연립일차방정식과 행렬5 1･행렬연산의 성질5 2･

소거법과 소거법5 3 Gauss Gauss-Jordan･역행렬5 4･

라플라스(Pierre-Simon Laplacc, 1749 1827)～

나폴레옹이 그의 논문에 신이 언급되지 않았다는 까다로운 지적을 했을 때 라플라

스는 폐하 저는 그 가설이 필요치 않았습니다 라고 대답했다" , " .

그리고 미국의 천문학자 나다니엘 보우디취는 라플라스의 논문을 영역할 때 나는"

라플라스가 따라서 그것은 명백하다 고 한 부분을 여러 시간 힘들여 부족한 부분을' '

공부하여 왜 그것이 명백한가를 알아내지 않고서는 결코 이해하지 못한다 고 언급“

했다.

연립일차방정식과 행렬

미지수 에 관한 일차방정식 은(linear equation) 와 계수 이

실수일 때 다음과 같은 꼴로 나타내어지는 방정식이다, .

일반적으로 미지수, 에 관한 유한개의 일차방정식의 모임

을 연립일차방정식 이라고 한다(system of linear equations) .

실수 이 모두 이면 이 연립방정식을0 동차 라 하고 그렇지 않(homogeneous)

으면 비동차 라고 한다 연립일차방정식의 미지수(nonhomogeneous) . 에 어떤

수 을 각각 대입하였을 때 각 방정식이 모두 성립하면, ( 을 이 연)

립일차방정식의 해 라고 한다(solution) .

연립일차방정식의 해 전체의 집합을 연립일차방정식의 해집합 이라 하며 동일(solution set) ,

한 해집합을 가지는 두 연립일차방정식을 동치 라고 한다(equivalent) .

일반적으로 연립일차방정식에 대하여 다음 중 하나가 성립한다, .

214

해를 갖지 않는다( ) .ⅰ

유일한 해를 갖는다( ) .ⅱ

무수히 많은 해를 갖는다( ) .ⅲ

연립일차방정식의 해법인 소거법에서 변수의 기능은 위치를 나타내는 역할 이외에는 없다.

따라서 변수를 반복해서 쓸 필요가 없고 계수만으로 소거법을 시행하여도 해를 얻을 수 있는, ,

데 이러한 방법을 소거법 절 참조 이라고 한다 이를 위해 다음과 같이 행렬을 정의Gauss (5 3 ) .･한다.

실수 또는 복소수 를 다음과 같이 직사각형 모양으로 배열한 것을( ) 행렬 이라 하며(matrix) ,

그 각각의 수를 행렬의 성분 이라고 한다(entry) .

(5 1)･

행렬 에서

을 의 행( th row of 이라 하고) ,

을 의 열( th column of 이라고 한다 또) . , 개의 행과 개의 열을 갖는 행렬

를 크기 가(size) 인 행렬이라 하며 특히, 이면 차의 정사각행렬(square matrix)

이라고 한다.

행렬 의 행, 열의 성분 를 의 성분이라 하며, 차의 정사각행렬 의 성분

을 주대각선성분 이라고 한다 행렬 은(main diagonal entries) . (5 1)･성분을 써서 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

또는

정사각행렬 의 주대각선성분 이외의 모든 성분이 일 때0 , 를 대각행렬(diagonal matrix)

이라 한다 특히 주대각선성분이 모두 같은 대각행렬을. , 스칼라행렬 이라고(scalar matrix) 한다.

215

다음은 모두 대각행렬이다 특히. , 와 는 스칼라행렬이다.

두 행렬 , 가 모든 에 대하여 를 만족하면 서

로 같다 고 하고(equal) 로 나타낸다.

두 행렬 , 와 실수 에 대하여 와 의 합(sum)

와 의 스칼라배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의한다.

,

일반적으로 는 간단히 로 쓴다.

두 행렬 , 에 대하여 와 의 곱(product) 를 다

음과 같이 정의한다.

