- 1 -

1. 집합 ··· 어떤 조건에 알맞은 대상이 명확하게 구별되는 모임

2. 집합 기호

집합과 원소 ∈(속한다), ∉(속하지 않는다)

집합과 집합 ⊂(부분집합이다), ⊄(부분집합이 아니다), =(서로같다)

3. 집합의 표현

가. 원소나열법 ··· 집합에 속하는 모든 원소를 ｛ ｝안에 나열하는 방법, 중복되는 원소는 한 번만 씀

나. 조건제시법 ··· 모든 원소들의 공통된 성질을 제시하는 방법

4. 집합의 분류

가. 유한(有限)집합 ··· 원소의 개수가 유한개인 집합

나. 무한(無限)집합 ··· 〃 무한개인 집합

다. 공(空)집합 ··· 〃 0개인 집합 (유한집합에 속함)

5. 부분집합

가. A⊂B ··· 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합이라고 한다.

나. A=B ⇔ A⊂B이고 B⊂A

다. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.

라. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

마. 부분집합의 개수 n (A )= p일 때, A의 부분집합의 개수 2 p

ⓐ 특정 원소 l 개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수 2 p - l

ⓑ 〃 m 개를 포함하지 않는 〃 2 p - m

ⓒ 진부분집합의 부분집합의 개수 2 n - 1

6. 집합의 연산

집합의 연산 정의 성질

교집합 A∩B=｛x｜x∈A 그리고 x∈B ｝

(A∩B)⊂A, (A∩B)⊂B

{ A⊂B 이면 A∩B= AB⊂A 이면 A∩B= B

A∩ø= ø, A∩A=A

합집합 A∪B=｛x｜x∈A 또는 x∈B ｝

A⊂(A∪B), B⊂(A∪B)(A∩B)⊂(A∪B)

{ A⊂B 이면 A∪B= BB⊂A 이면 A∪B= A

A∪ø=A, A∪A=A

여집합 A c=｛x｜x∈U 그리고 x /∈A｝A∩A c= ø, A∪A c=U(A c ) c=Aø c=U, U c= ø

차집합 A-B=｛x｜x∈A 그리고 x /∈B｝

A c = U-A

A-B= A∩B c = (A∪B)-B= (A ∪B)- (A∩B)

B-A=B∩A c

7. 유한집합의 원소 개수 n (A∪B)= n (A)+ n (B)- n (A∩B)

- 2 -

8. 기수법

진법 사용가능한 수 묶음 단위 십진법의 수로 전환 각 진법의 수로 나타내기

십진법의 수 0 ～ 9 10 ·

오진법의 수 0 ～ 4 5 오진법의 전개식으로 고쳐 계산

5로 계속 나누어 4이하의 나머

지가 나올 때까지 나누고 나머

지를 역순으로 씀

이진법의 수 0 ～ 1 2 이진법의 전개식으로 고쳐 계산

2로 계속 나누어 1이하의 나머

지가 나올 때까지 나누고 나머

지를 역순으로 씀

오진법의 수↔이진법의 수

각진법을 십진법의 수로 바꾼 뒤 전환해야 함

9. 약수와 배수

가. 몫과 나머지 A = BQ+ R (단 , R < B )

나. 약수와 배수 A= BC(A,B,C : 자연수 )일 때 A는 B,C의 배수 , B,C는 A의 약수

다. 여러 가지 수의 배수

ⓐ 2(5)의 배수 : 일의 자리의 수가 0 또는 2(5)의 배수인 수

ⓑ 3(9)의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3(9)의 배수인 수.

ⓒ 4의 배수 : 끝에서 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수

10. 소인수분해

가. 소수 ··· 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수

나. 합성수 ··· 약수가 3개 이상인 자연수

※ 1은 소수도 합성수도 아니다.

