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éclairs sur le moyen-age ii

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Éclairs sur le Moyen-Âge IV. À la naissance de l’imprimerie. - 1 À LA NAISSANCE DE L’IMPRIMERIE Il y a peu à dire pour présenter cette quatrième partie. Certes nous débordons ici le classique Moyen-Âge des historiens, mais notre option a été de faire apparaître une continuité et non une disparition de la science pendant des siècles. Il fallait donc voir l’aboutissement de cette période où, puisque nous faisons des mathématiques, parler de la limite atteinte, étant donné que nous avons admis la continuité… Nous arrivons donc à l’époque qui voit éclore et se répandre l’imprimerie et, avec elle, par elle, une nouvelle perception du savoir. Le nombre des documents augmente, plus variés en nature et plus directement utilisables car conçus dans un esprit plus proche du nôtre. Nous avons pu offrir des reproductions de pièces rares ou peu utilisées et espérons ainsi fournir matière aux collègues introduisant une dimension historique dans leur enseignement. Si le XVII ème siècle peut être désigné comme siècle de la révolution scientifique fondant la science actuelle, le XVI ème est celui où se mettent en place les conditions de son avènement. Ce XVI ème siècle durant lequel d’autres réponses sont apportées aux plus vieilles questions que l’Homme se posait, provoquant par là-même d’autres questions plus pertinentes et plus assurées –processus sans cesse répété depuis lors. Ce XVI ème siècle enfin où arrivent à maturité des faits et des méthodes de travail qui font surgir maints sujets d’étude de la torpeur où un enseignement devenu trop scolastique les retenait depuis plus d’un millénaire. Dans le cas de la pensée scientifique, de la « mathema », il ne faut pas oublier que de nombreux et importants signes de changement se manifestent dès les XIII ème et XIV ème siècles. Ces prémices ne restèrent cependant que trop isolées faute de moyens de diffusion 1 . En effet le contexte historique général montre parallèlement au maintien de traditions séculaires des innovations dans maints domaines : parmi les autorités religieuses et politiques, parmi l’encadrement intellectuel, dans les rapports sociaux, dans les moyens techniques mis à la disposition de ceux qui prennent la parole, de ceux qui écoutent ou qui lisent. Dans les décennies 1500-1580 ces connexions illustrent le basculement d’un monde à un autre. Quelles sont ces innovations ? Pensées, rêves, actions de la minorité savante s’exercent dans un renouvellement de la vision judéo-chrétienne de Dieu et de la Création, dans un monde qui s’est prodigieusement élargi, dans des pratiques techniques qui conduisent à une réflexion théorique, dans la maîtrise de l’imprimerie, révolution de la communication. A – LE RENOUVELLEMENT DE LA VISION DU MONDE ET DE LA PLACE QU’Y OCCUPE L’HOMME Le Moyen-Âge d’Augustin (IV ème siècle) à Thomas d’Aquin (XIII ème siècle) a privilégié l’idée que l’Homme, être déchu, est avant tout une créature en situation de péché. Ainsi les 1 Cf. « Éclairs sur le Moyen-Âge », III.

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Page 1: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 1

Agrave LA NAISSANCE DE LrsquoIMPRIMERIE

Il y a peu agrave dire pour preacutesenter cette quatriegraveme partie Certes

nous deacutebordons ici le classique Moyen-Acircge des historiens

mais notre option a eacuteteacute de faire apparaicirctre une continuiteacute et non

une disparition de la science pendant des siegravecles

Il fallait donc voir lrsquoaboutissement de cette peacuteriode ougrave puisque

nous faisons des matheacutematiques parler de la limite atteinte

eacutetant donneacute que nous avons admis la continuiteacutehellip

Nous arrivons donc agrave lrsquoeacutepoque qui voit eacuteclore et se reacutepandre

lrsquoimprimerie et avec elle par elle une nouvelle perception du

savoir

Le nombre des documents augmente plus varieacutes en nature et plus directement utilisables car

conccedilus dans un esprit plus proche du nocirctre Nous avons pu offrir des reproductions de piegraveces

rares ou peu utiliseacutees et espeacuterons ainsi fournir matiegravere aux collegravegues introduisant une

dimension historique dans leur enseignement

Si le XVIIegraveme

siegravecle peut ecirctre deacutesigneacute comme siegravecle de la reacutevolution scientifique fondant la

science actuelle le XVIegraveme

est celui ougrave se mettent en place les conditions de son avegravenement

Ce XVIegraveme

siegravecle durant lequel drsquoautres reacuteponses sont apporteacutees aux plus vieilles questions

que lrsquoHomme se posait provoquant par lagrave-mecircme drsquoautres questions plus pertinentes et plus

assureacutees ndashprocessus sans cesse reacutepeacuteteacute depuis lors Ce XVIegraveme

siegravecle enfin ougrave arrivent agrave

maturiteacute des faits et des meacutethodes de travail qui font surgir maints sujets drsquoeacutetude de la torpeur

ougrave un enseignement devenu trop scolastique les retenait depuis plus drsquoun milleacutenaire Dans le

cas de la penseacutee scientifique de la laquo mathema raquo il ne faut pas oublier que de nombreux et

importants signes de changement se manifestent degraves les XIIIegraveme

et XIVegraveme

siegravecles Ces

preacutemices ne restegraverent cependant que trop isoleacutees faute de moyens de diffusion1

En effet le contexte historique geacuteneacuteral montre parallegravelement au maintien de traditions

seacuteculaires des innovations dans maints domaines parmi les autoriteacutes religieuses et politiques

parmi lrsquoencadrement intellectuel dans les rapports sociaux dans les moyens techniques mis agrave

la disposition de ceux qui prennent la parole de ceux qui eacutecoutent ou qui lisent Dans les

deacutecennies 1500-1580 ces connexions illustrent le basculement drsquoun monde agrave un autre

Quelles sont ces innovations

Penseacutees recircves actions de la minoriteacute savante srsquoexercent dans un renouvellement de la vision

judeacuteo-chreacutetienne de Dieu et de la Creacuteation dans un monde qui srsquoest prodigieusement eacutelargi

dans des pratiques techniques qui conduisent agrave une reacuteflexion theacuteorique dans la maicirctrise de

lrsquoimprimerie reacutevolution de la communication

A ndash LE RENOUVELLEMENT DE LA VISION DU MONDE ET DE LA PLACE QUrsquoY

OCCUPE LrsquoHOMME

Le Moyen-Acircge drsquoAugustin (IVegraveme

siegravecle) agrave Thomas drsquoAquin (XIIIegraveme

siegravecle) a privileacutegieacute

lrsquoideacutee que lrsquoHomme ecirctre deacutechu est avant tout une creacuteature en situation de peacutecheacute Ainsi les

1 Cf laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 2

lettreacutes srsquoils aspirent agrave la connaissance drsquoailleurs non seacutepareacutee du savoir divin admettent ne

pas pouvoir en saisir la pleacutenitude car leurs capaciteacutes drsquoinvestigation sont imparfaites

La Renaissance construit progressivement une autre repreacutesentation du passeacute et partant de la

liberteacute humaine Les Humanistes des XVegraveme

et XVIegraveme

siegravecles eacutelaborent un domaine

intellectuel nouveau lrsquoHistoire en tant que manifestation humaine profane saisie dans son

passeacute et son preacutesent Ils nrsquoadmettent pas que meacutethodes et contenus de savoir soient limiteacutes

ils poursuivent deux buts non seulement mieux comprendre le plan divin de la Creacuteation mais

aussi mieux diriger la conduite humaine

Ils mettent en place un autre statut pour la laquo nature mateacuterielle raquo la soumettant agrave lrsquoobservation

agrave la comparaison et cherchent drsquoautres rapports entre cette laquo nature raquo et son Creacuteateur

Lentement le cosmos clos et hieacuterarchiseacute de la conception antique et meacutedieacutevale

meacutediterraneacuteenne explose et Galileacutee pourra affirmer en 1594 laquo La Terre et le Ciel se

confondent en un lieu unique ougrave regravegnent les mecircmes lois raquo

Quels sont les soubassements de cette perception radicalement diffeacuterente

Drsquoabord la vie intellectuelle en recherche tend agrave eacutechapper agrave lrsquoorganisation eccleacutesiale qui alors

se ferme sur lrsquoexploitation de pouvoirs eacutedifieacutes agrave partir de son seul savoir anteacuterieur Les

nouveaux intellectuels sont pour la plupart issus de familles marchandes (peacuteninsule italienne

Saint Empire romain germanique Francehellip) Ce sont des magistrats laiumlcs qui accumulent

rentes fonciegraveres et loisirs des conseillers des historiographes des astrologues mais aussi des

astronomes des geacuteographes qui cocirctoient des princes volontiers critiques envers les normes

religieuses imposeacutees par lrsquoEacuteglise drsquoalors (tout en conservant par ailleurs des comportements

archaiumlques voire magiques)

Ces gens se passionnent deacutesormais pour les proprieacuteteacutes reacuteelles des objets pour la nature des

choses (en teacutemoigne un plus grand nombre de laquo collections raquo) pour le spectacle de lrsquounivers

singuliegraverement et soudainement varieacute pour la ressemblance des corps des visageshellip

(preacuteoccupations estheacutetiques de proportion de perspective rencontreacutees dans les multiples

tacirctonnements des peintres de la Renaissance) Ces gens pensent pouvoir agir sur les ecirctres et

les choses preacutemices lointaines de lrsquoideacutee de progregraves

Pierre Francastel dans laquo Techniques et Arts raquo (1942) eacutecrit laquo Lrsquoordre reacutealiste et bourgeois est

sensible aux deacutetails de la vie mateacuterielle et donc au pouvoir de la changer Jadis lrsquouniteacute des

activiteacutes humaines se faisait dans un absolu divin favorable aux cloisonnements du savoir

Deacutesormais cette recherche du reacuteel ne peut se faire que par lrsquoexpeacuterience par des proceacutedeacutes

inductifs et deacuteductifshellip Cela neacutecessite un effort drsquoimagination qui se substitue agrave lrsquoesprit

scolastique raquo

Dans la socieacuteteacute des savants quelques-uns abandonnent lrsquoideacutee que le monde infini est un

attribut de Dieu liberteacute de penser et drsquoagir exceptionnellement novatrice (prolongeant un

Albert le Grand qui au XIIIegraveme

siegravecle concevait le monde laquo comme une reacutealiteacute autonome et

objective qui ayant sa logique propre analysable comme telle srsquooffre agrave la manipulation

theacuteorique et pratique par lrsquoHomme raquo)2

B ndash LE PRODIGIEUX EacuteLARGISSEMENT DU MONDE CONNU

Ces audaces accompagnent ou preacutecegravedent en quatre geacuteneacuterations de 1500 agrave 1600 une extension

spatiale des terres et des oceacuteans qui a ducirc apparaicirctre extraordinaire aux gens de lrsquoeacutepoque Les

anciennes valeurs sont bousculeacutees lrsquoeuropeacuteen doit relativiser reacuteinventer sa place dans la

2 Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III B2

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3

Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute

deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique

Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise

eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et

innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers

etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la

confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme

et XVegraveme

siegravecles le

perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances

maritimeshellip3

Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols

naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement

ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques

eacuteleacutementaires

C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE

Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme

siegravecle en

meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de

levage moulins agrave grains hellip

Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux

problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action

dans un monde reacuteel

Durant ce XVIegraveme

siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune

conception empirique agrave une conception raisonneacutee

ndash Un exemple drsquoart militaire

Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave

mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient

accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions

approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes

nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait

effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du

tirhellip Au XIVegraveme

siegravecle un Kyeser4 au XV

egraveme siegravecle un Valturio

5 un Ghiberti

6 teacutemoignent de

cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue

une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique

3Deux exemples eacuteloquents

- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable

bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages

effectueacutes entre 1580 et 1620

- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme

siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne

Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins

visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du

Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long

du XVegraveme

siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son

œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil

eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique

perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4

ndash Un autre exemple la fabrication des cloches

Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement

religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules

mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche

de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo

marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme

et XVIIegraveme

siegravecles un

savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux

Agrave la fin du XVIegraveme

siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus

procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire

intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs

concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces

approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se

renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie

D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION

La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des

abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du

savoir

Au deacutebut du XVegraveme

siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui

produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute

voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au

parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une

baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande

ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages

estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois

Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens

Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette

date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses

ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il

est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave

lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se

deacuteveloppent7

Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa

critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout

aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant

que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure

ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui

bouge

Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages

litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste

public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre

7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler

(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par

lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme

siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques

publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme

siegravecle La premiegravere ouverte en

France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo

(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a

eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5

reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave

Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers

assure les corrections chez Manuce de Venise)

VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500

Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la

Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant

Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli

et Pascal au XVIIegraveme

siegravecle

Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme

siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves

le XIVegraveme

siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI

egraveme siegravecle

des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles

8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par

Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir

document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 2: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 2

lettreacutes srsquoils aspirent agrave la connaissance drsquoailleurs non seacutepareacutee du savoir divin admettent ne

pas pouvoir en saisir la pleacutenitude car leurs capaciteacutes drsquoinvestigation sont imparfaites

La Renaissance construit progressivement une autre repreacutesentation du passeacute et partant de la

liberteacute humaine Les Humanistes des XVegraveme

et XVIegraveme

siegravecles eacutelaborent un domaine

intellectuel nouveau lrsquoHistoire en tant que manifestation humaine profane saisie dans son

passeacute et son preacutesent Ils nrsquoadmettent pas que meacutethodes et contenus de savoir soient limiteacutes

ils poursuivent deux buts non seulement mieux comprendre le plan divin de la Creacuteation mais

aussi mieux diriger la conduite humaine

Ils mettent en place un autre statut pour la laquo nature mateacuterielle raquo la soumettant agrave lrsquoobservation

agrave la comparaison et cherchent drsquoautres rapports entre cette laquo nature raquo et son Creacuteateur

