ecuaciones de movimiento: fluido viscoso-fluido newtoniano...
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Ecuaciones de Movimiento:Ecuaciones de Movimiento:Flujo viscosoFlujo viscoso
ClaudeNavier
(1785-1836)
GeorgesStokes
(1819-1903)
Osborne Reynolds (1842-1912)
Fluido ViscosoFluido Viscoso--Fluido NewtonianoFluido Newtoniano•• En los flujos viscosos no En los flujos viscosos no
despreciamos el efecto de despreciamos el efecto de la viscosidad sobre el la viscosidad sobre el movimiento del fluido.movimiento del fluido.
•• En los fluidos newtonianos En los fluidos newtonianos admitimosadmitimos
•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (caso que vamos a analizar en estas clases)(caso que vamos a analizar en estas clases)
PIprrrrrr
+−=σ
EIudivPrrrrrrr
µλ 2* +=
EPrrrr
µ2=
Ecuación de conservación de la masaEcuación de conservación de la masa
0=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
PIprrrrrr
+−=σ
0=+ udivDtD rρρ
No hay cambios porque no depende de la relación constitutivaNo hay cambios porque no depende de la relación constitutiva
Si el flujo es incompresibleSi el flujo es incompresible
0)( ==+∂∂
= udivdivutDt
D rrρρρ
EcEc. De . De ConservacConservac. . CantCant. . MovMov. Lineal. Lineal
•• Sustituyendo nos quedaSustituyendo nos queda
•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (Ecuación de Navier(Ecuación de Navier--StokesStokes))
•• Que se puede escribir Que se puede escribir también comotambién como
( ) ( ) ( )( ) ( )uudivgradpgradfDtuD
vrrrr
2* ∇+++−= µµλρρ
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
21∇+−= υ
ρ
( ) ( )ωυρ
rrr
rotpgradfDtuD
v +−=1
Ecuación de la VorticidadEcuación de la Vorticidad
•• Partiendo de NPartiendo de N--S bajo la S bajo la forma forma
•• Considerando un flujo Considerando un flujo incompresible y que las incompresible y que las fuerzas volumétricas fuerzas volumétricas derivan de una función derivan de una función potencial, Si aplicamos el potencial, Si aplicamos el operador rotor y operador rotor y efectuamos sucesivos efectuamos sucesivos desarrollos llegamos adesarrollos llegamos a
( ) ( )ωυρ
rrr
rotpgradfDtuD
v +−=1
( ) ( )ωυωω rrrr
2∇+= ugradDtD
Resumen EcuacionesResumen Ecuaciones
Relación de Relación de GibbsGibbsEntropía específicaEntropía específicaCoefCoef. Calóricos (. Calóricos (e=cvTe=cvT))Energía int. Esp.Energía int. Esp.ConsCons. Energía (1). Energía (1)Temperatura (1)Temperatura (1)Ecuación de Estado (1)Ecuación de Estado (1)Densidad (1)Densidad (1)ConservConserv. Masa (1). Masa (1)Presión (1)Presión (1)ConsCons. . CantCant. . MovMov (3)(3)Velocidad (3)Velocidad (3)
VariablesVariablesIncognitasIncognitas
Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 4x4
Desaparecen los términos de orden elevado. Permanece la no linealidad
Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional
Vt=Vt=??Vt=0Vt=0
Vn=0Vn=0Vn=0Vn=0
CondCondFronteraFronteraFluidos No Fluidos No viscososviscosos
Cond. Cond. FornteraFornteraFluidos Fluidos RealesReales
2
ObjetivosObjetivos
•• Analizar la formulación de las ecuaciones de Analizar la formulación de las ecuaciones de conservación considerando un fluido newtoniano e conservación considerando un fluido newtoniano e incompresibleincompresible
–– AdimensionalizaciónAdimensionalización de de laslas ecuacionesecuaciones de de conservaciónconservación–– NúmeroNúmero de Reynolds de Reynolds críticocrítico: regimen laminar: regimen laminar-- régimenrégimen
turbulentoturbulento–– InterpretacionesInterpretaciones físicasfísicas del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– FlujosFlujos con el con el mismomismo númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– CasosCasos límitelímite del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– Panorama de Panorama de soluciónsolución de de problemasproblemas par par fluidosfluidos newtonianosnewtonianos..
