e. l. starostin- closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
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8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
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C l o s e d l o o p s o f a t h i n e l a s t i c r o d a n d i t s s y m m e t r i c s h a p e s w i t h
s e l f - c o n t a c t s
E . L . S t a r o s t i n
A b s t r a c t
T h e t h i n e l a s t i c r o d i s a t r a d i t i o n a l m o d e l f o r t h e l a r g e - s c a l e s t r u c t u r e o f l o n g D N A m o l e c u l e s . T h e s o l u t i o n s
f o r c l o s e d e q u i l i b r i a a r e c o n s i d e r e d . P a r t i c u l a r a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t s . A n e w c l a s s o f
a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s p r e s e n t e d . I t s r e l a t i o n t o t h e k n o w n m u l t i - l e a f e d
" r o s e - l i k e " s y m m e t r i c s h a p e s i s d i s c u s s e d .
K e y w o r d s : T h i n e l a s t i c r o d , E q u i l i b r i u m , L o o p , B V P , D N A .
A M S s u b j e c t c l a s s i c a t i o n s : 7 3 K 0 5 , 9 2 E 1 0 .
1 I n t r o d u c t i o n
S i n c e l a t e 7 0 - s , t h e r e h a s b e e n a c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n s t u d y i n g t h e l a r g e - s c a l e c o n f o r m a t i o n s o f d e o x y r i b o n u c l e i c
a c i d ( D N A ) m o l e c u l e s b y u s i n g t h e m o d e l o f a t h i n e l a s t i c r o d 1 , 2 ] . T h e r a d i u s o f t h e d o u b l e r i g h t - h a n d e d h e l i x
o f D N A i s a b o u t 1 n m a n d i t s l e n g t h m a y a c h i e v e 1 0 0 0 n m o r e v e n m o r e . A p p r o x i m a t e l y 1 0 b a s e p a i r s c o r r e s p o n d
t o o n e t u r n o f t h e h e l i x i n t h e r e l a x e d s t a t e . T h e s p e c i c c o n f o r m a t i o n s o f D N A c a n f a c i l i t a t e o r h i n d e r v a r i o u s
b i o c h e m i c a l p r o c e s s e s , i n c l u d i n g r e p l i c a t i o n , t r a n s c r i p t i o n , a n d r e c o m b i n a t i o n . T h e s e g m e n t s a s l o n g a s 1 5 0 - 2 0 0 b a s e
p a i r s a r e r e l a t i v e l y s t i a n d m a y b e m o d e l l e d o n t h e b a s i s o f K i r c h o ' s t h e o r y o f l i n e a r e l a s t i c r o d s 3 , 4 , 5 ] . T h e
e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e r o d a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h r e e s t i n e s s c o e c i e n t s : t w o b e n d i n g a n d o n e t o r s i o n a l . T h e i r
e e c t i v e v a l u e s f o r t h e D N A r o d w e r e d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l d a t a 2 , 6 ] .
2 M o d e l a n d e q u a t i o n s
A t h i n e l a s t i c r o d i s c o n s i d e r e d . I t i s a s s u m e d t o b e i n e x t e n s i b l e a n d h o m o g e n e o u s i n t h e s e n s e t h a t i t s e l a s t i c p r o p e r t i e s
a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i t i o n o n t h e r o d a x i s . T h e c e n t e r l i n e o f t h e r o d i s p a r a m e t r i z e d w i t h t h e a r c l e n g t h s . T h e
p o i n t s o n t h e c e n t e r l i n e a r e d e s c r i b e d b y t h e i r r a d i u s v e c t o r r ( s ) w i t h r e s p e c t t o a n o r i g i n O . T h e t a n g e n t v e c t o r
t ( s ) =
d r ( s )
d s
, t h e n o r m a l n ( s ) =
d r ( s )
d s
=
d r ( s )
d s
a n d t h e b i n o r m a l b = t n f o r m a n a t u r a l t r i h e d r a l t n b . W e d e n e
a l s o t h e p r i n c i p a l t r i h e d r a l e
1
( s ) e
2
( s ) e
3
( s ) e
1
= t a n d t h e u n i t v e c t o r s e
2
e
3
a r e a l o n g t h e p r i n c i p a l a x e s o f t h e
c r o s s s e c t i o n o f t h e r o d .
