ecuaciones lineales ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones y solución de ecuaciones lineales de primer orden Solución General Ejemplo con valor inicial y ejemplo con valores inicialesEcuaciones Diferenciales ExactasTRANSCRIPT
Ecuaciones LinealesDefinicin ecuacin linealUna ecuacin lineal de primer orden es de la forma
Se dice que es una ecuacin lineal de variable dependiente (y)Se dice que la ecuacin lineal 1 es homognea cuando g(x)=0; si no, es no homognea.Forma estndarAl dividir ambos lados de la ecuacin 1 entre el primer coeficiente a1(x), se obtiene una forma ms til, la forma estndar de una ecuacin lineal.
Donde P(x) es el factor de integracin.El factor de integracin se obtiene de
Le podemos hacer separable
Solucin de una ecuacin lineal de primer ordeni) Ponga la ecuacin lineal de la forma (1) en la forma estndar (2)ii) Identifique la identidad de la forma estndar g(x) y despus determine el factor integrante iii) Multiplique la forma estndar de la ecuacin por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuacin resultante es automticamente la derivada del factor integrante i(y)
iv) Integre ambos lados de esta ltima ecuacinEjemploResuelva
Por lo tanto
Solucin de una ecuacin diferencial lineal No HomogneaResuelva
P(x)=3
Solucin generalResuelva
Solucin
Multiplicando el factor integrantePor la ecuacin en la forma estndar
-
u=xdu=exdxdu=dx u=ex
Ejemplo Solucin generalDetermine la solucin general de
Solucin
Ejemplo un problema con valor inicialResuelva
Aplicando y(0)=4Para x=0 y y=4
5=cSustituyendo c=5 en la solucin
Ejemplo un problema con valores inicialesResuelva
Solucin En la grfica 1 se muestra la grfica de la funcin discontinua f. Resolviendo la E.D. (Ecuacin Diferencial) para y(x) para el intervalo [0,1] y despus en el intervalo (1,).
Para x=0 y y=0
Entonces para x>1
Ecuaciones diferenciales exactas
Es posible determinar C2 as la ltima funcin es continua en x=1
Y esto implica que
Definicin ecuacin exactaUna expresin diferencial M(x,y)dx+N(xy)dy es una diferencial exacta en una regin R del plano xy si esta corresponde a la diferencial de alguna funcin f(x,y) definida en R. Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se dice que es una ecuacin exacta si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta.Por ejemplo x2y3dx+x3y2dy =0 es una ecuacin exacta
Observe que si hacemos las identificaciones M(x,y)= x2y3 N(x,y)=
Teorema Criterio para una diferencial exactaSean M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una regin rectangular R definida por
Entonces una decisin necesaria suficiente para que
Sea una diferencial exacta es:
Mtodo de Solucin Dada una ecuacin en la forma diferencialM(x,y)= x2y3 N(x,y)=Determine si la igualdad de la ecuacin
Es valida, si es as entonces existe una funcin f para la que
Podemos determinar f integrando M(x,y)dx mientras y se mantiene constante
Donde la funcin arbitraria g(y) es la constante de integracin. Ahora derivamos con respecto a y y suponiendo que
Se obtiene
Ya por ltimo, se integra la ecuacin respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuacin 1. La solucin implcita de la ecuacin es
Ejemplo Resolviendo una ecuacin diferencial exactaResuelva Sol N
Entonces existe una funcin
Integrando
Ejemplo Resolviendo una ecuacin diferencial exactaResuelva
Entonces existe una funcin
Ahora para variar, tomamos
Ejemplo Problema con valores inicialesResolver
Tarea La constante dar
Ecuaciones diferenciales no exactas
Algunas veces es posible encontrar un factor integrante de manera que, despus de multiplicar el lado izquierdo de
Es una diferencial exacta la ecuacin 1 es exacta si y solo si
Por regla del producto de derivacin, la ltima ecuacin es la misma que
Agrupando trminos
La hacemos separable
Integrando
Suponga que es funcion de una variable por ejemplo, en este caso,
As la ecuacin 2 se puede escribir como
Tomamos
El factor integrante es pr tanto
Multiplicando la ecuacin diferencial por
Entonces existe una funcion
Integramos
Por tanto
CENLAGE LearningComment by Aldo Castro: Libro que utiliza el profesorEjercicioDeterminar el valor de para la ecuacin en que la ecuacin diferencial es exacta y resulvala
Existe una funcin