dto 1(desiguldades 1p 11º 2011)

8/19/2019 Dto 1(Desiguldades 1P 11º 2011)

1/30

Inst. Edu JORGE ROBLEDO.PLANEACION DEL PRIMER PERIODO

Matemáticas grado 11 ° Primer periodo año 2011

N c ! e o

t e m á t i c o Tema Logro

Tiempo

presupuestadoen horas

Bibliografía

C o n

Desigualdades eInecuaciones

Resolución dedesigualdades 1"

LARSONROLAND E.,HOSTETLERROBRER P."Matemáticas”11°", McGrawHi!!. Eici#$1%%&.

Relaciones yFunciones:

Entiendo el concepto derelación y funciones ydiferencio sus partesefectuando aplicacionesde esta en la vida real.

24

''%(Matemáticas)$a *r+*)estac)rric)!ar ra+ 11-

Materiales# Lá$i%& saca$untas& 'orrador& ca!cu!adora cient()ica& cuaderno cuadricu!ado de 1**+&

'!oc de $a$e! mi!imetrado.

BBLOGRA/0A- LARSON ROLAND E., HOSTETLER ROBRER P. "Matemáticas” 11°",

McGrawHi!!. Eici#$ 1%%&.

- 2RBE 3ALAD 42LO ALBERTO. "Matemáticas )$a *r+*)estac)rric)!ar ra+ 11-", Be+)t eit+res S.A. Eici#$ 1%%(

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S

1


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D!I"#$LD$D! I%$&I'%!

1( D!I"#$LD$D

La afirmaci)n de ,ue una cantidad es ma*oro menor ,ue otra se !!ama desigualdad .Reso!er una desigua!dad es esta'!ecer una

com$araci/n entre dos cantidades. Para esteti$o de com$araciones se tienen !os siguientess(m'o!os.

0 Menor ,ue Ma2or ,ue

Ilust 1: 3on desigua!dades

4 0 5& " 6& 1*04*& "*5* Etc.

4 0 5 7,ue se !ee 4 menor ,ue 58

" 6 7,ue se !ee " ma2or ,ue 68 Etc.

Pedro es más rico ,ue Juan

P J 7,ue se !ee P más ma2or ,ue J8

Es de recordar que para la lectura de estas

expresiones, lo que está dentro del ángulo” >”

es mayor que lo que está afuera.

2( I%$&I+%(

3i en !a desigua!dad interienen aria'!es sedenominan inecuaciones. Es decir cuando

interienen a!ores desconocidos& 2a no sedesigna como desigua!dad si no comoinecuación.

I!ust# son Inecuaciones

2,- ./ 3/ 10m-20/ 0.0, tc.

En a!gunas inecuaciones +a2 ,ue tener encuenta ,ue a $arte de !a desigua!dad $!anteada& tam'i9n se $uede esta'!ecer&

simu!táneamente& !a re!aci/n de igua!dad entre!as cantidades mencionadas. Para este ti$o decom$araciones se tienen !os siguientess(m'o!os.

≤ Menor o igua! ,ue≥ Ma2or o igua! ,ue

2,≤ ./ ≥ 3/ 10m≤ 20/ 0 ≥ ,.0(:oda inecuaci/n es una desigua!dad& $ero no

toda desigua!dad es una inecuaci/n.

&onclusi)n#

;na inecuaci/n es una com$araci/n entre doscantidades aria'!es 2 su so!uci/n consiste en+a!!ar un intervalo de a!ores ,ue !a satis)agan&

siendo 9ste un su'con o ? @

6. Como una recta& / un segmento de

9sta con c(rcu!os !!enos o ac(os.• & o

:odo intera!o tiene dos e-tremos !os cua!es $ueden ser cerrados o a'iertos& de$endiendo de

si se toma e! a!or de! e-tremo o no.

3i e! intera!o contiene !os extremos se llama

cerrado. 3e usan !os s(m'o!os ≤ & ≥ & ? @ 2 •

Ilust A! tener e! siguiente con


3/30

4. 3i e! intera!o no contiene !os e-tremosse !!ama a'ierto. 3e usan !oss(m'o!os0& &= >&*

Ilust A! tener e! siguiente con&

• *

Ilust: A! tener e! siguiente con


4/30

4. 3i e! intera!o contiene nicamente e!e-tremo de !a derec+a $ero estáinde)inido $or !a i%,uierda. 3e !!amain)inito $or !a i%,uierda. 3e usan una

com'inaci/n de s(m'o!os ≤ 0& ? >&

• *

Ilust . A! tener e! siguiente con ∀ a& '& c ∈R 2 teniendo ,ue a 0 '& secum$!e ,ue si se !e suma o se !e reata am'os!ados !a misma cantidad& !a desigua!dad nocam'ia.

Ilusts

>i !estando

X+8>12

X>12-8

X>4 Intervalo 3 =&∞ >.Esto signi)ica ,ue cua!,uier a!or desde cuatro

+asta más in)inito& satis)ace !a inecuaci/n.

>ii "umando

#$1%≤ 1& # ≤ 1&'1% # ≤ %( 3 =∞ & 4@

Esto signi)ica ,ue cua!,uier a!or desde menosin)inito +asta eintisiete satis)ace !a inecuaci/n.

II> ∀ a&'& c ∈R 2 teniendo ,ue a 0 '& secum$!e ,ue si se mu!ti$!ica o se diide estadesigua!dad $or un mismo nmero $ositio& !a

desigua!dad no cam'ia..I!ust.

>i Mu!ti$!icando

5".

Esto ,uiere decir ,ue cua!,uier a!or desdemenos in)inito +asta más treinta& sin tomar atreinta& satis)ace !a inecuaci/n.

>ii )ividiendo

"F0 14

F 0 14"

F 0 4 3 =∞ &4>.Esto ,uiere decir ,ue cua!,uier a!or de menosin)inito +asta dos& sin tomar a dos& satis)ace !ainecuaci/n.