T h e v e c t o r ! i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f r o t a t i o n o f t h e t r i h e d r a l e
1
e
2
e
3
a s i t m o v e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e w i t h t h e
u n i t v e l o c i t y . I t m a y b e r e p r e s e n t e d a s a s u m o f t h r e e c o m p o n e n t s ! =
3
P
i = 1
!
i
e
i
!
1
= +
d
d s
i s t h e t o r s i o n o f t h e
r o d , t h e a n g l e b e t w e e n n a n d e
2
!
2
= s i n !
3
= c o s a r e t h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s o f t h e r o d , a n d a r e t h e
g e o m e t r i c a l c u r v a t u r e a n d t h e t o r s i o n o f t h e c e n t e r l i n e , r e s p e c t i v e l y .
I n s t i t u t e f o r T e c h n i c a l M e c h a n i c s , U n i v e r s i t y o f K a r l s r u h e , K a i s e r s t r . 1 2 , D - 7 6 1 2 8 K a r l s r u h e , G e r m a n y , e - m a i l : s t a r o s t i @ i t m . u n i -
k a r l s r u h e . d e
T h i s s p a c e l e f t b l a n k f o r c o p y r i g h t n o t i c e .
1
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L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t 2
T h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e r o d i s d e s c r i b e d i n t h e p r i n c i p a l r e f e r e n c e f r a m e b y t h e e q u a t i o n s 3 ]
d F
d s
+ ! F + f = 0
d M
d s
+ ! M + t F + m = 0 ( 1 )
H e r e F ( s ) d e n o t e s t h e r e s u l t a n t o f t h e i n t e r n a l f o r c e s a c t i n g o n t h e c r o s s s e c t i o n a n d M ( s ) t h e n e t m o m e n t o f t h e s e
f o r c e s . W e a s s u m e t h a t F ( ) ( M ( ) ) i s t h e f o r c e ( m o m e n t ) w i t h w h i c h o n e p a r t o f t h e r o d ( s > ) a c t s o n t h e o t h e r
p a r t . I n E q . ( 1 ) , f ( s ) a n d m ( s ) a r e t h e d e n s i t i e s o f e x t e r n a l f o r c e s a n d m o m e n t s a p p l i e d t o t h e r o d .
T h e r s t c a s e w e c o n s i d e r i s o n e w h e n n o s u c h e x t e r n a l f o r c e s a n d m o m e n t s a c t , i . e . , w e p u t f = 0 m = 0 . T h e n
t h e r s t E q . ( 1 ) i m p l i e s F = c o n s t i n t h e a b s o l u t e s p a c e . L e t b e t h e u n i t v e c t o r i n t h e d i r e c t i o n o f F . W e m a y
w r i t e F = P P = k F k 0 k k = 1 =
3
P
i = 1
i
e
i
T h e H o o k e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n c o m p l e t e s t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s
M
i
=
3
X
j = 1
B
i j
( !
j
; !
0
j
) M =
3
X
i = 1
M
i
e
i
!
0
j
j = 1 2 3 , a r e t h e t o r s i o n a n d c u r v a t u r e s o f t h e r o d i n i t s r e l a x e d , n o n - d e f o r m e d s t a t e . W e a s s u m e t h a t t h e r o d i s
i n i t i a l l y s t r a i g h t ( i . e . , !
0
2
= !
0
3
= 0 ) b u t i t m a y b e t w i s t e d . T h e r o d i s s u p p o s e d t o b e s y m m e t r i c a n d w e p u t B
i j
= 0
f o r i 6= j B
i i
= B
i
B
2
= B
3
U n d e r t h e a b o v e a s s u m p t i o n s w e c o m e a f t e r n o r m a l i z a t i o n t o t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s
d !
1
d s
= 0
d !
2
d s
+ !
3
( d ; !
1
) ;
p
2
3
= 0
d !
3
d s
; !
2
( d ; !
