그래프이론 인식 - skkumatrix.skku.ac.kr/2013_coll/20130502_lee sw/20130502_lee... ·...

성균관대학교� 수학과� Colloquium 2013.� 5.� 2.

� / 27 이상욱(REE� Sangwook),� 수원대학교� 수학과� -� 2013.� 5.� 2.1

그래프 이론에서의 인식의 변천

2013. 5. 2.

성균관대학교 수학과

이 상 욱

수원대학교 수학과



동기

1. Endre Szemeredi

2012.5.22. Szemeredi의 Abel상의 수상

Szemeredi의 전공 분야: Discrete Mathematics, Computer Science

Graph Theory, Regularity Lemma

2. Prize Award: 기여, 인식의 변화

Thomas S. Kuhn, Structure of Scientific Revolutions, Chicago Univ. Press, 1962, 1970.

Freeman Dyson, Birds and Frogs, Notices of AMS, Vol. 56 (Feb. 2009), No. 2, 212-223.

Werner Karl Heisenberg, Der Teil und das Ganze, 김용준 역, 부분과 전체, 지식산업사, 1982.

1932 Nobel Prize in Physics for the creation of Quantum Mechanics.

Max Born, Fundamental Research in Quantum Mechanics, 1954 Nobel Prize.

3. Philip Kitcher, Epistemology without History is Blind, Erkenn Vol. 75 (2011), 505-524.



목차

1. Endre Szemeredi; Abel Prize; Szemeredi Regularity Lemma

2. Discrete Mathematics; Combinatorics; Graph Theory

3. Epistemology and Cognition; 인지능력의 성장원리

4. Mathematics and Graph Theory: Functional Theory; Structural Theory

5. History of Mathematics and Graph Theory

6. Probabilistic Method and 0-1 Law

7. Random Graphs

8. Szemeredi Regularity Lemma

9. Dieudonne: Idea, Method, Theory



1. Endre Szemeredi1940 헝가리 Budapest 출생

1940 Hungary, Budapest 출생

1965 Eotvos Lorand University, M.Sc.

1970 Moscow State University, Ph.D. (Adv. Israel M. Gelfand)

현재, Rényi Institute, Hungarian Academy of Sciences

Dept. of Computer Science, Rutgers University



Abel Prize - http://www.abelprize.no/

∎ 2001년 노르웨이 정부가 2300만 달러(2억 NOK)의 초기 재원으로 제정

The Niels Henrik Abel Memorial Fund was established on 1 January 2002.

2013, Pierre Deligne

2012, Endre Szemerédi 2007: Srinivasa S. R. Varadhan

2011, John Milnor 2006: Lennart Carleson

2010, John Torrence Tate 2005: Peter D. Lax

2009, Mikhail Leonidovich Gromov 2004: Sir M. F. Atiyah & I. M. Singer

2008: J. G. Thompson & J. Tits 2003, Jean-Pierre Serre



Szemeredi Regularity Lemma

Szemeredi‘s Theorem (1975): A subset of integers of positive upper density contains arbitrary long arithmetic progressions.

Szemeredi Regularity lemma (1975) is a main ingredient in Szemerédi's theorem about arithmetic progressions in sets of positive density.

Regularity Lemma는 asymptotic graph theory의 연구에 있어 매우 유용한 연구 수단이다. 왜냐하

면 많은 문제에서 주어진 그래프를 랜덤그래프로 이해할 수 있을 때 문제의 해결이 쉬워지는데,

Regularity Lemma가 dense graph를 랜덤그래프처럼 이해할 수 있는 방법을 제공하기 때문이다.

- Miklos Simonovits, Szemeredi Regularity Lemma and its Applications, 발표자료,

Alfred Renyi Institute, Budapest, Hungary.



2. Discrete MathematicsCombinatorics 조합수학

Ira Gessel & G.-C. Rota, Classical Papers in Combinatorics, Birkhauser, 1987.

Algebraic Combinatorics: Enumerative Combinatorics

Gian-Carlo Rota, On the Foundations of Combinatorial Theory.

Richard Stanley, Herbert Wilf, Doron Zeilberger, Stembridge, ...

Ira M. Gessel, V. Reiner, White, Zelevinsky, . . .

- Combinatorial Set Theory

Ian Anderson, Combinatorics of Finite Sets

Terrence Tao, Combinatorial Number Theory (Additive Number Theory)

Graph Theory: Random Graph Theory, Extremal Graph Theory

Ramsey, Turan, Sos, Paul Erdos, Alfred Renyi, Szemeredi, Simonovits, ...

Bollobas, Kim Jeong Han, Vu, ...



