電気回路学の復習（２）

2019.4.15

担当教官 山尾 泰

禁無断複製

回路システム学第二 2019@ YYamao

回路システム学第二 2019@ YYamao

復習項目

1

１． 回路方程式の立て方 ＫＣＬ， ＫＶＬ

２． 回路の正弦波定常解 微分方程式

３． 回路の交流インピーダンス

４． フェーザ 振幅と位相 実効値

５． 交流消費電力

６． テブナン／ノートンの定理

Ijdt

dI= =

j

IIdt

cosReRe **

mmL ivIVVIP ===

回路システム学第二 2019@ YYamao

テブナンの定理と整合

図１駆動回路

（問題1） 図1の駆動回路を端子v(t)から左に見たときの

テブナンの等価電源電圧 E0，および内部インピーダンス Z0

をフェーザ形式で求めよ．

ただし e(t) = sin ωt [V], R = 1[Ω], L = 1[H], C = 0.5[F] とする

2

フェーザ形式

交流解析

回路システム学第二 2019@ YYamao

直流 交流

電圧源

電流源

電源について

回路素子としての ＜４つの電源＞

＋

－

＋

－

いずれも“理想化された”電源

E

J J（ﾌｪｰｻﾞ）

E（ﾌｪｰｻﾞ）

＋

－

3

回路システム学第二 2019@ YYamao

電圧源と電流源の等価変換

j(t) v(t)

i(t)

Y0等価

0

0

1

ZY = かつ )(

)()( 0

0

teYZ

tetj ==

e(t) v(t)＋

－

Z0

i(t)

ならば

この電圧源と電流源は回路として等価である。

内部インピーダンス／アドミタンスを有する電圧源と電流源があり、

4

回路システム学第二 2019@ YYamao

等価電圧源の定理（テブナンの定理）とは？

電圧源や電流源を含む回路の任意の２端子間にインピーダンス

Zを接続した場合に、 Zに流れる電流 Iは、

V0

＋

－（１）２端子間の開放電圧 V0 （等価電源電圧）

Z＋

－

I

等価 Z

I

＋

－V0

Z0

Z0

＋

－

短絡 開放

（２）回路中のすべての電圧源を短絡除去し、

電流源は開放除去した場合に、２端子間から

見たその回路のインピーダンス Z0

ZZ

VI

+=

0

0を用いて と表される。

5

回路システム学第二 2019@ YYamao

等価電流源の定理（ノートンの定理）とは？

電圧源や電流源を含む回路の任意の２端子間にアドミタンス Y

を接続した場合に、 Yの端子電圧 Vは、

（１）２端子間の短絡電流 I0 （等価電源電流）

Y0

＋

－

短絡 開放

Y＋

－ V 等価 YVI0

Y0

I0

＋

－

（２）回路中のすべての電圧源を短絡除去し、

電流源は開放除去した場合に２端子間から

見たその回路のアドミタンス Y0

YY

IV

+=

0

0を用いて と表される。

6

回路システム学第二 2019@ YYamao

等価電源電圧と 内部インピーダンスを求める

図１

（問題1） 図1の回路を端子v(t)から左に見たときのテブナンの

等価電源電圧 E0，および内部インピーダンス Z0 を

フェーザ形式で求めよ．

ただし e(t) = sin ωt [V], R = 1[Ω], L = 1[H], C = 0.5[F] とする

ZZ

EI

+=

0

0

i(t)

E0

Z0

v(t)