Lentement le cosmos clos et hieacuterarchiseacute de la conception antique et meacutedieacutevale

meacutediterraneacuteenne explose et Galileacutee pourra affirmer en 1594 laquo La Terre et le Ciel se

confondent en un lieu unique ougrave regravegnent les mecircmes lois raquo

Quels sont les soubassements de cette perception radicalement diffeacuterente

Drsquoabord la vie intellectuelle en recherche tend agrave eacutechapper agrave lrsquoorganisation eccleacutesiale qui alors

se ferme sur lrsquoexploitation de pouvoirs eacutedifieacutes agrave partir de son seul savoir anteacuterieur Les

nouveaux intellectuels sont pour la plupart issus de familles marchandes (peacuteninsule italienne

Saint Empire romain germanique Francehellip) Ce sont des magistrats laiumlcs qui accumulent

rentes fonciegraveres et loisirs des conseillers des historiographes des astrologues mais aussi des

astronomes des geacuteographes qui cocirctoient des princes volontiers critiques envers les normes

religieuses imposeacutees par lrsquoEacuteglise drsquoalors (tout en conservant par ailleurs des comportements

archaiumlques voire magiques)

Ces gens se passionnent deacutesormais pour les proprieacuteteacutes reacuteelles des objets pour la nature des

choses (en teacutemoigne un plus grand nombre de laquo collections raquo) pour le spectacle de lrsquounivers

singuliegraverement et soudainement varieacute pour la ressemblance des corps des visageshellip

(preacuteoccupations estheacutetiques de proportion de perspective rencontreacutees dans les multiples

tacirctonnements des peintres de la Renaissance) Ces gens pensent pouvoir agir sur les ecirctres et

les choses preacutemices lointaines de lrsquoideacutee de progregraves

Pierre Francastel dans laquo Techniques et Arts raquo (1942) eacutecrit laquo Lrsquoordre reacutealiste et bourgeois est

sensible aux deacutetails de la vie mateacuterielle et donc au pouvoir de la changer Jadis lrsquouniteacute des

activiteacutes humaines se faisait dans un absolu divin favorable aux cloisonnements du savoir

Deacutesormais cette recherche du reacuteel ne peut se faire que par lrsquoexpeacuterience par des proceacutedeacutes

inductifs et deacuteductifshellip Cela neacutecessite un effort drsquoimagination qui se substitue agrave lrsquoesprit

scolastique raquo

Dans la socieacuteteacute des savants quelques-uns abandonnent lrsquoideacutee que le monde infini est un

attribut de Dieu liberteacute de penser et drsquoagir exceptionnellement novatrice (prolongeant un

Albert le Grand qui au XIIIegraveme

siegravecle concevait le monde laquo comme une reacutealiteacute autonome et

objective qui ayant sa logique propre analysable comme telle srsquooffre agrave la manipulation

theacuteorique et pratique par lrsquoHomme raquo)2

B ndash LE PRODIGIEUX EacuteLARGISSEMENT DU MONDE CONNU

Ces audaces accompagnent ou preacutecegravedent en quatre geacuteneacuterations de 1500 agrave 1600 une extension

spatiale des terres et des oceacuteans qui a ducirc apparaicirctre extraordinaire aux gens de lrsquoeacutepoque Les

anciennes valeurs sont bousculeacutees lrsquoeuropeacuteen doit relativiser reacuteinventer sa place dans la

2 Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III B2

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3

Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute

deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique

Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise

eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et

innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers

etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la

confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme

et XVegraveme

siegravecles le

perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances

maritimeshellip3

Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols

naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement

ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques

eacuteleacutementaires

C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE

Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme

siegravecle en

meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de

levage moulins agrave grains hellip

Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux

problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action

dans un monde reacuteel

Durant ce XVIegraveme

siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune

conception empirique agrave une conception raisonneacutee

ndash Un exemple drsquoart militaire

Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave

mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient

accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions

approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes

nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait

effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du

tirhellip Au XIVegraveme

siegravecle un Kyeser4 au XV

egraveme siegravecle un Valturio

5 un Ghiberti

6 teacutemoignent de

cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue

une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique

3Deux exemples eacuteloquents

- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable

bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages

effectueacutes entre 1580 et 1620

- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme

siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne

Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins

visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du

Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long

du XVegraveme

siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son

œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil

eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique

perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4

ndash Un autre exemple la fabrication des cloches

Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement

religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules

mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche

de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo

marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme

et XVIIegraveme

siegravecles un

savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux

Agrave la fin du XVIegraveme

siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus

procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire

intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs

concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces

approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se

renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie

D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION

La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des

abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du

savoir

Au deacutebut du XVegraveme

siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui

produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute

voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au

parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une

baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande

ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages

estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois

Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens

Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette

date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses

ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il

est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave

lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se

deacuteveloppent7

Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa

critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout

aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant

que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure

ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui

bouge

Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages

litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste

public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre

7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler

(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par

lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme

siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques

publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme

siegravecle La premiegravere ouverte en

France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo

(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a

eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5

reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave

Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers

assure les corrections chez Manuce de Venise)

VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500

Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la

Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant

Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli

et Pascal au XVIIegraveme

siegravecle

Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme

siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves

le XIVegraveme

siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI

egraveme siegravecle

des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles

8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par

Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir

document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 3: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 3

Creacuteation Choc probablement deacuteterminant dans les craquelures du cosmos clos et hieacuterarchiseacute

deacutejagrave eacutevoqueacute et tremplin pour lrsquoesprit scientifique

Des gouvernements des rivages meacutediterraneacuteen et atlantique dans un contexte de reprise

eacuteconomique suscitent et organisent parfois les moyens neacutecessaires aux recherches et

innovations Un lent travail srsquoest effectueacute tout particuliegraverement dans les milieux princiers

etou maritimes partout ougrave la demande des instruments de connaissance est grande ainsi la

confection de cartes plus preacutecises que les portulans cocirctiers des XIVegraveme

et XVegraveme

siegravecles le

perfectionnement des instruments de navigation une reacuteflexion sur les assurances

maritimeshellip3

Les exigences nouvelles du commerce eacutechanges lointains (par exemple galions espagnols

naviguant entre lrsquoarchipel philippin le Mexique puis lrsquoEspagne) les proceacutedeacutes de paiement

ont acceacuteleacutereacute les meacutethodes comptables bousculant les connaissances matheacutematiques

eacuteleacutementaires

C ndash LE SAVOIR TECHNIQUE SUPPORT DE LA REacuteFLEXION THEacuteORIQUE

Lagrave nrsquoest pas lrsquoexplication suffisante des spectaculaires progregraves accomplis au XVIegraveme

siegravecle en

meacutetallurgie en hydraulique dans lrsquoart militaire dans des machines telles qursquoappareils de

levage moulins agrave grains hellip

Des hommes ont alors recentreacute leurs questions borneacute plus freacutequemment leurs recherches aux

problegravemes physiques plutocirct que meacutetaphysiques observeacute plus preacuteciseacutement les choses en action

dans un monde reacuteel

Durant ce XVIegraveme

siegravecle deux exemples fournissent une bonne illustration du passage drsquoune

conception empirique agrave une conception raisonneacutee

ndash Un exemple drsquoart militaire

Lemploi du canon en bronze oblige agrave consideacuterer le problegraveme du laquo tir tendu raquo et donc agrave

mesurer une hauteur simplement observeacutee agrave distance Les laquo maicirctres drsquoengins raquo avaient

accumuleacute assez drsquoexpeacuteriences pour saisir les donneacutees du problegraveme et en fournir des solutions

approximatives qui se reacuteveacutelaient satisfaisantes Mais il aurait eacuteteacute surprenant que ces hommes

nrsquoaient pas chercheacute agrave ameacuteliorer leurs laquo recettes raquo et donc agrave comprendre ce qui se passait

effectivement pratiquer des mesures appreacutecier des vitesses de projection selon les eacutetapes du

tirhellip Au XIVegraveme

siegravecle un Kyeser4 au XV

egraveme siegravecle un Valturio

5 un Ghiberti

6 teacutemoignent de

cette curiositeacute Ils eacutetablissent un eacutetalonnage des divers calibres Agrave lrsquoimpreacutecision se substitue

une cote parfaitement observeacutee et deacutecrite et au simple coup de chance la deacuteduction logique

3Deux exemples eacuteloquents

- degraves 1503 le roi drsquoEspagne Ferdinand V fonde agrave Seacuteville la laquo Casa de Contratacion de Las Indias raquo Ce veacuteritable

bureau drsquoeacutetudes hydrographiques et commerciales a deacutepouilleacute et exploiteacute les rapports de plus de 1800 voyages

effectueacutes entre 1580 et 1620

- toujours dans les derniegraveres anneacutees du XVIegraveme

siegravecle les Eacutetats Geacuteneacuteraux de Hollande et le roi drsquoEspagne

Philippe II creacuteent concurremment un concours doteacute ici drsquoun prix de 6000 ducats lagrave drsquoun prix de 10000 florins

visant agrave la mise au point drsquoune meacutethode pour mesurer la longitude 4 Kyeser (1366 - vers 1410) Officier et maicirctre drsquoengins en relations avec les principaux souverains et princes du

Saint Empire romain germanique Il eacutecrit un traiteacute de la science des machines agrave feu le Bellifortis Tout au long

du XVegraveme

siegravecle des illustrateurs reprennent ses dessins 5 Valturio (neacute vers 1413) fils drsquoun chargeacute de chancellerie aupregraves du Vatican Il nous reste 22 manuscrits de son

œuvre ougrave lrsquoinfluence de Kyeser est nette 6 Ghiberti (1378-1455) est le bronzier connu pour les portes du baptistegravere de Florence Les commentaires qursquoil

eacutecrit agrave la fin de sa vie indiquent tout lrsquointeacuterecirct qursquoil porte aux questions techniques et scientifiques (optique

perspective problegravemes drsquoun fondeur de bronze)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4

ndash Un autre exemple la fabrication des cloches

Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement

religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules

mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche

de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo

marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme

et XVIIegraveme

siegravecles un

savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux

Agrave la fin du XVIegraveme

siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus

procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire

intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs

concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces

approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se

renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie

D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION

La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des

abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du

savoir

Au deacutebut du XVegraveme

siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui

produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute

voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au

parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une

baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande

ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages

estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois

Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens

Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette

date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses

ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il

est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave

lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se

deacuteveloppent7

Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa

critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout

aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant

que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure

ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui

bouge

Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages

litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste

public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre

7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler

(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par

lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme

siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques

publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme

siegravecle La premiegravere ouverte en

France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo

(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a

eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5

reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave

Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers

assure les corrections chez Manuce de Venise)

VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500

Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la

Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant

Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli

et Pascal au XVIIegraveme

siegravecle

Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme

siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves

le XIVegraveme

siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI

egraveme siegravecle

des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles

8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par

Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir

document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 4: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 4

ndash Un autre exemple la fabrication des cloches

Le mecircme souci de rationalisation existe dans cet eacuteleacutement familier de lrsquoenvironnement

religieux Il nrsquoest pas seulement question de proceacutedeacutes de fabrication notamment des moules

mais une sorte de diagramme est traceacutee indiquant les principales caracteacuteristiques drsquoune cloche

de forme deacutetermineacutee caracteacuteristiques agrave la fois universelles et speacutecifiques Ces laquo tables raquo

marquent un effort pour donner au travail des regravegles Ainsi aux XVIegraveme

et XVIIegraveme

siegravecles un

savoir technique comparable sera accumuleacute pour la construction des bateaux

Agrave la fin du XVIegraveme

siegravecle la laquo matheacutematisation raquo de la technique a donc fait un pas de plus

procurant des formules qui peuvent permettre pour un ensemble de donneacutees de construire

intellectuellement le reacutesultat chercheacute Ainsi Simon Stevin se livrera-t-il agrave des calculs

concernant la force des moulins agrave vent Ainsi Leacuteonard de Vinci est-il un vif partisan de ces

approches ponctuelles des savoirs Enfin cette laquo matheacutematisation raquo ne pouvait que se

renforcer dans sa rencontre avec lrsquoimprimerie

D ndash LrsquoIMPRIMERIE OUVRE LE MONDE Agrave LA COMMUNICATION

La connaissance par compilation de vieux manuscrits reacuteserveacutes agrave quelques privileacutegieacutes des

abbayes par lecture laquo ex cathedra raquo des universiteacutes cegravede alors la place agrave de nouvelles voies du

savoir

Au deacutebut du XVegraveme

siegravecle le copiste beacuteneacutedictin a eacuteteacute remplaceacute par des ateliers de copistes qui

produisent en seacuteries de plusieurs centaines drsquoexemplaires les manuels en usage agrave lrsquouniversiteacute

voisine Certes ces ouvrages ne sont pas de grande qualiteacute et restent tregraves chers mais deacutejagrave au

parchemin imputrescible se substitue parfois le papier mis au point en Italie qui entraicircne une

baisse des coucircts Lrsquoeacutecriture manuelle a atteint son ultime degreacute de productiviteacute et la demande

ne cesse de croicirctre Ces ouvrages ne comportent pas drsquoenluminures mais parfois des pages

estampeacutees crsquoest-agrave-dire passeacutees agrave la presse sur des formes tailleacutees dans du bois

Le progregraves final vient des meacutetiers du meacutetal Vers 1425 agrave Haarlem (Pays-Bas) Laurens