여기서,

216

위의 정의에서 의 성분은 의 행에 있는 각 성분에 의 열에 있는 성분을

차례로 곱하여 모두 더한 것임을 의미한다 따라서. , 와 의 곱은 의 열의 개수와 의

행의 개수가 같을 때에만 정의된다.

의 번째 행을 로 의 번째 열을 로 표시한다면 로 쓸 수 있

다 이를 이용하면. 의 성분은 이다 이 기호법은 증명이 필요할 때 사.

용하면 편리하다.

행렬

에 대하여 를 구하시오.

이제, 개의 미지수를 갖는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식

(5 2)･

을 생각하자 이때.

이라 하면 연립일차방정식 는 행렬의 곱을 이용하여 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다(5 2) .･

이때 행렬, 를 연립일차방정식 의(5 2)･ 계수행렬 이라 하며(coefficient matrix) , 에

를 붙여서 만든 행렬

217

을 연립일차방정식 의(5 2)･ 첨가행렬 이라고 한다(augmented matrix) .

다음 연립일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내라 또 연립일차방정식의 첨가행렬을 구.

하여라.

이라 할 때, 이다 그리고 첨가행렬은.

=

행렬연산의 성질

행렬연산의 성질은 우리가 이미 알고 있는 실수의 연산성질과 유사한 점이 많으나 몇 가지

예외가 있다 가장 중요한 예외는 곱에 관한 것이다 실수. . 에 대하여 는 항상 성

립하지만 행렬, 에 대하여 가 일반적으로는 성립하지 않는다 이 등식이 성립.

될 수 없는 이유에는 또는 가 정의되지 않는 경우와 가 모두 정의되더라도

인 경우가 있는데 다음 예를 통하여 이를 확인해 보도록 하자, .

행렬 가 각각 다음과 같다고 하자.

이 때, 는 정의되지만 는 정의되지 않으며, 는 행렬이지만 는

행렬이므로 이다 또. , 나 는 모두 행렬이지만 다음에서 알 수 있듯

218

이 이다.

또는 엑셀 또는http://matrix.skku.ac.kr/calculus/Matrixcal/Applet1.html MS http://

에서 임의의 행렬 두 개를 입력하고 그 결과를 확인matrix.skku.ac.kr/calculus/java_all.html

해 보시오 사용법은 장 절의 공학적 도구를 이용한 행렬의 계산 을 참고하시오. 6 3 “ ” .

행렬 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, 가 스칼라일 때,

다음이 성립한다.

(1) 덧셈의 교환법칙( )

(2) 덧셈의 결합법칙( )

(3) 곱셈의 결합법칙( )

(4) 분배법칙( )

(5) 분배법칙( )

(6)

(7)

(8)

(9)

힌트 이 등식들을 증명하려면 좌변과 우변의 행렬이 크기가 같고 각각에 대응하는 성분들이, ,

서로 같음을 밝히면 된다.

다음 행렬에 대하여 와 를 확인하여라.

219

성분이 모두 인 행렬 예를 들어0 ,

등을 영행렬 이라 하고 크기가(zero matrix) , 인 영행렬을 또는 으로 나타낸다.

임의의 행렬 에 대하여 영행렬 이 와 크기가 같은 영행렬이면 가

성립한다 즉 영행렬. , 은 행렬연산에서 실수의 덧셈에서의 과 같은 역할을 하는 행렬이라0

할 수 있다 그러나 실수의 연산에서 성립하는 다음 두 가지 성질은 행렬연산에서 일반적으로.

성립하지는 않는다.

( )ⅰ

( )ⅱ 또는

행렬 에서

이고 이지만 이다 또한. , 이지만 이다.

임의의 행렬 와 영행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

(3)

(4)

주대각선 성분이 모두 인1 차의 스칼라행렬을 차의 단위행렬 이라 하(identity matrix)

고 으로 나타낸다 즉. ,

220

가 행렬일 때 단위행렬, 과 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

행렬 일 때,

또한,

가 차의 정사각행렬일 때, 의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

개

거듭제곱의 정의로부터 다음 정리를 얻는다.

