dra. georgina pulido. dr. ricardo l´opez. lista no....

Lista 1: Introduccion al Algebra Lineal. Dra. Georgina Pulido. Dr. Ricardo Lopez. 1

Introduccion al Algebra Lineal

Dra. Georgina Pulido. Dr. Ricardo Lopez.

Lista No. 1Mayo, 2009.

Lista de ejercicios correspondientes a las Unidades I, Unidades II y Primer Examen Integrador.

En la pagina WEB, el alumno y el estudiante encontrara ejercicios de esta lista resueltos, o bien sugerencias parasu solucion. Ademas encontrara tareas. Consultela !!! (Click, en la imagen para ir al sitio WEB)

Asesorias Trimestre 09P

Si el alumno tiene dudas en alguno de los ejercicios de las listas, debera de consultar a su profesor, exclusivamenteen cualquiera de los dias y horarios siguientes: (Click, en la imagen para ir al sitio WEB)

References

[1] Kolman, Bernard., Algebra lineal con aplicaciones y Mathlab, Prentice–Hall, Mexico, 1999, 6a. Edicion.

[2] Howard Anton. , Introduccion al Algebra Lineal, Limusa Willey, Mexico, 2004.

[3] Stephen W., The MATHEMATICA Book, Wolfram Media, Cambridge University Press (2003).

[4] Software: Mathematica 5, 6, 7, Wolfram Research.

Observaciones

1. En esta Lista de Ejercicios, aparece al final de la misma una seccion llamada DATOS. El alumno tendra que usar losdatos contenidos en dicha seccion para hacer los ejercicios de la lista I.

2. Estas listas de ejercicios son extensas. Muchos ejercicios traen varios incisos. Sin embargo, muchos de los incisos tienenla misma estructura, con datos cambiados. A criterio del alumno y del estudiante, el decidira cuantos ejercicios con lamisma estructura son necesarios y suficientes para que le aseguren al alumno la comprension del material involucrado endichos ejercicios.

Sugerimos que ejercicios con incisos de la misma estructura, el alumno realize por lo menos tres de dichos incisos.

El alumno y el estudiante tienen la ultima palabra, en este tipo de incisos.

http://ce.azc.uam.mx/profesores/rlb/

http://ce.azc.uam.mx/profesores/rlb/HORARIOSOcoordinacion09P.pdf

Lista 1: Introduccion al Algebra Lineal.. Dra. Georgina Pulido. Dr. Ricardo Lopez. 2

3. Al realizar los ejercicios de esta lista, debera escribir LA SOLUCION detallada DEL EJERCICIO. La solucion debe sercompleta, libre de errores. Se sugiere que verifique con su profesor todos y cada uno de los ejercicios donde tenga duda.Aquellos ejercicios que tengan incisos que no tengan misma estructura, debera hacer todos y cada uno de los incisos.

4. En esta lista de ejercicios, para verificar sus resultados sugerimos que haga uso del Paquete de Computo Mathematica7 (Wolfram Research). Este paquete se encuentra instalado en las computadoras del Edificio T.

5. Archivo de Comandos Basicos de Mathematica:En la siguiente pagina WEB, el alumno y el estudiante puede descargar un archivo de comandos basicos de Mathematicaelaborado por los doctores Georgina Pulido y Ricardo Lopez.

Consultela !!! (Click, en la imagen para ir al sitio WEB)

6. En el curso habra 3 listas de ejercicios. Llamadas Lista I, Lista II, Lista III.

7. Los ejercicios de Examenes son los de las listas.En esta Lista No 1, hay una gran variedad de ejercicios. El objetivo al hacer estas listas de estas dimensiones, es que ellonos permitira sacar integramente los ejercicios de los examenes de unidades y primer examen integrador de esta lista deejercicios.

Mas aun, los ejercicios que apareceran en examenes, seran COMPLETAMENTE IDENTICOS A LOS PRESENTADOSEN ESTAS LISTAS DE EJERCICIOS.

8. Calificacion:La mecanica de calificacion del curso de Introduccion al Algebra Lineal (SAI) del Dr. Ricardo Lopez, estamecanica solo sera posible cuando cada una de las calificaciones siguientes sean mayores o iguales a 6. Recuerdeque si reprueba alguna de las unidades o integrador debera, repetir en examen dicha unidad o integrador hastaque lo apruebe. MECANICA:

Calificacion del curso =C1 + C2 + C3

3.

DondeC1 = Calificacion de Unidad I + Calificacion de Unidad II + Calificacion de Primer Integrador .C2 = Calificacion de Unidad III + Calificacion de Unidad IV + Calificacion de Segundo Integrador .C3 = Calificacion de Unidad V + Calificacion de Unidad VI + Calificacion de Tercer Integrador .

9. Intento hacer un ejercicio y no se logro resolver? Acuda a asesorias, tanto al salon como al cubiculo, donde personalmentele atendere. No permita que se le acumulen las dudas.

10. Los ejercicios NO se encuentran ordenados. Conforme se vaya cubriendo el material en clase, debera buscar en esta listalos ejercicios correspondientes y hacerlos.

http://ce.azc.uam.mx/profesores/rlb/Agosto2008.nb


11. Se calificara procedimiento y resultado en los ejercicios que entregue.

12. Debera respetar las indicaciones de cada ejercicio.

1 Servicios

Las Coordinaciones del Complementos de Matematicas / Ecuaciones Diferenciales y del Grupo Tematico de Algebra yGeometria, ponen a disposicion de los alumnos de Complementos de Matematicas y de Introduccion al Algebra Lineallos siguientes servicios. Consulte al Cordinador Dr. Ricardo Lopez, para hacer uso de los mismos.

Laboratorio de Computo: Consulte el siguiente link donde aparecen en el archivoPDF los horarios y lugares para Laboratorios de Computo. Contacte al Dr. Ricardo Lopez para agendar su ingreso alos laboratorios de computo.


LISTA No. 11.- i.) Dar un listado de todos los subespacios de P1.

ii.) Dar un listado de todos los subespacios de P2.iii.) Dar un listado de todos los subespacios de P3.iv.) Dar un listado de todos los subespacios de P4.

http://ce.azc.uam.mx/profesores/rlb/COMPUTOSALGEBRASAI.pdf

http://ce.azc.uam.mx/profesores/rlb/


2.- Sea V = R4. Definase la suma en V como la suma usual en R4. Sin embargo, la multiplicacion por escalar difierede la multiplicacion por escalar usual en R4.

Para cada una de las definiciones de multiplicacion por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial.

i. r(x, y, z, w) = (rx, ry, rz, 0)ii. r(x, y, z, w) = (5rx, 5ry, 5rz, 5rw)

iii. r(x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0)iv. r(x, y, z, w) = (r2x, r2y, r2z, r2w)

3.- ¿Decida si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales con las operaciones indicadas? Debera justificar plena-mente su respuesta.

i.- El conjunto V de enteros positivos con la suma y multiplicacion por escalar usual.

ii.- El conjunto V de enteros con la suma y multiplicacion por escalar usual.

iii.- El conjunto V de todos los polinomios de grado mayor estrictamente que 10; junto con el vector nulo y lasoperaciones de P.

iv.- Considere cada una de las matrices Bi de orden 2 × 2 dadas en DATOS. Para que columnas H ∈ R2, elconjunto U = {X|X ∈ R2, BiX = H} es un subespacio de R2. Debera justificar su respuesta.

(i) B1.(ii) B2.(iii) B3.(iv) B4.(v) B5.(vi) B6.

(vii) B7.(viii) B8.(ix) B9.(x) B10.(xi) B11.(xii) B12.

(xiii) B13.(xiv) B14.(xv) B15.(xvi) B16.(xvii) B17.(xviii) B18.

(xix) B19.(xx) B20.(xxi) B21.(xxii) B22.(xxiii) B23.(xxiv) B24.

(xxv) B25.(xxvi) B26.(xxvii) B27.(xxviii) B28.(xxix) B29.(xxx) B30.

(xxxi) B31.(xxxii) B32.(xxxiii) B33.(xxxiv) B34.(xxxv) B35.(xxxvi) B36.

v.- Considere cada una de las matrices Bi de orden 3 × 3 dadas en DATOS. Para que columnas H ∈ R3, elconjunto U = {X|X ∈ R3, BiX = H} es un subespacio de R3. Debera justificar su respuesta.

(i) B1.(ii) B2.(iii) B3.(iv) B4.(v) B5.(vi) B6.

(vii) B7.(viii) B8.(ix) B9.(x) B10.(xi) B11.(xii) B12.

(xiii) B13.(xiv) B14.(xv) B15.(xvi) B16.(xvii) B17.(xviii) B18.

(xix) B19.(xx) B20.(xxi) B21.(xxii) B22.(xxiii) B23.(xxiv) B24.

(xxv) B25.(xxvi) B26.(xxvii) B27.(xxviii) B28.(xxix) B29.(xxx) B30.

(xxxi) B31.(xxxii) B32.(xxxiii) B33.(xxxiv) B34.(xxxv) B35.(xxxvi) B36.

vi.- Considere el vector columna X = (3, 4, 5, 6, 7) se define U = {AX|A ∈ M3×5}.

i. ¿U es subespacio de R3, de R5?ii. ¿Es cierto que U = R3?

vii.- El conjunto V de todos los polinomios de grado ≤ 10, junto con el vector nulo y las operaciones de P.

viii.- El conjunto V de todas las matrices 2 × 2 de la forma[0 hb 0

]y las operaciones usuales de M2×2

ix.- El conjunto V de todas las matrices 3 × 3 de la forma

a 0 h0 b 00 0 c

y las operaciones usuales de M3×3

x.- El conjunto V de todas las matrices 3 × 3 con determinante nulo y las operaciones usuales de M3×3

xi.- El conjunto V de todas las matrices 3 × 3 con determinante 1 y las operaciones usuales de M3×3

xii.- El conjunto V = {a + b√

2|a, b ∈ R} y las operaciones usuales de Rxiii.- El conjunto V de todas las matrices 2 × 2 con igual suma de columnas y las operaciones usuales de M2×2


xiv.- El conjunto V de todas las matrices 2 × 2 con igual suma de filas y las operaciones usuales de M2×2

xv.- El conjunto V de todas las matrices 2 × 2 cuyos elementos suman cero y las operaciones usuales de M2×2

xvi.- El conjunto V de todas las matrices 4 × 4 cuyos elementos suman cero y las operaciones usuales de M4×4

xvii.- El conjunto V de todas las funciones f : R → R con la suma elemento a elemento y el producto por unescalar definido por (rf)(x) = f(rx).

xviii.- El conjunto V de todas las matrices 3 × 3 con la adicion usual de M3×3 y la multiplicacion por escalardefinido por rA = rAT .

xix.- El conjunto V de todas las matrices 3 × 3 cuyos elementos suman 0 y las operaciones usuales de M3×3

xx.- El conjunto V de los numeros reales positivos cuya suma vectorial se corresponde con el producto usual, ycuya multiplicacion por un escalar es r~v = vr. ¿V es espacio vectorial?

4.- Sea V el conjunto de pares ordenados (x, y) de numeros reales. Si la suma se define por (x1, y1) + (x2, y2) =(x1 + x2, y1 + y2 + 1) y r(x, y) = (rx, ry + r − 1). ¿V es espacio vectorial?

5.- Considere las matrices Bi de orden 2 × 2 dadas en DATOS, calcule explicitamente:

(a) Espacio Fila de Bi

(b) Espacio Nulo de Bi

(c) Espacio Nulo Izquierdo de Bi

(d) Espacio Columna de Bi
















9.- Diga si el conjunto U = {(r, 0, s)|r3 − s3 = 0; r, s ∈ R} es un subespacio de R3.

10.- ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de P4. Debera justificar plenamente su respuesta.

i.) U = {f(x)|f(5) = 0}ii.) U = {x2f(x)|f(x) ∈ P2}iii.) U = {xg(x) + (1 − x)h(x)|g(x), h(x) ∈ P2}


iv.) El conjunto de todos los polinomios de P4 con termino constante igual a cero.

v.) U = {f(x)|grado(f(x)) ≤ 5}

11.- ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de M2×2. Debera justificar su respuesta.

i.) U ={ [

0 ab 0

]| a, b ∈ R

}.

ii.) U ={ [

a bc d

]| a + b = −c + d, donde a, b, c, d ∈ R

}.

iii.) U = {A|A ∈ M2×2, A = AT }iv.) U = {A|A ∈ M2×2, A = −AT }v.) U = {A|A ∈ M2×2, AB = 0}, donde B es una matriz fija de M2×2

vi.) U = {A|A ∈ M2×2, AB = A}, donde B es una matriz fija de M2×2

vii.) U = {A|A ∈ M2×2, A2 = A},

viii.) U = {A|A ∈ M2×2, A − AT es invertible},

ix.) U = {A|A ∈ M2×2, BAC = CAB}, donde C, B son matrices de M2×2

12.- ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de F[0, 2]. Debera justificar su respuesta.

i. U = {f |f(0) = 3}ii. U = {f |f(0) = f(4)}iii. U = {f |f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, 2]}

iv. U = {f |f(x) = f(y), ∀x, y ∈ [0, 2]}v. U = {f |f(x+y) = f(x)+f(y), ∀x, y ∈ [0, 2]}vi. U = {f |

∫ 2

0f2(x)dx = 0}

13.- Decida si el conjunto U es subespacio de R2. Si, U no es subespacio argumente porque no lo es.

i. U = {(0, 0)|s, t ∈ R}ii. U = {(x, 0)|x ∈ R}iii. U = {(x, 0)|x ≥ 0 ∈ R}iv. U = {(0, y)|y ∈ R}v. U = {(0, y)|y ≥ 0 ∈ R}vi. U = {(x, 0)|x ∈ R}vii. U = R2 \ {(1, 1)}viii. U = {(x, y)|y = 3x, x ∈ R}

ix. U = {(x, y)|y = 3x + 1, x ∈ R}x. U = {(x, y)|y = 3x, x ∈ R} \ {(1, 3)}xi. U = {(1, s)|s, t ∈ R}xii. U = {(t − s, s − t)|s, t ∈ R}xiii. U = {(r, s)|r, s, t ∈ R; −r + 3s = 0}xiv. U = {(r, 3s)|r, s ∈ R}xv. U = {(r, t)|r3 + t3 = 0; r, t ∈ R}xvi. U = {(2r, −t2)|r, t ∈ R}

14.- Diga si U es un subespacio de R3. con las operaciones de suma y multiplicacion por escalar usuales en R3.

i. U = {(−x, −x, −x)|x ∈ R}ii. U = {(x, y, x − y)|x, y ∈ R}iii. U = {(1, s, t)|s, t ∈ R}iv. U = {(0, s, t)|s, t ∈ R}v. U = {(r, s, t)|r, s, t ∈ R; −r + 3s + 2t = 0}vi. U = {(r, 3s, r − 2)|r, s ∈ R}vii. U = {(r, 0, t)|r3 + s3 = 0; r, s ∈ R}viii. U = {(2r, −s2, t)|r, s, t ∈ R}ix. U = {(x, y, z)|3x − 2y − 7z + 1 = 0}x. U = {(x, y, z)|3x − 2y − 7z = 0}.xi. U = {(x, y, z)|2y − 7z = 0}.xii. U = {(x, y, z)|3x − 2y − 1 = 0}.xiii. U = {(x, y, z)|3x = 0}.

xiv. U = {(x, y, z)|7z + 1 = 0}.xv. U = {(x, y, z)|x = 2t, y = 4t, z = −t, t ∈ R}.xvi. U = {(x, y, z)|x = 1 + 2t, y = 4t, z = −t, t ∈

R}.xvii. U = {(x, y, z)|x = −2t, y = −t, z = −t, t ∈

R}.xviii. U = {(x, y, z)|x = −2t, y = −t, z = 1 −

t, t ∈ R}.xix. U = {(x, y, z)|x = 0, y = −4t, z = 0, t ∈ R}.xx. U = {(x, y, z)|x = 0, y = −4t, z = 1, t ∈ R}.xxi. U = {(x, y, z)|x = 0, y = 4t, z = −t, t ∈ R}.xxii. U = {(x, y, z)|x = 1, y = 4t, z = −t, t ∈ R}.


15.- Diga si U es un subespacio de Rn.

i. U = {(r − s, s, t, w)|s, t ∈ R}ii. U = {(r, 0, s − w + t, t)|r, s, t, w ∈ R}iii. U = {(r, s−t, t−w, w)|r, s, t, w ∈ R; −r+3s+

2t = 0}iv. U = {(r − t, 3s, r − 2, 2w)|r, s, t, w ∈ R}v. U = {(r, 0, t, s − w)|r3 + s3 = 0; r, s, t, w ∈ R}vi. U = {(2r, −s2, t, w − t)|r, s, t, w ∈ R}vii. U = {(x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+

1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x+1111, x + 1111, x + 1111, x + 1111)|x ∈ R}

viii. U = {(r, 0, s)|r3 − s3 = 0; r, s ∈ R}.ix. W = {(−x, −x, −x)|x ∈ R}x. W = {(x, y, x − y)|x, y ∈ R}

16.- Considere las matrices Bi 2 × 2, dadas en DATOS.

