draftculegeretsa.pdf

8/18/2019 DraftCulegereTSA.pdf

1/113

1. PERFORMANŢELE SISTEMELOR DEREGLARE AUTOMATĂ

Breviar teoretic

Principalele noiuni discutate în continuare sunt norme pentru semnale și sisteme,transferul normelor de semnale prin sisteme, performanele și robusteea sistemelorde reglare automată formulate în termenii normelor.

Norme pentru semnale

Prin semnal înelegem o funcie în sens uzual u de variabila timp t , u : T → A,unde T ⊂ (−∞, ∞) și A este o submulime a lui R sau C, sau o funcie generalizată(distribuie — de exemplu un impuls Dirac). Multe proprietăi ale semnalelor pot caracterizate sintetic prin intermediul normelor. Cele mai importante și des folositesunt normele p (cu p ≥ 1)

u p := ∞

−∞|u(t )| p dt

1 p

, (1.1)

denite pentru toate semnalele u pentru care membrul drept din (1.1) are sens și estenit, în special variantele cu p = 1, p = 2 și p = ∞, pentru care se obin expresiileexplicite (cu semnicaia din paranteză)

u1 =

+∞

−∞|u(t )| dt (aciunea),

u

2 =

+∞

−∞ |u(t )

|2 dt

12

(energia),

u∞ = supt

|u(t )| (amplitudinea).

O altă mărime (care nu este normă, ci seminormă) des folosită pentru măsurareasemnalelor este rădăcina medie pătratică

rmp(u) :=

limT →∞

1

2T

T −T

u(t )2 dt

12

, (1.2)

denită pentru toate semnalele u pentru care membrul drept are sens și este nit.Adeseori, limita de integrare inferioară din deniiile (1.1) și (1.2) se înlocuiește cu 0

5


2/113


3/113


4/113


5/113

Performanţele sistemelor de reglare automată 9

Extindem tabelul lui Routh prin adăugarea a două blocuri la dreapta:

sn r 0,0 r 0,1 · · · q0,0 = bn−1 q0,1 = bn−3 · · ·sn−1 r 1,0 r 1,1 · · · r 1,0 r 1,1 · · · q1,0 = bn−2 q1,1 = bn−4 · · ·sn−2 r 2,0 r 2,1 · · · q2,0 q2,1 · · · r 2,0 r 2,1 · · ·sn−3 r 3,0 r 3,1 · · · r 3,0 r 3,1 · · · q3,0 q3,1 · · ·

......

......

......

...

s2 r n−2,0 r n−2,1s1 r n−1,0s0 r n,0

Primul bloc adăugat este construit punând pe prima linie coecienii bn−1, bn−2, . . . ,iar pe liniile pare liniile corespunzătoare din tabelul lui Routh. Cel de-al doilea bloceste construit punând pe a doua linie coecienii bn−2, bn−4, . . . , iar pe liniile impare(incepând cu a treia linie) liniile corespunzătoare din tabelul lui Routh. Restul deelemente din cele două blocuri sunt calculate pe baza elementelor din precedenteledouă linii folosind aceeași formulă folosită în construirea tabelului lui Routh:

qi, j = − 1r i

−1,0

qi−2,0 qi−2, j+1r i

−1,0 r i

−1, j+1

, i = 2, . . . , n.

Calculăm constantele

αi =r i−1,0

r i,0, βi =

qi−1,0r i,0

, i = 1, 2, . . . , n,

și în nal

G22 =n

i=1

β2i

2αi.

Calculul normei ∞ pentru un sistem Conform relaiei de deniie (1.5), trebuiegăsită pulsaia ω la care |G(jω)| este maxim, ceea ce implică găsirea punctelor criticeale lui |G(jω)| sau, echivalent, ale lui |G(jω)|2, deci rezolvarea ecuaiei7

d

dω|G(jω)|2 = 0.

Deoarece G este funcie raională, această ecuaie implică în nal calculul rădăcinilorunui polinom.

7Înlocuirea funciei |G| cu |G|2 se face pentru simplicarea calculelor.


6/113

10 PROBLEME DE TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE

C Pr

+e u

+

d

+ u p+

d o

+ y

+ n+

−

Figura 1.2: Sistem de reglare automată cu buclă de reacie.

Sumar relaţii intrare-ieșire8

u = δ(t ) u = sin(ωt ) u2 = 1 u∞ = 1

y2 G2 ∞ ≤ G∞ ∞ y∞ G∞ |G(jω)| ≤ G2 ≤ G1

Performanţele și robusteţea SRA în termenii normelor

Considerăm sistemul în buclă de reacie din Fig. 1.2 în care procesul P este dat, iarregulatorul C trebuie determinat astfel încât sistemul rezultant în buclă închisă săatingă anumite performane impuse de specicaiile de proiectare.

Semnalele de intrare în sistem sunt referina r , perturbaia pe intrare d , perturbaiape ieșire d o și zgomotul n, iar semnalele de interes (ieșire) sunt eroarea e de urmărire areferinei, ieșirea y a sistemului, comanda u (dată de regulator) și comanda u p efectivaplicată procesului. Semnalele r , d și d o sunt în general semnicative la frecvene

joase, ω ≤ ωr , ω ≤ ωd și respectiv ω ≤ ωdo, iar n este semnicativ la frecvene înalte ω ≥ ωn. Aici ωr , ωd , ωdo sunt marginile superioare, iar ωn este margineainferioară ale intervalelor în care care semnalele respective sunt considerate nenule.Tipic, procesul P este bine modelat la frecvene joase, iar incertitudinile inerente demodelare devin mari în special la frecvene înalte (dinamică nemodelată).

Transferurile corespunzătoare intrare-ieșire din Fig. 1.2 sunte

u

y

u p

=

S −PS −S −S T P

−T −T P

−T P

T PS −T S T P

S −T P

−T P

r

d

n

d o

, (1.7)

unde S := 11+ L

, T := L1+ L

, iar L := PC .

8Celulele din tabel în care apare semnul ≤ indică faptul că valoarea respectivă reprezintă o marginesuperioară ce poate atinsă de norma semnalului de ieșire y, pentru un semnal particular de intrare ude normă 1.


7/113


Pentru un proces dat se denește lărgimea de bandă care măsoară mărimeaintervalului de frecvene pentrucare modululfunciei de transfer intrare-ieire ia valorimari (tipic mai mari decât 1 sau decât 1√

2≈ 0,707). În cazul sistemelor de reglare

automată din Fig. 1.2 lărgimea de bandă se denește generic ca mărimea intervaluluide frecvene în care reglarea are loc (i.e., este „ecientă“ sau „benecă“, obinându-se un nivel de performană prescris). Cum tipic se dorește reglare bună începândde la ω = 0 atunci automat lărgimea de bandă coincide cu marginea superioară aintervalului de frecvene în care reglarea are loc. Pentru sistemul din Fig. 1.2 sedenesc:

a) Lărgimea de bandă ω B (în raport cu S ): cea mai mică frecvenă la care|S (jω)| taie (în sens crescător) 1√

2= 0,707 (≈ −3 dB);

b) Lărgimea de bandă ω BT (în raport cu T ): cea mai mare frecvenă la care|T (jω)| taie (în sens descrescător) 1√

2;

c) Frecvena de tăiere a amplitudinii ωt : cea mai mică frecvenă la care | L(jω)|taie (în sens descrescător) 1 (= 0 dB);

d) Frecvena de tăiere a fazei ωπ: cea mai mică frecvenă la care locul Nyquist L(jω) taie axa reală în intervalul (−1, 0).

Lărgimea de bandă ω B indică frecvena până la care în mod convenional se

consideră ca are loc urmărirea referinei și rejecia perturbaiei (modulul funcieide transfer S ce caracterizează sistemele r → e și d o → y devine mai mare de1√

2). Lărgimea de bandă ω BT indică frecvena până la care în mod convenional

se consideră că sistemul în buclă închisă mai reacionează la o sinusoidă (modululfunciei de transfer intrare-ieșire T scade sub 1√

2). Cu toate că indicatorul tradiional

de lărgime de bandă în automatică este ω BT , el este inadecvat în multe situaii, indaproape întotdeauna înlocuit în teoria modernă de lărgimea de bandă ω B. Deoarecepentru procesele în care MF


8/113


Primele patru tipuri de performană 1–4 se obin în condiiile în care transferurilede la semnalele corespunzătoare de intrare la cele de ieșire sunt „mici“, ceea ce tipicse reduce la a asigura că norma ∞ a produsului între o funcie pondere și S sau T este mărginită de o funcie prescrisă (prin cerinele de proiectare).9 Vom vedea că șicerinele de robustee 5 și 6 ce apar ca urmare a incertitudinilor de modelare se reductot la condiii asupra normelor ∞ ale transferurilor în buclă închisă S și T .

Detaliem în continuare ecare dintre cerinele de performană pe benzile defrecvenă pe care semnalele sau incertitudinile de modelare sunt semnicative.

1. Rejecia perturbaiilor. Prin această cerină de performană se urmărește

reducerea inuenei perturbaiilor d și d 0 asupra intrării u p și a ieșirii y ale procesuluiP. Transferurile sunt:

y = PS d + S d o,

u p = S d − T P

d o.

Atunci:

• Pentru a rejecta d o la ieșirea y și d la intrarea u p trebuie ca:

S 11+ L

să e „mic“ ⇔ L PC să e „mare“, ∀ω ≤ max{ ωd , ωdo };• Pentru a rejecta d la ieșirea y trebuie ca (aici L este „mare“):

PS = LC (1+ L)

să e „mic“ ⇔ C să e „mare“, ∀ω ≤ ωd ;

• Pentru a rejecta d o la intrarea u p trebuie ca (aici L este „mare“):

T P

= L

P(1+ L) să e „mic“ ⇔ P să e „mare“, ∀ω ≤ ωdo.

În concluzie, pentru rejecia perturbaiilor trebuie să asigurăm:

a) Amplicare în buclă deschisă | L(jω)| 1, ∀ω ≤ max{ ωd , ωdo };b) Amplicare a regulatorului |C (jω)| 1, ∀ω ≤ ωd ;c) Amplicare a sistemului

|P(jω)

| 1,

∀ω

≤ ωd (rejecia lui d la ieșirea y

posibilă numai dacă P are lărgimea de bandă sucient de mare).2. Rejecia zgomotului. Prin această cerină de performană se urmărește re-

ducerea inuenei zgomotului d și d 0 asupra intrării u p și ieșirii y ale procesului P.Transferurile sunt:

y = −T n,u p = −T

Pn.

Atunci:9Toate transferurile în buclă închisă din (1.7) au fost scrise sub forma generică W S sau W T , unde

funciile pondere W sunt ±1, ±P sau ± 1P

.