1
) +
p
2
2
= 0 ( 2 )
w h e r e b = B
1
= B
2
p = 2 P = B
2
d = b ( !
1
; !
0
1
)
E q s . ( 2 ) a l l o w f o r t h e r s t i n t e g r a l s :
!
1
= !
1
= c o n s t ( 3 )
1
d + !
2
2
+ !
3
3
= l = c o n s t ( 4 )
!
2
2
+ !
2
3
+ p
1
= h = c o n s t :( 5 )
E q . ( 3 ) i m p l i e s i m m e d i a t e l y t h a t d = b ( !
1
; !
0
1
) = c o n s t
W e c h o o s e a n a b s o l u t e c o o r d i n a t e s y s t e m O x e d i n s p a c e s u c h t h a t t h e d i r e c t i o n o f t h e - a x i s i s o p p o s i t e t o
. T h e t h r e e E u l e r a n g l e s a r e c h o s e n t o d e s c r i b e r o t a t i o n o f t h e p r i n c i p a l t r i h e d r a l w i t h r e s p e c t t o t h e a b s o l u t e
c o o r d i n a t e s . T h e n w e h a v e i n t h e s e c o o r d i n a t e s ; = ( c o s s i n s i n s i n c o s )
T
a n d
!
1
=
d
d s
+
d
d s
c o s !
2
=
d
d s
s i n s i n +
d
d s
c o s !
3
=
d
d s
s i n c o s ;
d
d s
s i n ( 6 )
T h e i n t e g r a l s E q . ( 4 ) a n d E q . ( 5 ) t a k e t h e f o r m
1
d ; ( 1 ;
2
1
)
d
d s
= l( 7 )
( 1 ;
2
1
)
d
d s
2
+
d
d s
2
+ p
1
= h( 8 )
A f t e r e l i m i n a t i n g t h e d e r i v a t i v e
d
d s
f r o m E q . ( 7 ) a n d E q . ( 8 ) , w e o b t a i n
d
1
d s
2
= f (
1
) f (
1
) = ( h ; p
1
) ( 1 ;
2
1
) ; ( l ;
1
d )
2
( 9 )
W e a r e h e r e i n t e r e s t e d i n t h e c a s e o f n o n - z e r o e n d f o r c e , w h e n t h e c u b i c p o l y n o m i a l f (
1
) m a y b e w r i t t e n a s
f (
1
) = p (
1
; g
1
) (
1
; g
2
) (
1
; g
3
) ; 1 g
1
g
2
1 g
3
( 1 0 )
S i n c e
1
1 , a r e a l s o l u t i o n o f E q . ( 9 ) i s p o s s i b l e o n l y i n t h e i n t e r v a l g
1
1
g
2
E q . ( 9 ) m a y b e i n t e g r a t e d t o n d
1
= g
1
+ ( g
2
; g
1
) s n
2
( s ; s
0
) ( 1 1 )
8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
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L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t 3
w h e r e
2
= p ( g
3
; g
1
) = 4 s n i s t h e J a c o b i e l l i p t i c s i n e o f t h e m o d u l u s k k
2
= ( g
2
; g
1
) = ( g
3
; g
1
)
I t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e s h a p e o f t h e c e n t e r l i n e i n s p a c e i n t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ( s e e t h e s o l u t i o n
o f p r o b l e m 5 o n p p . 8 7 { 8 8 i n 4 ] ) : = c o s = s i n . T h e e q u a t i o n s f o r t h e s e c o o r d i n a t e s a r e a s f o l l o w s 5 ]
=
2
p
d
2
; l
2
+ h ; p
1
p
( 1 2 )
d
d s
=
p ( l
1
; d )
2 ( d
2
; l
2
+ h ; p
1
)
( 1 3 )
d
d s
= ;
1
( 1 4 )
T h e t w o l a s t e q u a t i o n s m a y b e r e a d i l y i n t e g r a t e d t o g e t
;
0
= ;
l
2
( s ; s
0
) +
l ( d
2
; l
2
+ h ) ; p d
2 ( d
2
; l
2
+ h ; p g
1
)
( ( s ; s
0
) n k ) n =
p ( g
2
; g
1
)
d
2
; l
2
+ h ; p g
1
( 1 5 )
;
0
= ; g
3
( s ; s
0
) + 2
r
g
3
; g
1
p
E
( ( s ; s
0
) k ) ( 1 6 )
w h e r e
E
( u k ) =
Z
u
0
d n
2
w d w ( u n k ) =
Z
u
0
d w
1 ; n s n
2
w
a r e t h e i n c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s o f t h e s e c o n d a n d t h i r d k i n d , r e s p e c t i v e l y .
