Tema II : Mecánica Hamiltoniana

Como en Termodinámica, pueden aplicarse transformaciones de Legendre para tener funciones con variables independientes distintas:

Ejm. F es transformada de Legendre de la energía interna U:

Análogamente,puede definirse otra función H con otras variables independientes distintas las de la Lagrangiana: (ver pág. 15)

Diferenciando H(q,p,t) se obtendrán 2f ecuaciones diferenciales de primer grado:

Equivalentemente, puede pasarse de H a L:

, seadU TdS PdV F U PV dF PdV SdT= − = − ⇒ = − −

Ecuaciones de Hamilton. DeducciónLa forma más conveniente es por medio del momento canónico

,Lpq

∂=∂ &

,

,

HqpHpq

∂ = ∂ ∂ = − ∂

&

&

Ecuaciones canónicas de Hamilton

( ) ( , , )( , , )( , , ) ( , , )

q q p tq q p tH q p t qp L E q q t= − ≡ &&

& &

H H HdH dq dp dt qdp pdqq p t

∂ ∂ ∂= + + = +∂ ∂ ∂

& & L Ldq dqq q

∂ ∂− −∂ ∂

&&

,L dtt

∂−∂

2

2( , , ), 0Lq q q p tq

∂= ≠ ∂ & &

&y la función de Hamilton o Hamiltoniana que se define

0,L H H H Ldq q dp dtq q p t t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &

,L d L dpq dt q dt

∂ ∂= =∂ ∂ &

,q p Variables canónicas

,H Lt t

∂ ∂= −∂ ∂

Ecuaciones de Hamilton. Notación y comentarios. (pág. 22)Nota:Las 2n ecuaciones pueden derivarse del Principio variacional de Hamilton

(modificado) sin imponer que p(t) esté fijo en los instantes finales. (ver pág.23)(II.1.3 Principio de Hamilton modificado)

Se pueden escribir en notación matricial o simpléctica (II. 1):

( , , )

( , , )

ii

ii

H q p tqp

H q p tpq

∂=∂

∂= −∂

&

&

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2 2 22

11 1 1

2

1

1 2( , , ) con y fijados:

( , , ) ( ) (

) 0

)

( 0

t

t

t t tt

tt t t

kt k

t

S L q q t dt q t q t

HHS p qp

q H q p t dt p q dt p dt p qq

Hp q tqqHpd

δ δ δ δ δ

δ ∂+ =

∂−∂

=

∂= − ≡ − + + +∂

∂= − + = ⇒ ⇒∂ ∂

∫

∫ ∫ ∫

∫

&

& &g g

&

g g

& g

&

1

1

0 1J

-1 0n

n

q

qq d H Hp p d t

p

ηηη η

∂ ∂= = ⇒ = ⋅ = ∂ ∂

M

g

M

1J −=2 , 1JJ =⋅T , ( JJJT −== 1- )

Para evaluar la derivada temporal de una función u(q,p,t) a lo largo de las soluciones del sistema hamiltoniano, en el espacio de fases asociado, conviene formalizar cálculos con el Corchete de Poisson.

II.1.1 Constantes del movimiento. Corchete de Poisson

El corchete de Poisson de dos funciones u, v se define:

Entonces:

Los corchetes fundamentales son:

[qj, qk ] = [pj, pk ] = 0 ; [qj, pk ] = -[pk, qj ]

Y las ecuaciones de Hamilton quedan: Y las ecuaciones de Hamilton quedan:

tuHu

tu

tddu

dtdu

TT

∂∂+

∂∂⋅⋅

∂∂=

∂∂+⋅

∂∂=

ηηη

ηJ

[ ] ∑=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

n

i iiiipq q

vpu

pv

quvu

1,,

[ ]ηηη ∂

∂⋅⋅

∂∂= vuvu

T

J,

[ ]tuHu

dtdu

pq ∂∂+= ,,

jkδ=

Propiedades (corchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobicorchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobi):

Aplicado a H , y si u(p,q,t) es una constante del movimiento:Si u y v son dos constantes de movimiento ¿lo será [u,v]? SÍ

[ ][ ] [ ]

