 A B a D a E a F A b B b D b EA A R

κ βα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + + + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

2

2 0 2 1q I u I β+ = + (3.196)


( ) ( )11 1244 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11

1 1 1 1 1 2 1

1 AA a B a D a E A a B a D a EA R A R A Rκ

α⎛⎛ ⎞ ∂− + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )45 1612 26 1 26 2 26 3 26

2 1 2 1 2 2 2

1A A A b B b D b EA R A R A R

κα

⎛ ⎞ ∂+ − − − + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠



( ) 311 1 11 1 244 1 44 2 44 3 44 44 44 442

1 1 1 1 1 1 1 1

aR aA a B a D a E B D EA R A Rκ κ

α α⎛ ⎞∂∂ ∂

+ + + + − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

aα α∂

+∂ ∂

( )45 451 11 2 112 44 1 44 2 44 3 44 122

2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

A AR A AA a B a D a EA R A A R A A R

κκ κα α∂ ∂

+ − + + + −∂ ∂ α

∂+

∂

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 16 1 16 2 16 3 16

1 2 2 1 1 2

1 1 1A AA b B b D b E A a B a D a EA A R Rα α

⎛ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

2612 2 11

1 1 2 2

AA A A uR Rα α

⎞⎞∂ ∂− + ⎟⎟⎟∂ ∂ ⎠⎠

+

( )45 2612 16 1 16 2 16 3 16

1 2 1 1 1 2 1

1A AA a B a D a EA R A R A R

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ − − + + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

( ) ( )22 1255 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

2 2 2 1 2 2 2

1AA b B b D b E A b B b D b EA R A R A Rκ

α⎛ ⎞ ∂

+ − + + + − − + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) 322 2 22 1 255 1 55 2 55 3 55 55 55 552

2 2 2 2 2 2 2 2

bR bA b B b D b E B D EA R A Rκ κ

α α⎛ ⎞∂∂ ∂

+ + + + − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

bα α∂

+∂ ∂

( )45 452 22 1 212 55 1 55 2 55 3 55 122

1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1

A AR A AA b B b D b EA R A A R A A R

κκ κα α α∂ ∂

+ − + + + −∂ ∂

∂+

∂

( ) ( )2 126 1 26 2 26 3 26 11 1 11 2 11 3 11

1 2 2 1 1 2

1 1 1A AA b B b D b E A a B a D a EA A R Rα α

⎛ ∂ ∂+ + + + + − + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

16 2 12 12

1 1 2 2

A A A A uR Rα α

⎞⎞∂ ∂+ − ⎟⎟⎟∂ ∂ ⎠⎠

+

( ) ( )2

11 11 144 1 44 2 44 3 44 44 1 44 2 44 3 442 2 3

1 1 1 1

AA a B a D a E A a B a D a EA Aκ κ

α α⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂

+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝+

( )311 1 2 11 244 44 44 44 1 44 2 44 3 442 2

1 1 1 1 1 2 1

aa a AB D E A a B a D a EA A Aκ κ

α α α α α⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

22 22 255 1 55 2 55 3 55 55 1 55 2 55 3 552 2 3

2 2 2 2

AA b B b D b E A b B b D b EA Aκ κ

α α⎛ ⎞ ⎛ ∂∂

+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝+

( )322 1 2 22 155 55 55 55 1 55 2 55 3 552 2

2 2 2 2 1 2 2

bb b AB D E A b B b D b EA A Aκ κ

α α α α α⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( ) ( )2

4512 11 1 11 2 11 3 11 22 1 22 2 22 3 222 2

1 2 1 2 1 2

2 1 1A A a B a D a E A b B b D b EA A R R

κα α

⎛ ⎞ ∂+ − + + + − + + +⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+



12

1 2

2A wR R

⎞− +⎟

⎠

( ) ( )11 1244 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11

1 1 1

1 BA a B a D a E B a D a E a FA A Rκ

α⎛⎛ ⎞ ∂

+ + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝ 1 2 1A R+

( )45 16 45 112 26 1 26 2 26 3 26 12

2 2 1 2 2 2 1 2 2

1A B A AB b D b E b FA A R A R A A

κ κα α

⎛ ⎞ ∂∂+ − − + + + +⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )311 1 2 11 244 44 44 44 1 44 2 44 3 44

1 1 1 1 1 2 1

aa a AB D E A a B a D a EA A Aκ κ

α α α α⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂

+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 16 1 16 2 16 3 16

1 2 2 1 1 2

1 1 1A AB b D b E b F B a D a E a FA A R Rα α

⎛ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

2612 2 11

1 1 2 2

BB A AR R

βα α

⎞⎞∂ ∂− + ⎟⎟⎟∂ ∂ ⎠⎠

+

( )45 2612 16 1 16 2 16 3 16

1 1 1 1 2 1

1A BB a D a E a FA A R A R

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )22 1255 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

2 2 1 2 2

1BA b B b D b E B b D b E b FA A R A Rκ

α⎛ ⎞ ∂

+ + + + − − + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ 2

+

( )322 1 2 22 155 55 55 55 1 55 2 55 3 55

2 2 2 2 1 2 2

bb b AB D E A b B b D b EA A Aκ κ

α α α α⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂

+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( )45 2 212 26 1 26 2 26 3 26

1 2 1 1 2 2 1

1 1A A A B b D b E b FA A A A R

κα α

⎛∂ ∂+ + + + +⎜∂ ∂⎝

+

( ) 161 2 1211 1 11 2 11 3 11 2 0

1 2 1 1 2 2

1n

BA A B A1B a D a E a F q I wR R R

βα α α

⎞⎞∂ ∂ ∂− + + + + − +⎟⎟⎟∂ ∂ ∂ ⎠⎠

= (3.197)


( ) ( )2

111 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 1


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

266 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+



( )31 2 166 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( )2

16 1 2 112 16 1 16 2 16 3 163

1 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1B A A AB B a D a E a FA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 212 26 1 26 2 26 3 26 662 3

1 1 2 2 1 2

1A A AB B b D b E b FA Aα α α

1ABα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

261 2 166 22 1 22 2 22 3 222 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1


Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

1 1166 1 66 2 66 3 66 44 1 44 2 44 3 44 12 2

1 2 2 1

1 A B a D a E a F A a B a D a E uA A R

κα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + + + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2


⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2 1


⎞∂ ∂+ − + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 1 226 26 26 16 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2 1

1 1bb b A AD E F B B b D b E b FA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 26 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1 2A AB b D b E b F B b D b E b FA A A Aα α

⎞∂ ∂− + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 1 211 1 11 2 11 3 11 163

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1B B A A AB a D a E a F BA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+



( )2

2 2 1 216 16 66 1 66 2 66 3 662 3

1 1 2 2 2 1


b F⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

1 12 1 2 216 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A B A A AB B b DA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b E b F +

( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 22 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 2

1 B AA A 2AB a D a E a F uA A A A R

κα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )12 1111 1 11 2 11 3 11 44 1 44 2 44 3 44

1 1 1 2 1 1

1 BB a D a E a F A a B a D a EA R A R A

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 16 4526 1 26 2 26 3 26 12

2 2 2 1 2 2

1 B AB b D b E b FA R A R A

κα

⎛ ⎞ ∂+ + + + + −⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( ) 31 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 aR aB a D a E a F D E FA R A Rα α

⎛ ⎞∂∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2aα α∂

+∂ ∂

( ) 32 126 1 26 2 26 3 26 26 26 3 262

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 bR bB b D b E b F D E b FA R A Rα α

⎛ ⎞∂∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2bα α∂

+∂ ∂

( ) ( )2 111 12 1 11 2 11 3 11 16 1 16 2 16 3 16

1 1 2 1 1 1 2 2

1 1 2A AB B a D a E a F B a D a E a FR A A R A Aα α

∂ ∂+ − + + + + + + +

∂ ∂+

( )12 2 212 22 1 22 2 22 3 222

1 2 1 2 1 2 1

1B R A B B b D b E b FA R R A Aα α

∂ ∂− + − − − −

∂ ∂+

( )16 1 126 1 26 2 26 3 262

2 1 2 2 1 2 2

1 2B R A B b D b E b F wA R R A Aα α

⎞∂ ∂− + + + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

111 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 1 1

1 1 AD a E a F a H D a E a F a HA Aα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1aa a AE F H D a E a F a HA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

266 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

2 2 2 2

1 1 AD b E b F b H D b E b F b HA Aα α

⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 166 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1bb b AE F H D b E b F b HA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+



( )2

16 1 2 112 16 1 16 2 16 3 163

1 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1D A A AD D a E a F a HA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1

1 aA A aD a E a F a H E F HA A α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 212 26 1 26 2 26 3 26 662 3

1 1 2 2 1 2

1A A A AD D b E b F b HA Aα α α

1Dα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2

1 bA A bD b E b F b H E F HA A α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b+

( )22

261 2 166 22 1 22 2 22 3 222 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1

21 D 2A A AD D b E b F b HA A A A

Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) (2

166 1 66 2 66 3 66 11 44 1 44 2 44 3 44 12 2

1 2 2

1 A D a E a F a H A a B a D a EA A

)κ βα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + − + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2

1 1aa a AE F H D a E a F a HA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2 1

1 1A AD a E a F a H D a E a F a HA A A Aα α

⎞∂ ∂+ − + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 1 226 26 26 16 66 1 66 2 66 3 662 2

2 2 2 2 1 2 2 1

1 1bb b A AE F H D D b E b F b HA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 122 1 22 2 22 3 22 26 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1 2A AD b E b F b H D b E b F b HA A A Aα α

⎞∂ ∂− + + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 1 211 1 11 2 11 3 11 163

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1D D A A AD a E a F a H DA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 111 1 11 2 11 3 11 11 11 112

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 216 16 66 1 66 2 66 3 662 3

1 1 2 2 2 1

1A A A AD D D b E b FA Aα α α α

b H⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠



( )2

32 2 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b+

( )22

1 12 1 2 216 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A D A A AD D b EA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b F b H +

( )2

661 116 1 16 2 16 3 16 12 45 22 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1

1 DA AD a E a F a H AA A A A

2A κ βα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

1

1 1 1 2m I u I β+ = + (3.198)


( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 116 16 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 1 1 1 1 2 2


⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 116 1 16 2 16 3 16 66 1 66 2 66 3 662 2

1 2 1 1 2 2


⎛∂ ∂+ + + + + − + + +⎜∂ ∂⎝

+

( )2

226 26 1 26 2 26 3 262 2

1 1 2 2

1AB B b D b E b FAα α α

⎞⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + +⎟⎟ ⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠⎠

+

( ) 32 126 1 26 2 26 3 26 26 26 263 2

2 2 2 2 2 2

1 1 bA bB b D b E b F D E FA Aα α

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂+ − + + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2bα α∂∂ ∂

( ) ( )2 266 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 222 2

1 2 1 1 2 1

1 1A AB b D b E b F B b D b E b FA A A Aα α

∂ ∂+ + + + + + + +

∂ ∂+

( )2

12 66116 1 26 2 26 3 262

1 2 2 2 1 2 1 2

1 B BA B b D b E b FA A A Aα α

⎞ ⎛ ⎞+∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α α

∂+

∂ ∂

( )2

1 2 1 226 66 1 66 2 66 3 66 263 2 2

1 2 1 1 2 1 2 1

1 1A A A AB B a D a E a F BA A A Aα α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛+⎜

⎝

( )2

31 1 166 1 66 2 66 3 66 66 66 66

1 2 2 1 1 1

aA A aB a D a E a F D E Fα α α α α α

2a ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+⎠

( )2

2 2 1 122 1 22 2 22 3 22 26 263 2 2

1 2 2 1 2 1 2 2

1 1A A AB b D b E b F B BA A A Aα α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

A⎛+⎜

⎝



( )2

32 2 122 1 22 2 22 3 22 22 22 22

1 2 1 2 2 2

bA A b bB b D b E b F D E Fα α α α α α

2⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+⎠

( )2

12 1 2 226 1 26 2 26 3 262 2 2 2

1 2 2 1 1 2 1

1B A A A B b D b E b FA A A Aα α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )2

66 451 116 1 16 2 16 3 16 12 12 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1

1 B AA A 2AB a D a E a F uA A A A R

κα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )2

166 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

222 1 22 2 22 3 22 22 1 22 2 22 3 222 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 122 22 22 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 2


⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( )2

26 1 1 216 1 16 2 16 3 16 663

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1B A A AB a D a E a F BA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 266 12 26 1 26 2 26 3 262 3

1 1 2 2 2 1


b F⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b∂+

( )22

161 2 112 66 1 66 2 66 3 662 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1


Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

1 2211 1 11 2 11 3 11 55 1 55 2 55 3 55 22 2

1 2 2 2

1 A B a D a E a F A b B b D b E uA A R

κα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + + + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) 26 4516 1 16 2 16 3 16 12

1 1 1 2 1 1

1 B AB a D a E a FA R A R A

κα

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )12 2222 1 22 2 22 3 22 55 1 55 2 55 3 55

2 2 2 1 2 2

1 BB b D b E b F A b B b D b EA R A R A

κα

⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+



( ) 31 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 aR aB a D a E a F D E FA R A Rα α

⎛ ⎞∂∂ ∂− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2aα α∂

+∂ ∂

( )12 1 222 1 22 2 22 3 222 2

2 1 2 2 2 2

1B R R B b D b E b FA R A Rα α

∂ ∂− − + + +

∂ ∂+

( )31 2 222 22 3 22 16 1 16 2 16 3 16

2 2 2 2 2 1 1 2 1

1 1 2bb b AD E b F B a D a E a FA R R A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 126 1 26 2 26 3 26 12 11 1 11 2 11 3 11

2 1 2 1 1 1 2 2

1 12A AB b D b E b F B B a D a E a FR A A R A Aα α

∂ ∂+ + + + + − − − −

∂ ∂+

( )26 2 122 12 1 22 2 22 3 222

1 2 1 2 1 2 2

1B R A B B b D b E b F wA R R A Aα α

⎞∂ ∂− + − + + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

116 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 2 116 16 16 26 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1 2

1 1aa a A AE F H D D a E a F a HA A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( ) ( )2 116 1 16 2 16 3 16 11 1 11 2 11 3 112 2

1 2 1 1 2 2 1

1 12A AD a E a F a H D a E a F a HA A A Aα α

⎞∂ ∂+ + + + − + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( ) ( )2

226 1 26 2 26 3 26 26 1 26 2 26 3 262 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 226 26 26 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 1

1 1bb b AE F H D b E b F b HA A Aα α α α

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 166 1 66 2 66 3 66 16 1 26 2 26 3 262 2

1 2 1 1 2 2 2

1 1A AD b E b F b H D b E b F b HA A A Aα α

⎞∂ ∂+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ⎠ α

∂+

∂

( )2

12 66 1 2 126 66 1 66 2 66 3 663

1 2 1 2 1 2 1 1 2

1D D A A AD D a E a F a HA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

( )2

31 1 166 1 66 2 66 3 66 66 66 662

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 226 22 1 22 2 22 3 22 262 3

1 1 2 2 1 2

1A A AD D b E b F b HA Aα α α

1ADα

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + −⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂

+⎟⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 122 1 22 2 22 3 22 22 22 222

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b+



( )22

1 12 1 2 226 26 1 26 2 26 3 262 2 2 2 2

2 1 2 2 1 1 2 1

1A D A A AD D b EA A A Aα α α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠

b F b H +

( )2

661 116 1 16 2 16 3 16 12 45 12 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1

1 DA AD a E a F a H AA A A A

2A κ βα α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟+ + + + − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠α∂

+∂

( ) ( )2

166 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3

1 1 1 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 2 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1aa a AE F H D a E a F a HA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 1

+

( ) ( )2

222 1 22 2 22 3 22 22 1 22 2 22 3 222 2 3

2 2 2 2


⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

+

( )31 2 122 22 22 22 1 22 2 22 3 222 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1bb b AE F H D b E b F b HA A Aα α α α α

⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ 2

+

( )2

26 1 1 216 1 16 2 16 3 16 663

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1D A A AD a E a F a H DA A A Aα α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂+ − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

( )2

31 1 116 1 16 2 16 3 16 16 16 162

1 2 1 2 2 1 1 1


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2a∂+

( )2

2 2 1 266 12 26 1 26 2 26 3 262 3

1 1 2 2 2 1

1A A A AD D D b E b FA Aα α α α

b H⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− − − + + +⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂+⎟

⎠ ⎝ ⎠

( )2

32 2 126 1 26 2 26 3 26 26 26 262

1 2 1 2 1 2 2 2


⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

2b+

( )22

161 2 112 66 1 66 2 66 3 662 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 2 1

21 D 2A A AD D b E b F b HA A A A

Aα α α

⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + +⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

∂

( ) (2

111 1 11 2 11 3 11 22 55 1 55 2 55 3 55 22 2

1 2 2

1 A D a E a F a H A b B b D b EA A

)κ βα

⎞⎛ ⎞∂ ⎟− + + + − + + +⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

2

2 1 2 2m I u I β+ = + (3.199)

Raccogliendo i termini che moltiplicano le componenti del vettore spostamento, le

relazioni del sistema fondamentale (3.195)-(3.199) possono porsi nella seguente forma

contratta:



11 1 12 2 13 14 1 15 2 1 0 1 1 1

21 1 22 2 23 24 1 25 2 2 0 2 1 2

31 1 32 2 33 34 1 35 2 0

41 1 42 2 43 44 1 45 2 1 1 1 2 1

51 1 52 2 53 54 1 55 2

n

L u L u L w L L q I u I


L u L u L w L L q I w

L u L u L w L L m I u I

L u L u L w L L

β β β

β β β

β β

β β β

β β

+ + + + + = +

+ + + + + = +

+ + + + + =

+ + + + + = +

+ + + + 2 1 2 2m I u I 2β+ = +

(3.200)

oppure in notazione matriciale:

11 12 13 14 15 11 0 1

21 22 23 24 25 22 0

31 32 33 34 35 0

41 42 43 44 45 11 1 2

51 52 53 54 55 22 1

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

n

L L L L L qu I IL L L L L qu IL L L L L qw IL L L L L m I IL L L L L m I I

ββ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

1

2

uw

1

1

2

uI

ββ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.201)

dove ijL rappresenta la componente generica dell’operatore fondamentale L .

Le variabili e le equazioni del problema dell’equilibrio elastico di un guscio in materiale

anisotropo, considerate in questo paragrafo, possono essere riassunte nello schema delle

teorie fisiche. La figura 3.21 illustra anche l’espressione del vettore quantità di moto per

unità di superficie:

=MuΛ (3.202)

come equazione costitutiva, essendo:

t

∂=∂uu (3.203)

l’equazione di definizione del vettore velocità. Il vettore delle forze inerziali per unità di

superficie che appare nell’equazione fondamentale (3.194), è definito dalla derivata

temporale di , cambiata di segno: Λ

t

∂= −

∂If MuΛ= − (3.204)



+ =Lu q Mu

Variabile di Configurazione

Variabile di Sorgente

Equazioni Fondamentali

( )1 2, , tα αq ( )1 2, , tα αu

t∂=∂uu

=η Du t∂+ =∂

*D S q Λ Equazioni

Indefinite di Equilibrio

Equazioni di Congruenza

Equazioni Costitutive

( )1 2, , tα αu ( )1 2, , tα αΛ =MuΛ

( )1 2, , tα αS =S Pη ( )1 2, , tα αη

Variabili Secondarie

Variabili Primali

Figura 3.21 – Schema delle teorie fisiche (o diagramma di Tonti).

3.1.7 SPECIALIZZAZIONE DEI RISULTATI PER GUSCI DI RIVOLUZIONE

Le equazioni fondamentali ricavate per i gusci di forma generica possono, attraverso

considerazioni geometriche, essere specializzate ai gusci di rivoluzione. Un guscio di

rivoluzione non è altro che una particolare struttura a doppia curvatura, la cui superficie di

riferimento è identificata da una superficie di rivoluzione e cioè da una superficie ottenibile

per rotazione di una curva piana, denominata generatrice, attorno ad un asse appartenente

al piano stesso della curva, che prende il nome di asse di rivoluzione.

La forma di un guscio di rivoluzione risulta completamente definita una volta nota

l’equazione cartesiana della curva meridiana o di meridiano. Definito il sistema di

riferimento globale , l’equazione della curva di meridiano può essere individuata

dalla funzione

1 2 3Ox x x

( )0 0 3R R x= , dove 0R rappresenta il raggio di parallelo alla quota 3x .



Si vuol far rilevare che l’asse di rivoluzione 3x può non coincidere con l’asse

geometrico 3x′ , descrivente la curva generatrice. In tal caso la struttura risulta caratterizzata

da un offset bR dell’asse di rivoluzione 3x rispetto all’asse geometrico 3x′ della curva

generatrice (figura 3.22).

Per descrivere la superficie di riferimento di una struttura di rivoluzione si può assumere

un sistema di coordinate cilindriche 1 3xα = e 2α ϑ= . Tuttavia, questa scelta, come pure il

sistema di coordinate 1 s1α = e 2 s2α = , definite mediante le ascisse curvilinee, non risulta

ottimale. Per un superficie di rivoluzione generica il sistema di coordinate sferiche 1α ϕ=

e 2α ϑ= risulta il più appropriato. Nel sistema di riferimento adottato ϕ indica l’angolo

tra l’asse geometrico 3x′ della curva meridiana e la normale alla curva in un punto e

definisce il meridiano, mentre ϑ rappresenta l’angolo di rivoluzione e definisce il

parallelo.

( )0 3R x

bR 2 ϑ=t t n O′ O

1x

n( )0 3R x ϑ

1x O

ϕ 1 ϕ=t t

dϕ 1R Rϕ=

1C 2x

(b) 2R Rϑ= 2C

(a)

3x′ 3x Figura 3.22 – Rappresentazione di un guscio di rivoluzione generico:

sezione di meridiano (a), sezione di parallelo (b).

Ricordando i risultati della geometria differenziale (2.84), la prima forma fondamentale

per una generica superficie di rivoluzione può essere espressa nel seguente modo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 21 0 0ds R d R d R d R dϕ

2ϕ ϑ ϕ= + = + ϑ (3.205)

dove il primo addendo rappresenta il quadrato della lunghezza infinitesima dell’arco lungo

la curva meridiana, ed il secondo definisce il quadrato della lunghezza infinitesima



dell’arco lungo un parallelo. Ricordando le relazioni (2.85) e (2.87), si ha:

1 1 2 0 2E , G sin sA R R A R R Rϕ inϑϕ ϕ= = = = = = = (3.206)

dove 1R Rϕ= rappresenta il raggio di curvatura della curva meridiana, 2R Rϑ= il raggio di

curvatura della curva di parallelo e 0R rappresenta il raggio di curvatura del parallelo.

Si vuol far notare che, per una superficie di rivoluzione, i raggi di curvatura principale

,R Rϕ ϑ ed il raggio di parallelo 0R sono tutte quantità che dipendono solo dal parametro

ϕ , mentre risultano completamente indipendenti da ϑ .

Si ricorda inoltre che, per le superfici di rivoluzione, le condizioni di Codazzi (2.68)-

(2.69) risultano identicamente soddisfatte, mentre la condizione di Gauss (2.71) permette

di scrivere il seguente risultato:

0 cosdR

Rd ϕ ϕϕ

= (3.207)

Tutte le relazioni sopra riportate sono estremamente importanti in quanto caratterizzano

intrinsecamente le superfici di rivoluzione e permettono di semplificare le equazioni del

moto.

* * * Si sottolinea che, i coefficienti relativi all’effetto della curvatura, che di seguito non sono esplicitamente

riportati per una trattazione più sintetica e chiara delle equazioni, assumono l’aspetto seguente, relativamente

al cambio di coordinate:

1 2 3 20 0

sin 1 1 1 sin sin; ;a a aR R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ 0

;ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 20 0 0

1 sin sin sin 1 sin; ;b b bR R R R R R Rϕ ϕ 0

;ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

* * *

3.1.7.1 Equazioni di congruenza

Tenendo conto delle relazioni geometriche (3.206), (3.207), dell’indipendenza da ϑ dei

raggi di curvatura 0, ,R R Rϕ ϑ e ponendo 1α ϕ= , 2α ϑ= , 1 ϕ= e 2 ϑ= , le equazioni di

congruenza (3.42) per un guscio di rivoluzione si riducono alle seguenti:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠



0

0

1 cos sinu u wR

ϑϑ ϕε ϕ ϕ

ϑ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0 1 uR

ϑϕ

ϕ

γϕ

∂=

∂

0

0

1 cosu

uR

ϕϑ ϑγ ϕ

ϑ∂⎛ ⎞

= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

0

1 cosR

ϑϑ ϕ

βχ β ϕϑ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1R

ϑϕ

ϕ

βωϕ

∂=

∂

0

1 cosR

ϕϑ ϑ

βω β ϕ

ϑ∂⎛ ⎞

= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1n

w uRϕ ϕ ϕϕ

γ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

1 sinnw u

Rϑ ϑ ϑγ ϕ βϑ∂⎛ ⎞= −⎜ ∂⎝ ⎠

+⎟ (3.208)

ed in notazione matriciale:



0 0 0

0

0

00 0

0

0 0

0

0

0 0

0 0

1 10 0 0

cos 1 sin 0 0

10 0 0 0

1 cos 0 0 0

10 0 0 0

cos 10 0 0

10 0 0 0

1 cos0 0 0

1 10 1 0

sin 10 0

R R

R R R

R

R R

R

R R

R

R R

R R

R R

ϕ ϕ

ϕϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕϕ

ϑ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕϑ

ϕεϕε

ϑγγ

ϕχϕχ

ϑωω

ϕμμ ϕ

ϑ

ϕ

ϕϑ

∂⎡⎢ ∂

∂∂

∂∂⎡ ⎤

⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ −∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ =

∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ −

∂

∂−

∂

∂−

∂⎣

uuw

ϕ

ϑ

1

ϕ

ϑ

ββ

⎤⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(3.209)

3.1.7.2 Equazioni di legame

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico, dalle equazioni (3.122) ponendo

1 ϕ= e 2 ϑ= , si ricava la seguente forma matriciale:

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

31 32 33 34 35 36 37 38

41 42 43 44 45 46 47 48

51 52 53 54 55 56 57 58

61 62 63 64

0 00 00 00 00 0

N P P P P P P P PN P P P P P P P PN P P P P P P P PN P P P P P P P PM P P P P P P P PM P P P P PMMTT

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϑϕ

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϑϕ

ϕ

ϑ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

65 66 67 68

71 72 73 74 75 76 77 78

81 82 83 84 85 86 87 88

99 910

109 1010

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

n

n


P PP P

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ


⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.210)



Ciò che cambia nell’espressione (2.371) sono solamente i coefficienti legati alla curvatura

che rimangono all’interno della matrice ( ),ϕ ϑP mentre le matrici componenti la matrice

costitutiva essendo matrici di termini costanti rimangono della stessa forma delle (3.124)-

(3.130).

3.1.7.3 Equazioni indefinite di equilibrio

Ricordando le relazioni geometriche (3.206), (3.207), l’indipendenza da ϑ dei raggi di

curvatura 0, ,R R Rϕ ϑ e ponendo 1α ϕ= , 2α ϑ= , 1 ϕ= e 2 ϑ= , le equazioni indefinite di

equilibrio (3.190) per un guscio di rivoluzione sono date dalle seguenti relazioni:

( )

( )

( )

0 10 0

0 10 0 0

00 0 0

10 0

1 1 cos

1 1 cos sin

1 1 cos sin

1 1 cos

n

N N TN N q I u I

R R R R

N N N N T q I u IR R R R

T NT T N q I wR R R R R

M MM M T m I

R R R

ϕ ϑϕ ϕϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϑ ϑϕϑ ϑϕ ϑ ϑ ϑ

ϕ

ϕ ϕϑϕ ϑ

ϕ ϕ

ϕ ϑϕϕ ϑ ϕ ϕ

ϕ

ϕ βϕ ϑ

ϕ ϕϑβϕ ϑ

ϕ ϕϕ ϑ

ϕϕ ϑ

∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + =

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + =

∂ ∂

( )

2

1 20 0

1 1 cos

u I

M M M M T m I u IR R R

ϕ ϕ

ϕϑ ϑϕϑ ϑϕ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϕ

β

ϕ βϕ ϑ

+

∂ ∂+ + + − + = +

∂ ∂

(3.211)


0

0 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

1 cos 10 0 0

cos 1 sin 0 0

1 cos0 0 0 0

1 cos 0 0 0

1 cos0 0 0 0

cos 10 0 0

1 cos0 0 0 0

1 cos0 0 0

1 1 cos0 1 0

sin 10 0 1

R R R

R R R

R R

R R

R R

R R

R R

R R

R R R

R R

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϑ

ϕϕ

ϕϑ

ϕϕ

ϕϑ

ϕϕ

ϕϑ

ϕϕ

ϕϑ

∂⎡ + −⎢ ∂⎢⎢ ∂

− −⎢∂⎢

⎢ ∂⎢ +∂⎢

⎢ ∂⎢⎢ ∂⎢

∂⎢ +⎢ ∂⎢⎢ ∂

−⎢ ∂⎢⎢ ∂

+⎢∂⎢

⎢ ∂⎢∂

∂+ −

∂

∂−

∂⎣

0 1

0 1

0

1 2

1 2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

T

n

NNN

q uI IN

q uI IM

q wIM

m I IM

m I IMTT

ϕ

ϑ

ϕϑϕ ϕ

ϑϕϑ ϑ

ϕ

ϑϕ ϕ

ϕϑϑ ϑ

ϑϕ

ϕ

ϑ

ββ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ + =⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎦

(3.212)



3.1.7.4 Equazioni fondamentali


curvatura 0, ,R R Rϕ ϑ e ponendo 1α ϕ= , 2α ϑ= , 1 ϕ= e 2 ϑ= , anche le equazioni

fondamentali (3.195)-(3.199) possono essere riscritte in forma estesa:

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ϕα :

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 RA a B a D a E A a B a D a E

R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0

1 cosaa aB D E A a B a D a ER R Rϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122 2

0 0

21 sAA b B b D b E AR R Rϕ ϕ

ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442 2

0

cos A b B b D b E A a B a D a E uR R ϕ

ϕ

κϕ ⎞− + + + − + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 A b B b D b ER ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220

cos A b B b D b E A b B b D b ERϕ

ϑ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0 0

sin cos sinA A A A b B b D b E A uR R R R R R R ϑϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442 2

0

1 sinA a B a D a E A A a B a D a ER R R Rϕ ϕ ϕ

κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 16 4526 1 26 2 26 3 26 122

0 0

sin A AA b B b D b ER R Rϕ ϕ

ϕ κ0R R ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( ) 31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 113 2

1 1R aa aA a B a D a E B D ER R

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂ ∂



( )12 11 12 1 11 2 11 3 1120 0 0

cos sin cos cosA A A a B a D a ER R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 22 1 22 2 22 3 2220

cos sin A A b B b D b E wRϕ ϕ ⎞

+ − − − − ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 RB a D a E a F B a D a E a F

R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0

1 cosaa aD E F B a D a E a FR R Rϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122 2

0 0

21 sBB b D b E b F BR R Rϕ ϕ

ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442

0

cos B b D b E b F A a B a D a ER R ϕ

ϕ

κϕ β⎞

− + + + + + + + ⎟⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 B b D b E b FR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220

cos B b D b E b F B b D b E b FRϕ

ϑ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 66 4516 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0 0

sin cosB B AB B b D b E b FR R R R R R ϑϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

0 1q I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (3.213)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ϑα :

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 16 1 16 2 16 3 16 262

0 0

1 cos 2aa aB D E A a B a D a E AR R Rϕ ϕ

ϕ ϕcosR Rϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+



( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 A b B b D b ER ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220

cos A b B b D b E A b B b D b ERϕ

ϑ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0 0

sin cos sinA A A A b B b D b E A uR R R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662 2

0 0

21 sAA b B b D b E AR R Rϕ ϕ

ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2 2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 552 20 0

cos sinA b B b D b E A b B b D b E uR R ϑϕ ϕκ

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

( )16 1 16 2 16 3 16 26 12 4520 0

1 sin sA a B a D a E A AR R Rϕ ϕ

ϕ ϕκ inR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 552 2

0 0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R R Rϕ

ϕ ϕκϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂ ∂

( )26 16 1 16 2 16 3 1620 0 0

cos sin cos cos 2A A a B a D a ER R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )26 1 26 2 26 3 2620

cos sin 2A b B b D b E wRϕ ϕ ⎞

+ + + + ⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 16 1 16 2 16 3 162

0 0

1 cos cos 2aa aD E F B B a D a E a FR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 B b D b E b FR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+



( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 6620


ϑ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0 0

sin cos sinB B B B b D b E b F AR R R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662 2

0 0


ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520 0

cos sinB b D b E b F A b B b D b ER R ϑϕ ϕκ β

⎞− + + + + + + + ⎟

⎠+

0 1q I u Iϑ ϑ ϑβ+ = + (3.214)


( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122 2

0

1 sA a B a D a E A a B a D a E AR Rϕ ϕ

κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂− + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )45 1612 26 1 26 2 26 3 262

0 0 0

sinA A A b B b D b ER R R R Rϕ ϕ

ϕκϑ

⎛ ⎞ ∂+ − − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) 311 11 1 244 1 44 2 44 3 44 44 44 443 2

R aa aA a B a D a E B D ER R

ϕ

ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

∂ ⎛ ∂∂ ∂+ + + + − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ

⎞+

∂

( )11 44 1 44 2 44 3 44 120 0

cos cosA a B a D a E AR R R Rϕ ϕ

ϕ ϕκ− + + + − +

( )22 1 22 2 22 3 2220

cos sin A b B b D b E uR ϕϕ ϕ ⎞

− + + + ⎟⎠

+

( )12 45 16 1 16 2 16 3 16 2620 0

sin 1 sinA A a B a D a E AR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − − + + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

( ) ( )1222 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 222 2

0 0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R R Rϕ

ϕ ϕκϑ

⎛ ⎞ ∂+ − + + + − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠



12 12 45 12 452 20 0 0

cos sin cos cos sinA AR R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕκ κ κ⎛ ⎞

+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

( )16 26 1 26 2 26 3 2620 0

cos cos sinA A b B b D b E uR R R ϑϕ

ϕ ϕ ϕ ⎞+ + + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

11 1144 1 44 2 44 3 44 44 1 44 2 44 3 442 2 3

RA a B a D a E A a B a D a E

R Rϕ

ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 442

0

cosaa aB D E A a B a D a ER R Rϕ ϕ

κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

452255 1 55 2 55 3 55 12 122 2

0 0

2 2sinAA b B b D b E AR R Rϕ ϕ

κ ϕκϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0R R

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 22 1 22 2 22 3 222 20

1 sinA a B a D a E A b B b D b E wR Rϕ

ϕ ⎞− + + + − + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122

0

1 sA a B a D a E B a D a E a F BR Rϕ ϕ

κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )45 1612 26 1 26 2 26 3 262

0 0 0

sinA B B b D b E b FR R R Rϕ

ϕκϑ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 44

0

cosaa aB D E A a B a D a ER Rϕ

κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )12 22 1 22 2 22 3 2220 0

cos cos sinB B b D b E b FR R R ϕϕ

ϕ ϕ ϕ β⎞

− − + + + ⎟⎟⎠

+

( )4512 16 1 16 2 16 3 16 262

0

1 sA B a D a E a F BR R R Rϕ ϕ ϕ

ϕκ inϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )22 1255 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 222

0 0 0

sinBA b B b D b E B b D b E b FR R R Rϕ

κ ϕϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + + − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )12 45 16 26 1 26 2 26 3 26 020 0 0

cos cos cos sinnA B B b D b E b F q

R R R R ϑϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ β⎞

+ + + + + + +⎟⎟⎠

I w= (3.215)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata ϑα :



( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122 2

0 0


ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442

0

cos B b D b E b F A a B a D a E uR R ϕ

ϕ

κϕ ⎞− + + + + + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 B b D b E b FR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220


ϑ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0 0

sin cos sinB B B B b D b E b F A uR R R R R R ϑϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442

0

1 sinB a D a E a F B A a B a D a ER R R Rϕ ϕ ϕ

κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 16 1226 1 26 2 26 3 26 452

0 0

sin BB b D b E b F AR R Rϕ

κϕ

0R ϑ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( ) 31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 113 2

1 1R aa aB a D a E a F D E FR R

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂

( )12 11 12 1 11 2 11 3 1120 0 0

cos sin cos cosB B B a D a E a FR R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 22 1 22 2 22 3 2220

cos sin B B b D b E b F wRϕ ϕ ⎞

+ − − − − ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3

1 1 RD a E a F a H D a E a F a H

R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+



( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0

1 cosaa aE F H D a E a F a HR R Rϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122 2

0 0

21 sDD b E b F b H DR R Rϕ ϕ

ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) (2

22 1 22 2 22 3 22 11 44 1 44 2 44 3 4420

cos D b E b F b H A a B a D a ER ϕϕ )κ β

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 D b E b F b HR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220

cos D b E b F b H D b E b F b HRϕ

ϑ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cosD D D D b E b F b H AR R R R R ϑϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

1 2m I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (3.216)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata ϕα :

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 16 1 16 2 16 3 16 262

0 0

1 cos c2aa aD E F B a D a E a F BR R Rϕ ϕ

ϕ ϕosR Rϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 B b D b E b FR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 2220


ϑ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )2 2

12 66 4526 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0 0

sin cosB B AB B b D b E b F uR R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+



( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662 2

0 0


ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520 0

cos sinB b D b E b F A b B b D b E uR R ϑϕ ϕκ

⎞− + + + + + + + ⎟

⎠+

( ) 1216 1 16 2 16 3 16 26 452

0

1 sinB a D a E a F B AR R Rϕ ϕ

κϕRϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )12 2222 1 22 2 22 3 22 55 1 55 2 55 3 552

0 0 0

sin BB b D b E b F A b B b D b ER R R Rϕ

κϕϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂

( )26 16 1 16 2 16 3 1620 0 0

cos sin cos cos 2B B a D a E aR R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

F

( )26 1 26 2 26 3 2620

cos sin 2B b D b E b F wRϕ ϕ ⎞

+ + + + ⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 16 1 16 2 16 3 162

0 0

1 cos cos 2aa aE F H D D a E a F a HR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2

26 1 26 2 26 3 262 20

1 D b E b F b HR ϑ

⎛ ⎞ ∂+ + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 6620

cos D b E b F b H D b E b F b HRϕ

ϑ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cosD D D D b E b F b H AR R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+



( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662 2

0 0

21 sDD b E b F b H DR R Rϕ ϕ

ϕϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

inR R

+

( ) (2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520

cos D b E b F b H A b B b D b ER ϑϕ )κ β

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

1 2m I u Iϑ ϑ ϑβ+ = + (3.217)

Dalle equazioni (3.213)-(3.217) risultano così definiti gli elementi ijL dell’operatore

fondamentale L :

11 12 13 14 15 0 1

21 22 23 24 25 0 1

31 32 33 34 35 0

41 42 43 44 45 1 2

51 52 53 54 55

n



L u L u L w L L q I w

L u L u L w L L m I u I

L u L u L w L L

ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ

ϕ ϑ ϕ ϑ

ϑ

ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϕ ϑ ϕ ϑ

ϕ

β β β

β β β

β β

β β β

β β

+ + + + + = +

+ + + + + = +

+ + + + + =

+ + + + + = +

+ + + + 1 2m I u Iϑ ϑ ϑβ+ = +

(3.218)


11 12 13 14 15 0 1

21 22 23 24 25 0 1

31 32 33 34 35 0

41 42 43 44 45 1 2

51 52 53 54 55 1 2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

n

L L L L L u q uI IL L L L L u q I IL L L L L w q IL L L L L m I IL L L L L m I I

ϕ ϕ

ϑ ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϑ

ββ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

uwϑ

ϕ

ϕ

ϑ

ββ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.219)



+ =Lu q Mu

Variabile di Configurazione

Variabile di Sorgente

Equazioni Fondamentali

( ), , tϕ ϑq ( ), , tϕ ϑu

t∂=∂uu

=Duη t∂+ =∂

*D S q Λ

Equazioni Indefinite di Equilibrio

Equazioni di Congruenza

Equazioni Costitutive

( ), , tϕ ϑu ( ), , tϕ ϑΛ =MuΛ

( ), , tϕ ϑS =S Eη ( ), , tϕ ϑη

Variabili Secondarie

Variabili Primali

Figura 3.23 – Schema delle teorie fisiche per gusci di rivoluzione.

Le variabili e le equazioni del problema dell’equilibrio elastico di un guscio di

rivoluzione in materiale anisotropo, considerate in questo paragrafo, possono essere

riassunte nello schema delle teorie fisiche di figura 3.23. La combinazione dei tre insiemi

di equazioni, ossia le equazioni di congruenza, le equazioni costitutive e le equazioni

indefinite di equilibrio, permette di determinare le equazioni fondamentali (3.219) che, in

forma matriciale compatta, assumono il seguente aspetto:

+ =Lu q Mu (3.220)


Capitolo Quarto

Principali Strutture a Guscio

INTRODUZIONE

Nel capitolo precedente sono riportate le equazioni generali dei gusci a doppia curvatura

in materiale anisotropo. I risultati sono stati specializzati ai gusci di rivoluzione a doppia

curvatura. La superficie di riferimento delle strutture di rivoluzione viene ottenuta per

rotazione di una curva piana (detta generatrice o meridiano) attorno ad un asse

(denominato asse di rivoluzione) appartenente al piano stesso della figura. Da questa

definizione si evince che la forma di tali strutture è completamente assegnata qualora

venga fornita l’equazione cartesiana della curva di meridiano. La figura 4.1 illustra

graficamente le tipologie strutturali che è possibile studiare partendo dalle equazioni

governanti il problema elastico dei gusci a doppia curvatura. Infatti, è possibile dedurre

dalle equazioni in parola, attraverso considerazioni di carattere geometrico, le equazioni

fondamentali per un’ampia classe di strutture a guscio.

Per studiare una particolare tipologia di guscio di rivoluzione, occorre individuare la

forma del meridiano ad essa associata per poi definire le equazioni che ne governano il

comportamento. Si può osservare che il meridiano può assumere diverse forme nel piano,


ossia può essere una linea curva, oppure una linea retta. I gusci di rivoluzione possono

essere suddivisi nelle seguenti categorie:

• gusci a generatrice curvilinea

• gusci a generatrice rettilinea

GUSCIO GENERICO A DOPPIA CURVATURA

GUSCI DI TRASLAZIONE (Generatrice rettilinea)

GUSCI DI RIVOLUZIONE (Parallelo circolare)

Meridiano

Iperbolico A catenaria Parabolico Cicloidale Ellittico

Gusci e toroidi a doppia curvatura

Circolare Profilo

Iperbolico A catenaria Ellittico Parabolico Cicloidale

Guscio conico

Circolare

Guscio cilindrico

Gusci a singola curvatura

Gusci degeneri o a curvatura nulla Piastra Circolare Piastra rettangolare

Figura 4.1 – Classificazione delle principali tipologie strutturali.

