1

Dubbel exponentiell utjämning

Data antas här innehålla en linjär trend.

Modell:

Vanligtvis används två utjämningsparametrar och (Holt’s metod):

Uppdateringsschema:

Prognoser:

tt ty 10

nT

bb

by

TTTT

TTTT ,,1)1(][

)1(

11

11

TTT by ˆ

2

StatTimes SeriesDouble Exp Smoothing…

Två utjämningspara-metrar (alpha och gamma)

Prognos i en tidpunkt begärs

3

Actual

Predicted

Actual

Predicted

151050

150

145

140

C2

Time

MSD:MAD:MAPE:

Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

10.9602 2.6536 1.8209

1.1250.218

Double Exponential Smoothing for C2

På datamaterialet från förra föreläsningen:

4

Actual

Predicted

Forecast

Actual

Predicted

Forecast

20100

180

170

160

150

140

C2

Time

MSD:MAD:MAPE:

Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

10.9602 2.6536 1.8209

1.1250.218

Double Exponential Smoothing for C2

5

Eftersom datamaterialet inte har någon trendstruktur så fungerar inte dubbel exponentiell utjämning (gamma >1).

Prognoserna blir orimliga.

6

Exempel: Miljöstatistik!

Nedanstående diagram visar koncentrationen i juli månad av kväve i alla dess tänkbara former i Råån vid Helsingborg, åren 1987-2001.

Diagrammet tyder på en nedåtgående trend. Vad kan värdet i juli 2002 tänkas bli?

7

Double Exponential Smoothing

Data Total N

Length 15.0000

NMissing 0

Smoothing Constants

Alpha (level): 0.2

Gamma (trend): 0.2

Accuracy Measures

MAPE: 46

MAD: 1873

MSD: 5111241

Row Period Forecast Lower Upper

1 16 2560.25 -2027.82 7148.32

8

9

10

11

utjämnade serien

‘one-step-ahead’ forecasts:

successiva prognoser

12

Exponentiell utjämning av tidsserier med trend och säsong:

• (Holt-)Winters’ additiva metod

• (Holt-)Winters’ multiplikativa metod

Bägge metoderna använder tre utjämningsparametrar , ,

för nivå, lutning och säsongssvängning.

Val av metod görs enligt samma principer som vid klassisk komponentuppdelning.

13

Exempel: Kvartalsvisa försäljningsdatayear quarter sales

1991 1 124

1991 2 157

1991 3 163

1991 4 126

1992 1 119

1992 2 163

1992 3 176

1992 4 127

1993 1 126

1993 2 160

1993 3 181

1993 4 121

1994 1 131

1994 2 168

1994 3 189

1994 4 134

1995 1 133

1995 2 167

1995 3 195

1995 4 131

5 10 15 20

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Index

sale

s

14

StatTime SeriesWinters’ Method…

15

Winters' multiplicative model

Data sales

Length 20.0000

NMissing 0

Smoothing Constants

Alpha (level): 0.2

Gamma (trend): 0.2

Delta (seasonal): 0.2

Accuracy Measures

MAPE: 2.6446

MAD: 3.8808

MSD: 23.7076

Row Period Forecast Lower Upper

1 21 135.625 126.117 145.133

2 22 174.430 164.724 184.136

16

17

18

Ingen möjlighet att låta MINITAB välja den bästa uppsättningen av parametrar. Man måste prova sig fram.

Om man har en tidsserie som ovan, med tydliga säsongskomponenter som inte ändrar sig över tiden och en linjär trend, så finns det inga fördelar med exponentiell utjämning framför klassisk komponentuppdelning.

19

20

Däremot kan det vara bra att använda exponentiell utjämning om komponenterna ändras över tiden och om det finns tydliga cykliska komponenter.

68

63

58

600500400300200100

Va

lue

Index

21

Tidsserie över procentsats anställda i USA

68

63

58

600500400300200100

Va

lue

Index

22

Tidsserie över procentsats anställda i USA

Actual

Predicted

Actual

Predicted

6005004003002001000

68

63

58

Time

Va

lue

MSD:MAD:MAPE:

1.059570.864931.41980

Decomposition Fit for Value

23

Klassisk komponentuppdelning med prognoser 12 månader

Actual

Predicted

Forecast

Actual

Predicted

Forecast

6005004003002001000

68

63

58

Time

Va

lue

MSD:MAD:MAPE:

1.059570.864931.41980

Decomposition Fit for Value

24

Actual

Predicted

Forecast

Actual

Predicted

Forecast

6005004003002001000

68

63

58

Va

lue

Time

MSD:MAD:MAPE:

Delta (season):Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

0.0883210.2287960.374331

0.2000.2000.200

Winters' Multiplicative Model for Value

Winters’ metod:

Mycket bättre följsamhet med konjunktursvängningar

25

Något om autoregressiva modeller

I stället för att tvinga in ett antal bestämda komponenter (trend, säsong, cyklisk komponent) kan man låta tidsserien successivt ”förklara sig själv”:

Värdet i tidpunkt t antas alltså främst bero av värdet vid tidigare tidpunkter och ev. av motsvarande säsongtidpunkt föregående år.

Parametrarna 0 , 1 , 2 , 1 etc. kan ibland skattas med Minsta-Kvadrat-metoden (som i regression), men vanligare är den mer sofistikerade Maximum-Likelihood-metoden (C-nivå i Statistik).

AR(1)1, ordning av modell (AR) sivAutoregresttt yy 110

26

Enkel och exponentiell utjämning är specialfall av autoregressiva modeller. Dvs. autoregressiva modeller kan beskriva tidsserier med komplexare samband mellan historiska och framtida observationer.

För att kunna anpassa en sådan modell krävs att tidsserien är stationär.

Stationär?

Enkelt uttryckt:

• Tidsserien skall ha ett konstant väntevärde över tiden (bortsett från säsongssvängningar).

• Tidsserien skall ha en konstant varians över tiden.

• Korrelationen mellan två tidpunkter i serien får endast bero på avståndet mellan dessa punkter, och inte på var i tiden de ligger.

27

Exempel på stationära och icke-stationära tidsserier:

28

Hur kan man ta med en trend i tidsserie-modelleringen?

För att komma runt problemet med icke-stationära tidsserier tillämpar man så kallad differentiering:

Det betyder att man skapar en stationär serie genom att t.ex. bilda

zt = yt – yt-1

Om yt uppvisar en kvadratisk trend differentierar man två gånger, dvs

zt = yt – yt-1 och sedan wt = zt – zt-1

29

ursprungliga tidsserein:

inte stationär

differentierad serie (förändringen från månad till månad):

stationär

30

Hur kan man då avgöra om en tidsserie är stationär?

1. Studera grafen över tidsserien (trender o dyl. syns i regel tydligt)

2. Beräkna och studera den s k autokorrelationsfunktionen

rk=Corr(yt , yt-k ) för k=1,2,3,…

Denna skall avta relativt snabbt mot 0 för att serien skall vara stationär.

31

icke stationär

32

Metoden är mycket flexibel och kan ta hand om den komplexa strukturen i datamaterialet.

Autoregressiv modellering kan med fördel användas för att modellera residualerna efter en tidsserieregression när Durbin-Watson test visat på signifikant autokorrelation.