ecuacion de energia relativista
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8/19/2019 Ecuacion de Energia Relativista
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
Cuántica avanzada
Ecuación de energı́a relativista
Jose Sandoval
Departamento de f́ısica
Universidad de Córdoba
28 de febrero de 2016
Jose Sandoval
Ecuación de energı́a relativista
http://find/
-
8/19/2019 Ecuacion de Energia Relativista
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
Contenido
1 Introducción¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?¿Cómo surgen?Problema matemático
2 Descripción del problemaLas ecuaciones de EulerLas Ecuaciones de Navier-StokesEl desaf́ıo
3 Enunciado del problema
4 Referencias
Jose Sandoval
Ecuación de energı́a relativista
http://find/
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
Jose Sandoval
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
corrientes oceánicas
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
corrientes oceánicas
aerodinámica
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I t d i´ D i i´ d l bl E i d d l bl R f i
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Introducción Descripción del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
corrientes oceánicas
aerodinámica
movimiento de estrellas
No se conoce una fórmula que resuelva las ecuaciones (soluciónanaĺıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.
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Introduccion Descripcion del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
corrientes oceánicas
aerodinámica
movimiento de estrellas
No se conoce una fórmula que resuelva las ecuaciones (soluciónanaĺıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.
Es necesario recurrir al análisis numérico para determinar solucionesaproximadas.
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Introduccion Descripcion del problema Enunciado del problema Referencias
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?
Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales quedescriben el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Modelan una gran variedad de fenómenos f́ısicos complejos:
clima
corrientes oceánicas
aerodinámica
movimiento de estrellas
No se conoce una fórmula que resuelva las ecuaciones (soluciónanaĺıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.
Es necesario recurrir al análisis numérico para determinar solucionesaproximadas.
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Introduccion Descripcion del problema Enunciado del problema Referencias
¿Cómo surgen?
¿Cómo surgen?
Daniel Bernoulli (1700 - 1782)
Durante la primera mitad del siglo XVIII el matemáticosuizo Daniel Bernoulli muestra cómo adaptar los métodos
del cálculo para analizar cómo fluyen los fluidos.
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler formula
un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones decribenprecisamente el movimiento de un fluido hipotético noviscoso.
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p p p
¿Cómo surgen?
¿Cómo surgen?
Daniel Bernoulli (1700 - 1782)
Durante la primera mitad del siglo XVIII el matemáticosuizo Daniel Bernoulli muestra cómo adaptar los métodos
del cálculo para analizar cómo fluyen los fluidos.
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler formula
un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones decribenprecisamente el movimiento de un fluido hipotético noviscoso.
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p p p
¿Cómo surgen?
¿Cómo surgen?
Claude-Louis Navier (1785 - 1836)
En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler paraabarcar el caso más realista de un fluido con viscosidad.
Aunque su razonamiento matemático fue incorrecto, obtuvolas ecuaciones correctas.
George Gabriel Stokes (1819 - 1903)
En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamientocorrecto las ecuaciones que 20 años antes Navier hab́ıaobtenido y extendió la teorı́a.
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¿Cómo surgen?
¿Cómo surgen?
Claude-Louis Navier (1785 - 1836)
En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler paraabarcar el caso más realista de un fluido con viscosidad.
Aunque su razonamiento matemático fue incorrecto, obtuvolas ecuaciones correctas.
George Gabriel Stokes (1819 - 1903)
En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamientocorrecto las ecuaciones que 20 años antes Navier hab́ıaobtenido y extendió la teorı́a.
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Problema matemático
Problema matemático
Los matemáticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tresdimensiones siempre existirán soluciones (existencia ).
En caso de existir, ¿contendrán dichas soluciones discontinuidades osingularidades (regularidad)?
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http://www.claymath.org/millennium/http://find/http://goback/
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Problema matemático
Problema matemático
Los matemáticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tresdimensiones siempre existirán soluciones (existencia ).
En caso de existir, ¿contendrán dichas soluciones discontinuidades osingularidades (regularidad)?
El instituto Clay de Matemáticas ha denominado a éste como uno delos siete problemas del milenio.
