自动控制原理》第二章线性系统的数学模型长安大学...

《自动控制原理》第二章线性系统的数学模型

1

长安大学教案第 3 次课教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□

主要教学内容（注明：* 重点 # 难点）：

§2-0数学模型概述

§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述（*）

一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数

二、建立输入—输出时间函数描述的方法

三、线性元件的微分方程

四、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式

五、线性系统微分方程的求解

§2-2线性系统的输入－输出传递函数描述（*）

一、传递函数

二、传递函数的求取方法

三、电气网络传递函数的求取

四、脉冲响应与传递函数

教学目的要求：

一、掌握数学模型的概念，以及控制理论中数学模型描述方法；

二、掌握线性系统的输入－输出时间函数描述方法；

三、掌握用机理分析法（解析法）建立数学模型的方法与步骤；

四、掌握传递函数的定义、性质、局限性和求解方法；

五、掌握用复阻抗法求电网络的传递函数。

教学方法和教学手段：

教学方法：讲授

教学手段：板书与多媒体相结合

讨论、思考题、作业：

习题：2-1，2-3


2

参考资料：

① 胡寿松. 自动控制原理: 第 5版. 北京：科学出版社，2007

② 邹伯敏 .自动控制理论 : 第 3版. 北京：机械工业出版社，2007

③ (美)R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control Systems: Tenth Edition. 英