7

（１）等価電圧源 E0

ある２端子からみた等価電圧源の電圧 E0 は、その端

子を開放した場合に観測される電圧 V に等しい。

E

L

RCRj

ELjCRLR

LjVE

)(1

120

−+

=+−

==

R = 1[Ω], L = 1[H], C = 0.5[F] を代入すると

)1

2(1

0

−+

=

j

EE

そこで 前回の例題１-（４）で求めたV を用いて

等価電圧源定理（テブナンの定理）から

8

E; 交流電圧源 e（t）のフェーザ

ω；交流電圧源 e（t）の角周波数

回路システム学第二 2019@ YYamao

（続き） 交流電圧源 e（t）のフェーザ Eを求めよう

今、 ]2Im[)( tjEete =

2

12 == EeEe tjtj

)1

2(1

1

2

10

−+

=

j

E

これを代入すると

正 解等価電圧源のフェーザが複素数であるから、

もとの電圧源 e（t） に対して位相が回転する

電圧フェーザ E の定義式

]Im[sin tjet == であるから

オイラーの公式

振幅１の正弦波の実効値

( )

9

回路システム学第二 2019@ YYamao

Z0 は回路中のすべての電圧源を短絡除去し、電流源は

開放除去した場合に２端子間から見たその回路のイン

ピーダンスであるから、

（２）内部インピーダンス Z0

Z0R C L

すなわち、 R, C, L の並列インピーダンスを求めればよい。

並列回路のインピーダンスは各アドミタンスの和の逆数として求めるとよい並列回路のインピーダンスは各アドミタンスの和の逆数として求めるとよい

10

回路システム学第二 2019@ YYamao

（続き）

−+

=

++

=

L

RRCj

R

LjCj

R

Z

1

11

10

R = 1[Ω], L = 1[H], C = 0.5[F] を代入すると

−+

=

1

21

10

j

Z

正 解

11

回路システム学第二 2019@ YYamao

（問題2） 図1の端子に図2の回路を接続したときに、負荷インピーダンスRLで消費される平均電力が最大になる（整合している）ときの電源電圧e (t) の角周波数 ω を求めよ．ただし図１の回路条件に加えて、n1:n2=1:3, R = 9[Ω] とする。

図１＋２

図１駆動回路 図２ 負荷回路

12

回路システム学第二 2019@ YYamao

回路システム学第二 2019@ YYamao

変成器を含む回路の等価回路

理想変成器においては、

（１）１次電圧 と２次電圧の比は一定で巻数比に等しい。

2121 :: nnVV =

V1V2

I1 I2

1

1

22 V

n

nV =

13

さらに

（２）１次側に入力される電力と２次側に出力される電力は等しい。

LRV

VI

V

VI

IVIV

1

2

22

1

21

2211

==

=

V2 に（１）の式を代入して

すなわち１次側の電流は、変成器がない

場合に比べると巻数比の２乗倍となる

すなわち１次側の電流は、変成器がない

場合に比べると巻数比の２乗倍となる

V1V2

I1 I2

LR

V

n

nI 1

2

1

21

=

14

回路システム学第二 2019@ YYamao

（続き）

１次側から図２の回路を見た等価インピーダンス Z2 は

V1V2

I1 I2

LRn

n

I

VZ

2

2

1

1

12

==

等価インピーダンスは、２次側の負荷インピーダンスを

巻数比の２乗の逆数倍としたものとなる

等価インピーダンスは、２次側の負荷インピーダンスを

巻数比の２乗の逆数倍としたものとなる

Z2V1

I1

15

図２ 負荷回路

回路システム学第二 2019@ YYamao

これを図２の負荷回路に置き換える。

Z2

LRn

n

I

VZ

2

2

1

1

12

==

ω に無関係

16

回路システム学第二 2019@ YYamao

E0

Z0

また図１の回路を既に求めた等価電圧源に置き換える。

00 21

21

1E

j

Z =

−+

=

)1

2(1

1

2

10

−+

=

j

E

ω に依存する

17

回路システム学第二 2019@ YYamao

（続き）

以上から、図１、図２の回路をすべて等価回路に置き換えると

LRn

n

I

VZ

2

2

1

1

12

==

E0

Z0

Z2

)1

2(1

1

2

10

−+

=

j

E

00 21

21

1E

j

Z =

−+

=

I1

V1

18

図１駆動回路 図２ 負荷回路

回路システム学第二 2019@ YYamao

回路システム学第二 2019@ YYamao

電源から負荷に供給される有効電力

Z0 = R0+ jX0

Z2=R2+ jX2

I

E0 V

内部インピーダンス Z0 の電源から負荷インピーダンス Z2 の

抵抗 R2 に供給される有効電力 P は

19

( ) ( )

