dragan stevanović, osnove kombinatorike i teorije grafova deo za verovtnocu

Glava 5

Diskretna verovatnoca

Teorija verovatnoce vuce korene iz 16-tog veka, a nastala je kao rezultat pokusajamatematicara tog vremena da razrese neke fenomene vezane za igre na srecu.Prva knjiga iz ove oblasti za koju se zna je De Ludo Alea (O igri kockom), stam-pana je tek 1663 godine, dakle oko 100 godina posto je napisana. Autor knjigeje Girolamo Cardano, poznat i po formulama za resavanje algebarskih jednacinatreceg stepena. I u danasnje vreme jos uvek postoji interes za resavanje prob-lema vezanih za igre na srecu. Ne mali broj ljudi interesuje kakve su im sanseda dobiju neku premiju u igrama na srecu. Stoga se namece zakljucak daverovatnoca predstavlja meru za mogucnost nastupanja nekog dogadjaja.

Imajuci u vidu gornje cinjenice, za verovatnocu bi se moglo reci da pred-stavlja matematicku disciplinu koja sluzi izucavanje takozvanih slucajnih, ilinedeterministickih fenomena. Za deterministicke fenomene je karakteristicnoda se njihovo ponasenje moze predvideti na osnovu poznavanja pocetnih uslova,kao i odredjenih naucnih zakona (na primer, fizike, hemije i drugih po praviluprirodnih nauka). Tipican primer iz fizike je kos hitac.

U 20-tom veku, verovatnoca je postavljena na cvrste temelje, i aksiomatskije zasnovana uz pomoc teorije skupova. Aksiomi koje cemo u nastavku raz-matrati pripisuje se Andreju Nikolajevicu Kolmogorovu. Dakle, danas je tojedna strogo zasnovana matematicka disciplina sa mnostvom primena. Posebnudraz ovoj teoriji daju racunari. Umesto klasicnih eksperimenata, sada se onimogu simulirati na racunaru. Uz teoriju verovatnoce, po pravilu stoji i statistika,kao matematicka disciplina sa kojom se dopunjava (daje joj prakticni smisao).U ovoj knjizi nece biti reci o statistici.

5.1 POJAM DOGADJAJA

Osnovni pojam na kojem bazira teorija verovatnoce je dogadjaj. Dogadjaj jeskup koji se sastoji od takozvanih elementarnih (nedeljivih) dogadjaja, odnosno

227

GLAVA 5. DISKRETNA VEROVATNOCA 228

osnovnih instanci. Svi elementarni dogadjaji obrazuju prostor elementarnih do-gadjaja. U stvarnosti neki fenomen pod odredjenim uslovima (ili uticajnim fak-torima) moze, ali ne mora da nastpi. Ako je nastupio posmatrani fenomen, tadaje samim tim nastupio i jedan od elementarnih dogadjaja, te se stoga realizujei odgovarajuci dogadjaj kao posledica realizacije jedne od instanci. U mnogimslucajevima nastupanje ili nenastupanje nekog dogadjaja moze se shvatiti kaorezultat realizacije (ishod) nekog eksperimenta. Idealizovana predstava eksperi-menta bazira se na sledecim pretpostavkama:

i) za svaki eksperiment unapred je poznat skup svih mogucih ishoda (ele-mentarnih dogadjaja);

ii) realizacija bilo kog ishoda nije poznata unapred1;

iii) svaki eksperiment se moze neogranicen broj puta ponoviti pod istimuslovima.

Bacanje novcica: Prostor mogucih elementarnih dogadjaja je realizacija ili grba,PRIMER 5.1.1ili pisma. Smatra se da se bacanje novcica (na ravnu podlogu) moze neogranicenbroj puta ponoviti pod istim uslovima. U slucaju da je novcic pravilan (ho-mogen) intuitino, a i empirijski, bi se moglo zakljuciti da ce broj ishoda grba ipisma u velikom broju bacanja biti priblizno jednak.

Bacanje kocke: Prostor mogucih elementarnih dogadjaja je realizacija jedne odPRIMER 5.1.26 strana kocke, oznacenih brojevima od 1 do 6. I u ovom slucaju se smatrada se bacanje kocke (na ravnu podlogu) moze neogranicen broj puta ponovitipod istim uslovima. U slucaju da je kocka pravilna (homogena) intuitino, a iempirijski, bi se moglo zakljuciti da ce broj ishoda svake strane (odgovarajucegbroja) u velikom broju bacanja biti priblizno jednak.

