economÍa de recursos naturales

ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES:APLICACIONES DE LA ECONOMÍA COMPUTACIONAL

A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DINÁMICOS

COLECCIÓN CEDE 50 AÑOS

ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES:APLICACIONES DE LA ECONOMÍA COMPUTACIONAL

A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DINÁMICOS

Jorge Higinio Maldonado

Primera edición: noviembre de 2008

© Jorge Higinio Maldonado

© Universidad de los Andes Facultad de Economía, Centro de Estudios sobre Desarrollo Económico - CedeDirección: Carrera 1 No. 18A – 12. Bloque CTeléfono: 3 394949 – 3 394999. Ext: 2400Bogotá, D. C., Colombia [email protected]://ediciones.uniandes.edu.co/

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ISBN: 978-958-695-370-2

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Maldonado, Jorge HiginioEconomía de recursos naturales : aplicaciones de economía computacional en la solución de problemas

dinámicos / Jorge Higinio Maldonado. -- Bogotá : Universidad de Los Andes, Facultad de Economía, CEDE, Ediciones Uniandes, 2008.

244 p. ; 16,8 x 23,8 cm. – (Colección CEDE 50 años. Investigación empírica)

Incluye referencias bibliográficas (p. 227-229).

ISBN 978-958-695-370-2 1. Economía ambiental – Modelos matemáticos 2. Recursos naturales -- Aspectos económicos –

Modelos matemáticos I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Economía. CEDE II. Tít.

CDD 333.7015118 SBUA

A Rocío del Pilar

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CONTENIDO

PREFACIO XI

I INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES 1 A. Introducción 1 B. Los recursos naturales 1 1. Recursos no renovables 3 a. Reservas 4 b. Agotamiento 5 c. Recursos de flujo 5 d. Recurso fondo 6 2. Recursos renovables 7 C. Economía de recursos naturales 9 D. Análisis dinámico para solucionar problemas de recursos naturales 11 1. El método de Lagrange para la solución de problemas restringidos 12 2. Extensión del método de multiplicadores de Lagrange al problema de asignación dinámica 14 3. Cálculo de variaciones 18 a. Algunos casos especiales 24 4. Teoría del control óptimo 26 a. El problema del control óptimo 27 b. El principio del máximo 28 c. Condiciones terminales alternativas 29 d. Interpretación económica del Principio del Máximo 31 e. El hamiltoniano de valor corriente 34 f. El principio del máximo con hamiltoniano de valor corriente 35 g. Teoría del control óptimo con tiempo discreto 36 5. Programación dinámica 38

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II MODELOS ECONÓMICOS PARA EL ANÁLISIS DE RECURSOS NATURALES 41 A. Economía de recursos naturales renovables: el caso de la pesca 42 1. Bases biológicas y económicas 43 a. Funciones de crecimiento de población 43 b. Funciones de producción de pesca 47 c. Función producción–esfuerzo 49 2. Modelos de uso de recursos de uso común 51 a. Modelo de máximo rendimiento sostenible 52 b. Modelo estático de libre acceso 54 c. Modelo de libre acceso dinámico 57 d. Modelo de asignación de derechos de propiedad 59 e. Modelo de optimización dinámica: maximización de valor presente 61 3. Instrumentos para manejar recursos naturales renovables 67 a. Instrumentos de comando y control o tradicionales 67 b. Instrumentos económicos 69 4. Aplicación práctica de los modelos de pesca 71 a. Análisis bioeconómico de la pesquería de grandes bagres del río Caquetá medio 71 B. Economía de recursos naturales renovables: el caso de los bosques 75 1. Silvicultura de edad uniforme 77 a. Funciones de volumen de madera 77 b. Crecimiento medio anual 78 c. Rotación simple óptima 80 d. Turno óptimo con infinitas rotaciones: el turno de Faustmann 82 2. Bosques naturales maduros 85 C. Economía de recursos naturales no renovables: el caso de las minas 90 1. Uso de un recurso no renovable 92 2. Extracción del recurso de cara a la demanda del mercado 95 a. Extracción del recurso en un mercado competitivo 97 b. Extracción del recurso en un mercado de monopolio 99 c. Reservas costo-dependientes 103 d. Exploración 106 3. Aplicación práctica de los modelos de recursos renovables y no renovables 113 a. Los arrecifes de coral como un recurso natural renovable y no renovable: modelo bioeconómico de la isla de San Andrés (Caribe colombiano) 113

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III ECONOMÍA COMPUTACIONAL PARA RECURSOS NATURALES 117 A. Ecuaciones lineales y no lineales: métodos computacionales 117 1. Ecuaciones lineales 119 a. Factorización LU 120 b. Cuidados con la manipulación de matrices 124 2. Ecuaciones no lineales y problemas de complementariedad 126 a. Método de bisección 127 b. Iteración de función 130 c. Método de Newton 132 d. Métodos cuasi-Newton 134 e. Problemas con métodos Newton 135 f. ¿Cuál método usar? 136 g. Problemas de complementariedad 137 B. Aproximación de funciones 142 1. Principios de interpolación 144 a. Interpolación polinomial 145 b. Interpolación por tiras o spline 146 2. Método de colocación 147 a. Herramientas en Matlab 149 C. Programación dinámica: modelos de estado discreto 151 1. Programación dinámica discreta 152 2. Ejemplos económicos 155 a. Ejemplo 1: manejo de la mina 156 b. Ejemplo 2: manejo de un depósito de agua 158 3. Algoritmos de solución 160 a. Recursión hacia atrás 162 b. Iteración de función 162 c. Iteración de política 163 4. Análisis de simulación dinámica 164 5. Las herramientas de programación 166 6. Ejemplos numéricos 169 a. Ejemplo 1. Manejo de la mina 169 b. Ejemplo 2. Manejo del depósito de agua 173 D. Programación Dinámica: Modelos de Estado Continuo 178 1. Programación dinámica en estado continuo 179 2. Condiciones de Euler 181 3. Estado estacionario 182 4. Problemas de Complementariedad 183 5. Ejemplos económicos 184 a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable 185 b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable 188 c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua 191

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6. Métodos numéricos para solucionar problemas 194 a. Método de colocación con la ecuación de Bellman 195 b. Implementación del método de colocación 197 c. Análisis posoptimalidad 201 7. Ejemplos numéricos 202 a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable 202 b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable 211 c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua 217

BIBLIOGRAFÍA 227

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PREFACIO

Este libro forma parte de la colección CEDE 50 años. Es un texto diri-gido a estudiantes avanzados de pregrado y estudiantes de maestría

interesados en el tema de la economía de los recursos naturales. Otro público con conocimientos básicos en economía e interés en el tema en-contrarán también información interesante.

Aunque existe actualmente un buen número de textos que tratan el tema de economía ambiental y de recursos naturales, es relativamente menor el número de aquellos que dan suficiente énfasis a los problemas dinámicos asociados a la economía de recursos naturales. En español es aún más es-casa esta literatura. Esta baja presencia de textos que analizan con profun-didad el tema de recursos naturales se debe a las dificultades inherentes a la solución de dichos problemas: usualmente, los ejercicios implican un alto grado de complejidad y es normal no encontrar soluciones cerradas a estos problemas dinámicos. Ahora, gracias al avance en la economía com-putacional y los métodos numéricos, acompañados del rápido desarrollo en la capacidad de los computadores, es posible resolver problemas de este tipo de manera ágil, eficiente y con un nivel aceptable de exactitud.

Es precisamente de lo que trata este libro: del uso de las herramientas computacionales para resolver problemas dinámicos, con énfasis en re-cursos naturales.

Después de varios años de ofrecer el curso en economía de recursos natu-rales para las maestrías en Economía Ambiental y de Recursos Naturales (PEMAR) y en Economía (PEG) de la Universidad de los Andes, tengo la oportunidad de reunir las notas y avances en un texto académico. Para su construcción, este texto se basa en estos cursos impartidos en la Universidad de los Andes. Sin embargo, su inspiración surge de dos

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textos que son fundamentales en el tema de la economía de los recursos naturales. El primero de ellos es el texto de Conrad (1999); un texto muy bien escrito, con ejemplos claros para diferentes casos de recursos natu-rales, que usa herramientas de fácil acceso como Excel y con modelos comprehensivos y propuestos para estudiantes avanzados de pregrado o de posgrado. Este texto es la base de la primera parte de este libro y en realidad, utiliza muchos de sus ejemplos y enfoques para mostrar la solución a los problemas asociados a recursos naturales.

El segundo texto es el de Miranda y Fackler (2002). Durante mi doctora-do, tuve la oportunidad de recibir un curso del profesor Mario Miranda en el tema, y desde entonces tuve la idea de reproducir todo este cono-cimiento entre los estudiantes de la Universidad de los Andes. Con el apoyo del profesor Miranda, diseñé el curso en Economía de Recursos Naturales, basado en buena medida en su libro y su curso, y en el paquete CompEcon —un conjunto de comandos, códigos y programas diseñados en lenguaje de Matlab por Miranda y Fackler—, orientado a resolver mu-chos de los retos que surgen en la solución de problemas dinámicos. La segunda parte de este libro se basa en el uso de las herramientas compu-tacionales para la solución de estos problemas dinámicos, aplicada espe-cialmente a recursos naturales.

Aunque basado en estos dos textos, he procurado aportar nuevos ele-mentos de análisis, fruto de las discusiones con los estudiantes que han tomado el curso estos años o que han desarrollado sus trabajos de tesis con base en estos conocimientos. Se presentan en el texto algunos estu-dios de caso basados en tesis de estudiantes de maestría que trabajaron en el tema.

Obviamente, los errores que contenga el libro son sólo mi responsa-bilidad.

De esta forma, aunque no necesariamente innovador en el contenido de los temas, considero que este libro hace una contribución en ofrecer, en un solo texto en español, las bases de la economía de los recursos natura-les, los modelos y problemas más usuales que se encuentran en esta área y, adicionalmente, las herramientas de la economía computacional para la solución de estos problemas. Espero que este enfoque sea un aporte a un tema que cada vez cobra más vigencia e importancia mundial, espe-cialmente en los países en desarrollo, donde la economía puede llegar a depender de manera no despreciable en los recursos naturales para su desarrollo.

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Para aprovechar mejor la información presentada, se espera y se supone que el lector tenga conocimientos básicos de cálculo diferencial, álgebra matricial y bases en economía, especialmente microeconomía.

El libro está compuesto por tres capítulos. El primero de ellos empieza con una introducción al tema de los recursos naturales, se revisan las di-ferencias entre recursos renovables y no renovables y otras característi-cas propias de estos recursos, se introducen las bases de la economía de recursos naturales y finalmente, se revisan los principales métodos de solución de problemas dinámicos. El segundo capítulo se dedica a revisar los principales modelos diseñados para resolver problemas asociados a recursos naturales, desde el punto de vista económico; se repasan allí los modelos clásicos de recursos renovables (pesca y bosques) y no renova-bles (minas). El último capítulo trata el tema de la economía computacio-nal y sus aplicaciones en la solución de estos problemas; inicia revisando las bases de la economía computacional, donde se incluye la solución de sistemas lineales y no lineales y se revisan los métodos de aproximación de funciones. Con estas bases, se abordan los métodos de programación dinámica en tiempo discreto y en tiempo continuo y se realizan algunos ejemplos teóricos y prácticos de solución de problemas asociados a asig-nación de recursos naturales.

Quiero agradecer al CEDE por su apoyo en la publicación de este libro. De manera similar, quiero reconocer el excelente trabajo de Ediciones Uniandes en todo el proceso de hacer realidad este libro. También, agra-dezco a Diana Hernández, quien me ayudó en el proceso de digitación del libro, y a Claudia Salazar quien un tiempo atrás hizo lo propio con algunas secciones del ahora primer capítulo. También quisiera agrade-cer a Andrés Mogollón, quien fue profesor complementario del curso de economía de recursos naturales a mi cargo, desarrolló y organizó varios ejercicios aplicados que sirvieron de base para algunas secciones de este libro.

Finalmente, quiero agradecer a Rocío del Pilar, mi esposa, sin cuyo apoyo incondicional no hubiera sido posible terminar este libro.

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IINTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

DE RECURSOS NATURALES

A. Introducción

En este primer capítulo se presenta una introducción al tema de los recursos naturales, se presentan definiciones, diferencias y visiones

alternativas al tema, explicando las similitudes y diferencias entre recur-sos renovables y no renovables. Posteriormente, se hace una introducción a la economía de recursos naturales y a los diferentes métodos matemáti-cos para resolver problemas dinámicos asociados a la asignación eficiente de los mismos. Allí se revisan las herramientas más importantes de la matemática para la solución de problemas de optimización dinámica: cál-culo de variaciones, teoría de control óptimo y programación dinámica. También se analizan las ventajas y desventajas de cada método cuando se va a aplicar a la solución de asignaciones de recursos naturales.

B. Los recursos naturales1

Probablemente todo el mundo tenga alguna noción intuitiva de lo que signifique “recurso natural”; sin embargo, obtener una definición riguro-sa e informativa no es fácil. En su forma más simple, puede ser definida como aquellos factores económicos en la producción o el consumo que deben su origen y existencia a fenómenos naturales, o a procesos que ocurren autónomamente en la naturaleza. Éste es un enunciado que pa-rece incluir cualquier cosa que no sea hecha por el hombre ni generada como resultado de un proceso de manufactura que éste haya iniciado, es decir, todo aquello que ni es capital ni trabajo en la clásica clasificación económica acerca de los factores de producción. De esta forma, todos los

1. Éste y el siguiente capítulo están basados en la excelente taxonomía que presenta, Randall (1987) en su trabajo.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES • FACULTAD DE ECONOMÍA • CEDE 50 AÑOS Economía de recursos naturales

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recursos naturales quedarían igualados con la categoría del factor tradi-cional “tierra”, lo cual captura una de sus características esenciales: su disponibilidad inicial precede la actividad económica y está ampliamente por fuera de la influencia del hombre. Los recursos naturales se originan de procesos biológicos, químicos o geológicos que no pueden ser contro-lados a voluntad.

De acuerdo con McInerney (1976), un recurso es algo que resulta útil y valioso en el estado en que se le encuentra. En su estado natural o no modificado, puede ser un insumo para la producción de algo de valor, o bien puede ir directamente al proceso de consumo.

Quizá la forma alternativa de entender qué es un recurso natural es anali-zando qué no es un recurso: las cosas que se desconocen o para las cuales no se ha encontrado aplicación no constituyen recursos; las cosas que siendo útiles, se encuentran disponibles en cantidades tan enormes res-pecto a la demanda que carecen de valor, no serían recursos. Además, recurso es un concepto dinámico, y siempre existe la posibilidad de que los cambios ocurridos en la información, en la tecnología y en la escasez relativa conviertan en recurso valioso aquel que antes carecía de valor.

Las cosas producidas bajo la dirección del hombre mediante procesos en que se combinan recursos, capital, tecnología o trabajo no son considera-das recursos por sí mismas, aunque éstos formen parte de sus insumos.

Entre tanto, los recursos se caracterizan por múltiples atributos. Tienen dimensiones de cantidad, calidad, tiempo y espacio. Por ejemplo, el aire se encuentra en cantidades tan grandes que no parece ser un recurso ni tener valor, sin embargo, la calidad del aire está amenazada en varias partes y el aire de mejor calidad tiene valor positivo. En el tiempo puede variar la disponibilidad de aire: en una cápsula o en un submarino la oferta está limitada por la cantidad inicial de aire y por la forma de reposición, mien-tras en el espacio abierto la cantidad y calidad se comportan de otra forma.

Con base en estos atributos y otras características propias, un recurso natural se puede clasificar de diferentes maneras. Hace algunos años la utilización de recursos no renovables dio inicio a la preocupación sobre si éstos se agotarían en algún momento y cuál sería el efecto en el desarrollo económico. Como resultado, en el decenio de 1960 se consolidó el Club de Roma, una agrupación de expertos que estimaron que si continuaban las tasas de uso que se observaban en ese momento, y dadas las reservas conocidas, varios de los más importantes recursos minerales se agotarían en la primera mitad del siglo XXI. Por esta razón a estos recursos se los denominó “recursos agotables”, en contraposición a los recursos renova-bles o biológicos, que se denominaron “recursos no agotables”.

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES


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Sin embargo, actualmente no se observa una amenaza seria sobre los recursos no renovables. Este hecho obedece a varios procesos que se dieron simultáneamente en las últimas décadas del siglo XX, entre los cuales cabe resaltar el reciclaje, la miniaturización, la sustitución de re-cursos naturales con productos sintéticos, mejoras en la detección de yacimientos, mayor eficiencia y mejoras en la extracción; la tecnología ha sido una gran aliada en la solución a los problemas de los recursos no renovables. Así y todo, los recursos renovables, conocidos entonces como no agotables, en virtud de su tasa de crecimiento, empezaron a mostrar serios indicios de agotamiento o extinción: poblaciones enteras de peces, ballenas y otros recursos marinos estuvieron al borde de la extinción, lo cual hizo de la denominación de “no agotables” una defi-nición errónea.

Por tanto, ahora se conocen como “recursos renovables” y “no renova-bles”, en vez de “no agotables” y “agotables”. Ésta es una clasificación estándar que utilizaremos en este libro, ya que varios de los modelos eco-nómicos apuntan a esta distinción a la hora de definir patrones de utiliza-ción. Sin embargo, existen otras clasificaciones que son útiles de entender y tener en mente a la hora de analizar cada caso.

1. Recursos no renovables

Llamemos entonces recursos no renovables a aquellos que existen en can-tidades dadas —por lo menos en una escala de tiempo humana— y en determinados lugares, por ejemplo, los depósitos minerales. Se los llama recursos en reserva o recursos no renovables, ya que su empleo daría con el tiempo a su agotamiento.

Estos recursos pueden ser extraídos y utilizados, pero no es posible obte-ner cantidades adicionales ni por fabricación ni regeneración. Si denota-mos S la cantidad existente, Q la cantidad extraída para obtener materia prima y el subíndice t (= 0, 1,...) para indicar el tiempo, la existencia actual de un recurso de este tipo se puede expresar como

Es decir, la existencia actual en el período t es igual a la existencia inicial

S0 menos la suma de todas las extracciones hasta el período t – 1.

Aunque la noción de existencia dada es válida, no todas las existencias han sido identificadas. Si S indica la existencia conocida, los descubri-mientos pueden aumentar las existencias conocidas, y la extracción, res-tar de ellas. Así,


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donde Dt es la cantidad descubierta en cada período t. Si introducimos la

posibilidad de reciclaje, la cantidad conocida puede ser aumentada tanto por descubrimientos como por reciclaje, de forma que

donde Rt es la cantidad reciclada en el período t y está limitada por la cantidad de recursos previamente usados pero no reciclados.

Las dimensiones de cantidad y tiempo de los recursos agotables han sido contempladas en estas ecuaciones. El reconocimiento de que los recursos agotables son rara vez homogéneos introduce las dimensiones de calidad y espacio.

La cantidad es medible, usualmente en términos de masa o volumen. La calidad es medible a menudo en términos de composición química, pero también por medio de aspectos más intangibles como propiedades esté-ticas. La distinción entre los conceptos de cantidad y calidad es simple-mente que la cantidad es normalmente unidimensional (es decir, masa o volumen) mientras que la calidad tiene muchos atributos y puede refe-rirse a cualquier dimensión o conjunto de dimensiones (por ejemplo, la composición química, la estructura física y los atributos estéticos), que afectan el valor del recurso. La calidad de los recursos será percibida de forma diferente para diversos usos, y los aspectos menos tangibles (esté-tica) serán percibidos de forma diferente por diversos usuarios.

La dimensión de espacio/lugar se refiere a la localización del depósito —que afecta los costos de extracción— y su interrelación con las fábricas para procesarlos, el transporte y los mercados (lo cual afecta las ganancias que se pueden obtener de explotar un depósito en particular). Aunque las ecuaciones consideran la dimensión del tiempo —en especial si se refiere a los momentos de descubrimiento y extracción—, hay otro aspecto del tiempo; aún en ausencia de intervención humana, los procesos naturales de degradación no antrópica cambiarán las dimensiones de cantidad y calidad con el tiempo.

a. Reservas

Los conceptos de “cantidad conocida”, S, y descubrimientos insinúan la complejidad de la idea de reserva. La naturaleza de las reservas es diná-



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mica y refleja el comportamiento de precios, tecnología y esfuerzos de ex-ploración, y el modelo de extracción previa y el uso que se da al recurso. Lo que se cuenta como reserva es sólo una porción del recurso potencial total. Un aumento en los precios de las materias primas aumentará la extracción, entonces disminuirán las reservas; pero esto también puede aumentar las reservas, ya que algo de los recursos antes subeconómicos se hacen propensos a extraer. Este caso es especialmente relevante en el caso del petróleo en esta segunda mitad de la primera década del siglo XXI. La exploración puede ser promovida por altos precios en las mate-rias primas. Los desarrollos tecnológicos en extracción y procesamiento pueden traer a recursos subeconómicos dentro del marco económico. Y el mejoramiento de la tecnología de exploración puede aumentar la tasa a la cual se identifican nuevas reservas. De manera similar, una reducción de los costos debido al desarrollo tecnológico causará un aumento en las reservas.

b. Agotamiento

El agotamiento, como la escasez y las reservas, es un concepto econó-mico. Por definición, no es posible hacer o crear más de un recurso no renovable y por tanto, la extracción continuada reduce la existencia. El agotamiento se define como un estado en el cual la tasa de extracción cae a cero. Obviamente, un recurso se agota cuando no se ha dejado literal-mente nada. Pero el recurso podría agotarse antes de esto. Cuando los costos de extracción y preparación de una unidad adicional para el mer-cado exceden su precio, no hay incentivo para extraer más y el recurso se considera agotado.

Así como las reservas, el agotamiento es un concepto dinámico. Cualquier cosa que pueda reducir el costo unitario de extracción o aumentar de pre-cio podría fomentar de nuevo la extracción después que el recurso esté agotado.

c. Recursos de flujo

Otros recursos como la radiación solar se llaman recursos de flujo. Sus ca-racterísticas particulares son que ellos proveen alguna cantidad y calidad determinadas más allá del control humano y pueden ser usados cuando se proporcionan; de otra manera, se desperdician. La radiación solar lle-ga en cantidades constantes por unidad de tiempo; este ritmo de flujo, así como su calidad, están más allá del control del hombre. Un flujo de recursos se debe usar cuando esté disponible; lo que no se aproveche, se capte o se guarde para después, es cantidad perdida.


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Abstrayendo de nuevo el tema de la calidad, podemos expresar las inte-rrelaciones entre un recurso de flujo y su uso:

Ft = Qt + Wt > Qt Wt > 0 donde Ft es el flujo provisto en el período t y W indica la cantidad desper-diciada. Aquí no es relevante el concepto de existencia y almacenamien-to. Qt representa las cantidades aprovechadas en cada momento t.

Retornando a las condiciones reales, reconocemos las dimensiones de ca-lidad y espacio/lugar. La contaminación del aire puede reducir la calidad de la incidencia de radiación solar para algunos usos, y la cantidad recibi-da puede variar con la localización.

d. Recurso fondo

Si el recurso de flujo se puede almacenar, el recurso se convierte en un recurso fondo, ya que se pueden hacer depósitos y utilizaciones, y estas cantidades se pueden manipular, siempre y cuando la extracción no ex-ceda los depósitos.

La posibilidad de almacenamiento cambia un recurso flujo en un recurso fondo, en el cual depósitos y extracciones se pueden hacer y manipular, con sujeción a la regla expresada en la siguiente ecuación:

Que dice que el uso en cada período no puede exceder la cantidad neta

acumulada en los períodos previos más el flujo de ese período.

Un buen ejemplo de un recurso fondo es el agua en un sistema típico de represa que incluye depósitos subterráneos naturales de agua y acuíferos y depósitos controlados. De forma similar a los casos ya citados, es po-sible identificar las dimensiones de cantidad, calidad, tiempo y espacio/lugar al describir tales recursos. La cantidad almacenada de un fondo se mide en masa, volumen o energía por unidad de tiempo. La calidad se relaciona con el uso; las dimensiones de tiempo y espacio limitan los usos posibles. El almacenamiento puede disminuir las limitaciones de tiempo, y la transmisión disminuir las limitaciones de espacio, sin embargo, con cierto costo.

Esta categorización de los recursos como no renovables, flujo o fondo es imperfecta. Hay traslapes y algunos recursos no quedan bien en ninguna categoría. Los combustibles fósiles son usualmente clasificados como no renovables, con justa razón; aunque ellos representan almacenamientos



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de energía solar. ¿Por qué no son entonces llamados recursos fondo? La respuesta es que el depósito ocurre a lo largo del tiempo geológico, mien-tras que la tasa de extracción es limitada sólo por el capital, la tecnología y restricciones humanas. El concepto humano del tiempo es el que hace a los combustibles fósiles no renovables, para todos los propósitos rele-vantes de política.

2. Recursos renovables

Los recursos renovables representan una categoría compleja. Utilizan el flujo de energía solar, el flujo (o fondo) de recursos hidrológicos y el fon-do de nutrientes del suelo. Se pueden establecer equilibrios frágiles inde-pendientemente de la intervención humana y se pueden manipular para establecer y mantener diferentes equilibrios. Dados el flujo de energía solar, la capacidad biológica de reproducción y las limitaciones humanas, los recursos biológicos son renovables. No auto-renovables, sino renova-bles, dados las limitaciones del hombre y el uso adecuado de ellos. Son, por tanto, caracterizados como renovables pero agotables.

En un momento del tiempo dado, la existencia de un recurso renovable o biológico, su biomasa, está determinada por:

donde H indica, en este contexto, el regeneramiento (crecimiento natural)

neto (el exceso de las sumas de la reproducción y crecimiento sobre las pérdidas de mortalidad y pérdidas que ocurren independientemente de la extracción, Q). En malas épocas, H podría ser negativa, y en otras, ex-ceder a R, por un aumento neto de la biomasa o reclutamiento.

Generalmente, la tasa de crecimiento natural, H, está determinada por

Ht = h(St, Nt , Xt ) donde N y X definen el soporte provisto por el ambiente, siendo N los in-sumos provistos por la naturaleza y X los insumos bajo control del hom-bre. Suponiendo que X y N están dados y constantes a través de períodos de tiempo, podemos considerar la interrelación entre Ht y St. En un eco-sistema estable no intervenido, la biomasa de una especie tiende hacia K, la capacidad de carga (gráfico 1.1). Si por alguna razón la biomasa cayera por debajo de la masa crítica S0, ésta continuaría la caída hasta cero; es decir, So es el umbral de extinción. El regeneramiento neto es negativo para una biomasa menor a S0. En K la biomasa máxima sostenible ha sido alcanzada y el regeneramiento neto se estabiliza en cero. Esto es lo que Tomas Maltus tenía en mente cuando escribió que la tendencia natural


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de las poblaciones aumentaba hasta los límites que el sistema soportaba, hasta que cada miembro superviviente obtuviera apenas un nivel de sub-sistencia. El regeneramiento es maximizado cuando el nivel de biomasa tiene la máxima pendiente, en el punto S*. Esto tiene implicaciones im-portantes para el manejo de sistemas biológicos.

Gráfico 1.1. Función de comportamiento de la población de una especie en el tiempo.

Después que se alcanza el nivel de biomasa S*, éste puede mantenerse a un nivel de cosecha R* tal que iguale su tasa de crecimiento en cada período de allí en adelante. Como veremos, R* es entonces la producción máxima sostenible o rendimiento máximo sostenible, RMS. Si el sistema biológico incluye consideraciones económicas, como un activo de capital, la consideración de los costos de estrategias alternativas puede conducir a la elección de un nivel de biomasa óptimo económicamente, y la tasa de extracción desviarse de S* y R*. Contrario a lo que se pensó durante algún tiempo, el rendimiento máximo sostenible puede no ser una estrategia óptima de manejo.

La complejidad de los recursos biológicos, evidente en la discusión de la dimensión tiempo, se extiende a las dimensiones de calidad, cantidad y lugar/espacio. La biomasa es un indicador bien definido de cantidad, pero no necesariamente captura la importancia económica de la dimen-sión calidad. Para los variados usos que la gente da a los recursos bioló-gicos, otras medidas de cantidad pueden ser relevantes: masa, volumen, tamaño de población. La calidad se define en términos de la intención de uso; la noción de lo que constituye elevada calidad puede ser conflictiva, dadas diferentes valoraciones de los usos alternativos. Por ejemplo, un



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monocultivo de una variedad artificialmente obtenida de alguna especie puede ser considerada de excelente calidad para usos que subrayen la producción de alimentos para el consumo humano, pero como de baja calidad si el acento fuera la continuidad ecológica y la estética natural.

C. Economía de recursos naturales

La humanidad deriva beneficios de la utilización de los recursos natu-rales (solares, atmosféricos, geológicos, hidrológicos y biológicos), utili-zándolos como insumos para el proceso de producción, consumiéndolos directamente y obteniendo satisfacción de las comodidades que propor-cionan. Esos usos pueden ser la extracción de recursos no renovables, la cosecha de recursos biológicos renovables, la intercepción de recursos de flujo y el retiro de fondos. Éstos son los usos de consumo. Algunos usos no se relacionan con el consumo. Por ejemplo, usar las plantas para reponer oxígeno y usar los recursos para obtener satisfacciones estéticas o ciertas formas de recreación.

Un reto desde el punto de vista económico es entonces administrar con eficacia los recursos, a fin de maximizar la satisfacción que se deriva de ellos.

Para buscar esas formas de usar los recursos de manera que les generen bienestar a las actuales y a las futuras generaciones, es necesario encon-trar y desarrollar modelos que tengan en cuenta las características pro-pias de los recursos naturales. Uno de los principales aspectos o atributos que se han de considerar en un recurso natural es el hecho de que ellos tienen una disponibilidad inicial, v. g. ellos existen como cantidades, y es poco lo que el ser humano puede hacer para cambiar esta existencia. Claramente, cada recurso existe como una cantidad dada en un momen-to particular del tiempo. Ahora, un recurso tiene una de dos principales características:

• La cantidad máxima de recurso que puede ser utilizada está total-mente fija, habiendo sido predeterminada antes que el hombre ini-ciara la actividad económica, o

• A medida que la cantidad disponible cambia, lo hace a una tasa bio-lógica o bioquímica natural. Esta tasa puede no ser constante en el tiempo, pero factores biológicos o bioquímicos pueden determinar la máxima tasa de cambio (con respecto a aumentos en la cantidad), los cuales están por fuera del control del hombre.

La primera característica es compartida por los recursos tales como área en tierra, minerales de metales, combustibles fósiles, bienes escénicos y


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otros recursos de naturaleza geofísica. La segunda característica es ejem-plificada por bosques, bancos de peces, fauna y flora natural, aire y agua frescos y otros recursos de naturaleza biológica. A causa de sus caracterís-ticas de existencia, la esencia del manejo de los recursos naturales como un brazo de la economía aplicada es el problema central de asignación intertemporal, i. e., decidir qué cantidad existente de un recurso debe ser destinada a uso o consumo hoy y cuánta debe ser dejada in situ para el futuro. Aunque se pueden introducir muchas otras consideraciones, éste es el punto focal del problema, así como las técnicas analíticas para mane-jarlo, que provean la base para la “economía de recursos naturales” como un área especial de estudio. Podemos entonces definir esta área como el estudio de las elecciones de la sociedad en la asignación intertemporal de los recursos (o servicios de recursos) derivados de las cantidades fijas o cambiantes a tasas naturales. Esta definición ilustra las tres características básicas del problema que sirven para distinguirlo del estudio de otros problemas económicos:

• Los problemas son vistos en el ámbito de la sociedad, en oposición a la opción individual, y por tanto la atención se enfoca ampliamente en la elección social más que en la elección privada.

• La consideración temporal es de importancia central para la estruc-tura analítica empleada; difícilmente existe teoría estática de la eco-nomía de recursos naturales (aunque los aspectos estáticos entran en la forma de la asignación de recursos entre usos competitivos en cualquier punto en el tiempo).

• Las restricciones sobre la elección social son impuestas por los facto-res que están, en últimas, por fuera del control del hombre, para las cantidades máximas de recursos fijos o para los cambios en las tasas que no sean de naturaleza humana.

De todo esto, es evidente que las elecciones sociales se convierten fun-damentalmente en elecciones acerca de la tasa a la cual las existencias de recursos se agotan o se utilizan, v. g. son elecciones de consumo. Alternativamente, ya que elegir cuánto de una cantidad dada se debe usar es lo mismo que decidir cuánto se deja sin tocar, podemos igual-mente ver la situación como una de determinar la política óptima de conservación. Esto pone de relieve que la conservación es una utilización controlada, un concepto dinámico, distinto del concepto de preservación, el cual es estático.

Debe notarse que esta definición aún deja los recursos naturales como una descripción extendida de todo lo que implica la categoría de recurso tierra en la clasificación tripartita de los factores productivos en tierra,



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capital y trabajo, pero ampliada para darnos un tratamiento económico más detallado. El trabajo es distinto porque, aunque es en algún sentido un recurso sujeto a tasas de cambio biológicas, su oferta de servicios es un flujo más que una cantidad disponible, y no es un recurso sobre el cual la sociedad en conjunto pueda tomar decisiones para su asignación intertemporal. El capital es diferente porque, aunque es un recurso de cantidad que involucra problemas de asignación temporal, el tamaño de dicha cantidad puede ser modificado a través del tiempo por procesos industriales y a tasas que la sociedad misma puede elegir libremente.

Los recursos naturales requieren entonces un tratamiento diferente, que exige considerar las tasas —si las hubiese— a las cuales la naturaleza las provee, las existencias disponibles y dadas por las condiciones natura-les y las capacidades tecnológicas de la humanidad, y las implicaciones intertemporales que generan su utilización: cualquier decisión presente sobre su uso necesariamente afecta —de una manera u otra— su dispo-nibilidad en el futuro. De eso trata, en términos generales, la economía de recursos naturales: de encontrar herramientas para la asignación in-tertemporal eficiente de recursos sobre los cuales no tenemos capacidad de decisión con respecto a su creación. Veremos diferentes modelos para diversos casos de recursos naturales —renovables y no renovables— y cómo las herramientas computacionales pueden usarse para resolver los complejos problemas dinámicos que genera la necesidad de encontrar reglas para su asignación.

Antes de entrar en el tema específico de los modelos de recursos natura-les, en la siguiente sección revisaremos las diferentes técnicas tradicional-mente utilizadas para solucionar problemas de optimización dinámica, sus ventajas y desventajas y sus similitudes, lo cual servirá para entender los métodos de optimización aplicados a los recursos naturales.

D. Análisis dinámico para solucionar problemas de recursos naturales

La solución de problemas dinámicos tiene sus bases en la extensión de los métodos de solución de problemas con restricciones, es decir, de los métodos basados en los multiplicadores de Lagrange. Existe actualmente una amplia literatura en el tema, que puede ser consultada para observar los detalles de estos procedimientos; desde Chiang (1992), hasta Conrad y Clark (1987), que hacen una derivación muy lógica de los métodos. En general, la solución de los problemas dinámicos utiliza alguno de tres enfoques posibles: cálculo de variaciones, teoría de control óptimo y programación dinámica. Como veremos, dadas ciertas condiciones, es-tos tres métodos convergen al mismo conjunto de condiciones. Antes de


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revisarlos, veamos las bases del método de multiplicadores de Lagrange para entender la lógica detrás de estos métodos.

1. El método de Lagrange para la solución de problemas res-tringidos

En economía de recursos, como en otros campos de la economía, es usual encontrar problemas de optimización restringida, que en su forma más general son de la forma:

max V(x1 , x2 ,…,xn) sujeto a (x1 , x2 ,…,xn) ∈ A

Donde V(.) es una función objetivo con n variables de decisión que deben estar en algún conjunto de restricciones A. En el caso de problemas de optimización estática, las variables de decisión xi son números reales, y el conjunto de restricciones A es un subconjunto de n. En problemas de optimización dinámica, algunas (o todas) las variables de decisión son funciones del tiempo (normalmente separadas en variables estado y va-riables control). La condición de restricción típicamente involucra el sis-tema dinámico, expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales o de diferencias. La función V(.) es un valor real, que normalmente involu-cra integración (o sumatoria) en el tiempo.

Cuando se quiere resolver problemas con restricciones, el método de los multiplicadores de Lagrange ofrece una herramienta eficiente y de apli-cación directa. Para repasar este método considérese el problema

Max V(x,y,z) s.a. G(x,y,z) = c

Donde hay sólo tres variables de decisión (x, y, z). La ecuación G(.) = c, donde c es una constante definida, determina un conjunto de restriccio-nes en el espacio x, y, z. El problema es entonces determinar el valor de estas variables que permita hallar el máximo valor de la función V(x, y, z) en el espacio determinado por la restricción.

En el método de multiplicadores de Lagrange definimos una función

L = V(x, y, z) – λ(G(x, y, z) – c)

donde L se llama el lagrangiano y λ el multiplicador de Lagrange. En términos más generales, consideremos el caso

Máx V(x1 , x2 .......xn) s.a. Gj (x1 , x2

.......xn) = Cj , j = 1, 2,…, m.

El lagrangiano será:



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Es decir, nótese que surge un multiplicador por cada restricción m.

Las condiciones de primer orden necesarias para resolver el problema de maximización serán:

que explícitamente son:

Sin embargo, ahora surge un nuevo paquete de condiciones de primer orden, el relacionado con las variables auxiliares que hemos incluido, λj:

Lo que constituye un sistema de m + n ecuaciones con m + n incógnitas, n para x y m para λ. El sistema debería tener un número finito de solucio-nes, una de las cuales será la solución al problema de optimización.

Aunque los multiplicadores no forman parte del problema original de optimización, tienen una interpretación económica importante. Para en-tenderla, nótese que la solución al problema general propuesto depende de los valores de los parámetros ci; en realidad, es posible establecer esta dependencia como:

Ahora, si los valores óptimos para las variables de decisión dependen de los parámetros, también lo hace el valor de la función objetivo:

Si la función de valor optimizado depende de los parámetros, un cambio en ellos afectará este máximo valor. El multiplicador es igual al cambio incremental en el valor de V(.) ante un aumento en el parámetro de la restricción cn; λn representa el valor marginal de liberar la restricción k-ésima. Si cn representa la oferta disponible de algún insumo o recurso, entonces λn representa el precio (o valor) del insumo en términos de V; por esto se llama el “precio sombra” del insumo o recurso cn.


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2. Extensión del método de multiplicadores de Lagrange al pro-blema de asignación dinámica

El método de Lagrange puede ser usado para resolver problemas de asig-nación intertemporal, y la formulación en tiempo discreto tiene una in-troducción conveniente a la teoría del control y el principio del máximo de tiempo continuo.

Sea t = 0, 1,…, T los períodos relevantes para el problema, donde t = 0 es el presente o momento actual y T es el último.

Sea St una variable de estado, que describe el sistema en cada período t.

Sea Xt una variable de control o instrumental en cada período t, que invo-lucra las decisiones que podemos tomar en cada período.

V = V(St , Xt , t) refleja el retorno neto económico en cada período t.

V (ST + 1) es la función de valor final, que indica valores alternativos de la variable estado en el período T + 1.

St + 1 – St = F(St , Xt) es una ecuación en diferencias que define el cambio en la variable de estado del período t a t + 1, t = 0..., T – 1. También se conoce como ecuación de evolución del estado.

Nótese que el tiempo se ha dividido en un número finito de períodos dis-cretos (T + 1), aunque es posible plantear el problema para un horizonte infinito con T → ∞. Por ahora trabajamos con una variable de estado y una de control. La función objetivo puede tener el período t como varia-ble, mientras que la ecuación de evolución usualmente no la incluye; por tanto, decimos que la ecuación de evolución es autónoma.

Usualmente, el objetivo es maximizar la suma de los valores o recom-pensas obtenidos en cada período más el valor neto asociado al estado terminal ST+1. Esto debe hacerse sujeto a la ecuación de diferencias que describe el cambio de la variable estado en el horizonte del tiempo, su-poniendo que se conozca la cantidad inicial S0 = a; es decir, dada la con-dición inicial.

El problema es entonces determinar los valores óptimos para Xt con t = 0, 1..., T, lo cual implica, vía la ecuación de diferencias, valores para St con t = 1,…, T.



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Usando el método de Lagrange con la ecuación de diferencias para cada período como una restricción, el lagrangiano se puede escribir como:

donde λt+1 es un multiplicador asociado con St+1. Nótese que hay T res-tricciones (t = 0,..., T – 1), una para cada período, entonces, la forma de incluirlas es en la sumatoria.

Con restricciones de no negatividad, las condiciones de primer orden son:

La mayoría de estas derivadas son directas, excepto la que hace la dife-renciación con respecto al estado del recurso, st, donde se debe conside-rar que la variable aparece en el t-ésimo término de la sumatoria, lo cual es claro en los dos primeros términos de la expresión. Sin embargo, en la sumatoria aparece una vez más: si uno da un paso atrás al período t – 1 se encuentra un –st multiplicado por λt; de allí surge – λt, el tercer término de la derivada.

Reescribiendo las condiciones:


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La primera condición muestra la condición marginal que debe satisfacer xt, la cual implica que el beneficio marginal de la extracción debe lle-varse a cero; el primer término de la expresión muestra la connotación tradicional de que el beneficio marginal de la extracción debe ser igual a cero, es decir, que el ingreso marginal debe igualar el costo marginal de la extracción. Sin embargo, aparece ahora un término nuevo en el contexto dinámico. La expresión refleja la influencia de la decisión de ex-tracción en el período t, xt , sobre el desempeño futuro de la variable de estado y su crecimiento. Si un aumento en xt reduce la cantidad de recur-so disponible en el próximo período, st+1, este término reflejará el costo intertemporal de esta decisión, es decir, de realizar la extracción hoy y afectar la disponibilidad futura de la cantidad, valorada al precio sombra de dicha cantidad, λt+1. A este componente, que refleja el costo en el tiem-po de las decisiones actuales, se le conoce como el costo del usuario. Así, existe un segundo costo que debe ser considerado cuando se toma una decisión hoy, es decir, las pérdidas marginales en que se puede incurrir en el futuro restante. En resumen, la condición de equimarginalidad exige que el agente que toma la decisión iguale los beneficios marginales de la extracción no sólo a los costos marginales de la extracción, sino que ahora también debe incluir los costos intertemporales de esa decisión.

La segunda condición es una ecuación en diferencias que debe mantener-se en el tiempo y relaciona el cambio en el multiplicador de Lagrange en términos de st. Esta expresión es una interpretación intuitiva en el contex-to de uso de un recurso renovable y define cómo el multiplicador debe cambiar óptimamente en el tiempo como resultado de las decisiones so-bre la cantidad disponible en el presente y en el futuro.

La tercera condición muestra que el precio sombra del recurso en el últi-mo período debe ser igual al beneficio marginal que genera cada unidad de él preservada hasta ese momento. Si el problema no tiene una función de valor terminal, la regla nos dice que el precio sombra del recurso debe llevarse a cero en el último período del análisis.

La última expresión es una representación de la ecuación en diferencias de la cantidad disponible del recurso, es decir, recupera la restricción planteada inicialmente.

Colectivamente, este conjunto de ecuaciones forma un sistema de 3T + 1 ecuaciones con 3T + 1 incógnitas: st de 0 a T, xt de 0 a T y λt de 1 a T. El sistema puede ser resuelto simultáneamente, aunque en la mayoría de los casos será necesario algún algoritmo. También se puede extender a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, si se requieren condiciones de no negatividad.



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Una forma de clasificar los problemas dinámicos es de acuerdo a las con-diciones finales, es decir considerando el tiempo terminal y el estado ter-minal. El ejercicio que acabamos de mostrar tiene un tiempo terminal fijo (T) pero estado terminal libre, y es el más usual. En un problema de tiempo terminal libre el agente que toma la decisión debe determinar —además— el horizonte óptimo T. En un problema de horizonte infinito, T →∞ Surge la pregunta de si las variables solución pueden converger a un conjunto de valores y luego permanecer constantes. Tal solución se conoce como un “estado estacionario”. Si es un problema de horizonte infinito, se alcanza el estado estacionario en el período τ si

xt = x* st = s* λt = λ* ∀t > τ

El estado estacionario se puede alcanzar aún en problemas finitos.

En un problema de horizonte infinito, no existe función de valor final, por lo que el problema se reduce a:

Y el lagrangiano será:

Las condiciones de primer orden serán:

st+1 – st = F(.)

En estado estacionario, como los valores de x, s y λ no varían en el tiempo, las condiciones se pueden reescribir como:

F(.) = 0


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Que es un sistema que usualmente se puede resolver.

Si existe el estado estacionario, si es único y se puede hallar, entonces la pregunta es: si actualmente no estamos en un óptimo de estado estacio-nario, ¿cuál es la mejor forma de llegar allí?

Se pueden observar dos tipos de sendas de acercamiento de s0 → s*, supo-niendo que sea alcanzable:

• Aproximación asintótica, donde st → s* a medida que T → ∞.

• Senda de aproximación más rápida, en cuyo caso st se dirige a s* tan rápido como sea posible, usualmente alcanzando s* en tiempo finito. Dirigir st hacia s* tan rápido como sea posible, a menudo involucra unas condiciones para la variable de control conocidas como bang-bang, donde xt adquiere su máximo valor posible durante un perío-do y luego cae a su mínimo posible, usualmente cero, una vez al-canzado el estado estacionario. Esta solución es típica de problemas en los que la variable de control entra en forma lineal en la función objetivo.

