Matematicas Avanzadas

CURSO 2009-10

Clase Practica No. 9

ECUACIONES DIFERENCIALES

Metodos de solucion

de ecuaciones de 1ro y 2do orden

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ECUACION DE CLAIRAUT (metodo)

Recordemos que la ecuacion de Clairaut es de la forma

y = xy′ + f(y′) (1)

El metodo de resolucion es hacer y′ = p y derivar respecto a x, teniendoen cuenta que p = p(x).Nos queda entonces

dp

dx(x + f ′(p)) = 0.

Si 0 = dpdx

entonces y′ = C y por tanto teniendo en cuenta (1) se obtieneque

y = Cx + f(C), (2)

La familia (2) es un haz de rectas, todas ellas solucion de (1).

Si 0 = x + f ′(p), usando (1) se obtiene la solucion singular en formaparametrica:

x = −f ′(p), y = −f ′(p)p + f(p).

En general no es obligatorio eliminar p para obtener una ecuacion de laforma G(x, y) = 0.

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Ejemplo 1

Resolver la ecuacion de Clairaut

y = xy′ − 1/4(y′)2.

Representar la solucion general obtenida, ası como la solucion singular.

>>sol=dsolve(’y=x*Dy-1/4*Dy^2’,’x’)sol =[ x*C1-1/4*C1^2]

[ x^2]

La segunda funcion es una parabola que es la envolvente de la familiaintegral de la ecuacion.

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Ejemplo 1 (obtencion de la grafica)

Los siguientes comandos producen la figura de la siguiente diapositiva, enla que aparecen algunas de las rectas solucion y la solucion singular delejemplo 1.

>> x=(-4:0.1:4);>> y=x.^2; z=0; %envolvente y recta para C1=0>> w=x.*2-1; %recta para C1=2>> u=x.*8-16; %recta para C1=8>> v=x.*4- 4; %recta para C1=4>> t=x.*3-9/4; %recta para C1=3>> j=x.*(-2)-1; %recta para C1=-2>> plot(x,y,x,z,x,w,x,u,x,v,x,t,x,j)>> legend(’Envolvente’,’C1=0’,’C1=2’,’C1=8’,’C1=4’,’C1=3’,’C1=-2’)

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Ejemplo 1 (grafica)

Figura : Algunas soluciones de la ecuacion y = xy′ − 1/4(y′)2

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Ejercicios

Con la ayuda de MATLAB y tomando como referencia al ejemplo 1,resolver las siguientes ecuaciones de Clairaut utilizando el procedimientoanterior. Intentar el estudio grafico trazando la solucion singular y algunasrectas de la solucion general.

a) y = xy′ + ln(y′)

b) y = xy′ +1

y′

c) y = xy′ + sin(y′)

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E.D. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Las EEDD lineales de orden superior pueden ser tratadas con el comandoDSOLVE aunque no siempre se obtiene solucion, o la solucion se presentade una forma poco satisfactoria para el consumo.

Se presentan a continuacion dos ejemplos y dos ejercicios de problemasrelativos a EEDD lineales con y sin condiciones iniciales. El alumno deberaidentificar completamente cada problema reconociendo linealidad, orden,coeficientes constantes o variables, homogenea o completa, etc, y decidirconsecuentemente que metodo artesanal le aplicarıa para su resolucion enel caso de no contar con recursos informaticos.

En todos los ejemplos las respuestas son exactas, con formulas cerradas. Elprocedimiento que se indica en cada ejemplo debe ser reproducido yejecutado en la ventana de comandos del Matlab.

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Ejemplos

Ejemplo 1) Resolver la E.D.

y′′ + 4y′ + 4y = 0.

>>S=dsolve(’D2y+4*Dy+4*y=0’)S =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-2*t)*t %(sol. gral.)

(Observese que −2 es una raız doble del polinomio caracterıstico)

Ejemplo 2) Resolver el P.C.I.

y′′ + 10y′ + 16y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4.

>>S=dsolve(’D2y+10*Dy+16*y=0’,’y(0)=1,Dy(0)=4’)S =

-exp(-8*t)+2*exp(-2*t)

Notar que se ha obtenido C1 = −1 y C2 = 2.

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Ejercicios

Tomando los anteriores ejemplos como referencia, resolver los siguientesproblemas.

Ejercicio 1) Resolver la E.D.

y′′ + 100y′ + 196y = 1.

Ejercicio 2) Resolver el siguiente problema de valores iniciales

y′′′ = log(x)/x2, y(1) = 0, y′(1) = 1, y′′(1) = 2.

¿Corresponde el ejercicio 2 con una Euler?

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