數與式 林 - cloud object storage · 高中數學(一)第 1 章 數與式 7 1-1-1...
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7高中數學(一)第 1 章 數與式
1-1-1 數系的介紹與運算性質
數與式1第 章
筆 記 欄【數的家族】
虛數 (i=�-1 )無理數
正整數 (N)0負整數
非整數的分數
複數 (C)
【定義】有理數 ! 可表為分數之型態即
qp
(p�0,p、q�Z)
無理數 ! 在 中無法表示為分數之型態
【討論】1 有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數2 稠密性:某數系任兩相異數之間,至少可插入一 個數,則稱此數系具有稠密性
Ex 3 封閉性:某數系經過某運算後,仍維持在原來的 數系,則稱此數系在此運算具有封閉性
Ex 1 實數與有理數對+、-、×、÷皆有封閉性 (但除法時分母�0) 2 整數對+、-、×皆有封閉性,但除法沒有
0 為 1 2 3 中性數 凡能表為 ,
k�Z 稱為偶數
若 a,b�Z
且
則 a 為 b 的倍數(b 為 a 的因數)
0 為任何整數之倍數 (除了 0 之外)
1-1 數與數線
傅壹老師 編授翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 數與式翰 數與式數與式翰 數與式數與式翰 數與式數與式翰 數與式
林 林 林 數系的介紹與運算性質林 數系的介紹與運算性質
正整數林 正整數0林 0負整數林
負整數林 林 林 林 林 林 林 林 林 雲 可表為分數之型態即雲 可表為分數之型態即雲 q雲 q
p雲 p(雲 (p雲 p(p(雲 (p( �雲 �0雲 0,雲 ,p雲 p中無法表示為分數之型態雲 中無法表示為分數之型態
有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數雲 有理數就是包含整數、有限小數或無限循環小數
稠密性:某數系任兩相異數之間,至少可插入一 雲
稠密性:某數系任兩相異數之間,至少可插入一
端 端 封閉性:某數系經過某運算後,仍維持在原來的
端 封閉性:某數系經過某運算後,仍維持在原來的
數系,則稱此數系在此運算具有封閉性端 數系,則稱此數系在此運算具有封閉性
實數與有理數對+、-、×、÷皆有封閉性端 實數與有理數對+、-、×、÷皆有封閉性
(但除法時分母端 (但除法時分母�端 �0端 0)端 )
整數對+、-、×皆有封閉性,但除法沒有端 整數對+、-、×皆有封閉性,但除法沒有
學 院
8 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-1-E 試題精煉
1題 有理數與無理數的四則運算
下列敘述何者正確?
A有理數乘以無理數必為無理數
B若 a、b 為正實數,且 a+b 為有理數,a-b 為無理數,則 a2-b2 必為無理數C設 a+b 為有理數,ab 亦為有理數,則 a 與 b 皆為有理數D無理數對於加法有封閉性
E若 a 為無理數,且 a+b 為有理數,則 a-b 必為無理數 各校必考考題 解
〈key〉 一般欲證明無理數 ! 皆用
A :未必 �若有理數為 0則 0‧無理數=0 為有理數
B :�a+b 為正數,且為有理數�a2-b2=(a+b)(a-b) 必為無理數
C :反例:(2+Q3 )+(2-Q3 )=4 (2+Q3 )+(2-Q3 )=1
D :反例:(2+�3 )+(2-�3 )=4�QE :設 a-b 為有理數,
又已知 a+b 為有理數�(a-b)+(a+b)�Q! 2a�Q ! a�Q 與已知矛盾�a-b 必為無理數
2題 有理數與無理數的四則運算
a�R,a21�Q,a51
�Q,則下列何者為有理數?A a B a2 C a3 D a4 E a6
各校必考考題
解
〈key〉若 am
�Q,an�Q
且 (m�n)=k,則 ak�Q
3題 證明題
若 a+b,b+c,c+a 均為有理數,試證:a,b,c 皆為有理數。 武陵高中
證
1� �a+b,b+c,c+a 皆為有理數 �(a+b)+(b+c)+(c+a)�Q ! 2(a+b+c)�Q ! a+b+c�Q
2� a=(a+b+c)-(b+c)�Q b=(a+b+c)-(a+c)�Q c=(a+b+c)-(b+a)�Q
翰 翰 有理數與無理數的四則運算翰 有理數與無理數的四則運算
林 亦為有理數,則
林 亦為有理數,則 a
林 a與
林 與 b
林 b皆為有理數
林 皆為有理數
為有理數,則林 為有理數,則 a林 a-林 -b林 b必為無理數林 必為無理數林 林 林 林 D林 D林 林 :反例:(林 :反例:(E林 E林 林 :設林 :設 a林 a雲 雲 雲 雲
必為無理數
雲 必為無理數 �
雲 �a
雲 a-
雲 -
雲 有理數與無理數的四則運算雲 有理數與無理數的四則運算
端 C
端 C D
端 D
端 端 端 端 端 端 學 學 學 學 學 學 均為有理數,試證:學 均為有理數,試證:a學 a,學 ,b學 b,學 ,c學 c皆為有理數。學 皆為有理數。院院院院
b
院b=(
院=(a
院a+
院+
c院c=(院=(a院a+院+
9高中數學(一)第 1 章 數與式
4題 整數的運算
設 a,b 都是整數且滿足 │a-1│+3│b+2│=4,則此種數對 (a�b) 共有 組。
解
│a-1│+3│b+2│=4
4 0 !
1 1 !
�2+4=6
5題 整數的運算
a,b�Z,滿足 │a-1│+3│b+2│�4,此種數對 (a�b) 共有 組解。
解
│a-1│+3│b+2│�4
0,1,2,3,4 0 !
0,1 1 !
�9+6=15
6題 整數的運算
x,y,z�Z,�(x-3)2 +2│5-y│+3│z+4│=4,則數對 (x�y�z) 有 組解。 桃園高中、建國中學、臺南一中
解
│x-3│+2│y-5│+3│z+4│=4
4 0 0 !
2 1 0 !
0 2 0 !
1 0 1 !
共 12 組
翰 │翰 │b翰 b+翰 +2翰 2│=翰 │=4翰 4,則此種數對翰 ,則此種數對翰 翰 翰 翰 林 林 林 林 雲 雲 雲 雲 端 端 端 端 │+端 │+3端 3│端 │z端 z+端 +4端 4│=端 │=4端 4,則數對端 ,則數對端 端 端 端 學 學 學 院院院院
10 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-2-E 試題精煉1題 方程式的解
a,b�Q,若 (3+�5 )a-(7-3�5 )b=-9+13�5 ,則數對 (a�b)= 。
解
原式 !(3a-7b)+�5 (a+3b)=-9+13�5 1-2×3 !-16b=-48�b=3 代入1! a=4�(a�b)=(4�3)
2題 方程式的解
設 a 為有理數,且方程式 x2-(2-a�3 )x-3+2�3 =0 有一正有理根,則 a= 。 臺中一中、嘉義中學、師大附中
解
1� 令此正有理根為 � 則 �2-(2-a�3 )�-3+2�3 =0 �(�2-2�-3)+�3 (a�+2)=02�
由1!(�-3)(�+1)=0 ��=3 或-1 �正有理根 ��>0 ��=3
代入2! 3a+2=0 �a=-23
【範例 1】
若 a,b,c,d�Q,試證:a+b�2 =c+d�2 � a=c,b=d證
1�(#) 若 a=c,b=d ! a+b�2 =c+d�2 2�(!) �a+b�2 =c+d�2 a,b,c,d�Q �(a-c)+(b-d)�2 =0 !(b-d)�2 =c-a
1 當 :�2=c-ab-d
�Q
矛盾 (��2 為無理數)
2 當 :0‧�2 =c-a
�0=c-a ! a=c 又 b-d=0 �b=d�由 1�,2� 故得證
【範例 2】
若 a,b�Q,試證:a+b�2 =0 � a=b=0證
1� (#) a=0,b=0 ! a+b�2 =02� (!) �a+b�2 =0,a、b�Q �b�2 =-a
1 若 b�0,則 �2 =-ab�Q �矛盾
2 若 b=0,則 0‧�2 =-a �0=-a �a=0由 1�,2� 得證
1-1-2 無理係數,有理係數對應相等翰 �翰 ��2 �翰 �2 � =翰 =c翰 c+翰 +d翰 d�翰 �d�d翰 d�d 2 翰 2 �2 �翰 �2 � �翰 � a翰 a=翰 =c翰 c翰 無理係數,有理係數對應相等翰 無理係數,有理係數對應相等
林 林 林 林
林
林 矛盾
林 矛盾
2林 2 林 當林 當林 林 林 林 �林 �0林 0=林 = 林 林 又林 又 b林 b-林 -�林 �由林 由 1林 1�林 �,林 ,2林 2�林 �雲 雲 雲 雲 矛盾雲 矛盾
2
雲 2
雲 若
雲 若 b
雲 b=
雲 =
雲 �雲 �0雲 0=-雲 =-由雲 由 1雲 1�雲 �,雲 ,2雲 2�雲 �得證雲 得證雲 端 �
端 ��5 �
端 �5 � )
端 )b
端 b=-
端 =-9
端 9+
端 +13
端 13�
端 ��5 �
端 �5 � ,則數對
端 ,則數對
端 端 端 端 �端 ��5 �端 �5 �端 端 1端 1-端 -2端 2×端 ×3 端 3 !端 !�端 �b端 b=端 =3 端 3 代入端 代入1端 1�端 �(端 (a端 a�端 �b端 b)=(端 )=(學 a學 a�學 ��3 �學 �3 � )學 )x學 x-學 -3學 3+學 +2學 2�學 ��3 �學 �3 � =學 =0 學 0 有一正有理根,則學 有一正有理根,則學 學 學 學 由學 由1學 1!學 !(學 (�學 �
�學
�正有理根 學
正有理根
院院院院院院
11高中數學(一)第 1 章 數與式
1-1-3 有限小數的條件
有限小數 (n
2a‧5b,a、b�N{0},n�Z)小數
無限小數
循環小數:可化為分數 (有理數) Ex 0.1 #23=0.1232323⋯不循環小數:無法化為分數 (無理數) Ex �(圓周率)
1-1-3-E 試題精煉
1題 循環小數與有理數
下列何者可化為有限小數?
A 283350 B
63128 C
147168×125
D 149
21×40 E
56259 北一女中
解
�有限小數 ! 最簡分數之分母為 2�×5�
A :350=7×2×52
B :128=27
C :168=23‧3‧7,147=3‧72
�147
168×125=
3‧72
23‧3‧7‧53=7
23‧53
D :21=3×7,149 不是 3、7 的倍數E :259=518
2題 循環小數與有理數
若 827x3
45 可化為有限小數,則 x 值為何?
解
1� �45=9×5 �分子為 9 的倍數
2� 827x3 為 9 的倍數 ! 8+x+3 為 9 的倍數 �x=7
翰 翰 翰 有限小數的條件翰 有限小數的條件
�翰 �N翰 N翰 {翰 {0翰 0},翰 },n翰 n�翰 �Z翰 Z)翰 )循環小數:可化為分數翰 循環小數:可化為分數(有理數)翰 (有理數)
#
翰 #
林 林 林 Ex
林 Ex �
林 �(圓周率)
林 (圓周率)
63林 63
雲 雲 25
雲 259
雲 9
雲 雲 雲 雲 D雲 D雲 雲 :雲 :21雲 21=雲 =E雲 E雲 雲 :雲 :25雲 259雲 9=雲 =端 端 端 端 值為何?端 值為何?
學 學 學 學 2
學 2�
學 � 827
學 827x
學 x3
學 3 為
學 為 9
學 9
�學 �x學 x=學 =7學 7
院院院院
12 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-4 無限循環小數的公式0.999⋯⋯小於 1 嗎?請用 2 種不同的方法,求 0.999⋯之值=?解
【法 1】13=0.333⋯
!
!
【法 2】令 a=0. #9⋯
!
�
【公式】無限循環小數化為分數
a.bc#def=a+bcdef-bc
99900=
abcdef-abc99900
證
令 x=0.bc#def=0.bcdefdef ..........................11000x=bcd.efdef ........................................2�2-1:999x=bcd.ef-0.bc ! 99900x=bcdef-bc
�x=bcdef-bc
99900
【範例 1】
1.2#341=1+2341-2
9990=1+
23399990
=123299990
=12341-12
9990【範例 2】
下列何者正確?
A 0.$9<1 B 0.$9=1 C 2.$9�3 D 1.2#93 為無理數解
�0.$9=1,2. $9=2+0. $9=2+1=3
�正確答案為
1-1-4-E 試題精煉
1題 綜合應用
若 a=18893330
,則 a 的小數點後第 200 位的數字為 。
解
a=18893330
= =
200-1=199
199÷3=66⋯1�所求=6
翰 翰 翰 無限循環小數的公式翰 無限循環小數的公式
⋯之值=?翰 ⋯之值=?
林 林 林 林 !
林 !
林 林 �林 �林 林 林 =林 =林 abcdef林 abcdef-林 -abcdef-abcdef林 abcdef-abcdef abc林 abc99900林 99900
雲 2
雲 2
x雲 x=雲 =bcdef雲 bcdef-雲 -bcdef-bcdef雲 bcdef-bcdef bc雲 bc雲 2339雲 23399990雲
9990=雲 =雲 12329雲 12329
9990雲
9990=雲
=雲 12341雲 12341-雲 -
9990雲
9990
端 端 C端 C 2.端 2.$端 $9端 9�端 �3 端 3
學 學 200 學 200 位的數字為學 位的數字為 。學 。學 學 學 學 199學 199÷學 ÷3學 3=學 =66學 66⋯學 ⋯�學 �所求=學 所求=6學 6院院院院
13高中數學(一)第 1 章 數與式
1-1-5 無理數的尺規作圖筆 記 欄
<討論>
三角形子母相似性
質:
若∠BAC=90�, #AD � #BC
則1 #AB 2=#BD×#BC 2 #AC 2=#CD×#BC 3 #AD 2=#BD×#DC
2題 綜合應用
已知 9999=9×11×101,若將 7
101 化為循環小數,則小數點以下第 365 位為 。
臺中女中、師大附中
解
7101=
7×9×11101×9×11
=6939999
=365÷4 的餘數為 1�所求=0
3題 綜合應用
若函數 f(n) 表「57
化成小數,小數點後第 n 位數」,求
f(1)+f(2)+f(3)+⋯⋯+f(200) 之值。
解
57=0.#714285
f(1)=7 f(4)=2 f(2)=1 f(5)=8
f(3)=4 f(6)=5
200÷6=33⋯2�所求=f(1)+f(2)+⋯+f(200)
=33×〔f(1)+f(2)+⋯+f(6)〕+f(1)+f(2)=33×(7+1+4+2+8+5)+7+1=33×27+8=899
【型】無理數尺規作圖
【方法一】利用“畢氏定理”
已知:1 單位長,求作:�2 ,�3 ,�4 ,�5
【方法二】
【方法三】利用“子母相似性質”
已知:a、b 兩長度,求作:�ab證
1� 畫一直線 L2� 在 L 上取 #AC=a,#CB=b3� 以 #AB 為直徑作半圓4� 過 C 作 #CD � #AB 於 C, 交半圓於 D 則 #CD 即為所求
翰 翰 化為循環小數,則小數點以下第翰 化為循環小數,則小數點以下第
林 林 林 林 �
林 �所求=
林 所求=0
林 0
化成小數,小數點後第林 化成小數,小數點後第 n林 n位數」,求林 位數」,求
之值。林 之值。
雲 雲 雲 無理數的尺規作圖雲 無理數的尺規作圖雲 雲 雲 �
雲 �所求=
雲 所求=f
雲 f所求=f所求=
雲 所求=f所求=(
雲 (1
雲 1
=
雲 =33
雲 33×〔
雲 ×〔
=雲 =33雲 33×(雲 ×(=雲 =33雲 33×雲 ×
端 單位長,求作:
端 單位長,求作:�
端 ��2 �
端 �2 � ,
端 ,�
端 ��3 �
端 �3 � ,
端 ,
端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 利用“子母相似性質”學 利用“子母相似性質”
兩長度,求作:學 兩長度,求作:�學 ��ab�學 �ab�學 學 院院院院院院院院院院院院院院院院院院
14 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-5-E 試題精煉
1題 尺規作圖的限制
已知:1 單位長,試以尺規作圖,作出:1 �2 單位長。2 4�2 單位長。解
〈key〉若 a 為可作圖當 k�a 可作圖的條件為 k=2n
1 1� 作直線 L 2� 在 L 上取 #AB=1,#BC=2 3� 以 #AC 為直徑作半圓 4� 過 B 作 #BD � #AC 於 B, 交半圓於 D 5� 則 #BD 即所求
2 1� 作直線 L 2� 在 L 上取 #AB=1,#BC=�2 3� 以 #AC 為直徑作半圓 4� 過 B 作 #BD � #AC 於 B, 交半圓於 D,則 #BD 即所求
2題 尺規作圖的限制
在數線上,下列長度何者可由尺規作圖得到?
A �2 B 3�2 C 4�2 D 4�2-�3 E �解
A B :開方數必須為 2n
C
D :2-�3 可作圖 �4�2-�3 可作圖E
3題 尺規作圖的限制
在數線上,下列哪些長度可用尺規作圖作出?
A 0.9 $2 B無理數必不可作圖 C 6�225 D 6�343 E ��5 +2 各校必考考題 解
A B :�2 可作圖,3�2 不可作圖C :�225=32‧52
�6�225 =6�32‧52 =3�3‧5 =3�15
D :�343=73 �6�343 =6�73=�7E
翰 單位長,試以尺規作圖,作出:翰 單位長,試以尺規作圖,作出:
林 林 林 林 林 2林 2 1林 1�林 �作直線林 作直線2林 2�林 �在林 在 L林 L上取林 上取3林 3�林 �以林 以 #林 #AC林 AC4林 4�林 �過林 過 B林 B作林 作 交半圓於林 交半圓於
雲 雲 雲 雲 在數線上,下列長度何者可由尺規作圖得到?雲 在數線上,下列長度何者可由尺規作圖得到?
�雲 ��2 �雲 �2 �
端 端 端 端 端 D端 D端 端 :端 :2端 2-端 -�端 �E端 E端 端 學
在數線上,下列哪些長度可用尺規作圖作出?
學 在數線上,下列哪些長度可用尺規作圖作出?
無理數必不可作圖
學 無理數必不可作圖
�學 ����學 ������ 5 ���學 ��� 5 ���� +�學 � +�� 2 �學 � 2 �學 學 學 學 D學 D學 學 :學 :�學 �343學 343E學 E學 學 院院院院
15高中數學(一)第 1 章 數與式
【定理】若 a�0,b�0,則a+b
2��ab
證
�a�0,b�0,a+b-2�ab =(�a -�b )2�0
�a+b�2�ab �a+b
2��ab
當“=”成立 � a=b
1-1-6 算幾不等式筆 記 欄
<算幾不等式的幾何
意義>
1 圖中 #CD=�ab (�子母性質)
半徑 #OD=a+b
2,
�直角三角形
OCD 中,斜邊 #OD 為最大邊, �#OD�#CD,即
a+b
2��ab
2 當 a=b 時, #OD 與 #CD 重合,
此時 a+b
2=�ab
1-1-6-E 試題精煉1題 算幾不等式
設 x>0,y>0,且 x+2y=12,求 xy 之最大值= 。
解
�x>0,y>0 �x+2y�2�x‧2y ! 12�2�2xy ! 6��2xy
! 36�2xy�xy�18
2題 算幾不等式
若 a>0,b>0,且 ab=8,a+2b-7 之最小值= 。 北一女中
解
�a>0,b>0�a+2b�2�2ab =2�2×8 =8
�a+2b-7�8-7=1�最小值=1
3題 算幾不等式
若 a>0,b>0,且 ab=25,則 4a+
9b
的最小值為 ,此時數對 (a�b)=
。
解
1 �4a+
9b�2
36ab=2
3625=2×
65=
125
2 4a=
9b=
65
! a=103,b=
152
翰 翰 +翰 +b翰 b�翰 ��翰 ��ab�翰 �ab�翰 翰 翰 翰 林 雲 雲 端 端 xy
端 xy之最大值= 。
端 之最大值= 。
端 端 端 端 端 !端 ! 36端 36�端 �2端 2xy端 xy�端 �xy端 xy�端 �18端 18
學 學 學 學 學 學 �
學 �a
學 a+
學 +2
學 2b
學 b-
學 -7
學 7�
學 �
�學 �最小值=學 最小值=1學 1+學 +學 9學 9b學 b的最小值為學 的最小值為 ,此時數對學 ,此時數對院院院院院
12
院125
院5
2
院2
院4
院4a
院a=
院=
院9
院9b
院b=
院=
16 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-7 雙重根式的運算
4題 算幾不等式
若 x、y 皆為實數,且 x2+y2=4,求:1 xy 範圍。 2 (x+y)2 之最大值。 臺南女中、武陵高中
解
1 x2+y2�2�x2y2 !