9/113


• Pentru a rejecta n la ieșirea y trebuie ca:

T := L1+ L

să e „mic“ ⇔ L := PC să e „mic“, ∀ω ≥ ωn;

• Pentru a rejecta n la intrarea u p trebuie ca (aici L este „mic“):

T P

= C 1+ L

să e „mic“ ⇔ C să e „mic“, ∀ω ≥ ωn.

În concluzie, pentru rejecia zgomotelor trebuie să asigurăm:

a) Amplicare în buclă deschisă | L(jω)| 1, ∀ω ≥ ωn;b) Amplicare a regulatorului |C (jω)| 1, ∀ω ≥ ωn.

Pentru a asigura simultan rejecia perturbaiilor d , d o și zgomotelor n este nevoie cacel puin ωn > max{ ωd , ωdo }. De fapt, trebuie să asigurăm ωn max{ ωd , ωdo }pentru că | L(jω)| nu poate varia prea rapid (de la 1 la 1) într-o bandă îngustă defrecvene.10

3. Limitarea comenzii. Prin această cerină de performană se urmărește măr-ginirea superioară a comenzii u pentru a preveni ieșirea din zona de liniaritate aprocesului (de exemplu prin intrarea în saturaie a elementului de execuie). Mar-ginile pentru comandă sunt tipic prescrise tehnologic și trebuie satisfăcute la oricefrecvenă ω ≥ 0. Transferurile sunt

u = T

P(r − n − d o) − T d .

Distingem două cazuri relevante:

• Acolo unde L este „mic“, trebuie ca

CS să e „mic“ ⇔ C să e „mic“,

T să e „mic“;

• Acolo unde L este „mare“, trebuie ca

CS =

L

P(1 + L) să e „mic“ ⇔ P să e „mare“,

T ≈ 1.

În concluzie, pentru limitarea comenzii trebuie ca:

10Acest fapt este o consecină a primei teoreme a lui Bode.


10/113


a) Pe banda de frecvene pe care | L(jω)| 1 (de exemplu ω ≥ ωn) să avem|C (jω)| 1. Acest lucru este în acord cu rejecia zgomotelor pe banda ω ≥ ωn;

b) Să asigurăm | L(jω)| 1 doar în banda de trecere a lui P, unde |P(jω)| > 1.În general comanda u nu se poate impune mai mică decât perturbaia d (avem u ≈ d ,acolo unde | L(jω)| 1, adică pentru frecvene joase unde d este mare). Mai mult,comandanu se poate păstra micădacă lărgimea de bandă a sistemului în buclă deschisă L = PC depășește cu mult lărgimea de bandă a lui P.

4. Eroare mică de urmărire. Prin această cerină de performană se urmărește

obinerea unei erori de urmărire a referinei cât mai mici. Transferul este e = S r .Pentru a avea eroare e mică trebuie ca:

S := 11+ L

să e „mic“ ⇔ L := PC să e „mare“, ∀ω ≤ ωr .

Cerinele de robustee 5 și 6 (stabilitate și performană robustă) implică asigurareastabilităii interne și respectiv a performanelor specicate la punctele 1–4 în condiiileprezenei inerente a unei incertitudini în modelul procesului nominal P (modelul realP nu este cunoscut cu exactitate, doar se știe că aparine unei mulimi de modeleadmisibile formalizate matematic într-un anumit fel). În aceste condiii, stabilitatea șiperformanele sistemului de reglare trebuie să e asigurate, prin proiectarea adecvatăa regulatorului robust C , pentru toate sistemele din mulimea admisibilă (nu numaipentru P nominal).

Descrierea matematică a mulimii admisibile de modele se poate face în mai multefeluri: aditiv, multiplicativ, sau pe factori coprimi. Pentru modelarea multiplicativăprezentată în continuare mulimea de modele admisibile este descrisă de modelulnominal P și o funcie de transfer dată (o pondere) W ce cuantică prolul frecvenialal amplitudinii incertitudinii, sub forma

P̃ = (1 + ∆W )P, (1.8)

unde ∆ esteofunciedetransfervariabilăcedescrieincertitudineadefazășiacioneazăca un factor de scalare a amplitudinii, cu

∆∞ ≤ 1.Folosimurmătoarele ipoteze11: ambele funcii W și ∆ sunt stabile, W este tipic de fazăminimă și monoton crescătoare (incertitudinile de modelare cresc odată cu creștereafrecvenei) și nu au loc simplicări poli-zerouri la formarea lui P̃.

Ideea din spatele clasei de modele (1.8) este că ∆W este incertitudinea normalizată în raport cu 1, i.e.,

P̃

P− 1 = ∆W .

11Ipotezele sunt de natură tehnică și nu limitează practic aplicabilitatea metodei.


11/113


Cum ∆∞ ≤ 1, rezultă P̃(jω)P(jω) − 1 ≤ |W (jω)|, ∀ω.

5. Stabilitate robustă. Stabilitatea internă a sistemului în buclă de reacie dinFig. 1.2 este robustă dacă se păstrează pentru o întreagă vecinătate de procese în jurulprocesului nominal P. Pentru a măsura robusteea stabilităii s-au introdus mai muliindicatori numii sintetic margini de stabilitate: marginile de amplicare, margineade fază și marginea vectorială.

Margini de amplicare. Dacă există o frecvenă ωπ astfel încât arg L(jωπ) = −πși | L(jωπ)| ∈ (0, 1), se denește marginea de amplicare superioară MAs = 1/| L(jωπ)|.Dacă o asemenea frecvenă nu există, se consideră M As = ∞. Dacă există mai multeastfel de frecvene, se ia cea pentru care modulul este cel mai mare.

Dacăexistăofrecvenă ω̂π astfel încât arg L(j ω̂π) = −π și | L(j ω̂π)| > 1, se deneștemarginea de amplicare inferioară M Ai = 1/| L(j ω̂π)|. Dacă o asemenea frecvenă nuexistă, se consideră MA i = 0. Dacă există mai multe astfel de frecvene, se ia ceapentru care modulul este cel mai mic.

Marginea de fază. Fie ωt frecvena la care | L(jωt )| = 1 (dacă există mai multeastfel de frecvene, se ia cea pentru care arg L(jωt ) este cel mai aproape de −π).Marginea de fază este M F = π + arg L(jωt ).

Marginea vectorială. Marginea vectorială este denită ca distana de la punctulcritic la locul Nyquist: MV = inf ω|1 + L(jω)| = S −1∞ .

Marginile introduse mai sus sunt reprezentate în Fig. 1.3. Convenional se consi-deră că sistemul este stabil robust dacă

MA s > 2, MAi 30°, MV > 0,5.

Marginea vectorială este cel mai bun indicator al marginii de stabilitate ce înlocuieștecu succes marginile de amplitudine și marginea de fază, eliminând toate neajunsurilelegate de punctele multiple de tăiere.12

În cazul în care clasa de modele incerte este descrisă de (1.8), stabilitatea robustăse poate testa simplu folosind următorul rezultat necesar și sucient pentru stabilitaterobustă:

Regulatorul C asigură stabilitate robustă sistemului din Fig. 1.2, cu in-certitudinea de modelare descrisă în (1.8), dacă și numai dacă

WT ∞


12/113


Im

Re MF

MV

1 MAi

1 MA s

ω̂π

ωt

ωπ

1

Figura 1.3: Marginile de stabilitate ale sistemului L(s).

Condiia (1.9) este în forma în care am cuanticat diversele tipuri de performană1–4 (în termenii lui T ). De aceea pentru prolul incertitudinii de model se utilizeazăadesea notaia W T W (folosită și în continuare).

6. Performană robustă Noiunea de performană robustă se referă la faptul

că stabilitatea internă și performana nominală (specicată de exemplu de condiiaW S S ∞


13/113


14/113


a) Calculai H ∞.b) Calculai H 1.c) Calculai H 2 folosind: 1. deniia; 2. teorema reziduurilor; 3. metoda bazată

pe tabelul lui Routh. Calculai de asemenea L−1[ H (s)]2. În ce condiii avemegalitatea H 2 = h2?Problema P1.4. Calculai H ∞, H 1 și H 2 pentru H (s) = 1(s+a)(s+b) . Determinai y∞pentru u(t ) = sin 2t .

Problema P1.5. Calculai H ∞ pentru sistemul standard de ordin 2

H (s) =ω2n

s2 + 2ζωn s + ω2n

, 0 ≤ ζ 0. Discuie

după a și b. Confruntai rezultatul cu estimările ce pot obinute atât pe baza loculuiNyquist, cât și pe baza caracteristicii amplitudine-pulsaie a sistemului.

Problema P1.7. Un sistem stabil cu funcie de transfer H (s) este de tip trece-tot dacă| H (jω)| = 1 pentru orice ω ∈ R.

a) Trasai locul Nyquist al sistemului H (s) = −as+1

as+1 cu a > 0 și arătai că acestaeste de tip trece-tot. Dai exemplu de un alt sistem de tip trece-tot.b) Arătai că dacă un sistem de convoluie u → y este de tip trece-tot, atunci

y2 = u2.c) Arătai că pentru o funcie de transfer de tip trece-tot H (s) și orice altă funcie

de transfer G(s) avem H (s)G(s)2 = G(s)2 și H (s)G(s)∞ = G(s)∞.Problema P1.8. Trasai caracteristica asimptotică amplitudine-pulsaie pentru e-care dintre sistemele de mai jos și estimai pe baza acesteia norma ∞ a sistemuluirespectiv:

a) H (s) = 4(s + 1)

(1

−10s)(s2 + 4s + 4)

;

b) H (s) =s2 + s + 1

(s + 10)(s + 5);

c) H (s) =10

s(1 + s)(1 + 10s).

Problema P1.9. Se consideră un sistem stabil a cărei caracteristică amplitudine-pulsaie are valoarea maximă de 26 dB pentru ω = 5. Se cer:

a) Norma ∞ a sistemului;b) Pulsaia ω pentru care răspunsul permanent la intrarea u(t ) = 2sin ωt are

amplitudinea cea mai mare dintre amplitudinile ce pot obinute pentru astfel deintrări.


15/113


Problema P1.10. Calculai norma 2 a sistemului

H (s) =s3 + 2s2 + 3s + 4

s4 + s3 + 10s2 + 6s + 8

cu ajutorul metodei bazate pe tabelul lui Routh.

Problema P1.11. Calculai norma 2 a sistemului

H (s) =b1 s + b0

a2 s2 + a1 s + a0

folosind metoda bazată pe tabelul lui Routh. Folosii rezultatul obinut pentru calcululnormei 2 în cazul particular

H (s) =ω2n

s2 + 2ζωn s + ω2n

.

