ebook prosol mafcc matematica financeira teoria pratica

Profª. Drª. Maria Aparecida Crissi KnüppelCoordenadora Geral NEAD

[email protected]

Profª. Drª. Zoraide da Fonseca CostaCoordenadora

[email protected]

Prof. MsC. Simão TernoskiCoordenador [email protected]

Profª. Marta Clediane Rodrigues AnciuttiCoordenadora pedagógica

Profª. MsC Manuela Weissbock EcksteinCoordenadora Pedagógica

Viviane BalhukDiagramação

SUMÁRIOAPRESENTAÇÃO---------------------------------------------------------------------------------------05

TEMA 01-------------------------------------------------------------------------------------------------07Introdução á Matemática Financeira

TEMA 02-------------------------------------------------------------------------------------------------11Capitalização Simples

TEMA 03-------------------------------------------------------------------------------------------------17Capitalização Composta

TEMA 04-------------------------------------------------------------------------------------------------24Operações com desconto

TEMA 05-------------------------------------------------------------------------------------------------28Operações e Taxas

TEMA 06-------------------------------------------------------------------------------------------------35Séries Uniformes Imediatas

TEMA 07-------------------------------------------------------------------------------------------------42Séries Uniformes Diferidas e Captalização

TEMA 08-------------------------------------------------------------------------------------------------46Séries Variáveis

TEMA 09-------------------------------------------------------------------------------------------------51Planos de Amortização de Emprestimos e Financiamentos

TEMA 10-------------------------------------------------------------------------------------------------55 Planos de Amortização e Financiamentos - Parte 02

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Prezados Cursistas.

Sejam bem-vindos ao ambiente do curso Matemática Financeira: teoria e prática. Este curso contempla os seguintes tópicos de estudo: conceitos básicos de Matemática Financeira, Regimes de Capitalização e Sistemas de Financiamento – taxas, descontos e amortização. Por questão de organização, considera-se a divisão em Unidades de Estudo - UE. Cada UE estará disponível no período estabelecido pelos professores e tutores do curso, sendo que as atividades estão distribuídas nos cronogramas das UEs, de acordo com o quadro apresentado na sequência (Quadro 1).

As atividades, distribuídas nas UEs, deverão ser realizadas no período estabelecido no quadro Quadro 1. Sua postagem na plataforma MOODLE/UNICENTRO será considerada, somente, até as 23h e 59min do último dia da respectiva UE (estabelecido na Plataforma MOODLE/UNICENTRO).

As atividades são abordadas detalhadamente em cada UE, com instruções sobre a formatação, desenvolvimento e postagem.

No decorrer desse texto são propostas questões norteadoras para discussões no fórum, disponível no ambiente do curso, na plataforma MOODLE/UNICENTRO. Porém, toda e qualquer dúvida encontrada durante o estudo pode ser encaminhada, por mensagem e/ou por e-mail aos tutores e professores responsáveis pelo curso. Ainda, ao final de cada tópico de estudo é proposta, ao cursista, a realização de uma síntese dos conteúdos abordados com a finalidade de consolidar o seu aprendizado.

Quadro 1 Unidades de Estudo - UE

UE TÍTULO Período Atividades ProfessorI Introdução à Matemática

Financeira6 horas de estudo AT1 Márcio

II Capitalização Simples 6 horas de estudo AT2 MárcioIII Capitalização Composta 6 horas de estudo AT3 MárcioIV Operações com descontos 6 horas de estudo AT4 MárcioV Operações com taxas 6 horas de estudo AT5 MárcioVI Séries Uniformes

Imediatas6 horas de estudo AT6 Carlos

VII Séries Uniformes Diferidas e Capitalização

6 horas de estudo AT7 CarlosVIII Séries Variáveis 6 horas de estudo AT8 CarlosIX Planos de Amortização de

Empréstimos – Parte 16 horas de estudo AT9 Carlos

X Planos de Amortização de Empréstimos – Parte 2

6 horas de estudo AT10 Carlos

Avaliação Ao final de cada unidade será proposta uma

avaliação diagnóstica

Avaliação Objetiva,

Plataforma MOODLE/

UNICENTRO.

APRESENTAÇÃO

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Cabe ressaltar, entretanto, que a dedicação e participação constantes nas atividades propostas são essenciais para o aproveitamento completo do curso. Com seu empenho e entusiasmo a prática pedagógica será desenvolvida com sucesso.

Bom trabalho!

Prof. Márcio André Martins (responsável pelas UEs 1 a 5)Prof. Carlos Roberto Ferreira (responsável pelas UEs 6 a 10)

Acesse o Vídeo de Apresentação:

AQUI

https://vimeo.com/100859065

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Acesso o Vídeo do Tema 01:

AQUI

Introdução

Inicia-se agora a primeira Unidade de Estudos - UE1. Esta UE tem como objetivo abordar, essencialmente, os conceitos básicos de Matemática Financeira e, por conseguinte, as especificidades desse ramo da Matemática, bem como trazer algumas contextualizações e análises de autores que tratam o assunto, tendo em vista a importância de colocações pertinentes sobre o tema. Por questão didática, considera-se a subdivisão desta UE nos tópicos 1 a 4, sendo que as situações e exemplos apresentados em cada tópico devem ser refletidos e/ou desenvolvidos (com calma) pelo cursista.

1.1 Conceitos e definições: o valor do dinheiro no tempo

a) Por que estudar Matemática Financeira?Considerando-se que a vida em sociedade requer o inevitável envolvimento com sistemas

financeiros, é de extrema importância ter clareza sobre os fundamentos que norteiam esses sistemas para assim, ter uma visão sólida ao tratar de aspectos gerais do mercado financeiro e sobre o real papel do dinheiro e, gerenciar e articular um perfil específico desejado em processos de créditos, financiamentos e orçamentos pessoais entre outros.b) Matemática Financeira: conceituação

O mundo está em constante mudança, com isso é coerente admitir-se que o dinheiro disponível hoje não terá o mesmo valor daqui a algum tempo. O estudo da Matemática Financeira insere-se nesse contexto. Entretanto, não está disponível, na literatura, um conceito único que contemple todos os aspectos inerentes a esse ramo da Matemática. Porém, há consenso entre diversos autores da área que o principal objetivo da Matemática Financeira é estudar o valor do dinheiro em função do tempo, ou seja, em buscar mecanismos que possam descrever a variação do dinheiro com o passar do tempo. c) Um ponto de partida: o dinheiro disponível hoje

Ao se considerar um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 realizado por um agricultor, em determinada instituição financeira, para pagamento desse mesmo valor daqui a um ano, pergunta-se: (i) seria viável para a instituição disponibilizar R$ 100.000,00 hoje para receber R$100.000,00 daqui a um ano? Ou, ainda, (ii) qual seria o real valor desse capital para pagamento daqui a 12 meses?

Figura 1 Variação do valor do dinheiro no tempo.

Fonte: do autor.

TEMA 1 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA


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A resposta à primeira questão parece, de certo modo, óbvia! Do ponto de vista prático, ou seja, em situações do quotidiano essa proposta é inexistente ou, pelo menos, muito rara de ser encontrada. Torna-se necessário, então, o estabelecimento de mecanismos que possibilitem realizar a atualização da quantidade monetária disponibilizada hoje para um pagamento futuro. Mediante a análise desses mecanismos, a segunda questão pode ser também respondida, ou seja, qual seria um valor de atualização e/ou correção aceitável, para ambas as partes envolvidas?

Tais mecanismos são conhecidos por regimes de capitalização, e permitem capitalizar, ou atualizar com o passar do tempo, determinado valor monetário disponibilizado no presente (denominado capital) para pagamento em um tempo futuro (denominado montante).

Com o intuito de facilitar a compreensão sobre operações financeiras é comum a utilização de representações gráficas denominadas Diagrama de Fluxo de Caixa, em símbolos DFC. Essas representações constituem-se, basicamente, de uma linha horizontal associada ao tempo e de linhas verticais associadas às entradas e saídas (fluxo) de dinheiro em determinado caixa (fig. 2).