다. 소인수분해 ··· 소수들만의 곱으로 나타내는 것

라. 약수의 개수 ··· P= a n×bm ··· 일 때 ( n + 1 )× ( m + 1 ) ··· 개 (단, a, b는 서로소)

11. 최대공약수와 최소공배수

구분 뜻 성질

최대공약수 공약수 중 가장 큰 수 최대공약수의 약수 집합 = 공약수

최소공배수 공배수 중 가장 작은 수 최소공배수의 배수 집합 = 공배수

두 수를 A,B 라 하고 최소공배수를 L , 최대공약수를 G라 할 때

G A B

a b ① A= aG ② B= bG ③ AB=GL ④ abG= L

12. 소수

{ 유한소수 (유리수 )

무한소수 { 순환소수 (유리수 )

순환하지 않는 무한소수 (무리수 )

가. 유한소수 판별법 ··· 기약분수의 분모가 2나 5만의 거듭제곱꼴인 수

- 3 -

나. 순환소수를 분수로 바꾸기

ⓐ 0.a =0.aaaaa·······=a9

0.a b= 0.ababababab····=ab99

ⓑ 0.a b= 0.abbbb·····=ab-a90

0.a bc= 0.abcabc abc·····=abc999

ⓒ 0.a bc= 0.abcbcbcbc·····=abc-a990

a.bc d=a.bcdbcdbcd···=abcd-a

999

ⓓ a.bc d=a.bcdcdcd·····=abcd-ab

990

13. 수(數)

실수 (實數 )

유리수 { 양의정수 (자연수 )0

음의정수유리수 :a, b( b /= 0)가 정수일 때,

ab로 나타내어지는 수

무리수 2, π

14. 근사값

가. 참값 ··· 실제의 값 측정값 ··· 측정하여 얻은 값

나. 근사값 ··· 참값에 가까운 값 오차 = 근사값 - 참값

다. 오차의 한계 =12×최소눈금

라. 참값의 범위

근사값 - 오차의 한계 ≦ 참값 < 근사값 + 오차의 한계

15. 유효숫자

가. 반올림에 의해 처리되지 않은 수

나. 덧셈, 뺄셈 : 유효숫자의 끝자리를 맞추어 계산

다. 곱셈, 나눗셈 : 유효숫자의 개수를 맞추어 계산하고 결과도 개수를 맞춘다.

라. 근사값의 표현 ··· a ×10 n 또는 a ×1

10 n (단, 1≦a<10, n은 자연수)

16. 제곱근

가. 제곱근 ··· 어떤수 a 를 제곱해서 a 가 되는 수

a ⇔ + a(양의 제곱근 ), - a (음의 제곱근 )

ⓐ a > 0 ··· 제곱근이 2개 존재

ⓑ a < 0 ··· 제곱근이 없다

ⓒ a = 0 ···· 1개 존재

나. 제곱근의 성질

ⓐ a ＞ 0 일 때 a 2 = (- a ) 2 = a , ( a ) 2 = (- a ) 2 = a

ⓑ a 2 = a = { a ( a ≧ 0 일 때 )- a ( a ＜ 0 일 때 )

다. 제곱근의 대소 { a - b > 0 ⇔ a > ba - b = 0 ⇔ a = ba - b < 0 ⇔ a < b

- 4 -

라. 근호를 포함한 식의 계산

ⓐ 제곱근의 성질

㉠ a b= ab ㉡ a 2b= a b ㉢ab

=ab

ⓑ 분모의 유리화

ab

=a × bb × b

=a bb

(단 b > 0 )

ⓒ 제곱근의 덧셈과 뺄셈

㉠ m a+ n a = (m+ n ) a ㉡ m a- n a = (m- n ) a

17. 지수법칙

가. a m×a n = a m + n ( a m ) n = a mn

나. { m > n 일 때 , a m÷ a n = a m - n

m = n 일 때 , a m÷ a n = 1

m < n 일 때 , a m÷ a n =1

a m - n

다. ( a b) n = a nb n ( ab )

n

=a n

b n ( b ≠ 0 )

라. a 0 = 1 a - n =1

a n ( a ≠ 0 )

18. 단항식(單項式)과 다항식(多項式)의 계산

가. 계산 방법

ⓐ 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산

ⓑ 같은 문자의 곱은 거듭제곱의 지수를 써서 나타낸다.

