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E S T R U C T U R A S I
F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018
ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA CON DOS NUDOS DESPLAZABLES,
CON TRAMOS DE INERCIA CONSTANTE.
Se plantea la siguiente estructura en Hormigón Armado:
Se trata de una costilla de tramos AC, CD y DB de sección constante de 20 x 50 cm y luces según
gráfico. En los tramos CD y DB se considera una descarga de cubierta de 1800 daN/m de tramo.
Estudiándola por Método de Cross se pide:
A
D
BC
°
°
a) Trazar Diagramas de Solicitaciones de todos los tramos.
b) Indicar reacciones en los apoyos.
c) Verificar la sección más comprometida y proponer ajustes de ser necesarios.
PROPUESTA 2: ESTRUCTURA DE DOS NUDOS, DESPLAZABLES, CON TRAMOS DE INERCIA CONSTANTE
E S T R U C T U R A S I
ESQUEMA GEOMÉTRICO Y DE CARGAS:
A
D
BC
tramo AC: p.p. : 0.20 x 0.50 x 2500 = 250 daN/m
tramo CB: p.p. + desc. cubierta: 250 + 1800 = 2050 daN/m
tramo DB: p.p. + desc. cubierta: 250 + 1800 = 2050 daN/m
E S T R U C T U R A S I
13007 daNmMCD = MDC =2050 x 9.00 x 8.46
12=
MCA = MAC =250 x 4.50 x 1.54
12=
144 daNm
NUDO D:
= 0.111 + 0.400 = 0.511
rDC =0.111
0.511= 0.22
rDB =0.400
0.511= 0.78
= 1
NUDO C:
= 0.222 + 0.111 = 0.333
rCA =0.222
0.333= 0.67
rCD =0.111
0.333= 0.33
= 1
tramo DB 2.50 1 0.500.4000.4001
tramo AC
tramo CD
L (m) Ir
9.00 1
14.50 1 0.222 0.222 0.50
0.500.1110.1111
=IrL
COEFICIENTES DE REPARTICION:
M.E.P.:
MDB = MBD =2050 x 2.50 x 0.86
12=
367 daNm
E S T R U C T U R A S I
ARTIFICIO DE CROSS:
A
D
B
C
-13007
13007
-367
367
144
-144
9778
-9778
12133
-5516
-12133
E S T R U C T U R A S I
DESCARGAS BARRA POR BARRA:
A
C
D
C
D
B
E S T R U C T U R A S I
DESCARGAS POR CAMINOS MATERIALES:
A
D
B
C
32588 daN
155 daN
11093daN
E S T R U C T U R A S I
A) Por caminos materiales, todas las
descargas o van hacia los apoyos de la
estructura o se equilibran a través de barras,
solicitando axilmente las barras que transitan.
Reacciones
Diagramas de solicitaciones
se producirán deformaciones por flexión
que afectarán los momentos hallados
Se suman en cada nudo, y se descomponen en
caminos materiales, intentando llevarlas a los
apoyos, donde deben encontrar su equilibrio
Pueden darse dos casos:
B) Hay fuerzas que, por caminos materiales,
no se pueden transmitir a los apoyos o
equilibrar a través de las barras = “fuerzas F
de desviación”
DESCARGAS POR CAMINOS MATERIALES:
E S T R U C T U R A S I
5. Se vuelve a analizar la estructura con un 2do. Cross (sólo bajo la acción de esta única fuerza)
Provocan en la estructura deformaciones por
flexión (alabeos), y como tenemos los nudos
frenados….
….se van a producir nuevos momentos de
fijación (M.EP.) que afectarán a los
momentos hallados
F=11093daN
A
CB
D
1. Por lo cual hay que hacer una análisis de la
estructura solamente con esta “fuerza de
desviación”, ya que el resto de las fuerzas
encontraron su camino material a los apoyos
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Casos posibles de desplazamientos
Determinar el valor de los M.E.P. en
extremos de barras
Reglas p/trazado de la deformada
¿Qué información nos brinda?
2. Trazado de la deformada con los nudos
frenados, sin giro, pero con posibilidad de
desplazamientos.
3. Relaciones entre los desplazamientos de los
nudos (c/ valores arbitrarios pero proporcionales entre sí)
4. Momentos de fijación ficticios (M.E.P.) en los
nudos que correspondan(c/ valores arbitrarios pero proporcionales)
MOMENTOS DE FIJACIÓN EN
BARRAS CON DESPLAZAMIENTO
DE APOYOS
E S T R U C T U R A S I
[PASO 4]
Coeficientes de
Repartición
ri
Se juntan varias barras
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se
suelta un nudo en una
estructura que está
frenada?
[PASO 5]
Artificio del
Método de Cross
(ejemplo de
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de
fijaciónó
Momentos frenosó
Momentos de
empotramiento
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en
los extremos de
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma
kappa)
(alpha
kappa)
ó
a) Carga transversal
b) Momento aplicado
en extremo izq.
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado
en extremo der.