Problema P1.12. Dacă H 1(s) este o funcie de transfer stabilă strict proprie iar H 2(s)este o funcie de transfer antistabilă de asemenea strict proprie, arătai că

1

2π ∞

−∞ H 1(jω) H 2(− jω) dω = 0.

Folosii acest rezultat pentru a propune o metodă de calcul a normei 2 bazată petabelul lui Routh pentru funcii de transfer posibil instabile.

Problema P1.13. Fie h ∈ L1 și H (s) = L[h(t )].a) Arătai că H ∞ ≤ h1.b) Arătai că dacă h(t ) ≥ 0 pentru orice t ≥ 0 sau dacă h(t ) ≤ 0 pentru orice

t ≥ 0 atunci H ∞ = h1. Dai exemplu de o funcie de transfer ce posedă aceastăproprietate.

Problema P1.14. Pentru un sistem liniar u → y, arătai că

supu≤1 y =

supu=1 yunde norma poate , de exemplu, norma 2.

Problema P1.15. Considerăm sistemul liniar invariant în timp descris de funciapondere h(t ) = 1(t ) − 1(t − T 0) pentru un T 0 > 0.

a) Determinai amplicarea maximă a valorii absolute maxime a semnalului deintrare ce poate realizată de sistem;

b) Dai exemplu de o intrare mărginită pentru care sistemul atinge maximul deamplicare al valorii absolute maxime;

c) Determinai amplicare maximă a energiei ce poate realizată de sistem;


16/113


d) Dai exemplu de un șir de semnale de intrare cu energie unitară ce tinde cătreun semnal pentru care amplicarea energiei este maximă.Aceeași problemă pentru sistemul descris de funcia de transfer H (s) = 1

s+a cu a > 0.

Problema P1.16. Fie sistemul de reglare cu P(s) = 110s+1

și C (s) = K . Să se găseascăcel mai mic K > 0 astfel încât:

a) Sistemul de reglare să e intern stabil;b) Eroarea staionară să e în valoare absolută mai mică decât 0,1 pentru r (t ) =

1(t ) când d = 0;c)

y

∞ ≤ 0,1 de ecare dată când

d

2

≤ 2 și r = 0.

Problema P1.17. Se consideră bucla de reglare cu P(s) = 1s−2 și C (s) =

K (s+1)s

. Secer:

a) Domeniul lui K pentru stabilitate;b) Un exemplu de valoare a lui K din domeniul de stabilitate pentru care energia

erorii de urmărire este cel mult 1 pentru o referină de energie 1.

Problema P1.18. Se consideră un sistem de reglare cu funcia de transfer pe caleadirectă L(s) = 2s+1

s2 . Determinai valoarea absolută maximă a erorii ce poate

generată de o referină de energie 1.

Problema P1.19. Se consideră un sistem de reglare cu P(s) = 1s+3

și C (s) = 2s. Să

se determine valoare absolută maximă a erorii ce poate generată de o perturbaie deenergie 1.

Problema P1.20. Se consideră bucla de reglare cu P(s) = 1s−1 și C (s) =

4s+3s

. Să secalculeze valoarea absolută maximă a ieșirii ce poate generată de o perturbaie deenergie 1.

Problema P1.21. Fie sistemul de reglare cu P(s) = 12s+5

și C (s) = K s+1

. Să segăsească cea mai mică amplicare pozitivă K astfel încât:

a) Sistemul de reglare să e intern stabil;b) Eroarea staionară să e în valoare absolută mai mică decât 0,05 pentru r (t ) =

1(t ) și d = 0;c) y2 ≤ 0,2 de ecare dată când d 2 ≤ 1 și r = 0.

Problema P1.22. Poziia (2,4) din tabelul relaiilor intrare-ieșire este valabilă doar încazul funciilor de transfer stabile strict proprii. Știm că o funcie de transfer proprie H (s) poate exprimată sub forma

H (s) = c + H 1(s)

cu H 1(s) strict proprie. Arătai că pentru funcii de transfer stabile proprii poziia(2,4) din tabel este

|c| + h11.


17/113


Problema P1.23. Fiind dat sistemul u → y cu H (s) = s+24s+1

, calculai supu∞=1 y∞și găsii o intrare ce permite atingerea acestui supremum.

Problema P1.24. Arătai că poziia (1,3) din tabelul relaiilor intrare-ieșire estevalabilă și când H este stabilă și proprie (nu doar strict proprie).

Margini de stabilitate

Problema P1.25. Considerăm o buclă de reglare în care S ∞ = 2. Furnizai o limită

inferioară pentru marginea de fază. Arătai că bucla rămâne stabilă pentru schimbăride până la 50% ale amplicării de pe calea directă.

Problema P1.26. Considerăm sistemul de reglare cu P(s) = s+1s2+s+1

și C (s) = K . Săse calculeze și să se reprezinte grac pe diagramele Nyquist și Bode marginile deamplicare și de fază în cazurile particulare K = 0,5 și K = 2.

Problema P1.27. Se consideră sistemul de reglare cu P(s) = 1s−2 și C (s) =

K (s+1)s

.a) Determinai domeniul lui K pentru stabilitate;b) Determinai marginile de amplicare în condiii de stabilitate;c) Determinai marginea vectorială a sistemului pentru K = 4.

Problema P1.28. Se consideră sistemul de reglare cu P(s) = 1s−1 și C (s) =

K s+2s

.a) Determinai domeniul lui K pentru stabilitate;b) Determinai marginile de amplicare în condiii de stabilitate;c) Determinai marginea vectorială a sistemului pentru K = 4.

Problema P1.29. Considerăm sistemul de reglare cu funcie de transfer pe caleadirectă L(s) = 25

s(s+1)(s+10). Furnizai pe baza diagramelor Bode valori aproximative

pentru marginea de fază și marginea de amplicare.

Problema P1.30. Considerăm sistemul de reglare cu funcia de transfer pe caleadirectă L(s) = as+1

s2 . Determinai valoarea lui a pentru care marginea de fază a

sistemului este π4 . Rezolvai problema prin două abordări diferite:1. Calculaimaiîntâifrecvenadetăiere ωt ca funcie de a prin rezolvareaecuaiei

| L(jωt)| = 1, după care folosii condiia în ceea ce privește arg L(jωt) pentru calculullui a;

2. Determinaicafunciede a frecvena ωt la care arg L(jω) este cel corespunzătormarginii de fază cerute, apoi determinai a din condiia | L(jωt)| = 1.

Problema P1.31. Considerăm sistemul de reglare cu funcie de transfer pe caleadirectă L(s) = K

s(s2+s+4). Determinai valoarea lui K astfel încât marginea de fază să

e 50°. Cât este marginea de amplicare superioară pentru această valoare a lui K ?


18/113


19/113

2. LIMITĂRI FUNDAMENTALE ALESISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ

Breviar teoretic

Considerăm sistemul în buclă de reacie din Fig. 2.1 în care procesul P este dat, iarregulatorul C trebuie determinat astfel încât sistemul rezultant în buclă închisă săatingă anumite performane impuse de specicaiile de proiectare. Denim

L PC , S 1

1 + L, T

L

1 + L,

numite funcia de transfer în buclă deschisă, funcia de sensibilitate și respectivfuncia complementară de sensibilitate. Scopul acestui capitol este evideniereadiferitelor constrângeri (limitări) de proiectare impuse de însuși modelul procesului P,constrângeri ce nu pot depășite de nici un regulator din clasa celor care stabilizeaza

intern sistemul. Pentru realizarea unei sinteze proactive a regulatorului este deciimportantă cuanticarea acestor limitări fundamentale de performană încă din fazapreliminară de prescriere a cerinelor proiectării. Punem în evidenă trei categoriiprincipale de constrângeri de proiectare:

• Algebrice;• În domeniul timp;• Frecveniale (analitice).

Constrângeri algebrice

S + T = 1

Aceasta este o consecină imediată a deniiilor lui S

și T

. În particular,relaiaestevalabilăpentruorice s = jω șiaratăcănusepoatecafunciadesensibilitate

C Pr

+e u

+

d

+ u p+

d o

+ y

+ n+

−

Figura 2.1: Sistem de reglare automată cu buclă de reacie.

23


20/113


y(t )

t

1

Figura 2.2: Răspunsul indicial al sistemului H (s) −s+0,50,5(s+1)(0,5s+1)

prezintă ceea ce

este numit „răspuns invers“.

și funcia complementară de sensibilitate să e simultan (la aceeași frecvenă) foartemici. O consecină imediată este că pentru îndeplinirea condiiei de performanărobustă (1.10) este necesar ca

min{ |W S (jω)|, |W T (jω)| } < 1, ∀ω. (2.1)

Pentru o performană bună de urmărire a semnalelor la joasă frecvenă |W S (jω)|trebuie să e „mare“ la acele frecvene, ind tipic o funcie monotonic descrescătoare

(tip ltru trece-jos), iar deoarece incertitudinile sunt pronunate la înaltă frecvenă|W T (jω)| este mare la frecvene mari, ind tipic o funcie monotonic crescătoare (tipltru trece-sus). Prin urmare, condiia (2.1) impune de fapt constrângeri în zona demedie frecvenă.

Constrângeri de interpolare Dacă P are un zerou z și/sau un pol p cu Re( z) ≥ 0 șiRe( p) ≥ 0 atunci S și T satisfac condiiile de interpolare

T ( p) = 1, S ( p) = 0, (2.2)

T ( z) = 0, S ( z) = 1. (2.3)

Constrângeri în domeniul timpPrezentăm în continuare constrângeri ce se manifestă în răspunsul în timp al procese-lor, constrângeri ce apar în prezena zerourilor instabile, în prezena polilor instabiliși în prezena atât a zerourilor, cât și a polilor instabili.

Zerouri instabile Pentru un sistem stabil cu n z+ zerouri instabile răspunsul indicialla treaptă unitară y(t ) intersectează abscisa (valoarea iniială y(0)) de n z+ ori. Acestfenomen se numește răspuns invers al sistemului (vezi Fig. 2.2).

Fie sistemul în buclă deschisă L(s) având un zerou q cu Re(q) > 0. Dacă sistemul în buclă închisă (cu reacie negativă unitară) este intern stabil, iar y(t ) și e(t ) sunt


21/113

Limitări fundamentale ale sistemelor de reglare automată 25

răspunsul și respectiv eroarea la treaptă unitară atunci ∞0

e−qt e(t ) dt = 1

q, (2.4) ∞

0

e−qt y(t ) dt = 0. (2.5)

Mai mult, subreglajul yi satisface

yi ≥

1 − εeqt t − 1

> 0 (2.6)

unde t t este timpul tranzitoriu necesar pentru ca răspunsul să intre într-o bandă de ±ε în jurul răspunsului staionar.

