Anlisis de Datos Espaciales

En clases anteriores hemos discutido los datos longitudinales, o medidas repetidas en

el tiempo. En este tipo de datos debemos modelar la correlacin entre observaciones

del mismo sujeto, ya sea mediante la introduccin de un efecto aleatorio de sujeto,

mediante una estructura de covarianza para los errores, o mediantes ambos

mecanismos.

En el caso de datos georreferenciados tenemos la misma situacin: hay que considerar

la correlacin entre las observaciones. Al igual que en las medidas repetidas en el

tiempo, tpicamente las observaciones ms cercanas estarn ms correlacionadas entre

s. Por lo tanto, la correlacin entre los errores (o las observaciones) ser una funcin de

la distancia entre stos. La distancia entre dos puntos P y Q, referenciados en un sistema

de coordenadas de dos dimensiones (x,y), es

2 2( ) ( )PQ P Q P Q

d x x y y

Normalmente suponemos varianzas homogneas y que la correlacin es la misma para

dos puntos a la misma distancia (isotropa) sin importar la direccin en la que estn los

dos puntos. Bajo isotropa, las estructuras de correlacin dependen solamente de la

distancia entre los dos puntos.

Los modelos ms comunes para la correlacin son: (pg 440 de SAS).

1. Esfrico

3

( , ) ( ) 1 1.5 0.5 siij ij

i j ij ij

d dCorr e e f d d

2. Exponencial

( , ) ( ) exp iji j ij

dCorr e e f d

3. Gaussiano

2

2( , ) ( ) expij

i j ij

dCorr e e f d

4. Lineal

1( , ) ( ) 1 sii j ij ij ij

Corr e e f d d d

5. Lineal-log

1( , ) ( ) 1 log( ) si logi j ij ij ij

Corr e e f d d d

6. Potencia

( , ) ( ) ijd

i j ijCorr e e f d

Debemos observar que en cada uno de estos modelos isotrpicos tenemos un

parmetro de correlacin para estimar, y adems debemos estimar la varianza de los

errores. Existen otros modelos con mayor nmero de parmetros (por ej., Matrn). Si el

modelo fuese anisotrpico (hasta dos direcciones perpendiculares en SAS) o

heteroscedstico habra ms cantidad de parmetros para estimar.

Modelos con efecto pepita (nugget)

Existen situaciones en las que localmente se observa ms variabilidad que la que

esperaramos con los modelos anteriores, aunque la correlacin sigue dependiendo de

la distancia entre las observaciones. Este efecto puede modelarse como una varianza

adicional (efecto nugget):

2 2

1

2

( )

( , ) ( )

i

i j ij

Var e

Cov e e f d

Para ajustar estos modelos en SAS podemos usar dos estrategias: si no tenemos

nugget modelamos directamente la matriz R con algunos de los modelos presentados

antes (comando REPEATED con la opcin TYPE). Si tenemos nugget, entonces

podemos modelar con REPEATED y las opciones TYPE y LOCAL, o modelamos la

estructura de covarianza mediante el comando RANDOM (y la opcin TYPE) y el

nugget es directamente la varianza residual (que aparece automticamente sin

necesidad de usar REPEATED).

Ejemplo (pg. 458 en SAS for Mixed Models)

Los datos provienen de una investigacin para evaluar las caractersticas del drenaje en

sitio potencialmente peligroso por estar contaminado. Se estudiaron varias

localizaciones en el sitio, para estudiar la relacin entre el movimiento del agua (medida

por la log-transmitividad, LOGT) y el grosor de la capa de sal (SALT). Se espera una

relacin lineal entre ambas medidas, pero tambin se espera que haya correlacin

espacial entre las observaciones, para lo cual se registraron las coordenadas de cada

localizacin (Northing, Easting).

Se ajustan distintos modelos de covarianza, usando como efecto fijo la relacin lineal

entre logt y sal.