! │xy│�2 !-2�xy�2
2 (x+y)2=x2+y2+2xy=4+2xy�4+2×2=8
5題 算幾不等式
若 x>0,y=x2+4
x,求 y 之最小值= 。
解
y=x2+4
x=x+
4x�2 x‧
4x=2×2=4
6題 算幾不等式
一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃,並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口,如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為 平方公尺。 5指考乙
解
1� 由題意:2(x+y)=66+2 ! x+y=34
2� �x+y�2�xy �34�2�xy ! xy�172=289
若 a>0,b>0 且 a>b,則 a+b #2�ab =�a �b 證 a+b #2�ab =(�a #�b )2=�a �b (�a>b)
【範例】1 基本型:�4+2�3 = =�3 +1
2 大於 2 倍型:�20-#4�21 =
=�20-2 #�6×14 =�(�14 -#�6 )2
=�14 -�6
3 缺 2 倍型:�4-�12 =
=�(�3 -#�1 )2
=�3 -1
4 強補 2 倍型:�2-�3 =
=(�3 -1)2
2
=�3 -1�2
翰 ,求:翰 ,求:
2翰 2 翰 (翰 (x翰 x+翰 +y翰 y)翰 )2翰 2林 林 林 林 林
y
林 y
之最小值= 。林 之最小值= 。林 雲 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃,並在其中一邊正中央留著雲 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃,並在其中一邊正中央留著
公尺的出入口,如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為雲 公尺的出入口,如右圖所示。此農夫所能圍成的最大面積為雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 2雲
2�雲
� �
雲 � +
雲 + �
雲 �
端 端 端 雙重根式的運算
端 雙重根式的運算
端 +端 + b端 b 端 #端 # #端 # 2端 2 �端 � �端 � �ab�端 �ab� =端 =�端 ��a�端 �a� 端 �端 ��b�端 �b�
端 #端 # # 端 # �端 � � 端 � �b�端 �b� � b � 端 � b � )端 )2端 2=端 =�端 ��a�端 �a� 端 �端 ��b�端 �b� (端 (�端 �a端 a>端 >=端 =端 端 =端 =�端 ��3 �端 �3 � +端 +1端 1�端
�� -�端
� -� #端 #� #�端
� #�� 4�端
� 4� �端
�� ��端
� �� �21 �端
�21 �� �� 21 � ��端
� �� 21 � �� =端
=端 端 學
=
學 =�
學 �(
學 (�(�
學 �(�� ��
學 � ��� �� 14 � ��
學 � �� 14 � ��� -�
學 � -� �
學 �� ��
學 � �� �6 �
學 �6 �
=
學 =�
學 ��14 �
學 �14 � -
學 -�
學 ��6�
學 �6�
�學 � �學 �� ��學 � ��� �� 12 � ��學 � �� 12 � �� =學 =學 學 =學 =�學 �(學 (�(�學 �(�� ��學 � ��� �� 3 � ��學 � �� 3 � ��� -�學 � -� #學 #� #�學 � #� �學 �� ��學 � �� �1 �學 �1 � )學 )2學 2=學 =�學 ��3 �學 �3 � -學 -1學 1
�學
�� ��學
� ��� �� 3 � ��學
� �� 3 � �� =學 =學 學 院院=
院=
院2
院2
=院=院�院��3 �院�3 � -院-1院1�院��2 �院�2 �
17高中數學(一)第 1 章 數與式
1-1-7-E 試題精煉1題 開雙重根號
x、y�Q,若(�7-�48 )x+(1-�3 )y=7-�3 ,求 x= ,y= 。 臺南一中
解
1� �7-�48 =7-2�12 =(�4 -#�3 )2
=�4 -�3 =2-�3
2� (2-�3 )x+(1-�3 )y=7-�3 !(2x+y)+�3 (-x-y)=7-�3
� 2x+y=7
-x-y=-1 !
x=6y=-5
2題 開雙重根號
設 ab�0,a、b�Q,若 a17-12 #�2 +b‧( 11-�2 ) 為有理數,則
b3a= 。
解
原式 ! a��17-2�72 +b(1+�2 -1 )
=a17-2�9 #×8 -b(1+�2 ) =a(�9 -�#8 )2 -b(1+�2 ) =a(3-2�2 )-b(1+�2 ) =3a-b+�2 (-2a-b) 為有理數
�-2a-b=0�b=-2a
�b3a=-2a3a=-23
3題 綜合計算
設 14-4#�10 整數部分為 a,小數部分為 b(a�N,0<b<1),則 3a+b= 。 各校必考考題
解
原式=14-2#�40 =�(�10 -�4 )2=�10 -2�3<�10 <4
��10 -2 整數部分 a=1
小數部分 b=
�3a+b=3×1+(�10 -3)=�10
4題 綜合計算
設正實數 a 的小數部分為 b,且 b�0,若 a2+b2=8,則 a= 。 臺中女中
解
1� �a2+b2=8,0<b<1 �0<b2<1 ! 7<a2<8
�
2� a2+b2=8 !(2+b)2+b2=8 ! 2b2+4b-4=0 ! b2+2b-2=0
�b=-2+�12
2=-1+�3
�a=2+b=1+�3
翰 �翰 ��3 �翰 �3 � )翰 )y翰 y=翰 =7翰 7-翰 -�翰 ��3 �翰 �3 � ,求翰 ,求 x翰 x= ,翰 = ,林 林 林 林
2
林 2�
林 � (
林 (2
林 2-
林 -�
林 ��3 �
林 �3 � )
林 )
!林 !(林 (2林 2x林 x+林 +y林 y�林 � 2林 2x林 x+林 + 林 林 -林 -x林 x-林 -
雲
雲 �
雲 � �
雲 � �2 �
雲 �2 � � 2 �
雲 � 2 � +
雲 +b
雲 b‧
雲 ‧(
雲 (
雲 1
雲 1
1
雲 1-
雲 -�
雲 ��2 �
雲 �2 � )
雲 )為有理數,則
雲 為有理數,則
雲 雲 雲 雲 �雲 �-雲 -2雲 2a雲 a-雲 -b雲 b=雲 =�雲 �b雲 b=-雲 =-2雲 2a雲 a�雲 �雲 b雲 b3雲
3a雲
a=雲 =雲 -雲 -2雲 2
3雲
3a雲
a
端 端 端 端 ,小數部分為端 ,小數部分為 b端 b(端 (a端 a�端 �N端 N,端 ,0端 0<端 <端 學 學 學 學
�
學 �3
學 3a
學 a+
學 +b
學 b=
學 =3
學 3×
學 ×
�學 �0學 0,若學 ,若 a學 a2學 2+學 +b學 b2學 2=學 =8學 8,則學 ,則學 學 學 院院院院
�
院�b
院b=
院=
院�院�a院a=院=2院2+院+
18 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-8 根式的運算與比較大小若 a>0,則: a=(�a )2=(a
12)2 ! �a =a
12
1 a=(3�a )3=(a13)3 ! 3�a=a
13
a=(n�a )n=(a1n)n ! n�a=a
1n(n�2,n�N)
��a= (a12)=(a
12)
12=a
14=4�a
2 3��a=3
a12 =(a
12)
13=a
16=6�a
m�n�a =m×n�a【範例 1】
���2 =2x,則 x= 。解
8�2 =2x �x=18
【範例 2】3�2 ‧�3 =n�a,求 (a�n)= 。(a、n 皆為正整數,且 n<10)解
左式=6�22‧
6�33=6�4×27 =6�108 =右式=n�a �n=6,a=108
1-1-8-E 試題精煉1題 根式運算
若 55+�55 介於兩正整數 a 及 a+1 之間,試求 a 值。 北一女中
解
令 k=55+�55 ! k2=55+�55 又 7<�55 <8
�62<k2<63
5題 作圖
如圖,#AB=3+2�3 ,#BC=-9+14�3 ,B 在 #AC 上,以 #AC 為直徑作半圓,並過 B 作垂直於 #AC 的直線交半圓於 D 點。若 #BD=a+b�3 (a,b 為有理數),則數對 (a�b)= 。 武陵高中、師大附中
解
1� #BD 2=#AB×#BC =(3+2�3 )×(-9+14�3 ) =(-27+84)+�3 (-18+42) =57+24�3 �#BD=57+2#4�3
2� #BD=57+2#4�3 =57+2�1 #44×3 =57+2�4 #8×9 =�48 +�9=4�3 +3=a+b�3 �a=3,b=4
翰 翰 14翰 14�翰 ��3 �翰 �3 � ,翰 ,B翰 B在翰 在 #翰 #AC翰 AC上,以翰 上,以的直線交半圓於翰 的直線交半圓於 D翰 D點。若翰 點。若為有理數),則數對翰 為有理數),則數對(翰 (a翰 a�翰 �b翰 b)= 。 翰 )= 。
林 林 林 林 2
林 2�
林 � #
林 #BD
林 BD=
林 =
林 57
林 57
=林 =林 57林 57 =林 =林 57林 57 =林 =�林 ��48 �林 �48 �
�林 �a林 a=林 =3林 3,林 ,雲 a雲 a雲
1
雲 12雲 2雲 1雲 1
3雲 3雲 1雲 1n雲 n(雲 (n雲 n�雲 �2雲 2,雲 ,n雲 n�雲 �N雲 N)雲 )4雲 4�雲 �4�4雲 4�4�a�雲 �a�
端 學 學
=右式=
學 =右式=�
學 �n�n
學 n�n�a�
學 �a� �
學 �n
學 n=
學 =6
學 6,
學 ,a
學 a=
學 =108
學 108
+學 +1 學 1 之間,試求學 之間,試求 a學 a值。學 值。學 院院院院院院
19高中數學(一)第 1 章 數與式
2題 根式運算
化簡 �3+�5 -�3-�5 = 。 臺南二中、成功高中
解
令 k=�3+�5 -�3-�5 �k2=(3+�5 )+(3-�5 )-2�9-5 =6-2�4 =6-4=2
�k=
3題 根式比大小
比較下列各數的大小:
1 a=�7 +�10 ,b=3+�8 ,c=�6 +�11 。
2 a=3
�10 -�7 ,b=
13-�8
,c=5
�11 -�6 。
3 a=�7 -�6 ,b=�6 -�5 ,c=�5 -2。 各校必考考題
解
〈key〉�a �b 比大小1 a+b=定值 ! 平方比較大小2 a-b=定值 ! 有理化1 a2=17+2�70 ,b2=17+6�8 =17+2�72 c2=17+2�66 �b2>a2>c2,又 a、b、c 皆為正數 �b>a>c
2 a、b、c 先有理化
a= ,同理,b=3+�8 ,c=�11 +�6
�與1同
3 a= ,
同理,b=1
�6 +�5 ,c=
1�5 +�4
�分母愈大,其值愈小
�a<b<c
4題 有理數比大小
若 0>a>b,0>x>y,比較 ab,
a+xb+x
,a+yb+y
三數的大小。
解
1� ab-
a+xb+x
=a(b+x)-b(a+x)
b(b+x)=
x(a-b)b(b+x)
<0
(�x<0,b<0,b+x<0,a-b>0)
�ab<
a+xb+x
2� a+xb+x
-a+yb+y
=(a+x)(b+y)-(a+y)(b+x)
(b+x)(b+y)
=(ab+ay+bx+xy)-(ab+ax+by+xy)
(b+x)(b+y)
=a(y-x)+b(x-y)(b+x)(b+y)
=(x-y)(b-a)(b+x)(b+y)
<0
由 1�,2�:ab<
a+xb+x
<a+yb+y
〈速解〉令 a=-1,b=-2,x=-1,y=-2ab=-1-2=
12
a+xb+x
=-2-3=
23
a+yb+y
=-3-4=
34
ab<
a+xb+x
<a+yb+y
翰 翰 = 。翰 = 。翰 翰 翰 翰 �
翰 �k翰
k翰 翰 林 林 林 林 =林 =�林 ��6 �林 �6 � +林 +�林 ��11 �林 �11 � 。林 。
c林 c=林 =林 5林 5
。林
。
雲 雲 雲 雲 雲 �雲 ��72 �雲 �72 �
2 雲 2 a雲 a、雲 、b雲 b、雲 、c雲 c先有理化雲 先有理化a雲 a=雲 =雲 雲 �雲 �與雲 與1雲 1同雲 同3 雲 3 a雲 a=雲 =雲 雲 端 端 端 端
�
端 �分母愈大,其值愈小
端 分母愈大,其值愈小
�
端 �a
端 a<
端 <b
端 b<
端 <
端 a端 a+端 +x端 x,端
,端 a端 a+端 +y端 y
三數的大小。端
三數的大小。
學 學 學 學 學 (
學 (a
學 a-
學 -b
學 b)
學 )
(學 (b學 b+學 +x學 x)學 )<
學 <0
學 0 由
學 由 1
學 1�
學 �,
學 ,2
學 2�
學 �:
學 :
學 〈速解〉令學 〈速解〉令 a學 a學 a學 ab學 b=學 =學 a學 a+學 +b學 b+學 +院院院院院)
院)
)院)<院<0院0院a
院ab
院b
20 傅壹數學‧翰林雲端學院
1 (a+b)2=a2+2ab+b2
2 (a-b)2=a2-2ab+b2
3 (a+b)(a-b)=a2-b2
4 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=
5 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b)
6 a3+b3= =
7 a3-b3=
8 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
9 a2+b2+c2-ab-bc-ca=12〔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2〕
0 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)【範例 1】若 a+b=3,ab=1,求:
1 a2+b2。 2 a3+b3。 3 a5+b5。 4 a-b。解
1 a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×1=7
2 a3+b3= =27-3×1×3=18
3 a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)-a2b3-a3b2=7×18-a2b2(a+b)=126-1×3=123
4 (a-b)2= =32-4=5
�a-b= �5
【範例 2】設 x=2+�3 ,求:
1 x+1x。 2 x2+
1x2。 3 x3+
1x3。 4 x5+
1x5。
解
1 �x=2+�3
�1x=
12+�3
=2-�3 ! x+1x=4
2 x2+1x2=(x+
1x)
2
-2‧x‧1x=16-2=14
3 x3+1x3=(x+
1x)
3
-3‧x‧1x(x+
1x)=64-3×4=52
4 x5+1x5=(x2+
1x2)(x3+
1x3)-(x+
1x)=14×52-4=724
【範例 3】設 0<x<1,化簡 x2+1x2+2+ x2+
1x2-2=6,
求 x 之值= 。 建國中學
解
原式 ! (x+1x)
2
+ (x-1x)
2
=6
! │x+1x│+│x-
1x│=6
!
! 2x=6 �x=
13
1-1-9 乘法十大公式翰 翰 翰 翰 乘法十大公式翰 乘法十大公式
林 林 林 =
林 =
林 林 林 林 ab林 ab+林 +2林 2bc林 bc+林 +2林 2ca林 ca
〔(林 〔(a林 a-林 -b林 b)林 )2林 2+(林 +(b林 b-林 -c林 c)林 )2林 2+(林 +(雲 a
雲 a3
雲 3+
雲 +b
雲 b3
雲 3。
雲 。 3
雲 3 a
雲 a5
雲 5+
雲 +
7雲 7
3雲 3×雲 ×1雲 1×雲 ×3雲 3=雲 =18雲 18
b雲 b2雲 2=雲 =7雲 7×雲 ×18雲 18-雲 -a雲 a2雲 2b雲 b2雲 2(雲 (a雲 a+雲 +b雲 b)=雲 )=126雲 126
-雲 -4雲
4=雲 =5雲
5
端 x端 x2端 2+端 +端 1
端 1x端 x2端 2。 端 。 3端 3 x端 x3端 3+端 +=端 =4端 4
學 學 )
學 )=
學 =64
學 64-
學 -3
學 3×
學 ×4
學 4=
學 =52
學 52
學 )學 )=學 =14學 14×學 ×52學 52-學 -4學 4=學 =724學 724學 2學 2+學 +學 1學 1x學 x2學 2+學 +2學 2+學 +學 x學 x2學 2+學 +學 1學 1x學 x2學 2-學 -之值= 。學 之值= 。
院院院院
院 !
院!
院院 院 !院!院2
院2x院x=院=院
21高中數學(一)第 1 章 數與式
1-1-9-E 試題精煉1題 乘法公式應用
若 x=3�2+�3 +3�2-�3 ,求 x3-3x= 。
解
�x=3�2+�3 +3�2-�3 �x3=(2+�3 )+(2-�3 )+33�2+�3 ‧3�2-�3 ‧(3�2+�3 +3�2-�3 ) =4+33�4-3 (x)=4+3x�x3-3x=4
2題 平方差的應用
1 若 m�N,且 4m2+85 為完全平方數,求 m= 。2 若 2m,�85 表直角△之兩股長,且 m�N,且斜邊為正整數,則 m= 。解
1 設 4m2+85=k2(k�N) ! k2-4m2=85 !(k+2m)(k-2m)=85=
�
k+2m=
851
17 ....................15 ......................2 k-2m
1-2:4m=84 <12 �m=21 <3
2 令斜邊為 k,則 !(2m)2+(�85 )2=k2
! 4m2+85=k2
與1同,m=21 <3
3題 平方差的應用
若 x�N 且 ��x2-4x+20�N,則 x= 。
解
x2-4x+#20=k�N! x2-4x+20=k2
!(x-2)2+16=k2
! k2-(x-2)2=16!(k+x-2)(k-x+2)=16
k+x-2 16 8 4 2 1 ⋯⋯1
k-x+2 1 2 4 8 16 ⋯⋯2
1-2! 2x-4=15,6,0,-6,-15
翰 翰 -翰 -3翰 3x翰 x= 。翰 = 。翰 林 �
林 �3�3
林 3�3�2�
林 �2�� -�
林 � -�� ��
林 � ��� 3 �
林 � 3 �� �� 3 � ��
林 � �� 3 � �� ‧(
林 ‧(�
林 �3�3
林 3�3�2�
林 �2�� +�
林 � +�� ��
林 � ��� 3 �
林 � 3 �� �� 3 � ��
林 � �� 3 � �� +
林 +�
林 �3�3
林 3�3
雲 雲 為完全平方數,求
雲 為完全平方數,求 m
雲 m= 。
雲 = 。
表直角△之兩股長,且雲 表直角△之兩股長,且 m雲 m�雲 �N雲 N,且斜邊為正整數,則雲 ,且斜邊為正整數,則雲 雲 雲 雲 雲 雲 2雲 2 令斜邊為雲 令斜邊為!雲 !(雲 (2雲 2m雲 m)雲 )2雲 2+(雲 +(!雲 ! 4雲 4m雲 m2雲 2+雲 +85雲 85與
雲 與1
雲 1同,
雲 同,
端 端 端 端 學 學 = 。
學 = 。
學 學 學 學 學 學 學 學 學 k學 k+學 +x學 x-學 -2 16 8 4 2 1學 2 16 8 4 2 12 16 8 4 2 1學 2 16 8 4 2 1
k學 k-學 -x學 x+學 +2 1 2 4 8 16學 2 1 2 4 8 162 1 2 4 8 16學 2 1 2 4 8 16
1學 1-學 -2學 2!學 ! 2學 2x學 x-學 -學 學 院院院院
22 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-S 超越巔峰
1題
已知 a、b 皆為無理數,試證:若 2a+b 為有理數,則 a+2b 必為無理數。
證
2題
1 證明 �3 為無理數。2 利用1,證明 �3 +�5 為無理數。 北一女中
證
3題
一個正的最簡分數之分子與分母的和為 50,將其化為小數並且將小數後第三位四捨五入後得近似值為 0.52,則此最簡分數為何? 臺南一中
解
翰 翰 2翰 2a翰 a+翰 +b翰 b為有理數,則翰 為有理數,則 a翰 a翰 林 雲 為無理數。雲 為無理數。雲 端 學
,則此最簡分數為何?
學 ,則此最簡分數為何?
學 院
23高中數學(一)第 1 章 數與式
4題
設正數 a 的小數部分為 b,且 b�0,若 a+2b2=12,則 b 值為 。 臺南一中
解
5題
a=�5 +�7 +�11 ,b=�2 +�7 +�14 ,c=�2 +�10 +�11 ,請比較 a、b、c 之大小。 臺南一中
解
翰 ,若翰 ,若 a翰 a+翰 +2翰 2b翰 b2翰 2=翰 =12翰 12,則翰 ,則 b翰 b翰 林 雲 +雲 +�雲 ��14 �雲 �14 � ,雲 ,c雲 c=雲 =�雲 ��2 �雲 �2 � +雲 +�雲 ��10 �雲 �10 �
端 學 院
24 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2 數線上的幾何
1-2-1 數線上的距離與分點公式
【兩點距離公式與分點公式】
設點 A 與點 B 在數線上的坐標分別為 a 與 b,m、n 為正數1 A 與 B 的距離 #AB=│a-b│
2 若 P 點在 #AB 上,且 #AP:#BP=m:n,則 P 點坐標為
證
由圖: #AP=x-a,#BP=b-x∵ #AP:#BP=m:n
∴m #BP=n #AP! m(b-x)=n(x-a)! mb+na=mx+nx
∴x=mb+nam+n
1-2-1-E 試題精煉1題 數線上的位置
設數線兩點 A(-2)、B(14),求:1 若 P(x) 點在 #AB 上,且 #AP:#BP=3:5,求 x= 。2 若 A、P、B 三點共線,P(x) 為 #AB 外一點且 #AP:#BP=3:5,求 x= 。3 若 P(x) 在 AB 直線上,且 #AP:#BP=3:5,則 x= 。4 若 x 為實數,且 │x+2│:│x-14│=3:5,則 x= 。 各校重要考題
解
1
! x=3×14+5×(-2)
3+5=
328=4
2
! -10=42+2x ! 2x=-52 ! x=-26
3 1� P(x) 在 #AB 上:x=4 2� P(x) 在 #AB 外:x=-264 3│x-14│=5│x+2│
!
∴x=4 或-26
翰 翰 數線上的幾何翰 數線上的幾何翰 翰 數線上的距離與分點公式翰 數線上的距離與分點公式
在數線上的坐標分別為
翰 在數線上的坐標分別為 與
翰 與 為正數
翰 為正數
林 #
林 #BP
林 BP=
林 =m
林 m:
林 :n
林 n,則
林 ,則 P
林 P點坐標為
林 點坐標為
林 林 林 ∴林 ∴m林 m #林 #BP林 BP=林 =n林 n!林 ! m林 m(林 (b林 b-林 -x林 x!林 ! mb林 mb+林 +na林 na
∴
林 ∴
mb林 mb+林 +雲 雲 #雲 #BP雲 BP=雲 =3雲 3:雲 :5雲 5,求雲 ,求 x雲 x= 。雲 = 。為雲 為 #雲 #AB雲 AB外一點且雲 外一點且 #雲 #AP雲 AP:雲 :#雲 #BP雲 BP#
雲 #BP雲
BP 3雲
3:雲
:5雲
5,則雲
,則
端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 3 端 3 1端 1�端 � P端 P(端 (x端 x)端 )在端 在2端 2�端 � P端 P(端 (x端 x)端 )在端 在4 端 4 3端 3│端 │x端 x-端 -14端 14│=端 │=!端 !端 端 ∴端 ∴x端 x=端 =4 端 4 或-端 或-學 學 學 院院院院
25高中數學(一)第 1 章 數與式
2題 比較大小
1 設 a、b 為實數,且 a<b,則下列那一個數最小?
A a+b
2 B
a+3b4 C
3a+b4 D
3a+2b5
松山高中、臺南女中
2 下列哪一個數值最小?
A �2 +�5
2 B
�2 +3�5 4
C 3�2 +�5
4 D
3�2 +2�5 5
解
1
∴C<D<A<B ∴選C
2
∴C<D<A<B ∴選C
3題 比較大小
已知 a、b 為實數且 a<b,則下列選項哪些為真?
A a<a+b
2<b B a<
a+b3<b C
3a+2b5
<a+4b
5
D a+3b
4<
2a+3b5
E 3a+4b
6<
4a+5b7
臺南一中
解
A
B :a<a+b
3 � 3a<a+b � 2a<b
C :25<
45
D :34>
35
E :3a+4b
6<
4a+5b7
� � � � 7(3a+4b)<6(4a+5b)� � � � 0<3a+2b
翰 ,則下列那一個數最小?翰 ,則下列那一個數最小?翰 C翰 C翰 3翰 3a翰 a+翰 +b翰 b4翰 4林 林
3
林 3�
林 ��5 �
林 �5 �
C
林 C
林 3
林 3�
林 ��2 �
林 �2 � +
林 +
4林 4林 林 林 林 2 林 2 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 ∴林 ∴C林 C<林 <D林 D<林 <雲 雲 雲 雲 端 <
端 <
端 a
端 a+
端 +b
端 b
3端 3<
端 <b
端 b
端 3端 3a端 a+端 +4端 4b端 b6端 6
<端 <端 4端 4a端 a+端 +5端 5b端 b7端 7端 端 端 端 E
端 E
端 端 :端
:3端 3a端 a+端 +學 學 學
� � �
學 � � �
學 �
學 � 0
學 0
院院院院
26 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2-2 一次不等式
【不等式的基本性質】
設 a、b、c 為任意實數,
1 若 ac>bc,則1 ! a>b
2 ! a<b
2 若 a>b,則1 ! ac>bc
2 ! ac<bc
1-2-2-E 試題精煉1題 不等式求範圍
若-1�x�4,2�y�3,求:1 x+y 之範圍。 2 x-y 之範圍。 3 xy 之範圍。
4 xy
之範圍。 5 x2 之範圍。 6 x2+4x 之範圍。
7 x2+2x+y2-6y+10 之範圍。8 xy+2x-3y 之範圍。 各校重要考題
解
1
-1�x�4+) 2�y�3 1�x+y�7
2
-1�x�4+) -3�-y�-2 -4�x-y�2
3 -3�xy�12
4
! -12�
xy�2
5 �x2�16
6 x2+4x=
∵1�x+2�6 ∴1�(x+2)2
�36 ! 1-4�x2+4x�36-4 ! -3�x2+4x�32
7 原式=
∴0�(x+1)2�25
0�(y-3)2�1
∴0�(x+1)2+(y-3)2�26
8 xy+2x-3y=(x-3)(y+2)+6 ∵-4�x-3�1,4�y+2�5
∴
! -14�(x-3)(y+2)+6�11
翰 翰 翰 林 林 a
林 a<
林 <b
林 b
>林 >bc林 bc
<林 <bc林 bc
雲 雲 x雲 x-雲 -y雲 y之範圍。 雲 之範圍。
雲 x雲 x2雲 2之範圍。 雲 之範圍。
端 端 端 端 6
端 6 x
端 x2
端 2+
端 +4
端 4x
端 x=
端 =
端 端 ∵端 ∵1端 1�端 �x端 x+端 +∴端 ∴1端 1�端 �(端 (x端 x+端 +!端 ! 1端 1-端 -4端 4�端 �!端 !-端 -3端 3�端 �x端 x7 端
7 原式=端 原式=端 端 學 學 學
∴
學 ∴0
學 0�
學 �(
學 (x
學 x+
學 +
8
學 8 xy
學 xy+
學 +2
學 2x
學 x-
學 -
∵-學 ∵-4學 4�學 �x學 x∴學 ∴學 學 !學 !-學 -14學 14�學 �院院院院
27高中數學(一)第 1 章 數與式
1-2-3 一次絕對值不等式【型 A】絕對值的幾何意義
1 │x-a│=k(x 到 a 的距離等於 k)
! ! x=a±k
2 │x+a│=k ! │x-(-a)│=k(x 到 (-a) 的距離等於 k)
【型 B】絕對值不等式求解
1 │x│�a !