Acest rezultat arată că dacă avem un zerou instabil, atunci răspunsul indicial y(t ) și eroarea corespunzătoare e(t ) trebuie să satisfacă constrângeri integrale ce suntvalabile oricare ar regulatorul C . Mai mult, răspunsul tranzitoriu poate oricât deprost (depinzând doar de locaia polilor în buclă închisă în raport cu q). Rezultatul N-ar mai bine „oricât de

rău“?are loc și pentru zerouri stabile atunci când acestea se găsesc în dreapta polilor înbuclă închisă. Relaia (2.6) arată că dacă avem zerouri instabile atunci răspunsul latreaptă va prezenta un subreglaj cu atât mai mare cu cât asigurăm un timp tranzitoriumai scurt (facem sistemul mai rapid prin alegerea regulatorului).

Poli instabili Fie sistemul în buclă deschisă L(s) având un pol p cu Re( p) > 0.Dacă sistemul în buclă închisă (cu reacie negativă unitară) este intern stabil, iar y(t )și e(t ) sunt răspunsul și respectiv eroarea la treaptă unitară atunci ∞

0

e−qt y(t ) dt = 1

p> 0,

∞0

e− pt e(t ) dt = 0. (2.7)

Mai mult, suprareglajul ys satisface

ys ≥

( pt c − 1)e pt c + 1 pt c ≥

pt c

2

unde t c este timpul de creștere. Acest rezultat arată că dacă avem un pol instabil înbuclă deschisă și sistemul în buclă închisă este relativ „lent“ (i.e., t c este mare), atuncirăspunsul la treaptă va avea un suprareglaj mare. Acest lucru este în contrast cusistemele stabile în buclă deschisă pentru care suprareglajul mare apare la un timp decreștere mic. În cazul prezenei polilor instabili pentru a avea performană acceptabilătrebuie să proiectăm un sistem în buclă închisă relativ rapid – sau, echivalent, cu olărgime de bandă mare. Situaia este din nou în contrast cu cea corespunzătoarezerourilor instabile pentru care performana bună implică o lărgime de bandă mică șiun sistem relativ lent.


22/113


23/113


cu ω B > 0, A > 0 si M > 0. Tipic M > 1 și A < 1. Această pondere implică o bandăde trecere de minim ω B, o valoare maximă a lui S ∞ mai mică decat M și o eroarestaionară (la treaptă) mai mică decât A. Dacă presupunem că avem un zerou real

z > 0 din condiia (2.10) rezultă că

ω B(1 − A) < z(1 − 1 M

), (2.11)

ceea ce ne arată că lărgimea de bandă este limitată de zeroul instabil ω B < z. Dea-semenea, arată că dacă vrem lărgime de bandă cât mai mare ω B ≈ z atunci trebuie M

1

ceea ce deja știm de la salteaua de apă (cu cât facem S

mic pe o bandăde frecvene mai mare cu atât va atinge un vârf mai mare în afara acelei benzi defrecvenă).

Considerăm acum ponderea de tip ltru trece-sus

W S (s) = s + ω B/ M

As + ω B,

cu ω B > 0, A > 0 și M > 0. Tipic M > 1 și A < 1. Dacă presupunem că avem unzerou real z > 0, din condiia (2.10) rezultă că

ω B > z (1 − A)1

−1/ M

ceea ce ne arată din nou că avem o limitare (de data aceasta inferioară).

Poli instabili Zerourile instabile impun margini superioare ale benzii de trecere.Intuitiv vorbind, prezena polilor instabili implică necesitatea stabilizării și deci aunei amplicări mari ceea ce impune margini inferioare pentru lărgimea de bandă.

Am vazut că dacă P are un pol instabil p, W T este o pondere oarecare stabilă șisistemul în buclă închisă este intern stabil atunci

W T T ∞ ≥ |W T ( p)|. (2.12)

Am văzut deasemenea că diverse cerine de proiectare se pot reformula sub forma

W T T ∞


24/113


cu ω BT > 0 și M > 0. Tipic, M > 1. Dacă presupunem că avem un pol real p > 0din condiia (2.14) rezultă că

ω BT > p M

M − 1 (2.15)ceea ce ne arată că un pol instabil impune o limită inferioară asupra lărgimii de bandă

în termenii lui T . Mai precis, nu putem lăsa sistemul să aibă roll-off la frecvene maimici decât p. Deci stabilizarea cu performane rezonabile implică o lărgime de bandămai mare decât p.

Poli si zerouri instabile Prezena simultană a unui pol și a unui zerou impune atâtlimitări superioare, cât și inferioare asupra benzii de trecere și margini inferioarepentru S ∞ și T ∞, făcând în toate situaiile proiectarea extrem de dicilă.

Într-adevăr, pentru M = 2 și A = 0 în (2.15) și (2.11) obinem 2 p < ω BT < 0,5 z(avem ω B ≈ ω BT ) de unde concluzia că dacă un sistem are un pol și un zerou realeinstabile pentru a obine performane acceptabile trebuie

z > 4 p.

Mai mult, din Teorema ... avemLipsește teorema (arereferina tmaisusjos)

S

∞ ≥ c,

T

∞ ≥ c, c =

| z + p|| z − p|

.

Mai mult, în prezena polilor și/sau zerourilor instabile constrângerile de interpo-lare impun la rândul lor anumite limite inferioare. Fie P cu n z+ zerouri instabile zi șin p+ poli instabili p j. Atunci pentru ecare zerou zi avem

W S S ∞ ≥ cS i |W S ( zi)|, cS i Πn p+ j=1| zi + p j|| zi − p j| ≥ 1, (2.16)

iar pentru ecare pol p j avem

W T T ∞ ≥ cT j |W T ( p j)|, cT j Πn z+i=1| zi + p j|

| zi

− p j

| ≥ 1. (2.17)

Dacă nu există poli instabili atunci în (2.16) avem cS i 1, iar dacă nu existăzerouri instabile atunci în (2.17) avem cT j 1.

În particular, dacă W S = W T = 1 obinem că

S ∞ ≥ maxi

cS j , T ∞ ≥ max j

cT j ,

ceea ce arată că nu putem evita extreme mari în S și T dacă avem un pol lângă unzerou instabil. Pentru o proiectare bună se impun tipic

S ∞ < 2 (aprox. 6 dB), T ∞


25/113


Valori mari pentru S sau T (mai mari decât 4) indică performane foarte slabe saurespectiv robustee foarte scăzută. Dacă S ∞ este „mare“ atunci și T ∞ este „mare“(și viceversa) întrucât S + T = 1 și la orice frecvenă avem|S | − |T | ≤ |S + T | = 1.Pin urmare S ∞ și T ∞ diferă prin cel mult 1.

Raiunile pentru care dorim mărginirea lui S ∞ și T ∞ sunt multiple. Deexemplu, pentru performană bună la urmărirea referinelor și rejectarea perturbaiilorcerem

|S (jω)

| 1 („mic“) la frecvene joase, tipic cu S (0) = 0. Deoarece la frecvene

înalte avem o rată de roll-off superioară lui 1, rezultă S ≈ 1 (la aceste frecvene).La frecvene medii (intermediare) nu putem în general evita |S | > 1 (de exemplu dinmotive de saltele de apă). Acest lucru rezultă și din

L(jω180) = − 1 MA

⇒ S (jω180) = 11 − 1

MA

> 1, T (jω180) = −1−1 + M A ,

unde MA este marginea de amplitudine. În consecină, la frecvene medii efectulfeedback-ului este de a degrada performana și putem deci interpreta S ∞ drept ceamai defavorabilă degradare a performanelor.

Saltele de apă Aceste constrângeri sunt consecine directe ale formulelor integraleale lui Cauchy și arată că putem asigura |S | „mic“ pe un anumit interval de frecvenă(ceea ce este echivalent cu obinerea performanelor — vezi capitolul anterior) doardacă acceptăm |S | „mare“ pe alt interval de frecvenă. Acest fapt este în analogie cu osaltea de apă justicând numele dat acestor constrângeri: dacă apăsăm salteaua într-ozonă reducând local nivelul apei va rezulta o creștere a nivelului apei într-o altă zonăa saltelei. Fenomenul apare chiar dacă avem o singură cerină de proiectare de tipul|S | „mic“, independent de faptul că dorim simultan și reducerea lui |T | pe anumitebenzi de frecvenă (de exemplu pentru rejecie de zgomote, stabilitate robustă — vezicapitolul anterior). Fenomenul de saltea de apă poate descris relativ ușor din punct

de vedere analitic în următoarele două situaii:• L are excesul poli-zerouri mai mare sau egal cu 2;• L are (măcar) un zerou de fază neminimă.

Efectul de saltea de apă când excesul poli-zerouri este superior sau egal cu 2.Dacă pi, unde i = 1, . . . , n p+, sunt polii din C+ ai lui L(s), iar excesul poli-zerouri(gradul relativ) al lui L este mai mare sau egal cu 2, atunci

∞0

log |S (jω)| dω = (π log e)n p+i=1

Re( pi) ≥ 0.


26/113


1

ω (log)

|S (jω)|

−

+

Figura 2.3: Ilustrare a efectului de „saltea cu apă“ în cazul existenei în buclă deschisăa unui exces poli-zerouri egal cu 2.

Formula spune că aria totală mărginită de gracul lui |S (jω)| este întotdeauna pozitivă,de unde rezultă că eventuala arie negativă, necesară pentru urmărire cu sucientă pre-cizie pe o anumită plajă de frecvene și corespunând deci lui |S | < 1, este obligatoriucompensată pe o altă plajă de frecvene de o arie pozitivă corespunzând lui |S | > 1(vezi Fig. 2.3).

Aria pozitivă ce compensează aria negativă poate, teoretic vorbind, să provinădintr-o creștere a lui S „foarte mică“ pe o bandă de frecvene oricât de largă, ω ∈[ω1, ω2], unde ω2 poate făcut oricât de mare. În realitate, cum L(

∞) = 0, rezultă

că ω2 este limitat și deci (2) impune într-adevăr constrângeri reale, în sensul creșteriiimportante și cu necesitate a lui S la anumite frecvene.