,J ,

,i i

i i

q q H d Ho bien Hd tp p H

η ηη

= ∂ = ⋅ ≡ ∂=

&

&

[ ]tuuH

∂∂=, [ ], vy de H v

t∂=∂

[ ], 0d u vdt

=

Esta propiedad es un caso particular del llamado Teorema de los Corchetes de Poisson, que establece: (Sólo ver, no se aplicará)

Si da la evolución de un sistema en el espacio de fases, tal

evolución corresponde a un sistema hamiltoniano si , y solo si, para todo par de funciones dinámicas u(q,p,t), v(q,p,t) de verifica:

En particular: la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea hamiltoniano es que para todo par de variables canónicas del espacio de fase se satisfaga

Demostración: la condición necesaria, suponer existe H(q,p,t), evaluar la derivada temporal de [u,v] y aplicar la identidad de Jacobi de los corchetes:

0( , ( ))t tη η

[ , ] [ , ] [ , ]d u v u v u vdt

= +& &

[ , ] 0 [ , ] [ , ]ddt α β α β α βη η η η η η= = +& &

[ , ] [[ , ], ] [ , ] [[ , ], ] [[ , ], ]

[ , ] [ , ]

d u v u v H u v v H u H u vdt t

u vv ut t

∂= + = − − +∂

∂ ∂+∂ ∂

Para la condición suficiente, dado que

Considerando un sistema general, d(q,p)/dt=(f,g) basta evaluar las derivadas de los corchetes fundamentales asumiendo ahora que se cumple la condición del teorema:

Con lo que ha de darse que tanto las componentes de f como de g deriven de una sola función escalar H, tal que se dé la condición de integrabilidad (identidad de derivadas cruzadas)

Dando las ecuaciones de Hamilton con

[ , ] 0 para todo par de variables canónicas,ddt α βη η =

[ , ] 0 [ , ] [ , ]

[ , ] 0 [ , ] [ , ]

[ , ] 0 [ , ] [ , ]

jii j i j i j

j i

jii j i j i j

j i

jii j i j i j

j i

ffd q q q q q qdt p p

ggd p p p p p pdt q q

gfd q p q p q pdt q p

∂∂= = + = − +∂ ∂

∂∂= = + = −∂ ∂

∂∂= = + = +∂ ∂

& &

& &

& &

ii

ii

HfpHgq

∂=∂

∂= −∂

notación vectorial

( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( )

d HJ F t odtd H Hq p f gdt p q

α α β αβ

η ηη

∂= =∂

∂ ∂= = −∂ ∂

Transformaciones canónicas. (pág. 24)La transformación de punto Q=Q(q,t) en el espacio de configuración es un caso

particular de transformaciones más generales (de contraste o contacto) en el espacio de fases Q=Q(q,p,t) , P=P(q,p,t) permitidas en la formulación de Hamilton.

Ejm. de transformación local : Problema 17

En general, el sistema transformado no conservará la forma canónica con un hamiltoniano nuevo H´, si esto se da

con INDEPENDENCIA del H inicial, la transformación se dice canónica.

Pero en general, debe cumplirse:

(suma en índices rep.)´ ( , , , , )

i i i i

i i i i

p dq H dt P dQ H dt dFop dq Hdt PdQ H dt dF q p Q P t

′− = − +

− = − +

∑ ∑

La función generatriz F puede elegirse atendiendo a las variables que se deseen como independientes, pues en general la relación anterior vuelve a ecuaciones diferenciales para F.

Se aconseja tomar las dependencias para F en 1) (q,Q) que daría explícitamente p y P2) (q,P) que daría explícitamente p y Q3) (p,Q) que daría explícitamente q y P

4) (p, P) que daría explícitamente q y Q.Pero siempre se da que pdq-Pdq=dF es una diferencial exacta

Para el caso 1) se supone F=F(q,Q,t), q y Q se toman como independientes, así:

De las que se obtienen Q=Q(q,p,t) primero, luego P(q,Q(q,p,t),t) y finalmente el nuevo hamiltoniano.

Los otros casos de funciones generatrices básicas están en pág. 24-25 y son transformadas de Legendre de F1. (ver Goldstein por ejemplo)

O el enfoque siguiente visto en GRADO por el prof. Sanz:

11

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS

• En la Dinámica Lagrangiana se tiene la libertad de escoger cualquier sistema de coordenadas generalizadas. Si q es un conjunto de coordenadas, cualquier transformación puntual reversible Q=Q(q,t) nos proporciona otro conjunto de coordenadas Q con Lagrangiana

•Una libertad similar existe también en la Dinámica Hamiltoniana.