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Problema matemático
Problema matemático
Los matemáticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tresdimensiones siempre existirán soluciones (existencia ).
En caso de existir, ¿contendrán dichas soluciones discontinuidades osingularidades (regularidad)?
El instituto Clay de Matemáticas ha denominado a éste como uno delos siete problemas del milenio.
El instituto Clay ofrece la suma de un millón de dólares a quienpresente una solución o un contraejemplo a este dif́ıcil problema.
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Problema matemático
Problema matemático
Los matemáticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tresdimensiones siempre existirán soluciones (existencia ).
En caso de existir, ¿contendrán dichas soluciones discontinuidades osingularidades (regularidad)?
El instituto Clay de Matemáticas ha denominado a éste como uno delos siete problemas del milenio.
El instituto Clay ofrece la suma de un millón de dólares a quienpresente una solución o un contraejemplo a este dif́ıcil problema.
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Problema matemático
Problema matemático
Anuncio del Instituto Clay de Matemáticas
Navier-Stokes Equation
Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent aircurrents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists
believe that an explanation for and the prediction of both the breeze andthe turbulence can be found through an understanding of solutions to theNavier-Stokes equations. Although these equations were written down inthe 19th Century, our understanding of them remains minimal. Thechallenge is to make substantial progress toward a mathematical theorywhich will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipotético sinviscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.
Asumimos que cada punto P = (x,y ,z ) en el fluido está sujeto a
fuerzas que vaŕıan con el tiempo en cada dirección: f x(x , y , z , t),f y(x , y , z , t) y f z(x , y , z , t).
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipotético sinviscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.
Asumimos que cada punto P = (x,y ,z ) en el fluido está sujeto a
fuerzas que vaŕıan con el tiempo en cada dirección: f x(x , y , z , t),f y(x , y , z , t) y f z(x , y , z , t).
El fluido experimenta una presión p(x , y , z , t) en el punto P al tiempot.
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipotético sinviscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.
Asumimos que cada punto P = (x,y ,z ) en el fluido está sujeto a
fuerzas que vaŕıan con el tiempo en cada dirección: f x(x , y , z , t),f y(x , y , z , t) y f z(x , y , z , t).
El fluido experimenta una presión p(x , y , z , t) en el punto P al tiempot.
El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinadopor la velocidad con que fluye en cada dirección: ux(x , y , z , t),uy(x , y , z , t) y uz(x , y , z , t).
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipotético sinviscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.
Asumimos que cada punto P = (x,y ,z ) en el fluido está sujeto a
fuerzas que vaŕıan con el tiempo en cada dirección: f x(x , y , z , t),f y(x , y , z , t) y f z(x , y , z , t).
El fluido experimenta una presión p(x , y , z , t) en el punto P al tiempot.
El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinadopor la velocidad con que fluye en cada dirección: ux(x , y , z , t),uy(x , y , z , t) y uz(x , y , z , t).
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Asumimos que el fluido es incompresible : no se puede “comprimir” o“expandir” cuando actúan fuerzas sobre éste.
La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de
∂ux∂x
+ ∂uy∂y
+ ∂uz∂z
= 0 (1)
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Asumimos que el fluido es incompresible : no se puede “comprimir” o“expandir” cuando actúan fuerzas sobre éste.
La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de
∂ux∂x
+ ∂uy∂y
+ ∂uz∂z
= 0 (1)
El problema presupone que conocemos cómo es el movimiento delfluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x,y,z, 0), uy(x,y,z, 0) y
uz(x,y,z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Asumimos que el fluido es incompresible : no se puede “comprimir” o“expandir” cuando actúan fuerzas sobre éste.
La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de
∂ux∂x
+ ∂uy∂y
+ ∂uz∂z
= 0 (1)
El problema presupone que conocemos cómo es el movimiento delfluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x,y,z, 0), uy(x,y,z, 0) y
uz(x,y,z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).
Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hipótesis de“suavidad” o regularidad que más adelante en la sección (3)precisaremos.
