econometría aplicada para bancos...

Econometría Aplicada para Bancos CentralesMódulo 3: Modelación de datos de panel

Instructores: Luis Ortiz y Randall Romero

San José, Costa Rica, 21-25 de agosto de 2017

Contenidos

1. Introducción al análisis de datos de panel

2. Modelo Error Tipo One-Way y Efectos Fijos

3. Modelo Error Tipo One-Way y Efectos Aleatorios

4. Modelo Error Tipo Two-Way y Efectos Fijos

5. Modelo Error Tipo Two-Way y Efectos Aleatorios

6. Paneles Dinámicos

Introducción al análisis de datos depanel

Introducción al análisis de datos de panel

Datos de panel son aquellos que se extienden a más de unadimensión.Por lo general se trataran los casos de dos dimensiones:

Transversal Indexado por la letra i

Temporal Indexado por la letra t

1

Ejemplo 1:

Datos de Panel

i t Y X1 X2 X3

1 2000 6.0 7.8 5.8 1.31 2001 4.6 0.6 7.9 7.81 2002 9.4 2.1 5.4 1.1

2 2000 9.1 1.3 6.7 4.12 2001 8.3 0.9 6.6 5.02 2002 0.6 9.8 0.4 7.2

3 2000 9.1 0.2 2.6 6.43 2001 4.8 5.9 3.2 6.43 2002 9.1 5.2 6.9 2.1

2


Los Datos de Panel permiten la investigación en muchos camposde la economía:

• Seguimientos a Hogares en el tiempo a través de encuestascuya muestra deja de ser aleatoria y se va renovando en cadalevantamiento con los mismos hogares (V. gr. Domeijy Floden 2006, Meghir y Pistaferri 2004 etc.).

• Relaciones económicas en varios países en el tiempo (V. gr.Lee, Pesaran y Smith 1997, Barro 2003 etc.)

• Condiciones financieras de Bancos o firmas a través de tiempo(V. gr. Tregenna 2009, Malinowska 2016).

• Características del empleo por grupo a lo largo del tiempo (V.gr. Bugudui 2015, Anand, Kothari y Kumar 2016).

3


El análisis de datos de panel permite las siguientes ventajas:

• Realizar econometría sobre una muestra más amplia.I = 50, T = 4 → IT = 200

• Menor colinealidad entre las variables.• Monitoreo de la heterogeneidad individual.• Modelización de relaciones más complejas.

4

Ejemplo 2:

Realizar econometría sobre unamuestra más amplia

Suponga el siguiente proceso generador de datos:

yi,t = β1 + β2yi,t−1 + β3xt + ui,t

vi,t = µi + vi,t

Relación Sesgo vs. tamaño de muestra de la estimación GMM-AB

β2 β3Fuente: Elaboración propia a partir de experimento de Monte Carlo de 1,000 replicaciones.

5


No obstante también presenta las siguientes desventajas:

• Dificultad en el diseño y seguimientos de las encuestas depanel, o construcción de data.

• Se incrementan los problemas de medición.• Attrition o desgaste.• Métotodos de estimación tradicionales son ineficientes o

inconsistentes.• Dificultad computacionales.

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Esquema para el análisis de datos de panelDATOS DE PANEL

BALANCEADOS

ONE WAY TWO WAY

NO BALANCEADOS

ONE WAY TWO WAYEFECTOS FIJOS

EFECTOS ALEATORIOS

DINÁMICOS

EFECTOS FIJOS

EFECTOS ALEATORIOS

DINÁMICOS

EFECTOS FIJOS

EFECTOS ALEATORIOS

DINÁMICOS

EFECTOS FIJOS

EFECTOS ALEATORIOS

DINÁMICOS

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Modelo Error Tipo One-Way yEfectos Fijos

Modelo Error Tipo One-Way y Efectos fijos

Sea el siguiente modelo econométrico:

yit = α+X′itβ + uit

uit = µi + vit

Donde se asumen que los µi son fijos y vit cumple con lassiguientes propiedades:

• Var(vit) = σ2 it, Homocedástico• Cov(vit, vjs) = 0 i = j, ó t = s, No correlación serial• E(vit/xit) = 0 it, Exogeneídad

8

Modelo Error Tipo One-Way y Efectos fijos

¿Qué pasa si aplicamos una Estimación OLS, asumiendo el panelcomo un “Pool”? Estimamos:


Se obtendría: Sesgo de heterogeneidad.

• Existe un sesgo en la estimación de β dado que se omite laheterogeneidad en los interceptos.

• Además la dirección del sesgo de la pendiente no puede seridentificada a priori.

En conclusiónLa estimación Pool del Modelo con efectos fijos arrojaestimadores sesgados.

9

El problema de estimación

Dado el modelo one way efectos fijos, una alternativa para suestimación sería aplicar el método LSDV (least squares dummyvariables): Dado el modelo

yit = α+ µi +X′itβ + vit

Estimarlo de forma matricial como

Y1,1...

Y1,T

Y2,1...

Y2,T

=

1...1

1...1

α+

1 0... ...1 0

0 1... ...0 1

µi +

X1,1...

X1,T

X2,1...

X2,T

β

10

Estimación LSDV

Problema conLSDV

El modelo tiene constante y un set completo de varia-bles dummies, por tanto no se puede identificar α yµi

Se debe de introducir un supuesto adicional al modelo para aplicarLSDV:

• Asumiendo∑i=I

i=1 µi = 0

De manera que el α y el β pueda ser estimadas haciendo laregresión:

yit = Diγi +X′itβ + vit

11

Estimación LSDV

Para luego obtener el α resolviendo el sistema de ecuaciones:

γ1 = α+ µ1

... = α+...

γI = α+ µI

0 =i=I∑i=1

µi

CríticaEste método de estimación es desde el punto de vistacomputacional muy costoso de resolver.

12

Estimación Within

Otra forma de estimar el modelo One Way Efectos Fijos a travésdel método de estimación Within.Dado el modelo

yit = α+ µi + βxit + vit

Si se toma el promedio a través del tiempo de cada individuo en elpanel, tenemos

yi = α+ µi + βxi + vi

Restando estas expresiones se obtiene el modelo sin dummies eintercepto:

yit − yi = β(xit − xi) + (vit − vi)

13

Estimación Within

Para obtener el estimador de α se puede sacar el promedio detodas las observaciones:

y = α+ βx+ v

El estimador es:

α = y − βx

Y de manera similar los estimadores µi se obtienen resolviendo elsistema de ecuaciones:

µi = yi − α− βxi

... = ... − α− β...