Como se puede observar, el método de multiplicadores de Lagrange es útil para resolver problemas dinámicos. Sin embargo, existen enfoques que apuntan a hacer más directo o intuitivo el problema dinámico y su solución. Además, el método del lagrangiano funciona bien cuando el tiempo se toma como variable discreta, pero su utilidad se reduce cuando el problema es de tiempo continuo. En el campo de las matemáticas se han desarrollado tres métodos o herramientas para resolver los proble-mas de optimización dinámica:

– Cálculo de variaciones

– Teoría del control óptimo

– Programación dinámica.

A continuación veremos cada uno de ellos, y pondremos de resalto su utilidad para el caso de problemas asociados al manejo de recursos na-turales.

3. Cálculo de variaciones

Desarrollado desde el siglo XVII, es el enfoque clásico al problema de op-timización dinámica. Está basado en problemas que consideran al tiempo variable continua. Estos problemas se pueden representar por la formu-lación general:



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Este problema se conoce como el problema fundamental del cálculo de variaciones. Consiste en integrar una función que depende de una variable de estado, y(t), y de su derivada con respecto al tiempo, y’(t); además, puede depender de t directamente. La función objetivo está su-jeta a los valores de partida, y(0), y de finalización, y(T). A la integral se le llama integral funcional. Debe ser integrable y que todas las funcio-nes sean continuas y diferenciables. Este supuesto es necesario, ya que la metodología básica del cálculo de variaciones es paralela al cálculo diferencial clásico.

El objeto del cálculo de variaciones es encontrar —de un conjunto de po-sibles sendas o trayectorias de y— aquella que produzca un valor óptimo de la función V. Una senda para y(t) suavizada que genera un máximo o mínimo de V(y) se llama un extremal.

Las condiciones de primer orden necesarias en el cálculo de variaciones se resumen en la ecuación de Euler, formulada en 1744. Dado y*(t) como extremal, se busca una propiedad del extremal que no tengan otras sendas vecinas. Para generar las sendas vecinas se usa una curva perturbadora que pase por los extremos, es decir p(0) = p(T) = 0 (véase gráfico 1.2).

Gráfico 1.2. Curva de perturbación p(t) para aproximar la solución al problema del cálculo de variaciones.

Esta curva se llama p(t), y la distorsión consiste en agregar εp(t) a y*(t), donde ε es un pequeño número y perturba a y, desplazándola a sendas vecinas.

Las sendas serán: y(t) = y*(t) +εp(t)

Lo que implica: y´(t) = y*´(t) +εp´(t)

El valor de ε determina una senda vecina y un valor particular de V(y); entonces V se puede escribir como una función de ε – V (ε). Si suponemos


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que y*(t) genera un óptimo en V y allí ε = 0, entonces se debe cumplir que:

Que es una condición necesaria para la optimalidad de la senda y define un extremal. La teoría para resolver este tipo de problemas se basa en la solución de derivadas integrales definidas, la cual se apoya en la regla de Leibniz, la cual dice que:

Sea una integral

donde se supone que Fx (t,x) existe en [a,b] y es continua. Si cambia x:

Regla de Leibniz

La cual gráficamente se puede observar en el gráfico 1.3, y dice que la derivada de una integral definida con respecto a una variable x, que no sea la variable de integración t ni un límite (a ó b), se puede obtener sim-plemente de diferenciar al integrando con respecto a x.

Gráfico 1.3. Representación gráfica de la regla de Leibniz para un cambio en una variable de la función.

El cambio en x genera una variación en f (t, x) que corresponde al área en-tre las dos curvas. Con la regla de Leibniz también puede variar el límite de la integración. Definiendo la integral por:



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La derivada de una integral definida con respecto a su límite superior es el integrando evaluado en t = b, y la derivada con respecto a su límite inferior es el negativo del integrando en t = a. Si b aumenta se refleja en un desplazamiento a la derecha del límite y el efecto es el valor de la función en el límite f (b, x). Si a aumenta se disminuye (véase gráfico 1.4).

Gráfico 1.4. Representación gráfica de la regla de Leibniz cuando varía uno de los límites del integrando.

Con base en esta regla, es posible desarrollar la ecuación de Euler, que incluye los siguientes pasos:

- Paso1. Escribimos la función objetivo como:

para hallar usamos la regla de Leibniz:


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que se puede dividir en dos integrales dado que

ahora que ya ha sido eliminada de la expresión ε, debemos eliminar p(t) y p

.(t).

- Paso 2. La segunda integral se integra por partes; recordemos que:

Entonces, si

La expresión queda como:

como p(T) = 0 y p(0) = 0, entonces:

Y por tanto

- Paso 3. Como la senda p(t) es arbitraria y no nula, necesitamos que se cumpla como condición necesaria:

Ecuación de Euler

que se puede escribir como:

Nótese que la ecuación de Euler está libre de expresiones arbitrarias.



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- Paso4. Finalmente, se expande en forma explícita. Como la fun-ción depende de tres argumentos, entonces la derivada de Fy , tam-bién debe ser función de los mismos tres argumentos:

Que es una ecuación diferencial de segundo orden con dos constantes arbitrarias, pero dado que conocemos dos condiciones límite, se puede resolver. Esta es la ecuación de Euler, propuesta para la solución del sis-tema integral dinámico.

Ejemplo. Sea el problema:

Entonces, siguiendo los pasos definidos:

1. Identificar

2. Hallar Fy = 12t

3. Hallar

4. Hallar

5. Hallar Fyy’ = 0

6. Hallar Fyy’ = 2

7. Aplicar:

integrando: y’(t) = 3t2 + c1 integrando de nuevo y(t) = 6t3 + c1t + c2

Finalmente obtenemos la solución general.

Aplicando condiciones iniciales y(0) = 0 y y(2) = 8, tenemos:

Por tanto llegamos a y(t) = 6t3, que es la solución particular


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a. Algunos casos especiales

No siempre F(y,y’, t) tiene los tres argumentos. En tales casos se pueden derivar versiones especiales de la ecuación de Euler, que pueden algunas veces ser más fácil de resolver:

Caso especial I: F(y’, t), es decir, no tiene la variable y, por tanto Fy = 0, la ecuación de Euler se reduce a: con la solución Fy’ = constante

Ejemplo. Sea:

Observamos que: F = ty’ + y’2 y Fy’ = t + 2y’donde la última expresión es

constante, entonces obtenemos: y’ = –0.5t + c1. Si integramos llegamos a la siguiente expresión:

Caso especial II: F(y’, y), es decir, no tiene la variable t, por tanto Fty’ = 0, la ecuación de Euler queda así:

Si se multiplica por y’(t) se observa que el lado izquierdo de la ecuación es exactamente la derivada de:

lo que es equivalente a:

Y la ecuación de Euler puede escribirse así:

con solución y’ Fy’ – F = constante



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Este resultado, la ecuación de Euler simplificada, una vez integrada, es una ecuación diferencial de primer orden fácilmente manejable.

Caso especial III: F(y’), es decir, no tiene ni la variable y, ni la t. Si F de-pende sólo de y’ desaparecen muchas derivadas:

Fy’y’ = Fty’ = Fy = 0 y por tanto la ecuación de Euler queda Fy’y’ y’’(t) = 0

si y’’(t) = 0 y’(t) = c1 y(t) = 0 y(t) = c1t + c2

la cual indica que la solución general es una familia de líneas rectas de dos parámetros.

Ejemplo. Sea

Es una línea recta si Fy = 0, cuya solución es

F’y’ = constante

Como y’ es la pendiente de la recta, y*(t) debe ser una recta.

Caso especial IV: F = F(t, y), es decir, no existe y’, Fy’ = 0 entonces Euler será Fy (t,y) = 0. Además por la ausencia de y’, la ecuación de Euler no es diferencial. Es degenerado y no hay constantes arbitrarias, los extremos pueden no satisfacer las condiciones extremas.

El cálculo de variaciones tiene varias ventajas para su aplicación. Por ejemplo, si las funciones que se quieren resolver son integrables, la solu-ción es relativamente directa. Sin embargo, también tiene varias limitacio-nes. El sistema puede no ser manejable analíticamente. Pero no siempre se tienen funciones completamente diferenciables o integrables, lo que limita su aplicación; además, la relación entre la variable de estado con la de control sólo puede ser por medio de y’(t), lo cual es una limitante im-portante en casos prácticos. Por estas razones, su aplicación en el campo de los recursos naturales es limitada.


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4. Teoría del control óptimo

El cálculo de variaciones, como el cálculo ordinario, requiere la diferen-ciabilidad de las funciones que entran en el modelo. Además sólo permite obtener soluciones interiores. Con la teoría del control óptimo se pueden tratar condiciones no clásicas como soluciones de esquina. Si en el cálculo de variaciones el objetivo es encontrar la senda temporal óptima para una variable de estado, la teoría del control óptimo tiene como objetivo deter-minar la senda temporal óptima de la variable control o de decisión. Una vez obtenida la senda de control óptima u*(t) se puede hallar en el mismo proceso la senda de la variable de estado. Es decir, la teoría de control óp-timo da más énfasis al desempeño de las variables de decisión o control, lo cual es usual en problemas prácticos de toma de decisiones.

Una de las mejores fuentes para entender claramente la teoría del control óptimo es el libro de Chiang (1992) sobre optimización dinámica. Con base en este texto, se presenta a continuación una introducción al tema.

Una variable control se caracteriza por tener dos atributos:

• Está sujeta a nuestra elección discrecional.

• Esa decisión afecta el estado de la variable de estado, mediante la ecuación de evolución.

Es decir, es una variable que funciona como un mecanismo que permite maniobrar o dirigir la variable estado a varias posiciones mediante su manipulación.

Una característica muy importante del control óptimo es que una senda de control no tiene que ser continua en todo el espacio de análisis; sólo necesita ser continua a tramos. Esto implica que se permiten discontinui-dades, aunque no se permiten discontinuidades que involucren valores infinitos de u. La senda de estado debe ser continua a través del intervalo [0,T], pero no necesariamente suave; es decir, puede tener puntas o es-quinas. Esto implica que, matemáticamente, debe ser diferenciable por tramos.

Otra característica de importancia es que la teoría del control óptimo es capaz de manejar restricciones sobre la variable control directamente, ta-les como la restricción u(t) U ∀t [0,T] donde U denota algún con-junto limitante al control. Dadas las condiciones del conjunto de control —cerrado y convexo—, la solución puede incluir sus fronteras, es decir, se admiten soluciones de esquina, lo que genera grandes ventajas a la solución de un problema práctico.



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Finalmente, otra diferencia con el problema del cálculo de variaciones es que el problema más simple de control óptimo tiene estado terminal libre más que punto terminal fijo.

Una ventaja adicional de la teoría de control óptimo es que se puede de-sarrollar en modelos de tiempo continuo o de tiempo discreto.

a. El problema del control óptimo

Consideremos el problema en tiempo continuo de una variable estado y una variable de control. Ésta es un instrumento de política que permite afectar la variable de estado. Así, cualquier senda de decisión u(t) impli-cará una senda asociada S(t). Nuestra tarea es elegir la senda óptima u*(t), la cual, con la senda S*(t), optimizará el funcional objetivo en el intervalo [0,T].

Sea el problema

Para simplificar el análisis, vamos a suponer que tenemos un problema de maximización; si el problema es de minimización, la versión alterna-tiva es:

El funcional objetivo toma la forma de una integral definida, pero F no contiene a s’, sino que hay un nuevo argumento u. La presencia de la variable de control exige una relación entre u y s para decirnos cómo las decisiones sobre u afectan el desempeño de s. Esta información la provee la ecuación de evolución . En el momento inicial los primeros dos argumentos de F tienen un valor dado: t = 0, S(0) = A y se debe elegir el tercero.

Usaremos f minúscula para la ecuación de evolución del estado y F ma-yúscula para la función integrando en el funcional objetivo. Se supone que ambas funciones son continuas en todos sus argumentos y tienen derivadas de primer orden con respecto a t, pero no necesariamente con respecto a u.

Es resto del problema son las especificaciones con respecto al conjunto de control y los límites. El caso más simple de U es U = (–, ).

El desarrollo más significativo en la teoría del control óptimo es el Principio del Máximo desarrollado por Pontriagin. Este principio permi-


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te estudiar problemas en los cuales los valores admisibles de la variable de control u están confinados a un conjunto convexo, cerrado y limitado U; entonces, u U para 0 < t < T.

b. El principio del máximo

Es el más importante resultado en la teoría del control óptimo; es una con-dición necesaria de primer orden. El término fue acuñado por Pontriagin, Boltyanskie, Gamkrelidze y Mishehenko (1962). Involucra los conceptos de la función hamiltoniana y de la variable auxiliar o coestado.

En el problema de control óptimo se presentan tres tipos de variables: tiempo (t), estado (s) y control (u). En el proceso de solución surgirá otro tipo de variable; se llama la variable auxiliar o de coestado y se denota por λ. Su connotación es similar al multiplicador de Lagrange, y como tal mide el precio sombra de la variable estado asociada. Como puede variar en el tiempo, estrictamente la denotamos λ(t).

El vehículo mediante el cual la variable auxiliar entra en el problema de control es la función del hamiltoniano o simplemente el hamiltoniano, que aparece ahora en el proceso de solución. El hamiltoniano se define como:

Es decir, el hamiltoniano se define por la suma de la función integrando F y el producto de la variable auxiliar con la función f. Esta función de-pende de cuatro argumentos. Estrictamente hablando, el hamiltoniano debería ser escrito como

donde λ0 es una constante no cero (estrictamente positiva) que usualmen-te puede ser normalizada a 1.

Teniendo en cuenta el hamiltoniano y el precio sombra, junto con la nota-ción asumida para el problema descrito, las condiciones del principio del máximo para la solución del problema son:

Ecuación de evolución de la variable de estado, s.

Ecuación de evolución de la variable de coestado, λ.

λ(T) = 0 Condición de transversalidad.



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El símbolo significa que el hamiltoniano se maximiza con respecto a u como única posible elección. Una forma equivalente de expresar esta condición es:

donde u* es el control óptimo y u es otro valor de control cualquiera. De la maximización de esta variable de control, u, viene el principio del máximo.

Nótese que se podría decir en vez de que la condición sería

más la condición de segundo orden. Sin embargo, la propuesta original es mucho más amplia, ya que incluye casos en los cuales el hamiltoniano no sea derivable con respecto a u o donde existan soluciones de esquina. Si la función es derivable con respecto a u en el óptimo, entonces será suficiente expresarlo de la segunda forma.

La segunda condición no es más que la restricción de la evolución del estado, ya que la derivada del hamiltoniano con respecto a lambda no es más que f(t,s,u). Entonces, la condición será , en todos los momen-tos del período de análisis.

La tercera condición dice que el cambio en el tiempo del precio sombra del recurso, en el óptimo, estará dado por la negativa de la derivada par-cial del hamiltoniano con respecto a la variable estado.

En contraste con la ecuación de Euler, que es una ecuación diferencial de segundo orden en la variable estado, el principio del máximo involucra dos ecuaciones diferenciales de primer orden en la variable de estado s y en la variable auxiliar λ. Las dos constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales llamado el sistema hamiltoniano o sistema canónico.

La última condición se conoce como la condición terminal o condición de transversalidad, y dice que el precio sombra del recurso debe ser llevado, en el óptimo, a un valor nulo en el último período que el recurso sea apro-vechado, de manera que cualquier unidad de él dejada sin utilizar no re-presenta ningún valor adicional para el agente. Éste es el caso de tiempo terminal dado con estado terminal fijo. Sin embargo, pueden existir otras condiciones terminales.

c. Condiciones terminales alternativas

En general, las primeras tres condiciones del principio del máximo se deben mantener, independientemente de las condiciones de transversa-lidad del problema. Estas condiciones terminales sí pueden variar y ge-nerar variaciones en la última condición del problema. Las condiciones


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de transversalidad se refieren a las condiciones que surgen de los puntos finales, y pueden ser:

- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal libre; se llama problema de línea terminal vertical2.

- Tiempo terminal libre, estado terminal fijo ( ), se llama problema de línea terminal horizontal.

- Tiempo terminal y estado terminal que dependen de una restric-ción; se llama problema de curva terminal.

- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal fijo ( ); se conoce como problema de punto terminal fijo, como en el caso del cálculo de va-riaciones.

- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal mínimo (o máximo); se lla-ma problema de línea terminal vertical truncada.

- Tiempo terminal libre, estado terminal fijo, pero tiempo restringido (mínimo o máximo); se llama problema de línea terminal horizontal truncada

Los problemas de resolución de optimización dinámica se pueden resol-ver por diferentes enfoques. Veamos los más relevantes de estos casos. Los detalles de todos ellos se explican y detallan claramente en Chiang (1992):

i. Punto terminal fijo

Éste no es el problema más simple en teoría de control óptimo. Sin embar-go, sin entrar en detalles, podemos aceptar que el principio del máximo no pierde su validez en este contexto. Simplemente la condición de trans-versalidad se convierte ahora en la condición:

s(T) = sT (T, st , dados)

ii. Línea terminal horizontal

Si el problema tiene una línea terminal horizontal con tiempo terminal libre, st está fijo y las condiciones de transversalidad serán ahora:

[H]t=T = 0

2. Se llama línea terminal vertical porque se supone que se está analizando el desempeño del sistema en un gráfico donde el eje vertical corresponde a la existencia en cualquier momento dado, y el eje horizontal, a la variable tiempo.



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Es decir, la función del hamiltoniano debe alcanzar un valor de cero en el tiempo terminal óptimo. No hay restricción al valor de λ en el período T.

iii. Curva terminal

En caso de una curva terminal st=(T) que gobierna la selección del punto terminal, entonces la condición terminal ahora implica:

[H – λ'] t = T = 0

Otras condiciones transversales se pueden encontrar al detalle en Chiang (1992), que desarrolla cuidadosamente cada una de ellas.

d. Interpretación económica del Principio del Máximo

Cada condición de este principio tiene un significado económico intuiti-vo y posible.

Como ya se había expuesto, λ es un multiplicador de Lagrange y como tal debe tener la connotación de un precio sombra. Así λ*(0), el valor auxiliar inicial óptimamente determinado, es una medida de la sensibilidad de los beneficios totales óptimos V* a la cantidad inicial dada. Si tenemos una unidad (infinitesimal) adicional de recurso inicial, los beneficios V* aumentarían en λ*(0). Por tanto, la expresión puede ser tomada como el valor imputado o precio sombra de una unidad de existencia o de recurso inicial.

En la tercera condición del principio del máximo, aquella que muestra la senda óptima de la variable auxiliar, λ* (t), se observa que este precio som-bra decrece de acuerdo con el negativo de la tasa de cambio del hamilto-niano con respecto a la existencia óptima de recurso. Si deseamos preser-var una unidad adicional (extraer una unidad menos) de dicha existencia en un período, entonces tendríamos que sacrificar los beneficios totales en la cantidad λ*(t). De nuevo, el valor λ* en el período t mide el precio sombra de una unidad de cantidad de recurso en cada momento.

Revisemos ahora el concepto del hamiltoniano. Recordemos que éste se define por:

El primer componente es la función de beneficios en el período t, con base en la cantidad actual y la decisión de política tomada en ese período. Podemos pensar de ella como representado el beneficio presente corres-pondiente a la política u. En el segundo componente, la función f(t, s, u) indica la tasa de cambio (física) de la cantidad de recurso correspondien-


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te a la política u, pero como está multiplicada por el precio sombra λ(t), está convertida en un valor monetario. Por tanto, este componente del hamiltoniano representa la tasa de cambio del valor del recurso corres-pondiente a la política u. A diferencia del primer término, que relaciona el efecto de beneficio actual de u, el segundo término se puede ver como el efecto de beneficio (o costo) futuro de u. Estos dos efectos son en general competitivos en naturaleza: si una decisión de política particular u es fa-vorable al beneficio presente, entonces normalmente involucra un sacri-ficio del beneficio futuro: extraer una unidad del recurso hoy disminuye la disponibilidad de éste en el futuro. En resumen, entonces: el hamilto-niano representa las expectativas globales de beneficio de las diferentes decisiones de política, tomando en cuenta los efectos tanto inmediatos como futuros.

El principio del máximo requiere la maximización del hamiltoniano con respecto a u. Esto significa que el agente decisor debe intentar en cada momento del tiempo maximizar las expectativas de beneficios globales (presentes y futuros) con la elección adecuada de u. Específicamente, esto requiere equilibrar las expectativas de ganancias en el beneficio presente contra las perspectivas de pérdidas en el beneficio futuro. Para ver esto más claramente, examinemos la versión débil de la condición max H:

Esta condición muestra que la elección óptima u* debe equilibrar cual-quier aumento marginal en el beneficio presente hecho posible por la po-lítica con la disminución marginal en el beneficio futuro que induzca la política.

Además, el cambio en el precio sombra está dado por:

El lado izquierdo muestra la tasa de disminución del precio sombra en el tiempo, o la tasa de depreciación del precio sombra; la ecuación de



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evolución del precio sombra exige que esta tasa sea igual en magnitud a la suma de los dos términos del lado derecho. El primero de ellos, representa la contribución marginal de la existencia del recurso al bene-ficio presente, y el segundo representa la contribución marginal del recurso al aumento del valor de tal existencia. El principio del máximo exige que el precio sombra del recurso se deprecie a la tasa a la cual este recurso contribuye con los beneficios actuales y futuros de la empresa.

Finalmente, las condiciones de transversalidad también tienen su inter-pretación:

Con un estado terminal libre s(T) y con el período terminal fijo (T), la condición es:

λ(T) = 0

Esto significa que el precio sombra de la existencia de recurso debe ser llevado a cero en el período final. La razón para esto es que el valor del recurso para el agente decisor surge únicamente de su potencial para pro-ducir beneficios. Dado un horizonte de planeación rígido T, la implica-ción tácita es que sólo los beneficios obtenidos en el período 0, T impor-tarían y que cualquier cantidad de recurso que aún exista en el período T, siendo muy tarde para ser usado, no tendría valor económico para el agente. Por tanto, es apenas natural que el precio sombra del recurso en el período T debe ser igual a cero. Es decir, ante este escenario no esperaría-mos que el agente decisor se empeñara en la conservación del recurso.

Para un agente interesado en que los beneficios de la cantidad de recurso se mantengan más allá del horizonte de planeación 0, T sería razonable estipular algún nivel mínimo aceptable para la cantidad terminal, diga-mos Smin. En ese caso tendríamos una condición de transversalidad de línea terminal vertical truncada. La condición ahora es:

λ(T) ≥ 0 s*(T) – smin λ(T)=0

Si s*(T) excede el valor smin, la restricción puesta a la cantidad de recurso terminal no genera ahora límites. El resultado es el mismo que sin restric-ción y permanece la condición λ(T) = 0. Pero si el precio sombra terminal λ(T) es óptimamente mayor que cero (positivo) entonces la restricción smin es limitante, en el sentido de que está previniendo al agente agotar la cantidad al final del horizonte de análisis, lo que de otra forma haría. En ese caso, la cantidad de recurso dejado por el agente será exactamente el nivel mínimo requerido smin.

Por último, consideremos el caso de la línea terminal horizontal. En este caso la empresa tiene un nivel de stock terminal previamente definido,


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sT, pero está en libertad de elegir el tiempo para alcanzar el objetivo. La condición de transversalidad es:

[H]t = T = 0

Que significa que en el período terminal escogido (T), la suma de los be-neficios actuales y futuros correspondientes a ese momento debe ser cero. En otras palabras, el agente no debe alcanzar sT mientras la suma de benefi-cios inmediatos y futuros (el valor del hamiltoniano) aún sea positiva. Para maximizar beneficios, el agente debe (después de haber tomado ventaja de todas la posibles oportunidades de beneficio) alcanzar sT en el momento en que la suma de los beneficios inmediatos y futuros haya llegado a cero.

e. El hamiltoniano de valor corriente

En la mayoría de las aplicaciones económicas de la teoría del control óp-timo, la función integrando F a menudo contiene un factor de descuento: e–ρ.t, ya que económicamente se trata de un flujo de beneficios (moneta-rios) que no pueden ser agregados si no se han descontado a un único momento en el tiempo (usualmente t = 0). Tal función puede en general ser expresada como:

de forma que el problema es ahora:

y a las restricciones de frontera. En esas condiciones, el hamiltoniano toma la forma:

Pero ya que con el principio del máximo se debe diferenciar el hamilto-niano con respecto a u y que se construyen dos ecuaciones diferenciales, el factor de descuento adiciona complejidad a las derivadas, sería desea-ble definir un nuevo hamiltoniano libre del factor de descuento. Tal ha-miltoniano se llama hamiltoniano de valor corriente, en el cual el término “valor corriente” implica que se redefine esta expresión para capturar la naturaleza “no descontada” del nuevo hamiltoniano.

El concepto de hamiltoniano de valor corriente necesita el concepto com-pañero del multiplicador lagrangiano de valor corriente. Definamos en-tonces un nuevo multiplicador (de valor corriente) m:

.



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Entonces el hamiltoniano de valor corriente, Hc, puede escribirse como:

Hc es ahora libre del factor de descuento. Nótese que esta expresión im-plica:

f. El principio del máximo con hamiltoniano de valor corriente

Si trabajamos con Hc en vez de H, entonces se deben reexaminar todas las condiciones para ver si es necesario cualquier cambio.

La primera condición del principio del máximo es maximizar H con res-pecto a u en cada momento del tiempo. Cuando cambiamos al hamilto-niano de valor corriente Hc = Heρt, la condición no cambia, excepto por la sustitución de Hc por H. Esto se debe a que el término exponencial eρt es una constante para cualquier t y m dado. Entonces, el u particular que maximiza H también maximiza Hc , y por tanto la primera condición será:

La ecuación de evolución de la variable estado aparece originalmente como . Dado que

La ecuación ahora será:

Que es la nueva ecuación de evolución de s.

Para evaluar la ecuación de evolución de la variable auxiliar de-bemos primero transformar cada lado de esta ecuación en una expresión que involucre el nuevo multiplicador m y luego igualar los dos resulta-dos. Para obtener la expresión del lado izquierdo, partimos de

λ = me –ρt

Expresión que diferenciada con respecto al tiempo da:


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Usando la definición de H para la derivada del lado derecho, tenemos:

Usando los dos resultados y cancelando e–ρt, tenemos la tercera condición:

Que es la ecuación de evolución de m.

Nótese que esta condición incluye ahora un término nuevo ρm.

Por último, es necesario revisar las condiciones de transversalidad.

Para la línea terminal vertical (T fijo, st libre), la condición era λ(T) =0. Entonces ahora será

Para la línea horizontal (T libre, st fijo), la condición era [H]t=T = 0. Ahora será

Estas condiciones son manejables analíticamente sin pérdida de generalidad.

g. Teoría del control óptimo con tiempo discreto

Una ventaja importante de esta teoría es que sus condiciones son igual-mente válidas en problemas de tiempo discreto, en el cual existen dife-rencias en la notación que deben ser tenidas en cuenta:

- El operador de sumatoria reemplaza el operador de integración.

- Las variables de tiempo discreto usan t como subíndice, mientras que en tiempo continuo se denota el tiempo entre paréntesis.

Entonces, las diferencias y similitudes son:

st , s(t) son las variables de estado, en tiempo discreto y continuo, respec-tivamente.

ut , u(t)son las variables de control, en tiempo discreto y continuo, respec-tivamente.

λt , λ(t) son las variables auxiliares o adjuntas, en tiempo discreto y conti-nuo, respectivamente.



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Estas dos últimas ecuaciones constituyen la ecuación de estado o ecua-ción de evolución, en tiempo discreto y continuo, respectivamente.

En estas condiciones, el problema de tiempo discreto se escribe como:

Para resolver este problema, es posible plantear el hamiltoniano como:

Y por tanto el lagrangiano para resolver el problema sería:

Entonces, las condiciones de primer orden son ahora:

Que se pueden reescribir como:

Condiciones que tienen la misma implicación que en el modelo de tiem-po continuo. Igualmente, estas condiciones coinciden con las condiciones derivadas cuando se utiliza el método del lagrangiano, sólo que reescritas en términos del hamiltoniano, lo que demuestra el raciocinio que existe detrás del método de control óptimo.

De manera similar, el concepto de hamiltoniano de valor corriente se puede aplicar al problema de tiempo discreto con las mismas ventajas con que se trabaja en tiempo continuo.


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Por último, vale la pena tener en mente que en ciertas condiciones de las funciones de recompensa y de evolución, en el modelo del hamiltoniano en tiempo continuo es posible llegar a la ecuación de Euler, que surge del cálculo de variaciones. Veremos esta demostración más adelante.

Es decir, en ciertas condiciones, los dos métodos —además del método del lagrangiano— convergen a la misma solución.

Revisemos ahora la tercera herramienta para la solución de problemas dinámicos, que es la programación dinámica.

5. Programación dinámica

Es otro enfoque para resolver problemas de optimización dinámica, pro-puesta por Bellman (1957).

Tiene una característica importante y es que se centra la atención en el valor óptimo del funcional V* más que en la variable de estado s*, como ocurre en el cálculo de variaciones, y más que en la senda óptima del control u*, como en la teoría del control óptimo. Por tanto, su estrategia se basa en una función de valor óptimo.

Aunque volveremos con mayor detalle al método de la programación dinámica más adelante, en este capítulo veremos de forma intuitiva y sencilla cómo funciona. Esta descripción se basa en la excelente presenta-ción de Conrad y Clark (1987).

Empezamos planteando el problema como

Hay algunos cambios con respecto a la forma en que el problema se ha propuesto antes. Por una parte, se incluye la función de valor final en la sumatoria. Por otra parte, todos los términos asociados a st se han pasado al lado derecho de la ecuación en diferencias, lo que da ahora una función que llamamos g(.). No obstante, la variable de decisión, xt, debe pertenecer a un conjunto de valores posibles X, ∀t∈ 0,...T. Sin embargo, estos cam-bios son principalmente de conveniencia de notación más que de fondo.

Definamos Vn(s) como el valor total máximo cuando sólo quedan n perío-dos y la variable estado al principio de esos n períodos es s, así:



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sujeto a las mismas restricciones del problema original para cualquier período t >T–(n–1). Supongamos que n = 1, es decir, queda solamente un período de análisis, entonces:

En ese caso tendremos un problema de optimización estática restringi-do, ya que el problema sólo exige la solución para ese período restante. Supongamos que este problema tiene solución y que la hemos hallado, es decir, hemos encontrado

xT* = x(sT)

Entonces, ahora consideremos n = 2. La función de valor será:

Esta ecuación se puede explicar de manera directa: supongamos que se ha tomado alguna decisión en el período T–1. El primer término del lado derecho captura el retorno en ese período. En este caso, queda otro pe-ríodo de análisis, en el cual el estado del recurso será sT = g(sT–1,xT–1,T–1), dada la ecuación en diferencias del estado. Si las decisiones que se están tomando son óptimas, entonces esta decisión final también debe ser he-cha de manera óptima, y sabemos que el valor óptimo de la decisión en el período T es:

Que se puede incluir en la expresión, y de allí es posible escoger de ma-nera óptima el valor de xT-1. Ahora, si la decisión de la acción fue hecha de manera óptima en el período T, la función V1(s) está optimizada para cualquier valor posible de s y, por tanto, nos enfrentamos de nuevo a un problema de optimización estática. Una vez resuelto el problema para n = 2, podemos seguir con n = 3:

Que es un problema estático nuevamente y se puede resolver de manera directa. El procedimiento se puede repetir consecutivamente, hasta llegar a n = T + 1. Al llegar allí, el problema original ha sido resuelto. Ésta es la es-trategia adoptada en el método de programación dinámica propuesto por Bellman (1957), también conocido en algunos casos como el método de “in-ducción hacia atrás”. La expresión general para n “períodos faltantes” es:


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Expresión conocida como la “ecuación de Bellman”, la cual surge del “principio de optimalidad” (Bellman, 1957), el cual establece que “una política óptima tiene la propiedad que, cualesquiera que sean el estado inicial y la primera decisión, las decisiones restantes deben constituir una política óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión”.

El método también puede aplicarse a problemas de horizonte infinito. En ese caso, como no hay una condición terminal que permita iniciar el problema, lo que se hace es analizar si el sistema converge a un estado es-tacionario, en el cual la variable temporal no sea relevante, y por iteración de la función o por iteración de la decisión, se busca el valor que maximi-za la ecuación de Bellman. Más adelante veremos esta estrategia al deta-lle, junto con los algoritmos disponibles para resolver estos problemas.

Aunque el método es directo y se puede resolver con un número finito de cálculos, en la práctica puede llegar a ser muy complicado y largo de resolver, especialmente si los valores que puede tomar la variable de de-cisión son muchos y si los períodos de análisis son también un número grande. Adicionalmente, si se involucra más de una variable de estado o de acción, el problema crece en complejidad rápidamente. Es decir, el aumento lineal de variables aumenta exponencialmente la complejidad del problema. Este fenómeno fue bautizado por Bellman (1957) como la maldición de la dimensionalidad.

Como veremos, este método, aunque perfectamente intuitivo y maneja-ble, fue marginado a causa de la gran cantidad de cálculos requeridos. Sin embargo, con el desarrollo de las herramientas computacionales, la rapidez en la disminución de los costos de acceder a computadores y el rápido avance tecnológico, reflejado en velocidad y capacidad de proce-samiento, permitieron darle un nuevo impulso al método. Actualmente, es una herramienta de primera mano para resolver problemas dinámicos de optimización, y como veremos, una de las herramientas predilectas de la economía computacional.

Con este capítulo terminamos la sección de introducción a la economía de los recursos naturales y los métodos matemáticos para resolver pro-blemas dinámicos. En la siguiente sección analizaremos los diferentes modelos existentes para resolver problemas asociados a los recursos na-turales, y en la última, cómo las herramientas computacionales pueden usarse para hallar soluciones cerradas a estos problemas.

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IIMODELOS ECONÓMICOS PARA EL ANÁLISIS

DE RECURSOS NATURALES

Como se vio en el capítulo anterior, los recursos naturales se pue-den clasificar en renovables y no renovables. Esta clasificación exi-

ge y permite desarrollar diferentes modelos para analizar cada caso. Tradicionalmente, en la literatura de la economía de recursos se han de-sarrollado tres tipos de modelos: para los recursos renovables se tienen los llamados modelos de pesca y modelos de bosques, y para los no reno-vables, los modelos de minas. Aunque su motivación surge de los recur-sos de los cuales derivan sus nombres, estos modelos deben verse como propuestas de análisis más generales. Es decir, los modelos de pesca, por ejemplo, pueden usarse en otros recursos diferentes de los peces; lo mis-mo para los otros modelos.

En términos generales, los modelos de pesca se usan para recursos que tienen tasas de regeneración relativamente rápidas y usualmente están caracterizados como recursos de uso común (no excluibles pero rivales), en los que la asignación de derechos de propiedad es un reto institucio-nal. Entre tanto, los modelos de bosques se aplican a recursos con ta-sas de crecimiento más lentas y tradicionalmente en casos en los que la asignación de derechos de propiedad no sea un problema que se ha de resolver: usualmente éstos están bien definidos. Se incluye en la sección de bosques un numeral en el que se analiza un tipo de recursos foresta-les cada vez más importante en la agenda ambiental de los países: los bosques naturales, que generalmente adolecen de falta de asignación de derechos de propiedad y son vistos como bienes públicos (no exclusión y no rivalidad).

Finalmente, los modelos de recursos no renovables —caso de las minas— se orientan más a entender y encontrar las sendas óptimas de utilización en el tiempo y a comparar el efecto que diferentes estructuras de mercado causan en ellos.


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En este capítulo se desarrollan las bases de estos tres tipos de modelos y se pretende mostrar la intuición teórica detrás de cada uno de ellos, en ocasiones desde una visión de estado estacionario o de largo plazo. En el siguiente capítulo se profundiza el análisis dinámico de la optimización en el uso de estos recursos.

A. Economía de recursos naturales renovables: el caso de la pesca

A lo largo de las últimas décadas las pescas continental y marítima han mostrado su fragilidad cuando las decisiones de extracción no conside-ran las tasas de recuperación biológica de las poblaciones. En condicio-nes de sobre uso los niveles del recurso se reducen y hacen más escasa y costosa la extracción. Es decir, se genera una trampa del recurso de uso común en la cual, en el largo plazo, se alcanzan equilibrios no deseables caracterizados por bajas existencias del recurso, altos niveles de esfuerzo y escasa captura por unidad de esfuerzo. Esto es lo que se conoce como modelo de libre acceso, que se analiza en este capítulo.

El libre acceso y otros problemas asociados a las pesquerías son conse-cuencia directa de la combinación de dos características: no exclusión y rivalidad. Un bien es excluible cuando es posible, a costos razonables, escoger quién tiene acceso a él o al servicio y quién no. Un bien es rival cuando el consumo de parte de alguien precluye la opción de que al-guien más pueda disfrutar de su consumo. Cuando un bien es excluible y rival, se caracteriza como bien privado (una fruta, un pasaje de bus, un vehículo, una casa). Cuando un bien o servicio es no excluible y no rival, se caracteriza como bien público (la seguridad nacional, un semáforo, el aire, el alumbrado público, etc.).

Sin embargo, las fronteras que definen la exclusión y la rivalidad no son precisas y varían de lugar a lugar y en el tiempo. Por ejemplo, una carre-tera única en una región puede pasar de ser no excluible a excluible si se instala un peaje a su entrada. Igualmente, la señal de televisión por cable puede ser excluida con decodificadores o códigos especiales. La exclusión es determinada de manera especial por los costos. En la medida en que los costos de exclusión sean menores a los beneficios de hacerlo, el bien podrá convertirse en excluible. Ahora, una carretera con pocos vehículos no muestra rivalidad en su consumo, pero a medida que ingresan más y más vehículos se transforma en congestionable y la rivalidad aparece.

La pesca es un ejemplo típico de una categoría de bienes conocida como recurso de uso común, RUC (o common-pool resources, en inglés, un término acuñado por Ostrom, 1990). Los RUC se caracterizan por ser simultánea-

MODELOS ECONÓMICOS PARA EL ANÁLISIS DE RECURSOS NATURALES


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mente no excluibles (característica de un bien público) y rivales (caracterís-tica de un bien privado). Esta combinación es la que genera problemas de sobreexplotación, como se verá más adelante. La sobreexplotación condu-ce a bajos niveles de recurso y como consecuencia la producción merma.

En este capítulo se analizan las condiciones particulares de la pesca y se explica por qué se da el problema del libre acceso; también se revisan algunas soluciones utilizadas para resolver este problema y evitar la lla-mada tragedia de los bienes comunes.

Sin embargo, antes de analizar los modelos bioeconómicos es importante revisar el comportamiento biológico de las especies que se han de estu-diar. Sólo entendiendo la biología del recurso es posible encontrar solu-ciones para su manejo sostenible. Entender las características biológicas de las especies utilizadas es tan importante que este capítulo debe empe-zar con una descripción de las funciones de crecimiento de los recursos renovables y sus implicaciones para la extracción.

Luego se analiza cómo esta información puede ser usada para determi-nar funciones de producción de pesca y cómo, a partir de estas funciones de producción, se puede explicar el comportamiento de sobreexplotación de los recursos que se observa regularmente y que se conoce como el modelo de libre acceso.

Este modelo se puede analizar tanto del punto de vista estático como di-námico. También se puede usar este modelo para entender qué pasaría si los derechos de propiedad del recurso se pudieran asignar eficientemente tanto en un contexto de largo plazo (estático), como en uno dinámico. Finalmente se revisan algunos instrumentos de política típicos de las pes-querías y su adopción en diferentes países.

1. Bases biológicas y económicas

a. Funciones de crecimiento de población

Empecemos suponiendo un recurso renovable, por ejemplo una especie de pez que puede ser utilizado comercialmente. Sin embargo, supon-gamos en principio que no hay intervención humana sobre el recurso. Supongamos también que tenemos una zona definida, por ejemplo un lago, y una pequeña población del recurso, llamémosla S0. Como no exis-te ninguna intervención humana y la población es pequeña pero viable, la cantidad del recurso —medida en peso o volumen de biomasa o en número de individuos— empezará a crecer. Inicialmente existe abundan-cia de alimento y espacio, por lo que se espera que la población crezca a tasas crecientes, como se observa en la primera parte del gráfico 2.1. A


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medida que la cantidad aumenta, la disponibilidad de alimento se redu-ce; la población puede seguir aumentado, pero ahora a tasas decrecien-tes. Finalmente, cada nicho ecológico o ecosistema tiene una capacidad máxima de población que puede soportar, y la población se acercará a este nivel y se mantendrá en sus alrededores con el paso del tiempo. Este nivel de población se conoce como la “capacidad de carga”, se denota por la letra k y se supone que es el equilibrio dinámico de una población natural sin intervención humana. Se llama equilibrio dinámico porque, aunque el nivel de población sea más o menos el mismo, la población está cambiando y las muertes naturales están siendo compensadas por los nacimientos o el reclutamiento, o ambos. Se espera entonces que si la población aumenta por encima de este nivel, las muertes serán mayores a los aportes y la población decrece hasta este nivel k. Si la población es menor, ocurre lo contrario y la población crece hasta acercarse a la capa-cidad de carga.

Esta función en forma de S se conoce como la función de cantidad de población y es particular de cada especie en cada entorno ecológico par-ticular. Desde el campo de la biología se han desarrollado métodos para determinar esta curva; sin embargo, infortunadamente en los países en desarrollo es menos lo que se ha avanzado en este tema y no es numerosa la cantidad de especies que han sido caracterizadas con estas funciones. Como veremos, esta información es clave para desarrollar los modelo bioeconómicos, y de aquí la importancia de unir esfuerzos entre discipli-nas como la biología y la economía para profundizar el conocimiento de los recursos explotados comercialmente.

Conocer la función de la población en el tiempo es útil porque a partir de allí se puede tener una idea de la función de crecimiento, ya que ella es

; es decir, la pendiente de la función de cantidad muestra la tasa de crecimiento de ésta.

A partir del gráfico 2.1 se puede deducir que la función de crecimiento tendrá forma de campana: a bajos niveles de recurso la población aumen-ta a tasas crecientes, y a medida que la cantidad se acerca a la capacidad de carga, la población aumenta a tasas decrecientes.

Para graficar la función de crecimiento existen varias formas funcionales aceptadas. La más usada en modelos bioeconómicos es la función logísti-ca, que se representa por:

r > 0 tasa intrínseca de crecimiento

K > 0 capacidad de carga



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Donde St se refiere a la cantidad de recursos en un momento t, K se refiere a la capacidad de carga y r se conoce como la tasa intrínseca de creci-miento, que depende de cada población en particular. Esta forma funcio-nal fue presentada por Schaefer (1954) en un modelo que sería ampliado con el componente económico por Gordon (1954), para generar el modelo bioeconómico de pesca, conocido como el modelo Gordon-Schaefer.

Como se puede observar en el gráfico 2.2, la función logística genera una parábola simétrica hacia abajo con cortes en el origen y en k. Es decir, esta función simplifica la realidad, ya que supone que una muy pequeña cantidad de biomasa es suficiente para que la cantidad empiece a crecer; aumenta a tasas crecientes hasta que la población alcanza el nivel k/2 y luego aumenta a tasas decrecientes hasta alcanzar la capacidad de carga, donde la tasa de crecimiento neta es cero.

Otra forma funcional utilizada con cierta frecuencia es la exponencial:

Que depende también de la cantidad del recurso y de los mismos parámetros. Tiene los mismos puntos de corte (crecimiento cero) que la logística, pero su forma no es simétrica, sino que la máxima tasa de crecimiento se alcanza a niveles de recurso inferiores a la mitad de la capacidad de carga (gráfico 2.2).

Gráfico 2.1. Función de cantidad de población de una especie.


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Gráfico 2.2. Diversas formas de la función de crecimiento de un recurso.

Una tercera forma funcional es la función logarítmica:

Al igual que las dos anteriores, depende de la tasa intrínseca de creci-miento y de la capacidad de carga, y como en la exponencial, el punto de máximo crecimiento neto se encuentra a la izquierda de k/2.

Las anteriores formas funcionales tienen dos equilibrios de crecimien-to cero: cuando la cantidad es cero y cuando ésta es k. En el primer caso el equilibrio es inestable porque un pequeño aumento en la po-blación genera tasas de crecimiento positivo y dicha población se aleja de este equilibrio. El equilibrio de capacidad de carga es estable por-que niveles de recurso inferiores a él tienden a aumentar la población (por tasas de crecimiento positivas) mientras que poblaciones con can-tidad superior a k tendrán tasas de crecimiento negativas y por tanto se reducirán.

Estas formas funcionales son muy útiles porque requieren solamente dos parámetros que se pueden obtener con información, bien sea temporal o de corte transversal de varios lugares. Sin embargo, también tienen sus críticas, ya que se puede sobresimplificar la realidad.

En particular algunas críticas apuntan al hecho que las poblaciones natu-rales pueden requerir una cantidad de biomasa mínima antes de poder



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iniciar un proceso de crecimiento de la población. Para atender esta preci-sión, se utiliza otra forma funcional conocida como la forma cúbica

En esta forma funcional aparece un nuevo parámetro S0 > 0, conocido como la mínima población viable o población crítica. En el gráfico 2.2 se observa una representación de esta forma funcional. Allí es posible ver que si la población se encuentra por debajo de S0 las tasas de crecimiento son negativas y por tanto aquélla se reducirá hasta extinguirse. Es decir ahora S0 es un equilibrio inestable y S = 0 es un equilibrio estable.

Esta forma funcional captura mejor el comportamiento de algunas pobla-ciones, y su uso depende principalmente de la información disponible.