3. Epistemology and Cognition

인간의 인식능력. 캠브릿지대학의 연결구과에 따르면, 한 단어 안에서 글자가 어떤 순서로

배되열어 있는가 하는 것은 중하요지 않고 첫 번째와 마지막 글자가 올바른 위치에 있는 것

이 중하요다고 한다. 나머지 글들자은 완전히 엉진망창의 순서로 배되열어 있을라지도 당신

은 아무 문없제이 글을 읽을 수 있다. 왜하냐면 인간의 두뇌는 모든 글자를 하나하나 읽는

것이 아니라 단어 하나를 전적체으로 인식하기 때문이다. - 이동흔 카톡 중

Philosophy: Ontology & Epistemology & Methodology

Epistemology

Cognitive Capacity



고요함이 들려주는 것들- Mark Nepo, 박윤정 -

Epistemology인식 : 거울(마음)에 비친 모습

Local view ➜ Global view (much: [L] multa ➜ multum)

속인 ➜ 현자

공자 vs. 노자

장자순자 性 ➜ 情 ➜ 慮 ➜ 僞 ➜ ･･･ Piaget : 아동 인지 발달 4단계

인지능력의 성장원리: 적응 ➜ 수용 ➜ 완성 ➜ 활용구장산술의 방정식론의 교육학적 의미, KSHSBA_2010_v23n1_25흥미, 관심 (=> 집중): 그래야 쉽게 적응 => 수용

무르익음의 원리: 생각의 숙성, 그래야 수용 => 완성



4. Mathematics and Graph Theory대수와 기하

Functional Theory vs. Structural Theory

,

V EF Local Property vs. Global Property

∈

deg

Freeman Dyson, Birds and Frogs,

Notices of AMS, Vol. 56 (Feb. 2009), No. 2, 212-223.



Oxford Univ. Press, 1984

5. History of Mathematics and Graph TheoryPhilip Kitcher, Epistemology without History is Blind, Erkenn Vol. 75 (2011), 505-524.

인식의 변화

Local vs. Global

Static vs. Dynamic

Deterministic vs. Random

Sampling and Modeling

Thomas S. Kuhn, Structure of Scientific Revolutions, Chicago Univ. Press, 1962, 1970.

위기⇗ ⇘

정상과학 패러다임

⇖ ⇙과학혁명



Discrete Mathematics: 20C 후반 급진적 발달, 그 이유는?

Joel Spencer,

1. Computer

2. Paul Erdos, Conjecture and Prove!!!

- Noga Alon & Joel Spencer, Probabilistic Method, 2nd edition,

Combinatorics in Eastern Europe:

Random Structures and Algorithms (RSA)

Hungarian group

Polish group



History of Graph Theory

1736 Euler, Konigsberg Bridge Problem

∈

deg1852 F. Guthrie, 4 color problem

1890 Heawood 5 color problem

1976 Appel and Haken

➜ Graph Coloring

1950s Ramsey, Turan, Erdos

Extremal Graph Theory, Random Graph Theory

Algebraic Graph Theory, Combinatorial Matrix Theory, Spectral Graph Theory



6. Probabilistic Method and 0-1 LawNoga Alon & Joel Spencer, Probabilistic Method, 2nd edition,

K&R, 폴 에르디쉬와 확률론적 방법론, KJHM 18(2005), No.4,101-112.

Probabilistic Methods확률 값이 양수로 주어짐을 보임으로써

특정 configuration의 존재성을 증명할 수 있다.

=> non-constructive proof

Threshold Function문지방을 넘어서면 현상이 달라진다.

예: 물과 수증기는 온도 ∘C 를 기준으로 달리 나타남.

0-1 Law



Ramsey Number완전그래프 을 two-coloring 을 했을 때, 단 색의 subgraph, 즉 빨강 또는 파랑 을 찾을 수

있는 최소의 을 로 쓰고, 이를 램지수라고 부른다.

정리� (1947,� Erdos,� Szekeres) 만약 과 가

을 만족시키면, 이다.

증명 by Probabilistic Method.

의 임의의 한 개의 부분그래프 가 단색으로 칠해질 확률: ⋅

선택 방법의 수:

한 개의 만이라도 단색 가 존재할 확률:

(by 주어진 조건)

그러므로 단색 가 없을 확률

그러므로 .



Probability and Distribution

임계 현상 : 0-1 Law

threshold function



Law of large numbers

( : independently and identically distributed random variables)

then weak law

as →∞ strong law

Central Limit Theorem (one of the greatest results of math)

: indep. ran. var. with , then

converges to .



7. Random Graphs1959 Erdos & Renyi, On Random Graphs, 8 pages.

1960 Erdos & Renyi, On the Evolution of Random Graphs, Publ. Math. Inst.

Hungarian Academy of Sciences 5(1960), 17-61.