文影印版. 北京：科学出版社, 2005

④ 胡寿松. 自动控制原理习题集: 第 2版. 北京：科学出版社，2003

注：教师讲稿附后

第二章线性系统的数学模型

2-0 控制系统的数学模型概述

2-1 线性系统的输入－输出时间函数描述

2-2 线性系统的输入－输出传递函数描述

2-3 非线性数学模型的线性化

2-4 典型环节的数学模型

2-5 建立数学模型的实验方法简介

2-6 框图及化简方法

2-7 信号流程图

2-8 控制系统的传递函数

2-9 用 Matlab 处理控制系统的数学模型

主要内容

1、数学模型的概念及种类。

2、系统微分方程的列写与求解。

3、非线性微分方程的线性化。

4、传递函数的概念及典型环节的传递函数。

5、动态结构图及其等效变换。

6、信号流图与梅逊公式及其应用。

7、用 Matlab处理控制系统的数学模型。

重点

1、系统微分方程的列写。


2

2、传递函数的概念及典型环节的传递函数。

3、由动态结构图或信号流图求传递函数。

4、用梅逊公式求传递函数。

难点

微分方程的列写与求各种传递函数

§2-0控制系统的数学模型概述

为了使所设计的自动控制系统能满足性能指标要求，须对系统的过度过程在理论上进行

分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来，

再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。

模型—客观实际物体的代表。如电机模型，机械零件模型等。

几何模型—几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型）

模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型。

数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变

量之间的关系的代数方程。

静态数学模型—在静态条件下（即变量各阶导数为 0），描述变量之间关系的代数方程。

动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。

常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号

流图、脉冲响应函数、频率特性等。

用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应

全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。

一、控制理论中控制系统模型的描述方法

• 时域：微分方程、差分方程、状态方程

• 复域：传递函数、动态结构图

• 频域：频率特性

微分方程是输入输出描述，又称端部或外部描述；

差分方程用来描述采样控制系统；


3

传递函数、动态结构图等也是端部或外部描述，由微分方程导出；

频域特性是传递函数为基础的又一图解法；

状态方程是内部描述，不仅描述输入输出关系，还描述内部特性；

二、为什么要建立控制系统的数学模型？

1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要；

2、是寻找一个较好的控制规律的需要

三、什么是控制系统的数学模型？

描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式。

四、如何建立数学模型？

1、提出合理的假设，忽略次要因数，抓住本质。

2、建立恰当的数学描述

3、非线性环节的处理

五、实际工程应用中建立模型的一般步骤：

1、把各部件尽可能地作线性化处理；

2、建立线性化的系统模型（近似模型）；

3、求系统的近似特性；

4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。

六、建立控制系统数学模型的一般方法

1、机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，按照它们遵循的物理规律、化学

规律列出各物理量之间的数学表达式，建立起系统的数学模型。

2、实验辩识法：对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响

应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。

§2-1线性系统的输入－输出时间函数描述

一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数

建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件。

二、建立输入—输出时间函数描述的方法

（1）确定系统的输入量和输出量；

（2）分析系统的工作原理，作合理的假设；

（3）根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程；

（常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律）


4

（4）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程；

三、线性元件的微分方程

列写方法：

（1）确定元件的输入、输出变量。

（2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。

（3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。

（4）标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各项放在等号左

边，各阶导数按降幂排列。

例 2-1-1：弹簧阻尼系统，图中质量为 m 的物体受到外力 F 的作用，产生位移 y，求该

系统的输入-输出

解：（1）分析物体 m的受力情况，假设 k为常数、f为常数;

（2）输入量为 F，输出量为 y;

（3）根据牛顿定律列写方程

, ,k f k f

dyF F F F ma F ky F f

dt

（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程

2

2

d y d ym f k y F

d t d t

例 2-1-2：如图为两个形式相同的 RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为 u,求电

容 C2两端电压 uc为输出的微分方程

解:（1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器，电容也是理想的电容器；

（2）输入量为 u，输出量为 uc；


5

（3）根据基尔霍夫定理列写方程

节点方程：

11 2 1

dui i C

dt

1 1 1u i R u

回路方程：

1 2 2 Cu i R u

2 2cdu

i Cdt

（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 22( )c c

c

d u d uR C R C R C R C R C u u

d t d t

例 2-1-3：下图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元，试写出在输入转矩 M(t)作用

下转惯量为 J的物体的运动方程，输出量为角位移

u(t)

k

M(t)

f

r

R

u(t)C c

F(t)

fx(t)

m

k

J

1

1

i(t)

θ

解：弹簧的阻力与角位移成正比，阻尼器的阻力与角速度成正比

2

1 1 2

( ) ( )( ) ( )

d t d tM t k t f J

d t d t

即：

2

1 12

( ) ( )( ) ( )

d t d tJ f k t M t

d t d t

例 2-1-4：下图为一台直流他励电动机，L、R 分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设

励磁电流恒定不变，试建立在机转轴的运动方程 ru (t)


6

解：反电动势

( ) ( )a eE t C t

eC --电动势常数

控制回路方程

( )( ) ( ) ( )a

a a r

di tL Ri t E t u t

dt

电机输出扭矩

( ) ( )m aM t C i t

mC --转矩常数

转矩方程

( )( ) C

d tM t M J

dt

2

1 12

( )( ) ( )( ) ( ) ( )c

m m u r m c

dM td t d tTT T t K u t K T M t

dt dt dt

式中：

1

1 mm u m

e m e

TL JRT T K K

R C C C J

恒转矩负载时有：

2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )m m u r m c

d t d tTT T t K u t K M t

dt dt

例 2-1-5：速度控制系统


7

1．运放Ⅰ： )()( 1

1

21

2

1

11

fgfg

fguuKuu

R

Ru

R

u

R

u

R

u

2．运放Ⅱ： )()( 11

211

3

3

42

4

21

3

1 udt

duKu

dt

ducR

R

Ru

R

u

dt

duc

R

u

3．功放： 23uKua

4．电机： )(2

2

c

c

amaumma Mdt

dMTKUK

dt

dT

dt

dTT

5．测速机： ff Ku

最后合并上述方程有：

dt

dT

dt

dTT mma 2

2

)()()( 123123 cc

amfug

g

u Mdt

dMTK

dt

dKKKKKu

dt

duKKKK

令 ffuu KKKKKKKKKKKKK 1230123 ,

则有:

