Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

EEC4164 −Telecomunicações 2(2000/2001)

1ª Parte − Duração: 1 hora (sem consulta) 1ª chamada − 5 de Janeiro de 2001

1. O que é o efeito de abertura na amostragem de sinais em banda−base? Em que tipo de amostragem

ocorre? De que depende? Mostre como deve recuperar um sinal amostrado nessas condições.

2. Na modulação delta de um sinal pode ocorrer distorção de declive. Exemplifique e indique as

condições a que o sinal deve obedecer para que esse fenómeno não ocorra. Conclua a resposta

comparando DM com PCM em termos de largura de banda ocupada.

3. a) Apresente um diagrama de blocos de um sistema de resposta parcial gerador de impulsos

duobinários (deve ter o cuidado de prevenir a propagação de eventuais erros de decisão no receptor).

b) Qual é a largura de banda de impulsos duobinários modificados correspondentes a dados gerados à

cadência de 100 kbits/s?

4. Considere um gerador de sequências pseudo−aleatórias de comprimento máximo.

a) calcule o valor )2(R da função de autocorrelação de uma sequência de comprimento 127.

b) uma sequência PN é gerada pelo polinómio 1)( 25 ++= xxxh . Desenhe o circuito respectivo.

c) Qual é o período máximo de uma sequência PN gerada por um polinómio de grau 6?

5. a) recorra ao majorante da união para deduzir uma expressão da probabilidade de símbolo errado em

MPSK.

b) apresente, justificando, uma relação entre essa probabilidade de erro e a probabilidade de bit errado,

admitindo que o mapeamento de símbolos obedece à codificação de Gray.

c) mostre que BPSK e QPSK apresentam a mesma probabilidade de bit errado para a mesma relação

0NEb .

6. Compare as modulações digitais M−QAM e MPSK. Refira−se a aspectos como a probabilidade de erro,

a eficiência espectral e a largura de banda, pelo menos. Para o mesmo número de bits por símbolo e a

mesma relação 0NEb qual das modulações preferiria?

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EEC4164 – Telecomunicacoes 2Segunda Parte – Duracao: 1 hora (sem consulta) 1a chamada – 5 de Janeiro de 2001

1 O sinal x(t) = 13cos(103πt)+ 1

2sin(102πt) e amostrado a taxa de Nyquist e quantizado em

128 nıveis por um quantizador uniforme, com uma gama dinamica de intervalo [−1, 1].

(a) Determine o debito do sinal PCM binario resultante da amostragem e quantizacaodo sinal x(t).

(b) Obtenha a relacao sinal-ruıdo de quantizacao(

SN

)Q.

(c) Admita que o debito binario vale 10 kbit/s. Determine as larguras de banda necessa-ria mınima, Bmin, e maxima, Bmax para transmitir o sinal PCM se se usarem filtrosdo tipo cosseno elevado.

2 Um sinal rectangular unipolar de amplitude 2 V e presente a um dispositivo de decisaoque atribui, na ausencia de ruıdo, os nıveis logicos 0 e 1 as tensoes de entrada 0 V e 2 V,respectivamente.Suponha que o sinal se encontra contaminado por ruıdo aditivo com funcao densidade deprobabilidade f(u) = ke−2|u|, onde k e uma constante real.

(a) Calcule o valor da constante k.

(b) Independentemente do resultado que obteve na alınea anterior, considere k = 1.Obtenha a probabilidade de bit errado se o limiar de decisao for γ = 1 V.

(c) Admitindo que a relacao das probabilidades dos sımbolos binarios e P1 = 2P0, veri-fique que o limiar de decisao optimo e dado por γopt = 1 − 1

4ln(2).

3 Os sinais s1(t) e s0(t) = −s1(t) associados aos sımbolos binarios 1 e 0, respectivamente,sao transmitidos atraves de um canal AWGN e detectados com um filtro adaptado. Osinal s1(t) esta representado na figura seguinte:

1

T tT2

s1(t)

(a) Sendo a densidade espectral de potencia unilateral do ruıdo N0 = 10−6 W/Hz eT = 15µs, calcule a probabilidade de bit errado, Pb.

(b) Esboce a resposta impulsional do filtro adaptado aos sinais s1(t) e s0(t).

(c) Se se usar impulsos rectangulares antipodais com amplitudes ±A em vez de s1(t) es0(t), qual devera ser o valor de A de modo a manter a probabilidade de bit erradoPb?