Efectul de saltea de apă pentru procese cu zerouri instabile (de fază neminimă).Pentru simplitate ilustrăm fenomenul în cazul unui proces L având un singur zeroureal z > 0. Fie pi pentru i = 1, . . . , n p+ polii din C + ai lui L(s). Dacă sistemul înbuclă închisă este intern stabil atunci ∞

0

ln|S (jω)| w( z, ω) dω = π ln Πn p+i=1

pi + z pi − z (2.18)

undew( z, ω) =

2

z

1

1 + (ω/ z)2. (2.19)

Mai mult, dacă

M 1 supω1≤ω≤ω2

|S (jω)|, M 2 supω

|S (jω)| = S ∞,

atunci există două constante pozitive c1 și c2 (ce depind exclusiv de ω1, ω2 și z),

c1 1

π

I

z

z2 + ω2 dω și c2

1

π

R\ I

z

z2 + ω2 dω,

astfel încâtc1 log M 1 + c2 log M 2 ≥ 0, (2.20)


27/113


−40 dB/dec

20lg 1 z

z

20lg 2 z

|w( z, ω)|[dB]

ω (log)

Figura 2.4: Gracul de amplicare al ponderii (2.19) pentru un zerou real z.

unde z = σ0 + jω0 și I = [−ω2, −ω1] ∪ [ω1, ω2].Așa cum reiese din Fig. 2.4, funcia pondere w( z, ω) „taie“ contribuia lui ln|S |

pentru frecvene ω > z. Pentru un sistem în buclă deschisă stabil, membrul drept alrelaiei (2.18) este nul și presupunând că la frecvene înalte |S | ≈ 1 rezultă z

0

ln|S (jω)| dω ≈ 0 (|S | ≈ 1 pentru ω > z). (2.21)

Relaia (2.21) arată că avem un efect de tip saltea de apă însă în care compromisul între S mare și S mic se „negociază“ pe un interval nit de frecvene. Mai precis,salteaua de apă este nită și dacă reducem S la frecvene joase atunci trebuie neapăratsă avem un vârf mare în zona de medie frecvenă. Efectul este agravat dacă avem unpol în apropierea unui zerou în C+ întrucât

pi → z ⇒ pi + z pi − z

→ ∞.Acest rezultat este în acord cu practica inginerească care arată că procesele cu un polși un zerou instabile și apropiate unul de celălalt sunt practic imposibil de reglat.

Acest efect de tip saltea de apă este specic doar sistemelor care au cel puin un

zerou instabil. Mai precis, dacă sistemul L în buclă deschisă este de fază minimăatunci pentru orice ε > 0 și δ > 1 există un regulator C astfel încât sistemul în buclăinchisa să e intern stabil și

M 1 < ε, M 2 < δ.

Relaia (2.20) pune în evidenă un alt fenomen interesant: dacă dorim urmărirebună a referinei și rejecie a perturbaiilor pe banda de frecvene [ω1, ω2], adică M 1 1, atunci marginea de stabilitate măsurată de 1S ∞ =

1 M 2

devine inevitabilmică.

Fenomene similare au loc pentru T în prezena polilor instabili.


28/113


Teorema lui Bode (relaţia fază-amplitudine) TeoremaluiBodeesteoaltăaplicaiedirectă a formulei integrale Cauchy și armă că, pentru orice sistem, faza (la oricepulsaie xată ω0) se poate deduce din valoarea amplitudinii (cunoscută la toatepulsaiile).

Fie L funcia de transfer a unui sistem în buclă deschisă ce este propriu, stabilși de fază minimă (fără zerouri instabile), normalizat a.î. L(0) > 0. Atunci la oricepulsaie ω0 faza φ(ω0) arg L(jω0) satisface

φ(ω0) = 1

π ∞

−∞

d ln| L|dν

ln coth |ν|

2 dν

unde variabila de integrare este ν ln ωω0

. Expresia d ln| L|dν

dă panta (consideratăadimensional) a diagramei Bode a amplitudinii. Ea este în general negativă pentrumajoritatea frecvenelor (panta adimensională este pentru o pantă în diagrama Bodede 20 dB/dec). Funcia

ln coth |ν|

2 = ln

e|ν|2 + e−

|ν|2

e|ν|2 − e− |ν|2

ia valori mari pentru ω ≈ ω0 și descrește rapid când ω se depărtează de ω0 (veziFig. 2.5). Aceasta înseamnă că faza la ω0 este de fapt determinată doar de pantaamplitudinii în apropierea lui ω0. Faza va mare dacă | L| este atenuat lent și va

mică dacă este atenuat rapid (faza este considerată cu semn). Mai exact, faza va cu atât mai negativă cu cât panta amplitudinii în jurul lui ω0 este mai abruptă. Înconsecină, dacă într-o vecinătate sucient de largă a lui ω0 panta este , putem folosiaproximaia (relativ grosieră)

φ(ω0) =

π

∞−∞

ln coth |ν|

2 dν =

π

π2

2 =

π

2.

Deciopantăaamplitudiniide 20 dB/decînjurullui ω0 implică o fază de aproximativ π

2 rad/s.

Comportarea lui φ(ω) este esenială în zona de medie frecvenă (în zona frecveneide tăiere ωt )lacare | L(jωt )| = 1 deoarece π + φ(ωt ) este marginea de fază a sistemului.Avem |1 + L(jωt )| = |1 + L−1(jωt )| = 2

sin π + φ(ωt )2

și aceasta trebuie să nu e prea mică pentru a avea stabilitate robustă. Dacă π + φ(ωt )este forat să e foarte mic printr-o atentuare rapidă a amplicării, sistemul în buclă

închisă va avea o margine foarte mică de stabilitate. În consecină în zona de mediefrecvenă panta maximă admisă este −1 (cu un maxim teoretic de −2 pentru a aveastabilitate, chiar dacă nerobustă). Această pantă trebuie meninută pentru un intervalde frecvene sucient de mare în jurul lui ωt .

Formula lui Bode se poate extinde și în cazul sistemelor de fază neminimă șiinstabile. Pentru aceste sisteme necesitatea unei atenuări lente în zona de medie


29/113


ν

ln coth |ν|2

−2

−1 0 1 2

Figura 2.5: Gracul funciei ln coth |ν|2 .

frecvenă este și mai stringentă întrucât polii/zerourile instabile contribuie cu fazănegativă. Există formule Bode similare care dau dependena real-imaginar, imaginar-real, amplitudine-fază etc., dar ele au o importană restrânsă în Teoria Sistemelor.


30/113

3. LOOPSHAPING

Breviar teoretic

Considerăm sistemul în buclă de reacie din Fig. 3.1 în care procesul P este dat,iar regulatorul C trebuie proiectat. În acest capitol prezentăm o metodă gracă —numită loopshaping — de găsire a regulatorului C astfel încât sistemul rezultant înbuclă închisă să aibă performană robustă, condiie exprimată sub forma (vezi Cap. 1)|W S S | + |W T T |∞


31/113

Loopshaping 35

ω [rad/s]

[dB]

|W S | |W T |

Joasăfrecvenă

Mediefrecvenă

Înaltăfrecvenă

0ω j ωi

Figura 3.2: Zonele de joasă, medie și înaltă frecvenă denite de funciile pondereW S și W T .

(pentru ca C rezultat să e propriu și deci implementabil zic), iar cele două funciipondere să îndeplinească (la toate pulsaiile) condiia de bună denire

min{ |W S |, |W T | } < 1. (3.3)

Sub ipoteza de bună denire, cele doua funcii pondere W S și W T împart domeniulfrecvenial în trei zone de interes (vezi Fig. 3.2):

a) Zona de joasă frecvenă, caracterizată de |W S | > 1, în care se obine perfor-mana nominală. În această zonă tipic |W T | 1;

b) Zona de înaltă frecvenă, caracterizată de |W T | > 1, în care se obine stabili-tatea robustă. În această zonă tipic |W S | 1;

c) Zona de medie frecvenă, caracterizată de |W S | ≤ 1 și |W T | ≤ 1, reprezentândo zonă de tranziie în care nu domină niciuna dintre ponderi.

Condiia de performană robustă poate aproximată cu

| L

| >

|W S |1 − |W T |

(> 1)

când |W

S | 1

(3.4)și cu

| L| < 1 − |W S ||W T | (


32/113


ω [rad/s]

[dB]

Joasă

frecvenă

Medie

frecvenă

Înaltă

frecvenă

|W S |1−|W T |

1−|W S ||W T |

| L|

ω j

ωi0

Figura 3.3: Marginile lui | L| pentru loopshaping.

caracteristicii de amplicare a lui L mai lină de −40 dB/dec pe un interval sucient demare (de preferat cel puin o decadă) în jurul pulsaiei de tăiere a lui L (în zona caredenește media frecvenă). În plus, pentru obinerea unei margini de fază acceptabilese recomandă ca panta caracteristicii de amplicare a lui L să nu e mai abruptă de−20 dB/dec. În zona de medie frecvenă unde proiectarea este tipic dicilă se folosescvalori mai precise pentru marginile inferioară și superioară ale lui | L|, folosindu-semăcar la capetele intervalului de medie frecvenă

| L(jω j)| >|W S (ω j)| + 11 − |W T (jω j)| , (3.6)

| L(jωi)| < 1 − |W S (jωi)||W T (jωi)| + 1 (3.7)

în locul inegalităilor corespunzătoare rezultate din (3.4) și respectiv (3.5).Din punct de vedere formal, zona de joasă frecvenă este denită de intervalul

[0, ω j), unde ω j este frecvena de tăiere a funciei pondere W S (i.e., cea mai marefrecvenă pentru care |W S (jω j)| = 1 = 0 dB), zona de înaltă frecvenă este denităde intervalul (ωi, ∞), unde ωi este frecvena de tăiere a funciei pondere W T (i.e., ceamai mică frecvenă pentru care |W T (jωi)| = 1 = 0 dB), iar zona de medie frecvenăeste denită de intervalul [ω j, ωi].

În consecină, pentru satisfacerea condiiei de performană robustă trebuie săasigurăm în zona de joasă frecvenă că gracul lui | L| este deasupra marginii date în(3.4), în zona de înaltă frecvenă că gracul lui | L| este sub marginea dată în (3.5), iar

în zona de medie frecvenă trebuie să asigurăm condiiile (3.6) și (3.7), simultan cu opantă cât mai lină (vezi Fig. 3.3). Descriem în continuare procedura de loopshaping.

Procedura de loopshaping

Date iniiale: Se dă sistemul stabil și de fază minimă P.


33/113

Loopshaping 37

Pasul 0: Se construiesc funciile pondere W S și W T , W S cuanticând cerinele deperformană la frecvene joase și W T cerinele de performană și prolulincertitudinii la frecvene înalte2 (vezi Cap. 1). Se identică zonele de

joasă, medie și înaltă frecvenă. Pentru ca problema să aibă soluie trebuiesă e vericată condiia de bună denire (3.3), iar funciile pondere trebuiesă satisfacă în plus la frecvene joase

|W T | 1

și la frecvene înalte|W S | 1.