가 정사각행렬이고 과 가 음이 아닌 정수 일 때 다음이 성립한다, .

221

행렬 에 대하여 의 전치행렬(transpose of 을) 로 나타내고

다음과 같이 정의한다.

ʹ , ʹ

위의 정의로부터 행렬, 의 전치행렬 는 의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬임을 알 수

있다.

다음 행렬의 전치행렬을 각각 구하여라.

,

두 행렬 와 임의의 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

(3)

(4)

아래 행렬 에 대하여 위 정리 의 이 성립함을 보여라, 4 (3) .

222

정사각행렬 가 를 만족하면 를 대칭행렬 이라 하고(symmetric matrix) ,

를 만족하면 반대칭행렬 또는(skew symmetric matrix) 교대행렬(alter-

이라고 한다nating matrix) .

위 정의로부터 정사각행렬 가 대칭행렬이면 모든 에 대하여 임을 알

수 있다 또한. , 가 반대칭행렬이면 모든 에 대하여 이고 따라서 주,

대각선성분은 모두 영임을 알 수 있다.

다음 행렬 중에서 와 는 대칭행렬이고, 는 반대칭행렬이다.

가 임의의 정사각행렬일 때 다음을 보여라, .

(1) 는 대칭행렬이다.

(2) 는 반대칭행렬이다.

문제 에 의해 모든 정사각행렬은 대칭행렬과 반대칭행렬로 분할이 가능하다4 .

1. 두 행렬 가 이기 위한 를 구하여라.

223

2. 행렬

에 대하여 다음 중 계산 가능한 것만을 계산하여라, .

(1) (2)

(3) (4)

다음 행렬 에 대하여 물음에 답하여라.

3. 일 때, 를 구하여라.

4. 일 때, 를 구하여라.

다음 연립일차방정식에 대하여 물음에 답하여라.

계수행렬 을 구하여라(1) (coefficient matrix) .

연립일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내어라(2) .

첨가행렬 을 구하여라(3) (augmented matrix) .

5.

6.

첨가행렬이 다음과 같은 연립일차방정식을 구하여라 단 미지수는( , 으로 놓아라).

7.

8.

224

행렬 이고 , 일 때 다,

음을 확인하여라.

9.

10.

11.

12.

13. 행렬 가 차의 정사각행렬이고2 , 일 때 이 성립하는 예를 하나만 찾아라.

14. 행렬 일 때, 이지만 임을

확인하여라.

다음 행렬 에 대하여 계산하여라.

15.

16.

17. 가 행렬이고 가 스칼라일 때, 이면 또는 임을 증명하여라 힌[

트 만일 아니라면： 임을 보이면 된다].

18. 임의의 차의 정사각행렬2 에 대하여 가 성립하는 차의 정사각행렬2 의 일반적인

모양을 모두 찾아라.

차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하여라.

19. 는 대칭행렬이다.

20. 는 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 나타낼 수 있다 힌트 문제. [ : 4]

21. 가 정사각행렬일 때 의 주대각선원소를 모두 더한 것을 의 대각합 이라 하고(trace)

로 나타낸다. 가 차의 정사각행렬일 때 다음이 성립함을 보여라, .

225

(1)

(2) ,

(3)

(4)

22. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하여라.

힌트 모순을 이용한 증명으로 문제 번의 사실 를 이용한다[ 21 (3), (4) ]：

의 주소에서 확인해 보세요http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/trace.html .☞

소거법과 소거법Gauss Gauss-Jordan

이 절에서는 연립일차방정식을 풀 때 자주 쓰던 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록

한다 이 방법은 주어진 연립일차방정식의 첨가행렬로부터 시작하여 어떤 특별한 형태의 행렬.

을 만들어 내는 것이다 이 새로운 행렬은 주어진 연립일차방정식과 동치인 연립일차방정식을.

