Para circuito RL SIN FUENTE

Mediante la ley de Kirchho donde la suma de voltajes es igual a cero ten-emos lo siguiente:

Ri+vL=Ri+L didt=0Igualando a cero y dividiendo para la inductancia tenemos:didt+

RL i=0

multiplicando por dt y dividiendo para i :dii +

RL dt=0

dii =-

1Lvi dt!di=- 1L vdt

IntegrandoR iit0di=- 1L

R tt0vdt!i=- 1L

Rvdt+k sea K =i(t0)

Para circuito RC

Mediante la ley de Kirchho donde la suma de corriente es igual a cerotenemos lo siguiente:

1

C dvdt+vR= 0

Dividimos para Cdvdt+

vRC= 0

Tanto el circuito RL y el circuito RC son duales por lo tanto consideramosque v(t) en el circuitoRC e i(t) en el circuito RL tengan expresiones identicas don de el valor de

L=C.Al aplicar las tensiones de Kirchho tenemos:1C

R tt0idt+K +Ri = 0

derivando tendremosiC+R

didt= 0

si reemplazamos el i por vR obtenemos la segunda ecuacindvdt +

vRC = 0

Circuito RLC

Analizamos la siguiente tabla:V oltaje Corriente

R V = R I I =VRL V = L didt I =

1L

Rvdt+K

C V = 1CRidt+K I = C dvdt

Con las ecuaciones obtenidas anteriormente y aplicando las leyes de Kirchhopodemos escribir la ecuiacin nodal simple:

vR +

1L

R tt0vdt0 i(t0) + C dvdt = 0; sujeto a las condiciones :

i(0+ )=I0v(0+ )=v0

Derivando tendremos una ecuacion lineal homogenea de segundo ordenC d

2vdt2+

1Rdvdt+

1Lv = 0

cuya solucion v(t) es la respuesta natural deseada.

Deduccion del modelo de solucion.-(RL SI FUENTE)

2

Partimos de la deduccin de la ecuacin de un ciruito RL la cual se basa enla ley de voltajes de kircho y que nos da como resultado la ecuacin principal:

didt +

RL i = 0 (ecuacin principal)

Son distintos los mtodos de deduccin del modelo de solucin, empezaremospor el siguiente:Mtodo directo.-Consiste en exprearla de manera que se separen las variables y luego se

integre cada miembro de la ecuacin las variables de la ecuacion principal deun circuito RL o RC son i y t, y resulta evidente que la ecuacin se podriamultipicar por un diferencial de t , y dividirse entre i y arreglarse con base enlas variables separadas.

dii = RLdt (2)

En razn de que la corriente es I0 en un t = 0 e i(t) en el tiempo t igualaremoslas dos integrales denidas que se obtienen al integrar cada miembro entre loslmites corespondientes:R i(t)

I0(dii )=

R t0RLdt

Efectuando la integracin indicada tenemos:

ln iji(t)I0 = RL tjt0La cual tiene como resultado:ln i ln I0 = RL (t 0)

Lo que es equivalente a:i(t) = I0e

Rt=L (3)

Para realizar la comprobacin de nuestra solucin demostramos primero quela solucin de la ecuacin (3) en la ecuacin principal produce la identidad 0=0,y despus que la sustitucin de t=0 en la ecuacin (3) tiene como resultadoi(0)=I0, ambos pasos son necesarios ; la solucion debe satisfacer tanto a laecuacin diferencial del circuito como a la condicin inicial.

