複素解析演習　第8回（コーシーの積分公式）演習問題

1. 積分路Cが |z| = rで表される曲線上を正の向きに一周する閉曲線であるとき，次の各 rの値について∫C

ez

z − 2dz

の値を求めよ．

(1) r = 1 (2) r = 3

2. 積分路 C が |z| = 2で表される曲線上を正の向きに一周する閉曲線であるとき，次の各複素積分の値を求めよ．

(1)

∫C

ez

z2 − 4z + 3dz (2)

∫C

ez

z2 − 1dz

3. 積分路 C が |z| = 2で表される曲線上を正の向きに一周する閉曲線であるとき，1

2πi

∫C

ezt

(z2 + 1)2dz につい

て次の各問いに答えよ．ただし，tは実数とする．

(1)1

(z2 + 1)2=

a

z − i+

b

z + i+

c

(z − i)2+

d

(z + i)2と部分分数展開するとき，a，b，c，dの値を求めよ．

(2) 上記の複素積分の値を求め，x+ i yの形で表せ．