Nessa perspectiva, o saldo recebido hoje (entrada) deve ser pago daqui a um ano (saída). Porém, qual o valor a ser pago em reais? Dentre as alternativas para se calcular Valor Futuro (VF) estão disponíveis os regimes de capitalização simples e composta.

Figura 2 Representação por Diagrama de Fluxo de Caixa

Fonte: do autor.

1.2 Variáveis de interesse: capital, montante, juros, tempo e taxa

Com o objetivo de possibilitar uma melhor compreensão sobre esse tema, previamente ao cálculo de VF (fig. 2) são abordados os seguintes conceitos, necessários ao trabalho com o regimes de capitalização:

• juros (j) podem ser entendidos, simplificadamente, como a remuneração ou custo associado à disponibilização de dinheiro no presente para um recebimento ou pagamento futuro;

• capital (C) ou valor presente (VP) ou principal (P) corresponde ao recurso financeiro disponibilizado para determinada operação a ser realizada no presente, ou seja, no período de tempo 0;

• taxa (i) normalmente é representada por i, do inglês interest, e corresponde ao elo entre j e C, ou seja, diz respeito ao coeficiente operador que permite se calcular j com base em C, normalmente representada em forma percentual (% = divisão por 100);

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• montante (M) ou valor futuro (VF) corresponde ao valor monetário obtido pela acumulação de C e j, isto é, ao valor do capital acrescido dos juros;

• prazo ou períodos de tempo (n) corresponde à duração da operação financeira, ou seja, ao número de períodos de tempo considerados para o cálculo de M com base em C.Então, de posse desses elementos conceituais, é possível uma melhor compreensão sobre

o cálculo de VF representado na Fig. 1. Nesse sentido, como exemplo ilustrativo, considera-se: i = 3% ao mês; n = 12 meses; e VP = R$100.000,00; VF = ?

1.3 Sistemas de capitalização: linear e exponencial

É intuitivo esperar-se que o cálculo de VF seja construído passo a passo, ou seja, no caso, realizado mês a mês, já que a taxa mencionada corresponde a esse período de tempo.

Nessa perspectiva, primeiramente na tab. 1, adota-se um raciocínio dito linear, conforme será detalhado na seção 2, e denominado Regime de Capitalização Simples.

Em seguida, na tab. 2, há um comportamento exponencial, como será detalhado na seção 3, e que passa a ser denominado Regime de Capitalização Composta (indica-se ao cursista o desenvolvimento/repetição dos cálculos constantes das tabelas).

Além disso, um comparativo entre os comportamentos apresentados pelos regimes de capitalização pode ser realizado com base no gráfico representado na fig. 3. Nessa figura é possível perceber que há diferença entre os valores atualizados para o capital com a variação do tempo n. E, essa diferença torna-se mais significativa com o aumento de n.

Tabela 1 Exemplo: Comportamento linear: Regime de Capitalização Simples.n j (R$) VF (R$)0 100.000,001 100.000,00 × 3% = 3.000,00 103.000,002 100.000,00 × 3% = 3.000,00 106.000,003 100.000,00 × 3% = 3.000,00 109.000,004 100.000,00 × 3% = 3.000,00 112.000,005 100.000,00 × 3% = 3.000,00 115.000,006 100.000,00 × 3% = 3.000,00 118.000,007 100.000,00 × 3% = 3.000,00 121.000,008 100.000,00 × 3% = 3.000,00 124.000,009 100.000,00 × 3% = 3.000,00 127.000,00

10 100.000,00 × 3% = 3.000,00130.000,00

11 100.000,00 × 3% = 3.000,00 133.000,0012 100.000,00 × 3% = 3.000,00 136.000,00

Tabela 2 Exemplo: Comportamento exponencial: Regime de Capitalização Composta. n j (R$) VF (R$)0 100.000,001 100.000,00 × 3% = 3.000,00 103.000,002 103.000,00 × 3% = 3.090,00 106.090,003 106.090,00 × 3% = 3.182,70 109.272,704 109.272,70 × 3% = 3.278,18 112.550,885 112.550,88× 3% = 3.376,53 115.927,416 115.927,41 × 3% = 3.477,82 119.405,237 119.405,23 × 3% = 3.582,16 122.987,398 122.987,39 × 3% = 3.689,62 126.677,019 126.677,01 × 3% = 3.800,31 130.477,32

10 130.477,32 × 3% = 3.914,32 134.391,6411 134.391,64 × 3% = 4.031,75 138.423,39z12 138.423,39 × 3% = 4.152,70 142.576,09

Figura 3 Comparativo entre os regimes de capitalização.

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Fonte: do autor.

1.4 Síntese da Unidade 1

Nesta Unidade foram abordados os principais conceitos e definições utilizados em Matemática Financeira, que têm como base a variação do valor do dinheiro no tempo. Além disso, foram estabelecidas as variáveis de interesse: VP, VF, j e i. Também foram abordados, essencialmente, os mecanismos linear e exponencial de atualização de um capital no tempo, isto é, foram introduzidos os Regimes de Capitalização Simples e Composto.

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TEMA 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Prezado Cursista!

Com o intuito de proporcionar uma melhor compreensão sobre os aspectos inerentes a cada regime de capitalização, considera-se primeiramente o estudo do Regime de Capitalização Simples. Entre-tanto, para que haja uma apropriação efetiva desse conteúdo, é imprescindível que os exemplos apre-sentados em cada subseção sejam “refeitos”. Durante a realização desses cálculos, em caso de dúvidas, estas devem ser postadas nos fóruns específicos desta UE. Bom trabalho!

Acesso o Vídeo do Tema 02: AQUI


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2.1 Caracterização dos juros simples

O Sistema de Capitalização Simples é caracterizado pelos seguintes itens:• Comportamento linear – o gráfico do valor capitalizado versus o tempo n corresponde a

uma reta;

Figura 4 Comportamento linear da Capitalização Simples.

Fonte: do autor.

• Base de cálculo constante – os juros são sempre calculados com base no capital inicial;• montante é atualizado por meio de uma progressão aritmética (PA), isto é, o processo de

capitalização apresenta incrementos constantes (razão da PA) em períodos subsequentes.

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.2 Cálculo do montante, dos juros, da taxa e do tempo

Matematicamente essas características são sistematizadas pelas expressões detalhadas no quadro 2, considerando-se uma taxa percentual qualquer “i”:

Quadro 2 Estrutura da Capitalização Simples.

Período Juros Base Montante0 VP1 j=VP × i VP VF1 = VP + j = VP + VP × i => VF1 =VP×(1+i)2 j=VP × i VP VF2 = VF1 + j = [VP×(1+i)] + VP × i =>

VF2 =VP×[(1+i)+i] => VF2 =VP×(1+2×i)... j=VP × i VP ...n j=VP × i VP VFn =VP×(1+n×i)

Portanto, em se tratando de Regime de Capitalização Simples, o montante VF em um período qualquer n fica determinado pela expressão:

VFn =VP×(1+n×i) (1)

e, com esse enfoque, os juros acumulados no período n (jn) seguem a representação

jn = VFn – VP => jn= VP×(1+n×i) – VP => jn= VP+ VP ×n×i – VP => jn = VP×n×i. (2)

Como exemplo, considera-se o cálculo do montante e o juro acumulado no 6º mês da operação financeira detalhada na Tab. 1, nesse caso tem-se

jn = VP×n×i => j6 = 100.000,00×6×0,03 => j6 = 100.000,00×6×0,03

j6 = 18.000,00.

Portanto, VF6 = 118.000,00, isto é, os juros acumulados até o 6º mês totalizam R$18.000,00 e o montante correspondente é de R$ 118.000,00.

