半導体電子工学 冬休み宿題 年 月 日 略解 - kobe...
TRANSCRIPT
半導体電子工学 �� 冬休み宿題 ����� 年 ��月��日� 略解
特に断らない限り温度は室温 � � ��� �とする.また考察している半導体は �� �シリコン�とする.また真性キャリア密度は �� � ��� ���� ��,真空の誘電率 �� � ����� ����� �� とする.
学籍番号を ����� の �桁とする.ただし� は学番 �桁目� は学番 �桁目の数値である.たとえば学番が�������の学生は, � �� � �であり,�と記述した時 � � ���などとする.
問題 � 半導体のバンド図とフェルミ準位の位置ドナ濃度 �� � � � ���� ��,アクセプタ濃度 �� � � � ���� �� の不純物を含む �� 階段接合 ��ダイオードがあるとする.計算結果には単位も付けること.
��� 零バイアス状態 � � �での �側の空乏層幅 及び �側の空乏層幅 を求めよ.�図 �参照�.
��� 最大電界の値 ���� を求めよ.�図 �参照�
��� 電位分布を求めよ.(図 �参照�
図 �� �� ��接合の空間電荷分布. 図 �� 電界分布. 図 �� 電位分布.左側の �型半導体の中性領域の電位を基準 �� � � ��にしている.
解答 まず.電位を ����とおくと,��接合ダイオード内での �������方程式�は,
���
����
������ ���
� ����� � � � ��
���
� ����� � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
となる.これを境界条件
��� � � ���, �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
��
����������
���
��
����������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�電界と電位の関係
���� �� �� � ������ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
電束密度と電界の関係
���� �� �� � ����� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� の法則 ����� �� �� は電荷密度�
� ����� �� �� � ���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
のこれら � 式を組み合わせることで容易に得られる.電磁気学のテキスト参照.
の下で解くことにより,電界分布 ����および電位分布 ����が求まる.なお,���は,空乏層両端の内部電位 �拡散電位�であり,
���� � ���
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
である.式 ��を �で積分し,境界条件 ��を考慮すると,
��
���
������ ���
� ����� � � �� � � � ��
���
� ������ � �� � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
となる.これより,電界 ����は,
���� � ���
���
�����
���
� ������ � �� � � � ��
� ���
� ������ � �� � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
である.式 ��および式���より,図 �にあるように,� � � のとき電界が最大になることがわかる.さらに ��を �で積分し,境界条件 ��を考慮すると,
���� �
������ ���
�� ������ �
�� ��� �� � � � ��
���
�� ������ �
��� � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる. 次に,��階段接合の空乏層部分に着目すると,イオン化したドナーとイオン化したアクセプタの数が一致することから,
�� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
が成り立っている.また,図 �において,
����と �軸とでできる図形の面積 ��
����� �
�
����� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
が成り立つことがわかる�.式���を用いて を消去すると,
�
�
�� �
��
��
�
���
� ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
が得られ,
� �
�� ����
��
�� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となるので,�側の空乏層幅 は,
�
��� ���
�
��
�� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.同様にして,式���において を消去すると,�側の空乏層幅 は,
�
��� ���
�
��
�� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�電界 ���� と電位 ���� との間に式 ��の関係が成り立つのだから,
電位差 � Æ���� � �
����
��
������ �
���
���
������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
が成り立つはずである.このことから,���� と � 軸とで挟まれてできる図形の面積は電位差に等しい.
である.これより,全空乏層幅 は,
� � �
��� ���
�
��
�� ��� ������� �
��� ���
�
��
�� ��� �������
�
��� ���
�
�� ���
������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.したがって,最大電界の値 ���� は,
���� �����
�
�
���
��
�� ���
����
�� ���
�
����
���
� ���
����
�� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.あるいは, か の値が既知であるならば,式 ��より,
���� � ���� ����
� ��� �
���
� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
を用いてもよい.ただし,内部電位 ��� は,�型 ��の空乏層両端の電位差 ��� および �型 ��の空乏層両端の電位差 ���
��� ����
���
���
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� ����
���
���
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
の和で与えられ,
��� � ��� � ��� ����
���
�����
���
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.