X1, X2 indica los vectores respectivamente obtenidos de la primera fila, segunda fila de Bp.

Y1, Y2 indica los vectores respectivamente obtenidos de la primera columna, segunda columna de Bq.

En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, diga si Y1, Y2 son combinacion lineal de X1, X2.

Esto es, encuentre de ser posible los escalares r, s, t, w tales que Y1 = rX1 + sX2, Y2 = tX1 + wX2

Si Y2 no esta en U muestre por que no lo esta.

i. B1.ii. B2.iii. B3.iv. B4.v. B5.vi. B6.

vii. B7.viii. B8.ix. B9.x. B10.xi. B11.xii. B12.

xiii. B13.xiv. B14.xv. B15.xvi. B16.xvii. B17.xviii. B18.

xix. B19.xx. B20.xxi. B21.xxii. B22.xxiii. B23.xxiv. B24.

xxv. B25.xxvi. B26.xxvii. B27.xxviii. B28.xxix. B29.xxx. B30.

xxxi. B31.xxxii. B32.xxxiii. B33.xxxiv. B34.xxxv. B35.xxxvi. B36.

17.- Considere las matrices Bi 3 × 3 dadas en DATOS.

Considere los vectores X1, X2, X3 obtenidos a partir de la matriz Bi consistentes de la primera fila, segunda fila,tercera fila.

Para cada una de los incisos siguientes:

Encuentre, de ser posible, un vector ~a que NO sea combinacion lineal de X1, X2, X3.

Encuentre, de ser posible, un vector ~b que SI sea combinacion lineal de X1, X2, X3







18.- Considere los polinomios

p(x) = 1 − x + 2x2 − 4x4 + x5 − x7, q(x) = 3 + x − x2 + x4 − 3x5

Encuente los escalares r, s tales que rp(x) + sq(x) = −32 + 12x − 29x2 + 63x4 − 2x5 + 17x7.


p(x) = 1 − x + 2x2 − 3x3 + 4x4 − 5x5, q(x) = 1 − x3 + x9 − x12 + x18 − x24 + x27 − x33 + x36.

Encuentre los escalares r, s tales querp(x)+ sq(x) = 4 − 7x +14x2 − 18x3 +28x4 − 35x5 − 3x9 +3x12 − 3x18 +3x24 − 3x27 +3x33 − 3x36.


20.- Encuentre los escalares r, s tales que: 8 −3 −1529 4 −510 −19 28

= r

2 −3 15 −4 32 1 6

+ s

1 5 −54 8 −74 −5 7

+ t

2 −1 52 −4 34 7 8

21.- Considere las siguientes funciones en el espacio de funciones F[−10, 10] : f(x) = 1, g(x) = Sen2(x), h(x) =

Cos2(x). Encuentre los escalares r, s tales que:

−1

2+

1

2Cos(2x) = rCos2(x) + sSen2(x)

22.- Considere el conjunto

J = {(137, −183, 281), (137, 183, −281), (137, −183, −281), (137, −183, −281), (−137, −183, −281)}.

¿Hay algun vector en J que SI sea combinacion lineal de ~a = (2, 3, 4), ~b = (−1, 2, 3)?


J = {(57, 96, 128), (56, 98, 132), (55, 100, 135), (59, 99, 133), (67, 111, 149)}.

¿Hay algun vector en J que no sea combinacion lineal de ~a = (2, 3, 4), ~b = (−1, 2, 3)?


J = {(5, 3, 8, 10), (16, −1, 16, 23), (8, 1, 10, 14), (11, 2, 12, 17), (14, 0, 14, 20)}. ¿Hay algun vector en J queSI sea combinacion lineal de ~a = (1, 2, 3, 4);~b = (3, −1, 2, 3)?


J = {(−16, 3, −13, −18), (−4, −1, −5, −7), (−13, 2, −11, −16), (−7, 0, −7, −10), (−10, 1, −9, −13)}. ¿Hayalgun vector en J que sea combinacion lineal de ~a = (1, 2, 3, 4);~b = (3, −1, 2, 3)?

26.- Exprese el polinomio p(x) = x4 − x3 + x2 + 3 como una combinacion lineal de los elementos de la base depolinomios Bi de P4







27.- ¿El vector ~h = (20, 2, −7, −18) se encuentra en la envolvente lineal

L[(7, 1, 1, −3), (5, 1, 4, 1), (−16, −2, 1, 10)]?

28.- Considere la matriz A =

1 3 4 12 −5 7 83 −1 2 34 7 8 9

. Se sabe que el Determinate de A es 680.

¿Cual de las siguientes proposiciones NO es falsa?

Posibles Respuestas :

i. R4 = L[(1, 3, 4, 1), (2, −5, 7, 8), (3, −1, 2, 3), (4, 7, 8, 9)]


ii. R4 = L[(1, 3, 4, 1), (2, −5, 7, 8), (4, 7, 8, 9), (3, −1, 2, 3), ]iii. R4 = L[(1, 3, 4, 1), (2, −5, 7, 8), (4, 7, 8, 9)]iv. R4 = L[(2, −5, 7, 8), (3, −1, 2, 3), (4, 7, 8, 9)]v. R4 = L[(1, 3, 4, 1), (3, −1, 2, 3), (1, 3, 4, 1)]

29.- ¿La funcion Tan(x) pertenece a L[Cos(x), Sen(x)]?

30.- ¿El vector~h = (20, 2, −7, −18) se encuentra en la envolvente lineal L[(7, 1, 1, −3), (5, 1, 4, 1), (−16, −2, 1, 10)]?

31.- Decida cual de los siguientes vectores −6 + 224x − 1218x2 + 2125x3 + 107x5, −2 + 164x − 918x2 +1625x3 + 83x5, −12 + 314x − 1668x2 + 2875x3 + 143x5, 4 + 73x − 468x2 + 875x3 + 47x5 NO pertenecea la envolvente lineal

L

[1 − x + 3x2 − x5, 1 − 6x + 9x2 + 3x5, 1 − 15x + 75x2 − 125x3 − 6x5

].

32.- Decida cual de los siguientes vectores −12+314x−1668x2+2875x3+14311x5,, −154+2650x−13614x2+23000x3+137x5, −564+9078x−46188x2+77625x3+3811x5, −1380+21668x+109740x2+184000x3+8995x5 SI pertenece a la envolvente lineal:

L

[1 − x + 3x2 − x5, 1 − 6x + 9x2 + 3x5, 1 − 15x + 75x2 − 125x3 − 6x5

].

33.- Sea

W = L

[[4 −35 −4

],

[6 54 8

],

[7 57 −4

]].

Decida cual de las siguientes matrices SI pertenece a W .

E1 =[−3247 −2460−3164 1456

], E2 =

[−1371 −1080−1320 551

], E3 =

[−400 −350−374 120

], E4 =

[−41 −60−32 −7

].

34.- ¿El polinomio p(x) = 8 + 240x2 − 595x3 pertenece a la envolvente lineal L[(1 − x)3, (1 − x)2, 1]?

35.- ¿El polinomio p(x) = 8−63x+240x2 −595x3 +1065x4 −1416x5 +1391x6 −993x7 +495x8 −165x9 +33x10 − 3x11 pertenece a la envolvente lineal L[(1 − x)11, (1 − x)6, x7]?Esto es, se pregunta si se puede encontrar escalares a, b, c tales que: p(x) = a(1 − x)11 + b(1 − x)6 + cx7.

36.- Para el siguiente ejercicio, sugerimos que consulte la pagina web:

Considere el espacio vectorial C[−2π, 2π] ¿Los vectores 7Sen(3x), 9Cos(3x) pertenecen a la envolvente

L[Sen(x), Sen3(x), Cos3(x)]?

Esto es, se pregunta si existen numeros a, b, c y r, s, t tales que

7Sen(3x) = aSen(x) + bSen3(x) + cCos3(x)

9Cos(3x) = rSen(x) + sSen3(x) + tCos3(x)

http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/identities.html


37.- Considere las matrices

A =

−2 3 4 15 −5 7 8

−26 11 −40 −3514 −29 16 29

, B =

2 3 3 15 5 7 86 11 0 −354 −2 16 29

, C =

2 3 4 15 −5 7 8

−26 1 −4 −3514 9 16 9

.

¿La matriz H =

2 −15 −25 −5

−25 75 −35 −40290 15 148 175

−120 14 −80 −5

pertenece a la envolvente lineal L[A, B, C]? Esto es, se esta

preguntando si existen escalares a, b, c tales que H = aA + bB + cC.

38.- ¿El polinomio p(x) = 8−63x+240x2 −595x3 +1065x4 −1416x5 +1391x6 −993x7 +495x8 −165x9 +33x10 − 3x11 pertenece a la envolvente lineal L[(1 − x)11, (1 − x)6, x7]?

39.- Sea

W = L

{[5 −35 −4

],

[6 54 8

],

[7 57 −4

]}.

Encuentre una matriz que NO pertenezca a W .

40.- ¿El polinomio p(x) = 8 + 240x2 − 595x3 pertenece a la envolvente lineal

L[(1 − x)3, (1 − x)2, 1]?

41.- Considere las matrices Bi de orden 2 × 2, dadas en DATOS.

X1, X2 indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila Bi.

Y1, Y2 indica los vectores obtenidos de la primera columna, segunda columna de Bi. En cada inciso y dependiendode la matriz Bi, diga si Y2 pertenece a la envolvente lineal U = L[X1, X2]. Si Y2 esta en la envolvente lineal Uescribir a Y2 como una combinacion lineal de X1, X2.

Si Y2 no esta en U muestre por que no lo esta.








X1, X2, X3 indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila, tercera fila de la matrix Bi.

Y1, Y2, Y3 indica los vectores obtenidos de la primera columna, segunda columna, tercera columna de Bi.

En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, diga el vector X3 pertenece a la envolvente lineal U = L[X1, X2].Si X3 esta en la envolvente lineal U escribir a X3 como una combinacion lineal de X1, X2.

Si X3 no esta en U muestre por que no lo esta.











En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, diga si alguno de los vectores Y1, Y3 pertenecen a la envolventelineal U = L[X1, X2, X3]. Si alguno de los vectores Y1 ,Y3 estan en la envolvente lineal U escribir a Y1, Y3 comouna combinacion lineal de X1, X2, X3.

Si alguno de los vectores Y1, Y3 no esta en U muestre por que no lo esta.








X1, X2, X3, X4 indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila, tercera fila, cuarta fila de la matrixBi.

Y1, Y2, Y3, Y4 indica los vectores obtenidos de la primera columna, segunda columna, tercera columna, cuartacolumna de Bi.

En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, diga si alguno de los vectores X4, Y3 pertenecen a la envolventelineal U = L[X1, X2]. Si alguno de los vectores X4 ,Y3 estan en la envolvente lineal U escribir a X4, Y3 comouna combinacion lineal de X1, X2.

Si alguno de los vectores X4, Y3 no esta en U muestre por que no lo esta.










En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, diga si alguno de los vectores X4, Y3 pertenecen a la envolventelineal U = L[X1, X2, X3]. Si alguno de los vectores X4 ,Y3 estan en la envolvente lineal U escribir a X4, Y3

como una combinacion lineal de X1, X2, X3.

Si alguno de los vectores X4, Y3 no esta en U muestre por que no lo esta.








46.- Considere los vectores X = (1, 2, 3, 4, 5), Y = (2, 3, 4, 5, 6), Z = (3, 4, 5, 6, 7), W = (4, 5, 6, 7, 8) de R5.Sea H = 5X + 6Y + 7Z − 4W . ¿Es cierto que L[X, Y, Z, W ] = L[H, Y, Z, W ] ? En cualquier caso, debe dejustificar plenamente su respuesta.

47.- Considere los vectores columna X = (−1, 2, 3, −4, 5), Y = (12, 3, −4, 5, −6), Z = (34, 4, 5, 6, 7) de R5.

i) Encuentre una matriz A de orden 3 × 5 tal que AX = 0, AY = 0, AZ = 0.ii) Con la matriz del inciso anterior muestre que AH = 0 para todo H ∈ L[X, Y, Z]

48.- ¿Hay algun vector en el conjunto

{(2842, 13550, 4990, −725, 3562), (2932, 13927, 5131, −733, 3665), (2954, 14022, 5166, −738, 3690),

(2972, 14117, 5203, −743, 3715)} que SI pertenezca a la envolvente lineal L[(12, −3, 1, 12, 3), (4, 19, 7, −1, 5)]?

49.- ¿Hay algun vector en el conjunto

{(2850, 6420, 4990, −715, 3562), (2870, 6465, 5025, −720, 3587), (2890, 6510, 5060, −725, 3612),

(2910, 6555, 5095, −730, 3639)} que NO pertenezca a la envolvente lineal L[(12, −3, 1, 12, 3), (4, 19, 7, −1, 5)]?


2 3 4 1 5 1 15 −5 7 8 5 3 4

−26 11 −40 −35 32 11 135 −7 8 7 1 4 5

−145 76 −224 −196 157 43 50

.

¿Cual de las siguientes envolventes lineales es igual al espacio fila de A?

L[(1, 0, 0, 12037

, 0, −56632479

, −59702479

), (0, 1, 0, − 537

, 0, −14832479

, −18512479

), (0, 0, 1, −4737

, 0, 33612479

, −35132479

), (0, 0, 0, 0, 1, 2667

, 3267

)]

L[(1, 0, 0, 12037

, 0, − 6632479

, −59702479

), (0, 1, 0, − 537

, 0, −14832479

, −18512479

), (0, 0, 1, −4737

, 0, 33612479

, 35132479

), (0, 0, 0, 0, 1, 2667

, 3267

)]

L[(1, 0, 0, 12037

, 0, −56632479

, −59702479

), (0, 1, 0, − 537

, 0, −14832479

, −18512479

), (0, 0, 1, −4737

, 0, 33612479

, 35132479

)]

L[(1, 0, 0, 12037

, 0, −56632479

, −59702479

), (0, 1, 0, − 537

, 0, −14832479

, −18512479

)]


2 3 4 15 −5 7 8

−26 11 −40 −354 −29 16 29

.

i.- ¿El Espacio Fila de A es igual a alguna de las siguientes envolventes lineales?

L1

[(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 19

41), (0, 0, 1, 4

41)], L2

[(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, −19

41), (0, 0, 1, − 4

41)],

L3

[(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, −19

41), (0, 0, 1, 4

41)],

L4

[(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, − 9

41), (0, 0, 1, 4

41)].

ii.- ¿El Espacio columna de A es igual a alguna de las siguientes envolventes lineales?

L1

[(2, 5, −26, 4), (3, −5, 11, −29), (4, 7, −40, 6)

], L2

[(2, 5, −26, 4), (3, −5, 11, −29)

].

L3

[(2, 5, −26, 4), (3, −5, 11, 29), (4, 7, −40, 6)

],

L4

[(2, 5, −26, 4), (3, −5, 11, −29), (4, 7, −40, 6), (1, 8, −35, 9)

]iii.- ¿El Espacio nulo de A es igual a alguna de las siguientes envolventes lineales?

L1

[(53, 2, 21, −16)

], L2

[(−53, 2, 21, 6)

], L3

[(−53, 2, 21, 16)

], L4

[(−53, 2, 1, 16)

].


52.- ¿El vector~h = (0, 2, −7, −18) se encuentra en la envolvente lineal L[(7, 1, 1, −3), (5, 1, 4, 1), (−16, −2, 1, 10)]?

53.- Sean u, v, w vectores de un espacio vectorial V .

(a) ¿Es cierto que L[u, v, w] = L[u − v, u − w, v + w]?

(b) ¿Es cierto que L[u, v, w] = L[u + v, 5u − w, 3v + w]?

54.- Determine, si v pertenece a L[u, w] en cada uno de los siguientes casos:

i) v = 3x3 − x2 + x + 2, u = x3 − x2 + 4, w = x2 − x − 1

ii) v = x2, u = x3 + x + 4, w = x2 − x − 1

iii) v =[2 −35 4

], u =

[1 60 −5

], w =

[9 01 02

]iv) v =

[1 −11 3

], u =

[3 911 −1

], w =

[3 −76 3

]55.- ¿Cuales de las siguientes funciones pertenecen a L[Cos(x), Sen(x), Cos2(x), Sen2(x)]. Trabaje en F[0, π]

(a) 1

(b) Cos(2x)

(c) Tan(x)

56.- Encuente un conjunto H que contenga el vector ~a = (1, 2, 3) y que sea un conjunto de generadores de R3.