4 A ligacao a Internet de uma ilha remota faz-se atraves de um satelite geoestacionario. Ascaracterısticas das ligacoes ilha–satelite (uplink) e satelite–continente (downlink) estaotabeladas a seguir:

Parametro Uplink Downlink

Modulacao FSK QPSK com mapeamento de GrayReceptor Quadratura CoerenteDebito binario (R) 100 kbit/s 100 kbit/sPotencia de emissao (S) — 16 dBWPSD unilateral do ruıdo (N0) −210 dBW/Hz −210 dBW/HzAtenuacao do canal (L) 170 dB 170 dB

(a) Determine a potencia de emissao mınima no uplink, Su, de modo a que a probabili-dade de erro nessa ligacao seja no maximo Pu =0,01.

(b) Calcule a probabilidade de bit errado, no downlink, Pd.

(c) Supondo que Pd = 10−3, qual deve ser o valor maximo de Pu para que a taxa deerros na ligacao ilha–satelite–continente seja inferior a 300 erros/s?

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EEC4164 −Telecomunicações 2(2000/2001)

1ª Parte − Duração: 1 hora (sem consulta) 2ª chamada − 22 de Janeiro de 2001

1. Um sinal em banda−base )(tg de duração T e energia E é transmitido através de um canal linear ideal

que introduz ruído gaussiano branco com densidade espectral de potência N0/2.

a) Qual deve ser a resposta impulsional e a respectiva função de transferência do filtro do receptor que

maximiza a relação sinal−ruído no instante de amostragem?

b) Determine essa relação sinal−ruído.

2. Apresente o critério de Nyquist (nos tempos e nas frequências) para eliminação da interferência

intersimbólica. Relacione−o, se for possível, com o teorema da amostragem e a frequência de Nyquist.

3. O mapeamento dos símbolos no espaço de sinal de um modulador QPSK é o seguinte:

00 01 10 11

225° 135° 315° 45°

Cada símbolo tem a duração T e a energia Es. Esboce as formas de onda das componentes em fase e em

quadratura do sinal QPSK se à entrada se tiver a sequência binária 1100100001.

4. Um sistema de comunicações usa a modulação 4−FSK ortogonal com um mapeamento de símbolos},,,{ 4321 ssss correspondente à ordenação binária crescente de dibits { 00, 01, 10, 11} . O débito

binário é de 4 kbits/s e a potência do sinal no receptor coerente, à entrada do decisor, é de 9,03 dBm.

a) Devido ao ruído, num determinado intervalo de amostragem o sinal à entrada do decisor é

representado por [ ] 34321 10)()(3)(2)()( −×+−+= tttttr ψψψψ num espaço de sinal ortonormado.

Qual o dibit que terá sido transmitido?

b) Verificou−se que a probabilidade de símbolo errado é de 10−5. Quanto vale a probabilidade de bit

errado?

5. Apresente os diagramas de blocos de um modulador e de um desmodulador de 64−QAM.

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EEC4164 – Telecomunicacoes 2

Segunda Parte – Duracao: 1 hora (sem consulta) 2a chamada – 22 de Janeiro de 2001

1 O sinal x(t) = 12cos(8000πt) e amostrado a taxa de Nyquist e quantizado, usando-se um

quantizador uniforme com uma gama dinamica de −2 V a +2 V.

(a) Determine o numero mınimo de bits, n, que deve usar por amostra para ter uma relacaosinal–ruıdo de quantizacao (S/N)Q � 30 dB.

(b) Supondo que se usam 8 bits/amostra, estime a largura de banda do sinal se se usar ocodigo de linha bifasico.

(c) Para a sequencia binaria indicada apresente a forma de onda correspondente a codificacaoHDB3.

0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

2 A entrada de um decisor, e na ausencia de ruıdo, recebe-se um sinal quaternario com sımbolosequiprovaveis e nıveis de tensao ±1 V e ±3 V. Este sinal e afectado por ruıdo aditivo, gaussianode media nula e branco, com uma densidade espectral de potencia unilateral N0 = 10−6 W/Hz.

(a) Supondo que o ruıdo na entrada do decisor e limitado por um filtro passa-baixo ideal delargura de banda 62,5 kHz, calcule a probabilidade de sımbolo errado, Ps, se os nıveis dedecisao forem {−2 V, 0 V, +2 V}.