AdimensionalizaciónAdimensionalización de las de las ecuaciones de conservaciónecuaciones de conservación
t*t*=t=t/(L/U/(L/U∞∞))L/UL/U∞∞tttiempotiempo
presiónpresión
densidaddensidad
VelocidadVelocidad
LongitudLongitud
MagnitudMagnitud
PP
ρρ
(x(x11,x,x22,x,x33))
Variables Variables RealesReales
P*P*=P=P//ρρ00UU∞∞22ρρ00UU∞∞22
ρρ *= *= ρρ //ρρ00ρρ00
L/UL/U∞∞
(x(x11*,x*,x22*,x*,x33*)=(x*)=(x11/L, x/L, x22/L, x/L, x33/L)/L)LL
Variables AdimensionalesVariables AdimensionalesParámetro que Parámetro que adimensionalizaadimensionaliza
( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu /,/,/ 321*r
),,( 321 uuuu =r
Ecuaciones de ConservaciónEcuaciones de Conservación0=++
∂∂ udivdivut
rr ρρρ
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )**
*
*
*
*
*
****
**0
*0
****
*0
*
1
0
divLz
zzy
yyx
xx
div
zyxdiv
UudivLdivLUutt
t
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=++∂∂
∂∂
∞∞
rr ρρρρρρ
( ) ( ) ( ) ( ) 0*******
*
=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
t=tt=t*(L/U*(L/U∞∞))
ρρ = = ρρ** ρρ00
(x(x11,x,x22,x,x33)=(x)=(x11* L, x* L, x22** L, xL, x33
* * L)L)
( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu *3
*2
*1 ,,r
( ) 0** =udiv rFlujo Incompresible
Ecuaciones de ConservaciónEcuaciones de Conservación
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
21∇+−= υ
ρ
t=tt=t*(L/U*(L/U∞∞))
P=PP=P* * ρρUU∞∞22
ρρ = = ρρ** ρρ00
(x(x11,x,x22,x,x33)=(x)=(x11* L, x* L, x22** L, xL, x33
* *
L)L)
( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu *3
*2
*1 ,,r
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )2*2
2
2*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22*
2*
22
2*
2
2*
2
2*
2
2*
2
2*
2
2*
2
2*
2
2*
2
2*
22*
**
*
*
*
*
*
****
1
1
∇=∇
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
∂
∂=∇
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
L
izz
zyy
yxx
xi
zz
zyy
yxx
xi
zz
zyy
yxx
x
izyx
izyx
izyx
gradL
izz
zi
yy
yi
xx
xgrad
iz
iy
ix
grad
zyx
zyx
zyx
zyx
(((
(((
(((
(((
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∞∞
∞∞∞
∇+−=
=+∂∂
∂∂
UuL
UpgradL
f
UugradL
Uutt
tUu
v*2*
22
0**
0*
****
*
*
111
1
rr
rrr
υρρρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞∞∞∞∞ ∇+−=+
∂∂ Uu
LUpgrad
LfUugrad
LUu
LU
tu
v*2*
22
0**
0*
***2
*
* 1111 rrrrr
υρρρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2*2
**2
***
2*
2
*
* 1 uLUpgrad
LUfugrad
LUu
LU
tu
vrrrr
r
∇+−=+∂∂ ∞∞∞∞ υ
ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2****2
****
* 1 uLU
pgradULfugradu
tu
vrrrr
r
∇+−=+∂∂
∞∞
υρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2****2
****
*
Re111 upgrade
Frugradu
tu
zr(rr
r
∇++−=+∂∂
ρ
υLU∞=RegL
UFr ∞=
Video
ResumiendoResumiendo
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
( ) ( ) ( ) ( ) 0*******
*
=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
( ) ( )upgradDtuD rr
21∇+= υ
ρ
0=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
A resolver con las condiciones fronteras e iniciales del escurrA resolver con las condiciones fronteras e iniciales del escurrimientoimiento
Vt=0Vt=0Vn=0Vn=0
VtVt*=0*=0VnVn*=0*=0
3
AnálogamenteAnálogamente
( ) ( )ωυωω rrrr
2∇+= ugradDtD
0=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
( ) ( )*2******
*
Re1 ωωωω rrr
r
∇+= gradtD
D
( ) ( ) ( ) ( ) 0*******
*
=++∂∂ udivdivut
rr ρρρ
Número de Reynolds CríticoNúmero de Reynolds CríticoRégimen LaminarRégimen Laminar--Régimen TurbulentoRégimen Turbulento
Osborne Reynolds (1842-1912)
VideoVideo
Flujo Laminar Flujo Laminar vsvs Flujo TurbulentoFlujo Turbulento
Video
Video
Flujo Laminar Flujo Laminar vsvs Flujo TurbulentoFlujo Turbulento
•• VideoVideo
Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds
•• Relaciones entre Relaciones entre FuerzasFuerzas
–– Fuerzas de InerciaFuerzas de Inercia
–– Fuerzas viscosasFuerzas viscosas
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
( )
( ) ( )L
LUuu
≈∇
≈∇ ∞2
ρρ rr
( ) ( ) ( )2
22
2
LLUu ≈∇≈∇ ∞µµ r
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
21∇+−= υ
ρ
υµ
ρLU
LULU
asVisFInerciaF ∞
∞
∞
=
==
2
2
cos..Re
Video Re elevado Esfera1
Video Re bajo Esfera 2
Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds•• Relaciones entre Relaciones entre
longitudes característicaslongitudes características
–– Longitud Longitud CaractCaract. Difusión . Difusión ViscosaViscosa
–– Longitud de ConvecciónLongitud de Convección
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
τυ=2ViscdifL
τ∞=ULconv
( )( ) υτυ
τ LUULL
LL
visc
convcaractong ∞∞ === 2Re
[ ]sm2
=υ
4
Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds•• Relaciones entre tiempos Relaciones entre tiempos
característicoscaracterísticos
–– Tiempo Característico de Tiempo Característico de difusióndifusión
–– Tiempo Característico de Tiempo Característico de convecciónconvección
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
υτ
2Viscdif
dif
L=
∞
=ULconv
convτ
υττ LU
conv
dif ∞==Re
Interpretaciones Físicas del Número de ReynoldsInterpretaciones Físicas del Número de Reynolds
•• Relaciones entre flujosRelaciones entre flujos–– Flujo Flujo convectivoconvectivo
vorticidadvorticidad
–– Flujo Flujo difusoriodifusorio vorticidadvorticidad
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
( ) ( )ωµωρωρ rrrr
2∇+= ugradDtD
( ) ( )LL
Uu
LU
LUUu
≈∇≈×∇≈
=≈∇
∞
∞∞∞
rr
rr
ω
ρρωρ 2
2
2
( ) ( )2
2
32
LLUu
LU
≈∇≈×∇=
≈∇
∞
∞
r
r
ω
µωµ
υLU
FlujoFlujo
dif
conv ∞==Re
Interpretaciones Físicas del Número de ReynoldsInterpretaciones Físicas del Número de Reynolds
•• Relaciones entre flujosRelaciones entre flujos
–– Flujo Flujo convectivoconvectivo cantidad cantidad de movimientode movimiento
–– Flujo Flujo difusoriodifusorio cantidad de cantidad de movimientomovimiento
–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds
( ) ( )L
LU
LUUuu
≈∇
=≈∇ ∞∞∞
2
ρρρ rr
( ) ( )2
2
22
L
LUu
≈∇
≈∇ ∞µµ r
υLU
FlujoFlujo
dif
conv ∞==Re
( ) ( )upgradfDtuD
vrrr
2∇+−= µρρ
ResumiendoResumiendo
Flujos dominados por los Flujos dominados por los efectos de Inerciaefectos de InerciaFenómenos de convección Fenómenos de convección prevalecen sobre los deprevalecen sobre los deDifusiónDifusión
Flujos dominados por Flujos dominados por los efectos viscososlos efectos viscososFenómenos de difusión Fenómenos de difusión prevalecen sobre los de prevalecen sobre los de convecciónconvección
ττconvconv<< << ττdifdifττdifdif<< << ττconvconv
FluFluconvconv>>>>FluFludifdifFluFludifdif>>>>FluFluConvConv
L >>L L >>L ViscosasViscosasL L Viscosas Viscosas >>L>>L
FFInerciaInercia >> F >> F Viscosas Viscosas F F Viscosas Viscosas >>F >>F InerciaInercia
Re grandesRe grandesRe pequeñosRe pequeños
Flujos con el mismo número de ReynoldsFlujos con el mismo número de Reynolds
( ) ( )*2******
*
Re1 ωωωω rrr
r
∇+= gradtD
D
Video
Mas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o bajMas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o baja viscosidad, alta o a viscosidad, alta o baja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta másbaja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta más apropiado apropiado analizarlos en términos del número de Reynolds analizarlos en términos del número de Reynolds
Video0Video0 Video1Video1 Video2 Video2 Video3Video3 Video4Video4 Video5Video5 Video6Video6
En coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vortiEn coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vorticidad para una cidad para una dada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámdada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámetro adimensional: etro adimensional: El número de ReynoldsEl número de Reynolds
Esto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resuEsto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resultados ltados experimentales obtenidos previamenteexperimentales obtenidos previamente
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
Algunos valores de Re en la Algunos valores de Re en la naturalezanaturaleza•• Glaciar ReGlaciar Re≈≈1010--1111
•• Bacteria en Agua ReBacteria en Agua Re≈≈1010--55
•• Espermatozoides en líquido Espermatozoides en líquido seminal Reseminal Re≈≈1010--33
Baja Velocidad
Pequeña dimensión
5
•• Pez de Acuario RePez de Acuario Re≈≈101022
•• Persona nadando RePersona nadando Re≈≈101055
•• Serpiente de Agua ReSerpiente de Agua Re≈≈101066
•• Pájaro RePájaro Re≈≈101066
•• Tiburón ReTiburón Re≈≈101088
Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy bajo (Flujo Reynolds es muy bajo (Flujo StokesStokes))•• Se ajustan a este tipo Se ajustan a este tipo
de modelos de modelos fenómenos de fenómenos de –– Lubricación a través Lubricación a través
de fluidosde fluidos–– Procesos como Procesos como
producción producción filmsfilms, , cintas magnéticascintas magnéticas
–– Biomecánica Biomecánica
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
L
Video Cavidad
Propiedad: Flujos con inercia Propiedad: Flujos con inercia cuasicuasi nula nula son son cinemáticamentecinemáticamente reversiblesreversibles
Video 1
Video 2
Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy altoReynolds es muy alto
( ) ( ) ( )*2******
*
Re11 upgrad
tDuD rr
∇+=ρ
Se ajustan a este tipo de modelos Se ajustan a este tipo de modelos los flujos externoslos flujos externos
710Re ≈
610Re ≈
L
U∞
LU∞
Propulsión y número de ReynoldsPropulsión y número de Reynolds
•• Flujos con alto Re Flujos con alto Re (inercia domina) Debe (inercia domina) Debe lograr la impulsión a lograr la impulsión a partir de fuerzas de partir de fuerzas de InerciaInercia
Impulsión por fuerzas de inercia (Acción-Reacción)
A: Cohete
B: Jet detrás de la lancha
C: Impulso de líquido con la cola
•• Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe lograr el impulso a partir de la generación lograr el impulso a partir de la generación de fuerzas viscosasde fuerzas viscosas
Video 1 Propulsores en agua Re~103
Video 2 Propulsor en glicerina Re<<1
Video 3 Propulsor en glicerina Re<<1
Flujos Re ~10-5 Video
ConclusionesConclusiones
•• Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro adimensional : el número de Reynoldsadimensional : el número de Reynolds
•• Este parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenEste parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenos os de convección frente a los de difusiónde convección frente a los de difusión
•• Es un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida dEs un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida de e estabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesestabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenturbulentoturbulento
•• Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es laminar y las soluciones de NS son válidas.laminar y las soluciones de NS son válidas.
•• Si el flujo es turbulento se requiere reformular el problema parSi el flujo es turbulento se requiere reformular el problema para a tener en cuenta este fenómeno tener en cuenta este fenómeno