I t m a y b e s h o w n t h a t E q . ( 1 2 ) a n d E q . ( 1 3 ) t a k e a s i m p l e r f o r m i n c a s e w h e n t h e c e n t e r l i n e i n t e r s e c t s t h e - a x i s ,
i . e . , w h e n ( s
) = 0 f o r s o m e s
. N a m e l y ,
=
4 k
p
c n ( s ; s
0
) ( 1 7 )
;
0
= ;
l
2
( s ; s
0
)
b
( s s
0
) +
K
2
K
c ( s ; s
0
) 6=
K
( 2 j + 1 ) ,
2
+ j ( s ; s
0
) =
K
( 2 j + 1 ) j = 0 1 2 : : :
( 1 8 )
w h e r e b x c s i g n i e s t h e g r e a t e s t i n t e g e r n o t g r e a t e r t h a n x
K
=
K
( k ) i s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e r s t k i n d .
T h i s c a s e w a s s p e c i c a l l y c o n s i d e r e d b y S h i a n d H e a r s t ( 7 ] , A p p e n d i x C ) t h o u g h t a k i n g t h e l i m i t w a s n o t c a r r i e d
o u t c o r r e c t l y a n d , a s a r e s u l t , t h e i r e x p r e s s i o n f o r t h e p o l a r a n g l e i s d i e r e n t f r o m E q . ( 1 8 ) .
3 C l o s e d s h a p e s
I n t h i s p a p e r w e d e a l w i t h c l o s e d c o n g u r a t i o n s o f a s p e c i a l k i n d . I t i s a s s u m e d t h a t t h e r o d l o o p b e g i n s a n d e n d s i n
t h e s a m e p o i n t , a n d t h i s p o i n t i s t h e o r i g i n o f t h e a b s o l u t e r e f e r e n c e f r a m e t h a t w a s i n t r o d u c e d a b o v e . S u p p o s e t h a t
t h e l e n g t h o f t h e l o o p i s S =
1
m
0
, w h e r e m
0
i s a n i n t e g e r p a r a m e t e r ( t h i s c a u s e s n o l o s s o f g e n e r a l i t y , s i n c e t h e p r o p e r
s c a l i n g o f p a r a m e t e r s m a y c o m p e n s a t e f o r t h e x a t i o n o f t h e r o d l e n g t h ) . T h e f o l l o w i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m
( B V P ) m a y b e f o r m u l a t e d t h e n
1 ) ( s
1
) =
s
1
+
1
m
0
= 0 2 ) ( s
1
) =
s
1
+
1
m
0
( 1 9 )
T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e s y m m e t r y p r o p e r t y o f t h e f u n c t i o n
1
( s ) w i t h r e s p e c t t o t h e s
0
1
( s
0
; s ) =
1
( s
0
+ s )
w e p u t s
1
= s
0
;
1
2 m
0
t o s a t i s f y t h e r s t e q u a l i t y i n E q . ( 1 9 , 1 ) . E q . ( 1 6 ) a n d t h e l a s t c o n d i t i o n o f t h e B V P , E q .