Metodo alterno.-La siguiente solucin se realiza mediante una pequea variacin del mtodo

directo, incluyendo una constante de integracin.Rdii =

RRLdt+K

y se origina el siguiente resultado:

ln i = RL t+K (4)

3

La constante k no puede evaluarse mediante la sustitucin de la ecuacin(4) en la ecuacin diferencial principal (1); resultar la identidad 0 = 0, pues laecuacin (4) es una solucin de la ecuacin principal (1) para cualquier valorque tome K, comprobemos:

didt +

RL i = 0 sustituyendole la ecucin (4) tendremos 0 = 0

La constante de integracin debe elegirse para satisfacer la condicin iniciali(0)=I0:As en t = 0, la eccuacin (4) se convierte en:

ln I0 = K

Ahora reemplazamos el valor de K en la ecuacin (4) para obtener la re-spuesta deseada, de la siguiente manera:

ln i = RL t+ ln I0que es equivalente a:

i(t) = I0eRt=L

Mtodo general.-Este mtodo se basa en nuestra intuicin y experiencia.Slo supondremos

una forma de solucin y luego se se probarn los supuestos, primero mediantela sustitucin en la ecuacin diferencial y luego a travs de la aplicacin de lascondiciones inciales dadasDebido a que no podemos adivinar la expresin numrica exacta de la solu-

cin, consideremos una solucin que tenga varias constantes desconocidas yelegiremos los valores para ellas con el n de satisfacer l ecuacin diferencial ylas condiciones iniciales.Supongamos una solucin de la ecuacin principal (1)en forma exponencial.

i(t) = Aes1t

Donde A y s1 son constantes que se deben determinar. despues de sustituiresta solucin supuesta en la ecuacin principal (1), tenemos:

As1es1t +ARL e

s1t = 0sacando factor comn tenemos :Aes1t(s1 +

RL ) = 0

Con el n de satisfacer la ecuacin para todos los valores del tiempo, serequiere que A = 0, o s1 = 1; 0, o s1= R=L.Pero si A = 0, o si s1 = 1,entonces todo respuesta es nula; ninguna puede ser solucin para el problemaen cuestin. Por lo tanto, debemos elegir:

4

s1 = RLDe tal manera que nuestra solucin spuesta toma la siguiente forma:

i(t) = AeRt=L

La constante restante debe evaluarse aplicando la condicin inicial i(0) =I:De tal modo, A = Io, y la forma nal de la solucin supuesta es la misma queen los casos anteriores:i(t) = Ioe

Rt=L

Los procesos anteriores son muy similares con un circuito RC sin fuente,con la diferencia de que la capacidad tiene otras equivalencias respeto al voltajeo corriente; pero en base a estas, la capacidad y la inductancia se llega a loscircuitos RLC los cuales signican: resistencia, inductancia, capacitancia.

Deduccin de la solucin de un circuito RLC en paralelo sin fuente.-

Partimos de la siguiente ecuacin:

C d2vdt2 +

1Rdvdt +

1Lv = 0 (ecuacin principal)

Hay varias formas de resolver la ecuacin principal, pero el mtodo masgeneral, rpido y sencillo es el siguiente:

supondremos que:

v = Aest (5)que es la forma ms general posible y que permite que A y s sean nmeros

complejos, en caso de ser necesario.Al sustituir la ecuacin (5) en la ecuacin principal obtenemos:

CAs2est + 1RAsest + 1LAe

st = 0

Sacando factor comn tenemos:

Aest(Cs2 + 1Rs+1L ) = 0

Para satisfacer esta ecuacin todo el tiempo al menos uno de los tres factoresdebe ser cero.Si cualquiera de los primeros dos factores se iguala a cero, entoncesv(t) = 0:Esta es una solucin trivial de la ecuacin diferencial que no puede satisfacer

las condiciones iniciales dadas, por lo tanto igualamos a cero el factor restante:

Cs2 + 1Rs+1L = 0 (6)

Los matemticos suelen denominar a esta expresin ecuacin auxiliar oecuacin caracterstica.