Izvlacenje karte iz spila: Prostor mogucih elementarnih dogadjaja je vadjenjePRIMER 5.1.3jedne od 52 karte iz kompletnog spila. U ovom slucaju se smatra da su karte, preizvlacenja, djobro promesane”(kao i da im se vidi samo poledjina). U slucaju dase obezbedi dobro mesanje karate pre svakog izvlacenja, moglo bi se zakljucitida ce u velikom broju izvlacenja svaka karta biti priblizno jednak broj putaizvucena.

U svim gore navedenim primerima broj ishoda eksperimenta je bio konacan(redom 2, 6 i 52, respektivno). Dakle, prostor elementarnih dogadjaja je biokonacan. Ukoliko je prostor elementarnih dogadjaja konacan ili prebrojiv (dakle

1Ova cinjenica odredjuje nedeterminizam fenomena koji se posmatra. Strogo gledano, teskobi se mogla povuci crta izmedju deterministickih i nedeterministickih fenomena. Ima mislenjada nedeterministicki fenomeni objektivno i ne postoje, vec su za nas rezultat nemogucnostida uzmemo u obzir sve faktore koji odredjuju determinizam posmatranog fenomena


najvise prebrojiv, ili diskretan), tada se teorija verovatnoce svodi na diskretnuverovatnocu. U nastavku, mu cemo se iskljucivo njome baviti.

Sada cemo dati oznake za osnovne pojmove date u okviru uvodnih razma-tranja. Najpre imamo:

i) e – uobicajena oznaka za elementatni dogadjaj;

ii) Ω – skup, ili prostor elementarnih dogadjaja;

iii) A ⊆ Ω – proizvoljan dogadjaj.

U slucaju da je A = ∅, tada je odgovarajuci dogadjaj nemoguc; s druge strane,ako je A = Ω tada je odgovarajuci dogadjaj siguran.

5.2 ALGEBRA DOGADJAJA

Posto su dogadjaji u osnovi skupovi, logicno je ocekivati da se osnovneskupovne operacije mogu interpretirati i kao operacije nad dogadjajima. Al-gebra dogadjaja zasnovana je na sledecim operacijama:

i) komplement dogadjaja: A = {e | e �∈ A} (= A);

ii) suma (unija) dogadjaja: A + B = {e | e ∈ A ∨ e ∈ B} (= A ∪B),ili opstije,

�i∈I Ai = ∪i∈IAi;

iii) – proizvod (presek) dogadjaja: A · B = {e | e ∈ A ∧ e ∈ B} (= A ∩B),ili opstije,

�i∈I Ai = ∩i∈IAi;

iv) razlika (diferencija) dogadjaja: A−B = {e | e ∈ A ∨ e �∈ B} (= A \ B);

Skup indeksa I u stavkama ii) i iii) je najvise prebrojiv skup. Ista pretpostavka,ako se drugacije ne naglasi, vazi ce i u preostalom delu teksta.

Uvescemo sada jedan veoma vazan pojam koji igra jednu od kljucnih ulogau teoriji verovatnoce.

Dogadjaji A i B su iskljucivi (ili nesaglasni) ako je A · B = ∅. Opstije, famil-DEFINICIJA 5.2.1

ija dogadjaja Ai, i ∈ I, obrazuje familiju uzajamno iskljucivih (nesaglasnih)dogadjaja ako je Ai · Aj = ∅ za svako i �= j, i, j ∈ I.

Neka je B neki podskup partitivnog skupa od Ω koji je zatvoren u odnosuna operacije +, · , , ili samo za +, , odnosno · , . Dakle, ako A,B ∈ B tadavazi A + B,A · B, A ∈ B. Pod ovim pretpostavkama imamo:

Skup dogadjaja B je σ–polje ako vazi:DEFINICIJA 5.2.2

i) Ω ∈ B;


ii) ako Ai ∈ B za svako i ∈ I tada�

i∈I Ai ∈ B;

iii) ako A ∈ B tada i A ∈ B.

Umesto ii) i iii) moze (alternativno) da stoji:NAPOMENA

ii’) ako Ai ∈ B za svako i ∈ I tadaQ

i∈I Ai ∈ B;

iii’) ako A, B ∈ B tada i A−B ∈ B.

Napomenimo i da se za σ–polje, ako je skup Ω diskretan, moze uzeti partitivni skupskupa Ω. Naime, ako je svaki elementarni dogadjaj i sam za sebe dogadjaj iz σ–polja,tada za svako A ⊆ Ω vazi A = ∪e∈A{e}.