Alla prima categoria appartengono i gusci a doppia curvatura caratterizzati, oltre dalla

curvatura indotta dalla rivoluzione, anche dalla curvatura di meridiano. In questa tesi,

vengono trattati gusci di rivoluzione a meridiano iperbolico, parabolico, cicloidale, a

catenaria, ellittico e circolare. I gusci toroidali fanno parte di questa classe e sono gusci a

doppia curvatura caratterizzati da un offset dell’asse di rivoluzione rispetto all’asse

geometrico descrivente la curva di meridiano. Alla seconda categoria appartengono i gusci

a singola curvatura come i gusci conici, i gusci cilindrici circolari, come pure i gusci



degeneri (piastre circolari). In particolare, le equazioni dei gusci a generatrice rettilinea si

ricavano rettificando il meridiano dei gusci di rivoluzione a doppia curvatura. Il guscio a

meridiano circolare (guscio sferico) può essere visto come caso particolare del guscio a

meridiano ellittico. Si vuol far notare che, mentre quest’ultimo è caratterizzato da due

curvature distinte, il primo ha anch’esso due curvature, che risultano uguali e costanti. Il

guscio sferico rappresenta un guscio di transizione tra i gusci di rivoluzione a doppia

curvatura e a singola curvatura (guscio conico). Inoltre, dal guscio conico si possono

dedurre le equazioni del cilindro e della piastra circolare.

Rettificando il parallelo di un guscio di rivoluzione a doppia curvatura, è possibile

ottenere le equazioni descriventi il comportamento del cilindri di traslazione a profilo

generico, rappresentati nella seconda colonna di figura 4.1. Queste tipologie strutturali

sono definite da diversi profili. In particolare vengono considerati cilindri a profilo

parabolico, cicloidale, a catenaria, ellittico e circolare.

y y

Piastra rettangolare

Piastra circolare

Cilindro a profilo generico

sϑ ϑ O 1x

2e1e

3e Guscio di rivoluzione a doppia curvatura

2x

Guscio conico

xsϕ x

Cilindro circolare

3x

Figura 4.2 – Rappresentazione delle principali tipologie strutturali.

Infine, rettificando contemporaneamente il parallelo e il meridiano di un guscio di

rivoluzione a doppia curvatura, si ottengono le equazioni delle piastre rettangolari. Esse



appartengono alla categoria dei gusci degeneri, in quanto dotati di curvatura nulla. Si vuol

far rilevare che le equazioni delle piastre rettangolari possono essere dedotte

indifferentemente partendo dai gusci di rivoluzione o dai gusci di traslazione. In figura 4.2

viene riportata la sintesi grafica di quanto testé esposto. In definitiva, risulta possibile

ricavare dalle equazioni descriventi il comportamento di un guscio di rivoluzione a doppia

curvatura, ad esempio un iperboloide iperbolico, le equazioni governanti il problema

elastico dei gusci conici e cilindrici, delle piastre circolari e rettangolari e dei cilindri di

traslazione a profilo generico.

Nel seguito vengono determinate le equazioni dei gusci di rivoluzione a doppia

curvatura, dei gusci di rivoluzione a singola curvatura, dei gusci di traslazione a singola

curvatura e dei gusci degeneri.

4.1 GUSCI DI RIVOLUZIONE A DOPPIA CURVATURA

In base alla prima forma fondamentale (2.88) e alle relazioni (2.89), è possibile

descrivere una superficie di rivoluzione associando ad 1 2,α α le coordinate curvilinee , sϕ .

L’ascissa curvilinea lungo il parallelo della superficie risulta definita dalla seguente

relazione:

sϑ = s

( )0ds ds R dϑ ϕ ϑ= = (4.1)

dove ( )0R ϕ è il raggio di parallelo ed è funzione della quota del parallelo, quindi del

parametro ϕ . La relazione (4.1) permette di porre in altra forma le equazioni dei gusci di

rivoluzione. Vengono riscritte di seguito tutte le equazioni ricavate nel precedente capitolo

per i gusci di rivoluzione a doppia curvatura.

Ponendo sϑ = e introducendo la relazione (4.1), le equazioni di congruenza (3.208) per

un guscio di rivoluzione assumono il seguente aspetto:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0 0

cos sinss

uu ws R R

ϕ ϕ ϕε ∂= + +∂

0 1 uR

ϑϕ

ϕ

γϕ

∂=

∂



0

0

cosss

u us Rϕ ϕγ

∂= −

∂

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

0

cosss s R

ϕβ ϕβχ ∂= +

∂

1R

ϑϕ

ϕ

βωϕ

∂=

∂

0

cosss s R

ϕβ β ϕω∂

= −∂

0 1 w uRϕ ϕ ϕϕ

μ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0

sinss s

uws R

ϕμ β∂= − +∂

(4.2)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (3.210), tenendo conto della

posizione sϑ = , si ricava la seguente forma compatta, con ovvio significato dei simboli:

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

31 32 33 34 35 36 37 38

41 42 43 44 45 46 47 48

51 52 53 54 55 56 57 58

61 62 63 64

0 00 00 00 00 0

s

s

s

s

s

s

s


ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

65 66 67 68

71 72 73 74 75 76 77 78

81 82 83 84 85 86 87 88

99 910

109 1010

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

s

s

s

s

n

sn


P PP P

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥ (4.3)

Nella relazione (4.3) rientrano i coefficienti legati alla curvatura che per un guscio di

rivoluzione assumono il seguente aspetto:

1 2 3 2

0 0

2

1 2 3 20 0 0

sin 1 1 1 sin sin; ;

1 sin sin sin 1 sin; ;

a a a0

0

R R R R R R

b b b

R

R R R R R

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ R R

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.4)

Tali coefficienti assumono forme differenti a seconda della geometria considerata, come



verrà mostrato più nel dettaglio in seguito.

Ricordando le relazioni (3.211), ponendo sϑ = e introducendo la relazione (4.1), le

equazioni indefinite di equilibrio dinamico per un guscio di rivoluzione sono date dalle

seguenti relazioni:

( ) 0 10

1 cosss

N N TN N q I u I

R s R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕϕβϕ

∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂

( ) 0 10 0

1 cos sins ss s s s s

N N N N T q I u IR s R R

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕsβϕ

∂ ∂+ + + + + = +

∂ ∂

00 0

1 cos sinss n

T NT T N qR s R R R

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

∂ ∂+ + − − + =

∂ ∂I w

( ) 1 20

1 cosss

M MM M T m I u

R s Rϕ ϕ Iϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕϕβϕ

∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂

( ) 1 20

1 coss ss s s s s

M MsM M T m I u

R s Rϕ

ϕ ϕϕ

ϕ I βϕ

∂ ∂+ + + − + = +

∂ ∂ (4.5)

Infine, anche le equazioni fondamentali (3.213)-(3.217) possono essere riscritte per un

guscio di rivoluzione in forma estesa. Ponendo sϑ = e introducendo la relazione (4.1) si

ha:

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata sϕ :

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122

0

2 sinAA b B b D b E As R s R Rϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442 2

0

cos A b B b D b E A a B a D a E uR R ϕ

ϕ

κϕ ⎞− + + + − + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+



( )2

26 1 26 2 26 3 26 2A b B b D b Es∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220

cos A b B b D b E A b B b D b ER sϕ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sins

A A A A b B b D b E A uR s R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442 2

0


κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 16 4526 1 26 2 26 3 26 12

0

sin A AA b B b D b ER R Rϕ ϕ

ϕ κ⎛ ⎞

s∂

+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) 31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 113 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂ ∂

( )12 11 12 1 11 2 11 3 1120 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 22 1 22 2 22 3 2220


+ − − − − ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122

0

2 sinBB b D b E b F Bs R s R Rϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442

0

cos B b D b E b F A a B a D a ER R ϕ

ϕ

κϕ β⎞

− + + + + + + + ⎟⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+



( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220

cos B b D b E b F B b D b E b FR sϕ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 66 4516 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0

sin coss

B B AB B b D b E b FR s R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

0 1q I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (4.6)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata : s

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 16 1 16 2 16 3 16 262

0 0

1 cos c2aa aB D E A a B a D a E AR R Rϕ ϕ


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2A b B b D b Es∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sinA A A A b B b D b E A uR s R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662

0

2 sinAA b B b D b E As R s R Rϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2 2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 552 20 0

cos sinsA b B b D b E A b B b D b E u

R Rϕ ϕκ

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

( )16 1 16 2 16 3 16 26 12 4520 0


ϕ ϕκ inR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 55

0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R Rϕ

ϕ ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ s+



( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂ ∂

( )26 16 1 16 2 16 3 1620 0 0

cos sin cos cos 2A A a B a D aR R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

E

( )26 1 26 2 26 3 2620

cos sin 2A b B b D b E wRϕ ϕ ⎞

+ + + + ⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 16 1 16 2 16 3 162

0 0

1 cos cos 2aa aD E F B B a D a E a FR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sinB B B B b D b E b F AR s R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662

0


ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520 0

cos sinsB b D b E b F A b B b D b E

R Rϕ ϕκ β

⎞− + + + + + + + ⎟

⎠+

0 1s sq I u I sβ+ = + (4.7)


( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122 2

0


κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂− + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+



( )45 1612 26 1 26 2 26 3 26

0

sinA A A b B b D b ER R R sϕ ϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) 311 11 1 244 1 44 2 44 3 44 44 44 443 2

R aa aA a B a D a E B D ER R

ϕ

ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

∂ ⎛ ∂∂ ∂+ + + + − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ

⎞+

∂

( )11 44 1 44 2 44 3 44 120 0

cos cosA a B a D a E AR R R Rϕ ϕ

ϕ ϕκ− + + + − +

( )22 1 22 2 22 3 2220


− + + + ⎟⎠

+

( )12 45 16 1 16 2 16 3 16 2620 0


ϕ ϕκϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − − + + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

( ) ( )1222 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R R sϕ

ϕ ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

12 12 45 12 452 20 0 0



+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

( )16 26 1 26 2 26 3 2620 0

cos cos sinsA A b B b D b E u

R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ⎞+ + + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

11 1144 1 44 2 44 3 44 44 1 44 2 44 3 442 2 3


R Rϕ

ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 442

0

cosaa aB D E A a B a D a ER R Rϕ ϕ

κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

4522 55 1 55 2 55 3 55 12 122

0

2 2sinAA b B b D b E As R s R Rϕ ϕ

ϕκ κϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 22 1 22 2 22 3 222 20

1 sinA a B a D a E A b B b D b E wR Rϕ

ϕ ⎞− + + + − + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122

0


κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )1612 45 26 1 26 2 26 3 26

0

sinBA B b D b E b FR R sϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 44

0


κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+



( )12 22 1 22 2 22 3 2220 0


ϕ ϕ ϕ β⎞

− − + + + ⎟⎟⎠

+

( )4512 16 1 16 2 16 3 16 262

0


ϕκ inϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

0

sinBA b B b D b E B b D b E b FR R sϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ + + + − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )12 45 16 26 1 26 2 26 3 26 020 0 0

cos cos cos sins nA B B b D b E b F q

R R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ β⎞

+ + + + + + +⎟⎟⎠

I w= (4.8)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122

0


ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

1122 1 22 2 22 3 22 44 1 44 2 44 3 442

0

cos B b D b E b F A a B a D a E uR R ϕ

ϕ

κϕ ⎞− + + + + + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sins

B B B B b D b E b F A uR s R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442

0


κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+



( ) 1626 1 26 2 26 3 26 12 45

0

sin BB b D b E b F AR R sϕ

ϕ κ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) 31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 113 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂

( )12 11 12 1 11 2 11 3 1120 0 0

cos sin cos cosB B B a D a E a FR R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 22 1 22 2 22 3 2220

cos sin B B b D b E b F wRϕ ϕ ⎞

+ − − − − ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 211 11 11 11 1 11 2 11 3 112

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2 2

1666 1 66 2 66 3 66 122

0

2 sinDD b E b F b H Ds R s R Rϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) (2

22 1 22 2 22 3 22 11 44 1 44 2 44 3 4420

cos D b E b F b H A a B a D a ER ϕϕ )κ β

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 1 16 2 16 3 162

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2D b E b F b Hs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220

cos D b E b F b H D b E b F b HR sϕ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0

sin coss

D D D D b E b F b H AR s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

1 2m I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (4.9)



(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata sϕ :

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 16 1 16 2 16 3 16 262

0 0

1 cos c2aa aD E F B a D a E a F BR R Rϕ ϕ


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 66 4526 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0

sin cosB B AB B b D b E b F uR s R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662

0


ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520 0

cos sinsB b D b E b F A b B b D b E u

R Rϕ ϕκ

⎞− + + + + + + + ⎟

⎠+

( ) 1216 1 16 2 16 3 16 26 452

0


κϕRϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 55

0

sin BB b D b E b F A b B b D b ER R sϕ

ϕ κ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2


ϕ

ϕ ϕϕ ϕ∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ ϕ⎞+

∂

( )26 16 1 16 2 16 3 1620 0 0

cos sin cos cos 2B B a D a E aR R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

F

( )26 1 26 2 26 3 2620

cos sin 2B b D b E b F wRϕ ϕ ⎞

+ + + + ⎟⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 216 16 16 26 16 1 16 2 16 3 162

0 0

1 cos cos 2aa aE F H D D a E a F a HR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ϕ∂

+ + + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2D b E b F b Hs∂

+ + + +∂

+



( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0

sin cosD D D D b E b F b H AR s R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )31 266 66 66 66 1 66 2 66 3 662

0


ϕϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ϕ

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 662

0

2 sinDD b E b F b H Ds R s R Rϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ) (2

66 1 66 2 66 3 66 22 55 1 55 2 55 3 5520

cossD b E b F b H A b B b D b E

Rϕ )κ β

⎞− + + + − + + + ⎟

⎠+

1 2s sm I u I sβ+ = + (4.10)

A questo punto, occorre definire i parametri geometrici della curva di meridiano ( )Rϕ ϕ

e ( )0R ϕ . Di seguito sono analizzate le principali tipologie strutturali.

4.1.1 GUSCIO A MERIDIANO IPERBOLICO

Il guscio a meridiano iperbolico, rappresentato in figura 4.3, è un guscio di rivoluzione a

doppia curvatura, la cui superficie di riferimento viene generata dalla rotazione attorno

all’asse 3x di un ramo di iperbole. La superficie in parola è caratterizzata da una curvatura

gaussiana negativa, poiché i centri di curvatura , corrispondenti ai due raggi

principali

1 2,C C

,R Rϕ ϑ , giacciono su lati opposti della superficie.

In figura 4.3 sono rappresentati i principali parametri geometrici utili a descrivere la

superficie. L’angolo di rivoluzione è indicato con ϑ . bR rappresenta l’offset dell’asse

della curva di meridiano 3x′ rispetto all’asse di rivoluzione 3x . Si vuol far notare che per

si ottiene un iperboloide iperbolico. Le quantità sono i raggi alla base e alla

sommità dell’iperboloide rispetto all’asse

0bR = ,c d

3x′ e sono le rispettive quote. La

descrizione della curva generatrice o di meridiano in coordinate cartesiane è la seguente:

,C D

( )2

20 3

2 2 1bR R xa b− ′

− = (4.11)



c

tπ ϕ−

bR C ( )0R ϕ

a O′ O 1x

2 s=t t n1C

Rϕ dϕ s( )0R ϕ ϑ n

1x ϕ O D 1 ϕ=t t Rϑ

2C

2x (b)

d

(a)bϕ

3x′ 3x

Figura 4.3 – Rappresentazione di un iperboloide iperbolico: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

dove è il minimo raggio di parallelo, ossia il raggio nella sezione di gola

dell’iperboloide, e b una dimensione caratteristica dell’iperbole. Quest’ultima quantità può

essere valutata agevolmente introducendo le coordinate alla base del guscio (

a

),d D , o le

coordinate in sommità ( ),c C , nell’equazione (4.11):

( ) ( )2 2 2 2

aC aDbc a d a

= =− −

(4.12)

Dalla relazione (4.12) si può osservare che il parametro b , e quindi il profilo

geometrico del meridiano, può essere definito imponendo le dimensioni in sommità o alla

base della struttura, oltre alla sezione di gola. La forma del meridiano può essere

caratterizzata anche attraverso il rapporto a b , e cioè dalla pendenza dell’asintoto inferiore

all’iperbole generatrice, oppure attraverso un parametro k che può essere visto come un

indicatore della deviazione del profilo del guscio rispetto al caso degenere di una retta



parallela all’asse 3x′ . Il parametro k è funzione del rapporto a b ed il legame tra queste

quantità viene fornito, analiticamente, dalle seguenti relazioni:

2

221 a a k

b b= + → = −k 1 (4.13)

Se il parametro k risulta elevato, si avrà a che fare con un maggiore pronunciamento

della curvatura del meridiano, mentre al tendere di k al valore unitario si avrà un

avvicinamento sempre più rilevante al caso degenere. Infatti, per l’iperboloide

iperbolico degenera in un guscio cilindrico. Una volta definito k , l’equazione

1=k

(4.11) può

essere riscritta nella seguente forma:

( ) ( )2 2 20 1b

23R x a′R − − − =k (4.14)

dove 0R il raggio di parallelo. Nota l’equazione del meridiano, il passaggio successivo è

quello di definire le quantità caratteristiche della superficie, ossia i parametri di Lamè

1 2,A A ed i raggi di curvatura principali 1 2,R R . Ricordando le relazioni (2.85) e (2.87), per

un qualsiasi guscio di rivoluzione si ha 1 1A R Rϕ= = e 2 0 2 sin sinA R R Rϑϕ ϕ= = = .

Occorre quindi definire le espressioni dei raggi Rϕ , Rϑ e 0R in funzione dell’angolo ϕ .

Si consideri un arco di meridiano di lunghezza infinitesima dsϕ . Applicando il teorema

di Pitagora, è possibile approssimare la lunghezza in parola attraverso la seguente

espressione:

(4.15) 2 23ds dx dRϕ ′= + 2

0

Ricordando che è possibile scrivere 1ds R d R dϕ ϕϕ ϕ= = , 3 3,dx x dϕ ϕ′ ′= e 0 0,dR R dϕ ϕ= ,

per cui l’equazione (4.15) diviene:

22

02 2 2 23dRdxR d d

d dϕ dϕ ϕϕ ϕ′ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ϕ (4.16)

Dall’equazione (4.14), ricavando 3x′ in funzione del raggio di parallelo 0R e derivando

l’espressione di 3x′ così ottenuta, si perviene al risultato:

( )

( )

2 20 03

3 2 231 1

b bR R a 0R R dRdxxd dxϕ ϕ

− − −′′ = → =

− ′ −k k (4.17)

La condizione di Gauss (2.86) per superfici di rivoluzione assume il seguente aspetto:



0 cosdR

Rd ϕ ϕϕ

= (4.18)

Introducendo la (4.18) nella seconda equazione (4.17) si ottiene:

( )

( ) ( )( )03

22 20

cos

1

b

b

R R Rdxd R R a

ϕ ϕ

ϕ

−′=

− − −k (4.19)

Sostituendo le relazioni (4.18) e (4.19) nell’equazione (4.16) si ricava la seguente

espressione di ( )0R ϕ in funzione di ϕ :

( )2

0 2 2

1sinsin 1 bR aϕ ϕ

ϕ− R= +

−k

k (4.20)

* * *

Viene di seguito dedotta l’espressione (4.20) del raggio di parallelo ( )0R ϕ in funzione di ϕ .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 0 3, 0, 3, 0,1ds dx dR R d x d R d x R R R2

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ′ ′ ′= + → = + → = + ϕ

dove: 0, cosR Rϕ ϕ ϕ=

( ) ( ) ( )1 22 22 2

0 0 0

3, 2 2 2

,

211 2 1 1

b bR R a R R a R R Rx ϕ

ϕ

ϕ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠k k k

0,b =−

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )2

0 0, 0 0, 0

2 2 22 2 2 2 2 20 0 0

1 c

1 1 1

b b

b b b

R R R R R R R R R

R R a R R a R R a

ϕ ϕ ϕ− − − −= = =

− − − − − − − − −

k

k k k

osb ϕ

Sostituendo l’ultima relazione nell’espressione ottenuta inizialmente si ricava quanto segue:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 22 2 22 20 0 2

22 22 2 2 2 20 0

cos coscos1 1

1 1

b b

b b

R R R R RRRR R R a R R a

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕcos ϕ

− −= + → =

− − − − − −k k+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 20 0 01 cos 1 cosb b bR R a R R R R a2 2ϕ ϕ− − − = − + − − −k k

( ) ( )( )( ) ( )2 22 2 20 01 1 cosb bR R a R R 2cosϕ ϕ− − − − = −k

( ) ( )( ) ( )2 22 2 20 01 sinb bR R a R R 2cosϕ ϕ− − − = −k

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2 20 0 01 sin cosb b bR R R R a R R 2ϕ ϕ− − − − − = −k k

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 20 0sin sin cos 1 sinb bR R R R aϕ ϕ ϕ− − − + = −k k ϕ

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 20 0sin 1 sinb bR R R R aϕ ϕ− − − = −k k

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 sin 1 1 sinbR R aϕ ϕ− − = −k k

( ) ( )2 2 22

0 2 2

1 sinsin 1b

aR R

ϕϕ

−− =

−

k

k



( ) ( )2 2 2 2

0 2 2 2 2

1 sin 1sinsin 1 sin 1b b

aR R a

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ− −

= + =− −

k kk k

R+

* * *

Nota l’espressione di ( )0R ϕ (4.20), è possibile valutare i raggi di curvatura principale

Rϕ , Rϑ in funzione dell’angolo ϕ . Mentre Rϑ è deducibile attraverso una semplice

considerazione geometrica (2.87), Rϕ lo si ricava sfruttando l’espressione di 0R e la

scrittura della condizione di Gauss (4.18). Le espressioni finali dei raggi di curvatura

principali di un guscio a meridiano iperbolico sono le seguenti:

( ) ( )( )

2 2

32 2 2 2

1 1,sin 1 sin sin 1

bRR a R aϑ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

− −= + = −

− −

k kk k

(4.21)

Dalle relazioni (4.21) si può osservare che la curvatura gaussiana risulta negativa,

essendo Rϕ negativo ed Rϑ positivo: 1 R Rϕ ϑ 0Γ = < . La derivata di Rϕ rispetto a ϕ si

ricava facilmente dalla seconda espressione (4.21):

( )

2 2 2

32 2

3 sin cos 1 sin 1

sin 1

dR ad

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

2− −=

−

k k k

k (4.22)

* * * Vengono qui di seguito ricavate le espressioni (4.21) dei raggi di curvatura principali Rϕ , Rϑ in funzione di ϕ .

( )2

0

2 2

1sin sin 1 sin

bR R

R aϑ ϕϕ ϕ ϕ

−= = +

−k

k

( ) 01cos

dRR

dϕ ϕϕ ϕ

= =

2

2 2 2 22 2 2 2

1 1 sin coscos 1 sin 1 sin 1cos sin 1 sin 1

a k a ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − −

⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

kk k

k k=

2 2

2 22 2 2 2

1 cos 1 sinsin 1cos sin 1 sin 1

a ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞− ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

k kk

k k

2

=

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

1 sin 1 sin 1 1sin 1 sin 1sin 1 sin 1

a aϕ ϕϕ ϕϕ ϕ− − − − −

= =− −− −

k k k kk kk k

=

( ) ( )

2 2

33 2 22 2

1 1sin 1sin 1

a kaϕϕ

− −= − = −

−−

k

kk

* * *



Considerando le relazioni geometriche sopra determinate, attraverso le equazioni di

congruenza (4.2), di legame elastico (4.3) ed indefinite di equilibrio (4.5), oppure

attraverso le equazioni fondamentali (4.6)-(4.10), è possibile studiare il comportamento

meccanico di un guscio a meridiano iperbolico.

* * * Nelle equazioni fondamentali (4.6)-(4.10) si può osservare che le derivate di 01 R e di 1 Rϕ rispetto a ϕ

sono già state sviluppate, in quanto i termini ad esse relativi non compaiono esplicitamente. Questo è stato

possibile poiché le derivate appena descritte possono essere valutate nel seguente modo:

0, ,

2 20 0 0

cos1 1,R R Rd d

d R R R d R Rϕ

2

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

dove è stata sfruttata la condizione di Gauss (4.18) per superfici di rivoluzione: 0, cosR Rϕ ϕ ϕ= .

Si riporta inoltre il calcolo dell’espressione ( ),

1 Rϕ ϕ:

( )

2

2 2 32 2

,

1 1 1 1

sin 1

dRd ad R R d R

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟= − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠

k

k

( )

2 2 2 2

32 2 2

2 sin cos 1 sin 11 32 sin 1

aRϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

− −= − =

−

k k k

k

( )

( )( )

32 22 2 2 2 2 2 2

3 2 2 22 2

sin 13 sin cos 1 sin 1 3 sin cos sin 11 1sin 1

aa a

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

−− −= − = −

− −−

kk k k k k

k kk

−

* * *

4.1.2 GUSCIO A MERIDIANO AVENTE FORMA DI CATENARIA

La superficie di riferimento di un guscio di rivoluzione a doppia curvatura è generata

dalla rotazione attorno all’asse 3x di una curva. Se si assume come curva generatrice un

ramo di catenaria, si ottiene la struttura rappresentata in figura 4.4. La superficie in parola

è caratterizzata da una curvatura gaussiana positiva dal momento che i centri di curvatura

, corrispondenti ai due raggi principali 1 2,C C ,R Rϕ ϑ , giacciono sullo stesso lato rispetto

alla superficie media.

In figura 4.4 sono rappresentati i principali parametri geometrici utili a descrivere la

superficie. bR rappresenta l’offset dell’asse della curva di meridiano 3x′ rispetto all’asse di

rivoluzione 3x . La quantità rappresenta il raggio alla base rispetto all’asse a 3x′ e è la

rispettiva quota.

b



( )0R ϕ

bR 2 s=t t n

O′ O 1x n

s ( )0R ϕ ϑ 1x O b

1 ϕ=t t

ϕ 2x Rϕ

(b)

dϕ 1C

a(a)

3x′ Rϑ

2C

3x

Figura 4.4 – Rappresentazione di un guscio a meridiano a forma di catenaria: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

La descrizione della curva generatrice o di meridiano in coordinate cartesiane è la

seguente:

03 1 cosh bR R

x bb

⎛ ⎞−⎛′ = −⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎟⎟ ⎟ (4.23)

dove è il raggio di curvatura al vertice della catenaria e b 0R il raggio di parallelo. Nota

l’equazione del meridiano, il passaggio successivo è quello di definire le quantità

caratteristiche della superficie, ossia i parametri di Lamè 1 2,A A ed i raggi di curvatura

principali 1 2,R R . Ricordando le relazioni (2.85) e (2.87), per un qualsiasi guscio di

rivoluzione si ha 1 1A R Rϕ= = e 2 0 2 sin sinA R R Rϑϕ ϕ= = = . Occorre quindi definire le

espressioni dei raggi Rϕ , Rϑ e 0R in funzione dell’angolo ϕ .

In maniera analoga a quanto fatto per un arco di iperbole, considerando un arco di

meridiano di lunghezza infinitesima ed applicando il teorema di Pitagora, è possibile

approssimare la lunghezza in parola attraverso l’espressione (4.15). Essendo

1ds R d R dϕ ϕϕ ϕ= = , 3 3,dx x dϕ ϕ′ ′= e 0 0,dR R dϕ ϕ= , si perviene alla (4.16).



Derivando l’espressione di 3x′ (4.23), si perviene al risultato:

03 sinh b 0R R dRdxd b dϕ ϕ

−′ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.24)

Introducendo la condizione di Gauss (4.18) nell’equazione (4.24) si ricava:

03 sinh cosbR Rdx Rd b ϕ ϕϕ

−′ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.25)

Sostituendo le relazioni (4.18) e (4.25) nell’equazione (4.16) si ottiene la seguente


( ) ( )0 arcsinh tan bR bϕ Rϕ= + (4.26)

* * * Viene qui di seguito dedotta l’espressione (4.26) del raggio di parallelo ( )0R ϕ in funzione di ϕ .


ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ′ ′ ′= + → = + → = + ϕ


Sostituendo la relazione (4.25) nell’espressione ottenuta inizialmente si ricava quanto segue: 2 2 2 2

0 02 2 22 2

cos cos1 sinh 1 sinh cos cosb bR R R RR R

b R R bϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ 2ϕ ϕ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

20 02 2 2 2 2 2

2

sin1 cos sinh cos sinh tan sinhcos

b bR R R R R Rb b

ϕϕ ϕ ϕϕ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 b

b−

( ) ( ) ( )00arcsinh tan arcsinh tanb

b

R RR b

bϕ ϕ

−= → = Rϕ +

* * *

L’espressione di ( )0R ϕ (4.26) consente di valutare il raggio di curvatura principale Rϑ

in funzione dell’angolo ϕ attraverso una semplice considerazione geometrica (2.87). Le

espressioni dei raggi di curvatura principale Rϕ , Rϑ per un guscio a meridiano avente

forma di catenaria sono le seguenti:

( ) ( ) ( ) 2

arcsinh tan,

sin cosbb R bRϑ

ϕϕ Rϕ ϕ

ϕ ϕ+

= = (4.27)

* * * Viene ricavata l’espressione (4.27) del raggio di curvatura principale Rϕ in funzione di ϕ .

( )22

0

22

1 tan1 1 tancos cos cos cos1 tan

dR bb bRdϕ

ϕϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

++= = = =

+



* * *

Dalle relazioni (4.27) si può osservare che la curvatura gaussiana risulta positiva

essendo Rϕ ed Rϑ entrambi positivi: 1 R Rϕ ϑ 0Γ = > . La derivata di Rϕ rispetto a ϕ si


3

2 sincos

dR bd

ϕ ϕϕ ϕ

= (4.28)


congruenza (4.2), di legame elastico (4.3) e di equilibrio (4.5), oppure attraverso le

equazioni fondamentali (4.6)-(4.10), è possibile studiare il comportamento meccanico di

un guscio a meridiano a forma di catenaria.

4.1.3 GUSCIO A MERIDIANO CICLOIDALE

La cicloide è il luogo dei punti descritti da un punto di una circonferenza, denominata

generatrice, nel suo moto senza strisciare lungo una linea retta. Facendo ruotare attorno

all’asse 3x un ramo di cicloide si ottiene la struttura rappresentata in figura 4.5. La

superficie di riferimento della struttura rappresentata è caratterizzata da una curvatura

gaussiana positiva, poiché i centri di curvatura , corrispondenti ai due raggi di

curvatura principali

1 2,C C

,R Rϕ ϑ , giacciono dallo stesso lato rispetto alla superficie. In figura

4.5 sono rappresentati i principali parametri geometrici utili a descrivere la superficie. bR

rappresenta l’offset dell’asse della curva di meridiano 3x′ rispetto all’asse di rivoluzione

3x , mentre è il raggio della circonferenza generatrice. La quantità cr ca rπ= rappresenta il

raggio alla base rispetto all’asse 3x′ e 2 cb r= è la rispettiva quota.

La descrizione della curva generatrice o di meridiano in forma parametrica è la

seguente:

( )( )

0

3

2 sin 2

1 cos 2c

c

bR r R

x r

ϕ ϕ

ϕ

= + +

′ = − (4.29)

A differenza delle precedenti curve le equazioni parametriche (4.29) forniscono il raggio di

parallelo 0R in funzione dell’angolo ϕ . Per definire le quantità caratteristiche della

superficie, ossia i parametri di Lamè 1 2,A A ed i raggi di curvatura principali 1 2,R R ,



occorre impiegare le relazioni (2.85) e (2.87), nonché le equazioni 1 1A R Rϕ= = e

2 0 2 sin sinA R R Rϑϕ ϕ= = = .

( )0R ϕ

bR 2 s=t t n

O′ O 1x n

s( )0R ϕ ϑ 1x O 2 cb r=

1 ϕ=t t cr

ϕ 2x Rϕ

(b)

dϕ 1C

ca rπ= (a)

3x′ Rϑ

2C

3x

Figura 4.5 – Rappresentazione di un guscio a meridiano cicloidale: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

Nota l’espressione di ( )0R ϕ (4.29), è possibile valutare il raggio di curvatura

principale Rϑ in funzione dell’angolo ϕ attraverso una semplice considerazione

geometrica (2.87). Le espressioni dei raggi di curvatura principale Rϕ , Rϑ per un guscio a

meridiano cicloidale risultano essere le seguenti:

( ) ( ) ( )2 sin 2, 4 c

sin sinbc

c

RrR Rϑ

ϕ ϕosrϕϕ ϕ

ϕ ϕ+

= + = ϕ (4.30)

* * * Viene dedotta l’espressione (4.30) del raggio di curvatura principale Rϕ in funzione di ϕ .

( ) ( ) 20 2 1 cos 2 4 cos1 4 cos

cos cos cosc c

c

dR r rR r

dϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ+

= = = =

* * *






4 sinc

dRr

dϕ ϕϕ

= − (4.31)




un guscio a meridiano cicloidale.

4.1.4 GUSCIO A MERIDIANO PARABOLICO

Facendo ruotare attorno all’asse 3x un arco di parabola si ottiene un guscio a doppia

curvatura a meridiano parabolico, rappresentato in figura 4.6. L’arco di parabola viene

descritto mediante la definizione di tre punti, caratterizzati dalle ascisse rispetto

all’asse

, ,a c d

3x′ e dalla distanza relativa b . In particolare, definiscono i raggi alla base e

all’apice del guscio e b è la distanza relativa tra queste due sezioni. La superficie in parola

è dotata di una curvatura gaussiana positiva, poiché i centri di curvatura ,

corrispondenti ai due raggi principali

,a c

1 2,C C

,R Rϕ ϑ , giacciono dalla stessa parte rispetto alla

superficie di riferimento. La descrizione della curva generatrice o di meridiano in

coordinate cartesiane è la seguente:

( )2 22

0 0ba dR R x

b−

3′− − = (4.32)

dove 0R il raggio di parallelo. Facendo la posizione:

2 2a d

b−

=k (4.33)

l’espressione (4.32) può essere riscritta nella forma:

( )2

0 0bR R x′3− − =k (4.34)

Nota l’equazione del meridiano, occorre definire le quantità caratteristiche della

superficie, ossia i parametri di Lamè 1 2,A A ed i raggi di curvatura principali 1 2,R R .

Ricordando le relazioni (2.85) e (2.87), per un qualsiasi guscio di rivoluzione si ha

1 1A R Rϕ= = e 2 0 2 sin sinA R R Rϑϕ ϕ= = = . Occorre quindi calcolare le espressioni dei



raggi Rϕ , Rϑ e 0R in funzione dell’angolo ϕ .

( )0R ϕ

bR 2 s=t t n

O′ O 1x

d n s

c ϑ 1x

( )0R ϕ O ϕ 1 ϕ=t t

b Rϕ

1C dϕ 2x

(b) Rϑ 2C a

(a)

3x′ 3x

Figura 4.6 – Rappresentazione di un guscio a meridiano parabolico: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).



approssimare la lunghezza in parola attraverso l’espressione (4.15). Ricordando che

1ds R d R dϕ ϕϕ ϕ= = , 3 3,dx x dϕ ϕ′ ′= e 0 0,dR R dϕ ϕ= , la (4.15) assume la forma (4.16).

Derivando l’espressione di 3x′ (4.34), si ha:

03 2 b 0R R dRdxd dϕ ϕ

−′=

k (4.35)

Introducendo la condizione di Gauss (4.18) nell’equazione (4.35), risulta:

03 2 cbR Rdx Rd ϕ osϕϕ

−′=

k (4.36)

Sostituendo le relazioni (4.18) e (4.36) nell’equazione (4.16) si ricava l’espressione di

( )0R ϕ in funzione di ϕ :

( )0tan2 bR Rϕϕ = +

k (4.37)





ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ′ ′ ′= + → = + → = + ϕ


Sostituendo la relazione (4.36) nell’espressione ottenuta inizialmente si ricava: 2 22 2 2 2

0 0 2 22 2

cos cos1 4 1 4 cos cosb bR R R RR R

R Rϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠k k+

2 220 02 2 2

2

sin1 cos 4 cos 4 tan 4cos

b bR R R R R Rϕϕ ϕ ϕϕ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠k k

2

0 b−

k

( )00

tantan 22

bb

R RR Rϕϕ ϕ

−= → =

k

k+

* * *

Nota l’espressione di ( )0R ϕ (4.37), è possibile valutare il raggio di curvatura

principale Rϑ in funzione dell’angolo ϕ attraverso una semplice considerazione

geometrica (2.87). Le espressioni dei raggi di curvatura principale Rϕ , Rϑ per un guscio a

meridiano parabolico sono le seguenti:

( ) ( ) 3,2cos sin 2cos

bRR Rϑ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ= + =

kϕ

k (4.38)




4

3 sin2cos

dR kd

ϕ ϕϕ ϕ

= (4.39)

* * * Viene di seguito dedotta l’espressione (4.38) del raggio di parallelo Rϕ in funzione di ϕ .

( ) ( )0 22 3

1 1 1 11 tancos cos 2 cos 2 cos 2cos

dRR

dϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= = + = =k k

ϕk

* * *




un guscio a meridiano cicloidale.



4.1.5 GUSCIO A MERIDIANO ELLITTICO E CIRCOLARE

Se si assume come curva meridiana un arco di ellisse, il guscio di rivoluzione che si

ottiene è rappresentato in figura 4.7. La superficie in parola è caratterizzata da una

curvatura gaussiana positiva, poiché i centri di curvatura , corrispondenti ai due

raggi principali

1 2,C C

,R Rϕ ϑ , giacciono dalla stessa parte rispetto alla superficie. In figura 4.7

sono rappresentati i principali parametri geometrici utili a descrivere la superficie. bR

rappresenta l’offset dell’asse della curva di meridiano 3x′ rispetto all’asse di rivoluzione

3x , mentre sono i semi-diametri dell’ellisse. ,a b

La descrizione della curva generatrice o di meridiano in coordinate cartesiane è la

seguente:

( ) ( )

2

0 32 2 1bR R b x

a b− ′−

+ = (4.40)

( )0R ϕ

bR 2 s=t t nO′ O

1x n s( )0R ϕ ϑ

1x O b 1 ϕ=t t

Rϕ ϕ 2x (b)

(a)

dϕ 1C

a3x′

Rϑ 2C

3x

Figura 4.7 – Rappresentazione di un guscio a meridiano ellittico: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

dove 0R il raggio di parallelo. Ponendo a b=k , l’espressione (4.40) può essere riscritta



nella forma:

( ) ( )2 22

0 b2

3R R b x′ a− + − =k (4.41)

La forma del meridiano risulta definita una volta assegnato il rapporto a b=k .

Si può osservare che se il parametro k risulta elevato, la curvatura di meridiano risulta

molto ribassata, tanto da degenerare in una retta orizzontale al tendere di k all’infinito.

D’altra parte, se k è piccolo la curva di meridiano risulterà tale da definire un ulteriore

caso degenere per k tendente a zero. Quando k possiede valore unitario, si ricava un arco

di circonferenza ( ). 1 a b R= → = =k

Il guscio a meridiano circolare può quindi essere visto come un caso particolare del

guscio ellittico (figura 4.8). Per , l’equazione 1=k (4.41) diventa la seguente:

( ) ( )2 2 2

0 3bR R R x′ R− + − = (4.42)

dove R è il raggio dell’arco circolare. Nota l’equazione del meridiano, risulta possibile

definire le quantità caratteristiche della superficie, ossia i parametri di Lamè 1 2,A A ed i

raggi di curvatura principale 1 2,R R . Ricordando le relazioni (2.85) e (2.87), per un

qualsiasi guscio di rivoluzione risulta 1 1A R Rϕ= = e 2 0 2 sin sinA R R Rϑϕ ϕ= = = .

Occorre quindi definire le espressioni dei raggi Rϕ , Rϑ e 0R in funzione dell’angolo ϕ .



approssimare la lunghezza in parola attraverso l’espressione (4.15), la quale ricordando che

1ds R d R dϕ ϕϕ ϕ= = , 3 3,dx x dϕ ϕ′ ′= e 0 0,dR R dϕ ϕ= , assume la forma (4.16).

Dall’equazione (4.41), ricavando 3x′ in funzione del raggio di parallelo 0R e derivando

l’espressione di 3x′ così ottenuta, si perviene al seguente risultato:

( )

( )

220 03

3 23

b ba R R 02

R R dRdxx bd b x dϕ ϕ

− − −′′ = − → =

′−k k (4.43)

Introducendo le relazioni (4.18) e (4.41) nella seconda equazione (4.43) si ricava:

( )

( )( )03

22 20

cosb

b

R R Rdxd a R R

ϕ ϕ

ϕ

−′=

− −k (4.44)



( )0R ϕ

bR 2 s=t t

nO′ O 1x

n s( )0R ϕ ϑ

1x O

1 ϕ=t t R

ϕ R Rϕ =

1C dϕ 2x

(b)

R Rϑ (a)2C

3x′ 3x

Figura 3.8 – Rappresentazione di un guscio a meridiano circolare: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

Sostituendo le relazioni (4.18) e (4.44) nell’equazione (4.16) si deduce la seguente


( )0 2 2

tan1 tan

baR Rϕϕ

ϕ= +

+

k

k (4.45)



ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ′ ′ ′= + → = + → = + ϕ


( ) ( ) ( )1 22 22 2

0 0 0

3, 2 2

,

212

b ba R R a R R R R Rx b ϕ

ϕ

ϕ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ = − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠k k k

0,

2

b

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )0 0, 0 0, 0

2 2 22 2 2 2 20 0 0

cosb b b

b b b

R R R R R R R R R

a R R a R R a R R

ϕ ϕ ϕ ϕ− − −= = =

− − − − − −k k k

Sostituendo l’ultima relazione nell’espressione ottenuta inizialmente si ricava:

( )( )( )

( )( )( )

2 22 2 22 20 0 2

22 22 2 2 2 20 0

cos coscos1 1b b

b b

R R R R RRRR a R R a R R

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕcos ϕ

− −= + → =

− − − −k k+

( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 2 2 20 0 0cos cosb b ba R R R R a R Rϕ ϕ− − = − + − −k k



( )( )( ) ( )2 22 2 2 20 01 cos cosb ba R R R Rϕ ϕ− − − = −k

( )( ) ( )2 22 2 2 20 0sin cosb ba R R R Rϕ ϕ− − = −k

( )( ) ( )2 22 2 2 2 20 0sin cosb ba R R R Rϕ ϕ− − = −k k

( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 0sin sin cosb ba R R R Rϕ ϕ ϕ− − = −k k

( ) ( )22 2 2 2 2 20sin sin cosba R Rϕ ϕ ϕ= − +k k

( )2 2 2

2

0 2 2 2

sinsin cosb

aR R ϕϕ ϕ

− =+

k

k

( )2 2 2

0 2 2 2 2 2 2 2 2

sin sin tansin cos sin cos 1 tan

b b

a a aR R Rϕ ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= + = + =+ + +

k k k

k k kbRϕ

+

* * *

Nota l’espressione di ( )0R ϕ (4.45), è possibile valutare i raggi di curvatura principale

Rϕ , Rϑ in funzione dell’angolo ϕ . Mentre Rϑ è deducibile attraverso una semplice

considerazione geometrica (2.87), Rϕ si ricava sfruttando l’espressione di 0R e la scrittura

della condizione di Gauss (4.18). Le espressioni finali dei raggi di curvatura principali di

un guscio a meridiano ellittico sono le seguenti:

( ) ( )( )2 2 33 2 2

,sincos 1 tan cos 1 tan

bRa aR Rϑ ϕϕ ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ

= + =+ +

k k

k k (4.46)




( )

( )

2 2 2

34 2 2

3 sin 1 tan 1

cos 1 tan

adRd

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ −=

+

k k

k

k (4.47)

* * * Vengono qui di seguito ricavate le espressioni (4.46) dei raggi di curvatura principali Rϕ , Rϑ in funzione di

ϕ .