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La solucin supuesta es correcta solo en el caso de que sea posible satisfacerla,lo haremos de la siguiente forma:Puesto que la ecuacin (6) es cuadrtica, hay dos soluciones identicadas

como s1 y s2:

s1 = 12RC + 2q( 12RC )

2 1LC (7)

y

s2 = 12RC 2q( 12RC )

2 1LC (8)

Si cualquiera de estos dos valores se usa para s en la solucin supuesta,entonces la solucin satisface la ecuacin diferencial dada; de tal modo sta estase convierte en una solucin vlida de la ecuacin diferencial.Supongamos que sustituimos s por s1 en la ecuacin (5), con lo cual obten-

emos:

v1 = A1es1t

y de manera similar,v2 = A2e

s2t

La primera satisface la ecuacin diferencial

C d2v1dt2 +

1Rdv1dt +

1Lv1 = 0

y la ltima satisface

C d2v2dt2 +

1Rdv2dt +

1Lv2 = 0

De tal modo que si se suman estas dos ecuaciones diferenciales y se combinantrminos semejantes, obtenemos:

C d2(v1+v2)dt2 +

1Rd(v1+v2)

dt +1L (v1 + v2) = 0 (9)

Podemos notar que la linealidad prevalece y se observa que la suma de ambassoluciones tambin es una solucin.De este modo la forma general de la respuesta natural es:

v(t) = A1es1t +A2e

s2t

lo cual proviene de que:

v(t) = v1 + v2

Donde s1 y s2 estn dadas por las ecuaciones (7) y (8); A1 y A2 son dos con-stantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las dos condicionesiniciales especicadas.

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El anlisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera directaal circuito RLC en serie; las condiciones iniciales sobre la tensin en el capacitory la corriente en el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en lacorriente en el inductor y la tensin en el capacitor; la respuesta de tensinconsiste en una respuesta de corriente.

Circuito RLC en serie.-(SIN FUENTE)Tanto los circuitos parelos como los en serie, pueden ser sobreamortiguados,

crticamente amortiguados y subamortiguados.

Solucin del circuito RLC en serie:La respuesta de un circuito RLC sobreamortiguado es:

i(t) = A1es1t +A2e

s2t

donde:

s1;2 = R2L 2q( R2L )

2 1LC = 2p2 !20

Y por ello

= R2L

!0 =1

2pLC

La solucion de la respuesta crticamente amortiguado es

i(t) = et(A1t+A2)

y la de la respuesta subamortiguada se escribira como:

i(t) = et(B1 cos!dt+B2 sin!dt) = et (B1 cos t!d +B2 sin t!d)

7

EJERCICIOS Y APLICACIONES.-Con los siguientes ejemplos que se presentarn a continuacin aprenderemos

a resolver circuitos electricos RLC, RC Y RL utilizando ecuaciones diferencialesy conoceremos la relacin entre los componentes del circuito y su representacincomo cantidades diferenciales que cambian con el tiempo.

cir-cuito RLC(gura 1)Para desarrollar este ejemplo partiremos de la conguracin bsica para un

circuito RLC,que es cuando sus componentes estn conectados en serie.Donde, los elementos mostrados son:1. Un resistor con una resistencia R ohms2. Un inductor con una inductancia de L henries,3. Un capacitor con una capacitancia de C faradios,4. Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje E(t)de 110

V5. a 60 Hz, en el tiempo t.De acuerdo con los principios elementales de electricidad, las cadas de

voltaje a travs de los elementos del circuito son las que ya conocimos en losconceptos expuestos anteriormente .

Estas expresiones, para las cadas de voltaje, derivadas de la fsica, provienende conclusiones experimentales, que han llevado a las siguientes deniciones:Cadas de Voltaje. Circuito elctrico mixto1. Resistencia. La cada de voltaje a travs de una resistencia (R) es

proporcional a la corriente que pasa a travs de sta, es decir: E(t)I E(t)=RI(Ley de Ohm). Donde R es la constante de proporcionalidad llamada coecientede resistencia o simplemente resistencia.2. Inductor. La cada de voltaje a travs de un inductor es proporcional

a la tasa de tiempo instantnea de cambio de la corriente, es decir: E(t)dIdt E(t)=LdIdt. Donde L es la constante de proporcionalidad llamada el coecientede inductncia o simplemente inductor.3. Capacitor (condensador). La cada de voltaje a travs de un conden-

sador es proporcional a la carga elctrica instantnea en el condensador: E(t)Q E(t)=QC. Donde 1C es la constante de proporcionalidad y C es la capacitanciadel capacitor o inductor.