( 1 9 , 2 ) , w i t h t h e h e l p o f t h e d e n i t i o n o f , i m p l y
g
3
=
8 m
0
p
E
2 m
0
k
g
1
=
4
p
2 m
0
E
2 m
0
k
;
( 2 0 )
U s i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t h e m o d u l u s k , w e c a n o b t a i n t h e e q u a t i o n f o r t h e r e m a i n i n g r o o t
g
2
=
4
p
2 m
0
E
2 m
0
k
; ( 1 ; k
2
)
( 2 1 )
8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
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L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t 4
O u r a i m n o w i s t o o b t a i n t h e p a r a m e t e r s p l d a n d h a s f u n c t i o n s o f t h e n o r m a l i z e d r o o t s g
i
= p g
i
i = 1 2 3 . T o
a c h i e v e t h i s , w e m a y u s e t h e f o r m o f t h e f u n c t i o n f i n E q . ( 9 ) . A f t e r s o m e a l g e b r a , w e c o m e t o t h e e x p r e s s i o n f o r p
p
2
1 2
= 2 l
2
G
2
; B
p
; f ( G
2
) w h e r e B = g
1
g
2
+ g
2
g
3
+ g
3
g
1
a n d G
2
= g
1
+ ( g
2
; g
1
) s n
2
2 m
0
. C l e a r l y , g
1
G
2
g
2
a n d ; f ( G
2
) 0 . T h e o n l y p o s s i b i l i t y t o h a v e t h e p a r a m e t e r p r e a l i s t o p u t G
2
= g
2
, w h i c h i m p l i e s = 2
K
m
0
( w e
a r e h e r e i n t e r e s t e d i n t h e m i n i m a l v a l u e f o r ) . W e h a v e f o r t h e p a r a m e t e r s t h e n
p
2
= g
1
g
2
+ g
2
g
3
; g
3
g
1
l
2
= g
1
+ g
3
d
2
=
g
2
2
l
2
p
2
h = g
1
+ g
2
+ g
3
; d
2
( 2 2 )
T h e v a l u e s g
1
g
2
g
3
c a n b e f o u n d a s f u n c t i o n s o f m
0
a n d k f r o m E q s . ( 2 0 ) , ( 2 1 )
g
1
= 1 6 m
2
0
K
( k )
E
( k ) ;
K
( k ) g
2
= 1 6 m
2
0
K
( k )
E
( k ) ; ( 1 ; k
2
)
K
( k ) g
3
= 1 6 m
2
0
K
( k )
E
( k ) ( 2 3 )
w h e r e
E
( k ) d e n o t e s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d . E q . ( 2 2 ) , t o g e t h e r w i t h E q . ( 2 3 ) , g i v e s u s t h e
a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s o f t h e p a r a m e t e r s p l d h a s f u n c t i o n s o f k a n d m
0
. T h e m o d u l u s k v a r i e s b e t w e e n z e r o a n d
t h e m a x i m a l v a l u e k
m a x
0 9 0 8 9 , w h i c h i s t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n
K
( k ) = 2
E
( k ) I t m a y b e o b t a i n e d a s a n e q u a t i o n
f o r t h e e x t r e m a l v a l u e s o f t h e r o o t s g
1
a n d g
3
g
1
= ; g
3
. S i n c e g
1
; 1 a n d g
3
1 , t h e l a s t e q u a t i o n i m p l i e s b o t h
g
1
= ; 1 a n d g
3
= 1 . F o r k = k
m a x
, w e o b t a i n f r o m E q . ( 2 2 ) l = 0 a n d d = 0 . T h e c e n t e r l i n e s h a p e i s ( o n e h a l f o f )
t h e p l a n a r g u r e - 8 w i t h s e l f - c o n t a c t a t t h e o r i g i n :
=
k
2
K
( k )
c n ( ( 4 s ; 1 )
K
( k ) ) =
1
2
K
( k )
Z ( ( 4 s ; 1 )
K
( k ) ) 0 s
1
2
( 2 4 )
( w e c h o s e m
0
= 2 , h e n c e , t h e l e n g t h o f t h e w h o l e g u r e - 8 i s e q u a l t o 1 ) Z ( u ) =
E
( u k ) ;
E
( k ) u =
K
( k ) i s J a c o b i ' s Z e t a
f u n c t i o n .