(b) Recalcule a probabilidade de erro se os nıveis de decisao passarem a ser {−1,8 V, 0 V, +1,8 V}.(c) Suponha agora que Ps = 10−3. Considere uma cascata de tres sistemas identicos com

igual valor de Ps. Verifique que a probabilidade P de se receberem 2 quaisquer sımboloserrados num conjunto de tres sımbolos enviados e expressa por P ≈ 27P 2

s .

3 Um radar de impulsos e usado para detectar a aproximacao de mısseis. Os impulsos enviadostem a forma sinusoidal, potencia S e duracao T . Os impulsos reflectidos na estrutura do mıssilchegam ao receptor atenuados por um factor L e contaminados por ruıdo AWGN (sinal r(t)).O diagrama de blocos do receptor do radar esta representado na seguinte figura:

()2

()2� T

0dt

t = T

� T

0dt

t = T

�() � γ

zQ

zI

z

decisor

r(t)

�2T

cos(2πfct)

�2T

sin(2πfct)

Alarme demısseis

(a) Mostre que para um impulso recebido sem ruıdo, z =√

STL

qualquer que seja o atraso

sofrido pelo impulso.

(b) Na ausencia de impulsos recebidos, sabe-se que Z =√

Z2I + Z2

Q e uma variavel aleatoria

com funcao distribuicao cumulativa (CDF) de Rayleigh expressa por:

CDF(z) = P (Z � z) =

{1 − e−

z2

2σ2 , z � 00 , z < 0

em que σ2 e a variancia das variaveis aleatorias ZI e ZQ.

Calcule a probabilidade de falso alarme (Pfa), isto e, a probabilidade do radar indicar apresenca de um mıssil quando este nao existe, para o limiar de decisao γ = 4σ.

(c) Quando um impulso e recebido, admita que a PDF de z e aproximadamente gaussianacom variancia σ2

Z. Determine o valor de γ de modo que a probabilidade de deteccao de ummıssil, Pd, seja de 99%.

4 Uma sonda espacial foi lancada com o objectivo de explorar Jupiter. A sonda esta equipadacom um transmissor de dados de telemetria. Para simplificar a desmodulacao, juntamentecom o sinal modulado e enviado um resıduo da portadora. As caracterısticas dos sistemas detransmissao e recepcao estao apresentados na tabela a seguir:

Parametro Valor

Modulacao BPSK com portadora residualComprimento de onda da portadora (λ) 3 cmDebito binario (Rb) 100 bit/sPotencia do emissor da sonda (Pt) 10 dBWPotencia da portadora residual 20%Ganho da antena da sonda (Gt) 22 dBGanho da antena da estacao terreste (Gr) 68 dBAtenuacao do canal (L) L = 22 + 20 log10 (d/λ) dBPSD do ruıdo no receptor (N0/2) −213 dBW/Hz

(a) Calcule a distancia maxima que a sonda pode alcancar de modo a que a probabilidade deerro no receptor instalado na Terra seja inferior a 0,05 (Pb < 0,05).

(b) Supondo que em vez de BPSK se tivesse usado 8-PSK sem portadora residual, qual a po-tencia que o emissor da sonda deveria ter para que a probabilidade de bit errado em BPSK(PBPSK) fosse 50% mais elevada que a probabilidade de bit errado em 8-PSK (P8−PSK)?

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EEC4164 – Telecomunicacoes 2

Segunda Parte – Duracao: 1 hora (sem consulta) 3a chamada – 5 de Fevereiro de 2001

1 A sequencia binaria {0 0 1 1 1 0 1 1 0} e aplicada a um codificador duobinario modificadocom pre-codificacao.

(a) Supondo que o registo do pre-codificador e inicializado a zero, escreva as sequencias obtidasna saıda do pre-codificador e na saıda do codificador duobinario modificado.

(b) Devido ao ruıdo presente no canal de transmissao, os nıveis do 3o e 4o dıgitos recebidosna entrada do receptor sao, respectivamente, 0 V e −2 V. Obtenha a sequencia de saıdado receptor, identificando os erros cometidos.

(c) Se o sinal binario aplicado ao codificador tiver um debito de 1 kbit/s, calcule a largura debanda ocupada pelo sinal codificado.

2 Num determinado codigo de linha o sımbolo binario “1” e representado por um impulso rectan-gular de duracao igual ao tempo de bit Tb = 10 µs e amplitude A, enquanto o sımbolo “0” erepresentado por um impulso de relogio de bit com transicao ascendente a meio do tempo debit e amplitudes −A e +A.