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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Asumimos que el fluido es incompresible : no se puede “comprimir” o“expandir” cuando actúan fuerzas sobre éste.
La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de
∂ux∂x
+ ∂uy∂y
+ ∂uz∂z
= 0 (1)
El problema presupone que conocemos cómo es el movimiento delfluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x,y,z, 0), uy(x,y,z, 0) y
uz(x,y,z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).
Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hipótesis de“suavidad” o regularidad que más adelante en la sección (3)precisaremos.
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaciónde la incompresibilidad (1) Euler obtuvo
∂ux
∂t
+ ux∂ux
∂x
+ uy∂ux
∂y
+ uz∂ux
∂z
= f x(x , y , z , t) − ∂p
∂x
(2)
∂uy
∂t + ux
∂uy
∂x + uy
∂uy
∂y + uz
∂uy
∂z = f y(x , y , z , t) −
∂p
∂y (3)
∂uz
∂t + ux
∂uz
∂x + uy
∂uz
∂y + uz
∂uz
∂z = f z(x , y , z , t) −
∂p
∂z (4)
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaciónde la incompresibilidad (1) Euler obtuvo
∂ux
∂t
+ ux∂ux
∂x
+ uy∂ux
∂y
+ uz∂ux
∂z
= f x(x , y , z , t) − ∂p
∂x
(2)
∂uy
∂t + ux
∂uy
∂x + uy
∂uy
∂y + uz
∂uy
∂z = f y(x , y , z , t) −
∂p
∂y (3)
∂uz
∂t + ux
∂uz
∂x + uy
∂uz
∂y + uz
∂uz
∂z = f z(x , y , z , t) −
∂p
∂z (4)
Las ecuaciones diferenciales parciales (1) – (4) son conocidas como lasecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.
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Las ecuaciones de Euler
Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos
Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaciónde la incompresibilidad (1) Euler obtuvo
∂ux
∂t
+ ux∂ux
∂x
+ uy∂ux
∂y
+ uz∂ux
∂z
= f x(x , y , z , t) − ∂p
∂x
(2)
∂uy
∂t + ux
∂uy
∂x + uy
∂uy
∂y + uz
∂uy
∂z = f y(x , y , z , t) −
∂p
∂y (3)
∂uz
∂t + ux
∂uz
∂x + uy
∂uz
∂y + uz
∂uz
∂z = f z(x , y , z , t) −
∂p
∂z (4)
Las ecuaciones diferenciales parciales (1) – (4) son conocidas como lasecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el casomás realista de un fluido con viscosidad..
Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricción enel interior del fluido.
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el casomás realista de un fluido con viscosidad..
Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricción enel interior del fluido.
Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerzaadicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por
ν
∂ 2ux
∂x2 +
∂ 2ux
∂y2 +
∂ 2ux
∂z 2
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el casomás realista de un fluido con viscosidad..
Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricción enel interior del fluido.
Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerzaadicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por
ν
∂ 2ux
∂x2 +
∂ 2ux
∂y2 +
∂ 2ux
∂z 2
Para (3) y (4) el término a agregar es el mismo pero sustituyendo a uxpor uy y uz respectivamente.
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el casomás realista de un fluido con viscosidad..
Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricción enel interior del fluido.
Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerzaadicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por
ν
∂ 2ux
∂x2 +
∂ 2ux
∂y2 +
∂ 2ux
∂z 2
Para (3) y (4) el término a agregar es el mismo pero sustituyendo a uxpor uy y uz respectivamente.