µI = yI − α− βxI

0 =i=I∑i=1

µi14

Estimación Within

Es de notar que la estimación:

yit − yi = β(xit − xi) + (vit − vi)

Es las misma, si premultiplicamos los vectores yit, xit ∧ vit poruna matriz Qµ.

Qµyit = Qµxitβ +Qµv

15

Ejemplo 3:

Matriz Qµ en el caso de i=2 y t=4

Qµ =

0.75 −0.25 −0.25 −0.25 0 0 0 0

−0.25 0.75 −0.25 −0.25 0 0 0 0

−0.25 −0.25 0.75 −0.25 0 0 0 0

−0.25 −0.25 −0.25 0.75 0 0 0 0

0 0 0 0 0.75 −0.25 −0.25 −0.25

0 0 0 0 −0.25 0.75 −0.25 −0.25

0 0 0 0 −0.25 −0.25 0.75 −0.25

0 0 0 0 −0.25 −0.25 −0.25 0.75

16

Test de Efectos Fijos

Una forma de ver si este modelo es una representación razonablede los datos, es hacer un test de significancia conjunta de los µ esdecir: H0 : µ1 = µ2 = · · · = µI = 0 usando un test F .El procedimiento es el siguiente:

• Definir el modelo restringido como la estimación “Pool”, y elmodelo libre como la estimación “Within”.

• Calcular la suma de residuos al cuadrado (SCR) tanto de laestimación “Pool” como “Within”.

• Calcular el estadígrafo F.

F =SRCpool − SRCWithin(I − 1)

SRCWithin(I ∗ T )− (I − 1)− k∼ FI−1,(I∗T )−(I−1)−k

17

Modelo Error Tipo One-Way yEfectos Aleatorios

Modelo Error Tipo One-Way y Efectos Aleatorios



uit = µi + vit

Donde se asumen que los µi son aleatorios y vit y µi cumple conlas siguientes propiedades:

• µi ∼ iid(0, σ2µ)

• vit ∼ iid(0, σ2v)

• E(vit/xit) = 0 = E(µi/xit) it, Exogeneídad• Cov(µi, vjt) = 0 i = j, ó i = j,

los µi son independientes de los vit

18

La matriz de varianza y covarianza del residuo uit = µi + vit estádado por:

Ω = E(uu′) = Zµ E(µµ

′)Z

′µ + E(vv

′)

Ω = σ2µ(II ⊗ JT ) + σ2

v(II ⊗ IT )

Es de notar que el error es homoscedástico, pero, tieneautocorrrelación. La matriz es diagonal en bloques:

Cov(uit, ujs) =

σ2µ + σ2

v para i = j.t = s

σ2µ para i = j.t = s

0 otro caso

19

Ejemplo 4:

Matriz Zµ, ZµZ′µ ∧ (II ⊗ IT ) en el

caso de i=2 y t=4

Zµ =

1 0

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

20

ZµZ′µ = (II ⊗ JT ) =

[1 0

0 1

]⊗

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

ZµZ′µ =

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

21

(II ⊗ IT ) =

[1 0

0 1

]⊗

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(II ⊗ IT ) =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

22

Modelo Error Tipo One-Way y Efectos Aleatorios

Dada la presencia de autocorrelación; los estimadores OLSpresentan las siguientes características:

• Los estimadores son insesgados.• Dado que la varianza está mal calculada, los test estadísticos

son inválidos.• Son estimadores ineficiente

Modelo One-WayEfectos Aleatorios Debe estimarse a través del Método GLS.

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Estimador GLS: Principios

Suponga se conoce la matriz de varianza y covarianza: Ω, demanera que sea posible su descomposición:

WW′= Ω−1

WW′Ω = W

′ΩW = IIT

Al ponderar con la matriz W′ cada variable del modelo, tenemos:

W′yit = α+W

′X

′itβ +W

′uit

Obteniendo así una matriz de varianza y covarianza que satisfacelos supuestos clásicos

E(W′uitu

′itW ) = W

′ΩW = IIT

24

Estimador FGLS

No obstante la matriz de varianza y covarianza Ω no es conocida.Por lo que se debe de recurrir a una estimación de ésta. Estemétodo se conoce como Mínimo Cuadrado Generalizados Factible(FGLS). La idea es disponer de una estimación consistente de lamatriz Ω :

Ω =

σ2µ + σ2

v σ2µ σ2

µ σ2µ 0 0 0 0

σ2µ

. . . σ2µ σ2

µ 0 0 0 0

σ2µ σ2

µ. . . σ2

µ 0 0 0 0

σ2µ σ2

µ σ2µ

. . . 0 0 0 0

0 0 0 0. . . σ2

µ σ2µ σ2

µ

0 0 0 0 σ2µ

. . . σ2µ σ2

µ

0 0 0 0 σ2µ σ2

µ. . . σ2

µ

0 0 0 0 σ2µ σ2

µ σ2µ σ2

µ + σ2v

25

Estimador FGLS

Siguiendo a Swamy y Arora 1972 una estimación consistente paraσ2v es la obtenida por la estimación “Within”:

Qµy = Qµxβ +Qµv

De manera que:

σ2v =

uQµu′

tr(Qµ)

26

Estimador FGLS

Para obtener una estimación consistente para σ2µ; nos valemos de

la siguiente ecuación:

σ2µ =

σ21 − σ2

v

T

Donde σ21 es la obtenida por la estimación “Between”:

Py = PαiIT + Pxβ + Pu

De manera que:

σ21 =

uPu′

tr(P )

27

Estimador FGLS: Recapitulación

Para resolver el modelo One-Way Efectos aleatorios


uit = µi + vit

Se realiza una estimación FGLS que consiste en los siguientespasos:

1. Estimar los componentes (σ2µ, σ

2v) de la matriz de Varianza Σ

utilizando una estimación consistente.• Como estimador consistente de σ2

v se calcula la varianza de laestimación “Within” como si se tratase de un modelo conefectos fijos.

• Como estimador consistente de σ2µ se calcula la varianza de la

estimación “‘Between” como si se tratase de un modelo conefectos fijos y luego se sustrae de esa varianza el σ2

v calculadoen el paso previo.

28


2. Una vez construida una estimación de Ω se aplica lafatorización de Cholesky de manera que W = Chol( ˆΩ−1).

3. Se transforma el modelo premultiplicando todas las variablespor la Matriz W . Y luego se estima con OLS.

29

Enfatizando Conceptos

RegresiónWithin

Realizada entre las desviaciones de las medias tempo-rales por individuo.

RegresiónBetween Realizada entre las medias temporales por individuo.