5.3 PROSTOR VEROVATNOCE

Posmatrajmo uredjenu trojku datu sa: (Ω,B, P ), gde je P : B −→ IR. Zaovu trojku se kaze da je prostor verovatnoce ako vaze aksiome i) – iii) (aksiomeKolmogorova):

Uredjena trojka (Ω,B, P ), gde je P : B −→ IR, predstavlja prostor verovatnoceDEFINICIJA 5.3.1

ako vazi:

i) P (A) ≥ 0 za svako A ∈ B;

ii) P (Ω) = 1;

iii) ako su dogadjaji Ai (i ∈ I) nesaglasni (u parovima) tada jeP (

�i∈I Ai) =

�i∈I P (Ai).

Ako Ω nije diskretan skup tada se po pravilu javlja dodatni problem vezan za kon-NAPOMENAstrukciju funkcije P koja zadovoljava navedene aksiome - za svako B funkcija kojazadovoljava aksiome i)–iii) ne mora postojati. Primetimo jos da P nije preciziranoaksiomama; drugim recima, postoji velika sloboda za njen izbor.

Osnovne osobine funkcije P date su sledecom teoremom:

TEOREMA 5.3.2 Ako je (Ω,B, P ) prostor verovatnoce, tada za funkciju

P : B −→ IR

vazi:


i) P (∅) = 0;

ii) P (A) + P (A) = 1 za svako A ∈ B;

iii) ako A ⊆ B tada P (A) ≤ P (B);

iv) P (A + B) = P (A) + P (B)− P (A · B);

v) P (A1 + A2 + · · · + An) ≤ P (A1) + P (A2) + · · · + P (An);

vi) P (A1 + A2 + · · · + An) =�

1≤i≤n P (Ai)−�

1≤i<j≤n P (AiAj)+

�1≤i<j<k≤n P (AiAjAk) + · · · + (−1)n−1P (A1A2 · · ·An).

Dokaz . Primetimo najpre da je Ω = A + A. Odavde sledi da je 1 = P (Ω) =P (A + A) = P (A) + P (A) (videti Definiciju 1.3.1). Uzimanjem da je A = Ωneposredno sledi i), a potom i ii). Kako je B = A + (B − A), sledi da jeP (B) = P (A) + P (B−A) ≥ P (A), te vazi i iii). Primetimo najpre da A + B =(A−B)+(B−A)+(AB). Odavde je P (A+B) = P (A−B)+P (B−A)+P (AB).Primetimo i da je A = (A − B) + (AB), te da je P (A − B) = P (A) − P (AB)(slicno se dobija da je P (B−A) = P (B)−P (AB)). Samim tim dobijamo i iv).Najzad, v) i vi) se dobijaju indukcijom iz iv).

Ovim je dokaz komletiran.

Interesantno je primetiti da obrnuto tvrdjenje za i) ne vazi. Dakle, ako jeverovatnoca nekog dogadjaja jednaka 0, to ne znaci da taj dogadjaj ne moze danastupi. Na primer, verovatnoca izbora fiksne tacke sa duzi je jednaka 0, ali tone znaci da ona ne moze biti izabrana (pri nekom eksperimentu). Medjutim,kod diskretne verovatnoce vazi i obrnuto.2 Svojstvo ii) daje vezu izmedjumedjusobno komplementarnih dogadjaja. Cesto se desava u praksi da je jedanod njih znatno lakse izracunati nego drugi, tako da je ova formula veoma korisna.Svojstvo iii) iskazuje monotoniju funkcije verovatnoce. Svojstvo iv) je specijalnislucaj principa ukljucenja–iskljucenja – videti svojstvo vi. Najzad, svojstvo v)je poznato kao nadlinearnost.

5.4 DODELA VEROVATNOCEDOGADJAJIMA

Dodeljivanje verovatnoce pojedinim dogadjajima, kao sto je vec primeceno,nije jednoznacno odredjeno. Postoji vise pristupa da se pojedinim dogadjajimadodeli njihova verovatnoca.

Klasicna definicija Osnovna ideja na kojoj je zasnovana klasicna definicijaverovatnoce bazira ne pretpostavci da su svi elementarni dogadjaji jednako

2Ova cinjenica se veoma elegantno koristi za probabilisticko dokazivanje teorema.


verovatni. Ova definicija ima posebno smisla ako je prostor elementarnih do-gadjaja konacan, recimo da ima tacno n elementarnih dogadjaja. U tom slucajusvaki elementarni dogadjaj ima verovatnoci 1

n , tj. P ({e}) = 1n za svako e ∈ Ω.