2 │x│�a !
3 1�│x│�3 !
【範例】1 │2x+1│�2 � -2�2x+1�2
� � � -3�2x�1 � -32�x�
12
2 │-2x+1│�2 � � -2�2x-1�2
� � �-1�2x�3 � -1
2�x�
32
3 1�│2x-1│�3 �
� � � 2�2x�4 或-2�2x�0� � � 1�x�2 或-1�x�0
4 -2�│2x-1│�3 �
� � �-3�2x-1�3 �-1�x�2
【型 C】不等式轉換絕對值
1 -1�x�4 � �
2 x�4 或 x�-1 � �
翰 翰 翰 一次絕對值不等式翰 一次絕對值不等式
的距離等於翰 的距離等於 k翰 k)翰 )
!
翰 ! ±
翰 ±k翰
k
林 )│=
林 )│=
林 林 林 林 雲 雲 雲
2
雲 2x
雲 x+
雲 +1
雲 1�
雲 �2
雲 2
2雲 2x雲 x�雲 �1 雲 1 �雲 �雲 -雲 -3雲 32雲 2�雲 �x雲 x�雲 �雲 1雲 12雲 2雲 雲 �雲 �-雲 -2雲 2-雲
-1雲
1
端 端 端 �端 �2端 2x端 x�端 �4 端 4 或-端 或-2端 2�端 �2端 2x端 x�端 �0端 0�端 �x端 x�端 �2 端 2 或-端 或-1端 1�端 �x端 x�端 �0端 0�端 �端 端 3端
3�端
�2端
2 1端
1�端
�3 端
3 1端
1
學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 �學 �學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 �學 �學 學 院
28 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2-3-E 試題精煉
1題 絕對值不等式求解
1 若 5�│2x-3│<9,則 x 之範圍為 。 建國中學
2 若 5�│3-2x│<9,求 x 範圍為 。 建國中學
解
1 5�2x-3<9 <-9<2x-3�-5 ! 8�2x<12 <-6<2x�-2 ! 4�x<6 <-3<x�-1
2 原式 !
∴與1同
2題 不等式還原絕對值
若 │ax+1│�b 之解為-1�x�4,則 a= ,b= 。
解
-1�x�4
� │x-32│�
52
�
� │-23
x+1│�52×
23=
53
∴a=-23,b=
53
3題 不等式還原絕對值
設 a、b�R,且 │ax-3│�b 的解為 x�-1 或 x�4,則 a+b= 。 各校必考題
解
x�4 或 x�-1
�
� │2x-3│�52×2=5
∴a=2,b=5 ∴a+b=7
1-2-4 三角不等式
若 a、b�R,則 │a│+│b│�│a+b│ 且等號成立 �
證 ∵(│a│+│b│)2=a2+b2+2│a││b│=a2+b2+2│ab│ │a+b│2=(a+b)2=a2+b2+2ab ∵│ab│�ab ∴(│a│+│b│)2
�│a+b│2
! │a│+│b│�│a+b│ 武陵高中
翰 翰 之範圍為翰 之範圍為 。 翰 。
林 林 林 林 2
林 2 原式
林 原式!
林 !
林 林 ∴與林 ∴與1林 1同林 同
雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 �雲 �│雲 │雲 -
雲 -2
雲 2
3雲 3 x雲 x+雲 +∴雲 ∴a雲 a=雲 =雲 -雲 -2雲 23雲 3 ,雲 ,
端 的解為
端 的解為 x
端 x�
端 �-
端 -1
端 1 或
端 或 x
端 x�
端 �4
端 4,則
端 ,則 a
端 a
端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 �端 �│端 │2端 2x端 x-端 -3端 3│端 │�端 �∴端 ∴a端 a=端 =2端 2,端 ,b端 b=端 =學 學 學 學 b學 b│學 │且等號成立學 且等號成立�學 �學 學 │學 │a學 a││學 ││b學 b│=學 │=a學 a2學 2+學 +b學 b2學 2+學 +2學 2│學 │ab學 ab+
學 +b學
b2學
2+
學 +2學
2ab學
ab
院
29高中數學(一)第 1 章 數與式
【範例】
若 y=│x-3│+│x+4│1 求 y 之最小值。2 承1有最小值時,x 的範圍。 各校重要考題
解
〈法一〉三角不等式
1 y=│x-3│+│x+4│ =│3-x│+│x+4│�│(3-x)+(x+4)│ =│7│=72 當“=”成立時:
(3-x)(x+4)�0 !(x-3)(x+4)�0 ∴-4�x�3
〈法二〉數線上的幾何意義
1-2-4-E 試題精煉
1題 絕對值方程式
求下列各方程式的解:
1 │x-1│+│x+2│=2。2 │x-1│+│x+2│=3。3 │x-1│+│x+2│=4。解
1 ∵│x-1│+│x+2│�3 ∴│x-1│+│x+2│=2 無解2 當 │x-1│+│x+2│ 有最小值 3
�
3 1 當 x�1:
∴2x=3 ∴x=32
2 當 x�-2:
! -2x+1-2=4
! -2x=5 ∴x=-52
2題 綜合應用
若 │x-1│+│x+2│=k,則:1 此方程式 x 有無限多解時,求 k 的範圍為 。2 此方程式 x 恰有 2 解時,求 k 的範圍為 。3 此方程式 x 無解時,求 k 的範圍為 。4 此方程式 x 有解時,求 k 的範圍為 。解
1 當 k=3 時-2�x�1 對 x 來說有無限多解
∴x 有無限多解時,
2 當 k>3:x 恰有 2 解3 當 k<3:x 無解4 當 k�3:x 有解
翰 林 林 林 林 4林 4)│林 )│
�林 �0林 0林 林 林 雲 雲 端 端 端 端
∴
端 ∴
2 端 2 當端 當 x端 x�端 �
學 學 學 學 學 k
學 k的範圍為
學 的範圍為 。
學 。
的範圍為學 的範圍為 。學 。
的範圍為學 的範圍為 。學 。
的範圍為學 的範圍為 。學 。學 學 學 學 2 學
2 當學
當 k學
k>學
>3學
3:學
:
院院院院
30 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2-5 絕對值函數圖形筆 記 欄
〈key〉1 令各個絕對值內為
0 的根即為折點的 x 坐標。
2 若有最大或最小值,
則必發生在折點。
【範例 1】1 y=│x-1│+│x+2│+│x-3│, 求 y 的最小值= ,此時 x 範圍: 。2 y=│x-1│+│x+2│+│x-3│+│x-4│, 求 y 的最小值= ,此時 x 範圍: 。解
1
1� 先找零點2� 找最中間的零點
1 最小值=3-(-2)=5 2 此時 x=1
2
1� 先找零點2� 找中間的區段
1 最小值=0+3+2+3=8(x=1 代入) 2 此時 1�x�3
【範例 2】y=│x+5│-│x-3│+│x-1│+3,求 y 的最小值= ,此時 x 範圍: 。解
1� 找折點:x=-5,1,32� 畫折線圖
x -6 -5 1 3 4y 2 1 7 13 14
由圖知:當 x=-5,y=1 最小值
【觀念】1 奇數個絕對值相加
!當 x= 時,y 有最小值
2 偶數個絕對值相加
!當 x= 時,y 有最小值
翰 翰 翰 絕對值函數圖形翰 絕對值函數圖形
的最小值= ,此時翰
的最小值= ,此時 x翰 x範圍: 。翰 範圍: 。
林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 先找零點林 先找零點
找中間的區段林 找中間的區段
最小值=林 最小值=0林 0+林 +3林 3+林 +2林 2+林 +3林 3=林 =8林 8(林 (x林 x此時
林 此時 1林
1�林
� �
林 �3林
3
雲 雲 ,求
雲 ,求 y
雲 y的最小值= ,
雲 的最小值= ,
雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 x雲 x -雲 -6雲 6 -雲 -5雲 5 1 3 4雲 1 3 41 3 4雲 1 3 4y雲 y 2 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 142 1 7 13 14雲 2 1 7 13 14
端 學 學 學 時,學 時,y 學 y 有最小值學 有最小值學 學
時,學
時,y 學 y 有最小值學 有最小值學 院
31高中數學(一)第 1 章 數與式
1-2-5-E 試題精煉
1題 絕對值作圖
函數 y=f(x)=│x-2│+│x-5│ 的最小值為 ,此時 x 值範圍為 。
解
2題 絕對值作圖
1 函數 y=f(x)=│x+1│+│x-3│+│x+3│ 的最小值為 ,此時 x= 。 武陵高中
2 數線上動點 P(x) 到 A(-1),B(3),C(-3) 三個點的距離和為 #PA+#PB+#PC 的最小值為 ,此時 x= 。
解
1 1�
2�
2 與1相同
3題 絕對值作圖
1 作出 f(x)=-32│x+1│+
32│x-3│+2x-2 的函數圖形,並標出此圖形與 x 軸的交點坐
標以及圖形的轉折點坐標。(每個點坐標須清楚標示)
2 承上,若方程式 f(x)=a 有三個實數解,則 a 的範圍為 。 北一女中
解
1 1�
x -2 -1 3 4f(x) 0 2 -2 0
2�
2 ∵f(x)=a 有三個實根 ∴y=f(x),y=a 有三個交點 ∴-2<a<2
翰 翰 的最小值為翰 的最小值為 ,此時翰 ,此時翰 林 林 林 林 │+│林 │+│x林 x+林 +3林 3│林 │的最小值為林 的最小值為 ,此時林 ,此時雲 雲
= 。
雲 = 。
雲 雲 雲 雲 雲 雲 2 雲 2 與雲 與1雲 1相同雲 相同
端 端 端 端 -端 -3端 3│+端 │+2端 2x端 x-端 -2 端 2 的函數圖形,並標出此圖形與端 的函數圖形,並標出此圖形與
學 學 學 學 學 2 學 2 ∵學 ∵f學 f∵f∵學 ∵f∵(學 (x學 x)=學 )=∴學 ∴y學 y=學 =f學 f=f=學 =f=(學 (x學 x∴-學 ∴-2學 2<學 <a學 a學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 院院院院
32 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2-6 一次絕對值方程式與不等式
【範例 1】絕對值方程式:
x 為實數且 │x+1│+│2x-3│=10,求此方程式的解?解
1 當 x�32:(x+1)+(2x-3)=10 ! 3x=12 ∴x=4
2 當-1�x�32:(x+1)-(2x-3)=10 !
3 當 x�-1: !
∴由123知:
【範例 2】絕對值不等式:
不等式 │x│-│x-4│>-1 的解 x 之範圍? 臺南一中
解
1 x�4:x-(x-4)>-1 ! 4>-1 恆成立 ∴x�4
2 0�x�4:
3 x�0:
∴由123得:
1-2-6-E 試題精煉
1題 絕對值方程式
請問滿足絕對值不等式 │4x-12│�2x 的實數 x 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項?A 1 B 2 C 3 D 4 E 6 e學測
解
│4x-12│�2x! 0�│2x-6│�x
! x�0 -x�2x-6�x
x�0 x�0! x�6 ! x�6 3x�6 x�2�2�x�6 的長度為 6-2=4故選D
翰 翰 一次絕對值方程式與不等式翰 一次絕對值方程式與不等式
,求此方程式的解?翰 ,求此方程式的解?
林 3林 3x林 x=林 =12林 12 ∴林 ∴x林 x=林 =4林 4
10 林 10 !林 !林 林 林 林 !林
!林 林 雲 雲 雲 之範圍?雲 之範圍?
端 端 端 端 端 端 端 端 端 學 2學 2x學 x的實數學 的實數 x學 x所形成的區間,其長度為下列哪一個選項?學 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項?
C學 C 3學 3 D學 D學 學 學 學 �
學 �0學
0學 院院院院院
�
院�2
院2�
院�x
院x�
院�6
院6 的長度為
院的長度為
故選院故選D院D
33高中數學(一)第 1 章 數與式
2題 絕對值方程式
│x-1│<│2x-3│,求 x 範圍。 桃園高中
解
∵│x-1│<│2x-3│
∴ ! x2-2x+1<4x2-12x+9
∴3x2-10x+8>0 !(3x-4)(x-2)>0
∴x>2 或 x<43
3題 絕對值方程式
│x-1│+│2x-3│=│3x-4│,求 x 範圍。 臺中一中
解
已知:│x-1│+│2x-3│ =│3x-4│ =│(x-1)+(2x-3)│
由三角不等式知:
1-2-S 超越巔峰
1題
�1:y=│x-1│+│x+2│+│x-3│,�2:y=a1 �1 與 �2 恰有 2 個交點,求 a 的範圍為 。2 �1 與 �2 沒有交點,求 a 的範圍為 。3 │x-1│+│x+2│+│x-3│=a 有 2 個實根,求 a 的範圍為 。4 │x-1│+│x+2│+│x-3│=a 有實根,求 a 的範圍為 。解
2題
試求 │x-7│+│2x+6│=│x+13│ 的解?
解
翰 翰 翰 翰 翰 ∴翰
∴3翰
3x翰
x2翰 2-翰
-10翰
10x翰
x+翰
+
林 範圍。林 範圍。林 林 林 林 由三角不等式知:林 由三角不等式知:
雲 雲 雲 雲 �雲 �2雲 2:雲 :y雲 y=雲 =a雲 a的範圍為雲 的範圍為 。雲 。
的範圍為雲 的範圍為 。雲 。
2 雲 2 個實根,求雲 個實根,求 的範圍為雲
的範圍為
端 學 的解?學 的解?學 院
34 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-1-E 考前衝刺一 單選題
1 將 3245949950
化成小數,則小數點以下第 100 位數為何?
A 9 B 8 C 2 D 4 E 6。 臺南一中、高雄女中、瀛海高中
解
二 多選題
2 a、b 均為實數,下列敘述何者正確? A若 a+b,a-b 均為有理數,則 a、b 均為有理數 B若 a×b,a÷b 均為有理數,則 a、b 均為有理數 C若 a、b 為無理數,則 a+b,a-b 至少有一個無理數 D若 a3 與 a9 都是有理數,則 a 必為有理數 E若 a+b�2 =0,則 a=b=0 臺中一中、高雄中學 解
3 下列那些為有理數?
A 97
101 B 0.123 C 5+�2 D � E
1�2 -1
F 0.3 $5 G �361 H �0.001 I �0.$4 J �0.1$6 K (��+1 +�� )×(��+1 -�� ),其中 � 是圓周率 臺中一中、建國中學、臺南一中
解
翰 翰 翰 翰 翰 1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺
化成小數,則小數點以下第翰
化成小數,則小數點以下第 100 翰 100 位數為何?翰 位數為何?
林 林 雲 均為實數,下列敘述何者正確?雲 均為實數,下列敘述何者正確?
均為有理數,則雲 均為有理數,則 a雲 a、雲 、b雲 b均為有理數雲 均為有理數
均為有理數,則雲 均為有理數,則 a雲 a、雲 、b雲 b均為有理數雲 均為有理數
a雲 a-雲 -b雲 b至少有一個無理數雲 至少有一個無理數
必為有理數雲 必為有理數
端 學
C
學 C 5
學 5+
學 +�
學 ��2 �
學 �2 � D
學 D
H學 H �學 ��0.001�學 �0.001� I學 I�學 ����學 ��� ),其中學 ),其中 �學 �是圓周率學 是圓周率學 院
35高中數學(一)第 1 章 數與式
4 數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置?
A �2 +�5 B 5+�2
3 C 3�7
D �2+�3 E圓周率 � F nm(m、n�N) 臺南一中
解
5 關於下列不等式,請選出正確的選項。
A �13 �3.5 B �13 �3.6 C �13 -�3 ��10
D �13 +�3 ��16 E 1
�13 -�3 �0.6 e學測
解
三 填充題
6 x 為有理數,若 (1+�2 )x2-2�2 x-1-3�2 =0,則 x= 。 臺南一中
解
翰 數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置?翰 數線上那些點可以利用尺規作圖找到相對位置?翰 5翰 5+翰 +�翰 ��2 �翰 �2 �
3翰 3
圓周率翰 圓周率 �翰 �
林 雲 關於下列不等式,請選出正確的選項。雲 關於下列不等式,請選出正確的選項。
�雲 ��13 �雲 �13 � �雲 �3.6雲 3.6雲 1雲 1�雲 ��13 �雲 �13 � -雲 -�雲 ��3 �雲 �3 �
�雲 �0.6雲 0.6雲 端 學 �
學 ��2 �
學 �2 � x
學 x-
學 -1
學 1-
學 -3
學 3�
學 ��2 �
學 �2 � =
學 =0
學 0,則
學 ,則
學 院
36 傅壹數學‧翰林雲端學院
7 x、y�Q,且 x+y16+�2#52 =x�8-�28 +5,求數對 (x�y)= 。 臺南一中
解
8 如圖,#AB=1+�2 ,#BC=6+4�2 ,B 在 #AC 上,以 #AC 為直徑作半圓,並過 B 作垂直於 #AC 的直線交半圓於 D 點。若 #AD=a+b�2 (a、b 為有理數),則數對 (a�b)= 。 臺中一中
解
9 設 a>0,b>0,且 5a+3b=30,若 6ab 有最大值 M 時,a=a0,b=b0,則數對 (M�a0+b0)= 。 新竹女中、高雄中學
解
翰 =翰 =x翰 x�翰 ��8�翰 �8�� -�翰 � -�� ��翰 � ��� 28 �翰 � 28 �� �� 28 � ��翰 � �� 28 � �� +翰 +5翰 5,求數對翰 ,求數對翰 林 雲 雲 �
雲 � 在
雲 在 上,以
雲 上,以
的直線交半圓於
雲 的直線交半圓於 D
雲 D點。若
雲 點。若
b雲 b)= 。雲 )= 。雲 端 學 學 院
37高中數學(一)第 1 章 數與式
0 設 x、y>0 且 9x+
4y=1,求 ( 3
�x +
2�y )
2
的最大值為 。 臺中一中
解
四 計算題
q 在一半徑為 20 公尺的半圓形草皮上,欲圍一矩形做為花圃 (如右圖),而花圃一邊與圓的直徑重合,求此矩形花圃的最大面積為多少平方公
尺?又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺? 政大附中
解
w 正數 a 之小數部分為 b,且 a2+2b2=15,求 a+2b 之值。 臺南一中、北一女中
解
翰 翰 3翰 3�翰 ��x�翰 �x�+翰 +翰 2翰 2
�翰 �y翰 y�y�翰 �y� )翰 )2翰 2
的最大值為翰 的最大值為翰 林 雲
公尺的半圓形草皮上,欲圍一矩形做為花圃
雲 公尺的半圓形草皮上,欲圍一矩形做為花圃
而花圃一邊與圓的直徑重合,求此矩形花圃的最大面積為多少平方公雲 而花圃一邊與圓的直徑重合,求此矩形花圃的最大面積為多少平方公
尺?又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺?雲 尺?又此時矩形花圃的長與寬各為多少公尺?雲 端 學 學 院
38 傅壹數學‧翰林雲端學院
1-2-E 考前衝刺一 單選題
1 設 a=2�3 +3�7
5,b=
3�3 +2�7 5
,c=4�3 +7�7
11,d=
7�3 +4�7 11
,下列何者
正確?
A a>b>c>d B d>a>c>b C c>b>a>d D d>c>b>a E c>a>b>d 臺中女中
解
二 填充題
2 比較下列各數的大小:a=3
3-�6 ,b=
5�10 -�5
,c=11
�13 -�2 為 。
成功高中、德光中學
解
3 在數線上,設 A(-5)、B(3)。已知點 P(x) 也是數線上一點,且 #AP=3#BP,則 x= 。 武陵高中、聖功女中、臺中一中
解
翰 翰 翰 翰 翰 1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺翰 +翰 +2翰 2�翰 ��7 �翰 �7 �,翰
,c翰 c=翰 =翰 4翰 4�翰 ��3 �翰 �3 � +翰 +7翰 7�翰 �林
d
林 d>
林 >a
林 a>
林 >c
林 c>
林 >b
林 b
c林 c>林 >a林 a>林 >b林 b>林 >d林 d林 雲 雲 �雲 ��6 �雲 �6 �,雲 ,b雲 b=雲 =雲 5雲 5
�雲 ��10 �雲 �10 � -雲 -�雲 ��5 �雲 �5 �
端 學
)。已知點
學 )。已知點 P
學 P(
學 (x
學 x)
學 )也是數線上一點,且
學 也是數線上一點,且
學 院
39高中數學(一)第 1 章 數與式
4 設實數 x、y 滿足 │x-1│�2,│2y+1│�5,若 xy-x+3y+1 之最大值為 M,最小值 m,試求數對 (M�m)= 。 臺中一中
解
5 已知 x 是實數,且滿足-4�x�10,則:1 將 x 表為 │hx-k│�14 時,數對 (h�k)為 。2 將 x 表為 │ax+1│�b 時,數對 (a�b)為 。 北一女中、成功高中
解
6 滿足不等式 │ax+2│�b 之 x 範圍為 x�28 或 x�-12,試求數對 (a�b) 為 。 武陵高中、成功高中
解
翰 翰 2翰 2y翰 y2y2翰 2y2 +翰 +1翰 1│翰 │�翰 �5翰 5,若翰 ,若 xy翰 xy-翰 -x翰 x+翰 +)= 。翰 )= 。翰 林 雲 雲 雲
時,數對
雲 時,數對(
雲 (h
雲 h�
雲 �k
雲 k)為
雲 )為 。
雲 。
時,數對雲 時,數對(雲 (a雲 a�雲 �b雲 b)為雲 )為 。雲 。雲 端 學 院
40 傅壹數學‧翰林雲端學院
7 設 x 為實數,已知 │x+3│-│x-1│=x+1,則 x= 。(列出所有解) 建國中學、新竹高中
解
三 計算題
8 設 x、y 都是實數且 │x-3│�1,│y-1│�2,求下列各數的範圍: 1 2x+3y。 2 2x-3y。 3 xy。 4 x2+y2。 北一女中、成功高中、武陵高中
解
9 解不等式 │x-2│-3│x+1│>2x-9。 臺南女中、新竹女中、成功高中
解
翰 翰 -翰 -1翰 1│=翰 │=x翰 x+翰 +1翰 1,則翰 ,則 x翰 x= 。(列出所有解)翰 = 。(列出所有解)翰 林 雲 ,│
雲 ,│y
雲 y-
雲 -1
雲 1│
雲 │�
雲 �2
雲 2,求下列各數的範圍:
雲 ,求下列各數的範圍:
。 雲 。 2雲 2 2雲 2x雲 x-雲 -3雲 3y雲 y。雲 。。 雲 。 4雲 4 x雲 x2雲 2+雲 +y雲 y2雲 2。雲 。雲 端 學 院
41高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-1 簡單的多項式函數及其圖形
2-1-1 函數的定義與奇偶函數【函數的起源】在西元 1694 年,德國數學家萊布尼茲 (Leibnize) 最早提出函數觀
念。直到十九世紀,笛利克雷 (Dirichlet) 才把函數作正式定義。【函數的定義】如果 x、y 表示兩個變量,當 變量 x,依照某種對應規則,
皆可找到 的一個 y 值與之對應,我們就稱 ,
此時 x 稱為 ,y 稱為 。
【奇函數與偶函數】
1 定義:1 奇函數:若 f(-x)= ,則 f(x) 稱之為奇函數
2 偶函數:若 f(-x)= ,則 f(x) 稱之為偶函數
2 討論:函數可以“ ”或“ ”
不可以“ ”或“ ”
【範例】下列那些函數或圖形表 y 是 x 的函數?A B C D
解 ABD
2-1-1-E 試題精煉
1題 奇、偶函數
下列函數中,何者為奇函數?