30

Ejemplo 5:

Matriz P en el caso de i=2 y t=4

P =

0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 0

0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 0

0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 0

0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.25 0.25 0.25 0.25

0.0 0.0 0.0 0.0 0.25 0.25 0.25 0.25

0.0 0.0 0.0 0.0 0.25 0.25 0.25 0.25

0.0 0.0 0.0 0.0 0.25 0.25 0.25 0.25

31

Efectos Fijos vs. Efectos Aleatorios: Primer hecho

Dado que el modelo establece que:

uit = µi + vit

El “efecto fijo” puede ser visto como un caso en el que µi esaleatorio pero con Cov(µi, xit) = 0. Mientras el modelo de “efectoaleatorios” puede ser visto como que Cov(µi, xit) = 0.

32

Efectos Fijos vs. Efectos Aleatorios: Segundo hecho

Cualquiera que sea el tratamiento como efecto fijo o aleatorio, éstoes indiferente en la medida que T −→ ∞ ya que los estimadoresFGLS y “Within” son iguales.

limT−→∞

βFGLS = βWithin

33

Efectos Fijos vs. Efectos Aleatorios: Tercer hecho

Cuando T es finito e I es grande, el tratamiento de los efectos yasea como fijos o aleatorios es un punto medular. Los estimadorespodrían resultar muy diferentes.

34

Ejemplo 6:

Efectos Fijos vs. Efectos Aleatorios

Hausman 1978 al estimar una ecuación de salarios, usando unamuestra de 629 graduados de educación media a lo largo de seisaños, extraído del Panel Study of Income Dynamics (University ofMichigan), encuentra diferencias significativas al realizar unaespecificación con efectos fijos vs. efectos aleatorios.

35

36

Test de Hausman: Elementos teóricos

Hausman 1978 propone un test de especificación general, el cualpuede ser aplicado en el contexto específico de un modelo de panellineal, con el objetivo de develar el problema de especificación delos efectos individuales (fijos o aleatorios).

La idea del test es que al considerar un modelo particulary = f(x;β) + ϵ y dos estimadores del k vector β, denotado por β1y β2 se contrasta las siguientes hipótesis:

• Bajo la H0 el estimador β1 alcanza asintóticamente la cota deCramer-Rao.

• Bajo la H1 el estimador β1 es sesgado.

37

Test de Hausman: Elementos teóricos

La H0 es contrastada examinando la distancia entre β1 y β2. Conlo que se puede concluir que:

• Si la distancia es pequeña la H0 no puede ser rechazada.• Si la distancia es grande la H0 puede ser rechazada.

La distancia es definida:

H = (β2 − β1)′[Var(β2 − β1)]

−1(β2 − β1)

El estadístico H se distribuye:

H ∼ χ2(K)

38

Test de Hausman: Aplicación

La aplicación del test de Hausman, con el fin de discriminar entrela especificación de efectos fijos o aleatorios, parte del supuesto queµi es una variable aleatoria, y testear las hipótesis definidas como:

• H0: E(µi\Xi) = 0

• H1: E(µi\Xi) = 0

Las interpretaciones de este test son las siguientes:

• Si H0 es rechazada la correlación entre los efectos individualesy las variables explicativas induce a un sesgo en las estimaciónFGLS. Así que la método de estimación “Within” es preferible.

• Si H0 no es rechazada, podemos utilizar el estimador FGLS yasí modelar los efectos individuales como variables aleatorias.

39


De manera concreta dado el modelo:


uit = µi + vit

Donde se asumen que los µi son aleatorios. Sabemos que:

• tanto βFGLS como el βWithin son consistentes yasintóticamente siguen una distribución normal.

• Bajo la H0 el estimador βFGLS es “blue” y alcanza la cota deCramer-Rao.

• Bajo la H1 el estimador βFGLS es sesgado.

40


Entonces definimos el estadístico de Hausman como:

H = (βWithin − βFGLS)′[Var(βWithin − βFGLS)]

−1(βWithin − βFGLS)

El cual sigue:

H ∼ χ2(K)

41

Modelo Error Tipo Two-Way yEfectos Fijos

Modelo Error Tipo Two-Way y Efectos Fijos



uit = µi + λt + vit

Donde se asumen que los µi ∧ λt son fijos y vit cumple con lassiguientes propiedades:

• Var(vit) = σ2 it, Homocedástico• Cov(vit, vjs) = 0 i = j, ó t = s, No correlación serial• E(vit/xit) = 0 it, Exogeneídad

42

El problema de estimación

Dado el modelo two-way efectos fijos, una alternativa para suestimación sería aplicar el método LSDV (least squares dummyvariables): Dado el modelo

yit = α+ µi + λt +X′itβ + vit

Estimarlo para un caso i=2 y t=4 de forma matricial sería:

Y1,1

Y1,2

Y1,3

Y1,4

Y2,1

Y2,2

Y2,3

Y2,4

=

1

1

1

1

1

1

1

1

α+

1 0

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

µi +

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

λt +

X1,1

X1,2

X1,3

X1,4

X2,1

X2,2

X2,3

X2,4

β

43

Estimación LSDV

Problema conLSDV

El modelo tiene constante y un set completo de varia-bles dummies, por tanto no se puede identificar α, µi

y λt

Se debe de introducir dos supuestos adicionales al modelo paraaplicar LSDV:

• Asumiendo∑i=I

i=1 µi = 0

• Asumiendo∑t=T

t=1 λt = 0

De manera que el α, µi, λt y el β pueda ser estimadas haciendo laregresión:

yit = Diγi +Dtηt +X′itβ + vit

44

Estimación LSDV

El α, µi y λt se obtendría resolviendo el sistema de ecuaciones:

γ1 + η1 = α+ µ1 + λ1

γ1 +... = α+ µ1 +

...γ1 + ηT = α+ µ1 + λT

γ2 + η1 = α+ µ2 + λ1

... + ... = α+... + ...

γI + ηT = α+ µI + λT

0 =i=I∑i=1

µi

0 =t=T∑t=1

λt

45

Estimación Within

Otra forma de estimar el modelo Two Way Efectos Fijos es através del método de estimación Within.Dado el modelo

yit = α+ µi + λt + βxit + vit (1)

Si se toma el promedio a través del tiempo de cada individuo en elpanel, tenemos

yi = α+ µi + βxi + vi (2)

Restando la ecuación 2 de 1 se obtiene el modelo sin intercepto ysin efectos fijos individuales:

yit − yi = β(xit − xi) + (vit − vi) + λt (3)

46

Estimación Within

Y si luego a partir de la ecuación 3, se toma el promedio a travésde cada individuo por tiempo en el panel, tenemos

yt − y = β(xt − x) + (vt − v) (4)

Con esta ecuación se obtiene el estimador de β. Para obtener elestimador de α se puede sacar el promedio de todas lasobservaciones:

y = α+ βx+ v

α = y − βx (5)

47

Estimación Within

Y los estimadores µi y λt se obtienen resolviendo el sistema deecuaciones:

µi = yi − α− βxi

... = ... − α− β...

