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Mthode desELEMENTS FINIS

Mustapha GHILANI

Interpolation en 1D.Rappels

Elments Finis en 1D

A.U. 2015-2016

Mthode des ELEMENTS FINIS

Mustapha GHILANI

UMI, ENSAM, Mekns

7 novembre 2015

Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns)

Mthode des ELEMENTS FINIS 7 novembre 2015 1 / 15


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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Partie I

Interpolation, Elments finis et

Quadrature

Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns)

Mthode des ELEMENTS FINIS 7 novembre 2015 2 / 15


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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Interpolation en 1D. Rappels

Soit f C(0)([a, b],R).Maillage :(a= x0


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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Proposition : (Espace dinterpolation)

Pourk=1.V

(1)h =vect{0, , n}.

o :0= x x1

x0 x1 pourx[x0, x1]0 si non

i=

x xi1xi xi1

pourx[xi1, xi]

x xi+1xi xi+1

pourx[xi, xi+1]

0 si non

n =

x xn1

xn xn1pourx[xn1, xn]

0 si non

i(xj) =ij; 1 i,jn( Base Lagrangienne).

i, 0 in sont support compacts.Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns) Mthode des ELEMENTS FINIS 7 novembre 2015 4 / 15


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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Definition

Les fonctions sont appeles des fonctions de forme.

Si f C(0)([a, b],R)

fh(x) =f(x0)0(x) + +f(xi)i(x) + +f(xn)n(x)

Notons par :

i : C(0)([a, b],R) R

f f(xi)

i est une forme linaire pour tout i {0, , n}.

fh(x) =0(f)0(x) + +

i(f)i(x) + +

n(f)n(x)

i(j) =ij, 0 i,jnDefinition

1

={

0, ,

n} est lensemble des degrs de libertsglobaux.

Proposition :

V(1)

h

=vect[1]

Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns) Mthode des ELEMENTS FINIS 7 novembre 2015 5 / 15


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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1DDefinition (Oprateur dinterpolation)Loprateur1h dfinit par :

1h : C(0)([a, b],R) V1h

f fh

est appel loprateur dinterpolation.

Proposition :

h est un oprateur linaire.



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Elments finis en 1D

Definition

Soit le triplet (I, , V) o :

1 I un intervalle compacte de R et de longueur non nulle ;

2 Vun espace vectoriel de fonctions dfinies sur I de

dimension finie, appel espace dinterpolation locale.3 ={l1 , , l

m} un ensemble de degrs de liberts locaux

qui vrifie que lapplication L ci dessous est unisomorphisme :

L: V Rm

p (l1(p), , lm(p))



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Exemples dEF 1d :

Exemple 1 : Soit a=b.

([a, b],P1[x]([a, b]), (l(1)0 , l

(1)1 ) o l

(1)0 (f) =f(a) et

l(1)1 (f) =f(b).

La matrice associe Ldans la base (1, x) est

1 a1 b

La matrice associe lLdans la base (l

(1)0 , l

(1)1 ) est

I2

Exemple 2 : Soit a=b.

([a, b],P2[x]([a, b]), (l(2)0 , l

(2)1 , l

(2)2 )

o l(2)0 (f) =f(a), l

(2)1 (f) =f(

a+b

2 ) et l

(2)2 (f) =f(b).

La matrice associe Ldans la base (1, x, x2) est

1 a a2

1

a+b

2

(a+b)2

41 b b2

La matrice associe Ldans la base (l

(2)0 , l

(2)1 , l

(2)2 ) est

I3



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Code I VIntervalle Ensemble de degrs Espace dinterpolation

de liberts locaux local

[a, b] {l(1)a

, l(1)b

} P1[x]([a, b]) =vect{l(1)a , l

(1)b }

[a, b] {l(2)a

, l(2)a+b

2

, l(2)b

} P2[x]([a, b]) =

vect{l(2)a , l

(2)a+b

2, l

(2)b }

[a, b] {l(3)a

, l(3)a+b

3

, l(3)a+2b

3, l

(3)b

} P3[x]([a, b]) =

vect{l(3)a , l

(3)a+b

3, l

(3)a+2b

3, l

(3)b }



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Elments finis P1, 1D de rfrence

Notons par K= [0, 1] intervalle de rfrence. La variable derfrence ser anote x.