나. 다항식의 덧셈과 뺄셈 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 한다

※ 동류항(同類項) 문자와 차수가 같은 항

다. 사칙 계산 : 괄호 -> 곱셈 · 나눗셈 -> 덧셈 · 뺄셈

19. 곱셈공식

가. (a + b) 2= a 2+2ab+ b 2 (a- b) 2= a 2-2ab+ b 2

나. ( a + b)(a - b ) = a 2- b 2 ( x+ a )( x+ b)= x2+ (a+ b)x+ ab

다. ( ax+ b)( cx+ d)= acx2+(ad+ bc)x+ bd ( a + b+ c) 2=a 2+b 2+c 2+2a b+ 2bc+ 2ca

20. 곱셈공식의 이용

가. ( y- x) 2 = ( x- y) 2 (- x- y) 2 = ( x+ y) 2

나. x 2+ y 2= (x+ y) 2- 2xy x 2+ y 2= (x- y) 2+ 2xy

다. ( x+ y) 2= (x- y) 2+ 4xy ( x- y) 2 = ( x+ y) 2 - 4xy

21. 복잡한 다항식의 전개

가. 같은 식이 있을 때는 다른 한 문자로 치환한 뒤 곱셈공식 적용

나. 동류항끼리 모아 간단히 한다

22. 인수분해

가. 뜻 ··· 다항식을 단항식의 곱의 꼴로 나타내는 것

- 5 -

나. 인수분해 공식

ⓐ a 2+2ab+ b 2= (a + b) 2

ⓑ a 2-2ab+ b 2= (a - b) 2

ⓒ a 2-b 2= ( a + b)( a - b)

ⓓ x2+ (a+ b)x+ ab= (x+ a )( x+ b)

ⓔ acx2+(ad+ bc)x+ bd= ( ax+ b)( cx+ d)

다. 복잡한 식의 인수분해

ⓐ 공통부분이 있으면 공통인수끼리 묶는다.

ⓑ 같은 다항식이 있으면 문자로 치환한다.

ⓒ 문자가 여러개 있을 때에는 한 문자에 관해 내림차순으로 정리.

23. 일차방정식

가. 방정식 미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식

항등식 미지수의 값에 상관없이 항상 참이 되는 식

나. a x= b 의 꼴로 정리 ➡ 양변을 a ( ≠ 0 ) 로 나눔 ➡ x=ba

다. 소수나 분수가 나올 경우 양변에 알맞은 수(분수는 최소공배수, 소수는 10의 거듭제곱) 로 곱해 정수로

고쳐서 계산한다.

라. 해집합이 특별한 일차방정식

0․x=0의 꼴 해집합은 수 전체의 집합

0․ x= ( 0 이 아닌 수 )의 꼴 해집합은 공집

합

마. 해집합이 특별한 연립방정식

{ a x + b y = ca 'x+ b'x= c '

일 때,

a = a', b= b', c = c'이면 해가 무수히 많음.

a = a', b= b', c≠c' 이면 해는 공집합.

바. 응용문제 공식

ⓐ 물건의 가격 = 개당 가격 × 수량 거리 = 속력 × 시간

ⓑ 소금의 양 = 소금물의 양 × 농도 x 년 후의 나이 = 현재의 나이 + x

ⓒ 직사각형의 넓이 = 가로 × 세로 삼각형의 넓이 =12× 밑변의 길이 × 높이

24. 연립방정식

가. 연립방정식의 풀이 : 가감법, 대입법, 등치법

나. A=B=C 꼴

{ A = BA = C

, { A = BB = C

, { A = CB = C

중 하나를 선택하여 푼다

- 6 -

25. 부등식

가. 부등식의 성질

a < b 일 때 { a + c < b + ca - c < b - c

a < b 일 때 { c > 0 : a c < bc ,ac

<bc

c < 0 : a c > bc ,ac

>bc

나. 일차부등식의 풀이

ⓐ 계수가 분수, 소수 ⇒ 정수로

ⓑ 괄호가 있으면 괄호를 푼다

ⓒ 문자는 좌변, 상수는 우변으로 이항

ⓓ 양변을 간단히 하여 a x> b, a x≧ b, a x< b, a x≦ b의 꼴로 고친다

ⓔ 양변을 x의 계수로 나누고 만약 계수가 음수이면 부등호의 방향은 반대로 바꾼다

다. A < B < C 모양의 연립부등식 ··· { A < BB < C

의 모양으로 고쳐서 푼다

라. 부등식의 응용 문제 풀이 방법

ⓐ 문제의 뜻을 정확히 파악하고, 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다

ⓑ 문제의 뜻에 알맞은 부등식을 세운다.

ⓒ 이 부등식을 푼다

ⓓ 문제의 뜻에 알맞은 답을 구한다

26. 이차방정식 ( ax2+bx+c= 0 )

가. 인수분해가 되면 인수분해하여 구한다.