( ) 0

2 2sin sincos 1 tanbR RaRϑ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ= = +

+

k

k

( ) 01cos

dRR

dϕ ϕϕ ϕ

= =

( ) ( )2 2

2 2 22 2 2 2

tan 1 tan1 1 1 tan 1 tan tancos 1 tan 1 tan

a aϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟= + + −

⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

kk k k

k k=



( )2 2 2

2 22 2 2 2

1 tan1 t1 tancos 1 tan 1 tan

a ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

k kk

k k

an=

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

2 2 2 2 3 32 2 3 2 2

1 tan 1 tan1 1 tan tan 1cos 1 tan cos1 tan 1 tan cos 1 tan

a a aϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟= = =⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

k kk k k

k k k k

Si riporta anche il calcolo dell’espressione ( ),

1 Rϕ ϕ:

( )2 2 33 2 2

,

1 1 1

cos 1 tan

dRd ad R R d R

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠

k

k

( ) ( )

( )

32 2 2 3 2 2 2

32 6 2 2

33 cos sin 1 tan cos 2 tan 1 tan 1 tan1 2cos 1 tan

a a

Rϕ

2ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ − + += − =

+

k k k k k

k

( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2 2

32 6 2 2

3 cos 1 tan sin 1 tan cos 1 tan tan1cos 1 tan

a

Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + − += − =

+

k k k k

k

ϕ

( ) ( )( )

( )

3 2 2 2 2 2 2

32 6 2 2

3 cos 1 tan tan 1 tan 1 tan tan1cos 1 tan

a

Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + − += − =

+

k k k k

k

ϕ

( )( )

( )

3 2 2 2 2 2 2

32 6 2 2

3 tan cos 1 tan 1 tan 1 tan1cos 1 tan

a

Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + − += − =

+

k k k

k

k

( )

( )( )

( )

3 2 2 2 2 2 2

3 32 26 2 2 4 2 2

3 tan cos 1 tan 1 3 sin 1 tan 11 1cos 1 tan cos 1 tan

a aR Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ − + −= − = − =

+ +

k k k k k

k k

k

( ) ( )

( )

36 2 2 2 2 2

32 2 4 2 2

cos 1 tan 3 sin 1 tan 1

cos 1 tan

aa

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ += − =

+

k k k k

k k

−

( )2 2 23cos sin 1 1 tan

a

2ϕ ϕ ϕ− +=

k k

k

* * *

Per la curva di meridiano risulta essere un arco di circonferenza ( ).

Pertanto, le espressioni

1=k a b R= =

(4.45) e (4.46) assumono l’aspetto:

( ) ( ) ( )0 sin , ,sin

bb

RR R R R R Rϑϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ= + = + = Rϕ (4.48)

dove R è il raggio dell’arco circolare, che risulta essere costante. Si vuol far notare che per

si ha 0bR = R R Rϑ ϕ= = . Inoltre, la derivata (4.47) risulta identicamente nulla, in quanto

derivata di una quantità costante. Si può osservare che un guscio a meridiano circolare si

distingue dai gusci a doppia curvatura precedentemente analizzati, poiché Rϕ risulta

indipendente da ϕ , ossia non varia rispetto a tale parametro, e di conseguenza si ha

. Questo comporta una semplificazione delle equazioni fondamentali. , 0Rϕ ϕ =

In particolare si nota che i coefficienti legati alla curvatura (4.4) per un guscio sferico

assumono il seguente aspetto:



1 2 3 2

0 0

2

1 2 3 20 0 0

sin 1 1 1 sin sin; ;

1 sin sin sin 1 sin; ;

a a a0

0

R R R R R R

b b b

R

R R R R R

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ R R

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ (4.49)




un guscio a meridiano ellittico o circolare.

In particolare, vista l’indipendenza di Rϕ rispetto a ϕ , per un guscio a meridiano

circolare le equazioni fondamentali (4.6)-(4.10) assumono il seguente aspetto:


( )2

31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 112 2 2

1 1 aa aA a B a D a E B D ER Rϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 20

cos A a B a D a E A b B b D b ER R sϕ

ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

1612 22 1 22 2 22 3 222

0 0

2 sin cosA A A b B b D b ER s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )1144 1 44 2 44 3 442 A a B a D a E u

R ϕϕ

κ ⎞− + + + ⎟⎟

⎠+

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

26 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sins

A A A A b B b D b E A uR s R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442 2

0


κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+



( ) 16 45 31 226 1 26 2 26 3 26 12 11 11 112

0

sin 1A A aa aA b B b D b E B D ER R R s Rϕ ϕ ϕ

ϕ κϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞+

( )12 11 12 1 11 2 11 3 1120 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞+ − + + − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 22 1 22 2 22 3 2220


+ − − − − ⎟⎠

+

( )2

31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 112 2 2

1 1 aa aB a D a E a F D E FR Rϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 20

cos B a D a E a F B b D b E b FR R sϕ

ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

1612 22 1 22 2 22 3 222

0 0

2 sin cosB B B b D b E b FR s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )1144 1 44 2 44 3 44A a B a D a E

R ϕϕ

κ β⎞

+ + + + ⎟⎟⎠

+

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2

1 1 aa aB a D a E a F D E FR Rϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

26 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 66 4516 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0

sin coss

B B AB B b D b E b FR s R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

0 1q I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (4.50)


( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 26 1 26 2 26 3 26 20 0

cos cos2A a B a D a E A A b B b D b ER R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠ s

+



( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sinA A A A b B b D b E A uR s R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( )2

31 266 1 66 2 66 3 66 66 66 662 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ϕ

⎞+

∂

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

2666 66 1 66 2 66 3 662

0 0

2 sin cosA A A b B b D b ER s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )2

22 55 1 55 2 55 3 5520

sinsA b B b D b E u

Rϕκ

⎞− + + + ⎟

⎠+

( )16 1 16 2 16 3 16 26 12 4520 0


ϕ ϕκ inR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 55

0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R Rϕ

ϕ ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ s+

31 216 16 16 262 2

0 0

1 cos sinaa aB D E AR Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cosR R

+

( ) ( )16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 2620 0

cos cos sin2 2A a B a D a E A b B b D b E wR R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ⎞+ + + + + + + + ⎟

⎠+

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2

1 1 aa aB a D a E a F D E FR Rϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

26 16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20 0

cos cos 2B B a D a E a F B b D b E b FR R R R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sinB B B B b D b E b F AR s R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( )2

31 266 1 66 2 66 3 66 66 66 662 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+



( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

2666 66 1 66 2 66 3 662

0 0


ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )22 55 1 55 2 55 3 55 0 10

sins s s sA b B b D b E q I u I

Rϕκ β

⎞+ + + + + =⎟

⎠β+ (4.51)


( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122 2

0


κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂− + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )45 1612 26 1 26 2 26 3 26

0

sinA A A b B b D b ER R R sϕ ϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 44 122

0 0

cos cosaa aB D E A a B a D a E AR R Rϕ ϕ

κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎛ ∂ ⎞∂ ∂− + + − + + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ R Rϕ

ϕ+

( )22 1 22 2 22 3 2220


− + + + ⎟⎠

+

( )12 45 16 1 16 2 16 3 16 2620 0


ϕ ϕκϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − − + + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

( ) ( )1222 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

0 0

sin sinAA b B b D b E A b B b D b ER R R sϕ

ϕ ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − + + + − − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

12 12 45 12 452 20 0 0



+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

( )16 26 1 26 2 26 3 2620 0

cos cos sinsA A b B b D b E u

R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ⎞+ + + + + ⎟⎟

⎠+

( )2

311 11 1 244 1 44 2 44 3 44 44 44 442 2 2

aa aA a B a D a E B D ER Rϕ ϕ

κ κϕ ϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

11 44 1 44 2 44 3 44 22 55 1 55 2 55 3 55 20


ϕκ κϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2

4512 12 11 1 11 2 11 3 112

0

2 2sin 1A A A a B a D a ER s R R Rϕ ϕ ϕ

ϕκϕ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+



( )2

22 1 22 2 22 3 2220

sin A b B b D b E wRϕ ⎞

− + + + ⎟⎠

+

( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 11 122

0


κ ϕinR Rϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )1612 45 26 1 26 2 26 3 26

0

sinBA B b D b E b FR R sϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )311 1 244 44 44 11 44 1 44 2 44 3 44

0


κ ϕκϕ ϕ ϕ

⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )12 22 1 22 2 22 3 2220 0


ϕ ϕ ϕ β⎞

− − + + + ⎟⎟⎠

+

( )4512 16 1 16 2 16 3 16 262

0


ϕκ inϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 22

0

sinBA b B b D b E B b D b E b FR R sϕ

ϕκ⎛ ⎞ ∂

+ + + + − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

( )12 45 16 26 1 26 2 26 3 26 020 0 0

cos cos cos sins nA B B b D b E b F q

R R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ β⎞

+ + + + + + +⎟⎟⎠

I w= (4.52)


( )2

31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 112 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

1612 22 1 22 2 22 3 222

0 0


ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )1144 1 44 2 44 3 44A a B a D a E u

R ϕϕ

κ ⎞+ + + + ⎟⎟

⎠+

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

26 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+



( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0 0

sin cos sins

B B B B b D b E b F A uR s R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 12 44 1 44 2 44 3 442

0


κϕϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 1626 1 26 2 26 3 26 12 45

0

sin BB b D b E b F AR R sϕ

ϕ κ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )31 211 11 11 11 12 1 11 2 11 3 112

0

1 cosaa aD E F B B a D a E a FR R Rϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )12 12 22 1 22 2 22 3 222 20 0 0

cos sin cos cos sinB B B b D b E b F wR R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + − − − − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

( )2

31 211 1 11 2 11 3 11 11 11 112 2 2

1 1 aa aD a E a F a H E F HR Rϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 20

cos D a E a F a H D b E b F b HR R sϕ

ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

1612 22 1 22 2 22 3 222

0 0

2 sin cosD D D b E b F b HR s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ))11 44 1 44 2 44 3 44A a B a D a E ϕκ β− + + + +

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

26 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ − + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6616 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0

sin coss

D D D D b E b F b H AR s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

1 2m I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (4.53)




( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 26 1 26 2 26 3 26 20 0

cos cos2B a D a E a F B B b D b E b FR R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠ s

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 66 4526 26 1 26 2 26 3 26 122

0 0

sin cosB B AB B b D b E b F uR s R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( )2

31 266 1 66 2 66 3 66 66 66 662 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

2666 66 1 66 2 66 3 662

0 0


ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )22 55 1 55 2 55 3 550

sinsA b B b D b E u

Rϕκ

⎞+ + + + ⎟

⎠+

( ) 1216 1 16 2 16 3 16 26 452

0


κϕRϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1222 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 55

0

sin BB b D b E b F A b B b D b ER R sϕ

ϕ κ⎛ ⎞ ∂

+ + + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠+

31 216 16 16 262 2

0 0

1 cos sin cosaa aD E F BR Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂+ + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠R R

+

( ) ( )16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 2620 0

cos cos sin2 2B a D a E a F B b D b E b F wR R Rϕ

ϕ ϕ ϕ ⎞+ + + + + + + + ⎟

⎠+

( )2

31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 162 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

26 16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 26 20 0

cos cos 2D D a E a F a H D b E b F b HR R R R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( )2 2

12 6626 26 1 26 2 26 3 26 12 452

0 0

sin cosD D D D b E b F b H AR s R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+



( )2

31 266 1 66 2 66 3 66 66 66 662 2 2


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂+ + + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 20


ϕϕ

⎞ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟⎟ ∂ ∂⎠

+

( )2 2

2666 66 1 66 2 66 3 662

0 0

2 sin cosD D D b E b F b HR s R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ∂+ + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( ))22 55 1 55 2 55 3 55 1 2s s s sA b B b D b E m I u Iκ β− + + + + = + β (4.54)

Le relazioni (4.50)-(4.54) rappresentano le equazioni fondamentali o equazioni

indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio di rivoluzione

a meridiano circolare.

4.2 GUSCI DI RIVOLUZIONE A SINGOLA CURVATURA

4.2.1 GUSCIO CONICO

Un guscio conico è una struttura bidimensionale, la cui superficie di riferimento a

generatrice rettilinea viene definita dalla rotazione attorno all’asse di rivoluzione 3x di una

linea retta inclinata rispetto all’asse stesso di un angolo α (figura 4.9). L’angolo α è

costante ed di conseguenza anche l’angolo ϕ ad esso legato ( 2ϕ π α= − ). La curvatura di

meridiano è nulla e, di conseguenza, il raggio di curvatura è pari a infinito ( ). La

superficie in parola è caratterizzata da una curvatura gaussiana nulla, essendo uno dei due

raggi di curvatura principali

Rϕ = ∞

,R Rϕ ϑ infinito ( Rϕ = ∞ ). In figura 4.9 sono rappresentati i

principali parametri geometrici utili a descrivere la superficie. bR rappresenta il raggio

all’apice del guscio.

La descrizione della curva generatrice o di meridiano in funzione dell’ascissa curvilinea

x della retta generatrice è la seguente:

( )0 sin cosb bR x R x R xα ϕ= + = + (4.55)

Nota l’espressione di ( )0R x (4.55), è possibile valutare il raggio di curvatura principale

Rϑ attraverso le relazioni geometriche (2.87), mentre Rϕ risulta essere infinito. Per un

guscio conico si ha:



( ) ( )cos

,sin

bR xR x R xϑ ϕ

ϕϕ

+= = ∞ (4.56)

Dalle relazioni (4.56) si ricava che la curvatura gaussiana risulta nulla essendo Rϕ

infinito: 1 0R Rϕ ϑΓ = = .

( )0R x

bR

2 s=t t O O′ n 1x

nα α

s ( )0R x ϑ

1x 0L O

ϕ 1 x=t t Rϑ

Rϕ = ∞

2C x (a) (b)

2x 0 tanL α

3x′ 3x

Figura 3.9 – Rappresentazione di un guscio conico: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

Le equazioni governati il comportamento meccanico del guscio conico possono essere

ricavate dalle equazioni del guscio a meridiano circolare. Per quest’ultimo guscio il

parallelo risulta descritto attraverso la coordinata curvilinea . Inoltre, è sempre possibile

definire il meridiano attraverso l’ascissa curvilinea

s

sϕ effettuando il seguente cambio di

variabile:

ds R dϕ ϕ ϕ= (4.57)

Una volta operato il cambio di variabile (4.57), ponendo:

limR

ds dxϕ

ϕ→∞= (4.58)

ed introducendo nelle equazioni così ottenute le relazioni geometriche (4.55) e (4.56),

risulta possibile definire le equazioni del guscio conico. In altre parole, operando in questo

modo si è rettificato il meridiano.

Eseguiti i cambiamenti di parametro indotti dalle relazioni (4.57) e (4.58), ponendo

xϕ = ed eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ 0= , le equazioni di

congruenza (4.2) per un guscio conico assumono il seguente aspetto:



0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0 0

cos sins xs

u u ws R R

ϕ ϕε ∂= + +∂

0 sx

ux

γ ∂=∂

0

0

cosx ss

u us R

ϕγ ∂= −

∂

xx x

βχ ∂=

∂

0

coss xs s R

β β ϕχ ∂= +

∂

sx x

βω ∂=

∂

0

cosx ss s R

β β ϕω ∂= −

∂

0x x

wx

μ β∂= +∂

0

0

sinss s

uws R

ϕμ β∂= − +∂

(4.59)

Ponendo xϕ = , si ricava la seguente forma matriciale delle equazioni di legame

elastico (4.3):

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

31 32 33 34 35 36 37 38

41 42 43 44 45 46 47 48

51 52 53 54 55 56 57 58

61 62 63 64

0 00 00 00 00 0

x

s

xs

sx

x

s

xs

sx

x

s


⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

65 66 67 68

71 72 73 74 75 76 77 78

81 82 83 84 85 86 87 88

99 910

109 1010

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

x

s

x

s

x

s

x

s

xn

sn


P PP P


⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥ (4.60)

I coefficienti legati alla curvatura (4.4) per il guscio conico assumono la forma

seguente:



1 2 3

0

2

1 2 20 0

sin ; 0; 0

sin sin; ;

a a aR

b bR R

ϕ

ϕ ϕ

= =

= − = =3 0b

=

(4.61)

Introdotti i cambiamenti di parametro (4.57) e (4.58), ponendo xϕ = ed eliminando i

termini aventi come coefficiente 1 Rϕ 0= , dalle (4.5) si ottengono le seguenti equazioni

indefinite di equilibrio:

( )

( )

( )

( )

0 10

0 10 0

00 0

1 20

cos

cos sin

cos sin

cos

cos

x sxx s x x x

xs sxs sx s s s

x sx s n

x sxx s x x x x

xs sxs sx

N N N N q I u Ix s R

N N N N T q I u Ix s R R

T T T N q I wx s R R

M M M M T m I u Ix s R

M M M Mx s R

s

ϕ β

ϕ ϕ β

ϕ ϕ

ϕ β

ϕ

∂ ∂+ + − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − + =

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + +

∂ ∂ 1 20

s s s sT m I u I β− + = +

(4.62)

Infine, procedendo in maniera analoga, introdotti i cambiamenti di parametro (4.57) e

(4.58), ponendo xϕ = ed eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ = 0 , dalle

equazioni (4.50)-(4.54) si perviene al seguente risultato:

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata x :

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 1120

cosA a B a D a E A a B a D a Ex R x

ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

66 1 66 2 66 3 66 16 22 1 22 2 22 3 222 20

cos2 xA b B b D b E A A b B b D b E us x s R

ϕ ⎞∂ ∂+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 16 2 16 3 1620


ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2A b B b D b Es∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 2620

cossA A A b B b D b E

x s Rϕ ⎞∂

+ + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠u +



( )12 26 1 26 2 26 3 26 1220 0 0

sin sin cos sinA A b B b D b ER x R s Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ + + + + + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝A +

( )12 22 1 22 2 22 3 2220


+ − − − − ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 1120

cosB a D a E a F B a D a E a Fx R x

ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

66 1 66 2 66 3 66 16 22 1 22 2 22 3 222 20

cos2 xB b D b E b F B B b D b E b Fs x s R

ϕ β⎞∂ ∂

+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ∂ ⎠+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 16 2 16 3 1620


ϕ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + − + + +⎜ ⎜ ⎟⎜⎜ ∂ ∂⎠⎝⎝

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 26 0 120

coss x x xB B B b D b E b F q I

x s Rϕ u Iβ β

⎞∂+ + + + + + + = +⎟∂ ∂ ⎠

(4.63)


( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 16 2620 0

cos cos2A a B a D a E A a B a D a E Ax R R

ϕ ϕ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜⎜ ∂ ∂⎠⎝⎝ x

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2A b B b D b Es∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 2620

cosxA A A b B b D b E

x s Rϕ ⎞∂

+ + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 6620


ϕ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜⎜ ∂ ∂⎠⎝⎝

+

( ) ( )2 2 2

22 1 22 2 22 3 22 26 66 1 66 2 66 3 662 20

cos2A b B b D b E A A b B b D b Es x s R

ϕ∂ ∂+ + + + + − + + +

∂ ∂ ∂+



( )2

22 55 1 55 2 55 3 5520

sinsA b B b D b E u

Rϕκ

⎞− + + + ⎟

⎠+

26 12 450 0

sin sinA AR R xϕ ϕκ

⎛⎛ ⎞ ∂+ +⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )22 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 550 0

sin sinA b B b D b E A b B b D b ER R sϕ ϕκ

⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )26 26 1 26 2 26 3 262 20 0

cos sin cos sin 2A A b B b D b E wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 16 1 16 2 16 3 1620 0

cos cos 2B a D a E a F B B a D a E a Fx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝ x

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 26 12 4520 0

cos sinxB B B b D b E b F A

x s R Rϕ ϕκ β

⎞∂+ + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 6620


ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

22 1 22 2 22 3 22 26 66 1 66 2 66 3 662 20

cos2B b D b E b F B B b D b E b Fs x s R

ϕ∂ ∂+ + + + + − + + +

∂ ∂ ∂+

( )22 55 1 55 2 55 3 55 0 10

sins s s sA b B b D b E q I u I

Rϕκ β

⎞+ + + + + =⎟

⎠β+ (4.64)


( )12 26 1 26 2 26 3 260 0

sin sinA A b B b D b ER x R sϕ ϕ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

− + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝+

( )22 1 22 2 22 3 2220

cos sinxA b B b D b E u

Rϕ ϕ ⎞

− + + + ⎟⎠

+

( )12 45 26 22 55 1 55 2 55 3 550 0 0

sin sin sinA A A b B b D b ER R x Rϕ ϕ ϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂+ − − + − + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝



( )22 1 22 2 22 3 22 12 45 12 452 20 0

sin cos sin cos sinA b B b D b E A AR s Rϕ ϕ ϕκ κ

⎞ ⎛ ⎞∂− + + + + −⎟ ⎜ ⎟∂⎠ ⎝ ⎠ 0R

ϕ ϕ+

( )26 1 26 2 26 3 2620

cos sinsA b B b D b E u

Rϕ ϕ ⎞

+ + + + ⎟⎠

+

( ) ( )2

11 44 1 44 2 44 3 44 11 44 1 44 2 44 3 4420


ϕκ κ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜ +∂ ∂⎝ ⎠⎝

( )2 2

22 55 1 55 2 55 3 55 12 452 2A b B b D b E As x

κ κ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ s+

∂

( )2

22 1 22 2 22 3 2220

sin A b B b D b E wRϕ ⎞

− + + + ⎟⎠

+

( ) ( )11 44 1 44 2 44 3 44 12 26 1 26 2 26 3 260 0

sin sinA a B a D a E B B b D b E b FR x Rϕ ϕκ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂+ + + + − + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )12 45 11 44 1 44 2 44 3 440

cosA A a B a Ds R

ϕκ κ∂⎞+ + + + +⎟ ∂⎠a E +

( )22 1 22 2 22 3 2220

cos sinxB b D b E b F

Rϕ ϕ β

⎞− + + + ⎟

⎠+

12 45 260

sinA BR xϕκ

⎛⎛ ⎞ ∂+ −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )22 55 1 55 2 55 3 55 22 1 22 2 22 3 220

sinA b B b D b E B b D b E b FR sϕκ

⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )12 45 26 1 26 2 26 3 26 020 0

cos cos sins nA B b D b E b F q I

R Rϕ ϕ ϕκ β

⎞+ + + + + +⎟

⎠w= (4.65)


( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 1120


ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

66 1 66 2 66 3 66 16 22 1 22 2 22 3 222 20

cos2 xB b D b E b F B B b D b E b F us x s R

ϕ ⎞∂ ∂+ + + + + − + + + ⎟∂ ∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 16 2 16 3 1620


ϕ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + − + + +⎜ ⎜ ⎟⎜⎜ ∂ ∂⎠⎝⎝

+



( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 26 12 4520 0

cos sinsB B B b D b E b F

x s R Rϕ ϕκ

⎞∂+ + + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠

A u +

( )12 11 44 1 44 2 44 3 440

sin B A a B a D a ER xϕ κ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + +⎜⎜ ⎟⎜ +

∂⎝ ⎠⎝

( )26 1 26 2 26 3 26 12 450

sin B b D b E b F AR sϕ κ

⎛ ⎞ ∂+ + + + −⎜ ⎟ +

∂⎝ ⎠

( )12 12 22 1 22 2 22 3 222 20 0

cos sin cos sinB B B b D b E b F wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + − − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 1120

cosD a E a F a H D a E a F a Hx R x

ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

66 1 66 2 66 3 66 16 22 1 22 2 22 3 222 20

cos2D b E b F b H D D b E b F b Hs x s R

ϕ∂ ∂+ + + + + − + + +

∂ ∂ ∂+

+

( )11 44 1 44 2 44 3 44 xA a B a D a Eκ β⎞− + + + ⎟⎠

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 16 2 16 3 1620


ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2D b E b F b Hs∂

+ + + +∂

+

( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ − + + + + + + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 26 12 45 1 220

coss x xD D D b E b F b H A m I u I

x s Rϕ

xκ β β⎞∂

+ + + + + + − + = +⎟∂ ∂ ⎠(4.66)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata x :

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 16 2620 0

cos cos2B a D a E a F B a D a E a F Bx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝ x

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2B b D b E b Fs∂

+ + + +∂

+



( )66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 220


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 2620

cosxB B B b D b E b F

x s Rϕ ⎞∂

+ + + + + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 6620


ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )2 2 2

22 1 22 2 22 3 22 26 66 1 66 2 66 3 662 20

cos2B b D b E b F B B b D b E b Fs x s R

ϕ∂ ∂+ + + + + − + + +

∂ ∂ ∂+

( )22 55 1 55 2 55 3 550

sinsA b B b D b E u

Rϕκ

⎞+ + + + ⎟

⎠+

26 12 450

sin B AR xϕ κ

⎛⎛ ⎞ ∂+ −⎜⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )22 1 22 2 22 3 22 22 55 1 55 2 55 3 550

sin B b D b E b F A b B b D b ER sϕ κ

⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

+

( )26 26 1 26 2 26 3 262 20 0

cos sin cos sin 2B B b D b E b F wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 26 16 1 16 2 16 3 1620 0

cos cos 2D a E a F a H D D a E a F a Hx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠⎝ x

+

( )2

26 1 26 2 26 3 26 2D b E b F b Hs∂

+ + + +∂

+

( )22 1 22 2 22 3 22 66 1 66 2 66 3 660


+ + + + + + + +⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) ( )2 2

12 66 26 1 26 2 26 3 26 12 4520

cosxD D D b E b F b H A

x s Rϕ κ β

⎞∂+ + + + + + − ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 6620


ϕ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜⎜ ∂ ∂⎠⎝⎝

+

( ) ( )2 2 2

22 1 22 2 22 3 22 26 66 1 66 2 66 3 662 20

cos2D b E b F b H D D b E b F b Hs x s R

ϕ∂ ∂+ + + + + − + + +

∂ ∂ ∂+

( )22 55 1 55 2 55 3 55 1 2s s s sA b B b D b E m I u Iκ β⎞− + + + + = +⎟⎠

β (4.67)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio conico.

4.2.2 GUSCIO CILINDRICO CIRCOLARE

Il guscio cilindrico circolare ha la superficie di riferimento definita dalla rotazione



attorno all’asse di rivoluzione 3x di una linea retta parallela all’asse stesso come

rappresentato in figura 4.10. Può essere pensato come caso degenere del guscio conico.

Infatti, osservando la figura 4.9, per 0α = si ottiene il cilindro circolare. Di conseguenza

si ha anche 2ϕ π= . Il cilindro circolare essendo derivato direttamente dal guscio conico

ne mantiene le caratteristiche geometriche. Essendo la generatrice della superficie di

riferimento una retta, la curvatura di meridiano è nulla e di conseguenza il raggio di

curvatura è pari a infinito ( ). Di conseguenza, la superficie in parola è caratterizzata

da una curvatura gaussiana nulla. In figura 4.10 sono rappresentati i principali parametri

geometrici utili a descrivere la superficie.

Rϕ = ∞

bR R= rappresenta il raggio del cilindro

circolare.

0 bR R Rϑ= =

2 s=t t O′ O n1x

s ϕ bR R= ϑ

1x n2C 0L O 0R Rϑ=

Rϕ = ∞ 1 x=t t

(a) (b)

2x 3x′ 3x

Figura 3.10 – Rappresentazione di un guscio cilindrico circolare: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).



( )0 bR x R R= = (4.68)


Rϑ attraverso le relazioni geometriche (2.87), mentre Rϕ risulta essere infinito. Per

2ϕ π= si ha sin 1ϕ = . Pertanto, per il cilindro circolare risulta:



( ) ( ),sin

RR x R R xϑ ϕ ϕ= = = ∞ (4.69)

Dalle relazioni (4.69) si può osservare che la curvatura gaussiana è nulla, essendo Rϕ

infinito: 1 0R Rϕ ϑΓ = = .

Le equazioni governati il comportamento meccanico del guscio cilindrico circolare

possono essere ricavate dalle equazioni del guscio conico imponendo 2ϕ π= . Ricordando

che per 2ϕ π= si ha cos 0ϕ = e sin 1ϕ = , le equazioni di congruenza (4.59) per il guscio

cilindrico circolare diventano:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

ss

u ws R

ε ∂= +∂

0 sx

ux

γ ∂=∂

0 xs

us

γ ∂=

∂

xx x

βχ ∂=

∂

ss s

βχ ∂=

∂

sx x

βω ∂=

∂

xs s

βω ∂=

∂

0x x

wx

μ β∂= +∂

0

0

ss s

uws R

μ β∂= − +∂

(4.70)

Le equazioni di legame elastico (4.60) rimangono inalterate. Imponendo, poi, 2ϕ π=

ed eliminando i termini aventi coefficiente nullo, le equazioni (4.62) assumono il seguente

aspetto:



0 1

0 10

00

1 2

1 2

x sxx x x

xs s ss s s

x s sn

x sxx x x

xs s

x

s s s

N N q I u Ix s

N N T q I u Ix s R

T T N q I wx s R

M M T m I u Ix s

M M T m I u I sx s

β

β

β

β

∂ ∂+ + = +

∂ ∂∂ ∂

+ + + = +∂ ∂

∂ ∂+ − + =

∂ ∂

∂ ∂+ − + = +

∂ ∂∂ ∂

+ − + = +∂ ∂

(4.71)

I coefficienti legati alla curvatura (4.4) per un guscio cilindrico assumono il seguente

aspetto:

1 2 3

0

1 2 20 0

1 ; 0;

1 1; ;

a a aR

b bR R

= =

= − = =3

0

0b

=

(4.72)

Procedendo in maniera analoga, dalle equazioni (4.63)-(4.67) si perviene al risultato qui

di seguito riportato:


( ) ( )2 2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 162 2 2 x

2

A a B a D a E A b B b D b E A ux s

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ⎠⎝ x s

∂+

∂ ∂

( ) ( )2 2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 262 2A a B a D a E A b B b D b Ex s

⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

12 66 sA A ux s

⎞∂+ + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( )1226 1 26 2 26 3 26

0 0

1A A b B b D b E wR x R s

⎛ ∂ ∂ ⎞+ + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ⎠⎝+

( ) ( )2 2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 162 2 2 xB a D a E a F B b D b E b F Bx s

2

x sβ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ⎠⎝

∂+

∂ ∂

( ) ( )2 2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 262 2B a D a E a F B b D b E b Fx s

⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

12 66 0 1s x x xB B q I ux s

Iβ β⎞∂

+ + + = +⎟∂ ∂ ⎠ (4.73)




( ) ( )2 2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 262 2A a B a D a E A b B b D b Ex s

⎛ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

12 66 xA A ux s

⎞∂+ + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2 2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 262 2 2A a B a D a E A b B b D b E A2

x s x⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝ s∂

+∂ ∂

( )2255 1 55 2 55 3 552

0sA b B b D b E u

Rκ ⎞

− + + + ⎟⎠

+

( )26 4512 22 1 22 2 22 3 22

0 0 0

1A A A b B b D b ER R x R

κ⎛⎛ ⎞ ⎛∂

+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝+

( )2255 1 55 2 55 3 55

0

A b B b D b E wR sκ ⎞⎞ ∂

+ + + + ⎟⎟ ⎟∂⎠ ⎠+

( ) ( )2 2


⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

1212 66 45

0xB B A

x s Rκ β

⎞∂+ + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2 2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 262 2 2B a D a E a F B b D b E b F B2

x s x⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝ s∂

+∂ ∂

( )2255 1 55 2 55 3 55 0 1

0s s s sA b B b D b E q I u I

Rκ β β

⎞+ + + + + = +⎟

⎠ (4.74)


( )1226 1 26 2 26 3 26

0 0

1x

A A b B b D b E uR x R s

⎛ ∂ ∂ ⎞− − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ⎠⎝+

( )2612 2245 55 1 55 2 55 3 55

0 0 0

AA A b B b DR R x Rκ κ⎛⎛ ⎞ ⎛∂

+ − − + − + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝b E

( )22 1 22 2 22 3 220

1sA b B b D b E u

R s⎞⎞ ∂

− + + + ⎟⎟ ⎟∂⎠ ⎠+

( ) ( )2 2

11 44 1 44 2 44 3 44 22 55 1 55 2 55 3 552 2A a B a D a E A b B b D b Ex s

κ κ⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝+



( )2

12 45 22 1 22 2 22 3 2220

12A A b B b D b E wx s R

κ⎞∂

+ − + + + ⎟∂ ∂ ⎠+

( ) ( )1211 44 1 44 2 44 3 44 26 1 26 2 26 3 26

0 0

1BA a B a D a E B b D b E b FR x R

κ⎛⎛ ⎞ ⎛∂

+ + + + − + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝+

12 45 xAs

κ β∂ ⎞⎞+ +⎟ ⎟∂⎠ ⎠

( )12 45 26 22 55 1 55 2 55 3 550

sinA B A b B b D b ER xϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ∂ ⎛+ − + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ⎝⎝ ⎠⎝+

( )22 1 22 2 22 3 22 00

1s nB b D b E b F q I w

R sβ⎞⎛ ⎞ ∂

+ − + + + + =⎟⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠ (4.75)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata x :

( ) ( )2 2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 162 2 2 x

2

B a D a E a F B b D b E b F B ux s

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ⎠⎝ x s

∂+

∂ ∂

( ) ( )2 2


⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

1212 66 45

0sB B A

x s Rκ ⎞∂

+ + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

( )1211 44 1 44 2 44 3 44

0

B A a B a D a ER x

κ⎛⎛ ⎞ ∂

+ − + + +⎜⎜ ⎟⎜ +∂⎝ ⎠⎝

( )26 1 26 2 26 3 26 12 450

1 B b D b E b F A wR s

κ⎞⎛ ⎞ ∂

+ + + + − ⎟⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠+

( ) ( )2 2

11 1 11 2 11 3 11 66 1 66 2 66 3 66 162 2 2D a E a F a H D b E b F b H D2

x s x⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝ s∂

+∂ ∂

+

( )11 44 1 44 2 44 3 44 xA a B a D a Eκ β⎞− + + + ⎟⎠

( ) ( )2 2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 262 2D a E a F a H D b E b F b Hx s

⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( ) )2

12 66 12 45 1 2s x xD D A m I u Ix s

κ β∂+ + − + = +

∂ ∂ xβ (4.76)



(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s

( ) ( )2 2


⎛ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

12 66 xB B ux s

⎞∂+ + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( ) ( )2 2


⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

2226 55 1 55 2 55 3 55

0

2 sB A b B b D b E ux s R

κ ⎞∂+ + + + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

( )2612 45 22 1 22 2 22 3 22

0 0

1B A B b D b E bR x R

κ⎛⎛ ⎞ ⎛∂

+ − + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝F +

( )22 55 1 55 2 55 3 55A b B b D b E ws

κ ∂ ⎞⎞− + + + ⎟ ⎟∂⎠ ⎠+

( ) ( )2 2

16 1 16 2 16 3 16 26 1 26 2 26 3 262 2D a E a F a H D b E b F b Hx s

⎛ ∂ ∂+ + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝

+

( )2

12 66 12 45 xD D Ax s

κ β⎞∂

+ + − ⎟∂ ∂ ⎠+

( ) ( )2 2

66 1 66 2 66 3 66 22 1 22 2 22 3 22 262 2 2D a E a F a H D b E b F b H D2

x s x⎛ ∂ ∂

+ + + + + + + + +⎜ ∂ ∂⎝ s∂

+∂ ∂

( )22 55 1 55 2 55 3 55 1 2s s s sA b B b D b E m I u Iκ β⎞− + + + + = +⎟⎠

β (4.77)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio cilindrico

circolare.

4.3 GUSCI DI TRASLAZIONE A SINGOLA CURVATURA

I cilindri di traslazione sono tipologie strutturali, la cui superficie di riferimento è

ottenuta facendo traslare parallelamente a se stessa un linea retta, denominata generatrice

lungo una curva, che prende il nome di profilo. La forma del profilo caratterizza il tipo di

cilindro. Considerando come profilo, su cui far traslare la retta generatrice, una parabola si

ottiene, ad esempio, il cilindro parabolico (figura 4.11). Le strutture in parola sono gusci a



singola curvatura.

y

O 1x

2 y=t t n

0 1R x=

1 ϕ=t t b Rϑ

2x

O′ ϕ Rϕ sϕ

dϕ

a1C

3x

Figura 4.11 – Rappresentazione di un guscio cilindrico a profilo parabolico.

E’ stato mostrato in precedenza come sia possibile ottenere le equazioni governanti i

gusci di rivoluzione a singola curvatura, a partire dai gusci di rivoluzione a doppia

curvatura rettificandone il meridiano. In maniera analoga, partendo dai gusci di rivoluzione

a doppia curvatura è possibile ricavare le equazioni dei gusci di traslazione a singola

curvatura rettificandone il parallelo, ossia facendo tendere all’infinito il raggio di parallelo

0R . Di conseguenza, Rϑ risulta infinito ricordando la relazione (2.87). La superficie in

parola è dunque caratterizzata da una curvatura gaussiana nulla ( 1 R Rϕ ϑ 0Γ = = ), essendo

il raggio di curvatura Rϑ infinito. In figura 4.11 sono rappresentati i principali parametri

geometrici utili a descrivere la superficie in esame.

Imponendo ed osservando di conseguenza che: 0R = ∞

0

limR

ds dy→∞

= (4.78)

risulta possibile definire le equazioni dei cilindri di traslazione. Ponendo s y= , ed

eliminando i termini aventi coefficiente nullo ( 01 R 0= ), le equazioni di congruenza (4.2)



diventano:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 1 yuRϕϕ

γϕ

∂=

∂

0y

uyϕγ

∂=∂

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

yy y

βχ

∂=

∂

1 y

Rϕϕ

βω

ϕ∂

=∂

y yϕβω

∂=

∂

0 1 w uRϕ ϕ ϕϕ

μ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0y

wy yμ β∂

= +∂

(4.79)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (4.3), ponendo , si ricava la

seguente forma matriciale:

s y=

11 12 13 14 15 16 17 18

21 22 23 24 25 26 27 28

31 32 33 34 35 36 37 38

41 42 43 44 45 46 47 48

51 52 53 54 55 56 57 58

61 62 63 64

0 00 00 00 00 0

y

y

y

y

y

y

y


ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

65 66 67 68

71 72 73 74 75 76 77 78

81 82 83 84 85 86 87 88

99 910

109 1010

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

y

y

y

y

n

yn


P PP P

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥ (4.80)

I coefficienti legati alla curvatura (4.4) per un guscio di traslazione a singola curvatura



assumono la forma seguente:

1 2 2

1 2 3

1 1; ;

1 ; 0;

a aR R

b b bR

ϕ ϕ

ϕ

= − = =

= =

3 0

0

a

= (4.81)

Ponendo , ed eliminando i termini aventi coefficiente nullo (s y= 01 R = 0 ), le

equazioni indefinite di equilibrio (4.5) assumono il seguente aspetto:

0 1

0 1

0

1 2

1 2

1

1

1

1

1

y

y yy y y

yn

y

y yy y y

NN Tq I u I

R y R

N Nq I u I

R y

TT Nq I w

R y RMM

T m I u IR y

M MT m I u I

R y

ϕϕ ϕ

y

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

βϕ

βϕ

ϕ

βϕ

βϕ

∂∂+ + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + = +

∂ ∂

∂∂+ − + =

∂ ∂

∂∂+ − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ − + = +

∂ ∂

(4.82)

Procedendo in maniera analoga, ossia ponendo s y= ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo ( 01 R = 0 ), dalle equazioni (4.6)-(4.10) si perviene ad un sistema di

cinque equazioni differenziali:


( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

( )2

31 211 11 11 66 1 66 2 66 3 662 2

1 aa aB D E A b B b D b ER yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2

16 1144 1 44 2 44 3 442

2A A a B a D a E uR y R ϕϕ ϕ

κϕ

⎛ ⎞ ⎞∂+ − + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+



212 66

yA A u

R yϕ ϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 44 1 44 2 44 3 442 2

1 A a B a D a E A a B a D a ER Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + + + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )16 4512 11 1 11 2 11 3 113

1 RA A A a B a D a ER R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

κϕ

⎛ ⎞ ∂∂+ + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

+

31 211 11 112

1 aa aB D ERϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂∂ ∂+ + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

w⎞+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 211 11 11 66 1 66 2 66 3 662 2

1 aa aD E F B b D b E b FR yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2

16 1144 1 44 2 44 3 44

2B A a B a D a ER y R ϕϕ ϕ

κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞∂+ + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66 45

12 0 1yB B A q I u I

R y R ϕ ϕϕ ϕ

κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

ϕβ+ (4.83)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata : y

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66A A u

R y ϕϕ ϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠



( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

31 266 66 662

1 aa aB D ERϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ∂∂ ∂ϕ

⎞ ∂+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 2

2y

AA b B b D b E uy R yϕ ϕ

⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) 1216 1 16 2 16 3 162

1 AA a B a D a ER R yϕ ϕϕ

⎛ ∂ ∂+ + + + +⎜⎜ ∂ ∂⎝

+

( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2

1 1R aa aA a B a D a E B D E wR R

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ⎞∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂⎝ ⎠⎠ϕ ϕ⎞

+∂ ∂

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66B B

R y ϕϕ

βϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 266 66 66 22 1 22 2 22 3 222 2


⎛ ⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

+

226

0 12

y y yB q I u IR yϕ

yβ βϕ

⎞⎛ ⎞ ∂+ + =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+ (4.84)


( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 112 2

1A a B a D a E A a B a D a ER Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂− + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )45 16 1112 44 1 44 2 44 3 443

RA A A a B a D a ER R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

κκϕ

⎛ ⎞ ∂∂+ − − + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠



311 1 244 44 442

aa aB D E uR ϕϕ

κϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂∂ ∂− + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

⎞+

( ) 1216 1 16 2 16 3 162

1y

AA a B a D a E uR Rϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ − + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠s

( ) ( )2

11 1144 1 44 2 44 3 44 44 1 44 2 44 3 442 2 3


R Rϕ

ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

311 1 244 44 442

aa aB D ERϕ

κϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂∂ ∂ϕ

⎞ ∂+ + + ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2 2

4522 55 1 55 2 55 3 55 122

2AA b B b D b Ey Rϕ

κ κϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ y

+∂

( )11 1 11 2 11 3 112

1 A a B a D a E wRϕ

⎞− + + + ⎟⎟

⎠+

( ) ( )1144 1 44 2 44 3 44 11 1 11 2 11 3 112

1A a B a D a E B a D a E a FR Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

16 311 1 212 45 44 44 44

B aa aA B DR y R ϕϕ ϕ

κκ βϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂∂ ∂∂+ − + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠⎝ ⎠

E ⎞+

( )4512 16 1 16 2 16 3 162

1A B a D a E a FR Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( ) 1222 55 1 55 2 55 3 55 0y n

BA b B b D b E q I wR yϕ

κ⎞⎛ ⎞ ∂

+ + + + − + =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂⎝ ⎠ ⎠β (4.85)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : y

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2 2

3 161 211 11 11 66 1 66 2 66 3 662 2

21 a Ba aD E F B b D b E b FR y R yϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎞ ⎛⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠ ⎝

⎞ ∂+⎟⎟

⎠

( )1144 1 44 2 44 3 44A a B a D a E u

R ϕϕ

κ ⎞+ + + + ⎟⎟

⎠+



( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66

yB B u

R yϕ ϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

( ) ( )1111 1 11 2 11 3 11 44 1 44 2 44 3 442

1 B a D a E a F A a B a D a ER Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )1612 45 11 1 11 2 11 3 113

1 RB A B a D a ER y R

ϕ

ϕ ϕ

κϕ

⎛ ⎞ ∂∂+ − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠

a F +

31 211 11 112

1 aa aD E FRϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂∂ ∂+ + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

w⎞+

( ) ( )2

11 1 11 2 11 3 11 11 1 11 2 11 3 112 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 211 11 11 66 1 66 2 66 3 662 2

1 aa aE F H D b E b F b HR yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2

1611 44 1 44 2 44 3 44

2D A a B a D a ER y ϕϕ

κ βϕ

⎞⎛ ⎞ ∂+ − + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66

12 45 1 2yD D A m I u I

R y ϕ ϕϕ

ϕκ βϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ − + =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

β+ (4.86)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : y

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+



( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66 45

12B B A u

R y R ϕϕ ϕ

κϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

31 266 66 662

1 aa aD E FRϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ∂∂ ∂ϕ

⎞ ∂+ + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2 2

2622 1 22 2 22 3 22 2

2y

BB b D b E b F uy R yϕ ϕ

⎞⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) 1216 1 16 2 16 3 16 452

1 B a D a E a F AR Rϕ ϕ

κϕ

⎛⎛ ⎞ ∂+ + + + −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎝

+

( )1222 55 1 55 2 55 3 55

B A b B b D b ER yϕ

κ⎛ ⎞ ∂

+ − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +∂⎝ ⎠

( ) 31 216 1 16 2 16 3 16 16 16 163 2

1 1R aa aB a D a E a F D E F wR R

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ⎞∂ ⎛ ∂∂ ∂

− + + + + + + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠ϕ⎞

+∂

( ) ( )2

16 1 16 2 16 3 16 16 1 16 2 16 3 162 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 216 16 16 26 1 26 2 26 3 262 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

212 66

12 45D D A

R y ϕϕ

κ βϕ

⎞⎛ ⎞+ ∂+ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

( ) ( )2

66 1 66 2 66 3 66 66 1 66 2 66 3 662 2 3


R Rϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂∂+ + + + + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+

( )2

31 266 66 66 22 1 22 2 22 3 222 2


⎞⎛ ∂ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

( )2

2622 55 1 55 2 55 3 55 1 2

2y y y

D A b B b D b E m I u IR yϕ

κ βϕ

⎞⎛ ⎞ ∂+ − + + + + =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

yβ+ (4.87)

Per definire i parametri geometrici del profilo del cilindro occorre porre . Di 0bR =



conseguenza, l’asse del profilo coincide con l’asse del riferimento esterno 3x ( 3 3x x′ ≡ ).