3im'/!icamente#

si a 0 ' entonces aHc 0 ' H c /si a' entonces ac ' c

*"e puede sumar o restar la misma

cantidad a am+os lados de una

desigualdad y la desigualdad se

conserva

3im'/!icamente#

si a 0 '& 2 c* entonces ac0 'c/si a'& 2 c* entonces ac ' c

*"e puede multiplicar la misma cantidad

a am+os lados de una desigualdad y la

desigualdad se conserva


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III> ∀ a& '& c ∈R 2 teniendo ,ue a 0 '& secum$!e ,ue si se mu!ti$!ica o se diide estadesigua!dad $or un mismo nmero negatio& !adesigua!dad se inierte.

I!usts.>i Mu!ti$!icando

D"≤−

x

F≥ 3 ?&∞ >.Esto ,uiere decir ,ue cua!,uier a!or desde&tomando & +asta más in)inito satis)ace !ainecuaci/n.

>ii )ividiendoF0 41 F 41

F 6 3 =6& ∞ >.Esto ,uiere decir ,ue cua!,uier a!or desdemenos tres& tomando a menos tres& +asta másin)inito satis)ace !a ecuaci/n.

IK> si am'os miem'ros de una desigua!dad sonnmeros $ositios 2 si n es un nmero $ositio&

entonces !a desigua!dad a! e!ear !os dosmiem'ros de !a desigua!dad a !a n9sima

$otencia& / a! e-traer a !os dos miem'ros !a n9sima ra(%& !a resu!tante tiene e! mismo sentido,ue !a origina!.

I!usts.

>i E-tra2endo ra(%

F4≤ 1"

1"≤ X

F

≤

3 =∞ & @>ii E!eando a una $otencia

x ≥ 5

E-$resando e! radica! en )orma de $otencia

541

≥ X

E!eando a 4 a am'os !ados

4

4

4

1

5≥

X

F ≥ 45 3 ?45& ∞ >

!'L#&I+% D #%$ I%$&I+%

3o!ucionar una inecuaci/n& a! igua! ,ue una

ecuaci/n& es +a!!ar !os a!ores ,ue satis)agandic+a e-$resi/n.

I!usts.a> ecuacionesReso!er !a siguiente ecuaci/n

6- -4. Redactar e! enunciadoProceso..

F4

P'a. 6=4> =4> 4 " 4

""

'> En una ecuaci/n se encuentran uno o dosa!ores ,ue !a satis)agan Reso!er !a siguiente

ecuaci/n

F4 HF "# Redactar e! enunciadoProceso

F4 ∨ F 6

P'a.

i =4>4H4 "

" "

ii =6>46"

" "

'> inecuaciones

I!ust.F 6 0 # encontrar un nmero ,ue a!

restar!e 6 de c/mo resu!tado una cantidad

menor ,ue

Proceso

F 0 H 6F 0 11

Esto ,uiere decir ,ue !a anterior inecuaci/n secum$!e $ara todos !os a!ores ,ue sean

menores ,ue 11

E! intera!o en !a recta num9rica ,ueda#

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S 5

3im'/!icamente#

si a0 '& 2 am'os $ositios entoncesa 0 b /

si a'& 2 am'os $ositios entonces

a b

La desigua!dad se consera

5


6/30

∞ * 5 1* 11

3 =∞ & 11>

P'a

>i F 1*

1*6 0

0

>ii F 5

56 0

4 0

:IPO3 DE INEC;ACIONE3

Desarro!!o

I( I%$&I'%! LI%$L!

E


7/30

Grá)icamente ? >

* "

P'a>i F "

⇒ 5≤ "H40⇒ 5≤ 0

ii F 1

⇒ 5≤ 1H40⇒ 5≤ 6 0

E 5=5*>FH4=5*>≥ 4=5*>65* 45*FH1**≥ 4**45*1** 45*FH1**1**≥ 4**1**15* 45*F≥ 1**

Diidiendo toda !a e-$resi/n $or 45*

45*

1**

45*

45*

45*

15*≥>

X

5

4

5

6≥> X

3 ?5

6&

5

4>

Grá)icamente

? * >45 65

E


8/30

Grá)icamente? @

*

P'a>i F

⇒ 4E −

≤ "⇒ 4 ≤"

⇒ 4 ≤ "

ii F

⇒ 4D −

≤ "⇒ " ≤"

⇒ " ≤ "

E=F H6 >*


:eori%aci/n

I> 3e tiene ,ue e! $roducto de dos )actores 7a'* 7 es ma2or ,ue cero& 2 $ara ,ue esto ocurra se tiene ,uedar una de !as siguientes situaciones

>i a* ∧ '* K ii > a0 * ∧ '0*

Esta situaci/n se a$!ica tam'i9n e! caso de ,ue !a e-$resi/n sea ≥II> 3e tiene ,ue e! $roducto de dos )actores 7a'0* 7 es ma2or ,ue cero& 2 $ara ,ue esto ocurra se tiene,ue dar una de !as siguientes situaciones

>i a* ∧ '0* K ii > a0 * ∧ '*

Esta situaci/n se a$!ica tam'i9n e! caso de ,ue !a e-$resi/n sea ≥


9/30

⇒

∨

∧

∧

=4> *0>6H=F *05>CF=

=1> *>6H=F *5>CF=

3n

=1> = F 5> * ∧ =F H6 > *

F 5 ∧ F 6

=5& ∞ > ∧ =6& ∞ >

Esto im$!ica ,ue !a so!uci/n uno ,ueda

31 =5& ∞ > ∩ =6& ∞ >La intersecci/n de estos dos intera!os da comoresu!tado e! siguiente#

31 =5& ∞ > =3o!uci/n uno>

A continuaci/n se +a!!a !a so!uci/n dos 2 seunen !os dos resu!tados $ara +a!!ar !a so!uci/ntota!