Com esse raciocínio, em Regime de Capitalização Simples, calcula-se os juros acumulados em um período qualquer n sob a incidência de uma taxa qualquer i o que permite a determinação do montante associado a esse período. Assim, resumidamente, as expressões que determinam as relações funcionais entre as variáveis juros (J), taxa (i), tempo (n), montante ou valor futuro (VF) e capital ou valor presente (VP) são listadas no Quadro 3.

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Quadro 3 Expressões da Capitalização Simples.

2.3 Aplicações: juros simples

As aplicações de juros simples consistem no emprego das expressões listadas no quadro 3, de acordo com os exemplos (a) a (e), explanados na sequência.

Exemplo (a): qual o juro obtido com um capital de R$ 20.000,00 durante 6 meses a uma taxa de 1,5% ao mês?

Com a expressão (a) do quadro 3, obtém-se:

Exemplo (b): durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 10.000,00 que gerou um rendimento de R$ 500,00 com uma taxa de 2,5% ao mês?

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Com a expressão (b) do quadro 3, obtém-se:

Exemplo (c): um empresário pagou ao Banco X S/A a importância R$ 3,98 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 993,00. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco?

Com a expressão (c) do quadro 3, obtém-se:

Exemplo d: qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 50.000,00 em um período de 90 dias, a uma taxa de 2,5% ao mês?

Com a expressão (d) do quadro 3, obtém-se:

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Exemplo (e): determinar o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 85.000,00 por um período de 6 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,5 % ao mês?

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3.1Caracterização dos juros compostos

O Sistema de Capitalização Composta é popularmente conhecido como sistema de juros sobre juros. Porém, como pode ser observado na tab. 2, unidade 1, o correto é dizer que os juros incidem sobre o montante.

Esse sistema é o mais comum na realização de cálculos financeiros de situações quotidianas. Nesse sentido, basicamente, são consideradas as características:

• Os juros gerados em cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte. Do ponto de vista da Matemática, tal comportamento é dito exponencial – o gráfico do valor capitalizado versus o tempo n corresponde à representação de uma função exponencial, conforme ilustrado na fig. 5 (apresentada na sequência);

• base de cálculo variável – os juros são sempre calculados sobre o montante atualizado em cada período, conforme representado no quadro 4;

• o montante é atualizado por meio de uma progressão geométrica (PG), isto é, o processo de capitalização traz incrementos obtidos por um fator (fator de capitalização = razão da PG) em períodos subsequentes.

TEMA 3 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Figura 5 Comportamento exponencial da Capitalização Composta.

Fonte: do autor.

Acesso o Vídeo do Tema 03:AQUI


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3.2 Cálculo do montante, dos juros, da taxa e do tempo a juros compostos

Matematicamente essas características podem ser sistematizadas pelas expressões detalhadas no quadro 4, considerando-se uma taxa percentual qualquer i. Para melhor compreensão sobre o mecanismo envolvido no processo de Capitalização Composta, é recomendada a reprodução do quadro 4, linha a linha, ou seja, período a período. Nesse sentido, o foco é a apropriação da simbologia bem como das operações matemáticas envolvidas.

Quadro 4 Estrutura da Capitalização Composta.

Nesse quadro percebe-se que, cada linha corresponde ao processo de atualização do capital, ou seja, à capitalização propriamente dita. Matematicamente, isso é realizado tão simplesmente pela fatoração, ou seja, pela multiplicação do capital (VP) por um fator de capitalização (1+i)n .

VFn =VP×(1+i)n (3)

Portanto, literalmente, capitalizar significa multiplicar por um fator de capitalização. Como exemplo, o montante acumulado por um período de 6 meses mediante a aplicação de uma taxa de 3% ao mês e a disponibilização de um capital de R$ 100.000,00 corresponde ao processo:

VF = VFn = VP×(1+i)n

VF = VF6 = 100.000,00×(1+0,03)6

VF = 100.000,00×(1,03)6

VF = 100.000,00×1,1940523

VF = R$ 119.405,23

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Esse resultado pode ser comparado com a discriminação do período n = 6 na tab. 2. Portanto, a juro composto, os juros acumulados até o 6º mês totalizam R$19.405,23 e o montante correspondente é de R$ 119.405,23.

Com esse raciocínio, em Regime de Capitalização Composta, pode-se calcular os juros acumulados em um período qualquer n sob a incidência de uma taxa qualquer i o que permite a determinação do montante associado a esse período. Basicamente, as expressões que determinam as relações funcionais entre as variáveis juros (J), taxa (i), tempo (n), montante ou valor futuro (VF), e capital ou valor presente (VP) são listadas no quadro 5.

Quadro 5 Expressões da Capitalização Composta.

Fonte: do autor.

A partir desse quadro as expressões (a), (b) e (c) são obtidas diretamente da eq. (3) e, por conseguinte do quadro (4). Já as expressões (d) e (e) requerem algumas manipulações algébricas elementares, conforme detalhado:

(d) Dedução da expressão para o cálculo do Tempo (n)

(dividindo ambos os membros por VP)

(para se isolar a variável de interesse n, que corresponde ao expoente do fator de capitalização deve-se empregar a operação logarítmo, em ambos os membros)

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(e) Dedução da expressão para o cálculo da taxa (i)

(dividindo ambos os membros por VP)

(para se isolar a variável de interesse i, que corresponde ao fator de capitalização deve-se empregar a operação radiciação, em ambos os membros)

3.3 Aplicações: juros compostos

As aplicações de juros compostos consistem do emprego das expressões listadas no quadro 5, assim como exemplificado nos itens (a) a (e).

a) Qual o montante obtido com um capital de R$ 15.000,00 durante 17 meses a uma taxa de 2,5% ao mês?

Com a expressão (a) do quadro (5), obtém-se:

Obs: na calculadora financeira HP-12C esse cálculo pode ser realizado mediante a sequência de teclas:

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Obs: na HP-12C, ao iniciar um cálculo financeiro deve-se sempre teclar f REG para limpar os registros anteriores!

Questão para discussão no fórum: qual o significado da tecla CHS? O que ocorre com o seu emprego?

b) Qual o valor do capital a ser disponibilizado para gerar um montante de R$ 98.5626,25, por um prazo de 6 meses, a uma taxa de 1,85% ao mês?

Com a expressão (b) do quadro 5, obtém-se:


Obs: na HP-12C, ao iniciar um cálculo financeiro deve-se sempre teclar “f REG” para limpar os registros anteriores!

Questão para discussão no fórum: por que a tecla CHS não foi empregada desta vez? Houve alguma diferença observada no resultado, em relação ao exemplo anterior?

c) Por quanto tempo deve ser imobilizado o capital de R$ 26.564,85 para produzir um montante de R$ 45.562,45, a uma taxa de 0,98% ao mês?

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Com a expressão (d) do quadro 5, obtém-se:

Resposta: 55 meses e 10 dias.



Questões para discussão no fórum de dúvidas: por que 55,3198 meses equivale a 55 meses e 10 dias? Por que, novamente, a tecla CHS foi utilizada? O que ocorre se esta tecla não for considerada? Isso também ocorre no próximo caso!

d) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano?

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Com a expressão (e) do quadro (5), obtém-se:



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Acesso o Vídeo do Tema 04:

4.1 Desconto: definição

Em operações financeiras, de modo geral, é comum a utilização de títulos comprobatórios. Esses títulos têm a função de comprovar e/ou formalizar um compromisso referente a um pagamento que deverá ser efetuado em um prazo pré-estipulado (data futura). Entretanto, a antecipação desse prazo pode ser negociada junto a uma instituição financeira, o que caracteriza o resgate antecipado de título. São exemplos de títulos financeiros: nota promissória, duplicata mercantil, letra de câmbio, entre outros.

Figura 6 Operações com Desconto

Fonte: do autor.