57.- Encuente un conjunto H que contenga el vector ~a = (1, 2, 3, 4) y que sea un conjunto de generadores de R4.

58.- Encuente un conjunto H que contenga el vector ~a = (1, 2, 3, 4, 5) y que sea un conjunto de generadores de R5.

59.- Encuente un conjunto H que contenga el vector ~a = (1, 2, 3, 0, 0) y que sea un conjunto de generadores de R5.

60.- Teorema:

Lo siguiente es equivalente en Rn para un conjunto K = {X1, X2, . . . , Xn} con n elementos:

(a) K es un conjunto de generadores de Rn.

(b) K es una base de Rn

(c) La envolvente L[K] es igual a Rn: Para ello debera checar las dos contenciones de conjuntos:L[K] ⊆ Rn, Rn ⊆ L[K].)

(d) La matriz cuyas filas son los elementos de K, tiene determinante 6= 0.

(e) Los vectores de K son linealmente independientes.

61.- ¿Alguno de los conjuntos

H1 = {(5, 7, −8), (5, −4, 3), (0, 22, −22)}, H2 = {(5, 7, −8), (5, −4, 3), (−10, 30, −28)},

H3 = {(5, 7, −8), (5, −4, 3), (−5, 26, −25)}, H4 = {(5, 7, −8), (5, −4, 3), (20, 39, −43)},

H5 = {(5, 7, −8), (5, −4, 3), (−25, 23, −19)}. es un conjunto de generadores de R3?

62.- Considere los conjuntos H1 = {(−4, 7, 99), (8, 4, 6), (9, −8, −5)},H2 = {(−4, 7, 99), (8, 4, 6), (13, −13, −11)},

H3 = {(−4, 7, 99), (8, 4, 6), (5, −7, 10)},H4 = {(−4, 7, 99), (8, 4, 6), (21, −23, −23)},

H5 = {(−4, 7, 99), (8, 4, 6), (30, −31, −28)}.¿Cual de los conjuntos Hi es un conjunto de generadores de R3?


63.- Considere los conjuntos H1 = {(7, 7, −8), (11, 4, 6), (3, 10, −22)}H2 = {(7, 7, −8), (11, 4, 6), (17, 24, −38)},

H3 = {(7, 7, −8), (11, 4, 6), (13, 27, −52)},H4 = {(7, 7, −8), (11, 4, 6), (10, 17, −29)},

H5 = {(7, 7, −8), (11, 4, 6), (−34, 1, −54)}¿Cual de los conjuntos Hi es un conjunto de generadores de R3?

64.- (a) Es posible que {(1, 2), (5, −3)} pueda generar al subespacio U = {(r, s) | r, s ∈ R}. ?

(b) Es posible que {(1, 2, 0), (5, 0, −3)} pueda generar al subespacio U = {(r, s, 0) | r, s ∈ R}.

(c) Es posible que {(1, 2, 0, 7), (5, 0, −3, 8)} pueda generar al subespacio U = {(r, s, 0, 0) | r, s ∈ R} ?

65.- Considere los conjuntos:

H1 = {(5, 7, 8, 6), (5, −4, 3, 6), (3, 4, 7, 6), (−17, 31, 0, −18)}H2 = {(5, 7, 8, 6), (5, −4, 3, 6), (3, 4, 7, 6), (5, 15, 2, −6)}H3 = {(5, 7, 8, 6), (5, −4, 3, 6), (3, 4, 7, 6), (−7, 23, 6, −6)}H4 = {(5, 7, 8, 6), (5, −4, 3, 6), (3, 4, 7, 6), (−2, 19, 9, 0)}H5 = {(5, 7, 8, 6), (5, −4, 3, 6), (3, 4, 7, 6), (3, 15, 12, 6)}¿Cual de los conjuntos Hi es un conjunto de generadores de R4?

66.- Considere los conjuntos:

H1 = {(−7, 7, −8, 1, 6), (1, 8, −4, 4, 6), (3, 7, −4, 0, 6), (7, 12, 3, 4, 5), (−27, 0, −23, −9, 7)}H2 = {(−7, 7, −8, 1, 6), (1, 8, −4, 4, 6), (3, 7, −4, 0, 6), (7, 12, 3, 4, 5), (−14, −22, −3, −15, −11)}H3 = {(−7, 7, −8, 1, 6), (1, 8, −4, 4, 6), (3, 7, −4, 0, 6), (7, 12, 3, 4, 5), (−35, −1, −27, −12, 7)}H4 = {(−7, 7, −8, 1, 6), (1, 8, −4, 4, 6), (3, 7, −4, 0, 6), (7, 12, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 7)},

H5 = {(−7, 7, −8, 1, 6), (1, 8, −4, 4, 6), (3, 7, −4, 0, 6), (7, 12, 3, 4, 5), (−33, 15, −35, −4, 19)}¿Cual de los conjuntos Hi es un conjunto de generadores de R5?

67.- ¿El conjunto H genera al espacio V ?

(a) V = R3, H = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}(b) V = P2, H = {1 + 2x2, x − 1, x + 1, 1}

(c) V = M2×2, H ={ [

1 00 0

],

[1 00 1

],

[0 11 0

],

[1 −10 1

] }68.- ¿Es posible que el conjunto {(1, 2, 3, 4), (3, −5, 6, 0)} pueda generar al subespacio U = {(a, b, c, 0)|a, b, c ∈

R}?

69.- Considere los vectores: ~u = (3, 1, −4), ~v = (3, −1, 4) ~w = (−3, 1, −4)

Simplificar cada una de las siguientes expresiones:

(a) 3[2(~u − 2~v − 4~w) + 3(~v + ~w)] − 7(~u − 3~v − 4~w)

(b) 4(3~u − ~v + ~w) − 2[(3~u − 2~v) − 5(~v − ~w)] + 6(5~v − 3~w + 2~v)

70.- Hallar x, y en terminos de u, v, tales que

i.-2x + y = u5x + 3y = v

ii.-3x − 2y = u4x − 5y = v



p(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12,

q(x) = 1+x+x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 +x8 +x9 +x10 +x11 +x12 +x13 +x14 +x15 +x16 +x17 +x18.

Las valuaciones p(2), q(3) son:

72.- Considere los vectores de R13:

~a = (2, 3, −1, 4, −4, −3, −11, 1, 0, −1, −1, 4, −3),~b = (−2, 3, −1, −4, 4, −3, 11, −1, 8, −1, 1, 7, 2), ~c = (2, −3, 1, 4, −4, −3, −11, 1, 0, 1, 8, 9, −11) Calcule2~a + 3~b − 5~c.

73.- Considere los vectores de R13:

~a = (2/3, 3, −1, 4, −4, −3, −11/2, 1, 0, −1, −1, 4, −3);~b = (−2, 3/5, −1, −4, 4, −3, 11, −1, 8, −1, 1, 7, 2);

~c = (2, −3, 1, 4, −4, −3/7, −11, 1, 0, 1, 8, 9, −11).

Calcule el vector 5~a + 2~b − 3~c − 9(~a − 2~b + 5~c)

74.- Sea W = L

{[15 −35 −4

],

[61 54 8

],

[71 57 −4

]}. ¿Cual de las siguientes matrices NO pertenece a W ? E1 =[

38 642 −48

], E2 =

[−35 −60−32 −8

], E3 =

[48 052 −56

], E4 =

[62 2658 −16

].

75.- Sea W = L

{[41 −35 −4

],

[61 54 8

],

[7 57 −4

]}. ¿Cual de las siguientes matrices no pertenece a W ?

E1 =[35 642 −48

], E2 =

[59 2658 −16

], E3 =

[−42 −60−32 −8

], E4 =

[−41 −60−32 −8

].

76.- En cada caso, ¿Es cierto que la que la condicion au + bv + cw = 0 ∈ V implica que a = b = c = 0 ?

(a) V = R3. u = (2, 1, 0, 2), v = (4, −3, 4, 5), w = (1, 1, 3, 8)

(b) V = M2×2, u =[

1 8−2 0

]v =

[3 −4

−1 9

]w =

[1 −1

−1 1

].

(c) V = P, u = x3 − 4x − 5, v = x2 + x + 1, w = x2 − 3x − 2x

(d) V = F[0.π], u = Sen(x) + 1, v = Cos2(x) − 1, w = 2

77.- ¿El conjunto de vectores{[

2 34 5

],

[6 8

−1 4

],

[2644 3455

−1355 989

]}es un conjunto Linealmente Independiente?

Esto es, se esta preguntado si los unicos valores a, b, c que hacen posible la igualdad

a

[2 34 5

]+ b

[6 8

−1 4

]+ c

[2644 3455

−1355 989

]=

[0 00 0

]solo pueden ser a = 0, b = 0, c = 0.

78.- El conjunto H = {(1−55x)2, (3−15x)2, (8+71x)2, 454−13744x+26681x2} es un conjunto linealmenteindependiente? Esto es, se esta preguntado si los unicos valores a, b, c que hacen posible la igualdad

a(1 − 55x)2 + b(3 − 15x)2 + c(8 + 71x)2 + d(454 − 13744x + 26681x2) = 0 + 0x + 0x2

solo pueden ser a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.


79.- Considere el conjunto H de vectores H = {(5, 6, 7, 8), (7, 3, 2, 1)(1, 36, 45, 54)}.

¿Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Posibles Respuestas .

i.- El conjunto H es linealmente independiente.

ii.- El conjunto H no es linealmente independiente.

iii.- El conjunto H no puede ser linealmente independiente, porque los vectores son de R4 y falta un vector paracompletar 4.

iv.- El conjunto H puede ser linealmente independiente, porque se puede completar con un cuarto y obtener undeterminante diferente de cero.

80.- ¿Es posible construir una matriz A de orden 7 × 9 con 7 filas linealmente independientes y una matriz B deorden 9 × 9 que sea invertible y tal que A se obtenga de B eliminando las 2 ultimas filas?

81.- En cada caso, demostrar la afirmacion, o dar un ejemplo mostrando que es falsa.

i.- Todo conjunto de 5 polinomios de P4 es base.

ii.- P3 tiene una base de polinomios p(x) tales que p(0) = 0

iii.- P3 tiene una base de polinomios p(x) tales que p(0) = 1

iv.- Toda base de M2×2 tiene una matriz no invertible.

v.- Ningun subconjunto linealmente independiente de M2×2 contiene una matriz A con A2 = 0

vi.- Si {X, Y, Z} es linealmente independiente, entonces aX + bY + cZ = 0 para algunos a, b, c ∈ Rvii.- {X, Y, Z} es linealmente independiete si aX + bY + cZ = 0 para algunos a, b, c ∈ Rviii.- Si {X, Y } es linealmente independiente, tambien lo es {X, X + Y }ix.- Si {X, Y } es linealmente independiente, tambien lo es {X, Y, X + Y }x.- Si {X, Y, Z} es linealmente independiente, tambien lo es {X, Y }xi.- Todo conjunto de vectores que contiene un subconjunto de vectores es linealmente independiente.

xii.- El conjunto {(a1, a2, a3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3), } es base de R3 si y solo si el conjunto {a1 + a2x +a3x2, b1 + b2x + b3x2, c1 + c2x + c3x2} es base de P2

82.- Construya un conjunto linealmente independiente {X1, X2, . . . , X7} de vectores de P9. Y una matriz A =[aij] 6= 0 de orden 7 × 7. Defina Yi = ai1X1 + ai2X2 + . . . + ai7X7.

(a) ¿Puede dar un ejemplo, donde el conjunto {Y1, Y2, . . . , Y7} SI sea linealmente independiente?

(b) ¿Puede dar un ejemplo, donde el conjunto {Y1, Y2, . . . , Y7} NO sea linealmente independiente?

83.- ¿Es posible construir una matriz A de orden 7 × 7 tal que el conjunto {(1/2)(A + AT ), (1/2)(A − AT )} sealinealmente independiente?

84.- ¿Es posible construir dos funciones f, g en F [a, b].tales que f(a) = 1 = g(b) y que f(b) = 0 = g(a) y tal queel conjunto {f(x), g(x)} sea linealmente independiente?

85.- ¿Es posible construir un conjunto de matrices {A1, A2, A3, A4, A5} de orden 4 × 7 y dos matrices invertiblesH1, H2 de ordenes 4 × 4 y 7 × 7 tales que el conjunto {H1A1H2, H1A2H2, . . . , H1A5H2, } sea linealmenteindependiente?

86.- ¿Es posible construir una base de matrices {A1, A2, A3, A4, A5, A6} de orden 3 × 2 y una matriz invertible Hde orden 2 × 2 tales que el conjunto {A1H, A2H, A3H, A4H, A5H, A6H} sea linealmente independiente?


87.- Considere las matrices 3 × 3, dadas en DATOS.



En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, verifique si alguno de los conjuntos {X1, X2, X3}, {Y1, Y2, Y3}son linealmente independientes en R3.










En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, verifique si alguno de los conjuntos {X1, X2, X3, X4}, {Y1, Y2, Y3, Y4}son linealmente independientes en R4.







89.- Sea {X, Y, Z, W} un conjunto independiente de R7. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos son independientes?

i) {X − Y, Y − Z, Z − X}ii) {X − Y, Y − Z, Z − W, W − X}iii) {X − Y, Y, −W, W − X}iv) {X + Y, Y − Z, Z + W, W + X}

90.- Considere las matrices Fi 3 × 5, dadas en DATOS.

X1, X2, X3 indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila, tercera fila de la matrix Fi.

Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 indica los vectores obtenidos de la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta columna respec-tivamente de Fi.

Teorema: Si A es una matriz no cuadrada entonces los vectores fila o bien los vectores columna de A sonlinealmente dependientes.

Para cada matriz Fi, verifique que alguno de los conjuntos {X1, X2, X3}, {Y1, Y2, Y3, Y4Y5} es linealmentedependiente.

i. F1.ii. F2.iii. F3.

iv. F4.v. F5.vi. F6.

vii. F7.viii. F8.ix. F9.

x. F10.xi. F11.xii. F12.

xiii. F13.xiv. F14.xv. F15.

xvi. F16.xvii. F17.xviii. F18.





Para cada matriz Bi, verifique:

i.- Si alguno de los conjuntos {X1, X2, X3}, {Y1, Y2, Y3} es linealmente independiente en R3.ii.- Si alguno de los conjuntos {X1 + X1, X1 + X2, X1 + X3}, {Y3 + Y1, Y3 + Y2, Y3 + Y3} es linealmente

independiente en R3.iii.- Si para algun vector basico canonico Ei, Ej de R3, alguno de los conjuntos {X1, X2, Ei}, {Y3, Y2, Ej} es

linealmente independiente en R3.








X1, X2, X3, X4 indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila, tercera fila, cuarta columna de lamatrix Bi.


Para cada matriz Bi, verifique:

i.- Si alguno de los conjuntos {X1, X2, X3, X4}, {Y1, Y2, Y3, Y4} es linealmente independiente en R4.ii.- Si alguno de los conjuntos {X1 +X1, X1 +X2, X1 +X3, X1 +X4}, {Y3 +Y1, Y3 +Y2, Y3 +Y3, Y3 +Y4}

es linealmente independiente en R4.iii.- Si para algun vector basico canonico Ei, Ej de R4, alguno de los conjuntos {X1, X2, X3, Ei}, {Y3, Y2, Y4, Ej}

es linealmente independiente en R4.







93.- Considere las matrices Bi 4 × 4 dadas en DATOS. Considere las parejas de matrices Bi, Bj , y las ecuacionesmatriciales:

BiS1 = Y1

BiS2 = Y2

BiS3 = Y3

BiS4 = Y4

donde, Y1, Y2, Y3, Y4 son los vectores obtenidos a partir de la segunda matriz Bj consistentes de la primeracolumna, segunda columna, tercera columna, cuarta columna de Bj . Y {S1, S2, S3, S4} son soluciones de lasecuaciones matriciales.

Decida si los conjuntos {Y1, Y2, Y3, Y4} , {S1, S2, S3, S4} son linealmente independientes?


i. B1, B36.ii. B2, B35.iii. B3, B34.iv. B4, B33.v. B5, B32.vi. B6, B31.vii. B7, B30.viii. B8, B29.ix. B9, B28.

x. B10, B27.xi. B11, B26.xii. B12, B25.xiii. B13, B24.xiv. B14, B23.xv. B15, B22.xvi. B16, B21.xvii. B17, B20.xviii. B18, B19.

xix. B19, B18.xx. B20, B17.xxi. B21, B16.xxii. B22, B15.xxiii. B23, B14.xxiv. B24, B13.xxv. B25, B12.xxvi. B26, B11.xxvii. B27, B10.

xxviii. B28, B9.xxix. B29, B8.xxx. B30, B7.xxxi. B31, B6.xxxii. B32, B5.xxxiii. B33, B4.xxxiv. B34, B3.xxxv. B35, B2.xxxvi. B36, B1.