µI = yI − α− βxI

λt = yt − α− βxt

... = ... − α− β...

λT = yT − α− βxT

48

Estimación Within

Es de notar que la estimación:

yt − y = β(xt − x) + (vt − v)

Es las misma, si premultiplicamos los vectores yit, xit ∧ vit poruna matriz Q = QµQλ.

Qyit = Qxitβ +Qvit

Donde lamatriz Qµ

Saca las desviaciones de las medias temporales por in-dividuo.

Donde lamatriz Qλ

Saca las desviaciones de las medias individuales portiempo.

49

Ejemplo 7:

Matriz Qµ, Qλ ∧Q en el caso dei=2 y t=4

Qµ =

0.75 −0.25 −0.25 −0.25 0 0 0 0

−0.25 0.75 −0.25 −0.25 0 0 0 0

−0.25 −0.25 0.75 −0.25 0 0 0 0

−0.25 −0.25 −0.25 0.75 0 0 0 0

0 0 0 0 0.75 −0.25 −0.25 −0.25

0 0 0 0 −0.25 0.75 −0.25 −0.25

0 0 0 0 −0.25 −0.25 0.75 −0.25

0 0 0 0 −0.25 −0.25 −0.25 0.75

50

Qλ =

0.5 0.0 0.0 0.0 −0.5 0.0 0.0 0.0

0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 −0.5 0.0 0.0

0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 −0.5 0.0

0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 −0.5

−0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 0.0

0.0 −0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0

0.0 0.0 −0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0

0.0 0.0 0.0 −0.5 0.0 0.0 0.0 0.5

51

Q=

0.375 −0.125 −0.125 −0.125 −0.375 0.125 0.125 0.125

−0.125 0.375 −0.125 −0.125 0.125 −0.375 0.125 0.125

−0.125 −0.125 0.375 −0.125 0.125 0.125 −0.375 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 0.375 0.125 0.125 0.125 −0.375

−0.375 0.125 0.125 0.125 0.375 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 −0.375 0.125 0.125 −0.125 0.375 −0.125 −0.125

0.125 0.125 −0.375 0.125 −0.125 −0.125 0.375 −0.125

0.125 0.125 0.125 −0.375 −0.125 −0.125 −0.125 0.375

52


Al igual que en el caso del modelo one-way, se puede hacer un testde efectosfijos con la hipótesis nula:H0 : µ1 = µ2 = · · · = µI = 0 ∧ λ1 = λ2 = · · · = λT = 0

El procedimiento es el siguiente:

• Definir el modelo restringido como la estimación “Pool”, y elmodelo libre como la estimación “Within-Two-Way”.

• Calcular la suma de residuos al cuadrado (SCR) tanto de laestimación “Pool” como “Within-Two-Way”.


F =SRCpool − SRCWithin2(I + T − 2)

SRCWithin2((I − 1)(T − 1)−K)∼ FI+T−2,(I−1)(T−1)−K

53


También se puede hacer un test si sólo la dummies individuales sonsignificativas. La hipótesis nula en ese caso sería:H0 : µ1 = µ2 = · · · = µI = 0 dado que λt = 0 t = 1, 2, · · · , TEl procedimiento es el siguiente:

• Definir el modelo restringido como la estimación“Within-One-Way-Efecto-Temporal”, y el modelo libre comola estimación “Within-Two-Way”.

• Calcular la suma de residuos al cuadrado (SCR) tanto de laestimación “Within-One-Way-Efecto-Temporal” como“Within-Two-Way”.


F =SRCWithinT − SRCWithin2(I − 1)

SRCWithin2((I − 1)(T − 1)−K)∼ FI−1,(I−1)(T−1)−K

54


Finalmente, se puede hacer un test si sólo la dummies temporalesson significativas. La hipótesis nula sería:H0 : λ1 = λ2 = · · · = λT = 0 dado que µi = 0 i = 1, 2, · · · , IEl procedimiento es el siguiente:

• Definir el modelo restringido como la estimación“Within-One-Way-Efecto-Individual”, y el modelo libre comola estimación “Within-Two-Way”.

• Calcular la suma de residuos al cuadrado (SCR) tanto de laestimación “Within-One-Way-Efecto-Individual” como“Within-Two-Way”.


F =SRCWithinI − SRCWithin2(T − 1)

SRCWithin2((I − 1)(T − 1)−K)∼ FT−1,(I−1)(T−1)−K

55

Modelo Error Tipo Two-Way yEfectos Aleatorios

Modelo Error Tipo Two-Way y Efectos Aleatorios




Donde se asumen que los µi ∧ λt son aleatorios y quevit, µi ∧ λt cumple con las siguientes propiedades:

• µi ∼ iid(0, σ2µ)

• λt ∼ iid(0, σ2λ)

• vit ∼ iid(0, σ2v)

• E(vit/xit) = E(µi/xit) = E(λt/xit) = 0 it, Exogeneídad• Cov(µi, vjt) = 0 i = j, ó i = j.

• Cov(λt, vis) = 0 t = s, ó t = s.

56

La matriz de varianza y covarianza del residuo uit = µi + λt + vit

está dado por:

Ω = E(uu′) = Zµ E(µµ

′)Z

′µ + Zλ E(λλ

′)Z

′λ + σ2

vIIT

Ω = σ2µ(II ⊗ JT ) + σ2

λ(JI ⊗ IT ) + σ2v(II ⊗ IT )

Es de notar que el error es homoscedástico, pero tieneautocorrrelación.

Cov(uit, ujs) =

σ2µ + σ2

λ + σ2v para i = j.t = s

σ2µ para i = j.t = s

σ2λ para i = j.t = s

0 otro caso

57

Ejemplo 8:

MatrizZµ, ZµZ

′µ, Zλ, ZλZ

′λ ∧ (II ⊗ IT ) en el

caso de i=2 y t=4

Zµ =

1 0

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

58

ZµZ′µ = (II ⊗ JT ) =

[1 0

0 1

]⊗

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

ZµZ′µ =

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

59

ZλZ′λ = (JI ⊗ IT ) =

[1 1

1 1

]⊗

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ZλZ′λ =

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

60

(II ⊗ IT ) =

[1 0

0 1

]⊗

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(II ⊗ IT ) =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

61

Modelo Error Tipo Two-Way y Efectos Aleatorios

Dada la presencia de autocorrelación; los estimadores OLSpresentan las siguientes características:

• Los estimadores son insesgados.• Dado que la varianza está mal calculada, los test estadísticos

son inválidos.• Son estimadores ineficiente

Modelo Two-WayEfectos Aleatorios Debe estimarse a través del Método FGLS.