Inoltre, osservando la geometria delle curve di meridiano dei gusci a doppia curvatura, è

possibile porre 0 1R x= .

Sulla base delle posizioni introdotte e dei risultati precedentemente ottenuti per gusci di

rivoluzione a doppia curvatura, di seguito vengono riportate le principali tipologie di

profilo per i gusci cilindrici.

(a) Cilindro a profilo a forma di catenaria

Ricordando quanto esposto per il guscio di rivoluzione a meridiano a forma di catenaria

e facendo riferimento alla curva rappresentata in figura 4.4, per un cilindro avente come

profilo una catenaria si possono scrivere le seguenti relazioni:

13 1 cosh

xx b

b⎛ ⎞⎛ ⎞

= −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎟ (4.88)

( ) ( )1 arcsinh tanx bϕ ϕ= (4.89)

( ) 2,cos

bR Rϑ ϕ ϕϕ

= ∞ = (4.90)

(b) Cilindro a profilo cicloidale

In base a quanto esposto per il guscio di rivoluzione a meridiano cicloidale e facendo

riferimento alla curva rappresentata in figura 4.5, per un cilindro avente come profilo un

arco cicloidale valgono le seguenti relazioni:

( )( )

1

3

2 sin 2

1 cos 2c

c

x r

x r

ϕ ϕ

ϕ

= +

= − (4.91)

( ), 4 ccR R rϑ ϕ osϕ ϕ= ∞ = (4.92)

(c) Cilindro a profilo parabolico

Per un cilindro avente come profilo un arco parabolico (figura 4.6) si possono scrivere

le seguenti relazioni:

2

21 3 0, , 0ax x d

b− = = =k k (4.93)

( )1tan2

x ϕϕ =k (4.94)

( ) 3,2cos

R Rϑ ϕ ϕϕ

= ∞ =k (4.95)



(d) Cilindro a profilo ellittico e circolare

Ricordando il guscio di rivoluzione a meridiano ellittico e facendo riferimento alle

curve rappresentate in figura 4.7 e 4.8, per un cilindro avente per profilo un arco ellittico o

circolare ( ) valgono le seguenti relazioni: 1=k

( )22 2 21 3 ,x b x a a b+ − = =k k (4.96)

( )1 2 2

tan1 tan

ax ϕϕϕ

=+

k

k (4.97)

( )( )33 2 2

,cos 1 tan

aR Rϑ ϕ ϕϕ ϕ

= ∞ =+

k

k (4.98)

4.4 GUSCI DEGENERI

4.4.1 PIASTRA CIRCOLARE

La piastra circolare è una tipologia strutturale, la cui superficie di riferimento è

descritta dalla rotazione attorno all’asse di rivoluzione 3x di una linea retta ortogonale

all’asse 3x stesso come rappresentato in figura 4.12. La piastra circolare può essere pensata

come caso degenere del guscio conico. Infatti, osservando la figura 3.9, essa si ricava per

2α π= . Di conseguenza, si ha anche 0ϕ = . Poiché la generatrice della superficie di

riferimento è una retta, la curvatura di meridiano è nulla e quindi il raggio di curvatura di

meridiano è pari a infinito ( ). Rϕ = ∞

La figura 4.12 illustra i principali parametri geometrici utili a descrivere la superficie.

b iR R= rappresenta il raggio interno della piastra circolare, mentre eR denota il raggio

esterno.



( )0 b iR x R x R x= + = + (4.99)


Rϑ attraverso le relazioni geometriche (2.87), mentre Rϕ risulta essere infinito.

Ricordando che per 0ϕ = si ha sin 0ϕ = , per la piastra circolare si ottiene:



( ) ( ),sin

iR xR x R xϑ ϕ ϕ

+= = ∞ = ∞ (4.100)

( )0R x

2 s=t t n

n b iR R=

s 1 x=t t 0ϕ = ϑ O′ O

1x x≡ 1x O ( )0R x

eR

R Rϕ ϑ= = ∞ (a) (b)

3x 2x

Figura 4.12 – Rappresentazione di una piastra circolare: sezione di meridiano (a); sezione di parallelo (b).

Dalle relazioni (4.100) si può osservare che la curvatura gaussiana risulta nulla, essendo

sia Rϕ che Rϑ infiniti: 1 R Rϕ ϑΓ = = 0 . Appare che entrambe le curvature principali sono

nulle e l’unica curvatura non nulla è la curvatura del parallelo ( )0R x . Essendo le curvature

principali nulle, la piastra circolare risulta essere un guscio degenere.

Le equazioni della piastra circolare possono essere ricavate dalle equazioni del guscio

conico imponendo 0ϕ = ( cos 1ϕ = e sin 0ϕ = ). Le equazioni di congruenza (4.59) per la

piastra circolare diventano:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

s xs

u us R

ε ∂= +∂

0 sx

ux

γ ∂=∂

0

0

x ss

u us R

γ ∂= −∂

xx x

βχ ∂=

∂



0

s xs s R

β βχ ∂= +

∂

sx x

βω ∂=

∂

0

x ss s R

β βω ∂= −

∂

0x x

wx

μ β∂= +∂

0s s

ws

μ β∂= +∂

(4.101)

Le equazioni di legame elastico (4.60) cambiano poiché i coefficienti legati alla

curvatura (4.4) sono tutti nulli, essendo nulla sia curvatura di merdiano che la curvatura di

parallelo (1 1R Rϕ ϑ= =0 ). Si ricade dunque nella teoria di Reissner-Mindlin, in cui si

erano trascurati tali contributi.

11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26 12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16 26 66 66

11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26

0 00 00 00 00 0

x

s

xs

sx

x

s

xs

sx

x

s

N A A A A B B B BN A A A A B B B BN A A A A B B B BN A A A A B B B BM B B B B D D D DM B B B B DMMTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16 26 66 66

11 44 12 45

12 45 22 55

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

x

s

x

s

x

s

x

s

xn

sn

D D DB B B B D D D DB B B B D D D D

A AA A

εεγγχχωω

κ κ γκ κ γ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.102)

Le equazioni (4.62) assumono il seguente aspetto:

( )

( )

0 10

0 10

00

1 20

1 20

x sx x sx x x

xs sxxs ss s s

x s xn

x sx x sx x x x

xs sxxs ss s s


N NN N q I u Ix s R

T T T q I wx s R


M NM M T m I u Ix s R

β

β

β

sβ

∂ ∂ −+ + + = +

∂ ∂

+∂ ∂+ + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + =

∂ ∂

∂ ∂ −+ + − + = +

∂ ∂

+∂ ∂+ + − + = +

∂ ∂

(4.103)



Procedendo in maniera analoga (imponendo 0ϕ = ), dalle (4.63)-(4.67) si perviene al

seguente risultato:


2 2 211 22

11 66 162 20 0

2 x

A AA A A

x R x s x s R⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠2 u +

( )2 2 2

26 22 66 2616 26 12 662 2

0 0 0s

A A A20

AA A A A

x R x s R R s x s R

⎞⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟+ − + − + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠u +

2 2 211 22

11 66 162 20 0

2 x

B BB B B

x R x s x s R2 β⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( )2 2 2

26 66 22 2616 26 12 662 2

0 0 0s

B B B BB B B B

x R x s R R s x s R20

β⎛ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜+ − + − + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠⎝

+

0 1x xq I u I xβ+ = + (4.104)


( )2 2 2

16 26 22 66 2616 26 12 662 2

0 0 0 0 0

2x

A A A A A2A A A A

x R R x s R R s x s R

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

u +

2 2 266 66

66 22 262 20 0

2 s

A AA A A

x R x s x s R⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠2 u +

( )2 2 2

26 16 22 66 2616 26 12 662 2

0 0 0 0 0

2x

B B B B BB B B B

x R R x s R R s x s R2 β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

2 2 266 66

66 22 26 0 12 2 20 0

2 s s s

B BsB B B q I u

x R x s x s RIβ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + = +⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎟⎟ (4.105)


2 244

44 55 452 20

2A

A A Ax R x s x s

κ κ κ κ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

w+

4444 45

0x

AA A

x s Rκ κ κ⎛ ⎞∂ ∂

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠β +



4545 55 0

0s n

AA A q

x s Rκ κ κ β⎛ ⎞∂ ∂

+ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠I w (4.106)


2 2 211 22

11 66 162 20 0

2 x

B B2B B B

x R x s x s R⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠u +

( )2 2 2

26 22 66 2616 26 12 662 2

0 0 0s

B B B20

BB B B B

x R x s R R s x s R

⎞⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟+ − + − + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠u +

44 45A A wx s

κ κ∂ ∂⎛ ⎞+ − − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 211 22

11 66 16 442 2 20 0

2 x

D DD D D A

x R x s x s Rκ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )2 2 2

26 22 66 2616 26 12 66 452 2 2

0 0 0 0s

D D D DD D D D A

x R x s R R s x s Rκ β

⎛ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜+ − + − + + + + − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠⎝

1 2x xm I u I xβ+ = + (4.107)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s

( )2 2 2

26 16 22 66 2616 26 12 662 2

0 0 0 0 0

2x

B B B B B2B B B B

x R R x s R R s x s R

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

u +

2 2 266 66

66 22 262 20 0

2 s

B B2B B B

x R x s x s R⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠u +

45 55A A wx s

κ κ∂ ∂⎛ ⎞+ − − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 216 26

16 262 20 0

2D DD D

x R R x s

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂⎜+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝

∂+

∂

( )2

22 66 2612 66 452

0 0 0x

D D DD D A

R R s x s Rκ β

⎞⎛ ⎞ ∂ ∂⎟+ + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

2 266

66 222 20

DD D

x R x s⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + +∂

⎜⎜ ∂ ∂⎝

266

26 55 1 220

2 s s s

DD A m I u

x s R sIκ β β⎞∂

− − + = +⎟⎟∂ ∂ ⎠ (4.108)




indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per la piastra circolare.

4.4.2 PIASTRA RETTANGOLARE

La piastra rettangolare ha la superficie di riferimento ottenuta traslando un retta

parallelamente ed ortogonalmente a se stessa. In tal modo, le curvature della superficie

lungo le due direzioni principali sono entrambe nulle (figura 4.13).

y

O O′≡ 1x

2 y=t t 0R = ∞

yL n n xL R Rϕ ϑ= = ∞

1 x=t t

1x O O′≡

(b) (a)2x

3x x≡

Figura 4.13 – Rappresentazione di una piastra rettangolare.

Da un punto di vista geometrico, essa può essere vista come caso degenere del guscio

cilindrico circolare. Infatti, facendo tendere all’infinito il raggio R del cilindro si ricava la

piastra rettangolare. Anche la superficie in parola è caratterizzata da una curvatura

gaussiana nulla, essendo entrambi i raggi di curvatura principali ,R Rϕ ϑ infiniti

( 1 R Rϕ ϑΓ = = 0 ). In figura 4.13 sono rappresentati i principali parametri geometrici utili a

descrivere la superficie di riferimento.

Le equazioni della piastra rettangolare possono essere ricavate dalle equazioni del

guscio cilindrico circolare. Rettificando, ad esempio, il parallelo del guscio cilindrico di

rivoluzione ( ) ed osservando che: 0R = ∞

0

limR

ds dy→∞

= (4.109)

risulta possibile definire le equazioni della piastra rettangolare. In altre parole, operando in



questo modo, si è rettificato il parallelo del guscio di rivoluzione. In maniera analoga si

può procedere rettificando il meridiano del guscio cilindrico di traslazione.

Essendo e per la relazione 0R = ∞ s y= (4.109), ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo, le equazioni di congruenza (4.70) per la piastra rettangolare diventano:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 yx

ux

γ∂

=∂

0 xy

uy

γ ∂=∂

xx x

βχ ∂=

∂

yy y

βχ

∂=

∂

yx x

βω

∂=

∂

xy y

βω ∂=

∂

xn xwx

γ β∂= +∂

yn ywy

γ β∂= +∂

(4.110)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (4.60), ponendo s y= , ed essendo

nulli tutti i coefficienti legati alla curvatura ( , , , , , ), si ricava: 1a 2a 3a 1b 2b 3b



11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26 12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16 26 66 66

11 12 16 16 11 12 16 16

12 22 26 26

0 00 00 00 00 0

x

y

xy

yx

x

y

xy

yx

x

y

N A A A A B B B BN A A A A B B B BN A A A A B B B BN A A A A B B B BM B B B B D D D DM B B B B DMMTT

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0

12 22 26 26

16 26 66 66 16 26 66 66

16 26 66 66 16 26 66 66

11 44 12 45

12 45 22 55

0 00 00 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

x

y

x

y

x

y

x

y

xn

yn

D D DB B B B D D D DB B B B D D D D

A AA A

εεγγχχωω

κ κ γκ κ γ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.111)

Anche in questo caso, analogamente alla piastra circolare, i coefficienti legati alla

curvatura (4.4) sono tutti nulli essendo nulla sia la curvatura di merdiano sia la curvatura di

parallelo.

Essendo e per la relazione 0R = ∞ s y= (4.109), ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo, le equazioni di equilibrio (4.71) assumono il seguente aspetto:

0 1

0 1

0

1 2

1 2

yxxx x x

xy yy y y

yxn

yxxx x x

xy yy y y

NN q I u Ix y

N Nq I u I

x yTT q I w

x yMM T m I u I

x yM M

T m I u Ix y

β

β

x

y

β

β

∂∂+ + = +

∂ ∂∂ ∂

+ + = +∂ ∂

∂∂+ + =

∂ ∂∂∂

+ − + = +∂ ∂∂ ∂

+ − + = +∂ ∂

(4.112)

Infine, procedendo in maniera analoga, ricordando che 0R = ∞ e s y= per la relazione

(4.109), ed eliminando i termini aventi coefficiente nullo, dalle equazioni (4.73)-(4.77) si

perviene al seguente risultato:

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata x : 2 2 2

11 66 162 2 2 xA A Ax y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

( )2 2 2

16 26 12 662 2 yA A A A ux y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+



2 2 2

11 66 162 2 2 xB B Bx y x y

β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( )2 2 2

16 26 12 66 0 12 2 y x x xB B B B q I u Ix y x s

β β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + + + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (4.113)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata y :

( )2 2 2

16 26 12 662 2 xA A A Ax y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

2 2 2

66 22 262 2 2 yA A Ax y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

( )2 2 2

16 26 12 662 2 xB B B Bx y x y

β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

2 2 2

66 22 26 0 12 2 2 y y y yB B B q I ux y x y

Iβ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (4.114)


2 2 2

44 55 452 2 2A A Ax y x y

κ κ κ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠w+

44 45 xA Ax y

κ κ⎛ ⎞∂ ∂

+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠β +

45 55 0y nA A qx y

κ κ β⎛ ⎞∂ ∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠I w (4.115)


2 2 2

11 66 162 2 2 xB B Bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

( )2 2 2

16 26 12 662 2 yB B B Bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

44 45A Ax y

κ κ⎛ ⎞∂ ∂

− +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠w+

2 2 2

11 66 16 442 2 2 xD D D Ax y x y

κ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+



( )2 2 2

16 26 12 66 45 1 22 2 y x xD D D D A m I u Ix y x y xκ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + = +⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

β⎟ (4.116)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : y

( )2 2 2

16 26 12 662 2 xB B B Bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

2 2 2

66 22 262 2 2 yB B Bx y x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

45 55A Ax y

κ κ⎛ ⎞∂ ∂

− +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠w+

( )2 2 2

16 26 12 66 452 2 xD D D D Ax y x y

κ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

2 2 2

66 22 26 55 1 22 2 2 y y yD D D A m I u Ix y x y yκ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + − + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

β (4.117)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per la piastra rettangolare.

Sono state esaminate le principali tipologie strutturali che risulta possibile dedurre a

partire dalle equazioni dei gusci di rivoluzione a doppia curvatura, imponendo, di volta in

volta, le relazioni geometriche che caratterizzano la superficie di riferimento di ogni

singola struttura.

È possibile riassumere in una tabella i valori dei coefficienti (3.120) ottenuti al variare

della geometria proposta:



1a 2a 3a 1b 2b 3b Guscio

Generico Coordinate Generiche

2 1

1 1R R

− 1 1 2

1 1 1R R R⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

21 2

1R R

1 2

1 1R R

− 2 2 1

1 1 1R R R

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2

1 2

1R R

Guscio Generico

Coordinate Sferiche

0

sin 1R Rϕ

ϕ−

0

1 1 sinR R Rϕ ϕ

ϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2

0

sinR Rϕ

ϕ 0

1 sinR Rϕ

ϕ−

0 0

sin sin 1R R Rϕ

ϕ ϕ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

20

sinR Rϕ

ϕ

Guscio Sferico 0 0 2

0

sinR Rϕ

ϕ 0 0 2

20

sinR Rϕ

ϕ

Guscio Conico 0

sinRϕ 0 0

0

sinRϕ

− 2

20

sinRϕ 0

Guscio Cilindrico 0

1R

0 0 0

1R

− 20

1R

0

Guscio di Traslazione

1Rϕ

− 2

1Rϕ

0 1Rϕ

0 0

Guscio Degenere 0 0 0 0 0 0

Tabella 4.1 – Tabella riassuntiva dei coefficienti legati alla curvatura.


Capitolo Quinto

Laminati e Schemi di Laminazione

INTRODUZIONE

Nel capitolo sono riportati i calcoli atti a mostrare, come al variare della geometria del

laminato cambino le matrici di legame costitutivo (3.124)-(3.130). Ciò permette una più

semplice formulazione delle equazioni governanti i gusci a doppia curvatura. Fin ora si

sono ricavate le equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento per tutte le

geometrie mostrate in figura 4.1, considerando un materiale generico in cui tutte le

rigidezze (3.130) sono presenti, come mostrato nello specchietto (5.1).

Si nota come non siano presenti tutti gli indici i,j di ciasuna rigidezza, come poteva

sembrare dalle espressioni (3.132), ma manchino alcuni termini.

11 12 16 22 26 66 44 45 55

11 12 16 22 26 66 44 55

11 12 16 22 26 66 44 55

11 16 22 26 66 44 55

11 16 22 26 66

11 16 22 26 66

A A A A A A A A AB B B B B B B BD D D D D D D DE E E E E EF F F F FH H H H H

−−

− −− −− −

E− −− −

(5.1)


Le (5.1) mostrano le rigidezze, o costanti elastiche ingegneristiche di un guscio

laminato; esse sono strettamente legate alle caratteristiche meccaniche dei materiali

costituenti le singole lamine (tramite i coefficienti di rigidezza ijQ , agli spessori delle

lamine stesse ed allo schema di laminazione. La simmetria o la antisimmetria dello schema

di laminazione, e le proprietà dei materiali rispetto alla superficie di riferimento del

laminato comportano l’annullamento di alcuni coefficienti elastici. Al fine di valutare le

rigidezze caratteristiche di particolari laminati, si analizzeranno alcuni schemi di

laminazione.

Prima di tutto è utile introdurre la terminologia e le notazioni che verranno associate

agli schemi oggetto di studio. Lo schema di laminazione di un laminato costituito da

lamine fibro-rinforzate viene comunemente definito attraverso la seguente simbologia

, dove ( / / / / ...α β γ δ ) α indica l’orientazione delle fibre nella prima lamina, β è

l’orientazione delle fibre nella seconda lamina e così via.

ζ

γε

1FGM

kh

lh 1lh −

β

2h

2FGM

α3h

1α

2h

1h 2h

Figura 5.1 – Laminato generico.

Le lamine vengono contate seguendo la direzione positiva dell’asse ζ a partire dalla

superficie inferiore. Senza altra specifica precisazione, questa notazione implica che tutte

le lamine hanno lo stesso spessore e sono fatte dello stesso materiale. Qualora una lamina

sia costituita da materiale “functionally graded”, essa viene contrassegnata dalla sigla

. In tal caso occorre specificare la legge esponenziale che caratterizza i due

costituenti sulla superficie superiore e inferiore della lamina. Con la sigla si indica

un materiale avente una distribuzione esponenziale definita dalla prima legge delle

equazioni (3.73), mentre la sigla indica la seconda distribuzione.

FGM

1FGM

2FGM

In figura 5.1 viene riportato un laminato generico costituito da lamine fibro-rinforzate e

Tesi: N. Fantuzzi

256


da lamine di “functionally graded material” ( )2 1/ / / / /FGM FGMα β γ ε , aventi differenti

spessori.

ζ 45−4590

0

2h 30−

151α

2h

Figura 5.2 – Laminato con lamine orientate.

In genere, una lamina fibro-rinforzata è caratterizzata dall’orientazione delle sue fibre,

mediante l’angolo θ , con 90 90θ− ° ≤ ≤ ° .

Ad esempio, la simbologia ( indica un generico laminato

composto da sette lamine fibro-rinforzate costituite dallo stesso materiale, aventi lo stesso

spessore ed orientate diversamente.

)−0 /15 / 90 / 35 / 45 / 75 / 45−

Si definisce laminato con lamine orientate un composito costituito da lamine fibro-

rinforzate con diversa orientazione delle fibre. Come già detto, Le orientazioni di ogni

singola lamina variano da un angolo θ ad un angolo θ− , con 0 90θ° ≤ ≤ ° ed almeno una

di esse deve avere un’orientazione diversa da 0 e 90 . Un esempio di laminato con

lamine orientate è fornito dalla seguente sigla

° °

( )15/ 30 / 0 / 90 / 45 / 45− − (figura 5.2).

I laminati con lamine incrociate sono invece quei laminati fibro-rinforzati ove

l’orientazione degli strati può assumere solo i valori 0θ = ° o 90θ = ° . Un esempio di

laminato con sei strati incrociati è: ( )0 / 90 / 90 / 0 / 0 / 90 (figura 5.3). Le lamine che

presentano un’orientazione di 0θ = ° o 90θ = ° hanno gli elementi della matrice di

rigidezza 16 26 45, ,Q Q Q nulli. Di conseguenza sono nulli anche i coefficienti

. Questo aspetto verrà approfondito più avanti

nel capitolo.

16 26 45 16 26 16 26 0A A A D D F F= = = = = = =

Tesi: N. Fantuzzi

257


ζ 9000

90

2h 90

01α

2h

Figura 5.3 – Laminato con lamine incrociate.

Quando la sequenza delle lamine, delle caratteristiche del materiale, della geometria

della struttura (come lo spessore della lamina) siano simmetrici rispetto alla superficie di

riferimento, allora il laminato è detto simmetrico (figura 5.4).

ζ 90

1FGM

0

0

2h

2FGM

901α

2h

Figura 5.4 – Laminato simmetrico generico.

I laminati simmetrici vengono descritti da una specifica notazione che prevede di

menzionare solamente le lamine che stanno sotto il piano medio ed aggiungendo un pedice,

fuori parentesi, che indica la presenza di simmetria nel laminato: ad esempio la sigla

( ) (15/ 30 / 0 / 0 / 30 /15 15 / 30 / 0)s− − = − indica un laminato fibro-rinforzato simmetrico

(figura 5.5), mentre la sigla ( ) ( )0 / 90 / 90 / 0 0 / 90s

= indica un laminato simmetrico con

strati incrociati.

Tesi: N. Fantuzzi

258


ζ 15

30

0

0

2h 30

151α

2h

Figura 5.5 – Laminato simmetrico fibro-rinforzato.

Un laminato asimmetrico è un laminato non simmetrico. Invece, un laminato

antisimmetrico è un laminato in cui lo schema di laminazione è antisimmetrico, mentre i

materiali e gli spessori delle lamine sono simmetrici rispetto alla superficie media (figura

5.6). Ad esempio la sigla ( ) ( )330 / 30 / 30 / 30 / 30 / 30 30 / 30− − − = − indica un laminato

antisimmetrico fibro-rinforzato, mentre la sigla ( ) ( )30 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 0 / 90= indica un

laminato antisimmetrico con strati incrociati.

ζ 90−

1FGM

30

30−

2h

1FGM

901α

2h

Figura 5.6 – Laminato antisimmetrico generico.

Le rigidezze del laminato ijA dipendono in genere solamente dallo spessore e dalle

rigidezze delle lamine costituenti, ma non dalla disposizione delle lamine nel laminato. Le

rigidezze ijB , , ijD ijE , e ijF ijH , invece, dipendono dalla rigidezza, dallo spessore delle

lamine e dalla disposizione delle lamine rispetto alla superficie di riferimento. Inoltre, a

differenza delle costanti ijA , ed ijD ijF , le rigidezze ijB , ijE e ijH possono assumere

Tesi: N. Fantuzzi

259

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo valori negativi a seconda dello schema di laminazione e del numero di lamine.

I laminati (90 / 0)s e (0 / 90)s hanno le stesse rigidezze ijA e presentano invece

rigidezze ijB e diverse. Il laminato ijD ( )0 / 90s ha rigidezze flessionali migliori nella

direzione perpendicolare alla direzione delle fibre rispetto al laminato ( )90 / 0s , perchè la

lamina avente fibre inclinate di 0θ = ° si trova ad una distanza maggiore dalla superficie

media rispetto al laminato ( )90 / 0s . Potranno essere compresi questi ragionamenti nei

paragrafi che seguono.

5.1 RIGIDEZZE DEI GUSCI A DOPPIA CURVATURA

Come già stato definito in precedenza, è noto che le rigidezze (3.132) per un guscio

laminato generico siano funzione dei coefficienti di rigidezza (che a loro volta dipendono

dal materiale costituente le singole lamine del guscio in esame) e della posizione del

singolo laminato nella sequenza oggetto di studio. Per poter analizzare in maniera

semplificata alcuni casi particolari, si deve capire come questi due aspetti influenzino il

valore di rigidezza risultante.

Per semplicità, dato che i passaggi seguenti sono stati fatti principalmente per risolvere

gusci laminati con un numero di lamine generico, si sono considerati coefficienti di

rigidezza indipendenti dall’ascissa ζ e funzione degli stessi parametri elastici, quindi è

possibile, con gli sviluppi di seguito riportati, ottenere laminati ortotropi costituiti da

lamine orientate genericamente e composte anche da materiali differenti (il modulo

elastico, il coefficiente di Poisson ed il modulo di elasticità tangenziale possono variare

con l’indice k). In tal modo si è potuto risolvere l’integrale delle (3.132) e ottenere:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 31 1

1 1 1

4 4 5 5 6 61 1

1 1 1

1 1, ,2 3

1 1 1, ,4 5 6

l l lk k k

ij ij k k ij ij k k ij ij k kk k k

l l lk k

ij ij k k ij ij k k ij ij k kk k k

A Q B Q D Q

E Q F Q H Q

ζ ζ ζ ζ ζ ζ1

1kζ ζ ζ ζ ζ ζ

+ += = =

+ += = =

= − = − = −

= − = − =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+

+ − (5.2)

Si fa notare che, facendo l’ipotesi di lamine costituite dallo stesso materiale, essendo i

coefficienti di rigidezza funzione anche dell’orientamento delle lamine, tali coefficienti

non sono costanti rispetto all’indice k della singola lamina, quindi si mantengono

all’interno delle sommatorie.

Inoltre non è stata fatta l’ipotesi di lamine di ugual spessore, questo permette di avere

Tesi: N. Fantuzzi

260

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo una trattazione più generale del problema.

5.1.1 COEFFICIENTI DI RIGIDEZZA

Lo studio dei laminati e gli schemi di laminazione cominicia con la caratterizzazione del

primo termine dentro le sommatorie (4.2): i parametri ( )kijQ sono funzione delle costanti

elastiche del materiale (modulo di Young, coefficiente di Poisson) e sono validi nel sistema

di riferimento dello stesso ( 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ ).

Quando si considerano le equazioni di legame per un elemento di guscio, tali parametri

diventano ( )kijQ , poiché questi ultimi sono i coefficienti di rigidezza scritti nel sistema

di riferimento dell’elemento (

( )kijQ

1 2Oα α ζ′ ) e non in quello del materiale (figura 3.7).

Geometricamente la differenza tra i parametri ( )kijQ ed i ( )k

ijQ sta nel fatto che i due sistemi

di riferimento sono ruotati l’uno rispetto all’altro di un angolo θ .

Ne consegue che i parametri ( )kijQ dipendono non solo dalle costanti elastiche dei

materiali ma anche dall’orientazione, θ , del sistema di riferimento del materiale rispetto il

sistema di riferimento dell’elemento in parola (3.106).

Scegliendo, dunque, lamine isotrope la dipendenza dall’orientamento svanisce (3.107),

mentre con laminate ortotrope od anisotrope valgono le relazioni generali (3.106) e quindi

va tenuto conto anche dell’orientamento θ .

È utile, note le definizioni dei coefficienti ( )kijQ (3.106), ricavare alcune relazioni che

risultano molto utili, considerando laminati costituiti da lamine ortotrope aventi

orientazioni differenti.

D’ora in poi, si indicherà con ( ) ( )kijQ θ quel preciso valore del coefficiente di rigidezza

identificato dai pedici i e j, relativo alla k-esima lamina ortotropa di orientamento θ .

5.1.1.1 Lamine Orientate

Spesso si considerano lamine all’interno dello stesso laminato che hanno orientamenti

uguali ma opposti, ad esempio questo accade nei laminati antisimmetrici, dunque si ricava

che:

Tesi: N. Fantuzzi

261


( ) ( ) ( ) ( )11 11k kQ Qθ θ− = ( ) ( ) ( ) ( )12 12

k kQ Qθ θ− = ( ) ( ) ( ) ( )22 22k kQ Qθ θ− =

( ) ( ) ( ) ( )16 16k kQ Qθ θ− = − ( ) ( ) ( ) ( )26 26

k kQ Qθ θ− = − ( ) ( ) ( ) ( )66 66k kQ Qθ θ− =

( ) ( ) ( ) ( )44 44k kQ Qθ θ− = ( ) ( ) ( ) ( )45 45

k kQ Qθ θ− = − ( ) ( ) ( ) ( )55 55k kQ Qθ θ− = (5.3)

Si può notare che se, all’interno della stessa sommatoria (5.2), si ottengono coefficienti

di rigidezza uguali ma di segno opposto, si ottengono rigidezze corrispondenti di valore

nullo. Di seguito sono mostrate tutte le dimostrazioni, per i laminati in parola, atte a

determinare il valore delle singole rigidezze che costituiscono la matrice di legame elastico

per il guscio.

5.1.1.2 Lamine incrociate o Cross-ply

È lecito considerare laminati con lamine incrociate 0θ = ° o 90θ = ° , quindi i

coefficienti di rigidezza è possibile esprimerli come segue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 22 110 90k k kQ Q Q° = ° = ( ) ( )( ) ( ) ( )

12 12 120 90k kQ Q Q° = ° = k ( ) ( ) (( ) ( ) )22 11 220 90k k kQ Q Q° = ° =

( ) ( ) ( ) ( )26 260 90k kQ Q° = ° = 0 ( ) ( ) ( ) ( )16 160 90k kQ Q° = ° = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 660 90k kQ Q° = ° = kQ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 55 440 90k k kQ Q Q° = ° = ( ) ( )( ) ( ) ( )

55 44 550 90k kQ Q Q° = ° = k ( )( ) ( ) ( )45 450 90 0k kQ Q° = ° = (5.4)

Questo risultato mostra che nei laminati incrociati vi sono alcune rigidezze che sono

automaticamente nulle a prescindere dal numero di lamine e dalla tipologia del laminato,

come già preannunciato nell’introduzione.

5.1.2 COEFFICIENTI POSIZIONALI

Prendendo come riferimento le definizioni delle rigidezze per un guscio generico (5.2)

si studino ora i termini tra parentesi. Essi variano al variare dell’indice k ed indicano la

posizione della lamina k-esima rispetto alla sequenza di lamine considerata.

Il significato fisico di tali espressioni è di tipo puramente geometrico, come indicato

nella figura 3.14. Ora si cerca di fornire a tali parametri un’espressione algebrica più

chiara, in modo tale che si possa comprendere meglio il loro ruolo nell’ottenimento delle

rigidezze risultanti.

Tesi: N. Fantuzzi

262


5.1.2.1 Coefficiente di Primo Grado

L’espressione geometrica, del coefficiente in esame, ricavata dalle definizioni (5.2) è la

seguente:

1k kζ ζ+ − (5.5)

È possibile esprimere tale differenza come lo spessore della lamina k-esima, come

mostrato nella figura 3.14. Lo spessore della k-esima lamina sarà indicata con il simbolo

e per definizione tale spessore è sempre una quantità positiva, poiché non può

fisicamente esistere uno spessore di lamina negativo. Quindi si è ottenuta la prima

relazione:

kh

1 0k k kh kζ ζ+ − = > ∀ ∈ (5.6)

* * * Si vuol far rilevare che, anche una lamina posta al di sotto dell’asse medio del laminato ha un valore sempre

positivo della relazione (5.5), poiché facendo sempre riferimento alla figura 3.14 si considera che

56 mmkζ = − e 1 23 mmkζ + = − allora si ottiene ( )1 23 56 33 mmk kζ ζ+ − = − − − = .

* * *

5.1.2.2 Coefficiente di Secondo Grado


seguente:

( 21

12 k k )2ζ ζ+ − (5.7)

È possibile esprimere tale differenza come prodotto della distanza dell’asse medio della

lamina k-esima rispetto all’asse medio del laminato per lo spessore della lamina k-esima. Il

nuovo parametro sarà indicato con il simbolo e per definizione il suo valore può essere

sia positivo che negativo, a seconda della posizione della lamina nella sequenza.

kz

1

2k

kz kζ ζ+ += (5.8)

Quindi si è ottenuta la seconda relazione:

( )2 21

12 k k kz hζ ζ+ − = k (5.9)

Tesi: N. Fantuzzi

263


Si nota che, se la lamina si trova al di sopra della linea media il prodotto risulta essere

positivo, altrimenti il prodotto risulterà negativo. Lo spessore non influisce sul segno,

perché come mostrato nel paragrafo precedente non può essere mai negativo.

kh

* * * Si dimostra l’espressione (5.9).

( ) ( )( )2 21 1 1

1 12 2k k k k k k kz hζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + +− = + − = k

Il primo termine come mostra la (5.8) è mentre il secondo per definizione è lo spessore della lamina. kz* * *

5.1.2.3 Coefficiente di Terzo Grado


seguente:

( 31

13 k k )3ζ ζ+ − (5.10)

Sviluppando la (5.10) con semplici passaggi algebrici si ottiene una forma analoga alla

(5.6), in cui il termine si mostra essere funzione solamente dello spessore e quindi

anch’esso risulta essere sempre positivo. In definitiva si può scrivere:

( )3 31

1 03 k k kh kζ ζ+ − ⇒ > ∀ ∈ (5.11)

* * * Si dimostra la (5.11), partendo dalla (5.10) e sfruttando la differenza tra cubi si ottiene:

( ) ( )(3 3 2 21 1 1 1

1 13 3k k k k k k k k )ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + +− = − + +

Usando la definizione di spessore della lamina -esima si ottiene la forma finale: k

( )2 21 1

13 k k k k kh ζ ζ ζ ζ+ ++ +

Tutti i termini presenti in questa espressione sono tutti positivi poiché, a meno dei primi due per i quali la

deduzione è ovvia, il termine tra parentesi è un falso quadrato e dunque sempre positivo per ogni valore dei

parametri al suo interno.

* * *

Tesi: N. Fantuzzi

264


5.1.2.4 Coefficiente di Quarto Grado


seguente:

( 41

14 k k )4ζ ζ+ − (5.12)

Si dimostra che l’espressione (5.12) è analoga alla (5.9) e dunque si avrà un valore

positivo della (5.12) se la lamina si trova al di sopra dell’asse medio del laminato ed un

valore negativo se la lamina si trova al di sotto di tale asse.

Quindi si può scrivere che:

( )4 41

14 k k kz hζ ζ+ − ⇒ k (5.13)

* * * Si dimostra la (5.13) a partire della (5.12) e sviluppando la differenza di quadrati si ottiene:

( ) ( )( ) ( )( )(4 4 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

1 1 14 4 4k k k k k k k k k k k k )ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + +− = − + = − + +

Riconoscendo ora lo spessore della lamina e il coefficiente si può scrivere: kz

( )2 21

12 k k k kh z ζ ζ+ +

Il segno è governato solo da poiché tutti gli altri termini sono sempre positivi. kz

* * *

5.1.2.5 Coefficiente di Quinto Grado


seguente:

( 51

15 k k )5ζ ζ+ − (5.14)

Si dimostra che l’espressione (5.14) è analoga alla (5.6) quindi si può scrivere che:

( )5 51

1 05 k k kh kζ ζ+ − ⇒ > ∀ ∈ (5.15)

* * * Si dimostra la (5.15) a partire dalla (5.14) facendo uso delle regole dell’algebra simbolica. Si parte dello

sviluppo dell’esponente di quinto grado per un binomio così composto:

Tesi: N. Fantuzzi

265


( )5 5 4 3 2 2 3 41 1 1 1 1 15 10 10 5k k k k k k k k k k k

5kζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + +− = − + − + −

Rigirando l’espressione e moltiplicando a destra e a sinistra per 1/5 si ottiene la (5.14) scritta in altra forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )55 5 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

1 1 5 105 5k k k k k k k k k k k k k k k kζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + + + +− = − + − − + − − =

Svolgendo i passaggi si ottiene:

( ) ( )( ) ( )( )5 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

1 25 k k k k k k k k k k k k k kζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + + += − + − + + − − =

( ) ( )(5 2 21 1 1 1 1 1

1 25 k k k k k k k k k k k kζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + += − + − + + − ) =

( )5 21 1 1

15 k k k k k k k kh h 2ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + += + − +

Se si considerano laminati in cui nessuna lamina cade a cavallo dell’asse medio del laminato l’espressione è

sempre positiva poiché, a meno dei termini che si sono discussi sin ora, il prodotto 1k kζ ζ+ è sempre positivo

sia che la lamina sia sopra o sotto l’asse medio del laminato, mentre è nullo se la lamina è subito sotto o

subito sopra l’asse medio.

Se si considerano laminati in cui una lamina si trova a cavallo dell’asse medio del laminato questa

espressione rimane comunque sempre positiva poiché il termine con esponente di quinto grado è

preponderante rispetto all’altro.

* * *

5.1.2.6 Coefficiente di Sesto Grado


seguente:

( 6 61

16 k k )ζ ζ+ − (5.16)

Si dimostra che l’espressione (5.16) è analoga alla (5.9) e dunque si avrà un valore

positivo della (5.16) se la lamina si trova al di sopra dell’asse medio del laminato ed un

valore negativo se la lamina si trova al di sotto di tale asse.

Quindi si può scrivere che:

( )6 61

16 k k kz hζ ζ+ − ⇒ k (5.17)

* * *

Si dimostra la (5.17) a partire dalla (5.16) facendo uso dello sviluppo della differenza di quadrati e

successivamente allo sviluppo della somma e differenza di cubi.

( ) ( )( ) ( )( )( )(6 6 3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 16 6 6k k k k k k k k k k k k k k k k k kζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + + + + + + +− = − + = − + + + − + ) =

Tesi: N. Fantuzzi

266


( ) (2 2 21 1 1 1

13 k k k k k k k k k kh z )2ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ+ + + += + + − +

Nuovamente si riconosce il prodotto indicato nella (5.17) mentre tutti gli altri termini presenti non

influiscono sul segno perché sempre positivi.

* * *

Riassumendo, i coefficienti posizionali possono essere scritti in maniera compatta:

1k k hkζ ζ+ − =

( )2 21

12 k k kh zζ ζ+ − = k

( ) ( )3 31 3

13

kk k hζ ζ ζ+ − = k

( ) ( )4 41 4

14

kk k kh zζ ζ ζ+ − = k

( ) ( )5 51 5

15

kk k hζ ζ ζ+ − = k

( ) ( )6 61 6

16

kk k kh zζ ζ ζ+ − = k (5.18)

Dove i termini ( )kiζ contengono tutti i fattori in cui compaiono 1kζ + e kζ che sono

ininfluenti sul segno. Le relazioni (5.18) saranno utili per ottenere le espressioni delle

rigidezze al variare dello schema di laminazione considerato.