Pasul 1: Se trasează grac in dB la frecvene joase |W S |1−|W T | și la frecvene înalte

1−|W S ||W T |

(pulsaia de pe abscisă se reprezintă pe o scală logaritmică).Pasul 2: Pe acest grac se construiește diagrama de amplicare a unui sistem (re-

al-raional) L ce satisface simultan:a) La frecvene joase este deasupra diagramei |W S |

1−|W T | ;b) La frecvene înalte este sub diagrama 1−|W S ||W T | ;c) La frecvene foarte înalte are o pantă superioară sau egală cu panta lui

P (de preferat superioară cu cel puin 20 dB/dec);d) În zona de medie frecvenă, la pulsaia ω j este deasupra, dar cât mai

aproape de membrul drept din (3.6), iar la pulsaia ωi este dedesubt,dar cât mai aproape de membrul drept din (3.7). În rest are o pantăcât mai lină (tipic −20 dB/dec, maxim teoretic absolut −40 dB/dec).

Pasul 3: Se obine funcia de transfer L a cărei diagramă Bode corespunde cu di-agrama construită la Pasul 2 și în plus este stabilă și de fază minimă,normalizând astfel încât L(0) > 0.

Pasul 4: Se validează proiectarea de mai sus vericând că pentru C = LP

obinutsunt vericate cerinele de stabilitate internă și condiia de performanărobustă (3.2) la toate frecvenele.3 În caz că una dintre aceste condiii nueste vericată se reia procedura de loopshaping, reîncepându-se în anumitesituaii chiar cu Pasul 0 (faza de alegere a funciilor pondere).

În cazul în care sistemul original nu este liniar, prezintă întârzieri, nu este stabilsau nu este de fază minimă, se poate proceda la parcurgerea unor pași preliminari cereduc sistemul la unul care satisface ipotezele standard:

• Dacă procesul nu este liniar, acesta se liniarizează și se tratează termenii rezi-duali neliniari ca o incertitudine nestructurată care este inclusă în W T . Similar,

2Uneori funciile pondere sunt obinute anterior ind furnizate ca date de intrare în procedură, W S ind construită în faza de denire a cerinelor de proiectare, iar W T în faza de identicare a modeluluiP.

3Acest lucru este necesar întrucât pentru obinerea lui L s-au folosit aproximările de joasă frecvenă(3.4) și respectiv de înaltă frecventă (3.5) ale inegalităii (3.2).


34/113


dacă procesul are întârzieri acestea se consideră ca incertitudini de fază și seinclud în W T ;4

• Dacă procesul nu este stabil, se construiește un compensator stabilizator (fo-losind de exemplu parametrizarea lui Youla) după care se aplică procedura deloopshaping sistemului rezultant în buclă închisă ce acum este stabil;5

• Dacă procesul nu este de fază minimă se simetrizează zerourile instabile înraport cu axa imaginară prin extragerea unei componente serie de tip trece-tot și se tratează aceasta ca o incertitudine multiplicativă.6

Blocuri elementare pentru loopshapingAtunci când funcia de transfer a sistemului în buclă deschisă găsită L(s) nu are formadorită este necesară compensarea acesteia. Compensarea funciei de transfer se poateface prin introducerea sistematică în conexiune serie a unor blocuri elementare cese construiesc astfel încât să modice forma lui L(s) în acele zone de frecvenă încare acest lucru este necesar, lăsând (relativ) neschimbat L(s) la frecvenele la careforma deja corespunde cerinelor de proiectare.7 Blocurile elementare ce sunt uzualfolosite pentru compensarea serie a funciei de transfer sunt: amplicare constantă,avans și/sau întârziere de fază, oprește-bandă (Notch) și pantă (la înaltă frecvenă).

Compensare proporţională Funcia de transfer a blocului proporional este

C (s) = K ,

unde K ∈ R. Alegând un compensator serie proporional cu K > 1 rezultă următoareledouă efecte complementare:

• Crește lărgimea de bandă a sistemului (asigurând un sistem cu răspuns mairapid) și amplicarea în buclă deschisă la toate frecvenele (asigurând o maibuna rejecie a perturbaiilor);

4Procedeul de înlocuire a unui proces oarecare printr-un aproximant liniar, nit dimensional,invariant în timp și aplicarea tehnicilor de reglare robustă pentru aproximant reprezintă astăzi una dintrecele mai folosite tehnici de reglare în Automatică, conducând la soluii viabile din punct de vedereingineresc.

5Deși logic simplu, acest procedeu nu este foarte agreat în practică întrucât este văzut ca o abordarede tip brute-force prin care dinamica instabilă a sistemului original este înlocuită cu (și deci profundalterată de) una stabilă, încă înaintea începerii propriu-zise a proiectării de detaliu. Procedeul poate evitat prin folosirea tehnicilor avansate de optimizare H ∞.

6Orice P(s) stabil având zerourile reale instabile z i > 0, i = 1, . . . , k , se poate pune succesiv subformele

P(s) = P(s)Πis − zis + zi

= P(s)(1 + ∆(s))

unde P(s) este stabil și de fază minimă, Πis− zis+ zi

are modulul egal cu 1, iar ∆(s) := Πis− zis+ zi

− 1 funcioneazăca o incertitudine multiplicativă stabilă. Extensia la cazul zerourilor instabile complex conjugate seobine prin analogie.

7Adesease pleacă iniial cu L(s) = P(s), compensându-se ulterior forma prin înserierea unor blocuripotrivite.


35/113

Loopshaping 39

0ω [rad/s]

|C (jω)|[dB]

20lg b

a

b a

0 ω [rad/s]

arg C (jω)

[rad]

b a

Figura 3.4: Diagramele Bode ale blocului cu întârziere de fază C (s) = ba

s+as+b

, a > b.

• Crește sensibilitatea sistemului la zgomote și la incertitudini de modelare.

Compensare cu întârziere de fază Funcia de transfer a blocului cu intârziere de

fază esteC (s) =

b

a

s + a

s + b,

unde a > b ≥ 0, având diagramele Bode din Fig. 3.4. Aciunea unui astfel de blocconstă în următoarele două efecte complementare:

• Crește amplicarea în buclă la frecvene mai mici decât polul b (asigurând omai bună rejecie a perturbaiilor);

• Adaugă fază negativă în zona de tranziie de medie frecvenă (între b și a) ceeace poate destabiliza sistemul în buclă închisă dacă blocul nu este bine ales.

În consecină, blocul cu întârziere de fază crește performana (la frecvene joase)simultan cu diminuarea marginii de fază (în zona de medie frecvenă). Pentru adiminua efectul negativ al micșorării marginii de fază compensarea trebuie să efăcută cu cel puin o decadă înainte de frecvena de tăiere.

Compensare cu avans de fază Funcia de transfer a blocului cu avans de fază este

C (s) =b

a

s + a

s + b,

unde b > a ≥ 0, având diagramele Bode din Fig. 3.5. Aciunea unui astfel de blocconstă în următoarele efecte complementare:

• Crește amplicarea în buclă la frecvene mai mari decât polul b (asigurând obandă de trecere mai largă și deci un sistem mai rapid) și adaugă fază pozitivă


36/113


0ω [rad/s]

|C (jω)|[dB]

20lg b

a

a b

0ω [rad/s]

arg C (jω)

[rad]

φ+

a ω+ b

Figura 3.5: Diagramele Bode ale blocului cu avans de fază C (s) = ba

s+as+b

, b > a.

în zona de tranziie de medie frecvenă (între b și a) ceea ce conduce la creștereamarginii de fază;

• Crescând amplicarea la frecvene înalte sistemul devine mai sensibil la zgo-

mote și la erorile de modelare (incertitudini).În consecină, blocul cu avans de fază crește marginea de fază și banda de treceresimultan cu creșterea nedorită a sensibilităii la zgomote. Acest bloc — folosit înprincipal pentru efectul dezirabil de mărire a marginii de fază — se alege astfel

încât frecvena de tăiere a sistemului original să e între a și b, maximizând astfelcontribuia sa benecă. Marginea de fază (maximă) φ+ ce poate adăugată se obinedin

sin(φ+) =

ba − 1

ba

+ 1,

iar aceasta fază suplimentară este adaugată la pulsaia

ω+ =√

ab.

Precedentele ecuaii denesc modul în care sunt aleși parametrii blocului în procesulde proiectare.

Compensare cu întârziere și avans de fază Acest bloc de compensare le combinăpe precedentele două, având funcia de transfer

C (s) = b

a

s + a

s + b

d

c

s + c

s + d ,


37/113

Loopshaping 41

ω [rad/s]0

20lg bd

ac

|C (jω)|[dB]

b a c d

ω [rad/s]0

b a

c d

arg C (jω)

[rad]

Figura 3.6: Diagramele Bode ale blocului cu întârziere și avans de fază C (s) =ba

s+as+b

d c

s+cs+d

, a > b ≥ 0 și d > c ≥ 0.

unde a > b ≥ 0 și d > c ≥ 0, având diagramele Bode din Fig.3.6. Aciunea unuiastfelde bloc constă în reducerea amplicării într-o anumită bandă de frecvene simultancu adăugarea de fază pozitivă respectiv negativă, corespunzător celor două blocuri

din care este compus.

Compensare oprește–bandă (Notch) Acest bloc de compensare este implementatprintr-un ltru particular de tip oprește-bandă care plasează, la o anumită frecvenăspecicată ω N , o „depresiune“ în gracul amplicării în buclă deschisă. Funcia detransfer a blocului este

C (s) =s2 + 2 ξ N ω N s + ω

2 N

s2 + ω N s + ω2 N

,

unde ξ N determină adâncimea „depresiunii“ sub forma

|C (jω N )| = 2 ξ N ,

iar diagramele Bode sunt date în Fig. 3.7.Acest bloc de compensare se folosește înspecial pentru situaia în care sistemul în buclă deschisă are anumite frecvene derezonană (la care amplicarea devine foarte mare).

Compensare de pantă (la frecvenţe înalte) Compensarea de pantă este utilăpentru reducerea rapidă a amplicării în buclă deschisă, începând de la o frecvenădată ωr în sus. Funcia de transfer a blocului este

ω N r

(s + ωr ) N ,


38/113


ξ N = 0 ξ N = 0,1

ξ N = 0,3

ω [rad/s]ω N

|C (jω)|

0

1

ω [rad/s]

arg C (jω)

[rad]

−π/4

0

π/4

ξ N = 0

ξ N = 0,1

ξ N = 0,3

Figura 3.7: Diagramele Bode ale blocului de tip notch C (s) = s2+2 ξ N ω N s+ω

2 N

s2+ω N s+ω2 N

. De notat

că amplicarea este în unităi standard (nu în decibeli).

proiectantul alegând numărul natural N și frecvena ωr (de la care panta amplicăriise consideră convenional că a scăzut cu 20 N dB/dec).