Janszoon dit Coster imprimait des planches graveacutees et il semble bien qursquoil commenccedila agrave cette

date agrave utiliser des lettres en caractegraveres mobiles (poinccedilons) adjoints agrave ces planches Un de ses

ouvriers Johann Gensfleich perfectionna le systegraveme agrave Strasbourg vers 1440 puis agrave Mayence il

est connu sous le nom de Gutenberg Degraves lors les livres imprimeacutes peuvent ecirctre multiplieacutes agrave

lrsquoinfini et leur prix baisse spectaculairement Bibliothegraveques priveacutees et universitaires se

deacuteveloppent7

Les deacutebats fondamentaux voient ainsi leur public srsquoaccroicirctre public exerccedilant deacutesormais sa

critique sur piegraveces et agrave distance Celui qui a lu peut connaicirctre comprendre et discuter tout

aussi rapidement et peut ecirctre plus sucircrement que celui qui a entendu Il nrsquoest donc pas eacutetonnant

que la transmission du savoir commence parfois agrave fuir les grandes universiteacutes dans la mesure

ougrave celles-ci ne savent pas eacutevoluer ne savent plus reacutepondre aux demandes dun monde qui

bouge

Lrsquohabileteacute technique croissante des imprimeurs est mise au service de la diffusion drsquoouvrages

litteacuteraires et scientifiques Deacutesormais il est devenu possible pour un auteur de toucher un vaste

public en un temps relativement court Une foule drsquoideacutees excessivement diverses peuvent ecirctre

7 En France Charles V (1364-80) posseacutedait une librairie importante qui fut mal entretenue jusqursquoagrave Franccedilois ler

(1515-1547) lequel nomma Guillaume Budeacute premier laquo libraire raquo au Roi en 1522 et rendit obligatoire le deacutepocirct par

lrsquoeacutedit de Montpellier en 1537 Si au IVegraveme

siegravecle il y avait agrave Rome plus de deux douzaines de bibliothegraveques

publiques les bibliothegraveques modernes ne furent ouvertes au public qursquoau XVIIegraveme

siegravecle La premiegravere ouverte en

France est la laquo Mazarine raquo geacutereacutee par Naudeacute (1643) imitant en cela 1rsquolaquo Ambrosiana raquo (Milan) et 1rsquolaquo Angelica raquo

(Rome) ainsi que celle leacutegueacutee par Lord Bodley agrave Oxford en 1613 (plus de 200 000 volumes) La laquo nationale raquo a

eacuteteacute ouverte au public en 1692 elle possegravede deux laquo Bibles raquo de Gutenberg

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5

reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave

Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers

assure les corrections chez Manuce de Venise)

VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500

Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la

Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant

Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli

et Pascal au XVIIegraveme

siegravecle

Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme

siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves

le XIVegraveme

siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI

egraveme siegravecle

des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles

8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par

Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir

document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 5: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 5

reacutepandues8 Enfin ces artisans ingeacutenieux que sont Frolen agrave Bacircle Manuce agrave Venise Plantin agrave

Anvers constituent autour drsquoeux une veacuteritable ruche de savants eacuterudits (Erasme drsquoAnvers

assure les corrections chez Manuce de Venise)

VILLES POSSEacuteDANT UN OU DES ATELIERS DrsquoIMPRIMERIE VERS 1500

Dans ce grand remuement drsquoideacutees quels sont les grands problegravemes matheacutematiques dont la

Renaissance heacuterite du Moyen- Acircge finissant

Le problegraveme du vide il nrsquoeacutevolue guegravere le rejet du vide va subsister tel quel jusqursquoagrave Torricelli

et Pascal au XVIIegraveme

siegravecle

Lrsquoinfini son refus dans la science drsquoAristote a deacutejagrave eacuteteacute vivement combattu degraves le XIIIegraveme

siegravecle et les notions de limite non atteinte et de processus infini de calcul ont eacuteteacute discuteacutees degraves

le XIVegraveme

siegravecle9 Mais ce sont la redeacutecouverte et la publication au cours du XVI

egraveme siegravecle

des œuvres drsquoArchimegravede qui vont attirer les hommes de science vers des approches nouvelles

8 La hacircte drsquoimprimer de diffuser conduit agrave laquo trop raquo publier drsquoougrave les dangers de lrsquoencyclopeacutedisme deacutenonceacute par

Rabelais et le non controcircle qui laisse passer des affirmations deacutejagrave reconnues fausses ou sans inteacuterecirct ndashvoir

document ndeg IV14 lrsquoarticle sur Champfleury 9 Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 6: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 6

Crsquoest ainsi que Jean Buteacuteo10

publie en 1559 une recherche sur la quadrature du cercle qui

revient agrave approcher la valeur de π et que Viegravete11

en 1593 recherche ce mecircme nombre par un

produit infini Le processus de passage agrave la limite se trouve en fin de siegravecle dans des

recherches sur le centre de graviteacute (Luca Valerio12

ou Simon Stevin13

) Ce ne sont peut-ecirctre

que tentatives isoleacutees mais elles existent deacutejagrave en ce siegravecle

Le mouvement la progression des ideacutees en ce domaine est encore plus nette Leacuteonard de

Vinci14

utilise la notion de moment et exploite la notion drsquolaquo impetus raquo due agrave Buridan15

La

notion de polygone de sustentation ressort de ses propres eacutetudes sur le centre de graviteacute Vinci

et plus tard Cardan16

eacutetudient le mouvement drsquoun corps abandonneacute sur un plan inclineacute ce qui

les conduit agrave une sorte de deacutecomposition de la pesanteur (ou plus exactement du poids du

corps) Mais et cela est le fait capital au lieu drsquoexplications qualitatives apparaissent alors

des regravegles quantitatives Dans le mecircme esprit travaillent lrsquoitalien Tartaglia17

et lrsquoespagnol

Soto18

Le systegraveme du monde on sait que degraves lrsquoeacutepoque de la science grecque des savants se

posaient la question est-ce le soleil ou la terre qui tourne lrsquoun autour de lrsquoautre Le systegraveme

geacuteocentrique de Ptoleacutemeacutee19

parut longtemps le plus simple sinon le plus normal Il srsquoaccordait

agrave la doctrine drsquoAristote et donnait en quelque sorte une supeacuterioriteacute agrave lrsquohomme placcedilant la terre

au centre de lrsquounivers Mais au fur et agrave mesure que srsquoaccumulaient les observations il fallait

apporter au systegraveme preacute-eacutetabli des modifications le compliquant agrave lrsquoextrecircme si on deacutesirait

avoir un outil respectant les donneacutees quantitatives de ces observations et non seulement des

explications qualitatives

Le retour agrave un systegraveme heacuteliocentrique comme celui drsquoAristarque de Samos20

voire celui de

Philolaos de Crotone21

eacutetait deacutejagrave proposeacute par Oresme au XIVegraveme

siegravecle Le pas deacutecisif fut

franchi par Nicolas Copernic22

qui regroupa ses observations et preacutesenta son hypothegravese dans

son ouvrage laquo De revolutionibus orbium celestium raquo paru agrave lrsquoheure de sa mort

Mais agrave cocircteacute de ces grands problegravemes il faut penser plus simplement agrave lrsquooutil alors en

gestation dont disposera lrsquohomme de science degraves la fin de ce siegravecle Lrsquooutil crsquoest la langue de

cette science fruit de toute une pratique matheacutematique

Citons-en les principales expressions

Le calcul et son eacutecriture font drsquoeacutenormes progregraves le texte eacutecrit et imprimeacute prenant la place du

discours oral comme moyen de transmission Srsquoimposait ainsi davantage de rigueur et de

concision Crsquoest avec la laquo Disme raquo de Simon Stevin qursquoapparaicirct en 1585 le premier ouvrage

10

J Buteacuteo ou Buteacuteon ou encore Jean Borrel originaire du Dauphineacute eacutecrivit des ouvrages de geacuteomeacutetrie et

drsquoarithmeacutetique Il deacutesignait deacutejagrave les inconnues par des lettres 11

Franccedilois Viegravete (1540-1603) Conseiller de Henry IV est consideacutereacute comme le pegravere de lrsquoalgegravebre moderne car il

a introduit la notion (et lrsquoeacutecriture) de formule geacuteneacuterale 12

Valeacuterio (1552-1618) enseigna les matheacutematiques agrave Rome 13

Stevin (1548-1620) ingeacutenieur et matheacutematicien hollandais Cf note 23 ci-apregraves 14

Vinci (neacute pregraves de Florence 1452 mort agrave Clos Luceacute pregraves drsquoAmboise 1519 voir document IV7 15

Voir laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo III 16

Girolamo Cardano (1501-1576) DE Smith 1rsquohistorien des matheacutematiques dit de lui laquo Ce coquin-lagrave eacutetait

parfois un homme deacutepourvu de principes et parfois un geacutenie raquo Il a publieacute enseigneacute et vendu du droit de la

meacutedecine de 1astrologie de la philosophie de 1rsquoalgegravebre et de la physique Cf document IV8 17

Nicolas Tartaglia (1506-1557) autodidacte est peut ecirctre le plus grand matheacutematicien italien de son eacutepoque

Cf notre brochure laquo Glanes raquo IREM de Dijon 18

Soto (1494-1570) enseigna agrave Salamanca 19

Ptoleacutemeacutee enseigna agrave Alexandrie au IIegraveme

siegravecle 20

Astronome grec du IIIegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 21

Matheacutematicien grec du Vegraveme

siegravecle avant Jeacutesus-Christ 22

Copernic (1473-1543) Voir Document IV9

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 7: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 7

preacuteconisant et utilisant systeacutematiquement les fractions deacutecimales23

Avec lrsquoimprimerie vont se

reacutepandre les tables de calcul fort utiles sinon indispensables pour reacutesoudre des problegravemes

lorsqursquoon sait que la pratique de la multiplication est encore peu usuelle et celle de la division

presque affaire de speacutecialiste24

Adaptation latine de lrsquoarithmeacutetique

de Gemma Frisius (1553 agrave Paris)

La trigonomeacutetrie outil privileacutegieacute de lrsquoastronomie srsquoest deacuteveloppeacutee non seulement dans les

pays de lrsquoIslam durant le Moyen-Acircge mais sur la fin de celui-ci en Occident Des tables

comparables agrave nos tables de fonctions trigonomeacutetriques vont paraicirctre degraves le deacutebut de

lrsquoimprimerie ainsi la laquo Tabula directionum raquo de Regiomontanus sortie en 148525

Cet auteur

astronome lui-mecircme donna agrave la trigonomeacutetrie une forme indeacutependante de lrsquoastronomie A sa

suite les relations dans les triangles tant plans que spheacuteriques furent mises au point pour

elles-mecircmes26

Lrsquoalgegravebre enrichie de lrsquoapport arabe est mieux assimileacutee et devient au XVIegraveme

siegravecle un outil

feacutecond Tartaglia reacutesout lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute en 153527

et Ferrari28

celle du

quatriegraveme degreacute vers 154529

23

Stevin (1548-1620) fut surtout connu de ses contemporains pour ses travaux de statique et drsquohydrostatique en

particulier au sujet des digues et polders des Pays-Bas 24

Sur toutes ces questions nous renvoyons agrave notre brochure laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon 25

Johann Muumlller (1436-1475) neacute agrave Koumlnigsberg en Baviegravere est deacutesigneacute sous la forme latine de son lieu de

naissance Regiomontanus On trouvera un exemple drsquoune table similaire au Voir Document IV8 26

Les arabes connaissaient sin 2a = 2 sina cosa Crsquoest dans un texte de Viegravete en 1591 qursquoapparaicirct sin3a = 3cos2a

sina - sin3a

27 Crsquoest lui-mecircme qui fixe la date de sa deacutecouverte 1a nuit du 12 au 13 feacutevrier agrave Venise

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 8: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 8

En geacuteomeacutetrie lrsquoOccident redeacutecouvre la science des Anciens Les geacuteomeacutetries dites drsquoEuclide

vont ecirctre eacutediteacutees un peu partout en toutes langues au cours du siegravecle30

Avec Albrecht Duumlrer

(1471-1528) apparaissent les premiegraveres veacuteritables eacutepures drsquoune geacuteomeacutetrie de lrsquoespace qui

utilisent la perspective

La Margarita Philosophica (eacutedition de 1508 agrave Bacircle)

On remarquera entremecircleacutees les disciplines du trivium et du quadrivium Voir Document IV3

Crsquoest en 1543 qursquoest eacutediteacute le livre de Copernic qui renverse le vieux systegraveme descriptif du

monde pour laisser place simplificatrice aux calculs astronomiques et coiumlncidence en cette

28

Ferrari eacutelegraveve de Cardan (1522-1565) 29

Pour plus de deacutetails sur lrsquohistorique des eacutequations algeacutebriques voir notre brochure laquo Eacutegale zeacutero raquo 30

Voir au Document IV3 quelques rappels des premiegraveres eacuteditions Toutes les geacuteomeacutetries drsquoEuclide provenaient

de manuscrits plus ou moins complets plus ou moins exacts plus ou moins authentiques Certains comprenaient

des apports posteacuterieurs surtout apregraves la redeacutecouverte de lrsquoœuvre drsquoArchimegravede inconnue au Moyen-Acircge On

trouvera au Document IV10 un exemple classique drsquoune meacutethode introduite par le Syracusien

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 9: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 9

mecircme anneacutee parait eacutegalement la premiegravere eacutedition des œuvres drsquoArchimegravede œuvres

pratiquement ignoreacutees depuis quinze siegravecles On deacutecouvre chez Archimegravede non pas le savant

drsquoun systegraveme mais lrsquohomme de problegravemes ponctuels Lrsquohomme du XVIegraveme

siegravecle se retrouve

dans cette attitude Les outils forgeacutes par et pour lrsquohomme de science sont aussi demandeacutes par

tout un monde qui nrsquoattend pas un systegraveme de descriptions qualitatives mais des reacutesolutions

de problegravemes pratiques Cela illustre bien le passage drsquoune laquo physique des qualiteacutes raquo agrave une

observation quantitative des pheacutenomegravenes qui va srsquoacceacuteleacuterer au cours du siegravecle Le cadre de la

seule discussion agrave partir drsquoun systegraveme quasi monolithique va eacuteclater au profit de jugements

forgeacutes agrave lrsquoaide de preuves et drsquoexpeacuteriences que chacun presque individuellement peut

apporter sinon veacuterifier

Un nouvel esprit scientifique est mucircr Le siegravecle suivant ouvrira toute grande la porte aux