5.1.3 STUDIO DEI MATERIALI COMPOSITI

Vengono mostrate varie tipologie di gusci laminati:

• Gusci composti da una singola lamina;

• Gusci con schema di laminazione simmetrico;

• Gusci con schema di laminazione antisimmetrico;

• Gusci bilanciati;

5.1.3.1 Gusci composti da una singola lamina

Sono analizzate tipologie di gusci costituiti da una singola lamina ( ) di spessore

costante . Le lamine possono essere di materiale isotropo, “functionally graded”,

ortotropo, anisotropo ed avere un’orientazione arbitraria. Per i compositi costituiti da un

1l =

h

Tesi: N. Fantuzzi

267


singolo strato le rigidezze taglianti 16 26 16 26 16 26, , , , ,A A D D F F si dimostrano essere nulle

eccetto nel caso in cui il materiale costituente la lamina sia ortotropo genericamente

orientato, anisotropo, monoclino o “functionally graded”, mentre le rigidezze

d’accoppiamento , ,ij ij ijB E H risultano sempre nulle tranne per i “functionally graded

materials”.

5.1.3.1.1 Compositi costituiti da una singola lamina isotropa

Per una singola lamina isotropa i coefficienti di rigidezza sono legati ai parametri

elastici secondo le (3.107) ad esclusione del parametro k, che essendo la lamina singola

non compare in tali definizioni:

( )

11 11 22 22 2

12 12 2

66 66 44 44 55 55

16 16 26 26 45 45

1

1

2 1

0

EQ Q Q Q

EQ Q

EQ Q Q Q Q Q G

Q Q Q Q Q Q

ννν

ν

= = = =−

= =−

= = = = = = =+

= = = = = =

(5.19)

Le definizioni fornite (5.2) si possono specializzare per il caso in esame:

3

5

, 0,12

0, , 080

ijij ij ij ij

ijij ij ij

Q hA Q h B D

Q hE F H

= = =

= = =

(5.20)

Dove è lo spessore della singola lamina ed i coefficienti h ijQ a seconda degli indici

hanno i valori indicati dalle (5.19).

Quindi sostituendo le (5.19) nelle (5.20) si ottengono le rigidezze per una singola

lamina isotropa:

11 22 21EhA Aν

= =−

; 12 11A Aν= ; 44 55 66 111

2A A A Aν−

= = =

( )3

11 22 212 1EhD D

ν= =

−; 12 11D Dν= ; 44 55 66 11

12

D D D Dν−= = =

( )5

11 22 280 1EhF F

ν= =

−; 66 11

12

F Fν−= (5.21)

Si nota che tutte le rigidezze dipendono da tre soli parametri: E , ν ed come mostra h

Tesi: N. Fantuzzi

268

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo anche lo specchietto seguente:

11 12 11 22 11 66 11 44 66 55 66

11 12 11 22 11 66 11 44 66 55 66

11 22 11 66 11

10 0 02

0 0 0 0 0 0 0 010 0

20 0 0 0 0 0

10 02

0 0 0 0 0

A A A A A A A A A A

D D D D D D D D D D

F F F F F

0

A

D

νν

νν

ν

−= = = =

−−

= = = = −

− −−

− = = − −

− −

=

=

−

− −

(5.22)

Si nota come i coefficienti indipendenti non nulli siano 3 (sui 42 totali) e quindi come il

problema sia notevolmente semplificato rispetto al caso generale sin ora considerato.

* * * Si dimostra come ottenere le (5.20):

[ ]2

2

2

2

2 2

h

h

hij ij ij ij ijh

h hA Q d Q Q Q hζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫

2 222 2

2

2

1 1 02 2 2 2

h

h

hij ij ij ijh

h hB Q d Q Qζ ζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ =

3 3 322 3 2

2

2

1 13 2 2 2

h

hij

hij ij ij ijh

Q hh hD Q d Q Qζ ζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − − =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ 12

4 423 4 2

2

2

1 1 04 4 2 2

h

h

hij ij ij ijh

h hE Q d Q Qζ ζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ =

5 5 524 5 2

2

2

1 15 5 2 2

h

hij

hij ij ij ijh

Q hh hF Q d Q Qζ ζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − − =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ 80

6 625 6 2

2

2

1 1 06 6 2 2

h

h

hij ij ij ijh

h hH Q d Q Qζ ζ ζ−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ =

* * *

5.1.3.1.2 Compositi costituiti da una singola lamina “functionally graded”

A differenza di un materiale isotropo omogeneo, per un materiale “functionally graded”

le costanti ingegneristiche del materiale (3.99) dipendono da ζ . Di conseguenza dalle

equazioni (3.106), discende che anche le costanti elastiche ijQ presentano la stessa

Tesi: N. Fantuzzi

269


dipendenza ( ( )ij ijQ Q ζ= ).

Analogamente alle (5.19) per una singola lamina “functionally graded” valgono le

relazioni seguenti:

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

11 11 22 22 2

12 12 2

66 66 44 44 55 55

16 16 26 26 45 45

1

1

2 1

0

EQ Q Q Q

EQ Q

EQ Q Q Q Q Q G

Q Q Q Q Q Q

ζ

ν ζ

ν ζ ζ

ν ζ

ζν ζ

= = = =−

= =−

= = = = = = =+

= = = = = =

(5.23)

Sostituendo le (5.23) nelle (3.130) si ottengono le rigidezze per la lamina “functionally

graded”:

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

2 2 2

11 22 12 44 55 662 2

2 2 2

, ,2 11 1

h h h

h h h

E E EA A d A d A A A

ζ ν ζ ζ ζdζ ζ ζ

ν ζν ζ ν ζ− − −

= = = = = =+− −

∫ ∫ ∫

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

2 2 2

11 22 12 44 55 662 2

2 2 2

, ,2 11 1

h h h

h h h

E E EB B d B d B B B

ζ ν ζ ζ ζdζ ζ ζ ζ

ν ζν ζ ν ζ− − −

= = = = = =+− −

∫ ∫ ∫ ζ ζ

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

2 2 22 2

11 22 12 44 55 662 2

2 2 2

, ,2 11 1

h h h

h h h

E E E 2D D d D d D D Dζ ν ζ ζ ζ

dζ ζ ζ ζν ζν ζ ν ζ

− − −

= = = = = =+− −

∫ ∫ ∫ ζ ζ

( )( )( )

( )( )( )

2 23 3

11 22 44 55 662

2 2

,2 11

h h

h h

E EE E d E E E d

ζ ζζ ζ ζ

ν ζν ζ− −

= = = = =+−

∫ ∫ ζ

( )( )( )

( )( )( )

2 24 4

11 22 662

2 2

,2 11

h h

h h

E EF F d F d

ζ ζζ ζ ζ

ν ζν ζ− −

= = =+−

∫ ∫ ζ

( )( )( )

( )( )( )

2 25 5

11 22 662

2 2

,2 11

h h

h h

E EH H d H d

ζ ζζ ζ ζ

ν ζν ζ− −

= = =+−

∫ ∫ ζ (5.24)

È possibile riassumere le rigidezze nello specchietto che segue:

Tesi: N. Fantuzzi

270


11 12 22 11 66 44 66 55 66

11 12 22 11 66 44 66 55 66

11 12 22 11 66 44 66 55 66

11 22 11 66 44 66 55 66

11 22 11 66

11 22 11 66

0 0 00 00 00 00 00 0

A A A A A A A A AB B B B B B B BD D D D D D D D DE E E E E E EF F F FH H H H

B

E

= = == = −= = −

− = = − =− = − − −− = − − −

==

(5.25)

Si nota come i coefficienti indipendenti non nulli siano 15 (sui 42 totali). Si vuol far

rilevare che, a causa della dipendenza delle costanti ingegneristiche (3.99) da ζ , e quindi

della non simmetria del materiale rispetto alla superficie media, le rigidezze flesso-

membranali ijB non sono tutte nulle

5.1.3.1.3 Compositi costituiti da una singola lamina ortotropa

Per una lamina ortotropa, in cui il sistema di riferimento del materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′

coincide con il sistema di riferimento del problema 1 2Oα α ζ′ , le rigidezze ijA , ijB , , ijD

ijE , ijF , ijH possono essere espresse in termini delle costanti e dello spessore . ijQ h

Considerando che il sistema di riferimento del materiale coincida con quello del

problema ( 0θ = ° ) i coefficienti di rigidezza secondo le (5.4) assumono l’aspetto che qui

viene riproposto: ( ) ( ) ( )11 110k kQ Q° = ( ) ( ) ( )

12 120k kQ Q° = ( ) ( ) ( )22 220k kQ Q° =

( ) ( ) ( )66 660k kQ Q° = ( ) ( ) ( )

44 440k kQ Q° = ( ) ( ) ( )55 550k kQ Q° =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 16 450 0 0k k kQ Q Q° = ° = ° = 0 (5.26)

In particolare grazie alle (3.102) i coefficienti di rigidezza possono essere esplicitati

come segue:

1 211 11 22 22 12 12

12 21 12 21 12 21

, ,1 1

E EQ Q Q Q Q Q ν12 2

1E

ν ν ν ν= = = = = =

− − ν ν−

66 66 12 44 44 13 55 55 23, ,Q Q G Q Q G Q Q G= = = = = =

16 16 26 26 45 45 0Q Q Q Q Q Q= = = = = = (5.27)

Le definizioni fornite (5.2) si possono specializzare per il caso in esame:

11 11 22 22 12 12 44 44 55 55 66 66, , , , ,A Q h A Q h A Q h A Q h A Q h A Q h= = = = = =

Tesi: N. Fantuzzi

271


3 33 3 3 355 6611 22 12 44

11 22 12 44 55 66, , , , ,12 12 12 12 12 12

Q h Q hQ h Q h Q h Q hD D D D D D= = = = = =

55 56611 22

11 22 66, ,80 80 80

Q hQ h Q hF F F= = = (5.28)

A meno delle definizioni fornite dalle (5.27) la forma delle (5.28) non è diversa da

quelle otttenute per la singola lamina isotropa (5.20) poiché i coefficienti di rigidezza non

nulli sono gli stessi ma hanno valori differenti. Dunque le dimostrazioni che permettono di

ottenere le (5.28) sono analoghe a quelle che sono state mostrate nel caso di singola lamina

isotropa.

Riassumendo tutte le rigidezze ottenute si ottiene lo schema seguente:

(5.29)

11 12 22 66 44 55

11 12 22 66 44 55

11 22 66

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0

A A A A A A

D D D D D D

F F F

−−

− −− −− −

− −− −

In cui si ritrovano 15 coefficienti indipenti non nulli (anziché 42).

Per una lamina ortotropa orientata di un angolo θ , in cui il sistema di riferimento del

materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ non coincide con il sistema di riferimento della lamina 1 2Oα α ζ′ , le

rigidezze ijA , ijB , , ijD ijE , , ijF ijH possono essere espresse in funzione dei coefficienti

ijQ e dello spessore . Le espressioni h (5.26) cambiano poiché ora l’angolo è diverso da

zero e quindi in generale i coefficienti di rigidezza sono tutti non nulli. Questo comporta un

aumento dei coefficienti esprimenti la rigidezza del guscio in esame, come mostra il

seguete schema:

(5.30)

11 12 16 22 26 66 44 45 55

11 12 16 22 26 66 44 55

11 16 22 26 66

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A A A A A A A A A

D D D D D D D D

F F F F F

−−

− −− −− −

− −− −

Ora dunque i coefficienti indipendenti sono 22 anziché 15 come nel caso precedente in

cui si è considerato 0θ = ° .

Tesi: N. Fantuzzi

272


5.1.3.1.4 Compositi costituiti da una singola lamina anisotropa o monoclina

Per un laminato anisotropo o monoclino, in cui il sistema di riferimento del materiale

1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ coincide con il sistema di riferimento del problema 1 2Oα α ζ′ , le rigidezze ijA ,

ijB , , ijD ijE , ijF , ijH possono essere espresse in funzione dei coefficienti del

materiale e dello spessore . Le espressioni

ijC

h (5.2) assumono il seguente aspetto: 1 1

1 1, 0

k k

k k

l l

ij ij ij ij ijk k

A Q d C h B Q dζ ζ

ζ ζ

ζ ζ+ +

= =

= = =∑ ∑∫ ∫ ζ =

1 132 3

1 1, 0

12

k k

k k

l lij

ij ij ij ijk k

C hD Q d E Q d

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ+ +

= =

= = =∑ ∑∫ ∫ =

1 154 5

1 1, 0

80

k k

k k

l lij

ij ij ij ijk k

C hF Q d H Q d

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ+ +

= =

= = =∑ ∑∫ ∫ =

− −− −

(5.31)

Come si nota dallo schema seguente, il numero dei coefficienti indipendenti è lo stesso

del caso considerato nella (5.30) ma con valori differenti per quanto riguarda le rigidezze

poiché si tratta di materiali differenti, e questo lo si può notare dalle definizioni stesse,

(5.28) e (5.31), poiché in un caso si trovano le mentre nell’altro le . ijQ ijC

(5.32)

11 12 16 22 26 66 44 45 55

11 12 16 22 26 66 44 55

11 16 22 26 66

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A A A A A A A A A

D D D D D D D D

F F F F F

−−

− −− −− −

Qualora la lamina anisotropa o monoclina sia orientata di un angolo θ rispetto il

sistema di riferimento 1 2Oα α ζ′ , le rigidezze ijA , ijB , , ijD ijE , ijF , ijH sono funzione dei

coefficienti ijC , definiti dalle equazioni (3.90) e dello spessore . Le espressioni h (5.31) si

trasformano nel modo seguente: 1 1

1 1, 0

k k

k k

l l

ij ij ij ij ijk k

A Q d C h B Q dζ ζ

ζ ζ

ζ ζ+ +

= =

= = =∑ ∑∫ ∫ ζ =

1 132 3

1 1, 0

12

k k

k k

l lij

ij ij ij ijk k

C hD Q d E Q d

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ+ +

= =

= = =∑ ∑∫ ∫ =

Tesi: N. Fantuzzi

273


1 15

4

1 1, 0

80

k k

k k

l lij

ij ij ij ijk k

C hF Q d H Q d

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ζ ζ+ +

= =

5= = =∑ ∑∫ =∫ (5.33)

5.1.3.2 Gusci con schema di laminazione simmetrico

Quando le proprietà dei materiali, la geometria del laminato (spessori delle lamine) e lo

schema di laminazione sono simmetrici rispetto alla superficie media, il laminato viene

definito simmetrico (figure 5.4 e 5.5). A causa della simmetria dei coefficienti di rigidezza

di ogni singola lamina ( )kijQ , delle distanze kζ e degli spessori rispetto alla superficie

di riferimento del laminato, le rigidezze d’accoppiamento flesso-membranali

kh

ijB sono

identicamente nulle, con notevole semplificazione delle equazioni che governano il

problema.

Le caratteristiche della sollecitazione per un laminato simmetrico, in generale, hanno la

stessa forma di quelle di un laminato costituito da una singola lamina ortotropa

arbitrariamente orientata. Per alcuni casi particolari le equazioni costitutive possono essere

ulteriormente semplificate, come si vedrà nel seguito.

Indipendentemente dal materiale con cui è costituito il laminato (lamine isotrope,

ortotrope od anisotrope) le rigidezze per un laminato simmetrico generico, unendo i

risultati ottenuti dalle (3.106) e (5.18) risultano essere le seguenti:

( ) ( )1

1 1

k

k

l lk k

ij ij ij kk k

A Q d Q hζ

ζ

ζ+

= =

= =∑ ∑∫ ( ) ( )1

1 10

k

k

l lk k

ij ij ij k kk k

B Q d Q h zζ

ζ

ζ ζ+

= =

= = =∑ ∑∫

( ) ( ) ( )1

23

1 1

k

k

l lk k

ij ij ij kk k

kD Q d Q hζ

ζ

ζ ζ ζ+

= =

= =∑ ∑∫ ( ) ( ) ( )1

34

1 10

k

k

l lk k k

ij ij ij k kk k

E Q d Q h zζ

ζ

ζ ζ ζ+

= =

= = =∑ ∑∫

( ) ( ) ( )1

45

1 1

k

k

l lk k k

ij ij ij kk k

Q d Q hζ

ζ

ζ ζ ζ+

= =

= =∑ ∑∫ F( ) ( ) ( )

15

61 1

0k

k

l lk k k

ij ij ij k kk k

H Q d Q h zζ

ζ

ζ ζ ζ+

= =

= =∑ ∑∫ (5.34) =

Risulta quindi che i coefficienti ijB , ijE , ijH sono tutti nulli poiché all’interno delle

sommatorie sono presenti tutti termini positivi a meno del fattore , che è positivo se la

lamina si trova al di sopra dell’asse medio del laminato ed è negativo se la lamina si trova

al di sotto dell’asse medio del laminato. Le rigidezze indipendenti per un generico laminato

simmetrico sono 22 (sui 42 totali) come mostrato nel caso di lamina ortotropa con

orientamento generico

kz

(5.30) o lamina anisotropa con orientamento qualunque (5.32).

Tesi: N. Fantuzzi

274


* * * Si dimostrano le relazioni (5.34) facendo riferimento alla figura 3.14 e prendendo una generica lamina

posta al di sotto dell’asse medio del laminato e un’altra corrispondente alla prima (quindi data la definizione

di laminato simmetrico con stesso spessore e caratteristiche meccaniche) posta al di sopra dell’asse medio del

laminato. Si sono mantenuti gli indici i e j generici poiché tali parametri per le lamine sono gli stessi grazie

alla definizione di laminato simmetrico.

( ) ( ) ( )

1

0l

k k kij ij k ij k ij k

k

A Q h Q h Q h=

= = + + + + ≠∑ … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0l

k k k k kij ij k k ij k k ij k k ij k k ij k k

k

B Q h z Q h z Q h z Q h z Q h z=

= = + − + + + = − + + +∑ … … … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

1

0l

k k k k k kij ij k ij k ij k

k

D Q h Q h Q hζ ζ ζ=

= = + + + +∑ … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4

1

lk k k k k k

ij ij k k ij k k ij k kk

E Q h z Q h z Q h zζ ζ ζ=

= = + − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )4 4 0k k k k

ij k k ij k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5

1

0l

k k k k k kij ij k ij k ij k

k

F Q h Q h Q hζ ζ ζ=

= = + + + +∑ … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 6

1

lk k k k k k

ij ij k k ij k k ij k kk

H Q h z Q h z Q h zζ ζ ζ=

= = + − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )6 6 0k k k k

ij k k ij k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + =… … …

* * *

5.1.3.2.1 Laminato simmetrico costituito da lamine isotrope

Per via dell’isotropia del materiale i coefficienti di rigidezza assumono la forma

seguente:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )11 11 22 22 21

kk k k k

k

EQ Q Q Qν

= = = =−

( ) ( )( ) ( )

( )( )12 12 21

k kk k

k

EQ Q ν

ν= =

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )66 66 44 44 55 552 1

kk k k k k k k

k

EQ Q Q Q Q Q Gν

= = = = = = =+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 26 26 45 45 0k k k k k kQ Q Q Q Q Q= = = = = = (5.35)

Note le (5.34) e le (5.35) è possibile ottenere le rigidezze per il guscio laminato

simmetrico composto da lamine isotrope:

Tesi: N. Fantuzzi

275


( )

( )( )11 22 21 1

kl

kkk

EA A hν=

= =−

∑ ( ) ( )

( )( )12 21 1

k kl

kkk

EA hν

ν=

=−

∑

( )

( )( )66 55 441 2 1

kl

kkk

EA A A hν=

= = =+

∑ 16 26 45 0A A A= = =

( )

( )( )( )

11 22 321 1

klk

kkk

ED D hζν=

= =−

∑ ( ) ( )

( )( )( )

12 321 1

k klk

kkk

ED hν ζν=

=−

∑

( )

( )( )( )

66 55 44 31 2 1

klk

kkk

ED D D hζν=

= = =+

∑ 16 26 0D D= =

( )

( )( )( )

11 22 521 1

klk

kkk

EF F hζν=

= =−

∑ ( )

( )( )( )

66 51 2 1

klk

kkk

EF hζν=

=+

∑ 16 26 0F F= = (5.36)

Ne risulta quindi che, la matrice dei coefficienti per un laminato simmetrico composto

da lamine isotrope si semplifichi notevolmente:

(5.37)

11 12 22 11 66 44 66 55 66

11 12 22 11 66 44 66 55 66

11 22 11 66

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0

A A A A A A A A A

D D D D D D D D D

F F F F

= =−

= = −− −− = − − −− −

=

=

− −

Si nota che i coefficienti indipendenti sono 8 (sui 42 totali).

5.1.3.2.2 Laminato simmetrico costituito da lamine ortotrope

Un laminato simmetrico costituito da lamine ortotrope, per le quali il sistema di

riferimento del materiale 1 2ˆˆ ˆOα α ζ′ coincide con il sistema di riferimento del laminato

1 2Oα α ζ′ e disposte simmetricamente, sia per quanto riguarda le proprietà dei materiali che

la geometria (spessori delle lamine), rispetto alla superficie media del laminato, è

caratterizzato da rigidezze flesso-membranali ijB nulle.

Considerando tutte lamine ortotrope aventi un’orientamento generico le (5.27)

diventano:

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 12 211 22 12

12 21 12 21 12 21

66 12 44 13 55 23 16 26 45

, ,1 1 1

, , ,

k k kk k k

k k k k k k

k k k k k k k k k

E E EQ Q Q

Q G Q G Q G Q Q Q

νν ν ν ν ν ν

= = =− − −

= = = = = 0

k

=

(5.38)

Tesi: N. Fantuzzi

276


Dove il pedice k serve a differenziare i coefficienti di rigidezza di un materiale rispetto

ad un altro.

Quando si utilizzano lamine ortotrope, bisogna sempre fare riferimento non solo ai

parametri elastici che identificano quello specifico materiale (5.38) ma anche

all’orientamento, θ , delle lamine rispetto al sistema di riferimento del concio che si sta

considerando.

Per prima cosa si terrà conto solamente del primo aspetto, quindi 0θ = ° . La relazione

tra i coefficienti di rigidezza nel sistema di riferimento del materiale (5.38) e gli stessi nel

sistema di riferimento nel concio elementare è sempre la stessa ottenuta in precedenza

(5.26).

Note queste relazioni è possibile ottenere dalle (5.2) le rigidezze per il laminato

simmetrico composto da lamine ortotrope con orientamento nullo:

( )

( ) ( )1

111 12 211

kl

kk kk

EA hν ν=

=−

∑ ( ) ( )

( ) ( )12 2

121 12 211

k kl

kk kk

EA hνν ν=

=−

∑ ( )

( ) ( )2

221 12 211

kl

kk kk

EA hν ν=

=−

∑

( )66 12

1

lk

kk

A G h=

= ∑ ( )44 13

1

lk

kk

A G h=

= ∑ ( )55 23

1

lk

kk

A G h=

= ∑

16 26 45 0A A A= = =

( )

( ) ( )( )1

11 31 12 211

klk

kk kk

ED hζν ν=

=−

∑ ( ) ( )

( ) ( )( )12 2

12 31 12 211

k klk

kk kk

ED hν ζν ν=

=−

∑ ( )

( ) ( )( )2

22 31 12 211

klk

kk kk

ED hζν ν=

=−

∑

( ) ( )66 12 3

1

lk k

kk

D G ζ=

=∑ h ( ) ( )44 13 3

1

lk k

kk

D G ζ=

=∑ h ( ) ( )55 23 3

1

lk k

kk

D G ζ=

=∑ h

16 26 0D D= =

( )

( ) ( )( )1

11 51 12 211

klk

kk kk

EF hζν ν=

=−

∑ ( )

( ) ( )( )2

22 51 12 211

klk

kk kk

EF hζν ν=

=−

∑ ( ) ( )66 12 5

1

lk k

kk

F G hζ=

= ∑

16 26 0F F= = (5.39)

Ne risulta quindi che, la matrice dei coefficienti per un laminato simmetrico composto

da lamine ortotrope considerando 0θ = ° diventa:

(5.40)

11 12 22 66 44 55

11 12 22 66 44 55

11 22 66

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0

A A A A A A

D D D D D D

F F F

−−

− −− −− −

0− −− −

Tesi: N. Fantuzzi

277


Come mostra la (5.40) ci sono 15 (su 42 totali) coefficienti indipendenti. Considerando

invece 0θ ≠ ° , il numero dei coefficienti aumenta poiché che i coefficienti , , ,

, , , sono non nulli perché non è più nullo il loro coefficiente di rigidezza

corrispondente

16A 26A 45A

16D 26D 16F 26F

( )kijQ .

Per un laminato simmetrico composto da lamine ortotrope di orientamento genenrico il

numero dei coefficienti indipendenti è 22 (su 42 totali) come nel caso generale mostrato

all’inizio del paragrafo.

I laminati formati da lamine ortotrope aventi ciascuna differente orientazione rispetto al

sistema di riferimento del laminato sono denominati laminati ortotropi generici. Se gli

spessori, le proprietà dei materiali e l’orientazione delle lamine sono simmetrici rispetto

alla superficie media, il laminato risulta simmetrico. In tal caso le costanti elastiche ijA ,

ijB , , ijD ijE , , ijF ijH possono essere valutate mediante le relazioni (5.2). A causa della

simmetria del laminato gli elementi della matrice di rigidezza d’accoppiamento flesso-

membranale ijB sono identicamente nulli e quindi valgono le (5.30) o (5.32). Un esempio

di laminato simmetrico composto da lamine ortotrope arbitrariamente orientate è dato dalla

seguente notazione dove il pedice indica il numero di lamine

aventi stessa orientazione e spessore. Altri esempi di laminati simmetrici sono i laminati

incrociati regolari (figura 5.7), costituiti da lamine aventi uguale spessore e materiale, ma

orientati in maniera alternata di

( 3 5 330 / 60 /15 / 60 / 30− − )

0θ = ° e 90θ = ° rispetto al sistema di riferimento del

laminato. Questi laminati sono formati necessariamente da un numero dispari di lamine,

altrimenti si perderebbe la simmetria rispetto alla superficie media (la lamina centrale, qui

rappresentata come una coppia di lamine di ugual spessore, in realtà è una unica lamina

che ha spessore doppio rispetto alle altre).

ζ 0

Tesi: N. Fantuzzi

278


90

0

0

2h 90

01α

2h

Figura 5.7 – Laminato simmetrico a lamine incrociate.

Inoltre, si vuol far notare che, qualora siano presenti lamine “functionally graded

material”, perché il laminato risulti simmetrico rispetto alla superficie media, occorre che

le coppie di lamine corrispondenti siano caratterizzate dagli stessi costituenti e da leggi

esponenziali simmetriche come riportato nello schema di figura 5.4. Infatti, la lamina al di

sotto della superficie di riferimento è caratterizzata dalla seconda legge esponenziale

, mentre la corrispondente simmetrica dalla prima legge . Il laminato risulta

simmetrico anche invertendo di posizione le due lamine. Invece, nel caso in cui lamine

corrispondenti presentino la stessa legge , il laminato non risulta più simmetrico dal

punto di vista del materiale e gli elementi della matrice di rigidezza d’accoppiamento

flesso-membranale

2FGM 1FGM

1FGM

ijB non sono identicamente nulli.

5.1.3.2.3 Laminato simmetrico costituito da lamine anisotrope o monocline

I laminati simmetrici costituiti da lamine anisotrope o monocline, orientate e non,

risultano caratterizzati da rigidezze flesso-membranali ijB nulle a causa della simmetria. In

tal caso le costanti elastiche ijA , ijB , , ijD ijE , , ijF ijH possono essere valutate mediante

le equazioni (5.2), ricordando le (5.31). Ne risulta che i coefficienti indipendenti sono 22

(su 42 totali) come per il caso precedente.

5.1.3.3 Gusci con schema di laminazione antisimmetrico

Tesi: N. Fantuzzi

279


Sebbene i laminati simmetrici siano più semplici da analizzare dal punto di vista

teorico, dato che le equazioni costitutive risultano notevolmente semplificate, in molte

applicazioni essi non forniscono il comportamento meccanico desiderato. Per questo

motivo si ricorre ai laminati antisimmetrici.

5.1.3.3.1 Laminato antisimmetrico costituito da lamine orientate

Un laminato antisimmetrico con lamine orientate è costituito da un numero pari di

lamine ortotrope. Ad ogni lamina con fibre orientate di θ corrisponde, simmetricamente

rispetto alla superficie media, una lamina con fibre orientate di θ− , avente lo stesso

spessore e materiale (figura 5.8). Si noti che per una lamina caratterizzata da 0θ = ° , la

corrispondente lamina nello schema di laminazione risulta caratterizzata da 90θ = − ° , e

viceversa. Per questi laminati si ha che:

(5.41)

11 12 22 66 44 55

16 26

11 12 22 66 44 55

16 26

11 22 66

16 26

0 0 00 0 0 0 0 0

0 00 0 0 0

0 00 0 0

A A A A A AB B

D D D D D DE E

F F FH H

−−

− −− −− −

0− −− −

Per questo tipo di laminato, si ottengono 21 coefficienti indipendenti

ζ 45

0

25−

25

2h 90−

45−1α

2h

Figura 5.8 – Laminato antisimmetrico con lamine orientate.

* * *

Tesi: N. Fantuzzi

280


Si dimostra di seguito a partire dalle (5.2) ed inserendo al loro interno le (5.3) con le (5.18) come si

ottenga la (5.41).

Calcolo delle rigidezze : ijA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 11 111

0l

k k k k kk k k k k

k

A Q h Q h Q h Q h Q hθ θ θ θ=

= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 121

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … … ≠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 16 16 161

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = − + + +∑ … … … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 22 22 221

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … … ≠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 26 26 261

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = − + + +∑ … … … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 66 66 661

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 44 44 441

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … … ≠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 55 55 551

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = + + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )45 45 45 45 45 451

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + + = − + + +∑ … … … … … =…

Calcolo delle rigidezze : ijB

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 111

lk k k

k k k k k kk

B Q h z Q h z Q h zθ θ=

= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )11 11 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 121

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )12 12 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 161

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )16 16 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 221

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )22 22 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 261

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

Tesi: N. Fantuzzi

281


( ) ( ) ( ) ( )26 26 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 661

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )66 66 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 441

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )44 44 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 551

lk k k

k k k k k kk


= = + − − + + +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( )55 55 0k kk k k kQ h z Q h zθ θ= − + + + =… … …

Calcolo delle rigidezze : ijD

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 3 11 3 11 3

1

lk k k k k k

k kk

D Q h Q h Q hζ θ ζ θ ζ=

= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 3 11 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 3 12 3 12 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 3 12 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 3 16 3 16 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 3 16 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 3 22 3 22 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 3 22 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 3 26 3 26 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 3 26 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 3 66 3 66 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 3 66 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 3 44 3 44 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 3 44 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 3 55 3 55 3

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

Tesi: N. Fantuzzi

282


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 3 55 3 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

Calcolo delle rigidezze : ijE

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 4 11 4 11 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk

E Q h z Q h z Q h zζ θ ζ θ ζ=

= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 4 11 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 4 16 4 16 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 4 16 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 4 22 4 22 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 4 22 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 4 26 4 26 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 4 26 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 4 66 4 66 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 4 66 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 4 44 4 44 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 4 44 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 4 55 4 55 4

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 4 55 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

Calcolo delle rigidezze : ijF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 5 11 5 11 5

1

lk k k k k k

k kk

F Q h Q h Q hζ θ ζ θ ζ=

= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 5 11 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 5 16 5 16 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 5 16 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 5 22 5 22 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

Tesi: N. Fantuzzi

283


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 5 22 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 5 26 5 26 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 5 26 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 5 66 5 66 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − + +∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 5 66 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

Calcolo delle rigidezze : ijH

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 6 11 6 11 6

1

lk k k k k k

k k k k k kk

H Q h z Q h z Q h zζ θ ζ θ ζ=

= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 6 11 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 6 16 6 16 6

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 6 16 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 6 22 6 22 6

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 6 22 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 6 26 6 26 6

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 6 26 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 6 66 6 66 6

1

lk k k k k k

k k k k k kk


= = + − − + +∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 6 66 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + + =… … …

* * *

5.1.3.3.2 Laminato antisimmetrico costituito da lamine incrociate

Un caso particolare di laminato antisimmetrico è quello costituito da un numero pari di

lamine ortotrope incrociate. Le lamine fibro-rinforzate sono orientate in maniera alternata

di un angolo 0θ = ° o 90θ = ° rispetto al sistema di riferimento del laminato. In questo

modo, ad ogni lamina con fibre orientate di 0θ = ° corrisponde, simmetricamente rispetto

alla superficie media, una lamina con fibre orientate di 90θ = ° , avente lo stesso spessore e

Tesi: N. Fantuzzi

284

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo materiale (figura 5.9).

ζ 90

0

90

0

2h 90

01α

2h

Figura 5.9 – Laminato antisimmetrico con lamine incrociate.

Considerando le (5.2) e sostituendovi le (5.4) e (5.18) si ottengono 15 coefficienti

indipendenti (su 42 totali):

11 12 22 11 66 44 55 44

11 22 11 44 55 44

11 12 22 11 66 44 55 44

11 22 11 44 55 44

11 22 11 66

11 22 11

0 0 00 0 0 0

0 00 0 00 00 0 0

A A A A A A A AB B B B B BD D D D D D D DE E E E EF F F FH H H

= == − − = −= −

− = − − =− = − − −− = − − − −

E=−

(5.42)

* * *

Si dimostrano le (5.42) facendo uso delle (5.4) e (5.18):


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 22 11

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k

A Q h Q h Q h Q h Q h=

= = + ° + + ° + = + + + + ≠∑ … … … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 12

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k


= = + ° + + ° + = + + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 161

90 0 0l

k k kk k k

k

A Q h Q h Q h=

= = + ° + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 22 11 22

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k


= = + ° + + ° + = + + + + ≠∑ … … … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 261

90 0 0l

k k kk k k

k

A Q h Q h Q h=

= = + ° + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 66 66 66

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k


= = + ° + + ° + = + + + + ≠∑ … … … … … …

Tesi: N. Fantuzzi

285


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 44 55 44

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k


= = + ° + + ° + = + + + + ≠∑ … … … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 55 44 55

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k

k


= = + ° + + ° + = + + + +∑ … … … … … … ≠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )45 45 45 451

90 0 0l

k k kk k k

k

A Q h Q h Q h=

= = + ° + + ° +∑ … … =…

In particolare risulta che:

22 11A A= e 55 44A A=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 22 11

1

90 0 0l

k k k k kk k k k k k k k k k

k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 12

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 161

90 0 0l

k k kk k k k k k

k

B Q h z Q h z Q h z=

= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 22 11 22

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 261

90 0 0l

k k kk k k k k k

k

B Q h z Q h z Q h z=

= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 66 66 66

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 44 55 44

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 55 44 55

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° + = − + + +∑ … … … … … ≠…


22 11B B= − e 55 44B B= −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 3 11 3 11 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )22 3 11 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 3 12 3 12 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )12 3 12 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 3 16 3 16 3

1

90 0 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + ° +∑ … … k =…

Tesi: N. Fantuzzi

286


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 3 22 3 22 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )11 3 22 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 3 26 3 26 3

1

90 0 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + ° +∑ … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 3 66 3 66 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )66 3 66 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 3 44 3 44 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )55 3 44 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 3 55 3 55 3

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )44 3 55 3 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …


22 11D D= e 55 44D D=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 4 11 4 11 4

1

90 0l

k k k k k kk k k k k k

k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )22 4 11 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 4 16 4 16 4

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 4 22 4 22 4

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )11 4 22 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 4 26 4 26 4

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 4 66 4 66 4

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )66 4 66 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + =… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 4 44 4 44 4

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )55 4 44 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 4 55 4 55 4

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

Tesi: N. Fantuzzi

287


( ) ( ) ( ) ( )44 4 55 4 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …


22 11E E= − e 55 44E E= −

Calcolo delle rigidezze : ijF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 5 11 5 11 5

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )22 5 11 5 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 5 16 5 16 5

1

90 0 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + ° +∑ … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 5 22 5 22 5

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )11 5 22 5 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 5 26 5 26 5

1

90 0 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + ° +∑ … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 5 66 5 66 5

1

90 0l

k k k k k kk k

k


= = + ° + + °∑ … … k + =…

( ) ( ) ( ) ( )66 5 66 5 0k k k k

k kQ h Q hζ ζ= + + + + ≠… … …


22 11F F=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 6 11 6 11 6

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )22 6 11 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 6 16 6 16 6

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 6 22 6 22 6

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )11 6 22 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + ≠… … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 6 26 6 26 6

1

90 0 0l


k


= = + ° − + + ° +∑ … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 6 66 6 66 6

1

90 0l


k


= = + ° − + + °∑ … … + =…

( ) ( ) ( ) ( )66 6 66 6 0k k k k

k k k kQ h z Q h zζ ζ= − + + + =… … …


Tesi: N. Fantuzzi

288


22 11H H= −

* * *

5.1.3.4 Gusci bilanciati

Un laminato è definito bilanciato se per ogni lamina genericamente orientata ne esiste,

all’interno del laminato stesso, un’altra avente stesso spessore e materiale, con opposta

orientazione delle fibre. Le due lamine non devono necessariamente essere simmetriche

rispetto alla superficie media del laminato (figura 5.10). Per i laminati in parola i

coefficienti indipendenti sono 35 come mostra lo schema seguente:

11 12 22 66 44 55

11 12 16 22 26 66 44 55

11 12 22 66 44 55

11 16 22 26 66 44 55

11 22 66

11 16 22 26 66

0 0 0

0 0

0 0

A A A A A AB B B B B B B BD D D D D DE E E E E EF F FH H H H H

−−

−− −− −

E−− −− −

(5.43)

ζ 25

45−

30

25−

2h 30−

451α

2h

Figura 5.10 – Laminato bilanciato.

* * * Si dimostra la (5.43) a partire dalle (5.2) sostituendovi le (5.4) e (5.18):


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 11 111

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 121

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

Tesi: N. Fantuzzi

289


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 16 16 161

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = − + +∑ … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 22 22 221

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 26 26 261

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = − + +∑ … … … =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 66 66 661

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 44 44 441

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 55 55 551

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )45 45 45 45 45 451

0l

k k k k kk k k k k

k


= = + − + + = − + +∑ … … … =…


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 11 11 11 111

0l

k k k k kk k k m k n k m k n

k

B Q h z Q h z Q h z Q h z Q h zθ θ θ θ=

= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 121

0l


k


= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 16 16 16 161

0l


k


= = + − − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 22 22 22 221

0l


k


= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 26 26 26 261

0l


k


= = + − − + + = + + +∑ … … … ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 66 66 66 661

0l


k


= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 44 44 44 441

0l


k


= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 55 55 55 551

0l


k


= = + − − + + = − + + ≠∑ … … … …


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 3 11 3 11 3 11 3 11 3

1

0l

k k k k k k k k k kk k k k

k

D Q h Q h Q h Q h Q hζ θ ζ θ ζ θ ζ θ ζ=

= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 3 12 3 12 3 12 3 12 3

1

0l


k


= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

Tesi: N. Fantuzzi

290


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 3 16 3 16 3 16 3 16 3

1

0l


k


= = + − + + = − + +∑ … … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 3 22 3 22 3 22 3 22 3

1

0l


k


= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3

1

0l


k


= = + − + + = − + +∑ … … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 3 66 3 66 3 66 3 66 3

1

0l


k


= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 3 44 3 44 3 44 3 44 3

1

0l


k


= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 3 55 3 55 3 55 3 55 3

1

0l


k


= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 4 11 4 11 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 4 11 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 4 16 4 16 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 4 16 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 4 22 4 22 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 4 22 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 4 26 4 26 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 4 26 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 4 66 4 66 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 4 66 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 44 4 44 4 44 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 4 44 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 55 4 55 4 55 4

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )55 4 55 4 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

Tesi: N. Fantuzzi

291

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Calcolo delle rigidezze : ijF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 5 11 5 11 5 11 5 11 5

1

0l


k

F Q h Q h Q h Q h Q hζ θ ζ θ ζ θ ζ θ ζ=

= = + − + + = + + +∑ … … … k ≠…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 5 16 5 16 5 16 5 16 5

1

0l


k

F Q h Q h Q h Q h Q hζ θ ζ θ ζ θ ζ θ ζ=

= = + − + + = − + +∑ … … … k =…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 5 22 5 22 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − +∑ … …k + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 5 22 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 5 26 5 26 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − +∑ … …k + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 5 26 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= − + + =… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 5 66 5 66 5

1

lk k k k k k

k kk


= = + − +∑ … …k + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 5 66 5 0k k k k

k kQ h Q hθ ζ θ ζ= + + + ≠… …


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 11 6 11 6 11 6

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 6 11 6 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 16 6 16 6 16 6

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 6 16 6 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 6 22 6 22 6

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 6 22 6 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 26 6 26 6 26 6

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 6 26 6 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= + + + ≠… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 66 6 66 6 66 6

1

lk k k k k k

k k k m k nk


= = + − − +∑ … …+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 6 66 6 0k k k k

k m k nQ h z Q h zθ ζ θ ζ= − + + ≠… …

* * *

Tesi: N. Fantuzzi

292

Capitolo Sesto

Sesta Equazione Indefinita di Equilibrio in Termini di Spostamento

INTRODUZIONE

Nel capitolo è riportata la sesta equazione indefinita di equilibrio in termini di

spostamento ricavata sostituendo le caratteristiche della sollecitazione nella sesta

equazione indefinita di equilibrio (3.168), ricavata grazie all’equilibrio alla rotazione del

concio elementare attorno all’asse ζ . È già stato dimostrato che, equazione in parola è

identicamente soddisfatta riscrivendo la (3.168) nella sua forma integrale (3.169) in cui

compaiono le componenti di sforzo a taglio. Tali componenti, grazie alla simmetria del

tensore degli sforzi, sono uguali e quindi la sesta equazione risulta soddisfatta, grazie al

modello cinematico adottato (3.11) (dove è stata trascurata la componente rotazionale

attorno all’asse normale).

Ciò detto però, l’identità (3.168) risulta essere sempre violata dalla teoria di Reissner-

Mindlin con l’effetto della curvatura, fanno eccezione le piastre (in cui l’effetto della

curvatura svanisce) ed i gusci di rivoluzione caricati con un carico assial-simmetrico.


Dopo aver riportato la (3.168) per varie geometrie di guscio, verrà mostrata una teoria

differente da quella mostrata in questa tesi e che permette di verificare la sesta equazione

indefinita di equilibrio in termini di spostamento, ad esempio per il guscio sferico in

materiale isotropo.