: 개의 vertex 위에서 각 두 점 사이의 edge를 확률 로 주었을 때

만들어지는 그래프(configuration)를 이항 랜덤그래프(binomial random graph)라고 부른다.

그러면 가 갖는 edge의 수는 정리. (1) →∞일 때 → 면, 는 a.a.s.(asymptotically almost surely) a forest 이다.

(2) → ( 는 인 상수), then 는 aas 많아야 한 개의 회로를 포함한다.

(3) → ( ), then 는 한 개의 large component 를 포함한다.

(4) →∞, but log →∞, then 는 거대 성분 외에는 tree 로 구성.

(5) →∞, log →∞, then 는 aas 연결 그래프.



Large Graphs- small world

- internet graph

- complex network

- huge data

Richard M. Karp,

Combinatorics, Complexity, and

Randomnes, Turing Award Lecture,

Communications of the AMC,

Vol.29 (Feb. 1986), No.2, 98-109.combinatorial algorithm에 randomness를

적용하면 효과가 있다? (미확인)



- Ulf Grenander, World Scientific, 2012

The contents of the mind should be described as a vast graph.



8. Szemeredi Regularity Lemma (1975)is a result in graph theory. The lemma states that for every large enough graph, the set of nodes can be dvided into subsets of about the same size so that the edges between different subsets behave almost randomly.

For every and every integer ≥ , there exists an integer such that every graph of order at least admits an -regular partition with ≤≤ .

(1) ≤ ,

(2) ⋯

(3) 개 외에는 가 -regular for any ≤ ≤ and too.

- Diestel, Graph Theory, http://www.esi2.us.es/~mbilbao/pdffiles/DiestelGT.pdfCh. 7 Extremal Graph Theorey, 7.4 Szemeredi‘s Regularity Lemma



dense graph인 거대그래프가 있다고 하자.

파랑 성분:

빨강 성분:

마치 modulo arithmetic에서처럼

또는 group을 coset으로 quotient한 것처럼

거대 그래프를

작은 random graph로 이해한다.



E. Szemeredi, On Sets of Integers Containing No Elements in Arithmetic Progression, - Proceedings of the International Congress of Mathematics, Vancouver, 1974.- Acta Arithmetica 27 (1975), 199-245.

1926 van der Waerden: If the set of integers is arbitrarily partitioned into two classes, then at least one class contains arbitrarily long arithmetic progressions.

1935 Erdos and Turan: the greatest integer for which there is a sequence

of integers ⋯ ≤ which does not contain an arithmetic

progression of terms.

1967 Szemeredi: proved that

1935 Erdos and Turan: conjectured that lim →∞

is 0 for all .

1974 Szemeredi: proved Erdos and Turan‘s 1935 conjecture.



9. Dieudonne: Idea, Method, TheoryJean Dieudonne, Introductory Remarks on Algebra, Topology and Analysis,

Historia Mathematica 2 (1975), 537-548.

Progress in mathematics results, most of the time, through the imaginative fusion of two or

more apparently different topics.

(B) From device to theory --- the centers of radiation.

A miraculous idea ⇒ a method ⇒ a theory

수학의 발전은

처음에는 단순한 또는 천재적인 아이디어에 의한 문제의 해결,

그러다가 익숙해지면 문제 해결 방법으로 정착하게 되고,

더욱 익숙해져 바탕원리를 이해하게 되면 이론으로 정착하는

식의 3단계의 과정을 거친다.



인식을 위한 관점의 변화

인식 대상의 범위의 확대 지적 수준의 고양 ⇒ 인류 문명의 발달

Mathematics - functional theory

Static (local-global)방정식, 함수, . . .

Probabilistic확률론

Statistical 통계, 샘플링

Graph Theory - structural theory

Static그래프, 평면그래프, coloring, . . .

Random Graphs Regularity Lemma

Szemeredi Regularity Lemma 는 복잡계의 분석 도구로서 중요한 역할을 담당하게 될 것입니다.

아마도 인터넷과 컴퓨팅 기술이 발전하면 할수록 인류의 인지능력은 복잡계를 아주 잘 이해할 수

있도록 발전하게 될 것입니다. Regularity Lemma는 천재적인 아이디어일수 있지만, 이미 하나의

복잡계 구조의 이해 방법으로 정착해 가고 있습니다. 사람들이 더 연구하여 그 바탕원리를 이해

하게 되면 하나의 수학 이론으로 자리잡게 될 것입니다.



재미있게 들으셨다면 좋겠습니다. 흥미와 관심이 여러분의 심성을 자극하고,

자극을 느끼는 사람이 성공하는 사람이 되기 때문입니다.

감사합니다. - R

그래프이론 인식 - skkumatrix.skku.ac.kr/2013_coll/20130502_lee sw/20130502_lee... ·...

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