第10卷 第19期 Vol.10 No.19 2017 年 10 月 October 2017

自旋轨道耦合下铁磁单层石墨烯结的自旋输运 陈宪章，包 瑞，刘郴荣，黄 亮*

（兰州大学物理科学与技术学院，磁学与磁性材料教育部重点实验室，兰州 730000）

摘要：为实现铁磁机理，需提高单层石墨烯结中自旋轨道耦合强度，因此在研究石墨烯结的自旋输运时需考虑

自旋轨道耦合。利用格林函数计算不同形式的自旋轨道耦合对铁磁单层石墨烯结极化作用的影响，发现铁磁

单层石墨烯结中起过滤自旋电子作用的交换场与 Rashba 和内禀的自旋轨道耦合存在相互竞争的关系，而在相

同耦合参数下，内禀自旋轨道耦合是一种抑制作用更强的机制。此外，利用 Rashba 自旋轨道耦合强度受外加

电场调制的特性可以实现可控的自旋过滤。

关键词：凝聚态物理学；自旋输运；铁磁单层石墨烯结；自旋轨道耦合；自旋极化 中图分类号：O469 文献标识码：A 文章编号：1674-2850(2017)19-2178-08

Spin transport of ferromagnetic monolayer graphene junction under the spin-orbit coupling

CHEN Xianzhang, BAO Rui, LIU Chenrong, HUANG Liang

(Key Laboratory for Magnetism and Magnetic Materials of MOE, School of Physical Science and Technology, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

Abstract: In order to realize the ferromagnetic mechanism, it is needed to improve the spin-orbit coupling in graphene. Thus, it is unavoidable to consider the spin-orbit coupling in the spin transport of graphene junctions. Focusing on the ferromagnetic monolayer graphene’s spin polarization induced by spin-orbit coupling in different types, which calculated by the non-equilibrium Green’s function, we find that there is competition between the exchange field in ferromagnetic monolayer graphene junction and Rashba, as well as that between the exchange field and intrinsic spin-orbit coupling. The inhibition induced by intrinsic spin-orbit coupling is stronger than Rashba spin-orbit coupling with the same coupling parameter. In addition, a controllable spin filter can be realized by adjusting the Rashba spin-orbit coupling via tuning the external electric field. Key words: condensed matter physics; spin transport; ferromagnetic monolayer graphene junction; spin-orbit coupling; spin polarization

0 引言 自旋电子学旨在利用电子自旋而非传统的电子电荷作为载体，以便实现信息的记录、存储和传输。

由于改变电子自旋所需的能量远比改变电子运动要小，而且时间更短、效率更高，因此在过去的几年里，

自旋电子学的研究已成为凝聚态物理领域的热点课题[1~3]。单层石墨烯结的发现使其自旋极化输运成为自

旋输运领域的研究热点[4]。相关文献报道，已经成功实现了室温环境下在单层石墨烯结上自旋注入[5]和

自旋输运功能[4, 6~7]。原生的单层石墨烯结为内禀非铁磁性[8]，而铁磁单层石墨烯结在自旋电子器件和信

息存储方面有广泛的应用前景[9~10]。研究者们利用分子外延术在氢化单层石墨烯结上实现了居里温度高

基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20130211110008）；国家自然科学基金（11375074，11422541） 作者简介：陈宪章（1993—），男，硕士研究生，主要研究方向：电子输运、混沌散射等 通信联系人：黄亮，教授，主要研究方向：量子混沌、非线性等. E-mail: huangl@lzu.edu.cn

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达 300 K 的强铁磁性[11]。单层石墨烯结上一般存在两种形式的自旋轨道耦合作用，外在的自旋轨道（如