6.1 SESTA EQUAZIONE FONDAMENTALE

6.1.1 GUSCIO A DOPPIA CURVATURA IN COORDINATE GENERICHE

Considerando la (3.168) ed inserendo al suo interno le caratteristiche della

sollecitazione (3.121) si ottiene la sesta equazione di equilibrio in termini di spostamento

per un guscio a doppia curvatura in coordinate generiche:

1 2 31 16 2 16 3 16 16

1 1 2 1 1 1

1 1 1 a a aa B a D a E FA R R R R R α

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂+ − + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 1

+

1 2 31 66 2 66 3 66 66

2 1 2 2 2 2

1 1 1 b b bb B b D b E FA R R R R R α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

+

2 1 21 26 2 26 3 26

1 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1A b bb B b D b E FA A R R R R Rα

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

326

b+

1 1 21 66 2 66 3 66 66

1 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1A a aa B a D a E FA A R R R R Rα

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − − + + − − + − − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

31

a u +

1 2 31 66 2 66 3 66 66

1 1 2 1 1 1

1 1 1 a a aa B a D a E FA R R R R R 1α

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

+

1 2 31 26 2 26 3 26 26

2 1 2 2 2 2

1 1 1 b b bb B b D b E FA R R R R R α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

+

2 1 21 66 2 66 3 66

1 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1A b bb B b D b E FA A R R R R Rα

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

366

b+

1 1 21 16 2 16 3 16 16

1 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1A a a aa B a D a E FA A R R R R Rα

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ + − + + + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

32u +

1 2 31 16 2 16 3 16

1 1 2 1 1 1

1 1 1 a a aa B a D a E FR R R R R R

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

16 +

Tesi: N. Fantuzzi

294


1 2 31 26 2 26 3 26 26

2 1 2 2 2 2

1 1 1 b b bb B b D b E FR R R R R R

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − + − − + − − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

w +

1 2 31 16 2 16 3 16 16

1 1 2 1 1 1

1 1 1 a a aa D a E a F HA R R R R R 1α

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

+

1 2 31 66 2 66 3 66 66

2 1 2 2 2 2

1 1 1 b b bb D b E b F HA R R R R R α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

+

2 1 21 26 2 26 3 26

1 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1A b bb D b E b F HA A R R R R Rα

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

326

b+

1 1 21 66 2 66 3 66 66

1 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1A a aa D a E a F HA A R R R R R

31

a βα

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − − + + − − + − − − +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

1 2 31 66 2 66 3 66 66

1 1 2 1 1 1

1 1 1 a a aa D a E a F HA R R R R R 1α

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

+

1 2 31 26 2 26 3 26 26

2 1 2 2 2 2

1 1 1 b b bb D b E b F HA R R R R R α⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

+ − + − + − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

+

2 1 21 66 2 66 3 66

1 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1A b bb D b E b F HA A R R R R Rα

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ − + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

366

b+

1 1 2 31 16 2 16 3 16 16

1 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1 0A a a aa D a E a F HA A R R R R R

βα

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂+ + − + + + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

2 = (6.1)

Osservando le definizioni dei coefficienti legati alla curvatura (3.120) si possono

ottenere altre relazioni che legano tra loro i coefficienti in parola e sono utili per

semplificare la (6.1).

11 2

1 2 1 1 2 1

11 2

1 2 2 2 1 2

1 1 1 1 1;

1 1 1 1 1;

aa aR R R R R R

bb bR R R R R R

⎛ ⎞− = − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.2)

Inserendo quindi le (6.2) nella (6.1) si ottiene:

2 3 2 33 16 16 3 66 66

1 1 1 1 2 2 2

1 1a a b ba E F b E FA R R A R Rα α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ 2

⎞+⎟⎟

⎠

2 2 3 1 2 33 26 26 3 66 66 1

1 2 1 2 2 1 2 2 1 1

1 1A b b A a ab E F a E F uA A R R A A R Rα α

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + + − + + ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞+⎟⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

295


2 3 2 33 66 66 3 26 26

1 1 1 1 2 2 2

1 1a a b ba E F b E FA R R A R Rα α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ 2

⎞+⎟⎟

⎠

2 2 3 1 2 33 66 66 3 16 16 2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 1

1 1A b b A a ab E F a E F uA A R R A A R Rα α

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞+⎟⎟

⎠

2 3 2 33 16 16 3 26 26

1 1 1 2 2 2

1 1a a b ba E F b E F wR R R R R R

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞+⎟⎟

⎠

2 3 2 33 16 16 3 66 66

1 1 1 1 2 2 2

1 1a a b ba F H b F HA R R A R Rα α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ 2

⎞+⎟⎟

⎠

2 2 3 1 2 33 26 26 3 66 66 1

1 2 1 2 2 1 2 2 1 1

1 1A b b A a ab F H a F HA A R R A A R R

βα α

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + + − + + ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞+⎟⎟

⎠

2 3 2 33 66 66 3 26 26

1 1 1 1 2 2 2

1 1a a b ba F H b F HA R R A R Rα α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ 2

⎞+⎟⎟

⎠

2 2 3 1 2 33 66 66 3 16 16 2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 1

1 1 0A b b A a ab F H a F HA A R R A A R R

βα α

⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + + ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞=⎟⎟

⎠(6.3)

Partendo dalla (6.3) vengono ricavate le equazioni per tutte le altre geometrie mostrate

nel capitolo 4.

6.1.2 GUSCIO DI RIVOLUZIONE A DOPPIA CURVATURA

6.1.2.1 Equazione per il Guscio di Rivoluzione in Coordinate Sferiche

Partendo dalla (6.3) e facendo uso delle (3.206), (3.207), dell’indipendenza da ϑ dei

raggi di curvatura 0, ,R R Rϕ ϑ e ponendo 1α ϕ= , 2α ϑ= , 1 ϕ= e 2 ϑ= si ottiene la sesta

equazione indefinita di equilibrio in termini di spostamento per il guscio di rivoluzione in

coordinate sferiche:

3 2 3 316 16 2 66 3 662 2 2 2

0 0 0

sin sina a a bE F b E b FR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝+

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinb b E b F uR R R ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

296


3 2 3 366 66 2 26 3 262 2 2 2

0 0 0

sin sina a a bE F b E b FR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝+

3 2 66 3 662 20 0 0

cos cos sin cos sinb b E b F uR R R ϑϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎞⎛ ⎞

+ + + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎠+

2 23 2 3

16 16 3 2 26 3 262 3 3 2 3 30 0 0

sin sin sina a aE F b b E b F wR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

+

3 2 3 316 16 2 66 3 662 2 2 2

0 0 0

sin sina a a bF H b F b HR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝+

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinb b F b HR R R ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

3 2 3 366 66 2 26 3 262 2 2 2

0 0 0

sin sina a a bF H b F b HR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝+

3 2 66 3 662 20 0 0

cos cos sin cos sin 0b b F b HR R R ϑϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞=⎟

⎠ (6.4)

6.1.2.2 Equazione per il Guscio di Rivoluzione in Coordinate Curvilinee

Sostituendo nella (6.4) sϑ = e introducendo la relazione (4.1) si ha:

3 2 316 16 3 2 66 3 662 2

0 0

sin sina a aE F b b E b FR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂⎜ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+

∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinb b E b F uR R R ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞

− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎟⎠

3 2 366 66 3 2 26 3 262 2

0 0

sin sina a aE F b b E b FR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+

∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

3 2 66 3 662 20 0 0

cos cos sin cos sinsb b E b F

R R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

u⎞

+⎟⎠

2 23 2 3

16 16 3 2 26 3 262 3 3 2 3 30 0 0

sin sin sina a aE F b b E b F wR R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

297


3 2 316 16 3 2 66 3 662 2

0 0

sin sina a aF H b b F b HR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+

∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

3 2 26 3 262 20 0 0


⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

3 2 366 66 3 2 26 3 262 2

0 0

sin sina a aF H b b F b HR R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂⎜+ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+

∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

3 2 66 3 662 20 0 0

cos cos sin cos sin 0sb b F b HR R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞=⎟

⎠ (6.5)

6.1.2.3 Equazione per il Guscio Sferico

Per ottenere la sesta equazione indefinita di equilibrio in termini di spostamento, per il

guscio sferico in materiale anisotropo, si sostituisce nella (6.5) la (4.48) in cui e

quindi si ha:

0bR =

3 2 316 16 3 2 66 3 662 2

0 0

sin sina a aE F b b E b FR R R R R

ϕ ϕϕ

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂+ + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ +

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinb b E b F uR R R ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

3 2 366 66 3 2 26 3 262 2

0 0

sin sina a aE F b b E b FR R R R R

ϕ ϕϕ

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ +

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

3 2 66 3 662 20 0 0

cos cos sin cos sinsb b E b F u


+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

2 23 2 3

16 16 3 2 26 3 262 3 3 2 3 30 0 0

sin sin sina a aE F b b E b F wR R R R R R

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

3 2 316 16 3 2 66 3 662 2

0 0

sin sina a aF H b b F b HR R R R R

ϕ ϕϕ

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ +

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

3 2 26 3 262 20 0 0


⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

3 2 366 66 3 2 26 3 262 2

0 0

sin sina a aF H b b F b HR R R R R

ϕ ϕϕ

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞s

∂ ∂+ + + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ +

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

Tesi: N. Fantuzzi

298


3 2 66 3 662 20 0 0


⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞=⎟

⎠ (6.6)

6.1.3 GUSCIO DI RIVOLUZIONE A SINGOLA CURVATURA

6.1.3.1 Equazione per il Guscio Conico

Partendo dalla (6.6) e sostituendo le definizioni ottenute dalle (4.55)-(4.58) si ottiene la

sesta equazione indefinita di equilibrio in termini di spostamento per il guscio conico:

( )3 16 3 2 66 3 660 0

sin sina E b b E b Fx R R

ϕ ϕ⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ s

+

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinxb b E b F u


− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

( )3 66 3 2 26 3 260 0

sin sina E b b E b Fx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛s

+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinxb b E b F u


− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

2 2

3 2 26 3 262 3 30 0 0

sin sin sinb b E b FR R Rϕ ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞

+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠w

( )3 16 3 2 66 3 660 0

sin sina F b b F b Hx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛s

+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

3 2 26 3 262 20 0 0

cos cos sin cos sinxb b F b H

R R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β

⎞⎛ ⎞− + − ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎠

+

( )3 66 3 2 26 3 260 0

sin sina F b b F b Hx R R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛s

+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

3 2 66 3 662 20 0 0


⎞⎛ ⎞+ + + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎠

= (6.7)

6.1.3.2 Equazione per il Guscio Cilindrico Circolare

Per ottenere la sesta equazione fondamentale per il guscio cilindrico circolare si

Tesi: N. Fantuzzi

299


sostituisce 2ϕ π= nella (6.7) e si ottiene:

( ) 2 33 16 3 66 66

0 0x

b ba E b E F ux R R s

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

+

( ) 2 33 66 3 26 26

0 0s

b ba E b E F ux R R s

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

+

3 2 326 262 3 3

0 0 0

b b bE F wR R R

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) 2 33 16 3 66 66

0 0x

b ba F b F Hx R R s

β⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂

+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠+

( ) 2 33 66 3 26 26

0 0

0sb ba F b F H

x R R sβ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(6.8)

6.1.4 GUSCIO DI TRASLAZIONE A SINGOLA CURVATURA

Per ottenere l’equazione per un guscio di traslazione a singola curvatura si deve

sostituire la (4.78) ponendo nella 0R = ∞ (6.5):

( )3 2 316 16 3 662 2

a a aE F b E uR R R y ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂⎜ ⎟+ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠+

( )3 2 3 3 2 366 66 3 26 16 162 2 2 3 3y

a a a a a aE F b E u E FR R R y R R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ + + − + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠w⎞

+⎟⎟⎠

( )3 2 316 16 3 662 2

a a aF H b FR R R y ϕϕ ϕ ϕ

βϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠+

( )3 2 366 66 3 262 2 0y

a a aF H b FR R R yϕ ϕ ϕ

βϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂⎜ ⎟+ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= (6.9)

6.1.5 GUSCI DEGENERI

Per i gusci degeneri (piastra circolare e piastra rettangolare) le equazioni non vengono

esplicitato perché come già esposto nell’introduzione al capitolo la sesta equazione risulta

Tesi: N. Fantuzzi

300


soddisfatta dato che i coefficienti legati alla curvatura sono tutti nulli essendo . 1 2 0R R= =

6.1.6 GUSCI COMPOSTI DA UNA SINGOLA LAMINA ISOTROPA

Come mostrato nei paragrafi precedenti, considerando varie tipologie di guscio in

materiale anisotropo la sesta equazione non risulta mai verificata. Per semplificare il

problema, si riportano le stesse equazioni viste in precedenza ma riscritte per un materiale

isotropo, in questo modo, come già mostrato nel capitolo 5 i parametri elastici indipendenti

risultano essere solo tre (5.22).

6.1.6.1 Guscio a Doppia Curvatura in Coordinate Generiche

Dalla (6.3) sostituendo la (5.22) si ottiene:

3 3166 66 1

2 2 2 1 2 2 1

1 1b aAF FA R A A Rα α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠⎝

u +

3 3266 66 2

1 1 1 1 2 1 2

1 1a bAF F uA R A A Rα α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

2 1 23 66 3 66

2 2 2 1 2 2 1

1 1b A ab F a FA R A A R 1βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂+ − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

32 2 23 66 3 66 66 2

1 1 1 1 2 1 2 2

1 1 0ba A ba F b F HA R A A R R

βα α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂+ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= (6.10)

6.1.6.2 Guscio a Doppia Curvatura in Coordinate Sferiche


3 33 66 66 3 66 2 662 2 2 2

0 0 0

sin cos sin sinu a bb F F b F u b FR R R R R

ϕ ϕϑ

ϕ

βϕ ϕ ϕ

0

ϕϑ ϕ ϑ

⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞∂− + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

+∂

3 266 3 2 662 2

0 0

cos cos sin 0a a F b b FR R R R ϑϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ βϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎞∂⎜+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝= (6.11)

6.1.6.3 Guscio a Doppia Curvatura in Coordinate Curvilinee

Tesi: N. Fantuzzi

301



33 66 66 3 66 3 2 662 2

0 0

sin cos sin sins

u ab F F b F u b b F0R s R R R s

ϕ ϕ

ϕ

βϕ ϕ ϕϕ

⎛⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞∂− + + − +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

ϕ+

∂

3 266 3 2 662 2

0 0

cos cos sin 0sa a F b b FR R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ βϕ

⎛⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎞∂⎜+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝= (6.12)

6.1.6.4 Guscio Sferico

Formalmente, per il guscio sferico la sesta equazione indefinita di equilibrio in termini

di spostamento è uguale alla (6.12) in cui però vanno sostituite le relazioni (4.48) già

mostrate in precedenza.

6.1.6.5 Guscio Conico


3 66 3 2 660 0

sin sinx xub F b b FR s R s

βϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂− − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+

3 66 3 2 6620 0

cos cos sin 0sa F b b Fx R R

ϕ ϕ ϕ β⎞⎛ ⎞∂⎛+ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠

= (6.13)

6.1.6.6 Guscio Cilindrico Circolare


( )3 266 3 66 3 66

0 0

0x xs

b u bF b F a FR s R s x

β β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= (6.14)

6.1.6.7 Guscio di Traslazione a Singola Curvatura


3 3 266 3 66 662 0yua a aF b F F

R y R Rϕ

ϕ ϕ ϕ

ββϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂∂− + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2y = (6.15)

Tesi: N. Fantuzzi

302


6.2 TEORIA SEMPLIFICATA

Per verificare la sesta equazione indefinita di equilibrio in termini di spostamento, viene

eseguita una trattazione semplificata del problema. In particolare, si considera un guscio di

materiale isotropo e si trascura il termine di terzo grado presente nelle definizioni dei

coefficienti legati alla curvatura (3.120).

6.2.1 SEMPLIFICAZIONI DI BASE

Considerando, come prima ipotesi alla base del modello, un materiale isotropo, valgono

le relazioni ottenute nel capitolo 5. In particolare si ricorda la (5.19), (5.20) e (5.21)

Nel capitolo 3 si sono calcolate le caratteristiche della sollecitazione (3.121) facendo

uso dei coefficienti legati alla curvatura (3.120), tenendo conto di un materiale generico, in

generale un laminato.La seconda ipotesi, alla base di questa teoria, consiste nel trascurare,

nello sviluppo in serie (3.119), il termine di terzo grado, risulta quindi che: 2 2

23

1 2 1 1 2 1 1 1 1 2

1 1 1 11 1 11

R2 2

2

1R R R R R R R R R R

ζR

ζ ζ ζ ζ ζζζ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+= + − + = + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

2 21

3

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

1 1 1 11 1 11

R2 2

1

1R R R R R R R R R R

ζR

ζ ζ ζ ζ ζζζ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + − + = + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎟

⎝ ⎠ (6.16)

In tal modo (6.16), i coefficienti legati alla curvatura si riducono a 4 ( , ,b ,b ), con

definizioni analoghe alle (3.120).

1a 2a 1 2

221 2

1

1 11

R a aR

ζ ζ ζζ

+≅ + +

+

211 2

2

1 11

R b bR

ζ ζ ζζ

+≅ + +

+ (6.17)

Per risolvere le integrazioni che definiscono le caratteristiche della sollecitazione

(3.118) devono essere integrate le relazioni (6.16). Di seguito sono mostrati tali integrali

validi per un guscio composto da una singola lamina di materiale isotropo:

222

21

2

1 11 1

h

h

R hd h aR

ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜+ ⎝ ⎠

∫ 2 ⎟ 22

12

22

1 11 1

h

h

R hd h bR

ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ 2

Tesi: N. Fantuzzi

303


322

11

2

11 1

h

h

R hdR

ζ ζ ζζ

−

+=

+∫ 2a

321

12

2

11 1

h

h

R hd bR

ζ ζ ζζ

−

+=

+∫ 2

3 2222

21

2

1 311 12

h

h

R h hd aR

ζ ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ 20

3 2221

22

2

1 311 12

h

h

R h hd bR

ζ ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ 20

5232

11

2

11 8

h

h

R hdR

ζ ζ ζζ

−

+=

+∫ 0a

5231

12

2

11 8

h

h

R hd bR

ζ ζ ζζ

−

+=

+∫ 0

5 2222

21

2

1 511 80

h

h

R h hd aR

ζ ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ 28

5 2221

22

2

1 511 80

h

h

R h hd bR

ζ ζ ζζ

−

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ 28(6.18)

6.2.2 CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

Sostituendo quindi le (6.18) nelle (3.118) , tenendo conto delle (5.19)-(5.21) si

ottengono le caratteristiche della sollecitazione in funzione delle caratteristiche della

deformazione: 2 2

0 0 01 1 2 2 121 12 1

Eh h hN a 1 12aε νε ε χ

ν⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

2 20 0 0

2 1 2 2 221 12 1Eh h hN b 1 22

bνε ε ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )2 2

0 0 012 1 2 2 1 1 12 1 12 12

Eh h hN a aγ γ γν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

ω

( )2 2

0 0 021 1 2 2 2 1 22 1 12 12

Eh h hN b bγ γ γν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

ω

( )3 2

01 1 2 1 12

32012 1

Eh hM a 2 1aχ νχ ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )3 2

02 1 2 1 22

32012 1

Eh hM b 2 2bνχ χ ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )3 2

012 1 2 1 1 2 1

324 1 20

Eh hM a aω ω γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Tesi: N. Fantuzzi

304


( )3 2

021 1 2 1 2 2 2

324 1 20

Eh hM b bω ω γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

20 0

1 11 1 221 12Eh hT a 1κ μ μν

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

20

2 22 2 221 12Eh hT b 0

2κ μ μν

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(6.19)

* * * Si dimostrano le (6.19) partendo dalle (3.118) inserendo le (6.18) ed integrando, si ricorda che il materiale

può essere considerato isotropo quindi valgono le (5.19).

( )2

0 021 11 1 11 1 12 2 12

12

11

h

h

RN Q Q Q Q

Rζ

2 dε ζ χ ε ζ χ ζζ

−

⎛ ⎞+= + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ =

2 3

0 02 11 1 1 11 1 12 21

12 12h hh a Q a Q hQε χ ε⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

2 2

0 0 01 2 2 1 1 121 12 1

Eh h ha a2

ε νε ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )2

0 012 12 1 12 1 22 2 22 2

22

11

h

h

RN Q Q Q Q d

Rζ

ε ζ χ ε ζ χ ζζ

−

⎛ ⎞+= + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ =

2 3

0 012 1 2 22 2 1 22 21

12 12h hhQ h b Q b Qε ε ζ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

χ =

2 2

0 0 01 2 2 2 1 221 12 1

Eh h hb b2

νε ε ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

( )2

0 0212 66 1 66 1 66 2 66 2

12

11

h

h

RN Q Q Q Q

Rζ

dγ ζ ω γ ζ ω ζζ

−

⎛ ⎞+= + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ =

2 3

0 02 66 1 1 66 1 66 21

12 12h hh a Q a Q Qγ ω γ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )

2 20 0 0

1 2 2 1 1 12 1 12 12Eh h ha aγ γ γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

20 01 1

21 66 1 66 1 66 2 66 22 2

2

1 11 1

h

h

R RN Q Q Q Q d

R Rζ ζ

γ ζ ω γ ζ ω ζζ ζ

−

⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ =

2 3

0 066 1 2 66 2 1 66 21

12 12h hhQ h b Q b Qγ γ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

ω =

Tesi: N. Fantuzzi

305


( )

2 20 0 0

1 2 2 2 1 22 1 12 12Eh h hb bγ γ γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

20 2 0 22 2

1 11 1 11 1 12 2 121 1

2

1 11 1

h

h

R RM Q Q Q Q

R Rζ ζ

2 dζ ε ζ χ ζ ε ζ χ ζζ ζ

−

⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ =

3 3 2 3

01 11 1 2 11 1 12 2

3112 12 20 12h h h ha Q a Q Qε χ χ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )

3 20

1 2 1 1 2 12

32012 1

Eh ha aχ νχ ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

20 2 0 21 1

2 12 1 12 1 22 2 22 22 2

2

1 11 1

h

h

R RM Q Q Q Q d

R Rζ ζ

ζ ε ζ χ ζ ε ζ χ ζζ ζ

−

⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ =

3 3 3 2

012 1 1 22 2 2 22 2

3112 12 12 20h h h hQ b Q b Qχ ε ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

χ =

( )

3 20

1 2 1 2 2 22

32012 1

Eh hb bνχ χ ε χν

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

20 2 0 22 2

12 66 1 66 1 66 2 66 21 1

2

1 11 1

h

h

R RM Q Q Q Q

R Rζ ζ

dζ γ ζ ω ζ γ ζ ω ζζ ζ

−

⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ =

3 3 2 3

01 66 1 2 66 1 66 2

3112 12 20 12h h h ha Q a Q Qγ ω⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

ω =

( )

3 20

1 2 1 1 2 1

324 1 20

Eh ha aω ω γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

20 2 0 21 1

21 66 1 66 1 66 2 66 22 2

2

1 11 1

h

h

R RM Q Q Q Q d

R Rζ ζ

ζ γ ζ ω ζ γ ζ ω ζζ ζ

−

⎛ ⎞+ += + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ =

3 3 3 2

066 1 1 66 2 2 66 2

3112 12 12 20h h h hQ b Q b Qω γ ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

ω =

( )

3 20

1 2 1 2 2 2

324 1 20

Eh hb bω ω γ ων

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

202

1 11 44 11

2

11

h

h

RT Q

Rζ

κ μ dζζ

−

⎛ ⎞+= =⎜ ⎟+⎝ ⎠∫

2

011 2 44 11

12hh a Qκ μ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

2

0 011 1 2 121 12

Eh h aκ μ μν

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Tesi: N. Fantuzzi

306


201

2 22 55 22

2

11

h

h

RT Q

Rζ

κ μ dζζ

−

⎛ ⎞+= =⎜ ⎟+⎝ ⎠∫

2

022 2 55 21

12hh b Qκ μ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

2

0 022 2 2 221 12

Eh h bκ μ μν

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

* * *

6.2.3 SESTA EQUAZIONE INDEFINITA DI EQUILIBRIO

Considerando la sesta equazione indefinita di equilibrio (3.168) e sostituendo al suo

interno le (6.19) si ottiene:

1 22 2

1 2 1 2

1 1 0R R R R

ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞− + ≠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (6.20)

Per un guscio generico composto da una singola lamina isotropa la sesta equazione non

risulta verificata. Per poterla verificare si deve passare alla geometria sferica in cui 1 2R R=

e quindi come si evince dall’espressione (6.20) l’equazione è verificata. Osservando la

tabella 4.1, si nota che i coefficienti legati alla curvatura caratteristici per il guscio sferico,

coincidono con quelli delle piastre degeneri facendo l’ipotesi (6.16), questo mostra quindi,

come già affermato in precedenza, che essendo nulli i coefficienti legati alla curvatura la

sesta equazione di equilibrio risulta automaticamente verificata.

Trascurando l’effetto della curvatura nella teoria di Reissner-Mindlin ed ipotizzando la

simmetria delle caratteristiche della sollecitazione 12 21N N= e 12 21M M= la sesta

equazione di equilibrio è verificata per ogni tipo di geometria.

Si nota che ipotizzando un guscio anisotropo la sesta equazione indefinita di equilibrio

non può essere verificata, in nessun caso, come mostrano le equazioni (6.3)-(6.15).

* * * Si dimostra la (6.20):

12 2112 21

1 2

0M MN NR R

− + − =

Inserendo all’interno dell’equazione le caratteristiche della sollecitazione (6.19):

Tesi: N. Fantuzzi

307


( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0 0 01 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 22 1 12 12 2 1 12 12

Eh h h Eh h ha a b bγ γ γ ω γ γ γ ων ν

⎛ ⎞ ⎛+ + + − + + + +⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( ) ( )3 2 3 2

0 01 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2

1 2

1 3 1 3 024 1 20 24 1 20

Eh h Eh ha a b bR R

ω ω γ ω ω ω γ ων ν

⎛ ⎞ ⎛+ + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝

⎞=⎟

⎠

( )2 2 2 2

0 0 0 0 0 01 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 22 1 12 12 12 12

Eh h h h ha a b bγ γ γ ω γ γ γ ων

⎛ ⎞+ + + − − − − +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

( )0 03 2

1 2 1 1 1 2 1 22 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 3 1 3 024 1 20 20

a bEh h ha bR R R R R R R Rω ω γ ω ω γ

ω ων

⎛ ⎞+ + + + − − − −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

2

=

Le costanti elastiche e i coefficienti costanti possono essere semplificati: 2 2 2 2 2

0 02 1 2 2 1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 112 12 12 12 12h h h h ha b a b

R R R Rγ γ ω ω ω ω

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+

0 0 2 21 1 1 2

2 1 2 21 2 1 2

1 3 1 3 020 20

a b h ha bR R R Rγ γ

ω ω⎞

+ − + − =⎟⎠

( ) ( )0 02 2 2 2

0 0 1 1 1 22 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 3 1 3 012 12 20 20

a bh h ha b a b a bR R R R R R

γ γγ γ ω ω ω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − + + − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

h

Sostituendo le definizioni dei coefficienti legati alla curvatura (3.120):

( )0 01 2 1 2 1

1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1R R R R R R R R R R R R

γ γ ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − + − − − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2ω

⎛+⎜⎜

⎝

2 20 0

1 2 12 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 020 20h h

R R R R R R R R R R R Rγ γ ω

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − + − − − ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2ω =

Raccogliendo i termini a fattor comune e raccogliendo si ottiene: 0 0 0 0 2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 3 3 020 20h h

R R R R R R R R R Rγ γ γ γ ω ω

ω ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

− + − − + − + − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

0 0 0 0 2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 3 3 020 20h h

R R R R R R R Rγ γ γ γ ω ω

ω ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞

− + − − + + − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

2 21 22 2

1 2 1 2 2

1 1 3 1 3 020 20h h

R R R R Rω ω⎛ ⎞⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

1 22 2

1 2 1 2

1 1 0R R R R

ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠=

* * *

A partire dalla (6.20) si ottengono le espressioni valide al variare della geometria, come

è stato fatto nel paragrafo precedente. In questo modo si dimostra che, nonostante la sesta

equazione indefinita di equilibrio sia verificata per la geometria sferica, non è detto che lo

sia anche per le geometria che da essa derivano, secondo le schema di figura 4.1.

Tesi: N. Fantuzzi

308


6.2.3.1 Guscio Conico

Per il guscio conico, introducendo i cambiamenti di parametro (4.57) e (4.58), ponendo

xϕ = , eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ 0= ed esprimento le

caratteristiche della deformazione in funzione degli spostamenti (4.59), dall’equazione

(6.20) si perviene al seguente risultato:

30 0

cos1 0x s

R s Rβ β ϕ⎛ ⎞∂

− =⎜⎜ ∂⎝ ⎠⎟⎟ (6.21)

Quindi per il guscio conico la sesta equazione indefinita di equilibrio in termini di

spostamento non è verificata.

* * * Per ottenere la (6.21) a partire dalla (6.20), innanzitutto bisogna scrivere la (6.20) in coordinate curvilinee,

come indicato nel capitolo 4:

2

2 20 0

1 sin sin 0sR R R Rϕ

ϕ ϕ

ωϕ ϕ ω⎛ ⎞⎛

− +⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

⎞=⎟⎟

⎠

Applicando le (4.57), (4.58) e imponendo 1 0Rϕ = :

3

30

sin 0sRϕ ω− =

Esprimendo la caratteristica della deformazione in funzione degli spostamenti (4.59) si ottiene:

30 0

cos1 0x s

R s Rβ β ϕ⎛ ⎞∂

− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠=

* * *

6.2.3.2 Guscio Cilindrico Circolare

Procedendo in maniera analoga al guscio conico, imponendo, oltre alle condizioni già

introdotte dal caso precedente, la (4.68) e 2ϕ π= (quindi cos 0ϕ = ), si ottiene:

0x

sβ∂

=∂

(6.22)

Risulta quindi che anche per il guscio cilindrico circolare l’equazione in parola non è

verificata.

Tesi: N. Fantuzzi

309


6.2.3.3 Guscio di Traslazione a Singola Curvatura

Per il guscio di traslazione a singola curvatura, ponendo s y= , eliminando i termini

aventi come coefficiente 01 R = 0 ed esprimento le caratteristiche della deformazione in

funzione degli spostamenti (4.79), dall’equazione (6.20) si perviene al seguente risultato:

4

1 0y

Rϕ

βϕ

∂=

∂ (6.23)

Anche per il guscio di traslazione a singola curvatura la sesta equazione indefinita di

equilibrio in termini di spostamento non risulta verificata.

* * * Per ottenere la (6.23) a partire dalla (6.20), innanzitutto bisogna scrivere la (6.20) in coordinate curvilinee,

come indicato nel capitolo 4:

2

2 20 0

1 sin sin 0sR R R Rϕ

ϕ ϕ

ωϕ ϕ ω⎛ ⎞⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

Ponendo s y= e imponendo 01 0R = :

30

Rϕ

ϕ

ω=

Esprimendo la caratteristica della deformazione in funzione degli spostamenti (4.59) si ottiene:

4

1 0y

Rϕ

βϕ

∂=

∂

* * *

6.2.3.4 Conclusioni

In conclusione, nella teoria sviluppata in questa tesi si tiene conto dell’effetto della

curvatura “completo”, cioè si considerano sei coefficienti, dipendenti dalle curvature

(3.120), la sesta equazione non risulta verificata per nessuna geometria benché si consideri

un materiale composto da una singola lamina isotropa (6.10)-(6.15), ne scaturisce dunque

che considerando gusci in materiale anisotropo la sesta equazione non possa essere mai

verificata.

Troncando, invece, lo sviluppo in serie al secondo termine, considerando un effetto

della curvatura “non completo” (6.17) si riesce a verificare la sesta equazione per un

guscio composto da una singola lamina isotropa di geometria sferica.

Tesi: N. Fantuzzi

310


Non sono citati i gusci degeneri, poiché sono un caso particolare di guscio che non

risentono della curvatura e di conseguenza hanno i coefficienti (3.120) tutti nulli. Questo

comporta che la sesta equazione fondamentale sia sempre verificata indipendentemente dal

materiale che si sta considerando.

Tesi: N. Fantuzzi

311

Capitolo Settimo

Teoria dei Gusci di Reissner-Mindlin

INTRODUZIONE

Nel capitolo seguente verrà illustrata la teoria classica di Reissner-Mindlin. Per ottenere

questa teoria è sufficiente trascurare i coefficienti legati alla curvatura (3.120). Seguendo lo

schema delle teorie fisiche si mostrerà ogni aspetto della teoria in parola. Trascurando

l’effetto della curvatura le caratteristiche della deformazione si riducono ad 8 poiché gli

scorrimenti membranali 01γ e 0

2γ possono essere sommati e posti in un’unica forma 012γ ,

analogamente le curvature torsionali 1ω e 2ω possono essere scritte come 12χ .

Proseguendo si nota che le matrici di legame costitutivo (3.123) si riducono ad una sola

matrice , poiché le altre che sono moltiplicate nella (3.123) per i coefficienti (3.120)

vengono trascurate dalla teoria in esame. Infine, per quanto riguarda le caratteristiche della

sollecitazione (3.121) si riducono, come per le caratteristiche della deformazione, ad 8

elementi. Nella teoria di Reissner-Mindlin, in base all’ipotesi di guscio moderatamente

spesso, è lecito trascurare i termini del tipo

0P

1Rζ , 2Rζ rispetto all’unità ( 1 1Rζ ,


2 1Rζ ) e considerare, con buona approssimazione, che le azioni interne , , 12N 21N

12M , 21M siano uguali a due a due: 12 21N N= e 12 21M M= . Inoltre, gli errori che questa

assunzione introduce non sono superiori a quelli relativi alle ipotesi di base.

7.1 TEORIA DEI GUSCI MODERATAMENTE SPESSI


Le ipotesi fondamentali non cambiano rispetto a quelle mostrate nel capitolo terzo,

poiché, come è già stato illustrato, la differenza tra la teoria mostrata in questa tesi e la

teoria classica di Reisnner-Mindlin risiede solo nel termine 1Rζ , 2Rζ che nel caso in

esame viene trascurato diminuendo le incognite in gioco.


Mantenendo lo stesso modello cinematico (3.11) e seguendo gli stessi passi fatti nel

capitolo 3 per ottenere le componenti di deformazione (3.36), si scrivono le caratteristiche

di deformazione trascurando però i termini sopra indicati in questo modo si scrivono 8

caratteristiche della deformazione anziché 10, di seguito indicate:

1 1 101 2

1 1 2 2 1

1 1u A Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 202 1

2 2 1 1 2

1 1u A Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 10 2 212 1 2

1 1 2 2 2 2 1 1

1 1 1 1A uu Au uA A A A

γα α α α

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 1

1 1 1

1n

Aw u AA R 1 1γ β

α⎛ ⎞∂

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

22 2

2 2 2

1n

Aw u AA R 2 2γ β

α⎛ ⎞∂

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Tesi: N. Fantuzzi

314


111 2

1 1 2 2

1 1 AA A

βχ βα α

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 22 1

2 2 1 1

1 1 AA A

βχ βα α

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 1212 1 2

1 1 2 2 2 2 1 1

1 1 1 1A AA A A A

ββ 2χ βα α α α

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∂= − + −⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β∂⎟⎟

⎤⎦

(7.1)

Si fa notare che il vettore che contiene le caratteristiche della deformazione viene scritto

nella forma seguente:

(7.2) 0 0 01 2 12 1 2 12 1 2

T

n nε ε γ χ χ χ γ γ⎡= ⎣η

In particolare le caratteristiche deformative a taglio 1nγ e 2nγ per la teoria classica di

Reissner-Mindlin coincidono con le rispettive componenti.


Il legame elastico non cambia nelle due teorie, quindi le formule riportate nel capitolo 3

rimangono inalterate anche in questa teoria.


Analogamente a quanto già visto per la congruenza, si trova una riduzione delle

caratteristiche della sollecitazione. Avendo trascurato i parametri legati alla curvatura le

caratteristiche della sollecitazione possono essere scritte in maniera più semplice rispetto

alle (3.118) nella maniera che segue:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

011 12 161 1

02 12 22 26 2 2

1 012 12 1216 26 66

011 12 161 1

02 12 22 26 2 2

012 1216 26 66

k k k

lk k k

k k k k

k k k

k k k

k k k

Q Q QNN Q Q QN Q Q Q

Q Q QMM Q Q QM Q Q Q

κ

κ

ζ

ζ

ε ζχ1

1

dε ζχ ζγ ζχ

ε ζχε ζχγ ζχ

+

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

+

( ) ( )

( ) ( )

1

1

112

11 44 12 45 11

1 22 12 45 22 55

l

k

k kln

k kk n

d

Q QTd

T Q Q

κ

κ

κ

κ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ ζ

κ κ γζ

γκ κ

+

+

=

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫

(7.3)

Tesi: N. Fantuzzi

315


Risolvendo gli integrali nelle (7.3) si ottengono le forme esplicite delle caratteristiche

della sollecitazione. Per la teoria di Reissner-Mindlin classica sono 8, anziché 10 come

mostrano le (3.121). 0 0 0

1 11 1 12 2 16 12 11 1 12 2 16 12N A A A B B Bε ε γ χ χ= + + + + + χ

0 0 02 12 1 22 2 26 12 12 1 22 2 26 12N A A A B B Bε ε γ χ χ χ= + + + + +

0 0 012 16 1 26 2 66 12 16 1 26 2 66 12N A A A B B Bε ε γ χ χ χ= + + + + +

0 0 01 11 1 12 2 16 12 11 1 12 2 16 1M B B B D D D 2ε ε γ χ χ= + + + + + χ

2

0 0 02 12 1 22 2 26 12 12 1 22 2 26 1M B B B D D Dε ε γ χ χ= + + + + + χ

0 0 012 16 1 26 2 66 12 16 1 26 2 66 12M B B B D D Dε ε γ χ χ= + + + + + χ

1 11 44 1 12 45 2n nT A Aκ γ κ γ= +

2 22 55 2 12 45 1nT A A nκ γ κ γ= + (7.4)

Si nota come le caratteristiche della sollecitazione , , 12N 21N 12M , 21M mostrate dalle

(3.121) siano uguali a due a due trascurando i coefficienti legati alla curvatura (3.120).

Le (7.4) scritte in forma matriciale le diventano:

11 12 16 11 12 161

12 22 26 12 22 262

16 26 66 16 26 6612

11 12 16 11 12 161

12 22 26 12 22 262

16 26 66 16 26 6612

11 44 12 451

12 45 22 52

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

A A A B B BNA A A B B BNA A A B B BNB B B D D DMB B B D D DMB B B D D DM

A ATA AT

κ κκ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0102012

1

2

12

1

5 2

n

n

εεγχχχγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.5)

In forma matriciale compatta la (7.5) può essere scritta come:

( ) ( )01 2 1 2, ,α α α=S P η α (7.6)

Si nota, rispetto alla (3.122) che la matrice di legame coincide in questo caso con la

prima delle matrici che formano la sommatoria (3.123), poiché tutti i coefficienti legati alla

curvatura sono nulli. Tale matrice in parole è una matrice costante come mostra

l’uguaglianza che segue:

0P

( )1 2,α α = 0P P (7.7)

Questo comporta che le rigidezze che esprimono il legame costitutivo del materiale

siano solamente tre: la matrice di rigidezza membranale A , matrice di rigidezza flessionale

Tesi: N. Fantuzzi

316

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo D e matrice di rigidezza d’accoppiamento flesso-membranale B.

7.1.5 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

Ricordando che e 12 21N N= 12 21M M= , le equazioni indefinite di equilibrio (3.167)

assumono la seguente forma:

1 21 12 1 2 112 1 0 1 1 1

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1

2 112 2 2 1 212 2 0 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2

2 11 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1

1 1 2

1 1 2

1 1

A AN N N N TN qA A A A A A R


A AT T T T N NA A A A A A R R

βα α α α

βα α α α

α α α α

I u I

I u I

∂ ∂∂ ∂ −+ + + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ −+ + + + + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ + + − −

∂ ∂ ∂ ∂ 02

1 21 12 1 212 1 1 1 1 2 1

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 112 2 2 112 2 2 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2

1 1 2

nq I w

A AM M M MM T mA A A A A A

A AM M M M

I u I

M T m I u IA A A A A A

βα α α α

βα α α α

+ =

∂ ∂∂ ∂ −+ + + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ −+ + + − + = +

∂ ∂ ∂ ∂

(7.8)

Le equazioni (7.8) si possono scrivere in forma matriciale:

2 1

1 1 1 2 1 1 2 2 1

2 1

1 2 1 2 2 1 2 2 2

1 2

2 2 1 2 2 1 1 1 2 1

2 1

1 1 1 2 1 1 2 2

2 1

1 2 1 2 2 1 2 2

2 2 1 2

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0

1 2 1 2 0 0 0

1 1 10 0 0

1 1 10 0 0

1 20 0 0

A AA A A A A R

A AA A A A A R

A AA A A A A A

A AA A A A A

A AA A A A A

A A A

α α α

α α α

α α α α

α α α

α α α

α

∂ ∂∂+ − −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂− + −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+ −

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂− +

∂ ∂ ∂

∂∂+

∂

1

21

122

1

21

122

11 2

22 1 1 1 2 1

2

1 1 1 1 2 1

1

2 2 2 1 2 2

1 2

1 1 10 1 0

1 1 10 0 1

T

n

NN

qN

qM

qM

mM

mTA ATA A A

AR A A A

AR A A A

α α α

α α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∂

+ −⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂∂⎢ ⎥+ −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

10 1

20 1

0

1 2

1 2 2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

uI IuI IwI

I II I

1β

β

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.9)

7.1.6 EQUAZIONI FONDAMENTALI

Si possono ottenere le equazioni fondamentali seguendo due strade: la prima è quella di

considerare le equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento per la teoria

mostrata nel capitolo 3 (3.195)-(3.199) ed eliminare i coefficienti legati alla curvatura

Tesi: N. Fantuzzi

317

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo (3.120); altrimenti è possibile ricavare le equazioni in parola seguendo lo schema delle

teorie fisiche sostituendo la congruenza nel legame, il risultato nell’equilibrio ed ottenere

le equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento per un guscio in coordinate

generiche in materiale anisotropo.