94.- Considere los siguientes vectores Y1, Y2, Y3, Y4 de R5 formados por la 1a., 2a., 3a., 4a columnas de la matrizCi 5 × 5 en DATOS.

i) ¿El conjunto {Y1, Y2, Y3, Y4}, {3Y1, 5Y2, 7Y3, 6Y4} son linealmente independientes?ii) Encuentre un elemento Y 6∈ L[3Y1, 5Y2, 7Y3, 6Y4]. Para este Y diga si el conjunto {Y, 3Y1, 5Y2, 7Y3, 6Y4}

es linealmente independiente.







95.- i) Construya una matriz A de orden 6 × 5 con rango(A) = 5. Muestre que existe una matriz B de orden5 × 6 tal que BA = I5

ii) Construya matrices A de orden 4 × 3 y B de orden 3 × 4 tal que BA = I3

Cual es el rango(A)?

96.- i) Construya matrices A, B de orden 5 × 5 tales que A y B tenga columnas independientes.ii) ¿Las columnas de AB son independientes?iii) Construya matrices A, B de orden 6 × 6 tales que A y B tengan filas independientes.iv) ¿Las filas de AB son independientes?

97.- Construya una matriz A de orden 6 × 5 de rango 4. Muestre que se pueden fabricar dos matrices P, Q tales queA = PQ donde P es de orden 6 × 4 y tiene 4 columnas independientes y Q es de orden 4 × 6 y tiene 4 filasindependientes.

98.- Muestre que los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes.

(a) {1, xex}.

(b) {Sen(x), Cos(x), xSen(x)}.

(c) {ex, xex, x2ex}.

99.- Hallar todos los valores de x para que los siguientes conjuntos sean linealmente independientes.

(a) {(2, 3, 4, 5), (−2, 4, 7, 9), (x, 1, 1, 1)}(b) {(2, 3, 4, 5), (−2, 4, 7, 9), (x, 7, 11, 14)}(c) {(2, x, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 3)}

100.- Considere los siguientes conjuntos de polinomios Pol3i en DATOS.

(a) Decida si el conjunto Pol3i es conjunto linealmente independiente.


(b) Encuentre de ser posible un vector que no pertenezca a la envolvente lineal L[Pol3i].

(c) Si el conjunto Pol3i no es linealmente independiente en P3 construya a partir de Pol3i un conjunto lineal-mente independiente con 4 vectores que tenga por lo menos 2 vectores de Pol3i.

i) Pol31,

ii) Pol32,

iii) Pol33,

iv) Pol34,

v) Pol35,

vi) Pol36,

vii) Pol37,

viii) Pol38,

ix) Pol39,

x) Pol310,

xi) Pol311,

xii) Pol312,

xiii) Pol313,

xiv) Pol314,

xv) Pol315,

xvi) Pol316,

xvii) Pol317,

xviii) Pol318,

xix) Pol319,

xx) Pol320,

xxi) Pol321,

xxii) Pol322,

xxiii) Pol323,

xxiv) Pol324,

xxv) Pol325,

xxvi) Pol326,

xxvii) Pol327,

xxviii) Pol328,

xxix) Pol329,

xxx) Pol330,

xxxi) Pol331.

101.- Considere los conjuntos de matrices M2i, 2 × 2 en DATOS.

(a) Decida si el conjunto M2i es conjunto linealmente independiente.

(b) Si el conjunto M2i no es linealmente independiente en el espacio M2×2 obtenga un subconjunto de M2i

que sea linealmente independiente y que tenga 3 vectores.

i) M21,

ii) M22,

iii) M23,

iv) M24,

v) M25,

vi) M26,

vii) M27,

viii) M28,

ix) M29,

x) M210,

xi) M211,

xii) M212,

xiii) M213,

xiv) M214,

xv) M215,

xvi) M216,

xvii) M217,

xviii) M218,

xix) M219,

xx) M220,

xxi) M221,

xxii) M222,

xxiii) M223,

xxiv) M224,

xxv) M225,

xxvi) M226,

xxvii) M227,

xxviii) M228,

xxix) M229,

xxx) M230,

xxxi) M231.

102.- Cuales de los siguientes conjuntos de V son linealmente independientes en V ?

i.) V = F [−1, 1],{

{1

1 − x,

1

1 + x,

1

x2 − 1,

1

x2 + 1

}ii.) V = F [0, 1], {

1

1 − x2+,

1

1 + x + x2,

1

x2 + x − 1,

1

x2 + 1, }

iii.) V = F [0, 2π], {Sen(x), Cos(x), Sen2(x) + 1, Cos2(x) + 1}iv.) V = F [0, 2π], {x, Sen2(x), Cos2(x)}

103.- i.- Decida si cada uno de los conjuntos U es un subespacio.

ii.- Si U NO es subespacio, encuentre una base de los espacios: Espacio Nulo, Espacio Nulo Izquierdo, EspacioFila, Espacio Columna de A

iii.- Si U es subespacio, encuentre una base de U.

U1 ={(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) es solucion de

x + y − z = 02x + y + z = 0x − y − 2z = 0

}

U2 = L[{

(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) es solucion dex + y − z = 02x + y + z = 0x − y − 2z = 0

}]


U3 ={(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) es solucion de

x + y − z = 02x + y + z = 1x − y − 2z = 0

}

U4 = L[{

(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) es solucion dex + y − z = 02x + y + z = 1x − y − 2z = 0

}]104.- i.- Decida si cada uno de los conjuntos U es un subespacio.



U1 ={(x, y, z, w) ∈ R4|(x, y, z, w) es solucion de

x + y + z + w = 02x + y − z = 03x + y + + 2w = 0

}

U2 = L[{

(x, y, z, w) ∈ R4|(x, y, z, w) es solucion dex + y + z + w = 02x + y − z = 03x + y + + 2w = 0

}]


x + y + z + w = 02x + y − z = 13x + y + + 2w = 0

}

U4 = L[{

(x, y, z, w) ∈ R4|(x, y, z, w) es solucion dex + y + z + w = 02x + y − z = 13x + y + + 2w = 0

}]105.- i.- Decida si cada uno de los conjuntos U es un subespacio.




2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0

}

U2 = L[{

(x, y, z, w) ∈ R4|(x, y, z, w) es solucion de

2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0

}]


2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 15x + 3z − w = 0

}

U4 = L[{


2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 15x + 3z − w = 0

}]

106.- i.- Decida si cada uno de los conjuntos U es un subespacio.





2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0

}

U2 = L[{


2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0

}]


2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 15x + 3z − w = 0

}

U4 = L[{


2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 15x + 3z − w = 0

}]

107.- Determinar una base para los siguientes subespacios de R3

(a) El plano 3x − 2y − 7z = 0.

(b) El plano 2y − 7z = 0.

(c) El plano 3x − 2y = 0.

(d) El plano 3x = 0.

(e) El plano 7z = 0.

(f) La recta x = 2t, y = 4t, z = −t, t ∈ R.

(g) La recta x = 2t, y = −4t, z = −t, t ∈ R.

(h) La recta x = −2t, y = −t, z = −t, t ∈ R.

(i) La recta x = 0, y = −4t, z = 0, t ∈ R.

(j) La recta x = 0, y = 4t, z = −t, t ∈ R.

108.- El conjunto{ [

1 05 1

],

[121 35 41

],

[111 6110 −15

],

[91 11011 102

] }es base de M2×2 ?

109.- Considere el conjunto U ={ [

0 ab 0

], a, b ∈ R

}.

i.- ¿El conjunto U es subespacio de M2×2?

ii.- En caso de que U sea subespacio de M2×2, calcule una base de U


1 05 1

],

[−1 35 1

],

[0 12 −5

],

[1 11 2


111.- Una base de R5 que contiene a los vectores ~a = (1, 2, 3, 4, 1), ~b = (5, −5, 7, 8, 5), ~c = (1, −26, 11, −35, 32),~d = (1, 5, −7, −7, 1) es:

B1 = {~a,~b,~c, ~d, (12, 45, −34, −29, 12)}, B2 = {~a,~b,~c, ~d, (13, 50, −41, −36, 13)},

B3 = {~a,~b,~c, ~d, (14, 55, −48, −43, 14)}, B4 = {~a,~b,~c, ~d, (1, 1, −1, 1, 4)}


112.- Una base de R5 que contiene a los vectores ~a = ((8, 2, 3, 4, 1)),~b = (5, −5, 7, 8, 5), ~c = (1, −26, 11, −35, 32),~d = (1, 5, −7, −7, 1) es:

B1 = {~a,~b,~c, ~d, (47, 45, −34, −29, 12)}, B2 = {~a,~b,~c, ~d, (48, 50, −41, −36, 13)},

B3 = {~a,~b,~c, ~d, (55, 47, −31, −25, 13)}, B4 = {~a,~b,~c, ~d, (1, 1, −1, 1, 4)}.

113.- Construya una base de R2 que contenga al vector ~a = (1, 2)

114.- Construya una base de R3 que contenga a los vectores ~a = (1, 2, 3), ~b = (5, −5, 7),

115.- Construya una base de R4 que contenga a los vectores ~a = (1, 2, 3, 4),~b = (5, −5, 7, 8), ~c = (1, −26, 11, −35).

116.- Construya una base de R5 que contenga a los vectores ~a = (1, 2, 3, 4, 1),~b = (5, −5, 7, 8, 5), ~c = (1, −26, 11, −35, 32),~d = (1, 5, −7, −7, 1).

117.- Construya una base del espacio de matrices M2×2 que contenga a los vectores[2 −35 −4

],

[1 54 8

],

[−1 57 −4

].

118.- Construya una base del espacio de matrices M3×3 que contenga a los vectores2 −3 15 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,

2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8

.

119.- Construya una base del espacio de polinomios P5 que contenga a los vectores 1 − x + 3x2 − x5, 1 − 6x +9x2 + 3x5, 1 − 15x + 75x2 − 125x3 − 6x5, 512 − 960x + 600x2 − 125x3 + x5

120.- Construya una base del espacio de matrices M3×3 que contenga a los vectores−12 −3 15 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,

2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8

.

121.- El siguiente conjunto de matrices H es conjunto linealmente independiente.

H ={ −120 −3 1

5 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,

2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8

}La matriz que debe de agregar al conjunto H, para que H sea una base del espacio vectorial M3×3 es:

122.- Considere la matriz Gi i × 8 dada en DATOS . Calcule los numeros: Rank(Gi), Nulidad(Gi), Imagen(Gi).


i. G1,ii. G2,

iii. G3,iv. G4,

v. G5,vi. G6,

vii. G7.

123.- (a) Encuentre una base de la envolvente lineal L[(7, 1), (4, 1), (1, 10)].(b) Encuentre una base de la envolvente lineal L[(7, 1, 1), (5, 1, 4), (−2, 1, 10)].(c) Encuentre una base de la envolvente lineal L[(7, 1, 1, −3), (5, 1, 4, 1)].(d) Encuentre una base de la envolvente lineal L[(7, 1, 1, −3), (5, 1, 4, 1), (−16, −2, 1, 10)].

124.- Una base de R5 que contiene a los vectores ~a = ((8, 2, 3, 4, 1)),~b = (5, −5, 7, 8, 5), ~c = (1, −26, 11, −35, 32),~d = (1, 5, −7, −7, 1)

125.- Sea H =

7 1 1 −35 1 4 1

−16 −2 1 10

. Calcule el rango de H. y encuentre una base para el espacio fila de A

126.- Para cada uno de los n dados, encuentre lo indicado para los subespacios U de matrices simetricas y V dematrices antisimetricas de orden n × n.

i. n = 2.ii. n = 3.iii. n = 4.

iv. n = 5.v. n = 6.vi. n = 7.

vii. n = 8.viii. n = 9.ix. n = 10.

x. n = 11.xi. n = 12.xii. n = 13.

xiii. n = 221.xiv. n =

2211322131231231.

i.) Calcule Dim(U), Dim(W )ii.) Calcule Dim(U) + Dim(W )iii.) Calcule explicitamente una base de U + W

iv.) Calcule Dim(U + W )v.) ¿Es cierto que Dim(U + W ) ≤ Dim(U) + Dim(W )?

127.- Sea A =

3 9 1 8 13 9 1 8 96 3 1 81 96 9 −1 82 95 7 1 −8 93 −9 1 2 7913 71 1 3 66 91 6 7 966 6 1 8 13 9 2 8 91 3 1 71 93 9 −1 78 96 7 1 −6 93 −9 6 8 776 9 6 8 13 9 1 8 96 3 1 81 93 9 −1 88 9

.

i.- Encuentre la dimension del subespacio U = {X ∈ M9×9|AX = 0} de M9×9.ii.- Sea H matriz n × n. Encuentre la dimension del espacio U = {X ∈ Mn×n|HX = 0}.iii.- Calcule una base de U

128.- Usando las matrices Bi de orden 3 × 5 en DATOS, calcule (y grafique de ser posible):

1.- ) Rango de Bi.2.- ) Nulidad de Bi.3.- ) Compruebe el teorema de la dimension Si H es matriz de orden m × n entonces

Rango(H) + Nulidad(H) = n

.4.- ) Grafique de ser posible el espacio nulo, espacio fila y espacio columna.


i.- B1.

ii.- B2.

iii.- B3.

iv.- B4.

v.- B5.

vi.- B6.

vii.- B7.

viii.- B8.

ix.- B9.

x.- B10.

xi.- B11.

xii.- B12.

xiii.- B13.

xiv.- B14.

xv.- B15.

xvi.- B16.

xvii.- B17.

xviii.- B18.


1.- ) Rango de A.

2.- ) Nulidad de A.

3.- ) Compruebe el teorema de la dimension Si H es matriz de orden m × n entonces


.

4.- ) Grafique de ser posible el espacio nulo, espacio fila y espacio columna.

i.- B1.

ii.- B2.

iii.- B3.

iv.- B4.

v.- B5.

vi.- B6.

vii.- B7.

viii.- B8.

ix.- B9.

x.- B10.

xi.- B11.

xii.- B12.

xiii.- B13.

xiv.- B14.

xv.- B15.

xvi.- B16.

xvii.- B17.

xviii.- B18.

xix.- B19.

xx.- B20.

xxi.- B21.

xxii.- B22.

xxiii.- B23.

xxiv.- B24.

xxv.- B25.

xxvi.- B26.

xxvii.- B27.

xxviii.- B28.

xxix.- B29.

xxx.- B30.

xxxi.- B31.

xxxii.- B32.

xxxiii.- B33.

xxxiv.- B34.

xxxv.- B35.

xxxvi.- B36.


1.- ) Rango de Bi.

2.- ) Nulidad de Bi.



.


i.- B1.

ii.- B2.

iii.- B3.

iv.- B4.

v.- B5.

vi.- B6.

vii.- B7.

viii.- B8.

ix.- B9.

x.- B10.

xi.- B11.

xii.- B12.

xiii.- B13.

xiv.- B14.

xv.- B15.

xvi.- B16.

xvii.- B17.

xviii.- B18.

xix.- B19.

xx.- B20.

xxi.- B21.

xxii.- B22.

xxiii.- B23.

xxiv.- B24.

xxv.- B25.

xxvi.- B26.

xxvii.- B27.

xxviii.- B28.

xxix.- B29.

xxx.- B30.

xxxi.- B31.

xxxii.- B32.

xxxiii.- B33.

xxxiv.- B34.

xxxv.- B35.

xxxvi.- B36.



1.- ) Rango de Bi.

2.- ) Nulidad de Bi.



.


i.- B1.

ii.- B2.

iii.- B3.

iv.- B4.

v.- B5.

vi.- B6.

vii.- B7.

viii.- B8.

ix.- B9.

x.- B10.

xi.- B11.

xii.- B12.

xiii.- B13.

xiv.- B14.

xv.- B15.

xvi.- B16.

xvii.- B17.

xviii.- B18.

xix.- B19.

xx.- B20.

xxi.- B21.

xxii.- B22.

xxiii.- B23.

xxiv.- B24.

132.- Obtener una base y calcular la dimension del subespacio de M2×2.

U ={

A|A ∈ M2×2, A

[1 0

−1 0

]=

[0 00 0

] }133.- Considere las matrices 3 × 3, dadas en DATOS. X1, X2, X3 indica los vectores obtenidos de la primera fila,

segunda fila, tercera fila de la matrix Bi. Y1, Y2, Y3 indica los vectores obtenidos de la primera columna, segundacolumna, tercera columna de Bi.