dt

d

K

KT

dt

d

K

TT mma

0

0

2

2

0 11 )(

1)(

1 00

c

c

a

m

g

gM

dt

dMT

K

Ku

dt

du

K

K

可见：既与 gu 有关又与 cM 有关。

（1）当 gu 为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统, cM 一般不变：

)(111 00

0

2

2

0

g

gmma udt

du

k

K

dt

d

K

KT

dt

d

K

TT

（2）当 gu 为常值， cM 为变化量，系统为恒值调速系统：

_

+ uf

+

ug

功率

放大

T

G

G

负载 R1

R2

R3 R3

R4

_ _ +

ua

_ M

R1

u1

C

u2


8

四、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式

先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。

五、线性系统微分方程的求解

建立微分方程的目的之一是用数学方法定量研究系统的工作特性，给出 r(t)，分析 c(t)，

也就是解微分方程。可用经典法、拉氏变化法或计算机求解。其中拉氏变化法可将微积分运

算代数运算，且可查表，简单实用。

步骤：

（1）将系统微方进行拉氏变换，得到以 s 为变量的代数方程，其初始值取系统 t = 0时

的对应值。

（2）解代数方程，求出 c(s)表达式。

（3）将 c(s)展开成部分分式。

（4）进行拉氏反变换，即得微方的全解 c(t)。

例 2-1-6：RC 网络，K 闭合前 C上有 )(0 UU ,求 K 闭合后的 )(tU c 。

UC

R

i cu

K

解：K 闭和瞬间， )(1 tUui

)(1 tUudt

duRC c

c ，

则:

s

UsURCUsRCsU cc )()( 0

则:

1

1 11

1

0 1 11

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

m m

m mm m

d d dc t a c t a c t a c t

d t d t d t

d d db r t b r t b r t b r t

d t d t d t


9

RCs

U

RCs

U

s

UU

RCs

RC

RCss

UsU c 111)1()( 0

0

RC

t

RC

t

c eUUeUtu

0)(

稳态解零状态解零输入解暂态解

§2-2线性系统的输入－输出传递函数描述

用拉氏变换求解微方，虽思路明确，简单实用。但如果系统参数改变，特征方程及其解

都会随之改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次计算，方程阶次愈高，

计算工作量越大，故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具，也是

经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始

条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。

一、传递函数

1、传递函数的基本概念

定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入

量的拉氏变换之比。零初使条件是指当 t≤0时,系统 r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。

G(s)R(s) C(s)

则 ( )

( )( )

C sG s

R s

以下图所示的RC 网络为例，列些系统的传递函数。

由基尔霍夫定理有:

rc

c uudt

duRC

设 0)0( cu ，则有

)()()1()()()( sUsURCssUsUsRCsU rcrcc


10

)(1

1)( sU

RCssU rc

，其中 )(sU r 随 )(tur 形式而变，而

1

1

RCs完全由网络的结构及

参数确定。

令

1

1

)(

)()(

RCssU

sUsG

r

c

则有

).()()( sUsGsU rc

若 )(sU r 不变，则 )(sU c 不变，所以 )(sU c 的特性完全由 )(sG 的形式与数值来决定，且 )(sG

将 )(sU r 传到了 )().( sGsUc 反映了系统自身的动态本质，表达了传递信号的性质和能力，

故称它为 RC 网络的传递函数。

2、传递函数的一般形式

设线性定常系统的微方一般形式为：

1 1

0 1 1 0 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d c t d c t dc t d r t d r t dr ta a a a c t b b b b r t

dt dt dt dt dt dt

当初始条件为零时有：

)(][)(][ 1

1

101

1

10 sRbsbsbsbscasasasa mm

mm

nn

nn

则:

nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sR

sCsG

1

1

10

1

1

10

)(

)()(

js 为复数， )(sG 是复变量 s 的函数，故称为复放大系数。

可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c(t)有关的项为分母，与 )(tr 有

关的项为分子。

①零、极点表示法：

' 1 ' '10 1 1 1 2

1 1' 1 ' '

0 1 1 1 2

1

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

m

jm mjm m m

nn n

n n ni

i

s zb s b s b s b s z s z s z

G s K Ka s a s a s a s p s p s p

s p

其中，当 jzs 时，G(s)=0. jz 为传函的零点；当 ips 时，G(s)= , ip 为传函的极点；


11

而0

0

1a

bK ——传递系数。（根轨迹中叫根轨迹增益）。

②时间常数表示法：

111 1 1 2

1

1 1 1 2

1

( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)