De nuevo, es importante poner de resalto la relevancia de tener esta in-formación para la especie o el recurso de interés. A partir de la función de crecimiento es posible analizar qué pasará con la población del recurso si se introduce ahora la intervención humana.

b. Funciones de producción de pesca

La pesca o extracción es una actividad productiva que busca obtener el recurso para satisfacer las necesidades humanas. Como cualquier activi-dad productiva, se puede expresar por medio de una función de produc-ción. Las funciones de producción muestran la relación entre factores y el producto total que puede ser obtenido. Los factores usualmente incluyen el capital y el trabajo. En pesca, sin embargo, aparece un nuevo factor de producción que es muy importante y es la cantidad de recurso disponible para extracción (St). Entonces, los factores de producción de la actividad pesquera se agrupan en dos categorías: por un lado, los factores provistos por el hombre —que incluye embarcaciones, redes, combustible, anzue-los, carnada, insumos y el trabajo de los pescadores—, que en conjunto se conoce como el esfuerzo pesquero (Et) y, por el otro, el recurso disponible naturalmente sobre el cual el hombre no tiene influencia directa, la can-tidad (St). Entonces la pesca o extracción Yt se puede expresar como una función del esfuerzo y de la cantidad:

Yt = H(St , Et )

En condiciones estándar se espera que H sea cóncava en S y en E; es decir:


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Y además se espera que esfuerzo y la cantidad sean insumos complemen-tarios:

Otra forma de definir la concavidad de la función de producción es me-diante el hessiano. La matriz hessiana

debe ser definida negativa1, lo que implica que:

En la práctica, estas condiciones implican que a mayor cantidad del re-curso o a mayor esfuerzo la extracción será mayor, pero esta extracción aumenta a una tasa decreciente. La derivada cruzada implica que a ma-yor cantidad del recurso cada unidad de esfuerzo será más productiva.

Existen diferentes formas funcionales para definir esta función de pro-ducción. Una de las más usadas en pesquería es:

Yt = qSt Et

Que no es más que una función Cobb–Douglas con parámetros iguales a 1 (α = β = 1). El parámetro q se conoce como el coeficiente de capturabilidad y refleja la eficiencia del esfuerzo sobre la extracción. Su definición surge del hecho de que esta forma funcional da por sentado que la extracción por unidad de esfuerzo (Yt / Et) es directamente proporcional a la canti-dad del recurso y es una cantidad fija q:

Aunque es una forma funcional apropiada, tiene un inconveniente prác-tico: si el esfuerzo aumenta indefinidamente (Et → ∞), la extracción tam-bién lo hace (Yt → ∞), lo que en la realidad no es plausible.

Para atender esta falla, algunas veces se prefiere otra forma funcional, que es la exponencial:

1. Semidefinida negativa si aceptamos cuasiconcavidad o concavidad no estricta.



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Aunque esta forma es un poco más complicada, tiene la ventaja de que aun si el esfuerzo aumentara indefinidamente (Et → ∞), la extracción máxima estaría limitada por la cantidad del recurso (Yt → St ), lo cual es más real.

Existen otras formas funcionales que se pueden utilizar, pero quizá estas dos sean las más usuales en el análisis pesquero.

La función de producción, aunque útil para el análisis de la actividad, tiene una versión que no requiere conocer la cantidad de recurso para entender la relación entre esfuerzo y extracción: la función producción es-fuerzo.

c. Función producción–esfuerzo

Esta función tiene, como se acaba de mencionar, la ventaja de no depen-der de la cantidad de recurso en su forma funcional. Sin embargo, implica un equilibrio de largo plazo en el cual la extracción se iguala con el creci-miento neto de la población.

En un contexto dinámico, el cambio en la cantidad de un recurso está determinado por la extracción y por el crecimiento neto de ésta:

En condiciones de equilibrio dinámico, también conocido como estado es-tacionario, la cantidad de recurso no cambia. Es decir ∆S = 0 y por tanto:

La extracción debe ser tal que sea compensada exactamente con la res-tauración natural. Si se acepta este equilibrio, es posible despejar de esta ecuación St:

St = G(Et )

Esta expresión de St en función de Et se reintroduce en la función de pro-ducción:

Y de allí se obtiene la función producción-esfuerzo, que relaciona el esfuerzo con la extracción en un contexto de equilibrio dinámico:

Yt = Y(Et )

La ventaja de esta función es que se puede estimar a partir de series de tiempo con información de extracción y esfuerzo, las cuales son variables que usualmente recolectan las entidades encargadas del tema pesquero.


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Ejemplo: cálculo de la función producción-esfuerzo.

Supongamos que la función de crecimiento de un recurso sea logís-tica y que la función de producción pueda ser expresada como una Cobb-Douglas:

Entonces el cambio en la cantidad del recurso será:

Y en estado estacionario

Retomando la función de producción Y = qSE e insertando esta ex-presión:

, que es la función producción esfuerzo.

Como se puede observar en el ejemplo anterior, la función de crecimiento neto y la función de producción tienen las mismas propiedades mate-máticas; es decir, la función producción esfuerzo hereda las propiedades de la función de crecimiento. En el gráfico 2.3 se observan estas dos fun-ciones para el caso de la función de crecimiento logística. Mientras F(S) muestra la relación de estado estacionario entre S y Y (que debe ser igual al crecimiento), la función Y(E) muestra la relación de estado estacionario entre E y Y.



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Gráfico 2.3. Relación entre la función de crecimiento y la función producción-esfuerzo.

Aunque la practicidad de la función producción-esfuerzo la hace desea-ble para el análisis, es importante revisar cuidadosamente la forma en que se define el esfuerzo, ya que su medición puede ser problemática. En industrias pesqueras en las cuales las embarcaciones y las artes de pescas son similares, el esfuerzo se puede medir de manera directa y debe de-finirse tanto temporal como espacialmente, en medidas como el número de horas o días que hubo pesca activa durante una temporada o el núme-ro de trampas o redes usadas en un período dado. Sin embargo, general-mente las embarcaciones difieren en tamaño capacidad, potencia, artes de pesca y por tanto cambian la intensidad con que se usan, la eficiencia de las artes de pesca y otras variables. En estos casos, es posible construir diferentes unidades de esfuerzo y tratar de estandarizar unas unidades en términos de otras. Más adelante se muestra un ejemplo de cómo tratar diferentes unidades de esfuerzo en el análisis bioeconómico.

Una vez construida y entendida la función producción-esfuerzo, es posible analizar diferentes modelos que expliquen las decisiones de las pesquerías.

2. Modelos de uso de recursos de uso común

Con base en la función de crecimiento y en la función de producción-es-fuerzo es posible analizar el comportamiento de los agentes que pueden utilizar el recurso. Este análisis se puede hacer en un contexto de largo plazo (estático) o en un contexto dinámico.

Inicialmente suponemos el recurso bajo libre acceso, es decir, en el que no haya exclusión a ninguna persona o empresa que desee utilizar el recur-so. Veremos las implicaciones de esta condición y luego la compararemos con el caso en el que sí es posible asignar los derechos de propiedad.

Es importante recordar que los recursos aquí analizados corresponden a la categoría de recursos de uso común, que se caracterizan por tener si-


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multáneamente dos propiedades: por una parte, son bienes no excluibles, es decir, los costos de evitar que alguien tenga acceso a ellos son prohi-bitivamente altos y por tanto, en la práctica, cualquier usuario potencial puede acceder a ellos; ésta es una propiedad típica de un bien público. Por otra parte, estos son bienes rivales, es decir, que una vez capturados por alguien su consumo o aprovechamiento de parte de ese agente evita que otros puedan tener acceso a él; ésta es una propiedad típica de los bienes privados. Es decir, los recursos de uso común tienen propiedades de bienes públicos y privados simultáneamente lo que exige realizar un análisis particular.

a. Modelo de máximo rendimiento sostenible

Ya vimos que en estado estacionario la extracción debía ser igual al creci-miento o regeneración natural de la población, es decir:

Y = f(S)

Esto es, la curva de crecimiento de población (gráfico 2.2) también se pue-de ver como la función de los niveles de estado estacionario de pesca. Es decir, cada punto de la curva de crecimiento también refleja un nivel posible de pesca sostenida del recurso.

Con base en esta observación, las primeras aproximaciones al manejo sostenido de un recurso argumentaban que cualquier nivel de pesca que fuera menor o igual a la capacidad de recuperación del recurso sería sos-tenible en el tiempo. En el gráfico 2.4 se puede observar un ejemplo. Si se utiliza el nivel de pesca Y’ de manera sostenida en el tiempo, la cantidad del recurso convergerá a cualquiera de los dos equilibrios posibles mos-trados , siendo el equilibrio final resultado del punto de partida. Sin que importe cuál de ellos sea el equilibrio alcanzado, una vez allí, y dado que no cambian las condiciones, la cantidad de recurso permanece-rá en ese nivel indefinidamente.

Ahora, si se quisiera utilizar el nivel de pesca Y’’, no importa la dinámica del recurso, nunca la población tendría la posibilidad de recuperarse, ya que la extracción siempre sería superior a la tasa de regeneración y, en el largo plazo, el recurso se agotaría. Es decir, el nivel de extracción Y’’’ es el máximo nivel de extracción que se podría pescar de manera sostenible, esto es, sin agotar el recurso en el largo plazo.

Como este nivel de extracción Y’’’ es la máxima cantidad de pesca que se puede extraer de manera sostenible; éste se conoce como el Rendimiento Máximo Sostenible (RMS) o Maximum Sustainable Yield (en inglés). A pri-mera vista parece un equilibrio deseable, ya que maximiza la extracción,



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dadas las restricciones biológicas. La cantidad del recurso converge ahora a un único equilibrio S’’’, también conocido como la cantidad (stock, en la sigla) de rendimiento máximo sostenible, SRMS. Durante algún tiempo, este nivel fue visto como el óptimo para manejar las pesquerías e incluso aún algunos científicos lo recomiendan como deseable. Sin embargo, el RMS tiene algunas desventajas.

Primero, la estimación de la curva de crecimiento está sujeta a errores tan-to de recolección de datos como de procesamiento de ellos, e incluso de especificación del modelo. Si la verdadera función se sitúa un poco más abajo se puede correr el riesgo de llevar el recurso a la extinción. Por otra parte, la forma de la función de crecimiento puede variar por condiciones exógenas no controladas (cambio climático, fenómenos como El Niño-Oscilación del Sur –ENSO-, desastres naturales, etc.) que pueden cambiar su forma durante algunos períodos de tiempo, de nuevo, y amenazar la sostenibilidad del recurso.

Pero incluso, aun si la curva fuera estimada con máxima precisión y el ecosistema no estuviera expuesto a fenómenos no controlados, la pres-cripción del RMS como óptimo de extracción de pesca, adolece de un defecto: no tiene en cuenta los factores económicos que rodean la acti-vidad pesquera; es decir, no tiene en cuenta ni los ingresos ni los costos derivados de la actividad extractiva.

En ese sentido, recomendar el RMS es similar a recomendar el punto de máxima producción en una función de producción estándar, lo que eco-nómicamente es ineficiente.

Por tanto, este modelo debe ser complementado con el componente económi-co, razón por la cual los modelos recibirán el nombre de modelos bioeconómicos.

Gráfico 2.4. La función de crecimiento en estado estacionario es la misma función de pesca sostenible.


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b. Modelo estático de libre acceso

El intento más sencillo de incorporar el componente económico al análi-sis se basa en la función producción-esfuerzo.

Después que se tiene la función producción esfuerzo Y = Y(E) podemos analizar el equilibrio de largo plazo en una pesquería.

Supongamos que el precio en puerto del recurso es p > 0. Entonces los ingresos para los pescadores en un mercado competitivo están dados por IT = pY(E).Dado que Y(E) representa la pesca sostenida en el largo plazo, si se quiere graficar la función de ingreso total en términos del esfuerzo, nótese que es idéntica a la gráfica de la función producción esfuerzo escalada por el precio P (véase gráfico 2.5). Nótese también que dada la analogía entre la función de crecimiento, la función de producción-esfuerzo y la función de ingresos totales, el punto de máximos ingresos correspondería al nivel de esfuerzo de rendimiento máximo sostenible, ERMS.

Gráfico 2.5. Curva de ingresos totales con pesca sostenible en el largo plazo.

Ahora los costos de la actividad dependen del esfuerzo realizado. Supongamos que cada unidad de esfuerzo se adquiera en un mercado competitivo a un precio c; entonces el costo estará dado por CT = cE, la línea recta con pendiente c del gráfico 2.6.

Nótese que niveles agregados de esfuerzo a la izquierda de E∞ generan beneficios positivos, ya que los ingresos son superiores a los costos.

Supongamos que estamos en cualquier nivel de esfuerzo a la izquierda de E∞, por ejemplo en ERMS ; la existencia de beneficios positivos más la carac-terística de no exclusión que garantiza libre entrada y salida de agentes darán como resultado el ingreso de más embarcaciones. Sin embargo, la



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entrada de nuevos pescadores (mayor esfuerzo) hace disminuir los bene-ficios (mayores costos), es decir, acercarnos a E∞.

Si la cantidad de esfuerzo total es tal que nos situamos a la derecha de E∞, los costos serán mayores que los beneficios, y algunas unidades de esfuerzo encontrarán que no es rentable permanecer en la actividad y se retirarán, lo que reduce el esfuerzo total, es decir, nos acerca a E∞.

De esta dinámica se desprende que E∞ es un equilibrio estable para este recurso. Es decir, el libre acceso llevará a la flota pesquera hasta el nivel de esfuerzo en el cual se agotan los beneficios:

π = IT – CT = 0

Una primera impresión sugiere que si los beneficios se agotaran estaría-mos en una situación similar a la del equilibrio competitivo y que sería por tanto un nivel de esfuerzo eficiente en el largo plazo. Sin embargo, no es así. ¿Por qué? En el punto E∞ efectivamente se agotan los beneficios, pero los costos incluidos en el análisis solamente abarcan aquellos asociados a los factores provistos por la actividad humana: el esfuerzo; es decir, el ca-pital, y la mano de obra utilizados. No obstante, los “costos” asociados a la disponibilidad y mantenimiento de la disponibilidad del recurso no están siendo considerados por los productores. Dicho de otra forma: el factor natural de la cantidad del recurso se ve como un factor de precio cero. Si su precio es cero, cada productor maximizará beneficios donde el beneficio marginal iguale su costo marginal (que es cero) y por tanto decidirá “utili-zar” una cantidad excesiva del factor “cantidad del recurso”. Esta decisión, sin embargo, sí genera costos que afectan no sólo los propios beneficios, sino los de todos los pescadores. Al final, se ejercerá una cantidad excesi-va de esfuerzo que reducirá considerablemente la cantidad disponible y se generará una externalidad negativa sobre todos los demás pescadores.

Gráfico 2.6. Curvas de ingresos totales y costos totales con pesca sostenible en el largo plazo.


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Cada pescador, actuando individualmente con el afán de maximizar sus beneficios, decidirá extraer una cantidad muy alta del recurso. Como to-dos los pescadores usan el mismo raciocinio, el esfuerzo total será exce-sivo y la cantidad disponible se habrá reducido a niveles muy bajos. Esto es lo que se conoce como la tragedia de los comunes o tragedia de los recursos comunes, término acuñado por Hardin (1968) en su famoso artículo publi-cado en la revista Science.

Para entender por qué el exceso de esfuerzo causa un agotamiento o de-gradación del recurso, retomemos el gráfico 2.3. Se había mencionado que la función de crecimiento determinaba la forma de la función de pro-ducción esfuerzo (y por tanto de los ingresos totales). Sin embargo, hay una precisión que se debe hacer: el punto de crecimiento cero correspon-diente al equilibrio de capacidad de carga k tiene relación con el punto de origen en la función producción esfuerzo. De manera análoga, el nivel de esfuerzo r/q causaría la extinción del recurso, es decir, el origen en el gráfico de la función de crecimiento. Lo cual significa que los gráficos son similares pero los ejes horizontales van en sentido contrario: mayor esfuerzo en el gráfico de la función producción-esfuerzo implica menor cantidad de recurso en la función de crecimiento y viceversa.

Por tanto, si el nivel de esfuerzo E∞ está a la derecha del máximo nivel de esfuerzo de RMS, este nivel debe corresponder a un nivel de cantidad de recurso a la izquierda del punto de máximo crecimiento (y pesca en estado estacionario), como se observa en el gráfico 2.7.

Gráfico 2.7. Relación entre la función de crecimiento y la función producción-esfuerzo.

El recurso entonces será con un esfuerzo por unidad de tiempo E∞ , una extracción por unidad de tiempo Y∞ y una cantidad de equilibrio del re-curso S∞. Además, la captura por unidad de esfuerzo (CPUE = Y∞ / E∞ ) será muy baja por el gran esfuerzo ejercido.



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Éste es un equilibrio de largo plazo o de estado estacionario. Ahora po-demos analizar qué ocurrirá en el proceso de llegar allí, es decir, en un contexto dinámico.

c. Modelo de libre acceso dinámico

Este modelo fue propuesto por Conrad (1999) para explicar la dinámica de la industria pesquera en el proceso de aproximación al estado estacio-nario mencionado arriba.

Para explicar esta dinámica se toman dos variables de estado: la cantidad del recurso y el esfuerzo agregado de la flota pesquera. Cada una de ellas tiene su dinámica propia:

La cantidad del recurso evoluciona, como ya se ha visto, de acuerdo con la siguiente ecuación en diferencias:

Así mismo se supone que el esfuerzo pesquero está dirigido por los bene-ficios de la industria. Si los beneficios son positivos, entonces en t + 1 entrarán nuevos pescadores, con lo cual aumenta el esfuerzo. Si πt < 0, saldrán pescadores y el esfuerzo se reducirá.

Es decir, el cambio en el esfuerzo puede denotarse por:

Donde es definido por Conrad (1999) como un parámetro de ajuste y determina la medida a la cual el esfuerzo se ajusta de un período a otro como resultado de los beneficios.

Entonces se tiene un sistema de ecuaciones en diferencias dado por:

Con S0 y E0 y formas funcionales para H(.) y F(.), se puede simular el siste-ma y mirar si hay convergencia a algún equilibrio o estado estacionario.

Ejemplo:

Supongamos que la función de producción sea Cobb-Douglas y que la función de crecimiento sea la logística, tal como las usamos en el ejemplo anterior:


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Entonces, la ecuación para la evolución de la cantidad del recurso es:

Los beneficios se pueden denotar por π = pqStEt –cEt , y la ecuación de evolución del esfuerzo será

En estado estacionario bajo libre acceso los beneficios son nulos, π = 0, entonces:

pqSE – cE = 0

De donde se obtiene que

Igualmente, en estado estacionario la pesca es igual al crecimiento neto:

Este ejercicio se puede simular numéricamente. Conrad (1999) propone los siguientes valores para los parámetros c = 1, η = 0,3, k = 1, p = 200, q = 0.01, r = 0,1, S0 = 1 y E0 = 1. Luego es posible estimar el equilibrio del sistema.

Estos modelos ilustran cómo las decisiones individuales de los agentes, utilizando un recurso no excluible pero rival, conducen a la sobreexplota-ción de éste, ya que cada uno percibe que debería dejar algunas unidades del recurso sin extraer para períodos futuros, pero la amenaza de que otro agente extraiga esa unidad y ya no esté disponible en el futuro oca-



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siona que cada uno prefiera sobreextraer en cada período y se genere así una externalidad sobre el recurso y sus usuarios.

Esta falla de mercado surge porque los derechos de propiedad sobre el re-curso no están asignados concretamente. En la siguiente sección veremos qué ocurriría con el recurso si fuera asignado con derechos de propiedad claramente establecidos.

d. Modelo de asignación de derechos de propiedad

Supongamos que le asignamos los derechos de propiedad del recurso a un solo agente, que ahora debe decidir cuánto esfuerzo total ejercer y por tanto cuánto extraer.

Mantenemos los supuestos de ingreso total, IT = pY(E) y costo total CT = cE, de manera que los beneficios están dados por

π = pY(E) – cE

Si el agente tiene ahora todos los derechos de propiedad, buscará obtener los máximos beneficios posibles. Para hacerlo debe escoger E de manera que:

De allí se observa que la condición de optimalidad2 implica que

pY’(E) = c

Es decir, el ingreso marginal del esfuerzo iguala su costo marginal. Gráficamente esto implica que la pendiente de la curva de ingreso total debe coincidir con la del costo total. La curva de costo total tiene la mis-ma pendiente, ya que es una línea recta, que es c. Entonces, la solución consiste en encontrar el punto sobre la curva de ingreso total donde su pendiente sea c. Esto ocurre en el punto A del gráfico 2.8, que correspon-de al nivel de esfuerzo E0.

Esta solución está situada a la izquierda del esfuerzo de máximo rendi-miento, lo que implica que la cantidad del recurso quedará a la derecha del punto de máximo rendimiento sostenible y cercano a la capacidad de carga k. En este nivel S0, el recurso está en condiciones más saludables que en la solución de libre acceso.

2. La condición de optimalidad requiere que la primera derivada de los beneficios con respecto al esfuerzo sea igual a cero.


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Además, el nivel de extracción, Y0, puede ser menor, igual o mayor a Y∞. Sin embargo, lo que sí es evidente es que la captura por unidad de esfuer-zo, (CPUE = Y/E) es mucho mayor en este escenario. Resumiendo:

La condición eficiente requiere una flota pesquera menor, más producti-va, con un recurso saludable (porque reduce costos de extracción) y con beneficios positivos.

Nótese que dados los costos de esfuerzo positivos (c > 0) la solución eco-nómica eficiente requiere que E0 < ERMS , tal como ocurre en los procesos de maximización de beneficios de las empresas de otros sectores. El es-fuerzo óptimo y el esfuerzo de rendimiento máximo sostenible sólo co-inciden si c = 0.

A pesar de lo atractiva que parezca esta solución, en la práctica es política-mente inviable. Hacerlo implica excluir muchos agentes, incluso algunos que históricamente han usado el recurso, lo cual puede implicar grandes esfuerzos políticos, sin garantía de que finalmente se pueda implantar.

Además, si se asignan derechos a un grupo o agente en particular que cumple con el requisito de E = E0 , ¿cómo evitar que los privilegiados no inviertan los beneficios en mejorar la productividad o eficiencia del esfuerzo, o incluso, en aumentar ese esfuerzo adquiriendo más embar-caciones?

En algunos países desarrollados, como Canadá, se han adoptado progra-mas de compra de embarcaciones. Las restantes tienen licencia para ex-

Gráfico 2.8. Decisión de extracción si los derechos de propiedad son asignados.



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traer el recurso; pueden vender la licencia si se quieren salir. Pero si las que quedan refinan sus equipos, pueden producir sobreuso. El gobierno puede establecer límites a la capacidad del casco, de la bodega, del motor, etc., pero se vuelve un juego entre autoridades y pescadores en el que éstos, con beneficios positivos, siempre tendrán incentivos productivos o no productivos para sacar mayor provecho de su situación. Se genera así un problema principal-agente, en el que la incompatibilidad de incentivos puede conducir al sistema al estado de libre acceso. Más adelante ve-remos algunas herramientas para enfrentar estos problemas. Pero antes vamos a presentar otro modelo basado en la optimización dinámica de los beneficios generados por la explotación del recurso.

e. Modelo de optimización dinámica: maximización de valor presente

Los modelos que hemos visto suponen un equilibrio de largo plazo, y por eso se llaman modelos de estado estacionario o modelos estáticos. Ahora vamos a introducir otro modelo que tiene en cuenta el horizonte tempo-ral de la extracción, para observar sus particularidades y diferencias con los modelos de estado estacionario.

Para hacerlo empecemos recordando que los beneficios en un período dado para el agente que extrae el recurso —el pescador—, pueden defi-nirse como:

Es decir, dependen tanto de la decisión de extracción en cada período como de la cantidad de recurso asociada; además, este agente es cons-ciente de que su extracción actual tiene efecto en la disponibilidad futura del recurso por medio de una ecuación de evolución:

Además suponemos que conocemos la cantidad actual, S0.

Una forma de administrar el recurso sería buscar el nivel de extracción en cada período que generara el máximo valor presente de los beneficios que causara la actividad, teniendo en cuenta las consideraciones inter-temporales y la cantidad inicial.

Es decir, quisiéramos encontrar una senda en el tiempo, de decisiones de extracción {Yt} tal que:

S0 = A dado.


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Donde δ es conocido como el factor de descuento inter temporal, definido por , y es la tasa de descuento inter temporal pertinente para el

agente que toma la decisión.

Éste es un problema de maximización con restricciones. Quizá la prin-cipal dificultad sea tener tantas restricciones como períodos de análisis (la ecuación de evolución debe satisfacerse para todos los períodos del horizonte de tiempo). Otra dificultad es que este problema está plantea-do para un horizonte infinito de tiempo, lo que implica calcular infinitos valores de extracción, uno para cada período de tiempo.

En la práctica, sin embargo, el problema se puede simplificar. Generalmente se supone que el horizonte de extracción se puede dividir en dos fases: una fase desde t = 0 hasta un momento t = τ, en el que las variables de interés (extracción y cantidad de recurso) estén cambiando en el tiempo. Posteriormente, después del tiempo τ, las variables se estabilizan alrede-dor de un equilibrio de largo plazo. En esta segunda fase t > τ se habrá alcanzado el estado estacionario, en el cual las variables de interés con-vergen a valores Y* y S*.

Entonces, el problema puede ser dividido y analizado en cada una de estas etapas: la primera etapa de ajuste o de corto plazo (0 < t < τ) , en la que las variables están cambiando, y la segunda etapa de estado estacionario o de largo plazo (t > τ), en la cual éstas convergen a un valor único.

Aunque estas dificultades puedan hacer parecer este problema demasia-do complicado, el enfoque es similar a cualquier problema de optimi-zación con restricciones: se debe construir un lagrangiano que incluya explícitamente las restricciones, como se hizo en el capítulo anterior (para más detalle, los textos de Conrad (1999) y Conrad y Clark (1987) analizan con detalle la construcción de esta metodología).

Ahora necesitamos un multiplicador lagrangiano para cada restricción (período), de manera que los podemos denotar como λt. Entonces el la-grangiano del problema se puede escribir como

Nótese que la primera restricción dada por la ecuación de evolución co-rresponde al período t = 1 y no al t = 0, ya que en t = 0 conocemos la cantidad del recurso, S0.



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Una forma simple de reescribir este lagrangiano es:

Ahora el problema consiste en elegir la senda {Yt} que maximice el valor de este lagrangiano, con una variable de estado que es la cantidad del recurso y una variable auxiliar que es el multiplicador lagrangiano.

Para resolver el problema debemos identificar las condiciones de primer orden relacionadas con cada una de estas variables en cada período:

a) Con respecto a la extracción, Yt :

b) Con respecto al estado del recurso, St :

c) Con respecto a la variable auxiliar, λt3:

Éste es un sistema con infinitas ecuaciones. Sin embargo, como se dijo, se puede reducir a un número finito de ecuaciones en cada una de las etapas mencionadas. En capítulos posteriores de este libro se analiza cómo los métodos numéricos se pueden utilizar para determinar las sendas en el tiempo de las variables de interés. Por ahora nos concentraremos en qué ocurrirá en el largo plazo, es decir, en el estado estacionario.

En estado estacionario las variables convergen a un valor único, es decir, para t > τ :

3. Nótese que Conrad (1999) propone usar como variable auxiliar δλt+1, lo que facilita el cálculo y no implica pérdida de generalidad. En modelos de tiempo continuo, esto equivale a usar el lagrangiano de valor presente (véase Chiang, 1992).


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Entonces las condiciones de primer orden pueden ser reescritas como

Que ahora es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, un siste-ma relativamente simple de resolver.

La expresión δλ* se puede eliminar y fundir las dos primeras ecuaciones

ó

Esta ecuación se conoce como la ecuación fundamental de los recursos reno-vables. La primera expresión del lado izquierdo, F’(S*), muestra el rendi-miento marginal de la cantidad de recurso sobre la tasa de crecimiento de éste. La segunda expresión muestra la contribución marginal del recurso a los beneficios como una proporción de la contribución de la úl-tima unidad de extracción a dichos beneficios. Ambos términos muestran la participación de la cantidad de recurso en la formación de beneficios, tanto presentes (en la segunda expresión) como futuros (en la primera expresión). Es decir, la suma de los dos términos muestra el “rendimien-to” de la cantidad del recurso sobre los beneficios actuales y futuros del agente. Este rendimiento de la cantidad de recurso debe igualarse al ren-dimiento del mejor activo alternativo, representado por , que mide la tasa de descuento del agente. Es decir, esta ecuación muestra que en la decisión de uso del recurso es posible utilizar un enfoque de portafolio; uno de los activos posibles es la cantidad del recurso. En el óptimo, el agente debe ser indiferente entre este activo natural y otros activos.

La ecuación restante, Y = F(S), define la condición de que en estado esta-cionario el recurso no puede ser extraído más allá de su capacidad natu-ral de regeneración.

Estas dos ecuaciones:

Y = F(S)



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Determinan el equilibrio de largo plazo o estado estacionario del sistema, S*, Y*, E* y λ*.

Ejemplo:

Usando las mismas funciones de crecimiento y producción con que hemos trabajado anteriormente:

De la función de producción:

e insertando esta expresión en la función de costos:

Por tanto, los beneficios pueden expresarse en términos de Y y de S:

Para la ecuación fundamental de los recursos renovables necesita-mos conocer:

Y poniéndolas juntas en la ecuación fundamental

De allí, la extracción se puede escribir en función de la cantidad de recurso:

La segunda ecuación Y = F(S), implica

Uniéndolas, es posible determinar S* y las demás variables en esta-do estacionario:


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Una vez conocidos los valores de S*, Y*, E* y λ*, es posible hacer es-tática comparativa para ver cómo varían estos valores ante cambios en los parámetros. Se le deja el ejercicio al lector, pero en general:

son positivos y

son negativos.

Ahora es posible comparar los resultados obtenidos en los modelos an-teriores. Aunque pueden depender de las formas funcionales adoptadas, en general:

E∞ > E* > E0

Se puede observar que si la tasa de descuento es muy alta, ρ → ∞ enton-ces E* → E∞ , es decir, converge a la solución de libre acceso. El costo in-tertemporal es muy alto, es decir, cada agente tiene una tasa de descuento muy alta y prefiere extraer lo máximo hoy, sin que importe lo que ocurra en el futuro. En este caso, no hay cooperación. Con ρ → ∞ δλt+1 ⇒ 0; des-aparece el incentivo intertemporal.

Si ρ → 0,entonces E* → E0, no hay descuento intertemporal. Como en el modelo estático anterior, las decisiones se toman como si cualquier perío-do fuera ya el de largo plazo. Los agentes dan el mismo peso a decisiones presentes y futuras, entonces ρ = 0 y δ = 1. Cada período tiene el mismo peso.

Comparando para el caso de la cantidad del recurso, se observa que:

S0 > S* > S∞.

Para la captura Y no es fácil hacer comparaciones, ya que la misma ex-tracción puede estar asociada a más de un nivel de recurso. Sin embargo, la captura por unidad de esfuerzo si deberá seguir:

CPUE0 > CPUE* > CPUE∞.

Hemos visto entonces que es más eficiente, tanto económica como bio-lógicamente, extraer en niveles de cantidad del recurso cercanos a la ca-pacidad de carga, lo que implica menos esfuerzo y mayor captura por



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unidad de esfuerzo. Sin embargo, la mayoría de los recursos renovables como las pesquerías se encuentran explotados bajo esquemas de libre ac-ceso con excesivo esfuerzo, poca cantidad de recurso y baja captura por unidad de esfuerzo.

En la siguiente sección veremos las principales herramientas que se han utilizado o se pueden utilizar para tratar de resolver estos problemas.

3. Instrumentos para manejar recursos naturales renovables

Enfrentar y tratar los problemas asociados a la sobrepesca ha sido pre-ocupación de los gobiernos interesados en mantener los recursos y utili-zarlos de manera sostenible.

Los diferentes instrumentos utilizados pueden clasificarse en dos grandes categorías: instrumentos de comando y control e instrumentos económicos. Los instrumentos de comando y control o herramientas tradicionales son mecanismos basados en definir condiciones sobre las embarcaciones que se pueden utilizar, la captura permitida, los equipos o artes de pesca posi-bles o el tipo de productores que pueden acceder al recurso; es decir, son instrumentos basados en cantidades físicas que se deciden con criterios técnicos y se controlan con mecanismos coercitivos. Aunque éstos son los más usados, también han mostrado ser poco eficaces en muchos casos.

Los instrumentos económicos son mecanismos basados en precios o in-centivos económicos que buscan conducir a los agentes, mediante cam-bios en los beneficios, a modificar su conducta o su tecnología de extrac-ción. Los agentes son libres de escoger su tecnología y esto les permite reducir los costos de cumplimiento y adaptarse a las condiciones más fácilmente que con los instrumentos de comando y control.

Veamos las herramientas más representativas de cada tipo que se han usado en las pesquerías.

a. Instrumentos de comando y control o tradicionales

Conrad (1999) agrupa estas herramientas en cuatro categorías, a saber: i) temporadas de veda, ii) restricciones a equipos, iii) cuotas totales de cap-tura y iv) límites a la entrada. Ellas pueden ser implementadas de manera aislada o en combinaciones. Veamos cómo funciona cada una de ellas.

i. Temporadas de veda

Consiste en definir períodos de tiempo en una temporada en los cuales no se permite pescar. Generalmente se definen para momentos críticos


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en la vida de la especie, por ejemplo cuando desovan o migran a repro-ducirse. Por tanto, requieren un buen conocimiento de las condiciones biológicas del recurso. Aunque parece muy obvia su adopción, puede generar reasignación de esfuerzo o mayor esfuerzo en épocas sin veda, con lo cual se compromete el recurso. Otro desafío que encuentran es la capacidad de hacerlos cumplir.

ii. Restricciones a equipos

Consiste en definir cuáles equipos, tecnologías o artes de pesca se pueden usar y cuáles no. El objetivo de esta medida es reducir la eficiencia de los pescadores para prevenir efectos nocivos de la sobrepesca. Los ejemplos más comunes son definir el tamaño del ojo de malla para evitar pesca de juveniles, o restricciones a los motores de gran potencia o a embarcacio-nes de gran capacidad. Económicamente, el objetivo de estas medidas es aumentar el costo del esfuerzo. Si son efectivas, reducen el esfuerzo, aunque económicamente siguen siendo ineficientes. En el gráfico 2.9 se puede observar que, como resultado de una restricción, la curva de costos aumentaría de pendiente y por tanto el esfuerzo agregado pasaría de E∞ a E'∞. Sin embargo, el problema de libre acceso se mantiene.

Gráfico 2.9. Efecto de restricciones a los equipos sobre los costos totales; el problema de libre acceso se mantiene.

iii. Cuotas totales de captura

Con base en estimaciones biológicas, sectoriales o políticas se determina la máxima extracción permitida en una temporada dada. La autoridad define la cuota y la fecha de inicio de la temporada. Cuando se completa la captura total permitida se avisa a todos los pescadores y se cierra la temporada. Un ejemplo muy conocido es el de la centolla en Alaska, el cual ha funcionado muy bien en parte gracias a las difíciles condiciones



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climáticas y geográficas del área donde se extrae el recurso. Sin embargo, en otras zonas puede ser mucho más difícil controlar. Dado que genera una competencia entre embarcaciones, requiere que la pesca sea muy rá-pida, ya que cada uno quiere capturar la mayor cantidad posible de la cuota y se genera el fenómeno conocido como “carrera por la pesca”.

Esta carrera hace que se ejerza mucho esfuerzo en muy poco tiempo. Comprime la temporada de pesca generando aumentos en la cantidad congelada del producto, disminución de precios y reducción del pro-ducto fresco disponible. Además, una vez cerrada la temporada quedan muchas embarcaciones disponibles para otras actividades, lo cual puede aumentar el esfuerzo sobre otros recursos, lo que puede implicar una ex-ternalidad negativa sobre otras especies o recursos.

iv. Límites a la entrada

Consiste en expedir licencias para la operación de algunas embarcaciones generalmente definidas con base en el desempeño histórico. En algunos casos es posible permitir la compra y venta de las licencias. Cuando hay muchos pescadores, puede ser políticamente difícil la asignación; enton-ces, usualmente una estrategia es aceptarlos a todos con exceso de esfuer-zo inicial y se hace una compra de licencias. Incluso organizaciones am-bientalistas o conservacionistas pueden comprar estas licencias si quieren reducir la presión sobre el recurso.

Si el programa es exitoso, el precio de la licencia debe igualar el valor descontado esperado de las rentas futuras δλt+1. Sin embargo, al reducir el esfuerzo se generan beneficios positivos que incentivan a los usuarios favorecidos a mejorar sus equipos y aumentan finalmente el esfuerzo y la extracción. Como respuesta, se deben implantar medidas adicionales como restricciones a la tecnología, y esa combinación de instrumentos es cada vez más difícil de administrar.

Como se observa, estos instrumentos tradicionales pueden ser poco efec-tivos, especialmente si la capacidad de control de las autoridades es baja, como suele ocurrir en países en desarrollo.

b. Instrumentos económicos

Hemos visto que la diferencia entre la extracción eficiente y la de libre acceso es que en esta los agentes no tienen en cuenta el costo intertempo-ral de la extracción actual (δλt+1). Este valor se conoce como el costo del usuario y refleja el costo de oportunidad de extraer hoy una unidad y no tener disponibilidad de esa unidad o su rendimiento en el futuro. Los ins-trumentos económicos se basan en tratar de incorporar este valor en las


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decisiones de los pescadores. Los más conocidos son impuestos en puerto y cuotas individuales transferibles.

i. Impuestos en puerto (landing tax)

Consiste en un impuesto τ que deben pagar los pescadores por cada uni-dad de pesca llevada a tierra. Este precio hace que ahora los pescadores perciban un precio p – τ por su producto.

Entonces, cuando maximizan sus beneficios:

Las condiciones de primer orden implican que:

Nótese que para que esta expresión sea semejante a la del óptimo inter-temporal se requiere que τ = δλt+1 y así cumpliría con el óptimo dinámico

.

Por ejemplo, con λ* de estado estacionario τ = δλ* induciría a la flota pes-quera a converger a estado estacionario.

Es decir, el impuesto en puerto se debe diseñar de forma tal que induzca a los productores a ejercer menos esfuerzo y menos extracción, y que en el largo plazo se acerquen al equilibrio eficiente. Sin embargo, el proble-ma consiste en que no siempre es fácil conocer el valor de la expresión δλ*. Además los impuestos generalmente son impopulares y de difícil ad-ministración, especialmente si se habla de pescas no industriales, por lo que se requeriría una amplia campaña de participación, concienciación y adecuada implantación.

ii. Cuotas individuales transferibles (CIT, ITQ)

Están inspiradas en el concepto de los permisos negociables. En este esque-ma la autoridad define una captura total permitida y emite permisos para extraer esa cuota. Hasta ahí es similar a la cuota total de captura permitida. La diferencia consiste en que en este caso estos permisos se pueden transferir: cada pescador los puede usar para extraer, vender o comprar, si es necesario.

Al permitirse su negociación, se genera un mercado para los permisos y sólo quienes estén interesados por costos o localización se dedicarán a la actividad pesquera.

Si el mercado de permisos es eficiente, el precio de éstos debe reflejar el cos-to de oportunidad intertemporal, es decir, su precio debe converger a δλ*.



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Aunque requiere información biológica para definir la cuota y buena ad-ministración para que el mercado funcione adecuadamente, su implanta-ción ha sido exitosa en países como Nueva Zelanda, Australia y Canadá. En Colombia no se ha implantado este instrumento.

Esta herramienta puede generar algunos inconvenientes, identificados por Conrad (1999):

- Especialización: si se pagan mejor los pescados grandes, entonces las embarcaciones buscan aumentar su captura; una forma de hacer-lo es pescar gran cantidad y tirar los peces pequeños usualmente muertos, lo que aumenta la mortalidad total a un nivel superior al de la cuota permitida.

- Equipo no selectivo en pesquerías multiespecies: si se tiene una cuota alta para una especie pero baja para otra y se captura mucho de la segunda, tiene que descartarse el excedente, lo cual causa gran mor-talidad para esta especie, mayor a la cuota. Se puede tener una cuo-ta pospesca, pero esto puede derivar en una “carrera por la reser-va”, es decir, en una carrera por apropiarse de esta cuota adicional.

4. Aplicación práctica de los modelos de pesca

Son varios los trabajos de tesis que se han realizado en el marco del pro-grama en economía del medio ambiente y recursos naturales, PEMAR, de la Facultad de Economía de la Universidad de los Andes. Aunque sería justo poder incluir más de ellos, vale la pena poner de resalto una aplica-ción que realizó Laura Jaramillo Botero en 2005, como trabajo de su tesis de maestría. Se presenta un resumen —realizado por la autora— como una aplicación de los modelos bioeconómicos de pesca a condiciones par-ticulares de grandes bagres en el Amazonas.

a. Análisis bioeconómico de la pesquería de grandes bagres del río Caquetá medio

Por Laura Jaramillo Botero

La pesca de grandes bagres en la Amazonía colombiana ha sido poco estudiada desde un enfoque económico, a pesar de ser la principal activi-dad generadora de ingresos de la región4.

La región del río Caquetá medio se caracteriza por una gran diversidad socio-cultural y una marcada estacionalidad. Los diferentes grupos ét-

4. Para una revisión completa de las investigaciones sobre la pesca de los grandes bagres en la Amazonia colombiana, véase SINCHI (2000).


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nicos y de colonos que comparten el uso del territorio tienen diversas formas de aprovechar el recurso pesquero. Además, el ambiente cambia a lo largo del año, pues se presentan cuatro períodos hidrológicos en los que se dan la subida y la bajada pronunciadas del nivel del agua de los ríos y quebradas (véase gráfico 2.10).

Gráfico 2.10. Comportamiento de la captura de grandes bagres y del nivel medio del río Caquetá.

El objetivo principal de este estudio es aplicar un modelo bioeconómico estático a la pesquería de grandes bagres del río Caquetá medio conside-rando el ciclo hidrológico anual y las diferentes tecnologías de pesca. Se ajustan los modelos de producción excedente de Schaefer (1954), el mode-lo de Fox (1970) y el modelo de Umbral, propuesto por Clarke, Yoshimoto y Pooley (1992), para determinar el de mejor ajuste. Como variables expli-cativas se incluyen los cuatro períodos hidrológicos y el esfuerzo de cada arte de pesca, a saber: arpón, malla, cuerda. Así mismo, se calculan los niveles óptimos de captura y esfuerzo para diferentes regímenes de ma-nejo —máximo rendimiento sostenible (MRS), máximo rendimiento eco-nómico (MRE), máximo rendimiento social (MRSc), y libre acceso (RLA) — siguiendo el modelo económico propuesto por Gordon (1954).

Los datos corresponden a registros de 48 meses de la actividad pesquera de grandes bagres en el río Caquetá medio5. Se usa la captura multiespe-

5. La base de datos proviene del estudio que realizó Rodríguez (1999) sobre la pesca comercial en el río Caquetá medio entre 1991 y 1995.



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cífica (kilogramos/mes); sin embargo, cerca del 70% de la captura total mensual corresponde a dos especies, Brachyplatystoma filamentosum (le-chero) y B. flavicans (dorado), que son las que alcanzan mayor valor en el mercado. La unidad económica de esfuerzo (jornadas/mes) corresponde a un pescador con su equipo, por lo que se usó un ponderador para es-tandarizar el esfuerzo de acuerdo con este criterio. En el gráfico 2.11 se presenta la relación entre capturas observadas y el esfuerzo ejercido en el período de análisis.

Gráfico 2.11. Relación de la captura observada y el esfuerzo.

Las funciones que se estimaron para los modelos de Schaefer, Fox y Umbral son:

Ct = f (Et), captura total explicada por el esfuerzo total.

Ct = f (Et, pht), captura total explicada por el esfuerzo total y los períodos hidrológicos.

Cti = f (Eti), captura para cada arte de pesca explicado por el esfuerzo en ese arte, i = 1, 2, 3 artes de pesca.

Cti = f (Eti, pht), captura para cada arte de pesca explicada por el esfuerzo en ese arte y los períodos hidrológicos.

Cti = f (Eti, Etj), captura para cada arte de pesca explicada por el esfuerzo en ese arte y el esfuerzo ejercido en las otras artes, j = otras artes de pesca diferentes de i.

Cti = f (Eti, Etj, pht), captura para cada arte de pesca explicada por el es-fuerzo en ese arte, el esfuerzo ejercido en las otras artes y los períodos hidrológicos.


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El modelo del Umbral es el de mejor ajuste. Los períodos hidrológicos y el esfuerzo de las diferentes artes de pesca son significativas y explican la variabilidad en las capturas. Hay evidencia de interdependencia tecno-lógica entre las artes de pesca. Se observa que hay períodos del año más vulnerables que otros, caso del período de aguas bajas, en el cual gran parte de los pescadores sale a pescar. Se encuentra que existe sobreexplo-tación biológica, económica y social para los arponeros bajo el modelo de Schaefer con períodos hidrológicos. Además, hay sobrepesca económica —exceso de esfuerzo— de parte de los malleros según los tres modelos. Se probó el efecto de incluir los costos de oportunidad en los costos tota-les contra no incluirlos. El equilibrio de MRSc es mucho mayor, más del doble en algunos casos, que el de MRE (véase ejemplo cuadro 2.1). Esto se debe a que no existen alternativas de empleo en la región y el esfuerzo está concentrado en la actividad pesquera. Se puede concluir que la cla-sificación de la pesquería como sobreexplotada o subexplotada depende del modelo que se utilice en su análisis.