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSSPASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:M.E.P. en barras
con
desplazamiento de
apoyos
A B
a)
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
La pieza se desplaza
sobre su propio eje la
misma cantidad. No hay
deformación de flexión
cualquiera sea el
vínculo
A BA' B'
a)
E S T R U C T U R A S I
La pieza se desplaza
sobre su propio eje la
misma cantidad. No hay
deformación de flexión
cualquiera sea el
vínculo
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
A BA' B'
a)
A B
b)
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
La pieza se desplaza
paralelamente a sí misma
la misma cantidad.
Tampoco hay
deformaciones de flexión
para este caso,
cualesquiera sean las
condiciones de apoyo.
A BA' B'
a)
A B
A' B'
b)
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
La pieza se desplaza
paralelamente a sí misma
la misma cantidad.
Tampoco hay
deformaciones de flexión
para este caso,
cualesquiera sean las
condiciones de apoyo.
A B
c)
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Se desplaza un solo apoyo, por la
condición de los vínculos pueden
darse varios casos:
A B
c)
A'
B'
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Se desplaza un solo apoyo, por la
condición de los vínculos pueden
darse varios casos:
A B
c)
A'
B'
A B
c)
A'
B'
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Se desplaza un solo apoyo, por la
condición de los vínculos pueden
darse varios casos:
A B
c)
A'
B'
EN ESTE CASO SÍ VAN A INFLUIR LOS
VÍNCULOS EN AMBOS EXTREMOS
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Se desplaza un solo apoyo, por la
condición de los vínculos pueden
darse varios casos:
A B
c)
A'
B'
A B
c.1)
A'
B'
L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Ambos apoyos
articulados; no
hay deformación
por flexión.
A B
c)
A'
B'
A B
c.1)
A'
B'
c.2)L
AB
A'
B'
L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Un apoyo impedido de
girar y se desplaza uno
de los apoyos:
En este caso hay
deformación por flexión
Ambos apoyos
articulados; no
hay deformación
por flexión.
A B
c)
A'
B'
A B
c.1)
A'
B'
c.2)L
AB
A'
B'
L
AB
A'
B'
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Un apoyo impedido de
girar y se desplaza uno
de los apoyos:
En este caso hay
deformación por flexión
Ambos apoyos
articulados; no
hay deformación
por flexión.
A B
c)
A'
B'
A B
c.1)
A'
B'
c.2)L
AB
A'
B'
L
AB
A'
B'
c.3)
A
A'
L
B
B'
AMBOS MOMENTOS SON
DEL MISMO SENTIDO
E S T R U C T U R A S I
Los dos apoyos impedidos de girar:
En este caso también hay
deformación por flexión
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Ambos apoyos
articulados; no
hay deformación
por flexión.
Un apoyo impedido de
girar y se desplaza uno
de los apoyos:
En este caso hay
deformación por flexión
A B
d)L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Los dos extremos se desplazan arbitrariamente.
A B
d)L
L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Los dos extremos se desplazan arbitrariamente.
A B
d)
A'B'
L
L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Los dos extremos se desplazan arbitrariamente.
Por superposición:
1) Se desplazan los dos apoyos paralelamente (caso b) – no genera M.E.P.;
2) Desplazamiento como en el caso c, y pueden darse cualquiera de las tres situaciones,
que tiene dos casos en que hay deformaciones por flexión– genera M.E.P.
A B
d)
A'B'
A"
B"
L
L
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Los dos extremos se desplazan arbitrariamente.
Por superposición:
1) Se desplazan los dos apoyos paralelamente (caso b) – no genera M.E.P.;
2) Desplazamiento como en el caso c, y pueden darse cualquiera de las tres situaciones,
que tiene dos casos en que hay deformaciones por flexión– genera M.E.P.
A B
d)
A'B'
A"
B"
L
L
AMBOS MOMENTOS SON
DEL MISMO SENTIDO
E S T R U C T U R A S I
Analizar qué pasa en una estructura
cuando se desplazan los nudos:
Posibles casos de desplazamientos
Los dos extremos se desplazan arbitrariamente.
Por superposición:
1) Se desplazan los dos apoyos paralelamente (caso b) – no genera M.E.P.;
2) Desplazamiento como en el caso c, y pueden darse cualquiera de las tres situaciones,
que tiene dos casos en que hay deformaciones por flexión– genera M.E.P.
TRES REGLAS PARA EL TRAZADO DE LA DEFORMADA:
1) El corrimiento D de un nudo se realiza en la dirección perpendicular a la
dirección del eje del tramo al que ese nudo pertenece.
Se mide proyectando los dos extremos del tramo deformado sobre una
recta perpendicular a su dirección.
2) La proyección de la luz del tramo sobre una paralela a su dirección man-
tiene su longitud después de la deformación.
3) En los nudos frenados, la tangente a la deformada es paralela a la direc-
ción del tramo, o coincide con su eje antes de la deformación.
E S T R U C T U R A S I
¿QUÉ INFORMACIÓN OBTENEMOS DEL TRAZADO?
1) El valor relativo de los corrimientos D de los tramos que se deforman.
2) El sentido de los momentos de fijación en los extremos de las barras
deformadas.
3) Cuáles barras de la estructura se deforman y, por lo tanto, van a tener
momentos de fijación en sus extremos.