T h e g u r e - 8 g i v e s u s t h e s i m p l e s t e x a m p l e o f a s m o o t h l y - c l o s e d c o n g u r a t i o n w i t h s e l f - c o n t a c t i n t h e o r i g i n . T h e
s h a p e c o n s i s t s o f t w o i d e n t i c a l l o o p s , o n e o f w h i c h i s t u r n e d t h r o u g h t h e a n g l e a r o u n d t h e - a x i s w i t h r e s p e c t t o t h e
o t h e r . I t i s k n o w n 8 ] t h a t t h e r e e x i s t s a c o u n t a b l e s e t o f m o r e c o m p l e x s p a t i a l c o n f o r m a t i o n s , c o n t a i n i n g m
0
i d e n t i c a l
l o o p s w h i c h h a v e b e e n t u r n e d a c c o r d i n g l y a r o u n d t h e - a x i s . T h e s e p a r t i c u l a r s y m m e t r i c s o l u t i o n s w e r e c a l l e d r o s e s
a n d t h e i r e x i s t e n c e w a s s h o w n i n 9 ] t h o u g h n o c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n w a s o b t a i n e d f o r t h e m . N o w w e c o m p u t e t h e
v a l u e s o f p a r a m e t e r s t h a t a l l o w f o r a s s e m b l i n g t h e r o s e - l i k e s h a p e s f r o m t h e l o o p s o l u t i o n s . F r o m E q s . ( 1 7 ) , ( 1 8 ) , a n d
( 1 6 ) , w e c a n n d t h e s h a p e o f t h e l o o p o f l e n g t h 1 = m
0
=
8 m
0
k
K
( k )
p
c n ( ( 2 m
0
s ; 1 )
K
( k ) ) = ;
l
2
s ;
1
2 m
0
=
8 m
0
K
( k )
p
Z ( ( 2 m
0
s ; 1 )
K
( k ) ) 0 s
1
m
0
T h e r o t a t i o n a n g l e b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h e t a n g e n t s a t t h e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s o f t h e r o d o n t h e - p l a n e
i s
=
; l
2 m
0
( 2 5 )
N o w s u p p o s e t h a t w e h a v e m
0
c o p i e s o f t h e l o o p , e a c h r o t a t e d t h r o u g h t h e a n g l e ( j ; 1 ) ( ) j = 1 : : : m
0
a r o u n d t h e - a x i s . T h e p r o j e c t i o n o f t h e e n d t a n g e n t v e c t o r o f t h e j - t h l o o p t h e n c o i n c i d e s w i t h t h e p r o j e c t i o n o f t h e
i n i t i a l t a n g e n t o f t h e ( j + 1 ) - t h l o o p ( j = 1 : : : m
0
; 1 ) . W e m a y r e q u e s t t h a t t h e e n d t a n g e n t o f t h e l a s t m
0
- t h l o o p
c o i n c i d e s w i t h i n i t i a l t a n g e n t o f t h e 1 - s t l o o p , i . e . , m
0
( + s i g n m
1
) = 2 m
1
m
1
= 1 2 : : : m
1
i s t h e n u m b e r
o f t u r n s w h i c h m a k e s t h e r a d i u s v e c t o r r ( s ) a r o u n d t h e - a x i s a s t h e a r c c o o r d i n a t e v a r i e s o v e r t h e w h o l e i n t e r v a l
0 s 1 ( t h e p o i n t s w i t h c o o r d i n a t e s ( j ; 1 ) = m
0
s < j = m
0
b e l o n g t o t h e j - t h c o p y o f t h e l o o p ) .
S u b s t i t u t i n g f r o m E q . ( 2 5 ) i n t o t h e l a s t e q u a t i o n , w e o b t a i n l = 2 ( m
0
s i g n m
1
; 2 m
1
) C o m p a r i n g t h i s
e x p r e s s i o n w i t h t h e s e c o n d E q . ( 2 2 ) , w h e r e t h e v a l u e s o f t h e r o o t s f r o m E q . ( 2 3 ) a r e s u b s t i t u t e d , y i e l d s a n e q u a t i o n
f o r t h e e l l i p t i c m o d u l u s
1 ; 2
m
1
m
0
= 2
p
K
( k ) ( 2
E
( k ) ;
K
( k ) )
T h e s o l u t i o n s o f t h i s e q u a t i o n a r e g i v e n i n T a b l . 1 f o r s o m e v a l u e s o f m
0
a n d m
1
F o r e a c h e l e m e n t l o o p ( l e a f ) , t h e a n g l e b e t w e e n t h e t a n g e n t a t t h e i n i t i a l p o i n t a n d t h e - a x i s i s e q u a l t o o n e
b e t w e e n t h e t a n g e n t a t t h e e n d p o i n t a n d t h e s a m e a x i s . T h i s f o l l o w s f r o m t h e s y m m e t r y o f t h e l o o p a n d f r o m E q s .