Rashba）耦合和内禀的自旋轨道耦合[12]。Rashba 自旋轨道耦合起源于结构反演不对称，并且耦合强度可

以利用外加电场进行调节[13]。实验研究发现，单层石墨烯结放置在镍基衬底上会导致强的 Rashba 自旋

轨道效应[14]。一般认为石墨烯结中的内禀自旋轨道耦合非常弱[15~17]，但近期的实验报道发现，通过化学

气相沉积法制备的氢化单层石墨烯结，其内禀自旋轨道耦合强度可以有效提高至 2.5 meV[18]. 更让人们

惊奇的是，化学合成的单层石墨烯结上的内禀自旋轨道耦合强度可以达到约 20 meV[19]. 由于铁磁单层石

墨烯结与上述实验报道的实验机制相同，这就要求在铁磁单层石墨烯结中必须考虑原来被忽略的内禀自

旋轨道耦合的影响[20]。 本研究针对不同形式的自旋轨道耦合对铁磁单层石墨烯结自旋极化作用的影响进行讨论，并比较二

者的不同。根据计算结果发现，利用 Rashba 自旋轨道

耦合强度受外加电场进行调节的特性可以实现可控

自旋过滤器的制备。

1 模型与计算方法 1.1 模型

为研究铁磁单层石墨烯结受自旋轨道耦合影响

的自旋极化输运性质，采用准一维正常/铁磁/正常的

单层石墨烯结的结构模型，并且只在铁磁单层石墨烯

结区域考虑自旋轨道耦合的影响，其结构如图 1 所示。 在铁磁单层石墨烯结上分别加入不同的自旋轨

道耦合，其哈密顿量为

I R< , > , , ' < , > '

+ ( ) ( )i j z i i ij i z i ij jσi j i i j i j

t c c h s c c it v c s c it cσ σ σ σ σ σσ σσ σσ

+ + += − ⋅ − − ×∑ ∑ ∑ ∑H S d ， （1）

其中，第一项代表普通的格点跳跃；第二项代表交换能为 h 的铁磁交换耦合；第三项代表内禀自旋轨道

耦合；第四项代表 Rashba 自旋轨道耦合。在各项中， i jc cσ σ+（ ）为在格点 i（或格点 j）上产生（湮灭）一个

自旋为 σ 的电子； < , >i j 和 , i j 分别表示对最近邻原子和次近邻原子的求和； ( , , )x y zs s s=S 为泡利矩

阵；tI 和 tR 分别对应第三项、第四项的耦合强度； ( )ij ik jkv = ×d d ，其中格点 i 与格点 j 是两个次近邻格

点，格点 k 是它们共同的最近邻格点， jkd 为从格点 j 指向格点 k； ijd 为最近邻碳原子间的矢量。Rashba

自旋轨道耦合强度和内禀自旋轨道耦合强度在已知的实验中可以分别达到 200 meV 和 20 meV[14, 19].

1.2 自旋输运计算方法

为计算自旋输运，采用格林函数方法计算自旋分解电导。对于自能矩阵有如下形式：

L(R)L(R)

L(R)

0

0

↑↑

↓↓

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

ΣΣ

Σ， （2）

其中，L(R)代表左（右）导带；↑(↓)为自旋方向上（下）的标示。据此，可以给出自旋向上和自旋向

下的自能矩阵。

L(R)L(R)

0

0 0

↑↑↑

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ΣΣ ， L(R)

L(R)

0

0↓

↓↓

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0Σ

Σ. （3）

图 1 铁磁单层石墨烯结的结构示意图

Fig. 1 Structure diagram of ferromagnetic monolayer graphene junction

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完全格林函数为

L(R)

L(R)

100

00 0E

↑↑

↓↓

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0ΣΣ

G

I H

， （4）

其中，E 为系统所处的能量；I 为单位矩阵；H 为系统的哈密顿量。 则自旋系统的耦合矩阵可以定义为

L(R) L(R) L(R)[ ( ) ]iσ σ σ += −Γ Σ Σ (σ =↑,↓). （5）

从左导带自旋 σ到右导带自旋 σ'的自旋电导分量为

2

' 'L R

e tr[ ]2π

Gσσ σ σ += Γ GΓ G ， （6）

其中，e 为电子元电荷；ħ为约化普朗克常数。 同时利用格林函数方法，还可以得到局域态密度的自旋分量为

1 ( , , ) Im{diag[ ( , , )]}π

i E i Eρ σ σ= − G (σ =↑,↓)， （7）

其中，Im{}为取虚部；diag[]为提取矩阵中对角元的函数。 电荷电导为

e = + +G G G G G↑↑ ↓↑ ↑↓ ↓↓+ . （8）

除自旋分解电导、电荷电导外，电子在 Z 方向上的自旋极化可定义为

( + ) ( )=( + + )