En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, encontrar una base, calcular la dimension y grafique los siguientessubespacios de R3.

i) B43 : L[X1]ii) B42 : L[X2]iii) B41 : L[X3]iv) B42 : L[X2, 2X3, 3X2, 4X3]v) B21 : L[X1, X3]vi) B19 : L[X2, X3]vii) B17 : L[Y2, X3]viii) B17 : L[Y1, Y2, X3]ix) B1 : L[Y1, Y2, X3]x) B2 : L[Y1, Y2, X3]xi) B3 : L[Y1, Y2, X3]xii) B4 : L[Y1, Y2, X3]xiii) B5 : L[Y1, Y2, X3]xiv) B6 : L[Y1, Y2, X3]xv) B7 : L[Y1, Y2, X3]xvi) B8 : L[Y1, Y2, X3]xvii) B9 : L[Y1, Y2, X3]xviii) B10 : L[Y1, Y2, X3]xix) B11 : L[Y1, Y2, X3]xx) B12 : L[Y1, Y2, X3]xxi) B13 : L[Y1, Y2, X3]xxii) B14 : L[Y1, Y2, X3]xxiii) B15 : L[Y1, Y2, X3]xxiv) B16 : L[Y1, Y2, X3]

xxv) B17 : L[Y1, Y2, X3]xxvi) B18 : L[Y1, Y2, X3]xxvii) B19 : L[Y1, Y2, X3]xxviii) B20 : L[Y1, Y2, X3]xxix) B21 : L[Y1, Y2, X3]xxx) B22 : L[Y1, Y2, X3]xxxi) B23 : L[Y1, Y2, X3]xxxii) B24 : L[Y1, Y2, X3]xxxiii) B25 : L[Y1, Y2, X3]xxxiv) B26 : L[Y1, Y2, X3]xxxv) B27 : L[Y1, Y2, X3]xxxvi) B28 : L[Y1, Y2, X3]xxxvii) B29 : L[Y1, Y2, X3]xxxviii) B30 : L[Y1, Y2, X3]xxxix) B31 : L[Y1, Y2, X3]xl) B32 : L[Y1, Y2, X3]xli) B33 : L[Y1, Y2, X3]xlii) B34 : L[Y1, Y2, X3]xliii) B35 : L[Y1, Y2, X3]xliv) B36 : L[Y1, Y2, X3]xlv) B37 : L[Y1, Y2, X3]xlvi) B38 : L[Y1, Y2, X3]xlvii) B39 : L[Y1, Y2, X3]xlviii) B4 : L[Y1, Y2, X3, X2]


xlix) B14 : L[Y1, Y2, X3, X2]l) B24 : L[Y1, Y2, X3, X2]li) B34 : L[Y1, Y2, X3, X2]lii) B25 : L[Y1, Y2, X3, X2]liii) B16 : L[Y1, Y2, X3, X2]liv) B19 : L[Y1, Y2, X3, X2]lv) B31 : L[Y1, Y2, X3, X2]lvi) B22 : L[Y1, Y2, X3, X2]lvii) B11 : L[Y1, Y2, X3, X2]lviii) B15 : L[Y1, Y2, X3, X2]lix) B32 : L[Y1, Y2, X3, X2]lx) B18 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxi) L[(a + b, a − b, b) a, b ∈ R]lxii) L[(a + b, c, c − a) a, b, c ∈ R]

lxiii) L[(a, a − c, c) a, b, c ∈ R]lxiv) L[(c, a + b, , d) a, b, c, d ∈ R]lxv) L[(a + b, a − b, 2a)] a, b ∈ R]lxvi) L[(3a + b, a − b, b, 2a)] a, b ∈ R]lxvii) L[(a + 6b, b, 2a)] a, b ∈ R]lxviii) L[(a + b, a − 7b, 2a)] a, b ∈ R]lxix) L[(a, b, a − b) a, b ∈ R]lxx) L[(a, b, c)|a + b − c + d = 0, a, b, c, d ∈ R]lxxi) L[(a, c, d)|a + b − c = 0, a, b, c, d ∈ R]lxxii) L[(a, c, d)|a + b + d = 0, a, b, c, d ∈ R]lxxiii) L[(a + b, c, d)|c + d = 0, a, b, c, d ∈ R]lxxiv) L[(a, b − c, d)|a − d = 0, a, b, c, d ∈ R]lxxv) L[(a, b, c−d)|a−b−c−d = 0, a, b, c, d ∈ R]




En cada inciso y dependiendo de la matriz Bi, encontrar una base y calcular la dimension de los siguientessubespacios de R4.

i) B43 : L[X1]ii) B42 : L[X2]iii) B41 : L[X3]iv) B42 : L[X2, 2X3, 3X2, 4X3]v) B21 : L[X1, X3]vi) B19 : L[X2, X3]vii) B17 : L[Y2, X3]viii) B17 : L[Y1, Y2, X3]ix) B1 : L[Y1, Y2, X3]x) B2 : L[Y1, Y2, X3]xi) B3 : L[Y1, Y2, X3]xii) B4 : L[Y1, Y2, X3]xiii) B5 : L[Y1, Y2, X3]xiv) B6 : L[Y1, Y2, X3]xv) B7 : L[Y1, Y2, X3]xvi) B8 : L[Y1, Y2, X3]xvii) B9 : L[Y1, Y2, X3]xviii) B10 : L[Y1, Y2, X3]xix) B33 : L[X1, X2, X3, X4]xx) B34 : L[X1, X2, X3, X4]xxi) B35 : L[X1, X2, X3, X4]xxii) B36 : L[X1, X2, X3, X4]xxiii) B37 : L[X1, X2, X3, X4]xxiv) B38 : L[X1, X2, X3, X4]xxv) B39 : L[X1, X2, X3, X4]xxvi) B4 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxvii) B14 : L[Y1, Y2, X3, X2]

xxviii) B24 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxix) B34 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxx) B25 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxxi) B16 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxxii) B19 : L[Y1, Y2, X3, X2]xxxiii) B11 : L[Y1, Y2, X3]xxxiv) B12 : L[Y1, Y2, X3]xxxv) B13 : L[Y1, Y2, X3]xxxvi) B14 : L[Y1, Y2, X3]xxxvii) B15 : L[Y1, Y2, X3]xxxviii) B16 : L[Y1, Y2, X3]xxxix) B17 : L[Y1, Y2, X3]xl) B18 : L[Y1, Y2, X3]xli) B19 : L[Y1, Y2, X3]xlii) B20 : L[Y1, Y2, X3]xliii) B21 : L[Y1, Y2, X3]xliv) B22 : L[Y1, Y2, X3]xlv) B23 : L[Y1, Y2, X3]xlvi) B24 : L[Y1, Y2, X3]xlvii) B25 : L[Y1, Y2, X3]xlviii) B26 : L[Y1, Y2, X3]xlix) B27 : L[Y1, Y2, X3]

l) B28 : L[Y1, Y2, X3]li) B29 : L[Y1, Y2, X3]lii) B30 : L[Y1, Y2, X3]liii) B31 : L[Y1, Y2, X3]liv) B32 : L[Y1, Y2, X3]


lv) B33 : L[Y1, Y2, X3]lvi) B34 : L[Y1, Y2, X3]lvii) B35 : L[Y1, Y2, X3]lviii) B36 : L[Y1, Y2, X3]lix) B37 : L[Y1, Y2, X3]lx) B38 : L[Y1, Y2, X3]lxi) B39 : L[Y1, Y2, X3]lxii) B4 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxiii) B14 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxiv) B24 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxv) B34 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxvi) B25 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxvii) B16 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxviii) B19 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxix) B31 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxx) B22 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxxi) B11 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxxii) B15 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxxiii) B32 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxxiv) B18 : L[Y1, Y2, X3, X2]lxxv) B4 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxvi) B14 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxvii) B24 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxviii) B34 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]

lxxix) B25 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxx) B16 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxi) B19 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxii) B31 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxiii) B22 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxiv) B11 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxv) B15 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxvi) B32 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxvii) B18 : L[Y1, Y2, X3, X2, Y4]lxxxviii) L[(a, a + b, a − b, b) a, b ∈ R]lxxxix) L[(a, a + b, c, c − a) a, b, c ∈ R]xc) L[(a, a + b, a − c, c) a, b, c ∈ R]xci) L[(c, a + b, a − b, d) a, b, c, d ∈ R]xcii) L[(a + b, a − b, b, 2a)] a, b ∈ R]xciii) L[(3a + b, a − b, b, 2a)] a, b ∈ R]xciv) L[(a + 6b, 9a − b, b, 2a)] a, b ∈ R]xcv) L[(a + b, a − 7b, b, 2a)] a, b ∈ R]xcvi) L[(a, b, a − b, b) a, b ∈ R]xcvii) L[(a, b, c, d)|a+b−c+d = 0, a, b, c, d ∈ R]xcviii) L[(a, b, c, d)|a + b − c = 0, a, b, c, d ∈ R]xcix) L[(a, b, c, d)|a + b + d = 0, a, b, c, d ∈ R]c) L[(a, b, c, d)|c + d = 0, a, b, c, d ∈ R]ci) L[(a, b, c, d)|a − d = 0, a, b, c, d ∈ R]cii) L[(a, b, c, d)|a − b − c − d = 0, a, b, c, d ∈ R]

135.- Considere las matrices 5 × 5 invertibles dadas en DATOS.

Sea Bi = {X1, X2, X3, X4, X5} la base de R5 formada por las vectores fila de la matriz Ci, donde X1, X2, X3, X4, X5

indica los vectores obtenidos de la primera fila, segunda fila, tercera fila, cuarta fila, quinta fila de la matrix Ci.

Sea Di = {Y1, Y2, Y3, Y4, Y5} la base de R5 formada por las vectores columna de la matriz Ci. donde Y1, Y2, Y3,Y4, Y5 indica los vectores obtenidos de la primera columna, segunda columna, tercera columna, cuarta columna,quinta columna de Ci.

Para cada una de las bases B, responda cada uno de los incisos siguientes:

a.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 + 2557Y5, Y2, Y3, Y4, Y5} es base de R5?b.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 + 255723Y4, Y2, Y3, Y4, Y5} es base de R5?c.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 + 23Y3, Y2, Y3, Y4, Y5} es base de R5?d.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 + 33Y5 − Y2 − Y2, Y2, Y3, Y4, Y5} es base de R5?e.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 − Y5, Y2, Y3, Y4, Y5} es base de R5?f.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1 + Y5, Y2 + Y5, Y3 + Y5, Y4 + Y5, Y5} es base de R5?g.-) El conjunto ¿Y0 = {Y1, Y1 + Y2, Y1 + Y2 + Y3, Y1 + Y2 + Y3 + Y4, Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5, } es base

de R5?

Las matrices Ci en este ejercicio son:

i. C1.ii. C2.iii. C3.iv. C4.v. C5.vi. C6.

vii. C7.viii. C8.ix. C9.x. C10.xi. C11.xii. C12.

xiii. C13.xiv. C14.xv. C15.xvi. C16.xvii. C17.xviii. C18.

xix. C19.xx. C20.xxi. C21.xxii. C22.xxiii. C23.xxiv. C24.

xxv. C25.xxvi. C26.xxvii. C27.xxviii. C28.xxix. C29.xxx. C30.

xxxi. C31.xxxii. C32.xxxiii. C33.xxxiv. C34.xxxv. C35.xxxvi. C36.


136.- Considere las matrices Bi 2 × 2, en DATOS. Sea U = {X ∈ R2|XBi =[0 0

]}.

a.-) Muestre que U es subespacio de R2

b.-) Encuentre una base de U y la dimension de Uc.-) Grafique el subespacio U.

i) B1.ii) B2.iii) B3.iv) B4.v) B5.vi) B6.vii) B7.viii) B8.

ix) B9.x) B10.xi) B11.xii) B12.xiii) B13.xiv) B14.xv) B15.xvi) B16.

xvii) B17.xviii) B18.xix) B19.xx) B20.xxi) B21.xxii) B22.xxiii) B23.xxiv) B24.

xxv) B25.xxvi) B26.xxvii) B27.xxviii) B28.xxix) B29.xxx) B30.xxxi) B31.xxxii) B32.

xxxiii) B33.xxxiv) B34.xxxv) B35.xxxvi) B36.

137.- Considere las matrices Bi 3 × 3, en DATOS. Sea U = {X ∈ R3|XBi =[0 0 0

]}.

a.-) Muestre que U es subespacio de R3

b.-) Encuentre una base de U y la dimension de Uc.-) Grafique el subespacio U

i) B1.ii) B2.iii) B3.iv) B4.v) B5.vi) B6.vii) B7.viii) B8.

ix) B9.x) B10.xi) B11.xii) B12.xiii) B13.xiv) B14.xv) B15.xvi) B16.

xvii) B17.xviii) B18.xix) B19.xx) B20.xxi) B21.xxii) B22.xxiii) B23.xxiv) B24.

xxv) B25.xxvi) B26.xxvii) B27.xxviii) B28.xxix) B29.xxx) B30.xxxi) B31.xxxii) B32.

xxxiii) B33.xxxiv) B34.xxxv) B35.xxxvi) B36.

138.- Considere X = (1, 2, 3, 4, 5) ∈ R5. Muestre que L = [X] = L[ 1345

X].

139.- Considere las matrices Bi 4 × 4 dadas en DATOS.

Considere el conjunto de vectores columna

U = {X ∈ R4|BiX = BjX}

Para cada uno de las parejas de matrices Bi, Bj , muestre que U es subespacio de R4 y calcule la dimension de U.

i. B1, B36.ii. B2, B35.iii. B3, B34.iv. B4, B33.v. B5, B32.vi. B6, B31.vii. B7, B30.viii. B8, B29.ix. B9, B28.

x. B10, B27.xi. B11, B26.xii. B12, B25.xiii. B13, B24.xiv. B14, B23.xv. B15, B22.xvi. B16, B21.xvii. B17, B20.xviii. B18, B19.

xix. B19, B18.xx. B20, B17.xxi. B21, B16.xxii. B22, B15.xxiii. B23, B14.xxiv. B24, B13.xxv. B25, B12.xxvi. B26, B11.xxvii. B27, B10.

xxviii. B28, B9.xxix. B29, B8.xxx. B30, B7.xxxi. B31, B6.xxxii. B32, B5.xxxiii. B33, B4.xxxiv. B34, B3.xxxv. B35, B2.xxxvi. B36, B1.

140.- Sea X = (2, 3), Y = (4, 16).

i) ¿El conjunto {X, Y } es base de R2?


ii) Considere la matriz A =[1000 3001

2 79801

]. ¿La matriz A es invertible?

iii) ¿El conjunto {1000X + 3001Y, 2X + 79801Y } es base de R2?iv) Que puede concluir de este ejercicio?

141.- Considere la matriz A =[1 2 32 1 4

]y las matrices invertibles Pi 3 × 3.

Para cada una de las matrices invertibles Pi calcule:

a.-) Ker(A), Ker(PiA), Dim(Ker(A)), Dim(Ker(APi)).b.-) Im(A), Im(APi), Dim(Im(A)), Dim(Im(UA)).

i) P1.ii) P2.iii) P3.iv) P4.

v) P5.vi) P6.vii) P7.viii) P8.

ix) P9.x) P10.xi) P11.xii) P12.

xiii) P13.xiv) P14.xv) P15.xvi) P16.

xvii) P17.xviii) P18.xix) P19.xx) P20.

142.- Si U, W son subespacio de V se define la interseccion de U, W como U ∩ W = {X|X ∈ U, X ∈ W}. En elespacio M4×5 construya dos subespacios U, W tales que Dim(U) = 7, Dim(W ) = 9.

(a) Encuentre U ∩ W

(b) Calcule Dim(U ∩ W )

(c) Es cierto que U ∩ W es subespacio tanto de U como de W ?

143.- i.- Dada una matriz A de orden m × n. El rango de A, denotado por Rank(A) se define como el numero defilas no cero, en cualquier matriz escalonada obtenida a partir de A.

ii.- La nulidad de A denotado por Nulidad(A), se define como la dimension de una base del espacio nulo de A.

iii.- La imagen de A denotado por Imagen(A), se define como la dimension de una base del espacio Fila de A.

Considere la matriz A =

1 3 2 3 4 −1 5 44 3 5 −5 7 8 5 4

−26 11 1 3 40 −35 32 23 7 5 −7 8 7 1 22

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

.

Los numeros:Rank(A), Nulidad(A), Imagen(A) son:

Posibles Respuestas .

i.- 4, 4, 4

ii.- 4, 1, 4

iii.- 4, 4, 2

iv.- 4, 1, 1

v.- Otra

144.- Un polinomio p(x) es par si p(−x) = p(x) y se dice impar si p(−x) = −p(x). Sean E7, O7 los conjuntos depolinomios pares e impares de P7

(a) Muestre que E7 es subespacio de P7


(b) Encuentre una base de E7 y su dimension.

