4. Ecuaii difereniale de ordin superior

4.1. Ecuaii liniare O problem inportant este rezolvarea ecuaiilor difereniale de ordin mai mare ca 1. Sunt puine ecuaiile pentru care se poate preciza forma analitic a soluiei. Cel mai frecvent utilizate sunt ecuaiile liniare. Forma general a ecuaiei liniare de ordin este n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ....n n ny a x y a x y f x+ + + = (6) Ecuaia liniar omogen asociat ecuaiei (6) este

( ) ( ) ( ) ( )11 .... 0n n ny a x y a x y+ + + = (7) n legtur cu ecuaiile liniare i omogene se poate demonstra urmatorul rezultat important. Teorema 1 a) Dac Np i sunt soluii ale ecuaiei (7) iar

atunci pyyy ...,,, 21

RCCC p ,...,, 21pp yCyCyCy +++= ...2211

este soluie a ecuaiei (7). b) Mulimea soluiilor ecuaiei (7) formeaz un spaiu vectorial de dimensiune n. c) Dac ecuaia (7) admite soluia complex viuy += atunci funciile reale u i

sunt soluii ale ecuaiei (7). vObservaie : pentru determinarea soluiei generale e ecuaiei omogene trebuie determinate n soluii liniar independente Teorema 2 Soluiile ale ecuaiei (7) sunt liniar independenta dac i numai dac exist

RIyyy n :...,,, 21Ix 0 astfel nct determinantul

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xyxyxy

xyxyxyxyxyxy

xyyyW

nnn

n

'...'.......................................

'...''...'

,...,, 222111

21 =

(numit wronskianul sistemului) s fie nenul n . 0xObservaii : 1) Teorema Abel-Ostrogradski-Liouville arat c, dac I este un

interval ce conine pe i 0x ( )( ) 0,...,, 021 xyyyW n , atunci ( )( ) 0,...,, 21 xyyyW n pentru orice Ix

2) Dac sunt soluii liniar independente ale ecuaiei (7) i atunci soluia general a ecuaiei (7) este

nyyy ...,,, 21 RCCC n ,...,, 21

nn yCyCyCy +++= ...2211 . (8) n cazul sistemelor cu coeficieni constani determinarea soluiilor liniar

independente se face cu ajutorul ecuaiei caracteristice, dar reprezint o problem complicat n cazul sistemelor cu coeficieni variabili.

Pentru sistemele neomogene sa poate arta c : Teorema 3 : Soluia general a ecuaiei (6) este suma dintre soluia general a ecuaiei omogene ataat, (7), i o soluie particular a ecuaiei (6). Metoda de rezolvare a ecuaiilor liniare are trei pai: - se rezolv ecuaia omogen i se obine soluia Gy- se determin o solutie Py a ecuaiei neomogene - se scrie soluia general a ecuaiei neomogene G Py y y= + . 4.1.1. Ecuaii liniare cu coeficieni constani A1) Rezolvarea ecuaiei omogene Forma general a unei ecuaii cu coeficieni constani este

( ) ( )11 1... ' 0

n nn ny a y a y a y

+ + + + = (9)

Problema rezolvrii ecuaiei (9) se reduce deci la determinarea unul sistem fundamental de soluii. n cele ce urmeaz prezentm principala metod de rezolvare pentru ecuaiile liniare. O soluie a ecuaiei se caut sub forma ( ) xy x e = , prin analogie cu cazul . Prin nlocuire n ecuaia (9) se obine, dup simplificarea cu

1n =xe , ecuaia caracteristic

11 1... 0

n nn na a a + + + + = (10)

Teorema 4 : Fie 1 2, ,..., n soluiile ecuaiei (10). a) - dac 1 2, ,... n sunt reale i distincte ale ecuaiei (10), atunci 1 2, ,..., n xx xe e e

sunt soluii liniar independente ale ecuaiei (9). b) - dac 1 este rdcin real cu ordinul de multiplicitate p pentru ecuaia (10),

atunci 1xe , 1xxe , , 11 xpx e sunt p soluii liniar independenteale ecuaiei (9). c) -dac 1 a ib = + este rdcin complex de ordinul p a ecuaiei (10) atunci

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1

cos , sin

cos , sin

cos , sin.............................................................

cos , sin

ax ax

ax ax

ax ax

n ax n ax

e bx e bx

xe bx xe bx

x e bx x e bx

x e bx x e b x

sunt soluii liniar independente ale ecuaiei (9). Sistemul fundamental de soluii se obine prin nsumarea soluiilor liniar independente corespunztoare tuturor rdcinilor ecuaiei (10), iar soluia general a ecuaiei (9) se obine folosind formula (8) .