Di seguito vengono mostrate le equazioni forma estesa:


2 266 66 6611 11 1 11 2 2 1

2 2 3 2 2 2 3 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

A A AA A A A A A AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ α

⎞ ∂⎟⎠

216 1 2 1 2 2 1

12 16 26 663 31 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2

2 1 1A A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2 2 226 1 2 1 2 2 1

16 12 26 662 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2

2 1 1A A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + −⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

2 2

6622 2 1 4411 12 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1

AA A A A uA A A A R

κα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

2 216 16 26 66 261 11 1 2 12 2 3 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2

A A A A AA A A A AA A A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + +⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ α

∂+

26 262 1 2 22 2 116 663 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

21A AA A A A A AA AA A A A A A Aα α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + +⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ α

⎞ ∂⎟ ∂⎠

2 2212 66 1 1 2 1 2

11 16 11 163 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1A A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 1 2 2 1 12 1

16 66 66 163 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2

A A A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2

26 16 66 452 1 1 212 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2

A A A AA A A A uA A A A A A R R

κα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

26 16 4511 12 44 11 111 12 2

1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1

A A AA A A A RA R A R A R A R A R A R A R

κ κα α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + + + + + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

( ) ( )11 12 12 2216 26 1612 2 1 2 2 2 12 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

2A A A AA A AA R R R A A AA R A R A R R A A R A A R A Aα α α α α

− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂α+

26 1

2 1 2 2

2A A wR A A α

⎞∂+ +⎟∂ ⎠

Tesi: N. Fantuzzi

318


2 266 66 6611 11 1 11 2 2 1

2 2 3 2 2 2 3 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

B B BB B A B A A AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

2 2216 1 2 1 1 2

12 16 16 123 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1

2 1 1B A A A A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

22 22 2 1 2 1 22 2

26 66 26 663 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1A A A A A B AB B B BA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

26 661 2 1 4411 12 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

2B BA A A AA A A A R

κ βα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

2 216 16 26 66 261 11 1 2 12 2 3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2

B B B B BA B A A AA A A A A A A A Aα α α α α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ α

∂+

26 262 1 2 22 2 116 663 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

21B BA A A B A AB BA A A A A A Aα α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + +⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ α

⎞ ∂⎟ ∂⎠

2 2212 66 1 1 2 1 2

11 16 11 163 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1B B A A A A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 1 2 2 1

16 66 66 163 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2

1 1A A A A AB B B BA A A Aα α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 2

26 16 66 4512 1 2 2 1 1 212 22 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1

B B B AB A A A A A AA A A A A A A A R

κ βα α α α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

1

1 0 1 1q I u I β+ = + (7.10)


216 16 161 11 1 2 1 2

66 262 2 3 2 2 21 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1

2 1A A AA A A A A AA AA A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ − − + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎝ ⎠ α

⎞⎟⎠

2 226 26 66 16 12 662 2 22 2 12 2 3 2 2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ α

⎛ ⎞ ∂+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 2 1 1 2

26 66 66 263 21 2 1 1 2 1 2 1 2 1

1 1A A A A AA A A AA A A Aα α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 2 1 2 1 12 1

22 26 22 263 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2

A A A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

319


2 2

26 16 66 452 1 1 212 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2

A A A AA A A A uA A A A A A R R

κα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

2 266 66 661 2 22 22 2 22 12 2 3 2 2 2 3 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

A A AA A A A A A AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

2 2226 1 1 2 1 2

16 66 16 663 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

2 1 1A A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

22 2662 1 2 2 1 2

12 26 26 123 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 AA A A A A AA A A AA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

16 551 2 11 122 22 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 2

2A AA A A A uA A A A R

κα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

16 26 45 55 1622 12 112 22 2

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1

A A A A AA A RA R A R A R A R A R A R A R

κ κα α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + + + + + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

( )12 1126 16 262 12 1 22 2 2 2 12 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

2 2 A AA A AR A R A R A A AA R A R A R R A A R A A R A Aα α α α α

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α+

∂

( )22 12 1

2 1 2 2

A A A wR A A α

− ⎞∂+ +⎟∂ ⎠

216 16 161 2 1 2 11 1

26 662 2 3 2 2 21 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

21B B BA A A A B AB BA A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + −⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠⎝ α

⎞+⎟

⎠

2 226 26 66 16 12 662 22 2 2 12 2 3 2 2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

B B B B B BA B A A AA A A A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ α

⎛ ⎞ ∂+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 2 1 1 2

26 66 66 263 21 2 1 1 2 1 2 1 2 1


⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 2 1 2 1 12 1

22 26 22 263 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2

A A A A A B A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2

26 16 66 452 1 1 212 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2

B B B AA A A AA A A A A A R

κ βα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

2 266 66 661 2 22 22 2 22 12 2 3 2 2 2 3 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

B B BA A B B A B AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ α

⎞ ∂+⎟

⎠

2 2226 1 1 2 1 2

16 66 16 663 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

Tesi: N. Fantuzzi

320


22 2662 1 2 2 1 2

12 26 26 123 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 BA A A A A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

16 551 2 11 122 2 2 0 2 1 22 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 2

2B AA A B A q I u IA A A A R

κ β βα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − + + =⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+ (7.11)


45 16 2644 11 12 44 111 12 11 2

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1

A A AA A A A RA R A R A R A R A R A R A R

κ κ κα α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂− − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

45 45 161 44 2 1 22 212 11 122

2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

1A A 1AR A A A A A AA R A A R A A R A A R R

κ κ κα α α α

⎛∂ ∂ ∂ ∂+ − − + − +⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ α

∂+

∂

2612 2 11

1 1 2 2

AA A A uR Rα α

⎞⎞∂ ∂− + ⎟⎟⎟∂ ∂ ⎠⎠

+

45 16 26 55 5512 22 212 22 22 2

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

A A A A AA A RA R A R A R A R A R A R A R

κ κα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ − − − + − − − + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

κα∂

45 55 45 262 1 2 2 112 22 122

1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1A A A A 1 1R A A A AA R A A R A A R A A R R

κ κ κα α α α

⎛∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + −⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝

Aα∂

+∂

16 2 12 12

1 1 2 2

A A A A uR Rα α

⎞⎞∂ ∂+ − ⎟⎟⎟∂ ∂ ⎠⎠

+

2 255 5544 44 1 44 2 2

11 11 11 22 222 2 3 2 2 2 31 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2

A AA A A A AA A A A A A

κ κ κ κ κα α α α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝

Aα∂

+∂

255 451 11

22 122 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2A AA A A wA A A A R R R R

κ κα α α α

⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − −⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ ⎠

22 122

A+

45 16 26 4544 11 12 111 12 12

1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2

A B B AA B B AA A R A R A A R A R A A

κ κ κα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ α

+∂

16 2644 2 22 2 1 12 2 111 1

1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

1 B BA A B A A B A AA A A A R R R R

κ βα α α α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + − + ⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

+

45 16 26 55 5512 22 112 22 22

1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2

A B B A AB B AA A R A R A A R A R A A

κ κ κα α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ α

+∂

45 26 162 2 11 1 2 12 112 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

1n

A B BA A B A A B A q I wA A A A R R R R

κ βα α α α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + − +⎟⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠

0= (7.12)

Tesi: N. Fantuzzi

321



2 266 66 6611 11 1 11 2 2 1

2 2 3 2 2 2 3 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

B B BB B A B A A AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ − + + + − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ α

⎞ ∂⎟⎠

2 2216 1 2 1 1 2

12 16 16 123 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1


⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝

2 +

22 22 2 1 2 1 22 2

26 66 26 663 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1A A A A A B AB B B BA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

26 661 2 1 4411 12 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

2B BA A A A uA A A A R

κα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

2 216 16 26 66 261 11 1 2 12 2 3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2

B B B B BA B A A AA A A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ α

∂+

26 262 1 2 22 2 116 663 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

21B BA A A B A AB BA A A A A A Aα α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + +⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ α

⎞ ∂⎟ ∂⎠

2 2212 66 1 1 2 1 2

11 16 11 163 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1B B A A A A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 1 2 2 1 12 1

16 66 66 163 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2


⎛⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜⎜ ⎟ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠⎝

+

2 2

26 16 66 452 1 1 212 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2

B B B AA A A A uA A A A A A R

κα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

26 16 4511 12 44 11 111 12 2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1

B B AB B A B RA R A R A A R A R A A R

κ κα α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + − + + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

( ) ( )11 12 12 2226 162 2 1 12 22 2

2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

2B B B BB B 2R A A B RA R R A A R A A A R R A A

Aα α α α

− −∂ ∂ ∂ ∂− + + − +

∂ ∂ ∂ ∂ α∂

+∂

16 261 12

2 1 2 2 1 2 2

2B BR A wA R R A Aα α

⎞∂ ∂− + ⎟∂ ∂ ⎠

+

2 266 66 6611 11 1 11 2 2 1

2 2 3 2 2 2 3 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

D D DD D A D A A AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ α

⎞ ∂+⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

322


2 2216 1 2 1 1 2

12 16 16 123 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1

2 1 1D A A A A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

22 22 2 1 2 1 22 2

26 66 26 663 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1A A A A A D AD D D DA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

26 661 2 111 44 12 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2

2D DA A A AA A A A

κ βα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − −⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

2 216 16 26 66 261 11 1 2 12 2 3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2

D D D D DA D A A AA A A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ α

∂+

26 262 1 2 22 2 116 663 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

21D DA A A D A AD DA A A A A A Aα α α α α

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + +⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ α

⎞ ∂⎟ ∂⎠

2 2212 66 1 1 2 1 2

11 16 11 163 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1D D A A A A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 1 2 2 1 12 1

16 66 66 163 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2

A A A A A D A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α

+

2 2

26 16 662 1 1 212 45 2 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

D D DA A A A A m I u IA A A A A A

κ β βα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+ (7.13)


216 16 161 11 1 2 1 2

66 262 2 3 2 2 21 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1

2 1B B BA B A A A AB BA A A A A A A Aα α α α α α

⎞⎛ ⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ − − + + − + +⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝ ⎠⎠ α

2 226 26 66 16 12 662 2 22 2 12 2 3 2 2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

B B B B B BA A B A AA A A A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ α

⎛ ⎞ ∂+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 2 1 2 1

26 66 26 663 2 21 2 1 1 2 1 2 1 1 2


⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞+⎟⎠

2 22 2 1 1 2 12 1

22 26 26 223 2 21 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

1 1 22 2


⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2

26 16 66 452 1 1 212 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1

B B B AA A A A uA A A A A A R

κα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

2 266 66 661 2 22 22 2 22 12 2 3 2 2 2 3 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

B B BA A B B A B AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ α

⎞ ∂+⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

323


2 2226 1 1 2 1 2

16 66 16 663 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

22 2662 1 2 2 1 2

12 26 26 123 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 BA A A A A AB B B BA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

16 551 2 11 122 22 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 2

2B AA A B A uA A A A R

κα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − +⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠+

16 26 45 55 1622 12 1 12 112 22 2 2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2

B B A A BB B RA R A R A A R A R A A R A R

κ κα α α

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂+ + − + + − − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

B Rα

+∂

( ) ( )12 11 22 1216 26 2622 2 2 2 1 2 12 2

2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2 B B B BB B BB R A A A R A wA R R A A R A A R A A A R R A Aα α α α α α

− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎠

⎞+

216 16 161 2 1 2 11 1

26 662 2 3 2 2 21 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

21D D DA A A A D AD DA A A A A A A Aα α α α α α

⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + − + −⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ α

+

2 226 26 66 16 12 662 22 2 2 12 2 3 2 2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

D D D D D DA D A A AA A A A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ α

⎛ ⎞ ∂+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 2 1 1 2

26 66 66 263 21 2 1 1 2 1 2 1 2 1

1 1A A A A AD D D DA A A Aα α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2

⎞+⎟⎠

2 22 2 1 2 1 12 1

22 26 22 263 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 22 2

A A A A A D A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2

26 16 662 1 1 212 45 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

D D DA A A A AA A A A A A

κ βα α α α

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎟+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠+

2 266 66 661 2 22 22 2 22 12 2 3 2 2 2 3 2

1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2

D D DA A D D A D AA A A A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α

∂+

2 2226 1 1 2 1 2

16 66 16 663 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

2 1 1D A A A A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 +

22 2662 1 2 2 1 2

12 26 26 123 2 21 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 DA A A A A AD D D DA A A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 2

⎞+⎟

⎠

2

16 1 2 11 122 55 2 2 1 2 2 22 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2

2D A A D A A m I u IA A A A

κ βα α α

⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟+ − − + =⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎠β+ (7.14)

7.1.7 SPECIALIZZAZIONE DEI RISULTATI PER GUSCI DI RIVOLUZIONE

Tesi: N. Fantuzzi

324


Analogamente a quanto fatto nel capitolo 3, vengono ora mostrate le grandezze

calcolate sin ora per un guscio di rivoluzione. Facendo uso delle (3.206), (3.207) si

ottengono prima le caratteristiche della deformazione, successivamente le caratteristiche

della deformazione ed infine le equazioni fondamentali per un guscio di rivoluzione

generico costituito da materiale anisotropo.

7.1.7.1 Equazioni di congruenza

Come già introdotto nel paragrafo precedente, partendo dalle (7.1) e facendo uso delle

(3.206) e (3.207) si ottiene:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0

1 cos sinu u wR

ϑϑ ϕε ϕ ϕ

ϑ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0

1 1 cosuu u

R Rϕϑ

ϕϑ ϑϕ

γ ϕϕ ϑ

∂⎛ ⎞∂= + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

0

1 cosR

ϑϑ ϕ

βχ β ϕϑ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

1 1 cosR R

ϕϑϕϑ ϑ

ϕ

ββχ β ϕϕ ϑ

∂⎛ ⎞∂= + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1n

w uRϕ ϕ ϕϕ

γ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

1 sinnw u

Rϑ ϑ ϑγ ϕ βϑ∂⎛ ⎞= −⎜ ∂⎝ ⎠

+⎟ (7.15)


Tesi: N. Fantuzzi

325


0 0 0

0

00 0

0

0 0

0 0

0 0

1 10 0 0

cos 1 sin 0 0

1 1 cos 0 0 0

10 0 0 0

cos 10 0 0

1 1 cos0 0 0

1 10 1 0

sin 10 0

n

n

R R

R R R

R R R

R

R R

R R R

R R

R R

ϕ ϕ

ϕ

ϕϑ

ϕϑ

ϕϕ

ϑ

ϕϑ

ϕ

ϕϑ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕϑ

ϕεϑ ϕε

γϕχϕχ

ϑχγ ϕ

ϑ ϕγ

ϕ

ϕϑ

∂⎡⎢ ∂⎢⎢ ∂⎢ ∂⎢⎢ ∂ ∂⎡ ⎤ −⎢⎢ ⎥ ∂ ∂⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ∂⎢⎢ ⎥ ∂⎢⎢ ⎥ = ⎢⎢ ⎥ ∂⎢⎢ ⎥ ⎢ ∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ∂ ∂⎢⎢ ⎥ −⎢ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢

∂−

∂

∂−

∂⎣

uuw

ϕ

ϑ

1

ϕ

ϑ

ββ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡ ⎤⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(7.16)

7.1.7.2 Equazioni di legame



11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 44 12 45

12 45 22 5

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0


A ATA AT

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϕ

ϑ

κ κκ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

5

n

n

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϕ

ϑ

ϕϑ

ϕ

ϑ

εεγχχχγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.17)

7.1.7.3 Equazioni indefinite di equilibrio

Ricordando le relazioni geometriche(3.206), (3.207), l’indipendenza da ϑ dei raggi di



Tesi: N. Fantuzzi

326


( )

( )

0 10 0

0 10 0 0

00 0 0

10 0

1 1 cos

1 1 cos sin2

1 1 cos sin

1 1 cos

n

N N TN N q I u I

R R R R

N N N T q I u IR R R R

T NT T N q I wR R R R R

M MM M T m I u

R R R

ϕ ϕϑ ϕϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϑ ϑϕϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϕ

ϕ ϕϑϕ ϑ

ϕ ϕ

ϕ ϕϑϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ βϕ ϑ

ϕ ϕ βϕ ϑ

ϕ ϕϕ ϑ

ϕϕ ϑ

∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + =

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂ 2

1 20 0

1 1 cos2

I

M M M T m I u IR R R

ϕ

ϕϑ ϑϕϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϕ

β

ϕ βϕ ϑ

∂ ∂+ + − + = +

∂ ∂

(7.18)


0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

0 0

1 cos 10 0 0

cos 1 sin 0 0

1 1 cos2 0 0 0

1 cos0 0 0 0

cos 10 0 0

1 1 cos0 0 0 2

1 1 cos0 1 0

sin 10 0 1

R R R

R R R

R R R

R R

R R

R R R

R R R

R R

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϑ

ϕϑ ϕ

ϕϕ

ϕϑ

ϕϑ ϕ

ϕϕ

ϕϑ

∂⎡ ⎤+ −⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂

− −⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥+∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂⎢ ⎥+⎢ ⎥∂⎢ ⎥

∂⎢ ⎥−⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ∂ ∂

+⎢ ∂ ∂⎢⎢ ∂

+ −⎢∂⎢

⎢ ∂⎢ −⎢ ∂⎣ ⎦

0 1

0 1

0

1 2

1 2

0 0 00 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0

T

n

NN

q uI IN

q uI IM

q wIM

m I IM

m I ITT

ϕ

ϑϕ ϕ

ϕϑϑ ϑ

ϕ

ϑϕ ϕ

ϕϑϑ ϑ

ϕ

ϑ

ββ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎤

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

(7.19)

7.1.7.4 Equazioni fondamentali

Si possono ottenere le equazioni fondamentali seguendo due strade: la prima è quella di

considerare le equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento per la teoria

mostrata nel capitolo 3 (3.213)-(3.217) ed eliminare i coefficienti legati alla curvatura

(3.120); altrimenti è possibile ricavare le equazioni in parola seguendo lo schema delle

teorie fisiche sostituendo la congruenza nel legame, il risultato nell’equilibrio ed ottenere

le equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento per un guscio in coordinate

generiche in materiale anisotropo.

Di seguito vengono mostrate le equazioni forma estesa:

Tesi: N. Fantuzzi

327


(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ϕα :

2 266 1611 11

11 122 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinR A AA A A AR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϑ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2 216 1644

22 11 262 2 2 2 30 0

cos cosRA AAA u AR R R R R R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκϕ ϕ ϕ

⎞ ⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂− − + + − −⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟∂ ∂⎠ ⎝ ⎝ ⎠

+∂

( )2 2

26 12 6666 22 16 262 2 2 2

0 0 0 0 0

cos sin cosA A AA A A AR R R R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕϑ ϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞+∂ ∂ ∂+ − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2ϕ+

16 4511 4412 45 12 11 26 122 2 2

0 0 0 0

sin sin sin A AA AA u A AR R R R R R R R R R Rϑϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ κ0

κϕ ϑ

⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + + + + + +⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+

( ) ( )1112 11 12 12 223 2 2

0 0 0 0

cos sin cos cos cos sinRA A A A A A wR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ⎞− + − + + − + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟∂ ⎠⎝ ⎠

+

2 266 1611 11

11 122 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinR B BB B B BR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

244

22 1120

cos ABR R ϕ

ϕ

ϕ κ β⎞

− + ⎟⎟⎠

+

( )2 2

16 16 2626 66 222 2 3 2 2 2

0 0 0

cos cosRB B BB BR R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ Bϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ϑ

∂+

∂

2 212 66 45

16 26 12 0 120 0 0

sin cosB B AB B q I uR R R R R R

Iϑ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕκ β

ϕ ϑ⎛ ⎞ ⎞+ ∂

+ + + + + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠β+ (7.20)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata ϑα :

( )2 2

16 16 2616 26 66 222 2 3 2 2 2

0 0 0 0

2cos cos cosRA A AA A A AR R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ϑ

∂∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0 0

sin cos sinA A A A AR R R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + − + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

u +

2 266 66 2622

66 662 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinRA A AAA AR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2

+

2 2

66 22 552 20 0

cos sinA A uR R ϑϕ ϕκ

⎞− − ⎟

⎠+

Tesi: N. Fantuzzi

328


16 1226 12 45 22 22 552 2

0 0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κ 2ϕ ϑ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

+⎟⎟⎠

1626 16 263 2 2

0 0 0 0

cos sin cos 2cos 2cos sinRA A A AR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ⎞− + − + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟∂ ⎠⎝ ⎠

w+

( )2 2

16 16 2626 16 22 662 2 3 2 2 2

0 0 0 0

cos 2cos cosRB B BB B B BR R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ϑ

∂+

∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0 0

sin cos sinB B B B AR R R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

2 266 66 2622

66 662 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinRB B BBB BR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

66 22 55 0 120 0

cos sinB A q I u IR R ϑ ϑ ϑϕ ϕκ β

⎞− + + = +⎟

⎠ϑβ (7.21)


45 1644 11 4411 12 12 26 112 2 2 3

0 0 0 0

sin sin RA AA A AA AR R R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κ κϕ ϑ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂− − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

11 44 12 2220 0 0

cos cos cos sinA A AR R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ⎞

− − − ⎟⎠u +

16 1212 45 26 22 55 222 2

0 0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κ 2ϕ ϑ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎟⎟⎠

12 12 45 12 45 16 262 20 0 0 0 0

cos sin cos cos sin cos cos sin2A A A A

R R R R R R R ϑϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕκ κ κ⎛ ⎞

+ − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

u⎞

+⎟⎟⎠

2 2 24544 44 22

11 11 11 44 55 122 2 3 2 20 0 0

2cosR AA A A AR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κϕκ κ κ κϕ ϕ ϕ ϑ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ϕ ϑ

∂+

∂

211

12 222 20 0

2sin sinAA A wR R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ⎞− − − ⎟⎟

⎠+

45 1644 1111 12 12 26 11 442 2

0 0 0 0

sin sin cosA BA B B BR R R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ ϑ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

12 2220 0

cos cos sinB BR R R ϕϕ

ϕ ϕ ϕ β⎞

− − ⎟⎟⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

329


45 16 55 1212 26 22 22 12 452 2

0 0 0 0

sin sin cosA B A BB BR R R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ ϑ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

16 26 020 0

cos cos sinnB B q I

R R R ϑϕ

ϕ ϕ ϕ β⎞

+ + + =⎟⎟⎠

w (7.22)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata ϑα :

2 266 1611 11

11 122 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinR B BB B B BR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

244

22 1120

cos AB uR R ϕ

ϕ

ϕ κ⎞

− + ⎟⎟⎠

+

( )2 2

16 16 2626 66 222 2 3 2 2 2

0 0 0

cos cosRB B BB BR R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ Bϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ϑ

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 4520 0 0 0

sin cos sinB B B B AR R R R R R ϑϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

u +

1611 44 12 1112 11 26 452 2

0 0 0 0

sin sin3

RBB A BB B AR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

κϕ ϕκϕ ϑ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + − + + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

( ) ( )12 11 12 12 222 20 0 0 0

cos sin cos cos cos sinB B B B B wR R R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + − + − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

2 266 1611 11

11 122 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinR D DD D D DR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

22 11 4420

cos D AR ϕϕ κ β

⎞− − ⎟

⎠+

( )2 2

16 16 2626 66 222 2 3 2 2 2

0 0 0

cos cosRD D DD DR R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ Dϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ϑ

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 45 1 220 0 0

sin cosD D D D A m I uR R R R R

Iϑ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕκ β

ϕ ϑ⎛ ⎞ ⎞+ ∂

+ + + − + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠β+ (7.23)

(e) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata ϕα :

( )2 2

16 16 2616 26 66 222 2 3 2 2 2

0 0 0 0

2cos cos cosRB B BB B B BR R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ϑ

∂∂

Tesi: N. Fantuzzi

330


2 212 66 45

26 26 1220 0 0

sin cosB B AB B uR R R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ ϑ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠ϕ

+

2 266 66 2622

66 662 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinRB B BBB BR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

66 22 5520 0

cos sinB A uR R ϑϕ ϕκ

⎞− + ⎟

⎠+

16 45 55 161226 12 22 222 2

0 0 0 0

sin sin RB A A BBB BR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κ 3ϕ ϑ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + − + + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

26 16 262 20 0 0 0

cos sin cos 2cos 2cos sinB B BR R R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

w

2 216 16 26

26 162 2 3 2 20 0 0

cos 2cosRD D DD DR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂+ + − + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ϑ

∂+

( )2 2

12 6622 66 26 26 12 452 2

0 0 0 0

cos sin cosD DD D D D AR R R R R R ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞⎛ ⎞ +∂ ∂+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ϕ ⎞+⎟

⎠

2 266 66 2622

66 662 2 3 2 20 0 0 0

2cos sinRD D DDD DR R R R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ


⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2

+

2

66 22 55 1 220

cos D A m I u IR ϑ ϑ ϑϕ κ β

⎞− − + = +⎟

⎠ϑβ (7.24)

7.1.8 PRINCIPALI STRUTTURE A GUSCIO

Analogamente a quanto è stato fatto nel capitolo 4 si mostrano di seguito le equazioni

governanti le principali strutture a guscio in materiale anisotropo considerando la teoria

classica di Reissner-Mindlin.

7.1.8.1 Gusci di Rivoluzione a Doppia Curvatura



L’ascissa curvilinea lungo il parallelo della superficie risulta definita dalla relazione sϑ = s

Tesi: N. Fantuzzi

331


(4.1) dove ( )0R ϕ è il raggio di parallelo ed è funzione della quota del parallelo, quindi del


rivoluzione.



0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0 0

cos sinss

uu ws R R

ϕ ϕ ϕε ∂= + +∂

0

0

cos1 s ss

uu uR s R

ϕϕ

ϕ

ϕγϕ

∂∂= + −

∂ ∂

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

0

cosss s R

ϕβ ϕβχ ∂= +

∂

0

cos1 s ss R s R

ϕϕ

ϕ

ββ β ϕχϕ

∂∂= + −

∂ ∂

1n

w uRϕ ϕ ϕϕ

γ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

sinssn

uws R s

ϕγ β∂= − +∂

(7.25)


posizione sϑ = , si ricava la seguente forma matriciale:

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 44 12 45

12 45 22 5

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

s

s

s

s

s


A ATA AT

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ κ κκ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

5

s

s

s

s

n

sn

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

εεγχχχγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.26)



Tesi: N. Fantuzzi

332

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo seguenti relazioni:

( )

( )

0 10

0 10 0

00 0

1 20

1 cos

1 cos sin2

1 cos sin

1 cos

1

ss

s ss s s s s

ss n

ss

N N TN N q I u I

R s R R

N N N T q I u IR s R R

T NT T N q I wR s R R R

M MM M T m I u I

R s R

MR

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

βϕ

ϕ ϕ βϕ

ϕ ϕϕ

ϕ βϕ

∂ ∂+ + − + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + =

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂

∂1 2

0

cos2s ss s s s s

M M T m I u Is Rϕ

ϕ βϕ

∂+ + − + = +

∂ ∂

(7.27)

Infine, anche le equazioni fondamentali (7.20)-(7.24) possono essere riscritte per un

guscio di rivoluzione in forma estesa. Ponendo sϑ = e introducendo la relazione (4.1) si

ha:


2 21611 11

11 66 122 2 3 20 0

2cos sinR AA A A A AR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

244

22 112 20

cos AA uR R ϕ

ϕ

ϕ κ⎞

− − ⎟⎟⎠

+

( )2 2

16 1626 26 66 222 2 3 2

0 0

cos cosRA A A A A AR R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + − − + − +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 4520 0 0

sin cos sins

A A A A AR s R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

u +

16 4511 4412 11 26 122 2

0 0

sin sin A AA AA AR R R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

( ) ( )1112 11 12 12 223 2 2

0 0 0 0

cos sin cos cos cos sinRA A A A A A wR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ⎞− + − + + − + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟∂ ⎠⎝ ⎠

+

2 21611 11

11 66 122 2 3 20 0

2cos sinR BB B B B BR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

244

22 1120

cos ABR R ϕ

ϕ

ϕ κ β⎞

− + ⎟⎟⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

333


( )2 2

16 1626 26 66 222 2 3 2

0 0

cos cosRB B B B B BR R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ s

∂+

∂

2 212 66 45

16 26 12 0 120 0

sin coss

B B AB B q I uR s R R R R

Iϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

β+ (7.28)


( )2 2

16 1616 26 26 66 222 2 3 2

0 0 0

2cos cos cosRA A A A A A AR R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ s

∂∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0

sin cos sinA A A A AR s R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

u +

2 266 66 26

66 22 662 2 3 20 0

2cos sinRA A AA A AR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2

+

2 2

66 22 552 20 0

cos sinsA A u

R Rϕ ϕκ

⎞− − ⎟

⎠+

16 1226 12 45 22 22 552

0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

1626 16 263 2 2

0 0 0 0

cos sin cos 2cos 2cos sinRA A A AR R R R R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ⎞− + − + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟∂ ⎠⎝ ⎠

w+

( )2 2

16 1626 16 26 22 662 2 3 2

0 0 0

cos 2cos cosRB B B B B B BR R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0

sin cos sinB B B B AR s R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

2 266 66 26

66 22 662 2 3 20 0

2cos sinRB B BB B BR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

66 22 55 0 120 0

cos sins s s sB A q I u I

R Rϕ ϕκ β

⎞− + + = +⎟

⎠β (7.29)


45 1644 11 4411 12 12 26 112 2 3

0 0

sin sin RA AA A AA AR R R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂− − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

Tesi: N. Fantuzzi

334


11 44 12 2220 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕκ⎞

− − − ⎟⎠u +

16 1212 45 26 22 55 222

0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛

s⎞∂ ∂

+ − − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

12 12 45 12 45 16 262 20 0 0 0 0

cos sin cos cos sin cos cos sins2A A A A

R R R R R R Rϕ ϕ


+ − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

u⎞

+⎟⎟⎠

2 2 24544 44

11 11 11 44 22 55 122 2 3 20

2cosR AA A A AR R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕκ κ κ κ κϕ ϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + − + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ sϕ

∂+

∂ ∂

211

12 222 20 0


ϕ ϕ ⎞− − − ⎟⎟

⎠+

1644 1111 12 12 45 26 11 442

0 0

sin sin cosBA B B A BR R R R R R s Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

12 2220 0


ϕ ϕ ϕ β⎞

− − ⎟⎟⎠

+

45 16 1212 26 22 55 22 12 452

0 0

sin sin cosA B BB A BR R R R R R s Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

16 26 020 0

cos cos sins nB B q I

R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ β⎞

+ + + =⎟⎟⎠

w (7.30)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s2 2

1611 1111 66 122 2 3 2

0 0

2cos sinR BB B B B BR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

244

22 1120

cos AB uR R ϕ

ϕ

ϕ κ⎞

− + ⎟⎟⎠

+

( )2 2

16 1626 26 66 222 2 3 2

0 0

cos cosRB B B B B BR R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ s

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 4520 0 0

sin cos sins

B B B B AR s R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

u +

Tesi: N. Fantuzzi

335


1611 44 1112 11 26 12 452 3

0 0

sin sin RBB A BB B AR R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + − + + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

( ) ( )12 11 12 12 222 20 0 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + − + − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

2 21611 11

11 66 122 2 3 20 0

2cos sinR DD D D D DR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

22 11 4420

cos D AR ϕϕ κ β

⎞− − ⎟

⎠+

( )2 2

16 1626 26 66 222 2 3 2

0 0

cos cosRD D D D D DR R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 45 1 220 0

sin coss

D D D D A m I uR s R R R

Iϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + − + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

β+ (7.31)


( )2 2

16 1616 26 26 66 222 2 3 2

0 0 0

2cos cos cosRB B B B B B BR R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ s

∂∂

2 212 66 45

26 26 1220 0

sin cosB B AB B uR s R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

2 266 66 26

66 22 662 2 3 20 0

2cos sinRB B BB B BR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

+

2

66 22 5520 0

cos sinsB A u

R Rϕ ϕκ

⎞− + ⎟

⎠+

16 45 161226 12 22 22 552 3

0 0

sin sin RB A BBB B AR R R R R R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + − + + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

+∂

26 16 262 20 0 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

w

2 216 16

26 16 262 2 3 20 0

cos 2cosRD D D D DR R R R R R s

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂+ + − + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

( )2 2

12 6622 66 26 26 12 452

0 0 0

cos sin cosD DD D D D AR s R s R R R ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ +∂ ∂+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

336


2 266 66 26

66 22 662 2 3 20 0

2cos sinRD D DD D DR R R R s R s R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2

+

2

66 22 55 1 220

coss s sD A m I u I

Rϕ κ β

⎞− − + = +⎟

⎠sβ (7.32)


e ( )0R ϕ . Le formule, che definiscono i raggi di curvatura per le principali tipologie

strutturali, sono riportate nel capitolo 4 e non cambiano nel passaggio dalla teoria studiata

in questa tesi rispetto alla teoria di Reissner-Mindlin, poiché sia la curvatura di merdiano

sia la curvatura di parallelo sono definite sulla base di caratteristiche geometriche del

guscio di rivoluzione e non sono legate alla teoria ingegneristica in uso.

7.1.8.1.1 Guscio a Meridiano Circolare o Guscio Sferico




un guscio a meridiano ellittico o circolare.

In particolare, vista l’indipendenza di Rϕ rispetto a ϕ , per un guscio a meridiano

circolare le equazioni fondamentali assumono il seguente aspetto:


2 2 21611

11 66 122 2 20 0

2cos sinAA A A AR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

244

22 112 20

cos AA uR R ϕ

ϕ

ϕ κ⎞

− − ⎟⎟⎠

+

( )2 2

1626 26 66 222 2 2

0 0

cos cosA A A A AR R R s R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + − +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 4520 0 0

sin cos sins

A A A A AR s R R R R Rϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

u +

16 4511 4412 11 26 122 2

0 0

sin sin A AA AA AR R R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

Tesi: N. Fantuzzi

337


( ) ( )12 11 12 12 222 20 0 0 0

cos sin cos cos cos sinA A A A A wR R R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + − + − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

2 2 21611

11 66 122 2 20 0

2cos sinBB B B BR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

244

22 1120

cos ABR R ϕ

ϕ

ϕ κ β⎞

− + ⎟⎟⎠

+

( )2 2

1626 26 66 222 2 2

0 0

cos cosB B B B BR R R s R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66 45

16 26 12 0 120 0

sin coss

B B AB B q I uR s R R R R

Iϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + + + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

β+ (7.33)


( )2 2

1616 26 26 66 222 2 2

0 0 0

2cos cos cosA A A A A AR R R R R s R sϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0

sin cos sinA A A A AR s R R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

u +

2 2 266 26

66 22 662 2 20 0

2cos sinA AA A AR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2 2

66 22 552 20 0

cos sinsA A u

R Rϕ ϕκ

⎞− − ⎟

⎠+

16 1226 12 45 22 22 552

0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + + + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

26 16 262 20 0 0 0

cos sin cos 2cos 2cos sinA A AR R R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

w

( )2 2

1626 16 26 22 662 2 2

0 0 0

cos 2cos cosB B B B B BR R R R R s R sϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66

26 26 12 4520 0 0

sin cos sinB B B B AR s R R R R ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

+

2 2 266 26

66 22 662 2 20 0

2cos sinB BB B BR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

338


2

66 22 55 0 120 0


R Rϕ ϕκ β

⎞− + + = +⎟

⎠β (7.34)


45 1644 1111 12 12 262 2

0 0

sin sinA AA A A AR R R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂− − − + − − −⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

11 44 12 2220 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕκ⎞

− − − ⎟⎠u +

16 1212 45 26 22 55 222

0 0 0 0

sin sin sin sinA AA A A AR R R R R R R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛

s⎞∂ ∂

+ − − − + − − − +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

12 12 45 12 45 16 262 20 0 0 0 0

cos sin cos cos sin cos cos sins2A A A A

R R R R R R Rϕ ϕ


+ − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

u⎞

+⎟⎟⎠

2 24544

11 11 44 22 55 122 2 20

2cos AA A A2

R R R s R sϕ ϕ ϕ

ϕκ κ κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ϕ

∂+

∂ ∂

211

12 222 20 0


ϕ ϕ ⎞− − − ⎟⎟

⎠+

1644 1111 12 12 45 26 11 442

0 0

sin sin cosBA B B A BR R R R R R s Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

12 2220 0


ϕ ϕ ϕ β⎞

− − ⎟⎟⎠

+

45 16 1212 26 22 55 22 12 452

0 0

sin sin cosA B BB A BR R R R R R s Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0

Aϕκ +

16 26 020 0

cos cos sins nB B q I

R R Rϕ

ϕ ϕ ϕ β⎞

+ + + =⎟⎟⎠

w (7.35)


2 2 21611

11 66 122 2 20 0

2cos sinBB B B BR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

244

22 1120

cos AB uR R ϕ

ϕ

ϕ κ⎞

− + ⎟⎟⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

339


( )2 2

1626 26 66 222 2 2

0 0

cos cosB B B B BR R R s R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 4520 0 0

sin cos sins

B B B B AR s R R R Rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕκϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

u +

1611 4412 11 26 12 452

0 0

sin sin BB AB B AR R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + − + + −⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

( ) ( )12 11 12 12 222 20 0 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + − + − +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

2 2 21611

11 66 122 2 20 0

2cos sinDD D D DR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2

22 11 4420

cos D AR ϕϕ κ β

⎞− − ⎟

⎠+

( )2 2

1626 26 66 222 2 2

0 0

cos cosD D D D DR R R s R sϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66

16 26 12 45 1 220 0

sin coss

D D D D A m I uR s R R R

Iϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + − + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠

β+ (7.36)


( )2 2

1616 26 26 66 222 2 2

0 0 0

2cos cos cosB B B B B BR R R R R s R sϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

2 212 66 45

26 26 1220 0

sin cosB B AB B uR s R R R R ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ κϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ − + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

+

2 2 266 26

66 22 662 2 20 0

2cos sinB BB B BR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2

66 22 5520 0

cos sinsB A u

R Rϕ ϕκ

⎞− + ⎟

⎠+

16 45 1226 12 22 22 552

0 0

sin sinB A BB B AR R R R R R sϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕκ κϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + − + + −⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟⎟

⎠

26 16 262 20 0 0 0


ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠

w

Tesi: N. Fantuzzi

340


2 216

26 16 262 2 20 0

cos 2cosD D D DR R R R R sϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

( )2 2

12 6622 66 26 26 12 452

0 0

cos sin cosD DD D D D AR s R s R R R ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ κ βϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ +∂ ∂+ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0

ϕ ⎞+⎟

⎠

2 2 266 26

66 22 662 2 20 0

2cos sinD DD D DR R R s R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

2

66 22 55 1 220

coss s sD A m I u I

Rϕ κ β

⎞− − + = +⎟

⎠sβ (7.37)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio di rivoluzione

a meridiano circolare.

7.1.8.2 Gusci di Rivoluzione a Singola Curvatura

7.1.8.2.1 Guscio Conico

Eseguendo i cambiamenti di parametro indotti dalle relazioni (4.57) e (4.58), ricavate

nel capitolo 4 in cui è mostrata la geometria delle strutture a guscio, ponendo xϕ = ed

eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ 0= , le equazioni di congruenza (7.25)

per un guscio conico assumono il seguente aspetto:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0 0

cos sins xs

u u ws R R

ϕ ϕε ∂= + +∂

0

0

coss x sxs

u u ux s R

ϕγ ∂ ∂= + −∂ ∂

xx x

βχ ∂=

∂

0

coss xs s R

β β ϕχ ∂= +

∂

0

coss x sxs x s R

β β βχ ϕ∂ ∂= + −

∂ ∂

Tesi: N. Fantuzzi

341


xn xwx

γ β∂= +∂

0

sinssn

uws R s

ϕγ β∂= − +∂

(7.38)


elastico (7.26):

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 44 12 45

12 45 22 5

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

x

s

xs

x

s

xs

x

s


A ATA AT

κ κκ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

5

x

s

xs

x

s

xs

xn

sn

εεγχχχγγ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.39)




( )

( )

0 10

0 10 0

00 0

1 20

0

cos

cos sin2

cos sin

cos

cos2

x xsx s x x x

xs sxs s s s s

x sx s n

x xsx s x x x

xs sxs s


N N N T q I u Ix s R R

T T T N q I wx s R R

M MxM M T m I u I

x s R

M M M T mx s R

ϕ β

ϕ ϕ β

ϕ ϕ

ϕ β

ϕ

∂ ∂+ + − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − + =

∂ ∂

∂ ∂+ + − − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − +

∂ ∂ 1 2s s sI u I β= +

(7.40)

Infine, procedendo in maniera analoga, introdotti i cambiamenti di parametro (4.57) e

(4.58), ponendo xϕ = ed eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ = 0 , dalle

equazioni (7.33)-(7.37) si perviene al seguente risultato:

(a) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata x : 2 2 2 2

11 11 66 16 222 2 20 0

cos cos2 xA A A A A ux R x s x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

342


( )2 2

16 26 26 66 222 20 0

cos cosA A A A Ax R x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂+ + − + − +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

( )2 2

12 66 2620

cossA A A

x s Rϕ ⎞∂

+ + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

( )12 26 12 12 222 20 0 0 0

sin sin cos sin cos sinA A A AR x R s R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂

+ + + − + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝A w+

2 2 2 2

11 11 66 16 222 2 20 0

cos cos2 xB B B B Bx R x s x s R

ϕ ϕ β⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠+

( )2 2

16 26 26 66 222 20 0

cos cosB B B B Bx R x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂+ + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

( )2 2

12 66 26 0 120

coss x x xB B B q I u

x s Rϕ Iβ β

⎞∂+ + + + = +⎟∂ ∂ ⎠

(7.41)


( )2 2

16 16 26 26 66 222 20 0 0

2cos cos cosA A A A A Ax R R x s R

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛⎛ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ s

⎞ ∂+⎟ ∂⎠

( )2 2

12 66 2620

cosxA A A

x s Rϕ ⎞∂

+ + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

2 2 2 2

66 66 22 26 66 22 552 2 20 0

cos cos sin2 s

2

20

A A A A A A ux R x s x s R R

ϕ ϕ κ⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + − −⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠

ϕ+

26 12 45 22 22 550 0 0 0

sin sin sin sinA A A AR R x R Rϕ ϕ ϕ ϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ + + +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ s

⎞+⎟

⎠

26 262 20 0

cos sin 2cos sinA A wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

( )2 2

16 26 16 26 22 662 20 0 0

cos 2cos cosB B B B B Bx R R s R

ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ⎛⎛ ∂ ∂ ∂+ + + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ s

⎞ ∂+⎟ ∂⎠

( )2 2

12 66 26 12 4520 0

cos sinxB B B A

x s R Rϕ ϕκ β

⎞∂+ + + + ⎟∂ ∂ ⎠

+

2 2

66 66 22 262 20

cos 2B B B B2

x R x s xϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s∂

+∂ ∂

Tesi: N. Fantuzzi

343


2

66 22 55 0 120 0


R Rϕ ϕκ β

⎞− + + = +⎟

⎠β (7.42)


12 26 2220 0 0

sin sin cos sinxA A A

R x R s Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂

− + − −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝u +

12 45 26 22 55 220 0 0 0

sin sin sin sinA A A AR R x R Rϕ ϕ ϕ ϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ − − + − − +⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ s

⎞⎟⎠

12 45 12 45 262 2 20 0 0

cos sin cos sin cos sinsA A A

R R Rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕκ κ

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

u⎞

+⎟⎠

2 2 2

11 44 11 44 22 55 12 45 222 20 0

cos sin22

2A A A A Ax R x s x s R

ϕ ϕκ κ κ κ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠w⎞

+⎟⎠

11 44 12 12 45 26 11 44 2220 0 0 0

sin sin cos cos sinxA B A B A B

R x R s R Rϕ ϕ ϕ ϕκ κ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + − + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

ϕ β⎞

+⎟⎠

12 45 26 22 55 22 12 45 2620 0 0 0

sin sin cos cos sinsA B A B A B

R x R s R Rϕ ϕ ϕ ϕκ κ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + − + +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

ϕ β⎞

+⎟⎠

0nq I w+ = (7.43)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s2 2 2 2

11 11 66 16 222 2 20 0

cos cos2 xB B B B B ux R x s x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠

+

( )2 2

16 26 26 66 222 20 0

cos cosB B B B Bx R x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂+ + − + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s

∂∂

( )2 2

12 66 26 12 4520 0

cos sinsB B B A

x s R Rϕ ϕκ

⎞∂+ + + + ⎟∂ ∂ ⎠

u +

12 11 44 26 12 450 0

sin sinB A B AR x R sϕ ϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + −⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ +⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

( )12 12 222 20 0

cos sin cos sinB B B wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

2 2 2 2

11 11 66 16 22 11 442 2 20 0

cos cos2 xD D D D D Ax R x s x s R

ϕ ϕ κ β⎛ ⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + − −⎜ ⎟ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠+

Tesi: N. Fantuzzi

344


( )2 2

16 26 26 66 222 20 0

cos cosD D D D Dx R x s R

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂+ + − + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s

∂∂

( )2 2

12 66 26 12 45 1 220

coss x xD D D A m I u I

x s Rϕ κ β

⎞∂+ + + − + = +⎟∂ ∂ ⎠

xβ (7.44)


( )2 2

16 16 26 26 66 222 20 0 0

2cos cos cosB B B B B Bx R R x s R

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛⎛ ∂ ∂ ∂+ + + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ s

⎞ ∂+⎟ ∂⎠

( )2 2

12 66 2620

cosxB B B

x s Rϕ ⎞∂

+ + + ⎟∂ ∂ ⎠u +

2 2

66 66 22 262 20

cos 2B B B B2

R x s xϕ

ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s∂

+∂ ∂

2

66 22 5520 0

cos sinsB A u

R Rϕ ϕκ

⎞− + ⎟

⎠+

26 12 45 22 22 550 0

sin sinB A B AR x R sϕ ϕκ κ

⎛⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ − + −⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝

⎞+⎟

⎠

26 262 20 0

cos sin 2cos sinB B wR Rϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

+ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

2 2

16 26 16 262 20 0

cos 2cosD D D Dx R R x

ϕ ϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂+ + + +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s

∂+

∂

( ) ( )2 2

22 66 12 66 26 12 4520 0

cos cosxD D D D D A

R s x s Rϕ ϕ κ β

⎛ ⎞ ∂ ∂+ + + + + −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎞+⎟

⎠

2 2

66 66 22 262 20

cos 2D D D D2

x R x s xϕ⎛ ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + +⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ s∂

+∂ ∂

2

66 22 55 1 220

coss s sD A m I u I

Rϕ κ β

⎞− − + = +⎟

⎠sβ (7.45)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio conico.