=4> = F 5> 0* ∧ =F H6 > 0 *

F 05 ∧ F 0 6

34 =∞ &5> ∩ =&∞ &6>34 =∞ &6>

3: 31 ∪ 34

3: =∞ &6> ∪ =5& ∞ >

Otro m9todo $ara este ti$o de e=F H6 >* A,u( +a2 dos )actores

$o!inomia!es = F 5>* 2 =F H6 >* 2 cada unode e!!os +a2 ,ue re$resentar!os e! una recta

num9rica as(#

= F 5> * ⇒ F 5

H

6 4 1 * 1 4 6 5 "

=F H6 > * ⇒ F6

H H H H H H H H H

6 4 1 * 1 4 6 5 "

= F 5>=F H6 >*H H H

6 4 1 * 1 4 6 5

La so!uci/n a$arece en !a recta donde están !amu!ti$!icaci/n de !os )actores $o!inomia!es 2,ueda determinada $or !os intera!os cona!ores $ositios. En este caso son !os intera!os

=∞ &6> unido a! intera!o =5& ∞ > ,ue enresumidas cuentas es e! mismo ,ue se +a'(a

+a!!ado en e! caso anterior

3: =∞ &6> ∪ =5& ∞ >

E


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3o!uci/n 1S M9todo

F4 0 A! organi%ar !a e-$resi/n a!ge'raica& ,ueda#

F4 0 *

A! )actori%ar ,ueda#= F4 >= FH4> 0 *

A$!icando !a anterior teori%aci/n a !a so!uci/nde este $ro'!ema& ,uedar(a

= F4 >= FH4>0* ⇒

>+∧ *4*4C-

=1> *4*4

x

x x

La so!uci/n tota! se o'tendrá de !a siguiente

)orma#1. 3e +a!!a !a 31 ,ue es !a intersecci/n de

!os dos intera!os de! caso 14. 3e +a!!a !a 34 ,ue es !a intersecci/n de

!os dos intera!os de! caso 4

3: 31 ∪ 34

3n de =1>31 será !a intersecci/n de !os dos intera!os de!coso 1

= F4 >0* ∧ = FH4> *

⇒ F04 ∧ F 4

=∞ &4> ∩ =4& ∩ ∞ >31 =4 &4>34 será !a intersecci/n de !os dos intera!os de!coso 4.

= F4 >* ∧ = FH4> 0 *

⇒ F4 ∧ F 0 4

=4& ∩ ∞ > ∩ =∞ &4>

34 ∅

La so!uci/n tota! se o'tendrá de !a siguiente

)orma#6. 3e +a!!a !a 31 ,ue es !a intersecci/n de

!os dos intera!os de! caso 1

. 3e +a!!a !a 34 ,ue es !a intersecci/n de!os dos intera!os de! caso 4

3: 31 ∪ 34

3: 31 ∪ 34

3: =4 &4> ∪ ∅3: =4 &4>

3o!uci/n 4S M9todo

F4 0 *

negati.assean

FTT!asdonde inter.a!o

a,ue!seráso!uci/nLa

= F4 >= FH4>0* $uede im$!icar ,ue#

= F4 >0* ∧ = FH4> *

= F 4> 0 * ⇒ F 4 H H H H

6 4 1 * 1 4 6 5 "

=F H4 > * ⇒ F4

H H H H H H H H H

6 4 1 * 1 4 6 5 "

= F 4>=F H4 >0*H H H H H H

6 4 1 * 1 4 6 5

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S 1*

:eori%aci/n

En este caso se tiene ,ue e! $roducto de dos )actores 7a'0* 7 es menor ,ue cero& 2 $ara ,ue esto ocurrase tiene ,ue dar una de !as siguientes situaciones

>i a* ∧ '0* / ii > a0 * ∧ '*

Esta situaci/n se a$!ica tam'i9n e! caso de ,ue !a e-$resi/n sea ≤

1*


11/30

3: =4 &4>

E=F> ≤ *

=->=-> ≤ *⇒

≤−∧≤≤−∧≥−

=4> *J*OC-

=1> *J*O

x

x x

La so!uci/n tota! es !a uni/n de !os casos uno 2dos

3: 31 ∪ 34

3n1

=-> ≥ * ∧ =-> ≤ *

⇒ - ≥ * ∧ -≤ *⇒ - ≥ ∧ -≤ ?& ∞ > ∩ =∞ &@31 ∅

3n1

=-> ≤ * ∧ =-> ≥ *

⇒ - ≤ * ∧ -≥ *⇒ - ≤ ∧ -≥ =∞ &@ ∩ ?& ∞ >31 ?&@

9ercicios ;1. Cod Codx x 6"644 ≤−−

4. Cod xCodx E5 4 −−


12/30

+

⇒>+

=4> * - *64

=1> * - *64

*64

x

x

x

x

La so!uci/n de esta inecuaci/n son !a uni/n de!os casos 1 2 4

3n 1

4FH6* ∧ F*

4FH6* ∧ F*

F 64∧

F*

=64& ∞ > ∧ =*& ∞ >

31 =*& ∞ >

3n 4

4FH60* ∧ F0*

4FH60* ∧ F0*

F 0 64 ∧ F0*

=∞ & 64 > ∧ =∞ &*>

31 =∞ & 64 >

3: 31 ∪ 34

3: =*& ∞ > ∪ =∞ & 64 >

3: =∞ & 64 > ∪ =*& ∞ >E4=

1544

≥−

−+ X

X X

La so!uci/n de este e4=

>6>=5= ≥−

−+ X

X X

=FH5> ≥ * ⇒ F ≥ 5 H H H H H H H H

15 14 " 6 * 6 " 14 15 1

=F6> ≥ * ⇒ F ≥ 6 H H H H H H

15 14 " 6 * 6 " 14 15 1

=F4> * ⇒ F ≥ 4 H H H H H H H

15 14 " 6 * 6 " 14 15 1

*>4=

1544

≥−

−+ X

X X

H H H H H H H H H H H

15 14 " 6 * 6 " 14 15 1

3: ?5& 4> ∪ [3, ∞ >

-ota: el anterior e.emplo puede resolverse dela forma 1 "e de.a como actividad para el

estudiante

E ≥ * ⇒ F ≤

H H H15 14 " 6 * 6 " 14 15 1


14


13/30

O

5

−+

X

X

H H H H H H H H

15 14 " 6 * 6 " 14 15 1

3 =∞ &5@ ∪ [9, ∞ > -ota: el anterior e.emplo puede resolverse de

la forma 1 "e de.a como actividad para el

estudiante

E6=

O4

>−

−+c X

ccX X

6. *O

5 <−+

X

X


16


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RELACIONES Y FUNCIONES

PRODUCTO CARTESIANO.