62

Estimador FGLS

No obstante la matriz de varianza y covarianza Ω no es conocida.Por lo que se debe de recurrir a una estimación de ésta. La idea esdisponer de una estimación consistente de la matriz Ω :

Ω =

σ2µ + σ2

λ + σ2v σ2

µ σ2µ σ2

µ σ2λ 0 0 0

σ2µ

. . . σ2µ σ2

µ 0. . . 0 0

σ2µ σ2

µ. . . σ2

µ 0 0. . . 0

σ2µ σ2

µ σ2µ

. . . 0 0 0 σ2λ

σ2λ 0 0 0

. . . σ2µ σ2

µ σ2µ

0. . . 0 0 σ2

µ. . . σ2

µ σ2µ

0 0. . . 0 σ2

µ σ2µ

. . . σ2µ

0 0 0 σ2λ σ2

µ σ2µ σ2

µ σ2µ + σ2

λ + σ2v

63

Estimador FGLS

Siguiendo a Swamy y Arora 1972, la matriz de varianza ycovarianza del modelo Two-way efectos aleatorios puede serreescrita como:

Ω =i=3∑i=1

γiQi

Implicando que:

Ω′=

i=3∑i=1

γ′iQi

γi =u

′Qiu

Tr(Qi)

64

Estimador FGLS

Con ello se puede obtener las estimadores:

• σ2v = γ1

• σ2µ = γ2−σ2

vT

• σ2λ = γ3−σ2

vI

Siendo las matrices Qi igual a:

• Q1 = EI ⊗ ET

• Q2 = EI ⊗ JT

• Q3 = JI ⊗ ET

65

Ejemplo 9:

Matriz Q1, Q2 ∧Q3 en el caso deI=2 y T=4

Q1 = EI⊗ET =

[0.50 −0.50

−0.50 0.50

]⊗

0.75 −0.25 −0.25 −0.25

−0.25 0.75 −0.25 −0.25

−0.25 −0.25 0.75 −0.25

−0.25 −0.25 −0.25 0.75

Q1 =

0.375 −0.125 −0.125 −0.125 −0.375 0.125 0.125 0.125

−0.125 0.375 −0.125 −0.125 0.125 −0.375 0.125 0.125

−0.125 −0.125 0.375 −0.125 0.125 0.125 −0.375 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 0.375 0.125 0.125 0.125 −0.375

−0.375 0.125 0.125 0.125 0.375 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 −0.375 0.125 0.125 −0.125 0.375 −0.125 −0.125

0.125 0.125 −0.375 0.125 −0.125 −0.125 0.375 −0.125

0.125 0.125 0.125 −0.375 −0.125 −0.125 −0.125 0.375

66

Q2 = EI ⊗ JT =

[0.50 −0.50

−0.50 0.50

]⊗

0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

Q2 =

0.125 0.125 0.125 0.125 −0.125 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 0.125 0.125 0.125 −0.125 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 0.125 0.125 0.125 −0.125 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 0.125 0.125 0.125 −0.125 −0.125 −0.125 −0.125

−0.125 −0.125 −0.125 −0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 −0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 −0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 −0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

67

Q3 = JI⊗ET =

[0.50 0.50

0.50 0.50

]⊗

0.75 −0.25 −0.25 −0.25

−0.25 0.75 −0.25 −0.25

−0.25 −0.25 0.75 −0.25

−0.25 −0.25 −0.25 0.75

Q3 =

0.375 −0.125 −0.125 −0.125 −0.375 0.125 0.125 0.125

−0.125 0.375 −0.125 −0.125 0.125 −0.375 0.125 0.125

−0.125 −0.125 0.375 −0.125 0.125 0.125 −0.375 0.125

−0.125 −0.125 −0.125 0.375 0.125 0.125 0.125 −0.375

−0.375 0.125 0.125 0.125 0.375 −0.125 −0.125 −0.125

0.125 −0.375 0.125 0.125 −0.125 0.375 −0.125 −0.125

0.125 0.125 −0.375 0.125 −0.125 −0.125 0.375 −0.125

0.125 0.125 0.125 −0.375 −0.125 −0.125 −0.125 0.375

68


Para resolver el modelo Two-Way Efectos aleatorios



Se realiza una estimación FGLS que consiste en los siguientespasos:

1. Estimar los componentes (σ2µ, σ

2λ, ∧ σ2

v) de la matriz deVarianza Ω utilizando una estimación consistente.

2. Una vez construida una estimación de Ω se aplica lafatorización de Cholesky de manera que W = Chol( ˆΩ−1).

3. Se transforma el modelo premultiplicando todas las variablespor la Matriz W . Y luego se estima con OLS.

69

Test de Breusch y Pagan 1980

Este es un test basado en el multiplicador de Lagrange utilizadopara testear la H0 : σ

2µ = σ2

λ = 0 en el modelo Two-ways Efectosaleatorios.Bajo normalidad en los errores la función de verosimilitud es:

L(δ, θ) = constante + 1

2logΩ− 1

2u

′Ω−1u

Donde θ = (σ2µ, σ

2λ, σ

2v) y

Ω = σ2µ(II ⊗ JT ) + σ2

λ(JI ⊗ IT ) + σ2v(II ⊗ IT )

70

Test de de Breusch-Pagan (1980)

El estadígrafo LM puede expresarse como:

LM = LM1 + LM2 ∼ χ2

Donde:

LM1 =IT

2(T − 1)[1− u

′(II ⊗ Jt)u

u′ u]2

LM2 =IT

2(I − 1)[1− u

′(JI ⊗ It)u

u′ u]2

Para computar este test sólo se necesitan los residuos OLS u.Además, si se quiere testear sólo H0 : σ

2µ = 0, el estadígrafo

corresponde a LM1. Análogamente, si se quiere testearH0 : σ

2λ = 0, el estadígrafo es LM2.