Consideremos en primer lugar una transformación (independiente del tiempo) de las variables canónicas antiguas (q,p) a las nuevas variables (Q,P), de la forma

( , ),Q Q q p= ( , ),P P q p=

( , )( , , ) ( , , ) .

q q Q tL Q Q t L q q t

=′ =& &

0,d L Ldt q q

∂ ∂− =∂ ∂&

0,d L Ldt Q Q

′ ′∂ ∂− =∂ ∂&

(independiente del tiempo)

12

Imponemos que la transformación retenga la froma general de las ecuaciones de Hamilton (T. canónica):

, ,H Hq pp q

∂ ∂= = −∂ ∂

& &

en las nuevas variables canónicas

, ,H HQ PP Q

′ ′∂ ∂= = −∂ ∂

& &

con la nueva Hamiltoniana H’(Q,P,t), dada por

( , , ) ( ( , ) , ( , ) , ) ,H Q P t H q Q P p Q P t′ =

• Tª: La transformación es canónica si y solo si,

1[ , ] .Q P Q P Q P cteq p p q

∂ ∂ ∂ ∂− = = =∂ ∂ ∂ ∂

el corchete de Poisson, [u,v], de dos funciones u(q,p,t) and v(q,p,t) de las variables canónicas

[ ], ,u v u vu vq p p q

∂ ∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂ ∂

14

,Q Q Q H Q HQ q pq p q p p q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

& & &

, ,H H Q H P H H Q H Pq Q q P q p Q p P p

′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

[ , ], [ , ], [ , ] 1 .H HQ Q P P Q P Q PP Q

′ ′∂ ∂= = − ⇒ =∂ ∂

& &

Demostración: ( , ), ( , ),Q Q q p P P q p= =

,P P P H P HP q pq p q p p q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

& & &

( , , ) ( ( , ) , ( , ) , ) ,H Q P t H q Q P p Q P t′ =

¡Y solo si!

2 2

[ , ] , [ , ] ,

, [ , ] [ , ] ,

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ], 0,

H K H KQ Q P P Q PP P Q Q

K K H HQ P Q PQ P P Q Q P P QH Q P H Q P Q P Q PP Q Q P Q P

′ ′∂ ∂ ∂ ∂= ≡ = − ≡ − ⇒∂ ∂ ∂ ∂

′ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

& &

15

• Función generatriz de una transformación canónica

La propiedad de transformación canónica [ , ] 1 ,Q P Q PQ Pq p p q

∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂

es equivalente a que sea una diferencial exacta:

,Q Qp P dq P dpq p

∂ ∂= − − ∂ ∂

Q Qp P Pp q q p

∂ ∂ ∂ ∂− = − ∂ ∂ ∂ ∂

pdq PdQ−

( )Q Qpdq P dq dpq p

∂ ∂= − +∂ ∂

pdq PdQ−

[ , ] 1 ,Q P Q P Q Pq p p q

∂ ∂ ∂ ∂− ≡ =∂ ∂ ∂ ∂

,pdq PdQ dF− = función generatriz de la transformaciónF =

Tipos de funciones generatriz:1 1 ,F Fpdq PdQ dq dQq Q

∂ ∂− = +∂ ∂

1 1( , ( , ), ,)F q Q F q Qp Pq Q

∂ ∂= = −∂ ∂

2 2( , ) ( , ), ,F q P F q Pp Qq P

∂ ∂= =∂ ∂

3 3( , ) ( , ), ,F Q p F Q pq Pp Q

∂ ∂= − = −∂ ∂

4 4( , ) ( , ), ,F p P F p Pq Qp P

∂ ∂= − =∂ ∂

,pdq PdQ dF− =

a) Tipo 1: 1( , ),F F q Q=

( , ), ( , ),q Q P p Q P

b) Tipo 2: 2 ( , ) ,F F q P QP= − 2 2 ,F Fpdq PdQ dq dP QdP PdQq P

∂ ∂− = + − −∂ ∂

( , ), ( , ),q Q P p Q P

c) Tipo 3: 3( , ) ,F F Q p qp= − 3 3 ,F Fpdq PdQ dQ dp qdp pdqQ p

∂ ∂− = + − −∂ ∂

( , ), ( , ),q Q P p Q P

d) Tipo 4: 4 ( , ) ,F F p P qp QP= + −4 4 ,F Fpdq PdQ dp dP qdp pdq QdP PdQp P

∂ ∂− = + + + − −∂ ∂

( , ), ( , ),q Q P p Q P

17

Generalización

•La transformación es canónica si y solo si:

