dsalg lec03 growth - euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι...

Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων1

ρυθμός αύξησης συναρτήσεων

Παύλος Εφραιμίδης


περιεχόμενα

Ασυμπτωτικός συμβολισμόςΚαθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθειςσυναρτήσεις


ασυμπτωτική πολυπλοκότητα

Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης– Συγχωνευτική ταξινόμηση: Θ(nlgn)– Ενθετική ταξινόμηση: Θ(n2)Για αρκετά μεγάλο μέγεθος εισόδου n, ησυγχωνευτική ταξινόμηση υπερτερεί της ενθετικήςΤο παραπάνω συμπέρασμα προκύπτει ανεξάρτητααπό τις πολλαπλασιαστικές σταθερές και τους όρουςκατώτερης τάξης στην πολυπλοκότητα χρόνου


ασυμπτωτική επίδοση

Δεδομένου ενός αλγορίθμου,– για μεγάλα μεγέθη εισόδου μας ενδιαφέρει ο αυξητικόςχαρακτήρας του χρόνου εκτέλεσης,

– δηλαδή ουσιαστικά η ασυμπτωτική επίδοση τουαλγορίθμου.

Ασχολούμαστε δηλαδή με το ρυθμό αύξησης τουχρόνου εκτέλεσης

– στην οριακή περίπτωση που το μέγεθος της εισόδουαυξάνει απεριόριστα.


ασυμπτωτικός συμβολισμος

Χρησιμοποιούμε διάφορους συμβολισμούςγια την ασυμπτωτικό χρόνο εκτέλεσης ενόςαλγορίθμουΧρησιμοποιούμε συναρτήσεις με πεδίοορισμού τους φυσικούς αριθμούςΝ=0,1,2,...Καταχρηστικά μπορεί να το χρησιμοποιούμεγια διαφορετικά πεδία ορισμού


ασυμπτωτικοί΄συμβολισμοί

Συμβολισμός ΘΣυμβολισμός ΟΣυμβολισμός ΩΣυμβολισμός οΣυμβολισμός ω


συμβολισμός Θ

Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Θ(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Θ(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Θ(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c1,c2 καιn0: 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) ∀n≥n0


f(n)=Θ(g(n))Η συνάρτηση f(n) είναι ασυμπτωτικά φραγμένη από επάνω καιαπό κάτω από τη συνάρτηση g(n).

f(n)

c1·g(n)

c2·g(n)

n0


συμβολισμός Ο

Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Ο(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Ο(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Ο(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c και n0: 0≤f(n)≤cg(n) ∀n≥n0


f(n)=Ο(g(n))Η συνάρτηση g(n) είναι ένα ασυμπτωτικό άνω φράγμαγια τη συνάρτηση f(n).

f(n)

c·g(n)

n0


συμβολισμός Ω

Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Ω(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Ω(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Ω(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c και n0: 0≤cg(n)≤f(n) ∀n≥n0


f(n)=Ω(g(n))Η συνάρτηση g(n) είναι ένα ασυμπτωτικό κάτω φράγμαγια τη συνάρτηση f(n).

f(n)

c·g(n)

n0


Συμβολισμός ο

Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το ο(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:ο(g(n)) = f(n): για οποιαδήποτε θετικήσταθερά c, υπάρχει σταθερά n0: 0≤f(n)<cg(n) ∀n≥n0Το ο() δηλώνει ένα ασυμπτωτικά μη σφιχτό(tight) άνω όριο ή αλλιώς μη αυστηρό άνωόριο


μια ερμηνεία του ο()

Μια διαφορετική ερμηνεία του συμβολισμού ο() είναι:Το f(n) = o(g(n)) σημαίνει ότι η συνάρτηση f(n) γίνεται αμελητέα σε σχέση με την g(n) καθώς το n τείνει προς το άπειρο:

( )lim 0( )n

f ng n→∞

=


Συμβολισμός ω

Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το ω(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:ω(g(n)) = f(n): για οποιαδήποτε θετικήσταθερά c, υπάρχει σταθερά n0: 0≤cg(n)<f(n)∀n≥n0Το ο() δηλώνει ένα ασυμπτωτικά μη σφιχτό(tight) κάτω όριο ή αλλιώς μη αυστηρό κάτωόριο


μια ερμηνεία του ω()

Μια διαφορετική ερμηνεία του συμβολισμού ς() είναι:Το f(n) = ς(g(n)) σημαίνει ότι η συνάρτηση f(n) γίνεται αυθαίρετα μεγάλη σε σχέση με την g(n) καθώς το n τείνει προς το άπειρο:

( )lim( )n

f ng n→∞

= ∞ ,εάν υπάρχει το όριο.