Galileacutee et autres Pascal On ne saura les nommer tous

Cependant le passeacute perdure speacutecialement en Sciences drsquoautant qursquoil eacutetait deacutejagrave porteur

drsquoavenir Drsquoautre part la matheacutematisation du monde nrsquoest possible que parce que la plupart

des savants mettent entre parenthegraveses les conditions politiques et surtout religieuses

Seacuteparation feacuteconde mais aussi gecircnante car les sourdes rivaliteacutes entre savants sont aviveacutees par

tout un appareil de censures appareil plus ou moins redoutable dirigeacute par les autoriteacutes

eccleacutesiastiques de Rome ou de la Reacuteforme parfois renforceacutees par les autoriteacutes des Eacutetats

Carte de 1530 du matheacutematicien brianccedilonnais Oronce Fine (1494-1555)

Professeur au Collegravege Royal en 1532 On lui doit lrsquoeacutedition de nombreuses œuvres

scientifiques eacutetrangegraveres ainsi qursquoun ouvrage de geacuteomeacutetrie pratique Il crut comme

beaucoup drsquoautres avoir reacutesolu la quadrature du cercle

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 10: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 10

Fidegraveles agrave notre meacutethode nous preacutesentons maintenant des annexes pour que le lecteur eacutetablisse

son propre jugement et trouve matiegravere agrave illustrer ses connaissances

Outils de caractegraveres geacuteneacuteraux

1 - Concordance drsquoeacutevegravenements

2 - Concordance de laquo Geacuteomegravetres raquo

3 - Quelques dates de premiegraveres eacuteditions

4 - Lrsquoeacutecriture matheacutematique

5 - La numeacuteration eacutecrite au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

6 - Les mesures franccedilaises

Deux biographies

7 - Leacuteonard de Vinci

8 - Cardan

Suivent

9 - Une note sur lrsquoEst de lrsquoEurope pour saluer Copernic

10 - Une deacutemonstration inspireacutee drsquoArchimegravede

11 - Des extraits drsquoune laquo probissima merx raquo du XVIegraveme

siegravecle lrsquoalgegravebre de Gosselin

12 - Et le calcul

13 - Une vieille histoire des maths

Et pour terminer

14 - Une promenade agrave travers les rayons de sciences drsquoune laquo librairie raquo lointain reflet de cette

eacutepoque

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 11: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 11

DOCUMENT IV1

XVIEgraveME

SIEgraveCLE UNE CONCORDANCE

1482

1484

1egravere

eacutedition drsquoEuclide

laquo Arithmeacutetique raquo de

Chuquet

1492 Christophe Colomb

ler voyage vers les

Indes occidentales

1494

Pacioli eacutequation du

2egraveme

degreacute

1500 Vasco de Gama

contourne lrsquoAfrique et

gagne les Indes

orientales

1506

laquo La Joconde raquo

Leacuteonard de Vinci

1510 Duumlrer Perspective et

geacuteomeacutetrie 1511 laquo Eacuteloge de la folie raquo

Erasme

1515

1516

1517

Franccedilois 1er Roi

Charles Quint

Empereur

Luther Manifeste des

laquo 95 propositions raquo

1530 Collegravege royal (de

France)

1534 Creacuteation de la

Compagnie de Jeacutesus 1535 Eacutequation du 3

egraveme degreacute

1532 laquo Gargantua raquo

Rabelais

1539

1542

1543

1549

Carte de Mercator

laquo Botanique raquo Fuchs

Copernic laquoDe

Revolutionibus hellip raquo

laquo Deacutefense et illustra-

tion de la langue

franccedilaise raquo Du Bellay

1558 Elizabeth legravere

Reine

drsquoAngleterre 1560 Sommation de seacuteries

Tartaglia (eacutedition)

1558 Circulation pulmonaire

M Servet

1562 Deacutebut des Guerres de

religion en France

1571 Bataille de Leacutepante 1577 El Greacuteco agrave Tolegravede

1582 Reacuteforme greacutegorienne

du calendrier

1580 Palissy eacutemaux

Montaigne laquo Essais raquo

1588 Deacutefaite de 1rsquoInvincible

Armada

1589

Galileacutee Oscillations

du pendule

1598 Eacutedit de Nantes

Toleacuterance des

Reacuteformeacutes

1591

Viegravete eacutecriture

algeacutebrique litteacuterale

1590

1591

Premiegraveres lunettes

laquo Henry VI raquo

Shakespeare

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 12: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 12

DOCUMENT IV2

laquo GEacuteOMEgraveTRES raquo (MATHEacuteMATICIENS) AU LONG DU XVIEgraveME

SIECLE

1500 1550 1600

Chuquet

de Vinci 1452

Pacioli

del Ferro 1465

Duumlrer 1471

Bombelli

Rudolff

Tartaglia

Ferrari

Cardan

Recorde

Stifel

Maurolico

Ramus

Clavius

Viegravete

Napier

Stevin

Mersenne

Descartes

Galileacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 13: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 13

DOCUMENT IV3

QUELQUES DATES DE laquo PREMIEgraveRE EacuteDITION raquo

Cette liste qui bien eacutevidemment nrsquoa rien drsquoexhaustif nrsquoest dresseacutee que pour illustrer la

diffusion des Matheacutematiques agrave travers lrsquoimprimerie de par le monde du XVIegraveme

siegravecle Elle

est aussi un reflet de lrsquointeacuterecirct ou des besoins alors ressentis pour cette discipline

1478 Treacutevise Ellibro che tracta de Mercatantie (Anonyme) -Arithmeacutetique

1482 Venise Geacuteomeacutetrie drsquoEuclide en latin

Padoue Tractatus latitudinibus formarum (Oresme)

Bamberg Arithmetick (Anonyme allemand)

1488 Lyon Arithmetica selon Boeumlce

1489 Leipzig Arithmeacutetique pratique en allemand (Widmann)

Tolosa Dela arismethica (Delatore)

1491 Florence Arithmeacutetique avec illustrations (Calandri)

1493 Ferrare Almageste de Ptoleacutemeacutee

1494 Venise Suma - premiegravere algegravebre (Pacioli)

1499 Paris Geacuteomeacutetrie attribueacutee faussement agrave Boeumlce (Le Fevre drsquoEstaples)

1503 Fribourg

Strasbourg

Margarita Philosophica - Premiegravere encyclopeacutedie (Reisch)

1506 Noyon Opera (Charles Boueumllle)

1512 Barcelone

Lyon

Suma de arithmetica (Ortega)

1514 Heidelberg () Rechnenbiechlen - arithmeacutetique (Jakob Koumlbel)

1520 Lyon Larismeacutetique (Estienne de la Roche)31

1525 Koumlnigsberg Die Coss - algegravebre (Rudolff)

1533 Bacircle Euclide eacutedition en grec

Nuremberg De triangulis - trigonomeacutetrie (Regiomontanus)

1540 Londres The ground of artes - arthmeacutetique (Recorde)

Anvers Arithmeticae praticae (Gemma Frisius)

1543 Venise Archimegravede eacutedition Tartaglia

Nuremberg De revolutionibus orbium celestum (Copernic)

1545 Nuremberg Ars magna (Cardan)

Paris Elements drsquoEuclide (Pierre de la Rameacutee)

1556 Mexico Sumario Compendiosa - arithmeacutetique pratique

1557 Londres The whestone of witte - algegravebre (Recorde)

1571 Paris Canon mathematicus (Viegravete)

1572 Bologne Diophante - Eacutedition en italien par Bombelli

1577 Paris De arte magna (Gosselin)

31

Ce livre ne serait qursquoune copie du manuscrit laquo Triparty en la science des nombres raquo de Nicolas Chuquet de

1484 premiegravere algegravebre en franccedilais

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 14: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 14

1585 Leyde Arithmeacutetique (Stevin)

hellip

1603 Traduction en chinois drsquoEuclide (Matteo Ricci (SJ))

Œuvres originales et laquo classiques raquo paraissent concurremment On peut ainsi suivre la perceacutee

des langues vulgaires

Deux pages drsquoun laquo Euclide raquo de 1573 en latin et grec (Voir document ndeg IV14)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 15: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 15

DOCUMENT IV4

LrsquoEacuteCRITURE MATHEacuteMATIQUE

Crsquoest au cours du XVIegraveme

siegravecle que se situe lrsquoapparition des actuels symboles

matheacutematiques32

ndash Les signes + et - se trouvent dans un ouvrage allemand de 1489 mais ne srsquoimposent

que lentement On leur preacutefegravere p et m ou P et M

V (radical) est de Rudolff (1525)

ndash Langlais Recorde use du symbole == pour leacutegaliteacute en 1557 mais pour certains auteurs a = b

signifiera longtemps encore ce que nous notons ba Les deux traits seront longs agrave

lrsquoemporter pour lrsquoeacutegaliteacute

Drsquoautres eacuteleacutements de notre eacutecriture nrsquoapparaissent pas encore au XVIegraveme

siegravecle

Si un nombre connu ou inconnu est noteacute A (ce qui est un progregraves sur res ou coss) son carreacute

est Aq (abreacuteviation de quadratus) et son cube Ac (cubus) Le plus souvent mecircme le mot reste

en entier et drsquoautres notations se rencontrent Crsquoest ainsi que Cardan eacutecrit A in C in quadratum

B pour notre AB2C in deacutesignant la multiplication

Dans la pratique les opeacuterations si elles ne sont pas faites avec lrsquoabaque ndashet ce par les

geacuteomegravetres car les comptables usent presque toujours de bouliersndash elles ne se disposent pas

encore comme nous le faisons

La multiplication se fait souvent agrave lrsquoaide de la duplication Ainsi pour effectuer 135 x 21 on

dresse une table des laquo doubles raquo de 135 (opeacuteration facile)

135

1

270

2

540

4

1080

8

2160

16

car 21 = 1 + 4+ 16

donc 135 x 21 = 135 + 540 + 2160 = 2835

Ce proceacutedeacute deacuterive directement de la pratique du boulier

La division est encore une opeacuteration deacutelicate peu reacutepandue on ne connaicirct pas les nombres

deacutecimaux On partage en nombres laquo rompus raquo ndashen fractionsndash

Dans la pratique commerciale on utilise des tables de reacutesultats tables qui vont rapidement ecirctre

imprimeacutees en grand nombre et pendant tregraves longtemps Lrsquoauteur de plusieurs drsquoentre elles au

siegravecle suivant ne srsquoappelait-il pas JF Barrecircme il y laissa son nom

32

On trouvera plus de deacutetails dans nos brochures laquo Chose drsquoAlgegravebre raquo et laquo Eacutegale zeacutero raquo IREM de Dijon Voir

eacutegalement le document Gosselin (ndeg IV11)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 16: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 16

DOCUMENT IV5

LA NUMEacuteRATION EacuteCRITE AU DEacuteBUT DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Les copistes du Moyen-Acircge ne faisaient que suivre la notation des nombres selon les rares

auteurs originaux qursquoils reproduisaient Lorsque lrsquoimprimerie apparut toutes ces notations

furent confronteacutees et affronteacutees agrave la notation indo-arabe Mais les survivances du passeacute furent

tenaces (Elles le sont encore au XXegraveme

siegravecle)

On distingue en gros deux eacutecoles pour adapter lrsquoeacutecriture des nombres aux caractegraveres de

lrsquoimprimerie naissante

Le systegraveme latin

Un se note j deux ij trois iij quatre iiij cinq v etchellip La forme soustractive nrsquoest pas

geacuteneacuteraliseacutee ainsi LXviiij = 69 DCLXXXX = 690

Mais lrsquoemploi de grands nombres srsquoavegravere davantage neacutecessaire au XVegraveme

siegravecle qursquoau Ier

siegravecle Si M crsquoest mille on imprime

Par suite on trouve

Mais drsquoautres utilisent plus simplement

Cm pour 100 000 XCm pour 1 000 000

voire v pour 5 000 000

Le systegraveme grec

Il srsquoagit du systegraveme litteacuteral (ordo literarum numeacuteralium)33

Une difficulteacute se fait alors jour car on ne dispose pas de vingt sept caractegraveres-lettres (i et j

drsquoune part u et v drsquoautre part sont souvent confondus)

33

Consulter agrave ce sujet notre brochure laquo Comptes grecs raquo IREM de Dijon et Matheacutematiques grecques D La

numeacuteration eacutecrite

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 17: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 17

On trouve alors deux notations reacutesumeacutees dans la table suivante Ce sont en quelque sorte des

essais de latinisation de lrsquooutil grec

ndash est le laquo s raquo du pluriel et le laquo s raquo du corps des mots

ndash et paraissent des creacuteations

Donc selon les imprimeurs

LC ou KC pour 23 njh ou mg pour 49

uof ou xoamp pour 666 xω ou y pour 700 000

On comprend aiseacutement comment le systegraveme indo-arabe lrsquoemporta hellip

Certes les imprimeurs eurent tregraves tocirct des caractegraveres grecs mais certains ignorant sans doute la

numeacuteration litteacuterale grecque eurent agrave cocircteacute de lrsquoalphabet grec des caractegraveres numeacuteriques dont

les formes furent copieacutees sur des copistes ignorant eux le grec

Un de ces imprimeurs produit

pour

crsquoest-agrave-dire

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 18: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 18

DOCUMENT IV6

QUELQUES MOTS SUR LES EacuteLEacuteMENTS DE MESURE

On comprendra sans peine que nous nous en tenions seulement agrave la France et encore faut-il

preacuteciser que si en gros nous avons fait le point au XVIegraveme

siegravecle crsquoest toute une eacutevolution

qursquoil aurait sans doute fallu suivre mais cela aurait immeacutediatement deacutepasseacute le cadre de notre

travail

Les poids

La livre laquo pegravese raquo 16 onces lrsquoonce pegravese 8 gros le gros pegravese 72 grains34