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Estas deniciones se pueden entender mejor si guardamos en mente que unaresistencia disipa una parte de corriente como calor, un inductor se opone a loscambios de corriente por el efecto del campo magntico que genera alrededorde s que a su vez le autoinduce una tensin, un capacitor (condensador), es unelemento que almacena energa.

PROBLEMASe aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con0:1henrys

de inductancia y 50ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0.Determine la corriente conforme t! 0.

El circuito esta descrito en la Figura 2.

circuito RL (gura 2)Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos ElctricosCircuito tipo LR conectado en serieEcuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Elctricos: Modelado del Cir-

cuito Elctrico con Ecuaciones DiferencialesPrimeramente obtengamos los modelos para el circuito representado en la

Figura 2.En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente i(t)), en un

circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MAL-LAS.Para esto recordamos como representamos matemticamente, en circuitos

elctricos, a los Inductores y las Resistencias, as como las deniciones de cadasde voltaje para cada elemento y en base a estos conocimientos tenemos losiguiente:

aplicamos la ley de mallas de kircho al circuito de la Figura 2, para lascadas de voltaje en funcin de la corriente i(t), tenemos:

L didt + iR = E(t)(1)

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En realidad esta ecuacin (1), no es ms que la ecuacin general de uncircuito RLC sin la cada de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuacin es:L didt +Ri+

1C q = E(t) (2)

Es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie deltipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplementecontracciones de la ecuacin (2).

Para nuestro caso la ecuacin diferencial a resolver, segn la ecuacin (1) ysustituyendo los valores del problema planteado, es:0:1 didt + i50 = 30 (3)Resolviendo la ecuacin (3):I. Forma estndar:

dydx+P (x)y = g(x)) didt+500i = 300

II. Factor Integrante:eRP (x)dx= e

R500dt= e500t

III. Forma de la solucin:y = yc+ yp) i(t) = itr(t) + ips(t)yc = Ce

RP (x)dx) itr(t) = Ce

R500dt

) itr(t) = Ce500t

yp = 1eRP (x)dx

ReRP (x)dx

f(t)dx

) ips(t) = 1eR500t

Re500t300dt

) ips(t) =35Por tanto la corriente, buscada es:i(t) = itr(t) + ips(t) = Ce500t + 35 (4)

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales i(0) = 0, es decircuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 tambin.Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuacin para la corriente resul-

tante del circuito (4), tenemos:

i(t) = Ce500t = Ce500(0) + 35 = C 1 + 35Esto implica que:C = 35De donde la Corriente Buscada es:

i(t) = 35e500t+ 35

Circuito rc en serie

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PROBLEMASe aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el

que la resistencia es de 200ohms y la capacitancia de 104farads. Determine lacarga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i(t). El circuito estadescrito en la Figura 3.

cir-cuito RC en serie (gura 3)Partimos de la siguiente ecuacin:

R dqdt+1c q = E(t) (1)

Solucin para encontrar la carga del circuito rc en serie:200dqdt+

11104 q = 100 (2)

Resolviendo la ecuacin (2):I. Forma estndar:

dydx+P (x)y = g(x))dqdt+50q = 12II. Factor Integrante:

eRP (x)dx= e

R50dt= e50t

III. Forma de la solucion:

y = yc+ yp) q(t) = qtr(t) + qps(t)

yc = CeRP (x)dx) qs(t) = 1e50t

Re50t 12dt) qs(t) = 1100

Donde:qs es la carga estacionaria del capacitor. Por tanto la carga (total en el

circuito), buscada es:

q(t) = qtr(t) + qs(t)