S obzirom da je A = {ei1 , ei2 , . . . , eim}, imamo da je A = ∪m

s=1{eis}, te odatle

sledi (videti Definiciju 1.3.1) da je P (A) = mn . Stoga imamo:

(Klasicna definicija verovatnoce) Neka je m broj instanci kojima se realizujeDEFINICIJA 5.4.1

dogadjaj A (kaze se i broj povoljnih slucajeva za dogadjaj A), a n broj svihmogucih instanci iz prostora Ω. Ako su sve instance jednako verovatne tada je

P (A) =m

n.

U praksi (kod eksperimenata) m oznacava i broj povoljnih ishoda za do-gadjaj A, a n broj svih mogucih ishoda eksperimenta. Moze se lako pokazatida su sve aksiome in Definicije 1.3.1 zadovoljene ako se verovatnoca P pridruzidogadjajima na opisani nacin.

Za eksperiment sa novcicem, m = 1 za grb (dogadjaj G), ili pismo (dogadjajPRIMER 5.4.2P ), a n = 2 za dogadjaj Ω = {G, P}. Stoga, ako je novcic pravilan (odnosnohomogen), imamo da je q = P (G) = 1

2 , a p = P (P ) = 12 (jasno p + q = 1).

Slicnim rezonovanjem lako se dobija za kocku da je P (Si) = 16 , za realizaciju

i-te strane kocke (i = 1, 2, . . . , 6) pri bacanju pravilne (homogene) kocke; zakarte karte, imamo da je verovatnoca vadjenja (po slucajnom principu) bilo kojekonkretne karte jednaka 1

52 . Naravno, ukoliko novcic ili kocka nisu pravilni, tadamoze doci odstupanja od pomenutih vrednosti.

Geometrijska definicija Osnovna ideja na kojoj je zasnovana geometrijskadefinicija verovatnoce je slicna klasicnoj definiciji. Jedina bitna razlika je da jesada prostor elementarnih dogadjaja beskonacan, te bi stoga verovatnoca svakogelementarnog dogadjaja neminivno bila jednaka nuli. Odatle bi se nametalamogucnost da je verovatnoca svakog dogadjaja bila jednaka nuli, sto je nedo-pustivo. Izlaz iz ove situacije moze se napraviti uz pomoc geometrijskih argu-menata.

Predpostavicemo da skup elementarnih dogadjaja odgovara nekom pod-skupu tacaka iz Euklidovog prostora dimenzije dimenzije do 3, to jest prostorakoji nas okruzuje. Na primer, u jednodimenzijalnom slucaju biramo tacke nanekoj duzi; u dvodimenzijalnom slucaju biramo neki deo ravni (geometrijskufiguru kao sto je trougao, pravougaonik, krug itd.); u trodimenzijalnom slucajubiramo neki deo prostora (geometrijsko telo kao sto je teraedar, paralelepiped,lopta, itd.). Svaki od ovih objekata ima svoju meru: za duz to je njena duzina,za figuru u ravni to je njena povrsina, za telo u prostoru to je njena zapremina.Neka je S skup svih tacaka iz odgovarajuceg prostora koje su u obostrano–jednoznacnoj korespodenciji sa Ω, prostorom elementarnih dogadjaja. Neka je


R skup tacaka (iz S) koje su u obostrano–jednoznacnoj korespodenciji sa elemen-tarnim dogadjajima koji realizuju dogadjaj A ∈ B. Tada je P (A) = mes(R)

mes(S) , gdemes(X) oznacava meru skupa X, dakle njegovu duzinu, povrsinu, zapreminu,itd. U praksi, mozemo pisati i P (A) = mes(A)

mes(Ω) . Stoga imamo.

(Geometrijska verovatnoca) Neka je mes(A) mera dela prostora koji koji sadrziDEFINICIJA 5.4.3

tacke koje odgovaraju instancama dogadjaja A, a mes(Ω) takodje merljiv deoprostora koji koji sadrzi tacke koje odgovaraju svim mogucim instancama. Akosu sve tacke posmatranog prostora jednako verovatne tada je

P (A) =mes(A)mes(Ω)

.

Moze se lako pokazati da su sve aksiome in Definicije 1.3.1 zadovoljene akose verovatnoca P usvoji na opisani macin.