��� 式���および式���に値を代入することにより求まる.単位は � か � 辺りに換算するのが望ましい..?
��� 式���あるいは式���に値を代入することにより求まる.単位は �� 辺りが妥当..?
��� 式���を図示すると図 �のようなグラフが得られる.境界条件 ��の取り方 �どの位置を電位の基準とするか�によっては上下にずれる.また,零バイアス �� � ��では,両端の電位差は ��� のみになる.
各学番における解答一覧を次頁の表 �に示す.
表 �� 問 ����,���の解答学番下 �桁 ��� ��� ��� ��� ��� �������� 学番下 �桁 ��� ��� ��� ��� ��� ��������
� �� �!��� �� �!��� ����!��� � ����!��� ����!��� ����!���� ����!��� ����!��� ����!��� � ����!��� ����!��� ����!���� ����!��� ����!��� ����!��� � ����!��� ����!��� ����!���� ���!��� ���!��� ���!��� � ���!��� ���!��� ����!��� ����!��� ����!��� ����!��� ���!��� ���!��� ���!���� ��� !��� ��� !��� ��� !��� � ���!��� ���!��� ��� !���� ����!��� ����!��� ����!��� � ����!��� ����!��� �� �!���� ����!��� ����!��� ��� !��� � ����!��� ����!��� �� �!��� ����!��� ����!��� ����!��� ��� !��� ��� !��� ����!����� ����!��� ����!��� ���!��� �� ���!��� ���!��� ����!����� �� !��� �� !��� ���!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� ��� !��� ��� !��� ����!����� �� �!��� �� �!��� ����!��� �� ���!��� ���!��� ����!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!���� ����!��� ����!��� �� �!��� � ��� !��� ��� !��� ����!����� ����!��� ����!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� �� �!��� �� �!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� ��� !��� ��� !��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!���� ��� !��� ��� !��� ����!��� � ����!��� ����!��� ����!����� ����!��� ����!��� ����!��� �� ���!��� ���!��� ����!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� �� !��� �� !��� ����!��� �� �� !��� �� !��� ����!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� �� �!��� �� �!��� ����!����� ����!��� ����!��� ��� !��� �� �� �!��� �� �!��� ���!���� ���!��� ���!��� ���!��� � �� �!��� �� �!��� ���!����� ����!��� ����!��� �� !��� �� ��� !��� ��� !��� ���!����� ���!��� ���!��� ���!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� ����!��� ����!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!���� ����!��� ����!��� ���!��� � ����!��� ����!��� ����!����� ����!��� ����!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ��� !����� � !��� � !��� ���!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� ���!��� ���!��� �� �!��� �� ���!��� ���!��� ���!����� ���!��� ���!��� �� �!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� �� !��� �� !��� �� !��� �� ����!��� ����!��� ����!���� ���!��� ���!��� ����!��� � ��� !��� ��� !��� ���!����� ��!��� ��!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� ����!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� ���!��� ���!��� �� �!����� ���!��� ���!��� ����!��� �� ����!��� ����!��� �� �!���� ���!��� ���!��� ����!��� � ����!��� ����!��� �� �!����� ���!��� ���!��� ����!��� � �� !��� �� !��� �� !����� ���!��� ���!��� ����!��� � ���!��� ���!��� ���!����� ��!��� ��!��� ����!��� � ��!��� ��!��� ��!����� �� !��� �� !��� ����!��� � ���!��� ���!��� ���!����� ���!��� ���!��� ����!��� � ���!��� ���!��� ���!���� �� !��� �� !��� ����!��� ���!��� ���!��� ���!����� �� �!��� �� �!��� ���!��� � ����!��� ����!��� ���!����� ��� !��� ��� !��� ��!��� � ����!��� ����!��� �� !����� ����!��� ����!��� �� !��� � ���!��� ���!��� ���!���� ��� !��� ��� !��� ����!��� ����!��� ����!��� ��!���� ����!��� ����!��� ����!���
問題 � 図 �のような理想"#�構造がある.