Cuadro 2.1. Equilibrios óptimos para los arponeros sin considerar períodos hidrológicos 6

Schaefer Fox Umbral 7

MRS Esfuerzo 683 1,250 N.A.8

Captura 9.009 12.056 N.A.

MRE Esfuerzo 576 858 1.025Captura 8.788 11.326 13.539

MRSc 9 Esfuerzo 674 1.207 1.259Captura 9.007 12.049 14.300

RLA Esfuerzo 1.152 2.310 3.752

Captura 4.754 9.541 15.499

Valores prome-dio observados

Esfuerzo251 Captura

La captura está medida en kilogramos/mes y el esfuerzo en jornadas/mes.

6. Los cálculos se hacen en pesos de 1994.

7. Cmax = 15.500 kg.

8. N. A. El modelo del Umbral no predice un óptimo biológico, porque la captura no depende de la regeneración local de la población.

9. No se incluyen los costos por depreciación ni el costo de oportunidad de la mano de obra.



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B. Economía de recursos naturales renovables: el caso de los bosques

Los modelos de bosques están orientados a productos, como los árboles, que se caracterizan por tener un ciclo de crecimiento lento, de manera que en el momento en que se hace la inversión inicial y el momento en que se obtienen los beneficios por su aprovechamiento se encuentran muy separados, usualmente años o decenas de años. En estas condiciones, la tasa de descuento intertemporal y las implicaciones dinámicas cobran es-pecial relevancia.

Aunque el ejemplo típico de estos modelos es el uso de los árboles, que en latitudes templadas pueden requerir hasta 60 o más años para ser apro-vechados, los modelos deben verse como ejemplos o propuestas aplica-bles a otros recursos que tengan el mismo comportamiento.

Si los recursos vistos en los modelos de pesca se caracterizan por la difi-cultad en asignar derechos de propiedad, con características de no exclu-sión y rivalidad, donde las cantidades son móviles y difícilmente obser-vables, los recursos tratados en los modelos de bosque tienen cantidades observables, fijas; en ellos la exclusión es viable y por tanto, la asignación de derechos de propiedad puede llegar a ser una herramienta factible para mejorar problemas en su manejo.

El tema de los bosques puede verse desde dos perspectivas. Tradicional-mente, el problema de bosques —especialmente en países templados— se ha orientado a encontrar el momento óptimo de aprovechamiento de un bosque sembrado de manera uniforme, usualmente con árboles de una sola especie, en predios de propiedad privada, donde los derechos de propiedad están claramente asignados. El propietario del bosque debe entonces encontrar el momento óptimo para talar y vender la madera de manera que maximice sus beneficios descontados; a este momento se le conoce como el turno óptimo del bosque.

Estos modelos aplican entonces a la industria silvícola y se analizan por el contexto dinámico de la producción.

Sin embargo, la mayor producción de madera en los países tropicales no proviene de cultivos sembrados sino de bosques naturales. Éstos se caracterizan por albergar más de una especie (en algunos casos cientos de especies de árboles y mucho más de otras formas de vida) y por estar situados en zonas alejadas, donde la asignación de derechos de propie-dad y la exclusión son difíciles, lo que les da características de bienes públicos o de bienes de uso común, más que de bienes privados. Además, estos bosques generalmente ofrecen otros bienes y servicios adicionales


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a la madera que, incluso, pueden llegar a ser más importantes que la madera misma (productos forestales no maderables, servicios ecoturísti-cos, protección y conservación de biodiversidad, protección de cuencas, regulación hídrica, etc.). En este caso el agente decisor es un planeador social que debe equilibrar los flujos de beneficios maderables con los no maderables. Entonces su objetivo es maximizar el bienestar de la socie-dad, decidiendo qué área aprovechar para propósitos madereros y qué área conservar para proveer estos otros servicios y bienes.

Al primer grupo, Conrad (1999) lo define como silvicultura de edad uniforme, y al segundo, bosques naturales maduros. Las principales características de cada uno se presentan en el Cuadro 2.2.

Cuadro 2.2. Comparación entre modelos de bosques.Silvicultura de edad uniforme Bosque maduro

Bosques sembrados↓

Bosques maduros naturales↓

Misma especie, misma edad

↓Muchas especies, diferentes edades.

Extracción de especies valiosas de muchos años

↓

Surge de un incendio en zonas templadas o de corte y siembra (silvicultura)

↓

Proviene de bosques naturales que pro-veen servicios ambientales: turismo,

caminatas, hábitat para especies, protección de cuencas, valor de opción,

valor de existencia↓

Derechos de propiedad claramente asignados

↓

Derechos de propiedad de difícil asignación

↓

Usualmente varios lotes de diferentes edades: cuándo cortar cada lote

Cuánto talar y cuánto dejar en conservación

Edad óptima para cortar: turno óptimo↓

Empresa o individuo privado que maximi-za el valor presente de sus beneficios

Inventario óptimo↓

Planeador social que busca equilibrar el flujo de beneficios no maderables con el

flujo de servicios maderables

Dado que el grueso de la literatura de la economía de recursos naturales se ha producido en países templados, es natural observar que los mode-los que más se han desarrollado son los de silvicultura de edad uniforme, que veremos primero en este capítulo. Posteriormente, volveremos a los modelos de bosques maduros, a partir del modelo propuesto por Conrad (1999).



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1. Silvicultura de edad uniforme

Como se menciona arriba, en este tipo de modelos nos enfrentamos a un terreno o parcela en el cual se siembra una especie maderable, que usual-mente requiere varios años antes de ser aprovechable. En dicho modelo se supone que existen derechos de propiedad claros para un agente (in-dividuo o empresa), que debe decidir en qué momento talar y vender la madera de forma que maximice sus beneficios descontados en valor pre-sente. Ese momento de tala se conoce como el turno forestal, y el momento adecuado para cortar se conoce como el turno óptimo.

Antes de analizar las decisiones de tala, debemos —al igual que en los modelos de pesca— entender la biología del recurso analizado.

a. Funciones de volumen de madera

Empecemos suponiendo un terreno limpio en el cual sembramos una es-pecie maderable en un momento t = 0. Si denotamos Q el volumen de ma-dera disponible en ese terreno y suponemos que el tiempo sea continuo, entonces sea Q = Q(t) la función de volumen de madera mercadeable en t. Esta función podrá ser medida en volumen de biomasa total o biomasa aprovechable, pero es más práctico suponer que podemos estimar direc-tamente el volumen mercadeable de madera. Esta función tendría una forma similar a la observada en el gráfico 2.12.

Gráfico 2.12. Volumen de madera mercadeable de un bosque monocultivo en el tiempo.

Esta forma funcional sugiere que inicialmente es muy poca la madera que se obtendría; luego, a partir de cierto momento el volumen empieza a aumentar a una tasa creciente, pero a medida que aumenta el follaje y la biomasa, puede seguir aumentando, sólo que ahora a una tasa decrecien-te. El bosque puede crecer hasta un valor máximo de madera comercia-


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lizable, y si se espera más tiempo, algunos árboles pueden morir, con lo cual se reduce finalmente la cantidad de madera aprovechable.

Una forma funcional típica de este comportamiento es la función cúbica:

donde se espera a > b > d

Otra forma funcional que se ha usado es la exponencial:

con b > a > t

A diferencia de la forma cúbica, la función exponencial supone que la biomasa comercializable no decrece con el paso del tiempo; es decir:

t → ∞ Q(t) → ea

La elección de la forma funcional dependerá, entre otras cosas, del cono-cimiento biológico de la especie, de la disponibilidad de datos y del ajuste estadístico de ellos.

La pregunta es en qué momento es apropiado cortar y vender la made-ra; es decir, el “período de rotación” o “turno óptimo” denotado por T. Esta información es importante, porque si se quiere tener una producción constante es necesario “dividir” el bosque en parcelas para garantizar producción continua y tener en cada momento parcelas recién plantadas hasta parcelas con T años (rotación).

b. Crecimiento medio anual

Una primera opción para manejar los bosques es buscar el turno que per-mita maximizar la producción media anual de una rotación de T años; es decir, a los T años se obtiene un volumen anual promedio llamado el crecimiento anual medio, CAM.

Hace años se adoptó este análisis para tratar de maximizar el crecimiento anual medio, bajo la idea que de esa manera se garantizaba el empleo más o menos constante de equipos y mano de obra.

Matemáticamente el problema es elegir el turno forestal, T, tal que

Las condiciones de primer orden implican que

Es decir, el turno que maximiza el crecimiento anual medio es aquel mo-mento en el cual el crecimiento marginal y el crecimiento medio se igua-



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lan. Gráficamente, el crecimiento marginal se mide por la pendiente de la curva de crecimiento, mientras que el crecimiento medio se mide por la pendiente de la recta que parte desde el origen hasta cualquier punto de la curva de crecimiento total. En el gráfico 2.13 se observa este punto y el turno óptimo equivalente a TCAM.

Gráfico 2.13. Turno óptimo de crecimiento medio anual; donde la producción marginal y media se igualan.

Ejemplo: turno óptimo de crecimiento anual medio en diferentes formas funcionales

Caso 1. Función cúbica.

Sea

Se calcula el crecimiento marginal y el crecimiento medio

Entonces el turno óptimo de CAM será aquel en el cual

Caso 2. Función exponencial

Sea


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El crecimiento marginal y el crecimiento medio son

En el turno de CAM debe cumplirse que

Obsérvese que TCAM es análogo al nivel de rendimiento máximo soste-nible (RMS) en la pesca. Aunque parece deseable ya que maximiza el volumen medio extraído en un horizonte infinito de tiempo, ignora con-sideraciones como:

- Precio de la madera;

- Costo de replantar;

- Tasa de descuento.

Por estas razones, es necesario utilizar modelos que incorporen estas va-riables, es decir, modelos bioeconómicos.

c. Rotación simple óptima

Una opción con consideraciones económicas es maximizar el valor presente neto que genera una rotación. Este ejercicio supone que al terminar la rotación, la tierra se usa en otra actividad que no genera efecto financiero.

Si P es el precio conocido y constante de la madera y e t es el factor de

descuento para tiempo continuo10, los beneficios de una rotación en la que se supone que todos los costos se asumen en el momento t = 0 y los beneficios de la venta de la madera en el momento T, estarán dados por:

10. Recuérdese que para una tasa de interés ρ, el factor de descuento en tiempo discreto

es , y en tiempo continuo es e –ρt .



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Ahora el productor debe encontrar el turno óptimo T que maximice estos beneficios:

Las condiciones de primer orden están determinadas por:

Que equivale a decir que:

Esta condición implica que en el óptimo el beneficio marginal de espe-rar un período debe igualar el costo marginal de esperar ese período: si se espera una unidad de tiempo más, los beneficios serán un mayor volumen de madera (Q‘(T)) que se puede vender al precio P, y genera beneficios adicionales. Sin embargo, si se esperara una unidad de tiempo más, se debería asumir el costo de oportunidad de no rentar los benefi-cios generados si se talara hoy (PQ(T)), cuyo costo intertemporal será el rendimiento financiero que daría, dado por la tasa de descuento . En el óptimo, el productor debe ser indiferente entre una y la otra opción.

Otra forma de ver este óptimo es eliminando P de ambos lados de la ecuación y reordenando, de manera que se escriba como:

El término de la izquierda representa la tasa porcentual de crecimiento del recurso, por lo que la condición implica que la tasa de crecimiento del recurso debe igualar la tasa de descuento. De nuevo, esta forma de ver el óptimo adopta un enfoque de portafolio: si el “rendimiento” del bosque es mayor al del activo alternativo, se debe esperar; si es menor, se debe talar, vender la madera e invertir en ese activo alternativo. En el óptimo el productor es indiferente entre uno y otro.

Ejemplo: rotación simple óptima.

Caso 1. Función cúbica.

Sea

Se soluciona

La condición de primer orden es


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Caso 2. Función exponencial.

Sea

La condición de primer orden para es:

Al simplificar se tiene

d. Turno óptimo con infinitas rotaciones: el turno de Faustmann

El modelo anterior supone que la tierra se usa una vez en la producción silvícola y después no tiene ningún valor. En la práctica, la tierra se sigue reusando en bosque o en cualquier otra actividad productiva. Si lo que queremos es explotar la tierra a perpetuidad en la actividad forestal, ne-cesitamos definir un turno óptimo para todas las siguientes talas hasta infinito, bajo el supuesto de que las condiciones del suelo no cambian en el tiempo. Lo que tendríamos sería algo similar al gráfico 2.14.

Gráfico 2.14. Perfil en el tiempo de infinitas rotaciones de un cultivo forestal.

En estas condiciones, la pregunta es: ¿cuál debe ser el turno óptimo T para cada rotación de hoy en adelante hasta infinito? Para averiguarlo, el primer paso es indagar cuál es el flujo de beneficios que se obtendría en el tiempo.

Con cada rotación el valor presente neto (VPN) es que dan en t = 0, T, 2T, 3T, ... Entonces el valor presente de los beneficios de infinitas rotaciones será:



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Esta expresión de los beneficios se puede manipular un poco para simpli-ficar la expresión:

Y esta sumatoria se puede calcular por series, entonces:

Esta última expresión denota el flujo de beneficios descontados de infini-tas rotaciones de duración T.

Ahora, el segundo paso consiste en buscar el turno óptimo que maximiza este flujo de beneficios:

Las condiciones de primer orden implican:

Que se puede reescribir como:

Nótese que la expresión de la derecha es equivalente a , entonces:

Por consiguiente, el turno óptimo equivale al valor de T que resuelve la siguiente ecuación:

El término de la izquierda es similar al del ejercicio para una sola rota-ción: representa el beneficio marginal de esperar una unidad de tiempo sin talar el bosque; en un período más, el volumen habrá crecido en Q’(T) y el valor de este volumen será PQ’(T).


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La expresión de la derecha representa el costo marginal de esperar un pe-ríodo más sin talar y se forma de dos componentes: el primero, similar al de la rotación simple, representa el costo de no talar y enviar el dinero de la venta PQ(T) al activo alternativo para que rinda a la tasa . El segundo término no aparecía en el modelo de una sola rotación y representa el costo de retrasar todos los otros turnos un período de tiempo y no poder obtener la renta de estos turnos, traída a valor presente (π), valorados por el costo de oportunidad de la tasa de descuento ρ. El costo de retrasar todos los otros turnos es equivalente al pago de la renta que se dejaría de recibir al atrasar el lapso (período) de tala un período.

En el óptimo, el productor debe ser indiferente entre esperar y retrasar la tala del bosque.

Este análisis fue desarrollado por Faustmann (1849) y desde entonces se conoce como el turno óptimo de Faustmann, TF.

Como δπ > 0, entonces el turno óptimo será menor al turno óptimo de una sola rotación. En general, se espera que:

TF < TS < TCAM

Una forma alternativa de hacer este mismo problema es suponiendo que el primer costo (t = 0) ya esté hecho; es decir, es un costo hundido, que por ser hundido se puede ignorar sin pérdida de generalidad ni efecto en los beneficios.

Entonces, tenemos en cada momento T unos beneficios dados por:

pQ(T) – c

Los beneficios de infinitas rotaciones están dados por:

Y resolviendo la serie:

Los beneficios descontados de infinitas rotaciones serán representados por:



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Y de nuevo, la maximización de beneficios implica que:

Es decir:

Manipulando un poco esta expresión:

Y de nuevo, recordando que los beneficios son , se tiene:

Entonces:

Éste es un resultado similar al obtenido más arriba.

El turno óptimo de Faustmann tiene la ventaja de incorporar tanto con-ceptos biológicos como económicos en el ejercicio de optimización del turno forestal. Por esta razón se acepta como la mejor prescripción para determinar turnos óptimos de explotación maderera. Sin embargo, supo-ne que los precios, costos y tasa de descuento no cambian en el tiempo.

2. Bosques naturales maduros

Ya hemos visto que los modelos de bosques sembrados son útiles cuando se tiene claridad sobre los derechos de propiedad de la tierra y cuando el poseedor de estos derechos desea determinar el turno óptimo de extrac-ción de la madera para obtener un beneficio privado.

Sin embargo, la silvicultura no es una práctica masiva en los países tro-picales. Por ejemplo, en Colombia, menos del 1% de la superficie forestal se siembra. La gran mayoría de esta superficie es tierra con bosques natu-rales de donde se obtiene la madera para consumo interno y en algunos casos para exportación.


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Estos bosques naturales generalmente no tienen derechos de propiedad claramente definidos, tienen gran diversidad de especies maderables y no maderables y proveen una importante gama de servicios ecosistémi-cos como regulación hídrica, depósito de carbono y mantenimiento de diversidad, entre otros. Dada la inadecuada asignación de derechos de propiedad, se tratan como bienes públicos o como recursos de uso co-mún. Además, en la mayoría de los casos son ecosistemas complejos, de manera que la tala generalmente implica la pérdida de sus propiedades ecosistémicas y su recuperación no es posible por siembra directa —como es el caso de los bosques monoespecíficos—, sino que requiere decenas o incluso cientos de años para que regresen a su estado natural.

Por esta razón estos bosques deben ser tratados como recursos no reno-vables, es decir, una vez talados no es posible recuperarlos en un horizon-te humano-económico.

Estas características implican que su planeación en el uso debe estar lide-rada por un planificador central, y la principal decisión que se debe to-mar es cuánto talar y transformar y cuánto preservar en sus condiciones naturales. Este modelo es el que veremos en esta sección.

El modelo está basado en el propuesto y desarrollado por Conrad (1999) para bosques maduros. Llamemos St a la cantidad de bosque maduro na-tural disponible en el momento t, medido en área, por ejemplo hectáreas o kilómetros cuadrados, y sea ht el área talada en cada período t. Dado que este recurso se comporta como no renovable, la ecuación de evolu-ción para cualquier período será:

Este bosque genera varios beneficios a la sociedad. Por una parte, el área de bosque virgen ofrece un flujo de bienes y servicios tales como produc-tos no maderables, servicios ecológicos, ecoturismo, observación, investi-gación científica, bioprospección, etc.

Supongamos que estos beneficios no maderables del bosque remanente se hayan valorado —mediante las diversas técnicas de valoración econó-mica ambiental— y se hayan resumido en una función A, que depende de la superficie de bosque disponible:

A = A(St)

Es lógico suponer que ésta sea una función cóncava , ya que a medida que tenemos más bosques se obtienen más beneficios pero el aporte marginal es cada vez menor.



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Además, la tala también genera beneficios. Por una parte, la tala en cada período t, ht, genera madera (y probablemente otros bienes) que se pue-den comercializar en ese período. Extraer estos bienes tiene un costo, en-tonces llamamos N al beneficio neto que genera una hectárea de bosque talado. Este beneficio se obtiene sólo una vez.

Sin embargo, una vez talada cierta área, este terreno puede ser dedicado a otras actividades productivas. Supongamos, por simplificación, que este terreno se pueda dedicar a una actividad que genere un flujo de benefi-cios descontados iguales a π por cada hectárea (puede ser, por ejemplo, sembrar árboles en monocultivo como los del modelo de Faustmann).

Sea S0 la superficie inicial de bosque maduro y sea Zt la superficie de terreno dedicado a la otra actividad después de talado. En cualquier mo-mento del tiempo

Zt = S0 – St

El flujo de beneficios en un período en particular t será entonces la suma de los beneficios ambientales que se generan durante el período, los be-neficios de la madera obtenida en ese período por la tala y los beneficios que genera otra actividad alternativa en el terreno ya talado:

Nótese que los beneficios en un período del uso alternativo del suelo son ρπ por hectárea, siendo ρ la tasa de descuento intertemporal de la socie-dad (no son π porque éstos son los beneficios totales descontados en el tiempo). Es decir, ρπZt es el flujo de rentas que genera el terreno Zt dedi-cado a la actividad alternativa cada período.

Un planeador social quisiera definir qué área dejar en estado natural para que ofrezca los servicios ambientales y qué área talar para obtener los beneficios de la madera y los de la actividad alternativa. Para realizar este cálculo, debe tener en cuenta los beneficios de todos los períodos posi-bles, no sólo un período; entonces, el problema que se enfrenta es:

Este problema se puede resolver utilizando un lagrangiano:

Y su solución implica las siguientes condiciones de primer orden:


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Nótese que es posible que la tala (ht ) en un período dado pueda ser cero, bien porque se agote el área disponible, bien porque socialmente no sea deseable talar más. Entonces ht puede tomar el valor de cero en algu-nos períodos; por tanto, esta solución de esquina debe ser considerada, y la expresión para las condiciones asociadas a ht debe usar el enfoque de Karush-Kuhn-Tucker.

Dado que en algún momento se debe detener la tala (porque no haya más qué talar o porque sea mejor preservar que talar), entonces, la solución más probable a este problema es que exista un período 0 ≤ t ≤ τ en el cual la tala sea positiva y un período, t > τ, en el cual la tala sea cero. En ese momento se habrá alcanzado el estado estacionario. En dicho estado h* = 0 y S = S* ≥ 0, aunque probablemente positivo.

Aplicando estas dos condiciones en las de primer orden con respecto a h:

N = δλ*

Es decir,

λ* = (1 + ρ)N

E insertando estas dos expresiones en la segunda condición:

Esta ecuación tiene una sola variable que es S*; esto es, de allí se puede conocer la superficie óptima de estado estacionario, es decir, aquella que debe ser conservada en el largo plazo.

Esta ecuación dice que en el óptimo de largo plazo los beneficios por ser-vicios ambientales de la última hectárea preservada deben ser similares a los beneficios que generaría esta hectárea si se talara y produjera los beneficios por madera N y por usos alternativos π y dichos beneficios se pusieran a rendir en la mejor opción económica, representada por ρ.

Es decir, se debe talar hasta que el valor marginal de amenidades iguale el pago de intereses de la tala más el beneficio del bosque plantado.

Gráficamente se observa que, dado que A’(St) es decreciente y δ(π+N) es constante, mayor cantidad de terreno S* dedicado a bosque maduro ge-



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neraría menos beneficios marginales que si se talara y se dedicara a usos alternativos. Por el contrario, menor área dedicada a bosque generaría más beneficios ambientales que en otros usos y por tanto debe ser conser-vada (véase gráfico 2.15).

Gráfico 2.15. Determinación óptima de superficie en bosque natural que se debe conservar.

También es importante notar que la decisión tiene dos particularidades: por una parte es muy sensible a la función A(St); mientras los valores de δ, π y N pueden obtenerse fácilmente, la función de beneficios ambienta-les puede ser muy difícil de estimar o tener un amplio rango de incerti-dumbre, por lo que se debe ser muy cuidadoso con la recomendación que surja con respecto a la superficie a preservar. Y esto tiene mucho que ver con la segunda precaución, y es que cualquier decisión de transformación es irreversible; como hemos comentado, la tala de bosques primarios al-tera las condiciones ecológicas, y la recuperación al estado inicial puede requerir sucesiones ecológicas que pueden tardar décadas y hasta siglos. Por tanto, en estos casos es importante tener presente el principio de pre-caución y tener en cuenta consideraciones ecológicas antes de promulgar una política.

Finalmente, Conrad (1999) muestra que este problema es lineal en la va-riable de decisión y por tanto su solución implica una situación llamada bang-bang, porque las opciones óptimas son sólo dos: o se tala cero o se tala la máxima capacidad técnica por período hmax. Es decir, en el período [0,τ] la tala será ht = hmax, y en t > τ la tala será cero. Para conocer τ basta entonces calcular

Que se conoce como el método de aproximación más rápida.


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Este modelo, aunque sencillo, se puede utilizar como base para construir modelos más detallados que consideren la importancia de tener en cuen-ta las diversas alternativas de ingreso que pueden generar los bosques tropicales. Por ejemplo, los productos forestales no maderables, PFNM, y la venta de carbono, que cada vez cobran más importancia en la agenda de conservación de estas áreas estratégicas por su biodiversidad.

C. Economía de recursos naturales no renovables: el caso de las minas

La otra categoría de recursos que debemos examinar es la de los no re-novables. Se entiende como un recurso no renovable aquel cuya tasa de regeneración o crecimiento es nula o por lo más es insignificante en una escala humana. Se incluyen en esta categoría todos los combustibles fósi-les (petróleo, carbón, gas natural), los minerales metálicos y no metálicos y las piedras preciosas o semipreciosas. Es decir, generalmente se asocian a productos inorgánicos; sin embargo, como se observó en la sección de bosques, existen bienes orgánicos que deben ser tratados como no reno-vables. El ejemplo que se trató allí fue el de la biodiversidad provista por los bosques naturales. Dado que el agotamiento de la biodiversidad es un proceso irreversible o la recuperación de un bosque primario un proceso que requiere muchos años (muchos siglos), estos recursos también deben ser tratados como no renovables.

De nuevo es importante subrayar el hecho de que aunque estos modelos son originalmente pensados para algunos bienes y servicios, en la prác-tica, es el investigador quien debe decidir cuál es el modelo que mejor se ajusta al recurso con el que se está trabajando. Por ejemplo, como vere-mos, Torres (2006) analiza la explotación de los arrecifes de coral tanto desde la perspectiva de recurso renovable como no renovable y compara los dos resultados con un interesante enfoque.

Este capítulo sigue la propuesta desarrollada por Conrad (1999) en su libro: inicialmente se propone un modelo muy sencillo que permita en-tender el problema dinámico de los recursos no renovables; de allí se des-prende la regla de Hotelling para recursos no renovables. Posteriormente, el modelo incorpora el efecto de la función de demanda para analizar qué ocurre con el manejo de un recurso no renovable cuando el recurso es competitivo y cuando es monopólico.

Una vez entendidos estos conceptos básicos se analiza qué ocurre cuando los costos de extracción dependen de la cantidad disponible, una caracte-rística muy usual en algunos recursos no renovables de origen inorgáni-co, tanto en mercados competitivos como monopólicos.



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Finalmente se incluye un componente importante en la economía de los recursos no renovables, que es la exploración. Ésta es una actividad ries-gosa e incierta, por lo que los modelos deben ahora incluir el componente estocástico. Este modelo presentado allí sirve para introducir la segunda parte del libro, al utilizar las herramientas de la programación dinámica estocástica para la solución de problemas de optimización dinámica.

La primera pregunta que surge alrededor del uso de un recurso natural no renovable es cómo extraerlo en el tiempo, dado que una unidad que se extraiga y se use hoy dejará de estar disponible en el futuro. Es decir, contrario a los recursos o factores fabricados por el hombre, o incluso a los recursos renovables, una unidad de un recurso no renovable extraída y utilizada en un período pierde la posibilidad de ser aprovechada en el futuro. Éste es el principal dilema dinámico, y la decisión debe orientarse a lograr el mayor bienestar posible definiendo la senda de extracción del recurso. Algunas preguntas implícitas son: ¿debemos extraer la mayor cantidad posible ahora y aprovechar sus beneficios invirtiendo en otras formas de capital para el futuro? ¿Debemos esperar al futuro y sacrificar consumo presente? ¿Es óptimo agotar el recurso? Antes de responder a estas preguntas debemos tener en cuenta un concepto importante asocia-do a los recursos, que es el concepto de escasez.

Económicamente, un recurso es escaso cuando a precios cero las cantida-des demandadas son mayores a las cantidades ofrecidas. Este concepto aplica no sólo a recursos naturales, sino a cualquier bien o servicio que genere bienestar a la sociedad. Sin embargo, en el caso de los recursos na-turales, se debe tener otro concepto de escasez: la escasez física. A medida que la tecnología y la innovación avanzan, la disponibilidad física de los recursos puede cambiar por varias razones: pueden descubrirse nuevas reservas, pueden descubrirse o inventarse formas más eficientes de ex-traer los recursos, pueden encontrarse sustitutos a las materias primas o pueden reducirse los costos de extracción.

Entonces, la escasez de un recurso depende de una combinación de con-diciones económicas y físicas. El caso del petróleo actualmente es un excelente ejemplo. En los decenios de 1980 y 1990 un barril de petróleo tenía un precio del orden de 25 dólares. A este precio, muchos pozos pe-trolíferos no eran usados porque los costos de extracción eran mayores a aquél. Actualmente con el precio del barril por encima de los cien dólares, muchos pozos encuentran rentable extraer el petróleo, lo cual automáti-camente implica que las reservas disponibles aumentan en el mundo.

Dicho esto, empecemos por el modelo más simple de extracción de un recurso no renovable.


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1. Uso de un recurso no renovable

Este primer modelo es muy sencillo. Supongamos un modelo donde el tiempo sea discreto, por ejemplo años. Sea un recurso no renovable del cual se conocen unas reservas actuales de S0. Si la extracción en cada pe-ríodo t se denota por qt , y dado que el recurso no se renueva, la ecuación de evolución del recurso estará dada por:

St+1 = St – qt

Supongamos también que no haya costos asociados a la extracción y que la sociedad obtenga beneficio de su extracción. El beneficio para la so-ciedad de la extracción y el consumo del volumen qt se puede medir por medio de una función de utilidad

Ut = U(qt )

Ecuación en la que suponemos que U sea una función cóncava , que indica que a mayor extracción mayor bienestar

para la sociedad, pero que este bienestar aumenta a una tasa decreciente.

Entre períodos la sociedad descuenta su consumo a una tasa ρ y, por tan-to, el factor de descuento, δ, puede expresarse por:

Supongamos además que el recurso se pueda extraer durante un lapso t = [0, 1, 2,...T]. Por tanto, a partir de T + 1 el recurso no tiene ningún valor para la sociedad (su precio sombra será cero en cualquier período de T + 1 en adelante).

Dado que la sociedad percibe utilidad positiva de cualquier unidad del recurso, que no hay costos de extracción y que después del período T la cantidad del recurso remanente no generará ningún beneficio, es lógico suponer que el agotamiento sea óptimo (ST+1 = 0). Al mismo tiempo, dado que la utilidad marginal es positiva para cualquier nivel de consumo, es natural suponer que la extracción y por tanto la utilidad fueren positivas en el lapso [0, T]. Entonces:

En estas condiciones, nótese que las ecuaciones de evolución



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…

S1 = S0 – q0, junto con ST+1 = 0

se pueden reunir en una sola ecuación

Entonces el problema consiste en encontrar la senda de extracción {qt} que maximice el bienestar acumulado y descontado derivado del consumo del recurso extraído, sujeto a la restricción de la cantidad disponible

Que se puede resolver con un lagrangiano que tiene solamente una res-tricción y, por tanto, un solo multiplicador lagrangiano (µ)

Ya vimos que la solución implica solamente soluciones interiores, enton-ces, las condiciones de primer orden serán:

El primer conjunto de condiciones implica que

para todos los periodos en [0, T]

Es decir

Lo que implica que la utilidad marginal descontada debe ser igual en todos los períodos y a la vez igual al precio sombra de la cantidad inicial (). Si se cumplen estas condiciones, se garantiza la maximización de la utilidad agregada en valor presente.

Estas condiciones forman un sistema de T + 2 ecuaciones, con T + 2 varia-bles (q0, q1, q2,...,qT, ), es decir, forman un sistema identificado que tiene solución.


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Tomemos dos períodos consecutivos cualesquiera, t y t + 1. De acuerdo con las condiciones:

La utilidad marginal en valor presente de los dos períodos debe ser igual. Si no fuera así, sería posible reasignar extracción de un período a otro y así aumentar el bienestar agregado. En el óptimo no deben existir po-sibilidades de reasignar extracción de un período a otro sin reducir el bienestar agregado.

De esta ecuación, también es posible observar que

Lo que es similar a

Que implica que la utilidad marginal de la extracción debe, en el óptimo, crecer a la tasa de descuento.

Ahora, si tomamos dos períodos, el inicial t = 0 y otro cualquiera, debe cumplirse que:

Es decir,

Hallando la utilidad marginal del primer periodo ((U’(q0)), es posible de-terminar la senda de la utilidad marginal para el horizonte [0, T]

Si el bien qt se transa en un mercado competitivo perfecto, la utilidad marginal debe ser capturada mediante el precio al cual se transa el bien. Entonces:

Y por tanto la anterior ecuación se puede expresar como:

Es decir, el precio debe crecer, en el óptimo, a la tasa de descuento. Si no es así, se puede reasignar extracción de un período con menor precio descontado a uno con mayor precio descontado y así aumentar el valor presente de los beneficios.



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Otra forma de escribir esta condición es:

En esta forma, esta condición se conoce como la regla de Hotelling (1931), dado que fue quien propuso que ésta debería ser la regla que habría de seguirse para maximizar el bienestar derivado de la extracción y el uso de un recurso natural no renovable.

Nótese que esta condición de nuevo tiene una interpretación bajo el enfo-que de portafolio: la ganancia de capital de una unidad de extracción del recurso debe igualar la tasa de descuento. Si el precio crece más rápido que la tasa de descuento, es mejor no extraer esa unidad durante este período, sino esperar al siguiente y obtener mayores beneficios al obtener pt+1. Si el precio crece más lentamente que la tasa de descuento, es mejor extraer esa unidad ahora, venderla y destinar ese beneficio a la actividad alternativa que renta ρ.

Esta versión de la regla de Hotelling (1931) es muy simplificada porque no incluye costos de extracción; entonces supone que el precio sea igual al be-neficio derivado de la extracción. Más adelante modificamos este supues-to para hacerlo más realista, pero como veremos, la condición se mantiene.

2. Extracción del recurso de cara a la demanda del mercado

El recurso extraído se transa en un mercado en el que existe una función de demanda, la cual refleja la máxima disposición a pagar por tener ac-ceso al mismo. Generalmente, esta función tiene pendiente negativa, lo que refleja que a mayores cantidades, la disponibilidad marginal a pagar decrece. Esta forma es el resultado de que la función de utilidad sea cón-cava, es decir, que la utilidad marginal sea decreciente. Existen varias formas funcionales para representar esta curva de demanda, y es la lineal una de las más populares, así:

Otra forma funcional de amplia utilización es la CES (elasticidad cons-tante), que se denota por:

Las funciones de demanda se representan gráficamente por medio de las funciones inversas de demanda pt = f(Qt), de manera que la forma lineal y CES serán, respectivamente:


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En el caso de la función lineal, la curva de demanda tiene un corte en el eje vertical en a (véase gráfico 2.16). En recursos naturales este valor a es muy importante porque refleja el precio a partir del cual la sociedad no está dispuesta a demandar más de este recurso. Esto implica que a este precio a, la sociedad puede “saltar” o cambiar a usar otro recurso que sus-tituye al inicial. Entonces a puede ser visto como el costo marginal de ex-traer el recurso sustituto o el costo marginal de la tecnología alternativa. Por ejemplo, a puede representar el costo marginal de producir la misma energía que se obtenga de un barril de petróleo a partir de energía solar o de celdas de hidrógeno. Con los altos precios del petróleo en la primera década del siglo XXI se observa la intensa actividad en estas tecnologías, de manera que si se cubriera el costo de producir, a partir de fuentes al-ternativas de forma estable y segura, la misma energía que la de un barril de petróleo, el precio de éste no sobrepasaría este nivel.

Si por el contrario, el recurso no cuenta con buenos sustitutos o el cambio es demasiado costoso, la forma funcional lineal no será un buen reflejo de la demanda, y formas como la CES, que no interceptan el eje vertical, serían mucho más apropiadas para capturar la demanda. Es el caso del agua para consumo humano.

Otra característica importante de la demanda es su elasticidad pre-cio, definida como el cambio porcentual en las cantidades demanda-das como resultado de una variación en el 1% en el precio del bien. Matemáticamente,

En la función de demanda lineal, la elasticidad sería:

Como se observa, en el caso de la demanda lineal la elasticidad depende de Q, es decir, varía según el nivel de extracción: cerca del eje horizontal, cuando Q se acerca a , la elasticidad tiende a cero; cerca del eje ver-tical, cuando Q tiende a cero, la elasticidad tiende a infinito (véase gráfico 2.16).

En la función de demanda CES, la elasticidad es:

Es decir, es constante, independientemente del valor de Qt. De allí su nombre de función de elasticidad constante.



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a. Extracción del recurso en un mercado competitivo

Ahora, volviendo al modelo visto en la sección anterior, sabemos que en el momento T se agota el recurso. Supongamos entonces que qT = 0, RT = 0. En este caso sabemos que el recurso se agota en T períodos, pero no co-nocemos cuánto es ese horizonte T. Con la función de demanda podemos averiguarlo.

Usando la demanda lineal, de la regla de Hotelling sabemos que el pre-cio crece a la tasa de descuento y sabemos que en el último período la extracción es cero. Para que la extracción sea cero, el precio debe ser a, entonces:

pT = a

Y sabemos que:

Entonces

También hemos visto que en cualquier período:

Entonces, reemplazando el valor de p0:

Esta ecuación muestra la senda del precio en el horizonte [0, T] (véase gráfico 2.17).

Gráfico 2.16. Función de demanda lineal donde se aprecia la elasticidad y el precio de choque.


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Gráfico 2.17. Senda del precio del recurso en el tiempo, bajo mercado competitivo.

Sabemos que el precio en el primer período es p0 ; éste crece a la tasa ρ y en el momento T alcanza el precio pT = a. Sin embargo, aún el valor de T es desconocido. Para averiguarlo, podemos usar la función de demanda. Como:

Y conociendo pt , entonces:

Finalmente, como sabemos que el agotamiento es óptimo:

Entonces:

En esta expresión la única incógnita es T, por lo que es posible obtener de allí el valor óptimo del horizonte de extracción del recurso. Claramente, esta ecuación tiene una solución para T; sin embargo, no existe una solu-ción analítica para ella. En este caso, es necesario utilizar métodos numé-ricos para resolver el problema. Como veremos en la siguiente sección de este libro, los métodos numéricos son más usuales de lo que se espera y las herramientas de la economía computacional son cada vez más pode-



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rosas y eficientes para resolver estos problemas numéricos, con un mar-gen de error confiable. Incluso herramientas de fácil acceso como Excel se pueden utilizar para resolver algunos de estos problemas.

Finalmente, con la expresión:

y conociendo T, es posible graficar la senda óptima de extracción del recurso (véase gráfico 2.18).

Gráfico 2.18. Senda de extracción del recurso en el tiempo, bajo mercado competitivo.

b. Extracción del recurso en un mercado de monopolio

Dado que tradicionalmente los recursos no renovables han sido maneja-dos por una u otra razón en mercados de monopolio más que en mercados competitivos, la pregunta es: ¿qué pasará con las sendas de extracción de recursos y sus precios cuando éstos sean explotados bajo un esquema de monopolio? El ejemplo típico de este caso es el petróleo y el control que la Organización de Países Exportadores de Petróleo (OPEP) ha tenido sobre este valioso recurso en ciertas épocas de las últimas décadas.

Para analizar este caso seguimos suponiendo que no haya costos va-riables asociados a la extracción. Ahora tenemos un monopolista que busca maximizar el valor presente de sus ingresos y que se enfrenta a una demanda total del recurso, que se refleja en la curva de demanda. Mantenemos el supuesto de que la función de demanda sea lineal.

Dados estos supuestos, los beneficios en cualquier período t para el pro-ductor, dado que no tiene costos, serán:


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Donde se refiere a la extracción del monopolista, y este productor bus-cará encontrar la cantidad qt que le permita maximizar sus beneficios:

Las condiciones de primer orden de este problema implican que

Dado que no hay costos en este modelo, esta expresión corresponde al ingreso marginal del monopolista.

En el modelo de mercado competitivo, el ingreso marginal que enfrenta cada productor es el precio del bien, Pt ; en el modelo monopolista no es el precio sino

Es decir, el monopolista ahora enfrenta un ingreso marginal que dismi-nuye a medida que aumenta las cantidades extraídas y llevadas al mer-cado.

En el contexto dinámico, el monopolista también está sujeto a la restric-ción:

Por lo que su ejercicio de optimización dinámica es similar. La única di-ferencia es que ahora el ingreso marginal no es el precio, sino la última expresión hallada arriba.

La condición de optimalidad implicará entonces que el monopolista debe-rá igualar los ingresos marginales descontados de cada uno de los perío-dos y que es ahora ese ingreso marginal (y no el precio) el que debe crecer a la tasa de descuento:

Haciendo un procedimiento similar al caso competitivo, como la condi-ción se debe mantener para cualquier par de períodos:

Y si suponemos que la demanda tenga un precio de choque:

,



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ya que la curva de ingreso marginal también alcanza el eje vertical en el punto a. En el momento en el que el precio (y en este caso también el in-greso marginal) alcanza el valor a, la extracción debe caer a cero:

Entonces y el ingreso marginal en cualquier período será:

Como , entonces

De donde es posible despejar el nivel de extracción:

En este momento se pueden notar dos cosas. Primero, si los parámetros (a, b, ρ) son los mismos que en el caso competitivo, esta expresión nos dice que en los primeros períodos la extracción de un monopolista es aproximadamente la mitad de la del productor en los mercados competi-tivos. Segundo, como consecuencia, el horizonte de extracción del recur-so, T, será diferente mayor.

Si las reservas iniciales, S0 , son las mismas y el agotamiento es óptimo, el tiempo de extracción del monopolista (Tm) será más largo que el horizon-te del mercado competitivo (Tc ).

Gráficamente, se espera que la extracción en mercado competitivo co-mience con niveles mayores y termine en un horizonte de tiempo menor que en el caso monopólico (véase gráfico 2.19).

El horizonte de tiempo para el caso monopólico puede calcularse usando la misma técnica que en el caso competitivo. Si el agotamiento es óptimo:

De esta ecuación es posible despejar Tm, aunque no en forma analítica. Se espera que Tm > Tc , ya que el monopolista interesado en aumentar el valor presente de sus beneficios decide restringir la extracción en los primeros períodos, elevar el precio del recurso y alargar el horizonte de extracción.

Una primera visión de este caso sugeriría que si la sociedad quisiera uti-lizar sus recursos por un mayor período de tiempo, entonces sería buena idea asignar su extracción a un monopolista. Sin embargo, esta aprecia-ción es errada. Si bien el horizonte de tiempo de extracción aumenta, se


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hace a costa de restringir el consumo durante varios períodos y elevar el precio. Es decir, la estructura monopólica introduce una ineficiencia que es irrecuperable para la sociedad que no justifica el estiramiento del ho-rizonte de tiempo. Además, si los precios capturan en toda su dimensión la disponibilidad a pagar de la sociedad (y el bienestar marginal) por el acceso a este recurso, lo óptimo es que se agote en Tc períodos y no en Tm, aunque sea un horizonte menor.

Resumiendo, los principales resultados de estos modelos hasta el mo-mento son:

• En un mercado competitivo, la senda óptima de extracción de un recurso implica que el precio debe crecer a la tasa de descuento.

• En un mercado con estructura monopólica, la senda de extrac-ción está dada por el crecimiento del ingreso marginal, que es el que debe crecer a la tasa de descuento.

• Como el monopolista enfrenta un ingreso marginal decreciente, su extracción será —en los primeros períodos— menor que la de mercados competitivos, el precio será mayor y el horizonte de extracción será más largo. Esto no implica que el monopolista sea conservacionista; solamente que está maximizando sus be-neficios y, como resultado, es lo mejor que debe hacer. Como en cualquier monopolio, esta decisión introduce una pérdida irrecu-perable de eficiencia a la sociedad.

Gráfico 2.19. Comparación de las sendas de extracción bajo competencia y bajo monopolio.



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c. Reservas costo-dependientes

Hasta el momento hemos ignorado los costos de extracción del recurso. Si éstos no dependen de la cantidad remanente, la extensión del modelo anterior es relativamente directa. Sin embargo, con los recursos no reno-vables es usual encontrar que a medida que decrece la cantidad dispo-nible, los costos de extracción aumentan. Es decir, los costos son reservo-dependientes. En esta sección exploramos el efecto de este tipo de costos sobre las decisiones óptimas de extracción.

Supongamos que los costos de extracción se representen con una función

De esta función se supone que a mayor extracción, más altos los costos , que a mayor cantidad del recurso menos costos , que és-

tos aumenten a una tasa creciente y que haya com-plementariedad entre la cantidad de recurso y la extracción , en el sentido de que a mayor cantidad el costo marginal de extracción es menor .

Para concentrarnos en los efectos de los costos reservo-dependientes, en este modelo regresamos al supuesto de mercados competitivos para el producto extraído, de manera que el ingreso marginal del productor es el precio del período Pt .

Entonces los beneficios en cada período t corresponden a:

En un contexto intertemporal, el productor buscará maximizar la suma descontada de los beneficios obtenidos en un horizonte de tiempo [0,T], sujeto a la ecuación de evolución del recurso, ya que conocemos la canti-dad inicial, S0 , y el horizonte de tiempo, T:

Nótese que cuando los costos dependen inversamente de la reserva, el agotamiento puede no ser óptimo; dada la estructura de costos, es posible que algunas unidades no se deban extraer, si el costo de hacerlo es mayor al ingreso que generan.

Ahora, para resolver este problema debemos postular un lagrangiano que involucre la ecuación de evolución en cada uno de los períodos del horizonte [0, T]:


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Y su solución implica las siguientes condiciones:

Donde Cq se refiere a la derivada de la función de costos con respecto a la extracción (∂C/∂q) y Cs se refiere a la derivada de la función de costos con respecto a la cantidad del recurso (∂C/∂S).

De la primera expresión se puede decir que

La segunda expresión surge de retrasar un período la primera.

Despejando de ella λt:

Restando la primera expresión y esta última:

Nótese que en el primer término de la derecha Cq(.) se refiere al costo marginal de la extracción en el período t, mientras el segundo se refiere al costo marginal en el período t – 1.

