Dynamická metóda popisu častíc plynu

• Poloha a rýchlosť častíc v ľubovoľnom čase poskytujú najpodrobnejšiu informáciu o systéme častíc

V 1cm3 vzduchu sa nachádza 2,7 x 1019 molekúl ~ 6 x 1010 miliard číselNa Zemi žije 6 miliard ľudí 1miliarda molekúl molekúl ~ 1 človeku na ZemiAk zmeníme smery rýchlosti u 1 miliardy molekúl nepodstatná zmena (1 človek) 1 molekula sa zrazí s 109 molekúl za sekundu Nepodstatná zmena v súborespôsobí závažnú zmenu v systéme. Zmena rýchlostí

Dynamický popis systému častíc nie je možný z technických dôvodov, ale nemá ani praktický význam

Základné pojmy z teórie pravdepodobnosti

Náhodné premené

Spojité(rýchlosti molekúl)

Diskrétne(hod kockou)

Základné pojmy z teórie pravdepodobnosti

ii

Nw

N

lim ii

N

Nw

N

Diskrétne náhodné premenné

1

( ) 1k

ii

w v

Normovacia podmienka:

Majme N náhodných pokusov. Ak i-ty náhodný jav nastane Ni krát, potom pod relatívnou početnosťou i-teho náhodného javu budeme rozumieť:

Pravdepodobnosť i-teho javu

v

vvvwvρ

v Δ

)Δ,(lim)(Δ

0hustota pravdepodobnosti:

vvv Δ, vvρw Δ)(Δ pravdepodobnosť, že výsledok pokusuje z intervalu :

Normovacia podmienka: ( ) 1v dv

Spojité náhodné premenné

Základné charakteristiky štatistických súborov

Stredná hodnota

Stredná kvadratická hodnota

Stredná hodnota funkcie

Rozptyl

i ii

x Px

2 2i i

i

x Px

( ) ( )i ii

f x P f x

22

i ii

P x x

( )x x x dx

2 2 ( )x x x dx

( ) ( ) ( )f x f x x dx

22 2x x

Diskrétne funkcie Spojité funkcie

Maxwellove rozdelenie rýchlostí molekúl

PREDPOKLADY:• 1, pohyb molekúl je chaotický => vektory

rýchlosti jednotlivých molekúl (aj ich zložiek) sú nezávislé.

• 2, izotropnosť rýchlostného priestoru (nijaký smer nie je v rýchlostnom priestore uprednostnený)

( ) ( ) ( ) ( )x y zv v v v DOSLEDOK:

Rozdeľovacia funkciaVÝSLEDOK:

21/ 2

2( )2

ym

vkT

y

mv e

kT

21/ 2

2( )2

xm

vkT

x

mv e

kT

21/ 2

2( )2

zm

vkT

z

mv e

kT

2 2 23/ 2

2( , , )2

x y zm

v v vkT

x y z

mv v v e

kT

( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y zv v v v v v

Interpretáciapravdepodobnosť, že náhodne vybraná molekula bude mať rýchlosť, ktorej zložky sú z intervalu:

),(),,(),,( zzzyyyxxx dvvvdvvvdvvv

:

2 2 23/ 2

2( , , )2

x y zm

v v vkT

x y z x y z

mw v v v e dv dv dv

kT

2 2 23/ 222( ) 4

2

x y zm

v v vkTm

w v e v dvkT

pravdepodobnosť, že náhodne vybraná molekula bude mať veľkosť rýchlosti z intervalu ),( dvvv

:

( )v

Tvary rozdeľovacích funkcií23/ 2

2( )2

xm

vkT

x

mv e

kT

23/ 2

2( )2

xm

vkT

x

mv e

kT

23/ 222( ) 4

2

mv

kTmv e v

kT

Symetrická funkcia

Najpravdepodobnejšia rýchlosť

Pomocné integrály

2 32

0

1

2xe x dx

2 45/ 2

0

3

8xe x dx

Charakteristické rýchlosti

0)(vρdv

d

m

kTv p

2

0

dvvρvv )( 8 41.13p p

kTv v v

m

0

2 dvvρvvk )( 3 31.22

2k p p

kTv v v

m

najpravdepodobnejšia

stredná

kvadratická

Zhrnutie

Experimentálne overenie M. rozdelenia

• Lammert – rotujúce dosky

dtv

zväzok molekúl vymedzený štrbinou

dv

Na doske K2 sa vytvorí naparená vrstvička, ktorej hrúbka je úmerná počtu molekúl, pre ktoré je splnená podmienka

selektor rýchlosti

Čas letusúradnica doletu na doske K2

dt

v

dt

v

Dôsledky MR

Energia protónov v strede Slnka – 1.3 keVBariera (elektrostatické sily) 400 keVIzbovej teplote prislúcha 0.03keV

Veľmi rýchle protóny z konca rozdelenia dosahujú požadovanú energiu

Svetlo Slnka – termojadrová fúzia

Dážď – vyparovanie(vačšina častíc nedostatočná energia)

PríkladUvažujte 22 častíc. Ich rýchlosti sú dané

nasledovnou tabuľkou (Ni-označuje počet častíc, ktoré majú rýchlosti vi)

Vypočítajte strednú rýchlosť, strednú kvadratickú rýchlosť, najpravdepodobnejšiu rýchlosť

3.2 cm s-1, 3.4 cm s-1, 4 cm s-1

Príklad

0.262 percent23 1

23 1

1,38 10

6,02 10A

k JK

N mol

Príklad

• A, Určte hodnotu a, pomocou N a v0

• B, Koľko častíc má rýchlosť medzi

1.5v0 a 2.0v0

• C, Určte strednú rýchlost častíc

• D, Určte strednú kvadratickú rýchlosť

Na obrázku je graf rozdelenia pravdepodobnosti rýchlostí hypotetickej vzorky častíc plynu.

Príklad

• Predpokladajme, že strieľame z dvoch miest vzdialených o L strely, z jedného konca rýchlosťou v, z druhého rýchlosťou 2v. Druhý strelec vystrelí náhodne (v ľubovoľnom čase) po prvom strelcovi. Určte strednú vzdialenosť stretnutia oboch striel

Boltzmanove rozdelenie rýchlostí

Plyn v silovom poli, izotermická atmosféra

0p

kTE

kTE

p

dEe

eEρ

p

p

/

/

)(

Ťažšie molekuly sa viac koncentrujú v nižších hĺbkach na rozdiel od ľahších

Atmosféra planét

• rozptyl atmosféry planéty (konečný počet častíc)

• úniková rýchlosť (2. kozmická rýchlosť) pre ťažké planéty väčšia ako pre ľahké ľahké planéty strácajú atmosféru rýchlejšie ako ťažké

00

1( ) ( )exp( )

mMn r n r K

kT r

2II

Mv K

R

Príklady

• Dusík sa nachádza v sude s veľkou výškou v homogénnom gravitačnom poli pri teplote T. Teplota sa zmenila krát. Najdite výšku na ktorej sa koncentrácia častíc nezmenila.

• Určte ako sa mení koncentrácia plynu v zrýchľujúcom sa aute