��� 図中の ��~ ��の意味と値,単位をそれぞれ答えよ�.
��� �型半導体基板のアクセプタ濃度�� � � � ���� �� の時,�� の値と単位を答えよ.
��� 上の結果から金属と半導体の仕事関数差 ��� を求めよ.�
�教科書,板書,高田先生の授業等を参照せよ.�「理想�構造」と仮定したので零なはずであるが,現実には上記の解答になるので ��� ���にはならない.��,フラット
バンド電圧 等の ������� で ������ってみよ.�
図 �� 理想"#�構造のバンド図 �熱平衡状態�.
解答
��� 以下に, ��~ ��の意味と値,および単位を示す.�� ��� は,金属 �$��の仕事関数である.��� � ����� ����� � ������
��
� ���� ����� %
��� ���� は,酸化膜 ���#��の電子親和力である.���� � ����� ����� � �� ��
��
� ���� ����� %
��� ��は,��基板の電子親和力である.�� � ����� ����� � �����
��
� ����� ����� %
�
�� ��
�は,��のバンドギャップエネルギーの半分の値である.値は ������ � ��� !� である.
��� �� は,
�� ����
���
��
��
である.各学番における解答一覧を次頁の表 �に示す.
��� 半導体の仕事関数は,単位を !�に統一すると,
�� � ��� ��� �� � ����
�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表わせる.したがって,金属と半導体の仕事関数差 ��� は,図中の ��~ ��の値を用いて,
��� � �� � �� � ��� ��� ��� �� � ����
�� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表わされる.
表 �� 問 ����,���の解答学番下 �桁 ��� ����� ��� ������ 学番下 �桁 ��� ����� ��� ������
� ����� � ���� � � �������� �� ����� ����� �� ����� �� � ���� ��� �� ���� ������� ������� � ���� ��� �� ���� ������ ��� �� � ������� �� ����� ������� ��� ��� ������ �� ����� ��� ���� �� ����� � ������� �� ������ ��� ��� �� ���� � ���� �� �� � ������ � �� ��� � � ������ �� ���� �������� �� ����� ����� � �� ��� ��� ������� �� ���� �� ���� �� �� �� ���� ���� ��� �� � ��� �� ������ �� ������ �������� �� ����� �� ������ �� ������ ������� �� ���� �� ������ �� ���� �� ������� �� ���� �� ���� � �� �� �� ������� �� ���� � ���� � �� �� ��� �������� �� ����� �� ���� � �� �� ��� ������ � �� ��� � �� ������ �� ������ �������� �� ����� �� ������ �� ����� �������� �� ����� � ������ �� ������ ������ �� ��� �� ���� � �� �� ��� ������� �� ���� �� ������� �� ������� ����� �� �� �� �� �� ������� �� ������� �������� �� ����� �� ������� �� ������� ���� ��� �� � ��� �� ������ �� ����� �������� �� ����� � ������� �� ������� �������� �� ����� �� ��� ��� �� � ����� ������� �� ���� �� ��� ��� �� � ����� �������� �� ����� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ����� � �������� �� ������� ����� � �� �� � �� �������� �� ������� ������ �� ��� �� ������ � �� ��� ��� �������� �� ����� �� ������� �� ���� �� ������� �� ���� �� �������� �� ������� �������� �� ����� �� �������� �� ������ ����� �� �� �� �� � ����� � �� �� � �� ���� ��� �� � ��� �� �������� �� ������� �������� �� ���� �� ������� �� ������ �������� �� ���� �� �������� �� ������ �������� �� ���� � �������� �� ������� ������� �� ��� � �������� �� ������� �������� �� ���� � �������� �� ������� ������ � �� �� � � ����� �� �� �� ���� �������� �� ���� � �������� �� ������� ����� �� �� � �� � ������� �� ����� ������� �� ��� �������� �� ������� ������� �� ��� � ������� �� ������ �������� �� ���� � ������ �� ����� ������� �� ��� � ������� �� ����� �������� �� ���� ������� �� ����� ������� �� ���
問題 � 酸化膜 ���#��の膜厚を ��� � � �,比誘電率を��� � �� ,��の比誘電率を� � � ����とする.�型 ��基板のアクセプタ濃度が �� � � � ���� �� であるとする."#�構造は理想"#�構造であるとして以下の問いに答えよ.