나. 인수분해가 되지 않으면 완전제곱식이나 근의 공식을 사용한다.

근의 공식 x=- b± b 2- 4ac

2a

다. 근의 개수

서로 다른 두 실근 ⇨ b 2 - 4a c ＞ 0

한 개의 중근 ⇨ b 2 - 4a c = 0

근이 없다. ⇨ b 2 - 4a c ＜ 0

라. 근과 계수와 관계(두 근을 α, β 라 할 때)

α+β = -ba

αβ =ca

27. 일차함수

가. 대칭인 점의 좌표 : 점 P( a , b )가 주어졌을 때.

ⓐ x 축에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ( a , - b ) y 축에 대칭인 점의 좌표 ⇨

( - a , b )

ⓑ 원점에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ( - a, - b )

나. 기울기와 절편

ⓐ 기울기: a (= y 값의 증가량x 값의 증가량 ) x 절편: y= 0일 때 x의 값. y 절편: x= 0일 때 y의 값.

기울기가 같다 ⇔ 두 직선이 평행

다. y = a x ( a≠ 0 )

- 7 -

ⓐ a ＞ 0 일 때 오른쪽 위로 향하는 직선. a ＜ 0 일 때 오른쪽 아래로 향하는 직선.

ⓑ 원점( 0, 0 )을 지나는 직선.

라. y= ax+ b (a≠ 0 )

ⓐ y = a x ( a≠ 0 )의 그래프를 y 축의 방향으로 b 만큼 평행이동시킨 직선.

ⓑ b＞ 0 이면 y 축의 양의 방향으로 b 만큼 평행이동.

ⓒ b＜ 0 이면 y 축의 음의 방향으로 b만큼 평행이동.

마. y =ax

( a ≠ 0 )

ⓐ 원점에 대칭인 쌍곡선으로 나타남. a ＞ 0 일 때 제 1사분면과 제3사분면을 지난다.

ⓑ a ＜ 0 일 때 제2사분면과 제4사분면을 지난다.

28. 직선의 방정식

기울기가 a , y 절편이 b일 때 y= ax+ b

기울기가 a , 점( m, n )을 지날 때 y- y 1 = a (x- x 1 )

두 점( ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )을 지날

때y- y 1 =

y 2 - y 1

x 2- x 1

( x- x 1 )

x절편이 a , y 절편이 b 일 때 y=-ba

x+ b

29. 이차함수

가. y = a x 2 ( a ≠ 0 )

ⓐ 꼭지점 ( 0, 0 ) 축 ( x = 0 )

ⓑ { a ＞ 0 : 아래로 볼록a ＜ 0 : 위로 볼록 절대값이 클수록 폭이 좁다.

ⓒ y=-ax 2의 그래프와 x 축에 대칭

나. y = a x 2 + q ( a≠ 0 )

ⓐ y= ax 2 의 그래프를 y 축의 방향으로 q 만큼 평행이동. 축: y 축 ( x = 0 ) , 꼭지점 : ( 0. q

)

다. y = a ( x- p) 2 ( a ≠ 0 )

ⓐ y= ax 2 의 그래프를 x 축의 방향으로 p 만큼 평행이동. 축: x= p , 꼭지점 : ( p . 0 )

라. y = a ( x- p) 2 + q ( a≠ 0 )

ⓐ y= ax 2 의 그래프를 x 축의 방향으로 p 만큼 , y 축의 방향으로 q 만큼 평행이동.

ⓑ 축: x= p , 꼭지점 : ( p . q ) { a＞ 0 일때 ,x= p에서최소값a＜ 0 일때 ,x= p에서최대값

y= ax 2+ bx+ c ( a≠0 ) 의 그래프에서 꼭지점의 x 좌표 -b2a

> 0 ⇒ a , b 의 부호가 다르고,

-b2a

< 0 ⇒ a , b 의 부호가 같다.

마. 이차함수의 활용

이차함수 y= ax2+bx+ c= a ( x- p) 2+q 에서

ⓐ a ＞ 0 면 x= p 일 때 최소값 q a ＜ 0 면 x= p 일 때 최대값 q

- 8 -

ⓑ 이차방정식 ax2+bx+ c= 0 의 근

서로 다른 두 실근 ⇨ 두점에서 만난다.

