Experimentalphysik E1

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Akustik

10. Feb. 2016

- Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse.� Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden.

Wellen

- Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle.

Longitudinale Wellen:

Transversale Wellen:

Stehende Wellen

A(x,t) = A ⋅sin(ωt − kx) + A ⋅sin(ωt + kx)= A ⋅ sin(ωt)cos(kx ) − cos(ωt)sin(kx)( )

+A ⋅ sin(ωt) cos(kx) + cos(ωt)sin(kx)( )

)cos()sin(2),( kxtAtxA ω⋅=

Knoten bei cos(kx)=0

Bäuche bei cos(kx)=1

Interferenz von hin- und rücklaufender Welle

Wellenfunktion einer stehenden Welle

2λ⋅= nL

λ : Wellenlänge

Stehende Wellen

geschlossene Pfeife

(gedackte Pfeife)offene Pfeife

Obertöne einer Orgelpfeife

HolzpfeifeOrgelpfeife

Erzeugung von Tönen

Versuch: Schwebung

Überlagerung harmonischer Wellen

Hermann v. Helmholtz

(1821-1894) ein Naturgelehrter

Humboldt‘scher Prägung

Helmholtz-Resonanz

VlSck

H0=ω

S0 Fläche der Austrittsöffnung

V eingeschlossenes Luftvolumen

lk Flaschenhalslänge

f-Löcher genähert durch Ellipse mit

a = 4.6 cm, b = 0.4 cm ⇒ lk = 1.53 cm

Geigenkorpus: V = 2220 cm3

2 f-Löcher: S0 = 11.5 cm2

V l

S0

⇒ ωH ≈ 2π 293 Hz

Verfahren zur Demonstration von zweidimensionalen Eigenschwingungen:

Zweidimensionale Eigenschwingungen von Membranen

Chladnische Klangfiguren:

Anstreichen einer dunklen, mit weißem Pulver bestreuten

Platte mit einem Geigenbogen

⇒  Pulver sammelt sich an den Schwingungsknoten

kein Massentransport, nur Energietransport

ebene Welle: ( )kztA −ω⋅=ξ cos

2

21

ξ⋅Δ= mEkin

22

41/ ω⋅⋅ρ⋅=Δ AVE T

kin

( )kztADDEpot −ω⋅⋅⋅=ξ⋅⋅= 222 cos21

21

mΔ⋅ω= 2

=ΔT

pot VE /

€

14⋅ ρ ⋅ A2 ⋅ω 2

( )kztAV −ω⋅ω⋅⋅Δ⋅ρ⋅= 222 sin21

Energietransport

22

21

ωρ ⋅⋅⋅⋅ Avph

22

21

ω⋅⋅ρ⋅= A

Intensität:

Gesamtenergiedichte

VW

e Δ=ρ kinpot EEW +=

Energie, die pro Zeiteinheit durch Einheitsfläche senkrecht zur

Ausbreitungsrichtung transportiert wird

=⋅= ephvI ρ

€

PSt =IvPh

Strahlungsdruck

Akustik:

€

u =dξdt

= −Aω sin ωt − kz( ) = −u0 sin ωt − kz( )

€

∂p∂z

= −ρ∂ 2ξ∂t 2

€

= ρ ω2 ξ0 cos ωt − kz( )

€

=> p = −ρ ω2 1kξ0 sin ωt − kz( ) + p0 = p0 +Δp0 sin ωt − kz( )

€

= −ρωfλξ0

€

= −vPhρωξ0

€

= −vPhρu0Druck-Amplitude

€

Δp0

€

= −ρωω2π

λξ0

Mittlere Energiedichte der Schallwelle:

€

dWdV

= w =12ρ ω2 ξ0

2

€

=12Δp0

2

ρ vPh2

€

=12ρ u0

2Ekin/V der durch die Schallwelle aus-gelenkten Teilchen

=> Intensität (Energieflussdichte)

€

I = vPhdWdV

=12Δp0

2

ρ vPh

€

=12vPh ρ u0

2

Schall-

druckpegel:

€

Lp =10 log10 Δp ΔpS( )2 = 20 log10 Δp ΔpS( )(Hörschwelle)

∆ps= 2*10-5 Pa

=> Lautstärke (subjektiv!)

€

Lst =10 log10 I(υ) Imin (υ)( )

Geschwindigkeitsamplitude oder Schallschnelle.

[Lst] : Phon

€

= −Z u0

Schallwellen-widerstand (Impedanz)

Der Gehörsinn

In der Evolution mehrfach neu erfunden!