Exemple : S se determine soluia general a urmtoarelor ecuaii : 1. ''' 6 '' 11 ' 6 0y y y y + =Ecuaia caracteristic este 3 26 11 6 0 + = i are soluiile 1 2 31, 2, 3 = = = , Se aplic a) din Teorema 4 i se obine sistemul fundamental de (trei) soluii format din

, , . Soluia general este 1xy e= 22 xy e= 33 xy e=

( ) 2 31 2 3x xy x C e C e C e= + + x

0

2. ''' 3 '' 3 ' 0y y y y+ + + =Ecuaia caracteristic este 3 23 3 1 + + + = i are soluiile 1 2 3 1 = = = . Se aplic b) din Teorem pentru 3p = . Sistemul fundamental de (trei) soluii este format din , iar soluia general este 21 2 3, ,

x xy e y xe y x e= = = x( ) 21 2 3x xy x C e C xe C x e= + + x

3. '' 4 ' 5 0y y y+ + =Ecuaia caracteristic este 2 4 5 0 + + = i are soluiile 1 2 i = + i 2 2 i = deci se aplic c) din Teorem pentru 2, 1, 1a b p= = = . Sistemul fundamental de (dou) soluii este format din soluiile i iar soluia general este 21 cos

xy e x= 22 sinxy e x=( ) 2 21 2cos sinx xy x C e x C e x = +

4. 4 ''' 5 '' 4 ' 4 0IVy y y y y + + =Ecuaia caracteristic este 4 3 24 5 4 4 0 + + = cu soluiile 1 2 2 = = , 3 i = i 4 i = . Soluia general este

( ) 2 21 2 3 4cos sinx xy x C e C xe C x C x= + + + A2) Determinarea unei soluii particulare a ecuaiei neomogene

Forma general a ecuaiei neomogene cu coeficieni constani este

( ) ( ) ( )11 1... 'n n n ny a y a y a y f x + + + + = . Nu exist metode generale de determinare a unei soluii particulare dar, n unele cazuri simple, se pot folosi rezultatele urmtoare :

Dac ( ) ( )f x P x= este un polinom de grad k atunci soluia particular este un polinom de acelai grad, cu coeficieni necunoscui care se vor determina prin nlocuirea n ecuaie.

a) Dac ( ) ( )axf x e P x= unde ( )P x este un polinom de grad k exist dou situaii - Dac rdcin ecuaiei caracteristice soluia particular se caut sub forma

a nu este a ( )axPy e Q x , unde Q este un polinom de grad k cu coeficieni

necunoscui - Dac a exte rdcin a ecua ei caracteristice atunci soluia particular se caut sub

=

de ordin iforma

r ( )r axPy x e Q x= , unde este un polinom de grad cu

i necunoscui

Q kcoeficien

b) Dac ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sin( )axf x e P x bx Q x bx= + atunci exist de asemeni dou situaii - Dac z a bi= + nu este soluie a ecuaiei caracte luia ticularistice so par r se caut sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sinaxpy x e S x bx T x bx= + , unde ( )R x i ( )S x sunt polinoame cu coeficien mai mare dintre gradele lui P i Q - Dac z a

i necunoscui avand drept grad cel

bi= + de ordin a ecuaiei caracteristice soluiaut

este soluie a particular se c sub forma

r( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sinr axpy x x e S x bx T x bx= + ,

unde ( )xT i ( )S x sunt pol oam cuin e pentru determinarea soluiilor particulare, se poate aplica

rpo i sunt soluii ale ecuaiilor

coeficieni necunoscui avand drept grad cel maimare dintre gradele lui P i Q . n unele situaii,principiul supe ziiei : Dac y 1P 2Py

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ....n n ny a x y a x y f x+ + + = , respectiv

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgyxayxay nnn =+++ ...11 , atunci 2! PP yy + este soluie a ecuaiei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfyxayxay n +=+++ ...1 . nn 1emple : S se determine cte o soluie particular pentru urmtoarelor ecuaii :

y yFuncia

Ex1. '' 2y x + = '

( )f x este un poli radu luia particular se caut sub forma nom de g l I, deci so( )Py x ax b= + . Atunci ( )'y x a= i ( )'' 0y x = . Introducnd n ecuaie ob

0 2a ax b x + + = i d reainem

i ilor rezult n identifica coeficien 1a = i, adic 2b = . Soluia particular este ( ) 2Py x x= + .