La planche ci-jointe

extraite drsquoun ouvrage du

XVIegraveme

siegravecle figure les

poids utiliseacutes

On trouve donc des petites

plaques (en geacuteneacuteral en

laiton) pour les grains Le

Marc se preacutesente sous

forme drsquoune boite (L)

laquelle enferme des

godets emboicirctables E F

G H J K et un couvercle

D Le tout pegravese 8 onces

On constatera que le jeu

de ces divers laquo poids raquo

permet les eacutevaluations de

grain en grain jusqursquoagrave la

demi-livre

Par ailleurs 100 livres

valent un quintal (ou

quinte)

Si lrsquoon ajoute seulement

que par exemple agrave Paris

la livre de soie nrsquoa que 15

onces on comprendra qursquoil

vaut mieux ne pas

chercher agrave entrer dans le

jeu des exceptions et des

privilegraveges des corpora-

tions hellip

Les longueurs

Une toise vaut 6 pieds un pied 12 pouces le pouce 12 lignes la ligne 6 points

Une lieue de poste (poste agrave chevaux) valait 2 000 toises35

Mais que vaut le pied

34

Agrave la Reacutevolution la livre de Paris fut eacutevalueacutee agrave 4895 g

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 19: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 19

La vieille gravure ci-jointe montre la complexiteacute du problegraveme Il nrsquoy avait pas qursquoun pied

dans le royaume

Pour les eacutetoffes par exemple

il y avait lrsquoaune (119 m) On

usait aussi de la coudeacutee de la

palme (largeur de la main) ou

de lrsquoempan (9 pouces) etc

Les aires

Question De combien le pied

carreacute de Macirccon excegravede-t-il le

pied carreacute de Dijon 36

La

perche (de Paris) valait 9 toises

carreacutees soit un carreacute de 18

pieds de cocircteacute

Lrsquoarpent (de Paris) valait 100

perches Mais la perche des

eaux et forecircts eacutetait un carreacute de

22 pieds de cocircteacute hellip Et il fallait

un acre et demi pour faire une

perche

Les volumes

Il y a le pied cube le pouce

cube

Mais les laquo vinotiers raquo servent

la chopine et la pinte (2

chopines) et ont en cave le

muid (300 pintes)37

Les grains srsquoeacutevaluent en muids

ou en setiers ou en boisseaux

(12 setiers)

Les bois coupeacutes se mesurent en cordes de 2 voies

Les monnaies

Crsquoest lagrave encore plus affaire de speacutecialiste que de suivre lrsquoeacutevolution ne serait-ce que des

monnaies franccedilaises des temps meacuterovingiens au XVIegraveme

siegravecle Les piegraveces ont porteacute des noms

en presque aussi grand nombre qursquoil y eut de lieu ougrave fut battue monnaie Rien qursquoen France

circulegraverent des deniers des oboles des gros des agnels des mailles des doubles des francs

des carolus des blancs des florittes des eacutecus des douzains des testonshellip noms souvent

pittoresques aux origines multiples

Agrave la fin du Moyen- Acircge on peut en gros eacutevoquer le systegraveme suivant pour eacutevaluer les valeurs

35

Agrave la Reacutevolution la toise de Paris fut eacutevalueacutee agrave 1949 m 36

Reacuteponse 22 pouces carreacutes et 111 lignes carreacutees hellip du Roy 37

Agrave la Reacutevolution la pinte de Paris fut eacutevalueacutee agrave 093 1 agrave peu pregraves eacutequivalent eacutetait le laquo litron raquohellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 20: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 20

La livre comporte 20 sols le sol ou sole comporte 12 deniers Il nrsquoexiste plus comme piegravece

que les doubles (deux deniers) et les blancs (5 deniers) Si Charlemagne frappa des deniers

drsquoor Charles IX usa de doubles sols en billon voire en cuivre

Il nrsquoexiste pratiquement pas de piegravece

drsquoune livre Mais on dispose drsquoeacutecus

drsquoargent de 3 livres de demi-eacutecus (30

sols) et de quarts drsquoeacutecu (15 sols) Leacutecu

drsquoor vaut 10 livres

Pile

et

Croix

drsquoun denier drsquoargent

de Louis VI

(deacutebut XIIegraveme

siegravecle)

Eacutecu drsquoor

Philippe VI

(milieu XIVegraveme

siegravecle)

En geacuteneacuteral beaucoup de gens ne

savent que mal compter mais

eacutevaluent leur avoir agrave lrsquoaspect des

piegraveces de monnaie Montaigne lui-

mecircme dit qursquoil laquo ne sait compter ni

agrave ject ni agrave plume raquo38

Mais crsquoest surtout le poids des piegraveces en meacutetal preacutecieux qui en fait sa valeur drsquoeacutechange et pas

seulement drsquoun pays agrave lrsquoautre On comprend alors quagrave cocircteacute des faux-monnayeurs eacutevoluaient

les laquo rogneurs raquo

Testons en argent (10 sols)

Franccedilois ler

(XVIegraveme

siegravecle)

du Dauphineacute

(fleur de lys et

dauphins)

38

Essais II 17 ndashject = jeton compter avec des jetons Voir Eclairs sur le Moyen-Acircge III12 Il serait agrave ce sujet

instructif de relire par exemple dans le theacuteacirctre de Moliegravere les divers comptes que font ses personnages de

Jourdain agrave Argan en passant par Dorante

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 21: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 21

On ne peut ecirctre assureacute qursquoune piegravece ait

eacuteteacute frappeacutee du vivant du souverain

surtout lorsque les laquo faces raquo

apparurent (Louis XII) car apregraves leur

mort il fallait attendre que fut precirct le

laquo coin raquo officiel du successeur

et de Bretagne (eacutecu et hermines)

En ce qui concerne les taux drsquointeacuterecirct on stipulait ceux-ci en denier douze ou denier quinze

crsquoest-agrave-dire que par exemple au denier douze pour douze eacutecus emprunteacutes il fallait en rendre

treize agrave moins qursquoon ne vous en ait precircteacute que onze et que vous ayez ducirc signer un billet de

douze Les rois de France ont en geacuteneacuteral imposeacute un taux officiel pour leurs emprunts variant

du denier vingt au denier seize (soit de 5 agrave 625) Quant agrave lrsquoEacuteglise elle essaya longtemps

drsquoobtenir que soit precircteacute agrave celui qui en avait besoin sans usurehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 22: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 22

DOCUMENT IV7

UN GRAND SCIENTIFIQUE LEacuteONARD DE VINCI

laquo La Joconde raquo laquo LrsquoAnnonciation raquo laquo La Cegravene raquohellip en tout une douzaine de toiles mais

quelles toiles ont suffi agrave rendre ceacutelegravebre cet homme qui se range parmi les plus extraordinaires

de lrsquohumaniteacute

En effet lrsquoeacutetude tardive des multiples notes qursquoil prit toute sa vie reacutevegravele maintenant quelle

est lrsquoampleur de son heacuteritage scientifique Ses notes regroupeacutees en carnets apregraves sa mort

disperseacutees ensuite agrave travers lrsquoEurope font deacutecouvrir non seulement lrsquoincroyable feacuteconditeacute et

la vaste curiositeacute de son esprit mais aussi la rigueur de son observation et sa meacutethode de

travail

On comprendra sans doute le retard mis agrave eacutetudier les papiers de Leacuteonard de Vinci lorsqursquoon

saura que gaucher il eacutecrivait de droite agrave gauche en renversant les caractegraveres Il faut donc le

lire en regardant dans une glace Etait-ce deacutesir de garder secregravetes ses deacutecouvertes

En suivant autant que faire se peut lrsquoeacutevolution chronologique des notes de Leacuteonard de Vinci

on constate que dans un premier temps celui-ci inscrit des reacutesumeacutes de nombreuses lectures

celles-ci suivies drsquoobservations puis que ces derniegraveres se renouvellent se modifient sont

accompagneacutees de critiques deviennent ce que nous appellerions des expeacuteriences et que

toujours dans notre langage des lois sont formuleacutees souvent en opposition agrave la doctrine

aristoteacutelicienne en vigueur

Un siegravecle avant Galileacutee le recours agrave lrsquoexpeacuterience fait avec Leacuteonard de Vinci son apparition

comme meacutethode scientifique cherchant ainsi agrave libeacuterer le savoir de lrsquoautoriteacute des Anciens

voire de la tradition eccleacutesiale

Le grand projet de Leacuteonard de Vinci eacutetait drsquoeacutecrire une encyclopeacutedie du savoir de son temps

Ses notes assorties de nombreux dessins nrsquoen eacutetaient que les eacuteleacutements constitutifs Il ne put

les mettre en forme il ne publia jamais

Il nrsquoest pas totalement surprenant de voir Leacuteonard de Vinci verseacute dans tant de disciplines Les

laquo artistes raquo attacheacutes agrave tel ou tel grand seigneur de cette eacutepoque devaient non seulement

peindre ou sculpter mais se montrer architectes ingeacutenieurs ou entrepreneurs des travaux tant

civils que militaires de ceux qursquoils servaient On ne srsquoeacutetonnera donc pas de savoir que les

peintres ceacutelegravebres du Quattrocento attendaient de leurs eacutelegraveves qursquoils eacutetudiassent et lrsquoanatomie

et les lois de la nature et pour les besoins de la perspective quelques matheacutematiques

Leacuteonard de Vinci poussa ses eacutetudes plus loin que drsquoautres et ne les cessa jamais au cours de

ses deacuteplacements pregraves de ses protecteurs Sforza Este Borgia Meacutedicis pape roi de France

agrave Florence Mantoue Venise Milan Rome et au bord de la Loire ndashougrave il mourut pregraves

drsquoAmboise

Que nous reacutevegravelent donc les manuscrits du peintre

Nous les citerons un peu pecircle-mecircle agrave deacutefaut de bien connaicirctre comment lrsquoesprit du maicirctre

passa drsquoun sujet agrave lrsquoautre Certes certaines de ses notes peuvent constituer un traiteacute de

peinture un traiteacute drsquoanatomie voire une grammaire latinehellip

On a citeacute des plans de machines machine agrave voler quil eacutetudia toute sa vie machine sous-

marine techniques drsquoengrenages moulins agrave vent roues hydrauliques Il reacutealisa des

ameacuteliorations agrave des eacutecluses et agrave des fortifications La suspension laquo agrave la Cardan raquo figure sans

conteste dans certains de ses papiers dont justement il est aveacutereacute que Cardan eut

connaissancehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 23: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 23

DANS LES CARNETS DE LEONARD DE VINCI

Figure 1

Pour accompagner une eacutetude de

balistique

Selon la vitesse initiale la

trajectoire et donc le point de

chute du boulet seront diffeacuterents

On notera lrsquoeacutecriture retourneacutee de

Leacuteonard de Vinci Le long de la

trajectoire ascendante il faut lire

FbSNkp

Figure 2

Projet drsquoengrenages

Doit-on eacutevoquer un dispositif de

changement de vitesse

Figure 3

Un systegraveme de suspension qui

nrsquoest pas sans faire penser agrave

Cardan

Dans la laquo Divina proportione raquo de Pacioli son ami les dessins sont de lui preacutefigurant ses

eacutetudes qui furent regroupeacutees et publieacutees au XXegraveme

siegravecle en un laquo Traiteacute sur la transformation

des figures raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 24: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 24

Polyegravedre convexe semi-reacutegulier on

deacutemontre que les faces si elles ont la

mecircme forme (pentagone) ne peuvent avoir

mecircmes dimensions car leur nombre

deacutepasse vingt (reacutesultat connu de Platon)

Srsquoagit-il drsquoune fiction graphique pour

montrer une illusion drsquooptique et faire

croire agrave la reacutegulariteacute

Mecircme remarque pour le polyegravedre

laquo eacutetoileacute raquo

On admirera la maicirctrise de la figuration

de lrsquoespace

Leacuteonard de Vinci chercha agrave domestiquer la force de la vapeur drsquoeau Il semble qursquoil fut le

premier agrave eacutevoquer les nappes souterraines comme cause des sources et agrave eacutemettre lrsquohypothegravese

des plissements terrestres pour expliquer la preacutesence de fossiles au sommet de montagnes

Eacutegalement des notes drsquooptique de geacuteographie de botanique (lrsquoinsertion en heacutelice des feuilles

sur une branche)

Mais nous retiendrons surtout certaines de ses ideacutees qui montrent tout lrsquoesprit neuf

reacutevolutionnaire apporteacute par Leacuteonard de Vinci

ndash le rocircle du centre de graviteacute en geacuteomeacutetrie les proprieacuteteacutes devenues classiques des droites

concourantes du teacutetraegravedre il eacutecrit laquo Les axes du teacutetraegravedre se coupent en un mecircme point qui

est le centre de graviteacute du teacutetraegravedre raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune certaine inertie des corps en accord avec 1rsquolaquo impetus raquo de Buridan39

laquo Tout

mouvement se maintient en ligne droite tant que dure en lui lrsquoeffort de son moteur raquo

ndash lrsquoideacutee drsquoune eacutegaliteacute entre action et reacuteaction laquo Le corps oppose agrave lrsquoair autant de force que

lrsquoair oppose de force au corps raquo

ndash lrsquoideacutee que les ondes dans lrsquoair et dans lrsquoeau laissent ceux-ci agrave la mecircme place il compare au

mouvement drsquoondulation des eacutepis dans un champ de bleacute

ndash lrsquoideacutee que lrsquoair est compressible et soutient ainsi lrsquooiseau en vol

ndash on trouve enfin cette note de sa main laquo Le soleil est fixe raquo

Depuis le deacutebut du XXegraveme

siegravecle une commission laquo Leacuteonardo da Vinci Sabe raquo srsquoefforce de

recenser de classer et de publier tout ce qui est retrouveacute provenant de cet homme dont la

valeur scientifique est au moins eacutegale agrave la valeur artistique

39

Jean Buridan recteur de lrsquoUniversiteacute de Paris vers 1350 Voir Troisiegraveme partie laquo Le temps des Universiteacutes raquo

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 25: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 25

DOCUMENT Ndeg8

UN CURIEUX PERSONNAGE

On le trouve tant agrave Pavie Milan Bologne Venise qursquoagrave Rome il se nomme Girolamo