ZG G G GP

G G G G

↑↑ ↑↓ ↓↓ ↓↑

↑↑ ↓↑ ↑↓ ↓↓

− +

+. （9）

2 结果与讨论 2.1 自旋极化输运

事实上，Rashba 自旋极化耦合与内禀轨道耦合的起源不同，它们在紧束缚模型下的哈密顿量的形式

及其对极化输运的影响也不相同。考虑在铁磁单层石墨烯结中加入自旋轨道耦合作用，以考查其对自旋

极化输运性质的影响。自旋电导分量的行为对理解两种自旋轨道耦合十分重要。图 2 为自旋电导分量和

自旋极化矢量在 Rashba 自旋轨道耦合强度下随费米能的变化，费米能 Ef 可由铁磁单层石墨烯结下的门

电压控制。为方便比较，将铁磁交换能设为统一的参数值 h=−0.05 t. 本文着重研究了费米能区间为 0～0.05 t 铁磁单层石墨烯结的自旋极化性质，在这段能量区间内铁磁

交换场可以很好地对电子起极化作用。首先分析了在没有任何自旋轨道耦合情况下自旋输运的特点。由

于铁磁交换场对自旋的过滤作用[21]，可以清楚地看到自旋守恒电导分量 G↑↑与 G↓↓不一致，且 G↓↓几乎为

零，如图 2e 所示。同时，由于未引入任何自旋轨道耦合作用，自旋翻转电导 G↓↑=G↑↓=0. 此时，自旋向

下的电子被滤除，只有自旋向上的电子可以通过铁磁单层石墨烯结。根据式（9）对自旋极化度的定义，

极化度接近 1. 因此，在没有任何自旋轨道耦合的情况下铁磁单层石墨烯结可以很好地起到自旋过滤器的

作用。然后，考虑 Rashba 自旋轨道耦合对铁磁单层石墨烯结自旋极化输运的影响。由于 Rashba 自旋轨

道耦合的引入，在哈密顿量中自旋子矩阵中出现非对角元素，可以导致进入自旋轨道耦合区域的载流子

产生自旋进动[22]，使自旋翻转电导分量 G↓↑和 G↑↓为非零值。并且由于 Rashba 自旋轨道耦合作用对自旋

是对称的，自旋翻转电导 G↓↑和 G↑↓相同，绿色和黑色的线一直重合，如图 2f 所示。由图 2b 可以看出，

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尽管出现自旋轨道的耦合作用，自旋极化度仍然接近 1，但在一些能量区域，自旋极化度和自旋翻转会

突然变大。自旋轨道耦合参数 tR=0.01 t 非常弱，自旋守恒电导远大于自旋翻转电导，如图 2f 所示。即使

很弱的 Rashba 自旋轨道耦合仍然会对铁磁单层石墨烯结的输运行为造成影响。当耦合参数 tR 增至与铁

磁交换能相同时，自旋极化度 PZ 与图 2b 相比出现了较为明显的衰减，如图 2c 所示。随着费米能 Ef 的

进一步增大，极化度甚至会出现负值。同时，自旋翻转电导分量 G↓↑和 G↑↓仍然一致，并且自旋翻转电导

分量的大小与参数 tR=0.01 t 的情形相比明显增大，自旋守恒电导由于铁磁交换场的作用仍然不相同，如

图 2g 所示。另外一个引人注意的特征是，极化度和自旋分解电导均出现了随费米能变化的振荡行为。这

种振荡的特性实际上是由 Rashba 自旋轨道耦合带来的自旋进动的周期性导致，在其他理论研究中也见到

过[23]。当 0＜Ef＜0.025 t 时，自旋翻转电导和自旋守恒电导都被压制的很低。自旋轨道耦合参数增大到

tR=0.1 t 时，极化度衰减的更加剧烈，如图 2d 所示。当 0.025 t＜Ef＜0.05 t 时，极化度被自旋轨道耦合抑

制的几乎为零，自旋翻转电导也变得可以与自旋守恒电导相比。可以看到在 tR=0.1 t 时，铁磁单层石墨

烯结原有的自旋极化能力被 Rashba 自旋轨道耦合作用破坏的很严重，变的几乎与普通的单层石墨烯条带

一样[24]。在费米能小于 0.02 t 时，极化度的振荡幅度还比较大，当费米能被进一步增大，极化度振荡的

幅度进一步消减。对比图 2g 和图 2h 可以发现，自旋翻转电导分量 G↓↑和 G↑↓的绝对值也会随着自旋轨道

耦合参数的增大而变大。

注：由于对称性，自旋翻转电导分量 G↓↑= G↑↓，铁磁交换能 h=−0.05 t

图 2 铁磁单层石墨烯结在不同 Rashba 自旋轨道耦合强度下自旋极化度 PZ 的变化（a～d）及其对应的 自旋分解电导分量图（e～h）

Fig. 2 Spin polarization PZ (a-d) under different Rashba spin-orbit coupling and the corresponding spin conductance (e-h) of the ferromagnetic monolayer graphene