uia general a ecuaiei este Sol ( ) 1 2 2x xy x C e C xe x= + + + 2. '' 2 'y y xy xe+ =

Deoarece ( ) ( )1x xf x xe e P x= = se ncadreaz la b) pentru ( )1,a P x x= = e rdcin dubl a ecuaiei caracteristice , solui

i 1a = est a particular se va cuta sub forma

( ) ( )2 xPy x x e Ax B= + . Atunci ( ) ( )3 2 2 2x Bx Ax x+ + ' 3xy x e A= +i ( ) ( )3 2 2'' 6xy x e Ax Bx Ax= + + cnd n ecua4 6 2Bx Ax B+ + + . Introdu ie obinem

( )6 2xe exAx B x+ = . Din identificarea coeficienilor se obine 1/ 6A = i . articular este deci

Soluia general a ecu i este

0B =Soluia p

aie 3 / 6xPy x e= .

( ) 31 / 6x x xx C e C x e= + . 3. '' siy y x+ =

2y xe +x

Funcia n

( ) ( )0sin 0 cos sinxf x x x e x x= = + x se ncadreaz la c) pentru ( )0, 1, 0a b P x= = = i ( )Q x x= . Deoarece 0z i= + este soluie a ecuaiei

caracteristice 2 1 0 + = , soluia particular se va cuta sub forma ( ) ( )0xy xe = . nlocuin n ecuaie i identifcos sinP Ax B x Cx D x+ + + icnd

1C B C Acoeficienii se obine sistemul

2 2 0A D , 4 0, 2 2 0, 4+ = = + = = cu soluia . Soluia perticular este deci 1/ 4, 0, 0, 1/ 4A B C D= = = =

2 cos / 4 sin / 4x x x x + . Soluia general a ecuaiei este ( ) 21 2cos sin cos / 4 sin / 4y x C x C x x x x x= + + 4.1.2. Ecuaii cu coeficieni variabili

Pentru dete rale a ecuaiei omogene cu coeficieni rminarea soluiei genevariabili nu exista metode generale. Dac ns aceast soluie poate fi precizat, pentru

inarea unei soluii particlare

Teorema 5: Fie

determ se poate folosi metoda variaiei constantelor.

1 1 2 2 ... n nC y C y C y+ + + soluia general a ecuaiei omogene ( ) ( ) ( )11 1... ' 0n n n ny a x y a y a y + + + + = .

Dac ( ) ( ) ( )1 2, ,..., nC x C x C x satisfac sistemul

) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

2 21 1 2 2

1

' ' .... ' 0

' ' ' ' .... ' ' 0.....................................................

' ' .... ' 0

n n

n n

n nn n

n

C x y C x y C x y

C x y C x y C x y

C x y C x y C x y

y f

+ + + =+ + + =

+ + + ==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2..................

n

( ) ( ) ( ) ( ) (1 11 1 2 2' ' .... 'n n n nC x y C x y C x + + + ( )x

atunci ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... n ny x x y C x y C x y+ + + e ie a ecua determine soluia general a ecuaiei '' 'xy y x

C= ste solu iei (7)

Exemplu : S se x, 0+ = 'y z= . Ecuaia o

> Se noteaz mogen asociat este ' 0xz z+ = .Rezult 1 1z C x= adic

( )1 x C= + 2lny C Se oda variaiei constantelor pentru folosete met ( )1 lny x x= i . Sistemul devine ( )2 1y x =

( )( )

1 2

1 2

' ln ' 01' ' 0

C x x C

C x C xx

+ = + = cu soluiile

( )( )

21

22 ln

C x x

C x x x

= = . Rezult

( )( )

3

1

3 3x x

.

2 ln3 9C x x B= + +

Soluia general a ecuaiei este ( )

3xC x A

= +

3

ln9xy x A x B= + + .

Observaie: Metoda variaiei constantelor poate fi folosit si pe nsoluiilor particulare ale ecuaiilor omogene cu coefici

ntru determi area eni constani atunci cnd

funcia ( )f x nu se ncadreaz n situa ior. Exemplu: S se det luia general a ecua

iile prezentate anter

ermine so iei '' 2 'xey y y

x + = , 0x > .

Soluia general a ecua 1 2C e C xeiei omogene este x x

Gy x = + . Se aplic variaia constantelor pentru

( )( )1 xy x e= i ( )2 xy x xe= .

istemul obinut este S ( )1 '

x xC e C2 ' 0x

x x x

xe

ee xe1 2' 'C e C x

+ = = cu soluiile + +

( )( )

1

2 ln

C x x A

C x x B

= + = +.