Probleme rezolvate

Problema R3.1. Se consideră un proces stabil, de fază minimă și cu grad relativ unu.Obiectivul de performană este urmărirea referinelor de tip sinusoidă în banda defrecvene 0 ≤ ω ≤ 1. Cunoașterea procesului este afectată de prezena de incerti-tudini multiplicative modelate sub forma unui ltru trece-sus W T cu ω B = 20 rad/s,amplicarea la joasă frecvenă A = 0,2, iar cea la înaltă frecvenă M = 20.

a) Scriei expresia analitică a funciei de transfer a incertitudinii W T (s) și desenaidiagramele ei Bode;

b) Alegei funcia de transfer în buclă deschisă de tipul

L(s) = b

cs + 1

și găsii valorile lui b și c care asigură cea mai bună performană posibilă în condiiiledate de incertitudine;

c) Presupunând că performana este cuanticată cu ajutorul unei funcii pondere


39/113

Loopshaping 43

ω [rad/s]

|W T (jω)|[dB]

−26

0

34

0,1 1 2 10 100

ω [rad/s]

arg W T (jω)

[rad]

0

π/2

0,1 1 2 10 100

Figura 3.8: Diagramele Bode ale funciei pondere W T = 10s+120(0,01s+1) .

W S dată de

|W S (jω)| = a, 0 ≤ ω ≤ 10, în rest, (3.8)găsii nivelul maxim de performană ce se poate atinge în aceste condiii de incertitu-dine și cu forma aleasă a transferului în buclă deschisă;

d) Pentru W T , L și W S găsite vericai că sunt îndeplinite condiia de stabilitateinternă a sistemului rezultant și condiia de performană robustă;

e) Propunei o modalitate de îmbunătăire a performanei sistemului și calculainoua performană de urmărire obinută.

Soluie. a) Introducem datele în forma generală a funciei pondere W T (de tipltru trece-sus) obinând expresia

W T (s) =10s + 1

20(0,01s + 1),

având diagramele Bode din Fig. 3.8. Această pondere are un modul 1 M

= 0.05 lafrecvene joase, un modul de 1

A = 5 la frecvene înalte și pulsaia de tăiere ω B = 20

rad/s (vezi metoda de construcie a ponderilor din Cap. 1).b) În metoda de loopshaping singurul lucru pe care trebuie să-l știm într-o primă

fază a proiectării este excesul poli-zerouri care va determina panta amplicării la înaltă frecvenă. Acest lucru este necesar întrucât L = PC (pe care îl alegem prinloopshaping) trebuiesa aibă cel puin același exces poli-zerouri (pentru ca C = L/P să


40/113


rezulte propriu). Pentru sistemul în buclă deschisă propus, având o funcie de transfersimplă de tip ltru trece-jos (vezi argumentele din Cap. 1 privind forma dorită a lui L), condiia necesară privind excesul de poli-zerouri este îndeplinită.

Pentru a asigura cea mai bună performană posibilă alegem c = 1 a.î. | L| să înceapă să descrească cât mai repede posibil în apropierea marginii superioare abenzii de frecvene în care operează sistemul (zona de joasă frecvenă), adică [0, 1].Pentru urmărire bună dorim ca b să e cât mai mare posibil, dar nu mai mare decâtne permite condiia de performană robustă la frecvene înalte. Din tabel rezultă că btrebuie să satisfacă

| L| ≤ 1

− |W S

||W T | = 1

|W T | , ω ≥ 20sau înlocuind explicit valorile

|b|| jω + 1|

| jω + 1||0,2jω + 20| ≤ 1, ∀ω ≥ 20

obinem pentru b = 20√

1,04 ≈ 20 și prin urmare

L(s) = 20

s + 1.

c) Cerina de performană este urmărirea referinelor de tip sinusoidal cu frec-vene între 0 și 1 rad/s, iar nivelul de performană este specicat prin funcia ponderede tip ltru trece-jos (3.8). În consecină, la joasă frecvenă, i.e., în intervalul [0, 1]trebuie să asigurăm îndeplinirea relaiei (3.4). Pentru aceasta alegem cea mai marevaloare a lui a a.î.

| L| ≥ |W S |1 − |W T | =

a

1 − |W T | , ω ≤ 1.

Funciaa

1 − |W T (jω)|este monoton crescătoare pe [0, 1] (pentru că se observă din Fig. 3.8 că

|W T (jω)

|este

monoton crescătoare pe [0, 1]), în timp ce L(jω) este monoton descrescătoare. Decia se găsește rezolvând

| L(j1)| = a1 − |W T (j1)| .

Înlocuind valorile numerice obinem

20√ 2

=10

√ 2a

10√

2 − 1cu soluia a ≈ 13,14.


41/113

Loopshaping 45

d) Pentru acest L obinut sistemul nominal în buclă închisă este intern stabil (nuse simplică moduri instabile în produsul PC deoarece P este stabil și de fază minimăși în plus

1 + PC = 1 + L = 1 +20

s + 1 =

s + 21

s + 1

nu are zerouri în Re s ≥ 0). Rămâne să validăm proiectarea vericând condiia (3.2)sau, echivalent,

|W S (jω)S (jω)| + |W T (jω)T (jω)| < 1, ∀ω. (3.9)

Valoarea maximă a funciei din stânga este 0,92 (se poate determina analitic sautrasând grac) și deci condiia este vericată.Ce am obinut? Pentru ponderea

|W S (jω)| =13,14, 0 ≤ ω ≤ 10, în rest

am construit L(s) = 20s+1

pentru care avem performană robustă. Eroarea maximă deurmărire este supt |e(t )| ≤ supω∈[0,1]|S (jω)| ≤ supω∈[0,1] 1|W S (jω)| =

113,15

= 7,6%.e) Presupunem că eroarea de urmărire obinută este prea mare. Propunem două

metode de îmbunătăire a performanei, una mai simplă cu rezultate modeste și unamai ecientă. Prima metoda determină a maxim pentru care condiia (3.9) este încă

îndeplinită (calculai cât rezultă a).A doua metodă urmarește să reducă eroarea prin modicarea formei lui L a.î. | L|

să devină mai mare pe banda de frecvene [0, 1] și să nu se modice semnicativ pebanda de frecvene pe care apare incertitudinea de model. Propunem înserierea unuibloc cu întârziere de fază având funcia de transfer s+10

s+1 , obinând

L(s) = s + 10

s + 1

20

s + 1.

Blocul nou s+10s+1

are modulul aproximativ 10 pe banda [0, 1] și scade la aproximativ1 deasupra frecvenei de 10 rad/s).

Sistemul nominal obinut în buclă închisă este din nou intern stabil. Daca luămW S cu forma de mai înainte și calculăm noul a obinem a ≈ 93,48. Inegalitatea (3.9)este din nou vericată (se verică grac sau analitic). Eroarea de urmărire satisface|e(t )| ≤ 1

93,46 = 1,07%.

f) Regulatorul cerut este dat de C = LP

. Observai că până în faza aceasta nu amavut nevoie să-l știm explicit pe P, ci numai caracteristicile precizate în enun.

Observaie nală: Problema de mai sus este simplă întrucât zonele de joasă șirespectiv înaltă frecvenă sunt bine separate și cerinele nu sunt în mare competiie înzona de medie frecvenă.


42/113


|P|

|14P|

|W S |1−|W T |

1|W T |

ω [rad/s]0,1 1 3,7 10 100

[dB]

0

20

40

ω [rad/s]

arg P(jω)

[rad]

0,1 1 3,7 10 100−π/2

−πMF

Figura 3.9: Diagramele Bode ale lui P(s) și marginile lui | L| pentru loopshaping dincadrul Problemei R3.2.

Problema R3.2. Se consideră procesul P(s) = 1s(s+1)

. Obiectivul este urmărirea dereferine sinusoidale cu eroare de cel mult 10% în banda de frecvene 0 ≤ ω ≤ 1,

în condiiile existenei unor incertitudini multiplicative cu prol dat de W T (s) =s+1

10(0,01s+1).

a) Figurai pe același grac diagramele Bode ale restriciilor la joasă și înaltăfrecvenă și ale lui P(s);

b) Plecând de la L(s) = P(s), adăugai un bloc proporional pentru a satisfaceperformana la joasă frecvenă;

c) Ce margini de amplitudine și de fază s-au obinut?

d) Folosii un bloc cu avans de fază pentru creșterea marginii de fază la cel puinπ/3 radiani;

e) Vericai că proiectarea propusă satisface cerinele.

Soluie. a) Diagramele cerute sunt date în Fig. 3.9.b) Pentru a satisface restricia la joasă frecvenă se observă din grace că este ne-

cesară adăugarea a cel putin 20 dB prin intermediul unui bloc proporional, obinând L(s) = 14

s(s+1). Pentru acest L(s) condiia la înaltă frecvenă este automat îndepli-

nită, singura problemă provenind din zona de medie frecvenă în care panta este de−40 dB/dec (la limita absolută permisă de teorema lui Bode) — vezi diagrama dinFig. 3.9.


43/113

Loopshaping 47

c) Marginea de amplitudine și de fază se calculează găsind întâi punctele în carehodograful intersectează axa reală în intervalul (−1, 0) și respectiv cercul cu centrul

în zero și rază 1. Pentru L(s) = 14s(s+1)

obinem MA = ∞ și respectiv MF = π/12, carese atinge pentru o pulsaie de ω f = 3,7 rad/s. Observăm că marginea de fază esterelativ mică, lucru datorat pantei prea abrupte din zona de medie frecvenă.

d) Pentru a atenua panta în zona de medie frecvenă și a mări în consecinămarginea de fază proiectăm un bloc cu avans de fază. Propunem un avans de fazăegal cu π/4, pentru a obine o margine totală de fază egală cu π/3. Parametrii cedenesc blocul de avans de fază a și b satisfac

b

a=

1 + sin(π/4)

1 − sin(π/4) ≈ 6, ω f =√

ab,

obinându-se a ≈ 1,5 și b ≈ 9. Funcia de transfer în buclă deschisă devine

L(s) = 14 9

1,5

s + 1,5

s + 9

1

s(s + 1),

iar regulatorul corespunzător este

C (s) = 14 9

1,5

s + 1,5

s + 9 .

Calculând marginea de fază totală obinută cu noul regulator aceasta este aproximativπ/4, mult sub valoarea prezisă de proiectare de π/3. Aceasta se datorează faptuluică marginea de fază se obine acum la pulsaia de tăiere de aproximativ 7 rad/s,mult peste valoarea de proiectare de 3,7 rad/s. Pentru a crește marginea de fază

înspre valoarea dorită, adăugăm fază la o valoare apropiată, dar mai mare decât nouapulsaie de tăiere, de exemplu la 8 rad/s. Valoarea pe care o adăugăm este mai mare,

în particular π/3, obinând în nal un regulator de forma

C (s) = 14 29

2,15

s + 2,15

s + 29 .