As operações de desconto representam a antecipação de recebimento (ou pagamento) de valores futuros (ou nominais), discriminados em títulos financeiros. Matematicamente, pode-se dizer que

(4)

Em que D = desconto. Dentre as maneiras para realização do cálculo de D, estão disponíveis na literatura os métodos descritos, na sequência.

TEMA 4 - OPERAÇÕES COM DESCONTOS

AQUI


25

4.2 Desconto Racional Simples ou por dentro

Neste caso, o valor de D (eq. 4) é calculado mediante a incidência de uma taxa i sobre o valor líquido (VL) do título, isto é,

(5)

em que representa o desconto racional simples ou por dentro. também pode ser determinado diretamente pela expressão:

(6)

Do ponto de vista prático deve-se pensar: o desconto racional ou por dentro leva em conta a incidência de uma taxa i sobre o Valor Presente (ou mais apropriadamente o Valor Líquido, VL); entretanto, esse valor não é conhecido previamente, pois, o único valor constante do título é o valor a ser pago em um vencimento futuro (Valor Futuro, ou Valor Nominal). Com esse enfoque, considera-se a relação entre VL e VF, ou seja, para efeito de cálculo, ao invés de VF considera-se VL + VL X i X n (capitalização simples), o que resulta na eq. 6.

Exemplo: um título no valor de R$ 25.000,00 está sendo descontado 2 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto racional?

Com a eq. 6 obtém-se:

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4.3 Desconto Bancário ou Comercial simples ou por fora

Este tipo de desconto, simbolizado aqui por (Desconto Bancário) é definido, basicamente, pelo cálculo dos juros simples associados ao valor nominal constante em determinado título ou compromisso financeiro. Tal situação pode ser representada em símbolos pelas expressões:

(7)

Exemplo: um título no valor de R$ 25.000,00 está sendo descontado 2 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto bancário?


4.4 Desconto Composto

O Desconto Composto é semelhante ao primeiro tipo de desconto estudado (Desconto Racional, ), ou seja, é calculado com base no valor líquido (VL = VP). Porém, é caracterizado pelo cálculo dos juros compostos. Nessa perspectiva, fica determinado por:

(8)

Exemplo: um título no valor de R$ 25.000,00 está sendo descontado 2 meses antes do seu vencimento, à uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto composto associado?

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Questões a serem discutidas no fórum na UE 4: ao se considerar os mesmos parâmetros de cálculo (taxa, valor nominal do título e período de desconto n) qual o tipo de desconto mais vantajoso? Existe diferença entre os tipos de operações com desconto? Existe diferença entre o ponto de vista do credor e do devedor ao se optar por um tipo de desconto financeiro? Registre seus conhecimentos sobre isso, no fórum especificado!

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TEMA 5 - OPERAÇÕES E TAXAS

5.1 Taxa: definição

Nas operações financeiras, de modo geral, a palavra taxa é empregada com frequência. Etimologicamente a palavra taxa refere-se ao percentual da remuneração do capital. No entanto, o real significado atribuído à palavra depende de alguns conceitos e aplicabilidades estudadas em Matemática Financeira. Os tipos de taxas são abordados na sequência considerando-se suas características principais, e o seu emprego em situações práticas.

5.2 Taxa Proporcional

Este tipo de taxa tem como base o comportamento linear, ou seja, o Regime de Capitalização Simples. Nesse âmbito a idéia de proporção é expressa por uma constante, k, denominada constante de proporcionalidade. Então, para efeito de cálculo, k representa o elo entre duas taxas de interesse, sendo uma conhecida e outra desconhecida. Em símbolos, tem-se

.

Portanto, .

Vídeoaula


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Exemplo: qual a taxa anual proporcional a 1% ao mês?

Embora a resposta seja óbvia, ou seja, 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano, esse exemplo é abordado por questão didática com os seguintes objetivos: identificar a constante de proporcionalidade entre duas taxas, sendo que esta nem sempre é um número inteiro; identificar o comportamento linear admitido, isto é, a abordagem dos juros simples. Cabe ressaltar que são proporcionais e com isso, geram montantes iguais somente em Regime de Capitalização Simples!

5.3 Taxa Nominal Em Regime de Capitalização Composta uma taxa é dita nominal quando o período em que ela é referenciada não coincide com o período de capitalização.

Exemplo: 24 % ao ano com capitalização mensal. Neste caso, para efeito de cálculo, a taxa que deve ser empregada envolve o conceito de taxa pro-porcional, ou seja, deve-se considerar 2% ao mês. Porém, é importante ressaltar que, em Regime de Capitalização Composta, taxas proporcionais não acar-retam em resultados equivalentes! Portanto, a juros compostos, 2% ao mês não coincide com 24% ao ano. O seguinte teste pode ser realizado no qual é possível verificar que o valor de VF com a taxa de 2% ao mês, durante 12 meses, não coincide com o VF associado a 24% ao ano, em Regime de Capitalização Composta (juros sobre juros). O teste também pode ser realizado algebricamente considerando-se a expressão (a) do quadro 5.

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5.4 Taxa Efetiva

Esta taxa corresponde à taxa efetivamente empregada em um processo de capitalização e/ou desconto. Diz-se que uma taxa é efetiva quando o período em que ela estiver referenciada coincidir com o período de sua capitalização. São exemplos de taxa efetiva: 3% ao ano com capitalização anual; 0,5% ao mês capitalizados mensalmente.

Somente a taxa efetiva deve ser considerada em mecanismos de cálculos financeiros. Nesse cenário, portanto, a taxa nominal pode ser transformada mediante o conceito de taxa proporcional para a obtenção da taxa efetiva (ou efetivamente aplicada no cálculo).

Exemplo:

Taxa nominal: 36% ao ano com capitalização mensal;

Mecanismo da taxa proporcional:

Taxa efetiva: 3% ao mês com capitalização mensal.

Questão para discussão no fórum: em Regime de Capitalização Composta, 36% ao ano com capitalização mensal corresponde à taxa efetiva de 3% ao mês (com capitalização mensal), porém 36% ao ano não é equivalente a 3% ao mês! Esclarecer.

5.5 Taxas Equivalentes

São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo distintas, que ao serem aplicadas sobre o mesmo capital (VP), durante um mesmo período (n) geram o mesmo montante (VF).

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Algebricamente, tem-se:

ou ainda, considerando-se (taxa anual), (taxa semestral), (taxa mensal), e (taxa diária), é válida a seguinte relação de equivalência

Portanto, do ponto de vista prático da taxa efetivamente aplicada em cálculos financeiros, a juros compostos, o exemplo de ao ano é equivalente a

• taxa semestral:

• taxa mensal:

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• taxa diária:

.

Procedimento para obtenção de taxas equivalente na Calculadora HP-12C

Uma das maneiras de realizar o cálculo de equivalência de taxas, em Regime de Capitalização Composta, pode ser compreendida mediante efetuação dos exemplos a seguir:

• a taxa é conhecida em um período de tempo menor e busca-se determinar a taxa equivalente em um período de tempo maior. Nesse sentido considera-se a situação ilustrativa: sendo conhecida a taxa im = 1% ao mês, busca-se a taxa anual (ia).

Procedimento:

Nesse caso a resposta obtida é 112,68, isto é, a taxa anual equivalente a 1% ao mês é ia = 12,6825%.

• A taxa é conhecida em um período de tempo maior e busca-se determinar a taxa equivalente em um período de tempo menor. Como exemplo, considera-se: sendo conhecida a taxa ia= 12% ao ano, busca-se obter a taxa mensal (im).

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Procedimento:

Nesse caso a resposta obtida é 1%, isto é, a taxa mensal equivalente a 12,6825% ao ano é im= 1%.

Questão para discussão no fórum: como ficaria essa situação para as taxas (equivalentes) bimestrais, trimestrais e semestrais? Primeiramente, calculá-las e em seguida comentar os resultados e/ou dúvidas encontradas durante a realização dos cálculos.