Soluia general a ecuaiei este ( ) ( ) ( )lnx xy x x A e xe x B= + + + . 4.2. Ecuaii incomplete

fe en ple e e o Ecuaiile di rdin n sunt ecuaii (n general neliniare)expresia crora nu a ei necunoscute pn la ordinul n-1 . Penrtu rezo lor

r iale incom t d n par toate derivatele funci

lvarea se folosesc substitutii care le micoreaza ordinul. 1 Ecuaii in care funcforma

4.2. ia necunoscut apare doar prin derivatele sale Ecuaiile de ( ) ( ) ( )( ) 0,...,1 =+ nkk yy se reduc la o ecuaie de ordin n-ksubstituia )k .

,, yxF prin yz = (

Exemplu : ( )2'1''y = ansforma ntr-o ecy+ e tr uaie de ordinul I folosind substitu . Ecuaia

s

ia 'yz = 21' zz += este o ecuaie cu variabile separabile i are soluia general xx eCe

Cz

22= . Rezult deci c 1

( ) ( ) xx eCeC2

Cdxxzxy 11 == 2 . 4.2.2. Ecuaii n care variabila independent nu apare explicit Aceste ecuaii au forma ( )( ) 0,...,', =nyyyF . Se noteaz . Atunci )(' ypy =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) )''' 2 ppy += ( '''''' '''''''' ppy yppyypypyy =

..............................

====

ineSi ecuaia dev ( )( ) 0,....',, p 1 =nppyf . Aceeai procedur se poate aplica pentru a dinul n contin re.

cazurile n a apare n ecuaie doar la puteri pare. n acest caz ia

micora or uaSunt numeroase care derivatse face nota ( )2'y . p =Exemplu : ( )2'1'' yyy += . Se noteaz . Rezult c ( )2'yp = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xyxyxyxypxp '''2''' == deci Din ecuaia cu variabile separabile

2/''' py = . ( )

ypp 112' += rezult adic 12 = Cyp

1' 2 = Cyy . Prin integrare direct de obine AxCyyC

yC+=

+ 1ln1 2 .

Soluia ecuaiei este ( )( )xCxCeCCeCy =2

1

21 .

xerciii propuse :

Determinai soluiile generale ale urmtoarelor ecuaii :

1. R :

1

E

2'' 4 ' 4y y y x + = ( ) ( ) ( )342

81 22

21 ++++= xxexCCxy x 2. 2'' ' 6y y y x + = + R :

( ) / 2 21 23 3cos sin 2 62 2xx xy x e C C x x

= + + + +

3. = 2'' 2 ' xy y y e+ + R : ( ) ( ) 21 2 19x xy x C C x e e= + + 4 '' 8 ' 7 14y y y + = R : ( ) 71 2 2x xy x C e C e= + + 5. R : '' '

xy y e = ( ) 1 2 2x x xxy x C e C e e= + +

6. R : 2'' ' 6 xy y y xe+ = ( ) 2 31 2 110 25x x

xy x C e C e x e = + + 2x

7. x'' cosy y+ = R : ( ) 1 2 1cos sin sin2y x C x C x x x= + +

8. 2y '' siny x+ = R : ( ) ( )1 2 1cos sin cos 26y x C x C x x= + + 9. ''' 13 '' 12 0y y y + = R : ( ) 121 2 3x xy x C C e C e= + + 10. ''' 0y y =

R : ( ) / 21 2 33 3cos sin2 2x xx xy x C e e C C

= + +

11. 4 0IVy y+ = R : ( ) ( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinx xy x C

e C x C x e x C x= + + +

12. 2 ''' ''IV xy y y + = eR : ( ) 21 2 3y x C C x C= + + + 4 2 x

xC x e+

13. '' 2 'xey y y

x

+ + = , 0x > R : ( ) ( )1 2 lnx xy x C xC e xe x = + +

14. 2 3'' 2 ' 2 2 2 sin 2x y xy y x x + = +

R : ec. omogen are soluia ( ) 21 2y x C x C x= + ( ) 2 21 21 sin 2 / 2y x C x C x x x x x= + + cos2

15. ( )2 '' 4 ' 2 ln 1x y xy y x+ + = + R: ec omogen are soluia ( ) 2A By x x x= + ( ) ( ) ( )

21 2

2 2

1 3 3ln 12 42

xC Cy x xx xx x

+= + + +