E S T R U C T U R A S I
E S T R U C T U R A S I
Haciendo intervenir el teorema
de la reciprocidad de los
trabajos, de Betti – Maxwell:
( + )L
MA =
( + )L
MB =
¿Cómo determinar el valor de los
M.E.P. en extremos de barras?▪ Tramo con corrimiento de apoyos
▪ Ambos extremos frenados
Por superposición:
Las expresiones de los giros son:
A = A2 + − A3 = 0
B = B2 − + B3 = 0
Los giros en los apoyos son nulos
−A2 . x'2
. L 2
MA . MB .
L +
A3 . x'3
. L 2 = 0
−A2 . x2
. L 2
MA . MB .
L +
A3 . x3
. L 2 = 0
Por lo tanto:
𝜃𝐵3 =𝑀𝐵 ∙ 𝐴3 ∙ 𝑋3
κ ∙ 𝐿2
𝜃𝐴3 =𝑀𝐵 ∙ 𝐴3 ∙ 𝑋´3
κ ∙ 𝐿2
𝜃𝐵2 =𝑀𝐴 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑋2
κ ∙ 𝐿2
𝜃𝐴2 =𝑀𝐴 ∙ 𝐴2 ∙ 𝑋´2
κ ∙ 𝐿2ψ =
∆
𝐿
ψ =∆
𝐿
E S T R U C T U R A S I
Para Inercia constante:
= 0,5 =
( + )L
MA =
( + )L
MB =
( + 0,5)L
MA = MB = L
MA = MB =
¿Cómo determinar el valor de los
M.E.P. en extremos de barras?
haciendo
tomando la expresión:
E S T R U C T U R A S I
( + )L
MB =
= 0 L
MB =
Para Inercia constante:
x 0,5L
MB = L
MB =
▪ Tramo con corrimiento de apoyo derecho
▪ Extremo izquierdo articulado
▪ Extremo derecho frenado
¿Cómo determinar el valor de los
M.E.P. en extremos de barras?
F=11093daN
A
CB
D
DESCARGAS POR CAMINOS MATERIALES:
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MAC = MCA =6x 0.22 x 1000
4.50=
296 daNm6 x AC AC
LAC
=
TRAZADO DE LA DEFORMADA / VALOR DESPLAZAMIENTOS DE NUDOS / M.E.P.:
A
D
CC'
LCD
LCD
D'
AC
DB
MAC
MCA
MBD
MDB
AC = DB
M.E.P. para el 2º Cross:
MDB = MBD =6 x 0.400 x 1000
2.50=
960 daNm6 x DB DB
LDB
=
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Tomamos = 1000 (valor arbitrario),
de manera de obtener valores más
cómodos para trabajar en el Cross
2º APLICACIÓN DEL ARTIFICIO DE CROSS:
A
D
B
C296
296
960
960
235-235
-166
166
230
598
E S T R U C T U R A S I
DESCARGAS TRAMO POR TRAMO DE LOS
MOMENTOS DEL 2º CROSS:
A
C
D
C
D
B
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Se plantean las descargas en los nudos pero sin las cargas exteriores, solamente
con los momentos en los extremos de las barras hallados en en 2do. Cross
DESCARGAS POR CAMINOS MATERIALES:
A
D
BC
F'=419daN
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Se deberá llegar a una fuerza de desviación F´
cuyo valor no será igual al hallado para F, pero
de la misma dirección y sentido contrarioA
CB
DF=11093daN
F´=419daN
= F
F'= 11093
419= 26,47
AC
Mom.1ºCross
CA
CD
5106
9778
-9778
6089
4395
-4395
11195
14173
-14173
DC
DB
BD
12133
-12133
-5514
-6222
6222
15832
5911
-5911
10316
.Mom.2ºCross Momentos Finales
M
M
M
M
M
M
daNm
daNm
daNm
daNm
daNm
daNm
COEFICIENTES DE CORRECCIÓN:
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A
CB
DF=11093daN
F´=419daN
MOMENTOS FINALES:
Momentos Finales = (Mom. 1er. Cross) + x( Mom. 2do. Cross)
DESCARGAS TRAMO POR TRAMO FINALES:
A
C
D
C
D
B
E S T R U C T U R A S I
Con los momentos finales hallados, se plantean las
descargas finales en los nudos (con las cargas
exteriores actuantes y esos momentos finales)
DESCARGAS POR CAMINOS MATERIALES FINALES:
A
D
BC
5689 daN
5708 daN
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Al plantear la transmisión de carga a los apoyos, no debe
existir fuerza de desviación; debe darse equilibrio a través
de los apoyos de la estructura o a través de las barras
12709daN
11995 daN
1835 daN
1828 daN
A
D
B
C
DESCARGAS DE FUERZAS EN APOYOS:
REACCIONES:
A
D
BC
11195 daNm
10316 daNm
E S T R U C T U R A S I
DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES:
BARRA CD:
D
C
C
T
E S T R U C T U R A S I
c
A
C
BARRA AC:
A
C
E S T R U C T U R A S I
BARRA DB:
D
B
c
E S T R U C T U R A S I