(c) Muestre que O7 es subespacio de P7

(d) Encuentre una base de O7 y su dimension.

(e) Encuentre una base de E7 ∩ O7 y su dimension.

145.- Encuentre la dimension del subespacio L[1, Sen2(θ), Cos(2θ)}.

146.- (a) Sea

3 9 1 8 13 9 1 8 96 3 1 81 96 9 −1 82 95 7 1 −8 93 −9 1 2 7913 71 1 3 66 91 6 7 966 6 1 8 13 9 2 8 91 3 1 71 93 9 −1 78 96 7 1 −6 93 −9 6 8 776 9 6 8 13 9 1 8 96 3 1 81 93 9 −1 88 9

,.

Encuentre la dimension del espacio U = {X ∈ M9×9|AX = 0}(b) En general, sea A matriz n × n. Encuentre la dimension del espacio U = {X ∈ Mn×n|AX = 0}.

147.- La matriz H tiene el orden m × n y rango rH indicados. Usando estos datos, calcule:

(a) Dimension del Espacio Fila de H.

(b) Dimension del Espacio Columna de H.

(c) Dimension del Espacio Nulo de H.

(d) Dimension del Espacio Nulo de HT .

(e) El valor maximo posible del rango de H.

(f) El valor minimo posible de la nulidad de H.

(g) Sea B matriz columna.¿Cuantos parametros tiene la solucion general del sistema consistente: HX = B?

(h) ¿Cuantos parametros tiene la solucion general del sistema homogeneo: HX = 0?

i) 20 × 17, rH = 3.

ii) 19 × 1, rH = 1.

iii) 18 × 2, rH = 2.

iv) 17 × 3, rH = 2.

v) 16 × 4, rH = 3.

vi) 15 × 5, rH = 3.

vii) 14 × 6, rH = 4.

viii) 13 × 7, rH = 6.

ix) 12 × 8, rH = 2.

x) 11 × 9, rH = 7.

xi) 10 × 10, rH = 6.

xii) 9 × 11, rH = 5.

xiii) 8 × 12, rH = 8.

xiv) 7 × 13, rH = 6.

xv) 6 × 14, rH = 6.

xvi) 5 × 15, rH = 5.

xvii) 4 × 16, rH = 3.

xviii) 3 × 17, rH = 3.

xix) 2 × 18, rH = 1.

xx) 1 × 19, rH = 1.

xxi) 1111 × 111, rH =100.

xxii) 1010 × 11, rH =11.

xxiii) 111111 × 1001,rH = 1000.

xxiv) 1000000 × 111,rH = 100.

148.- La matriz H tiene el orden m × n y rango rH indicados. Usando estos datos, calcule:

(a) Dimension del Espacio Fila de H.

(b) Dimension del Espacio Columna de H.

(c) Dimension del Espacio Nulo de H.

(d) Dimension del Espacio Nulo de HT .

(e) Verifique el teorma de la dimension para matrices: Teorema: Si A es una matriz con n columnas, entonces

Rango(A) + Nulidad(A) = n.


(f) ¿Los vectores columna de H generan a Rm?

(g) ¿Cual es el numero de variables principales que hay en la solucion de AX = 0

(h) ¿El sistema homogeneo: HX = 0 solo tiene la solucion trivial?

(i) ¿Cuantos parametros tiene la solucion general del sistema homogeneo: HX = 0?

(j) ¿Cual es el numero de variables libres que hay en la solucion de AX = 0

(k) El valor maximo posible del rango de H.

(l) El valor minimo posible de la nulidad de H.

(m) Sea B matriz columna. ¿El sistema lineal: HX = B es consistente?

(n) Sea B matriz columna. Si el sistema lineal HX = B es consistente, ¿cuantos parametros tiene la soluciongeneral del sistema HX = B?

149.- Determinar la dimension y una base para el espacio solucion de cada uno de los sistemas:

31-Ix − y + z + w = 02x + y − z − w = 0, .

31-IIx − y + z + w = 02x + y − z − w = 0, .

31-III3x − y + z + w = 02x + y − z − w = 0, .

31-IV5x − y + z + 7w = 02x + y − z − w = 0, .

31-V2x − y + z + 7w = 0

−2x + y − z − w = 0, .

31-VIx + y − z = 02x + y + z = 0x − y − 2z = 0

31-VIIx + y + z + w = 02x + y − z = 03x + y + + 2w = 0

31-VIIIx + y + z + w = 02x + y − z = 03x + y + + 2w = 0

31-IX

2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0

31-X

2x + y + z − 2w = 03x − 2y + z − 6w = 0x + y − z − w = 06x + y + z − 9w = 05x − y + 2z − 8w = 0

31-XI

2x − 4y + 2z + 2w = 03x + 2z − 2w = 0

4y − z − w = 05x + 3z − w = 0


31-XII

2x − 3y + 2z − 5w = 03x − 2y + z − 6w = 0x + y − z − w = 06x + y + z − 9w = 0

31-XIII

2x + y + z − 2w = 03x − 2y + z − 6w = 0x + y − z − w = 06x + y + z − 9w = 0

31-XIV3x + 2y + 4z = 05x − y − 3z = 04x + 3y + z = 0

31-XV

x + z + w = −5x − z + w = −1x + y + z + w = −32x + 2z = −2

150.- Sea B matriz columna y el sistema HX = B. ¿El sistema HX = B no tiene solucion, o bien tiene a lo masuna solucion?

151.- Sea B matriz columna. ¿El sistema HX = B no tiene solucion, o bien tiene a lo mas una solucion?

152.- ¿El sistema homogeneo: HX = 0 solo tiene la solucion trivial?

153.- ¿La forma escalonada reducida de H es In?

i) 20 × 17, rH = 3 = r[H|B].

ii) 19 × 1, rH = 1 = r[H|B].

iii) 18 × 2, rH = 2 = r[H|B].

iv) 17 × 3, rH = 2 = r[H|B].

v) 16 × 4, rH = 3 = r[H|B].

vi) 15 × 5, rH = 3 = r[H|B].

vii) 14 × 6, rH = 4 = r[H|B].

viii) 13 × 7, rH = 6 = r[H|B].

ix) 12 × 8, rH = 2 = r[H|B].

x) 11 × 9, rH = 7 = r[H|B].

xi) 10 × 10, rH = 6 = r[H|B].

xii) 10 × 10, rH = 7 = r[H|B].

xiii) 10 × 10, rH = 8 = r[H|B].

xiv) 10 × 10, rH = 9 = r[H|B].

xv) 10 × 10, rH = 10 = r[H|B].

xvi) 9 × 11, rH = 5 = r[H|B].

xvii) 8 × 12, rH = 7 = r[H|B].

xviii) 7 × 13, rH = 6 = r[H|B].

xix) 6 × 14, rH = 5 = r[H|B].

xx) 5 × 15, rH = 4 = r[H|B].

xxi) 4 × 16, rH = 3 = r[H|B].

xxii) 3 × 17, rH = 2 = r[H|B].

xxiii) 14 × 6, rH = 6 = r[H|B].

xxiv) 13 × 7, rH = 7 = r[H|B].

xxv) 12 × 8, rH = 8 = r[H|B].

xxvi) 11 × 9, rH = 9 = r[H|B].

xxvii) 10 × 10, rH = 10 = r[H|B].

xxviii) 9 × 11, rH = 9 = r[H|B].

xxix) 8 × 12, rH = 8 = r[H|B].

xxx) 7 × 13, rH = 7 = r[H|B].

xxxi) 6 × 14, rH = 6 = r[H|B].

xxxii) 5 × 15, rH = 5 = r[H|B].

xxxiii) 4 × 16, rH = 4 = r[H|B].

xxxiv) 2 × 18, rH = 1 = r[H|B].

xxxv) 2 × 19, rH = 1 = r[H|B].

xxxvi) 7 × 13, rH = 0 = r[H|B].

xxxvii) 6 × 14, rH = 0 = r[H|B].

xxxviii) 5 × 15, rH = 0 = r[H|B].

xxxix) 4 × 16, rH = 0 = r[H|B].

xl) 3 × 17, rH = 0 = r[H|B].

xli) 2 × 18, rH = 0 = r[H|B].

xlii) 2 × 19, rH = 0 = r[H|B].


xliii) 1111 × 111, rH = 100 = r[H|B].

xliv) 1010 × 11, rH = 10 = r[H|B].

xlv) 111111 × 1001, rH = 1000 = r[H|B].

xlvi) 1000000 × 111, rH = 110 = r[H|B].

xlvii) 20 × 17, rH = 3, r[H|B] = 4.

xlviii) 19 × 1, rH = 1, r[H|B] = 2.

xlix) 18 × 2, rH = 2, r[H|B] = 3.

l) 17 × 3, rH = 2, r[H|B] = 3.

li) 16 × 4, rH = 3, r[H|B] = 4.

lii) 15 × 5, rH = 3, r[H|B] = 4.

liii) 14 × 6, rH = 4, r[H|B] = 5.

liv) 13 × 7, rH = 6, r[H|B] = 7.

lv) 12 × 8, rH = 2, r[H|B] = 3.

lvi) 11 × 9, rH = 7, r[H|B] = 8.

lvii) 10 × 10, rH = 6, r[H|B] = 7.

lviii) 9 × 11, rH = 5, r[H|B] = 6.

lix) 8 × 12, rH = 7, r[H|B] = 8.

lx) 7 × 13, rH = 6, r[H|B] = 7.

lxi) 6 × 14, rH = 5, r[H|B] = 6.

lxii) 5 × 15, rH = 4, r[H|B] = 5.

lxiii) 4 × 16, rH = 3, r[H|B] = 4.

lxiv) 3 × 17, rH = 2, r[H|B] = 3.

lxv) 2 × 18, rH = 1, r[H|B] = 2.

lxvi) 2 × 19, rH = 1, r[H|B] = 2.

lxvii) 6 × 14, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxviii) 5 × 15, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxix) 4 × 16, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxx) 3 × 17, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxxi) 2 × 18, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxxii) 2 × 19, rH = 0, r[H|B] = 1.

lxxiii) 1111 × 111, rH = 100, r[H|B] = 101.

lxxiv) 1010 × 11, rH = 10, r[H|B] = 11.

lxxv) 111111 × 1001, rH = 1000, r[H|B] = 1001.

lxxvi) 1000000 × 111, rH = 110, r[H|B] = 111.

154.- (Desigualdad de Sylvester). Si A, B son matrices n × n con rango rA, rB respectivamente, entonces el rangorAB del producto AB satisface la desigualdad rA + rB − n ≤ rAB ≤ min{rA, rB}.

Considere las matrices Fi 5 × 3 en DATOS.

(a) Para cada una de las parejas (Fi, F Tj ) calcule los rangos rFi

, rF Tj

, rFiF Tj

(b) Verifique la desigualdad de Sylvester.

i) (F1, F T18),

ii) (F2, F T17),

iii) (F3, F T16),

iv) (F4, F T15),

v) (F5, F T14),

vi) (F6, F T13),

vii) (F7, F T12),

viii) (F8, F T11),

ix) (F9, F T10),

x) (F10, F T9 ),

xi) (F11, F T8 ),

xii) (F12, F T7 ),

xiii) (F13, F T6 ),

xiv) (F14, F T5 ),

xv) (F15, F T4 ),

xvi) (F16, F T3 ),

xvii) (F17, F T2 ),

xviii) (F18, F T1 ),

155.- Sean U, W subespacios de V . Definimos la suma de U, W como

U + W = {~u + ~w|~u ∈ U, ~w ∈ W}

Para cada uno de los incisos siguientes, encuentre:

(a) Dim(U), Dim(W )

(b) Dim(U) + Dim(W )

(c) Explicitamente una base de U + W

(d) Dim(U + W )

(e) ¿Es cierto que Dim(U + W ) ≤ Dim(U) + Dim(W )?

i.) Sean U = L[5, 3 − x, 1 + 2x − 4x2, 7x3, 8x3 + 1], W = L[35, 3 − x2, 1 + x2, 7x3 + 2x, x3 + 1, x4 +x2 + x + 1] subespacios de P6.


ii.) Sean U = L

[ [31 199 1

],

[3 712 11

],

[45 −19 12

] ], W = L

[[48 621 21

],

[−30 1214 2

],

[13 −137 12

]].

iii.) Sean U , V los subespacios de polinomios de grado par y de grado impar en Pn respectivamente.

iv.) Sean U , V los subespacios de matrices simetricas y antisimetricas de orden n × n respectivamente.

156.- (a) Encuentre dos matrices A, B 4 × 5 tales que

Espacio Columna(A + B) ⊆ Espacio Columna(A) + Espacio Columna(B)

(b) Encuentre dos matrices A, B 5 × 4 tales que

Dim(Espacio Columna)(A + B) ≤ Dim(Espacio Columna)(A) + Dim(Espacio Columna)(B)

(c) Encuentre dos matrices A, B 5 × 5 tales que

Rango(A + B) ≤ Rango(A) + Rango(B)

157.- Construya un base B = {p0(x), p1(x), p2(x), . . . , p10(x)} de P10 que cumpla la condicion: Para numerosa0, a1, . . . , a9, a10 se cumpla que pi(ai) = 0 para todo i, pero pi(aj) 6= 0.

158.- Construya dos polinomios p(x), q(x) ∈ P1 que cumplan p(1) 6= 0, q(2) 6= 0, p(2) = 0, q(1) = 0.

¿El conjunto {p(x), q(x)} construido es base de P1?

159.- (a) ¿Es posible construir dos subespacios U, W de M5×5 tales que Dim(U ∩ W ) ≤ 1?

(b) ¿Es posible construir dos subespacios U, W de M5×5 tales que U ⊆ W y W 6= M5×5?

160.- Sean A =[

11 1111111 11111

]Calcule la dimension del subespacio U = {B ∈ M2×2|BA = AB}.

161.- ¿Es posible construir A, A1, A2, . . . , A10 matrices de M5×5 y subespacios de M5×5, U = L[A, A1, A2, . . . , A10],W = L[A1, A2, . . . , A10] tales que:

(a) Dim(U) = Dim(W )

(b) Dim(U) = Dim(W ) + 1

162.- ¿Es posible construir 359 bases B1, B2, . . . , B359 de P19 tales que todas ellas contengan a los vectores ~a1 =−1 + x + x3 + x7, ~a2 = −1 + 6x + 7x3 + 5x9?

163.- (a) Es posible encontrar una base B ={

B1, B2, . . . , B16

}de P15 cuyos coeficientes sumen 16.

(b) Es posible encontrar una base B ={

B1, B2, . . . , B16

}de P15 cuyos coeficientes sumen 0.

164.- Encuentre una base de M2×2 formada por matrices A con la propiedad de que A2 = A.

165.- Construya dos subespacios U, W de P2 tales que Dim(U) = Dim(W ) = 3, U 6= W . ¿Cual es la dimensionde U ∩ W ?

166.- ¿Es posible construir un espacio V y subespacios U, W con Dim(U) = 17, Dim(W ) = 21 y tal que existaun subespacio H de V tal que U ⊆ H ⊆ W y Dim(H) = 19?

167.- En cada caso construya una base de V que incluya al vector dado ~v.

(a) V = R5, ~v = (1, 11, 111, 1111, 11111)


(b) V = M3×4, ~v =

3 −1 34 1 52 1 3

(c) V = P7, ~v = (1 + 11x + 111x2 + 1111x3, 11111x4, 11111x5, 11111x6)

168.- Sean U, V los espacios de polinomios de grado par y de grado impar, respectivamente de P5. EncuentreDim(U) + Dim(V ).


H ={ 2 −3 1

5 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,

2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8

}Construya una base de M3×3 agregando al conjunto H el elemento adecuado del conjunto

M = {

3 2 −1019 4 −46 6 13

,

−1 21 −2312 32 −278 −7 9

,

12 −1 52 −4 34 7 8

,

0 −13 57 −20 17

−6 21 −8

}.

170.- El siguiente conjunto de polinomios, es un conjunto linealmente independiente:

H ={1 − x + 3x2 − x5, 1 − 6x + 9x2 + 3x5, 1 − 15x + 75x2 − 125x3 − 6x5,

1 − 28x + 294x2 − 1372x3 + 2401x4 + 8x5, 512 − 960x + 600x2 − 125x3 + x5


M = {1−10x+69x2−125x3−10x5, 1−45x+810x2−7290x3+32805x4−59049x5, 1−14x+222x2−1247x3+2401x4+13x5, 514−989x+897x2−1497x3+2401x4+8x5.}


H ={ −12 −3 1

5 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,

2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8


M = {

23 23 −458 40 −330 −21 −7

,

27 21 −2312 32 −278 −7 9

,

−14 −13 58 −20 17

−6 21 −8

,

−11 2 −1019 4 −46 6 13

}.