Un producto cartesiano es unaoperación que se da entre uno o dosconjuntos, donde cada eleento delprier conjunto se relaciona contodos los eleentos del se!undoconjunto, forando lo que se llaapareja ordenada, de tal fora que si“a pertenece al prier conjunto y“! al se!undo conjunto, entonces lapareja ordenada es 5a,67.

"ara plantear el producto cartesiano

de los conjuntos A y B, se utili#a lae$presión AxB, que se lee% productocartesiano o el producto & por ',esta(leci)ndose que el prierconjunto es el conjunto de partida, yel se!undo conjunto es el conjuntode lle!ada.

Ejeplo*.

+ados los conjuntos%& -*,2,3,4, ' - /,*2, *0, */,2* 1allar el producto cartesianoentre ellos.

Solución A 8 B -*,/,*,*2, *,*0, *,*2,*,*/, *,*2, *,2*, 2,/, 2,*2,2,*0, 2,*/, 2,2*, 3,/, 3,*2,3,*0, 3,*/, 3,2*, 4,/, 4,*2,4,*0, 4,*/, 4,2*

Ejercicio%Sean los conjuntos & -*,2,*, 2, y

' - 4 ,3,4,3 1allar el productocartesiano entre ellos y representarloen el plano cartesiano.

5onclusión%En el producto cartesiano se tiene quecuplir las si!uientes condiciones%

&. 5ada eleento del conjunto departida se relaciona con todos loseleentos del conjunto delle!ada

'. Se esta(lecen parejas ordenadastal que la priera coponentepertenece al prier conjunto yla se!unda coponentepertenece al se!undo conjunto

5. 6a pareja ordenada a,j 7i,a+. No se liite con un enunciado

E. Una pareja es%

$untoundeordenada>=a'scisa&!a como

cartesiano $!anoe!en '!eRe$resenta 6.

2>&=-ee,uia!ent 4.

'>=a& .1

RELACIONES

Una relación es una re!la queesta(lece una correspondencia entrelos eleentos de uno, dos o 8sconjuntos, con uno, dos o 8s de suseleentos. a(i)n se puede decirque una relación entre dos conjuntos,es una condición que se cuple entreal!unos o todos de los eleentos delos conjuntos involucrados en larelación.

"ara enunciar una relación puede1acerse de dos foras% Ela(orandoun enunciado oral o escrito que decuentas de las acciones que realicenlos eleentos de conjuntos conocidos.Ejeplo%

- Ser :ltiplo de- Ser enor que- Ser 1erano de

; ediante un e$presión ate8tica%-


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- $=9$4

CO"PONENTES DE UNA REALCI#N

1. oda relación tiene un conjunto departida que se llaa +mi$i+ e

!a re!aci#$, el cual se puedeno(rar coo DR o D5R7, y seentiende coo el su(conjunto deeleentos, en el conjunto departida, que cuple con lascondiciones plateadas en la re!laenunciada.

4. oda relación tiente un conjuntode lle!ada que se llaa imae$e !a re!aci#$., el cual se puedeno(rar coo IR o I$R%, y s eentiende coo el su(conjunto deeleentos, en el conjunto de

lle!ada, que cuple con lascondiciones plateadas en la re!laenunciada.

6. oda relación se puederepresentar de tres foras% En un conjunto de parejas

ordenadas a,( en la cual laprier coponente pertenecea +? y la se!unda coponentepertenece a @?. En fora!eneral ? - a,( A a & (

' En un dia!raa de sa!itas, en

el cual el doinio estaconstituido por el conjunto delcual salen las Becas y el ran!oesta constituido por el conjuntoa donde lle!an las Bec1as.

En un plano cartesiano% en elcual el doinio esta u(icado enel eje C, y ran!o esta u(icadoen el eje


16/30

/ *,/ 2,/

/,*2 * 2 3 4

Ejercicio 2%

+ados los conjuntos del ejercicio *deterinar la relación esta(lecidaediante la re!la% Dser si!a6a c+$se$ti+, y representarla de las tresforas anteriores.

El eje de las C es el doinio delconjunto pF y el eje de las < es elconjunto de lle!ada o ia!en

"aralelo entre una relación y unproducto cartesiano%

Ejeplo3. +ados los conjuntos deejeplo *F se pide 1allar una relación“Ser mayor que”

a Kallar el doinio de estarelación +r

( Kallar el conjunto ia!en deesta relación @r

c ?epresentar en el planocartesiano la relación

El enunciado de una realcion se puededar en t)rinos de una

DO"INIO E I"A&EN DE UNARELACI#N

El doinio y la ia!en de unarelación tienen representaciónate8tica y !r8Hco.

"ara 1allar doinio y la ia!en enuna relación se procede de lasi!uiente fora%

*. Se despejan la Laria(les de lasi!uiente fora%

Para e! +mi$i+% se despeja C ent)rinos de y =2C 4

⇒ y 5

4FCE

+ ? ∞ ,∞ (. @a!en

⇒ C 4

52CE

@ ? ∞ ,∞ .Mr8Hcaente% son todos los valoresde los ejes C e <

;'SE?L&5@NO% el doinio y la ia!en

sirven para deterinar las #onas delplano cartesiano en las cuales e$istela !r8Hca.