Cardano Sa vie (1501-1576) est pleine drsquoincoheacuterences Srsquoy mecirclent le geacutenie et la deacutemence la

vaniteacute et le mysticisme la rigueur de lrsquoobservation et la deacuteloyauteacute envers ses confregraveres Il

enseigna la meacutedecine puis les matheacutematiques on le signale comme ingeacutenieur et comme

astrologue Il fut emprisonneacute pour dettes poursuivi pour heacutereacutesie et pensionneacute par le pape On

parle de la formule de Cardan pour reacutesoudre une eacutequation du troisiegraveme degreacute ce proceacutedeacute est

de Tartaglia40

On parle de transmission meacutecanique agrave la Cardan celle-ci est dans les papiers

de Leacuteonard de Vincihellip Et pourtant son laquo Ars magna raquo (1545) ainsi que les divers papiers41

qursquoil eacutecrivit sont riches drsquoenseignements de toutes sortes

Drsquoun livre paru en 1580 peu apregraves sa mort sous le titre laquo De rerum varietate raquo nous

proposons quelques rapides extraits pouvant illustrer lrsquoœuvre et le personnage

ndash Une figure accompagnant un exposeacute sur les engrenages Si la roue A a 84 dents et la roue

E 7 dents la roue E tourne 12 fois plus vite que le moulin Bhellip

ndash Un appareil pour distiller lrsquolaquo eau

ardente raquo dans les meilleures conditions

40

Cardan recherchait la reacutesolution de lrsquoeacutequation du troisiegraveme degreacute Tartaglia avait deacutecouvert un proceacutedeacute Agrave

force de priegraveres et de tromperies Cardan obtint de Tartaglia communication de la deacutecouverte en promettant de ne

la point reacuteveacuteler Il partit agrave Venise et il la publia 41

Les divers ouvrages publieacutes par Cardan ont nom Commentaires drsquoHippocrate traiteacute de lrsquoimmortaliteacute de

lrsquoacircme arithmeacutetique pratique de la subtiliteacute de la sagesse le courtier de la prudencehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 26: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 26

ndash Une table de sinus

Le laquo sinus rectus raquo est encore la mesure drsquoune demi-corde (en latin sinus crsquoest le pli) le

laquo sinus versus raquo est la mesure de la flegraveche correspondante

bull arc AB

bull sinus droit BC

bull sinus verse CA

Selon lrsquousage de lrsquoeacutepoque la mesure du rayon est de 3600 (nombre

commode pour les divisions fractionnaires) alors pour 30deg le sinus

verse mesure 1800 et pour 45deg 2546

La preacutecision est souvent supeacuterieure agrave 10-3

- Les laquo lignes raquo de la main pour compleacutement

drsquohoroscopehellip agrave moins que ce ne soit

observation meacutedicalehellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 27: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 27

ndash Les livres de matheacutematiques drsquoune bonne bibliothegraveque avec musique et astronomie

ndash Quelques commentaires sur les grandes villes de lrsquoeacutepoque Rome Venise Milan et pour

finir Lutegravecehellip

hellipLutegravece la plus grande ville des Gaules Elle diffegravere peu de notre Citeacute (Rome) En effet elle

est aussi partageacutee par un fleuve la Seine Celle-ci y forme une icircle ougrave la citeacute prit naissance

Sur la (rive) droite de la citeacute est ce qursquoon appelle la Ville (quartier des reacutesidences) sur la

(rive) gauche est lrsquoAcadeacutemie qursquoon nomme lrsquoUniversiteacute Dans les rues de Lutegravece il y a sans

cesse de la boue lrsquoodeur y est abominable lrsquoair insalubre et enfin elle est tregraves populeuse

Tregraves tocirct Cardan a eacuteteacute traduit en franccedilais Degraves 1555 Richard le Blanc deacutedicaccedilait agrave la Duchesse

de Berry sœur du roy sa traduction laquo des livres de Hierome Cardan meacutedecin milannois

intitulez de la subtiliteacute et subtiles inventions raquo

Nous en extrayons ce passage ayant trait agrave la geacuteomeacutetrie

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 28: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 28

Notre langue matheacutematique a bien eacutevolueacute hellip

Il srsquoagit des proprieacuteteacutes

suivantes

ndash la somme des angles drsquoun

polygone de n cocircteacutes

l droit x 2n moins 4 droits soit

2(n-2) droits

ndash la formule de lrsquoaire drsquoun

triangle dont les cocircteacutes

mesurent a b et c

(2p = a + b + c)

Aire = 2

1p (p-a) (p-b) (p-c)

ndash le diamegravetre (d) drsquoun carreacute

crsquoest sa diagonale

Si c est le cocircteacute cd

c

c

cd

ndash Dans un pentagone reacutegulier

ABCDE AF eacutetant la

bissectrice de lrsquoangle DAB

(droite ayant milieu) on a

AB

FB

DB

DF

puisque les triangles DAB et

AFB sont semblables et

isocegraveles DF = FA = AB

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 29: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 29

DOCUMENT IV9

Agrave PROPOS DES MATHEacuteMATIQUES Agrave LrsquoEST DE LrsquoEUROPE AU MOYEN-AcircGE

On peut se demander quelle part eacutetait reacuteserveacutee aux matheacutematiques agrave lrsquoEst de lrsquoEurope et en

particulier chez les peuples slaves

Pour les Slaves catholiques principalement polonais lrsquoinfluence occidentale nrsquoa pas cesseacute

drsquoecirctre preacutepondeacuterante et les documents apparaissent le plus souvent comme traductions de

textes latins

Pour les Slaves rattacheacutes agrave Byzance les manuscrits connus ne reacutevegravelent que tregraves peu de

renseignements sur les matheacutematiques42

La place de lrsquoastronomie est importante dans la science des Slaves et les matheacutematiques au

moins pratiques nrsquoen furent pas absentes mecircme si beaucoup de cosmographies sont

seulement des commentaires de la Bible Nrsquooublions pas Copernic 43

Mais lagrave encore les

conceptions sont diffeacuterentes entre Slaves polonais et byzantins Crsquoest ainsi qursquoau XVIIegraveme

siegravecle les textes utiliseacutes en Russie sont toujours agrave base de theacuteories geacuteocentriques

Partout le problegraveme du calendrier (comput pour fixer la date de Pacircques) a demandeacute aux clercs

utilisateurs des connaissances pratiques de calcul que le deacutecalage de dates apregraves la reacuteforme

greacutegorienne en Occident au XVIegraveme

siegravecle ne rendit pas caduques44

Il faut ici rappeler que

Byzance conserva tout au long du Moyen-Acircge lrsquoeacutecriture et le calcul des nombres selon le

proceacutedeacute populaire grec45

On citera Cyriacus de Novgorod (deacutebut XIIegraveme

siegravecle) qui fit montre

drsquoune bonne technique drsquoopeacuteration sur les grands nombres Pour cet auteur qui se pencha sur

le problegraveme de lrsquoinfiniment petit et de lrsquoinfiniment grand le temps serait composeacute de

particules indivisibles

42

Il existe encore beaucoup de bibliothegraveques en Turquie et en Russie par exemple dont lrsquoavoir est peu reacuteveacuteleacute En

eacutevoquant lrsquoeacutecole byzantine on peut citer le nom de Manuel Moschopulus qui veacutecut au XIVegraveme

siegravecle et semble

ecirctre celui qui introduisit en Europe la notion de laquo carreacutes magiques raquo (originaires de Chine ) soulevant ainsi

nombres de problegravemes srsquoy rapportant tant matheacutematiques que magiques voire mystiques Voir laquo Eacuteclairs sur le

Moyen-Acircge raquo III 43

Nicolas Copernic (1473-1543) chanoine de Frombork en Mazurie polonaise Il avait acquis tant agrave Cracovie

qursquoagrave Bologne et Padoue une vaste eacuterudition humaniste qui lui avait fait connaicirctre maints auteurs anciens

drsquoApollonus de Perga ou drsquoArchimegravede agrave Martianus Capella auteurs ayant eacutemis lrsquohypothegravese que la Terre et les

planegravetes tournaient autour du soleil immobile et ce agrave lrsquoencontre de la theacuteorie de Ptoleacutemeacutee universellement

reacutepandue Pendant vingt ans il confronta donc ses observations agrave la theacuteorie officielle de lrsquoEacuteglise avant que de sur

invitation expresse de son eacutevecircque et laquo contre lrsquoopinion reccedilue des matheacutematiciens raquo oser imaginer laquo quelque

mouvement de la terre raquo Dans cette invitation et dans la reacuteponse de Copernic il est par ailleurs encore malaiseacute

de mesurer la place des informations rapidement cartographieacutees rapporteacutees par les navigateurs du XVIegraveme

siegravecle

Copernic livra son opinion dans le laquo De revolutionibus raquoparu agrave lrsquoheure de sa mort Crsquoest au seacuteminaire de

Tuumlbingen ougrave il eacutetait eacutelegraveve que Kepler fut initieacute agrave lrsquoœuvre de Copernic par un de ses maicirctres Maumlstlin qui en eacutetait

lrsquoardent deacutefenseur 44

La prise de Constantinople par les Turcs va obliger lrsquoEacuteglise orthodoxe agrave proceacuteder elle-mecircme agrave la fixation de la

date de Pacircques 45

Toutefois le grec Maximus Planudes usait au deacutebut du XIVegraveme

siegravecle des symboles indous On pourra consulter

notre brochure laquo Comptes grecs raquo Il vivait agrave Constantinople et mourut en 1340

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 30: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 30

laquo De revolutionibus raquo de Copernic

(exemplaire de la 2egraveme

eacutedition - Bacircle 1566)

Des signes du Zodiaque

(dans un manuscrit slave du XIegraveme

siegravecle)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 31: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 31

DOCUMENT IV10

LrsquoAIRE DU SEGMENT DE PARABOLE

Il ne srsquoagit pas drsquoune traduction drsquoun texte drsquoArchimegravede mais drsquoun scheacutema de la solution de

ce problegraveme avec notre eacutecriture dans lrsquoesprit du geacuteomegravetre de Syracuse

En fait dans les divers manuscrits retrouveacutes concernant lrsquoœuvre drsquoArchimegravede on trouve deux

scheacutemas de deacutemonstration ndashune deacutemonstration par lrsquoabsurde et une par laquo sommation raquondash Les

matheacutematiciens veulent voir dans cette meacutethode dite drsquoexhaustion le premier calcul inteacutegral

de leur histoire

Archimegravede ne sait pas comme nous calculer la somme S des termes drsquoune suite geacuteomeacutetrique

mais il preacutesuppose sa valeur (ici 3

4) Il montre que S ne peut ecirctre ni supeacuterieure ni infeacuterieure agrave

3

4 Pour cela il deacutemontre que les diffeacuterences S -

3

4 et

3

4 - S peuvent ecirctre rendues plus petites

qursquoune valeur fixeacutee agrave lrsquoavance donc par lrsquoabsurde que S =3

4 Crsquoest la meacutethode dite

drsquoexhaustion

Soit le segment de parabole (P) limiteacute par la corde AB Les tangentes en A et B se coupent en

T

Archimegravede deacutemontre que la droite joignant les milieux a de [TA] et b de [TB] est eacutegalement

tangente agrave (P) Il montre aussi que le point de contact C de cette derniegravere est sur la meacutediane TI

du triangle TAB et que C est le milieu de TI (ab parallegravele agrave AB)

[Toutes ces proprieacuteteacutes sont obtenues maintenant par drsquoautres voies que celles utiliseacutees par

Archimegravede lequel faisait appel entre autres agrave un proceacutedeacute que nous ferions relever de la

meacutecanique ou de la notion de barycentre]

Lrsquoaire So du triangle CAB est la moitieacute de lrsquoaire du triangle TAB (Mecircme base et hauteurs

dans le rapport2

1)

Si on envisage le triangle aCA la meacutediane aJ recoupe lrsquoarc AC au milieu D de aJ (la figure

aCA est analogue agrave la figure TBA) aJ est parallegravele agrave TC par suite

DJ = 2

1aJ =

4

1TC =

4

1CI

et Aire triangle (DAC) = 4

1Aire triangle (TAC)=

4

1 Aire triangle (CAI)

D1 eacutetant lrsquointersection de (P) avec la meacutediane du triangle bCB on a de mecircme

Aire triangle (D1CB) = 4

1Aire triangle (CIB)

On approche ainsi lrsquoaire du segment de parabole par lrsquoaire S1 du polygone inscrit ADCD1B

dont 1rsquoaire est eacutegale agrave

S1 = Aire triangle (ACB) + Aire triangle (DAC) + Aire triangle (D1CB)

= S0 + 4

1[Aire triangle (ACI) + Aire triangle (CIB) = S0 +

4

1S0]

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 32: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 32

En reacuteiteacuterant le proceacutedeacute agrave lrsquoaide des tangentes en D et D1 agrave (P) on approche S par lrsquoaire S2 drsquoun

polygone inscrit obtenu en adjoignant au polygone preacuteceacutedent quatre triangles tels que AED

avec

Aire triangle (AED) = 4

1Aire triangle (ADC) =

2

4

1

Aire triangle (ACI)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 33: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 33

Par suite S2 = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0

En continuant laquo agrave linfini raquo ndashet crsquoest lagrave lrsquooriginaliteacute drsquoArchimegravedendash cette inscription de

polygones dans le segment de parabole on est en preacutesence drsquoune suite geacuteomeacutetrique de

raison4

1

Rappelons comme on procegravede agrave la somme des termes de cette suite46

Soit Sn = S0 + 4

1S0 +

2

4

1

S0 + helliphellip +

1n

4

1

S0 +

n

4

1

S0

mais

4

1Sn =

4

1S0 +

2

4

1

S0 +

3

4

1

S0 + helliphellip +

n

4

1

S0 +

1n

4

1

S0

par soustraction membre agrave membre

4

3Sn = S0 -

1n

4

1

S0

Lorsque n augmente indeacutefiniment

1n

4

1

a pour limite zeacutero et Sn lrsquoaire S

Donc 4

3S = S0

ou S = 4

3S0

Aire du segment de parabole eacutegale 3

4 Aire du triangle (ACB)

ou 3

2 Aire du triangle (TAB)

46

Cette meacutethode de sommation de la seacuterie geacuteomeacutetrique apparaicirct chez le franccedilais N Chuquet (vers 1484)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 34: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 34