나타낸다.

다음 예는 연립방정식을 푸는데 행렬을 어떻게 이용할 수 있는가를 암시한다.

226

아래의 왼쪽은 연립방정식을 푸는 과정이고 오른쪽은 이에 따른 이 연립방정식의 첨가행렬,

의 변화를 나타낸 것이다.

첫째 방정식을 배하여 둘째 방정식에 더한다2 .－

첫째 방정식을 배하여 셋째 방정식에서 더한다3 .－

둘째 방정식에 을 곱하면

둘째 방정식을 배하여 셋째 방정식에 더하면3－

셋째 방정식에 를 곱하면2－

따라서

즉 구하는 연립방정식의 해는,

227

행렬 가 다음 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴 이(row echelon form, REF)

라고 한다.

성분이 모두 인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다( ) 0 .ⅰ

각 행에서 처음으로 나타나는 이 아닌 성분은 이다 이때 이 을 그 행의( ) 0 1 . , 1ⅱ 선행

성분 이라고 한다(leading entry) .

( )ⅲ 행과 행 모두에 선행성분이 존재하면 ( 행의 선행성분은) 행의 선

행성분보다 오른쪽에 위치한다 또 행렬. , 가 행사다리꼴이고 다음 성질을 만족

하면 를 기약 행 사다리꼴 이라고 한다(reduced row echelon form, RREF) .

어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 이다( ) 0 .ⅳ

앞으로 행 사다리꼴은 간단히 로 기약 행 사다리꼴은 로 나타내기로 한다REF , RREF .

다음 행렬은 모두 이다REF .

, , ,

다음 행렬 는 각각 위 정의의 성질 을 만족하지 않으므로 가( ), ( ), ( ) REFⅰ ⅱ ⅲ

아니다.

다음 행렬은 모두 이다RREF .

228

이제 주어진 행렬을 기약 행 사다리꼴 로 변형하는 방법에 대하여 알아보자, (RREF) .

행렬 에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation, ERO)

이라고 한다.

E1 : 의 두 행 행과 행을 서로 바꾼다.

E2 : 의 행에 이 아닌 상수0 를 곱한다.

E3 : 의 행을 배하여 행에 더한다.

앞으로 기본행연산을 다음과 같은 기호로 나타내기로 한다( 참조).

E1 : ( 번째 행과 번째 행을 교환한다)

E2 : ( 번째 행에 배 한 것을 번째 행으로 대치한다)

E3 : ( 번째 행에 배 한 것을 번째 행에 더한 것을 번째 행으로 대치한

다)

행렬 에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 라 하면 와 는 행동치(row

라고 한다equivalent) .

다음 행렬은 모두 행동치이다.

다음 행렬 에 기본 행연산을 시행하여 와 로 변형시켜 보자REF RREF .

229

단계 1

성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열을 찾는다0 .

성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열 이 경우는 첫 번째 열이다0 ( )

단계 2

단계 에서 찾은 열의 가장 위에 있는 성분이 일 때에는 그 열의 위에서부터 처음으로1 0

이 아닌 성분을 포함하는 행과 행을 교환한다 가능하면 또는 등의 성분을 취0 1 ( 1, 1 2－

한다).

의 행과 행을 교환하였다1 2 이 경우는 열의 행성분이 대상이 된다( 1 2 ).

단계 3

의 행의 선행성분을 로 만들기 위하여1 1 의 행을 첫째 성분으로 나눈다1 .

의 행을 로 나누었다1 2 .

단계 4

의 행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 으로 만든다 행연산1 0 ( ).

의 행을 배하여 행에 더했다1 -3 3 .

단계 5

의 행을 제외한 나머지를1 라 하고 단계 에서 단계 를 반복한다1 4 .

,

성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열0 의 행과 행을 교환했다1 2 .

230

의 행을1 로 나누었다 . 의 행의 배를 행에 더했1 2 2－ 다.