71

Test de Agregación

Este test permite corroborar si cada individuo es distinto por lo quedebería de tratarse de manera separada y por lo que sería un errorde especificación el tratamiento como un Panel.Definiendo el modelo no restringido o libre como aquel en quepermite parámetros individuales:

yi = Ziδi + ui para i = 1, 2, · · · , I (1)

Donde y′i = (yi,1, · · · , yi,T ), Zi = [ιT , Xi] y Xi es de T ×K, δi es

(K + 1)× 1, y ui es T × 1.

72

Test de Agregación

La ecuación 1 puede escribirse como:

y1

y2...yI

=

Z1 0 · · · 0

0 Z2 · · · 0... ... . . . ...0 0 0 ZI

δ1

δ2...δI

+

u1

u2...uI

= Z∗δ∗ + u

Se quiere testear la hipótesis: H0 : δi = δ ∀ i. De manera que elmodelo bajo la hipótesis nula es:

y = Zδ + u

73

Test de Agregación bajo u ∼ N(0, σ2IIT )

En este caso los estimadores LSDV son los mejores. El test deagregación consiste en hacer un test F estándar, dado:

M = (IIT − Z(Z′Z)−1Z

′)

M∗ = (IIT − Z∗(Z∗′Z∗)−1Z∗′)

Los residuos de las regresiones restringidas y libres sonrespectivamente:

e = My

e∗ = M∗y

Y estadígrafo F es:

F =(e

′e− e∗

′e∗)(Tr(M)− Tr(M∗))

e∗′e∗Tr(M∗)∼ F(I−1)(K+1),I(T−K−1)

74

Test de Agregación bajo el caso general: u ∼ N(0,Ω)

Conociendo una estimación de la matriz Ω, es posible multiplicarpor W ′ y obtener el modelo restringido y el modelo libre,respectivamente. El cual presentan errores homocedástico y sinautocorrelación:

W′y = W

′Zδ +W

′u = Zδ + u

W′yi = W

′Ziδi +W

′ui = Z∗δ∗ + u∗

Lo que matricialmente se presenta como:

W′

y1

y2...yI

= W′

Z1 0 · · · 0

0 Z2 · · · 0... ... . . . ...0 0 0 ZI

︸︷︷︸

Z∗

δ1

δ2...δI

︸︷︷︸δ∗

+W′

u1

u2...uI

︸︷︷︸

u∗

75

Test de Agregación bajo el caso general: u ∼ N(0,Ω)

Se quiere testear la hipótesis: H0 : δi = δ ∀ i. El test deagregación consiste en hacer un test F estándar, dado:

M = (IIT − Z(Z′Z)−1Z

′)

M∗ = (IIT − Z∗(Z∗′Z∗)−1Z∗′)

Los residuos de las regresiones restringidas y libres sonrespectivamente:

e = My

e∗ = M∗y

Y estadígrafo F es:

F =(e

′e− e∗

′e∗)(Tr(M)− Tr(M∗))

e∗′ e∗Tr(M∗)∼ F(I−1)(K+1),I(T−K−1)

76

Paneles Dinámicos

Paneles Dinámicos

Muchas relaciones en economía son de naturaleza dinámica. Éstasse caracterizan por la presencia de al menos un rezago de lavariable dependiente entre los regresores, permitiendo así modelarel mecanismo de ajuste parcial. Considere el modelo One-way:

yi,t = α+ δyi,t−1 +X′i,tβ + ui,t i = 1, . . . I; t = 1, . . . T

(1)ui,t = µi + vi,t

Donde µi es un efecto individual inobservable, y vi,t es ruidoblanco.Hay dos fuentes de persistencia en el tiempo:

1. La presencia de la variable dependiente rezagada.2. La de los efectos individuales que caracterizan la

heterogeneidad entre individuos. 77

Paneles Dinámicos

AdvertenciaEn el contexto de Paneles Dinámicos, la elección entre efectos fijoso efectos aleatorios, trae consecuencias para la estimación que sondiferentes a la del modelo estático.

En el contexto de Paneles Dinámicos:

• Estimadores LSDV ó “Within” son inconsistentes.• Estimadores FGLS son también inconsistentes.

78

Inconsistencia en la estimación “Within”

Dado el modelo expresado por 1. Sí se aplica “Within”:

yi,t = α+ δyi,t−1 + βxi,t + µi + vi,t

yi = α+ δyi + βxi + µi + vi

yi,t − yi = δ(yi,t−1 − yi) + β(xi,t − xi) + vi,t − vi

yi,t − yi = δ(α+ δyi,t−2 + βxi,t−1 + µi + vi,t−1 − yi) + β(xi,t − xi) + vi,t − vi

Se muestra que vi =1T

∑t=Tt=1 vit contiene a vi,t−1 y por tanto está

correlacionado, siendo los estimadores “Within” inconsistentes.

79

Sesgo de Nickell 1981

Asumiendo que Xi,t es un vector de variables exógenas, Nickell1981 demuestra que:

Cov((yi,t − yi), (i,t−vi))p−→ σ2

v

T

(T − 1)− Tδ + δT

(1− δ)2

Con lo que se puede comprobar que:

• Si I → ∞ ∧ T fijo LSDV ó “Within” son inconsistentes.• Si T → ∞ entonces Cov((yi,t − yi), (vi,t − vi))

p−→ 0.• Si δ > 0 el sesgo de los estimadores es negativo.

80

Tamaño de Sesgo de Nickell 1981

Relación Sesgo vs. tamaño t de la muestra en la estimación LSDVó “Within”

81

Hechos que destacar e inconsistencia en la estimación “FGLS”

Es de destacar que el sesgo apuntado no es causado por unprocesos de autocorrelcación del error vi,t del modelo. El sesgosurge aún si el error es iid. Si el error se encontraraautocorrelacionado, el problema se agrava.Es de recalcar que el sesgo se da tanto en los estimadores de δ

como en los estimadores β.

El mismo problema surge en el modelo One way efectos aleatorios,el error vi,t−p es un componente de cada rezado yi,t−p por lo queno habrá independencia entre los regresores y el error del modelo.

82

Posible solución: Sacando primera diferencia

Dado el modelo expresado por 1. Sí se saca la primera diferenciaen el tiempo:


yi,t−1 = α+ δyi,t−2 + βxi,t−1 + µi + vi,t−1

yi,t − yi,t−1 = δ(yi,t−1 − yi,t−2) + β(xi,t − xi,t−1) + vi,t − vi,t−1

∆yi,t = δ∆yi,t−1 + β∆xi,t +∆vi,t

Se muestra que todavía hay correlación entre los regresores y elerror dado que yi,t−1 contiene a vi,t−1. Solución descartada.