Ahora de la segunda condición se puede escribir

Esta expresión se puede igualar con la anterior:




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El término [Pt – Cq(.)] denota la renta de la unidad marginal extraída en cada período t. Entonces, el término del lado izquierdo muestra la tasa a la cual cambia esta renta de un período a otro. Esta expresión es análoga al crecimiento del precio en el caso donde no había costos, vista en la sección anterior. La ecuación muestra que ahora esta renta no debe crecer a la tasa de interés, sino a la suma de dos términos: la tasa de interés y el término .

Nótese que CS(.) es una expresión negativa; entonces, la nueva versión implica que la renta debe crecer a una tasa menor a la del interés o des-cuento intertemporal.

Este segundo término, que reduce el efecto del crecimiento en la renta, puede ser interpretado como la proporción de la renta que corresponde al efecto marginal de la cantidad sobre la función de costos. A medida que la cantidad de recurso tenga mayor efecto en la reducción de los costos, la senda óptima de extracción debe generar unas rentas que crezcan más lentamente.

Nótese también que si Cq(.) = 0 y CS(.) = 0, la condición de optimalidad converge a la regla de Hotelling simple que habíamos visto en la sección anterior, en la que no había costos de extracción.

De manera análoga, si los costos sólo dependen de la cantidad extraída pero no de la cantidad, la regla de optimalidad implica que la renta debe crecer a la tasa de interés o de descuento intertemporal.

También es fácil extender el modelo al caso del monopolio. El monopolis-ta, como ya hemos visto, tiene un ingreso marginal que no es solamente el precio; entonces, se puede verificar que si el precio se reemplaza por el ingreso marginal del monopolista, la condición de optimalidad implicará que:

Que tiene una interpretación similar a la ya analizada.

Sólo resta analizar qué ocurre con el horizonte de extracción; es decir, hasta cuándo se explota el recurso. Si suponemos que en el momento T se termina la explotación del recurso, qT > 0, qT+1 = 0, entonces λT+1 = 0, ya que no hay un valor sombra asociado al recurso en ese período. Dada este término, la condición de primer orden con respecto a la extracción converge a:


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Es decir, en el último período el precio debe coincidir con el costo mar-ginal de extraer la última unidad rentable económicamente (no necesa-riamente la última unidad física). Simultáneamente, las reservas deben haberse reducido hasta el punto en que los beneficios sean cero,

Lo que implica que

Es decir, el precio en el período T debe ser igual al costo medio de extraer esa unidad qT. Entonces, conociendo PT es posible hallar qT y ST. Por ejem-plo, sea PT = p, y sea la función de costos , el costo marginal será:

Y el costo medio:

Es decir, de acuerdo con cualquiera de las dos condiciones anteriores,

Lo que implica que

Además, nótese que en este caso el lagrangiano sería una expresión lineal en qt , lo que implica una solución bang-bang, es decir, los dos posibles niveles de extracción son qt = 0 ó qt = qmax, donde qmax es el límite de ex-tracción dado por la capacidad técnica de extracción. Si es así, la senda de extracción adopta “el camino más rápido posible” y el horizonte de explotación será:

d. Exploración

El último tema que vamos a tratar en este capítulo relacionado con los recursos naturales no renovables es el de la exploración, es decir, la bús-queda de nuevos yacimientos del recurso que permitan aumentar la cantidad disponible del recurso o reservas. Sin embargo, la exploración



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es una decisión compleja que depende de la tecnología disponible, de las expectativas sobre los precios y de los costos de la exploración, entre otros. Además, tiene otra característica importante y es que es una activi-dad incierta y por tanto de riesgo. Por consiguiente, la lógica económica implica que se haría exploración sólo si el valor presente esperado de los descubrimientos fuera mayor al costo de hacer la prospección, el desarro-llo y la extracción.

Ahora, si los costos son reservo-dependientes, habrá más incentivos para aumentar la exploración a medida que las reservas disponibles se reduz-can. Y la posibilidad de encontrar nuevas reservas también depende de los descubrimientos previos: a medida que aumente la cantidad de re-curso por descubrimientos, las posibilidades de hallar nuevas reservas disminuye.

En consecuencia, modelar el proceso de exploración puede implicar con-siderar muchos factores tanto exógenos como endógenos y puede llegar a ser particularmente complicado. Sin embargo, para entender las bases del proceso exploratorio utilizaremos un modelo propuesto por Conrad (1999), que simplifica el problema a dos períodos y a unas condiciones manejables. Entender este modelo es útil por varias razones:

• Permite entender el proceso de decisiones de exploración.

• Permite entender el análisis dinámico bajo incertidumbre.

• Nos presenta de manera sencilla un modelo y una técnica que serán usados en la siguiente sección del libro: la programación dinámica estocástica.

Supongamos entonces un modelo de dos períodos, t = 0, 1. En el primero se tienen unas reservas S0 disponibles; en este período se debe decidir cuánto de esta reserva extraer (q0) y cuánto esfuerzo de exploración reali-zar (e0). Estas dos variables se deben decidir con base en el ingreso neto, los costos de cada actividad y las expectativas sobre descubrimientos, entre otros factores.

La exploración generaría, de ser exitosa, reservas que estarían disponi-bles para el siguiente periodo. En el período t = 1 no se hará ninguna actividad exploratoria, ya que no hay un período subsecuente en el cual utilizar estas reservas; entonces e1 = 0.

Sin embargo, en el período t = 1 sí hay extracción q1, y ésta dependerá principalmente de los descubrimientos hechos en el período t = 0. Estos descubrimientos, a la vez, son inciertos. Supongamos, para simplificar el análisis, que existan dos posibles estados de la naturaleza en el período t = 1: N = 0 y N = 1.


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El estado N = 0 ocurrirá con una probabilidad p = , y el estado N = 1 con una q = 1 – , siendo un valor entre cero y uno.

Cada estado de la naturaleza genera una respuesta diferente en términos de la efectividad de la exploración, así:

• Si N = 0, cualquier nivel de esfuerzo termina en que no hay descu-brimiento.

• Si N = 1, el esfuerzo de exploración genera unos descubrimientos iguales a αe0 siendo α un parámetro positivo.

Es decir, los descubrimientos se pueden denotar por:

Como se mencionó, en el período t = 1 no habrá exploración, pero sí ex-tracción, que dependerá del estado de la naturaleza; entonces, en t = 1 las decisiones son:

q1, 0 = extracción en t = 1 si N = 0;

1, 1 = extracción en t = 1 si N = 1.

Es decir, que el modelo debe responder a los interrogantes de los valores de q0, e0, q1, 0 y 1, 1.

Supongamos que el recurso extraído se venda a un precio Pt y que el cos-to de la extracción sea capturado en la función

Donde c es un parámetro. Si se desarrolla exploración, ésta también ge-nerará unos costos dados por wet

2 donde w es un parámetro de la función de costos de exploración.

Aunque este problema se ha simplificado mucho, aun su solución puede ser compleja. Para resolverlo se utiliza la programación dinámica estocás-tica. En la primera sección del libro, se introdujo la técnica de la progra-mación dinámica; en la siguiente sección se explica al detalle este método para resolver problemas dinámicos. Por ahora es importante entender cómo funciona en general esta técnica: para un problema de tiempo finito (T < ∞), la estrategia es ir al último período de análisis (t = T) y suponer que se está allí después de tomar decisiones óptimas en todos los períodos anteriores. En el momento t = T el problema por resolver no es dinámico: sólo se debe resolver la decisión para este período. Entonces, el problema



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se puede resolver como un problema estático. Una vez resuelto, se puede dar un paso hacia atrás, al período t = T – 1.

En t = T – 1, el problema del período t = T está resuelto y como se supone que llegamos allí después de tomar decisiones óptimas, éste es de nuevo un problema estático que se puede resolver, en general, de forma directa. Y así sucesivamente. Al llegar a t = 0, se resuelve el problema para este período y se puede ahora resolver la cadena de decisiones óptimas para el horizonte t = {0, 1,...,T}.

El planteamiento es simple y en la práctica el único inconveniente es re-solver el problema para muchos períodos y con muchos estados de la naturaleza posibles, problema que es cada vez más fácil de resolver con el uso de herramientas computacionales, como veremos en la siguiente sección.

Volviendo al modelo de extracción, entonces la estrategia implica ir al úl-timo período, en este caso, a t = 1. Allí tenemos dos estados de la natura-leza posibles N = 0 y N = 1, pero en t = 1 ya se habrá realizado cualquiera de esos dos estados y el problema ya no será estocástico.

Si N = 0, entonces cualquier exploración en t = 0 es inútil en términos de descubrimientos y por tanto las reservas disponibles serán

Si el precio en t = 1 es P1 , el beneficio neto en ese período, bajo ese estado será:

Si N = 1, entonces las reservas disponibles en t = 0 dependerán ahora del esfuerzo de exploración en t = 0:

Y ahora los beneficios serán

Como en t = 1 el estado de la naturaleza ya se ha realizado, en cada estado posible es factible buscar la decisión óptima:

Si N = 1, el problema es


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Que es un problema estático; recuérdese que se supone que q0 y e0 ya fueron decididas de manera óptima. Entonces las condiciones de primer orden serán:

De donde es posible obtener q1,0*:

Si N = 1, el problema es

Cuyas condiciones de primer orden implican que

Estas dos expresiones muestran la extracción óptima en el período t = 1 para cada estado de la naturaleza. Estas decisiones óptimas dependen de q0 y e0 , que por ahora son desconocidas, pero una vez conocidas determi-nan de manera unívoca las decisiones de extracción en t = 1.

Utilizando la teoría de la función de valor (máximo), los valores óptimos de se pueden reemplazar en las funciones de beneficios ini-ciales, correspondientes a los dos estados de la naturaleza en el último período:

Que es una función de valor máximo.

De manera análoga:

Nótese que ambas expresiones optimizadas dependen de parámetros (P1, c, α) y de variables relacionadas con el período t = 0, que en t = 1 ya han sido decididas.



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Ahora, antes de llegar a t = 1 no se sabe con certeza en qué estado de la naturaleza se va a terminar. En realidad, en t = 0 sólo se tendrá un valor esperado de los beneficios en t = 1:

Y reemplazando las dos funciones de valor, se tiene:

Que después de algo de algebra equivale a

Expresión que, aparte los parámetros, sólo depende de q0 y de e0. Con esta expresión damos el siguiente paso en la programación dinámica: retroce-demos un período (es decir a t = 0) y analizamos cómo tomar decisiones óptimas.

En t = 0 el problema es

Donde δ es el factor de descuento . Del paso anterior cono-cemos el valor esperado de los beneficios en t = 1; entonces, debemos plantear los beneficios en t = 0, π0:

Nótese que tenemos dos costos en el período t = 0, la extracción en este período y la exploración. Entonces ahora podemos escribir los beneficios esperados de los dos períodos:

Expresión que depende sólo de variables asociadas a t = 0 (e0 , q0); es decir, tenemos de nuevo un problema estático por resolver:

Problema que tiene dos variables de decisión y por tanto dos condiciones de primer orden:


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Las dos expresiones son independientes en este caso, por lo que la solu-ción es directa:

Son expresiones que definen la cantidad óptima que se ha de extraer en el período t = 0, dependiendo de la cantidad inicial, del parámetro de costos, de los precios y de la tasa de descuento, y la cantidad óptima de exploración, en función de la tasa de descuento, el precio futuro del re-curso, la eficiencia de la exploración, la probabilidad de tener exploración exitosa y los parámetros de costos de extracción y exploración.

Para el agente decisor, el problema se resuelve así:

• Ejecuta las decisiones q0* y e0* en t = 0

• Espera que se revele N en t = 1 y de allí decide q1,0* ó q1,1*

La extracción óptima en t = 1 ahora puede ser resuelta dado que se conoce q0* y e0*

y

Con estas expresiones es posible hacer estática comparativa para anali-zar cómo cambian las decisiones óptimas ante variaciones en parámetros como los precios, los costos, la cantidad inicial, la tasa de descuento, la eficiencia de exploración o la probabilidad de éxito. Se deja como ejercicio al lector curioso realizar tal análisis.



113

Este modelo, aunque sencillo, tiene varios componentes interesantes y muestra la complejidad que rápidamente pueden ganar los modelos de optimización dinámica de los recursos naturales.

En la siguiente parte del libro se aborda la economía computacional como un arma efectiva para resolver muchos de estos problemas que hasta hace pocos años no tenía —algunas veces— solución analítica.

Pero antes de pasar a esa sección, veremos una interesante aplicación de los modelos vistos a un caso particular en Colombia.

3. Aplicación práctica de los modelos de recursos renovables y no renovables

Otro de los trabajos que se desarrollaron en el marco de la Maestría en Economía de Medio Ambiente y Recursos Naturales, PEMAR, de la Universidad de los Andes, compara los recursos de arrecifes —específi-camente los corales— al tratarlos como renovables o como no renovables. Este trabajó generó ideas para una discusión que es importante y captura de manera interesante el uso de los modelos económicos de recursos na-turales vistos.

a. Los arrecifes de coral como un recurso natural renovable y no renovable: modelo bioeconómico de la isla de San Andrés (Caribe colombiano)

Por Camilo Torres-Sanabria

Los arrecifes de coral son un sistema natural único, el más rico en biodi-versidad de todos los ecosistemas de la biosfera, el cual mantiene enor-mes productividades en aguas tropicales poco profundas (Connell, 1978; Cesar, 2002), basándose en la secreción esquelética de carbonato de cal-cio (CaCO3), propia de los corales hermatípicos (corales escleractíneos formadores de arrecife), que a través de todas las sucesiones ecológicas permiten consolidar y construir estas estructuras tridimensionales que modelan las costas y playas.

El arrecife de coral soporta la estructura social, cultural y económica de muchas islas del mundo, ya que provee bienes y servicios únicos para el andamiaje de los recursos básicos humanos, incluso servicios ambienta-les que son atractivos para la industria turística, como la de la isla de San Andrés, situada en la plataforma centroamericana y de origen geológico coralino (Díaz, 2000). Así mismo, en la isla se generan efectos ambienta-les negativos hacia el arrecife fomentado por la evidente sobrepoblación humana. Por tanto, es necesario plantear mecanismos para extraer y usar


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los recursos de arrecife que garanticen un desarrollo sostenible que con-sidere a la estructura coralina la consolidación de organismos que tienen tasas constantes de reproducción sexual y asexual (recurso renovable), pero que también tenga en cuenta que es una estructura de condiciones de gran fragilidad, baja resiliencia ambiental y con tasas de renovación no apreciables por la escala temporal humana (recurso no renovable).

Una alternativa es la alianza metodológica entre las variables socioeco-nómicas y las biológicas que permitan, mediante investigaciones teóricas y empíricas, modelar las interacciones más importantes del ecosistema, combinando decisiones de uso del recurso natural.

El objetivo de este estudio es determinar y estimar un modelo bioeco-nómico adecuado para la extracción y el uso de los arrecifes de coral, a partir de la teoría económica y biológica de los recursos renovables y no renovables, considerando condiciones socioeconómicas y ecológicas en la estructura coralina en la isla de San Andrés, dentro de un análisis empírico. Se proponen modelos que utilizan la técnica de optimización dinámica, la cual, como su nombre lo indica, estima la senda de decisión óptima para sistemas que evolucionan en el tiempo y que se resuelve por medio de la programación dinámica. Para desarrollar dicho método se utiliza la relación recursiva fundamental, que se traduce matemáti-camente en el principio de optimalidad de Bellman (1957). La ecuación de Bellman enuncia: “Una política óptima tiene la propiedad que cualquiera sea el estado y las decisiones iniciales tomadas, las restantes decisiones deben constituir una política óptima con independencia del estado resul-tante de la primera decisión”.

El caso de estudio parte de la construcción y levantamiento de datos de carácter biológico, ecológico (diseño metodológico de 13 estaciones de muestreo con más de 650 metros cuadrados recorridos minuciosamente, donde se tomaron datos ecológicos de la estructura de población corali-na, como la tasa de crecimiento, área coralina, porcentajes de mortalidad, porcentaje de blanqueamiento, densidad de población, variedad corali-na, localización y profundidad), económico y social (insumos técnicos como lancha, motor fuera de borda, pala, pico, sogas, precio de la gasoli-na, salario mínimo mensual, entre otros), perteneciente a la extracción del recurso CaCO3 como material de origen biológico base del arrecife, y que presenta altas tasas de extracción como material de construcción. El costo de extracción de CaCO3 es considerablemente más bajo que la compra de cemento. Se extraen 7,5 kilogramos diarios en promedio por jornada o por demanda del consumidor, y cada kilogramo es transado aproxima-damente por 1.100 pesos (año base 2004).



115

La población coralina presenta altas tasas de crecimiento (0,23 centímetros cuadrados/año), muy similares a otros sitios del Caribe (Fabres, 2002), donde es posible ajustar la función de crecimiento a una forma funcio-nal cuadrática, y la capacidad de carga ambiental expone una población ecológicamente sostenible (6.050 colonias coralinas), como se aprecia en el gráfico 2.20. Esta cantidad actual corresponde a un área de arrecife de 46,4 kilómetros cuadrados con potencial de extracción. Esta cantidad de recurso disponible equivale a 4,64 x 109 kg de CaCO3 (según la conversión biológica, 1 cm2 = 10 g).

Gráfico 2.20. Función de crecimiento de población coralina de la isla de San Andrés.

Fuente: Torres, 2006.

El análisis de simulación, desde el enfoque de renovación, demuestra que una extracción constante de recurso disminuiría la cantidad disponible al quinto año, hasta llegar a 197 mil toneladas; cantidad aproximada am-bientalmente óptima como área mínima natural que estabiliza ecológi-camente el ecosistema. El planteamiento de recurso no renovable simu-la una política de extracción extendida por 100 años, que considera la baja recuperación de ecosistema. En estas condiciones se evidencia que la decisión óptima de mantener una extracción constante anual de 60,5 toneladas no ejercería presión ambiental adversa sobre la integridad del ecosistema, donde la cantidad mínima que se ha de conservar es 192 mil toneladas, aproximadamente, como se observa en el gráfico 2.21.


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Gráfico 2.21. Simulación de la senda de cantidad disponible del recurso coralino si se realiza una extracción de 60,5 toneladas promedio anuales durante cien años.

Fuente: Torres, 2006.

Para finalizar, se evidencia que la extracción actual del recurso natural en la isla de San Andrés no afecta en el largo plazo la integridad del eco-sistema del arrecife coralino, desde la perspectiva de renovación y no renovación. Se recomienda a las entidades planificadoras generar estrate-gias de conservación y extracción controlada de recursos, incentivando la sustitución de técnicas nocivas con el entorno natural.

117

IIIECONOMÍA COMPUTACIONAL PARA

RECURSOS NATURALES

En los capítulos anteriores hemos visto diferentes modelos para recur-sos naturales. Dado su carácter de modelos, son simplificaciones de

la realidad con el objetivo de entender fenómenos subyacentes y orientar políticas de manejo. Sin embargo, en la práctica, aun los modelos senci-llos pueden involucrar un alto nivel de complicación matemática, lo que causa limitaciones en el alcance y utilidad que proveen. Para atender este inconveniente, en los últimos años se ha avanzado de manera significati-va en un área conocida como la economía computacional, que busca apro-vechar de la mejor manera posible los recursos computacionales —cada vez más poderosos, rápidos y eficientes— en la solución de problemas económicos, especialmente problemas dinámicos.

Este capítulo está inspirado en el libro de los profesores Miranda y Fackler (2002), líderes a nivel mundial en este campo. Empieza con una revisión del uso de métodos computacionales para resolver sistemas de ecuaciones lineales o no lineales, importante para entender los métodos numéricos. Continúa con el literal sobre aproximación de funciones, me-canismo para introducir el problema de resolver ecuaciones funcionales mediante el método de colocación, base del análisis dinámico. Con esas bases, el siguiente literal aborda el problema de la programación dinámi-ca en modelos de estado discreto, y el que le sigue, en modelos de estado continuo. Se revisan allí las bases teóricas y los métodos computacionales para resolver problemas de optimización dinámica y se retoman varios de los modelos vistos en el capítulo anterior.

A. Ecuaciones lineales y no lineales: métodos computacionales

La economía se enfrenta a ejercicios matemáticos que pueden llegar a ser muy difíciles de resolver de manera analítica. Por ejemplo, los modelos


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económicos dinámicos generan como solución ecuaciones funcionales en las cuales la variable no es un vector, sino una función en un continuum de puntos; en la práctica, la ecuación funcional —aunque exista— no tiene una forma cerrada. Gracias a las herramientas computacionales, ahora es posible usar métodos numéricos con un alto grado de precisión para resolver problemas de este tipo.

Sin embargo, tradicionalmente, los economistas han supuesto que las so-luciones numéricas son menos elegantes que las soluciones analíticas o de forma cerrada. Esta conducta se explica en la poca precisión que apor-taban los métodos numéricos ahora años o por la dificultad de desarrollar estos modelos y simulaciones en el computador. Ahora este problema se ha resuelto de manera significativa, gracias a la velocidad, capacidad y desarrollo de las herramientas computacionales, lo que permite resolver problemas numéricos con un grado de precisión muy alto. En realidad, los métodos econométricos actuales se basan en gran medida en herra-mientas numéricas para la solución de sistemas de ecuaciones.

En el caso de los modelos de simulación, aunque siempre es preferi-ble derivar una solución cerrada, ante la imposibilidad de hacerlo, las aproximaciones numéricas cobran cada vez más fuerza en el abanico de opciones para aportar a la solución de problemas.

Incluso en el caso de problemas sencillos, puede llegar a ser imposible encontrar una solución analítica. Miranda y Fackler (2002) ilustran este punto con un ejemplo sencillo:

Supóngase que se tenga una función de demanda dada por q = p–0.2. Si queremos saber cuál será la cantidad demandada cuando el precio es 2, la solución es directa; basta remplazar este valor en la función:

Si p = 2 q = 0.87.

Y al contrario, si queremos saber cuál es el precio que la sociedad está dis-puesta a pagar por tener dos unidades del bien, podemos invertir la función:

.

Ahora, supongamos que la demanda se componga de dos partes (por ejemplo, una demanda interna y una demanda externa), de manera que ahora la función de demanda es:

Si queremos saber las cantidades transadas a un precio uniforme de 2, el problema se puede resolver directamente:

Si p = 2 q = 0.789.

ECONOMÍA COMPUTACIONAL PARA RECURSOS NATURALES


119

Ahora, si queremos saber cuál sería el precio cuando las cantidades tran-sadas son dos unidades:

Si q = 2 p = ?

Después de una revisión juiciosa del caso, es posible observar que exis-te una solución al problema. En realidad, ésta es una función continua, diferenciable y estrictamente decreciente con una solución real. Pero sin que importe el método analítico que utilicemos, es imposible escribir una expresión que resuelva esa incógnita.

Utilizando métodos numéricos, este problema se puede resolver con un procedimiento muy sencillo y con un nivel de precisión relativamente alto.

Para entender el funcionamiento de los métodos numéricos para la solu-ción de problemas, este capítulo empieza con una revisión de la solución a sistemas de ecuaciones lineales y posteriormente se revisa cómo se re-suelven sistemas de ecuaciones no lineales.

1. Ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales son la base de gran cantidad de pro-blemas económicos y matemáticos. En términos generales, nos enfrenta-mos a un sistema de la forma

Ax = b

Donde A es una matriz de tamaño n x n y b es un vector de valores inde-pendientes de tamaño n x 1. En este sistema tenemos un vector de incóg-nitas o variables X que debemos resolver de manera que satisfagan esta ecuación. Este problema surge en muchos casos en economía: el equili-brio de un mercado y las condiciones de estado estacionario de un siste-ma dinámico, por mencionar sólo algunos.

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse numéricamente ahora a un costo relativamente bajo, con gran rapidez y precisión. En la práctica, si el sistema es pequeño, se usan las técnicas usuales de iguala-ción, reducción o sustitución. Para sistemas un poco mayores, el método de eliminación por Gauss es muy útil. E incluso, la regla de Cramer es un método ampliamente enseñado y aplicado. Sin embargo, computa-cionalmente, hay métodos iterativos que son muy eficientes y resuelven el problema con gran rapidez. El método más usual es el que se conoce como factorización LU o factorización inferior-superior.


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a. Factorización LU

Este método se basa en un concepto muy sencillo: algunas ecuaciones Ax = b son relativamente fáciles de resolver. Por ejemplo, si A es una ma-triz triangular inferior, es decir, de la forma:

la solución es directa. Los elementos de X se pueden hallar en forma re-cursiva usando sustitución hacia adelante:

...

En Matlab, esta rutina se puede programar fácilmente:for i=1:length(b)

X(i) = (b(i) – A (i, 1: i-1) * x(1: i-1))/A (i,i);

end

Ahora, si la matriz A es triangular superior, es decir:

los elementos de X se pueden calcular por sustitución hacia atrás. Es decir, el mismo procedimiento pero empezando por el n-ésimo término hacia arriba.

En la práctica, no es usual encontrar sistemas en los que la matriz A sea triangular, por lo que usar estas estrategias no es común. Sin embargo, existe un enfoque llamado el algoritmo de factorización L-U (por las siglas en inglés de lower-upper), cuya idea central es descomponer la matriz A en el producto de matrices inferiores y superiores, para que la ecuación lineal sea resuelta usando una combinación de sustitución hacia delante y hacia atrás.



121

El algoritmo L-U involucra dos etapas:

– Factorización

– Solución

i. Factorización

Esta etapa se basa en el teorema que dice:

“Cualquier matriz cuadrada no singular puede ser descompuesta en el producto de dos matrices: una matriz triangular inferior (con permutación de filas) y una matriz triangular superior”.

Entonces, el método consiste en utilizar eliminación gaussiana para facto-rizar la matriz A en el producto A = LU donde L es una matriz triangular inferior con permutación de filas (filas reordenadas) y U es una matriz triangular superior.

ii. Solución

Una vez escrita A en esta forma, el sistema Ax = b se puede escribir como

LUx = b

L(Ux) = b

Entonces se renombra Ux = y, de manera que ahora el sistema queda reescrito como

Ly = b

Éste es un sistema en el que se debe resolver Y, lo cual es muy fácil, ya que L es una matriz triangular inferior; entonces se puede usar sustitu-ción hacia delante, teniendo en cuenta la permutación de filas. Una vez resuelto este sistema, es decir, conociendo Y, volvemos al sistema Ux = y, el cual se resuelve fácilmente porque U es una matriz triangular superior. Entonces el sistema se resuelve para x usando sustitución hacia atrás.

Ejemplo. Como resolver un sistema usando el método de factorización LU.


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Etapa 1. Factorización. Para hacer la eliminación gaussiana empeza-mos reescribiendo la matriz A junto a una matriz identidad:

El objetivo es eliminar las entradas subdiagonales de la primera co-lumna. Se hace con respecto a la primera fila, así: en la segunda fila se hace la operación F2-F1, y el resultado va en esa fila 2. Para la tercera fila se hace F3+F1 y el resultado va en la tercera fila:

Ahora, para eliminar las entradas subdiagonales en la segunda co-lumna de U, se hace permutación de filas. En este caso se permutan las filas 2 y 3:

Ahora la parte izquierda corresponde a U, que es una matriz trian-gular superior, y la parte derecha corresponde a L, que es una matriz triangular inferior con permutación de filas. Entonces, hemos rees-crito A en los términos que esperábamos: .

Etapa 2. Solución. Ahora reescribimos el sistema Ly = b:

Y usando recursión hacia adelante, resolvemos los valores del vector y:

y1 = 10

y2 + y3 = 8

y3 = 8 – 10

y3 = –2



123

– y1 + y2 = –3

y2 = –3 + 10

y2 = 7

Conociendo el vector y, hacemos recursión hacia atrás para resolver

Ux = y

Este método de factorización L-U es más rápido que otros métodos de algebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Usando fac-torización LU se necesitan aproximadamente operaciones para un sistema n x n. En contraste, si calculamos la inversa de A para resolver x = A–1b, se requieren n3 + n2 operaciones. Usando la regla de Cramer se requieren (n + 1)! operaciones. Entonces, por ejemplo, si n = 3, en LU se requieren 18 operaciones, usando la inversa se requieren 36 operaciones y usando la regla de Cramer se requieren 24 operaciones, lo cual no pa-rece exagerado ni muy diferente entre técnicas. Pero si n = 10, el méto-do L-U requiere 430 operaciones, el método de la inversa requiere 1.100 operaciones y el método de Cramer requiere alrededor de 40 millones de operaciones. Aquí la ventaja es evidente.

En la actualidad, la mayoría de los programas de software que resuelven sistemas de ecuaciones utilizan factorización L-U. En Matlab, el comando x = A\b se usa para resolver sistemas de ecuaciones y el programa siem-pre hace L-U, a no ser que detecte que ya es triangular o triangular con permutaciones, en cuyo caso va directamente a la segunda etapa y hace la sustitución.

Existen algunos casos especiales que hacen incluso más eficiente este mé-todo.

• Matrices simétricas positivas definidas

Sea A una matriz simétrica nxn, entonces

A es positiva definida si x’ Ax > 0 ∀x ≠ 0 en Rn

A es positiva semidefinida si x’ Ax ≥ 0 ∀x ≠ 0 en Rn

Un caso muy usual de matrices definidas positivas es cuando se calculan mínimos cuadrados en análisis de regresión. Una matriz definida positi-


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va es la versión multidimensional de un cuadrado perfecto. Es decir, la descomposición L-U de una matriz definida positiva es:

A = U’U

Una misma matriz triangular multiplicada por su traspuesta. Saber esto simplifica los análisis: cuando se hace descomposición gaussiana se uti-liza un algoritmo más eficiente que se conoce como la factorización de Cholesky. Este procedimiento requiere la mitad de operaciones y es me-nos vulnerable a errores de redondeo. Dado que A es una matriz defini-da positiva, la descomposición (U) es llamada el factor Cholesky o “raíz cuadrada” de A. Entonces, el sistema original:

Ax = b

Se puede escribir como

(U’U)x = b

U’(Ux) = b

U’(y) = b, que se resuelve por sustitución hacia delante y luego

Ux = y, que se resuelve por sustitución hacia atrás

Generalmente, programas como Matlab las detecta y automáticamente usa Cholesky cuando se escribe x = A\b

• Matrices con muchos ceros

Si una matriz tiene gran cantidad de ceros, usar el procedimiento normal implica muchas operaciones inútiles de multiplicar por cero o sumar ce-ros. Matlab también los detecta si se usa x = A \ b y desarrolla una rutina que evita todas estas operaciones innecesarias.

b. Cuidados con la manipulación de matrices

Finalmente, es importante tener en cuenta un par de conceptos importan-tes a la hora de manipular matrices numéricamente y que pueden llegar a ser importantes en algunos casos:

i. Error de redondeo

Éste es un problema que puede depender de la capacidad de los compu-tadores, por lo que cada vez es menos importante. Sin embargo, en sis-temas dinámicos o cuando se involucran muchas operaciones iterativas puede llegar a ser significativo. El computador o la máquina que se está utilizando emplea una técnica determinada para almacenar los núme-



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ros y este método de almacenamiento está sujeto a la capacidad física de almacenamiento, por lo que la precisión también tiene un límite físico. Si las cifras significativas con las que se trabajan los datos se acercan a esta capacidad, el sistema se expone al riesgo de perder precisión, ya que desecha aquellas cifras que estén por fuera de su capacidad, y si ese error se traslada a futuras operaciones, se puede magnificar hasta condiciones que pueden llegar a ser relevantes sobre los resultados finales. Es decir, no es relevante sumar dos valores cuya magnitud difiere por más del número de dígitos significativos que el computador puede representar. El valor más pequeño se trata como cero.

En términos generales, una recomendación es evitar sumar o restar valo-res de magnitudes muy diferentes. Otra forma de reducir el margen de error consiste en intercambiar filas para hacer la magnitud del elemen-to diagonal tan grande como sea posible. Este método se llama pivotaje. Varios programas lo usan como rutina.

ii. Mal condicionamiento

Algunos sistemas de ecuaciones lineales no se mejoran con pivotaje, sino que son intrínsecamente difíciles de resolver en un computador. Esto ocurre cuando la matriz A es tal que una pequeña perturbación δb en b genera un gran cambio en δx, la solución de x. En ese caso se dice que A está mal condicionada.

El mal condicionamiento se puede medir mediante la elasticidad de la solución x con respecto al vector b:

Que mide el máximo cambio porcentual en el tamaño del vector solución x por un 1% de cambio en el vector b. Si este valor es grande, pequeños errores que representan b generan grandes errores de cálculo de x. En la práctica se calcula con el número de condición de A, que es:

El cual calcula el límite inferior de la elasticidad. La interpretación de este número es: Por cada potencia de 10 en el número de condición, se pierde un dígito significativo en el cálculo de la solución. Por ejemplo, si k = 1.000, el vector x tiene 3 dígitos significativos menos que b.


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2. Ecuaciones no lineales y problemas de complementariedad

Ya hemos visto que la solución de sistemas de ecuaciones lineales es rela-tivamente directa. Sin embargo, uno de los problemas básicos más usua-les en economía computacional es encontrar la solución a un sistema de ecuaciones no lineales.

Los problemas asociados a resolver sistemas de ecuaciones no lineales se presentan en dos formas:

- El problema de hallar las raíces (root finding problem). Este problema se define como:

Una función f mapeada de Rn → Rn es dada y se debe encontrar un vector X (nx1) llamado la raíz de f tal que f(x) = 0

- El problema de punto fijo (fixed point problem). En este caso el pro-blema se da por:

Una función g de Rn → Rn es dada y se debe hallar un vector X (nx1)

llamado el punto fijo de g tal que x = g(x)

En la práctica, los dos problemas son equivalentes: hallar la raíz puede escribirse como punto fijo haciendo

g(x) = x – f(x),

y el problema de punto fijo se puede escribir como un problema se raíz, escribiendo

f(x) = x – g(x)

Estos problemas surgen muchas veces en economía. Por ejemplo, hallar un equilibrio de mercado se puede ver como un problema de hallazgo de raíz, si maximizamos o minimizamos una función; la condición de primer orden requiere igualar la diferencia a cero, que no es más que un problema de raíz. En optimización dinámica, la ecuación funcional de Euler genera ecuaciones no lineales que pueden describirse como proble-mas de punto fijo o de hallazgo de raíz.

El inconveniente con los sistemas de ecuaciones no lineales es que en muchos casos el problema no se puede resolver analíticamente; se debe resolver numéricamente con algún método iterativo. Para resolver estos problemas existen varios métodos. Los más importantes son:

– Método de bisección.

– Iteración de función.



127

– Newton.

– Cuasi–Newton.

A continuación veremos cuál es la lógica detrás de cada uno de ellos, sus ventajas y sus desventajas.

a. Método de bisección

Se basa en el problema de hallazgo de raíz, que se utiliza en casos en los que x sea univariada. Es el método más simple y robusto para hallar la raíz de una función real en un intervalo de la línea real. Su lógica se basa en el Teorema del Valor Intermedio, que dice: “Si una función continua en un intervalo asume dos valores distintos, entonces debe asumir todos los valores entre ellos”. La principal aplicación de este teorema es una derivación que dice:

“Si f es continua y f(a) y f(b) tienen diferentes signos, entonces f debe tener al menos una raíz x en el intervalo [a, b]”

El método es un procedimiento de iteración, que consta de los siguientes pasos:

• Definimos un intervalo donde sabemos está la raíz de f, es decir los valores a y b, de manera que en cada uno de ellos la función tenga signos diferentes.

• Bisectamos en intervalo en dos subintervalos iguales; uno de ellos debe tener extremos de signo diferente y por tanto la raíz.

• Tomamos ese intervalo como el nuevo intervalo para la siguiente iteración.

• Seguimos iterando hasta que el intervalo sea tan pequeño como un determinado nivel de tolerancia aceptable, que definimos no-sotros.

Como se ve, es un método simple, muy robusto y garantiza hallar una raíz en un número conocido de iteraciones: requiere a lo más iteraciones, con ε = precisión.

Sin embargo, tiene algunas desventajas que se deben considerar:

• Sólo funciona para problemas de raíz en una dimensión.

• Típicamente requiere más iteraciones que otros métodos porque ignora información acerca de la curvatura de la función.


128

Por estas razones, usualmente se usa para obtener una primera aproxi-mación antes de aplicar otros métodos.

Cuadro 3.1. Código en Matlab para desarrollar una bisección, propuesto por Miranda y Fackler (2002).

f = “nombre de la función a analizar”;

a = a; % límite inferior

b = b; % límite superior

tol = tol; % nivel de tolerancia o de precisión admitido

s = sign (f(a));

x = (a+b) / 2;

d = (b-a) / 2;

while d > tol;

d = d/2;

if s == sign (f(x))

x = x+d;

else

x = x-d;

end

end

Miranda y Fackler (2002) desarrollaron, junto con su libro, un paquete de programas basados en lenguaje de Matlab, orientados a resolver proble-mas de economía computacional. Este paquete se conoce como CompEcon, e incluye, entre muchas otras aplicaciones, una rutina para resolver por bisección un problema de raíz. La rutina se llama bisect, y la aplicación requiere el formato:

X = bisect(‘f’, a, b)

Donde ‘f’ se refiere a la función que se quiere resolver, y las variables a y b, a los límites inferior y superior del intervalo escogido.

A lo largo del resto de esta sección se mostrará siempre que sea necesario las rutinas desarrolladas y disponibles en CompEcon para resolver diferentes problemas.

Ejemplo: queremos hallar .

Si , entonces

x3 = 2

x3 – 2 = 0

x3 – 2 = f(x)



129

Creamos una función f en un archivo m de Matlab, cuyo nombre debe ser f:

function y = f(x)

Una vez definido este archivo, el problema se resuelve con el co-

mando:

X = bisect (‘f’, 1, 2)

Y la variable X almacena el resultado del problema. La rutina bisect utiliza por defecto una tolerancia de 1,5 x 10 –8.

Ejemplos de construcción de la función f(x). Muchas veces el reto cuando se empieza a trabajar con estos problemas es definir claramente la función f(x) que se ha de resolver. Veamos algunos ejemplos prácticos de la economía:

1. Sea la función inversa de demanda dada por p = 40 – 3x y la función inversa de oferta dada por p = 2x

Y queremos hallar el equilibrio de este mercado.

Sabemos que el equilibrio está dado por:

40 – 3x = 2x

40 = 5x, es decir x = 8 p =16

Si lo quisiéramos resolver con bisección, el algoritmo sería

40 – 3x = 2x

40 – 5x = 0

Entonces, f(x) = 40 – 5x, sería la función a incluir en el comando.

2. El caso anterior se puede resolver sin necesidad de mucha maniobra computacional. Veamos ahora otro ejemplo.

Sea p = 0,5q–1 la función de demanda y p = 0,3q2 la función de oferta, y de nuevo queremos hallar el equilibrio de ese mercado. Sabemos que

0,5 = 0,3q3

0,3q3 – 0,5 = 0

f(x) = 0,3q3 – 0,5


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3. Ahora supongamos que la demanda está dada por qd = 0,5p–0.2 + 0,5p–0.5 y la oferta por qs = 2p. El equilibrio estará dado por

2p – 0,5p–0.2 – 0,5p–0.5 = 0, es decir:

f(p) = 2p – 0,5p–0.2 – 0,5p–0.5

Esta función no tiene solución analítica. Sin embargo, ahora pode-mos resolverla usando bisección:

bisect(‘f’,0,10)

resuelve el problema en dos líneas.

b. Iteración de función

Es una técnica relativamente simple que puede ser usada para computar un punto fijo de x = g(x) de una función Rn → Rn. También se puede apli-car para resolver un problema de raíz (f (x) = 0) haciendo x = x – f(x).

El procedimiento de iteración incluye los siguientes pasos:

• Se define un valor de partida arbitrario x(0) para el punto fijo de g

• Bajo el supuesto de que este valor sea el punto fijo verdadero, las ite-raciones surgen de evaluar este punto en la función g y compararlo con el valor inicial, x:

• Como g es continua, el valor existe. Luego, se compara si x y la fun-ción evaluada en este vector coinciden, o por lo menos, se encuen-tran suficientemente cerca dado un nivel de tolerancia.

• Si aún se encuentran lejos el uno de otro, el nuevo valor de x es usa-do de nuevo como aproximación a la solución y se repite la iteración.

• Si la iteración converge, converge al punto fijo de g.

Teóricamente, la iteración converge al punto fijo si la función g es diferen-ciable y si el valor inicial de x es “suficientemente” cercano al punto fijo x*. Sin embargo, a menudo converge aún si estas condiciones no se cumplen.

De manera similar al método de bisección, este método no considera la información referente a la curvatura de la función, por lo que es tam-bién un método relativamente lento. Por esta razón, también se suele usar como un primer paso en el proceso de solución de sistemas.

Este cálculo se puede elaborar en Matlab con la rutina fixpoint, que se en-cuentra en CompEcon.



131

1. Ejemplo: ¿Cuál es el punto fijo de g(x) = x0,5?

Primero se codifica la función g que devuelve el valor de la función en un punto arbitrario:

function y = g(x);

y = x^0.5;

Y esta información se almacena en un archivo m, con el nombre g.m. Luego, se corre la rutina que lo resuelve:

X = fixpoint (‘g’, 0.4)

Donde, en este ejemplo, 0,4 es un valor arbitrario definido como punto de partida1.

2. Ejemplo. Supongamos de nuevo que la demanda de un bien esté dada por p = 40 – 3x y la oferta por p = 2x

El equilibrio de este sistema estará dado por 40 – 3x = 2x

40 – 5x = 0

Que debe ser convertido en un problema de punto fijo:

x = x –(40 – 5x)

x = 6x – 40

g(x) = 6x – 40

Y la aplicación de la rutina implica:

x = fixpoint(‘g’,10)

3. Ejemplo. Retomando el ejemplo anterior, sea la función de demanda:

qd = y la de la oferta qs = 2p

Entonces,

1. Nótese que aunque en español la separación de decimales se puede hacer con co-mas, las rutinas de Matlab están diseñadas para que la separación de decimales se haga con puntos; por lo tanto, se debe garantizar usar este formato al escribir las rutinas o comandos en este programa.


132

Y la aplicación de la rutina implica:

p = fixpoint(‘g’,1)

c. Método de Newton

Como se ha mencionado, los dos métodos anteriores son lentos, ya que no tienen en cuenta la curvatura de las funciones que están analizando. Los dos métodos que vamos a explicar a continuación (Newton y cuasi-Newton) sí toman ventaja de esta información, lo que los hace mucho más eficientes.

En la práctica, la mayoría de los problemas se resuelven usando método de Newton o alguna de sus variantes.

El método de Newton está basado en el principio de “linealización suce-siva”, que consiste en convertir un problema no lineal muy difícil en una secuencia de problemas lineales simples cuyas soluciones convergen a la solución del problema no lineal.

Es típicamente formulado como una técnica de hallar raíz (root finding) pero puede ser usada para resolver un punto fijo con .

La rutina de este método involucra los siguientes pasos:

• Se suministra un valor inicial x(0) que se cree es la solución al pro-blema.

• La siguiente iteración x(1) se calcula resolviendo el problema de raíz reemplazando f con su aproximación de primer orden de Taylor , la cual da la regla de itera-ción:

• Se evalúa la función f en el valor de x, y si es suficientemente cercana a cero, dado el nivel de tolerancia, se acepta este valor como la solución. Si aún no está dentro del rango de tolerancia aceptable, se hace una nueva iteración, hasta que converja.

En teoría, el método converge si f es continua diferenciable y si el valor inicial de x es “suficientemente” cercano a una raíz de f en el cual f’ sea invertible.

Sin embargo, el método puede implicar mucho de adivinar y tener suer-te, especialmente con el valor de partida y si existen más de una raíz.

Igualmente, la solución puede ser muy sensible al valor inicial, y si f’ es una matriz mal condicionada, habrá dificultad en resolver el problema.



133

En CompEcon existe la rutina “newton”, que computa la raíz usando este método. El comando es newton(‘f’, a), donde ‘f’ se refiere a la función que se ha de resolver y a es el punto de partida. En este caso, la enunciación de f requiere que se defina no sólo la función original, sino también su primera derivada (f’), es decir, el jacobiano de la función.

Ejemplo: Equilibrio de Cournot en un duopolio.

Sea la función de demanda inversa de un mercado duopólico:

Y sean las funciones de costos de las dos empresas:

Entonces, la función de beneficios para cada empresa estará dada por:

Como cada empresa busca maximizar sus beneficios, las condicio-nes de primer orden para cada una de ellas estarán dadas por:

Esta expresión será la función fi(q),

que equivale a la función original. Ahora, necesitamos la derivada de esta función:

Que equivale al jacobiano de la función:

Entonces se debe crear un archivo m, donde aparezcan estas dos líneas, la función original y su derivada. Una vez creado el archivo, se corre la rutina en Matlab:

Donde el vector [0,2 0,2] es el punto de partida.


134

Como se puede observar, uno de los principales inconvenientes de los métodos Newton es la necesidad de codificar la función y su derivada, lo cual puede llegar a ser difícil, además de una fuente de errores en la programación. Por esta razón, la alternativa es trabajar con los métodos cuasi-Newton.

d. Métodos cuasi-Newton

Son métodos alternativos a Newton para resolver problemas de raíz, que funcionan con el mismo principio que los métodos Newton, sólo que aquí el jacobiano f’ es una estimación más fácil de calcular. Al ser más fácil de calcular, su programación también es más fácil porque es menos proba-ble cometer errores de programación, ya que no es necesario escribir el código de las derivadas.

Sin embargo, convergen más lentamente que los métodos de Newton y además se requiere una estimación inicial del jacobiano.