한 개의 중근 ⇨ 한 점에서 만난다.

근이 없다. ⇨ 만나지 않는다.

ⓒ 이차함수의 결정

꼭지점 ( p, q ) 가 주어질 때 y= a ( x- p) 2+ q 에 대입

x 축과의 교점

( m , 0 ) , ( n , 0 ) 이 주어질 때y= a ( x- m )(x- n ) 에 대입

그래프 위의 3점 y= ax2+bx+ c 에 대입

30. 확률 ( P ) =어떤 사건이 일어날 수 있는 경우의 수일어날 수 있는 모든 경우의 수

가. 경우의 수 어떤 사건이 일어날 수 있는 방법의 수

ⓐ 합의 법칙 m+n → ‘또는’, ‘～이거나’의 개념일 때 적용

ⓑ 곱의 법칙 m×n → ‘동시에’, ‘～이어서’, ‘～이고’, ‘그리고’, ‘～이고’의 개념일 때 적용

ⓒ 수형도 면이 없는 선형도형으로 나뭇가지 모양의 그림을 활용하여 경우의 수를 구함

31. 확률의 성질

0 ≦ P≦ 1

P= 0 확률이 절대로 일어나지 않을 사건의 확률. P= 1 반드시 일어나는 사건의 확률.

32. 확률의 계산

가. 확률의 덧셈 “또는” -> 각각의 확률을 더한다

나. 확률의 곱셈 “동시에 일어날 확률” -> 각각의 확률을 곱한다

33. 여사건의 확률 『적어도 ～』의 개념이 나올 때 적용

A 가 일어나지 않을 확률 q= 1- p

34. 기대값 = 상금 × 확률

35. 자료의 정리

가. 도수분포표

ⓐ 변량 ····· 자료를 수량으로 나타낸 것 계급 ····· 변량을 나눈 구간

ⓑ 계급의 크기 ····· 구간의 나비 도수 ····· 각 계급에 속하는 자료의 수

ⓒ 계급값 ····· 계급 중앙의 값

나. 도수분포 그래프

ⓐ 히스토그램 ····· 가로축에 계급, 세로축에 도수를 잡고, 각 계급의 크기를 가로로, 도수를 세로로

하는 직사각형으로 나타낸 그래프

ⓑ 도수분포다각형 ····· 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 이은 선분의 그래프

다. 상대도수=그 계급의 도수도수의 합

ⓐ 상대도수의 총합 : 1 그 계급의 도수 = 상대도수 × 도수의 합,

ⓑ 도수의 합 =그 계급의 도수상대도수

- 9 -

라. 누적도수= 각각의 계급까지의 합

ⓐ 처음 계급의 누적도수 = 그 계급의 누적도수 마지막 계급의 누적도수 = 도수의 총합

ⓑ 누적도수 분포다각형 ····· 점을 잡을 때 윗변의 오른쪽 점을 설정한다

36. 자료의 비교

가. 가평균 : 임의의 평균으로 자료가 가장 많은 계급 또는 자료들 중 중앙에 해당하는 값을 선정

나. 과부족 = 각 계급값 - 가평균

다. 평균= 가평균+(계급값 - 가평균 )의 총합도수의 총합 편차= 각 변량-평균

라. 분산( S 2 ) =(편차 ) 2 ×도수의 총합도수의 총합 표준편차( S )= S 2 (분산의 양의 제

곱근)

표준편차를 구하는 순서

가평균 ⇨ 과부족의 평균 ⇨ 평균 ⇨ 편차 ⇨ { (편차 ) 2 ×도수 }의 총합 ⇨ 도수의 총합으로 나눈다(분산)

⇨ 양의 제곱근(표준편차)

산포도 ····· 변량들이 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값

37. 상관관계

가. 상관관계 두 변량의 값 사이에서 변량의 관계로 그 종류는 다음 5가지가 있다

ⓐ 강한 양의 상관관계 약한 양의 상관관계 강한 음의 상관관계 약한 음의 상관관계

ⓑ 상관관계가 없는 경우

38. 직선, 선분, 반직선

가. 선분 AB : AB 반직선 AB : AB 직선 AB : A B

39. 동위각과 엇각 ··· 두 직선이 평행 ⇔ 동위각과 엇각의 크기가 각각 같다

40. 삼각형의 결정조건

가. 세 변의 길이가 주어질 때 ( 다른 두 변의 차 < 임의의 한 변 < 다른 두 변의 합 )

나. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

다. 한 변의 길이와 그 양끝각이 주어질 때

41. 삼각형의 합동조건

가. 세 대응변의 길이가 각각 같을 때 ( SSS 합동 )

나. 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 각각 같을 때 ( SAS 합동 )

다. 한 대응변의 길이가 각각 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 ( ASA 합동 )

※ 합동 성질 ····· 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같다.

c f ) 직각삼각형의 합동 ····· ① 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같다 (RHA 합동)

② 빗변의 길이와 한 변의 길이가 각각 같다 (RHS 합동)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

A B

- 10 -

S : 변, A : 각, H : 빗변의 길이, R : 직각

42. 삼각형의 성질

가. 두 변의 길이의 차 < 다른 한 변의 길이 < 두 변의 길이의 합

나. 세 내각의 합 = 180°

다. 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

43. 다각형의 내각과 외각

가. n 각형의 내각의 크기의 합 = 180 × ( n - 2 ) n 각형의 외각의 크기의 합 = 360

나. n 각형의 대각선의 총수 =n ( n - 3 )

2한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 수 = n - 3

44. 정다면체

가. 정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형

나. 정다면체 : 모든 면이 합동이고 모든 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체

정 다 면 체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체

면의 모양 정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형

한 꼭지점에

모이는 면의

개수

3 3 4 3 5

45. 위치 관계

가. 평면의 결정 조건

ⓐ 한 직선 위에 있지 않은 세 점 만나는 두 직선

ⓑ 한 직선과 그 직선 밖의 한 점 평행한 두 직선

나. 두 직선의 위치 관계

ⓐ 한 점에서 만난다

ⓑ 일치한다 한 평면 위에 있다

ⓒ 평행하다

ⓓ 꼬인 위치에 있다 한 평면 위에 있지 않다

( 꼬인위치 : 공간상에서 만나지도 평행하지도 않은 위치 관계 )

다. 직선과 평면의 위치 관계

ⓐ 직선이 평면에 포함된다 한 점에서 만난다 만나지 않는다 ( 평행 )

라. 두 평면의 위치 관계

ⓐ 만난다 ( 교선이 생김 ) 일치 만나지 않는다 ( 평행 )

46. 입체도형의 겉넓이와 부피

입체도형 겉넓이 부피

기둥 2×밑넓이＋옆넓이 2×밑넓이×높이

뿔 밑넓이＋옆넓이13×밑넓이×높이

구 4πr 2 43

πr 3

※ 삼각형의 넓이 =12×밑넓이×높이 사각형의 넓이 = 가로 × 세로 원의 넓이 = πr 2

- 11 -

부채꼴의 넓이 = πr 2×중심각의 크기

360=

12

r l ( 호의 길이 l= 2πr×중심각의 크기

360)

47. 연결상태가 같은 도형

가. 연결상태가 같은 도형 - 잘라내거나 오려 붙이지 않고 한 도형을 늘이거나 줄이거나 구부려도 처음

도형과 같은 도형

나. 단일폐곡선 - 연결상태가 원과 같은 도형

다. 한붓그리기 - 연필을 떼지 않고 어느 선도 한 번만 지나도록 그리는 것

조건 : 홀수점이 0개 (시작점 = 끝점), 2개 (시작점 /= 끝점)

라. 꼭지점, 모서리, 면의 개수

연 결 상 태 공 식

수형도 v- e= 1

꼭지점과 변으로 이루어진 도형 v- e+ f= 1

연결상태가 구와 같은 도형 v- e+ f= 2(오일러의 공식 )

연결상태가 튜브와 같은 도형 v- e+ f= 0

한 꼭지점 또는 한 모서리를 공유하는 도형 v- e+ f= 3

( v : 꼭지점의 개수, e : 모서리의 개수, f : 면의 개수 )

48. 명제 ····· 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식

가. 구성 p이면 q이다 ⇔ p → q ( p :가정, q :결론) 역 q → p

49. 삼각형의 오심(五心)

오 심 작도방법 성 질

외심 세 변의 수직이등분선의 교점 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다

내심 세 내각의 이등분선의 교점 세 변에 이르는 거리가 같다

무게중심 세 중선의 교점 꼭지점으로부터 2:1의 비로 나누어 진다

방심한 내각과 나머지 두 각의 외각의

이등분선의 교점한 삼각형에 3개의 방심이 존재

수심 각 꼭지점에서 내린 수선의 교점

50. 이등변삼각형의 정의 ····· 두 변의 길이가 같은 삼각형

성질 ····· 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다

51. 평행사변형

가. 정의 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형

나. 성질 ① 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.

② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

③ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

다. 조건 ① 두 쌍의 대변이 평행 ② 두 쌍의 대변의 길이가 같다

③ 두 쌍의 대각의 크기가 같다 ④ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다

⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

- 12 -

52. 여러 가지 사각형

사각형 ····· 각이 4개인 도형

사다리꼴 ····· 한 쌍의 대변이 평행한 사각형

평행사변형 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형

직사각형 ····· 4각의 크기가 같은 마름모 ····· 네 변의 길이가 같은 사각형

사각형

정사각형 ····· 네 변의 길이가 같고, 네 각의

크기가 같은 사각형

53. 닮음

가. 평면도형에서의 닮음

ⓐ 대응변의 길이의 비가 일정하다 대응각의 크기가 같다

닮음비 ····· 두 닮은도형에서 대응변의 길이의 비

나. 입체도형에서의 닮음의 성질

ⓐ 대응면이 닮은도형이다 대응하는 선분의 길이의 비가 일정하다.

54. 삼각형의 닮음

가. 삼각형의 닮음 조건

ⓐ SSS SAS AA

나. 삼각형과 비

ⓐ DE// BC ⇔ { AD : AB = AE : AC

AD : DB = AE : EC

ⓑ 평행선과 선분의 비

AB : BC = A'B' : B'C'

AB : A'B'= BC : B'C'

大

小

A

B C

D E A

B C

DE

a

b

c

l l`

A

B

C

A`

B`

C`

- 13 -

다. 삼각형의 중점연결정리

MN // BC, MN =12

BC

라. 사다리꼴의 중점연결정리

AD // BC 이고 , M, N이 각각 AB , DC 의 중점이면

MN // AD // BC, MN =12

( AD + BC )

마. 삼각형의 무게중심

① AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1

② △ABG=△BCG=△ACG=13△ABC

△AFG=△FBG=△BDG=△DCG=△CEG=△EAG=16△ABC

55. 닮은도형의 닮음비와 넓이비와 부피비

닮음비 m : n ⇒ 넓이비 m 2 : n 2 ⇒ 부피비 m 3 : n 3

56. 피타고라스의 정리

가. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 a , b

빗변의 길이가 c 이면

⇔ c 2 = a 2+ b 2

( ⇒ 피타고라스의 정리, ⇐ 피타고라스의 역 )

나. 삼각형의 길이와 각의 크기 사이의 관계

ⓐ c 2 < a 2 + b 2 ⇔ 예각 삼각형 c 2 = a 2 + b 2 ⇔ 직각 삼각형

ⓑ c 2 > a 2 + b 2 ⇔ 둔각 삼각형

다. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

두 점 A ( x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 )사이의 거리 AB = ( x 2 - x 1 )2 + ( y 2 - y 1 )

2

라. 대각선의 길이

ⓐ 정사각형의 대각선의 길이 (한 변의 길이 a ) l = a 2+a 2 = 2a

ⓑ 직사각형의 〃 (가로 a , 세로 b ) l= a 2+b 2

ⓒ 직육면체의 〃 (가로 a , 세로 b , 높이 c ) l= a 2+b 2+c 2

ⓓ 직육면체의 〃 (한 변의 길이 a ) l= a 2+a 2+a 2= 3a

ⓔ 정삼각형의 높이와 넓이 (한 변의 길이 a ) h=32

a, S =34

a 2

ⓕ 정사면체의 높이와 부피 (한변의 길이 a , 높이 h ) h=63

a, V=2

12a 3

ⓖ 원뿔의 높이와 부피(모선 l , 높이 h , 밑면의 반지름 r ) h= l 2-r 2, S=13

πr 2h

A

B C

D E

A

B C

D

M N

A

B CD

EF

G

A

B C

cb

a

- 14 -

57. 중심각과 호

가. 원, 중심, 반지름, 활꼴, 부채꼴

나. 중심각의 크기와 호의길이와 부채꼴의 넓이 ··· 비례

※ 중심각의 크기와 현의 길이는 비례하지 않는다.