DOCUMENT IV11

EXTRAITS DrsquoUNE laquo PROBISSIMA MERX raquo DU XVIEgraveME

SIEgraveCLE

Sont preacutesenteacutes ici quelques passages drsquoun des premiers livres drsquoalgegravebre qui furent imprimeacutes

Son titre laquo De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et algebra et almucabala

vulgo dicitur raquo

Son auteur Guillaume Gosselin de Caen

Imprimeacute agrave Paris en 1577 chez Aegidium Beys rue Jacob il est consideacutereacute comme un des

meilleurs ouvrages de cette eacutepoque sur le sujet

Inutile drsquoy chercher des laquo formules raquo Tout est dans le texte eacutecrit les symboles apparaissent agrave

peine plus qursquoune abreacuteviation Pourtant des regravegles opeacuteratoires sont eacutenonceacutees

Par ailleurs il faut se rendre compte que dans une adaptation notre laquo eacutecriture raquo ne peut se

substituer totalement agrave celle de Gosselin car nous nous opeacuterons sur les symboles ce que cet

auteur ne faisait pas

Dans la laquo traduction raquo nous respectons certaines laquo notations raquo

M pour moins P pour plus L pour lrsquoinconnue et Q pour son carreacute En effet le cocircteacute L (latus)

est la racine de Q (quadratus) comme Q est le carreacute de cocircteacute L

I - La soustraction drsquoun nombre neacutegatif

Ce nrsquoest pas encore chose acquise teacutemoin cette critique (justifieacutee) de lrsquoouvrage dun

confregravere [Jean Borrel dit Buteacuteo mort en 1572 lequel semble avoir eacuteteacute le premier en France

agrave avoir introduit des lettres pour repreacutesenter les inconnues]

Si tu retranches M2L (-2x) de P10L

(+10x) le reste sera P12L (+12x) En

cela Buteacuteo se trompe qui retranchant

M3 (-3) de P7 (+7) dit que le reste est

P4 (+4) alors qursquoen reacutealiteacute il reste P10

(+10) Nous avons fait deacutemonstration

de cela dans nos chapitres

drsquoarithmeacutetique

Il ne semble pas que les regravegles eacutenonceacutees soient tregraves explicites Ainsi

Si drsquoun signe M (nombre neacutegatif) tu ocirctes

un signe M il reste une quantiteacute preacuteceacutedeacutee

du signe P ou du signe M Ainsi si de M6L

(-6x) tu retranches M4Q (-4x2) le reste

sera M6LP4Q (-6x + 4x2) mais en

retranchant M2 (-2) de M6 (-6) il reste

M4 (-4)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 35: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 35

II - Un problegraveme avec trois inconnues

Celles-ci sont deacutesigneacutees par les trois lettres A B et D

Partageons 100 en trois parts telles que

la premiegravere avec la deuxiegraveme soit le triple

de la troisiegraveme et la troisiegraveme avec la

deuxiegraveme le quadruple de la premiegravere

Soient ces parts 1A 1B et 1D eacutegales agrave

100 (A + B + D = 100) et comme le dit la

partition 1A1B eacutegalent 3D (A + B =

3D) 1B1D eacutegalent 4A Au lieu de 1A1B

posons 3D on aura 4D eacutegalent 100 et

ainsi je trouve D25 (D = 25) Crsquoest la

derniegravere part Au lieu de 1BM posons 4A

alors 5A eacutegalent 100 soit 1A et premiegravere

part 20 La deuxiegraveme part sera donc

100M25M20 (100 - 25 - 20) qui est 55

III - Dans cet autre problegraveme agrave trois inconnues 1rsquolaquo eacutecriture raquo nrsquoest pas la mecircme Seules deux

inconnues sont deacutesigneacutees lrsquoune par L lrsquoautre par q On notera la transformation des eacutequations

(enlever ajouter)

Cherchons trois nombres tels que le

premier avec le deuxiegraveme deacutepassent le

troisiegraveme de 20 le deuxiegraveme et le

troisiegraveme le premier de 30 le premier et

le troisiegraveme le deuxiegraveme de 40

Soient le premier 1L le deuxiegraveme 1q

alors le troisiegraveme sera 1LP1qM20 (L + q

-20) mais le deuxiegraveme et le troisiegraveme

deacutepassent le premier de 30 par lagrave

1LP2qM20 eacutegale 1LP30 (L+2q-20 =

L+30) Enlevant ce qui deacutepasse et

ajoutant ce qui manque 2q eacutegale 50 soit

1q25 (q = 25) Alors soit le premier

comme avant 1L le deuxiegraveme 25 le

troisiegraveme est donc 1LP25M20 soit 1LP5

Mais le troisiegraveme et le premier deacutepassent

le deuxiegraveme de 40 alors 2LP5 sont eacutegaux

agrave 65 enlevant ce qui deacutepasse 2L eacutegalent

60 ainsi lrsquoinconnue est 30 Le premier

est 30 le deuxiegraveme 25 le troisiegraveme 30P5

cest-agrave-dire 35

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 36: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 36

IV - Problegraveme aboutissant agrave une eacutequation du second degreacute

Partager 12 en deux parts telles que le

carreacute de 1rsquoune avec 1rsquoautre fasse 54

Soit 1L une part lrsquoautre sera 12ML

Ajoutons le carreacute de 1L qui est 1Q agrave

12ML il vient 1QP12ML eacutegale 54 et en

ajoutant L aux deux il vient 1QP12 eacutegale

54PL puis retranchant 12 il reste 42PL

eacutegale agrave Q (42 + x = x2) Cette eacutequation

relegraveve de notre regravegle de reacutesolution

Ajoutons donc le carreacute de la moitieacute de 1

soit 4

1 agrave 42 on obtient

4

169 dont la

racine est 2

13 ajoutons

2

1 moitieacute de 1

coefficient du cocircteacute (latus est lrsquoinconnue

cocircteacute du carreacute) on trouve 2

14crsquoest-agrave-dire 7

qui est la valeur de lrsquoinconnue Alors nous

retranchons ce 1L qui eacutetait 7 de 12

lrsquoautre part est 5 car 12M7 est 5 et on a

bien 49 et 5 font 54

La regravegle (canon) eacutevoqueacutee est la suivante

la racine (il nrsquoen est eacutevoqueacute qursquoune seule) de a + bx = x2 est a

2

b2

+

2

b

(Lrsquoautre racine serait ici -6 Mais Descartes reacutepugnait aussi aux racines laquo sourdes raquo des

eacutequations du second degreacute)

V - Un autre problegraveme du second degreacute

La troisiegraveme regravegle invoqueacutee correspond aux eacutequations de la forme ax = b + x2 On peut

lrsquoeacutenoncer laquo Tu prends le carreacute de la moitieacute de a tu retranches b tu prends la racine du tout

que tu ajoutes agrave la moitieacute de a (Toujours la seule racine positive) raquo

La notation LV deacutesigne le radical de lrsquoexpression qui la suit L ne deacutesigne pas ici lrsquoinconnue

mais a tout son sens de cocircteacute du carreacute Q

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 37: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 37

Partageons 20 en deux carreacutes dont

chaque cocircteacute multiplieacute lrsquoun par lrsquoautre

donne 8 Soit la premiegravere part 1Q la

seconde sera 20M1Q multiplions les

racines de celles-ci soit LV20QM1QQ

eacutegale 8 8xx20 22 En eacutelevant au

carreacute 20QM1QQ eacutegale 64 ajoutons 1QQ

aux deux (membres) 20Q eacutegale 64P1QQ

Ainsi apparaicirct une eacutequation relevant de la

troisiegraveme regravegle En opeacuterant selon celle-ci

tu auras 4 et 16 pour valeur des

inconnues lesquelles sont des carreacutes

Donc un des carreacutes qui sont dans 20 est 4

lrsquoautre 16 dont le produit des racines

donne bien 8

Les textes en latin sont la reproduction drsquoun exemplaire du livre de Gosselin conserveacute agrave la

bibliothegraveque municipale drsquoAuxerre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 38: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 38

DOCUMENT IV12

ET LE CALCUL

Tout au long de ces pages nous avons essayeacute drsquoeacutevoquer plusieurs aspects des matheacutematiques

au cours du milleacutenaire eacutetudieacute Mais qursquoen fut-il du calcul Comment comptait-on Ce serait

toute une fort longue histoire agrave conter Mais nous ne lrsquoeacutetudierons ici que tregraves briegravevement

LrsquoAntiquiteacute avait laisseacute en heacuteritage presque exclusivement lrsquoabaque et ses deacuteriveacutes planche agrave

calcul (poussiegravere ou sable) boulier jetons Le calcul agrave la plume qui neacutecessitait de savoir tenir

la plume et de disposer de papier ne prit que lentement place dans la vie usuelle apregraves la

vulgarisation du papier lorsque son prix baissa suffisamment et que lrsquoOccident nrsquoeut plus agrave

lrsquoacheter dans les pays de lrsquoIslam

La disposition des opeacuterations dont nous sommes familiers est loin drsquoecirctre celle du Moyen-Acircge

Sans entrer dans les deacutetails nous proposons agrave titre drsquoexemple quelques dispositions releveacutees

dans des manuscrits ou dans les tout premiers livres laissant au lecteur le plaisir de chercher

les justificationshellip

Addition

Maximus Planudes au XIVegraveme

siegravecle eacutecrit en

suivant une meacutethode inspireacutee des Arabes

(517 + 243)

(on commence par la gauche)

76

750

517

243

Gemma Frisius au deacutebut du XVIegraveme

siegravecle

(255 + 376)

(on commence agrave droite)

255

376

11

12

5___

631

Soustraction

Encore Planudes (3517 - 848)

2669

3517

848

111

Duplication et Dimydicion (ou meacutediation)

Les plus anciens manuscrits tels laquo The Crafte of Nombrynge raquo (manuscrit anglais vers 1300)

citent ces deux opeacuterations avant la multiplication Elles consistent agrave doubler un nombre ou agrave

le partager en deux (parties eacutegales srsquoil est pair diffeacuterant drsquoune uniteacute srsquoil est impair) Cette

opeacuteration eacutetait aiseacutee sur le boulier et ne demande pas grande meacutemoire agrave la plume

On voit de suite le rocircle de la duplication dans

la premiegravere forme de multiplication (Stifel et

maints ouvrages du XVIegraveme

siegravecle) (19 x 23)

1

2

16

23

46

368

92

184

(tout nombre est somme de puissances de 2) 19 437

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 39: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 39

La meacutediation apparaicirct dans une seconde

meacutethode

(41 x 49)

(ab = 2a

2

1b+ a)

41

20

10

5

2

1

49

392

1568

98

196

784

2009

Dans lrsquolaquo Arithmeacutetique de Treacutevise raquo de 1478

on trouve la multiplication sous la forme

suivante

(934 x 314)

On peut opeacuterer dans nimporte quel ordre

Ailleurs (agrave un quart de tour pregraves) cela

devient

934

314

puis en inteacutegrant les retenues partielles 2802

0934

3736

293276

Notre disposition en deacutecoule

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 40: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 40

Division

Crsquoest une opeacuteration deacutelicate Les premiers imprimeurs ont fourni agrave son sujet des tables de

partage des laquo comptes faits raquo et cela pour longtemps Lrsquoun drsquoeux nous est bien connu il

srsquoappelait Franccedilois BARREcircMEhellip

Fibonacci (XIIIegraveme

siegravecle) puis Planudes opeacuteraient par la meacutethode laquo de la galegravere raquo Ce dernier

nous dit qursquoelle est laquo tregraves difficile agrave reacutealiser sur le papier avec de lrsquoencre mais aiseacutee sur le

sable ougrave lrsquoon peut effacer un chiffre avec le doigt et le remplacer par un autre raquo Il faut croire

que la meacutethode avait quand mecircme du bon on la retrouve encore au XVIIIegraveme

siegravecle Leibniz

srsquoen servait

Nous reproduisons lrsquoune drsquoelle retrouveacutee sur un papier du XVIIegraveme

siegravecle

Il srsquoagit de diviser 181582 par 518

(On notera les graphies du 5 et du 8)

On deacutecrit le diviseur 518 sous 1815

On retranche (3 x 5) de 18 il reste 3

puis apregraves avoir barreacute 1 8 et 5 on

retranche (3 x 1) de 31 il reste 28 on

barre 3 1 1 puis on retranche (3 x 8)

de 285 il reste 261 on barre et on

recommence avec 518 en dessous de

268 etchellip

On notera que le calculateur en enlevant (5 x 8) de 68 trouve 30hellip Il srsquoest du reste arrecircteacute lagravehellip

Qursquoeacutetait-il alleacute faire dans cette galegravere

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 41: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 41

DOCUMENT IV13

DE VIEILLES HISTOIRE DES MATHShellip

Au deacutebut de son laquo Arithmeacutetique raquo -dateacutee de 1586- Leacuteon drsquoAnvers47

fait meacutemoire des

laquo Geacuteomeacutetriens et Arithmeacuteticiens raquo qui lrsquoont preacuteceacutedeacute Nous reproduisons lrsquoessentiel de ces

pages Cela se preacutesente sous la forme drsquoun dialogue entre le disciple et son maicirctre

47

Leacuteon drsquoAnvers une arithmeacutetique du XVIegraveme

siegravecle IREM de Dijon et voir document IV14

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 42: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 42

On constate qursquoil srsquoagit de listes aussi exhaustives que les moyens de lrsquoauteur le lui

permettaient

Certains noms nrsquoont pas laisseacute de traces de nos jours Pour drsquoautres les voisinages nous

eacutetonnent

Diccarchus Diccarque fut geacuteographe et philosophe vers -300

Eleaus est-ce Zeacutenon drsquoEacuteleacutee (-Vegraveme

siegravecle)