Rashba 自旋轨道耦合作用的引入使电子的自旋极化度出现震荡，随着费米能的增大，电子自旋极化

度变小且震荡频率增加。不同于 Rashba 自旋轨道耦合，内禀自旋轨道耦合起源于碳原子的内部自旋与轨

道的作用，其哈密顿量形式也不相同，不能诱导电子自旋的进动。因此，没有出现自旋翻转电导 G↓↑和 G↑↓. 同 Rashba 自旋轨道耦合的情形一样，研究在自旋轨道耦合的情况下铁磁单层石墨烯结的极化输运性质。

当内禀自旋轨道耦合参数为 0.005 t、费米能为 0＜Ef＜0.03 t 时，铁磁单层石墨烯结的电流几乎完全被极

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化，如图 3a 所示。在此费米能区间内，自旋电导分量 G↓↓被铁磁交换场的相互作用压制，如图 3d 所示。

然而，一旦费米能超过 0.03 t 时，极化度出现了断崖式的下降。这种自旋极化与自旋电导分量的行为实

际上是由于内禀自旋轨道耦合哈密顿量的自旋子矩阵中只出现对角元素引起的。当自旋轨道耦合强度增

大至 tI=0.01 t 时，自旋极化仅在费米能小于 0.01 t 时发生，如图 3b 所示。同时，自旋翻转电导分量 G↓↓

为零，如图 3f 所示。如果耦合参数进一步增大至 tI=0.05 t 时，从自旋极化的角度来看，与普通单层石墨

烯条一样，铁磁单层石墨烯结极化电子的能力将完全丧失。由图 3f 可以看出，其自旋电导分量 G↓↓和 G↑↑

与普通单层石墨烯条带一样，内禀自旋轨道耦合作用使铁磁交换场的作用完全丧失。

图 3 铁磁单层石墨烯结上在不同内禀自旋轨道耦合强度下自旋极化度 PZ 的变化（a～c）

及其所对应的自旋分解电导分量（d～f） Fig. 3 Spin polarization PZ (a-c) under different intrinsic spin-orbit coupling and the corresponding spin conductance (d-f) of the

ferromagnetic monolayer graphene

综上所述，可以看出，不论是 Rashba 自旋轨道耦合还是内禀自旋轨道耦合均对铁磁单层石墨烯结的

自旋极化功能产生了抑制作用。事实上，铁磁单层石墨烯结中起过滤自旋电子作用的交换场，与 Rashba和内禀的自旋轨道耦合是一对相互竞争的机制。二者比较，在相同的耦合参数下，内禀自旋轨道耦合是

一种抑制作用更强的机制。由于它们起源不同，自旋电导分量和抑制极化行为也出现了明显的不同。

Rashba 自旋轨道耦合是通过诱导出电子自旋进动产生自旋翻转电导 G↓↑和 G↑↓，从而压低自旋极化度。内

禀自旋轨道耦合主要是使自旋守恒电导分量 G↓↓得到提升来压低自旋极化度。特别地，Rashba 自旋轨

道耦合强度可以利用外加电场进行调节。利用这一特点，可以通过控制极化流的大小实现可控的自旋

过滤器。

2.2 自旋轨道耦合强度与铁磁交换能

铁磁交换作用与自旋轨道耦合之间对自旋极化是一对相互竞争的关系。为进一步阐明铁磁交换场与

自旋轨道耦合的相互作用对极化输运的影响，需要明确铁磁交换能与自旋轨道耦合参数之间的关系。为

此，计算在一定费米能与铁磁交换能参数下自旋轨道耦合强度参数的变化与自旋极化之间的关系。为方

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便起见，取铁磁交换能 h=−0.05 t 和 h=−0.1 t，并分别计算在两种轨道耦合情况下自旋极化的输运行为，