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TEMAS DE 6 A 10

Para as unidades de 6 a 10 apresenta-se um resumo teórico de cada assunto e um link com explicações gravadas pelo professor referente ao assunto e solução de um exemplo.

Para um ótimo aproveitamento siga os passos:• assistir ao vídeo de cada unidade sobre o conteúdo e a solução de um exemplo e estudar com

atenção os textos de cada unidade do e-book; • assistir a solução comentada de cada aplicação, mas na medida do possível resolvê-la antes;• acessar o MOODLE e tentar resolver todos os problemas propostos para cada unidade e em

caso de dúvida, entre em contato com o tutor e participar dos fóruns.

Prof. Carlos Roberto FerreiraResponsável pelas Unidades de 6 a 10

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Nessa unidade apresenta-se: a definição de séries e sua classificação, o cálculo das prestações, do principal, das taxas, do prazo de séries uniformes antecipadas e postecipadas. Além disso, ensina-se também, a utilizar a calculadora financeira HP-12C e a planilha eletrônica Excel para resolver os exemplos, aplicações e problemas propostos.

Para reforçar, observar que cada tópico terá um link para assistir a um vídeo, com explicações do assunto, e a resolução de exemplos. Ao final de cada unidade há aplicações do assunto abordado e também apresenta um link para solução comentada. E para que não fiquem dúvidas, na página do MOODLE encontra-se uma lista de problemas propostos de cada unidade com respostas, lembrando que poderá contar com o auxílio de um tutor e dos colegas, participando dos fóruns.

TEMA 6-SÉRIES UNIFORMES IMEDIATAS

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6.1 SériesVideoaula

Nos capítulos anteriores estudamos um modelo de aplicação financeira muito simples, em que um único depósito ou pagamento inicial, que permanecia aplicado durante n período a uma taxa i. Neste capitulo, estudaremos modelos em que são realizados pagamentos ou depósitos periódicos com objetivo de amortizar uma dívida ou compor um montante.

Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos PMT da série. Denomina-se n o número de termos, i a taxa de juros, PV o valor da dívida a amortizar e FV o valor do capital a constituir.

6.2 Classificações das SériesEm conformidade com a duração, periodicidade, valores e vencimentos dos termos PMT, as

séries têm a seguinte classificação:

• Quanto ao prazoTemporárias – quando o número de termos for finito.

Perpétuas – quando o número de termos for infinito.

• Quanto à periodicidadePeriódicas – quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante.

Não periódicas – quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos não é constante.

• Quanto ao valor dos termosConstantes – quando todos os pagamentos são do mesmo valor.

Variáveis - quando um dos pagamentos for de valor diferente dos demais.

• Quanto ao pagamento da 1ª parcelaImediata – quando os pagamentos são feitos a partir do primeiro período. (sem carência)

Diferida – quando os pagamentos são feitos após certo número de períodos. (com carência)• Quanto a forma de pagamento As rendas imediatas e diferidas ainda se classificam em:

Antecipada – se os pagamentos são feitos no início do período.

Postecipada – se os pagamentos são feitos no fim do período.


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Importante!Se o objetivo da série é pagar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor presente (PV) da série e tem-se um caso de amortização. Porém, se o objetivo é constituir um capital, esse capital será o montante (FV) da série e tem-se um caso de capitalização.

6.3 Séries Imediatas Antecipadas

As séries são classificadas como IMEDIATAS quando o primeiro pagamento é feito a partir do primeiro período e classificadas como ANTECIPADAS quando o pagamento é feito no início desse período.

Um exemplo: Na compra de algumas ferramentas o cliente poderá pagar em 6 parcelas mensais, sendo que a primeira parcela deverá ser paga dentro dos próximos 30 dias (SÉRIE IMEDIATA) e se ele pagar sempre no início do período a série será ANTECIPADA, se ele pagar no final dos 30 dias será POSTECIPADA.

Os problemas envolvendo séries de pagamentos podem ser resolvidos utilizando um modelo matemático, calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas.

Solução utilizando modelo matemático

Essa expressão relaciona a quantia total a ser amortizada (PV), a parcela periódica de amortização (PMT), o número de parcelas (n) e a taxa do período (i).

Solução utilizando calculadora financeira

Existem diversas calculadoras financeiras no mercado, sendo a mais popular a HP 12C, que será utilizada no curso. É uma calculadora financeira programável utilizada na execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos, taxas de retorno e amortização entre outros. A HP 12C utiliza o método RPN - Notação Polonesa Inversa, (RPN na sigla em inglês, de Reverse Polish Notation), que permite uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e melhor utilização da memória. Nela também se introduziu o conceito de fluxo de caixa, utilizando sinais distintos para entrada e saída de recursos.

Como já visto nas primeiras unidades, para a realização de cálculos financeiros com a HP 12C é preciso estar ciente das seguintes teclas:

Videoaula

http://pt.wikipedia.org/wiki/Calculadora

http://pt.wikipedia.org/wiki/Finan%E7as

http://pt.wikipedia.org/wiki/Juros

http://pt.wikipedia.org/wiki/Amortiza%E7%E3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/RPN

http://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%E7%E3o_Polonesa_Inversa

http://pt.wikipedia.org/wiki/RPN

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%EDngua_inglesa

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluxo_de_caixa


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n Indica o prazo que deve ser considerado. Pode ser dado em dias, meses, trimestres, anos, desde que de acordo com a taxa de juros.

i Significa interest (juros, em inglês).Indica a taxa de juros usada no trabalho com o capital. Deve estar de acordo com o indicador de tempo.

PV Significa Present Value (valor presente, em inglês). É o capital inicial sobre o qual os juros, prazos e amortizações serão aplicados.

FV Significa Future Value (valor futuro, em inglês). É o montante final resultante da soma dos juros acumulados com o Capital inicial, descontados os pagamentos, caso existam.

PMT Significa Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês). É o valor de uma parcela que pode ser adicionada ou subtraída do montante a cada período.

g BEG Deve ser digitada quando a série for antecipada, prestações pagas no início dos períodos, aparecerá no visor a palavra inglesa BEGIN que significa início.

g END Deve ser digitada quando a série for postecipada, prestações pagas no final dos períodos, a palavra BEGIN é apagada, fica sem anunciador.

Para realizar cálculos nessa modalidade, é necessário pelo menos 3 informações iniciais e obtem-se uma outra como resposta. É importante ter em mente que [PV] e [FV] terão sempre valores com sinais opostos, pois se um representar uma saída de caixa, o outro será uma entrada de caixa. Caso o cálculo exija que sejam inseridos [PV] e [FV] simultaneamente para a obtenção de [i], [n] ou [PMT], deve ser pressionado [CHS] (CHang Signal) antes da inserção de um dos dois.

Solução utilizando planilhas eletrônicas

Planilha eletrônica é um tipo de programa de computador que utiliza tabelas para realização de cálculos ou apresentação de dados. Cada tabela é formada por uma grade composta de linhas e colunas. O software mais comum de planilha eletrônica é o Excel.

Importante!Para o curso será utilizada preferencialmente, a Calculadora Financeira HP-12C e a Planilha Eletrônica Excel.

Exemplo – Série Imediata Antecipada

Calcular o valor da parcela do financiamento de um automóvel avaliado em R$ 38.000,00. Conforme contrato foram 48 meses e uma taxa efetiva igual a 2,4% ao mês e a primeira parcela paga no ato.

Resposta: 1.310,38

Aplicações• Um computador está sendo anunciado à vista por R$ 4 000,00 ou em cinco prestações mensais de R$

847, 98, sendo a primeira de entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?

Resposta: 3% am

Link para solução comentada

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%EDngua_inglesa

http://pt.wikipedia.org/wiki/Capital_inicial


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• Uma geladeira cujo preço à vista é R$ 1.800,00 pode ser paga em 24 prestações mensais, sendo a pri-meira de entrada. Sabendo que a taxa efetiva de juros é de 98% ao ano, qual o valor da prestação?