��� 蓄積状態で表面キャリア密度が基板の正孔密度と等しくなる時の表面ポテンシャル�� を求めよ.また,この時のゲート電圧 �� はいくらか&
��� 表面キャリア密度が真性キャリア密度と等しくなる時の表面ポテンシャル �� を求めよ.また,この時のゲート電圧 �� はいくらか&
��� 反転状態で表面キャリア密度が基板の正孔密度と等しくなる時の表面ポテンシャル�� を求めよ.また,この時のゲート電圧 �� はいくらか&
解答
SiO2Metal p-Si
VG
ox
NA
Kox KSi
φS
0-tx
w
図 � "#�構造
図 のように,酸化膜界面から �型 ��基板に向かって �軸をとる.電位を ����とすると,�型 ��基盤内における �������方程式は,
���
���� � ���
� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表わせる�.電界����は電位 ����の勾配を求めることで得られるので,式���の両辺を �で積分することにより,
���� � ���
��� � ���
������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.空乏層端 �� � �では電界が存在せず,�� � � � であるから,
���� � ���
��� � ���
�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.さらに,境界条件 �� � � � より,
���� ����
��������� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.表面電位 �� は,�型 ��の表面,つまり � � � での ����の値なので,
�� � ���� ����
������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
で与えられる.よって,空乏層幅 は,表面電位 �� を用いて,
�
���������
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表せる.したがって,表面電荷�� は,
�� � ���� � ����
���������
���� �
������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表せる.次に,電界およびポテンシャル ����を求める.酸化膜'�型 ��界面で,()*��の法則を適用すると,
���������� � � �������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
であることがわかる.酸化膜内でのポテンシャル ����は,
���� ���
������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�電界は境界面の法線方向では連続でない.ただし,電束密度は法線方向において連続である.
となり,� � � での境界条件を考慮すると,ポテンシャル ����は,
���� ���
������� ��
と表せる.������� � �� なので,ゲート電圧 �� は,
�� � �� ������
������ �� � ��
���� �� �
��� ��������
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.ただし,��� は酸化膜容量であり,
��� ���������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.
��� 条件より,
�� � �� !+�
�� ���
���
�� ��
すなわち,�� � � � である.このときのゲート電圧 �� は,式���より,�� � � � である.
��� 条件より,
�� � �� !+�
�� ���
���
�� ��
となる.これより,
�� ����
���
���
��
�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
すなわち,�� � �� ��� である.このときのゲート電圧 �� は,式���より,
�� � �� �
��� ��������
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.
��� 条件より,
�� � �� !+�
�� ���
���
��
���
��
となる.これより,
�� ����
���
���
��
��
� ����
���
���
��
�� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
すなわち,�� � ��� ��� である.このときのゲート電圧 �� は,式���より,
�� � ��� �
��� ������ �����
���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である.特に,このときのゲート電圧 �� を反転閾値電圧とよぶ.各学番における解答一覧を次頁の表 �に示す.