El más usual de los métodos cuasi-Newton es el método de secante. En este caso, el problema es idéntico al de Newton, sólo que éste reemplaza la derivada de f con una aproximación construida con los valores de las dos iteraciones anteriores:

Usando esta aproximación en la regla de iteración, se obtiene una nueva regla:

Entonces, el método necesita dos valores de inicio y no uno solo, como en el caso de Newton. Entre el método de la secante, el método de Broyden es el más popular, y entre sus múltiples ventajas está el hecho de que permite realizar un análisis multivariado. La estrategia de este método es generar una secuencia de vectores x(k) y matrices A(k) que aproximan la raíz de f y el jacobiano f’ en valores cercanos a ésta.

En la práctica, se escoge un valor aleatorio inicial para x(0) y para A(0), que puede ser el jacobiano numérico de f en x(0) o una matriz identidad rees-calada (lo que simplifica el procedimiento). Luego se hace la iteración y se obtiene x(k) y A(k). La aproximación se basa en el problema lineal de la aproximación de primer orden Taylor en x(k):



135

Y la regla de iteración es:

Luego se debe actualizar A(k) con la regla de iteración dada por:

donde .

También se puede actualizar directamente en el inverso de A(k). Entonces la regla de iteración es

Y la regla de actualización

donde

Este método es muy usual en los paquetes econométricos para calcular coeficientes cuando se usa máxima verosimilitud, y generalmente es po-sible escoger cuál de los dos enfoques usar.

Teóricamente, el método converge a una solución si f es continua y dife-renciable, si x(0) es “suficientemente” cercano a la raíz, y si A(0) o B(0) son “suficientemente” cercanas al jacobiano (o su inversa). Sin embargo, A(k) y B(k) no necesitan converger al jacobiano o su inversa, aun si x(k) converge a la raíz de f.

Al igual que en el caso de Newton, también puede fallar si f’ es mal con-dicionada.

En Matlab CompEcon, la rutina que se ha de ejecutar es “broyden”, la cual usa actualización de la inversa.

Con el ejemplo anterior, la rutina sería:

q = broyden(‘cournot’,[0.2;0.2])

con la ventaja de que la función ‘cournot’ no requiere más que la función y no su derivada.

e. Problemas con métodos Newton

Si se usan métodos Newton, se corre el riesgo de afrontar algunos de los siguientes problemas:

– Errores en la codificación. Es el problema más común al usar esta rutina. La primera sugerencia ante este problema es usar


136

Broyden. Otra alternativa es usar el comando checkjac(f, x), el cual compara las derivadas analíticas y las de métodos de diferencia finita para confirmar que está bien expresado el jacobiano.

– Elección del punto de partida. Es un problema que puede llegar a ser complicado. Sin embargo, actualmente las rutinas lo consideran y tratan de resolver.

– Jacobiano mal condicionado en la raíz. No es común pero puede ser importante. La recomendación es revisar la magnitud de las variables, para no mezclar números muy diferentes en los análisis.

f. ¿Cuál método usar?

La elección del método que se ha de usar puede no ser una tarea fácil. Sin embargo, existen algunos criterios que ayudan a entender y justificar la decisión final.

i. Tasa de convergencia

Se refiere a la rapidez con que un método converge a la solución. El méto-do de bisección tiene una tasa de convergencia, p = 1, el método de itera-ción también tiene una tasa de convergencia p = 1. Por este motivo se dice que tienen convergencia lineal. El método de la secante, en particular el método de Broyden, tiene una tasa de convergencia (1 < p < 2 ≈ 1,62) y se dice que tiene una tasa superlineal. El método de Newton es el de mayor tasa de convergencia, p = 2, y se dice que tiene convergencia cuadráti-ca. Entonces, de acuerdo con este criterio, el método elegido sería el de Newton.

ii. Esfuerzo computacional

Se refiere al número de operaciones aritméticas que debe desarrollar el computador. Este criterio se clasifica en fácil, medio y difícil esfuerzo. Los esfuerzos que exigen cada método son:

Iteración y bisección fácil = 1 evaluación

Broyden medio = 2 evaluaciones

Newton difícil = 3 evaluaciones

Lo que sugiere que si bien Newton es un método con una alta tasa de convergencia, el esfuerzo computacional que exige es alto.



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iii. Esfuerzo de desarrollo

Este criterio se refiere al esfuerzo del analista en codificar el problema, lo cual incluye escribir el código, revisarlo y verificarlo, y encontrar valores iniciales viables. Los métodos menos exigentes son iteración y métodos cuasi newton. El más exigente es Newton.

Entonces, la decisión final del método que se ha de escoger depende de la combinación adecuada de estos criterios. Miranda y Fackler (2002) sugie-ren como estrategia general:

• si la ecuación es de dimensión pequeña (n = 1 ó 2) o si las derivadas son simples y fáciles de codificar, entonces el costo de desarrollo es bajo y Newton es una buena opción.

• Si la ecuación involucra muchas y complejas derivadas o son difí-ciles de calcular, entonces es mejor usar métodos cuasi-Newton o iteración de función.

g. Problemas de complementariedad

Existe en economía gran cantidad de problemas en los que hay restriccio-nes que limitan la solución y que pueden generar soluciones de esquina. Este tipo de problemas se conoce como problemas de complementarie-dad y requieren un análisis especial en términos matemáticos y compu-tacionales.

En el problema de complementariedad existen dos vectores (nx1) a y b y una función f: Rn → Rn , y el problema consiste en hallar un vector x(nx1) x ∈ [a,b] tal que

Si

Si

Esta expresión resume las opciones que puede enfrentar un problema con restricciones: si la solución es superior al límite inferior, entonces la fun-ción evaluada en el vector solución debe ser positiva o cero. Si la solución es inferior al límite superior, la función evaluada en la solución debe ser negativa o cero. Si la solución es interior, se deben satisfacer ambas con-diciones, lo que implica que

Que es el problema usual que hemos asumido hasta el momento para la búsqueda de una raíz. Sin embargo, la fortaleza de este planteamiento es que acepta que un elemento fi(x) puede ser diferente de cero en la solu-


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ción del problema de complementariedad, lo cual va a ocurrir si x está en alguno de los límites permitidos del problema.

Llamemos CP(f, a, b) el problema e ilustremos los casos posibles del resul-tado de buscar la raíz, suponiendo que el problema se da en la recta real.

Caso 1. Si la función nunca llega a cero en el intervalo [a b], y siempre se sitúa por debajo de cero en este intervalo (como se aprecia en el gráfico 3.1), entonces,

Que es donde la función es más cercana a cero y

f(x*) ≤ 0

y por tanto, se cumple que

xi < b

Gráfico 3.1. Caso 1 de problema de complementariedad: la función nunca alcanza una raíz desde abajo.

Caso 2. Supongamos que la función no llegue nunca a cero en el intervalo [a b], pero ahora se sitúa siempre por encima del eje de cero (como se aprecia en el gráfico 3.2), entonces:

Que es donde la función es más cercana a cero, y f(x*) ≥ 0,

entonces xi > a

Caso 3. Supongamos otro caso en el cual la función sí alcance una raíz en el intervalo [a b], como se observa en el gráfico 3.3. En ese caso, se cumple que



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Gráfico 3.2. Caso 2 de problema de complementariedad: la función nunca alcanza una raíz desde arriba.

Y de acuerdo con la condición, se cumple que

a < x < b

Lo cual solo es válido si:

f(x) = 0

Gráfico 3.3. Caso 3 de problema de complementariedad: la función alcanza una raíz en el intervalo de interés.

Éste es el caso normal que ya vimos.

Caso 4. Existe un cuarto caso que es atípico y es cuando la función es cre-ciente en x, como se observa en el gráfico 3.4. Aunque claramente existe un único equilibrio, que es el valor de x donde f(x) = 0, solución interior, el análisis gráfico implicaría tres equilibrios: dos de esquina, en a y en b, y otro interior (el real), que además resulta ser inestable.

Afortunadamente éste es sólo un caso excepcional, ya que en general las funciones que se han de optimizar en economía son decrecientes.


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Gráfico 3.4. Caso 4 de problema de complementariedad: la función alcanza una raíz pero exhibe más de una solución.

Computacionalmente, involucrar estos casos en un código puede ser complicado. Sin embargo, existe una alternativa que facilita el análisis. El problema puede ser resuelto utilizando la definición:

X resuelve CP(f, a, b) si y sólo si resuelve el problema de raíz.

Donde las operaciones min y max se definen por filas para vectores de x. Esta formulación implica que usamos una función sustituta, que encierra a la función f(x) entre dos líneas rectas: a – x y b – x.

Es decir, esta formulación implica que y = f(x) se encuentra entre a – x y b – x.

Esto se puede observar en el gráfico 3.5. Las líneas azules muestran di-ferentes opciones de lo que puede ser el eje horizontal, que equivalen a los diferentes casos vistos. La línea de c olor fucsia muestra la función alternativa .

En el caso 1, la función f pasa por debajo del eje horizontal en el intervalo [a b]; nótese que la línea a – x corta el eje horizontal en el punto a. Por tanto, la solución es x = a.

En el caso 2, la función f pasa por encima del eje horizontal; nótese que la línea b–x corta el eje horizontal en el punto b. Entonces, la solución es x = b.

Finalmente, en el caso 3, la función corta al eje horizontal dentro del inter-valo [a b] y por tanto la solución es interna.

Es decir, la línea fucsia representa todas las posibles soluciones al sistema.



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Gráfico 3.5. Resumen de casos del problema de complementariedad con solución única.

En el caso 4, tendríamos algo similar a lo mostrado en el gráfico 3.6, don-de se observan los tres posibles equilibrios.

Gráfico 3.6. Caso de complementariedad que puede generar tres equilibrios.

Técnicamente, el problema es entonces hallar la raíz de y no la de f(x). El problema se puede resolver por método de Newton. Sin embargo, hay un inconveniente adicional: en las esquinas donde se corta f con a-x y con b-x, no existe derivada aplicable, por lo que el algoritmo no puede calcular el jacobiano allí. Para enfrentar este escollo, se requiere una ver-sión funcional que suavice la curvatura. Una muy usada es


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donde

Que generaría algo similar a lo representado de color rojo en el gráfico 3.7.

Gráfico 3.7. Suavización del problema de complementariedad.

La función suavizada coincide con f, con a-x y con b-x en todos los otros puntos, pero en las esquinas se suaviza para permitir las derivadas.

En CompEcon existe una rutina que es capaz de resolver problemas de complementariedad, incluso generando esta versión suavizada de la fun-ción original f. Esta rutina es ‘ncpsolve’ y el comando es:

X = ncpsolve (‘f’, a, b, xinic)

Donde xinic es el punto de partida, a y b los límites del intervalo, f es la función original, y como resultado entrega x, que es la solución a la raíz. Si la función es multidimensional, los intervalos, los valores de origen y el resultado serán vectores.

Además, la rutina permite modificar la función suavizada que se ha de escoger.

B. Aproximación de funciones

Ya hemos visto que los métodos computacionales son útiles para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de manera efi-



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ciente. Ahora veremos cómo es posible, utilizando herramientas compu-tacionales, acercarnos a funciones complejas y encontrar aproximaciones que sean útiles para el análisis económico de problemas dinámicos. A continuación se presenta un enfoque general al tema; mayores detalles se pueden encontrar en Miranda y Fackler (2002).

En general, es posible encontrar dos tipos de problemas de aproximación de funciones:

– Interpolación: que consiste en aproximar una función real, que sería analíticamente intratable, f con una función tratable computacio-nalmente , dado que existe información limitada acerca de f. Un ejemplo típico de este problema es el que se realiza comúnmen-te con las funciones estadísticas; a partir de las tablas estadísticas, debemos interpolar los valores de las significancias que queremos resolver cuando ellos no coincidan con los pocos (discretos) datos disponibles en las tablas. Usando alguna forma de aproximación (generalmente lineal), buscamos el valor que más se acerque al que debemos resolver.

– Ecuaciones funcionales: los problemas de este tipo de ecuaciones se pueden escribir en dos versiones:

• Problema de ecuación funcional: consiste en hallar una función f que satisfaga Tf = 0, donde T es un operador que mapea un espa-cio vectorial de funciones en sí mismo.

• Problema de punto fijo funcional: hallar una función f tal que f = Tf.

Como veremos, la ecuación de Bellman para modelos de optimización dinámica es funcional de punto fijo. Las ecuaciones funcionales son di-fíciles de resolver porque lo desconocido no es un vector de Rn, sino una función completa cuyo dominio contiene un número infinito de puntos y condiciones en la solución de f. Entonces se debe hallar una solución aproximada que satisfaga lo más cerca posible la ecuación funcional.

Para aproximar funciones hay dos técnicas generales o principios de in-terpolación:

– Aproximación polinomial de Chebychev.

– Aproximación polinomial por tiras o trozos (spline).

Y un método más general, que es el de colocación. Todos ellos se desa-rrollan al detalle en Miranda y Fackler (2002) y se presentan de manera sencilla en este capítulo, con acento en este último, que es el más útil y práctico para la solución de problemas dinámicos.


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1. Principios de interpolación

En el problema de interpolación, el primer paso en diseñar un esquema de interpolación es escoger una familia de funciones de la cual trazar el aproximante . La opción más práctica es usar aproximantes que se puedan escribir como una combinación lineal de n funciones base, que son li-nealmente independientes , de manera que se pueda escribir como:

Y donde se deben determinar los coeficientes base c1, c2,..., cn. El número n de funciones base independientes se llama grado de interpolación.

El siguiente paso es especificar las propiedades de la función original f que uno quiere que el aproximante replique. Dado que hay n coeficientes indeterminados, se requieren n condiciones para fijar el aproximante. Las condiciones más simples son que el aproximante coincida con la función original en unos nodos de interpolación seleccionados x1, x2,..., xn. Con n nodos de interpolación y n funciones base, el cálculo de los coeficientes base se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Es decir, se fijan los n coeficientes indeterminados c1, c2,..., cn del aproxi-mante resolviendo las condiciones de interpolación:

O en notación matricial, las condiciones de interpolación serán

Donde Φ se refiere a la matriz de interpolación, c al vector de coeficientes que se han de resolver y y al vector de valores de la función. En particular:

yi = f(xi)

Se refiere al valor de la función en el i-ésimo nodo de interpolación; y

Se refiere a la j-ésima función base evaluada en el nodo i-ésimo de inter-polación.

Al desarrollar un esquema de interpolación se debe elegir el número de los nodos de interpolación que vamos a utilizar y las funciones base que queremos aplicar al problema. Las funciones base deben satisfacer ciertos criterios:



145

– El aproximante debe producir una aproximación precisa de la fun-ción original f.

– Debe ser posible computar los coeficientes base rápidamente y con precisión.

– El aproximante debe ser fácil de trabajar.

Dependiendo de la forma en que se enfrenten los problemas, los esque-mas de interpolación pueden clasificarse como:

• Métodos espectrales: usan funciones base que son no-cero sobre el dominio completo de la función que ha de ser aproximada, excepto en un número finito de puntos. Estos métodos se agrupan en lo que se conoce como interpolación polinomial.

• Métodos de elemento finito: usan funciones base que son no-cero en algunos subintervalos del dominio de aproximación. Generan lo que se conoce como interpolación spline o por tiras o trozos.

a. Interpolación polinomial

El método de interpolación polinomial se basa en el teorema de Weierstrass, el cual dice que cualquier función real f definida en un intervalo [a, b] de la recta real puede ser aproximada a cualquier grado de precisión usando un polinomio.

Un primer enfoque es construir un aproximante polinomial de grado n in-terpolando la función en n nodos de interpolación espaciados uniforme-mente. Sin embargo, cuando se utilizan los nodos espaciados de manera uniforme no siempre se genera un aproximante preciso e, incluso, algunas veces se empeora cuando se aumenta n.

Una mejor opción es construir el aproximante en los nodos llamados nodos de Chebychev, que se basa en la noción de la función coseno para definir los nodos. La principal ventaja de los nodos de Chebychev es que el error tiende a cero cuando aumenta el número de nodos.

Con respecto a la decisión del tipo de función base que se ha de utilizar, un enfoque lógico para definir las funciones base de los polinomios es usar funciones base monomiales, es decir, una serie de polinomios que van aumentando en grado: 1 x x2 x3 ... . Sin embargo, este enfoque tiene un problema y es que genera matrices de interpolación mal condicionadas. Para resolver este problema, un enfoque alternativo es utilizar funciones de base polinomial de Chebychev, las cuales se definen así:


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Las bases polinomiales de Chebychev, en combinación con los nodos de in-terpolación de Chebychev, producen una ecuación de interpolación muy bien condicionada que se puede resolver con precisión y eficiencia.

b. Interpolación por tiras o spline

Se puede realizar con varias aproximaciones. Dos de las más usuales son la lineal y la cúbica. El enfoque de spline lineal utiliza una serie de seg-mentos de línea partida para formar una función continua. El spline cúbi-co usa una serie de segmentos de polinomio cúbico partidos para formar una función continua y doblemente diferenciable.

i. Funciones de base lineales

Son funciones que toman el valor de uno en un nodo y cero en todos los demás nodos (véase gráfico 3.9).

En estas condiciones, la matriz de interpolación será una matriz identi-dad, y el vector de coeficientes será el mismo vector de los valores aplica-dos a la función en cada uno de los nodos:

Φ = I c = y

Estas funciones son fáciles de resolver y de tratar. Sin embargo, tienen algunos inconvenientes: su primera derivada son funciones de pasos dis-continuos y la segunda derivada son cero en casi todo el dominio del aná-lisis. Entonces, problemas que involucren la primera derivada no pueden resolverse, lo que limita su aplicación.

Gráfico 3.8. Distribución de los nodos usando la aproximación Chebychev.



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ii. Funciones de base cúbica

En este caso, las funciones son aproximaciones cúbicas en cada nodo, lo que genera mejores resultados para aproximantes suaves. Además, tienen primera y segunda derivadas continuas en ciertos rangos del dominio de análisis. La aproximación se puede observar en el gráfico 3.10.

Otra de las ventajas del spline cúbico es que no requiere nodos separados de manera uniforme.

Ante la pregunta de cuál aproximación escoger, se deben tener en cuenta varios criterios: si la función tiene discontinuidad en su primera y se-gunda derivadas, las aproximaciones spline pueden manejar mejor este tipo de funciones, dado que tienen un soporte pequeño. Las aproxima-ciones polinomiales propagan el efecto de la discontinuidad, entonces, si la función tiene esquinas es mejor la aproximación por spline. De manera similar, si la función tiene alto grado de curvatura o una discontinuidad, interpolación spline, es mejor que la interpolación polinómica. Pero si la fun-ción es suave, la aproximación polinómica de Chebychev es mucho mejor.

2. Método de colocación

Este método es una generalización de los métodos de aproximación de funciones, y puede usarse para resolver ecuaciones funcionales, las cua-les incluyen los modelos económicos dinámicos. A continuación se pre-sentan sus principales elementos.

Gráfico 3.9. Distribución de funciones base lineales a lo largo de un intervalo dado


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Supongamos que queramos hallar una función f: [a, b] → R que satisfaga g(x, f (x)) = 0 para x ∈ [a, b] y en la cual g: R2 → R sea una función conocida. La función desconocida f se aproxima usando una combinación lineal de n funciones base conocidas:

Con n coeficientes fijos c1, c2, ... cn y requiere que el aproximante satisfaga la ecuación funcional, pero no en todos los puntos sino en los n nodos de co-locación x1, x2, ... xn que se encuentran distribuidos en el intervalo [a, b].

Es decir, es necesario resolver el problema de función implícita, el cual requiere hallar n coeficientes cJ que satisfagan n ecuaciones no lineales:

Esto es, el método de colocación reemplaza un problema de ecuación fun-cional de dimensión infinita con un problema de raíz finito dimensional-mente, que se puede resolver usando cualquier método como Newton o Broyden.

Gráfico 3.10. Distribución de funciones base cúbicas a lo largo de un intervalo dado



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La función deberá ser cero solamente en los nodos de colocación, pero muy cerca de cero en otros puntos. Esta distancia entre la función y cero se evalúa en la práctica por medio del residual:

y se mide su máximo valor absoluto en el dominio [a, b]. Si este valor excede la tolerancia aceptada en el problema, se repite el proceso con más nodos o con diferentes funciones base hasta que el error caiga a niveles aceptables.

a. Herramientas en Matlab

En el paquete computacional CompEcon, desarrollado por Miranda y Fackler (2002), se desarrollan varias herramientas para resolver por el método de colocación ecuaciones funcionales. A continuación se presenta una descripción de las más importantes herramientas.

i. Definición del espacio

Todo proceso de interpolación parte de definir el espacio en el cual se construye el análisis. Para hacerlo, existe la rutina fundefn, cuya sintaxis es:

fspace = fundefn(basetipo, n, a, b, orden)

el comando fundefn crea una variable estructurada que contiene informa-ción acerca del espacio de la función: tipo de función base, número de nodos de colocación, funciones base y extremos. Los insumos que requie-re el comando son:

basetipo: define la familia de funciones que se quiere utilizar en la interpo-lación. Las opciones son:

– ‘cheb’, que utiliza funciones base a partir de polinomios de Chebychev;

– ‘spli’, que usa aproximación spline y por defecto utiliza aproxima-ción cúbica;

– ‘lin’, que usa aproximación spline lineal.

n: define los nodos de interpolación.

a, b: define los límites inferior y superior del intervalo o dominio del aná-lisis.

orden: determina el orden del spline; por defecto es 3, que es la aproxima-ción cúbica.


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Como producto genera una variable, que en este caso se llama fspace, que contiene toda la información del espacio en el cual se mueve la función que hay que aproximar.

ii. Solución al aproximante

Una vez definido el espacio de la función, el siguiente paso es resolver el sistema de aproximación. Para hacerlo, se usa el comando funfitf, el cual construye un aproximante para una función por interpolación en nodos estándar. La sintaxis es:

c = funfitf (fspace, f, otros_parametros)

Las opciones para este análisis son:

fspace: que es el espacio definido anteriormente.

f: es la función que se quiere aproximar.

otros_parametros: es el listado de otros parámetros que se deban incluir en el modelo.

Como resultado, el comando genera una variable llamada c, que es el vector de coeficientes solución de la función base.

iii. Aproximante de la función

Una vez resuelto el sistema de aproximación, puede ser necesario conocer los valores que éste toma en diferentes puntos del dominio. Por tanto, se usa el comando funeval, el cual evalúa el aproximante en diferentes puntos a lo largo del dominio analizado. La sintaxis es:

y = funeval(c, fspace, x, order)

Las opciones para este comando son:

c: es el vector solución de coeficientes, calculado con funfitf.

fspace: es el espacio definido para el análisis.

x: se refiere al punto o vector o matriz en el cual se quiere evaluar el aproximante.

orden: se refiere al nivel al cual se quiere hacer la evaluación. Si se in-cluye, puede tomar el valor 1 ó 2. Si se escribe 1, se evalúa la función en su primera derivada, es decir, el jacobiano de la función; si se escribe 2, se evalúa la función en su segunda derivada, es decir, el hessiano del aproximante.



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Como resultado, el comando entrega la variable y, que es el valor evalua-do del aproximante en x.

iv. Matriz de interpolación

Si se quiere conocer los valores que toman las funciones base en cada uno de los nodos, se utiliza el comando funbas, cuya sintaxis es:

B = funbas (fspace, x)

Las opciones para este comando son:

fspace: que es el espacio de la función definida.

x es el vector o matriz donde se evalúa la función.

Como resultado, el comando entrega la matriz B, que incluye el valor de las funciones base, evaluadas en x. Si hacemos y = B*c, el resultado es el mismo que y = funeval(c, fspace, x).

v. Nodos de interpolación

Si se quiere conocer el conjunto de nodos de interpolación, una forma rápida es usar el comando funnode, cuya sintaxis es:

X = funnode(fspace)

La única opción necesaria es fspace, que es la variable estructurada de definición del espacio. Como resultado, el vector (matriz) X incluye los nodos usados en la interpolación.

Estos comandos sirven para resolver de manera ágil los problemas de colocación, que se usan más adelante para solucionar problemas relacio-nados con optimización dinámica de recursos naturales.

Con esta sección se cubren los principales temas para entender las he-rramientas computacionales básicas, desarrolladas para aplicar en los problemas de recursos naturales. En los siguientes capítulos unimos los conceptos relacionados con los modelos de recursos naturales con las he-rramientas computacionales y analizamos cómo la programación diná-mica puede usarse para resolver estos problemas dinámicos.

C. Programación dinámica: modelos de estado discreto

Contrario a los modelos dinámicos físicos, los modelos económicos diná-micos a menudo presentan tres complicaciones que no se encuentran en otros modelos dinámicos de las ciencias físicas:


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– Los humanos tenemos la capacidad de evaluar cómo acciones pre-sentes afectan tanto el futuro como el presente. Entonces los modelos deben considerar ese desempeño y las expectativas hacia el futuro.

– Muchos aspectos del comportamiento humano son impredecibles, lo que implica que los modelos económicos sean estocásticos.

– El componente predecible del comportamiento humano es comple-jo, entonces los modelos son no lineales (Miranda y Fackler, 2002).

Cuando se incluyen estas tres consideraciones en los modelos dinámi-cos, se hace muy difícil obtener soluciones analíticas a estos modelos. Sin embargo, el avance en computadores nos permite analizarlos numérica-mente.

Una vez revisadas las bases de la economía computacional, es posible retomar los problemas dinámicos relacionados con los recursos naturales y ver cómo estas herramientas contribuyen a la solución de ellos. Para hacerlo, analizaremos dos tipos de modelos, que dependen de la natura-leza de las variables de estado; ellos son los modelos de estado discreto y modelos de estado continuo. En este literal se tratan los primeros.

En ambos casos, los problemas están basados en esquemas de tiempo discreto. La base de estos modelos es el modelo de decisión de Markov en estado discreto y en tiempo discreto. Aunque relativamente simples, son la base para los modelos en estado continuo, que son los más usuales en el análisis.

1. Programación dinámica discreta

Antes de analizar el modelo de decisión de Markov, retomemos el plan-teamiento de la programación dinámica discreta. La estructura es la si-guiente:

En cada período t, un agente observa el estado de un sistema económico st (por ejemplo, la cantidad de recurso disponible), toma una acción o decisión xt (por ejemplo, extracción o pesca) y obtiene un beneficio ( f (st, xt )) que depende tanto de st como de xt .

Como estamos suponiendo que el estado es discreto, el estado tiene un espacio S que enumera todos los estados posibles para el sistema, un nú-mero finito de elementos.

Las acciones —que también son discretas— tienen un espacio X que enu-mera todas las acciones que pueden ser tomadas por el agente, un núme-ro finito también.



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El estado del sistema es un proceso controlado de Markov: en un proceso de esta clase, la distribución de probabilidad del estado en el siguiente perío-do, condicional en la información disponible actualmente, depende sólo del estado actual y de la acción actual del agente. Dicho formalmente,

Es decir, la única información que determina el estado de un sistema en un período dado es el estado del sistema en el período anterior y las de-cisiones tomadas en dicho período anterior.

Dada esta estructura, el agente busca una secuencia de políticas en el tiempo {xt*} que le muestren la acción xt = xt

*(st ) que debe ser tomada en un estado y período dados, de forma que se maximice el valor presente de los beneficios o recompensas en un horizonte de tiempo T, descontado a un factor de descuento .

El modelo de decisión discreta de Markov puede ser de horizonte infinito (T = ∞) o de horizonte finito (T < ∞). También, por su naturaleza puede ser determinístico o estocástico.

En el caso determinístico, en un modelo de decisión discreta de Markov, una vez conocidos el estado y la acción actuales, el estado del siguiente período se conoce con certeza. En este caso, la evolución de la variable de estado se da mediante una función de transición de estado determinística que explícitamente da las transiciones:

En el caso estocástico, el estado del siguiente período depende del estado y la decisión actuales, pero además de un componente aleatorio, cuyos momentos se conocen, pero no su valor exacto. Entonces, no existe una función de transición sino una transición de probabilidades que determinan la probabilidad de alcanzar un estado, dado el estado y la decisión en el período inicial.

En cualquiera de los dos casos, estos modelos se analizan usando los métodos de programación dinámica desarrollados por Bellman (1957). La programación dinámica está basada en el principio de optimalidad de Bellman, que dice: “Una política óptima tiene la propiedad de que, cua-lesquiera que sean el estado y la decisión iniciales, las decisiones restan-tes deben constituirse en una política óptima con respecto al estado resul-tante de la primera decisión”.


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Este principio se puede expresar formalmente con la ecuación de Bellman:

Vt(s) es la máxima suma alcanzable de beneficios actuales y futuros espe-rados, dado que el sistema está en el estado s en el período t.

La ecuación captura el problema esencial del agente optimizador diná-mico: la necesidad de equilibrar las recompensas inmediatas f(st, xt) y las recompensas esperadas futuras .

En horizonte finito, el agente no enfrenta decisiones después del período terminal T; el problema puede incluir una recompensa final VT+1(sT+1) que dependa del estado en ese período terminal. Este valor terminal puede ser cero o puede ser un valor de salvamento y debe ser especificado cla-ramente en el modelo.

Dado este valor, el modelo de horizonte finito se puede resolver de mane-ra recursiva aplicando iterativamente la ecuación de Bellman:

– Teniendo VT+1, la ecuación de Bellman para VT(s) se convierte en un problema estático, que puede ser resuelto para todos los estados po-sibles S.

– Una vez resuelto VT , el problema se resuelve para VT–1(s) usando la misma estrategia: dado VT , es posible resolver este problema para VT–1(s) como un problema estático.

– Y así se sigue resolviendo múltiples problemas estáticos hasta llegar a V1(s) .

– Al resolver todos los períodos y con el valor inicial del estado del sistema, se halla la senda óptima de decisiones {xt} para el horizonte de tiempo definido.

Dado que S es finito, el problema se podría resolver con un número fini-to —aunque no necesariamente pequeño— de operaciones. Además, las funciones de valor de un proceso de decisión discreto de horizonte finito siempre están bien definidas, aunque en algunos casos el máximo flujo de beneficios se puede obtener de más de una forma.



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Si el problema es de horizonte infinito, las funciones de valor no depen-derán del tiempo t. Entonces la ecuación de Bellman puede expresarse como una ecuación de punto fijo cuya única variable es el valor V.

Si δ < 1 , la ecuación tiene una función de valor única, por lo que tendrá por lo menos una solución.

Antes de revisar los algoritmos de solución basados en métodos com-putacionales a estos problemas, vamos a analizar algunos ejemplos económicos.

2. Ejemplos económicos

Para enfrentar el análisis de un modelo de decisión discreto de Markov, la mejor estrategia es construir una lista con varios elementos que son fundamentales para entender la estructura del problema. Estos elemen-tos son:

– Naturaleza: el primer paso es definir la naturaleza del problema, es decir, definir si el problema es estocástico o determinístico.

– Horizonte: el segundo paso es definir si el problema que se analiza es finito o infinito.

– Variable y espacio del estado: se refiere a definir claramente cuál o cuáles son las variables de estado, sus unidades (en peso, volu-men, unidades, etc.) y los posibles valores que puedan adoptar estas variables; recordemos que por ser modelos de estado discreto, esta variable toma un número finito de valores, que se deben listar en un vector.

– Variable y espacio de la acción o control: se refiere a la definición de las variables de control o de decisión, sus unidades —que deben estar en correspondencia con las de la variable de estado— y los posibles valores que pueden adoptar; también es un conjunto finito de valores2.

2. Una forma clara de diferenciar variables de estado y de control es la siguiente: las variables de estado son una imagen de la cantidad del recurso en un instante determi-nado; por tanto, sus unidades son siempre físicas (kilogramos, toneladas, metros cúbi-cos, individuos, etc.). Las variables de control o de decisión miden decisiones adopta-das en un período de tiempo; por consiguiente, sus unidades son unidades físicas por unidad de tiempo, y estas unidades físicas deben ser las mismas que las variables de estado (kilogramos por semana, toneladas por mes, metros cúbicos por año, etc.).


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– Función de recompensa. Se refiere a la función ( f(st , xt)), que de-pende de la cantidad del recurso en cada período y de la decisión que se tome en él. Es decir, muestra los beneficios obtenidos en cada período de análisis.

– Función de evolución. Se refiere a la forma en que cambia la variable de estado en el tiempo. Si el problema es determinístico, se llama función de transición, y si es estocástico, se trata de las probabilida-des de transición.

– Factor de descuento δ. Como los problemas analizados son de tiem-po discreto, el factor de descuento se define como 1/(1 + r), donde r es la tasa de descuento relevante al problema analizado.

– Horizonte de tiempo T. Si el problema es de horizonte finito, se debe definir claramente el último período de análisis. Si el problema es de horizonte infinito, entonces se debe aclarar que T es infinito.

– Función de valor terminal VT+1. Si el problema es de horizonte finito, se debe aclarar cuál es el valor, si lo hay, de la cantidad remanente.

– Problema. Una vez definidos todos los elementos anteriores, el paso más importante es definir de manera clara cuál es el problema que se quiere resolver. La determinación adecuada de este problema ga-rantiza saber hacia dónde debe dirigirse su solución.

– Ecuación de Bellman. A partir de la definición del problema, el paso final para aplicar los principios de la programación dinámica es reescribir el planteamiento en términos de dicha ecuación.

– Solución al problema. Con la ecuación de Bellman, y dependiendo de las condiciones del modelo, se aplican las diversas técnicas para re-solver los problemas. Esto se verá con mayor detalle más adelante.

Ahora trataremos de aplicar el procedimiento de definir este listado para problemas relacionados con recursos naturales.

a. Ejemplo 1: manejo de la mina

Supongamos que una empresa obtenga la concesión sobre una mina por un período dado de T años. La decisión de la empresa es cuánto mineral extraer de esa mina en cada período, a sabiendas de que está será cerrada y abandonada después de T años de operación.

El precio del mineral extraído es p por tonelada y el costo total de extraer x toneladas es C(s,x), dado que la mina tiene S toneladas al inicio del pe-ríodo. Actualmente la mina tiene s toneladas de mineral.



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Suponiendo que la cantidad de mineral extraído en cada período deba ser un número entero, ¿cuál es la senda de extracción que maximiza los beneficios de este empresario?

Elementos del problema:

– Horizonte: finito, ya que se utiliza por T años.

– Naturaleza: determinística, ya que no hay componentes aleatorios in-cluidos en el problema.

– Variable de estado: reservas del recurso en cada período, denotado por la letra s, medido en toneladas del recurso.

– Variable de acción o control: extracción del recurso en cada período, denotado por la letra x, medido en toneladas del recurso por año.

– Espacio del estado: . Cantidad de mineral al inicio de cada año; toma un número finito de valores.

– Espacio de la acción: X = {0, 1, 2, ...,s}. Extracción de mineral cada año; toma un número finito de valores.

– Función de transición: g(s, x) = s – x. Como el problema es determinís-tico, la evolución se mide por medio de una función de transición.

– Función de recompensa: f(s, x) = px – C(s, x). Como la empresa en-frenta un mercado competitivo, su recompensa estará dada por los beneficios netos de la extracción, que dependen de los ingresos ob-tenidos por la venta del mineral al precio p menos los costos de lo-grar esa extracción, en cada período.

– Factor de descuento δ. Como ésta es una empresa, su tasa de des-cuento r debe reflejar el costo de oportunidad de su capital, proba-blemente privado.

– Valor terminal VT+1(s) = 0. Dado que la mina será abandonada al final del período T y no se da más información, para esta empresa cualquier unidad del recurso dejada después de la concesión tiene un valor de cero.

- Problema: la empresa debe decidir los niveles de extracción en cada período del horizonte [0, T], de manera que se maximicen los bene-ficios descontados a valor presente de hacerlo sujeto a la ecuación de evolución del recurso y dado que tiene s toneladas de mineral al inicio del ejercicio:


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– Ecuación de Bellman. Una vez definido el problema, es posible construir la ecuación de Bellman para cada período del horizonte de análisis:

Que dice que el máximo valor posible que puede alcanzar el te-ner una cantidad de recurso s está dado por la decisión que maxi-miza la suma de los beneficios presentes en cada período más el valor descontado del máximo valor de la cantidad remanente en el futuro.

b. Ejemplo 2: manejo de un depósito de agua

Supóngase que el agua de un estanque o represa pueda ser usada para irrigar un terreno agrícola o para recreación. Éste es un ejemplo típico en el que existe La necesidad de escoger entre usos alternativos en conflicto. Por una parte, la irrigación beneficia a los productores agrícolas aumen-tando su producción y, por tanto, sus beneficios; por otra, el uso del agua para irrigación reduce el nivel del depósito, lo cual afecta a quienes se recreen disfrutando del lago.

Si el depósito tiene s unidades de agua al inicio de cada año y se liberan x unidades para irrigación, los productores obtendrán unos beneficios equivalentes a F(x) y las familias u hogares obtendrán una satisfacción o bienestar por recreación, que se puede representar por U(s – x). Para ha-cer comparables las dos medidas, es importante aclarar que éstas deben darse en unidades monetarias. Así, la función de beneficios del agricultor puede incluir una función de producción, pero la función mencionada es de ingresos netos; de manera similar, la función de beneficios por re-creación puede provenir de una función de utilidad indirecta (que es una función de valor) o de una función de demanda, pero que está expresada en términos monetarios.

Supongamos, además, que el nivel del depósito se recupere por las llu-vias. Supongamos que caigan k unidades de lluvia con probabilidad pk para k = 0, 1, ..., K). Nótese que las unidades de lluvia deben estar expre-sadas en las mismas unidades en que se mide la irrigación (ambas son variables de flujo) y en que se mide el nivel de agua del depósito (que es la variable de estado).

El estanque puede mantener una cantidad máxima de M unidades de agua, de manera que si llueve una cantidad mayor a esta capacidad, el exceso fluye sin beneficiar ni afectar a nadie, ni familias ni agricultores.



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Éste puede ser un supuesto complicado en algunos contextos, pero por ahora usemos esta versión. Además, vamos a suponer que la lluvia no llega directamente a los campos de cultivo, sino que la única forma de suministrarles agua es mediante riego.

¿Cuál es la política de irrigación que maximiza la suma de los beneficios en un período infinito de tiempo?

Elementos del problema:

– Horizonte: infinito.

– Naturaleza: estocástica; la lluvia es probabilística en el problema.

– Variable de estado: cantidad de agua en el depósito, denotado por la letra S y medido en unidades de volumen; por ejemplo, miles de metros cúbicos.

– Variable de control: la cantidad de agua dedicada a riego cada año, denotada por la letra X y medida en unidades de volumen por uni-dad de tiempo; por ejemplo: miles de metros cúbicos por año.

– Espacio de la variable de estado: S = {0,1, 2, ..., M}. Nivel de agua al inicio de cada año en el estanque; es un conjunto finito de datos.

– Espacio de la variable de acción: X = {0,1, 2, ..., s}. Agua liberada al inicio de cada año; toma valores discretos y por tanto es un espacio finito.

– Probabilidades de transición del estado: como éste es un problema estocástico, no hablamos de función de transición, sino de probabili-dades de transición del estado, es decir, la probabilidad de alcanzar un estado s’ dado que en el período inmediatamente anterior la can-tidad es s y la decisión es x. Esta probabilidad se da por:

Que es la suma de las probabilidades de llegar a un determinado estado a partir de diferentes combinaciones de cantidad inicial y decisiones.

– Función de recompensa: . Éste es un problema social, ya que no se trata de optimizar el bienestar por recreación o el beneficio por el cultivo de manera independiente, sino que se deben considerar ambos beneficios simultáneamente. Por la misma razón, ambos deben estar en términos monetarios, de manera que su agre-gación sea directa. Si el planificador central desea valorar más un grupo que otro, lo único necesario es ponderar esta suma con pesos relativos para cada grupo.


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– Factor de descuento δ. Como éste es un problema social, la tasa de descuento que hay que utilizar debe ser una tasa intertemporal de la sociedad. Sería erróneo usar la tasa de los agricultores o la de los hogares sin considerar los otros agentes.

– Valor terminal VT+1: no existe. Dado que es un problema de horizon-te infinito, no existe función de valor terminal.

– Problema: la sociedad debe decidir la senda óptima de irrigación, de manera que se maximicen los beneficios para la sociedad prove-nientes de ambas actividades, riego y recreación, en un horizonte infinito de tiempo.

– Ecuación de Bellman. El valor de la represa, dado que contiene s unidades de agua al comienzo del año t, se puede representar por la ecuación de Bellman, que se expresa de la siguiente manera:

El máximo valor que puede alcanzar la cantidad del recurso en un período t está dado por la suma de los beneficios presentes deriva-dos del riego y de la recreación, más la suma descontada del valor esperado de los beneficios que genera la cantidad del recurso en el período siguiente, cuando este valor haya sido determinado de ma-nera óptima.

3. Algoritmos de solución

El siguiente paso es revisar los métodos posibles y disponibles para re-solver estos problemas. Veremos los algoritmos que solucionan numéri-camente los modelos de decisión de Markov de espacio discreto y tiempo discreto en escenarios estocásticos, con base en la programación dinámi-ca. Estos modelos también sirven para los modelos determinísticos, si uno los trata como un modelo con probabilidades de transición dadas por ceros y unos. Es importante aclarar que la notación que se usa hace refe-rencia a vectores, ya que los espacios de estado y de control son vectores finitos de valores.

Empecemos suponiendo que los estados posibles, S = {1, 2, ...n} y las ac-ciones posibles asociadas X = {1, 2, ...m} estén indexados por los enteros naturales n y m.



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Sea v un vector de valor arbitrario definido en el espacio v ∈ Rn, y sea

vi ∈ R el valor que puede tomar el vector v cuando el estado sea i

Sea x un vector de políticas arbitrario ∈ Xn, y sea

xi ∈ R la acción que se toma si el estado es i

Para cada política x ∈ Xn, sea f(x) ∈ Rn un vector nx1 de recompen-sas ganadas en cada estado y en cada período cuando se supone la política x. Es decir,

fi(x) es la recompensa que se obtiene cuando el estado es i dado que se tomó la acción xi

Como veremos, numéricamente se hace fi(x) = –∞, si xi no es una acción admisible en el estado si .

Sea P(x) ∈ Rnxn una matriz de posibilidades de tamaño nxn, que denote las probabilidades de transición de estado, es decir, las probabilidades de pasar de un estado a otro estado, dado que se tomó la decisión x. Es decir, cada elemento de esta matriz:

Pij(x) muestra la probabilidad de pasar del estado i al j, dado que se tomó la acción xi

El método de programación dinámica se basa en la ecuación de Bellman, la cual puede tomar diferentes formas dependiendo del horizonte del problema.

Para problemas de horizonte finito, la ecuación de Bellman se puede ex-presar como una ecuación vector recursiva. Si vt ∈ Rn denota la función de valor en el período t, la ecuación de Bellman se denota por:

donde P(x) y Vt+1 son vectores de tamaño n x n y n x 1, respectivamente; “max” es una operación vectorial que toma el máximo elemento de cada fila individualmente.

Para problemas de horizonte infinito, la ecuación de Bellman puede ex-presarse como una ecuación vector de punto fijo:

Para resolver la ecuación de Bellman, existen tres posibles algoritmos de solución:

– Recursión hacia atrás, que se usa para modelos de horizonte finito.


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– Iteración de función, para modelos de horizonte infinito.

– Iteración de política, para modelos de horizonte infinito.

A continuación veremos la lógica de cada uno de ellos.

a. Recursión hacia atrás

Como la ecuación de Bellman es de naturaleza recursiva, las funciones de valor óptimo Vt y de política óptima xt se pueden obtener usando re-cursión hacia atrás. Además, como el problema es de horizonte finito, el problema se puede resolver aprovechando las posibilidades de recursión. El algoritmo sería:

– Inicialización: especificar f,P,δ,T,Vt+1 y hacemos t = T.

– Recursión: dado que se conoce Vt+1 en el último período (es decir VT+1), es posible calcular Vt y xt

– Terminación: si t = 0, se detiene el algoritmo

Si no, hacemos t = t – 1 y vuelve al paso de recursión.

Dadas las condiciones del modelo, se obtendrá al menos una secuencia de políticas óptimas después de exactamente T iteraciones.

b. Iteración de función

Como la ecuación de Bellman en horizonte infinito es una ecuación vector de punto fijo, entonces se pueden calcular las funciones de valor óptimo y de política óptima usando métodos de iteración de función, como vimos en la sección anterior. En este caso, el algoritmo de solución será:

– Inicialización: especificar f, P, δ, τ, que es un valor de tolerancia pre-determinado y se define un valor inicial para la función v.

– Iteración de función: actualiza el valor de V haciendo:

– Chequeo: si entonces actualizamos el valor de x haciendo:



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Y habremos llegado a una solución, entonces se detiene la iteración.

Si la diferencia en las normas de los dos vectores es muy grande, entonces se repite el paso de iteración

Teóricamente la función de valor existe y es única y podrá ser calculada para un vector finito de valores posibles.

c. Iteración de política

En la sección anterior vimos que la ecuación de punto fijo de Bellman se podía reescribir como un problema de raíz, haciendo:

El cual se puede resolver usando el método de Newton. Para hacerlo, no-temos que por teorema de la envolvente, la derivada del lado izquierdo de esta expresión es:

donde x es el valor óptimo que resuelve la ecuación recursiva.

Entonces, recordando que para cualquier función f(x), la aproximación de Taylor es:

Lo que implica que la regla de iteración sea:

Usamos el mismo procedimiento para la ecuación de Bellman, de manera que la regla de iteración es ahora:

Recordemos que P y f están evaluados en el x óptimo.