(a) Supondo que os sımbolos sao transmitidos por um canal com densidade espectral de poten-cia unilateral de valor N0 = −30 dBm/Hz, calcule o valor de A para que a probabilidadede bit errado seja Pb = 3 × 10−3.

(b) Esboce a resposta impulsional do filtro adaptado ao conjunto dos dois sinais usados nestecodigo.

(c) Estime a largura de banda ocupada por este codigo.

3 Pretende-se transmitir um stream de audio digital usando, como equipamento, um sistema dedifusao comercial de FM monofonico, segundo o esquema apresentado a seguir:

CodificadorMP3

Desmod.FM

Desmod.256–QAM

Descod.MP3256–QAM

Modulador Modulador

digitalaudio

RbBm Bm Rc Rb

audiodigital

recebidoenviado

Rc

FM

As caracterısticas relevantes do sistema estao apresentadas na tabela seguinte:

Parametro Valor

Modulacao digital 256–QAM com filtro de cosseno elevadoFactor de roll-off do filtro RC (α) 1/2Debito binario do stream de audio (Rb) 720 kbit/sLargura de banda max. do sinal modulador (Bm) 15 kHzDesvio de frequencia max. do sinal FM (∆f) 75 kHz

Figura de merito do desmodulador FM (S/N)(C/N)

= 6 + 20 log10

(∆fBm

)(dB)

(a) O stream de audio digital e gerado a partir de dois canais de audio analogico, cada umcom largura de banda B = 15 kHz, amostrados a taxa de Nyquist e quantizados.

Calcule a relacao sinal-ruıdo de quantizacao(

SN

)Q

resultante, sabendo que a gama de

entrada dos quantizadores e [−1 V, +1 V] e que a densidade espectral de potencia unilateraldos sinais de audio e expressa por:

p(f) =

{110

e−f10 , 0 � f � B

0 , f > B

em que f esta expresso em kHz.

(b) Mostre que a taxa de compressao de debito exigida ao codificador MP3 e Rb/Rc = 9.

(c) Determine a relacao portadora-ruıdo C/N a entrada do desmodulador de FM de modoque a probabilidade de bit errado no stream de audio seja Pb < 5 × 10−7.

(d) O stream codificado e organizado em tramas de 36 bits. Determine a taxa de tramaserradas – FER (Frame Error Rate), nas condicoes da alınea anterior. Exprima o resultadoem tramas erradas por hora.

4 A modulacao UQPSK e usada para transmitir duas sequencias binarias independentes, x ∈{0, 1} e y ∈ {0, 1} com probabilidades de erro desiguais. A constelacao UQPSK esta represen-tada na figura abaixo onde e feita a correspondencia entre o par (x, y) e o ponto da constelacao.

φI

φQ

−3d 3d

d

−d

(1, 0)

(1, 1) (0, 1)

(x, y) = (0, 0)

(a) Faca um esboco, adequadamente detalhado, do diagrama de blocos do modulador comentradas x e y, e do desmodulador com saıdas x e y, para esta modulacao.

As alıneas seguintes destinam-se apenas aos alunos de melhoria de classifi-cacao com nota nao inferior a 14 valores

(b) Determine as expressoes da probabilidade de erro para as sequencias x e y, Px e Py,respectivamente. Verifique tambem que Py � Px quando Px, Py � 1.

(c) Mostre que a probabilidade de erro associada ao sımbolo formado pelo par (x, y) e dada,

aproximadamente, por Pxy ≈ Q(√

Es

5N0

), em que Es e a energia do sımbolo UQPSK.

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EEC4164 – Telecomunicacoes 2

Segunda Parte – Correccao 1a chamada – 5 de Janeiro de 2001

1 O sinal x(t) = 13 cos(103πt) + 1

2 sin(102πt) e amostrado a taxa de Nyquist e quantizado em 128nıveis por um quantizador uniforme, com uma gama dinamica de intervalo [−1, 1].

(a) Determine o debito do sinal PCM binario resultante da amostragem e quantizacao do sinalx(t).

A maxima frequencia de x(t) e fmax = 103π2π = 500 Hz. Portanto, a frequencia de amostra-

gem de Nyquist sera: fs = 2fmax = 1000 Hz.O numero de bits de um quantizador de L = 128 nıveis e: n = �log2 L� = 7 bits. Portantosao necessarios 7 bit para representar cada amostra do quantizador.O debito binario e entao Rb = nfs = 7 kbit/s.