表 �� 問 ��������の解答 �下 �桁~��
学番下 �桁 ��� ���� ������ ��� �� ��� ��� ���� ������� ��� ���� ���� ���� ����� � ��� ���� ��� � �� �� ������ ����� �� ������ ���� ��� ��������� ������� ������� ������� ��������� ������ ��� ���� ������� �������� ������� ������� ������� ��������� ��� ���� ������� ������ � ��������� ��� ��� �������� ��� ���� ������� ������ � �������� ������� ����� �� �������� ������� �������� ����� ��� ������� �� ���� ������� ��������� ���� ��� �� � �� �������� �������� �������� �� �� �� ������� ���������� ������� �� ��� �������� ���������� ������� �������� ������� �������� ������� �������� �������� ���������� �������� ������ � ������� ���� ���� ������ � �������� ������ ���������� �������� ����� �� ������� ��������� �������� ������� ������� ���� ���� ������ ������ ����� ���� ����� ������� �������� ������ �� � ���� ����� �� ��� ��� ���� �� �� �� ���� �������� ����� � ������� �� ������� ���� ��� ����� �� ������� �� ����� �������� ������ ������� ���������� �������� �������� ������� ������� �� ������� ������� ������ ������ ��� �������� �������� �������� ��� ����� �������� ������� �������� ���������� ����� � ������� ���� �� ���������� ������ ������ ������� ���������� �������� ������ �������� ��� � ��� ������� �������� ����� �� ���������� �������� �������� ������ �������� ����� �� ���� �� ����� ���������� ���� ��� ������ � ���� ��� ���������� �������� ������� ������� ��������� �������� ������� ������� ��������� �������� ���� � ����� ��������� ������� ��� �� ������� ���������� �������� ��� ��� �������� ��� �� ��� ������ � ������� ������ � ���������� �������� ������ �������� ���������� ����� �� ������ ���� ��� �������� ������� ���� � ��� � � ���������� ������� ���� �� ��� ���� ��� ������ �������� �� ���� ��� ��� �������� ������� ������ ��� ��� ���� ��� �������� ���� � � ��� ��� ��� �� ������� �������� ��� ���� ������
表 �� 問 ��������の解答 �下 �桁 �~�
学番下 �桁 ��� ���� ������ ��� �� ��� ��� ���� ������� ��� ���� ���� ���� �������� ������� ��� ���� ��� � �� ���� ��� ������� ��� ���� ����� ��� ���� ��� �������� ��� ��� �������� ������� �������� �� ����� �������� ������ ��� ��� �� ���� ��������� ������� ������� �� ����� ��������� ���� ������� �� ��� � ��� ����� ������ �������� �� ��� � ������ ����� � ������� �� �� �� ������ �� ���� �� ������ �� ��� ���� ����� ������ �������� �� ����� ��������� ������ �������� �� ��� ���������� ������ ��� ��� �� ����� ���������� ���� � ������� �� � � � �������� ���� � ������� �� � � ��������� ���� � ������ �� ����� ���� ���� ������ ������� �� ���� ��������� ������ ���� �� �� ���� ������� � ������ ������ � �� ���� ��� ������ ���� � �������� �� ���� �� ������� ������� �������� �� ���� �� � ���� ������� ��� ���� �� ���� �� ������ ������� �� ����� �� ����� �� ��� ��� ������ �� �� � �� ���� �� ����� ������� �� ��� �� ����� �� ������ ��� ��� �� ����� �� ���� ��������� ��� ��� �� ����� �� ����� ���������� ��� �� �� ��� �� � ��� �������� �������� �� ���� �� ���� ��������� �������� �� ����� �� ����� ���������� ������ � �� ���� �� ����� ���������� ������� �� ���� �� ����� ��� ������ �������� ����� � �� ���� ������� �� �������� ���� ��� �� ���� �������� ����� � ���� ��� �� ����� ���������� �������� ���� �� �� ����� �������� ������� ���� ��� �� ���� ������� �� �������� ��� ��� �� ���� ��������� �������� ������� �� ���� ��� �� � � �������� �������� �� ���� �������� � �������� ������� �� ����� ������� � ����� �� ��� ��� �� �� �� ����� �� � �������� ������ � �� ���� ������ � ������� �������� �� � �� ������ � �������� �������� �� � ��� �������� � ������� ������� �� ���� ��� ��� � ������ ������ �� ����� �������� � ������� ����� �� ����� ������� ������� ������� �� ����� ������
問題 �
��� 授業でやったように"#�構造での �������方程式を解くことにより表面電荷密度�� �,���が
�� � ���� ������
�
�����
��
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����
ただし
�
�����
��
��
��
����� !���� � ��� � �
� � ��正孔の寄与
���
��
!��� � ��� � �
� � �
�電子の寄与
�����
���
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����
� ��
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� �
�� �������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
で与えられることを示せ.