7.1.8.2.2 Guscio Cilindrico Circolare


Tesi: N. Fantuzzi

345





0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

ss

u ws R

ε ∂= +∂

0 s xxs

u ux s

γ ∂ ∂= +∂ ∂

xx x

βχ ∂=

∂

ss s

βχ ∂=

∂

s xxs x s

β βχ ∂ ∂= +

∂ ∂

xn xwx

γ β∂= +∂

0

ssn

uws R sγ β∂

= − +∂

(7.46)



aspetto:

0 1

0 10

00

1 2

1 2

x xsx x x

xs s ss s s

x s sn

x xsx x x

xs s

x

s s s

N N q I u Ix s

N N T q I u Ix s R

T T N q I wx s R

M M T m I u Ix s

M M T m I u I sx s

β

β

β

β

∂ ∂+ + = +

∂ ∂∂ ∂

+ + + = +∂ ∂

∂ ∂+ − + =

∂ ∂

∂ ∂+ − + = +

∂ ∂∂ ∂

+ − + = +∂ ∂

(7.47)

Procedendo in maniera analoga, dalle equazioni (7.41)-(7.45) si perviene al risultato qui

di seguito riportato:


Tesi: N. Fantuzzi

346


2 2 2

11 66 162 2 2 xA A Ax s x s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

( )2 2 2

16 26 12 662 2 sA A A Ax s x s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

2612

0 0

AA wR x R s

⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+

2 2 2

11 66 162 2 2 xB B Bx s x s

β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( )2 2 2

16 26 12 66 0 12 2 s x x xB B B B q I u Ix s x s

β β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + + + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (7.48)


( )2 2 2

16 26 12 662 2 xA A A Ax s x s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

2 2 255

66 22 26 222 2 20

2 sAA A A

x s x s Rκ

⎞⎛ ∂ ∂ ∂+ + + − ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u +

26 45 552212 22

0 0 0 0

A A AA wR R x R R s

κ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

( )2 2 2

4516 26 12 66 122 2

0x

AB B B Bx s x s R

κ β⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + + + ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

2 2 255

66 22 26 22 0 12 20

2 s s sA

sB B B q I ux s x s R

Iκ β β⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + + + = +⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (7.49)


2612

0 0x

AA uR x R s

⎛ ⎞∂ ∂− −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

+

45 26 55 2212 22

0 0 0 0s

A A A A uR R x R R s

κ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − − + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 222

11 44 22 55 12 452 2 20

2 AA A Ax s x s R

κ κ κ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + − ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠w+

Tesi: N. Fantuzzi

347


261211 44 12 45

0 0x

BBA AR x R s

κ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠β +

26 2212 45 22 55 0

0 0s n

B BA A qR x R s

κ κ β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠I w (7.50)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata : s2 2 2

11 66 162 2 2 xB B B ux s x s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

( )2 2 2

4516 26 12 66 122 2

0s

AB B B B ux s x s R

κ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + + + ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

261211 44 12 45

0 0

BB A A wR x R s

κ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

2 2 2

11 66 16 11 442 2 2 xD D D Ax s x s

κ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

( )2 2 2

16 26 12 66 12 45 1 22 2 s x xD D D D A m I u Ix s x s xκ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + − + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎠⎝

β (7.51)


( )2 2 2

16 26 12 662 2 xB B B B ux s x s

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎠⎝

+

2 2 255

66 22 26 222 20

2 sAB B B

s x s Rκ

ϕ⎞⎛ ∂ ∂ ∂

+ + + + ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠u +

26 2212 45 22 55

0 0

B BA A wR x R s

κ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+

( )2 2 2

16 26 12 66 12 452 2 xD D D D Ax s x s

κ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎠⎝+

2 2 2

66 22 26 22 55 1 22 2 2 s s sD D D A m I u Ix s x s

κ β⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + + − + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠sβ (7.52)


indefinite di equilibrio in termini di componenti di spostamento per il guscio cilindrico

circolare.

Tesi: N. Fantuzzi

348


7.1.8.3 Gusci di Traslazione a Singola Curvatura

La geometria dei gusci di traslazione a singola curvatura è stata studiata nel capitolo 4.

Facendo uso quindi della (4.78), ponendo s y= , ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo ( 01 R = 0 ), le equazioni di congruenza (7.25) diventano:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 1 yy

u uR y

ϕϕ

ϕ

γϕ

∂ ∂= +

∂ ∂

1R

ϕϕ

ϕ

βχ

ϕ∂

=∂

yy y

βχ

∂=

∂

1 yy R y

ϕϕ

ϕ

β βχ

ϕ∂ ∂

= +∂ ∂

1n

w uRϕ ϕ ϕϕ

γ βϕ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

yn ywy

γ β∂= +∂

(7.53)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (7.26), ponendo , si ricava la


s y=

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

44 45

45 55

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

y

y

y

y

y


A ATA AT

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ κ κκ κ

⎡⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

0

0

0y

y

y

y

n

yn

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

εεγχχχγγ

⎡ ⎤⎤⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥ (7.54)

Tesi: N. Fantuzzi

349




0 1

0 1

0

1 2

1 2

1

1

1

1

1

y

y yy y y

yn

y

y yy y y

NN Tq I u I

R y R

N Nq I u I

R y

TT Nq I w

R y RMM

T m I u IR y

M MT m I u I

R y

ϕϕ ϕ

y

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

βϕ

βϕ

ϕ

βϕ

βϕ

∂∂+ + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + = +

∂ ∂

∂∂+ − + =

∂ ∂

∂∂+ − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ − + = +

∂ ∂

(7.55)

Procedendo in maniera analoga, ossia ponendo s y= ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo ( 01 R = 0 ), dalle equazioni (7.28)-(7.32) si perviene ad un sistema di

cinque equazioni differenziali:


2 2 21611 11 44

66 112 2 3 2 2

2R AA A AA uR R y R y R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2 216 16 12 66

262 2 3 2 y

RA A A AA uR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2

+

16 4511 44 1111 122 2 3

RA AA A A wR R R R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ + + + −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎞+⎟⎟∂ ⎠

2 2 21611 11 44

66 112 2 3 2

2R BB B ABR R y R y R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

2 216 16

262 2 3 2

RB B BR R y

ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ⎛ ⎛ ⎞∂∂ ∂

+ + − +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠

∂+

∂

212 66 45

12 0 1yB B A q I u I

R y R ϕ ϕϕ ϕ

κ βϕ

⎛ ⎞ ⎞+ ∂+ + + =⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎠

ϕβ+ (7.56)

(b) Equilibrio alla traslazione lungo la direzione coordinata : y

Tesi: N. Fantuzzi

350


2 216 16 12 66

262 2 3 2

RA A A AA uR R y R y

ϕϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ − + + +⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2

2 266 66 26

222 2 3 2

2y

RA A AA uR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2

+

16 16122 3

RA AA wR R s R

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞∂∂ ∂+ + −⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ⎠⎝

+

2 216 16 12 66

262 2 3 2

RB B B BBR R y R y

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

2

βϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

2 2 266 66 26

22 0 12 2 3 2

2y y y

RB B ByB q I u I

R R y R yϕ

ϕ ϕ ϕ

β βϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.57)


45 1644 11 4411 12 112 2 3

RA AA A A uR R R R y R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

κ κ κϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂− − + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+∂

16 122 y

A A uR R sϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 24544 44 11

11 11 22 55 122 2 3 2 2

2R AA A A2

A wR R y R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

κ κ κ κϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + −⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ϕ

⎞+⎟⎟

⎠

1644 1111 12 452

BA B AR R R y ϕϕ ϕ ϕ

κ κϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

β +

45 16 1212 22 55 02 y n

A B BAR R R yϕ ϕ ϕ

κ κ βϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

q I w (7.58)

(d) Equilibrio alla rotazione attorno alla direzione coordinata y :

2 2 21611 11 44

66 112 2 3 2

2R BB B AB uR R y R y R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2 216 16 12 66

262 2 3 2 y

RB B B B 2

B uR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

Tesi: N. Fantuzzi

351


1611 44 1111 12 452 3

RBB A BA wR R R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+∂

2 2 21611 11

66 11 442 2 3 2

2R DD D D AR R y R y

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

κ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + − ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

2 2 216 16 12 66

26 12 452 2 3 2 y

RD D D DD AR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕ

κ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + − ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

1 2m I u Iϕ ϕ ϕβ+ = + (7.59)


2 2 216 16 12 66 45

26 122 2 3 2

RB B B B AB uR R y R y R

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ − + + + +⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

2 266 66 26

222 2 3 2

2y

RB B B 2

B uR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+

16 45 161212 22 552 3

RB A BB A wR R R y R

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

κ κϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂+ − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+∂

2 2 216 16 12 66

26 12 452 2 3 2

RD D D DD AR R y R y

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

κ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ +∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + − ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

2 2 266 66 26

22 22 552 2 3 2

2y

RD D DD AR R y R y

ϕ

ϕ ϕ ϕ

κ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + + − ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

+

1 2s sm I u I sβ+ = + (7.60)

Si nota che i profili mostrati nel capitolo 4 per i gusci di traslazione a singola curvatura

sono validi anche nella teoria classica di Reissner-Mindlin.

7.1.8.4 Gusci Degeneri

Come si è già dimostrato nel capitolo 4, per i gusci degeneri (piastra circolare e piastra

rettangolare) le equazioni presenti nello schema delle teorie fisiche sono analoghe (anche

se formalmente differenti) per la teoria di Reissner-Mindlin classica e quella con effetto

della curvatura poiché per tali gusci i coefficienti legati alla curvatura (3.120) sono nulli.

Tesi: N. Fantuzzi

352


7.1.8.4.1 Piastra Circolare




0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

s xs

u us R

ε ∂= +∂

0

0

s x sxs

u u ux s R

γ ∂ ∂= + −∂ ∂

xx x

βχ ∂=

∂

0

s xs s R

β βχ ∂= +

∂

0

s x sxs x s R

β β βχ ∂ ∂= + −∂ ∂

xn xwx

γ β∂= +∂

snws sγ β∂

= +∂

(7.61)

Le equazioni di legame elastico (7.39) rimangono inalterate. Le equazioni (7.40)


0 10

0 10

00

1 20

1 20

2

2

x xs x sx x x

xs s xss s s

x s xn

x xs x sx x x

xs s xss s s s


N N N q I u Ix s R

T T T q I wx s R


M M M T m I u Ix s R

β

β

xβ

β

∂ ∂ −+ + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + + =

∂ ∂

∂ ∂ −+ + − + = +

∂ ∂

∂ ∂+ + − + = +

∂ ∂

(7.62)

Tesi: N. Fantuzzi

353


Fin ora si sono ottenute relazioni formalmente differenti rispetto alla teoria illustrata

nella tesi per le piastre circolari, però, le equazioni indefinite di equilibrio in termini di

spostamento sono le stesse della teoria precedente (4.104)-(4.108), poiché trascurando i

coefficienti legati alla curvatura (3.120) le due teorie per le piastre circolari coincidono.

7.1.8.4.2 Piastra Rettangolare



rivoluzione ( ) ed osservando la (4.109) risulta possibile definire le equazioni della

piastra rettangolare. In altre parole, operando in questo modo, si è rettificato il parallelo del

guscio di rivoluzione. In maniera analoga si può procedere rettificando il meridiano del

guscio cilindrico di traslazione.

0R = ∞

Essendo e per la relazione (4.109), ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo, le equazioni di congruenza

0R = ∞ s y=

(7.46) per la piastra rettangolare diventano:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 y xxy

u ux y

γ∂ ∂

= +∂ ∂

xx x

βχ ∂=

∂

yy y

βχ

∂=

∂

y xxy x y

β βχ∂ ∂

= +∂ ∂

xn xwx

γ β∂= +∂

yn ywy

γ β∂= +∂

(7.63)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (7.39), ponendo s y= , si ricava:

Tesi: N. Fantuzzi

354


11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

44 45

45 55

0 00 00 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

x

y

xy

x

y

xy

x

y


A ATA AT

κ κκ κ

⎡⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

0

0

0

x

y

xy

x

y

xy

xn

yn

εεγχχχγγ

⎡ ⎤⎤⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥ (7.64)

Essendo e 0R = ∞ s y= per la relazione (4.109), ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo, le equazioni di equilibrio (7.47) assumono il seguente aspetto:

0 1

0 1

0

1 2

1 2

xyxx x x

xy yy y y

yxn

xyxx x x

xy yy y y

NN q I u Ix y

N Nq I u I

x yTT q I w

x yMM T m I u I

x yM M

T m I u Ix y

β

β

x

y

β

β

∂∂+ + = +

∂ ∂∂ ∂

+ + = +∂ ∂

∂∂+ + =

∂ ∂∂∂

+ − + = +∂ ∂∂ ∂

+ − + = +∂ ∂

(7.65)

Fin ora si sono ottenute relazioni formalmente differenti rispetto alla teoria illustrata

nella tesi per le piastre rettangolari, però, le equazioni indefinite di equilibrio in termini di

spostamento sono le stesse della teoria precedente (4.113)-(4.117), poiché trascurando i

coefficienti legati alla curvatura (3.120) le due teorie per le piastre rettangolari circolari

coincidono.

Tesi: N. Fantuzzi

355

Capitolo Ottavo

Teoria dei Gusci di Kirchhoff-Love

INTRODUZIONE

Nel capitolo seguente verrà illustrata la teoria di Kirchhoff-Love. Per ottenere questa

teoria, a partire dalla teoria classica di Reissner-Mindlin, è sufficiente annullare gli

scorrimenti trasversali e scrivere le rotazioni in funzione delle altre componenti di

spostamento. In tal modo, il vettore che contiene le componenti di spostamento si ridurrà a

3 componenti, anziché 5.

Le caratteristiche della deformazione si riducono a 6 elementi poiché 1nγ e 2nγ sono

nulle per ipotesi. Questo porta ad una incongruenza al livello del legame costitutivo

poiché, benché si sia considerato per ipotesi che gli scorrimenti trasversali siano nulli, i

tagli trasversali e sono non nulli. 1T 2T

Le equazioni indefinite di equilibrio sono sempre 5, ma date le ipotesi alla base è

possibile ridurle a 3 poiché grazie alle ultime due è possibile esprimere i tagli, sopra citati,

in funzione di tute le altre grandezze.

Infine si otterranno le equazioni indefinite di equlibrio in termini di spostamento,

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo seguendo le schema delle teorie fisiche. Le equazioni fondamentali sono 3 e rappresentano

l’equilbrio dinamico del guscio anisotropo secondo la teoria di Kirchhoff-Love. Le

equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamento non sono state ricavate in

questa tesi, sebbene i metodi per ottenerle siano analoghi alla teoria di Reissner-Mindlin ed

alla teoria che considera l’effetto della curvatura. Infatti per ottenere le equazioni

fondamentali si devono sostituire le equazioni di congruenza nel legame costituitivo,

ottenendo le caratteristiche della sollecitazione in funzione delle componenti di

spostamento, successivamente si inseriscono le caratteristiche della sollecitazione nelle

equazioni indefinite di equilibrio ottenendo così le equazioni fondamentali.

8.1 TEORIA DEI GUSCI SOTTILI

Nell’introduzione del capitolo 3, è stata mostrata la differenza tra gusci sottili e gusci

moderatamente spessi. Tale differenza, che si rifà a considerazioni di natura geometrica, ha

delle ripercussioni forti sulle equazioni governanti i gusci del primo e del secondo tipo.


La teoria di Kichhoff-Love dei gusci sottili si basa sulle ipotesi fondamentali di seguito

elencate.

1) I segmenti rettilinei e normali alla superficie di riferimento del guscio nella sua

configurazione indeformata, si conservano rettilinei e normali alla superficie elastica

dopo la deformazione. In questo modo, si trascurano le deformazioni taglianti:

1 2 0n nγ γ= = (8.1)

2) Tutti gli spostamenti sono piccoli, e in particolare lo spostamento W dei punti del

guscio, secondo la direzione normale alla superficie di riferimento, è indipendente da

ζ e piccolo rispetto allo spessore h del solido (ipotesi di piccoli spostamenti).

L’ipotesi sullo spostamento W può essere espressa simbolicamente:

( ) ( )1 2 1 2, , , , ,W W t W t hα α ζ α α= = (8.2)

Come conseguenza, le deformazioni secondo la normale alla superficie elastica sono

trascurabili. Ne consegue che la dilatazione lungo la normale al superficie media

risulta nulla:

Tesi: N. Fantuzzi

358


0nε ≈ (8.3)

L’ipotesi di piccoli spostamenti consente di riferire tutti i calcoli alla configurazione

indeformata e di trascurare gli effetti del secondo ordine.

3) La tensione normale nσ , trascurabile rispetto alle restanti componenti di tensione, si

assume uguale a zero in tutti i punti del solido:

( )1 2, , , 0n n tσ σ α α ζ= = (8.4)


Nello studio della teoria di Kirchhoff-Love viene mantenuta la stessa geometria del

guscio generico di riferimento (figura 3.2) e lo stesso campo di spostamento (3.1), mentre

ciò che cambia è il modello cinematico adottato per la teoria in parola.

8.1.2.1 Modello cinematico

Partendo dalla prima ipotesi della teoria di Kirchhoff-Love è possibile scrivere le

rotazioni 1β e 2β in funzione delle altre componenti di spostamento:

11 1

1 1 1

22 2

2 2 2

1 0

1 0

n

n

uwA R

uwA R

γ βα

γ βα

∂= − + =

∂∂

= − + =∂

(8.5)

Le (8.5) si sono ricavate dalle relazioni che definiscono gli scorrimenti taglianti (3.38).

Rigirando le (8.5) si ottiene:

11

1 1 1

22

2 2

1

1

u wR Au wR A

β

2

α

βα

∂= −

∂∂

= −∂

(8.6)

Il campo di spostamento introdotto dalla (3.11) può essere riscritto come:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( )

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 21 1 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 22 2 2

1 2 1 2

1 1, , , , , , , , ,

1 1, , , , , , , , ,

, , , , ,

U t u t u t wR A

U t u t u t wR A

W t w t

α α ζ α α ζ α α α αα

α α ζ α α ζ α α α αα

α α ζ α α

⎛ ⎞∂= + −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= + −⎜ ⎟∂⎝ ⎠=

)

t

t (8.7)

Tesi: N. Fantuzzi

359


Ora il campo di spostamento non è più descritto da 5 quantità (3.12) (figura 3.6), bensì

da 3 componenti di spostamento riferite alla superficie di riferimento. Esse sono le

reali incognite, o gradi di libertà, del problema in esame e rappresentano le variabili di

configurazione del guscio generico nel sistema di riferimento adottato. Possono essere

interpretate come componenti del seguente vettore spostamento generalizzato riferito alla

superficie di riferimento:

1 2, ,u u w

( )1 2 1 2, ,T

t u u wα α ⎡ ⎤= ⎣ ⎦u (8.8)

8.1.3 CARATTERISTICHE DELLA DEFORMAZIONE

Partendo dalle (7.1) e applicando le ipotesi di Kirchhoff-Love si ottengono le componenti

di deformazione valide per il guscio generico:

1 1 101 2

1 1 2 2 1

1 1u A Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2 202 1

2 1 1 2 2

1 1 A u Au w

A A Rε

α α⎛ ⎞∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

10 212 1 2

2 2 1 2 1 1 2 1

1 1 1 1A Au uA A A A

γα α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞∂⎟⎟⎠

111 1

1 1 1 1 1 1 2 2 2

211

2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1

1 1 1 1

AR u uA R R A A R

AA wA A A A

χα α α

α α α α α

∂⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 +

2 22 1

1 2 1 1 2 2 2 2 2

22 2

2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

A Ru uA A R A R R

A A wA A A A

χα α α

α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 +

1 1 212 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

2 1 1

A R Ru uA R A R A R R A

A A wA A A A

χα α α α α α

α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂∂ ∂= − − + − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

∂⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2A ⎞∂+⎟⎟

⎠ (8.9)

Tesi: N. Fantuzzi

360


* * * Si ricavano le (8.9) a partire dalle (7.1) applicando le ipotesi di Kirchhoff-Love. In particolare le prime 3

delle (8.9) rimangono inalterate, cambiano solamente le curvature (flessionali e torsionale).

11 21

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 1Au w u wA R A A R A

χα α α α

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞=⎟

⎠

211 1 1 2

12 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1Au R A w w u wuA R R A A A R Aα α α α α α α⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠=

21 11 1 1

1 22 3 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1A Au R A w w wu uA R A R A A A A R A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

21 11 1

1 2 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1A AR Au uA R R A A R A A A Aα α α α α α α α

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

w⎞⎟⎠

2 2 12

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1u w A u wA R A A R A

χα α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞=⎟

⎠

22 2 2 2 1

22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1u R A w w A u wuA R R A A A R Aα α α α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

=

22 2 2 2 2

2 12 3 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1u R A w w A A wu uA R A R A A A A R A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

22 2 2

1 2 2 2 21 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1A R Au uA A R A R R A A A Aα α α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2A wα

⎞∂⎟⎠

12 1 1 2 212

1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1Au w u w u w A u wA R A A R A A R A A R A

χα α α α α α α α

⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟⎠

21 12 2 2

1 22 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1A Au R w w A wu uA A R R R A A A Aα α α α α α α α α

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

21 1 2 2 1 2

12 22 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1u R A u w A w A wuA R R A R A A A Aα α α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

21 12 2 2

1 22 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1A Au R w w A wu uA A R A R A R A A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠α

21 1 2 2 1 2

12 2 22 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1u R A u w A w A wuA R A R A A R A A A A A Aα α α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

1 1 21 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1A R Ru uA R A R A R R Aα α α α α α

⎛ ⎞ ⎛∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − + − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

2A ⎞+⎟⎟

⎠

21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1A A wA A A Aα α α α α α

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

* * *

Tesi: N. Fantuzzi

361


Si fa notare che il vettore che contiene le caratteristiche della deformazione viene scritto

nella forma seguente:

(8.10) 0 0 01 2 12 1 2 12

Tε ε γ χ χ χ⎡= ⎣η ⎤⎦

In particolare le caratteristiche deformative a taglio 1nγ e 2nγ per la teoria di Kirchhoff-

Love sono nulle, come è stato indicato nelle ipotesi.

È possibile esprimere, in forma matriciale, il legame tra caratteristiche della

deformazione e componenti di spostamento (8.9):

1

1 1 1 2 2 1

2

1 2 1 2 2 2010 1 220 2 2 1 2 1 1 2 112

211 1 1

2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 12

12

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

AA A A R

AA A A R

A AA A A A

AR AA R R A A R A A A A

α α

α αεε

α α α αγχ

α α α α α αχχ

∂∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂

− −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎢ ⎥

∂⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥ − − +⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂− 1

22 2 2

22 2 2

2 2 21 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 11 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1

A

A R AA A R A R R A A A A

A AR R AA R A R A R R A A A A

α α

α α α α α α α

α α α α α α α α

∂⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂− − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2Aα

∂ ∂∂

1

2

22

2 1 2 1 2

uuw

AA α α α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.11)


Si ricorda che, sebbene si siano indicati per ipotesi scorrimenti trasversali nulli

1 2 0n nγ γ= = , ciò non implica che i tagli trasversali che corrispondono a tali scorrimenti

siano nulli, quindi 1 2 0T T≠ ≠ . Questi tagli, non vengono ottenuti con la matrice di legame

costitivo ma con considerazioni di equilibrio sul concio elementare di guscio.

A partire dalle (7.3) si possono però ricavare le componenti del vettore S che contiene le

caratteristiche della sollecitazione. Per definizione, tali forze, sono l’integrale sullo

spessore delle tensioni. Nel caso in esame però si possono considerare anche gusci laminati

quindi l’integrale è accompagnato da una sommatoria che tiene conto della presenza di l

strati.

Tesi: N. Fantuzzi

362


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

011 12 161 1

02 12 22 26 2 2

1 012 12 1216 26 66

011 12 161 1

02 12 22 26 2 2

012 1216 26 66

k k k

lk k k

k k k k

k k k

k k k

k k k

Q Q QNN Q Q QN Q Q Q

Q Q QMM Q Q QM Q Q Q

κ

κ

ζ

ζ

ε ζχ1

1

dε ζχ ζγ ζχ

ε ζχε ζχγ ζχ

+

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

1

112

l

kd

κ

κ

ζ

ζ

ζ ζ+

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

(8.12)

Risolvendo gli integrali nelle (8.12) si ottengono le forme esplicite delle caratteristiche

della sollecitazione, che per la teoria di Kirchoff-Love sono 8. Qui ne vengono mostrate

solamente 6 perché, come già detto in precedenza, le ultime due caratteristiche vengono

ottenute con considerazioni di equilibrio. 0 0 0

1 11 1 12 2 16 12 11 1 12 2 16 12N A A A B B Bε ε γ χ χ= + + + + + χ

0 0 02 12 1 22 2 26 12 12 1 22 2 26 12N A A A B B Bε ε γ χ χ χ= + + + + +

0 0 012 16 1 26 2 66 12 16 1 26 2 66 12N A A A B B Bε ε γ χ χ χ= + + + + +

0 0 01 11 1 12 2 16 12 11 1 12 2 16 1M B B B D D D 2ε ε γ χ χ= + + + + + χ

2

0 0 02 12 1 22 2 26 12 12 1 22 2 26 1M B B B D D Dε ε γ χ χ= + + + + + χ

0 0 012 16 1 26 2 66 12 16 1 26 2 66 12M B B B D D Dε ε γ χ χ= + + + + + χ (8.13)

Scritte in forma matriciale le (8.13) diventano:

011 12 16 11 12 161 1

012 22 26 12 22 262 2

016 26 66 16 26 6612 12

11 12 16 11 12 161 1

12 22 26 12 22 262 2

16 26 66 16 26 6612 12


εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.14)

In forma matriciale compatta la (8.14) può essere scritta come:

( ) ( )1 2 1 2, ' ,α α α=S P η α (8.15)


Essendo cambiato il modello cinematico le equazioni indefinite di equilibrio (7.8) si

devono riscrivere come segue:

Tesi: N. Fantuzzi

363


1 21 12 1 2 112 1 0 1

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1

2 112 2 2 1 212 2 0 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2

2 11 2 1 2 1 20

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1

1 1 2

1 1 2

1 1

1

n



A AT T T T N N q I wA A A A A A R R

A

α α α α

α α α α

α α α α

I u

I u

∂ ∂∂ ∂ −+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ −+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ + + − − + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ 1 21 12 1 212 1

1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 112 2 2 112 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 0

1 1 2 0

A AM M M MM TA A A A A

A AM M M MM TA A A A A A

α α α α

α α α α

∂ ∂∂ −+ + + − =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ −+ + + − =

∂ ∂ ∂ ∂

(8.16)

Se si osservano le ultime due equazioni delle (8.16) si nota che è possibile esprimere i tagli

trasversali in funzione di momenti flettenti e torcenti e delle loro derivate.

Successivamente, sostituendo le definizioni ottenute nelle prime tre equazioni si ottengono

le equazioni indefinite di equilibrio governanti il problema dei gusci sottili di Kirchhoff-

Love.

1 21 12 1 2 112

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

1 1 2 1 1A AN N N N M MNA A A A A A A R A Rα α α α α α

12∂ ∂∂ ∂ − ∂ ∂

+ + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+

1 21 212 1 0 1

1 2 1 2 1 2 1 1

2 A AM MM q I uA A R A A Rα α

∂ ∂−+ + +

∂ ∂=

2 112 2 2 1 12 212

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 1 1A AN N N N M MNA A A A A A A R A Rα α α α α α

∂ ∂∂ ∂ − ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+

2 12 112 2 0 2

1 2 2 1 1 2 2 2

2 A AM MM q I uA A R A A Rα α

∂ ∂−+ + +

∂ ∂=

21 1 2 1 1

2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 1M A A M AA A A A A Aα α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1Mα∂

+∂

22 2 2 2 1

2 2 2 22 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2

1 1 1 1 2M A M A AA A A A A Aα α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2Mα

+

( ) 2 21 2 1 2 2 2 1 1

2 2 21 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 1M M A A A A A AA A A A A Aα α α α α α− ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠2 +

21 12 1 12 12

2 21 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

2 2 2A M A M MA A A A A Aα α α α α α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+

Tesi: N. Fantuzzi

364


2 21 1 2 2 1 2

122 21 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2

2 1 1 1 1A A A A A A MA A A A A Aα α α α α α α α

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

+

1 20

1 2n

N N q I wR R

− − + = (8.17)

8.2 GUSCI DI RIVOLUZIONE

Analogamente a quanto fatto nel capitolo 3 e nel capitolo 7, vengono ora mostrate le

grandezze calcolate sin ora per un guscio di rivoluzione. Facendo uso delle (3.206), (3.207)

si ottengono prima le caratteristiche della deformazione, successivamente le caratteristiche

della deformazione ed infine le equazioni fondamentali per un guscio di rivoluzione

generico costituito da materiale anisotropo.


Partendo dalle (8.9) e facendo uso delle (3.206) e (3.207) si ottiene:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0

1 cos sinuu wR

ϑϑ ϕε ϕ ϕ

ϑ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0

1 1 cosuu u

R Rϕϑ

ϕϑ ϑϕ

γ ϕϕ ϑ

∂⎛ ⎞∂= + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2

2 3 2 2 3

1 1 1 1u R Rw wuR R R R

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

χϕ ϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂ϕ

∂ ∂= − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2 2 20 0 0 0

cos sin 1 cosu w wuR R R R R R

ϑϑ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕχϑ ϑ ϕ

∂ ∂ ∂= + − −

∂ ∂ ∂

2

20 0 0 0 0 0

1 sin cos 1 2sin 2cos 2u u w wuR R R R R R R R R R

ϕ ϑϕϑ ϑ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕχϑ ϕ ϑ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ϕ ϑ∂

(8.18)

È possibile esprimere, in forma matriciale, il legame tra caratteristiche della

deformazione e componenti di spostamento (8.18):

Tesi: N. Fantuzzi

365


0 0 00

0

0 0 0

2

2 3 2 2 3

2

2 2 20 0 0 0

1 10

cos 1 sin

1 1 cos 0

1 1 1 10

cos sin 1 cos

1

R R

R R R

R R R

R RR R R R

R R R R R R

ϕ ϕ

ϕ

ϑϕ

ϕϑ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϑ

ϕϑ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕϑ

εϕε

ϑ ϕγχ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕχχ ϕ ϕ ϕ

ϑ ϑ

∂∂

∂∂

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥

−⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥ − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎛ ⎞∂ ∂⎣ ⎦ − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ϕ

⎞∂+ ⎟⎟

⎠

∂

2

2 20 0 0 0 0 0

sin 2sin cos cos 2cos 2

uuw

R R R R R R R R R R

ϕ

ϑ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥− + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞⎟⎟⎠

(8.19)




011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D

ϕ ϕ

ϑ ϑ

ϕϑ ϕϑ

ϕ ϕ

ϑ ϑ

ϕϑ ϕϑ

εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.20)





20 0

1 1 1cosN N N N M

R R R Rϕ ϕϑ ϕ ϑ

ϕ ϕ

ϕϕ ϑ ϕ

∂ ∂ − ∂+ + +

∂ ∂ ∂ϕ +

00 0

1 cosM M M

q I uR R R R

ϕϑ ϕ ϑϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϑ

∂ −+ + + =

∂

Tesi: N. Fantuzzi

366


0 0 0

1 1 2cos sinN MN NR R R R R

ϕϑ ϕϑϑϕϑ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ ϕ

∂ ∂∂+ + +

∂ ∂ ∂+

02 20 0

sin 2cos sinM M q I uR R

ϑϕϑ ϑ ϑ

ϕ ϕ ϕϑ

∂+ + + =

∂

2 2

2 2 3 2 20 0 0

1 1 2cos 1 cosM R M M MR R R R R R R

ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϑ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ϕ∂

( )2

00 0 0

sin 2 sinn

M NM M N

R R R R R Rϕϑ ϕ

ϕ ϑ ϑϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϑ

∂− − + − − + =

∂ ∂q I w (8.21)

8.2.4 PRINCIPALI STRUTTURE A GUSCIO

Analogamente a quanto è stato fatto nel capitolo 7 si mostrano di seguito le equazioni

governanti le principali strutture a guscio in materiale anisotropo considerando la teoria di

Kirchhoff-Love.

8.2.4.1 Gusci di Rivoluzione a Doppia Curvatura



L’ascissa curvilinea lungo il parallelo della superficie risulta definita dalla relazione

(4.1) dove

sϑ = s

( )0R ϕ è il raggio di parallelo ed è funzione della quota del parallelo, quindi del


rivoluzione.



0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0

0 0

cos sinss

u u wR s R

ϕ ϕ ϕε ∂= + +

∂

0

0

cos1 s ss

uu uR s R

ϕϕ

ϕ

ϕγϕ

∂∂= + −

∂ ∂

Tesi: N. Fantuzzi

367


2

2 3 2 2 3


ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

χϕ ϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂ϕ

∂ ∂= − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

20 0 0

cos sin cosss

u w wuR R R s s R Rϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕχϕ

∂ ∂ ∂= + − −

∂ ∂ ∂

2

0 0 0 0

1 sin cos 1 2sin 2cos 2ss s

u u wu wR s R R R R R R s R s

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕχϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂

(8.22)


posizione sϑ = , si ricava la seguente forma matriciale:

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

s s

s s

s s

s s


ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.23)



seguenti relazioni:

20

1 1coss sN N N N MR s R R

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

∂ ∂ − ∂+ + +

∂ ∂ ∂+

00

1 coss sM M Mq I u

R s R Rϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ∂ −

+ + + =∂

0 0

1 2cos sins sss

N MN NR s R R R

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂∂+ + +

∂ ∂ ∂+

020 0

sin 2cos sinss s s

M M q I uR s Rϕϕ ϕ ϕ∂

+ + + =∂

2 2

2 2 2 20 0

1 1 1 2cos coss sM R M M MRR R R R s R R

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ

+ − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+

∂

( )2

00 0

sin 2 sinss s

M NnM M N

R R R s R Rϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

∂− − + − − + =

∂ ∂q I w (8.24)


e ( )0R ϕ . Le formule, che definiscono i raggi di curvatura per le principali tipologie

strutturali, sono riportate nel capitolo 4 e non cambiano nel passaggio dalla teoria di

Tesi: N. Fantuzzi

368

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo Reissner-Mindlin alla teoria di Kirchhoff-Love, poiché sia la curvatura di merdiano sia la

curvatura di parallelo sono definite sulla base di caratteristiche geometriche del guscio di

rivoluzione e non sono legate alla teoria ingegneristica in uso.

8.2.4.2 Gusci di Rivoluzione a Singola Curvatura

8.2.4.2.1 Guscio Conico

Eseguendo i cambiamenti di parametro indotti dalle relazioni (4.57) e (4.58), ricavate

nel capitolo 4 in cui è mostrata la geometria delle strutture a guscio, ponendo xϕ = ed

eliminando i termini aventi come coefficiente 1 Rϕ 0= , le equazioni di congruenza (8.22)

per un guscio conico assumono il seguente aspetto:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0 0

cos sinx ss

u u wR s R

ϕ ϕε ∂= + +

∂

0

0

coss x sxs

u u ux s R

ϕγ ∂ ∂= + −∂ ∂

2

2xw

xχ ∂

= −∂

2

20 0

sin cosss

u w wR s s Rϕ ϕχ ∂

x∂ ∂

= − −∂ ∂ ∂

2

20 0 0

sin 2cos sin 2cos 2sxs s

u wu wR x R R s xϕ ϕ ϕ ϕχ ∂

s∂ ∂

= − + −∂ ∂ ∂ ∂

(8.25)


elastico(8.23):

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

x x

s s

xs xs

x x

s s

xs xs


εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.26)


Tesi: N. Fantuzzi

369




00

cosx xs x sx x

N N N N q I ux s R

ϕ∂ ∂ −+ + + =

∂ ∂

020 0 0 0

2cos sin sin 2cos sinxs s xs sxs xs

N N M MN Mx s R R x R s R s sq I uϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

02 20 0 0

2cos cos sin2x s s xss n

M M M M M N q Ix R x s R x x s R

ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w= (8.27)

8.2.4.2.2 Guscio Cilindrico Circolare





0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

ss

u ws R

ε ∂= +∂

0 s xxs

u ux s

γ ∂ ∂= +∂ ∂

2

2xw

xχ ∂

= −∂

2

20

1 ss

u wR s s

χ ∂ ∂= −

∂ ∂

2

0

1 2sxs

u wR x x

χ ∂s

∂= −

∂ ∂ ∂ (8.28)



aspetto:

0x xs

x xN N q I ux s

∂ ∂+ + =

∂ ∂

Tesi: N. Fantuzzi

370


00 0

1 1xs s xs ss s

N N M M q I ux s R x R s

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

02 20

2s xs sn

M M M N q I wx s x s R

ϕ∂ ∂ ∂+ + − + =

∂ ∂ ∂ ∂ (8.29)

8.2.4.3 Gusci di Traslazione a Singola Curvatura

La geometria dei gusci di traslazione a singola curvatura è stata studiata nel capitolo 4.

Facendo uso quindi della (4.78), ponendo s y= , ed eliminando i termini aventi

coefficiente nullo ( 01 R = 0 ), le equazioni di congruenza (8.22) diventano:

0 1 uw

Rϕ

ϕϕ

εϕ

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 1 yy

u uR y

ϕϕ

ϕ

γϕ

∂ ∂= +

∂ ∂

2

2 3 2 2 3


ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

χϕ ϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂ϕ

∂ ∂= − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2yw

sχ ∂

= −∂

21 2y

u wR y R y

ϕϕ

ϕ ϕ

χϕ

∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ (8.30)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico(8.23), ponendo , si ricava la


s y=

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

y y

y y

y y

y y


ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.31)



Tesi: N. Fantuzzi

371


02

1 1 1yNN M Mq I u

R y R R yϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

∂∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

01 y y

y y

N Nq I u

R yϕ

ϕ ϕ∂ ∂

+ + =∂ ∂

2 22

02 2 3 2

1 1 2y yn

M MM R M Nq I w

R R y R y Rϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂∂ ∂ ∂

− + + − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= (8.32)

8.2.4.4 Gusci Degeneri

8.2.4.4.1 Piastra Circolare




0 xx

ux

ε ∂=∂

0

0

x ss

u uR s

ε ∂= +

∂

0

0

s x sxs

u u ux s R

γ ∂ ∂= + −∂ ∂

2

2xw

xχ ∂

= −∂

2

20

1s

w ws R x

χ ∂ ∂= − −

∂ ∂

2

0

2 2xsw w

R s xχ

s∂ ∂

= −∂ ∂ ∂

(8.33)

Le equazioni di legame elastico (8.26) rimangono inalterate. Le equazioni (8.27)


00

x xs x sx x

N N N N q I ux s R

∂ ∂ −+ + + =

∂ ∂

00

2xs s xss s

N N N q I ux s R

∂ ∂+ + + =

∂ ∂

Tesi: N. Fantuzzi

372


2 2 2

02 20 0

2 1 2x s s xsn

M M M M M q I wx R x s R x x s

ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (8.34)

8.2.4.4.2 Piastra Rettangolare



rivoluzione ( ) ed osservando la (4.109) risulta possibile definire le equazioni della

piastra rettangolare. In altre parole, operando in questo modo, si è rettificato il parallelo del

guscio di rivoluzione. In maniera analoga si può procedere rettificando il meridiano del

guscio cilindrico di traslazione.

0R = ∞


coefficiente nullo, le equazioni di congruenza (8.28) per la piastra rettangolare diventano:

0 xx

ux

ε ∂=∂

0 yy

uy

ε∂

=∂

0 y xxy

u ux y

γ∂ ∂

= +∂ ∂

2

2xw

xχ ∂

= −∂

2

2yw

yχ ∂

= −∂

2

2xyw

x yχ ∂

= −∂ ∂

(8.35)

Per quanto concerne le equazioni di legame elastico (8.26), ponendo s y= , si ricava:

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

x x

y y

xy xy

x x

y y

xy xy


εεγχχχ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.36)


Tesi: N. Fantuzzi

373

Effetto della Curvatura sulla Risposta dei Gusci in Materiale Anisotropo coefficiente nullo, le equazioni di equilibrio (8.29) assumono il seguente aspetto:

0xyx

x x

NN q I ux y

∂∂+ + =

∂ ∂

0xy y

y y

N Nq I u

x y∂ ∂

+ + =∂ ∂

2 22

02 2 2y xyn

M MMq I w

x y x yϕ ∂ ∂∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (8.37)

Tesi: N. Fantuzzi

374

effetto della curvatura sulla risposta dei gusci in materiale … · 2013-07-15 · alma mater...

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