A f(x)=x2+1 B f(x)=3x5+xC f(x)=2x3+1 D f(x)=(x-2)3
E f(x)=(x2+1)(x4+3x2)
解
A :f(-x)=(-x)2+1=x2+1�-f(x)B :f(-x)=3‧(-x)5+(-x) =-(3x5+x)=-f(x)C :f(-x)=2(-x)3+1=-2x3+1�-f(x)
D :f(-x)=(-x-2)3=-(x+2)3�-f(x)
E :f(-x)=〔(-x)2+1〕〔(-x)4+3(-x)2〕
=(x2+1)(x4+3x2)�-f(x)∴選B
多項式函數2 楊皓老師 編授翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數多項式函數翰 多項式函數
林 林 簡單的多項式函數及其圖形
林 簡單的多項式函數及其圖形
林 林 函數的定義與奇偶函數林 函數的定義與奇偶函數年,德國數學家萊布尼茲林 年,德國數學家萊布尼茲
念。直到十九世紀,笛利克雷林 念。直到十九世紀,笛利克雷(林 (Dirichlet林 Dirichlet表示兩個變量,當林 表示兩個變量,當林 林
的一個林 的一個 y林
y值與之對應,我們就稱林
值與之對應,我們就稱
雲 )=
雲 )=
雲 雲 ,則
雲 ,則 f
雲 f(
雲 (x
雲 x)
雲 )
)=雲 )=雲 雲 ,則雲 ,則 f雲 f(雲 (x雲 x)雲 )稱之為偶函數雲 稱之為偶函數”或“雲 ”或“雲 雲 ”雲 ””或“雲 ”或“雲 雲 ”雲 ”y雲 y是雲 是 x雲 x的函數?雲 的函數?
端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 學
B
學 B f
學 f(
學 (x
學 x)=
學 )=3
學 3x
學 x
D
學 D f
學 f(
學 (x
學 x)=(
學 )=(x
學 x
學 學 學 學 x學 x)學 ) D學 D學 學 :學 :f學 f(-學 (-E學 E學 學 :學 :f學 f(-學 (- =學
=
院院院院
42 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-1-2 直線的斜率
【定義】若 L 直線不垂直 x 軸,在 L 上任取相異兩點 A(x1�y1),B(x2�y2),
則 L 直線之斜率=y2-y1
x2-x1=�y�x
( )
斜率為正 斜率為負 斜率為 0 斜率無定義
【討論】1 若 L⊥x 軸,則斜率不存在 直線朝右上(↗):m>02
!$#$%
直線朝右下(↘):m<0 直線水平(→):m=0
【注意】直線之傾斜度愈大,則其斜率之絕對值愈大,若只寫斜率愈大則不正確
【範例 1】如右圖,四條直線 L1、L2、L3、L4 的斜率依次 m1、m2、m3、m4 比較其大小何者正確? A m1>m2>m3>m4
B m2>m4>m3>m1
C m3>m2>m1>m4
D m3>m4>m1>m2
解
m3>m4>0>m1>m2 !D
【一次函數 f(x)=ax+b 中 a 的意涵】1 斜率的幾何意涵:設 A(x1�y1)、B(x2�y2) 且 x1�x2 為直線 L:y=ax+b 上相異
兩點,則 y2-y1
x2-x1=(ax2+b)-(ax1+b)
x2-x1=
a(x2-x1)
x2-x1=a,
所以 a 為直線 L:y=ax+b 的斜率2 討論:1 當 a>0 時:若 x 增加 1 單位時,f(x) 增加 a 單位
2 當 a<0 時:若 x 增加 1 單位時,f(x) 減少 │a│ 單位 由12可以得知,a 為 f(x) 值相對於 x 值的變化率
【範例 2】已知一次函數 f(x) 通過兩點 (-1�4) 與 (17�-5),
則 f(1234)-f(4321)
1234-4321= 。
〈key〉 1 斜率=a
2 f(x2)-f(x1)
x2-x1=
y2-y1
x2-x1=a
解
所求為過 A(-1�4) 與 B(17�-5) 的斜率
∴所求=-5-4
17-(-1)=-918=-
12
翰 翰 翰 軸,在翰 軸,在 L翰 L上任取相異兩點翰 上任取相異兩點
y翰 y �翰
�y翰
y�y�翰
�y�翰 翰 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 斜率為負林 斜率為負 斜率為林 斜率為 0林 0軸,則斜率不存在林 軸,則斜率不存在
:林 :m林
m>林 >0林
0
雲 雲 m
雲 mm
雲 m 0
雲 00
雲 0
直線之傾斜度愈大,則其斜率之絕對值愈大,若只寫斜率愈大則不正確
雲 直線之傾斜度愈大,則其斜率之絕對值愈大,若只寫斜率愈大則不正確
、雲 、L雲 L2雲 2、雲 、L雲 L3雲 3、雲 、L雲 L4雲 4的斜率依次雲 的斜率依次
比較其大小何者正確?雲 比較其大小何者正確?
端 的意涵】端 的意涵】
y端 y1端 1)、端 )、B端 B(端 (x端 x2端 2�端 �y端 y2端 2)端 )且端 且 x端 x1端 1�端 �端 y端 y2端 2-端 -y端 y1端 1
x端 x2端 2-端 -x端 x1端 1=端 =端 (端 (ax端 ax2端 2+端 +b端 b)-(端 )-(x端 x2端 2-端 -x端 x
為直線
端 為直線 的斜率
端 的斜率
學 學 增加
學 增加 1
學 1 單位時,
學 單位時,f
學 f(
學 (x
學 x)
學 )減少
學 減少
為學 為 f學 f(學 (x學 x)學 )值相對於學 值相對於 x學 x值的變化率學 值的變化率通過兩點學 通過兩點(-學 (-1學 1�學 �4學 4)學 )與學 與(學 (學 )學 )= 。學 = 。
斜率=學 斜率=a學 a
院院的斜率
院的斜率
43高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-1-2-E 試題精煉
1題 斜率的定義
設 f(x) 為一次函數,而且每當 x 增加 1 單位時,其相對應的函數值減少 2 單位, f(3)=0,請選出正確的選項?A f(x) 的圖形之斜率為 2B f(x) 的圖形為一由左上向右下傾斜之直線C f(x) 的圖形不通過第四象限D f(x) 的圖形與 x 軸交於點 (3�0)E f(5)=-5解
∵f(x) 為一次函數 ! 令 f(x)=ax+b由題意知:斜率=-2 ! a=-2∴f(x)=-2x+b又 f(3)=-6+b=0 ! b=6∴f(x)=-2x+6
!
! 選BD
2-1-3 線型函數
【型】1 a、b 為實數,形如 f(x)=ax+b 的多項式函數,其圖形為一直線,所以我們稱為線型函數。
2 線型函數 f(x)=ax+b, 若 a�0,則稱 f(x) 為 ,Ex f(x)=2x-3!$#$%
若 a=0 且 b�0,則稱 f(x) 為 ,Ex f(x)=2 若 a=0 且 b=0,則稱 f(x) 為 ,即 f(x)=0
2-1-3-E 試題精煉
1題 線性調整
某次平時測驗的成績普遍低落,老師用一個線型函數來調整全班的分數,結果使 30 分提高為 60 分,80 分提高為 100 分,若某生提高後的分數為 76 分,則他的原始分數是 分。
解
設原分數:x,新分數:y令此線型函數 y=ax+b
由題意: 60=30a+b ...............1
!#%100=80a+b .............2
2-1:a=45,b=36
∴y=45
x+36
! y=76 代入得 x=50
翰 增加翰 增加 1 翰 1 單位時,其相對應的函數值減少翰 單位時,其相對應的函數值減少
林 的圖形為一由左上向右下傾斜之直線
林 的圖形為一由左上向右下傾斜之直線
0林 0)林 )林 林 林 林 !林 !林 林 林 林 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 !雲 !選雲 選BD雲 BD雲 端 端 b端 b,端 ,
為端 為端 端 ,端 ,端 Ex端 Ex f端 f(端 (x端 x)=端 )=,則稱端 ,則稱 f端 f(端 (x端 x)端 )為端 為端 端 ,端 ,,則稱端 ,則稱 f端 f(端 (x端 x)端 )為端 為端 端 ,即端 ,即學
某次平時測驗的成績普遍低落,老師用一個線型函數來調整全班的分數,結果使
學 某次平時測驗的成績普遍低落,老師用一個線型函數來調整全班的分數,結果使
分,若某生提高後的分數為學 分,若某生提高後的分數為學 學 學 學 2學 2-學 -1學 1:學 :a學 a=學 =院院院院
!
院!
44 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-1-4 二次函數的圖形【型】1 函數 f(x)=ax2+bx+c,若 a�0,則 f(x) 稱為二次函數。
2 二次函數的圖形為 。
Ex 1 試在坐標平面上,描出 y=f(x)=x2 的圖形。x -3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯y 9 4 1 0 1 4 9 ⋯
頂點:(0�0)!
!$#$%
對稱軸:x=0 開口:向上(a>0)
2 試在坐標平面上,描出 y=f(x)=-x2+2x-1 的圖形。y=f(x)=-(x2-2x+1)=-(x-1)2
x -2 -1 0 1 2 3 4 ⋯y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ⋯
頂點:(1�0)!
!$#$%
對稱軸:x=1 開口:向下 (a<0)
【結論】二次函數 y=f(x)=ax2+bx+c:1 a>0 ! 圖形為開口 的拋物線。 a<0 ! 圖形為開口 的拋物線。2 │a│ 愈大 ! 開口 。
│a│ 愈小 ! 開口 。
3 開口向上的拋物線有最低點,
開口向下的拋物線有最高點,
此最高 (低) 點稱為拋物線之 。
4 作圖時可先找出頂點及開口方向,
而頂點的求法必須利用 。
翰 翰 翰 二次函數的圖形翰 二次函數的圖形
c翰 c,若翰 ,若 a翰 a�翰 �0翰 0,則翰 ,則 f翰 f(翰 (x翰 x)翰 )稱為二次函數。翰 稱為二次函數。翰 翰 。翰 。
試在坐標平面上,描出翰
試在坐標平面上,描出 y翰 y=翰 =f翰 f=f=翰 =f=(翰 (x翰 x)=翰 )=x翰 x2翰 2的圖形。翰 的圖形。林 頂點:(林 頂點:(0林 0�林 �0林 0)林 )!林 !
!林 ! 頂點:(! 頂點:(林 頂點:(! 頂點:($林 $ 頂點:(
$ 頂點:(林 頂點:(
$ 頂點:( 頂點:(! 頂點:(
$ 頂點:(! 頂點:(林 頂點:(! 頂點:(
$ 頂點:(! 頂點:(
#林 #$#$林 $#$
$林 $#$#林 #$#
%林 %
對稱軸:林 對稱軸:x林 x=林 =0林 0 開口:向上(林 開口:向上($ 開口:向上(
$林 $ 開口:向上(
$% 開口:向上(%林 % 開口:向上(%$%$ 開口:向上(
$%$林 $%$ 開口:向上(
$%$ a林 a>林 >0林 0雲
x
雲 x+
雲 +1
雲 1)=-(
雲 )=-(x
雲 x-
雲 -1
雲 1)
雲 )2
雲 2
雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 0 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 40 1 2 3 4雲 0 1 2 3 4 ⋯雲 ⋯0雲 0 -雲 -1雲 1 -雲 -4雲 4 -雲 -9雲 9 ⋯雲 ⋯ 頂點:(雲 頂點:(1雲 1�雲 �0雲 0)雲 )!雲 !
!雲 ! 頂點:(! 頂點:(雲 頂點:(! 頂點:($雲 $ 頂點:(
$ 頂點:(雲 頂點:(
$ 頂點:( 頂點:(! 頂點:(
$ 頂點:(! 頂點:(雲 頂點:(! 頂點:(
$ 頂點:(! 頂點:(
#雲
#$#$雲 $#$對稱軸:雲
對稱軸:x雲
x=雲
=1雲
1
端 +
端 +bx
端 bx+
端 +c
端 c:
端 :
端 端 的拋物線。端 的拋物線。端 端 的拋物線。端 的拋物線。端 端 。端 。端 端 。端 。
開口向上的拋物線有最低點,端
開口向上的拋物線有最低點,
學 點稱為拋物線之
學 點稱為拋物線之
學 學 。
學 。
作圖時可先找出頂點及開口方向,學 作圖時可先找出頂點及開口方向,
而頂點的求法必須利用學 而頂點的求法必須利用學 學 。學 。學 院
45高中數學(一)第 2 章 多項式函數
【範例】試將下列二次函數配方,求出頂點坐標和 y 的最大值或最小值。1 y=x2+6x-2 2 y=4x2-4x-2 3 y=-3x2+4x+1
解 1 y=(x+3)2-11 ∴頂點 (-3�-11),得 y 之最小值為-11
2 y=4(x2-x)-2=4(x-12)
2
-3
∴頂點 (12�-3),得 y 之最小值為-3
3 y=-3(x2-43
x)+1=-3(x-23)
2
+73
∴頂點 (23�
73),得 y 之最大值為
73
2-1-4-E 試題精煉
1題 已知頂點
二次函數 y=ax2+bx+6a
在 x=-1 時有最大值 5,則 a、b 值= 。
解
1� y=ax2+bx+6a=a(x+1)2+5(a<0)
=a(x2+2x+1)+5=ax2+2ax+a+5 由比較係數得知:
b=2a ....................1
∴
!$#$%
6a=a+5 ..............2
2� 由2:6=a2+5a ! a2-5a-6=0 !(a+6)(a-1)=0 ∴a=-6 <1(不合) 代回1:b=2a=2×(-6)=-12Ans:a=-6,b=-12
2題 圖形判讀
設 a、b�R 且二次函數 f(x)=a(x-1)2+b(a<0) 滿足 f(4)>0�f(5)<0,則下列何者為真?
A f(-4)>0 B f(-3)>0 C f(-2)>0D f(-1)>0 E f(0)>0解
∵f(x)=a(x-1)2+b,a<0! 頂點 (1�b)! 對稱軸 x=1
∴由圖知:CDE
翰 試將下列二次函數配方,求出頂點坐標和翰 試將下列二次函數配方,求出頂點坐標和 y翰 y的最大值或最小值。翰 的最大值或最小值。 翰 y翰 y=翰 =4翰 4x翰 x2翰 2-翰 -4翰 4x翰 x-翰 -2翰 2 翰 3翰 3之最小值為-翰
之最小值為-11翰
11
林 之最小值為-
林 之最小值為-3
林 3
+林 +林 7林 73林 3林 7林 7
3林 3林 雲 1 雲 1 時有最大值雲 時有最大值 5雲 5,則雲 ,則 a雲 a雲 雲 雲 雲 2雲 2�雲 � 由雲 由2雲 2:雲 :6雲 6=雲 = !雲 ! a雲 a2雲 2-雲 -5雲 5a雲 a
∴雲
∴a雲
a=-雲
=-6雲
6
端 端 端 端 2端
2
學 (-
學 (-3
學 3)>
學 )>0
學 0
0學 0)>學 )>0學 0學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 學 院院院院
∴由圖知:
院∴由圖知:
46 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-1-5 有範圍限制的二次函數的極值
在配方得頂點坐標後,畫函數圖形 (略圖即可),找出在 x 值容許範圍內函數的最高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。
【範例】若-2�x�3,則 f(x)=x2-2x+5 的最小值為 , 最大值為 。解
f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4由圖知:
∵-2�x�3∴當 x=1 時,f(x) 有 min=4 當 x=-2 時,f(x) 有 Max=13
2-1-5-E 試題精煉1題 有範圍限制的最大值與最小值
設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f(t)=-t2+10t+11,其中 1�t�10,則這段時間內該地區的最大溫差為何?
A 9 B 16 C 20 D 25 E 36解
f(t)=-t2+10t+11=-(t-5)2+36∵1�t�10∴t=5 時,f(t) 有 Max=36 t=10 時,f(t)有 min=11
∴所求=36-11=25!D
2-1-6 二次函數求解的三大型態
【型】1 已知頂點 (h�k) ! 【討論】當 x=h 時,y 有最大 (或最小) 為 k ! 即表示頂點為 (h�k)
2 已知拋物線與 x 軸之兩交點 (x1�0),(x2�0) ! 3 已知二次函數圖形過相異三點 !
2-1-6-E 試題精煉
1題 已知對稱軸
已知二次函數 y=f(x) 通過點 (2�3),(-1�6) 且對稱軸為 x=1,則此二次函數 f(x)為 。
解
1� ∵對稱軸為 x=1 ∴令頂點 (1�k) ! y=f(x)=a(x-1)2+k
2� (2�3),(-1�6) 代入
! 3=a+k
!#%6=4a+k
∴ a=1
!#%k=2
∴y=f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3
翰 翰 有範圍限制的二次函數的極值翰 有範圍限制的二次函數的極值
在配方得頂點坐標後,畫函數圖形翰 在配方得頂點坐標後,畫函數圖形(略圖即可),找出在翰 (略圖即可),找出在
高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。翰 高點、最低點。最大值、最小值必發生在頂點或端點的地方。
)=翰 )=x翰 x2翰 2-翰 -2翰 2x翰 x+翰 +5 翰 5 的最小值為翰 的最小值為
林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 雲
設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為
雲 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f
雲 f(
雲 (t
雲 t)=-
雲 )=-t
雲 t2
雲 2t2t
雲 t2t+
雲 +10
雲 10t
雲 t+
雲 +
C雲 C 20雲 20 D雲 D雲 雲 雲 雲 ∴所求=雲 ∴所求=36雲 36-雲 -!雲 !D雲 D
端 端 端 端 端 端 二次函數求解的三大型態端 二次函數求解的三大型態端 端 y端 y有最大端 有最大(或最小)端 (或最小)為端 為學 學 3學 3),學 ),(-學 (-1學 1�學 �6學 6)學 )且對稱軸為學 且對稱軸為學 院院院院
!
院 !
3
院3
院
!
院!#
院#!#!
院!#!
%
院%#%#
院#%#6
院6=
院=
∴院 ∴y院y=院=f院f=f=院=f=(院(x院x
47高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2題 坐標化
二次函數圖形如右,則二次函數為何?
解
設 y=a(x-1)(x-3)
點 (5�2) 代入 ! 2=a‧4‧2 ∴a=14
∴二次函數:y=14(x-1)(x-3)
! y=14
x2-x+34
3題 已知圖上三點
設二次函數 f(x)=ax2+bx+c 之圖形通過 (1�3),(2�5),(3�11),則數對 (a�b�c)= 。
解
點 (1�3),(2�5),(3�11) 代入 y=ax2+bx+c 3=a+b+c .................1!
!$#$%
5=4a+2b+c .............2 11=9a+3b+c ...........3
2-1:2=3a+b..................43-2:6=5a+b..................55-4:4=2a∴a=2 代回,得 b=-4,c=5∴(a�b�c)=(2�-4�5)
4題 坐標化
如圖,拋物線之拱門,底部寬 12 公尺 (即 #AB=12 公尺),距地面
高 32
公尺處寬 10 公尺 (即 #CD=10 公尺),則此拱門最高處的高
度為 公尺。
解
〈key〉圖形坐標化
〈法一〉1� 令頂點 (0�h) ! y=f(x)=a(x-0)2+h
2� B(6�0),D(5�32) 代入
!
32=25a+h
!$#$%0=36a+h
∴
a=-322
!$$#$$%
h=5411
∴所求=h=5411
〈法二〉1� 令 A(-6�0),B(6�0) ! y=f(x)=a(x+6)(x-6)
2� C(-5�32) 代入
! 32=a‧1‧(-11)
! a=-322
∴y=-322(x+6)(x-6)
令 x=0 代入 ! y=h=5411
∴h=5411
翰 二次函數圖形如右,則二次函數為何?翰 二次函數圖形如右,則二次函數為何?翰 翰 林 林 林 林 林
∴二次函數:
林 ∴二次函數:
林
之圖形通過林 之圖形通過(林 (1林 1�林 �3林 3),(林 ),(2林 2�林 �雲 雲 雲 雲 雲 +
雲 +bx
雲 bx+
雲 +c
雲 c 2
雲 2-
雲 -1
雲 1:
雲 :2
雲 2=
雲 =
3雲 3-雲 -2雲 2:雲 :6雲 6=雲 =5雲 5-雲 -4雲 4:雲 :4雲 4=雲 =∴雲 ∴a雲 a=雲 =2 雲 2 代回,得雲 代回,得∴(雲 ∴(a雲 a�雲 �b雲 b�雲 �c雲 c)=(雲 )=(端 10
端 10 公尺),則此拱門最高處的高
端 公尺),則此拱門最高處的高
端 端 端 端 〈法二〉端 〈法二〉1端 1�端 � 端 !端 !
2端
2�端
�
學 學 !
學 !
∴學 ∴
令學 令
∴學
∴
院院院院
48 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-1-7 二次函數的對稱軸與判別式
【型】1 a、b、c�R 且 a�0,二次方程式 ax2+bx+c=0 之解 x=-b±�b2-4ac
2a設判別式 D=b2-4ac D>0 ! 相異兩實根!$#$%
D=0 ! 相等實根 (二重根) D<0 ! 兩虛根
【說明】ax2+bx+c=0 ! a(x2+ba
x)=-c
! a(x+b
2a)2
=b2-4ac
4a !(x+
b2a)
2
=b2-4ac
4a2
! x+b
2a=±�b2-4ac
2a
∴x=-b±�b2-4ac
2a2 y=ax2+bx+c 判斷係數的正負:
1 a:看開口 ! a>0,開口上
!#%a<0,開口下
2 b:看對稱軸:x=-b2a
3 c:看拋物線與 y 軸之交點 (0�c) 交兩點 ! D>04 b2-4ac:看拋物線與 x 軸的交點個數
!$#$%
相 切 ! D=0 沒交點 ! D<05 a、b、c 相加減:看函數值
Ex f(1)=a+b+c
2-1-7-E 試題精煉
1題 圖形與係數
已知 y=ax2+bx+c 的圖形如右,則下列何者正確?A b>0 B c>0 C a+b+c<0D a-b+c>0 E b2-4ac>0 解
1� 由圖可知: a>0,c<0
又 -b2a>0 ! b<0
2� f(1)=a+b+c<0 f(-1)=a-b+c>03� 與 x 軸交 2 點 ! b2-4ac>0∴選CDE
翰 翰 二次函數的對稱軸與判別式翰 二次函數的對稱軸與判別式
,二次方程式翰 ,二次方程式 ax翰 ax2翰 2+翰 +bx翰 bx+翰 +林 0 林 0 !林 ! a林 a(林 (x林 x2林 2+林 +林 b林 b
a林 ax林 x)林 )=-林 =-c林 c)林 )
2林 2
=林 =林 b林 b2林 2-林 -4林 4ac林 ac4林 4a林 a
!林 !(林 (x林 x+林 +林 b林 b2林 2±林 ±�林
��b�林
�b�� 2�林
� 2�� -�林
� -�� 4�林
� 4�� ac�林
� ac�
雲 雲 �
雲 �2
雲 2a
雲 a
判斷係數的正負:雲 判斷係數的正負:
0雲 0,開口上雲 ,開口上
0雲 0,開口下雲 ,開口下雲 -雲 -b雲 b2雲
2a雲
a
端 端 交兩點
端 交兩點
:看拋物線與
端 :看拋物線與 x
端 x軸的交點個數
端 軸的交點個數
交兩點! 交兩點
端 交兩點! 交兩點
$
端 $
交兩點$
交兩點
端 交兩點
$ 交兩點 交兩點! 交兩點
$ 交兩點! 交兩點
端 交兩點! 交兩點
$ 交兩點! 交兩點
#
端 #$#$
端 $#$
$端 $#$#
端 #$#
%端 %$%$端 $%$相 切
端 相 切
沒交點端 沒交點相加減:看函數值端 相加減:看函數值
學 的圖形如右,則下列何者正確?