Trasând diagrama Bode a amplitudinii lui

L(s) = 14 29

2,15

s + 2,15

s + 29

1

s(s + 1)

observăm că noul regulator obinut nu încalcă marginile impuse de proiectare (veziFig. 3.10). Ultima etapă constă în validarea proiectării prin vericarea stabilităii înbuclă închisă și inegalităii de performană robustă (3.2).


44/113


|W S |1−|W T |

1|W T |

ω [rad/s]

| L(jω)|[dB]

0,1 1 10 1000

20

ω [rad/s]

arg L(jω)

[rad]

0,1 1 10 100−π/2

−πMF

Figura 3.10: Diagramele Bode ale sistemului L(s) = 14 292,15

s+2,15s+29

1s(s+1)

din cadrul

Problemei R3.2.

Probleme propuse

Problema P3.1. Funcia de transfer a unui compensator cu avans de fază elementareste

C (s) = K α(T s + 1)

αT s + 1 , cu α 0.

a) Arătai că pentru K = 1 locul Nyquist al compensatorului este cel din Fig. 3.11.b) Arătai că frecvena ωm la care se obine argumentul maxim φm = arg C (jωm)

este ωm = 1T √ α

.c) Calculai defazajul (pozitiv) maxim φm pe care îl introduce compensatorul;d) Schiai diagramele Bode ale compensatorului pentru K = 1.

Problema P3.2. Se consideră procesul P(s) = 1(s+0,01)2

. Este știut că în realitate pro-cesul conine și o componentă de tip timp mort ce poate considerată ca incertitudinemultiplicativă cu prol dat de W T (s) = 0

,1s0,05s+1

. Se dorește urmărirea de referinesinusoidale cu eroare de cel mult 10% în banda de frecvene 0 ≤ ω ≤ 1.

a) Calculai o funcie pondere W S (s) sub forma unui ltru trece-jos de tip But-terworth de ordin 3 cu frecvenă de tăiere și amplicare statică alese convenabil învederea scrierii cerinei de performană sub forma W S S ∞


45/113

Loopshaping 49

Re C (jω)

Im C (jω)

α

ω = 0

1

ω → ∞

C (jωm)

ωm

1+α2

1−α2

φm

Figura 3.11: Diagrama Nyquist pentru Problema P3.1.

b) Sintetizai un regulator pentru performană robustă.

Problema P3.3. Rezolvai Problema R3.1 atunci când intervalul de frecvene pe carese cere obinerea performanelor de urmărire este [0, ω j], unde ω j = 2 rad/s, ω j = 5rad/s și ω j = 10 rad/s. Care este nivelul maxim de performană care se poate atinge înecare caz? Propunei o metodă care pentru un nivel de performană prescris ab ante

poate stabili existena/inexistena unui regulator ce satisface performana robustă încondiiile de incertitudine precizate.

Problema P3.4. Rezolvai Problema R3.1 pentru un prol de incertitudine dat defuncia

W T (s) = 10s + 1

20(0,01s + 1).

Ce nivel de performană nominală se poate obine?

Problema P3.5. Se consideră procesul instabil și de fază neminimă

P(s) = −s + 16

(s − 6)(s + 11) .

a) Propunem o funcie de transfer în buclă deschisă ce conine modurile instabile(pentru ca sistemul în buclă închisă să rezulte intern stabil) și ce are excesul poli-zerouri 1 (pentru ca regulatorul C să rezulte propriu) de tipul

L(s) =−s + 16

0,001s + 1

ωc

s

1

16

s + 6

s − 6 .

Calculai ωc maxim pentru care avem stabilitate internă și S ∞


46/113


c) Construii un regulator ce prestabilizează sistemul. Includei partea de fazăneminimă în prolul incertitudinii și gurai diagrama Bode a incertitudinii. Folosindaceste etape preliminare construii un regulator ce asigură performana robustă încondiiile de performană nominală specicate la punctul a).

d) Comparai cele două regulatoare obinute în termenii performanelor lor pe întregul interval de frecvene.

Problema P3.6. Se consideră procesul P(s) = 1s(s+1)

. Obiectivul este urmărirea dereferinesinusoidalecueroaredecelmult10%înbandadefrecvene 0 ≤ ω ≤ 1 în con-diiile existenei unor incertitudini multiplicative cu prol dat de W T (s) = s+110(0,01s+1) .

Folosii tehnici de loopshaping pentru calculul parametrilor unui compensator deforma C (s) = K s+b

s+a ce rezolvă problema și asigură în plus o margine de fază de cel

puin π/3 radiani.

Problema P3.7. Se consideră procesul P(s) = 1s(s+1)

. Obiectivul este urmărirea dereferine sinusoidale cu eroare de cel mult a% în banda de frecvene 0 ≤ ω ≤ 0,1rad/s în condiiile existenei unor incertitudini multiplicative cu prol dat de W T (s) =100 s+0,1

s+100.

a) Ceperformanădeurmărire a sepoateobinefolosindoformăsimplăafuncieide transfer în buclă deschisă de tipul L(s) = 1

s+1?

b) Regulatorul obinut cu L(s) = 1s+1

nu este propriu și deci nu este implementabil

zic. Propunei o metodă de a ajusta forma acestui regulator pentru a remedia acestlucru. Indicaie: construii în serie un bloc de pantă care nu afectează performanaobinută.

c) Plecând de la forma lui L(s) de la punctul a), adăugai blocuri în serie și folosiimetoda de loop-shaping pentru construcia unui regulator ce atinge performana deurmărire a = 10%.

Problema P3.8. Arătai că un regulator de tip PID, având funcia de transfer dată de

C PI D(s) = K P + K I

s+

K D s

s/ p + 1,

poate funciona ca un bloc cu avans/întârziere de fază, unde K P, K I , K D și polul psunt parametri de proiectare.


47/113

4. SISTEME DINAMICE PE SPAŢIULSTĂRILOR

Breviar teoretic

În acest capitol și în următoarele două considerăm clasa sistemelor liniare, invariante în timp, nit dimensionale, cu timp continual, având mai multe intrări și mai multeieșiri (MIMO), explicitate de ecuaiile dinamice (difereniale) ˙ x(t ) = A x(t ) + Bu(t ), x(t o) = xo, y(t ) = C x(t ) + Du(t ) (4.1)unde u(t ) ∈ Rm este vectorul semnalelor de intrare, x(t ) ∈ Rn este vectorul de stare,iar y(t ) ∈ R p este vectorul semnalelor de ieșire. Uzual, u(t ) este funcie continuă celpuin pe poriuni, iar x(t ) și y(t ) rezultă funcii continue. Deoarece modelul sistemului(4.1) este determinat de cele patru matrice constante A

∈ R

n×n, B

∈ R

n×m, C

∈ R

p×n, D ∈ R p×m acesta se desemnează în formă abreviată prin cvadruplul ( A, B, C , D).

Datorită invarianei în timp se poate considera întotdeauna t o = 0, caz în carecondiia iniială se rescrie x(0) = xo. Sistemul dinamic denit de (4.1), pentru ocondiie iniială xată, este de fapt un sistem intrare-ieșire în care starea joacă rolulde variabilă de cuplare.

Evoluţia stării și comportarea intrare-ieșire

Prima relaie din (4.1) este de fapt un sistem de n ecuaii difereniale ordinare cu nnecunoscute care are soluie unică (în condiiile în care starea iniială xo si comandau(t ), t ≥ 0, sunt precizate, iar u(·) este continuă pe poriuni), dată explicit de

x(t ) = φ(t , xo, u(·)) = e At xo + t

0

e A(t −τ) Bu(τ) dτ

= φ(t , xo, 0) + φ(t , 0, u(·))= x (t ) + x f (t ).

(4.2)

Funcia φ : R×Rn ×U → Rn se numește funcia de tranziie a stării. Descompunereaaditivă de mai sus pune în evidenă superpoziia efectelor (datorate stării iniiale xo— regimul liber — și respectiv comenzii u(·) — regimul forat ). Matricea

Φ(t ) e At

51


48/113


se numește matricea de tranziie a stării1.Ieșirea sistemului se obine sub formă de combinaie liniară de intrări și stări sub

1e At I n + 11!

( At ) + 12!

( At )2 + · · · + 1n!

( At )n + · · · Calculul analitic al lui e At cuprinde trei etape,bazându-se pe evaluarea exponenialei unui bloc elementar Jordan cu valore proprie întâi nulă, apoioarecare și în nal pe aducerea matricei A la forma Jordan:

a) Dacă A ∈ Rn×n și

A = J 0 =

0 1 · · · 0...

.

... . .

.

..

0 0

· · · 1

0 0 · · · 0

,

atunci A este nilpotentă cu indice de nilpotenă n (i.e., An = 0 și An−1 0). Pe baza deniiei obinem

e At = I n +

0 t

1! . . . 0

......

. . ....

0 0 . . . t 1!

0 0 . . . 0

+ · · · +

0 0 . . . t n−1

(n−1)!...

.... . .

...

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

=

1 t

1! . . . t

n−1(n−1)!

......

. . ....

0 0 . . . t 1!

0 0 . . . 1

.

b) Dacă A ∈ Rn×n și

A = J o + Λo, unde Λo =

λo 0 . . . 0

..

.

..

.

. ..

..

.0 0 . . . 0

0 0 . . . λo

= λo I n,

avem e At = e ( J o +Λo )t = e J o t eΛo t (relaia are loc pentru că Λ o comută cu J o). inând cont că eΛo t = eλo t I nse obine

e At = eλot

1 t

1! . . . t

n−1(n−1)!

.

.....

. . ....

0 0 . . . t 1!

0 0 . . . 1

.

c) Dacă A ∈ Rn×n este o matrice oarecare, atunci există T ∈ Rn×n nesingulară a.î.

J = T AT −1 =

J 1 0

. . .

0 J k

unde J este o matrice Jordan (bloc diagonală având pe diagonală blocuri elementare Jordan J i cuvalorileproprii ale matricei A). Matricea de tranziie a stării devine

e At = eT −1 JT t

= T −1e Jt T = T −1

e J 1t 0

. . .

0 e J k t

T .


49/113

Sisteme dinamice pe spaţiul stărilor 53

forma (vezi (4.1) și (4.2))

y(t ) = f (t , xo, u(·)) = C e At xo + t

0

C e A(t −τ) Bu(τ) dτ

= f (t , xo, 0) + f (t , 0, u(·))= y (t ) + y f (t ).

Matricele

T (t ) C Φ(t ) B, T c(t ) 0, t < 0,

T (t ), t ≥

0,

se numesc matricea pondere respectiv matricea de răspuns cauzal la impuls. Maimult, T c(t ) = T

draftculegeretsa.pdf

Documents