H ={ −120 −3 1

5 −4 32 1 6

,

1 5 −54 8 −74 −5 7

,

2 −1 512 −4 34 17 8

,

2 −1 112 −4 34 7 8

,


2 −1 82 −4 39 7 8

,

2 −1 52 −4 34 7 8

,

5 −1 52 −4 3

−4 17 8

,

2 −1 152 −14 34 7 8


M = {

239 23 −458 40 −330 −21 −7

,

243 21 −2312 32 −278 −7 9

,

−122 −13 57 −20 17

−6 21 −8

,

−119 2 −1019 4 −45 6 13

}.


1 05 1

],

[−1 35 1

],

[0 12 −5

],

[1 11 2


174.- Considere el conjunto U ={ [

0 ab 0

], a, b ∈ R

}.

i.- ¿El conjunto U es subespacio de M2×2?

ii.- En caso de que U sea subespacio de M2×2, calcule una base de U

175.- Sean U , V los subespacios de matrices simetricas y antisimetricas de dimension n × n respectivamente.

(a) Calcule Dim(U), Dim(W )

(b) Calcule Dim(U) + Dim(W )

(c) Calcule explicitamente una base de U + W

(d) Calcule Dim(U + W )

(e) ¿Es cierto que Dim(U + W ) ≤ Dim(U) + Dim(W )?

176.- Sea A =

3 9 1 8 13 9 1 8 96 3 1 81 96 9 −1 82 95 7 1 −8 93 −9 1 2 7913 71 1 3 66 91 6 7 966 6 1 8 13 9 2 8 91 3 1 71 93 9 −1 78 96 7 1 −6 93 −9 6 8 776 9 6 8 13 9 1 8 96 3 1 81 93 9 −1 88 9

.

i.- Encuentre la dimension del subespacio U = {X ∈ M9×9|AX = 0} de M9×9.

ii.- Sea H matriz n × n. Encuentre la dimension del espacio U = {X ∈ Mn×n|HX = 0}.

iii.- Calcule una base de U


1 05 1

],

[121 35 41

],

[111 6110 −15

],

[91 11011 102


178.- Obtener una base y calcular la dimension del subespacio de M2×2. Debera justificar su respuesta.

U ={

A|A ∈ M2×2, A

[1 0

−1 0

]=

[0 00 0

] }179.- Los siguientes conjuntos son bases del espacio V indicado?

i.) V = R4, {(5, 5, 0, 6), (5, 0, 5, 6), (0, −5, −, 5, 8), (−1, 1, 1, 1)}


ii.) V = M2×2,{

{[1 05 1

],

[121 35 41

],

[111 6110 −15

],

[91 11011 102

] }iii.) V = P5. {1, 1 − x, 1 + x + x2, 1 + x − x2 + x3, x3, 1 − x − x3, 1 + x + 5x2 + x4, 1 + x + 5x2 + x5, }

180.- Obtener una base y calcular la dimension de cada uno de las siguientes envolventes lineales.

i.) L[Cos2(x), Sen2(x), Cos(2x)]

ii.) L[bc + cx2 + dx2|b, cd ∈ R]

iii.) L[a(1 + x) + b(x + x2) + c(x + x2 + x3)]

iv.) L[a(1 − x) + b(x − x2) + c(x − x2 − x3)]

v.) L[p(x)|p(4) = 0]

vi.) L[p(x)|p(x) = p(−x)]

vii.) L[p(x)|p(x) = −p(−x)]

181.- Obtener una base y calcular la dimension de cada de los subespacios de M2×2.

i.) U ={ [

0 ab 0

]|a, b ∈ R

}.

ii.) U ={ [

a bc d

], a + b = −c + d, a, b, c, d ∈ R

}.

iii.) U = {A|A ∈ M2×2, A = AT }

iv.) U ={

A|A ∈ M2×2, A

[1 1

−1 0

]=

[1 1

−1 0

] }v.) U =

{A|A ∈ M2×2, A

[1 0

−1 0

]=

[0 00 0

] }vi.) U = {A|A ∈ M2×2, A

[1 1

−1 0

]=

[0 1

−1 1

] }vii.) U = {A|A ∈ M2×2, A = −AT }viii.) U = {A|A ∈ M2×2, AB = 0}, donde B es una matriz fija de M2×2

ix.) U = {A|A ∈ M2×2, A2 = A},

x.) U = {A|A ∈ M2×2, A − AT es invertible},

xi.) U = {A|A ∈ M2×2, BAC = CAB}, donde C, B son matrices de M2×2

182.- Sea A =[1 10 0

]y sea U = {X|X ∈ M2×2, AX = X}

i.) Encuentre una base de U que contenga a la matriz A

ii.) Encuentre una base de U que no contenga a la matriz A

183.- i.) Sea V el conjunto de todas las matrices 2 × 2 cuyas columnas sumen igual. Calcule la dimension de V

ii.) Sea V el conjunto de todas las matrices 3 × 3 cuyas columnas sumen igual. Calcule la dimension de V

iii.) Sea V el conjunto de todas las matrices 10 × 10 cuyas columnas sumen igual. Calcule la dimension de V

iv.) Sea V = {(x2 + x + 1)p(x)|p(x) ∈ P2}. Calcule la dimension de V

v.) Sea V = {(x2 + x + 1)p(x)|p(x) ∈ P3}. Calcule la dimension de V

vi.) Sea V = {(x2 + x + 1)p(x)|p(x) ∈ P5}. Calcule la dimension de V


vii.) Sea V = {(x2 + x + 1)p(x)|p(x) ∈ P5}. Calcule la dimension de V

184.- i) Puede una matriz 15 × 17 tener columnas independientes? Y puede tener filas independientes?ii) Si A es matriz 7 × 6 y rango(A) = 5, puede A tener columnas indepedientes? Y puede tener filas

independientes?iii) ¿Existe una matriz A de orden 5 × 7 tal que Dim(EspacioNulo(A)) = 3?


2 4 7 8 7 −1 4

−1 −2 3 −1 8 −1 35 9 3 −3 4 5 32 11 1 −2 5 −2 0

y sea Ferfi(A) su matriz en forma escalonada

reducida por filas de A.

i) ¿Las filas no nulas de Ferfi(A) son linealmente independientes?ii) ¿Las filas no nulas de Ferfi(A) forman una base de Fil(Ferfi(A))?iii) ¿Las columnas de Ferfi(A) que contienen 1-principal son una base de Col(Ferfi(A))?

186.- Considere el conjunto U = {xg(x) + (1 − x)h(x)|g(x), h(x) ∈ P2}

i.- ¿El conjunto U es subespacio de P4?

ii.- Considere el conjunto U = {xg(x) + (1 − x)h(x)|g(x), h(x) ∈ P2}i.- ¿El conjunto U es subespacio de P4?ii.- Calcule de ser posible una base de U

iii.- Calcule de ser posible Dim(U)iv.- Calcule una base de la envolvente L[U ]v.- Calcule Dim(L[U ])

iii.- El siguiente conjunto H de matrices es linealmente independiente H ={[

2 −35 −4

],

[1 54 8

],

[−1 57 −4

]}.

Sea M ={[

6 710 24

],

[0 −23

−14 −24

],

[8 1718 40

],

[1 57 −4

]}.

Construya una base de M2×2 agregando al conjunto H el elemento adecuado del conjunto M .


2 DATOS: Matrices 7 × 8

B7 =

1 3 2 3 4 −1 5 44 3 5 −5 7 8 5 4

−26 11 1 3 40 −35 32 23 7 5 −7 8 7 1 22

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

B6 =

4 3 5 −5 7 8 5 4

−26 11 1 3 40 −35 32 23 7 5 −7 8 7 1 22

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

B5 =

−26 11 1 3 40 −35 32 23 7 5 −7 8 7 1 22

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

B4 =

3 7 5 −7 8 7 1 22

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

B3 =

−133 46 −1 6 188 −172 145 −2−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

B2 =

[−45 −1 −22 31 9 −76 12 −14−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

]B1 =

[−2 0 −1 42 4 −28 32 −38

]3 DATOS: Matrices 3 × 5

B1 =

−3 3 −6 0 30−6 18 −12 −3 30−3 0 −9 0 34

.

B2 =

−3 4 −7 −7 51−7 23 −19 −10 51−3 1 −11 −7 55

.

B3 =

−3 5 −8 −16 78−8 28 −28 −19 78−3 2 −13 −16 82

.

B4 =

−2 3 −5 −5 29−5 17 −11 −8 29−2 1 −8 −5 33

.

B5 =

−2 4 −6 −12 50−6 22 −18 −15 50−2 2 −10 −12 54

.

B6 =

−2 5 −7 −21 77−7 27 −27 −24 77−2 3 −12 −21 81

.

B7 =

−1 3 −4 −8 28−4 16 −10 −11 28−1 2 −7 −8 32

.

B8 =

−1 4 −5 −15 49−5 21 −17 −18 49−1 3 −9 −15 53

.

B9 =

−1 5 −6 −24 76−6 26 −26 −27 76−1 4 −11 −24 80

.

B10 =

0 3 −3 −9 27−3 15 −9 −12 270 3 −6 −9 31

.

B11 =

0 4 −4 −16 48−4 20 −16 −19 480 4 −8 −16 52

.

B12 =

0 5 −5 −25 75−5 25 −25 −28 750 5 −10 −25 79

.

B13 =

1 3 −2 −8 26−2 14 −8 −11 261 4 −5 −8 30

.

B14 =

1 4 −3 −15 47−3 19 −15 −18 471 5 −7 −15 51

.

B15 =

1 5 −4 −24 74−4 24 −24 −27 741 6 −9 −24 78

.


B16 =

2 3 −1 −5 25−1 13 −7 −8 252 5 −4 −5 29

.

B17 =

2 4 −2 −12 46−2 18 −14 −15 462 6 −6 −12 50

.

B18 =

2 5 −3 −21 73−3 23 −23 −24 732 7 −8 −21 77

.

4 DATOS: Conjuntos de matrices en M2×2

M21 = {[−7 −147 0

],

[49 70 −7

],

[7 11 10

],

[49 124 −7

]}.

M22 = {[

3 6−3 0

],

[9 −30 3

],

[−3 11 0

],

[−6 −54 0

]}.

M23 = {[−6 −126 0

],

[36 60 −6

],

[6 11 9

],

[36 114 −6

]}.

M24 = {[−5 −105 0

],

[25 50 −5

],

[5 11 8

],

[25 104 −5

]}.

M25 = {[−7 −147 0

],

[49 70 −7

],

[7 11 10

],

[14 15−6 10

]}.

M26 = {[−4 −84 0

],

[16 40 −4

],

[4 11 7

],

[16 94 −4

]}.

M27 = {[−3 −63 0

],

[9 30 −3

],

[3 11 6

],

[9 84 −3

]}.

M28 = {[−6 −126 0

],

[36 60 −6

],

[6 11 9

],

[12 13−5 9

]}.

M29 = {[−2 −42 0

],

[4 20 −2

],

[2 11 5

],

[4 74 −2

]}.

M210 = {[−1 −21 0

],

[1 10 −1

],

[1 11 4

],

[1 64 −1

]}.

M211 = {[−5 −105 0

],

[25 50 −5

],

[5 11 8

],

[10 11−4 8

]}.

M212 = {[−4 −84 0

],

[16 40 −4

],

[4 11 7

],

[8 9

−3 7

]}.

M213 = {[0 00 0

],

[0 00 0

],

[0 11 3

],

[0 54 0

]}.

M214 = {{[

1 2−1 0

],

[1 −10 1

],

[−1 11 2

],

[1 44 1

]}.

M215 = {[−3 −63 0

],

[9 30 −3

],

[3 11 6

],

[6 7

−2 6

]}.

M216 = {[−2 −42 0

],

[4 20 −2

],

[2 11 5

],

[4 5

−1 5

]}.

M217 = {[

2 4−2 0

],

[4 −20 2

],

[−2 11 1

],

[4 34 2

]}.

M218 = {[−1 −21 0

],

[1 10 −1

],

[1 11 4

],

[2 30 4

]}.

M219 = {[0 00 0

],

[0 00 0

],

[0 11 3

],

[0 11 3

]}.

M220 = {[

1 2−1 0

],

[1 −10 1

],

[−1 11 2

],

[−2 −12 2

]}.

M221 = {[

3 6−3 0

],

[9 −30 3

],

[−3 11 0

],

[9 24 3

]}.

M222 = {[

2 4−2 0

],

[4 −20 2

],

[−2 11 1

],

[−4 −33 1

]}.

5 DATOS: Conjuntos de Polinomios en P3

Pol31 = {−392 − 21x + 35x2 − 7x3, 7 + 147x − 7x2 − 2x3, 56 + 154x + 35x2 − 7x3, −37 − 28x +35x2 + 56x3}Pol32 = {−392 − 21x + 35x2 − 7x3, 7 + 147x − 7x2 − 2x3, −413 − 462x + 56x2 − x3, −2016 −1281x + 231x2 − 19x3}Pol33 = {−252 − 18x + 30x2 − 6x3, 6 + 108x − 6x2 − x3, −270 − 342x + 48x2 − 3x3, −1308 −954x + 198x2 − 22x3}Pol34 = {−2 − 3x + 5x2 − x3, 1 + 3x − x2 + 4x3, 2 + 4x + 5x2 − x3, 5 − 4x + 5x2 + 2x3}Pol35 = {−150 − 15x + 25x2 − 5x3, 5 + 75x − 5x2, −165 − 240x + 40x2 − 5x3, −790 − 675x +165x2 − 25x3}Pol36 = {−36−9x+15x2−3x3, 3+27x−3x2+2x3, 12+30x+15x2−3x3, −1−12x+15x2+12x3}Pol37 = {−12−6x+10x2 −2x3, 2+12x−2x2 +3x3, 6+14x+10x2 −2x3, 3−8x+10x2 +6x3}


Pol38 = {−80 − 12x + 20x2 − 4x3, 4 + 48x − 4x2 + x3, −92 − 156x + 32x2 − 7x3, −432 − 444x +132x2 − 28x3}Pol39 = {−252 − 18x + 30x2 − 6x3, 6 + 108x − 6x2 − x3, 42 + 114x + 30x2 − 6x3, −25 − 24x +30x2 + 42x3}Pol310 = {−150−15x+25x2−5x3, 5+75x−5x2, 30+80x+25x2−5x3, −15−20x+25x2+30x3}Pol311 = {−36 − 9x + 15x2 − 3x3, 3 + 27x − 3x2 + 2x3, −45 − 90x + 24x2 − 9x3, −204 − 261x +99x2 − 31x3}Pol312 = {−12 − 6x + 10x2 − 2x3, 2 + 12x − 2x2 + 3x3, −18 − 42x + 16x2 − 11x3, −76 − 126x +66x2 − 34x3}Pol313 = {−80−12x+20x2−4x3, 4+48x−4x2+x3, 20+52x+20x2−4x3, −7−16x+20x2+20x3}Pol314 = {−2−3x+5x2 −x3, 1+3x−x2+4x3, −5−12x+8x2 −13x3, −18−39x+33x2 −37x3}Pol315 = {0, 5x3, −15x3, −40x3}Pol316 = {18+9x−15x2+3x3, −3+27x+3x2+8x3, 6+24x−15x2+3x3, −7+12x−15x2+6x3}Pol317 = {294 + 21x − 35x2 + 7x3, −7 + 147x + 7x2 + 12x3, 42 + 140x − 35x2 + 7x3, −51 +28x − 35x2 + 42x3}Pol318 = {448 + 24x − 40x2 + 8x3, −8 + 192x + 8x2 + 13x3, 56 + 184x − 40x2 + 8x3, −67 +32x − 40x2 + 56x3}Pol319 = {3x − 5x2 + x3, −1 + 3x + x2 + 6x3, 3 − 6x − 8x2 − 17x3, 8 − 9x − 33x2 − 43x3}Pol320 = {4+6x−10x2+2x3, −2+12x+2x2+7x3, 10−30x−16x2−19x3, 36−66x−66x2−46x3}Pol321 = {48 + 12x − 20x2 + 4x3, −4 + 48x + 4x2 + 9x3, 12 + 44x − 20x2 + 4x3, −15 + 16x −20x2 + 12x3}Pol322 = {100 + 15x − 25x2 + 5x3, −5 + 75x + 5x2 + 10x3, 20 + 70x − 25x2 + 5x3, −25 + 20x −25x2 + 20x3}Pol323 = {180 + 18x − 30x2 + 6x3, −6 + 108x + 6x2 + 11x3, 30 + 102x − 30x2 + 6x3, −37 +24x − 30x2 + 30x3}Pol324 = {18 + 9x − 15x2 + 3x3, −3 + 27x + 3x2 + 8x3, 27 − 72x − 24x2 − 21x3, 114 − 171x −99x2 − 49x3}Pol325 = {48 + 12x − 20x2 + 4x3, −4 + 48x + 4x2 + 9x3, 60 − 132x − 32x2 − 23x3, 272 − 324x −132x2 − 52x3}Pol326 = {100 + 15x − 25x2 + 5x3, −5 + 75x + 5x2 + 10x3, 115 − 210x − 40x2 − 25x3, 540 −525x − 165x2 − 55x3}Pol327 = {0, 5x3, 0, 5, 3x − 5x2 + x3, −1 + 3x + x2 + 6x3, 2x − 5x2 + x3, 3 + 4x − 5x2}Pol328 = {4+6x−10x2 +2x3, −2+12x+2x2 +7x3, 2+10x−10x2 +2x3, −1+8x−10x2 +2x3}Pol329 = {180 + 18x − 30x2 + 6x3, −6 + 108x + 6x2 + 11x3, 198 − 306x − 48x2 − 27x3, 948 −774x − 198x2 − 58x3}Pol330 = {294 + 21x − 35x2 + 7x3, −7 + 147x + 7x2 + 12x3, 315 − 420x − 56x2 − 29x3, 1526 −1071x − 231x2 − 61x3}Pol331 = {448 + 24x − 40x2 + 8x3, −8 + 192x + 8x2 + 13x3, 472 − 552x − 64x2 − 31x3, 2304 −1416x − 264x2 − 64x3}

6 DATOS: Bases ordenadas B = {p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)} de P3

B1 :p1(x) = 1, p2(x) = (1 − x), p3(x) = (1 − x)2, p4(x) = (1 − x)3

B2 :p1(x) = 4, p2(x) =, 3 − 5x, p3(x) = 7 + 2x − 6x2, p4(x) = 5 + x − 6x2 − x3.