學 的圖形如右,則下列何者正確?
0學 0 C學 C-學 -4學 4ac學 ac>學 >0學 0 學 學 學 學 學 學 2學 2�學 � f學 f(學 (1學 1)=學 )=a學 a+學 + f學
f(-學
(-1學
1)=學
)=
院院院院
49高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-1-8 二次函數的恆正與恆負【型】若 y=ax2+bx+c(a�0,a、b、c�R)
1 恆正:�x�R,y 值恆為正 � a>0
!#%D<0
� � � � �x�R,y�0 恆成立 � a>0
!#%D�0
2 恆負:�x�R,y 值恆為負 � a<0
!#%D<0
�x�R,y�0 恆成立 � a<0
!#%D�0
【討論】不管恆正或恆負 � D<0
2-1-8-E 試題精煉1題 二次函數的恆負
二次函數 f(x)=kx2-4x-1 的值恆負,求 k 的範圍為 。
解
由題:kx2-4x-1<0,�x�R
! k<0
!#%D=16+4k<0
! k<0
!#%k<-4
∴k<-4
1題 二次函數的恆正
已知函數 f(x)=-2x2+x+a 的圖形恆在函數 g(x)=4x+5 圖形的下方,則滿足上述條件的正整數 a 有 個。
解
1� ∵-2x2+x+a<4x+5,�x�R ! 2x2+3x+(5-a)>0,�x�R ∵恆正
∴D=32-4‧2‧(5-a)<0 ! -31+8a<0
! a<318
2� ∵a�N ! a=1 <2 <3Ans:3 個
翰 翰 翰 二次函數的恆正與恆負翰 二次函數的恆正與恆負
a翰 a、翰 、b翰 b、翰 、c翰 c�翰 �R翰 R)翰 )
值恆為正翰 值恆為正�翰 �a翰 a>翰 >0翰 0!翰 !
#翰 #%翰
%D翰 D<翰 <0 翰 0 翰 翰 翰 翰 翰 翰 林
#
林 #%
林 %D
林 D�
林 �0
林 0
林 林 值恆為負林 值恆為負�林 �a林 a<林 <0林 0!林 !
#林 #%林 %D林 D<林 <0 林 0 林 林 林 林 林 林 恆成立林 恆成立�林 �
a林 a<林 <0林 0!林 !#林 #%林 %D林 D�林 �0 林 0 林 林 林 林 林 林 雲 雲 的值恆負,求雲 的值恆負,求 k雲 k的範圍為雲 的範圍為 。雲 。雲 雲 雲 雲 端 端 端 端 學 學 學 學 學 2學 2�學 � ∵學 ∵a學 a�學 �N學 N !學 ! a學 a=學 =1學 1 <學 <Ans學 Ans:學 :3 學 3 個學 個院院院院
50 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-1-9 y=ax3 與 y=ax4 之圖形對於一般形式的三次函數 y=ax3+bx2+cx+d,a�0;與一般形式的四次函數 y=ax4+bx3+cx2+dx+e,a�0,在高三的課程再討論,在此我們先研究單項的 y=ax3 與 y=ax4 的圖形。【型 A】y=ax3,a�0
Ex y=x3
x -3 -2 -1 0 1 2 3y -27 -8 -1 0 1 8 27
【討論】設實數 a�01 當 a>0 時,y=ax3 的圖形 愈往右邊的點,會愈往上攀升;
當 a<0 時,y=ax3 的圖形 愈往右邊的點,會愈往下降低。
2 y=ax3 的圖形對稱於原點。 3 y=ax3 的圖形與 y=-ax3 的圖形對稱於 x 軸。
【型 B】y=ax4,a�0Ex y=x4
x -2 -1 0 1 2y 16 1 0 1 16
【討論】設實數 a�01 當 a>0 時,y=ax4 的圖形除了原點外都在 x 軸的上方; 當 a<0 時,y=ax4 的圖形除了原點外都在 x 軸的下方。
2 y=ax4 的圖形對稱於 y 軸。3 y=ax4 的圖形與 y=-ax4 的圖形對稱於 x 軸。
翰 翰 翰 =翰 =ax翰 ax4翰 44翰 4之圖形翰 之圖形
+翰 +bx翰 bx2翰 2+翰 +cx翰 cx+翰 +d翰 d,翰 ,a翰 a�翰 �0翰 0;與一般形式的四次函數翰 ;與一般形式的四次函數,在高三的課程再討論,在此我們先研究單項的翰 ,在高三的課程再討論,在此我們先研究單項的
林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 林 0 1 2 3
林 0 1 2 30 1 2 3
林 0 1 2 30 1 2 3
林 0 1 2 30 1 2 3
林 0 1 2 30 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 270 1 8 27林 0 1 8 27
的圖形林 的圖形
愈往右邊的點,會愈往上攀升;林 愈往右邊的點,會愈往上攀升;
的圖形林 的圖形
雲 的圖形對稱於原點。
雲 的圖形對稱於原點。
=-
雲 =-ax
雲 ax3
雲 3的圖形對稱於
雲 的圖形對稱於 x
雲 x
雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 0 1 2雲 0 1 20 1 2雲 0 1 216 1 0 1 16雲 16 1 0 1 1616 1 0 1 16雲 16 1 0 1 16雲 雲 雲 雲 雲 雲 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 端 學 的圖形除了原點外都在學 的圖形除了原點外都在
的圖形除了原點外都在學 的圖形除了原點外都在
的圖形對稱於學 的圖形對稱於 y學 y軸。學 軸。
=-學 =-ax學 ax4學 4的圖形對稱於學 的圖形對稱於 x學 x學 院
51高中數學(一)第 2 章 多項式函數
【討論】1 若有三方程式,y=x2,y=x3,y=x4
則 �1:y=x2
�2:y=x3
�3:y=x4
2 三圖形的共同交點:(0�0),(1�1)3 y 值比大小:
1 當 0<x<1 ! y1>y2>y3
2 當 x>1 ! y1<y2<y3
2-1-9-E 試題精煉1題 三次與四次圖形
右圖為四個函數 f1(x)=ax+b�f2(x)=ax2,f3(x)=(x-c)3�
f4(x)=ax4+d 的圖形,其中 a、b、c、d 為實數且 a�0,試問下列選項何者正確?
A f2(x) 與 f4(x) 皆為偶函數 B �2 為 f4(x)=ax4+d 的圖形C ab<0 D c<0E d=0 解
A ∵f 2(-x)=a(-x)2=a(x)2=f 2(x) ! f 2(x) 為偶函數 又 f 4(-x)=a(-x)4+d=ax4+d=f 4(x) ! f 4(x) 為偶函數
BCDE �1:f 4(x)=ax4+d ! a>0,d=0� � � � �2:f 2(x)=ax2 ! a>0� � � � �3:f 1(x)=ax+b ! a>0,b>0� � � � �4:f 3(x)=(x-c)3 ! c>0!AE
2-1-10 二次函數與一般函數的平移【二次函數平移】
二次函數 y=ax2 沿 x 軸向右平移 h 單位,沿 y 軸向上平移 k 單位, 則新函數為 〈方法一〉看頂點
原頂點:(0�0),新頂點:(h�k)原函數:y=ax2 ! 新函數:
〈方法二〉代入函數 (x�y)→(x+h�y+k)
y=ax2 x → x+hy → y+k y-k=a(x-h)2
〈口訣〉平移代入函數 + ! -
!#%- ! +
Ex 將 y=2x2 的圖形右移 3 單位再上移 5 單位則新函數為 ∵(x�y)→(x+3�y+5)
∴y=2x2 x → x+3y → y+5 y-5=2(x-3)2
翰 x翰 x2翰 2,翰 ,y翰 y=翰 =x翰 x3翰 3,翰 ,y翰 y=翰 =x翰 x4翰 4
三圖形的共同交點:(
翰 三圖形的共同交點:( ),(
翰 ),( )
翰 )
林 >
林 >y
林 y2
林 2>
林 >y
林 y3
林 3
2林 2<林 <y林 y3林 3
x林 x)=林 )=ax林
ax2林 2,林
,f林
f3林
3f3f林
f3f(林
(x林
x)=(林
)=(x林
x-林
-林 雲 �
雲 �2
雲 2為
雲 為 f
雲 f4
雲 4f4f
雲 f4f(
雲 (x
雲 x)=
雲 )=ax
雲 ax4
雲 4+
雲 +d
雲 d的圖形
雲 的圖形
c雲 c<雲 <0雲 0雲 雲 雲 雲 BCDE雲 BCDE 雲 �雲 �1雲 1�雲
�
端 端 端 端 !
端 !AE
端 AE
端 二次函數與一般函數的平移端 二次函數與一般函數的平移
軸向右平移端 軸向右平移 h端 h單位,沿端 單位,沿 y端 y軸向上平移端 軸向上平移學
),新頂點:(
學 ),新頂點:(h
學 h�
學 �k
學 k)
學 )
新函數:學 新函數:學 學 x學 x+學 +h學 h�學 �y學 y+學 +k學 k)學 )
k學 k=學 =a學 a(學 (x學 x-學 -h學 h)學 )2學 2
-學 -
+學 +
院x院x-院-3院3)院)2院2院
52 傅壹數學‧翰林雲端學院
【一般函數平移】
y=f(x)沿 x 軸向右平移 h 單位,沿 y 軸向上平移 k 單位,則新函數為 (∵(x�y)→(x+h�y+k))
〈口訣〉平移代入函數 + ! -
!#%- ! +
Ex 將 y=x3 往右移 3 單位再下移 2 單位則新函數為
∵(x�y)→(x+3�y-2)
∴y=x3 x → x+3y → y-2 y+2=(x-3)3
2-1-10-E 試題精煉
1題 函數的平移
二次函數 y=-12
x2-2x+1 的圖形,沿 x 軸正向移動二個單位,y 軸方向向上移動六個單
位,最後方程式為 。
解
1� y=-12
x2-2x+1
=-12(x2+4x)+1
=-12(x+2)2+3
頂點 (-2�3)
2� 新頂點 (0�9)
方程式:y=-12(x-0)2+9=
-12
x2+9
2題 函數的平移
在坐標平面上,拋物線 y=2x2 向右移動 h 單位且向上移動 k 單位後,所得到的拋物線通過 P(0�6),Q(1�4),求 h、k 的值。
解
設新拋物線 y=2(x-h)2+k∵過 P(0�6)! 2(0-h)2+k=6 過 Q(1�4)! 2(1-h)2+k=4
! 2h2+k=6
!#%2-4h+2h2+k=4
! h=1
!#%k=4
翰 單位,沿翰 單位,沿 y翰 y軸向上平移翰 軸向上平移 k翰 k單位,翰 單位,x翰 x�翰 �y翰 y)→(翰 )→(x翰 x+翰 +h翰 h�翰 �y翰 y+翰 +k翰 k))翰 ))-翰 -
林 -林 -3林 3)林 )3林 3林 雲
的圖形,沿
雲 的圖形,沿 x
雲 x軸正向移動二個單位,
雲 軸正向移動二個單位,
雲 雲 雲 雲 2雲 2�雲 � 新頂點雲 新頂點(雲 (方程式:雲 方程式:端 端 端 端 學
向右移動
學 向右移動 h
學 h單位且向上移動
學 單位且向上移動
的值。
學 的值。
學 學 學 學 !學 !2學 2h學 h2學 2+學 +k學 k=學 =!學 !
#學 #!#!學 !#!
%學 %#%#學 #%#
2學 2-學 -4學 4h學 h+學 +!學 !h學 h=學 =1學 1!學 !
#學 #!#!學 !#!
%學
%#%#學 #%#
k學
k=學
=4學
4
院院院院
53高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-1-S 超越巔峰
1題
若函數 f(x) 符合條件 f(-x)=f(x) 者,稱之為偶函數,請選出下列函數是偶函數者?A f1(x)=x4-3x2-4B f2(x)=│x+3│+│x│+│x-3│C f3(x)=(x+2)2+(x-3)2+〔-2(x+1)2〕
D f4(x)=(x2-2x+4)(x+2)-(x2+2x+4)(x-2)
E f5(x)=g(x)+g(-x)
2,其中 g(x) 為 n 次多項式 臺南女中
解
2題
設二次實係數多項式函數 f(x)=ax2+2ax+b 在區間-1�x�1 上的最大值為 7、 最小值為 3。試求數對 (a�b) 的所有可能值。 q指考乙
解
翰 翰 x翰 x)翰 )者,稱之為偶函數,請選出下列函數是偶函數者?翰 者,稱之為偶函數,請選出下列函數是偶函數者?
林 2
林 2(
林 (x
林 x+
林 +1
林 1)
林 )2
林 2〕
林 〕
2
林 2+林 +2林 2x林 x+林 +4林 4)(林 )(x林 x-林 -2林 2)林 )g林 g(林 (x林 x)林 )為林 為 n林 n次多項式林 次多項式林 雲 端 ax端 ax2端 2+端 +2端 2ax端 ax+端 +b端 b在區間-端 在區間-1端 1�端 �的所有可能值。端 的所有可能值。端 學 院
54 傅壹數學‧翰林雲端學院
3題
設 a、b、c 皆為實數,y=ax2+bx+c 與 y=bcx+ab 的圖形相交情形可能是下列哪一個圖形? 師大附中
A B C D E
解
4題
�x�R,(m-2)x2+2(2m-3)x+(5m-6)>0 無解,則 m 範圍為 。 武陵高中、臺南一中
解
5題
若將二次函數 f(x)=ax2+bx+c 的圖形沿 x 軸向右平移 1 單位,再沿 y 軸向上平移 2 單位後恰與 g(x)=px2+qx+r 的圖形重合,則 g(2)-f(1)= 。 建國中學
解
翰 +翰 +c翰 c與翰 與 y翰 y=翰 =bcx翰 bcx+翰 +ab翰 ab的圖形相交情形可能是下列哪一個圖翰 的圖形相交情形可能是下列哪一個圖C翰 C翰 翰 翰 D翰 D林 林 林 林 雲 +(雲 +(5雲 5m雲 m-雲 -6雲 6)>雲 )>0 雲 0 無解,則雲 無解,則雲 端 學 的圖形沿學 的圖形沿 x學 x軸向右平移學 軸向右平移 1 學 1
的圖形重合,則學 的圖形重合,則 g學 g(學 (2學 2)-學 )-f學 f)-f)-學 )-f)-(學 (1學 1)= 。學 )= 。學 院
55高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2 多項式的運算與應用
2-2-1 多項式的定義與次數【定義】1 多項式的定義:
凡是 x 的次方為 或 ,(即 n�N 或 n=0)則 f(x)=anxn+an-1xn-1+⋯⋯+a1x+a0,稱為 x 的多項式
2 多項式次數的符號:
若 an�0,則 f(x) 為 n 次多項式,以 deg f(x)=n 表示
3 常數多項式:包含“零次多項式”與“零多項式”
1 零次多項式:若 f(x)=c(c�0),則 f(x) 稱之零次多項式且 deg f(x)=0
2 零多項式:若 f(x)=0,則 f(x) 稱之零多項式且 deg f(x) 不存在【討論】若 f(x) 為多項式,則 x 不能在根號內,不能在分母,不能在指數中,不能
在絕對值內。
【範例 1】下列何者為 x 的多項式?
A x+1x B x2+2│x│+3 C x2+1=0
D x9+�3 x2-5 E
2x+1
+3x4+4
解 D
【性質】若 deg f(x)=m,deg g(x)=n,則1 deg〔f(x)‧g(x)〕=m+n Ex f(x)=x3,g(x)=x2
! f(x)‧g(x)=x3+2
2 deg〔f(x)±g(x)〕�Max{deg f(x),deg g(x)} Ex 1 f(x)=x3,g(x)=x2
! deg〔 f(x)-g(x)〕=3�3 2 f(x)=x3+x2,g(x)=x3
! deg〔 f(x)-g(x)〕=2�3 3 f(x)=x3+x2+x,g(x)=x3+x2
! deg〔 f(x)-g(x)〕=1�3 4 f(x)=x3+x2+x+1,g(x)=x3+x2+x ! deg〔 f(x)-g(x)〕=0�3
【範例 2】設 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 為整係數多項式,且 2│a│+3(b+5)2+│c+2│=1,則 f(x) 之次數為 次。
解
∵a=0,b+5=0 ! b=-5 c+2=±1 ! c=-1 或-3∴f(x)之次數為三次
次數
翰 翰 多項式的運算與應用翰 多項式的運算與應用翰 翰 多項式的定義與次數翰 多項式的定義與次數翰 翰 或
翰 或
翰 翰 (即
翰 (即
林 林 林 多項式次數的符號:
林 多項式次數的符號:
為林 為 n林 n次多項式,以林 次多項式,以 deg 林 deg f林 f常數多項式:包含“零次多項式”與“零多項式”林 常數多項式:包含“零次多項式”與“零多項式”
f林 f(林 (x林 x)=林 )=c林 c(林 (c林 c�林 �0林 0),則林 ),則 f林 f deg 林 deg f林 f(林 (x林 x)=林 )=0林 0(林 (x林
x)=林 )=0林
0,則林
,則 f林
f(林
(x林
x)林
)稱之零多項式且林
稱之零多項式且林 林 林 雲
的多項式?
雲 的多項式?
B雲 B x雲 x2雲 2+雲 +2雲 2│雲 │x雲 x│+雲 │+3雲 3E雲 E雲 2雲 2x雲 x+雲 +1雲 1
+雲 +3雲 3x雲 x4雲 4+雲 +4雲 4端
)〕=
端 )〕=m
端 m+
端 +n
端 n
)=
端 )=x
端 x2
端 2
)=端 )=x端 x3端 3+端 +2端 2
�端 �Max端 Max{端 {deg 端 deg f端 f(端 (x端 x),端 ),deg 端 deg (端 (x端 x)=端 )=x端 x2端 2
)-端 )-g端 g(端 (x端 x)〕=端 )〕=3端 3�端 �3端 3(端 ()=端
)= 3端
3
學 +
學 +x
學 x,
學 ,g
學 g(
學 (x
學 x)=
學 )=x
學 x3
學 3+
學 +x
學 x2
學 2
)-
學 )-g
學 g(
學 (x
學 x)〕=
學 )〕=1
學 1�
學 �3
學 3
+學 +x學 x+學 +1學 1,學 ,g學 g(學 (x學 x)=學 )=x學 x3學 3+學 +x學 x2學 2)-學 )-g學 g(學 (x學 x)〕=學 )〕=0學 0�學 �3學 3cx學 cx2學 2+學 +dx學 dx+學 +e學 e為整係數多項式,且學 為整係數多項式,且
+學 +2學 2│=學 │=1學 1,則學 ,則 f學 f(學 (x學 x)學 )之次數為學 之次數為院院
56 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-2-2 多項式的係數和【公式】若 f(x)=anxn+an-1xn-1+⋯⋯+a1x+a0
則1 常數項=a0=
2 係數和=a0+a1+⋯⋯+an=
【討論】a1+a2+⋯⋯+an=
3 偶次項係數和:a0+a2+a4+⋯⋯=
4 奇次項係數和:a1+a3+a5+⋯⋯=
【說明】∵f(1)=a0+a1+a2+a3+⋯⋯+an
f(-1)=a0-a1+a2-a3+⋯⋯+(-1)nan
∴f(1)+f(-1)
2=a0+a2+a4+a6+⋯⋯
f(1)-f(-1)2
=a1+a3+a5+⋯⋯
【範例】f(x)=(x2-x+1)3 的展式中1 常數項= 。
2 係數和= 。
3 偶次項係數和= 。
解
1 常數項=f(0)=(02-0+1)3=13=12 係數和=f(1)=(1-1+1)3=13=1
3 偶次項係數和=f(1)+f(-1)
2=
1+272=14
2-2-2-E 試題精煉
1題 係數問題
設 f(x)=(x+2)4,g(x)=(x2-x+1)3,則:
1 f(x)+g(x) 的各項係數和= 。2 f(x)‧g(x) 的各項係數和= 。3 f(x)‧g(x) 的偶次項係數和= 。解
1 令 F(x)=f(x)+g(x) 所求=F(1)=f(1)+g(1) =34+13=822 令 G(x)=f(x)‧g(x) 所求=G(1)=f(1)‧g(1) =34‧13=81
3 令 G(x)=f(x)‧g(x)
所求=G(1)+G(-1)
2
=f(1)‧g(1)+f(-1)‧g(-1)
2
=34‧13+14‧33
2=
81+272
=54
翰 翰 翰 多項式的係數和翰 多項式的係數和
+⋯⋯+翰 +⋯⋯+a翰 a1翰 1x翰 x+翰 +a翰 a0翰 0翰 翰 +⋯⋯+翰 +⋯⋯+a翰
a=翰
=翰 翰 林
0
林 0+
林 +a
林 a2
林 2+
林 +a
林 a4
林 4+⋯⋯=
林 +⋯⋯=
林 林 1林 1+林 +a林 a3林 3+林 +a林 a5林 5+⋯⋯=林 +⋯⋯=林 林 3林 3+⋯⋯+林 +⋯⋯+a林 an林 n
-林 -a林 a3林 3+⋯⋯+林 +⋯⋯+(-林 (-1林 1)林 )n林 na林 an林 n雲 雲 +
雲 +a
雲 a3
雲 3+
雲 +a
雲 a5
雲 5+⋯⋯
雲 +⋯⋯
的展式中雲 的展式中
偶次項係數和= 。雲 偶次項係數和= 。
端 端 端 1
端 1+
端 +27
端 27
2端 2=端 =14端 14
學 學 學 的各項係數和= 。
學 的各項係數和= 。
的偶次項係數和= 。學 的偶次項係數和= 。學 學 學 學 3 學 3 令學 令 G學 G(學 (x學 x)=學 )= 所求=學 所求=學 G學 Gf學
f
院院院院 =
院 =
院
57高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2-3 多項式的除法原理 f(x)=b(x)q(x)+r(x), 或 ↑ ↑ ↑ ↑ 被除式 除式 商式 餘式
【討論】f(x)=(ax-b)g(x)+r ↑ ↑ 除式一次 餘式為常數
【範例】設多項式 f(x) 被 ax+b(a、b 為實數,a�0),除之得商式 3x2-6x+1,
若 f(x) 被 x+ba
除之得商式為 9x2-18x+3,則 a 值為 。
解
由題意 ! f(x)=(ax+b)‧(3x2-6x+1)+r=(x+ba)‧a(3x2-6x+1)+r
∴a(3x2-6x+1)=9x2-18x+3∴a=3
2-2-3-E 試題精煉
1題 除法原理
設 abr�0,且多項式 f(x) 除以 (ax+b) 的商式為 q(x),餘式為 r,試問下列敘述哪些為真?