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones que Navier y Stokes obtienen son
∂ux
∂t + ux
∂ux
∂x + uy
∂ux
∂y + uz
∂ux
∂z = ν
∂ 2ux
∂x2 +
∂ 2ux
∂y2 +
∂ 2ux
∂z 2
+ f x(x , y , z , t) −
∂p
∂x (5)
∂uy
∂t + ux
∂uy
∂x + uy
∂uy
∂y + uz
∂uy
∂z = ν
∂ 2uy
∂x2 +
∂ 2uy
∂y2 +
∂ 2uy
∂z 2
+ f y(x , y , z , t) − ∂p
∂y (6)
∂uz
∂t + ux
∂uz
∂x + uy
∂uz
∂y + uz
∂uz
∂z = ν
∂ 2uz
∂x2 + ∂
2uz
∂y2 + ∂
2uz
∂z 2
+ f z(x , y , z , t) − ∂p
∂z (7)
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones que Navier y Stokes obtienen son
∂ux
∂t + ux
∂ux
∂x + uy
∂ux
∂y + uz
∂ux
∂z = ν
∂ 2ux
∂x2 +
∂ 2ux
∂y2 +
∂ 2ux
∂z 2
+ f x(x , y , z , t) −
∂p
∂x (5)
∂uy
∂t + ux
∂uy
∂x + uy
∂uy
∂y + uz
∂uy
∂z = ν
∂ 2uy
∂x2 +
∂ 2uy
∂y2 +
∂ 2uy
∂z 2
+ f y(x , y , z , t) − ∂p
∂y (6)
∂uz
∂t + ux
∂uz
∂x + uy
∂uz
∂y + uz
∂uz
∂z = ν
∂ 2uz
∂x2 + ∂
2uz
∂y2 + ∂
2uz
∂z 2
+ f z(x , y , z , t) − ∂p
∂z (7)
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Durante el siglo XIX los matemáticos desarrollan una notación y unmétodo para analizar cantidades que cambian en cada direcciónllamado c´ alculo vectorial .
Utilizando la notación del cálculo vectorial las ecuaciones de
Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma más compacta como
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p + f , ∇ · u = 0 (8)
donde
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Durante el siglo XIX los matemáticos desarrollan una notación y unmétodo para analizar cantidades que cambian en cada direcciónllamado c´ alculo vectorial .
Utilizando la notación del cálculo vectorial las ecuaciones de
Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma más compacta como
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p + f , ∇ · u = 0 (8)
donde
u = (ux, uy, uz) = campo de velocidades del fluido p = presión que actúa sobre el fluido
f = (f x, f y, f z) = campo de fuerzas que actúan sobre el fluido
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Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Las Ecuaciones de Navier-Stokes
Durante el siglo XIX los matemáticos desarrollan una notación y unmétodo para analizar cantidades que cambian en cada direcciónllamado c´ alculo vectorial .
Utilizando la notación del cálculo vectorial las ecuaciones de
Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma más compacta como
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p + f , ∇ · u = 0 (8)
donde
u = (ux, uy, uz) = campo de velocidades del fluido p = presión que actúa sobre el fluido
f = (f x, f y, f z) = campo de fuerzas que actúan sobre el fluido
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El desaf́ıo
El desaf́ıo
En ausencia de fuerzas externas (f x = f y = f z = 0), las ecuaciones deNavier-Stokes (8) quedan ası́:
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p, ∇ · u = 0 (9)
El instituto Clay ofrece un millón de dólares a quien responda:
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El d f́
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En ausencia de fuerzas externas (f x = f y = f z = 0), las ecuaciones deNavier-Stokes (8) quedan ası́:
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p, ∇ · u = 0 (9)
El instituto Clay ofrece un millón de dólares a quien responda:
Problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes
¿Es posible encontrar funciones ux(x , y , z , t), uy(x , y , z , t), uz(x , y , z , t) y p(x , y , z , t) que satisfagan (9) y que se comporten lo suficientemente “bien”para corresponder con la realidad f́ısica?
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En ausencia de fuerzas externas (f x = f y = f z = 0), las ecuaciones deNavier-Stokes (8) quedan ası́:
∂ u
∂t + (u · ∇) u = ν ∆u −∇ p, ∇ · u = 0 (9)
El instituto Clay ofrece un millón de dólares a quien responda:
Problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes
¿Es posible encontrar funciones ux(x , y , z , t), uy(x , y , z , t), uz(x , y , z , t) y
p(x , y , z , t) que satisfagan (9) y que se comporten lo suficientemente “bien”para corresponder con la realidad f́ısica?
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos años aunque susolución no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos años aunque susolución no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones
El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite solución bajoalgunas restricciones.