Timosthene Deacutemosthegravene

ndash Dans lrsquolaquo aage anteacutepeacutenultiesme raquo

Isidore (de Seacuteville) VIIegraveme

siegravecle Boegravece VIegraveme

siegravecle Villa Dei Nemorarius Jordanus fut

geacuteneacuteral des dominicains en 1222

Sacrobosco traducteur de science arabe XIIIegraveme

siegravecle

Begravede VIIIegraveme

siegravecle

La Margarite philosophique fut publieacutee en 1503 par Reisen citeacute dans laquo Ceulx de nostre

temps raquo

ndash De mecircme au laquo peacutenultiegravesme aage raquo

Paccioli est mort en 1509 et Albert le Grand en 1280 Campanus (de Novare) est du XIIIegraveme

siegravecle et Bouillus (Charles de Bouelle) deacutebut XVIegraveme

siegravecle

Fernelius qui le premier mesura entre Paris et Amiens un degreacute de meacuteridien avec une

eacutetonnante preacutecision fut meacutedecin de Henri II et Dasypodius qui calcula lrsquohorloge astronomique

de la catheacutedrale de Strasbourg ne mourra qursquoen 1600hellip siegravecle ultime ecirctre

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 43: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 43

DOCUMENT IV14

PROMENADE Agrave TRAVERS LES RAYONS DE SCIENCES DrsquoUNE laquo LIBRAIRIE raquo

Reacutetrospective

Souvent les bibliothegraveques des villes de province eacuteloigneacutees des universiteacutes renferment de

preacutecieux ouvrages qursquoun amateur peut exploiter sans peine et avec grand profit

Le preacutesent document a eacuteteacute reacutealiseacute agrave lrsquoaide des ouvrages de la seule bibliothegraveque municipale

drsquoAuxerre

Voici quelques teacutemoins se rapportant agrave notre eacutetude des deacutebuts de lrsquoimprimerie scientifique Il

ne srsquoagit que de mettre agrave la disposition du lecteur des documents assez peu reacutepandus afin que

celui-ci srsquoimagine

laquo Dedans Paris ville jolie

un jour passant meacutelancolie raquo 48

en eacutechoppe de libraire rue des francs bourgeois Saint Michel ou au second pilier de la grand

salle du Palais butinant pages en livres de sccedilavoir voisinants beaux oeuvres de Marot

Ronsard et Rabelais lors qursquoHenri ou Franccedilois de Valois regravegne sur le pays

48

Deacutebut drsquoun poegraveme de Cleacutement Marot agrave Anne drsquoAlenccedilon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 44: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 44

Premier teacutemoin un incunable

Dans lrsquoengouement assez naturel pour une nouveauteacute prometteuse un peu tout ce qui tombait

sous la main de lrsquoimprimeur eacutetait eacutediteacute

Ici agrave Venise on disposait drsquoun manuscrit attribueacute agrave Boegravece 49

en tant que traducteur drsquoune

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide Une eacutetude moderne reacuteveacutela que cela eacutetait faux et qursquoil ne sagissait que

drsquoune compilation du haut Moyen-Acircge

On y trouve des reacutesultats et quelques exemples de calculs

Dans un triangle qui a un angle droit que

nous appellerons rectangle le carreacute

construit sur le cocircteacute opposeacute agrave lrsquoangle droit

est eacutegal aux deux carreacutes construits sur les

cocircteacutes de lrsquoangle droit

Suit la figure les angles ne sont pas tous

droitshellip les carreacutes non plus Les droites

accessoires rappellent certes la

deacutemonstration (par eacutequivalence drsquoaires)

mais celle-ci ne figure pas (est-elle

perdue )

Sans doute le dessinateur et le graveur ne

savaient-ils pas lire et le laquo producteur raquo

nrsquoeacutetait pas exigeant

Plus loin lrsquoarticle sur le cercle De circulo Rubrico

50

49

Homme drsquoeacutetat philosophe poegravete et matheacutematicien perseacutecuteacute puis exeacutecuteacute en 524 agrave Pavie par le roi visigoth

Theacuteodoric dont il avait eacuteteacute ministre 50

Crsquoest nous qui avons souligneacute les mots citeacutes dans le texte

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 45: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 45

Il est seulement dit

Si on donne un cercle de 44 pieds de circonfeacuterence alors le diamegravetre mesure 14 pieds Quant

agrave lrsquoaire on lrsquoobtient en multipliant la demi circonfeacuterence soit 22 par le demi diamegravetre 7 donc

154

Et crsquoest tout pour le cercle

On remarquera aussi combien

lrsquoeacutecriture des nombres est peu

assureacutee

Le texte sur les calculs relatifs au

triangle isocegravele parle de la mesure

des cocircteacutes eacutegaux 25 ou XXV La

mesure de la base quatorze

(quatuordecim) et la demi-base

(medietas basis) 7 La hauteur

(cathetum) mesure XXIIII

On utilise le theacuteoregraveme de la

geacuteomeacutetrie drsquoEuclide (Pythagore )

XXV au carreacute DCXXV

moins XLVIIII

crsquoest D76

Lrsquoaire vaut VII fois 24 soit 168

Mais on lira la figure

un cocircteacute 25 lrsquoautre 52

comme la hauteur 42

et lrsquoaire CLX8hellip

(inversion des caractegraveres)

Il est vrai qursquoagrave la page suivante du mecircme ouvrage 784 est eacutecrit D200 84

(On pourra se reporter au document ndeg 5 concernant les varieacuteteacutes des eacutecritures des nombres)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 46: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 46

1506 - Carolus Bovillus

Le Picard Charles Bouelle professeur de theacuteologie agrave Noyon eacutecrivit divers ouvrages de

matheacutematiques Nous avons releveacute deux passages de ceux-ci

Bouelle eacutecrit laquo On sait partager une ligne droite en deux parties eacutegales Euclide lrsquoa

deacutemontreacute mais comment partager en plusieurs parties eacutegales raquo

Il propose alors avec justification une meacutethode Peut-on agrave son sujet parler de reacutecurrence

Pour diviser en cinq parties eacutegales on eacutelegraveve aux extreacutemiteacutes ab du segment deux

perpendiculaires elles-mecircmes partageacutees en quatre parties eacutegales et on megravene les parallegraveles

eacutequidistantes Or pour diviser en quatre parties eacutegales on peut utiliser le mecircme proceacutedeacute avec

des perpendiculaires partageacutees en trois et pour partager en troishellip

Il termine

laquo Si en sept la ligne donneacutee doit ecirctre partageacutee de mecircme sur les cocircteacutes on divise en six raquo

Et ita deincepshellip

Ailleurs Bouelle preacutesente un proceacutedeacute pour effectuer une multiplication Ce proceacutedeacute vient on

le sait maintenant des Arabes (Il preacutecegravede les baguettes agrave multiplier de Napier)

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 47: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 47

Pour multiplier 144 par 2324 on dresse un rectangle de 5 cases sur 4 Les nombres sont eacutecrits

dans les cases marginales un chiffre par case Les autres cases sont coupeacutees par des

diagonales parallegraveles 4 fois 4 eacutegale 16 on eacutecrit le produit dans la case intersection de la ligne

et de la colonne correspondantes uniteacutes en bas dizaines en haut De mecircme 2 fois 4 3 fois 4

(Peu importe lrsquoordre des opeacuterations du reste) Ensuite on additionne selon les diagonales le

reacutesultat srsquoeacutecrit agrave lrsquoexteacuterieur du rectangle Il y a place pour les retenues Ainsi 144 x 2324 =

334 656

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 48: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 48

Tout est expliqueacute et justifieacute dans le texte hellip mais encore en latin dans cet ouvrage Mais le

public ne lisant pas ou mal le latin commence agrave inteacuteresser les imprimeurs-libraires Aussi

trouve-t-on des ouvrages dans lesquels langue vernaculaire et latin voire grec se cocirctoient

Un curieux ouvrage de 1529 en teacutemoigne

Son nom laquo Champfleury raquo son auteur un certain Tory On y trouve de tout En effet beaucoup

couchent sur le papier tout leur savoir grand ou modeste Ces livres furent certainement utiles

agrave ceux qui sachant juste lire et eacutecrire avaient soif des connaissances que le livre reacutepandait

Relevons ici ce passage de deacutefinitions de geacuteomeacutetrie Latin et grec ne sont-ils pas lagrave comme

garantie

51

Crsquoest alors qursquoun deacutesir de mieux remonter aux sources qursquoune recherche plus pousseacutee

appelegraverent lrsquoimpression de livres au texte plus rigoureux Crsquoest ainsi qursquoen 1573 paraicirct agrave

Paris chez Hieronymum de Marnef agrave lrsquoenseigne du Pellican un laquo Euclide raquo en latin et en

grec qui veut livre par livre donner lrsquoenseignement du geacuteomegravetre grec On y trouve des

deacutefinitions des problegravemes ndashen grec puis en latin theorema Crsquoest un livre de theacuteoregravemes ces

theacuteoregravemes qursquoon apprenait par cœur Aucune deacutemonstration nrsquoy figure crsquoest une sorte drsquoaide

meacutemoire de qualiteacute

51

Il srsquoagit de Charles Bouelle dont nous venons de parler

ndashAulu Gelle eacuterudit latin du IIegraveme

siegravecle La citation faite ici paraicirct inconnue

ndashMarcus Terentius Varro mort en 28 avant Jeacutesus-Christ eacuterudit latin auteur drsquoun laquo De Mensuris raquo source de

compilations

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 49: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 49

Des deacutefinitions

Le losange (Rhombus) est le quadrilategravere

aux cocircteacutes eacutegaux mais qui nrsquoest pas rectangle

Les autres quadrilategraveres sont appeleacutes

trapegraveze hellip

Un theacuteoregraveme

Le theacuteoregraveme de Pythagore

On remarquera la numeacuteration litteacuterale

grecque52

λ = 30 β = 2 λ β = 32

δ = 4 λδ = 34

μ = 40 ζ = 7 ζμ = 47

Les petits dessins en forme de pampre de vigne qui sont lagrave pour meubler les blancs des

figures sont les premiegraveres laquo vignettes raquo Elles furent ensuite utiliseacutees par les imprimeurs en

fleuron ou en cul-de-lampe (vintildeeta en espagnol) Le mot glissa ainsi vers son usage actuel

Dans le mecircme temps du retour aux sources pour gens de sccedilavoir bourgeois et commerccedilants

voulurent srsquoinstruire ou du moins faire instruire leurs enfants et successeurs En effet le livre

avait eacuteteacute drsquoabord un appel agrave apprendre agrave lire qui maintenant portait ses fruits Ce sont alors

des livres de pratique qui virent le jour Livres dans lesquels il est surtout question de

meacutethodes Apregraves un exposeacute de celles-ci suivent beaucoup drsquoexemples pratiques Ce modegravele

se perpeacutetuera longtemps telles jusqursquoau XXegraveme

siegravecle les laquo arithmeacutetiques raquo de

lrsquoenseignement primaire

Teacutemoin ce livre polylingue en latin flamand et franccedilais laquo De lrsquoarithmeacutetique de Eduard Leacuteon

natif de Leeuwarden en Frise citoien drsquoAnvers et a preacutesent maistre drsquoEscole agrave Harlem en

Hollande raquo imprimeacute en 1586 il reacutepond aux besoins des riches citeacutes flamandes et rheacutenanes53

On notera au passage la devise de lrsquoauteur laquo Fide sed vide raquo (Crois mais vois)

Nous avons extrait trois problegravemes Des symboles commencent agrave apparaicirctre une langue

algeacutebrique naicirct

52

Voir notre brochure laquo Numeacuterations eacutecrites raquo IREM de Dijon 53

Une brochure de lrsquoIREM de Dijon lui est consacreacutee

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

Page 50: éclairs sur le Moyen-Age II

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 50

laquo raquo est lrsquoinconnue laquo raquo son carreacute

laquo raquo est le signe moins il nrsquoy a pas de signe pour lrsquoeacutegaliteacute Lrsquoaggregat est la somme quant

agrave la laquo cofs raquo (lire coss) crsquoest lrsquoalgegravebre la science de la laquo chose raquo54

On notera ici la laquo regravegle de trois raquo preacutealable pour eacutevaluer lrsquoeacutequivalence des frais pour 170

draps par rapport agrave ceux pour 70 draps et la simplification par dix (les zeacuteros barreacutes) On payait

souvent le transport en nature agrave cette eacutepoque

Second degreacute

54

On consultera nos brochures laquo Eacutegale zeacutero raquo et laquo Choses drsquoAlgegravebre raquo IREM de Dijon

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 51

Au deacutebut de ces laquo Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge raquo nous avons eacutevoqueacute le rocircle joueacute tout au long de

lrsquoeacutepoque envisageacutee par les laquo Etymologiae raquo Au terme de la promenade dans notre librairie

voici lrsquoeacutedition de 1580 de livre drsquoIsidore de Seacuteville premiegravere page (reacuteduction) et articles

eacutetudieacutes dans la premiegravere partie (il nrsquoy a plus de figures) On comparera

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 52

Mais les premiegraveres eacuteditions scientifiques ne se limitaient pas agrave arithmeacutetique algegravebre et

geacuteomeacutetrie Agrave fin de preuve nous joignons ici quelques autres reproductions prises dans des

ouvrages contemporains des preacuteceacutedents

En franccedilais dans un

ouvrage de 1556

consacreacute aux

poissonshellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

philosophica raquo une

encyclopeacutedie de poche

(format 21x15) cette

planche drsquoanatomie hellip

Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 53

Dans un autre

laquo De natura

aquatica raquo en

latin de 1558

De la laquo Margarita

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Eacuteclairs sur le Moyen-Acircge IV Agrave la naissance de lrsquoimprimerie - 54

hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip

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hellip et cette explication des eacuteclipses

On remarquera qursquoici les caractegraveres sont gothiques

Le texte est en latin

Bien entendu la Terre est fixe et le Soleil comme la Lune tournent en cercle autour drsquoelle

Mais ceci est une autre histoirehellip


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