Resposta: 133,74


• Quanto se deve aplicar hoje em um investimento para poder retirar R$ 2.000,00 no fim de cada mês, durante os próximos 24 meses, considerando uma taxa de juros de 18% aa, capitalizada mensalmente?

Resposta: 40.582,78


• Uma indústria financia suas vendas a prazo aplicando juros efetivos de 10% am. Determinar o valor das prestações antecipadas para uma venda de R$ 250.000,00, considerando que há duas alternativas de pagamento: a) em 12 prestações mensais; b) em quatro prestações trimestrais.

Resposta: a) 33.355,30 b) 91.244,66


6.4 Séries Imediatas Postecipadas

Neste caso, na série contínua IMEDIATA, o primeiro pagamento é feito a partir do primeiro período, mas agora é POSTECIPADA, os pagamentos são feitos no final dos períodos.

Um exemplo: Na compra de alguns insumos um agricultor poderá pagar em 6 parcelas mensais, sendo que a primeira parcela deverá ser paga dentro dos próximos 30 dias (IMEDIATA), mas no final dos 30 dias, ou seja, postecipada, sem entrada.

Reforçando, se ele paga dentro do primeiro período a renda é IMEDIATA, se pagar no primeiro dia (com entrada) é ANTECIPADA, agora se pagar no final do período é POSTECIPADA. Muita atenção,

Videoaula





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pois isso faz toda a diferença, pois a matemática financeira estuda o valor do dinheiro no tempo. Uma parcela paga no início ou no final do período altera todos os demais valores, como valor presente e futuro, taxa de juros e prazo.

Solução utilizando modelo matemático

Essa expressão relaciona a quantia total a ser amortizada (PV), a parcela periódica de amortização (PMT), o número de parcelas (n) e a taxa do período (i). O que muda é que não há o fator (1+i) que indicava que as parcelas deveriam ser pagas no início dos períodos.

Solução utilizando calculadora financeiraA única alteração será a utilização da função g END, que indica que as parcelas serão pagas no final de cada período.

Exemplo – Série Imediata Postecipada Um agricultor comprou um trator usado, cujo preço à vista era de R$ 50 000,00, pagando-o em 72 prestações mensais de R$ 880,30 sem entrada. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

Resposta: 0,68 % ao mês

Aplicações:

• Uma geladeira foi comprada com 30% de entrada e mais 12 parcelas de R$ 122,06. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela loja foi de 4,5% am, qual o valor da geladeira a vista?

Resposta: 1.590,00


• Se uma pessoa entregar seu veículo usado na compra de um novo, ela pode abater R$ 7.500,00 do val-or à vista, que é R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de determinada entrada mais 18 prestações mensais postecipada de R$ 350,00 cada. Considerado que foram aplicados juros de 72% aa, capitaliza-dos mensalmente, calcular o valor da entrada. Neste caso, a financeira para passar a taxa de ano para meses utiliza a taxa proporcional.

Resposta: 7.210,34




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• Um financiamento de R$ 20.000,00 será pago em oito prestações mensais postecipadas. Considerando que a taxa de juros efetiva cobrada pela financeira é de 8% am, calcular o valor da comissão de abertura de crédito, cobrada do cliente, que permita à financeira auferir uma rentabilidade de 10% am na operação.

Resposta: 1.432,88 Link da solução comentada

• No financiamento de um automóvel de R$ 9.500,00 o cliente dará uma entrada de R$ 3.000,00 e financiará o saldo em 36 parcelas postecipadas. A financeira informa no contrato que a taxa nominal de juros anual é de 30,62%. Além dos juros cobra ainda, 137,08 de IOF, 509,00 de tarifa de cadastro, 61,35 de registro de contrato, 317,00 de tarifa de avaliação do bem e 600,00 de seguro. Com base nos dados: a) Qual o valor das parcelas? b) Qual o custo efetivo mensal? Qual o custo efetivo anual?

Resposta: a) 331,68 b) 3,71% am c) 54,82% aa

Link da solução comentada



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Nesta unidade você aprenderá sobre: séries diferidas e capitalização. Na série diferida são utilizados os mesmos procedimentos da unidade anterior, apenas levando em consideração que há um período de carência entre a data do contrato e o pagamento da primeira parcela. Já em capitalização, há uma série de pagamentos com objetivo de acumular capital. Para solução dos problemas existem modelos matemáticos, mas devido à característica prática do curso continua-se a utilizar a calculadora Hp-12C e a planilha eletrônica Excel.

Agora é só assistir as videoaulas dos conteúdos e dos problemas de aplicações, ler os textos e resolver os problemas propostos.

TEMA 7-SÉRIES UNIFORMES DIFERIDAS E CAPTALIZAÇÃO

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7.1 Séries Diferidas

Nas Séries Uniformes Diferidas, as parcelas diferidas são aquelas em que há um período de carência, isto é, vencem após certo período (maior que 1) a contar da ocasião do contrato. Como exemplo, as promoções do tipo: Compre hoje e comece a pagar daqui a 3 meses ou financiamentos do BNDS em que a primeira parcela só é paga após alguns meses.

Exemplo – Série Uniforme Diferida Qual a prestação de um financiamento de R$ 4 000,00 à taxa de 4% am a ser pago em 7 prestações, mas com uma carência de 3 meses?

Resposta: 749,65

Aplicações:

• Um financiamento de R$ 80.000,00 será pago em 36 prestações mensais a juros efetivos de 2,5% am. Considerando que foi estipulado no contrato um período de carência de 1 ano, calcular o valor das parcelas.

Resposta: 4.567,41Link para solução comentada

• Um agricultor comprou sementes no dia 01 de março e pagará por elas 6 parcelas mensais de R$ 2.276,40. Sabendo que a cooperativa cobrou juros compostos efetivos de 1,2% am e que concordou que o primeiro pagamento fosse feito no dia 30 de maio, qual o valor, à vista, das sementes.

Resposta: 12.793,73


• Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860,00 tem carência de 6 meses e taxa men-sal de 2%. Qual é o valor do financiamento na ocasião do contrato?

Resposta: 12.486,86

Link para a solução comentada

• A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 vezes.

Videoaula





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Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% am, qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2.800,00?

Resposta: 348,23

Link da Solução comentada

• Uma pessoa compra um terreno, que pagará em seis prestações mensais de R$ 14.859,06. As prestações serão pagas a partir do primeiro dia do quarto mês da compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% am. Qual será o preço do terreno à vista?

Resposta: 80.000,00


7.2 Capitalização

Os conceitos de Série Imediata Antecipada e Postecipada não se aplicam apenas ao cálculo de parcelas de um financiamento, no qual calcula-se o valor do financiamento (PV) e o valor das parcelas a serem pagas (PMT). Utiliza-se o mesmo raciocínio para calcular o montante (FV) de aplicações mensais. Os problemas podem ser resolvidos pelas funções da calculadora HP 12c, pelo Excel ou pelo modelo matemático:

Exemplo – Capitalização Joana pretende fazer uma viagem daqui a 1 ano, para tanto estima que precisará economizar em torno de R$ 10.000,00. Quanto Joana terá que depositar em média, por mês, na caderneta de poupança para juntar este capital, sabendo que a taxa média efetiva de juros é de 0,58% am?

Resposta: 802,43

Videoaula




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Aplicações: • Pedro esta com 20 anos e já está preocupado com sua aposentadoria. Tem a intenção de se aposentar

aos 60 anos aplicando mensalmente uma quantia de R$ 100,00 e para isso fez uma pesquisa das pos-sibilidades de investimentos. • Aplicar na caderneta de poupança que paga uma remuneração em torno de 0,6% am, menor taxa,

mas com baixíssimo risco;• Aplicar em um fundo de investimento que paga em média 1% am, mas já apresenta algum risco;• Aplicar em ações, que merecem atenção especial em relação ao risco, mas que pode pagar média

2% am já descontados taxas e impostos.