( )1 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)

m

jm mjm m m m

nn n

n n n ni

i

sb d s d s d s s s s

G s K Ka c s c s c s T s T s T s

T s

其中，n

m

a

bK ――放大系数。且

n

i

i

m

j

j

p

z

KK

1

1

1

)(

，有i

i

j

jp

Tz

1,

1 。

③二项式表示法：

如 21.pp 为一对共轭复数，则有

2221 2

1

))((

1

nnsspsps

或

12

1

)1)(1(

122

21

TssTsTsT

④一般表示法：

系统可能还会有零值极点，若为个，则有：

21

21

1

22

1

1

22

11

)2()(

)2()(

)(m

l

lll

n

i

i

m

k

kkk

m

j

j

ssps

sszs

s

KsG

21

21

1

22

1

1

22

1

)12()1(

)12()1(

n

l

lll

n

i

i

m

k

kkk

m

j

j

sTsTsT

sss

s

K

在此： .2,2 2121 nnnmmm

3、性质与说明：

（1）传递函数是复变量 s 的有理真分式，具有复变函数的所有性质， nm 且所有系数均为

实数。

（2）传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统

或元件的结构和参数，而与 r(t)的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。


12

（3）传递函数是描述线性系统动态特性的一种数学模型，而形式上和系统的动态微方一一

对应。但只适用于线性系统且初始条件为零的情况下，原则上不能反映系统在非零初始条件

下的全部运动规律。

（4）传递函数是系统的数学描述，物理性质完全不同的系统可以具有相同的传函。在同一

系统中，当取不同的物理量作输入或输出时，其 G(s)一般也不相同，但却具有不同的分母。

该分母多项式称为特征多项式。（形成的方程叫特征方程）。

（5）传递函数是在零初始条件下定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含义：

①指 r(t)是在 0t 时才作用于系统，在 t=0-时，r(t)及其各阶导数均为零。

②指 r(t)加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即 c(t)及其各阶导数在 0t 时的

值也为零。

4、传递函数的局限性

（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；

（2）适合于描述单输入/单输出系统；

（3）只能用于表示线性定常系统。

二、传递函数的求取方法

例 2-2-1：求例 2-1-2 系统的传递函数

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 22(c c

c

d u d uR C R C R C R C R C u u

d t d t

设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，得

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cRC R C s U s RC R C RC sU s U s U s

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) 1 ( ) ( )cRC R C s RC R C RC s U s U s

2

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

( ) 1( )

( ) ( ) 1

cU sG s

U s R R C C s R C R C R C s

例 2-2-2：求例 2-1-5 速度控制系统的传递函数：

1）运放：微分方程 )(111 fg uuKuKu ，传函 11

1)(

)()( K

sU

sUsG

2）运放Ⅱ：微分方程 2u )( 11

2 udt

duK ，传函 )1(

)(

)()( 2

1

22 sK

sU

sUsG

3）功放：微分方程： 23uKua ，传函： 33 )( KsG


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4）电机：微分方程 )(2

2

c

c

amaumma Mdt

dmTKUK

dt

dT

dt

dTT

由于传递函数多用于单输入-单输出情况

1

)1(

)(

)(0

1)(

)()(0

2

2

sTsTT

sTK

sM

sGu

sTsTT

K

su

ssGM

mma

am

c

ma

mma

u

a

uc

迭加原理有： )()()()()( sMsGsUsGs cMau

5）测速机：微分方程 ff Ku ，传函 f

f

f Ks

sUsG

)(

)()(

6）系统总的微分方程：

2

0

2

0 0 0 0

( ) ( )1 1 1 1

ga m m m cg a c

duT T T K K dMd d Ku T M

K dt K dt K dt K dt

7）传递函数为：

111

)1(

)(

)()(0

111

)1(1

)(

)()(0

0

02

0

0

02

0

0

sK

KTs

K

TT

sTK

sM

ssu

sK

KTs

K

TT

sK

K

su

ssM

mma

am

c

Mg

mmag

uc

三、电气网络传递函数的求取

对于由电阻 R、电容 C 和电感 L 组成的电气网络，可以应用复数阻抗的概念直接写出

相应的传递函数。

（1）无源网络电路

1 2 2

( )( ) crU sU s

IZ Z Z

2

1 2

( )( )