(b) Obtenha a relacao sinal-ruıdo de quantizacao(

SN

)Q.

A potencia do ruıdo de um quantizador uniforme com L nıveis e gama dinamica[−mmax, mmax] e expressa por N = ∆2

12 , em ∆ = 2mmaxL e o degrau do quantizador.

A relacao anterior assume que o erro de quantizacao encontra-se uniformemente distri-buıdo no intervalo

[−∆2 , ∆

2

]e que nao existe clipping do sinal (e neste caso nao existe

porque max |x(t)| < 12 + 1

3 < mmax).Assim, NQ =

(2

128

)2 × 112 ≈ −46,9 dBV2

A potencia media de um sinal sinusoidal de amplitude A vale A2

2 . A potencia media de

x(t) e entao S = (1/3)2

2 + (1/2)2

2 = 1372 ≈ −7,4 dBV2.

A relacao pedida e:(

SN

)Q

= S(db) − NQ(db) ≈ −7,4 + 46,9 = 39,5 dB.A relacao sinal-ruıdo poderia ser igualmente calculada por:

(SN

)Q

= 3Pm2

maxL2 em que:

• P e a potencia media do sinal de entrada;• 2mmax e a gama de entrada (2 V neste caso);• L e o numero de nıveis do quantizador (128).

Como tal,(

SN

)Q

= 3 × 1372 × 1282 = 88742

3 ≈ 39,5 dB.

(c) Admita que o debito binario vale 10 kbit/s. Determine as larguras de banda necessariamınima, Bmin, e maxima, Bmax para transmitir o sinal PCM se se usarem filtros do tipocosseno elevado.Quando se usa um filtro do tipo cosseno elevado para a formatacao de impulsos, a largurade banda ocupada por estes passa a ser: B = R

2 (1 + α), em que α e o factor de roll-off dofiltro (0 ≤ α ≤ 1). Assim:• Bmin = R

2 = 5 kHz (α = 0)• Bmax = R = 10 kHz (α = 1)

2 Um sinal rectangular unipolar de amplitude 2 V e presente a um dispositivo de decisao que atri-bui, na ausencia de ruıdo, os nıveis logicos 0 e 1 as tensoes de entrada 0 V e 2 V, respectivamente.Suponha que o sinal se encontra contaminado por ruıdo aditivo com funcao densidade de pro-babilidade f(u) = ke−2|u|, onde k e uma constante real.

(a) Calcule o valor da constante k.

Sendo f(u) uma funcao densidade de probabilidade, tera que se verificar∫ +∞−∞ f(u)du = 1.

Como f(u) e par, entao∫ +∞0 f(u)du = 1

2 ⇔ k∫ +∞0 e−2udu ⇔ k

2 = 12 ⇔ k = 1.

(b) Independentemente do resultado que obteve na alınea anterior, considere k = 1. Obtenhaa probabilidade de bit errado se o limiar de decisao for γ = 1 V.A expressao geral para a probabilidade de erro de um sistema binario e:Pe = Pe(0)P0 + Pe(1)P1. Neste caso, dada a simetria de f(u), pode afirmar-se quePe(0) = Pe(1) e assim Pe = Pe(0)(P0 + P1) = Pe(0). Portanto, segundo a figura abaixo,Pe = Pe(0) =

∫ +∞γ f0(u)du =

∫ +∞γ f(u)du =

∫ +∞1 e−2udu = 1

2e2 .

2

f0(u) f1(u)

uγ

1

(c) Admitindo que a relacao das probabilidades dos sımbolos binarios e P1 = 2P0, verifique queo limiar de decisao optimo e dado por γopt = 1 − 1

4 ln(2).

A expressao P0P1

= f1(γopt)f0(γopt)

pode ser usada para determinar o

valor de γopt. Como f0(u) = f(u) = e−2|u| = e−2u (u > 0) ef1(u) = f(u − 2) = e−2|u−2| = e−2(2−u) = e2u−4 (u < 2) entao a expressao inicial fica:P0P1

= e2γopt−4

e−2γopt⇔ P0

P1= e4γopt−4 ⇔ γopt = 1 + 1

4 ln(

P0P1

)= 1 − 1

4 ln(2).