(Problem semafora): Na semaforu se smenjuju crveno, narandzasto i zelenoPRIMER 5.4.4svetlo, i to tako da redom traju 20 sekundi, 5 sekundi i 25 sekundi. Jedno odpitanja koje se moze postaviti glasi: Koje je verovatnoca da vozilo koje stize naraskrsnicu mora da ceka na zeleno svetlo. Odgovor je 1

2 (zasto?).

(Problem presretanje): Dva broda stizu u luku u toku istih T sati. VremenaPRIMER 5.4.5njihovih pristizanja su slucajna i jednako verovatna u svakom od trenutaka izposmatranog intervala od T sati. Vreme zadrzavanja prvog broda u luci je T1

sati, a drugog T2 sati. Ako je jedan brod u luci, tada drugi mora da ceka naoslobadjanje luke. Kolika je verovatnoca da dodje da sacekivanja.

Prostor svih elementarnih dogadjaja se moze poistovetiti sa tackama ukvadratu stranica T , koji je odredjen tackama (0, 0), (T, 0), (T, T ) i (0, T ) ukoordinatnom sistemu. Svaka tacka (t1, t2) odgovara vremenima pristizanjabrodova. Do sacekivanja ce doci ako je 0 ≤ t1 − t2 ≤ T1 (tada prvi brod ceka),ili ako je 0 ≤ t2− t1 ≤ T2 (tada drugi brod ceka). Tacke koje odgovaraju saceki-vanju leze u jednoj traci odredjenoj pravama t2 = t1 − T1 i t2 = t1 + T2. Stogaje trazena verovatnoca jednaka T 2− 1

2 ((T−T1)2+(T−T2)

2)

T 2 .

Problem: Odrediti verovatnocu da je nasumice izabrana tetiva kruga duza odPRIMER 5.4.6stranice jednakostranicnog trougla upisanog u dati krug.

Pokazacemo da je pojam jednakoverovatnih dogadjaja u ovom slucaju teskoprecizirati, i da se zavisno od toga kako je to ucinjeno mogu dobiti razlicitirezultati. U svim donjim varijantama pri izboru jednakoverovatnih dogadjajasimetrija kruga se koristi kao glavni (pocetni) argument.

Prva varijanta: Uzmimo najpre da je tetiva odredjena svojom srednjom tackom,kao i da su sve tacke kruga jednako verovatne. Povoljni slucajevi sada odgo-varaju tackama cije je rastojanje od centra kruga najvise r

2 (r je poluprecnik


kruga). Sada se lako dobija da je trazena verovatnoca jednaka 14 (kao kolicnik

mere dva kruga).

Druga varijanta: Uzmimo sada da je tetiva odredjena jednom fiksnom tackomna kruznici i uglom koji zaklapa sa tangentom na krug u uocenoj tacki nakruznici. Povoljni slucajevi sada odgovaraji onim uglovima koji su u opseguod 60o do 120o. Sada se lako dobija da je trazena verovatnoca jednaka 1

3 (kaokolicnik mere dva ugla).

Treca varijanta: Uzmimo sada da je tetiva odredjena svojim pravcem (daklemora biti paralelna nekoj fiksnoj pravoj) i rastojanjem od centra. Povoljnislucajevi sada odgovaraji rastojanjima od centra do najvise r

2 . Sada se lakodobija da je trazena verovatnoca jednaka 1

2 (kao kolicnik mere dve duzi).Ovaj primer je ilustrativan jer pokazuje istovremeno koliku slobodu imamo

u dodeljivanju verovatnoce dogadjajima.

Buffon-ov problem: U ravni je dat skup paralelnih pravih, pri cemu je rastojanjePRIMER 5.4.7izmedju svake dve susedne prave 2a (a > 0). Na ravan se baca igla duzine 2l(0 < l < a). Odrediti verovatnocu da igla preseca neku od paralelnih pravih.

Zbog uslova l < a igla moze presecati najvise jednu od pravih. Polozaj igleu odnosu na bilo koju pravu moze se odrediti rastojanjem d njenog centra uodnosu na najblizu pravu, kao i uglom φ koji ona zaklapa sa bilo kom pravom.Ove dve velicine se mogu smatrati nezavisnim (u intuitivnom smislu).

Stoga bi prostor elementarnih dogadjaja mogao biti interpretiran kao tackau pravougaoniku sa temenima (0, 0), (π, 0), (π, a) i (0, a). Igla preseca najblizupravu ako i samo ako je 0 ≤ d ≤ l sin(φ). Prostor povoljnih dogadjaja je figura(u gornjem pravougaoniku) ispod sinusoide d = l sin(φ). Lako se pokazuje da jeodnos odgovarajucih povrsina jednak 2l

πa , so je ujedno i trazena verovatnoca.Interesantno je da je odavde π = 2l

a .