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos años aunque susolución no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones
El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite solución bajoalgunas restricciones.
Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un número T > 0tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T .
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos años aunque susolución no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones
El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite solución bajoalgunas restricciones.
Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un número T > 0tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T .
Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy pequeña y por tantodicha solución no es muy útil en aplicaciones reales.
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Hasta el momento los avances para resolver el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].
El problema análogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuacionesde Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.
Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de lasecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos años aunque susolución no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones
El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite solución bajoalgunas restricciones.
Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un número T > 0tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T .
Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy pequeña y por tantodicha solución no es muy útil en aplicaciones reales.
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Enunciado del problema
Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes describen el movimiento de unfluido en Rn (n = 2, 3). Las incógnitas del problema vienen dadas por elvector de velocidades u(x, t) = (ui(x, t))1≤i≤n ∈ R
n y la presión p(x, t) ∈ R,definidas para toda posición x ∈ Rn y todo tiempo t ≥ 0.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son
∂ui
∂t +
nj=1
uj∂ui
∂xj= ν ∆ui −
∂p
∂xi+ f i(x, t) (x ∈ R
n, t ≥ 0), (10)
div u =
ni=1
∂ui
∂xi= 0 (x ∈ Rn, t ≥ 0) (11)
con condiciones iniciales
u(x, 0) = u0(x) (x ∈ Rn). (12)
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Enunciado del problema
Se asume que u0(x) es un campo de clase C ∞ y de divergencia nula en Rn,f i(x, t) son las componentes de la fuerza externa aplicada (e.g. la gravedad),
ν es el coeficiente de viscocidad y ∆ =ni=1
∂ 2
∂x2ies el laplaciano en las
variables espaciales. Las ecuaciones de Euler son las ecuaciones (10), (11),
(12) con ν = 0.
Se espera que las soluciones satisfagan ciertas propiedades de regularidadque las hagan lo suficientemente “suaves” para que sean solucionesf́ısicamente plausibles y por tanto se establecen las siguientes restriccionessobre las condiciones iniciales y las fuerzas aplicadas:
|∂ αx u0(x)| < C αK (1 + |x|)
−K (13)
en Rn para todo α y K ,
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Enunciado del problema
y tambíen
|∂ αx ∂ mt f (x, t)| < C αmK (1 + |x| + t)
−K (14)
en R
n
× [0,∞) para todo α, m, K . Una solución de (10), (11), (12) esf́ısicamente plausible sólo si se satisfacen las propiedades de regularidad
p, u ∈ C ∞ (Rn × [0,∞)) (15)
y
Rn
|u(x, t)|2 dx < C para todo t ≥ 0 (16)
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Enunciado del problema
El problema fundamental consiste en determinar si las ecuaciones deNavier-Stokes admiten o no soluciones suaves, f́ısicamente plausibles:
Problema de existencia y regularidad en R3
Considere ν > 0 y n = 3. Suponga que el dato inicial u0(x) es suave, de
divergencia nula y satisface la propiedad de decaimiento rápido (13) yasuma f (x, t) = 0. Entonces existen funciones suaves p(x, t) y ui(x, t)definidas en R3 × [0,∞) que satisfacen (10), (11), (12), (15), (16).
Problema de colapso de la solución en R3
Considere ν > 0 y n = 3. Entonces existe un campo vectorial suave dedivergencia nula u0(x) ∈ R3 y una función suave f (x, t) en R3 × [0,∞) quesatisfacen (13), (14) para las cuales no existen soluciones ( p, u) de (10),(11), (12), (15), (16).
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Referencias
A.J. Chorin, J.E. Marsden.A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics
Springer-Verlag, 1980.
K. Devlin.The Millenium Problems. The Seven Greatest Unsolved Mathematical
Puzzles of Our Time Basic Books, 2002.
C. Fefferman.Clay Mathematics Institute, Millenium Problems. Official problem
description .http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equation
Wikipedia contributorsNavier-Stokes equations
Wikipedia, The Free Encyclopedia., 2008.http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes equations
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http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equationshttp://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equationshttp://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/http://find/