( )

c

r

U s ZG s

U s Z Z


14

例 2-2-3：求下图所示电路的传递函数。

1 1 11

1 1 1 11 1

R C s RZ

R C s R C s

2 22 2

2 2

11 R CZ R

C s C s

2 2

2 2 2 2 1 1

22 2 11 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2

2 1 1

1

( ) ( 1)( 1)

1( ) ( ) 1

1

c

r

R C

U s Z C s R C s R C

R C RU s Z Z R R C C s R C R C R C s

C s R C s

（2）有源网络电路

上图中Z1、Z2、Z3、Z4均为复数阻抗，且设，并略去流入运算放大器的输入电

流，则由上图得

1 2

( )( ) crU sU s

Z Z

2

1

( )( )

( )

c

r

U s ZG s

U s Z

0AU


15

1 2I I ， 2 3 4I I I ，1

1

rUI

Z ，

2

2

BUI

Z

，

3

3

BUI

Z ，

4

4

B cU UI

Z

消去上式中的中间变量1I 、

2I 、3I 、

4I 和BU ，求得

3 4 2 4 2 3

1 3

( )( )

( )

c

r

U s Z Z Z Z Z ZG s

U s Z Z


1 1Z R ， 22 2

11 R CsZ R

Cs Cs

则得：

2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

( ) 1 1 1( ) 1

( )

c

r

U s Z R Cs R RG s

U s Z R Cs R R Cs R R Cs


1 1Z R ， 2 2Z R ， 3 1/Z Cs ， 4 3Z R


16

则得：

32 2 3

2 3 2 3

1 1

/( ) ( )

( )( ) /

c

r

RR Cs R R

U s R R R R CsCsG sU s R Cs R

四、脉冲响应与传递函数

1、脉冲函数

0( )

0 0,

At

r t

t t

2、单位脉函数

0

0( ) lim ( )

0 0

tt t

t

( ) 1t dt

3、延迟单位脉冲函数

( )0

tt

t

( ) 1t dt

4、系统的单位脉冲函数响应

设系统是线性定常系统，且 t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之

间齐次性和线性关系，即满足：

1 ), 0

)

A t

t

当脉冲强度，记为（如令并求极限，

则称为单位脉冲函数，记为（。显然有：


17

如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为称为单位脉冲

响应

单位脉冲信号：

)0(

1

)0(0

)(t

tt

t

及

及 11

)(

dtt

当 0 时，

0

00)()()(

t

tttt 及 1)(

dtt

1）面积为 A，出现在时刻的理想脉冲：

AdttAt

ttA

)(

0)(

及

2）脉冲响应函数：

设线性系统的传函为 )(sG ，则有 )()()( sRsGsC

)()(1)()()( sGsCsRttr ，

则 )]([)( 1 sGLtg 线性系统的脉冲响应函数。

根据拉氏变换的唯一性定理， )()( sGtg 与一一对应，故 )(tg 也是一种数模。

3）脉冲响应与传递函数应用:由 )(tg 求 )(sG ：

例 2-2-6：已知 24 35)(

tt

eetg

，求其 )(sG 。

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

c t H t r t

r t c t H t

输入函数输出函数算子

( ) ( ) ( ) ( )g t c t H t t


18

解：168

2664

)12)(14(

2664

12

6

14

20

2

1

3

4

1

5)]([)(

2

ss

s

ss

s

ssss

tgLsG

)()( sGtg 与一一对应，

就系统动特而言，他们包含相同的信息，故若以脉冲信号作用于系统，并测定其输出

响应，则可获得有关系统动特的全部信息。对于那些难以写出其传函的系统，无疑是一种简

便方法。

自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型 长 安 大 学...

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自动控制原理》第二章线性系统的数学模型长安大学...