단계 6

의 행을 제외한 나머지를1 라 하고 단계 에서 단계 를 반복한다1 3 .

모두는 이 아님 가장 좌측 열0 의 행을 으로 나누었다3－ 따라.

서 다음과 같은, 의 을 얻는다REF .

의 를 다음과 같이 변형시키면 를 얻는다REF RREF .

다음 행렬 의 와 를 구하여라REF RREF .

231

첨가행렬이 행동치인 두 연립일차방정식은 동치이다.

위 정리에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 로 변형시켜 그 해를 쉽게 구할 수 있REF

다 이러한 방법을. 소거법Gauss 이라고 한다.

다음 연립일차방정식을 소거법으로 풀어라Gauss .

이면 의 는RREF 이다.

한편 정리 에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 로 변형시켜 해를 구할 수도 있, 1 RREF

다 이러한 방법을. 소거법Gauss-Jordan 이라고 한다.

위의( 행렬) 로부터 유도된 다음 연립방정식을 각각 소거법과Gauss Gauss- Jordan

소거법으로 풀어라.

이므로

이 행렬 를 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식은

이므로 ( 는 임의의 실수 이것을 자유변수라 한다 이라 놓으면 구하는 해는)；

232

이다 이 방법이 소거법이다. Gauss .

소거법을 이용하려면 행렬Gauss-Jordan , 를 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식

을 같은 방법으로 풀면 된다 물론 같은 답을 얻게 됨을 알 수 있다. .

대개 를 구한 후 연립방정식을 풀면 쉽게 답을 얻는다 그러나. 만 구하고

해를 구하여도 같은 답을 구할 수 있으며, 를 가지고 해를 구하는 과정이 에

서 를 구한 후 해를 구하는 과정보다 간단하기 때문에 일반적으로 연립방정식의 해를

구할 때는 소거법을 쓴다Gauss . 는 주로 역행렬을 구할 때 더욱 가치를 발휘한다.

이고,

, , , ,

일 때, 의 를 한 번만 구하여REF(RREF) 개의 연립일차방정식 ,

, , 의 해를 동시에 구할 수도 있다 이 방법으로. ,

의 해를 동시에 구하여라.

주소 에서 연립방정식을 풀어보시오http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/linear_eqn.html .

새로운 도구에 대한 정보는 에 추가된다http://matrix.skku.ac.kr/calculus/ .

233

역행렬

이 절에서는 정사각행렬에 대하여 실수에서의 역수와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아

본다.

차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 만족하는 행렬 가 존재하면 는 가역

이라고 한다(invertible) .

이때, 를 의 역행렬 이라고 하며 이러한(inverse matrix) , 가 존재하지 않으면

는 비가역 이라고 한다(noninvertible) .

행렬

에서 가 의 역행렬임을 다음 계산으로부터 알 수 있다.

행렬 은 행의 성분이 모두 이므로 어떤 차 행렬3 0 3 에 대하여도 의

행은3 이다 따라서. 인 가 존재하지 않으므로 는 비가역이다.

234

차의 정사각행렬 가 가역이면 의 역행렬은 유일하다.

행렬 가 모두 의 역행렬이라고 하면

이므로

이다 따라서. , 의 역행렬은 유일하다.

차의 정사각행렬 가 가역일 때, 의 역행렬을 로 나타낸다 즉. ,

행렬 에서 라고 하면

임을 보여라.

차의 정사각행렬 가 가역이고 가 이 아닌 스칼라일 때 다음이 성립한다0 , .

(1) 은 가역이고, 이다.

(2) 는 가역이고, 이다.

(3) 는 가역이고, 이다.

(4) 는 가역이고, 이다.

두 행렬 에 대하여 임을 확인하여라.

235

이제, 차의 정사각행렬 가 가역일 때 에 을 시행하여 단위행렬을 만들 수 있다ERO .

즉, 이다 이제. 의 역행렬을 다음과 같은 단계로 구해보자.

단계 주어진 행렬1 에 단위행렬 을 첨가하여 행렬 을 만든다.