3 Os sinais s1(t) e s0(t) = −s1(t) associados aos sımbolos binarios 1 e 0, respectivamente, saotransmitidos atraves de um canal AWGN e detectados com um filtro adaptado. O sinal s1(t)esta representado na figura seguinte:

1

T tT2

s1(t)

(a) Sendo a densidade espectral de potencia unilateral do ruıdo N0 = 10−6 W/Hz e T = 15µs,calcule a probabilidade de bit errado, Pb.Sendo os impulsos antipodais e a deteccao efectuada por um filtro adaptado, a pro-babilidade de erro e dada por: Pb = Q

(√2Eb/N0

). Sendo Eb = E0+E1

2 e como

E0 = E1 entao Eb = E0 = E1 = 2∫ T

20 s2

1(t)dt = 2∫ T

20

(2tT

)2 dt = T3 V2s. Assim,

Pb = Q(√

2T3N0

)= Q

(√10

) ≈ 8 × 10−4.

(b) Esboce a resposta impulsional do filtro adaptado aos sinais s1(t) e s0(t).

A resposta impulsional do filtro optimo para o sinal s1(t) e dadapor h1(t) = s1(T − t) = s1(t). O mesmo acontece para s0(t) em queh0(t) = s0(T − t)=s0(t) = −s1(t). A resposta impulsional de um filtro adaptadosimultaneamente aos dois sinais sera h(t) = h1(t) − h0(t) = 2s1(t).

(c) Se se usar impulsos rectangulares antipodais com amplitudes ±A em vez de s1(t) e s0(t),qual devera ser o valor de A de modo a manter a probabilidade de bit errado Pb?Para que a probabilidade de erro seja mantida, Eb deve ser o mesmo nasduas situacoes. O valor de Eb para o caso dos impulsos rectangulares eE′

b = A2T = Eb ⇔ A2T = T3 ⇔ A = 1√

3V.

4 A ligacao a Internet de uma ilha remota faz-se atraves de um satelite geoestacionario. Ascaracterısticas das ligacoes ilha–satelite (uplink) e satelite–continente (downlink) estao tabeladasa seguir:

Parametro Uplink Downlink

Modulacao FSK QPSK com mapeamento de GrayReceptor Quadratura CoerenteDebito binario (R) 100 kbit/s 100 kbit/sPotencia de emissao (S) — 16 dBWPSD unilateral do ruıdo (N0) −210 dBW/Hz −210 dBW/HzAtenuacao do canal (L) 170 dB 170 dB

(a) Determine a potencia de emissao mınima no uplink, Su, de modo a que a probabilidade deerro nessa ligacao seja no maximo Pu =0,01.Tratando-se de FSK com um receptor de quadratura, nao-coerente portanto, a expressao

da probabilidade de bit errado e Pb = 12e

− Eb2N0 .

Assim 12e

− Eb2N0 = Pu ⇔ − Eb

2N0= ln(2Pu) ⇔ SsatTb = −2N0 ln(2Pu)

⇔ Ssat = −2RbN0 ln(2Pu) = −2 × 105 × 10−21 ln(2 × 0,01) ≈ 0,78 fW≈-151 dBWNa ilha, a potencia emitida tera que ser Su = Ssat(db) + L(db) ≈ −151 + 170 = 19 dBWque e aproximadamente igual a 78 W.

(b) Calcule a probabilidade de bit errado, no downlink, Pd.

A probabilidade de bit errado em QPSK com deteccao coerente e igual a da modulacaoPSK e vale Pb = Q

(√2EbN0

).

Assim, Pd = Q(√

2SL−1TbN0

)= Q

(√3dB + S(dB) − L(dB) − R(dB) − N0dB

)=

Q(√

3dB + 16dB − 170dB − 50dB + 210dB)

= Q(√

9dB)≈ Q

(√8) ≈ 0,0023.

(c) Supondo que Pd = 10−3, qual deve ser o valor maximo de Pu para que a taxa de erros naligacao ilha–satelite–continente seja inferior a 300 erros/s?

A probabilidade de erro na ligacao ilha–satelite–continente, Pl, e a soma das probabi-lidades de haver erro em apenas uma das ligacoes (ja que se houver erro simultanea-mente no uplink e no downlink, a ligacao completa fica isenta de erro). Deste modoPl = Pu(1 − Pd) + Pd(1 − Pu) = Pu + Pd − 2PuPd ≈ Pu + Pd, ja que Pu, Pd � 1.Para que a taxa de erros seja inferior a BER = 300 erros/s, Pl < BER

R = 3×10−3. Portanto,Pu < Pl − Pd = 2 × 10−3.