∆α < 0.50

Reflexion und Transmission

Z2Z1

uein, pein

uref, pref

ut, pt

Randbedingungen

in der Grenzfläche :

ut = uein +urefpt = pein + pref

€

=> Z2 ⋅ 1+ r( ) = Z1 − Z1 ⋅ r

Z2 ⋅ r + Z2 = Z1 − Z1 ⋅ r

Schall-Reflexion an Grenzflächen

€

=> Z2 ⋅ut = Z1 ⋅uein − Z1 ⋅uref

Z2 ⋅ uein + uref( ) = Z1 ⋅ uein − Z1 ⋅uref

€

Z2 ⋅ 1+urefuein

#

$ %

&

' ( = Z1 − Z1 ⋅

urefuein

Z2 ⋅ r + Z1 ⋅ r = Z1 − Z2

Iein

Iref

It

€

R =IrefIein

€

=∝uref

2

∝uein2

=urefuein

!

" # $

% & 2

= r 2

€

r =urefuein

mit

Reflexionsgrad: R =Z1 − Z2Z1 + Z2

"

# $ %

& ' 2

Transmissionsgrad: T =1-R Energiererhaltung!

€

r =Z1 − Z2Z1 + Z2

Reflexion und Transmission

Reflexionsgrad: R =Z1 − Z2Z1 + Z2

"

# $ %

& ' 2

Z = vPhρ

Kohärenz und Interferenz

§11.10 Überlagerung von Wellen

Bei der Interferenz zweier phasenstarr gekoppelter Quellen gleicher Frequenz ist für einen festen Ort

€

P r 0( )

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

€

ξ t( ) = ξ1 + ξ2

€

= A1 cos ωt − k 1 ⋅ r 0 + ϕ01( ) + A2 cos ωt −

k 2 ⋅ r 0 + ϕ02( )

⇒ 

€

ξ = A1 cos ωt −ϕ1( ) + A2 cos ωt −ϕ2( )

€

= C cos ωt − ϕ( )Koeffizientenvergleich:

€

C cos ϕ( ) = A1 cos ϕ1( ) + A2 cos ϕ2( )C sin ϕ( ) = A1 sin ϕ1( ) + A2 sin ϕ2( )

€

tan ϕ( ) =A1 sin ϕ1( ) + A2 sin ϕ2( )A1 cos ϕ1( ) + A2 cos ϕ2( )

€

ϕ1

€

ϕ2

Lineare Antwort!

€

= C cos ωt( )cos ϕ( ) + C sin ωt( )sin ϕ( )€

= A1 cos ωt( )cos ϕ1( ) + A1 sin ωt( )sin ϕ1( )

€

+A2 cos ωt( )cos ϕ2( ) + A2 sin ωt( )sin ϕ2( )

mit

€

Δϕ = ϕ1 − ϕ2

⇒ 

€

C = A12 + A2

2 + 2 A1 A2 cos Δϕ( )

Quadrieren und Addieren

Die Gesamtwelle ist ebenfalls harmonisch und ihre Amplitude hängt von der Phasendifferenz Δφ ab:

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

⇒ 

Für ∆φ = 2m π wird die Amplitude (konstruktive Interferenz).

€

A1 + A2Für ∆φ = (2m+1) π ergibt sich (destruktive Interferenz).

€

A1 − A2

€

I ∝ ξ1 + ξ2( )2

= ξ12 + ξ2

2 + 2 ξ1 ξ2Intensität:

€

= A12 cos2 ωt + ϕ1( ) + A2

2 cos2 ωt + ϕ2( )+ 2 A1 A2 cos ωt + ϕ1( ) cos ωt + ϕ2( )

Additionstheorem:

€

cos 2ωt +ϕ1 +ϕ2( ) + cos ϕ1 −ϕ2( )

€

=> < I > =12

A12 + A2

2( ) + A1 A2 cos Δϕ( )Wenn Messgerät über viele Perioden mittelt

1/2 1/2

Überlagerung zweier harmonischer Wellen

Bei kohärenten Wellen ergibt sich deswegen eine sinusförmige Intensitätsfunktion:

Für inkohärente Wellen ändert sich die Phasendifferenz regellos und es tritt kein stationäres Interferenzmuster auf.

Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen

€

ξ r,t( ) =Arsin ωt − kr( )

Phasendifferenz in P

€

Δϕ =ϕ1 −ϕ2 = k(r1 − r2 )

=> konstruktive �Interferenz für

€

r1 − r2 = n 2πk

=> Hyperbelschar

Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r

abfällt