Simplificando esta expresión:

Entonces, la regla de iteración será:


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Con esta regla de iteración, se formula el algoritmo:

– Inicialización: especificar f, P, δ y un valor inicial supuesto para V.

– Iteración de política: dado V actualiza x con

Y actualiza v, usando

– Chequeo: si , se habrá llegado a una solución.

Si no, vuelve al paso de iteración de política

Dado que las acciones y políticas son finitas, el proceso terminará en al-gún momento después de un valor finito de iteraciones.

Sin embargo, se debe considerar que se está resolviendo un sistema de ecuaciones que dependiendo de P puede ser costoso de resolver; enton-ces será mejor iteración de función.

Se debe tener en cuenta que el esfuerzo computacional crece exponencial-mente con la dimensionalidad del espacio del estado. Lo mismo es verdad con respecto a la dimensionalidad de la acción. Este fenómeno se llama la “maldición de la dimensionalidad”, y ha sido el problema más severo en la solución de modelos de decisión discretos de Markov. Problemas relati-vamente sencillos con dos o tres variables de estado pueden convertirse en problemas muy complicados a causa de este fenómeno.

4. Análisis de simulación dinámica

Como resultado del proceso de optimización dinámica, utilizando pro-gramación dinámica, con cualquiera de los algoritmos mencionados arri-ba, se obtienen las funciones de valor V* y de política x* óptimas, que son vectores que muestran cuáles serán los óptimos de la función de valor y las decisiones óptimas, respectivamente, para cada estado posible del conjunto de estados finito S.

Es decir, la función de valor óptimo describe los beneficios de estar en cada uno de los posibles estados dados, y la política óptima prescribe la acción óptima que ha de ser tomada allí. Sin embargo, ellas dan una visión parcial —estática— del proceso controlado, ya que no dicen nada acerca de cuál debe ser la política óptima que ha de seguirse a partir de ciertas condiciones iniciales.

Típicamente reviste interés analizar el proceso para conocer sobre su comportamiento dinámico y ver cómo se afecta éste por cambios en los



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parámetros del modelo. Para analizar la dinámica de un proceso econó-mico se usan dos herramientas de análisis: análisis de senda dinámica y análisis de estado estacionario.

El análisis de senda examina cómo el proceso controlado evoluciona en el tiempo partiendo de un estado inicial. Describe la senda o sendas espe-radas que sigue el estado o alguna otra variable endógena en el tiempo y cómo ella variará con los parámetros del modelo.

El análisis de estado estacionario examina las tendencias de largo plazo del proceso económico en un horizonte infinito, sin que importe la senda se-guida en el tiempo. En un modelo determinístico se busca encontrar los valores a los cuáles converge en el tiempo la variable de estado y otras variables endógenas y cómo esos valores varían con los parámetros del modelo. En un modelo estocástico se debe hacer la distribución del esta-do estacionario de las variables (estado u otra endógena); por ejemplo, las medias y varianzas de las variables y cómo varían estos momentos —si lo hacen— con los parámetros.

Una vez determinados x* y V*, las sendas se pueden calcular fácilmente. Dada la función de transición g y la secuencia de funciones de política óptima xt

*, la senda del estado se puede computar iterativamente con

Dada la senda del estado, se puede derivar la senda de acciones óptimas mediante la relación

Y dadas la senda de estado y la de acción, se puede derivar la senda to-mada por cualquier función de ellas.

Si el proceso es de horizonte infinito, aplica el mismo análisis, aunque obvia-mente se debe definir un horizonte finito sobre el cual hacer el análisis. El esta-do estacionario puede ser calculado haciendo iteraciones hasta que los valo-res converjan. También se puede hallar evaluando cuáles estados satisfacen

De la senda y el estado estacionario del estado se pueden hallar las sen-das y estados estacionarios de otras variables endógenas.

Para problemas estocásticos, el análisis es un poco más complicado por-que los procesos de estado siguen una senda aleatoria, no determinística. De nuevo, el análisis depende del horizonte del problema:

– En un proceso de horizonte finito con políticas óptimas xt*, el pro-

ceso de estado será una cadena de Markov de horizonte finito con


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matriz de probabilidad no estacionaria Pt* cuyo elemento típico es

Pij = probabilidad de saltar del estado i al estado j en t + 1, dado que se estableció la política xt

*(i) en el período t

– En un horizonte infinito, el proceso será una cadena de Markov estacionaria con matriz de probabilidades de transición P* en la que el elemento típico es el mismo que se ha mencionado en horizonte finito, sólo que ahora se sigue la política óptima x*(i)

Dada la matriz de probabilidades de transición, es posible simular una senda de estado representativa o varias sendas de estado representativas, haciendo simulaciones de Montecarlo. En el procedimiento de Montecarlo se elige un estado inicial y se simula la senda eligiendo aleatoriamente un nuevo estado j con probabilidad Pij

*.

También se puede describir el proceso de un modelo estocástico de hori-zonte infinito:

Sea Qt = p*t la matriz cuyo elemento ij sea la probabilidad de que el pro-ceso esté en el estado j en el período t, dado que estuvo en i en t = 0. Es decir, ésta es una matriz potenciada de la matriz Pt

*.

Conociendo Qt , se puede describir probabilísticamente la senda tomada por el proceso desde un estado inicial s0 = i mirando la fila i-ésima de Q. Usualmente Qt converge a Q cuando t → ∞. En ese caso, cada entrada de Q muestra la frecuencia relativa con que el proceso visitará un estado en el largo plazo, a partir de un estado inicial i.

Si todas las filas de Q son idénticas, la probabilidad de largo plazo es independiente del estado inicial y se dice que el proceso tiene una distri-bución de estado estacionario.

Dada esta distribución, se pueden calcular medidas resumen del compor-tamiento de largo plazo como la media y la varianza y se pueden deter-minar las distribuciones de otras variables endógenas en el problema.

5. Las herramientas de programación

El análisis numérico de este tipo de ejercicios puede llegar a ser complica-do, especialmente si se tiene en cuenta que x, s y v son vectores que pue-den llegar a ser grandes, dependiendo del número de estados posibles que puede asumir el sistema. Además, si aumenta el número de estados o de



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controles, como se ha mencionado, la complejidad del problema aumenta más que proporcionalmente. Pero incluso en modelos sencillos la progra-mación puede llegar a ser difícil de desarrollar de manera intuitiva y ágil. Afortunadamente, Miranda y Fackler (2002) han desarrollado un paquete computacional de rutinas, varias de ellas diseñadas específicamente para este tipo de problemas. Este paquete se conoce como CompEcon y está disponible en su página web3.

Para el caso de la programación dinámica discreta, la rutina central es ddpsolve, la cual resuelve modelos de decisión discreta de Markov usando los algoritmos de los que hemos hablado (iteración de función, iteración de política y recursión).

El modelo de la rutina es

[v, x, pstar] = ddpsolve(model, vinit);

En donde:

model: es una variable estructurada que contiene toda la información rele-vante del modelo. Más adelante se explica su construcción.

vinit: es un valor supuesto inicial opcional para la función de valor de un modelo de horizonte infinito (por defecto es cero), y es el vector con el que se comienza cualquiera de los algoritmos.

Los resultados que arroja el modelo son:

v: función de valor óptima. Es un vector del tamaño de S, que da el valor óptimo para cada estado posible del modelo.

x: política óptima. Es un vector del tamaño de S, que da las decisiones óptimas que se han de tomar en cada estado posible del modelo.

pstar: matriz de probabilidades de transición. Es la matriz P* que acaba-mos de mencionar.

Por defecto, la rutina usa iteración de política si el horizonte es infinito, o recursión hacia atrás si es finito. Si se quiere que se haga iteración de función, se debe especificar con el comando:

optset(‘ddpsolve’, ‘algorithm’, ‘funcit’);

Volviendo a la especificación de la variable model, ésta es una variable estructurada que requiere la siguiente información:

3. La página de herramientas de CompEcon es http://www4.ncsu.edu/~pfackler/compecon/toolbox.html.


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horizon: se especifica sólo si el problema es de horizonte finito; debe ser un número entero positivo con el número de períodos del horizonte. Si es infinito, no se denota.

discount: se refiere al factor de descuento. Recordemos que éste es un valor entre cero y uno. Si es cero, la tasa de descuento sería infinita; si es uno, la tasa de descuento sería cero. En problemas de horizonte finito, puede ser menor o igual a uno; en problemas de horizonte infinito, debe ser un valor estrictamente menor a uno, es decir, la tasa de descuento debe ser positiva.

reward: matriz n x m de las recompensas asociadas a cada uno de los n es-tados posibles y cada una de las m acciones; como se mencionó, si alguna combinación no es físicamente posible, se debe denotar por un menos infinito: ya que el problema es de maximización, este valor nunca será considerado por el algoritmo.

vterm: (si es necesario) vector n x 1 de valores terminales. Sólo se incluye si el problema es de horizonte finito. Por defecto es cero.

transprob o transfunc: se refiere a la función de evolución y depende de si el problema es estocástico (transprob) o determinístico (transfunc):

– transprob es un arreglo m x n x n de probabilidades de transición. En este contexto, m es el número de acciones posibles, n el número de es-tados actuales y el último n se refiere a los estados en el siguiente pe-ríodo. Es decir, el elemento i, j, k se refiere a la probabilidad de termi-nar en el estado k, habiendo partido del estado j y tomado la decisión i.

– transfunc es una matriz n x m de transiciones de estado determinís-ticos, donde n denota los estados actuales y m las posibles acciones. Así, el elemento i, j denotará el estado al que se llegará después de tomar la decisión j, dado que se estaba en el estado i.

Entonces, lo primero que se debe hacer es estructurar la variable model; una vez es-tructurada, que puede ser lo más difícil, simplemente se corre la rutina ddp-solve. Como resultado, se obtienen los vectores óptimos v y x y la matriz P*. Aunque importantes, en sí mismos estos resultados no dicen mucho de la solución del problema, pero son útiles para hacer el análisis posoptimalidad.

Para desarrollar dicho análisis existe en CompEcon dos herramientas muy útiles: ddpsimul y markov.

La primera de ellas, ddpsimul, sirve para generar la senda de las variables de estado a partir de un estado inicial conocido. La sintaxis del comando es:

spath = ddpsimul(pstar, sinit, nper);

En este caso el comando pide la siguiente información:



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pstar: es la matriz de probabilidades inducida por la política óptima y generada por ddpsolve.

sinit: es un vector kx1 de índices de estado inicial (k es el número de varia-bles de estado). Si el modelo tiene un solo estado, entonces será un escalar que determina el inicio del proceso de estado controlado.

nper: es el número de períodos sobre el cual se hará la simulación.

Como resultado, el código arroja una variable llamada spath, la cual es una matriz kx(N + 1) que contiene los índices del estado en los N + 1 pe-ríodos, incluso el inicial. Si el modelo es determinístico, la senda es determi-nística y el vector entregado muestra los valores que con certeza adoptará el sistema en la simulación. Si el modelo es estocástico, la senda es gene-rada por método Montecarlo y realiza varios miles de simulaciones, de manera que para analizarlo se deben usar los momentos de estas simula-ciones (media y varianza).

El comando spath sirve para hacer el análisis de senda. Para el análisis de estado estacionario se puede usar spath con muchos períodos y ver si el sistema converge a determinado valor o usar el otro comando, markov. La sintaxis de este comando es:

Pi = markov(pstar);

Donde pstar se refiere a la matriz de transición de probabilidad inducida que entrega la optimización del modelo. Como resultado se obtiene el vector Pi, que es un vector con la distribución de estado estacionario del proceso de estado, si existe.

Quizá la forma más directa de entender el funcionamiento de estas ruti-nas sea con ejemplos reales. A continuación se presentan un par de ejem-plos desarrollados por Miranda y Fackler (2002), que son muy intuitivos para entender el funcionamiento de la rutina.

6. Ejemplos numéricos

Los siguientes dos ejemplos son el desarrollo numérico de los problemas pro-puestos anteriormente, de un recurso no renovable y del manejo de agua en un depósito con múltiples usos. Estos ejemplos son desarrollados por Miranda y Fackler (2002) y replanteados acá con algunas modificaciones menores.

a. Ejemplo 1. Manejo de la mina

Retomando el ejemplo anterior, supongamos que definimos valores para las variables de interés. El precio del mineral es p = 0,8; las reservas inicia-les del recurso son ; además, la tasa de descuento es del 10%, es decir


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que el factor de descuento es de aproximadamente δ = 0,9. Supongamos además que se ha definido la función de costos de extracción como

Entonces, el procedimiento que se debe desarrollar es el siguiente. Lo primero es que toda la información se debe codificar en un archivo m de Matlab. Dicho archivo debe contener la siguiente información:

– Introducimos los parámetros del modelo:

% Parámetros del modelo

precio = 0.8; % precio del mineral

sbar = 100; % cantidad inicial del recurso

tasadesc = 0.10; % tasa de descuento

delta = (1/(1+tasadesc)); % factor de descuento

– Especificamos los espacios de la variable de acción y de la variable de estado y el tamaño de los vectores:

% Construcción de los espacios del estado y la acción

S = (0:sbar)’; % vector de estados

X = (0:sbar)’; % vector de acciones

n = length(S); % numero de estados

m = length(X); % número de acciones

– Construimos la matriz de recompensa; quizá sea ésta la parte en la cual se deba tener más cuidado en el proceso. Usualmente, dado el tamaño de las matrices, se usan métodos iterativos para llenarlas. La sintaxis usa el lenguaje de Matlab. Como se dijo, si existen parejas de estado y acción que no sean posibles físicamente (por ejemplo, ex-traer 10 unidades si existen sólo 4 unidades disponibles de recurso), se le asigna a la función de recompensa un valor de menos infinito (–∞). Como el modelo trata de maximizar los beneficios, estas opcio-nes nunca van a ser consideradas. Un ejemplo de la sintaxis es:

% Construcción de la función de recompensa

f = zeros(n,m);

for i=1:n

for k=1:m

if X(k)<=S(i)

f(i,k) = precio*X(k)-(X(k)^2)./(1+S(i));

else

f(i,k) = -inf;

end

end

end



171

– Construimos la regla de transición, g. Denota cómo cambia la can-tidad de recurso en el tiempo como resultado de las decisiones to-madas y de la cantidad del mismo en cada momento. Igual que la función de recompensa, se construye una matriz y se llena con la información correspondiente a cada estado y cada decisión:

% Construcción de la función de transición del estado

g = zeros(n,m);

for i=1:n

for k=1:m

snext = S(i)-X(k);

g(i,k) = getindex(snext,S);

end

end

Esta iteración usa un comando creado en CompEcon, que se llama getindex. Este comando se usa para dar información al sistema de la posición de un estado con base en el vector de estados posibles. Así, en este caso, la iteración calcula primero la cantidad del recurso que resulta en el siguiente período, según la cantidad en el período ac-tual y la extracción de este período. El resultado, que es un número asociado a una cantidad física, debe reexpresarse en términos de la posición que ese valor ocupa en el vector de estados posibles S. Este comando calcula esta posición y es la que usa para llenar la matriz. De esta manera, Matlab no confunde valores físicos con las posicio-nes correspondientes a esos valores.

• Empaquetamos el modelo. Una vez listas las matrices de recompen-sa y de transición, lo que puede ser lo más difícil del procedimiento completo, es posible empaquetar el modelo, es decir, construir la variable estructurada que se usa para hacer la optimización. En este caso, el modelo es una variable estructurada cuyos campos contie-nen la matriz de recompensa, la función de transición y el factor de descuento:

% Empaquetamiento del modelo

clear model

model.reward = f;

model.transfunc = g;

model.discount = delta;

Una vez definido el modelo, el paso siguiente es resolver el problema.

• Resolvemos el modelo. Para hacerlo, usamos el comando ddpsolve.


172

% Solución del modelo usando iteración de política

[v,x,pstar] = ddpsolve(model);

Este comando por defecto usa el método Newton, es decir, realiza iteración de política. Si se quiere estimar la solución usando itera-ción de función, se utiliza el siguiente comando:

optset(‘ddpsolve’,’algorithm’,’funcit’) ;

Como resultado de la optimización, se obtienen los vectores de valores óptimos (v) y decisiones óptimas (x) para cada estado del recurso. Estos resultados se pueden graficar, con los siguientes comandos. Las figuras resultantes se pueden observar en el gráfico 3.11.

% Gráfica de la función de valor óptimo

figure(1); plot(S,v);

title(‘Funcion de Valor Óptima’);

xlabel(‘Recurso’); ylabel(‘Valor’);

% Gráfica de la función de política óptima

figure(2); plot(S,X(x));

title(‘Política Óptima de Extracción’);

xlabel(‘Recurso’); ylabel(‘Extracción’);

Gráfico 3.11. Relaciones entre la función de valor óptimo y la función de política óptima a diferentes niveles de recurso disponible.

• Hacemos el análisis posoptimalidad. Como ya se explicó, los vectores óptimos de valor y de decisión son las herramientas básicas para realizar dicho análisis. Una forma de hacerlo es mediante una simu-lación:



173

% Senda óptima del recurso a 20 años

sinic = max(S); anhos = 20;

spath = ddpsimul(pstar,sinic,anhos);

% Senda óptima de la variable de estado del recurso

figure(3); plot(0:anhos,S(spath));

title(‘Senda Óptima del Recurso’);

xlabel(‘Años’); ylabel(‘Recurso’);

Las sendas óptimas se pueden graficar fácilmente (véase gráfico 3.12). Para estos parámetros en particular, se observa que el recurso se agotará ópti-mamente en 18 años. Una vez validado el modelo, se pueden hacer aná-lisis de sensibilidad ante cambios en parámetros o en variables exógenas.

Gráfico 3.12. Senda de simulación de la variable de estado

b. Ejemplo 2. Manejo del depósito de agua

Otro ejemplo, cuyo planteamiento ya se presentó, es el del manejo del de-pósito de agua, que genera beneficios tanto a agricultores como a familias en recreación. Supongamos que por algún método se hayan identificado esos beneficios y que se conozcan las funciones de beneficios de los pro-ductores y las funciones de beneficios de los hogares en recreación:

Supongamos, además, que los parámetros hayan sido identificados así: M = 30 , r = 10%, es decir δ = 0,9 y que la lluvia sea un evento aleatorio


174

que pueda tomar cinco valores: k = [0, 1, 2, 3, 4], con probabilidades de ocurrencia: P(k) = [0,1 0,2 0,4 0,2 0,1].

Dada esta información, el procedimiento es:

• Introducimos los parámetros del modelo:


alfa1 = 14; % parámetro de la función

de beneficios del productor

beta1 = 0.8; % parámetro de la función

de beneficios del productor

alfa2 = 10; % parámetro de la función

de beneficios por recreación

beta2 = 0.4; % parámetro de la función

de beneficios por recreación

maxcap = 30; % máxima capacidad del depósito

r = [0 1 2 3 4]; % niveles de lluvia

p = [0.1 0.2 0.4 0.2 0.1]; % probabilidades asociadas a cada

nivel de lluvia



• Especificamos los espacios de acción y de estado y sus tamaños:

% Construcción de los espacios del estado y la acción

S = (0:maxcap)’; % vector de estados

n = length(S); % número de estados

X = (0:maxcap)’; % vector de acciones

m = length(X); % número de acciones

• Construimos la matriz de pagos. De nuevo, se debe construir una matriz que incluya los beneficios que se generan, en este caso a la sociedad en su conjunto, a cada nivel de extracción y cada nivel de agua del depósito. Si el riego es mayor al nivel del depósito, f = – ∞

% Construcción de la función de recompensa

f = zeros(n,m);

for i=1:n

for k=1:m

if k>i

f(i,k) = -inf;

else

f(i,k) = alfa1*X(k).^beta1+alfa2*(S(i)-X(k)).^beta2;

end

end

end



175

• Construimos la matriz de probabilidad de transición P. Como en este caso la transición es un problema estocástico, nos enfrentamos a la construcción de una matriz de probabilidades de transición, de tres dimensiones, a saber: la de las decisiones, la del estado inicial y la del estado final. En cada celda debe quedar reflejada la probabili-dad de que se alcance un determinado estado, dado un estado y una decisión contemporáneos.

% Construcción de la matriz de transición del estado

P = zeros(m,n,n);

for k=1:m

for i=1:n

for j=1:length(r)

snext = min(S(i)-X(k)+r(j),maxcap);

inext = getindex(snext,S);

P(k,i,inext) = P(k,i,inext) + p(j);

end

end

end

• Empaquetamos el modelo. Para el empaquetamiento de la variable estructurada del modelo, se requiere f, P y δ.


clear model

model.reward = f;

model.transprob = P;

model.discount = delta;

Como el modelo es de horizonte infinito, no es necesario definir otras variables para él.

• Resolvemos el modelo; se usa el comando ddpsolve.

% Solución del modelo en horizonte infinito usando iteración

de política

[v,x,pstar] = ddpsolve(model);

Como resultado de la optimización, se obtienen los vectores de valores óptimos (v) y decisiones óptimas (x) para cada estado del recurso; para ello se utilizan los comandos descritos a continuación y los resultados se presentan en el gráfico 3.13.


176

% Gráfica de la función de valor óptima

figure(1); plot(S,v);

title(‘Función de valor óptimo’);

xlabel(‘Nivel de agua en el depósito’); ylabel(‘Valor’);

% Gráfica de la función de política óptima

figure(2);

bar(S,X(x),.65,’k’);

axis([0 maxcap -inf inf]);

title(‘Política óptima de irrigación’);

xlabel(‘Nivel de agua en el depósito’);

ylabel(‘Irrigación’);

xlim([0 31])

ylim([0 6])

Gráfico 3.13. Funciones de valor óptimo y de decisión óptima a diferentes niveles de agua del depósito.

Como se ha mencionado, los vectores de valor óptimo y de decisiones óptimas son un paso necesario en la solución de problemas dinámicos. Sin embargo, lo más importante es el análisis posoptimalidad con base en estos resultados. Dado que este problema es estocástico, lo que hace-mos es simular diferentes sendas posibles de la variable de estado, con base en las probabilidades de lluvia. Para obtener una buena aproxi-mación, hacemos 10.000 simulaciones aleatorias y graficamos la senda promedio de éstas. Como resultado se obtiene la senda observada en el gráfico 3.14.



177

% Sendas óptimas del recurso

sinit = ones(10000,1); anhos = 30;

spath = ddpsimul(pstar,sinit,anhos);

% Gráfica del valor esperado de nivel del depósito de agua en el

% tiempo, a partir de un nivel cero de agua

figure(3)

plot(0:anhos,mean(S(spath)));

title(‘Senda óptima esperada del nivel del recurso’);

xlabel(‘Año’); ylabel(‘Nivel de agua’);

Gráfico 3.14. Senda esperada de la variable de estado en el problema del depósito de agua.

Finalmente, a partir de la simulación de la senda del nivel de agua, pode-mos obtener una aproximación a la distribución del estado estacionario de la variable de estado, con los comandos que se presentan a continua-ción. En el gráfico 3.15 se observa la distribución del estado estacionario del nivel de agua.

% Cálculo de la distribución de estado estacionario del nivel de agua

pi = markov(pstar);

figure(4);

bar(S,pi,.65,’k’);

axis([0 maxcap -inf inf]);

title(‘Distribución de estado estacionario’);


ylabel(‘Probabilidad’);

ylim([0 .2])


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Gráfico 3.15. Distribución del estado estacionario del nivel de agua en el depósito.

Como se puede observar, el uso de CompEcon para resolver estos proble-mas se convierte en una herramienta de primera mano para el manejo de los recursos naturales en contextos dinámicos. Quizá la principal limitan-te de los modelos de estado discreto es la complicación cuando se usan vectores de estado o de acción con demasiados elementos. En estos casos, analizar la versión de la programación dinámica en estado continuo pue-de ser de mayor utilidad. En el siguiente literal se presenta el enfoque de estado continuo y se reexaminan estos ejemplos en dicha versión.

D. Programación Dinámica: Modelos de Estado Continuo

En el capítulo anterior se analizaron los modelos de tiempo y estado dis-cretos. Aunque ese enfoque es útil y se puede aplicar a buena cantidad de modelos, en la práctica puede tornarse engorroso si las variables toman muchos estados posibles o si existen más de una variable de estado o de control. La alternativa es analizar la variable de estado como continua, que es el enfoque que haremos en este capítulo.

Existen muchos ejemplos de modelos de estado continuo; sin embargo, desde el punto de vista económico, los más representativos se pueden agrupar —según Miranda y Fackler (2002)— en tres categorías:

– Modelos de toma de decisión de individuos, empresas o institucio-nes, que puedan involucrar elecciones discretas o continuas.



179

– Modelos de juegos estratégicos dinámicos.

– Modelos de equilibrio parcial o general de comportamiento econó-mico colectivo y descentralizado, basado en expectativas racionales.

Los modelos de equilibrio y de optimización dinámica están relacionados estrechamente y no es extraño encontrarlos en el ejercicio diario de la economía. La mayoría de estos modelos económicos de estado continuo y tiempo discreto son problemas de punto fijo en muchas dimensiones que no tienen solución en forma cerrada. Para resolverlos existen las he-rramientas numéricas que permiten encontrar soluciones con alto grado de precisión, como resultado de la aplicación de las herramientas de la economía computacional.

En este literal retomamos el modelo de programación dinámica aplicado a modelos de estado continuo y examinamos sus implicaciones para el análisis. Luego revisamos algunos ejemplos y miramos la forma de abor-darlos y, al final, estudiamos las herramientas computacionales disponi-bles para resolver estos problemas.

1. Programación dinámica en estado continuo

Este modelo es una generalización del modelo visto en el capítulo ante-rior para estado discreto, pero ahora aplicado a estado continuo; el tiem-po sigue siendo discreto. En cada período t, un agente observa el estado de un sistema económico St y toma una decisión xt , la cual genera una ganancia f(St, xt).

El estado del sistema económico es un proceso controlado de Markov; es decir, el estado en el período t + 1 depende únicamente del estado y de la acción en t y de una cantidad aleatoria exógena εt+1 desconocida en el período t:

El agente busca la secuencia de políticas que prescriba la acción ópti-ma, xt = xt

*(St ) que se ha de tomar en un estado y período dados, de ma-nera que pueda maximizar el valor presente de las ganancias actuales y futuras esperadas en un horizonte de tiempo T, descontado a un factor δ.

De manera similar al caso discreto, el modelo puede ser de horizonte finito (T < ∞) o infinito (T = ∞); también puede ser determinístico o estocástico. Si es éste, las cantidades εt se suponen distribuidas de manera idéntica e indepen-diente en el tiempo e independientes de los estados y acciones precedentes.

El espacio de estado S enumera todos los estados alcanzables por el siste-ma e incluye variables continuas cuyos rangos son intervalos de la recta


180

real. Sin embargo, el modelo puede también incluir variables de estado discretas con rangos finitos. Si todos los estados son continuos, se dice que el espacio es puramente continuo; si no, se dice que es mezclado.

El espacio de la acción X puede tener variables de acción continua o dis-creta. Si todas son continuas, se dice que es un modelo de elección conti-nua. Si todas son discretas, se dice que es un modelo de elección discreta. Modelos que mezclan elecciones discretas y continuas son más difíciles de tratar y van más allá del alcance de este libro.

En algunos casos el conjunto de acciones disponibles al agente pueden variar con el estado del proceso económico s. En tal caso, las acciones se denotan por x(s).

Al igual que el caso de estado discreto, el problema se puede analizar usando métodos de programación dinámica basados en el principio de op-timalidad de Bellman, el cual se puede expresar en la forma de la ecuación de Bellman.

Si Vt(s) es la máxima suma alcanzable de recompensas actuales y futuras esperadas, dado que el proceso económico está en el estado s en el pe-ríodo t, entonces el principio de optimalidad implica que las funciones de valor Vt : S → R deben satisfacer

De nuevo, la ecuación de Bellman implica la necesidad de equilibrar de forma óptima las recompensas inmediatas f(St, xt) y las recompensas fu-turas esperadas .

Si el problema es de horizonte finito, T < ∞, puede existir un valor de salvamento o función de valor terminal VT+1(sT+1), que puede ser cero o un valor positivo.

Si el problema es de horizonte infinito, las funciones de valor no depende-rán de t. En ese caso, la ecuación de Bellman se convierte en una ecuación de punto fijo cuya única variable desconocida es la función de valor V:

Si δ < 1 y la función de recompensa f está limitada, el mapeo es una con-tracción y por tanto tendrá una solución única.

Veamos entonces las condiciones que se deben satisfacer para resolver este problema.



181

2. Condiciones de Euler

En el caso de que el modelo que estemos resolviendo tenga espacios de estado y acción puramente continuos, sus soluciones pueden ser carac-terizadas con las condiciones de equilibrio de primer orden, ya que las funciones que generan son —usualmente— funciones diferenciables o por lo menos continuas.

La solución a un problema de decisión de Markov mediante las condi-ciones de equilibrio —llamadas condiciones de Euler— da una interpre-tación intertemporal que ayuda a entender y explicar las características esenciales del proceso económico dinámico controlado.

Suponiendo que f y g sean doblemente diferenciables en s y x y que δ < 1, las condiciones de un problema de decisión continuo involucran un elemen-to importante, que es la derivada de la función de valor, la cual denota-mos por λ(s) ≡ V’(s). λ es la función de precio sombra, que representa el valor marginal de la variable estado para el agente optimizador, es decir, el precio que el optimizador le da a la unidad marginal de la variable de estado.

Las condiciones de equilibrio para el problema de decisión de Markov se derivan aplicando las condiciones Karush–Kuhn–Tucker y el Teorema de la Envolvente al problema de optimización de la ecuación de Bellman.

Suponiendo que existan n estados y m decisiones, y que las acciones no estén restringidas, las condiciones de primer orden implican que la acción óptima x*, dado el estado s, satisface la condición de equimarginalidad:

Donde fx(s, x) es un vector de tamaño 1 x m, que representa la derivada de la función de recompensa con respecto a la decisión x, g(s, x, ε) es un vec-tor de tamaño 1 x n, que representa la ecuación de evolución del sistema para cada variable de estado, y gx(s, x) es una matriz de tamaño n x m, que representa el conjunto de derivadas parciales del vector g con respecto a las decisiones x.

Entre tanto, aplicando el teorema de la envolvente:

Donde λ(s) es la derivada de la función de valor con respecto a s, fs(s, x) es un vector de tamaño 1 x n, que representa la derivada de la función de recompensa con respecto al estado s, y gs(s, x) es una matriz de tamaño n x n, que denota las derivadas parciales de la función de evolución con respecto a los estados s.


182

En ciertas aplicaciones la transición del estado depende sólo de la acción tomada; entonces gs = 0. Si es así, entonces la condición de la envolvente converge a fs = λ(s); remplazando esta equivalencia en la condición de equimarginalidad, se tiene:

O en su forma más general:

Esta ecuación, cuando existe, se llama ecuación de Euler. Nótese que esta ecuación no es nada más que una versión de las condiciones de optimali-dad del problema dinámico resuelto con el cálculo de variaciones.

De esta forma, es posible analizar qué pasaría con el sistema en ciertas condiciones; por ejemplo, que pasaría en el largo plazo y si el sistema converge a algún estado estacionario.

3. Estado estacionario

Generalmente, existe interés por las condiciones de largo plazo en el pro-ceso económico. Si el modelo es determinístico, el sistema puede alcanzar un estado estacionario bien definido al cual el proceso converge en el tiem-po. El estado estacionario se caracteriza por la solución a una ecuación no lineal; específicamente, consta de un estado s*, una acción x* y un precio sombra λ* que satisfacen las condiciones de Euler y de estacionalidad:

En general, sea x restringido o no, el sistema puede resolverse numéri-camente. Aún si las ecuaciones de Bellman o de Euler no tienen forma cerrada, a menudo es posible derivar expresiones en forma cerrada de las soluciones de largo plazo de s, x, λ.

La mayoría de los problemas determinísticos tendrán un estado estaciona-rio, sin que importen las condiciones iniciales, que caracterizan inequívo-camente el comportamiento de largo plazo del proceso controlado.

Para el caso de modelos estocásticos, la acción y el estado no convergen a valores específicos, y el comportamiento de largo plazo del modelo sólo puede describirse probabilísticamente. Sin embargo, a menudo es muy



183

útil derivar el estado estacionario del problema determinístico del “equi-valente con certeza”, que se obtiene al fijar todos los shocks aleatorios exógenos en sus valores promedio. Conocer el estado estacionario del “equivalente con certeza” puede ayudar a solucionar el problema, ya que provee una idea razonable de los valores de las funciones de política óp-tima, valor óptimo y precio sombra en algoritmos de solución numérica que resuelvan la ecuación de Bellman y las condiciones de Euler.

Por tanto, el primer paso al solucionar problemas estocásticos es resolver el problema de “equivalente con certeza” y, una vez resuelto, se incluye el componente aleatorio alterando la varianza de las cantidades aleatorias desde cero hasta su verdadero valor y usando la solución del modelo de-terminístico como punto de partida para el algoritmo del más complicado.

4. Problemas de Complementariedad

Otra condición que se puede presentar en los problemas de optimización dinámica es que las acciones estén sujetas a restricciones. Si por ejemplo, x está limitado por

donde a y b son funciones diferenciables de s:

Entonces, las condiciones de equimarginalidad y de envolvente se modifi-can a:

Y ahora se incluyen las condiciones de complementariedad

Donde µ es un vector 1xm cuyo i-ésimo elemento mide la recompensa actual y futura esperada de un aumento marginal en la i-ésima acción xi en el óptimo.

Estas condiciones implican que


184

– Si la solución xi es mayor al límite inferior, µi es no negativo; en caso contrario, se podrían aumentar los beneficios disminuyendo xi

– Si la solución xi es menor al límite superior, entonces µi es no positivo; de lo contrario, se podrían aumentar los beneficios aumentando xi

– Si xi está entre los límites, µi debe ser cero para anular cualquier po-sibilidad de aumentar ingresos con cambios en xi.

5. Ejemplos económicos

Revisemos ahora algunos ejemplos económicos que estén basados en modelos de estado continuo, para más adelante revisar su solución nu-mérica. Al igual que en el caso discreto, es útil identificar una serie de elementos para tener claridad sobre la identificación del problema. Estos elementos son:

– Naturaleza: es decir, definir si el problema es estocástico o determi-nístico.

– Horizonte: definir si el problema que se analiza es finito o infinito.

– Variable y espacio del estado: se refiere a definir claramente cuál o cuáles son las variables de estado, definir sus unidades (en peso, vo-lumen, unidades, etc.) y el rango en el cual se encuentran estos va-lores; recordemos que por ser modelos de estado continuo, esta va-riable toma un número infinito de valores en un rango determinado.

– Variable y espacio de la acción o control: se refiere a la definición de las variables de control o de decisión, sus unidades —que deben estar en correspondencia con las de la variable de estado— y el in-tervalo o rango en el cual se mueven estos valores.

– Función de recompensa. Se refiere a la función ( f(st, xt)), que puede depender de la cantidad del recurso en cada período y de la decisión que se tome en él. Es decir, muestra los beneficios obtenidos en cada período de análisis.

– Función de transición. Se refiere a la forma en que cambia la variable de estado en el tiempo.

– Factor de descuento δ. Como los problemas analizados son de tiem-po discreto, el factor de descuento se define como 1/(1 + r , donde r es la tasa de descuento relevante al problema analizado.

– Horizonte de tiempo T. Si el problema es de horizonte finito, se debe definir claramente el último período de análisis. Si el problema es de horizonte infinito, entonces se debe aclarar que T es infinito.



185

– Función de valor terminal VT+1 . Si el problema es de horizonte finito, se debe aclarar cuál es el valor, si lo hay, de la cantidad remanente.

– Problema. Una vez definidos todos los elementos anteriores, el paso más importante es determinar de manera clara cuál es el problema que se quiere resolver.

– Ecuación de Bellman. A partir de la definición del problema, el paso final para aplicar los principios de la programación dinámica es reescribir el planteamiento en términos de la ecuación de Bellman.

– Soluciones de esquina. En los modelos continuos aparece un nuevo elemento, que es revisar si el modelo puede exhibir soluciones de esquina y en qué condiciones se dan estas soluciones, o si, por el contrario, se pueden esperar solamente soluciones interiores. Este elemento es importante porque define si se debe tratar el problema como uno de complementariedad o no.

– Condiciones de primer orden. Con la ecuación de Bellman, ahora se proponen las condiciones que definen la solución del problema, las cuales corresponden a la condición de equimarginalidad y la condi-ción de la envolvente.

– Estado estacionario. Las condiciones de primer orden, junto con la ecuación de transición, se usan para revisar si el problema conver-ge a un estado estacionario y cómo se caracteriza éste. En el caso de problemas estocásticos, se suele resolver primero el problema de equivalente con certeza.

Tener estos componentes resueltos facilita el entendimiento del problema y da los elementos para resolver el problema numérico.

Miremos cómo se aplica este procedimiento al caso de unos ejemplos es-pecíficos, de nuevo, a partir de ejemplos desarrollados por Miranda y Fackler (2002).

a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable

Un planeador social desea maximizar los beneficios sociales derivados de extraer un recurso público, es decir, poseído por el público. Cada año empieza con una cantidad de recurso s, del cual se extrae una cantidad x con un costo total c(x) y se vende al precio p(x). El restante (s – x) se deja para reproducción o regeneración natural. Es decir, la cantidad de recur-so disponible al comienzo de cada período es un proceso determinístico controlado, dado por


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En estas condiciones, las preguntas para el planificador central son: ¿qué política de extracción maximiza el excedente social neto en el tiempo? ¿Cuál es el estado estacionario de la cantidad de recurso y de extracción, y cómo varían ellos con la tasa de interés?

Éste es un problema de horizonte infinito y naturaleza determinística, en el que la unidad de tiempo es t medido en años.

La variable estado es la cantidad del recurso natural al comienzo de cada año, medido en toneladas (por ejemplo) y los valores que puede tomar están en el intervalo s ∈ [0, ∞].

La variable de control es la cantidad de recurso recolectado o capturado cada año para su consumo, medido en toneladas por año, y los valores posibles estarán en el rango x ∈ [0, s] .

Dado que es un problema que enfrenta un planificador social, la función de recompensa estará dada por el bienestar que genera el consumo del bien, el cual es la suma de los excedentes del consumidor y del productor en cada período. Dicho de otra forma: es la diferencia entre el bienestar total percibido por el consumo del bien (el área por debajo de la curva inversa de demanda), menos el costo de obtener dicha cantidad:

La función de transición de la variable de estado se puede representar por:

Que no es más que una expresión simplificada de la evolución de la can-tidad de recurso de un período a otro:

El problema que se enfrenta el planificador central es entonces decidir la senda de extracción que garantice que se maximice el valor descontado de los beneficios netos de consumir este bien, sujeto a la ecuación de evo-lución del estado:

y a que se conoce la cantidad inicial del recurso S0.



187

A partir de este problema, es posible construir la ecuación de Bellman, que captura la suma de los beneficios actuales y futuros, dada la cantidad disponible de recurso:

El siguiente paso consiste en evaluar si existe la posibilidad de llegar a so-luciones de esquina. En este caso, las soluciones de esquina serían o que x = 0 o que x = S. Si suponemos p(0) = ∞, es decir, que el bienestar marginal del consumo crezca indefinidamente cuando este se reduce y que h(0) = 0, esto es, que si se consume toda la cantidad de recurso se agote el mismo para cualquier período subsecuente, entonces la restricción nunca será limitan-te en el óptimo y se esperarían soluciones internas en cualquier período.

Una vez resuelto el problema de las soluciones de esquina, se pueden evaluar las condiciones de primer orden. La condición de equimarginali-dad implica que:


Entre tanto, la condición de la envolvente implica que:

Estas dos condiciones se pueden combinar, lo cual implica que a lo largo de la senda óptima se debe cumplir que:

Es decir, en cualquier período t se deben cumplir las siguientes dos con-diciones:

La primera condición implica que en el óptimo, el precio del recurso debe ser igual a la suma del costo marginal de obtenerlo más el costo intertem-poral de extraer esa unidad actualmente, que es el precio sombra de la cantidad del recurso.

La segunda condición implica que el valor corriente de una unidad del recurso (precio sombra o costo del usuario) debe ser igual al valor des-contado de su producción en el siguiente período.


188

Finalmente, las condiciones de estado estacionario estarán determinadas por:

Que es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que tendrían una solución, que depende de las formas funcionales de la recompensa y la transición. De la segunda expresión se puede observar que:

Es decir

Condición que implica que en estado estacionario la tasa marginal de crecimiento del recurso debe igualar la tasa de interés, lo que rememora el enfoque de portafolio aplicado al recurso natural.

b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable

El propietario de una mina busca maximizar los beneficios obtenidos de extraer y vender un mineral disponible en ella. Cada año empieza con una cantidad dada de mineral s, de la cual una cantidad x es extraída a un costo total que se puede representar con una función c(s, x)4 y vendida a un precio α.

Dada la cantidad de recurso , ¿cuál política de extracción maximiza los beneficios de este propietario en el tiempo?

Con la información suministrada, se deduce que el horizonte del proble-ma es infinito, y la naturaleza, determinística. La variable de tiempo es t, medido en años.

La variable estado será la cantidad de mineral al comienzo del año, medi-da en toneladas (por ejemplo), y toma valores en el rango .

La variable de decisión o control es la cantidad de mineral extraído en cada año, medida en toneladas por año y que toma valores en el rango x ∈ [0,s].

4. Se supone que estas funciones se caractericen por cs ≤ 0, cx ≥ 0, cs (s,0) = 0, p’(x) <0.



189

Para construir la función de recompensa se debe notar que el productor percibe un precio dado, lo que sugiere que el problema es enfrentado por un empresario competitivo. Entonces, la función de recompensa en cada período t estaría dada por:

La función de transición de la variable de estado es:

El problema que enfrenta este productor es encontrar la senda de extrac-ción que le permita maximizar los beneficios descontados, sujeto a la can-tidad inicial del recurso y a su ecuación de evolución:

De allí se desprende que el valor de la mina, dado que contiene una can-tidad s, satisface la ecuación de Bellman:

No se puede desechar la opción de que para algún nivel de la cantidad, sea óptimo abandonar la mina, es decir, que en algún momento la extrac-ción sea cero. Por tanto, las condiciones de Euler toman la forma de una condición de complementariedad, donde las funciones de límite serán:

a(s) = 0, lo que implica que a’(s) = 0

b(s) = s, lo que implica que b’(s) = 1

Entonces, la condición de equimarginalidad debe ser escrita como:

La condición de la envolvente será:

Condiciones que aplicadas al caso específico implican:

Que pueden ser reescritas como:


190

Donde x y el beneficio marginal de largo plazo de la extracción µ deben satisfacer la condición de complementariedad:

0 ≤ x ≤ s si x > 0, entonces µ ≥ 0

si x < s, entonces µ ≤ 0

Estas condiciones implican que en cualquier período el mineral es ex-traído hasta que el beneficio marginal de largo plazo de la extracción es llevado a cero, o la mina es abandonada porque no es posible hacerlo.

La solución del problema se puede descomponer en dos etapas: la pri-mera etapa, 0 ≤ t ≤ τ, en la cual la extracción es positiva y por tanto µ = 0, y una segunda etapa, t > τ, en la cual se alcanza un estado estacionario caracterizado por extracción nula.

En la primera etapa, las condiciones de equimarginalidad y envolvente convergen a:

La primera condición implica que el ingreso marginal del mineral extraí-do debe igualar los costos de extraerlo, los cuales deben incluir no sólo el costo marginal de la extracción, sino también el costo intertemporal de utilizar una unidad del recurso hoy y no tenerla disponible en el futuro. La segunda condición implica que el precio sombra del recurso en un período dado está dado por la suma del precio sombra descontado del período siguiente y el efecto de la utilización de una unidad de recurso sobre los costos de extracción. Las dos condiciones también se pueden combinar y tendremos:

La segunda expresión también puede ser reescrita para observar que el precio sombra en valor presente del mineral no extraído crecerá a la tasa a la cual el costo de extracción crece a causa del agotamiento del mineral:

En la segunda etapa, el modelo admite sólo un estado estacionario que se caracteriza por

λ* = x* = 0

Lo que implica que

cs(s*, 0) = 0



191

Porque en estado estacionario, la condición de equimarginalidad converge a

Implica que, en el supuesto de que

De la condición de envolvente se obtiene que

Es decir,

cs(s*, 0) = 0

La mina será abandonada cuando la cantidad alcance el nivel crítico s*. Hasta entonces, el ingreso marginal del mineral extraído debe igualar el pre-cio sombra del mineral no extraído más el costo marginal de la extracción.

c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua

Este ejemplo es la versión en estado continuo del modelo visto en el ejem-plo b del literal C. 2.b. El agua de un depósito de agua (represa o es-tanque) genera beneficios tanto por irrigación como por recreación. Si el estanque contiene s unidades de agua al comienzo del año y se liberan x unidades para el riego, los productores reciben beneficios que se reflejan por la función F(x) y los hogares que se recrean en él reciben un bienestar que se captura en la función de utilidad U(s – x). Cada período el estan-que se recarga con lluvia, que es una variable aleatoria ε con una distri-bución conocida. La capacidad máxima del depósito es de M unidades de agua, y si la lluvia es mayor a la capacidad de llenado, el exceso fluye sin beneficio ni daño para nadie.

Se quiere responder a la pregunta: ¿cuál política de irrigación maximiza la suma de beneficios de productores y usuarios de recreación en un ho-rizonte de tiempo infinito?