其计算结果如图 4 所示。

图 4 铁磁单层石墨烯结上在不同费米能下自旋极化度 PZ 随自旋轨道耦合强度 tR 和 tI 的变化

Fig. 4 Spin polarization PZ under different Fermi energy (Ef), Rashba (tR) and intrinsic (tI) spin-orbit coupling of the ferromagnetic monolayer graphene

由图 4 可以看出，不论是哪种类型的自旋轨道耦合，在自旋轨道耦合参数较小的情况下自旋极化度

均没有被严重抑制住。但当耦合参数强度逐步增大时，极化度逐步开始出现退步行为，这一点符合上述

分析结果，并与物理直觉相符。特别地，对于 Rashba 情形，在铁磁交换能 h=−0.05 t 时，自旋极化度 PZ

在 3 个费米能参数的情形下，在 tR<0.05 t 时变化较小，一旦当参数 tR>0.05 t 时，自旋极化出现了迅速衰

减，如图 4a 所示。将自旋极化度开始出现明显衰减的自旋轨道耦合参数值称为阈值。当铁磁交换能 h=0.1 t时，在 Rashba 自旋轨道耦合情形下得到了类似的结果，自旋极化度均在阈值 tR≈0.05 t 出现了迅速衰减，如

图 4b 所示。这一行为对 Rashba 自旋轨道耦合具有普适性，与图 2 一样，二者的极化度均出现了明显的

振荡行为。随着耦合强度的增大，振荡的幅度逐步降低。这种在 Rashba 自旋轨道耦合下，自旋输运行为

的振荡特征可以用自旋进动的周期性给予更好的解释[14]。当耦合强度进一步增大到大于 0.1 t 时，自旋极

化度趋向于零。尽管存在铁磁交换作用，但其过滤电子自旋的作用几乎消失。 对于内禀自旋轨道耦合的情形，由图 4 可以看出铁磁交换能不一致时，其自旋极化的输运行为也不

一样。当铁磁交换能 h=0.05 t、内禀自旋轨道耦合参数 tI＜0.05 t 时，极化度几乎没有明显的变化，如图 4c所示。但自旋极化度 PZ 在 tI≈0.05 t 时却出现了急速的衰减。当超过 tI=0.05 t 时，自旋极化度几乎为零，

铁磁交换场对电子几乎无自旋过滤作用。这是由于内禀自旋轨道耦合中含有泡利矩阵分量 sz. 当铁磁交

换能为 h=0.1 t 时，也得到了类似的结果，而内禀自旋轨道耦合参数的阈值为 tI≈0.01 t，如图 4d 所示。

同样地，在其他铁磁交换能参数下计算时发现，极化出现明显衰减的阈值严重依赖于铁磁交换能。当内

禀自旋轨道耦合参数大于该阈值时，铁磁单层石墨烯结的极化机制丧失殆尽。

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综合以上分析得出以下结论：Rashba 自旋轨道耦合对铁磁单层石墨烯结极化度的影响不依赖于铁磁

交换能 h，当阈值 tR≈0.05 t 时出现一个明显伴随着振荡行为的衰减。而内禀型的自旋轨道耦合则依赖于

铁磁交换能 h，极化度在 I | | /10t h≈ 出现严重的退化。如同对图 2 的讨论一样，二者的差异实际上是由于

Rashba 自旋轨道耦合和内禀自旋轨道耦合的哈密顿量形式不同。

3 结论 本文利用格林函数研究了在自旋轨道耦合下铁磁单层石墨烯结的自旋输运。计算表明，在不同形式

自旋轨道耦合影响下，铁磁单层石墨烯结的自旋极化机制会被自旋轨道耦合抑制，发现二者抑制极化的

行为也表现出明显的不同。Rashba 自旋轨道耦合是通过诱导出电子自旋进动产生自旋翻转电导 G↓↑和 G↑↓

来压低自旋极化度。内禀自旋轨道耦合是通过提高自旋守恒电导分量 G↓↓来降低自旋极化度。铁磁单层

石墨烯结中起过滤自旋电子作用的交换场与 Rashba 和内禀的自旋轨道耦合是一对相互竞争的关系。在相

同的耦合参数下，内禀自旋轨道耦合是一种抑制作用更强的机制。利用 Rashba 自旋轨道耦合强度可以通

过外加电场进行调节的特性，可以在铁磁单层石墨烯结实现可控的自旋过滤。

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