A 3f(x) 除以 (ax+b) 的商式為 3q(x),餘式為 r
B f(x) 除以 2(ax+b) 的商式為 12
q(x),餘式為 r
C 4f(x) 除以 4(ax+b) 的商式為 4q(x),餘式為 4rD xf(x) 除以 (ax+b) 的商式為 xq(x),餘式為 rx
E f(xa) 除以 (x+b) 的商式為 q(
xa),餘式為 r
解
由題意:f(x)=(ax+b)q(x)+rA :∵f(x)=(ax+b)q(x)+r ! f(x)=(ax+b) q(x)+3r ↑ ↑ ↑ ↑
B :∵f(x)=(ax+b)q(x)+r
= (ax+b)‧ q(x)+r
↑ ↑ ↑
C :∵f(x)=(ax+b)q(x)+r ! f(x)= (ax+b)q(x)+ r ↑ ↑ ↑ ↑
D :∵f(x)=(ax+b)q(x)+r ! f(x)=(ax+b) q(x)+r ↑ 被除式=(ax+b)xq(x)+
ra(ax+b)-
bra
=(ax+b)(xq(x)+ra)-
bra
↑ ↑ ↑
除式 商式 餘式
E :∵f(x)=(ax+b)q(x)+r
! f( )=(a‧ +b)q(xa)+r
被除式=(x+b)q(xa)+r
↑ ↑ ↑ 除式 商式 餘式
↑
↑
翰 翰 翰 多項式的除法原理翰 多項式的除法原理翰 翰 或翰 或翰 翰 林
除式一次 餘式為常數
林 除式一次 餘式為常數
b
林 b(
林 (a
林 a、
林 、b
林 b為實數,
林 為實數,a
林 a�
林 �0
林 0),除之得商式
林 ),除之得商式
除之得商式為林 除之得商式為 9林 9x林 x2林 2-林 -18林 18x林 x+林 +3林 3,則林 ,則1林 1)+林 )+r林 r=林 =(林 (x林 x+林 +林 b林 ba林 a)林 )‧林 ‧a林 a(林 (3林 3x林 x2林 2-林 -6林 6雲 雲 ax雲 ax+雲 +b雲 b)雲 )的商式為雲 的商式為 q雲 q(雲 (x雲 x),餘式為雲 ),餘式為q雲 q(雲 (x雲
x),餘式為雲 ),餘式為 r雲
r
端 2
端 2 4
端 4q
端 q(
端 (x
端 x),餘式為
端 ),餘式為 4
端 4r
端 r
xq端 xq(端 (x端 x),餘式為端 ),餘式為 rx端 rx端 x端 xa端 a)端 ),餘式為端 ,餘式為 r端 r端 端 端 學 學 學 學 學 學
↑
學 ↑
學 被除式
學 被除式
=學 =
↑ ↑ ↑學 ↑ ↑ ↑
E 學 E 學 學 :∵學 :∵f學 f:∵f:∵學 :∵f:∵(學 (院院院院
院
↑ ↑ ↑院 ↑ ↑ ↑ 院
58 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-2-4 多項式的綜合除法
f(x)=2x3+10x2-3x+1,求 f(x) 除以 (x+2) 之商式: ,餘式: 。
【長除法】〈法一〉 〈法二〉
2x2+ 6x - 15
x+2 2x3+ 10x2
- 3x+ 12x3+ 4x2
6x2- 3x
6x2+ 12x- 15x+ 1- 15x- 30
31
2 + 6- 151+2 2 + 10- 3+ 1
2 + 46- 36+ 12- 15+ 1- 15- 30
31
【綜合除法】 2 + 10- 3+ 1- 4- 12+ 30 x+2
【討論】綜合除法要求 x 係數為 1
!#%常數項變號,當除式
【範例】利用綜合除法求 (6x5+3x3-7x+4)÷(x+2) 的商式和餘式。解
6 + 0+ 3+ 0- 7+ 4 -2- 12+ 24- 54+ 108- 202
6 - 12+ 27- 54+ 101- 198
商式:6x4-12x3+27x2-54x+101餘式:-198
2-2-4-E 試題精煉
1題 綜合除法
f(x)=2x3-7x2+3x-5,求:1 f(x) 除以 x-2 之商式及餘式。2 f(x) 除以 2x-1 之商式及餘式。解
1
2 - 7 + 3 - 5 2+ 4 - 6 - 6
2 - 3 - 3 -11
∴商式:2x2-3x-3,餘式:-11
2
2 - 7 + 3 - 512
+ 1 - 3 + 02 - 6 + 0 - 5
由除法原理知:f(x)=(x-12)(2x2-6x)-5
=(2x-1) -5 ↑ ↑ ↑
∴商式:x2-3x,餘式:-5
↑
翰 翰 翰 多項式的綜合除法翰 多項式的綜合除法
)翰 )除以翰 除以(翰 (x翰 x+翰 +2翰 2)翰 )之商式:翰 之商式:【長除法】〈法一〉 〈法二〉翰 【長除法】〈法一〉 〈法二〉
15翰 15
林 林 林 林 林 林 林 3
林 3x
林 x
12林 12x林 x15林 15x林 x+林 + 1林 115林 15x林 x-林 - 30林 30
31林 31
雲 雲 雲 雲 雲 係數為雲 係數為 1雲 1常數項變號,當除式雲 常數項變號,當除式
3雲 3x雲 x3雲 3-雲 -7雲 7x雲 x+雲 +4雲 4)÷(雲 )÷(x雲 x+雲 +2雲 2)雲 )端 端 學 之商式及餘式。學 之商式及餘式。學 學 學 學 2 學 2 學 學 學 2學 2 -學 - 7學 7 +學 ++學 + 1學 1 -學 -院院院院
院
↑ ↑ ↑院 ↑ ↑ ↑
院
∴商式:院 ∴商式:
59高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2-5 綜合除法的應用【說明】綜合除法的應用 ! 中心轉換Ex f(x)=2x3-x2+4x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d
f(x)=(x-2)(2x2+3x+10)+15 =(x-2) +15 =(x-2)2(2x+7)+24(x-2)+15 =(x-2)2 +24(x-2)+15 =2(x-2)3+11(x-2)2+24(x-2)+15
�
2 - 1 + 4 - 5 2+ 4 + 6 + 20
2 + 3 + 10 + 15+ 4 + 14
2 + 7 + 24+ 4
2 + 11
!
!
!!
2-2-5-E 試題精煉
1題 中心轉換
f(x)=x3-4x2+7x-1=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d1 求 a,b,c,d。2 求 f(1.999) 之值= 。(至小數點後第三位)3 f(2+�3 )= 。解
1
1 - 4 + 7 - 1 2+ 2 - 4 + 6
1 - 2 + 3 + 5+ 2 + 0
1 + 0 + 3+ 2
1 + 2
∴a=1,b=2,c=3,d=52 由1:f(x)=(x-2)3+2(x-2)2+3(x-2)+5
! f(1.999) 5+3(-0.001)+2(-0.001)2+(-0.001)3
↑
~ 5+3(-0.001)=4.997
3 〈法一〉
由1:f(x)=(x-2)3+2(x-2)2+3(x-2)+5 ! f(2+�3 )=(�3 )
3+2‧(�3 )
2+3�3 +5
=3�3 +6+3�3 +5 =11+6�3 〈法二〉
1� 令 x=2+�3 ! x-2=�3 !(x-2)2=3 ! x2-4x+4=3 ! x2-4x+1=02� 由長除法知
1 + 01-4+1 1 - 4 + 7 - 1
1 - 4 + 16 - 1
! f(x)=(x2-4x+1)‧x+6x-1 ! f(2+�3 )=0+6‧(2+�3 )-1 =11+6�3
翰 翰 翰 綜合除法的應用翰 綜合除法的應用
中心轉換翰 中心轉換
-翰 -2翰 2)翰 )3翰 3+翰 +b翰 b(翰 (x翰 x-翰 -2翰 2)翰 )2翰 2+翰 +c翰 c(翰 (x翰 x-翰 -林
=
林 =(
林 (x
林 x-
林 -2
林 2)
林 )
林 林 =林 =(林 (x林 x-林 -2林 2)林 )2林 2(林 (2林 2 =林 =(林 (x林 x-林 -2林 2)林 )2林 2林 林 =林 =2林 2(林 (x林 x-林 -2林 2)林 )3林 3+林 +�林 �
雲 b雲 b(雲 (x雲 x-雲 -2雲 2)雲 )2雲 2+雲 +c雲 c(雲 (x雲 x-雲 -2雲 2)+雲 )+之值= 。(至小數點後第三位)雲 之值= 。(至小數點後第三位)
端 端 端 由
端 由1
端 1:
端 :f
端 f(
端 (
!端 ! f端 f(端 (2端 2+端 +�端 � =端 =
=端 =
〈法二〉端 〈法二〉
1端 1�端 � 令端 令 x端 x=端 = !端 !(端 (x端 x-端 -學 學 學 0.001
學 0.001)
學 )3
學 3 1
學 1-
學 -4
學 4
!學 ! f學 f(學 (x學 x !學 ! f學 f(學 (2學 2學 院院院院
60 傅壹數學‧翰林雲端學院
2題 中心轉換
設 f(x)=8x3-12x2+8x-5=a(2x-3)3+b(2x-3)2+c(2x-3)+d,且 a、b、c、d 為實數,1 則數對 (a�b�c�d)= 。2 則 f(1.501)= 。(求到小數點後第三位,第四位四捨五入) 臺南女中、臺南一中
解
1
8 - 12 + 8 - 5+ 12 + 0 + 12
8 + 0 + 8 + 7+ 12 + 18
8 + 12 + 2612
8 + 24
32
由綜合除法知:
f(x)=8(x-32)
3
+24(x-32)
2
+26(x-32)+7
= (2x-3)3+ (2x-3)2+ (2x-3)+ ∴數對 (a�b�c�d)=(1�6�13�7)
2 由1知:
f(x)=8(x-32)
3
+24(x-32)
2
+26(x-32)+7
f(1.501) 7+26(0.001)+24(0.001)2+8(0.001)3
↑
~ 7+0.026=7.026
2-2-6 餘式定理【定理】若 f(x) 除以 (ax-b),則其餘式為 〈key〉令除式=0證 由題意:f(x)=(ax-b)Q(x)+R(R 為餘式)
將 x=ba
代入,f(ba)=(b-b)Q(
ba)+R=0+R=R
∴R=f(ba)
【討論】1 f(x)÷(3x-2)⋯⋯5 !
2 f(23)=5 !
【範例 1】1 f(x)÷(x-1) 之餘式= 。
2 f(x)÷(2x+1) 之餘式= 。
3 f(x)÷(x-k) 之餘式= 。
4 f(x)÷(88x-88k) 之餘式= 。解
1 f(1);2 f(-12);3 f(k);4 f(k)
【範例 2】(375x5-699x4-35x3+9x2+37x+15)÷(77x-77) 之餘式為 。解
令 f(x)=375x5-699x4-35x3+9x2+37x+15∴所求=f(1)=375-699-35+9+37+15=-298
翰 翰 -翰 -3翰 3)翰 )3翰 3+翰 +b翰 b(翰 (2翰 2x翰 x-翰 -3翰 3)翰 )2翰 2+翰 +c翰 c(翰 ()= 。翰 )= 。
)= 。(求到小數點後第三位,第四位四捨五入)翰 )= 。(求到小數點後第三位,第四位四捨五入)
林 林 林 林 2
林 2 由
林 由1
林 1知:
林 知:
f林 f(林 (x林 x)=林 )=8林 8(林 ( f林 f(林 (1.501林 1.501)林 ) 7林 7+林 +26林 26(林 (0.001林 0.001
雲 雲 雲 雲 2
雲 2)
雲 )
2
雲 2x
雲 x-
雲 -3
雲 3)+
雲 )+
雲 雲 雲 ),則其餘式為雲 ),則其餘式為雲 雲 端 Q
端 Q(
端 (
端 a
端 a)
端 )+
端 +R
端 R=
端 =0
端 0+
端 +R
端 R=
端 =R
端 R
)⋯⋯端 )⋯⋯5 端 5 !端 !端 端 端 端 學 學 學 學 之餘式= 。
學 之餘式= 。
之餘式= 。學 之餘式= 。
之餘式= 。學 之餘式= 。
)
學 )
院院+院+15院15+院+15院15=-院=-298院298
61高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2-6-E 試題精煉1題 餘式定理 (除式:一次式)
若 f(x)=x3-2x2-x+5,則多項式 g(x)=f( f(x)) 除以 (x-2) 所得的餘式為 。
解
〈key〉除式為 (x-�), 餘式為 f(�)1� f(2)=8-8-2+5=3
2� 所求=g(2)=f( f(2)) =f(3)=33-2‧32-3+5 =27-18-3+5=11
2題 餘式定理 (除式:二次式)
已知多項式 f(x) 除以 x-2、2x-1 的餘式各為 1 與-2,則以 (x-2)(2x-1) 除 f(x) 的餘式為 。 陽明高中、武陵高中
解
〈key〉除式為 (x-�)(x-�), 餘式可設為 1ax+b 2a(x-�)+b〈法一〉
1� 設 f(x)=(x-2)Q1(x)+1=(2x-1)Q2(x)-2
! f(2)=1,f(12)=-2
2� 設 f(x)=(x-2)(2x-1)Q(x)+ ∵ f(2)=0+2a+b=1
!$#$% f(
12)=0+
12
a+b=-2
! a=2,b=-3 ∴餘式=ax+b=2x-3
〈法二〉
1� 設 f(x)=(x-2)Q1(x)+1=(2x-1)Q2(x)-2
! f(2)=1,f(12)=-2
2� 設 f(x)=(x-2)(2x-1)Q(x)+ ∵ f(2)=0+0+b=1
!$#$%
f(12)=0-
32
a+b=-2
! a=2,b=1 ∴餘式=a(x-2)+b=2(x-2)+1=2x-3
3題 餘式定理 (除式:二次式)
設多項式 f(x) 不低於三次,以 x-1 除之餘 3,以 x+1 除之餘 1,以 x-2 除之餘-2,則以 (x-1)(x+1)(x-2)除 f(x) 的餘式為 。
解
〈key〉除式為 (x-�)(x-�)(x-),餘式可設為1 ax2+bx+c2
〈法一〉設 f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x) +
∵由餘式定理知:
f(1)=3�f(-1)=1,f(2)=-2 f(1)=a+b+c=3 ......................1∴
!$#$%
f(-1)=a-b+c=1 ..................2 f(2)=4a+2b+c=-2 ..............3由1-2! 2b=2 ! b=1 代回1,3
! a+1+c=3
!#%4a+2+c=-2 !
a+c=2
!#%4a+c=-4
! a=-2
!#%c=4∴所求=ax2+bx+c=-2x2+x+4
〈法二〉設 f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x) +
∵由餘式定理知:
f(1)=3�f(-1)=1,f(2)=-2 f(1)=c=3 ! c=3∴
!$#$%
f(-1)=-2b+c=1 ! b=1 f(2)=3a+b+c=-2 ! a=-2∴所求=-2(x-1)(x+1)+(x-1)+3 =-2x2+x+4
翰 翰 (除式:一次式)翰 (除式:一次式)
g翰 g(翰 (x翰 x)=翰 )=f翰 f)=f)=翰 )=f)=(翰 ( f翰 f(翰 (x翰 x))翰 ))除以翰 除以翰 林 林 林 林
=
林 =f
林 f =f =
林 =f =(
林 (
=
林 =27
林 27
林 (除式:二次式)林 (除式:二次式)
1 林 1 的餘式各為林 的餘式各為 1 林 1 與-林 與-2林 2,則以林 ,則以林 雲 雲 雲 2雲 2(雲 (x雲 x)-雲 )-2雲 2雲 雲
!
雲 ! f
雲 f(
雲 (2
雲 2)=
雲 )=
2雲 2�雲 � 設雲 設 f雲 f(雲 (x雲 x)=(雲 )=(∵雲 ∵ f雲 f(雲 (2雲 2)=雲 )= 雲
!雲 !$雲 $!$!雲 !$!#雲 #$#$雲 $#$$雲 $#$#雲 #$#%雲 %$%$雲 $%$ f雲 f(雲 (雲 1雲 12雲 2!雲 ! a雲 a=雲 =2雲 2,雲 ,端 端 端 端 端 端 (除式:二次式)端 (除式:二次式)
-端 -1 端 1 除之餘端 除之餘 3端 3,以端 ,以 x端 x+端 +1 端 1 除之餘端 除之餘的餘式為端 的餘式為 。端 。端 端 端 端 ),餘式可設為端
),餘式可設為 〈法二〉設端
〈法二〉設 f端
f
學 學 學 學 學 (
學 (x
學 x)
學 )
2學 2 ......................學 ......................1學 1
..................學 ..................2學 2 ..............學 ..............3學 3
1
學 1 3
學 3
f
學 f 學 ∴學 ∴#學 # 學 ∴所求=-學 ∴所求=- =-學 =-院院院院4院4
62 傅壹數學‧翰林雲端學院
4題 降階假設法
deg f(x)�4,若 f(x) 除以 x2+3x+4,x-1 的餘式分別為 x+2,11,則 f(x) 除以 (x-1)(x2+3x+4) 的餘式為 。
解
1� 設 f(x)=(x-1)Q1(x)+11 ∴f(1)=112� 設 f(x)=(x-1)(x2+3x+4)Q2(x) +
! f(1)=0+8k+3=11 ∴k=1 ∴餘式=(x2+3x+4)+(x+2)=x2+4x+6
〈key〉除式為 (ax2+bx+c)(x+d), 餘式可設為
5題 餘式定理 (除式:二次式)
設多項式 f(x) 除以 x2+2x-3 得餘式 2x+5;除以 x2-3x-10 得餘式 5x-2,則 f(x) 除以 x2-6x+5 的餘式為 。
解
〈key〉除式可分解 ! 先分解除式再以除法原理列式f(x)=(x+3)(x-1)Q1(x)+2x+5f(x)=(x-5)(x+2)Q2(x)+5x-2
設 f(x)=(x-5)(x-1)Q(x)+a(x-5)+b
∵ f(1)=7=-4a+b
! a=4 !#%f(5)=23=b
∴f(x)=4(x-5)+23=4x+3
2-2-7 牛頓插值法【f(x) 為二次式】滿足 f(-1)=3,f(1)=1,f(2)=3 的多項式為:f(x)=則令 x=-1,1,2 代入可得 a、b、c【f(x) 為三次式】滿足 f(1)=5,f(2)=10,f(3)=17,f(4)=19 的多項式為:f(x)=則令 x=1,2,3,4 代入可得 a、b、c、d【範例】設 f(x) 為三次多項式,若 f(1981)=1,f(1982)=9,f(1983)=8,
f(1984)=5,則 f(1985)= 。解
設 f(x)=a(x-1981)(x-1982)(x-1983) +b(x-1981)(x-1982)
+c(x-1981) +d! f(1981)=1=d f(1982)=9=c+d ! c=8
f(1983)=8=2b+2c+d ! b=-92
f(1984)=5=6a+6b+3c+d ! a=76
! f(x)=76(x-1981)(x-1982)(x-1983)
-92(x-1981)(x-1982)
+8(x-1981) +1
f(1985)=76‧4‧3‧2-
92‧4‧3+8‧4+1=7
翰 翰 +翰 +4翰 4,翰 ,x翰 x-翰 -1 翰 1 的餘式分別為翰 的餘式分別為
。翰 。翰 林 林 林 林 x林 x+林 +6林 6林 (除式:二次式)林 (除式:二次式)
得餘式林 得餘式 2林 2x林 x+林 +5林 5;除以林 ;除以 x林 x2林 2-林 -3林 3x林 x林 雲 雲 雲 雲
∵
雲 ∵#
雲 #%
雲 %#%#
雲 #%#f
雲 f(
雲 (5
雲 5)=
雲 )=23
雲 23
∴雲 ∴f雲 f∴f∴雲 ∴f∴(雲 (x雲 x)=雲 )=4雲 4(雲 (x雲 x雲 雲 牛頓插值法雲 牛頓插值法
)=雲 )=3 雲 3 的多項式為:雲 的多項式為:f雲 f(雲 (x雲 xb雲
b、雲 、c雲
c
端 端 )=
端 )=17
端 17 f
端 f(
端 (4
端 4)=
端 )=19
端 19 的多項式為:
端 的多項式為:
端 端 、端 、b端 b、端 、c端 c、端 、d端 d為三次多項式,若端 為三次多項式,若 f端 f(端 (1981端 1981)=端 )=1端 1,端 ,f端 f(端 (1982端 1982
1985端 1985)= 。端 )= 。
1983端
1983) 端 )
學 學 7學 76學 6
1983學 1983)學 )
院院8院8‧院‧4院4+院+1院1=院=7院7
63高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2-7-E 試題精煉
1題 牛頓插值法
設 f(x) 為三次多項式,則:1 已知 f(-1)=f(-2)=0,f(1)=6,f(2)=48,求 f(0)=?2 已知 f(-1)=f(-2)=f(-3)=5,f(-4)=-7,求 f(0)=?3 已知 f(1)=7,f(2)=8,f(3)=13,f(4)=16,求 f(0)=?解
1 ∵f(-1)=f(-2)=0 ! 令 f(x)=(ax+b)(x+1)(x+2) ∵ f(1)=6
!#%f(2)=48
! 6(a+b)=6
!#%12(2a+b)=48
! a=3
!#%b=-2
∴f(x)=(3x-2)(x+1)(x+2) ! f(0)=-2‧1‧2=-42 ∵f(-1)=f(-2)=f(-3)=5 ! 令 f(x)=a(x+1)(x+2)(x+3)+5 ∵f(-4)=-7 ! a‧(-3)(-2)(-1)+5=-7 ! a=2 ! f(x)=2(x+1)(x+2)(x+3)+5 ! f(0)=2‧1‧2‧3+5=17
3 ∵f(1)=7,f(2)=8,f(3)=13 且 deg f(x)=3 ∴由牛頓插值法:
設 f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+ b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d
f(1)=d=7 ! d=7
!
!$$#$$%
f(2)=c+d=8 ! c=1 f(3)=2b+2c+d=13 ! b=2 f(4)=6a+6b+3c+d=16 ! a=-1 ∴f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)+ 2(x-1)(x-2)+(x-1)+7
! f(0)=-(-1)(-2)(-3)+2(-1)(-2) +(-1)+7
=6+4-1+7=16
2-2-8 拉格朗日插值法拉格朗日 (Lagrange) 插值多項式1 f(x) 為一次式: a、b 為相異數,且滿足 f(a)=p,f(b)=q 的最低次多項式:
f(x)=p‧(x-b)
a-b+q‧
(x-a)b-a
【說明】令 f(x)=k(x-b)+l(x-a)
x=a 代入:f(a)=k(a-b)=p ∴k=p
a-b ................1
x=b 代入:f(b)=l(b-a)=q ∴l=q
b-a ...............2
12代回 f(x)=p
a-b(x-b)+
qb-a(x-a)
翰 )=
翰 )= (
翰 ()=
翰 )= ,求
翰 ,求
林 )=
林 )=13
林 13,
林 ,f
林 f(
林 (4
林 4)=
林 )=16
林 16,求
林 ,求 f
林 f
林 林 林 林 a林 a=林 =3林 3!林 !#林 #!#!林 !#!