Mr8Hca

"ara di(ujar la !r8Hca se ela(orainicialente una ta(la de valores.

$3 2 * * 2 3

5

4FCE2

5

D

5

"

5

E

5

4

5

−

Se u(ica las parejas ordenadas en elplano cartesiano y posteriorente seunen con una lInea.

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S 1"

1"


17/30

Ejercicio * Kallar el doinio y el ran!oen la si!uiente relación e interpretar!r8Hcaente ,y-2C/' 0

2. Se despejan la Laria(les de lasi!uiente fora%

Para e! +mi$i+% se despeja < en

t)rinos de C, y Si C 1ace parte de

un denoinador, entonces eldoinio son los valores de los realese$cepto aquellos en los cuales quedadividida por cero, es decir quedaindeHnida.

Ejeplos.

*.4−

= x

x y

+of -?2

2.6

4

+−=

x

x y

+of -?3

3.E

54 −+

= x

x y

+of -?2∧ 2

4.4J

66 −

= x

y

+of -?3

Para !a imae$5ra$+7 se despeja < en t)rinos de C, y si < no 1aceparte de un radical par, entonces laia!en son los valores para loscuales el radical esta deHnido

*. f$ $2=>2. f$ 3$2>

3. f$ 9$2=*P

+ada la si!uiente relación $)32%y '4): 1allar doinio y ran!o einterpretar !r8Hcaente

⇒ ( )6"−= x x y

5oo cuando C3 queda unadivisión por cero, entonces 1ay quee$cluir ese valor del doinio, estoiplica que +o ? -?3

Mr8Hca

"ara di(ujar la !r8Hca se ela(orainicialente una ta(la de valores, seu(ica las parejas ordenadas en el

plano cartesiano y posteriorente seunen con una lInea. :Háa!+ *+r ;a9+r<

3. Se despejan la Laria(les de lasi!uiente fora%

Para e! +mi$i+% se despeja < ent)rinos de C, y Si C 1ace parte deun radical, entonces el doinio son

los valores para los cuales se puederesolver la raI#, es decir son aquellos


$ 2 * * 2

6

"

− x X

5

14

4

6

$ 2 * * 2

( )6

"

− x x

1

1


18/30

valores para los cuales el radicandoes ayor o i!ual a cero.Para !a imae$ si es posi(le sedespeja < en t)rinos de C, y si <1ace parte de un radical, entonces elran!o son los valores para los cuales

se puede resolver la raI#, es decirson aquellos valores para los cualesel radicando es ayor o i!ual a cero.

Ejeplo. Kallar el doinio y el ran!oen la si!uiente relación e interpretar!r8Hcaente R ' ($)*y%+ y.-./.'51

(. +oinio

⇒ y2 /2C2

⇒ y 44-CD

+ ? /2C2≥

⇒ /2C2≥ dividendo por dosquedarIa⇒ 4C2≥

4C2≥ ⇒ 2=C2$ ≥

2=C2$ ≥ ⇒

≤−∧≤+

∨

≥−∧≥+

*4*4

*4*4

X x

X x

&l resolver la inecuación queda

S [2,2Q

"or consi!uiente + ? [2,2Q

c. @a!en

⇒ C 452CE

@ ? 2./2/43,2./2/43

Mr8Hca"ara di(ujar la !r8Hca se ela(orainicialente una ta(la de valores.:Háa!a *+r ;a9+r<

$ 2 * * 2

44D x−

Se u(ica las parejas ordenadas en elplano cartesiano y posteriorente seunen con una lInea.

?E6&5@;OES "&?@5U6&?ES

Kay un tipo de relaciones que seutili#an con ayor precisión y porconsi!uiente tienen unasrestricciones especIHcas, coo%

a Oo pueden so(rar eleentos delconjunto de partida, es decir eldoinio, el recorrido son i!uales.

( 6os eleentos del conjunto departida sólo se pueden relacionar conun :nico eleento del conjunto delle!adac pero todos los eleentos delconjunto de partida o doinio orecorrido se pueden relacionar con unsolo eleento del conjunto de lle!adao ia!en.

d En el conjunto de lle!ada pueden

so(rar eleentos.5uando en este tipo de relaciones secuplen estas condiciones, sedenoina función. 5on lo que sepuede concluir qur toda función esuna relación, pero no toda relación esuna función, entonces el an8lisis deldoinio y recorrido tiene as sentido1acerlo en las relaciones.

"ara no(rar una función se puede1acer de las si!uientes foras%


1


19/30

f% y x→ se plantea coo% sea f unafunción de ! en " donde el eleento= ∈ < es la ia!en de un eleento 8 ∈C , se acostu(ra a no(rarse dela si!uiente fora%

*. y x f → una función de C n <

2. f$, se lee el valor de f en C, o f enC, o f de C

3. y f$ que se lee, el valor de f enC es i!ual a ≤ $≤ > en $∈R

*. 5onjuntos de parejasordenadas

2. +oinio3. ?an!o4. MraHca% a en conjunto de

Bec1as y ( en el planocartesiano,

Solución.

Se puede reali#ar de cualquiera deestas dos foras%

G;?& * G;?&2f $ 0$ = 2 y 0=2G * 0*24G 2 022*G 3 032*0

$* y 0*2 y4$2

@a!f-32,20,T.34

G$ 0$2

"ara la !r8Hca en el plano cartesianose puede reali#ar la si!uiente ta(la devalores #$á%alo por a&or'

$ > 43

2

* * 2 3 4 >

GC

32 20

5onclusiones de este ejercicio*. +onde se representa la +f2. +onde se representa la @f3. 5ual puede ser el recorrido

de esta función

4. 5ual puede ser el ran!o deesta función


5

64.5

64

44*

1.444

1


20/30

Oota% Una función se puederepresentar con !$, 1$ etc.