Qual o montante acumulado em cada opção?

Resposta: a) 279.359,97 b) 1.188.242,02 c) 68.488.914,57


• Nos dez primeiros aniversários de Lucas, seu pai investirá R$ 100,00 por ano em um investimento que rende 40% aa. e se destinam a financiar os estudos universitários de Lucas, bem como ajudar no pagamento de um apartamento por ocasião da sua formatura. Se Lucas retirar R$ 15.000,00 no 18º aniversário, R$ 17.000,00 no 19º aniversário, R$ 39.000,00 no 20º, R$ 51.000,00 no 21º e R$ 63.000,00 no 22º, quanto irá sobrar no 23º aniversário para comprar o apartamento?

Resposta: 112.964,56




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Nessa unidade você aprenderá sobre: Séries Uniformes com pagamentos extras (balão) e Séries Variáveis – Uso das teclas CFo , CFj , Nj , NPV e IRR.

Uma série é dita variável quando apresenta um fluxo de caixa com parcelas não uniformes. São várias as situações, por exemplo, quando um financiamento é contratado com parcelas uniformes, mas durante o período do contrato são feitos pagamentos extras (balões). Outro exemplo é um financiamento em que é definida uma taxa de juros fixa mais correção monetária (financiamento imobiliário). Nesse caso, cada parcela será diferente e tem-se uma série variável. Por fim, um último exemplo é um empréstimo em que o beneficiário paga valores variáveis mensalmente conforme a suas possibilidades (empréstimo a um familiar).

Para solução desse tipo de problema existem fórmulas, mas somente quando existe alguma lei para formação da série, caso não tenha uma lei de formação a única saída é a utilização da HP-12c ou planilhas eletrônicas como a Excel.

TEMA 8-SÉRIES VARIÁVEIS

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8.1 Séries Uniformes com pagamentos extras (balão)

Quando as prestações são insuficientes para amortizar um empréstimo, verifica-se a necessidade de uma parcela adicional denominada pagamento-balão. Esta parcela pode localizar-se em qualquer ponto do diagrama de fluxo de caixa, sendo seu valor obtido mediante a realização de uma série de cálculos.

A HP-12C está programada para calcular diretamente o valor do pagamento-balão desde que ele se localize no ponto n e se pressione a tecla FV. Para manter coerência com a calculadora, vamos designá-lo por FV, muito embora ele não se constitua no montante da série (capitalização).

Importante

• Na série postecipada o pagamento-balão (FV) coincide com a posição da última prestação, enquanto na série antecipada ele se situa um período após.

• Especial atenção deve ser dada ao sinal ( +/- ) do pagamento-balão (FV), o qual deverá ser o mesmo que o da prestação (PMT).

• Nos problemas que envolvem o pagamento-balão, utilizando todos os registradores financeiros: sendo dado quatro deles, é pedido o quinto.

Exemplo – Pagamento extra (balão) Uma televisão no valor de R$ 860,00 à vista foi comprada sem entrada para ser paga em 12 parcelas mensais e iguais a uma taxa de 4% am. Para diminuir o valor das prestações o cliente propõe um pagamento adicional de R$ 300,00 na sexta parcela. Qual o valor das prestações?

Resposta: 66,37

Aplicações:

• Um automóvel no valor de R$ 12.690,00 está sendo comercializado em 24 parcelas com uma taxa de juros de 1,98% ao mês, com as seguintes condições: entrada de 20% e três pagamentos extras (balão) de R$ 2.000,00 na 6ª, 12ª e 18ª parcela. Qual o valor das parcelas mensais para quitar o financiamento do automóvel?

Resposta: 284,22

Link da Solução Comentada

• Estou vendendo um apartamento e o interessado ofereceu-me R$ 15.000,00 no ato, R$ 15.000,00 em 15 dias, mais R$ 6.000,00 por mês durante 24 meses começando daqui a um mês e ainda um reforço adicional de R$ 15.000,00 ao final do primeiro ano. Se a taxa de juros está em torno de 30% ao ano, qual o preço à vista equivalente a essa proposta? Estava pensando em receber 150.000,00 à vista. Devo aceitar?

Resposta: 152.199,39


Videoaula




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• Um cliente deve a um banco R$ 5.000,00 para pagamento imediato e mais R$ 6.500,00 para paga-mento em 30 dias. Não podendo efetuar tal pagamento, procura o seu gerente para negociar a dívida, propondo o seguinte:• Uma carência de seis meses.• O parcelamento em 12 vezes iguais.O gerente para aceitar a proposta, propõe uma taxa de juros de 4% am e um pagamento balão de R$ 3.000,00 na 6ª parcela. O cliente aceita. Finalizada a negociação, calcule o valor das parcelas a serem pagas.

Resposta: 1.264,12


• Uma loja está vendendo um televisor pelo seguinte plano: entrada de R$ 500,00 e mais 3 prestações mensais e iguais de R$200,00, sendo a primeira após 75 dias. A taxa de juros composta cobrada nesta operação é de 2% ao mês. A loja deseja adotar um novo plano equivalente ao anterior, cobrando a mesma taxa de juros, ou seja: entrada de R$250,00 e mais 5 prestações bimestrais e iguais, sendo a primeira após 15 dias. Qual será o valor das prestações bimestrais?

Resposta: 176,80


8.2 Séries Variáveis – Uso das teclas CFo , CFj , Nj , NPV e IRR

No caso anterior, as parcelas são uniformes e o fluxo é variável, pois há um, ou alguns, pagamentos extras. Mas e se todos os pagamentos forem diferentes, por exemplo, se o financiamento for feito com juros pós-fixados, em que é definida uma taxa de juros, mais um índice de indexação (INPC, por exemplo), o valor da parcela só será conhecido no dia do pagamento, sendo cada parcela um valor diferente. Neste caso diz-se que a série é variável. No caso da HP-12C, ela dispõe de funções especiais para até 20 parcelas desiguais: CFo, CFj, Nj, NPV e IRR. Caso haja mais de 20 parcelas desiguais, utiliza-se uma planilha eletrônica.

Exemplo – Série variável

Emprestei R$ 1.000,00 a um amigo que prometeu pagar R$ 200,00 no primeiro mês, R$ 500,00 no segun-do mês, nada no terceiro mês, R$ 100,00 no quarto mês, R$ 150,00 no quinto e mês e finalmente R$ 400,00 no sexto mês. Que taxa mensal de juros ele utilizou para corrigir o dinheiro emprestado?

Resposta: 9,38% am

Videoaula




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Aplicações:

• Um equipamento foi comprado para ser pago em 9 parcelas, sem entrada, com taxa de juros de 5% ao mês. As parcelas são as seguintes: R$ 1.000,00 no primeiro mês, R$ 2.000,00 do 2º ao 5º mês, nada no 6º mês e R$ 3.000,00 do 7º ao 9º mês. Qual o valor a vista do equipamento?

Resposta: 13.802,96


• Hoje, apliquei R$ 8.500,00 e, a partir do mês que vem, efetuarei mais nove aplicações mensais de R$ 5.500,00 cada uma, a fim de resgatar R$ 95 311,41 no final de dez meses. Qual deve ser a taxa de juros de minha aplicação?

Resposta: 8,5% am


• Um equipamento no valor de R$ 7.000,00 é integralmente financiado para pagamento em 7 parcelas mensais, sendo as 3 primeiras de R$ 1.000,00, as 2 seguintes de R$ 1.500,00 , a 6ª de R$ 2.000,00 e a 7ª de R$ 3.000,00. Qual a taxa de juros deste financiamento?