Notonsl(1)0 : [0, 1] [0, 1]

x 1 xl(1)1 : [0, 1] [0, 1]

x x

P1[x]([0, 1]) =vect[l(1)0 , l

(1)1 ]

{l(1)0 , l(1)1 } est la base de Lagrange de P1[x]([0, 1]) .

Lespace duale

P1[x]([0, 1]) =vect[l

(1)0 , l

(1)1 ]

l0(1)(p) = p(0) et l(1)1 (p) = p(1). pour tout p P1[x]([0, 1]).

Definition

On appelle Elment fini P1 de rfrence en 1D llment fini

([0, 1],P1[x]([0, 1]),(1) ={ l

(1)0 , l

(1)1 }).



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Ti : [0, 1] [xi, xi+1]x x=xi(1 x) +xi+1x

x= (xi+1 xi)x+xi

Tiest une application affine.

T1i : [xi, xi+1] [0, 1]

x x= x xixi+1 xi

Proposition :

Pour lintervalle[xi, xi+1] on a :

li,j(1) =lj

(1) Ti

(1); pour0 j1 (1)

Exemples :

l(1)i,0(x) =

x xk+1xk+1 xk

= (1x)( x xixi+1 xi

) =1 x xixi+1 xi

= x xk+1xk+1 xk



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Elments finis en 2D

DefinitionSoit le triplet (R, V, ) o :

1 Run compact connexe de R2 de surface non nulle ;

2 Vun espace vectoriel de fonctions dfinies sur Rde

dimension finie, appel espace dinterpolation locale.3 ={l1 , , l

m} un ensemble de degrs de liberts locaux

qui vrifie que lapplication L ci dessous est unisomorphisme :

L:

V

Rm

p (l1(p), , lm(p))



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Triangle ou simplexe en 2D

Dfinition :On appelle simplexe en 2D la donne de

trois sommets (Si = (xi, yi))1i3 noncollinaires.

Le produit vectoriel S1S2 S1S3 =

00

x2 x1 x3 x1y2 y1 y3 y1

x2 x1 x3 x1y2 y1 y3 y1

= 1 1 1

x1 x2 x3y1 y2 y3

=2aire(S1S2S3)

P1[x, y] = {a0+a1x+a2y :ai R}= vect[1, x, y] =vect[1, 2, 3

[1, 2, 3] base de Lagrange deP1[x, y] i(Sj) =ij

p(x, y) =p(S1)1+p(S2)2+p(S3)3

1 1 1

x1 x2 x3y1 y2 y3

1

23

=

1

xy

La base duale est [1, 2,

3]

p(x, y) = 1(p)1(x, y) +2(p)2(x, y) +

3(p)3(x, y)



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Triangle de Rfrence

P1[x,y] =vect[1, 2, 3]

1(x,y) =1 xy;2(x= y) = x;

3(x,y) = y.

: T T

x x=Ax+B

A=

S1S2 S1S3

; B=S1;

1x=A1(x B) =A1x (1, 0)t

i= i 1, 1 i3

P2[x, y] =

0i+j2

aijxiyj, aij R

dim(P2) =C24

Pk[x, y] =

0i+jk

aijxiyj, aij R

dim(Pk) =C

22+k

Pk[x, y] lespace des polynmes deux variables de degr total infrieur 2.



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Mustapha GHILANI


Elments Finis en 1D

Elments finis quadrilatre 2D

Quadrangle de rfrence :

R = [1, 1][1, 1] On considre

lespace dinterpolation locale :Q1[x,y] = vect[1,x,y,xy]. Len-semble des polynmes de degrs par-tiels infrieurs ou gaux 1.Q1[x,y]. La base de Lagrange asso-

cie est :

{1(x,y) = l1(x)L1(y)

{2(x,y) = l1(x)L1(y)

{3(x,y) = l1(x)L1(y)

{4(x,y) = l1(x)L1(y)

o :

l1(x) = 1

2(x 1); l1(x) =

1

2(x+1)

L

1(y) =

1

2(y

1); L1(y) =

1

2(y+1)

Quadrangle quelconque :

Soit R un quadrilatre de sommets

S1, , S2, S3, et S4. Alors: RRdfinie par :(x,y) = 1(x,y)S1 + 2(x,y)S2 +3(x,y)S3+ 4(x,y)S4 est une bijection entre R et R. Ellevrifie :

(Si) =Si; 1 i4


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