*. !

2. !

1 3.

f

4.

>. f -a,a,a,(,(,c,c,d,e,d,e,f,d,e

0. f -a,a,a,(,(,c,c,d,e,d,e,f,

d,e

P. 1 -a,a,a,(,(,c,c,d,e,d,e,f,

/. ! -*,2,2,2,3,2,4,2

9. 1 -$,yA $∈?, y∈?, yC2=2$=*

*. 1 -$,yA $∈?, y∈?, yC2=2$=*

;(servaciones%

6a pareja ordenada estadeterinada por la e$presión$, f$,

En la notación y f$, lavaria(le C es la varia(lei$e*e$ie$te y la varia(le <es la varia(le e*e$ie$te.

"ara encontrar el doinio y elran!o de una función se de(etener en cuenta las si!uientesrestricciones%

a. E$cluir las divisiones por cero(. E$cluir los n:eros ne!ativos

dentro de un radical par.c. E$cluir lo!aritos con ar!uentos

ne!ativos.

Ejeplos

Kallar el doino y el ran!o a cadauna de las si!uiente funciones.

*. f$ 2>C=*32. f$ 461E − x

3. f$ E

6

++

x

x

4. f$ E

64 ++

x

x

Una función ta(i)n se puede

representar !r8Hcaente para1allarle el doinio y el ran!o.Ejeplos

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,∞

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,∞

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S 4*

A

B

C U

A

B

C U

A

B

C U

A

B

C U

4*


21/30

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,

+of ∞ ,∞ ,?an!,∞

a +of ∞ ,∞ ,?an!a,∞

a +of ∞ ,∞ ,?an!a,∞

@nterceptos% 6os interceptos son lospuntos donde la !r8Hca se interceptacon los ejes C e


22/30

+of ,?an!∞ ,∞

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,∞

Ejeplo% f$ 4$a. interceptos(. +oinioc. ?an!od. MraHca

+o f ∞ ,∞ ,?an! ∞ ,∞

Ejeplos*. +ada la si!uiente función f$ 4$, en una 1oja copleta construir unplano y 1allar%

a. @nterceptos(. +oinio

c. ?an!od. MraHca

2. En el iso plano cartesiano,1allar las si!uientes !r8Hcas%

a. f$ cod$(. f$ 2cod=4$c. f$ 4=>cod$d. f$ 4>cod$e. f$ /cod>$f. f$ /cod=>$

!. f$ $1. f$ =$

a. El doinio ∞ ,∞ ,(. El ran!o ∞ ,∞ c. "ara ela(orar !raHcas es 8s

conveniente evaluarla en losinterceptos.

d. 5ualquier otro punto que seevalu) en la función de(e quedaren la recta de la !r8Hca.

e. El t)rino independiente de la!r8Hca deterina el

despla#aiento que se produceen la !r8Hca.

f. El si!no del coeHciente de ladeterina la pendiente de lafunción.

f$ $

f$ $ 4 3 2

* 3 2 * * 2 34

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,∞

Ejeplo 3 +ada f$ P$=4, utili#arel iso plano anterior para%

a. @nterceptos(. +oinioc. ?an!od. MraHca

2. Una función f$ es una funcióncuadr8tica si tiene una de lavaria(les elevada al e$ponente dos,es decir f$ aC2=(. llaadata(i)n de se!undo !rado. Su!r8Hca es una "ar8(ola.

Su !r8Hca puede dar una de lassi!uientes foras%

+of ∞ ,∞ ,?an! ,∞

+of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,


44


23/30

a +of ∞ ,∞ ,?an!a,∞

a +of ∞ ,∞ ,

?an!a,∞

Kacer co(inaciones de cada una deellas y que los estudiantes leencuadren el doinio y el ran!o

( +of ∞ ,∞ ,?an!(,∞

( +of ∞ ,∞ ,?an!∞ ,(

a +of ∞ ,∞ ,

?an!a,∞

a +of a,∞ ,

?an!∞ ,∞

Ejeplos

+ada la si!uiente función f$ 4$2

=*>, en una 1oja copleta construirun plano y 1allar%

a. @nterceptos '. +oinioc. ran!od. MraHca

En el iso plano cartesiano, 1allarlas si!uientes !r8Hcas a. f$ 5od$2 =*>,(. f$ $2 5od

c. f$ 5od$2 =Pd. f$ $2 Pe. f$ $2

f. f$ $2

L+s est)ia$tes e6e$ !!ear, más+ me$+s, a !as si)ie$tesc+$c!)si+$es%

a. El doinio ∞ ,∞ ,(. El ran!o ∞ ,∞ c. "ara ela(orar !raHcas es 8s

conveniente evaluarla en losinterceptos.

d. 5ualquier otro punto que se evalu)en la función de(e quedar en lacurva de la !r8Hca.

e. El t)rino independiente de la!r8Hca deterina eldespla#aiento que se produce enla !r8Hca.

f. El si!no del coeHciente de la

;"E?&5@;OES 5;O GUO5@;OES*. Sua2. ?esta3. ultiplicación4. +ivisión

>. 5oposición0. @nversa

El resto de las funciones se le deja laestudiante coo actividad desuperación personal+esarrollo

La s)ma = !a resta%6a sua y la resta de funciones sedeHne coo la operación en la cual

dadas dos funciones f$ y !C seoperan en una función 1$ f$ ±!$ [f ± !Q$ uno a uno lost)rino seejantes de las dosfunciones

Ejeplos% dada las si!uientesfunciones efectuar la sua y la restaentre ellas

*. f$ *3CP/4. !$ $ =2>C2*P

a. sua%


46


24/30

1$ f$ =!$ [f =!Q$1$ *3CP/ = -$ =/C21$ *3CP/ = $ =/C2

1$ *4CPC2

1$ C2*4C=P

(. ?esta%1$ f$ !$ [f !Q$1$ *3CP/ -$ =/C21$ *3CP/ $ /=C2

1$ *2C/0=C2

1$ C2=*4C/0

La m)!ti*!icaci#$

6a ultiplicación de funciones sedeHne coo la operación en la cualdadas dos funciones f$ y !C seoperan en una función 1$ f$ •± !$ [f • !Q$ uno a uno lost)rino seejantes de las dosfunciones

Ejeplo.Efectuar la ultiplicación de lasfunciones dadas en el ejeploanterior.