En las nuevas variables las ecuaciones de Hamilton toman la forma:

( , , ),Q Q q p t= ( , , ),P P q p t=[ , ] 1.Q P =

, ,H HQ PP Q

′ ′∂ ∂= = −∂ ∂

& &

( , ) ( , )

, 1,2,3,4.q p Q P

FH H

tµ µ

− >

∂ ′ = + = ∂

Donde la nueva Hamiltoniana H’ se obtiene a partir de la función generatriz, para los tipos 1,2,3 y 4.

Demostración Principio de Hamilton modificado:

2 2

1 1

( ) 0,t t

t t

S Ldt pq H dtδ δ δ= = − =∫ ∫ &

• Se toma el nuevo funcional con integrando: ( , , , , ) ( , , ),q p q p t pq H q p tΦ ≡ −& & &• La primera variación de la acción para el nuevo funcional con los extremos

fijados para ambos, q y p, tiene como extremales las soluciones de las ecuaciones de Hamilton (Principio Variacional).

• Al integrando del nuevo funcional se le puede sumar la diferencial (dF) de una función arbitraria sin afectar al principio variacional.

• Para una transformación que sea canónica el principio variacional se escribirá en la forma:

2

1

( ) 0,t

t

PQ H dtδ ′− =∫ & pdq Hdt PdQ H dt dF′− = − +

• Tomando:

1 2 3 4( , , ), ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,F F q Q t F F q P t QP F F Q p t qp F F p P t qp QP= = − = + = + −

( , ) ( , )

, 1,2,3,4.q p Q P

FH H

tµ µ

− >

∂ ′ = + = ∂

GENERALIZACIÓN A n GRADOS DE LIBERTADEcuaciones canónicas de Hamilton

,

1, ,

jj

Lpq

j n

∂ = ∂ =

&

K

1 1 ( , , )( , , )

( , , , , , , ) ( , , )n n j j q q p tj q q p t

H q q p p t q p L E q q t

= − ≡

∑ &&

& &K K

2

1 1( , , , , , , ), det 0j j n ni j

Lq q q q p p tq q

∂= ≠ ∂ ∂ & & K K

& &

La función de Hamilton (H) o Hamiltoniana se define:

Sea 1 1( , , , , , , )n nL q q q q t& &K K

Se deduce (ver pag. 15 de Mecánica Analítica):

, ,

.q p q q

H Lt t

∂ ∂= −∂ ∂ &

Además:

Se comprueba que: .dH Hdt t

∂=∂

• Si 0Ht

∂ =∂

.H const=

,

,

jj

jj

HqpHpq

∂ = ∂ ∂ = − ∂

&

&

1, , .j n= K

para cierta función . Teorema: Una transformación es canónica si y solo si los corchetes de

Poisson de las funciones verifican:,j jQ P

Sea un sistema con Hamiltoniana , y las correspondientes ecuaciones canónicas

( , , )H q p t

( , , )H Q P t′

La transformación de variables se dice que es canónica si las ecuaciones del movimiento en las nuevas variables se pueden escribir de la forma

( , , ), ( , , ),j j j jQ Q q p t P P q p t= =

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS:

, 0, , 0, , .j k j k j k jkQ Q P P Q P δ = = =

, , 1, , .j jj j

H Hq p j np q

∂ ∂= = − =∂ ∂

& & K

, , 1, , ,j jj j

H HQ P j nP Q

′ ′∂ ∂= = − =∂ ∂

& & K

Cuando la transformación canónica es independiente del tiempo, la nueva Hamiltoniana es . ( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) q p Q PH Q P t H q p t→

′ = El corchete de Poisson de dos funciones , de las variable

cánonicas y del tiempo, es independiente de las variables canónicas utilizadas: .