83

Soluciones para la consecución de estimadores consistentes

Los métodos para la obtención de estimadores consistentes son:

• LSDV con corrección de sesgo (Kiviet 1995)• Variables Instrumentales (Anderson y Hsiao 1982)• Método Generalizados de Momentos o GMM.

• Variables Instrumentales• Método Arellano y Bond 1991

84

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Principios

En un modelo econométrico se dispone de ℓ instrumentos Z demanera que cada uno satisface la condición E(Ztut) = 0. Los ℓ

instrumentos constituyen un conjunto de ℓ momentos o ecuacionescomo las siguientes:

mt(β) = Z′tut = Z

′t(yt −Xtβ)

Donde mt es de dimensión ℓ× 1 y β es de dimensión k × 1. Laexogeneidad de los instrumentos significan que hay ℓ condicionesde momentos o condiciones de ortogonalidad, en donde el valor deβ es aquel que satisfaga:

E(mt(β)) = 0

85

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Principios

Así el GMM considera que cada una de las condiciones deortogonalidad son una muestra de los momentos, por lo cualpodemos hacer la estimación sacando su media:

m(β) =1

T

t=T∑t=1

mt(β) =1

T

t=T∑t=1

Z′t(yt −Xtβ) =

1

TZ

′u

Y obtener los estimadores que satisfagan:

m(β) = 0

86

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Cuando Z=X

Cuando Z=X tenemos:

m(β) = X′(Y −Xβ)

Debemos obtener estimadores que satisfagan:

g(β) = 0

Por tanto:

βOLS = (X′X)−1X

′Y

87

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Cuando ℓ = k

Cuando ℓ = k tenemos:

m(β) = Z′(Y −Xβ)

Debemos obtener estimadores que satisfagan:

m(β) = 0

Por tanto:

βV I = (Z′X)−1Z

′Y

Siendo βV I el estimador del método de variables instrumentales.

88

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Cuando ℓ > k

Cuando ℓ > k tenemos que:

m(β) = Z′(Y −Xβ)

No puede ser resuelto, es decir no tiene solución exacta dado queel sistema está sobreidentificado. Por tanto se debe reformular elproblema de manera de escoger un vector β que haga a losmomentos muéstrales m(β) tan cercano a cero como sea posible;para ello se escoge una forma cuadrática como una medida dedistancia de manera que el problema sea:

minβJ(β) = Tm(β)′Wm(β)

Obteniendo así:

βGMM = (X′ZWZ

′X)−1X

′ZWZ

′Y

89

El Método Generalizado de Momentos (GMM): Cuando ℓ > k

Un importante aspecto para especificar un estimador GMM es laselección de la matriz de ponderaciones W. Hansen 1985demuestra que un óptimo estimador GMM del vector β pudeobtenerse seleccionando un W tal que converja a la inversa de S.Siendo S la matriz de covarianza de las condiciones de momentos:

S =1

TE(Z

′uu

′Z) =

1

TE(Z

′ΩZ)

Intuitivamente ello implica asignar menor peso a aquellosmomentos más imprecisos.Sin embargo para que el estimador GMM óptimo sea factible, serequiere una estimación de S, lo que implica hacer algunossupuestos de la matriz Ω.

90

GMM y errores Heterocedásticos

Asumiendo una estimación de la matriz de varianza de los errores:

Ω =

u1 0 · · · 0

0 u2 · · · 0... ... . . . ...0 0 0 uT

Entonces un estimador consistente de S = 1

T (Z′ΩZ)

Esta estimación GMM* se obtendría con los siguientes secuencia:

1. Estimar usando métodos VI.2. Obtener los ut y construir la matriz W = 1

T (Z′ΩZ)−1

3. Estimar βGMM = (X′ZWZ

′X)−1X

′ZWZ

′Y

*Conocido como: H2LS.

91

GMM y errores Homocedástico


σ2uI = σ2

u

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0... ... . . . ...0 0 0 1

Entonces un estimador consistente de S = σ2

uT (Z

′Z)

Esta estimación GMM† se obtendría con los siguientes secuencia:

1. Estimar usando métodos VI.2. Obtener los σ2

u y construir la matriz W = σ2uT (Z

′Z)−1


′X)−1X

′ZWZ

′Y

†Conocido como: IV.

92

GMM y errores agrupados


ΩC =

Σ1 0 · · · 0

0 Σm · · · 0... ... . . . ...0 0 0 ΣM

Entonces un estimador consistente de S = 1

T (Z′ΩCZ)

Esta estimación GMM‡ se obtendría con los siguientes secuencia:

1. Estimar usando métodos VI.2. Obtener las matrices Σ y construir la matriz

W = 1T (Z

′ΩCZ)−1


′X)−1X

′ZWZ

′Y

‡Conocido como: Estimadores Robustos.

93

Paneles dinámicos estimación por Variables Instrumentales

Dado el modelo expresado por 1. Sacando la primera diferencia enel tiempo:


yi,t−1 = α+ δyi,t−2 + βxi,t−1 + µi + vi,t−1

yi,t − yi,t−1 = δ(yi,t−1 − yi,t−2) + β(xi,t − xi,t−1) + vi,t − vi,t−1

Anderson y Hsiao 1982 propusieron el uso del método IV (perofuera del contexto GMM ) utilizando como instrumentos yi,t−2 óyi,t−2 − yi,t−3. Es de notar que el primer instrumento tiene laventaja de que el mínimo período de tiempo requerido para laestimación es t=2 mientras que para el segundo instrumento est=3.En la práctica, si T ≥ 3, la elección entre el primer o el segundoinstrumento dependerá de la correlación que tenga éstos conyi,t−1 − yi,t−2.

94

Ejemplo 10:

Aplicación del método de variablesinstrumentales en datos de panel

Sea el modelo:

yi,t = α+ δyi,t−1 +X′i,tβ + ui,t i = 1, . . . I; t = 0, . . . T (1)

ui,t = µi + vi,t (2)

Donde µi es un efecto individual inobservable, y vi,t es ruidoblanco. Sacando primera diferencia temporal de 1, tenemos:

yi,t − yi,t−1 = δ(yi,t−1 − yi,t−2) + β(xi,t − xi,t−1) + vi,t − vi,t−1 (3)

95

Para la estimación de 3 se considera la siguiente matriz deinstrumentos:

Zi =

yi,2 ·yi,3 ∆yi,1

... ...yi,T−2 ∆yi,T−2

yi,T−1 ·

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De manera que

X′iZi =

[∆yi,1 ∆yi,2 · · · ∆yi,T−2 ∆yi,T−1

∆xi,2 ∆xi,3 · · · ∆xi,T−1 ∆xi,T

]

yi,2 · ∆xi,2

yi,3 ∆yi,1 ∆xi,3

......