*. f$ *3CP/2. !$1$ f$ • ± !$ [f • !Q$1$ *3CP/ $ =2>C2 1$ *3 C22>C*3 C3P/C

56&S@G@5&5@NO +E 6&S GUO5@;OESSEMVO SU 5;OJUO; @&MEO

Gunción 5:(ica.

De6nición:

Función c7!ica% 6a función c:(ica se

deHne coo polinoio de tercer

!radoF tiene la

fora% f$ a$3W($WcdW$ cona7

E8e9lo ;: ?eali#a la !r8Hca de lafunción y $3

a(la *

-10

-5

0

5

10

-5 0 5

Mr8Hca *

Ejercicios%

En las si!uiente funciones Kallar%

a. +oinio '. ?an!oc. Mr8Hca*. J6 += codx y

2. 64

>= xcod

x f −=

3. cod y x −= 46

GUO5@;OES ?&5@;O&6ES

Una función racional es de la fora

edx

bax x f

±±=>=

En este tipo de funciones, al i!ual que

en las relaciones 1ay que tener

cuidado de !raHcar en prier lu!ar

las asIntotas. ?ecordeos que una

asIntota es aquel valor en el

denoinador que anula la función y


C 4 3 2 * * 2 3 4 >

1

64

−−

x

x ∞

4

4


25/30

para !raHcarse se utili#a una lInea

punteada.

Ejeplo

Kallar el doinio, ran!o y (osquejar la

!raHca de la función164>=

−−= x x x f

Solución%

*. El doinio son todos los reales,

e$cepto el uno. Esto se escri(e

ate8ticaente de la

si!uiente fora% +f

{ }>1=− R . Esto quiere decir

que 1ay una asIntota en $*

2. "ara 1allar el ran!o se tiene

que despejar Dy en función

de D$, esto iplica%

1

64

−−

= x

x y

⇒ 64>1= −=− x x y

⇒ 64 −=− x y yx

⇒ 64 −=− y x yx

⇒ 6>4= −=− y y x

⇒46

−−= y y x

El ran!o o contradoinio son

todos los reales, e$cepto el

dos. Esto se escri(e

ate8ticaente de la

si!uiente fora% ?f


que 1ay una asIntota en y2

3. Ela(orar una ta(la de valores

a(la * terinarla

4. El (osquejo de la !raHca

serIa%

Mr8Hca 2terinarla

Ejeplo2


) y ' )

2

3 2P2 /* * * *2 /3 2P

45

45


26/30

Kallar el doinio, ran!o y (osquejar la

!raHca de la función4

56>=

−−

= x

x x f

&y:dee a despejarlaX

*. "ara 1allar el doinio sa(eos

que son todos los reales,

e$cepto el dos. Esto se escri(e

ate8ticaente de la

si!uiente fora% +f


que 1ay una asIntota en $22. "ara 1allar el ran!o. Y&y:dee

a despejarlaX

3. "ara ela(orar la ta(al

Y&y:dee ta(i)nX

4. ,P/, 4/>,2 4, *6o! P/ *.39P94 por que **.39P94P/6o! 4/> 2.0/>P4 por que **.39P944/>

6o! 2 .3*3 por que **.39P9426o! 4 .020 por que **.39P9446o! * * por que * **

2 Oatural, llaado ta(i)n neperianode (ase e , !+e, donde e2.P*/2/*/2/4>, es decir !+2.P*/2/*/2/4>.

!)straci#$!+ 2.P*/2/*/2/4>. P/

DE54.J1D4D1D4!og

JD*!og

Este lo!arito tiene una foraespecial de representarse asI% L$.Es decir en lu!ar de uno escri(ir !+e,escri(e L$

@lustraciones% 1allar los lo!aritosnaturales de% 2>,P/, 4/>,2, 4, *SAO6n P/ 0.0>929 por que e0.0>929

P/?ecuerde que e 2.P*/2/*/2/4>entonces lo que se 1i#o, realente fue2.P*/2/*/2/4>0.0>929 P/

6n 4/> 0.*/4*4//9* por que e0.*/4*4//9*4/>6n 2 .093*4P*/* Ypru)(eloX6n 4 *.3/029 Ypru)(eloX6n * 2.32>9 Ypru)(eloX

PROPIEDADESEs de anotar que las propiedades se

cuplen tanto para los lo!aritosvul!ares coo para los naturales.

1. !+a,Zn !+a, > !+a,n

2 nmn

maaa !og!og!og −=

' !+a,n n !+a,

? !+an b

n

ba!og

@. !+a 6a

b

!og

!og

Pr+*ieaes

E! estudio de'e ser tan intenso& ,ue e! e-amen $are%ca un descanso J.E.S 4"

4"


27/30

En R los lo!aritos cuplen lassi!uientes propiedades%

1. !+a,Zn !+a, > !+a,nEl lo!arito de un producto es i!ual ala sua de los lo!aritos de losfactores.

@lust lo![3/Q lo!3 = lo!/ .4PP*2*2>>=.93/99/P*.3/2**242

2. nmn

maaa !og!og!og −=

El lo!arito de una división es i!ual ala resta de los lo!aritos.

@lust . 14!og5!og14

5!og −=

aa

.09/9P4 *.P9*/*240.3/2**242

' a,n n !+a El lo!arito de una potencia es i!ualal e$ponente por el lo!arito de la(ase

@lust 6n 23 3 6n2 3.093*4P*/* 2.P944*>42

? !+an b

n

ba!og

El lo!arito de una raI# es i!ual allo!arito en la isa (ase deradicando dividido el Indice de la raI#.