��� 問題 �の �� の値を用いた時に,�� と ��-�� ����のグラフを定量的に描け �図 �あるいは教科書図 ����
参照�.�
�結果を求めるソースプログラム ��,���,�������� �����,����� のうちいずれでもよいが,正しい動作をするもの� を添付すると本宿題の評価に�する.
図 �� 表面電荷密度 �� と表面電位 �� との関係.
解答 ���は「導出せよ」なので途中過程必須.
��� �������方程式は,
���
���� � �
� ����� ��� � ���� � ����
� � �
� ���
���
�!+�
�������
���
�� �
�� ��
�!+�
������
���
�� �
��� � �
� ����� �!+� �������� � ��� �� �!+� ������� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
と表わされる.両辺に��
��を掛けると,
��
��
���
���� � �
� ����� �!+� �������� � ��� �� �!+� ������� � �� ��
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
これを � � �� �で積分すると,� �
�
��
��
���
����� � � �
� ���
� �
�
�� �!+� �������� � ��� �� �!+� ������� � �� ����
��
� � �
� ���
� �
�
�� �!+� ������ ��� �� �!+� ���� � �� �� � �変数変換 �!��� のとき,��� !���
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.この式より,��
�
���
��
�����
� � �
� ���
���
�� �
�!+������� �
���
� ��
��
�!+����� � �
���
�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������
��
��
� � ��
� ���
���
�� �
�!+� ����� � ��
�
�
�� ��
��
�!+� ���� � �� �
�
��
���
� ���
���
��!+� ����� � ��� �� �
��
���!+� ����� �� � ��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
したがって,電界 ����は,
���� � ���
��� �
���
� ���
���
��!+� ����� � ��� �� �
��
���!+� ���� � ��� ��
�
� ����
�
�����
� ���
���!+� ����� � ��� �� �
��
���!+� ���� � ��� ��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.ここで,"#�構造の酸化膜界面において()*��の法則を適用すると,
� �������� � ���������� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
である�であるので,
�� � �� ������
�
�����
� ���
���!+� ����� � ��� �� �
��
���!+� ���� � ��� ��
�
� ���
�� ������
�
���!+� ����� � ��� �� �
��
���!+� ���� � ��� ��
�
� ���
��� ����
�����
� ��� � �����
���!+� ����� � �� � �� �
��
���!+� ����� �� � ��
� � �
�����
���
���
�
� ���� ������
�
�����
��
��
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
となる.
��� まず,��-�� ����の増減を調べる.���で示したことから,
��-�� ���� � ��-�� �
�����
��
��
�� ��-��
��� ������
� ��-��
��!���� � ��� � �� �
��
���!��� � ��� � �� � ��-�����に依存しない係数部分�
��
���-��
� !���� � ��� � �
��
��
��
!��� � ��� � �
��� ��-�����に依存しない係数部分�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
であるので,
�
�����-�� ���� � �
�
�
�� ��
��!���� � ���
��
��
�!��� � �
� !���� � ��� � �
��
��
��
!��� � ��� � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
この分子が �になるのは,
�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
のときであるが,このとき分母の値も �となり不適である.
次に,上で求めた導関数の符号変化について考える.まず,分母の !���� � ��� � �
����
��
!��� � ��� � �
�は,常に �以上の値を取る.分子についても同様に,常に �以上の値を取ることがわかる. 増減表は表 のようになる.
表 � ��-�� ����の増減�� � � � � � � �
�
�����-�� ���� � � �
��-�� ���� � ��� � �� �
グラフの概形は省略する.図 �のようなグラフが得られるはずである.
������ の法則
�
��
� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
による.問題 � の導出と同様,界面を垂直に貫く円柱について適用すると,側面方向については打ち消され,式���が得られる.