%林 %#%#林 #%#b林 b=-林 =-2林 2
3 林 3 ∵林 ∵f林 f∵f∵林 ∵f∵(林 (1林 1)=林 )= ∴由牛頓插值法:林 ∴由牛頓插值法:
設林 設 f林 f(林 (x林 x)=林 )= 林 f林
f(林
(1林
1)=林
)=!林
!$林
$!$!林
!$!
雲 雲 雲 )+
雲 )+5
雲 5=-
雲 =-7
雲 7
)+雲 )+5雲 5
$
雲 $%
雲 %$%$
雲 $%$
雲 f
雲 f(
雲 (4
雲 4)=
雲 )=
∴
雲 ∴f
雲 f ∴f ∴
雲 ∴f ∴(
雲 (x
雲 x)=-(
雲 )=-(
雲 !雲 ! f雲 f(雲 (0雲 0)=-雲 )=- 雲 =雲 =
端 端 端 端 拉格朗日插值法端 拉格朗日插值法
插值多項式端 插值多項式
)=端 )=p端 p,端 ,f端 f(端 (b端 b)=端 )=q端 q的最低次多項式:端 的最低次多項式:-端 -a端 a)端 )
學 (
學 ( )
學 )
k學 k(學 (a學 a-學 -b學 b)=學 )=p學 p ∴學 ∴k學 k=學 =學 p
學 p
a學 a-學 -l學 l(學 (b學 b-學 -a學 a)=學 )=q學 q ∴學 ∴l學 l=學 =學 b學 b-學 -學 -學 -b學
b(學 (x學 x-學 -b學 b)+學 )+學 q學 q
b學
b-學
-a學
a(學 (x學 x-學 -院
64 傅壹數學‧翰林雲端學院
2 f(x)為二次式: a、b、c 為相異數,且滿足 f(a)=p,f(b)=q,f(c)=r 的最低次多項式:
f(x)=p‧(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)
+q‧(x-a)(x-c)(b-a)(b-c)
+r‧(x-a)(x-b)(c-a)(c-b)
【說明】令 f(x)=k(x-b)(x-c)+l(x-a)(x-c)+m(x-a)(x-b)
x=a 代入:f(a)=k(a-b)(a-c)=p ∴k=p
(a-b)(a-c)
同理 l=q
(b-a)(b-c),m=
r(c-a)(c-b)
∴f(x)=p
(a-b)(a-c)(x-b)(x-c)+
q(b-a)(b-c)
(x-a)(x-c)
+r
(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)
〈口訣〉x 減其他,是誰代誰【範例】多項式 f(x)=ax2+bx+c 滿足 f(2010)=4,f(2011)=2,f(2012)=6,
請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。
解
1 利用牛頓插值法:
f(x)=a(x-2010)(x-2011) +b(x-2010) +c f(2010)=c=4 f(2011)=b+c=2 ∴b=-2 f(2012)=2a+2b+c=6 ∴a=3 ∴f(x)=3(x-2010)(x-2011)-2(x-2010)+42 利用拉格朗日插值法:
f(x)=f(2010)×(x-2011)(x-2012)
(2010-2011)(2010-2012)+f(2011)×
(x-2010)(x-2012)(2011-2010)(2011-2012)
+f(2012)×
(x-2010)(x-2011)(2012-2010)(2012-2011)
! f(x)=2(x-2011)(x-2012)-2(x-2010)(x-2012)+3(x-2010)(x-2011)
2-2-8-E 試題精煉1題 拉格朗日插值法
設 f(x)=19‧(x-1)(x-5)(7-1)(7-5)
+3‧(x-7)(x-1)(5-7)(5-1)
+19‧(x-7)(x-5)(1-7)(1-5)
,試求 f(x) 的
最小值為 。
解
〈key〉
f(x)= ‧(x-1)(x-5)(7-1)(7-5)
+ ‧(x-7)(x-1)(5-7)(5-1)
+ ‧(x-7)(x-5)(1-7)(1-5)
1� 由拉格朗日插值法知: f(1)=f(7)=19,f(5)=3 且 deg f(x)=2
2� 令 f(x)=a(x-1)(x-7)+19 ! f(5)=-8a+19=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x-1)(x-7)+19 =2x2-16x+33=2(x-4)2+1�1 ∴f(x) 的最小值=1
翰 (翰 (a翰 a)=翰 )=p翰 p,翰 ,f翰 f(翰 (b翰 b)=翰 )=q翰 q,翰 ,f翰 f(翰 (‧翰 ‧翰 (翰 (x翰 x-翰 -a翰 a)(翰 )(x翰 x-翰 -c翰 c)翰 )(翰 (b翰 b-翰 -a翰 a)(翰 )(b翰 b-翰 -c翰 c)翰 )+翰 +r翰 r林 k
林 k(
林 (a
林 a b
林 b)(
林 )(a
林 a c
林 c)=
林 )=p
林 p ∴
林 ∴
林 -林 -c林 c)林 ),林 ,m林 m=林 =林 r林 r(林 (c林 c-林 -a林 a)(林 )(c林 c-林 -林 -林 -c林 c)林 )(林 (x林 x-林 -b林 b)(林 )(x林 x-林 -c林 c)+林 )+林 (林
(x林
x a林
a)(林
)(x林
x b林
b)林
)
雲 +
雲 +c
雲 c滿足
雲 滿足 f
雲 f(
雲 (2010
雲 2010)=
雲 )=4
雲 4,
雲 ,f
雲 f
請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。雲 請以牛頓插值法與拉格朗日插值法兩種方法算出此多項式。
端 (
端 (x
端 x-
端 -2010
端 2010)+
端 )+4
端 4
端 -端 -2012端 2012)端 )
2010端 2010-端 -2012端 2012)端 )+端 +f端 f+f+端 +f+(端 (2011端 2011)×端 )×端 (端 (2011端 2011端 x端 x-端 -2011端 2011)端 )
2012端 2012-端 -2011端 2011)端 )
(
端 ( )(
端 )( )+
端 )+(
端 (
學 學 (學 (x學 x-學 -7學 7)(學 )(x學 x-學 -1學 1)學 )(學 (5學 5-學 -7學 7)(學 )(5學 5-學 -1學 1)學 )+學 +19學 19學 院院院院-
院-7
院7)(
院)(5
院5-
院-1
院1)
院)
)=院)=2院2 ∴
院 ∴f
院f ∴f ∴
院 ∴f ∴(
院(x
院x)=
院)=
=
院 =
∴院 ∴f院f ∴f ∴院 ∴f ∴(院(x院x)院)的最小值=院的最小值=
65高中數學(一)第 2 章 多項式函數
2-2-S 超越巔峰
1題
已知二次多項式 f(x)=x2+ax+b,且 x3+3x2+4x+2 除以 f(x) 其餘式為 3x+2, x3+x2-x-1 除以 f(x) 其餘式為 4x+1,試問下列敘述何者正確?(多選)A a=3 B b=-1 C方程式 f(x)=0 無實根
D f(x) 的極小值為 54 E f(x) 除以 (x+3) 其餘式為 1 7指考乙、武陵高中
解
2題
設 b>0,若多項式 f(x)=x4+x3-11x2+ax+6 可被 x2-bx-3 整除,請選出下列正確的選項?
A a=5 B b=2C f(x) 可被 x+1 整除 D f(x) 除以 x2+3x-2 的餘式為 x+1 臺中女中
解
翰 翰 ,且翰 ,且 x翰 x3翰 3+翰 +3翰 3x翰 x2翰 2+翰 +4翰 4x翰 x+翰 +2 翰 2 除以翰 除以+
翰 + ,試問下列敘述何者正確?(多選)
翰 ,試問下列敘述何者正確?(多選)
林 f
林 f(
林 (x
林 x)
林 )除以
林 除以(
林 (x
林 x+
林 +3
林 3)
林 )其餘式為
林 其餘式為
林 雲 端 11端 11x端 x2端 2+端 +ax端 ax+端 +6 端 6 可被端 可被 x端 x2端 2-端 -bx端 bx
B端 B b端 b=端 =2端 2D端 D f端 f(端 (x端 x)端 )除以端 除以 x端 x2端 2+端 +3端 3x端 x-端 -端 學 院
66 傅壹數學‧翰林雲端學院
3題
已知多項式 f(x) 分別除以 (x-a)(x-b),(x-b)(x-c),(x-c)(x-a) 之餘式為 3x+5,4x-1,5x-3,試求:1 a、b、c 之值。2 f(x) 除以 (x-a)(x-b)(x-c) 之餘式。 臺南女中
解
4題
設 f(x) 除以 x3+1 的餘式為 2x2+3x+1,若 x‧f(x) 除以 x2-x+1 的餘式為 ax+b,則 數對 (a�b)= 。 臺南一中
解
翰 )(翰 )(x翰 x-翰 -b翰 b),(翰 ),(x翰 x-翰 -b翰 b)(翰 )(x翰 x-翰 -c翰 c林 雲 端 3端 3x端 x+端 +1端 1,若端 ,若 x端 x‧端 ‧f端 f(端 (x端 x)端 )除以端 除以端 學 院
3解答專區
解答專區
7 1第 章 數與式 1-1 數與數線 1-1-1 數系的介紹與運算性質 實數 (R);有理數 (Q)(分數);整數 (Z); 實數;R,Q 筆 記 欄
整數;偶數;2k;ab�Z,b�0
8 1-1-1-E 試題精煉
題 1 〈key〉反證法 ×;○;×;×;○
題 2 �(21�51)=3 �a3
�Q ! a3l
�Q(l�N) �選CE
9 題 4 2×1=2;2×2=4 題 5 9×1=9;3×2=6 題 6 2×1×1=2;2×2×1=4; 1×2×1=2;2×1×2=4
10 1-1-2 無理係數,有理係數對應相等 【範例 1】b-d�0;b-d=0
1-1-2-E 試題精煉
題 1 � 3a-7b=-9 ............1
a+3b=13 ................2
題 2 �2-2�-3=0 .............1
a�+2=0 .....................2
11 1-1-3-E 試題精煉
題 1 ×;○;○;×;○
12 1-1-4 無限循環小數的公式
【法 1】3×13=3×0.333⋯;
1=0.999⋯; 【法 2】10a=9. #9=9+a; 9a=9 ! a=1 【範例 2】BC
1-1-4-E 試題精煉
題 1 56679990
;0.5#672
13 題 2 0. #0693
14 1-1-5-E 試題精煉
題 2 ○;×;○;○;×
題 3 ○;×;×;○;○
1-1-6-E 試題精煉
16 題 4 4�2∣xy∣
1-1-7 雙重根式的運算 【範例】
1 (�3 +1)2
2 20-2� 84
3 �4-2�3
4 4-2�3
2
17 1-1-7-E 試題精煉
題 3 (�10 -2)-1=�10 -3 題 4 2<a<3 ! a=2+b
18 1-1-8-E 試題精煉
題 1 �7<k<8 �a=7 19 題 2 �2 (�k>0) 題 3 2 �10 +�7
3 1
�7 +�6
20 1-1-9 乘法十大公式 4 a3+b3+3ab(a+b) 6 (a+b)(a2-ab+b2);(a+b)3-3ab(a+b) 7 (a-b)(a2+ab+b2)
【範例 1】(a+b)3-3ab(a+b); (a+b)2-4ab
【範例 3】(x+1x)+(
1x-x)=6
21 1-1-9-E 試題精煉
題 2 85×1=17×5 題 3 2x=10、4、-2 x=5、2、-1 �x�N �x=5、2
22 1-1-S 超越巔峰
題 1 1� 設 a+2b 為有理數 (否定結論) 則 a+2b�Q 2� �2a+b�Q a+2b�Q ! 2(2a+b)-(a+2b)�Q ! 3a�Q ! a�Q 與已知 a 為無理數矛盾 �a+2b 必為無理數
頁碼 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 1-1-6-E 翰 1-1-6-E
16
翰 16 題翰
題 題翰
題 4
翰 4 4翰
4�翰
�2翰
2
林 林 林 【範例】
林 【範例】 【範例】
林 【範例】
林 1
林 1
林 (
林 ((
林 ( �
林 � � 3 �
林 � 3 � +
林 +
林 2林 2 林 20林 20 -林 - 2林 2 林 3林 3 �林 ��4�林 �4�� -�林 � -�� 2�林 � 2�� ��林 � ��
林 4林 4林 林 4林 4-林 -2林 22林 217林 17林 林 林 林 1-1-7-E 林 1-1-7-E
雲 雲 雲 無理係數,有理係數對應相等雲
無理係數,有理係數對應相等
18
雲 18
雲 雲 雲 雲 1-1-8-E
雲 1-1-8-E
題
雲 題 題
雲 題 1
雲 1 �
雲 �7
雲 7<
雲 <
19雲 19 題雲 題 題雲 題 2雲 2 �雲 �2 雲 2 �2 �雲 �2 �
題雲 題 題雲 題 3雲 3 2雲 2 �雲 � 雲 雲 3雲 3雲 �雲 �20雲
20 1-1-雲 1-1- 1-1-雲 1-1-9 雲 9
端 端 端
端 7
端 7(
端 (a
端 a-
端 -b
端 b)(
端 )(
【範例
端 【範例 【範例
端 【範例 1
端 1】
端 】
(端 ( (端 (
【範例端 【範例 【範例端 【範例 3端 321端 21端 端 端 端 1-1-9-E 端 1-1-9-E
題端 題 題端 題 2端 2 85端 85×端 × 題
端 題 題
端 題 3
端 3
學 學 學
學
學 x
學 x
學
學 �
學 �x
學 x=
學 =
22學 22學 學 學 學 學 學 1-1-S 學 1-1-S
題學 題 題學 題 1學 1 1學 1�學 � 設學 設 則學 則 則學 則
學 學 2學 2�學 � �學 � a學 a a學 a !
學 ! !
學 !
院院院 與已知
院 與已知 與已知
院 與已知
院 院
4 傅壹數學‧翰林雲端學院
24 1-2 數線上的幾何 1-2-1 數線上的距離與分點公式
na+mbm+n
1-2-1-E 試題精煉
題 1 2 -2=2x+423+2
4 3(x-14)=±5(x+2) 25 題 3 ○;×;○;×;×
26 1-2-2 一次不等式 11 c>0;2 c<0 21 c>0;2 c<0
1-2-2-E 試題精煉
題 1 4 -1
2�
xy�
42;5 0
6 (x+2)2-4 7 (x+1)2+(y-3)2
8 -20�(x-3)(y+2)�5
27 1-2-3 一次絕對值不等式 【型 B】
1 -a�x�a 2 x�a 或 x�-a 3 1�x�3 或-3�x�-1 【範例】
2 │2x-1│�2 3 1�2x-1�3 或-3�2x-1�-1 4 0�│2x-1│�3 【型 C】
1 │x-32│�
52;2 │x-
32│�
52
28 1-2-3-E 試題精煉
題 1 2 5�│2x-3│<9
題 2 │-x+32│�
52
題 3 │x-32│�
52
1-2-4 三角不等式 ab�0 29 【範例】
1-2-4-E 試題精煉
題 1 2 -2�x�1 3 1 (x-1)+(x+2)=4 2 -(x-1)-(x+2)=4 題 2 k=3
題 2 1 設 �3 為有理數
��3 =ba,且令 (a�b)=1
a、b 為整數 平方移項,3a2=b2⋯⋯1
�3│b2 ! 3│b 可令 b=3k,k 為整數,代回1
得 3a2=(3k)2,即 a2=3k2
�3│a2,知 3│a,則 a、b 必有公因數 3,與 (a�b)=1 矛盾, 故 �3 為無理數 2 設 �3 +�5 =k 為有理數 則 �5 =k-�3 平方得 5=k2-2k�3 +3 �2k�3 =k2-2
得 �3 =k2-2
2k 則 �3 為有理數,與1矛盾
��3 +�5 為無理數
題 3 設此最簡分數=ba,且 a、b�N
由已知:a+b=50,ba
~ 0.52 ~ 12
�b ~ 50×13
~ 17
取 b=17,則 a=33
則 ba=
1733=0.515⋯⋯ ~ 0.52
23 題 4 �a=n+b,n�Z,0<b<1 �0<b2<1 �0<2b2<2 又 a=12-2b2
�10<a<12 ! 10<n+b<12 ! n=10 或 11 1� n=10,則 a=10+b �10+b+2b2=12 ! 2b2+b-2=0
�b=-1+�1+16
4=-1+�17
4 2� n=11,則 a=11+b �11+b+2b2=12 ! 2b2+b-1=0
�b=-1+�1+8
4=
12
�由 1�2� 知 b=-1+�17
4 或
12
題 5 1� a 與 b:��5 +�11 >�2 +�14 �a>b 2� a 與 c:��5 +�7 >�2 +�10 �a>c 3� b 與 c:��7 +�14 <�10 +�11 �b<c 由 1�2�3� 知:a>c>b
翰 翰 翰 24翰 24 1-2翰 1-2 1-2翰 1-2 數線上的幾何翰 數線上的幾何 1-2-翰 1-2- 1-2-翰 1-2-1 翰 1 翰 翰 na翰 na+翰 +mb翰 mbm翰 m+翰 +n翰 n翰 翰 翰 翰 1-2-1-E 翰 1-2-1-E
林 林 林 4
林 4 4
林 4 3
林 3
25
林 25 題
林 題 題
林 題 3
林 3 ○;×;○;×;×
林 ○;×;○;×;×
26林 26 1-2-林 1-2- 1-2-林 1-2-2 林 2 林 1林 11林 1 c林 c>林 >0林 0 林 2林 21林 1 c林 c>林 >0林 0 林 林 林 林 林 1-2-2-E 林 1-2-2-E
必有公因數
林 必有公因數
雲 雲 雲
雲
雲 7
雲 7 (
雲 (
8
雲 8 8
雲 8 -
雲 -
27雲 27 1-2-雲 1-2- 1-2-雲 1-2-3 雲 3 雲 【型雲 【型 B雲 B】雲 】 1 雲 1 1 雲 1 -雲 -a雲 a�雲 �x雲 x 雲 2 雲 2 x雲 x�雲 �a雲 a或雲 或 3 雲
3 3 雲
3 1雲 1�雲 �x雲 x�雲 �端 端 端
端 3
端 3 1
端 1�
端 �2
端 2x
端 x-
端 -
端 4
端 4 0
端 0�
端 �│
端 │2
端 2x
端 x
端 【型端 【型 C端 C】端 】 1 端 1 1 端 1 │端 │x端 x-端 -端 3端 32端 228端 28端 端 端 端 1-2-3-E 端 1-2-3-E
題端 題 題端 題 1端 1 2端 2 5端 5�端 �│端
│
學 學 學 題
學 題 題
學 題 3
學 3│
學 │x
學 x-
學 -
學 1-2-學 1-2- 1-2-學 1-2-4 學 4 ab學 ab ab學 ab�學 �0學 029學 29 【範例】學 【範例】 【範例】學 【範例】
學
學 學 學 學 學 學 學 學 院院院
院
院 3
院3
院 院
題院 題 題院 題 2院2 k院k=院=3院3�院��11 �院�11 �
5解答專區
34 1-1-E 考前衝刺 一 單選題
1 3245949950
=6491899900
=0.64#982
100-2=98,98÷3⋯2 ! 小數點以下第 100 位數=8 �選B
二 多選題
2 A ○: a+b�Q
a-b�Q
相加
2:a�Q,
相減
2:b�Q
B ×:�2 ×�2 =2�Q
�2 �2 =1�Q,但 �2 �Q
C ○;D ×:a3k�Q,k�Z
E ×:必須 a、b�Q,故選AC
3 A ○
B ○:0.123=1231000
;C ×;D ×
E ×:1
�2 -1=�2 +1;F ○
G ○:�361 =19;H ×:�0.001=1
1000
I ○:�0. $4=49=
23
J ×:�0. #1 $6 =16-1
90=
1590=
16
K ○:原式=(��+1 )2-(�� )2=1 故選ABFGIK
35 4 選ABDF
5 A ○:�3.52=12.25 ��13 �3.5 B �:�3.62=12.96 ��13 �3.6 C �:�(�13 -�3 )2=16-2�39 (�10 )2=10 !(�13 -�3 )2
�(�10 )2
! �13 -�3 ��10 D ○:�(�13 +�3 )2=16+2�39 (�16 )2=16 !(�13 +�3 )2
�(�16 )2
! �13 +�3 ��16
E �:1
�13 -�3 =
�13 +�3(�13 -�3 )(�13 +�3 )
=�13 +�3
10�
610=0.6
故選AD
三 填充題 6 (1+�2 )x2-2�2 x-1-3�2 =0 !(x2-1)+�2 (x2-2x-3)=0 �x�Q �x2-1=0 且 x2-2x-3=0 1� x2-1=0 ! x= 1 2� x2-2x-3=0 ! x=3 <-1 由 1�,2�:x=-1
30 1-2-5 絕對值函數圖形 最中間的零點;中間兩零點範圍
31 1-2-5-E 試題精煉
題 1
2�x�5 題 2 最小值=6,x=-1
32 1-2-6 一次絕對值方程式與不等式 【範例 1】
2 -x+4=10 ∴x=-6(不合) 3 -(x+1)-(2x-3)=10;
-3x+2=10 ∴x=-83(合)
x=4 或 -83
【範例 2】
2 x+(x-4)>1 ! 2x>3 ∴x>32
∵0�x�4 ∴32<x�4
3 -x+(x-4)>-1 ! -4>-1(不合)
x>32
1-2-6-E 試題精煉
33 題 2 (x-1)2<(2x-3)2
題 3 (x-1)(2x-3)�0
∴x�32
或 x�1
1-2-S 超越巔峰
題 1
1 a>5 2 a<5 3 a>5 4 a�5 題 2 ∵│x-7│+│2x+6│=│x+13│ ∴│7-x│+│2x+6│ =│x+13│ =│(7-x)+(2x+6)│ “=”成立時 (7-x)(2x+6)�0 !(x-7)(2x+6)�0 ∴-3�x�7
翰 翰 翰 34翰 34翰 1-1-E 考前衝刺翰 1-1-E 考前衝刺 翰 翰 一翰 一 單選題翰 單選題 翰 1翰 1翰 32459翰 3245949950翰 49950
翰
翰
100翰 100-翰 -2翰 2林 林 林
林 2
林 2 A
林 A ○:
林 ○:
林
林
林 林
林 林 B 林 B ×:林 ×: 林 林
C 林
C ○;林
○;
一次絕對值方程式與不等式
林 一次絕對值方程式與不等式
雲 雲 雲
雲
雲 B
雲 B ○:
雲 ○:
雲 雲 E 雲 E ×:雲 ×: 雲 雲 G 雲 G ○:雲 ○: 雲
雲
I 雲
I ○:雲
○:
端 端 端
端
端 K
端 K ○:原式=(
端 ○:原式=(
端 端 故選端 故選ABFGIK端 ABFGIK
35端 35 4端 4 選端 選ABDF端 ABDF
端 5端 5 A 端 A ○:端 ○: B 端 B B 端 B �端 � C 端 C C 端 C �端 � 端 端
學 學 學
學
學
學
學
E 學 E E 學 E �學 � 學 學
故選學 故選 故選學 故選AD學 AD
學 學 三學
三 填充題學
填充題
院院院 �
院 � �
院 �x
院x�
院�
院
院 1
院1�
院�
院 x
院x2
院2
院 院 2院2�院� 院 x院x2院2
由院 由 由院 由 1院 1�院�
6 傅壹數學‧翰林雲端學院
38 1-2-E 考前衝刺 一 單選題 1 由觀察可知該四個數可以視為數線上 �3 與 �7
之間的內分點。
如右圖所示,可其大
小關係為
c>a>b>d ! 故選E
二 填充題
2 a=3
3-�6 =�9 +�6 ! a2=15+2�54
b=5
�10 -�5 =�10 +�5 ! b2=15+2�50
c=11
�13 -�2 =�13 +�2 ! c2=15+2�26
∴a2>b2>c2 ! a>b>c 3 1 P� #AB 時:
x=(-5)×1+3×3
3+1=1
2 P 在 #AB 之外時:
(-5)×1+2x
2+1=3
! x=7
39 4 1� │x-1│�2,│2y+1│�5 !-1�x�3,-3�y�2 2� xy-x+3y+1=(x+3)(y-1)+4 ∵2�x+3�6,-4�y-1�1 !-24�(x+3)(y-1)�6 ∴M=6+4=10 m=-24+4=-20 !數對 (M�m)=(10�-20) 5 1 -4�x�10 !