Statisticka definicija verovatnoce Napomenimo najpre da se matematickastatistika kao matematicka disciplina pre svega bavi primenom aparata teorijeverovatnoce na resavane prakticnih problema (dakle, odredjivanjem verovatnocadogadjaja vezanih za neke probleme iz prakse, tumacenjem dobivenih rezultata,predikcijom nastupanja nekih dogadjaja, itd. Nas ce u okvirima ove knjigeinteresovati jedan samo dodeljivanje verovatnoce nekim dogadjajima.

Podjimo od primera bacanja novcica. Postavlja se pitanje sta cemo daradimo ako novcic nije pravilan! Intuitivno je jaso da ako je pravilan, da cegrb (ili pismo) nastupiti priblizno jednak broj puta ako se eksperiment viseputa (na primer, 100 puta) ponavlja. sta se moze ocekivati ako novcic nijepravilan. U tom slucaju recimo da se pismo realizovalo m puta u n ponavljanjaeksperimenta. Uocimo tada kolicnik m

n , i oznacimo ga sa f . Tada f (= mn )

predstavlja (po definiciji) relativnu frekvenciju nastupanja pisma, za nas dogad-jaja, recimo A (m je apsolutna frekvencija). Intuitivno, ali i empirijski mozemopretpostaviti da je

P (A) = limn→+∞

m

n.


Napomenimo da je ovde pojam granicne vrednosti upotrebljen u intuitivnomsmislu. Razlog je sto formalna definicija granicne vrednosti (sa neizbeznim �)sada nema isti smisao. Eksperimenti sugerisu da ce za veliko n razlika (pomodulu) izmedju relativne frekvencije (uz zanemarljiva kolebanja) biti veomabliska nekom broju: taj broj je verovatnoca naseg dogadjaja A. Isposavilo seda za pravilan novcic taj broj (prema ocekivanjima) iznosi 1

2 .Vratimo se sada Buffon–ovom problemu. Ako se bacanje igle ponovi veliki

broj puta, recimo n, i ako je broj povoljnih slucajeva (presecanja) bio m. Tadasledi da je

π = limn→∞

2ln

am.

Na primer, R. Wolf je bacao iglu 5000 puta u periodu od 1849. do 1853. godinei dobio da je π ≈ 3.1596. Ovakvi eksperimenti (sada se rade na racunarima)bili su prvi koraci u primeni takozvane Monte Carlo metode (ili metodesimulacija za razna izracnavanja. Recimo, ako u Buffon–ovom eksperimentune znamo da izracunamo povrsinu zahvacenu sinusoidom i horizontalnom osom,tada bi je mogli priblizno odrediti bacanjem igle (kako?). Ovakve i slicne idejese danas koriste raznim primenama teorije verovatnoce (zajedno sa statistikom).

5.5 USLOVNA VEROVATNOCA

U mnogim slucajevima u sitaciju smo da razmatramo nastupanje nekog do-gadjaja pod uslovom da se vec realizovao neki dogadjaj (koji ga moze ali ne moraimplicirati). Naprimer, putnik koji putuje vozom na razlicite nacin procenjujeverovatnocu kasnjene voza za neki vremenski iznos na pocetku putovanja, i utoku putovanja (recimo na sredini putovanja) znajuci pritom koliko je kasnjenjevoza do tog trenutka.

Neka je A ⊆ Ω fiksiran dogadjaj cija je verovatnoca pozitivna, tj. vazi P (A) > 0.DEFINICIJA 5.5.1

Neka je B bilo koji dogadjaj. Tada

P (B|A) =P (A · B)

P (A)

oznacava verovatnocu dogadjaja B pod uslovom da se desio dogadjaj A.

Opravdanje za ovakvu definiciju moze se naci kako preko klasicne definicijeverovatnoce, tako i preko geometrijske definicije verovatnoce. Neka je mA (mB)broj povoljnih slucajeva za nastupanje dogadjaja A (odnosno B) u prostoruod n elementarnih dogadjaja, mAB broj povoljnih nastupa oba dogadjaja, tj.dogadjaja AB u istom prostoru. Tada je

P (A) =mA

n, P (AB) =

mAB

n, P (B|A) =

mAB

nA.

dragan stevanović, osnove kombinatorike i teorije grafova deo za verovtnocu

Documents