58. 원과 현

가. 원의 중심에서 현에 대한 수선은 현을 이등분한다

나. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다

다. 한 원 또는 합동인 두 원에서 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다

59. 원과 접선

가. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.

나. 원의 외부의 한 점에서 그은 2 개의 접선의 길이는 같다.

60. 두 원의 위치 관계와 공통 접선

위 치 관 계 중심거리와 반지름 공통외접선의 개수 공통내접선의 개수

한 원이 다른 원의

외부에 있는 경우d > r + r ' 2 2

외접하는 경우 d=r+r' 2 1

두 점에서 만나는 경우 r - r ' < d < r + r ' 2 ×

내접하는 경우 d=r-r' 1 ×

포함되는 경우 d < r - r ' × ×

61. 공통접선의 길이

( 중심간의 거리 d , 큰 원의 반지름 r , 작은 원의 반지름 r ' )

가. 공통내접선의 길이 l= d 2- ( r + r ') 2

나. 공통외접선의 길이 l= d 2- ( r - r ') 2

62. 원주각

가. 원주각 =12×중심각

나. 한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다

다. 반 원의 원주각 = 90°

63. 원과 사각형

가. 대각의 크기의 합 ··· 180°

나. 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다

반지름

A B현AB

활꼴

중심각

부채꼴

내대각

외각

중심

원●

- 15 -

64. 접선과 현이 이루는 각

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는

각의 크기는 그 각 내부에 있는 호에 대한

원주각의 크기와 같다.

65. 원에서의 비례 관계

가. PA×PB= PC×PD

나. PA×PB= PC 2 또는 PA×PB= PD 2

다. PA×PB= r 2- OP 2 PA×PB= OP 2-r 2

66. 원의 외부의 한 점에서의 할선과 접선

PT 2= PA×PB

67. 비례 관계의 활용

가. 공통현(공통접선) PA×PB= PC×PD

▲

▲◎

◎

A

BC

D

P

A B

C

D

P

A B

CD

P

A B

C DP

r

A

B

C DP

r

P T

A

B

P

A

C

D

BA

B

P

C

D

- 16 -

68. 삼각비의 뜻

가. 삼각비의 정의

sinA=BCAC

=대변빗변 =

ab

cosA=ABAC

=밑변빗변 =

cb

tanA=BCAB

=대변밑변 =

ac

나. 특수한 각의 삼각비

각

삼각비0° 30° 45° 60° 90°

sin A 012

22(=

12)

32

1

cos A 032

22(=

1

2)

12

0

tan A 033(=

13) 1 3 없다(∞)

다. 삼각비 사이의 관계

ⓐ sin A = cos (90°- A) cosA= sin (90°- A) tan A =1

tan (90 -A)

라. 세 삼각비 사이의 관계

ⓐ tan A =sinAcosA

tan 2A + 1=1

cos 2Asin 2A+ cos 2A = 1

69. 삼각비의 활용

가. 직각삼각형의 변의 길이

c= a 2+b 2

a= csinA= ccosB= btanA

b= csinB= ccosA= atanB

a

b

cA

C

B

대변빗변

밑변

60°

30°

1

32

45°

45°

1

12

A

B

C

ca

b

- 17 -

나. 일반삼각형의 변의 길이

ⓐ 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

h= bsinA, AH = bcosA를 이용하여

BH 를 구한 다음 피타고라스의 정리 이용

ⓑ 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때

b=AHsin C

=csinBsin C

, a =BGsin C

=csinAsin C

ⓒ 둔각삼각형에서 밑변의 길이와 ∠A , ∠CBH의 크기를 알 때

h =c

tan (90 - x)- tan (90 - y)

다. 도형의 넓이

ⓐ 삼각형의 넓이

㉠ ∠B 가 예각인 경우 S=12

acsinB

㉡ ∠B 가 둔각인 경우 S=12

acsin ( 180- B)

ⓑ 평행사변형의 넓이

S= absinx

ⓒ 사각형의 넓이 사다리꼴의 넓이

S=12

absinx S =12

a ( b+ c ) sin x

B

C

AH

b a

c

h

b

c

a

C

H

G

A

AB H

C

x y

c

h

A

B C

D

xa

b

xab a

b

c

x

absinx