@lust 6n 6 45 6

45 Ln

6

41DDJ5D45.6

*.P29>/0/

@ !+a 6 a

b

!og

!og

3am6i+ e 6ase% Se utili#a cuandose tiene lo!arito de (ase diferentea la * y a la Oatural. YEs el 8siportante de los lo!aritosX.@lust.

L+@ '( 45!og

6*!og

6OJOE***O.1

EJJ141455.1

*.>004*3P0N+ta $+ e8iste )$ !+aritm+ *ara!a s)ma + !a resta e 9ari+s

tCrmi$+s

Ejercicios * a,(,c 1allar lossi!uientes lo!aritos.

a cc 5"!og4+

(c

cc

4!og

4

6+

c ( )5

E

4B

c Log c

Se recoienda utili#ar en la soluciónde los ateriere ejercicios, la propiedad> de los lo!aritos.5on la lo!aritación se puedenresolver ecuaciones coo lassi!uientes >$* *,&quI el pro(lea consiste en sa(er el

valor de C para que > elevado a esevalor enos uno de cóo resultado

*SAO6o! >$* lo! *, sacar lo! a a(oslados$* 6o! > lo! * "p 3 de loslo!aritos

$* 5!og

1*!og

C 5!og

1*!og=*

C

"ODOJ***E.*

1=*

C *.430P0>>9=*C "(a > 2.430P0>>9* *⇒ >*.430P0>>9 *⇒ * *

E8e

?&+@5&5@NOEn los ? la radicación perite todasla propiedades utili#adas en losconjunto nu)ricos anteriores,apliando el concepto de que sepueda encontrar Indices, radicando yraIces deciales.

@lust.

."1E"5"4D45.* = para pro(ar esteresultado se tiene que utili#ar la

lo!aritación, asI% 0*40>0 .2> 2/Se saca lo!aritos a a(os lados


4


28/30

6o! 0*40>0 .2> ló! 2/ ⇒ .2> ló! 0*40>0 ló! 2/ ⇒ .2> >.P//032*2>*.44P*>/3*

⇒ *.44P*>/3*

*.44P*>/3*

Kasta a1ora 1eos consideradoal!unas funciones al!e(raicas.E$isten otras funciones iportantescoo son la función e$ponencial yla función lo!arItica. En estaparte estudiareos a(asfunciones y sus aplicaciones 8sfrecuentes.

6& GUO5@;O EC";OEO5@&6 y + (x)+a x

5onsidereos a1ora la e$presión a$

donde a ∈?, y $ ∈?.Evidenteente $ puede ser unn:ero racional o un n:eroirracional.

6a indeterinada o varia(le es ele$ponente $ y la funcióne$ponencial a$ e$iste para todos losvalores reales de $.

E$ainareos las !r8Hcascorrespondientes a dos casosespeciales de funciones e$ponenciales a sa(er%

6& GUO5@;O EC";OEO5@&6 y + (x)+ 2$

El doinio de la función y + (x) + 2$

es el conjunto de todos los n:erosreales, puesto que 2$ est8 deHnidapara todo n:ero real $. 6a !r8Hcade esta función puede ser reali#adadando a $ al!unos valores yo(teniendo un conjunto de parejasordenadas $, y que coo sa(eosrepresentan puntos en el planocoordenado cartesiano.

&sI, entonces, podeos o(tener una!raHca de la función e$ponencial dela si!uiente fora%

Ejeplo *%

y + (x) + 2$

a(la terinarla

Es(o#ar la !r8Hca

Ejeplo 2%

x

y

=4

1

a(la terinarla

El es(o#o de la !r8Hca es%


x -

.

/ 0 1 0 / . -

(x)

x -

.

/ 0 1 0 / . -

(x)

4

4


29/30

Gi!ura 3

6as funciones e$ponenciales seutil i#an frecuenteente en el

estudio d e los fenóenosnaturales.Eemplos

*. El n:ero ( de (acterias en uncierto cultivo (acterial al ca(ode t 1oras puede estar dadopor la función e$ponencial ( +(t) + /111(/) t 2 3

/4 6a fórula de inter)s

copuesto es una funcióne$ponencial de la fora

kt

k

r p A >1= += donde " denota la

inversión ori!inal, r el inter)sanual, 5 el n:ero de vecesque se copone el inter)s en unao, y & es el capitalauentado de sus interesesdespu)s de t aos. Si r y 5 sonconocidos, entonces & es unafunción e$ponencial de t4

Eemplo

6a cantidad \ de radio que quedadespu)s de t aos, cuando lacantidad ori!inal es > ! puededarse apro$iadaente ediantela función e$ponencial \ >*.*0t

GUO5@;O 6;M&?@@5&

6a radicación se introduce coooperación inversa de lapotenciación. Es decir, la radicaciónresuelve el pro(lea de calcular labase cuando se conocen lapotencia y el e$ponente.

6a potenciación da ori!en a otraoperación inversa, cuando se tratade calcular el exponenteconociendo la potencia y la (ase.

Si la ecuación en $% ($ a, tienesolución :nica en ?, esta se llaal o%ar i tmo de a en base b " seindica por $ lo!(a.

El concepto de lo!arito est8directaente relacionado con la

potenciación coo lo 1eosanotado.

Si b es un n:ero real positivodiferente de *, b x est8 deHnidapara todos los valores de $. Esta(i)n verdadero que para todon:ero positivo a e$iste un :nicovalor de $ tal que b x + a.

64 eemplos

6o!> * puesto que > ]

*.

6o!2 32 > puesto que 2>

32.

M?&G@5& +E 6& GUO5@;O6;M&?@@5&

En fora !eneral la !raHca de la

función lo!arItica se es(o#a de lasi!uiente fora%


4


30/30

6*

dto 1(desiguldades 1p 11º 2011)

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