...yi,T−2 ∆yi,T−2 ∆xi,T−1

yi,T−1 · ∆yi,T

Y por tanto el estimador sería:

βTLS = (X′Z(Z

′Z)−1Z

′X)−1X

′Z(Z

′Z)−1Z

′Y

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Paneles dinámicos estimación por Arellano y Bond

El estimador Arellano y Bond 1991 (AB) es considerado como elmétodo “canónico” DPD (Dynamic Panel Data). Éste se encuentrabasado en el trabajo de Holtz-Eakin, Newey y Rosen 1988.La idea es que el método de variables instrumentales propuesto porAnderson y Hsiao 1982, el cual está fuera del contexto GMM, notoma todas las potenciales condiciones de ortogonalidad en cuenta.En el contexto GMM, el modelo es especificado como un sistemade ecuaciones, una ecuación por cada período de tiempo, donde losinstrumentos aplicables en cada ecuación difieren.

98

Construyendo la matriz de instrumentos

En el método de Anderson y Hsiao 1982 la matriz de instrumentossería como:

Zi =

·

yi,0

yi,1...

yi,T−2

Donde la primera fila corresponde a t=2, dado que la primeraobservación (t=0), se pierde al aplicar la primera diferencia.Entonces la regresión pierde 2 observaciones por individuo (t=0,1).

99

Construyendo la matriz de instrumentos

Si adicionalmente se incluye el tercer rezago del nivel de la variablea instrumentalizar, la matriz de instrumentos sería:

Zi =

· ·

yi,0 ·yi,1 yi,0

... ...yi,T−2 yi,T−3

La regresión pierde 3 observaciones por individuo (t=0,1,2).

100

Para evitar la perdida de grados de libertad y a la vez introducir uninstrumento por ecuación de tiempo; Holtz-Eakin, Newey y Rosen1988 proponen como matriz de instrumentos disponibles lasiguiente:

Zi =

0 0 0 0 0 0 · · ·yi,0 0 0 0 0 0 · · ·0 yi,1 yi,0 0 0 0 · · ·0 0 0 yi,2 yi,1 yi,0 · · ·... ... ... ... ... ... . . .

Bajo ese arreglo de matriz de instrumentos se nota que:

• En la regresión sólo se perdería 2 observaciones por individuo(t=0,1).

• Se dispone de diferentes número de instrumentos para cadaperíodo de tiempo, por ejemplo para t=2 se dispone de uninstrumento, para t=3, 2 instrumentos y así sucesivamente.

101

Otra alternativa al estimador Arellano y Bond 1991 es el propuestaen Arellano y Bover 1995, en el cual se consideran no solo losrezagos del nivel sino también los rezagos de las diferencias:

Zi =

0 0 0 0 0 0 0 0 · · ·yi,0 0 0 0 0 0 0 0 · · ·0 yi,1 yi,0 ∆yi,1 0 0 0 0 · · ·0 0 0 yi,2 yi,1 yi,0 ∆yi,2 ∆yi,1 · · ·... ... ... ... ... ... ... ... . . .

Es de notar lo siguiente:

• Al disponer de un T grande, el procedimiento es difícil demanejar, por lo que se recomiendo restringir los instrumentosrestringiendo el número de rezagos a ser incluidos.

• Al estimador original es conocido frecuentemente como GMMen diferencia, mientras al segundo es conocido como SistemaGMM.

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Situaciones recomendadas para el uso del Sistema GMM enpaneles de datos

1. En datos donde T sea pequeño e I grande.2. Relaciones lineales.3. Variables explicadas con comportamiento dinámico.4. Variables explicativas que no sean exógenas, correlacionadas

con realizaciones pasadas o inclusive presentes del error.5. Efectos individuales o heterogeneidad inobservable.6. Heterocedasticidad y autocorrelación dentro de cada unidad

individual, pero no entre dichas unidades individuales.

103

Test de diagnósticos: Evaluando la sobreidentificación de res-tricciones

Toda variable instrumental debería satisfacer los requerimientossiguientes:

1. Estar correlacionada con la variable endógena incluida en elmodelo.

2. Ser ortogonal al proceso del error.

El test de sobreidentificación (Sargan–Hansen test) está referido avalidar el segundo requerimiento.El Sargan–Hansen test aplicado en el caso en que ℓ > k, consisteen realizar una regresión de los residuos de la estimación 2SLS oGMM, sobre todos los instrumentos, bajo la hipótesis nula de quelos instrumentos no están correlacionados con el error.

104

El Sargan–Hansen test

En el contexto de una estimación GMM, la sobreidentificaciónpude ser testeada a partir del estadístico J de Hansen:

J(β) = uZ′S−1Z

′u ∼ χ2

ℓ−K

J(β) = uZ′(Z

′ΩZ)−1Z

′u ∼ χ2

ℓ−K

El rechazo de la hipótesis nula implica que los instrumentos nosatisfacen las condiciones de ortogonalidad. Esto puede deberse alas siguientes razones:

• Los instrumentos no son exógenos.• Los instrumentos no debería ser excluidos de la regresión.

105

El Sargan–Hansen test

En el contexto de una estimación VI a través del método 2SLS, lasobreidentificación pude ser testeada a partir del estadístico deSargan, el cual es un caso especial del estadístico J de Hansen. Asíbajo el supuesto de errores homocedásticos tenemos que :

J(β) =1

σ2uZ

′(Z

′Z)−1Z

′u ∼ χ2

ℓ−K

J(β) =uZ

′(Z

′Z)−1Z

′u

u′ un∼ χ2

ℓ−K

El rechazo de la hipótesis nula implica que los instrumentos nosatisfacen las condiciones de ortogonalidad.

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Test de diagnósticos: Autocorrelación de orden superior a 2

Se debe tener cuidado en detectar un proceso AR(2) o superior enlos residuos de la estimación DPD.Dado el modelo:

yi,t = α+ δyi,t−1 +X′i,tβ + ui,t i = 1, . . . I; t = 1, . . . T

ui,t = µi + vi,t

vi,t = ρ1vi,t−1 + ϵi,t

Entonces al sacar primeras diferencias e instrumentalizar con yi,t−2

tenemos:

∆yi,t = δ∆yi,t−1︸︷︷︸yi,t−2

+β∆xi,t + ρ1vi,t−1 + ϵi,t − ρ1vi,t−2 + ϵi,t−1

Invalidando el uso de yi,t−2 como instrumento.

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econometría aplicada para bancos...

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