( 1 4 ) , ( 1 1 ) .
T h e r e f o r e , n o t o n l y p r o j e c t i o n s o f t h e t a n g e n t v e c t o r s c o i n c i d e b u t a l s o t h e t a n g e n t s t h e m s e l v e s . T h i s i s s u c i e n t
i n o r d e r t h a t s u c h a n a s s e m b l y r e s u l t s i n a s m o o t h l y c l o s e d s o l u t i o n f o r a r o d o f l e n g t h 1 , s i n c e t h e r o t a t i o n a l s y m m e t r y
8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 5/6
8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts
http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 6/6
L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t 6
a l s o k e e p o n c o n s i d e r i n g t h e s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n s o n l y . T h e s e r o s e s h a p e s w i t h s e l f - i n t e r a c t i o n w e r e c o n s i d e r e d
b y L e B r e t 9 ] t h o u g h n o e x a m p l e o f t h e m w a s p r e s e n t e d .
A s i n t h e f o r c e l e s s c a s e , t h e w h o l e c l o s e d s h a p e i s a s s e m b l e d f r o m m
0
i d e n t i c a l l e a v e s . N o t e t h a t t h e i n d i v i d u a l
l o o p s a r e s o l u t i o n s o f t h e m o r e g e n e r a l B V P , f o r w h i c h t h e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s c o i n c i d e t o e a c h o t h e r , b u t n o t t o
t h e o r i g i n : r
0
= r
1
. T h e e n d f o r c e s a n d m o m e n t s a c t i n g o n e a c h l o o p a r e t o b e i n t h e a c c o r d a n c e t o e a c h o t h e r . E v e r y
l o o p i s t o b e s m o o t h l y j o i n e d t o i t s n e i g h b o u r s . T h e s e c o n s t r a i n t s r e s u l t i n a s e t o f o n e - p a r a m e t e r f a m i l i e s o f t h e
s o l u t i o n s . T h e s i m p l e s t s o l u t i o n s o f t h i s t y p e , t h e w a r p e d g u r e s - 8 ( m
0
= 2 ) , a r e c o m p u t e d n u m e r i c a l l y b y J u l i c h e r
1 0 ] . H o w e v e r , t h e r e e x i s t s u c h c o n g u r a t i o n s w i t h l a r g e r n u m b e r o f l e a v e s , a n e x a m p l e i s s h o w n i n F i g . 1 f o r m
0
= 3
( t h e l e n g t h o f e a c h e l e m e n t a r y l o o p i s t a k e n 1 ) . T h e w h o l e a s s e m b l i n g p r o c e d u r e r e d u c e s e s s e n t i a l l y t o s o l v i n g a n
e x t r a n o n - l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n .
T h e c a l c u l a t i o n s i n t h i s p a p e r w e r e c a r r i e d o u t w i t h t h e h e l p o f M a p l e p r o g r a m 1 1 ] .
4 C o n c l u s i o n s
1 . A o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f t h e B V P f o r t h e s i m p l e l o o p i s o b t a i n e d . T h e s e s o l u t i o n s w i d e n
t h e s e t o f t h e k n o w n a n a l y t i c a l l y d e s c r i b e d c o n g u r a t i o n s o f a c l o s e d r o d .
2 . T h e s e s o l u t i o n s s e r v e s i m u l t a n e o u s l y a s b a s i c e l e m e n t s o f t h e s y m m e t r i c m u l t i - l e a f e d s h a p e s o f t h e r o d w i t h t h e
s i n g l e s e l f - c o n t a c t p o i n t .