( ) ( )220

2

20

22

0

2

2

02

20

2

20

2 /

XXRR

RE

REXXRR

RP

+++=

+++=

回路システム学第二 2019@ YYamao

最大電力供給の法則

負荷に供給される電力が最大となる（整合条件）は

（共役整合条件）02 ZZ =

条件１： Z0 と Z2 の実部が一致すること

条件２： Z0 と （－Z2）の虚部が一致すること

02 RR =

02 XX −=

20

図１、図２の回路が以上の条件を満たすためには

LRn

n

I

VZ

2

2

1

1

12

==

E0

Z0

Z2

−+

=

1

21

10

j

Z

I1

V1

21

図１駆動回路 図２ 負荷回路

（共役整合条件）

02 ZZ =

回路システム学第二 2019@ YYamao

今 Z2の虚部は 0 であるから、共役整合条件を満足するため

には、 Z0の虚部も 0 である必要がある。

20

1

21

1

21

1

21

1

−+

−−

=

−+

=

j

j

Z

したがって

=− 01

2

虚部

[rad/s]2=

01

21

1

22=

−+

−

j

となる

22

回路システム学第二 2019@ YYamao

さらに における実部の整合条件を見ると

][10 =Z

2=

正 解2= [rad/s]

以上から、負荷インピーダンスRLで

消費される平均電力が最大になるωは

][193

12

2 =

=Z

となっており、実部の整合条件も満足されている これは

の条件がたまたま与えられたからである。

( ) RRnnRR LL // , ][ 9 ],[ 1 2

12 === 　　

23

回路システム学第二 2019@ YYamao

ある電源から任意の負荷に最大電力を供給するには、

条件１： Z0 と Z2 の実部が一致すること

条件２： Z0 と （－Z2）の虚部が一致すること

の２条件を満足させる必要があるため、一般的には２つ

の独立なパラメータを可変とする必要がある

I

V Z2=R2+ jX2E0

Z0 = R2- jX2

R0 X0

＜例１：等価電源インピーダンスを可変にする＞

24

回路システム学第二 2019@ YYamao

＜例２：等価電源インピーダンスに加え変成器を可変とする＞

例題では、等価電源インピーダンスを可変にするための変数

は ω のみであったが、実は理想変成器の巻線比率が隠

し変数となっている（既に最適化されている）

E0

Z0(ω) I

V ZL

25

回路システム学第二 2019@ YYamao

回路システム学第二 2019@ YYamao

整合時に負荷に供給される有効電力 P は

整合時に供給される電力は？

0

2

0

4R

E=

内部抵抗と負荷にかかる電圧がそれぞれ1/2となるので電力は1/4と考えればよい

26

負荷に供給される平均電力（有効電力） P は

IVP Re=

電圧、電流フェーザの積 は複素電力IV

rc PPIVP j+==

( ) ( )220

2

20

22

0XXRR

REP

+++=

さらに整合時以外の一般的な場合について考えると、

例題の負荷回路に供給される有効電力 P は

とおくと

( ) ( )

0,

1,

1

1

12

1

1

1

2

1

2

2

2

12

2020

2

2

2

2

2

0

2

20

2

20

22

0

=

=

+=

+=

++

+=

+++=

XRn

nR

XR

E

XXRR

REP

L

27

1

2−=

回路システム学第二 2019@ YYamao

以上を計算すると・・・・・

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ω [rad/s]

2

0.125

P[W

]

整合条件（ ）からずれると、供給電力は減少する2=28

回路システム学第二 2019@ YYamao