Éste es un problema de horizonte infinito y de naturaleza estocástica, ya que hay una variable aleatoria, que es la lluvia. La unidad de tiempo es t medido en años.

La variable estado es el nivel del estanque al inicio del año, que se puede medir en, por ejemplo, miles de metros cúbicos, y los valores que puede tomar están en el rango s ∈ [0, M].

La variable control es la cantidad de agua liberada para riego cada perío-do, y se mediría en miles de metros cúbicos por año; sus valores oscilan en el rango x ∈ [0, s].


192

Para construir la función de recompensa se debe considerar que el agente que toma la decisión sería un planeador central, ya que debe considerar los beneficios tanto de los productores como de los hogares que se recrean en el depósito. Si los beneficios por riego y los beneficios por recreación se expresan en unidades monetarias, la función de recompensa para cada período se podría escribir como:

La función de evolución de la cantidad de recurso tiene dos característi-cas importantes. Por un lado, la cantidad del estanque está limitada por su capacidad máxima, M, lo cual exige incluir una función mínimo que permita aceptar esta solución de esquina. Por otro lado, dado que la llu-via es una variable aleatoria, la función de transición de estado es estocás-tica. Entonces, la evolución de la cantidad del recurso, el nivel de agua en el estanque, evoluciona de acuerdo con la expresión:

El problema que enfrenta el planeador central es encontrar la senda en el tiempo de irrigación que permita maximizar la suma descontada de los beneficios de los productores y de los hogares en un horizonte infinito de tiempo, sujeto a la función de evolución de la cantidad, que es estocástica:

Dado este problema, el valor social del estanque, dado que contiene s uni-dades de agua al comienzo del año, satisface la ecuación de Bellman

Este problema tendría como soluciones de esquina no regar nada (x = 0 y regar toda el agua acumulada en el depósito (x = s). Suponiendo que F’(0) sea un valor grande, es decir, que el beneficio marginal de regar siempre sea positivo y grande cuando haya poco riego —esto es, que el agua de riego sea un insumo esencial en la producción—, la primera restricción no sería limitante. Suponiendo que U’(0) sea un valor grande, es decir, que la utilidad de la recreación siempre sea positiva y marginalmente importan-te cuando queda poca agua en el depósito —es decir, que la recreación es esencial para esta comunidad—, la segunda restricción no sería limitante. Finalmente, si suponemos que M sea suficientemente grande, es posible eliminar la función min, que no es diferenciable. Con estos supuestos, las condiciones de equimarginalidad y de la envolvente son válidas y se pue-den utilizar para resolver el problema.



193

Las condiciones de primer orden son:

De donde sale que a lo largo de la senda óptima se debe satisfacer:

Es decir, el beneficio marginal para el productor de liberar una unidad de agua para fines agrícolas debe igualar la suma de los beneficios margina-les para los hogares de no liberar esa unidad, más los beneficios de dejar esa unidad disponible para el siguiente año.

La segunda condición implica que el precio sombra debe crecer según la utilidad marginal para los hogares por la recreación.

Dado que el sistema es estocástico, un enfoque para analizar las condicio-nes de estado estacionario es observar que ocurriría bajo el equivalente cierto, es decir, que pasaría si la variable aleatoria, la lluvia, tomara su valor promedio ε. Así las cosas, las condiciones de estado estacionario serían:

La combinación de las dos primeras implica que

Es decir, el precio sombra de la cantidad del recurso en el largo plazo debe igualar el valor del producto marginal del riego.

La tercera condición implica que

En otras palabras: la cantidad óptima de riego debe ser el valor esperado de la lluvia anual promedio.

La segunda condición puede reescribirse así:

Y conociendo cómo se expresa el precio sombra en términos del valor de la productividad marginal del riego:


194

De manera que si se conocen las funciones F y U, el sistema se puede re-solver. Sabiendo que el riego óptimo es la lluvia promedio, de esta última ecuación es posible resolver el valor de la cantidad de recurso en estado estacionario.

Dado que , el valor de estado estacionario no depende de la tasa de interés. Sin embargo, puesto que la cantidad de estado estacionario se obtiene de la última ecuación, es evidente que el valor de estado estacio-nario de la cantidad, s* sí depende de la tasa de interés.

6. Métodos numéricos para solucionar problemas

Recordemos que la ecuación de Bellman

Es la formulación básica para resolver los problemas de optimización di-námica cuando se usa la programación dinámica como estrategia. La so-lución a la ecuación de Bellman es una función solución V(·), que resuelva la ecuación. Sin embargo, resolver este problema no es fácil, ya que la ecuación puede involucrar ecuaciones complejas, no lineales y, probable-mente, sin soluciones cerradas. Entonces, la solución se puede hallar por métodos computacionales. Existen dos enfoques numéricos para resolver este tipo de problemas:

– Aproximación lineal-cuadrática.

– Método de colocación

El paquete desarrollado junto con el libro de Miranda y Fackler (2002), conocido como CompEcon, provee rutinas avanzadas para desarrollar es-tos métodos.

La aproximación lineal cuadrática es un procedimiento usado extensiva-mente. Se basa, como su nombre lo indica, en construir una aproximación de primer y de segundo orden a la ecuación que se ha de resolver. Tiene la ventaja de que provee una solución finita a partir de un problema de punto fijo. Sin embargo, no es aplicable en varios tipos de modelos de decisión de Markov de estado continuo y tiempo discreto. En problemas estocásticos, funciona bajo parámetros de equivalente con certeza; es de-cir, las soluciones sólo dependen de la media del shock, lo cual puede ser limitante en algunos casos.

La aproximación lineal cuadrática se ha usado mucho por su simplici-dad, y la solución es una aproximación al modelo de decisión general de Markov. Los aproximantes se construyen por expansiones de primer y de



195

segundo orden de Taylor alrededor del estado estacionario del equiva-lente con certeza.

En general, el método funciona bien si la regla de transición de la variable de estado es lineal, si las restricciones no tienen limitaciones o no existen y si los shocks tienen poca varianza. Sin embargo, sólo son precisos en la vecindad del valor promedio del shock; si éste golpea severamente al es-tado y lejos del equivalente con certeza, las funciones no serán aproxima-das con precisión y las estimaciones estarán sujetas a un amplio margen de error.

Por estas razones, no es aconsejable como método de estimación, espe-cialmente ahora que la capacidad computacional ha aumentado drásti-camente y que se han desarrollado herramientas computacionales para resolver estos problemas de manera eficiente y rápida. Algunas de estas herramientas son las provistas en CompEcon utilizando el método de co-locación, visto en el literal B; como veremos, este método es flexible, pre-ciso y eficiente numéricamente.

a. Método de colocación con la ecuación de Bellman

Para revisar el método de colocación aplicado a la ecuación de Bellman, empezamos por asumir, por simplicidad, modelos de horizonte infinito y de una sola variable de estado, s ∈ R, una sola variable de control, x ∈ R, y un solo shock al sistema, ε ∈ R. Sin embargo, el problema se puede am-pliar a rutinas donde R >1.

La ecuación de Bellman se describe por:

Con s ∈ S, es decir, está definido en un dominio dado, a(s) ≤ x ≤ b(s); esto es, la solución x está definida en un intervalo dado, que depende del esta-do. Suponemos también que ƒ y g sean funciones continuas y doblemente diferenciables.

El método de colocación utiliza la siguiente estrategia:

– Escribimos el aproximante de la función de valor como una combi-nación lineal de n funciones base conocidas (Φ1, Φ2,…, Φn) en S, con coeficientes c1, c2, …, cn que deben ser determinados:


196

– Fijamos los coeficientes de las funciones base exigiendo que el aproxi-mante de la función de valor satisfaga la ecuación de Bellman, no en todos los estados, sino en los n nodos de colocación s1, s2,…, sn.

Entonces, la estrategia de colocación consiste en remplazar la ecuación funcional de Bellman por un sistema de n ecuaciones no lineales y n variables desconocidas. Es decir, debemos hallar los n coeficientes, c1, c2,…, cn, que resuelvan el sistema de ecuaciones no lineales:

Este sistema de ecuaciones no lineales puede expresarse de forma com-pacta como la ecuación de colocación:

Φc = v(c)

Donde Φ es la matriz de colocación de tamaño n x n cuyo elemento i, j es

Es decir, la función base j evaluada en el nodo de colocación i.

v(c) es la función de colocación Rn → Rn cuyo elemento i es

La función de colocación, evaluada en un vector particular de coeficientes base c, produce un vector cuya entrada i es el valor obtenido de resolver el problema de optimización en el i-ésimo nodo de colocación si, rempla-zando la función de valor v con su aproximante .

La ecuación de colocación puede resolverse usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales. Por ejemplo, se puede escribir como

Que es un problema de punto fijo. O se puede escribir como

Que es un problema de hallar la raíz. En este segundo caso, la regla de iteración será:



197

Si el modelo es estocástico, se calculan los valores esperados en forma numérica. La variable continua ε en la función de transición se remplaza con un aproximante discreto ε1, ε2,…, εm con probabilidades w1, w2,…, wm. Entonces la función de colocación será:

Que se resuelve con cualquiera de las dos opciones mencionadas.

En el proceso de construcción del método de colocación es necesario to-mar algunas decisiones importantes:

– Decidir las funciones base y el número de nodos de colocación, lo cual depende de la curvatura de la función de valor, como se discu-tió en la parte de aproximación de funciones.

– Definir el algoritmo que se ha de utilizar para resolver el problema.

– Seleccionar la técnica de cuadratura para aproximar los errores.

Al contrario del método de aproximación lineal cuadrático, el método de colocación utiliza métodos globales y no locales, por lo que es mucho más eficiente y poderoso. Sin embargo, se debe tener cuidado, ya que si el procedimiento visita valores por fuera del rango definido, es posible ob-servar comportamientos extraños. Por esta razón, la extrapolación debe tomarse de manera cuidadosa. Al igual que en el caso de visitar valores por fuera del rango, también se debe tener cuidado con valores cercanos a puntos no diferenciables, ya que allí también el comportamiento puede ser extraño.

b. Implementación del método de colocación

Para resolver en la práctica este método, existe un paquete de rutinas de-finido por Miranda y Fackler (2002), que se basa en las herramientas de CompEcon. Algunas de ellas ya se han discutido en la parte de aproxima-ción de funciones. El procedimiento incluye los siguientes pasos:

– Especificar las funciones base y los nodos de colocación. Para esto se utiliza el comando fundefn:

fspace = fundefn (‘cheb’, n, smin, smax)

donde ‘cheb’ es la definición de las funciones base (en este caso, con el polinomio de Chebychev), n es el número de funciones base y nodos de


198

colocación, smin es el límite inferior o el mínimo de s, y smax es el límite superior o el máximo de s. Esta función define la información necesaria para la base de aproximación y el espacio estructurado para el análisis.

El vector de los n nodos de colocación puede recuperarse con el comando funnode, escribiendo simplemente:

s = funnode (fspace)

donde s es un vector de tamaño n x 1 de los nodos de colocación. De manera similar, la matriz de colocación puede ser recuperarse con el co-mando funbas:

Phi = funbas (fspace)

donde Phi es una matriz de tamaño n x n de colocación asociada con las funciones base evaluadas en cada nodo.

– Evaluar la función de colocación y su derivada. El problema se re-suelve con cualquiera de los algoritmos que ya hemos visto: o itera-ción de función o métodos de hallazgo de raíz de Newton o cuasi-Newton.

– Evaluar el grado de precisión del ajuste en el espacio de aproxima-ción. Para hacerlo, se define un residual, R, que se calcula como:

El cual se debe medir en muchos estados arbitrarios (mayor a n). De acuerdo con la definición del método, R debe ser cero en los nodos de colocación, y se espera que sea cercano a cero entre nodos.

Ejemplo: Cálculo del residual usando Matlab. A partir de la primera aproximación, una forma de calcular el residual sería:

nplot = 500;

splot = nodeunif(smin, smax, nplot);

resid = vmax (splot, c) – funeval(c, fspace, splot);

plot (splot, resid);

Cuanto menor sea su valor absoluto, mejor la aproximación de la fun-ción. Si no es suficientemente cercano a cero (dada la tolerancia acep-tada), se debe mejorar la aproximación. Esta mejora se puede hacer de varias formas:



199

– Aumentar el número de nodos.

– Buscar otra función base.

– Cambiar el intervalo de análisis.

Los errores o residuales demasiado grandes pueden darse por varias razones:

– Derivadas discontinuas. Si la función tiene esquinas o lugares donde no sea posible calcular la derivada, entonces aproximaciones como Chebychev o spline cúbico pueden generar problemas o dificultades para su estimación. Este caso se detecta cuando se observan valores normales o bajos de los residuales en todo el intervalo de análisis, excepto en aquellos lugares donde se encuentren las esquinas o zo-nas no diferenciables.

– Extrapolación más allá del intervalo de aproximación. Si el mo-delo visita valores por fuera del intervalo de aproximación, pue-de ser necesario ampliar o extender los rangos del dominio del problema.

Para los pasos 2 y 3 existe una rutina definida en CompEcon, basada en Matlab, que es el comando dpsolve. La sintaxis de este comando es:

[c,s,v,x,resid] = dpsolve(model,fspace,s,vinit,xinit)

Donde los insumos del modelo son:

model = variable estructurada con información del modelo.

fspace = variable estructurada con información acerca de las funciones base.

s = matriz n x ds de nodos de colocación. Si es una sola variable de estado, ds = 1.

vinit = vector n x 1 de puntos de partida para la función de valor en los nodos de colocación.

xinit = matriz n x dx de puntos de partida para acciones óptimas en los nodos de colocación. Si es una sola variable de control, dx = 1.

Los productos de la estimación son

c = vector nx1 de los coeficientes de las funciones aproximantes de las funciones de valor.

s = matriz de nodos para evaluar los residuos de la ecuación de Bellman.


200

v = vector de valores óptimos en los nodos de evaluación.

x = matriz de acciones óptimas en los nodos de evaluación.

resid = vector de residuos en los nodos de evaluación.

Si el modelo introduce n nodos de colocación, la rutina construye pun-tos de evaluación de la función, donde .

La variable estructurada model debe incluir toda la información del mo-delo asociado al problema particular que se está resolviendo:

func = nombre del archivo de funciones del modelo.

discount = factor de descuento 0 < δ ≤ 1

e = vector de shocks aleatorios.

w = vector de probabilidades asociadas a cada valor de shocks aleatorios.

actions = listado de las acciones posibles cuando las acciones sean discretas.

discretestates = listado de estados posibles cuando el estado contenga variables discretas.

params = parámetros que han de pasar al archivo de funciones del modelo.

El archivo de funciones del modelo incluye toda la información de éste y tiene la siguiente secuencia:

[out1,out2,out3] = func(flag, s, x, e, otros parámetros)

Donde flag es una función de Matlab que indica que la función func está compuesta de varias funciones de manera simultánea, y que cada una de esas funciones entrega tres salidas (out1, out2 y out3). Las opciones se muestran en el cuadro 3.2.

En la definición de la función se debe aclarar cuál o cuáles son las varia-bles de estado, s, cuál o cuáles las acciones posibles, x, cual es la variable aleatoria e y cualquier otro parámetro que se especifique en el problema (otros parámetros).

La definición de este archivo de las funciones quizá sea el paso más di-fícil de la programación y solución de estos problemas, ya que como se observa, no sólo es necesario incluir las funciones de recompensa y de transición, sino que también se deben incluir las primeras y segundas de-rivadas de estas dos funciones. En ese proceso, los errores de digitación



201

suelen ser uno de los principales problemas y fuentes de inconsistencias en la programación.

c. Análisis posoptimalidad

Una vez ejecutado el comando dpsolve se tiene la solución optimizadora del problema, que corresponde a los vectores x y v. Sin embargo, la verda-dera solución al problema es el análisis posoptimalidad. Para este análisis también se cuenta con dos comandos definidos en CompEcon, que son dpsimul y dpstst.

El comando dpsimul permite simular la evolución del sistema a partir de unas condiciones predeterminadas. La sintaxis es:

[spath,xpath] = dpsimul(model,sinit,nper,s,x)

Donde los insumos son el modelo, el estado inicial del sistema (sinit), el número de períodos que se van a simular en el sistema (nper) y los vecto-res de estado (s) y control (x), estimados por dpsimul. Como productos del comando, se obtienen dos variables:

spath = es una matriz de tamaño m x ds x nper que incluye los resultados de las m replicaciones de simulación del sistema para la variable de estado, durante los períodos simulados.

xpath = es una matriz de tamaño m x dx x nper que incluye los valores de simulación de la senda de la variable de control, durante los períodos simulados.

El comando dpstst se usa para estimar la distribución del estado estacio-nario del sistema, si existe, resultado de una simulación de Montecarlo. La sintaxis es:

[ss, pi] = dpstst(model, nsmooth, nhist, s, x)

Cuadro 3.2. Diferentes valores que pueden tomar las funciones del modelo y su ubicación en el archivo de funciones.

out1 out2 out3

si flag = b límite inferior del dominio

límite superior del dominio Vacío, no se usa

Si flag = f Función de recompensa, f

Primera derivada de la función de recompensa, f ’

Segunda derivada de la función de recompensa, f ”

Si flag = g Función de transición, g

Primera derivada de la función de

transición, g ’

Segunda derivada de la función de transición, g ”


202

Los insumos para estimar el estado estacionario del sistema son el mode-lo definido previamente (model), los vectores resultantes de las variables de estado (s) y control (x), un número que determine el grado de suavi-zación de la estimación (nsmooth) y el número de histogramas usados para presentar los resultados de la simulación (nhist). Los productos del comando son:

ss = vector de los estados probables a los que llega el sistema en estado estacionario.

pi = probabilidades asociadas a cada uno de estos estados probables.

Graficando los valores del estado con las probabilidades, se obtiene una distribución de frecuencias esperadas del estado del sistema en el largo plazo.

7. Ejemplos numéricos

En este numeral revisaremos algunos de los modelos económicos defini-dos previamente y cómo se resuelven utilizando los métodos numéricos analizados. La formulación y desarrollo siguen la propuesta de Miranda y Fackler (2002), con algunas modificaciones.

a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable

Retomando el ejemplo del recurso renovable, visto en la sección anterior, recordemos que el problema es el de un planificador central que desea maximizar los beneficios sociales de extraer un recurso de acceso público. Recordemos también que la variable de estado es la cantidad remanente del recurso, s, y que la variable de decisión es la extracción, x.

Supongamos que un estudio muestre que la función de costos dependa de manera lineal de la extracción, de manera que ésta puede ser expresa-da como:

c(x) = kx

donde k es una constante que se estima adopta un valor de k = 0,2.

Supongamos también que la función inversa de demanda pueda ser ex-presada de la siguiente forma:

p(x) = x–γ

donde γ = 0,5. La función de evolución del recurso se determina por:

g (s, x) = α (s – x) – ½ (s – x)2



203

donde y son parámetros cuyos valores son: = 1, α = 4. Nótese que esta ecuación de evolución no es más que una forma condensada de es-cribir la típica función de evolución

g (s, x) = s – x + F(s, x)

= (s – x) – (α – 1) (s – x) – ½ (s – x)2

Donde la segunda parte sería la función de crecimiento neto del recurso.

Además, supongamos que el factor de descuento del problema sea δ = 0,9

Con esta información, es posible construir la función de recompensa:

Por tanto, la ecuación de Bellman puede escribirse como:

Analíticamente, la ecuación de Bellman y el método de programación dinámica generan un paquete de condiciones.

La condición de equimarginalidad:

•

La condición de la envolvente:

•

La condición de evolución:

• s’ = α (s – x) – ½ (s – x)2


204

De la primera ecuación:

De la segunda condición:

Combinando estas dos condiciones:

En estado estacionario el sistema será:

En estado estacionario, la ecuación de la envolvente implica:

Es decir:

Que remplazada en la ecuación de evolución implica que:

Que será el valor de estado estacionario de la variable de estado. Dados los parámetros conocidos, este término también será conocido. Conociendo



205

el valor de estado estacionario del estado, es posible conocer el valor de estado estacionario de la extracción. Dado que:

Conocer los valores de estado estacionario de la cantidad de recurso y de la extracción es útil para definir los valores iniciales del modelo.

Antes de correr el modelo, es necesario crear el archivo de función, es decir, el archivo de extensión .m en el que se almacenan la información de las funciones de recompensa y de transición y los límites del dominio de análisis.

El archivo de función tiene los siguientes componentes:

Función b: límites del modelo:

b out1 : límite inferior = 0

out2 : límite superior = s

Función f: recompensa:

f out1: x 1–γ / (1- γ) – kx

out2: x –γ – k

out3: –γ x –γ–1

Función g: transición:


206

g out1: α (s – x) – 0,5 (s – x)2

out2: –α + (s – x)

out3:

El archivo de función correspondiente sería:

function [out1,out2,out3] = f_rndp(flag,s,x,e,alfa,beta,gama,cma);

% Archivo de función para el recurso renovable

switch flag

case ‘b’; % FUNCIÓN DE LIMITES A LA ACCIÓN

out1 = zeros(size(s)); % xl

out2 = s; % xu

case ‘f’; % FUNCIÓN DE RECOMPENSA

out1 = (x.^(1-gama))/(1-gama)-cma*x; % f

out2 = x.^(-gama)-cma; % fx

out3 = -gama*x.^(-gama-1); % fxx

case ‘g’; % FUNCIÓN DE TRANSICIÓN DEL ESTADO

out1 = alfa*(s-x) - 0.5*beta*(s-x).^2; % g

out2 = -alfa + beta*(s-x); % gx

out3 = -beta*ones(size(s)); % gxx

end

Nótese que este archivo debe llamarse f_rndp.m, es decir, debe coincidir el nombre del archivo con la definición de la función y con el nombre del archivo que se utiliza en el modelo.

Con este archivo de la función ya definido, se puede empezar el proceso de modelación en Matlab.

En otro archivo, que es el archivo de programa, se incluye toda la rutina de modelación. Este archivo debe llevar las siguientes secciones:

– Parámetros del modelo. Debemos determinar y definir claramente los parámetros que se van a usar en el modelo. En este caso:




alfa = 4.0; % Parámetro de la función de

crecimiento

beta = 1.0; % Parámetro de la función de

crecimiento

gama = 0.5; % Parámetro de la función de

demanda

cma = 0.2; % Costo marginal y medio de la

extracción



207

– Construcción y empaquetamiento del modelo. En el modelo de es-tado continuo, las funciones de recompensa, de transición y los lí-mites de la variable de acción se recogen en un archivo de funciones visto anteriormente. Una vez definido este archivo, el modelo se puede empaquetar:


clear model

model.func = ‘f_rndp’; % Funciones del modelo

model.discount = delta; % factor de descuento

model.params = {alfa beta gama cma}; % otros parámetros

En este caso, ‘f_rndp’ se refiere al archivo f_rndp.m donde se guardaron las funciones de recompensa y transición. Este modelo requiere el factor de descuento, delta, y los parámetros definidos previamente.

– Espacio de colocación. Ahora que tenemos el problema claramente definido, vamos a definir el espacio en el que vamos a trabajar, el tipo de funciones base y el número de nodos de colocación.

% Definición del espacio de aproximación

n = 10; % grado de aproximación

smin = 6; % mínimo estado

smax = 9; % máximo estado

fspace = fundefn(‘cheb’,n,smin,smax); % definición del spacio

snodes = funnode(fspace); % nodos de colocación

del estado

En este ejemplo, se proponen 10 nodos en el intervalo [6, 9], distribuidos de acuerdo al método Chebychev. La variable snodes recupera los nodos defini-dos por la definición de función (fundefn), por medio del comando funnode.

– Primera aproximación a la solución. Una vez definido el espacio para la búsqueda de la solución del problema, hacemos una primera aproximación a la solución. Así, usamos como valores iniciales los valores de estado estacionario y hacemos aproximación lineal cua-drática, con el comando lqapprox, también definido en CompEcon:

% Cálculo del estado estacionario

sstar = (alfa^2-1/delta^2)/(2*beta); % nivel de recurso de

estado estacionario

xstar = sstar - (delta*alfa-1)/(delta*beta); % acción de estado

estacionario

% Cálculo de la solución usando aproximación LQ

[vlq,xlq] = lqapprox(model,snodes,sstar,xstar);


208

– Solución del modelo. Con esta primera aproximación es posible aplicar el método de colocación, usando como puntos de partida los valores obtenidos por la aproximación lineal cuadrática: vlq es la estimación de la función de valor óptima y xlq es la estimación de la función de decisiones óptimas.

% Definición de valores iniciales

xinit = xlq; % acción inicial

vinit = vlq; % valor inicial

% Solución de la ecuación de Bellman

[c,s,v,x,resid] = dpsolve(model,fspace,snodes,vinit,xinit);

La rutina dpsolve resuelve el problema mediante el método de colocación y entrega el vector de coeficientes solución (c), un vector de la variable de estado definido en muchos puntos del intervalo de acción (s), vectores de las funciones de valor y decisión óptimas para cada punto del espacio del estado (v y x, respectivamente) y una estimación de los residuos en estos puntos para analizar la eficacia de la simulación (resid).

Los óptimos de la función de valor y de la política para cada nivel de estado del recurso se pueden graficar. Incluso se puede comparar el resul-tado del método de colocación con el de aproximación lineal cuadrática. De manera similar, es posible graficar la función de precio sombra del recurso. Por último, se grafican los residuos para determinar el nivel de precisión alcanzado por la solución.

Los comandos para hacer estas gráficas se presentan a continuación y los resultados en el gráfico 3.16. Como se puede apreciar en el primero de dichos gráficos, la política óptima es creciente en la cantidad del recurso. Sin embargo, la predicción por aproximación lineal cuadrática genera la recomendación contraria, excepto en el estado estacionario (marcado con una estrella), donde coinciden las dos estimaciones. En el cuarto panel del mismo conjunto de gráficos se observa que los errores asociados a esta simulación, usando ocho nodos y funciones base de Chebychev, es-tán por debajo del orden de 1x10-10, lo que parece un error suficientemen-te pequeño, es decir, aceptable.

% Cálculo de la aproximación LQ para graficar

[vlq,xlq,plq,pstar] = lqapprox(model,s,sstar,xstar);

% Gráfico de la política óptima

figure(1);

plot(s,x./s,s,xlq./s,sstar,xstar/sstar,’*’);

title(‘Política óptima de extracción’);



209

legend(‘Chebychev’,’L-Q’);

xlabel(‘Recurso disponible’);

ylabel(‘Extracción como porcentaje del recurso disponible’);

% Gráfico de la función de valor óptima

figure(2);

plot(s,v,s,vlq)

title(‘Función de Valor’);



ylabel(‘Valor’);

% Gráfico de la función de precio sombra

figure(3);

p = funeval(c,fspace,s,1);

plot(s,p,s,plq,sstar,pstar,’*’);

title(‘Función de precio sombra’);



ylabel(‘Precio sombra’);

% Gráfico de los residuos

figure(4);

plot(s,resid);

title(‘Aproximación del residual’);


ylabel(‘Residuos’);

Gráfico 3.16. Funciones de política óptima, valor, precio sombra y residuos de la optimización del modelo de recurso renovable.


210

Gráfico 3.16. Funciones de política óptima, valor, precio sombra y residuos de la optimización del modelo de recurso renovable.

– Análisis posoptimalidad. A partir de las soluciones estimadas numéri-camente, tenemos información para hacer análisis del comportamien-to de las variables de interés en el tiempo. Por ejemplo, podemos si-mular qué ocurre con el sistema en un período de 20 años, a partir de una cantidad inicial dada en el límite inferior del dominio analizado:

% Cálculo de las sendas de estado y de política óptimas

anhos = 20;

sinit = smin;

[spath,xpath] = dpsimul(model,sinit,anhos,s,x);

% Gráfico de la senda del recurso

figure(5);

plot(0:anhos,spath);

title(‘Senda óptima del recurso’);

xlabel(‘Año’);

ylabel(‘Recurso’);

% Gráfico de la senda de política

figure(6);

plot(0:nyrs,xpath);

title(‘Senda óptima de políticas’);

xlabel(‘Año’);

ylabel(‘Extracción’);

En el gráfico 3.17 se observan los resultados de la simulación a 20 años, a partir de la mínima cantidad analizada. Se observa que el recurso conver-



211

ge rápidamente a un estado estacionario en las variables de estado y de control en menos de seis años.

Gráfico 3.17. Gráficos resultantes de la optimización dinámica del problema de recurso renovable.

Todos estos resultados son útiles para formular políticas y el análisis de optimalidad en el manejo del recurso. Una vez ajustado el modelo, es po-sible hacer análisis de sensibilidad, alterando o cambiando cualquiera de los parámetros y analizando su efecto sobre las variables de interés.

b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable

Otro ejemplo que hemos analizado previamente, de manera analítica, es el del recurso no renovable, en el cual un productor precio aceptante debe decidir las cantidades que va a extraer en cada período, de manera que maximice sus beneficios en el tiempo. La función de recompensa se de-finió por:

Es decir, necesitamos información sobre el precio del producto extraído y sobre la función de costos. Supongamos que se estima que la función de costos está determinada por:

con valores de = 0.125 y = 15.

La función de transición de la variable de estado es:

g(s, x) = s – x


212

Por tanto, la ecuación de Bellman se puede escribir como:

Donde es el factor de descuento y suponemos que su valor sea δ = 0,909, si asumimos que la tasa de descuento es del 10%.

Entonces, el archivo de funciones respectivo tendrá la siguiente información:


b out1: límite inferior = 0 out2: límite superior = s


f out1:

out2:

out3:


g out1: s – x out2: –1 out3: 0

El archivo de funciones correspondiente sería:

function [out1,out2,out3] = f_rnrdp(flag,s,x,e,alpha,beta);

% Archivo de función para el modelo de un recurso renovable

switch flag

case ‘b’; % FUNCIÓN DE LIMITES EN LA ACCIÓN


out2 = s; % xu


out1 = alpha*x - (x.^2)./(beta+s); % f

out2 = alpha - 2*x./(beta+s); % fx

out3 = -2./(beta+s); % fxx

case ‘g’; % FUNCIÓN DE TRANSICIÓN DEL ESTADO

out1 = s-x; % g

out2 = -ones(size(s)); % gx

out3 = zeros(size(s)); % gxx

end



213

Una vez definido el archivo de funciones, el siguiente paso es construir el archivo de código para hallar la solución al problema:

– Parámetros del modelo. En este caso los parámetros se definen como:


alfa = .125; % Precio del producto

beta = 15; % Parámetro de la función de costos



– Construcción y empaquetamiento del modelo

% Estructura de empaquetamiento del modelo

model.func = ‘f_rnrdp’; % funciones del modelo

model.discount = delta; % factor de descuento

model.params = {alfa beta}; % otros parámetros

De nuevo, ‘f_rnrdp’ se refiere al archivo f_rnrdp.m donde se guardaron las funciones de recompensa y transición. Este modelo requiere, además, el factor de descuento, delta y los parámetros definidos previamente.

– Espacio de colocación. Ahora que tenemos el problema claramente establecido, vamos a definir el espacio en el que vamos a trabajar, el tipo de funciones base y el número de nodos de colocación.



smin = 0; % mínimo valor del estado

smax = 3; % máximo valor del estado

fspace = fundefn(‘spli’,n,smin,smax); % función del espacio

snodes = funnode(fspace); % nodos de colocación

del estado

La variable snodes recupera los nodos definidos por la definición de fun-ción (fundefn), mediante el comando funnode. El problema se propone con 120 nodos, en el espacio entre 0 y 3, usando interpolación por tiras o spline.

– Solución del modelo. Para resolver el problema, sabemos que el es-tado estacionario del sistema es extracción nula. Entonces, se supone este valor como candidato para el punto de partida de la optimiza-ción. Antes de correr el modelo, se hace un chequeo para comprobar que las derivadas (evaluadas en los puntos de inicialización) estu-vieron escritas correctamente.


214

% Funciones de inicialización

xinit = zeros(size(snodes)); % función de política inicial

vinit = zeros(size(snodes)); % función de valor inicial

% Chequeo de las derivadas del modelo en los valores iniciales

dpcheck(model,snodes,xinit);

% Solución a la ecuación de Bellman



Como resultado de la solución del problema se obtienen los vectores v y x, que muestran los valores óptimos de la función de valor y de las po-líticas, respectivamente, a cada nivel de recurso disponible. También es posible obtener la función de precio sombra del recurso. Los comandos para dichos cálculos se presentan a continuación. Estos gráficos, más el gráfico de los errores, para revisar el ajuste del modelo se presentan en el gráfico 3.18.

% Gráfico de la política óptima

figure(1);

plot(s,x,s,s,’:’);

title(‘Política óptima de extracción’);



% Gráfico de la función de valor

figure(2);

plot(s,v);

title(‘Función de Valor’);




figure(3);


plot(s,p);




215



% Gráfico de residuales

figure(4);

plot(s,resid);

title(‘Aproximación residual’);



Gráfico 3.18. Funciones de política óptima, valor, precio sombra y residuos de la optimización del modelo de recurso no renovable.

De las gráficas es posible observar la prescripción óptima de extracción y valor, en función de la cantidad de recurso disponible; en ambos casos hay una relación directa y positiva con éste. En contraste, el precio som-


216

bra reduce a medida que aumenta la cantidad disponible del recurso. En el último panel se observa que el error es pequeño en casi todo el intervalo, a excepción de valores cercanos a 0,125 donde se encuentra, probablemente, una esquina. Sin embargo, allí el error aún es aceptable. Esta esquina demuestra que el uso de la aproximación por tiras fue más conveniente que la de aproximación polinomial para este ejercicio.

• Análisis posoptimalidad. A partir de las soluciones estimadas numéri-camente, tenemos información para analizar el comportamiento de las variables de interés en el tiempo. Por ejemplo, podemos simular qué ocurra con el sistema en un período de 10 años, a partir de la máxima cantidad inicial dada en el límite superior del dominio ana-lizado:

% Cálculo de las sendas óptimas de estado y política

anhos = 10;

sinic = smax;

[spath,xpath] = dpsimul(model,sinic,anhos,s,x);

% Gráfico de la senda del estado

figure(5);

plot(0:anhos,spath);

title(‘Senda del recurso’);

xlabel(‘Año’);

ylabel(‘Recurso’);

% Gráfico de la senda de política

figure(6);

plot(0:anhos,xpath);

title(‘Senda de política’);

xlabel(‘Año’);


Las gráficas resultado de la simulación se presentan en el gráfico 3.19. Allí se observa que, dada la prescripción óptima, el recurso se debe agotar en 9 años.

Con esta información es posible determinar recomendaciones de política o simular diferentes escenarios, según los valores que adopten los pará-metros del modelo.



217

Gráfico 3.19. Gráficos resultantes de la optimización dinámica del problema de recurso renovable.

c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua

Otro ejemplo que se ha tratado a lo largo de esta última sección es el de la asignación de riego a una zona con agua, que se usa también para la recreación de los hogares. En este caso, el planificador central debe esco-ger la política óptima de riego de manera que se maximice la suma de los beneficios percibidos tanto por los agricultores como por los hogares que perciben recreación en este estanque.

Supongamos que la función de beneficios de los productores que usan agua para riego esté dada por:

Y que la función de beneficios para los hogares de acceder al depósito para recreación esté dada por:

Se supone que ambas estén expresadas en términos monetarios y que la ponderación que se le dé a un peso (o dólar) obtenido por un agricultor sea similar a la que se le dé a un peso (o dólar) obtenido por un hogar en recreación, de manera que la función de recompensa puede escribirse como:


218

Supongamos también que con base en estudios meteorológicos, se pueda afirmar que el régimen de lluvias siga una distribución independiente e idénticamente distribuida en todos los períodos lognormal con media cero y varianza σ2.

Supongamos que análisis y estudios previos hayan determinado que los valores de los parámetros sean: .

Dada una capacidad del depósito suficientemente grande para que no sea limitante en el modelo, la función de transición de la variable de es-tado es:

Donde εk representa la cantidad de lluvia que se recoge en el estanque en cada año y es una variable aleatoria.

Por tanto, la ecuación de Bellman puede escribirse como:

Donde δ es el factor de descuento y suponemos que su valor sea δ = 0,909, asumiendo que la tasa de interés es del 10%.

Entonces, el archivo de funciones respectivo tendrá la siguiente informa-ción:


b out1: límite inferior = 0

out2: límite superior = s


f out1:

out2:

out3:


g out1: s – x + εk

out2: –1

out3: 0



219

El archivo de funciones de este modelo sería:

function [out1,out2,out3] =

f_represa(flag,s,x,e,alfa1,beta1,alfa2,beta2);

% Archivo de funciones para el modelo de manejo óptimo del depósito de

% agua multiuso

switch flag

case ‘b’; % FUNCIONES LIMITE A LA VARIABLE DE ACCIÓN


out2 = s; % xu


out1 = (alfa1/(1+beta1))*x.^(1+beta1)+(alfa2/(1+beta2))*

(s-x).^(1+beta2); % f

out2 = alfa1*x.^beta1-alfa2*(s-x).^beta2; % fx

out3 = alfa1*beta1*x.^(beta1-1)+alfa2*beta2*(s-x).^(beta2-1);

% fxx

case ‘g’; % FUNCION DE TRANSICION DEL ESTADO

out1 = s-x+e; % g

out2 = -ones(size(s)); % gx

out3 = zeros(size(s)); % gxx

end

Una vez definido el archivo de funciones, el siguiente paso es construir el archivo de código para hallar la solución al problema:

– Parámetros del modelo. En este caso los parámetros son:

% Parámetros del Modelo

alfa1 = 1; % Parámetro de la función de

beneficio del productor

beta1 = -2; % Parámetro de la función de

beneficio del productor

alfa2 = 2; % Parámetro de la función de

utilidad por recreación

beta2 = -3; % Parámetro de la función de

utilidad por recreación

sigma = 0.2; % Desviación estándar de la lluvia



– Convertir en discreto el shock aleatorio. Dado que tenemos una va-riable aleatoria que tiene una distribución continua, es necesario uti-lizar algún método de cuadratura para convertirlo en una aproxi-


220

mación discreta. No se necesita una aproximación exhaustiva. El siguiente comando genera un vector de tamaño m x 1 con los va-lores esperados de lluvia, e, y un vector del mismo tamaño con las probabilidades asociadas a cada uno de estos valores.

% Calcular los nodos y ponderaciones gaussianas a la variable

% aleatoria

m = 3; % número de eventos aleatorios

[e,w] = qnwlogn(m,0,sigma^2); % eventos y probabilidades

– Construcción y empaquetamiento del modelo. Nótese que ahora se debe incluir explícitamente la presencia del elemento estocástico.

% Estructura de empaquetamiento del modelo

clear model

model.func = ‘f_represa’; % Funciones del modelo

model.discount = delta; % Factor de descuento

model.e = e; % shocks

model.w = w; % probabilidades

model.params = {alfa1 beta1 alfa2 beta2}; % otros parámetros

De nuevo, ‘f_represa’ se refiere al archivo f_represa.m donde se guardaron las funciones de recompensa y transición. Este modelo requiere el factor de descuento, delta, y los parámetros definidos previamente.

– Espacio de colocación. Ahora que tenemos el problema claramente definido, vamos a definir el espacio en el cual vamos a trabajar, el tipo de funciones base y el número de nodos de colocación.



smin = 2; % mínimo estado

smax = 6; % máximo estado

fspace = fundefn(‘cheb’,n,smin,smax); % espacio de función

snodes = funnode(fspace); % nodos de colocación del estado

El problema se propone con 15 nodos, en el espacio entre 2 y 6, usando interpolación polinomial de Chebychev.

– Solución previa del modelo. Una vez definido el espacio para la bús-queda de la solución del problema, hacemos una primera aproxi-mación a la solución. Para realizarla, usamos como valores iniciales los valores de estado estacionario en el equivalente con certeza y hacemos aproximación lineal cuadrática, con el comando lqapprox.



221

El comando dpcheck se puede utilizar para verificar que el archivo de funciones está escrito adecuadamente.

% Cálculo del estado estacionario del equivalente con certeza

estar = 1; % equivalente con certeza del evento aleatorio

xstar = 1; % estado estacionario de la acción

sstar = 1+(alpha1*(1-delta)/alpha2)^(1/beta2); % estado

estacionario del nivel de recurso

% Chequeo de las derivadas del modelo en el estado

estacionario

dpcheck(model,sstar,xstar,estar)

% Cálculo de la solución por aproximación LQ

[vlq,xlq] = lqapprox(model,snodes,sstar,xstar,estar);

– Para resolver el problema, utilizamos los valores optimizados con la aproximación lineal cuadrática.

% Valores iniciales para las funciones de política y de valor

xinit = xlq; % función de política inicial

vinit = vlq; % función de valor inicial

% Solución a la Ecuación de Bellman



Como resultado del análisis se obtienen varios gráficos que explican el comportamiento del sistema optimizado. Los comandos para calcular y graficar estos resultados se presentan a continuación.

% Cálculo de la aproximación LQ para graficar

[vlq,xlq,plq,pstar] = lqapprox(model,s,sstar,xstar,estar);

% Gráfico de política óptima

figure(1);

plot(s,x,s,xlq,sstar,xstar,’*’);

title(‘Política óptima de riego’);


222



ylabel(‘Riego’);

% Gráfico de la función de valor

figure(2);

plot(s,v,s,vlq)

title(‘Función de valor’);





figure(3);


plot(s,p,s,plq,sstar,pstar,’*’);





% Gráfico de los residuos

figure(4);

plot(s,resid);

title(‘Aproximación residual’);



En el gráfico 3.20 se pueden observar estos resultados. El primer gráfico del conjunto muestra que la extracción óptima depende de la cantidad de manera directa y, en este caso, las diferencias entre la estimación por LQ y la de colocación no son tan marcadas. La estimación por aproximación lineal cuadrática no es radicalmente diferente de aquella por Chebychev. La función de valor también es creciente en la cantidad, aunque menos curvada cuando se obtiene por Chebychev, comparada con el resultado de la aproximación lineal cuadrática. Los residuos son ligeramente mayo-res al comienzo del intervalo y tienden a decrecer a medida que aumenta el valor de la cantidad disponible de recurso. Sin embargo, se encuen-tran dentro de los límites aceptables de tolerancia y la figura que generan muestra que se comportan de manera adecuada, es decir que el enfoque de aproximación polinómica de Chebychev fue el apropiado.



223

Gráfico 3.20. Funciones de política óptima, valor, precio sombra y residuos de la optimización del modelo de depósito de agua multiusos.

– Análisis posoptimalidad. A partir de las soluciones estimadas numé-ricamente, tenemos información para hacer análisis del comporta-miento de las variables de interés en el tiempo. Por ejemplo, pode-mos simular qué ocurre con el valor esperado del sistema en el largo plazo, a partir de una simulación de Montecarlo:

Las sendas esperadas de las variables de estado y control son esti-madas de simulaciones de Montecarlo, con 10,000 repeticiones que parten de la cantidad mínima de agua posible en el depósito. Los co-mandos se presentan a continuación para un horizonte de 30 años.


224

% Cálculo de las sendas de estado y política

anhos = 30;

nrep = 10000;

sinit = smin*ones(nrep,1);

[spath,xpath] = dpsimul(model,sinit,anhos,s,x);

% Gráfico de la senda esperada de la variable de estado

figure(5);

plot(0:anhos,mean(spath));

title(‘Senda esperada del nivel del depósito’);

xlabel(‘Año’);

ylabel(‘Nivel de agua en el depósito’);

% Gráfico de la senda esperada de la política

figure(6);

plot(0:anhos,mean(xpath));

title(‘Senda esperada de la política’);

xlabel(‘Año’);

ylabel(‘Riego’);

% Cálculo de la distribución del estado estacionario

nsmooth = 7;

nbin = 80;

[ss,pi,xx] = dpstst(model,nsmooth,nbin,s,x);

sstar = pi’*ss;

xstar = pi’*xx;

% Gráfico de la distribución de estado estacionario

figure(7);

bar(ss,pi);

title(‘Distribución del estado estacionario’);

xlabel(‘Nivel de agua’);

ylabel(‘Probabilidad’);

Los resultados se presentan en los paneles del gráfico 3.21. Se observa que el sistema converge al estado estacionario dado bajo equivalente con certeza, alrededor de 3,92 unidades de agua y la política óptima converge a 1,02, que es muy cercano al valor esperado de la lluvia, como se había predicho teóricamente. Finalmente, dado que las variables son estocásti-cas, se construye un histograma con la distribución de frecuencias del es-tado estacionario esperado. Allí se observa que el estado estacionario de equivalente con certeza es el más esperado y que el estado estacionario se comporta de forma normalizada.



225

Gráfico 3.21. Gráficos resultantes de la optimización dinámica del problema de optimización del depósito de agua multiusos.

Al igual que en los casos anteriores, con esta información es posible de-terminar recomendaciones de política o simular diferentes escenarios, se-gún los valores que adopten los parámetros del modelo.

Estos ejemplos son muy útiles para entender el funcionamiento de la pro-gramación dinámica estocástica y todas sus virtudes a la hora de resolver problemas dinámicos complejos. A partir de allí, es posible construir mo-delos más elaborados o ampliados, de acuerdo con la información dispo-nible para el investigador.

Una vez más, es importante reconocer el impresionante aporte en este tema, tanto teórico como práctico, del trabajo adelantado por Miranda y Fackler (2002) y plasmado en su libro, el cual es, seguramente, una fuente importante para entender y adquirir destreza en los problemas de economía computacional.

227

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Economía de recursos naturales se terminó de imprimir y

encuadernar en noviembre de 2008 en Bogotá, D. C., Colombia.

Se compuso en la fuente Palatino de cuerpo 10,5 puntos.

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