단계 단계 에서 만든 행렬2 1 의 를 구한다RREF .

단계 단계 에서 얻어진 를3 2 RREF 라고 하면 다음이 성립한다.

( )ⅰ 이면 이다.

( )ⅱ 이면 는 비가역이고 은 존재하지 않는다.

다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

를 만들면 이고 이 행렬의 를 구하면, RREF

이다. 이므로 이다.

∴

236

다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

소거법을 이용하여 역행렬의 존재성을 확인하거나 역행렬을 구하는 방법은 단순Gauss-Jordan

한 계산을 반복하는 것이다 따라서 이런 계산은 컴퓨터를 이용하면 쉽게 구할 수 있다는 것을 알.

수 있다 참고 장 절( 6 3 ).

이제 행렬의 가역성과 연립방정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정식에 대하여 살

펴본다.

차의 정사각행렬 가 가역이고 가 행렬일 때 연립일차방정식, 는 유일

한 해 를 갖는다.

연립방정식 은

이라 놓으면 로 나타낼 수 있다 그런데 행렬. 는 예 에서 보듯이 가역이고3 ,

이므로 정리 에 의하여 위 연립방정식의 해는3

즉, 이다.

이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

237

위의 동차연립일차방정식에 을 대입하면 모든 방정식이 성립하

므로 이것은 연립방정식의 해이다 이. 를 자명한 해 라 하며(trivial solution) ,

인 해를 자명하지 않은 해 라고 한다 연립일차방정식의 해는 존재하지(nontrivial solution) .

않거나 유일하게 존재하거나 또는 무수히 많이 존재한다 그런데 동차연립일차방정식은 항, .

상 자명한 해는 가지므로 다음 두 가지 경우만이 가능하다.

자명한 해만 갖는다( ) .ⅰ

무수히 많은 해를 갖는다 즉 자명하지 않은 해도 갖는다( ) ( , ).ⅱ

다음 정리는 동차연립방정식이 어떤 경우에 자명하지 않은 해를 갖는지를 알려준다.

개의 미지수를 갖는 개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 이면 즉,

미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 자명하지 않은 해를 갖는다.

동차연립방정식

(5 3)･

의 첨가행렬은 이고 이것을 로 변형하면 다음과 같다, RREF .

이것에 대응하는 연립방정식은

이므로 ( 임의의 실수 이것을 자유변수 라 한다 이라 놓으면; (free variable) ) (5･의 해는3)

이다 여기서. 이면 자명한 해가 되고, 이면 자명하지 않은 해가 된다.

238

이제 지금까지 논의한 역행렬을 이용하여 실제 응용문제를 연립방정식으로 만들어 해결하는,

예를 살펴보자.

연립 일차방정식과 역행렬을 이용하여 코사인 제 법칙을 유도해보자2 .

세 변 와 마주보는 각(opposite angles) 를 갖는 위의 삼각형을 생각하자.

그러면 삼각비의 정의에 의해 위의 세 식을 얻는다.

이 식으로부터 를 구해보자 우선 행렬을 이용한 연립일차방정. 식

를 만들고 의 역행렬을 구한다.

모두가 이 아니라면 는 역행렬을 갖는다( 는 삼각형의 세 변의 길이이

므로 모두 은 아니다 따라서).

, ,

이고 이므로 를 얻는다. 와

도 같은 방법으로 얻을 수 있다.

다음의 간단한 전기회로 다이어그램을 보자 전지나 발전기에서 만들어내는 전압을.

로 저항을 로 표시하자 저항은 전기에너지를 열로 바꾸어 준다 실제로 전. . ,

열기나 오븐은 저항의 역할을 한다 그리고 회로상의 각 경로에 흐르는 전류의 양을.

로 나타내자 전압은 볼트로 저항은 오옴 으로 측정한다 전류는 암페어로. , (ohms) .

