ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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15

Aplicaciones.

1. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres

veces mayor que la edad del hijo?

Años x

35 + x = 3 · (5 + x )

35 + x = 15 + 3 · x

20 = 2 · x x = 10

Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

2. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el

perímetro mide 30 cm?

Altura x

Base 2x

2 · x + 2 · 2x = 30 2x + 4x = 30 6x = 30 x = 5

Altura 5 cm

Base 10 cm

3. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños

que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión

la componen 96 personas?

Hombres x

Mujeres 2x

Niños 3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x

x + 2x + 9x = 96

12x = 96 x = 8

Hombres 8

Mujeres 2 · 8 = 16

4. Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado

lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

5. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y

pavos hay?

Cerdos x

Pavos 35 − x

4x + 2 · (35 − x) = 116

4x + 70 − 2x = 116

2x = 46 x = 23

Cerdos 23

Pavos 35 − 23 = 12

6. Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo

en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la

segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:

1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.

1ª etapa

2ª etapa

2. Litros consumidos en cada etapa.

1ª etapa

2ª etapa

7. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las

dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto

dinero tenía Ana?

Total x

Libro

Cómic

8. La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor

la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el

número?

Unidades x

Decenas x + 1

Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos descomponerlo, de

este modo: 6 ·10 + 5.

Nuestro número de dos cifras es: (x +1) · 10 + x.

Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x + x + 1 = 2x + 1,

tendremos:

(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)

10x + 10 + x = 12 x + 6

10 x + x - 12x = 6 - 10

−x = −4 x = 4

Unidades 4

Decenas 4 + 1 = 5

Número 54

9. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de

éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las

edades de ambos.

Juan Padre de Juan

Hace cuatro años x 2x

Hoy x + 4 2x + 4

Edad de Juan: 32 + 4 = 36.

Edad del padre: 2 · 32 + 4 = 68.

10. Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto

tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?

Rápido Lento

Tiempo x 2x

Hora de trabajo 1/x 1/2x

Rápido 21 horas

Lento 42 horas

11. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más

que C y que A mide 40° más que B.

C x

B x + 40

A x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;

3x = 60; x= 20

C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º

12. Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán

las agujas?

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

13. Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez

un ángulo recto?

Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, que

llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.

25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.

14. Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez

un ángulo recto?

Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, que

llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.

25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.

15. Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la

ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B

parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 2 = 180 km

e BC = 60 · 2 = 120 km

16. Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche

de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90

km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 6 = 540 km

e BC = 60 · 6 = 360 km

17. Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde

sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120

km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.

18. Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora más tarde

sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se pide:

1. Tiempo que tardará en alcanzarle.

e1 = e2

40t = 60 (t − 1)

40t = 60t − 60 40t − 60t =− 60 −20t = −60

t = 3h

Como el coche sale una hora más tarde, el tiempo que tardará en alcanzarlo será de 2

horas .

2. Distancia al punto de encuentro.

e1 = 40 · 3 = 120 km .

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

19. Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los pueblos A y B

situados a 130 kilómetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad

constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se

encontrarán y a qué hora?

30t + 20t = 130 50t = 130

t = 130/50 = 2 h 36 min

Se encuentran a las 11h 36 min

e AC = 30 · 130/50 = 78 km

20. Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo

cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

7x = 12 x = 12/7 horas

21. Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60

€ el kg.

¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de

mezcla a 50 € el kg?

1ª clase 2ª clase Total

Nº de kg x 60 − x 60

Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600

x = 30; 60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase .

22. Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso

hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

1ª ley 2ª ley Total

Nº de g x 1800 − x 1800

Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

23. Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre puro se

habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900?

Oro Cobre Total

Nº de g 6 300 x 6 300 + x

Oro puro 0.950 · 6 300 0.900 · (6 300 + x)

0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300

5 670 + 0.900x = 5 985

0.900x = 315 x = 315/0.900 = 350

Cobre 350 g

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los

coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

La solución es x = 0.

ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x:

ax2 + c = 0

Despejamos:

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado

ax2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se llama DISCRIMINANTE de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación

el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x2 − x + 6 = 0

Factorización de un trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = 0

a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 = 0

2 −x2 + 4x − 7 = 0

3 12x2 − 3x = 0

4

2Halla las soluciones de las ecuaciones:

1

2

3Resuelve:

1x4 − 61x2 + 900 = 0

2x4 − 25x2 + 144 = 0

4 Resuelve:

1

2

5 Hallar las raíces de:

1 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

2x3 − x2 − 4 = 0

36x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

6Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1

2

3

4

7. Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

b2 − 4ac = 0

k2 − 4 · 36 = 0 k2 = 144

8. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x2 − Sx + P = 0

9. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía

hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x −13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

10. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca.

Calcula las dimensiones de la finca.

Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

x · (55 − x) = 750

x2 − 55x + 750 = 0

x = 25 x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .

11. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y

5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

1er lado (base) 3x

2º lado (altura) 4x

3er lado 5x

1er lado 6 m

2º lado 8 m

3er lado 10 m

12. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es

540 m².

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x2 + 168x − 540 = 0 x2 + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

13. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que

es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

(4x)2 + (3x)2 = 752

25x2 = 5625

x2 = 225 x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

14. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

15. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados

es 580. ¿Cuáles son esos números?

1er número x

2º número x + 2

1er número 16

2º número 18

16. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en

tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Tiempo de A x

Tiempo de B x+ 3

A

B

A y B

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

17. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta

igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

leche x

jamón y

aceite z

leche 1 €

jamón 16 €

aceite 3 €

18. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste

americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del

total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al

representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

infantiles x

oeste y

terror z

infantiles 500 películas

oeste 600 películas

terror 900 películas

19. El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son

esos números?

20. Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen

1184.

INECUACIONES

1 Resolver las siguientes inecuaciones

1

2

3

2 Resuelve el sistema:

3 Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

2 −x2 + 4x − 7 < 0

3

4 Resuelve:

1

2x4 − 25x2 + 144 < 0

3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

5Resolver las inecuaciones:

1

2

Aplicaciones

La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo

unitario de $15. si los costos fijos son de $600.000, determine el número mínimo de unidades que

deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

X>120.000 UNIDADES

RESPUESTA:

$ VENTA: 20 Unid.

$ COSTO: 600.000

X UNID. Que deben ser vendidas para generar utilidades:

20X-(15X + 600.000) > 0

20-15X-600.000 >0

5X > 600000/5

X >120.000 DEBE DE SER VENDIDAS PARA GENERAR UTILIDADES

• Para producir una unidad de producto nuevo, una compañía determina que el costo del

material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de

ventas, es de $5000. si el precio para un mayorista es de $740 por unidad, determine el número

mínimo de unidades que debe ser vendido para que

la compañía obtenga utilidades.

RESPUESTA:

$ COSTO: 250X+4X

$ PRECIO: 740 X

X UNID

740X – (254X+ 5000) > 0

740X -254X - 5000 > 0

486X > 5000

X > 5000/486

X > 10.28 UNIDADES MINIMAS PARA GENERAR UTILIDADES

• Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un

automóvil. Ella puede rentar un automóvil por US$400 mensuales (con una base anual). Bajo este

plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de US$0.10. Si comprase el carro el gasto fijo anual

seria de US$ 3000 más US$0.18 por milla. ¿ cual es el menor numero de millas que deberá

conducir por año para que la renta no sea mas cara que la compra.

RESPUESTA:

RENTAR:$400/MILLA

COSTO $0.10X

400 + 0.10X * 12 < 3000 +0.18X

RENTAR CALIDAD

0.10X + (400 *12) < 3000 + 0.18X TERMINARLO

Un vaso de ½ litro (500 cm3) tiene forma cilíndrica con un radio interior de 4 cm. ¿Qué

tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para estar seguros de tener ½

litro de agua con un error menor del 1%, esto es, un error menor que 5 cm3?.

Solución

El volumen V del agua en el vaso está dado por la fórmula: V = R2h = 16 h (volumen

real).

Al decir que se quiere tener un error menor de 5cm3 en la

medida del volumen,

equivale a decir que .

Pero,

(Prop. V.A.7.)

(Prop. 03 y 07)

Note que la diferencia (hs - hi) = 0.0994 Y 0.1 cm = 1 mm.

Lo que indica que debemos medir la altura con una precisión de cerca de 1 mm

(milímetro). (aproximadamente el ancho de las marcas de calibración del vaso).