3 . T h e f u r t h e r e v o l u t i o n o f t h e s e s y m m e t r i c m u l t i - l e a f e d c o n g u r a t i o n s m a y b e f o l l o w e d t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e
p o i n t w i s e a n d f r i c t i o n l e s s c o n t a c t f o r c e s i n t h e p o i n t o f m u l t i - c o n t a c t b y u s i n g a n a s s e m l i n g p r o c e d u r e .
4 . T h e s o l u t i o n s c o n s i d e r e d m a y b e u s e d a s b a s i c s h a p e s b y n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f m o r e c o m p l e x c o n g u r a t i o n s ,
d e s c r i b e d a l s o b y m o r e e l a b o r a t e d m o d e l s . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d m a y b e r e a d i l y a p p l i e d t o o t h e r p h y s i c a l o b j e c t s
t h a t o b e y t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s o f t h i n e l a s t i c r o d s .
A c k n o w l e d g m e n t s
T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o e x p r e s s h i s t h a n k s t o P r o f . J . W i t t e n b u r g f o r h i s a t t e n t i o n t o t h e w o r k . T h e s u p p o r t f r o m
A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t F o u n d a t i o n i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .
R e f e r e n c e s
1 ] C . J . B e n h a m , E l a s t i c m o d e l o f s u p e r c o i l i n g , P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A , 7 4 ( 1 9 7 7 ) , p p . 2 3 9 7 { 2 4 0 1 .
2 ] T . S c h l i c k , M o d e l i n g s u p e r h e l i c a l D N A : r e c e n t a n a l y t i c a l a n d d y n a m i c a p p r o a c h e s , C u r r e n t O p i n i o n i n S t r u c t u r a l
B i o l o g y , 5 ( 1 9 9 5 ) , p p . 2 4 5 { 2 6 2 .
3 ] A . E . H . L o v e , A T r e a t i s e o n t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y , 4 t h e d . , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , L o n d o n ,
( 1 9 2 7 ) .
4 ] L . D . L a n d a u a n d E . M . L i f s h i t z , T h e o r y o f E l a s t i c i t y , 2 n d e d . , P e r g a m o n , O x f o r d , ( 1 9 7 0 ) .
5 ] A . A . I l y u k h i n , S p a t i a l P r o b l e m s o f t h e N o n l i n e a r T h e o r y o f E l a s t i c R o d s , N a u k o v a D u m k a , K i e v , ( 1 9 7 9 ) i n
R u s s i a n ] .
6 ] P . J . H a g e r m a n , F l e x i b i l i t y o f D N A , A n n . R e v . B i o p h y s . C h e m . , 1 7 ( 1 9 8 8 ) , p p . 2 6 5 { 2 8 6 .
7 ] Y . S h i a n d J . E . H e a r s t , T h e K i r c h h o e l a s t i c r o d , t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , a n d D N A s u p e r c o i l i n g J
C h e m . P h y s . , 1 0 1 ( 1 9 9 4 ) , p p . 5 1 8 6 { 5 2 0 0 .
8 ] E . L . S t a r o s t i n , T h r e e - d i m e n s i o n a l s h a p e s o f l o o p e d D N A , M e c c a n i c a , 3 1 ( 1 9 9 6 ) , p p . 2 3 5 { 2 7 1 .
9 ] M . L e B r e t , T w i s t a n d w r i t h i n g i n s h o r t c i r c u l a r D N A s a c c o r d i n g t o r s t - o r d e r e l a s t i c i t y , B i o p o l y m e r s , 2 3 ( 1 9 8 4 ) ,
p p . 1 8 3 5 { 1 8 6 7 .
1 0 ] F . J u l i c h e r , S u p e r c o i l i n g t r a n s i t i o n s o f c l o s e d D N A , P h y s . R e v . E , 4 9 , N o . 3 , ( 1 9 9 4 ) , p p . 2 4 2 9 { 2 4 3 5 .
1 1 ] M a p l e i s a t r a d e m a r k o f W a t e r l o o M a p l e I n c . M a p l e V R e l e a s e 5 , v e r s i o n 5 . 0 0 w a s u s e d w h e n p r e p a r i n g t h i s p a p e r .