측정하는데 전류가 화살표의 반대방향으로 흐르면,

239

그 전류는 음의 값을 갖는다 전압과 저항이 주어질 때 전류의 값을 계산하기 위하여 다음과. ,

같은 의 법칙을 이용한다Kirchhoff .

회로의 각 경로가 만나는 교점 에서의 전류의 합은 이다 다시 말하자면 교(1) (junction) 0 ( ,

점으로 흘러 들어오는 모든 전류는 모두 다시 흘러 나가게 된다).

전체 회로의 각각의 닫힌 경로에서는 경로상의 전압(2) 들의 합은 저항 와 전류

의 곱들의 합과 항상 같다( ).

전류 는 모두 교점 로 흘러 들어오므로 첫 번째 법칙에 의해,

을 얻는다 이 첫 번째 법칙을 교점. 에 적용해도 같은 식을 얻는다.

그림에서 첫 번째 닫힌 회로를 시계 방향으로 돌아가면 전압의 합은(closed) , 저,

항의 합은 이 되므로 두 번째 법칙에 의하여, , 마찬.

가지로 두 번째 닫힌 회로에서(closed) 을 얻는다.

이렇게 얻은 세 방정식

을 행렬로 나타내면

이 되고 간단한 계산 장 정리 참조 을 하여(6 2 )

을 얻는다 따라서. 과 같은 방법으로 주어진 저항 들과 전압 들로 각 경로의

전류 각각의 를 표시할 수 있다.

240

질량 , , 를 갖는 세 물체가 차례로 세 점 , , 에 놓여

있다 이 경우 무게 중심이. 이고 각 질량의 합이 일 때1 , 를 구하기 위한

연립일차방정식을 구하여라.

아래 그림과 같은 전기회로에 의 법칙을 적용하면 다음 방정식들을 얻는다Kirchhoff .

여기에서 아래 행렬표현을 유도하여라.

다음 행렬 중 와 인 것을 찾고 가 아닌 것은 로 변형시켜라REF RREF , RREF RREF .

1. 2.

3. 4.

241

5. 다음 행렬과 행동치인 행렬을 개만 찾아라3 .

다음 연립방정식을 소거법으로 풀어라Gauss .

6. 7.

8. 9.

10. 아래 연립방정식에 대하여 다음을 구하여라.

해를 갖지 않기 위한(1) 의 조건

유일한 해를 갖기 위한(2) 의 조건

무수히 많은 해를 갖기 위한(3) 의 조건

11. 다음 연립일차방정식이 해를 갖기 위한 의 조건을 구하여라.

다음 행렬 중 가역인 것을 찾고 그 역행렬을 구하여라, .

12. 13.

14. 15.

242

16. 다음 행렬 의 역행렬이 존재하기 위한 의 값을 모두 구하고 그 때의, 를 구하여라.

17. 차의 정사각행렬 가 가역이고, 가 임의의 자연수일 때, 는 가역임을 보여라.

18. 차의 정사각행렬 가 가역이고 다음식을 만족하면 임을 보여라.

다음 동차연립방정식 중에서 자명하지 않은 해를 갖는 것을 찾아라.

19. 20.

21. 22.

행렬 에 대하여 다음 동차연립일차방정식을 풀어라.

23. 24.

25. 다음 동차연립일차방정식이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은 임을 보

여라.

26. 가 행렬이고 가 아닌 행렬일 때 연립방정식, 가 해를 갖는다고 하자 이 때. ,

이 의 한 해이고 이 의 해이면 은 의 해가 됨을 증명하

여라.

주소 의 도구를 이용하여 연립방정식을http://math.skku.ac.kr/~sglee/java/linear_eqn.html

풀어보세요 계속하여 새로운 도구와 링크 정리의 증명과 문제의 답에 대한 정보는! ,

243

에 추가됩니다http://matrix.skku.ac.kr/calculus .

예습으로 행렬 의 와 를 아래와 같이 구했다 다음 장에서는.

연립방정식을 푸는 새로운 방법을 학습한다.