,u v

[ ], .j jj j j j j j j j

u v u v u v u v u vq p p q Q P P Q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑

21

Función generatriz de una transformación canónica

.j j j jj jp dq Hdt P dQ H dt dF′− = − +∑ ∑

La aplicación del Principio de Hamilton ante una transformación canónica nos lleva a:

Un cálculo análogo al efectuado para un grado de libertad nos conduce a los siguientes cuatro tipos básicos de función generatriz:

1 1( , , ) ( , ), ,,j j

j j

F q Q t F q Q tp Pq Q

∂ ∂= = −∂ ∂

2 2( , , ) ( , , ), ,j jj j

F q P t F q P tp Qq P

∂ ∂= =∂ ∂

3 3( , , ) ( , , ), ,j jj j

F Q p t F Q p tq Pp Q

∂ ∂= − = −∂ ∂

4 4( , , ) ( , , ), ,j jj j

F p P t F p P tq Qp P

∂ ∂= − =∂ ∂

a) Tipo 1: 1( , , ),F F q Q t=

b) Tipo 2:

c) Tipo 3: 3( , , ) ,j j

jF F Q p t q p= − ∑

d) Tipo 4: 4 ( , , ) ( ),j j j jj

F F p P t q p Q P= + −∑

2 ( , , ) ,j jj

F F q P t Q P= − ∑

( , ) ( , )

, 1,2,3,4.q p Q P

FH H

tµ µ

− >

∂ ′ = + = ∂

Nota: probar que una transformación local , probl. 17, puede obtenerse de F=f(q)P¿sólo de este tipo?

De Goldstein:

Forma simpléctica de las transformaciones canónicas (TC). Como

Tomando un cambio de variables (reducido)

Para dos variables dinámicas, y con el cambio se ve que

el CORCHETE de Poisson es INVARIANTE ante transformaciones canónicas (es condición necesaria y suficiente, también para transformaciones dependientes de t, de contacto)

(conserva volumen en espacio de fases ver(conserva volumen en espacio de fases ver II.1.3. Y II2.2.3 II.1.3. Y II2.2.3))En particular, los corchetes elementales son invariantes en TC y para un

grado de libertad [Q,P]=1.

[ ] [ ], J , J (7)T

u v u vu v u v enα βη ηα βη η η η

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

( )ξ ξ η=

T

T T

M M J M J M

donde para que sea canónica

M J M J= M J M det(M)=

:

1.

iij

j

d H Hdt

M

ξ ηη ξ

ξη

∂ ∂= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅∂ ∂

⋅ ⋅ ⇒

∂=∂

&

( )ξ ξ η=

( , )tξ ξ η=

Ejm. Oscilador armónico. Problema 60

Teoría de Hamilton-Jacobi

¿Existe una transformación canónica tal que H´=0? SÍ. El problema dinámico de 2N ecuaciones diferenciales con t como variable independiente, PASA a otro con

una ecuación diferencial en parciales para UNA función S (variable dependiente) y N+1 variables independientes, las q y t.

Partiendo de

Tomando una Función generatriz del tipo 2, en (q,P,t)0

(́ , , ) 0 ( , , ) daría

0 y 0 (las Q y las P serían constantes, sus valores en cierto )k k

FH Q P t H q p tt

Q Pt

∂= = +∂

= =& &

2 2 1 1

2 2

( , , ) ( ,..., , ,...., , )N N

k kk k

S F q P t F q q P P tF Fp y Qq P

= =∂ ∂= =∂ ∂

Sustituyendo los argumentos p de H por su expresión en S(q,P,t) se obtiene una ecuación en derivadas parciales para función de Hamilton S , función que ahora depende de las N variables q y de t

Ecuación de primer orden para S para la que existen N+1 constantes de integración (las q(to) y t=to). Se ve que S es la INTEGRAL DE ACCIÓN (pág.28).

Si H no depende del tiempoH no depende del tiempo, puede ponerse:

1 1

( ,...,

( , ,

, ,...., , ), las son constante

)

s.