Resposta: 10,3975% am


• A prefeitura de uma cidade paranaense está em negociação com a empresa de energia elétrica do estado. Hoje, a dívida é de R$ 245.493,15. Após várias rodadas de negociações, fecharam o seguinte acordo: • quatro anos para pagamento;

• juros compostos com a taxa de 1,5% am;

• entrada de 20%;

• parcelas fixas de R$ 3.000,00 no 1º ano, com um pagamento – balão (adicional) de R$ 10.000,00 no sexto mês;

• parcelas fixas de R$ 4.500,00 no 2º ano, com um pagamento – balão (adicional) de R$ 15.000,00 no sexto mês;

• parcelas fixas de R$ 6.000,00 no 3º ano, com um pagamento – balão (adicional) de R$ 20.000,00 também no 6º mês.




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Para assinar o contrato de negociação da dívida só falta responder a seguinte pergunta: Qual o valor das parcelas a serem pagas no 4º ano para quitar a dívida?

Resposta: 6.804,11



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PARTE 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – TABELA PRICE

Nesta unidade você aprenderá sobre: Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com e sem correção monetária.

A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida é paga por meio de parcelas, de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização (devolução do valor emprestado) e os juros dos saldos do empréstimo ainda não amortizado.

Existem infinitas formas de se amortizar um empréstimo ou um financiamento. Por exemplo:• pagar em prestações iguais, amortizando o principal e juros ao mesmo tempo.• pagar em prestações crescentes ou decrescentes, também amortizando o principal e os juros

juntos.• pagar somente os juros e o principal na última parcela.• ter uma carência de 6 meses, pagar 50% do principal, pagar somente os juros por 12 meses e

depois parcelar o restante do principal em 6 vezes.

Essas opções tornam muito complicado para uma loja ou um banco se cada cliente criasse o seu plano de amortização. Assim, para simplificar, o mercado adotou alguns planos que são utilizados na grande maioria dos casos. São eles: Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante (SAC).

Existem outros, como: Sistema de Amortização Misto (SAM), Sistema de Amortização Americano e o Sistema de Amortização Crescente (SACRE), mas como estão em desuso, neste curso explora-se apenas a Tabela Price e o SAC.

TEMA 9-PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

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9.1 Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)

Este sistema também é conhecido pelos nomes de Tabela Price ou Sistema de Prestação Constante. Foi utilizado pela primeira vez na França, no século XIX. O sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Nesse sistema, as prestações são constantes e correspondem a uma série uniforme. Como o juro é função do saldo devedor, os juros diminuem enquanto a amortização aumenta com o pagamento das prestações.

A Tabela Price tem esse nome em homenagem a Richard Price que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos no século XVIII.

Exemplo – Tabela Price O valor de R$ 20.000,00 foi financiado para pagamento em 6 parcelas mensais, com a 1ª paga um mês após o financiamento, à taxa de juros de 3% am (pré-fixada) sem correção monetária. Faça a planilha de amortização pela Tabela Price, primeiro utilizando a Calculadora Financeira HP-12C e depois utilizan-do a Planilha Eletrônica Excel.

n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0123456

Aplicações:

• Construa a planilha do exemplo anterior, mas agora supondo um período de carência de dois meses em que serão pagos os juros devidos.



• Ainda em relação aos dados do exemplo, construa a planilha supondo agora um período de carência de dois meses em que os juros não são pagos na carência, mas sim incorporados ao principal.



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• Uma colheitadeira no valor de R$ 800.000,00 foi financiada em 15 anos pela Tabela Price, com taxa de juros efetivos anuais de 7,5%. Encontre, após o pagamento da 90a parcela: a) o valor da prestação; b) o valor dos juros pagos; c) quanto foi amortizado; d) o saldo devedor.

Resposta: a) 7.304,65 b) 363.315,79 c) 294.102,96 d) 505.897,04


• Uma indústria tomou emprestado R$ 2.000.000,00, concordando em saldar o débito em oito pagamentos anuais postecipados, a juros efetivos de 36% aa pela Tabela Price. Calcular: a) a prestação anual; b) o saldo devedor logo após o sexto pagamento; a amortização do quarto ano.

Resposta: a) 787.268,48 b) 1.004.516,44 c) 169.210,89


9.2 Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) – Com correção monetária

Nas aplicações anteriores, a Tabela Price foi elaborada apenas com o cálculo dos juros. Existem muitos financiamentos, os imobiliários por exemplo, que além dos juros acrescem a correção monetária, que pode ser um índice qualquer, como a TR, INPC, IPG-M, entre os diversos índices que existem no mercado e devidamente contratados entre as partes. A correção monetária pode ser:

• Plena: quando o saldo devedor e a prestação são corrigidos pelo mesmo índice ou percentual, na mesma data.

• Sem correção plena: quando os pagamentos são corrigidos por um índice e o saldo devedor por outro. Isso acontece, por exemplo, quando a prestação é corrigida pela variação salarial e o saldo devedor pelo IGP-M (FGV). Isso explica porque ao final do prazo do contrato ainda exista um saldo devedor, pois normalmente o reajuste dos salários é diferente dos índices de inflação.

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Exemplo – Tabela Price com correção monetária

O valor de R$ 50.000,00 foi financiado para pagamento em 5 parcelas mensais, com a 1ª paga um mês após o financiamento. Para cálculo das parcelas foi contratada a taxa de juros de 2% am, mais Correção Monetária pela TR (Taxa Referencial) que, em média está 0,4% am. Com base nos dados, faça a planilha de amortização pela Tabela Price com correção plena

n Índice da Correção

Prestação Juros Amortização Valor da Correção

Saldo Devedor

012345

Passos:1º) cálculo da prestação =2º) acrescentar correção = 3º) corrigir saldo devedor =4º) cálculo dos juros = 5º) cálculo da amortização =6º) cálculo do saldo devedor =

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PARTE 2 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC

Nessa unidade você aprenderá sobre o Sistema de Amortização Constante (SAC) – com e sem correção monetária. O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização.

TEMA 10-PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

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10.1 Sistema de Amortização Constante (SAC) – Sem correção monetária

Esta denominação deriva de sua principal característica, ou seja, suas amortizações periódicas são todas iguais ou constantes. O principal é reembolsado em cotas de amortizações constantes. Dessa maneira, diferente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no Sistema SAC, as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de período de pagamento.

Exemplo – Sistema SACO valor de R$ 20.000,00 foi financiado para pagamento em 6 parcelas mensais, com a 1ª paga um mês após o financiamento, à taxa de juros de 3% am (pré-fixada) sem correção monetária. Faça a planilha de amortização pelo Sistema SAC, pela calculadora HP12c e pelo Excel.


Aplicações

• Ainda em relação aos dados do exemplo, construa a planilha supondo, agora, um período de carência de dois meses em que os juros não são pagos na carência, mas incorporados ao principal.



• Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema SAC em 5 parcelas mensais a juros efe-tivos de 4% am. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a soma dos juros pagos no segundo e terceiro meses; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.

Resposta: a) 100.000,00 b) 28.000,00 c) 200.000,00


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10.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) – Com correção monetária

Aqui devemos corrigir o saldo devedor e o valor da amortização pelo índice de correção monetária con-tratado. Depois calcular os juros sobre o saldo devedor corrigido e somar com o valor da amortização também corrigido para encontrar a prestação.Exemplo – SAC com correção monetária:

O valor de R$ 10.000,00 foi financiado para pagamento em 5 parcelas mensais, com a 1ª paga um mês após o financiamento. Para cálculo das parcelas foi contratada a taxa de juros de 3% am mais Correção Monetária pela TR (Taxa Referencia) que em média está 0,5% am. Com base nos dados, faça a planilha de amortização pelo Sistema SAC com correção plena.

n Índice da Correção

Prestação Juros Amortização Valor da Correção

Saldo Devedor

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Aplicações

• Construa uma planilha de amortização pelo Sistema SAC com correção plena do seguinte financia-mento: • Valor = R$ 200.000,00;• Taxa de juros = 2% am;• Prazo = 5 meses;• Primeira parcela paga um mês após o financiamento; • Correção Monetária pelo INPC = média mensal 0,34% am.


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