11

Ce50t+ 1100 (3)

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales q(0)=0, es decircuando el tiempo t es 0 la carga en el capacitor es 0 tambien (como en uncircuito abierto).

tenemos:q(t) = Ce

50t+ 1100

0 = C+ 1100

Esto implica que:C = 1100De donde la Carga en el capacitor buscada es:q(t) = 1100e50t+ 1100 = 1100 1100e50t (4)

Obteniendo la corriente i(t), del circuito RC en serie:reemplazando en la ecuacin diferencial de un circuito RC, tenemos:

200i+ 11104 [ 1100e50t+ 1100 ] = 100

despejando i(t), tenemos:

i(t) =12e50t

PROBLEMAConsidere un circuito RLC con R = 110 ohmios, L = 1henrys, C =

0; 001faradios y una bateria que proporciona E0 = 90voltios. Inicialmenteno existe corriente en el circuito ni carga en el capacitor. En el tiempo t = 0 secierra el interruptor durante 1s.En el tiempo t = 1 se abre y se mantiene as enadelante. Encuntrese la corriente resultante.

Usamos la siguiente ecuacin:

L didt+Ri+1C q = E(t)

y sabemos a que equivale q:

L didt+Ri+1C

R t0i()d = E(t)

Gracias a los datos del problema conocemos tambin que la cada de tensinen un inicio en la fuente vale 90 voltios, hasta cuando t = 1, y en ese momentola cada en la fuente valdra 0 voltios, lo que kiere decir que el circuito se abre ysera (t 1)(90), y quedara as:

en inicio) 90en t = 1) (t 1)(90)

12

en conclusin:

E(t) = 90 + (t 1)(90)= 90f1 + (t 1)(1)g

entonces reemplazamos en la ecuacin del circuito:

1 didt+110i+ 1000R t0i()d = 90f1 + (t 1)(1)g

conocemos que la transformada de LaPlace:

L = [ R t0i()d ] = I(s)s

remplazamos segn LaPlace:

sI(s) + 110I(s) + 1000 I(s)s =90s f1 es)g

Con fracciones parciales tenemos:

I(s) = 1s+10 1s+100es( 1s+10 1s+100 )

Realizamos la transformada inversa de LaPlace, y obtenemos:

i(t) = e10te100tu(t 1)[e10(t1)e100(t1)]

y hemos hallado la expresin de la corriente en cualquier instante del tiempo.EJERCICIOS:Un circuito RC con una resistencia de 1 y un condensador de 0.000001F

tiene un voltaje E(t)=sen100t V. Si el voltaje inicial en el condensador es nulo,Determine el voltaje en la resistencia, el voltaje en el inductor y la corriente

subsecuentes.Voltaje del capacitor=- 10000100000001 cos 100t+

100000000100000001 sin 100t+

10000100000001e

1000000tV .Voltaje del resistor= 10000100000001 cos 100t+

1100000001 sin 100t 10000100000001e1000000tV .

Corriente= 10000100000001 cos 100t+1

100000001 sin 100t 10000100000001e1000000tV .I = 1L

RE(t)dt

C = E(t)dt

CONCLUSIONES

El trabajo realizado con los modelos matematicos nos fueron de gran ayudaen la investigacion para poder tener clara la deduccion matematica y de dondesalen las ecuaciones para poder resolver el trabajo.

en la inverstigacion realizada se vio muchos casos por el cual el trabajopresentado a contunuacion tuvo quer ser especico en la investigacion.

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Al resolver los ejercicios nos dimos cuenta que el trabajo realizado fue exitoso

gracias a todo el material de aporte que obtuvimos para su investigacion

REFERENCIAS-Ecuaciones diferenciales de Nagle-Analisis de circuitos en Ingnieria-Ingenieria de control moderna Ogata-Electricidad y circuitos

ANEXOS

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