=0 ;

N N jS S q q P

S SH q tq t

P t P

∂ ∂+∂ ∂

=

La resolución del problema se deja en manos de la función generatriz y de la función generatriz y de la transformación canónica en cuestióntransformación canónica en cuestión.

La elección de las constantes asociadas a las P es libre para cada problema, la flexibilidad en la elección de las N constantes (requiere habilidad) permite dar la solución; las constantes se ajustarán a posteriori con las condiciones iniciales

Como la derivada de S respecto a t es:

Para H independiente de t la función generatriz puede descomponerse como S=W(q,P)-E t

Es un caso particular de separación de variables, pues E y t son funciones canónicas conjugadas (como p y q). Ver Secc. II3.3.

¿Qué ocurre si interpretamos en este caso la propia W como una generatriz tipo F2?

0

( , , ) 0

( ( ), ( ), ) es la integral de acción.

k k k kk k

t

t

dS q P t S S Sq P q p H Ldt q P t

S L q q dτ τ τ τ

∂ ∂ ∂= + + = + − = ⇒∂ ∂ ∂

= ∫

&& &

&

2( , ) ( , ) ' 0W q P F q P H E= ⇒ = ≠

(ecu. de hamilton para la acción reducida)( , / ) H q W q E∂ ∂ =

Ahora podemos interpretar la propia E como una de las variables P, la número 1, por ejemplo.

Y todas las P son constantes (las Q son cíclicas):

Y se tienen Ejm. De clase. Partícula libre bajo los dos enfoques, caso particular de:

Separación de Variables.II.3.3 Sistemas separables. Si existe al menos un conjunto de variables generalizadas que dan para el sistema

particular un hamiltoniano del tipo: (pág.30)

El problema puede ser de variables separables para unas coordenadas generalizadas y El problema puede ser de variables separables para unas coordenadas generalizadas y no para otras. no para otras. A veces hay que manipular la forma de escribir H.A veces hay que manipular la forma de escribir H. VER VER Ejm. Ejm. Problema de Kepler pag. 30 y 31Problema de Kepler pag. 30 y 31

1 11' 1

( 2,3,...,0

.

)k

Q t cteH E P Q yk NQ

= = ⇒ = ⇒

= =

= +&&

0 1

1

0 ( .)

, 2,3,...,

k k k k

k k

k k

P P P cte con P EQ kP E

αβ

α α

= ⇒ = = =

= == =

&

2( , , ... ) ( 2,3,...)Ni

i

W q E iα α βα

∂ = =∂

1N ecuaciones unidimensionales)( , ) ( , ) ( , ) (

nk

k k k k k kk k

WH q p H q p H q

qα

=

∂= ⇒ =

∂∑

Diagramas de fasesDiagramas de fases (en sistemas hamiltonianos)

Variables Acción-Ángulo (II.3.3) 1) Caso de un grado de libertad.Supongamos un sistema hamiltoniano de un grado de libertad con p y q funciones

periódicas en t . Busquemos una transformación canónica tal que el hamiltoniano nuevo sea H(I)

La variable I será una constante del movimiento y las ecuaciones serán:

Entonces

Tal función existe , y es periódica en la variable angular (al suponer periódicas p y q) puede definirse la variable de acción I (tiene unidades de H t -energía por tiempo- como la integral de acción)

( , ) ( , ) ( , )q p I Q Pϕ→ ≡

0 ( ) .H HP I y Q I una cteI

ϕ ωϕ

∂ ∂= = − = = = =∂ ∂

&& & &

0

1

0

buscando función generatriz tipo 1,

( )

( , ) (́ , ))

´

(

diferencial exacta

F q Q W qdW pdq

t

Id

t tϕ ϕ ωϕ

ωϕ

ϕ=

= + ==

=

−

−

2

0

12

´ 0dW pdq I d I pdqπ

πϕ= == − ⇒∫ ∫ ∫∫Ñ ÑÑ

Extensión a sistemas de n grados de libertad (II.3.4)Es posible la representación acción-ángulo para sistemas finitos (acotados) y que

sean de variables separables en al menos un conjunto de variables generalizadas.