καθιερωμένη συμβολισμοίκαι συνήθεις συναρτήσεις


μονοτονία

Αύξουσες συναρτήσεις:– συνάρτηση f(n) μονότονα αύξουσα: ∀m≤n, f(m)≤f(n)– συνάρτηση f(n) γνησίως αύξουσα: ∀m<n, f(m)<f(n)

Όμοια, φθίνουσες συναρτήσεις:– f(n) μονότονα φθίνουσα– f(n) γνησίως φθίνουσα


κατώφλι και ανώφλι

x πραγματικός αριθμός– κατώφλι του x: ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι

μικρότερος ή ίσος του x– ανώφλι του x: ο μικρότερος ακέραιος που είναι

μεγαλύτερος ή ίσος του x

Ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x:

⎣ ⎦x

x⎡ ⎤⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 11 +<≤≤<− xxxxx


υπολοιπική αριθμητική

υπολοιπική αριθμητική (modular arithmetic)υπόλοιπο διαίρεσης:

– α: οποιοσδήποτε ακέραιος– n: οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος– τότε: ⎣ ⎦ nnaana ⋅−= /mod

Αν (α mod n) = (b mod n), γράφουμε

)(mod nba ≡


πολυώνυμα

Δοθέντος μη αρνητικού ακεραίου d, μια συνάρτησηp(n) της μορφής

είναι ένα πολυώνυμο του n βαθμού d.Όταν f(n)=O(nk) για κάποια σταθερά k, λέμε ότι ησυνάρτηση f(n) είναι πολυωνυμικά φραγμένη

∑=

=d

i

ii nanp

0)(


εκθετικές συναρτήσεις

Για κάθε α≥1, η συνάρτηση αn είναι μονότονα αύξουσα ως προς n.Συγκρίνετε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της 2n με την n15.Αν α και b πραγματικές σταθερές με α>1, τι ισχύει γενικά για τιςσυναρτήσεις αn και nb;

( ) ( )nmnm

nmmnnm

aaaaaa

aa

aaa

+

⋅

−

=⋅

==

=

=

=

1

1

1

1

0


λογάριθμοι

lg n=log2n (δυαδικός λογάριθμος)ln n=logen (φυσικός λογάριθμος)lgkn = (lgn)k (ύψωση σε δύναμη)lg lg n = lg( lg n)) (σύνθεση)


ιδιότητες λογαρίθμων

Για πραγματικούς α>0,b>0,c>0 και n:

aca

b

bb

c

cb

bn

b

ccc

a

bb

b

ca

ba

aabaa

ana

baabba

loglog

log

log1log

log)/1(loglogloglog

loglog

loglog)(log

=

=

−=

=

=

+==


παραγοντικά

Για ακέραιο n≥0, το n! (διαβάζεται «n παραγοντικό») ορίζεται ως:n!=– 1, για n = 0– n·(n-1)!, για n > 0Επομένως

n! = 1·2·... ·n


επαναληπτική εφαρμογή συνάρτησης

Για συνάρτηση f(n) επί των πραγματικώναριθμών και μη αρνητικό ακέριαο i, ορίζουμεαναδρομικά:f(i)(n)=– n, εάν i = 0,– f(f(i-1)(n)), εάν i > 0


επαναληπτική εφαρμογή λογαρίθμου

lg*n: «λογάριθμος αστερίσκος του n»Ορισμός:Η συνάρτηση αυξάνεται με πολύ αργό ρυθμό:

Αν λάβουμε υπόψη ότι ο αριθμός των ατόμων στοπαρατηρήσιμο σύμπαν εκτιμάται ότι είναι της τάξης του 1080, αντιλαμβανόμαστε ότι είναι μάλλον απίθανο νασυναντήσουμε τέτοιο n ώστε lg*n > 5.

1lg:0minlg* )( ≤≥= nin i

5)2(lg*465536lg* ,316lg*

24log* ,12lg*

65536 =

====


αριθμοί Fibonacci

Οι αριθμοί Fibonacci ορίζονται με την ακόλουθηαναδρομική σχέση:F0=0, F1=1, Fi=Fi-1+Fi-2, για i≥2Προκύπτει ότι:

,5

όπου είνα ι ο λόγος της χρυσής τομής (go lden ratio ):

1 5 1 5,2 2

ii

iF φ φ

φ

φ φ

−=

+ −= =


Αναφορές/Πηγές

Εισαγωγή στους αλγόριθμους, Κεφάλαιο 3

dsalg lec03 growth - euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι...

Documents