!│x-3│�7 !│2x-6│�14 又 │hx-k│�14 ∴h=2,k=6 或 h=-2,k=-6 故數對 (h�k)=(2�6) 或 (-2�-6) 2 1� -4�x�10 !
!│x-3│�7 2� │x-3│�7 !│-x+3│�7
!│-13
x+1│�73
!│ax+1│�b
故 (a�b)=(-13�
73)
36 7 1� 16+�2#52 =16+2�#63 =(�9 +�#7 )2=3+�7 2� �8 -�28 =�8-2�7 =(�7 -�#1 )2
=�7 -1 3� x+y(3+�7 )=x(�7 -1)+5 !(x+3y)+y�7 =(-x+5)+x�7
! x+3y=-x+5
! x=1,y=1 y=x 故數對 (x�y)=(1�1)
8 已知△ABD∼△DBC,則 #AB#BD=
#BD#BC
! #BD 2=(1+�2 )(6+4�2 )=14+10�2 #AD 2=#AB 2+#BD 2
=(1+�2 )2+(14+10�2 ) =17+12�2 #AD=17+12 #�2 =17+2�#72 =�9 +�8 =3+2�2 �a=3,b=2,數對 (a�b)=(3�2)
9 根據算幾不等式 5a+3b
2��15ab
! 302��15ab ! ab�15
此時 5a=3b=15 ! a0=3,b0=5,M=6×15=90 �數對 (M�a0+b0)=(90�8)
37 0 (3�x +
2�y )
2
=9x +
12�xy
+4y
=1+12�xy
利用算幾不等式:
1=9x +
4y �2
9x ‧
4y =
12�xy
所求最大值=1+1=2 四 計算題 q 1�令矩形長為 2x 公尺,寬為 y 公尺 則 202=x2+y2 �x2+y2=400 2��x2+y2
�2�x2y2 �400�2xy 2xy 之最大值為 400 �面積之最大值為 400 3�此時 x2=y2=200 �x=y=10�2 長:2x=20�2 ,寬:y=10�2 w 1��0�b<1 ! 0�b2<1 ! 0�2b2<2 �a2+2b2=15 �13<a2
�15 ! 3<a<4 2�令 a=3+b 則 a2+2b2=(3+b)2+2b2=15 ! 3b2+6b+9=15 ! b2+2b-2=0 ! b=-1 �3 (負不合),b=-1+�3 �a=3+b=2+�3 ! a+2b=(2+�3 )+2(-1+�3 )=3�3
翰 翰 翰 38翰 38翰 1-2-E 考前衝刺翰 1-2-E 考前衝刺 翰 翰 一翰 一 單選題翰 單選題 翰 1翰 1 由觀察可知該四個數可以視為數線上翰 由觀察可知該四個數可以視為數線上之間的內分點。翰 之間的內分點。 如右圖所示,可其大翰
如右圖所示,可其大
�翰 ��7 �翰 �7 �
翰 �翰 � �翰 � #翰 # #翰 # �1 �翰 �1 � � 1 �翰 � 1 � )翰 )2翰 2
�
翰 �
林 林 林
林
林 二
林 二 填充題
林 填充題
林 2林 2 a林 a=林 =林 3林 3-林 - 林 林 b林 b=林 =林 �林 ��10 �林 �10 �
林 林 c林 c=林 =林 �林 ��13 �林 �13 �
∴林
∴ ∴林
∴ 2林
2>林
>
10林 10�林 ��2�林 �2�
雲 雲 雲 x
雲 x x
雲 x
雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 雲 2 雲 2 2 雲 2 P雲 P在雲 在 雲 雲 雲 (-雲 (- 雲 雲 !雲 ! x雲 x端 端 端
39
端 39 4
端 4 1
端 1 │
端 │x
端 x
端 !
端 !-
端 -
端 端 2端 2�端 � xy端 xy-端 - ∵端 ∵ ∵端 ∵2端 2 !端 ! !端 !-端 - ∴端 ∴ ∴端 ∴M端 M m端 m m端 m 端
!端
!數對端
數對
學 學 學 !
學 ! !
學 !│
學 │
學
學 又
學 又
學 學 ∴學 ∴h學 h 學 學 故數對學 故數對 學 學 2學 2 1學 1�學 � -學 - 學 學
!學
! !學
!
2學 2
院院院 !
院 ! !
院 !
院 院
0
院0+院+�院��3 �院�3 �
)=院)=3院3�院��3�院�3�
7解答專區
42 2-1-2 直線的斜率 縱軸差;橫軸差
43 2-1-3 線型函數 一次函數;零次函數;零函數
44 2-1-4 二次函數的圖形 【型】
2拋物線
【結論】
1向上;向下 2愈小;愈大 3頂點
4配方法
46 2-1-6 二次函數求解的三大型態 1 y=a(x-h)2+k 2 y=a(x-x1)(x-x2)
3 y=ax2+bx+c
51 2-1-10 二次函數與一般函數的平移 【二次函數平移】
y-k=a(x-h)2;y-k=a(x-h)2;y-5=2(x-3)2
52 【一般函數平移】
y-k=f(x-h);y+2=(x-3)3
53 2-1-S 超越巔峰
題 1 A ○:f1(-x)=(-x)4-3(-x)2-4 =x4-3x2-4=f1(x) B ○:f2(-x)=│-x+3│+│-x│+│-x-3│ =│x-3│+│x│+│x+3│=f2(x) C ×:f3(-x)=(-x+2)2+(-x-3)2
+〔-2(-x+1)2〕
=6x+11 f3(x)=(x+2)2+(x-3)2
+〔-2(x+1)2〕
=-6x+11 D ○:f4(-x)=(x2+2x+4)(-x+2) -(x2-2x+4)(-x-2) =-(x2+2x+4)(x-2) +(x2-2x+4)(x+2)=f4(x)
E ○:f5(-x)=g(-x)+g(x)
2=f5(x)
故選ABDE
題 2 f(x)=a(x2+2x)+b=a(x+1)2+b-a ! 對稱軸方程式:x=-1 1 a>0
如圖:最大值=f(1)=a+2a+b=7 最小值=f(-1)=a-2a+b=3 ∴a=1,b=4
6 x�28 或 x�-12 !│x-8│�20 !│-x+8│�20
!│-14
x+2│�5
∴a=-14,b=5,故數對 (a�b)=(
-14�5)
40 7 分三段討論:
1 當 x�1:(x+3)-(x-1)=x+1 ! x=3 2 當-3�x<1:(x+3)-(1-x)=x+1 ! x=-1 3 當 x<-3:(-x-3)-(1-x)=x+1 ! x=-5 綜合123,x=-5、-1、3 三 計算題 8 ∵│x-3│�1 ∴2�x�4 ∵│y-1│�2 ∴-1�y�3 1
4�2x �8+)-3�3y �9 1�2x+3y�17
2
4� 2x �8+)-9�-3y �3 -5�2x-3y�11
3 -4�xy�12 4
4�x2 �16+)0� y2 �9 4�x2+y2
�25 9 1� x�2:(x-2)-3(x+1)>2x-9 ! x<1(不合) 2� -1�x�2:(-x+2)-3(x+1)>2x-9
! x<43 ∴-1�x<
43
3� x�-1:(-x+2)+3(x+1)>2x-9 ! 5>-9(合) ∴x�-1
由 1�2�3�,x<43
41 2第 章 多項式函數 2-1 簡單的多項式函數及其圖形 2-1-1 函數的定義與奇偶函數 【函數的定義】
每一個;唯一;y 是 x 的函數;自變量;應變量 1 1 -f(x) 2 f(x) 2 討論:一對一;多對一;一對多;一對無
2-1-1-E 試題精煉
×;○;×;×;×
翰 翰 翰 42翰 42 2-1-翰 2-1- 2-1-翰 2-1-2 翰 2 縱軸差;橫軸差翰 縱軸差;橫軸差 縱軸差;橫軸差翰 縱軸差;橫軸差
43翰 43 2-1-翰 2-1- 2-1-翰 2-1-3 翰 3 翰 一次函數;零次函數;零函數翰 一次函數;零次函數;零函數
林 林 林
林 2
林 2拋物線
林 拋物線
林 【結論】
林 【結論】
林 1林 1向上;向下 林 向上;向下 林 4林 4配方法林 配方法46林 46 2-1-林 2-1- 2-1-林 2-1-6 林 6 林 1林 1 y林 y=林 =a林 a(林 (x林 x 林 2林 2 y林 y=林 =a林 a(林 (x林 x
3
林 3
2林
2
!林 ! x林 x=林 =3林 3+林 +1林 1
+林 +1林 1
雲 雲 雲
雲 【二次函數平移】
雲 【二次函數平移】
y
雲 y y
雲 y-
雲 -k
雲 k=
雲 =a
雲 a(
雲 (x
雲 x
52雲 52 【一般函數平移】雲 【一般函數平移】
y雲 y y雲 y-雲 -k雲 k=雲 =f雲 f=f=雲 =f=(雲 (x雲 x53雲 53雲 雲 雲 雲 雲 雲 2-1-S 雲 2-1-S
題雲 題 題雲 題 1雲 1 A 雲 A ○:雲 ○: =雲 = =雲 =
端 端 端
端
端 C
端 C ×:
端 ×:
端
端 =端 = =端 =
f端 f f端 f 端 端 =-端 =- =-端 =-
端 端 D 端 D ○:端 ○: -端
- -端
-
2端 2x端 x-端 -9端 9
<端 <端 4端 43端
3
學 學 學
學
學 E
學 E ○:
學 ○:
故選學 故選 故選學 故選
題學 題 題學 題 2學 2 f學 f(學 (x學 x)=學 )= !學 ! !學 !對稱軸方程式:學 對稱軸方程式: 1 學 1 1 學 1 a學 a的函數;自變量;應變量
學 的函數;自變量;應變量
院院院
院
院
如圖:最大值=
院 如圖:最大值= 如圖:最大值=
院 如圖:最大值=
最小值=院 最小值= 最小值=院 最小值=
∴院 ∴ ∴院 ∴
討論:一對一;多對一;一對多;一對無
院討論:一對一;多對一;一對多;一對無
8 傅壹數學‧翰林雲端學院
2-2-3-E 試題精煉
題 1 A ×;3;3;被除式;除式;商式;餘式
B ○;被除式;2;12;除式;商式;餘式
C ×;4;4;4;被除式;除式;商式;餘式 D ×;x;x;x
E ○;xa;
xa
58 2-2-4 多項式的綜合除法 2x2+6x-15;31 【綜合除法】-2;-4-12+30;2+6-15; +31;2x2+6x-15
2-2-4-E 試題精煉
題 1 2 被除式;(x2-3x);除式;商式;餘式
59 2-2-5 綜合除法的應用 d;c;b;a;〔(x-2)(2x+7)+24〕; 〔(x-2)‧2+11〕
2-2-5-E 試題精煉
題 1 2 由後往前代入;太小可省略
60 題 2 1 1;6;13;7 2 由後往前代入;太小可省略
2-2-6 餘式定理
【定理】f(ba)
【討論】1 f(23)=5
2 f(x)÷(3x-2)⋯⋯5
61 2-2-6-E 試題精煉
題 2 ax+b ;a(x-2)+b 題 3 〈key〉a(x-�)(x-�)+b(x-�)+c 〈法一〉(ax 2+bx+c); 〈法二〉a(x-1)(x+1)+b(x-1)+c 62 題 4 k(x 2+3x+4)+(x+2); k(ax 2+bx+c)+r 1(x)
2-2-7 牛頓插值法 a(x+1)(x-1)+b(x-1)+c; a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2) +c(x-1)+d
64 2-2-8-E 試題精煉
題 1 f(7);f(5);f(1)
65 2-2-S 超越巔峰
題 1 由題:
x3+3x2+4x+2=(x2+ax+b)Q1(x)+3x+2 x3+x2-x-1=(x2+ax+b)Q2(x)+4x+1
! x3+3x2+x=(x2+ax+b)Q1(x)
x3+x2-5x-2=(x2+ax+b)Q2(x)
2 a<0
如圖:最大值=f(-1)=a-2a+b=7 最小值=f(1)=a+2a+b=3 ∴a=-1,b=6 由12知 (a�b)=(1�4) 或 (-1�6)
54 題 3 AB 由題圖知 a<0,x=-b2a<0
! b<0,又令 x=0,y=c>0 ! a<0,b<0,c>0 ! bc<0,ab>0 又直線 y=bcx+ab 的斜率 bc<0 令 x=0 ! y=ab>0 ! AB錯
CD a>0,x=-b2a>0 ! b<0,又 c<0
! a>0,b<0,c<0 ! bc>0,ab<0 ! C對
E -b2a=0,c<0
! a>0,b=0,c<0 ! bc=0,ab=0 ∴y=0 表 x 軸,不合 故選C
題 4 ∵�x�R, (m-2)x2+2(2m-3)x+(5m-6)>0 無解 即�x�R, (m-2)x2+2(2m-3)x+(5m-6)�0 恆成立 m-2<0 ! m<2 ...............1
!D�0 !(2m-3)2-(m-2)(5m-6)�0
! (m-3)(m-1)�0 ! m�3 <m�1 ........2 由1∩2! m�1 題 5 ∵f(x)=ax2+bx+c
x → x+1
y → y+2 y-2=a(x-1)2+b(x-1)+c
! y=a(x-1)2+b(x-1)+c+2 ∴g(x)=a(x-1)2+b(x-1)+c+2 ∴g(2)-f(1)=(a+b+c+2)-(a+b+c)=2
55 2-2 多項式的運算與應用 2-2-1 多項式的定義與次數 1 正整數;零
56 2-2-2 多項式的係數和 1 f(0) 2 f(1);f(1)-f(0)
3 f(1)+f(-1)
2 4
f(1)-f(-1)2
57 2-2-3 多項式的除法原理 deg r(x)<deg b(x);r(x)=0
翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 翰 2-2-3-E 翰 2-2-3-E
題翰 題 題翰 題 1翰 1 A 翰 A ×;翰 ×; 翰 B 翰 B ○;被除式;翰 ○;被除式; 翰
C 翰
C ×;翰
×;
林 林 林 58林 58 2-2-林 2-2- 2-2-林 2-2-4 林 4 2林 2 2林 2x林 x2林 2+林 +6林 6x林 x-林 - 林 【綜合除法】林 【綜合除法】
+林 +
林 林 林 林 林 2-2-4-E 林 2-2-4-E
題林
題 題林
題 1林
1 2林
2 被除式;(林
被除式;(
6林 6)林 )
,林 ,ab林 ab>林 >0林 0<林 <0林 0
雲 雲 雲 〔(
雲 〔(x
雲 x-
雲 -2
雲 2)‧
雲 )‧
雲 雲 雲 雲 雲 2-2-5-E 雲 2-2-5-E
題雲 題 題雲 題 1雲 1 2雲 2 由後往前代入;太小可省略雲 由後往前代入;太小可省略60雲 60 題雲 題 題雲 題 2雲 2 1雲 1 1雲 1 雲 2雲 2 由後往前代入;太小可省略雲 由後往前代入;太小可省略 2-2-雲 2-2- 2-2-雲 2-2-6 雲 6
ab雲 ab=雲 =0雲 0
端 端 端
端 【討論】
端 【討論】1
端 1
端 端 2端 261端 61端 端 端 端 2-2-6-E 端 2-2-6-E
題端 題 題端 題 2端 2 ax端 ax+端 + 題端 題 題端 題 3端 3 〈端 〈key端 key 端 端 〈法一〉(端 〈法一〉(
0
端 0 恆成立
端 恆成立
m端 m-端 -6端 6)端 )�端 �0端 0
學 學 學
學
學 k
學 k(
學 (ax
學 ax
2-2-
學 2-2- 2-2-
學 2-2-7
學 7
a學 a a學 a(學 (x學 x+學 +1學 1)(學 )(x學 x a學 a a學 a(學 (x學 x-學 -1學 1)(學 )(x學 x+學 +c學 c(學 (x學 x-學 -1學 1)+學 )+64學 64學 學 學 學 2-2-8-E 學 2-2-8-E
題學
題 題學
題 1學
1 f學 f(學 (7學 7);學 );b學 b+學 +c學 c)=學 )=2學 2
院院院
院
院 x
院x3
院3
院 院 院x院x3
院3
!院 ! !院 ! 院 院 院
9解答專區
67 2-3 多項式方程式 2-3-1 虛數 i 的定義 ○;×;○;○;×
68 2-3-1-E 試題精煉
題 2 ○;○;×;○;×
69 2-3-2 複數的定義 z 為實數;z 為純虛數或 0
71 2-3-3-E 試題精煉
題 2 ×;×;×;○;×
75 2-3-8 牛頓定理 整係數;(a�b)=1;(ax-b)│f(x)
76 2-3-8-E 試題精煉
題 2 (1)(-1)(3)(-3) 題 3 (1)+(-1)+(2)+(-5); (1)(-1)(2)(-5)
80 2-3-S 超越巔峰
題 1 ∵ x+y=1
xy=-4 ! x,y 異號
∴所求=yx+
xy-2
yx‧
xy
=
yx+
xy+2
=x2+y2
xy+2
=(x+y)2-2xy
xy+2
=-14
題 2 令 z=x+yi ∴(x+yi)2=x2+2x‧yi+(yi)2
=(x2-y2)+2xyi =-24+10i
∴ x2-y2=-24
2xy=10 !(x�y)=±(1�5) ∴z=±(1+5i) 題 3 由題意知:
與 x 軸 3 交點 ! 2 相異實根+2 重根 A ×:4 實根 B ×:-4�x�-1 或 x=3 C ○:令 y=f(x),y=x ! 2 圖形有 2 交點 ∴有 2 實根 D ○:f(m)=n E ○
∴選CDE
! x2+ax+b│x3+3x2+x=x(x2+3x+1)
x2+ax+b│x3+x2-5x-2=(x-2)(x2+3x+1) ∴f(x)=x2+ax+b=x2+3x+1 ∴a=3,b=1 A ○;B ×
C ×:f(x)=x2+3x+1 ! D=32-4‧1>0 ∴相異兩實根
D ×:f(x)=x2+3x+1=(x+32)
2
-54�-
54
E ○:f(-3)=(-3)2+3‧(-3)+1=1 ∴選AE
題 2 f(x)=x4+x3-11x2+ax+6 =(x2-bx-3)(x2-cx-2)
比較係數: x3:1=-b-c
x2:-11=-3+bc-2
! b=2
c=-3 ∴f(x)=(x2-2x-3)(x2+3x-2) =x4+x3-11x2-5x+6 ! a=-5 A ×;B ○
C ○:f(x)=(x2-2x-3)(x2+3x-2) =(x-3)(x+1)(x2+3x-2) D ×:�f(x)=(x2-2x-3)(x2+3x-2) 66 題 3 1 設 f(x)=(x-a)(x-b)q1(x)+3x+5 =(x-b)(x-c)q2(x)+4x-1 =(x-c)(x-a)q3(x)+5x-3 f(a)=3a+5=5a-3 ! a=4 f(b)=3b+5=4b-1 ! b=6 f(c)=4c-1=5c-3 ! c=2 2 令 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)
+k(x-a)(x-b)+3x+5 =(x-4)(x-6)(x-2)Q(x)
+k(x-4)(x-6)+3x+5 f(2)=k‧(-2)‧(-4)+11=7
! k=-12
∴餘式=-12(x-4)(x-6)+3x+5
=-12
x2+8x-7
題 4 ∵f(x)=(x3+1)Q(x)+(2x2+3x+1) ∴xf(x) =x(x+1)(x2-x+1)Q(x)+x(2x2+3x+1) =x(x+1)(x2-x+1)Q(x)+2x3+3x2+x =x(x+1)(x2-x+1)Q(x)
+(2x+5)(x2-x+1)+(4x-5) =(x2-x+1)〔x(x+1)Q(x)+(2x+5)〕
+(4x-5) ! 所求=4x-5 ∴數對 (a�b)=(4�-5)
翰 翰 翰 67翰 67 2-3翰 2-3 2-3翰 2-3 多項式方程式翰 多項式方程式 2-3-翰 2-3- 2-3-翰 2-3-1 翰 1 翰 ○;×;○;○;×翰 ○;×;○;○;×
68翰 68翰 翰 翰 翰 2-3-1-E 翰 2-3-1-E
題翰
題 題翰
題 2翰
2 ○;○;×;○;×翰
○;○;×;○;×
+翰 +1翰 1)翰 )
x翰 x2翰 2+翰 +3翰 3x翰 x+翰 +1翰 1)翰 )
林 林 林
林 z
林 z為實數;
林 為實數;
71
林 71
林 林 林 林 2-3-3-E
林 2-3-3-E
題林 題 題林 題 2林 2 ×;×;×;○;×林 ×;×;×;○;×75林 75 2-3-林 2-3- 2-3-林 2-3-8 林 8 整係數;(林 整係數;( 整係數;(林 整係數;(
76林 76林 林 林 林 2-3-8-E 林 2-3-8-E
題
林 題 題
林 題 2
林 2(
林 (1林
1)林
)(-
林 (-
林 4
林 4�
林 �-
林 -
林 4
林 4
)+林 )+1林 1=林 =1林 1
雲 雲 雲 80
雲 80
雲 雲 雲 雲 雲 雲 2-3-S
雲 2-3-S
題雲 題 題雲 題 1雲 1 ∵ 雲 ∵ x雲 x 雲 雲 雲 xy雲 xy !雲 ! !雲 ! x雲 x ∴所求=雲 ∴所求= ∴所求=雲 ∴所求=
2雲 2)雲 )
-雲 -2雲 2)雲 )
x雲 x-雲 -2雲 2)雲 )
x雲
x+雲 +5雲
5
端 端 端 =
端 = =
端 =
=端 = =端 =
=-端 =- =-端 =-
題端 題 題端 題 2端 2 令端 令 z端 z=端 = 端 端 ∴端 ∴(端 (x端 xQ端 Q(端 (x端 x) 端 )
+端 +5端 5Q端 Q(端 (x端 x) 端 )
+端 +5端 57端
7
學 學 學 ∴
學 ∴ ∴
學 ∴
學
學
學 學 學 !學 !(學 (x學 x ∴學 ∴ ∴學 ∴z學 z=±(學 =±( 題學 題 題學 題 3學 3 由題意知:學 由題意知: 學 與學 與 x學 x軸學 軸 學 學 A 學 A ×:學 ×: 學 學 B 學 B ×:-學 ×:-+
學 +5
學 5
)學 )
+學 +3學 3x學 x+學 +1學 1)學 )2
學 2
院院院 ∴有
院 ∴有 ∴有
院 ∴有
院
院 D
院D
院 院 E 院E
∴選院 ∴選 ∴選院 ∴選
x
院x+
院+5
院5)
院)〕
院〕