Y de las ecuaciones del movimiento para el nuevo H'=H(I) se tienen:

En cada par (qi,pi) pueden darse los casos de libración (caso univaluado) o de rotación (qi multivaluada). La variación de la i-ésima variable-ángulo con respecto a una qj, dejando las demás constantes es:

Independiente de las demás, luego la variable-ángulo es monótona y tras un m ciclos varía

Pero no se asegura la T-periodicidad del sistema ni en el caso de que todas las (q,p) sean periódicas y cada una con periodo Ti.

1 11 1

1

1

con las α obtenidas despejándolas de

( ; , , ) ( ; , , )

( ; ,

1( )2

, )

n n

i i n i i ni i

nj j ni

i ij

i i i

i i i i

De W W q se pasa a W W q I I

W q I IWW Wp yq I

I p q

q I

dαπ

α α

ϕ

= =

=

=

= → =

∂∂∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

∫

∑ ∑

∑

K K

K

Ñ

.cteI i = , 0iii t ϕωϕ += , (90)

2 2jj i j j j j i j

i i i

pdq p dq I

I I Iϕ π π δ

∂ ∂ ∂∆ = = = =∂ ∂ ∂∫ ∫Ñ Ñ

2i imϕ π∆ =

Razonando como en el caso de un grado de libertad, se definirían q'i variables. Las nuevas q' (o bien q, p ó una F(q,p) cualquiera) admiten desarrollo en series de Fourier

El sistema será periódico bajo ciertas condiciones, no basta que lo sea en cada variable: periódico sólo si las frecuencias son conmensurables,

En este caso hay n-1 relaciones (de resonancia) entre vectores de enteros k y frecuencias del tipo

y el movimiento es periódico (órbita cerrada en espacio de fases) y el sistema se dice completamente degeneradoompletamente degenerado (pág. 35) y si no hay ninguna relación como la anterior, se dice sistema nn veces multiperiódico. veces multiperiódico. Puede haber sistemas com m relaciones de resonancia (m veces degenerado) y (n-m) veces multiperiódico.

{ }

{ }

1 2

1 2

1 2

1 2

, , , 1 1, , ,

, , , 1 1, , ,

exp ( )

exp ( )

nn

nn

j j j j n nj j j

j j j n nj j j

q a i j j

b i j j t

ϕ ϕ

ω ω

+ ∞

= − ∞

+ ∞

= − ∞

= + + =

+ +

∑

∑

KK

KK

L

L

para todo par , (frecuencias conmensurables)i i

j j

con los k enteros i jkk

ωω

=

10

n

i ii

k kω ω=

⋅ ≡ =∑r r

Teorema de Liouville de la integrabilidad (II.3.4)Si de un sistema de n grados de libertad con hamiltoniana H(q,p) se conocen n

constantes del movimiento F1, F2,...,Fn independientes y en involución mutua ([Fi,Fj]=0) entonces el sistema queda resuelto con n cuadraturas.

La función W puede tomarse como función de Jacobi al ser integral de la ecuación de Hamilton-Jacobi, resolviendo el problema:

Ejm. Problema 29. (Ver problemas de, Hamilton-Jacobi, del 19 al 25 y 28)

1 1

De las n relaciones

, 0, las g en involucion,

( , ) ( , ) 0

( ,

y

es una diferencial ex) ( a, ) cta

j j j j j

n n

j kk j

k j

k k k kk k

F q p g p f q

dW q p

yf f

g gq q

dq f q dq

α α

α α= =

= ⇒ ≡ −

∂ ∂ = − = ∂

=

∂

=

≡∑ ∑

1 1 1 1 1

1 11

( , , , , , )

( , ) ( , ) , 2, ,

n n

j jj

H q q f f H H Py

W q W qQ t y Q j n

α α

α αβ βα α

′= ⇒ ≡ = =

∂ ∂= + = = = =∂ ∂

K K

K

En este caso existe la función W (pues H es de variables separables) que depende de tres constantes de separación que son las F anteriores y que pueden tomarse como los momentos generalizados nuevos P.

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 2

1 1 1 2 22

, , , , ,

' , , ...

W r z F F F R r Z zWH Q t Q

θ α α α α θ

α β βα

= = = = + +∂⇒ = = + = =∂

Problema 54.

Pero la F no es única, puede ser también la F3 básica.

Problema 18: usar 3( , , ) exp( / 2)F p Q x t pQ tλ= = − −

2k k

R R k R R−

∇ =r r r