B3 :p1(x) = 1 + 3x + 4x2 − 3x3, p2(x) = 2 + 3x + 8x2 + 4x3,

p3(x) = −1 + 4x + 3x2 + 2x3, p4(x) = −5 + 3x + −2x2 + x3.

B4 :p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2, p4(x) = x3

B5 :p1(x) = 3; p2(x) = 5 − 8x; p3(x) = (3 − 2x)2; p4(x) = (7 − 5x)3;

B6 : p1(x) = 1+8x+4x2−3x3; p2(x) = 2+11x+8x2+4x3; p3(x) = −1+4x+7x2+2x3; p4(x) =−1 + 3x + −12x2 + 6x3

B7 : p1(x) = 56 − 21x + 35x2 − 7x3, p2(x) = 7 + 147x − 7x2 − 2x3, p3(x) = −7 + 2x − 21x2 +42x3, p4(x) = 14 − 70x + 42x2 − 7x3

B8 : p1(x) = 42 − 18x + 30x2 − 6x3, p2(x) = 6 + 108x − 6x2 − x3, p3(x) = −6 + 2x − 18x2 +30x3, p4(x) = 12 − 54x + 30x2 − 6x3

B9 : p1(x) = 30−15x+25x2−5x3, p2(x) = 5+75x−5x2, p3(x) = −5+2x−15x2+20x3, p4(x) =10 − 40x + 20x2 − 5x3

B10 : p1(x) = 20 − 12x + 20x2 − 4x3, p2(x) = 4 + 48x − 4x2 + x3, p3(x) = −4 + 2x − 12x2 +12x3, p4(x) = 8 − 28x + 12x2 − 4x3

B11 : p1(x) = 12−9x+15x2−3x3, p2(x) = 3+27x−3x2+2x3, p3(x) = −3+2x−9x2+6x3, p4(x) =6 − 18x + 6x2 − 3x3

B12 : p1(x) = 6−6x+10x2−2x3, p2(x) = 2+12x−2x2+3x3, p3(x) = −2+2x−6x2+2x3, p4(x) =4 − 10x + 2x2 − 2x3

B13 : p1(x) = 2−3x+5x2−x3, p2(x) = 1+3x−x2+4x3, p3(x) = −1+2x−3x2, p4(x) = 2−4x−x3

B14 : p1(x) = 3x − 5x2 + x3, p2(x) = −1 + 3x + x2 + 6x3, p3(x) = 1 + 2x + 3x2 + 2x3, p4(x) =−2 + 2x + 2x2 + x3

B15 : p1(x) = 2+6x−10x2+2x3, p2(x) = −2+12x+2x2+7x3, p3(x) = 2+2x+6x2+6x3, p4(x) =−4 + 2x + 6x2 + 2x3

B16 : p1(x) = 6+9x−15x2+3x3, p2(x) = −3+27x+3x2+8x3, p3(x) = 3+2x+9x2+12x3, p4(x) =−6 + 12x2 + 3x3

B17 : p1(x) = 12 + 12x − 20x2 + 4x3, p2(x) = −4 + 48x + 4x2 + 9x3, p3(x) = 4 + 2x + 12x2 +20x3, p4(x) = −8 − 4x + 20x2 + 4x3





7 DATOS: Bases de P2

B1 = {210 + 45x-75 x2, −15 + 675x + 20x2, 2 + 45x + 240x2}B2 = {182 + 42x − 70x2, −14 + 588x + 19x2, 2 + 42x + 210x2}B3 = {156 + 39x − 65x2, −13 + 507x + 18x2, 2 + 39x + 182x2}


B4 = {132 + 36x − 60x2, −12 + 432x + 17x2, 2 + 36x + 156x2}B5 = {110 + 33x − 55x2, −11 + 363x + 16x2, 2 + 33x + 132x2}B6 = {90 + 30x − 50x2, −10 + 300x + 15x2, 2 + 30x + 110x2}B7 = {72 + 27x − 45x2, −9 + 243x + 14x2, 2 + 27x + 90x2}B8 = {56 + 24x − 40x2, −8 + 192x + 13x2, 2 + 24x + 72x2}B9 = {42 + 21x − 35x2, −7 + 147x + 12x2, 2 + 21x + 56x2}B10 = {30 + 18x − 30x2, −6 + 108x + 11x2, 2 + 18x + 42x2}B11 = {20 + 15x − 25x2, −5 + 75x + 10x2, 2 + 15x + 30x2}B12 = {3x − 5x2, −1 + 3x + 6x2, 2 + 3x + 2x2}B13 = {12 + 12x − 20x2, −4 + 48x + 9x2, 2 + 12x + 20x2}B14 = {6 + 9x − 15x2, −3 + 27x + 8x2, 2 + 9x + 12x2}B15 = {2 + 6x − 10x2, −2 + 12x + 7x2, 2 + 6x + 6x2}B = {1, x, x2}

8 DATOS: Bases ordenadas de P4: B = {p1(x), p2(x), p3(x), p4(x), p5(x)}B1 = {56 − 21x + 35x2 − 7x4, 7 + 147x − 2x3 − 10x4, −7 + 2x − 21x2 + 42x3 + 39x4, 14 − 70x + 42x2 −7x3 − 11x4, 56 − 21x + 35x2 − 7x3 + 7x4}.

B2 = {42 − 18x + 30x2 − 6x4, 6 + 108x − x3 − 9x4, −6 + 2x − 18x2 + 30x3 + 26x4, 12 − 54x + 30x2 −6x3 − 10x4, 42 − 18x + 30x2 − 6x3 + 6x4}.

B3 = {30 − 15x + 25x2 − 5x4, 5 + 75x − 8x4, −5 + 2x − 15x2 + 20x3 + 15x4, 10 − 40x + 20x2 − 5x3 −9x4, 30 − 15x + 25x2 − 5x3 + 5x4}.

B4 = {20 − 12x + 20x2 − 4x4, 4 + 48x + x3 − 7x4, −4 + 2x − 12x2 + 12x3 + 6x4, 8 − 28x + 12x2 − 4x3 −8x4, 20 − 12x + 20x2 − 4x3 + 4x4}.

B5 = {12 − 9x + 15x2 − 3x4, 3 + 27x + 2x3 − 6x4, −3 + 2x − 9x2 + 6x3 − x4, 6 − 18x + 6x2 − 3x3 −7x4, 12 − 9x + 15x2 − 3x3 + 3x4}.

B6 = {6−6x+10x2 −2x4, 2+12x+3x3 −5x4, −2+2x−6x2 +2x3 −6x4, 4−10x+2x2 −2x3 −6x4, 6−6x + 10x2 − 2x3 + 2x4}.

B7 = {2−3x+5x2 −x4, 1+3x+4x3 −4x4, −1+2x−3x2 −9x4, 2−4x−x3 −5x4, 2−3x+5x2 −x3 +x4}.

B8 = {3x−5x2+x4, −1+3x+6x3−2x4, 1+2x+3x2+2x3−9x4, −2+2x+2x2+x3−3x4, 3x−5x2+x3−x4}.

B9 = {2+6x − 10x2 +2x4, −2+12x+7x3 − x4, 2+2x+6x2 +6x3 − 6x4, −4+2x+6x2 +2x3 − 2x4, 2+6x − 10x2 + 2x3 − 2x4}.

B10 = {6 + 9x − 15x2 + 3x4, −3 + 27x + 8x3, 3 + 2x + 9x2 + 12x3 − x4, −6 + 12x2 + 3x3 − x4, 6 + 9x −15x2 + 3x3 − 3x4}.

B11 = {12 + 12x − 20x2 + 4x4, −4 + 48x + 9x3 + x4, 4 + 2x + 12x2 + 20x3 + 6x4, −8 − 4x + 20x2 +4x3, 12 + 12x − 20x2 + 4x3 − 4x4}.

B12 = {20 + 15x − 25x2 + 5x4, −5 + 75x + 10x3 + 2x4, 5 + 2x + 15x2 + 30x3 + 15x4, −10 − 10x + 30x2 +5x3 + x4, 20 + 15x − 25x2 + 5x3 − 5x4}.

B13 = {30+18x − 30x2 +6x4, −6+108x +11x3 +3x4, 6+2x +18x2 +42x3 +26x4, −12 − 18x +42x2 +6x3 + 2x4, 30 + 18x − 30x2 + 6x3 − 6x4}.



9 DATOS: Bases de M2×2


B1 = {[

3 6−3 0

],

[9 −30 3

],

[−3 11 0

],

[9 24 3

]}.

B2 = {[−9 −189 0

],

[81 90 −9

],

[9 11 12

],

[81 144 −9

]}.

B3 = {[−8 −168 0

],

[64 80 −8

],

[8 11 11

],

[64 134 −8

]}.

B4 = {[−7 −147 0

],

[49 70 −7

],

[7 11 10

],

[49 124 −7

]}.

B5 = {[−6 −126 0

],

[36 60 −6

],

[6 11 9

],

[36 114 −6

]}.

B6 = {[−5 −105 0

],

[25 50 −5

],

[5 11 8

],

[25 104 −5

]}.

B7 = {[−4 −84 0

],

[16 40 −4

],

[4 11 7

],

[16 94 −4

]}.

B8 = {[−3 −63 0

],

[9 30 −3

],

[3 11 6

],

[9 84 −3

]}.

B9 = {[−2 −42 0

],

[4 20 −2

],

[2 11 5

],

[4 74 −2

]}.

B10 = {[−1 −21 0

],

[1 10 −1

],

[1 11 4

],

[1 64 −1

]}.

B11 = {[

1 2−1 0

],

[1 −10 1

],

[−1 11 2

],

[1 44 1

]}.

B12 = {[

2 4−2 0

],

[4 −20 2

],

[−2 11 1

],

[4 34 2

]}.

B13 = {[−10 −2010 0

],

[100 100 −10

],

[10 11 13

],

[100 154 −10

]}.

B14 = {[

4 8−4 0

],

[16 −40 4

],

[−4 11 −1

],

[16 14 4

]}.

B15 = {[

5 10−5 0

],

[25 −50 5

],

[−5 11 −2

],

[25 04 5

]}.


B1 =[−65 511 5

].

B2 =[−195 15−325 25

].

B3 =[−68 68 12

].

B4 =[−204 18−340 30

].

B5 =[−73 73 31

].

B6 =[−219 21−365 35

].

B7 =[−80 8−4 68

].

B8 =[−240 24−400 40

].

B9 =[−28 45 4

].

B10 =[

−84 12−140 20

].

B11 =[−31 52 11

].

B12 =[

−93 15−155 25

].

B13 =[−36 6−3 30

].

B=14[−108 18−180 30

].

B15 =[−43 7−10 67

].

B16 =[−129 21−215 35

].

B17 =[−9 31 3

].

B18 =[−27 9−45 15

].

B19 =[−12 4−2 10

].

B20 =[−36 12−60 20

].

B21 =[−17 5−7 29

].

B22 =[−51 15−85 25

].

B23 =[−24 6−14 66

].

B24 =[

−72 18−120 30

].

B25 =[−2 2−1 2

].

B26 =[

−6 6−10 10

].

B27 =[−5 3−4 9

].

B28 =[−15 9−25 15

].

B29 =[−10 4−9 28

].

B30 =[−30 12−50 20

].

B31 =[−51 15−85 25

].

B32 =[−1 1−1 1

].

B33 =[−3 3−5 5

].

B34 =[−4 2−4 8

].

B35 =[−12 6−20 10

].

B36 =[−9 3−9 27

].

B37 =[−27 9−45 15

].

B38 =[−16 4−16 64

].

B39 =[−48 12−80 20

].

B40 =[−17 5−16 65

].

11 DATOS: Matrices 3 × 3 invertibles

B1 =

11 5 17−17 −5 10−17 −15 −4

. B2 =

8 6 20−18 −8 8−18 −14 −2

. B3 =

3 7 25−19 −13 6−19 −13 2

.


B4 =

−4 8 32−20 −20 4−20 −12 8

.

B5 =

5 4 10−10 −4 4−10 −8 −3

.

B6 =

2 5 13−11 −7 2−11 −7 −1

.

B7 =

−3 6 18−12 −12 0−12 −6 3

.

B8 =

−10 7 25−13 −19 −2−13 −5 9

.

B9 =

1 3 5−5 −3 0−5 −3 −2

.

B10 =

−2 4 8−6 −6 −2−6 −2 0

.

B11 =

−7 5 13−7 −11 −4−7 −1 4

.

B12 =

−14 6 20−8 −18 −6−8 0 10

.

B13 =

−1 2 2−2 −2 −2−2 0 −1

.

B14 =

−4 3 5−3 −5 −4−3 1 1

.

B15 =

−9 4 10−4 −10 −6−4 2 5

.

B16 =

−16 5 17−5 −17 −8−5 3 11

.

B17 =

−1 1 1−1 −1 −2−1 1 0

.

B18 =

−4 2 4−2 −4 −4−2 2 2

.

B19 =

−9 3 9−3 −9 −6−3 3 6

.

B20 =

−16 4 16−4 −16 −8−4 4 12

.


B1 =

−49 65 1763 −5 10

1023 −15 −4

.

B2 =

−49 65 1763 −5 1056 −310 −115

.

B3 =

−52 72 2056 −8 8

1008 −14 −2

.

B4 =

−52 72 2056 −8 892 −336 −124

.

B5 =

−57 91 2537 −13 6943 −13 2

.

B6 =

−57 91 2537 −13 6174 −416 −143

.

B7 =

−64 128 320 −20 4

768 −12 8

.

B8 =

−64 128 320 −20 4

320 −580 −172

.

B9 =

−19 28 1026 −4 4242 −8 −3

.

B10 =

−19 28 1026 −4 417 −128 −62

.

B11 =

−22 35 1319 −7 2227 −7 −1

.

B12 =

−22 35 1319 −7 253 −154 −71

.

B13 =

−27 54 180 −12 0

162 −6 3

.

B14 =

−27 54 180 −12 0

135 −234 −90

.

B15 =

−34 91 25−37 −19 −2−13 −5 9

.

B16 =

−34 91 25−37 −19 −2281 −398 −119

.

B17 =

−5 9 57 −3 031 −3 −2

.

B18 =

−5 9 57 −3 04 −36 −25

.

B19 =

−8 16 80 −6 −216 −2 0

.

B20 =

−8 16 80 −6 −240 −62 −34

.

B21 =

−13 35 13−19 −11 −4−49 −1 4

.

B22 =

−13 35 13−19 −11 −4122 −142 −53

.

B23 =

−20 72 20−56 −18 −6−224 0 10

.

B24 =

−20 72 20−56 −18 −6268 −306 −82

.

B25 =

−1 2 20 −2 −20 0 −1

.

B26 =

−1 2 20 −2 −25 −4 −4

.

B27 =

−4 9 5−7 −5 −4−15 1 1

.


B28 =

−4 9 5−7 −5 −441 −30 −13

.

B29 =

−9 28 10−26 −10 −6−80 2 5

.

B30 =

−9 28 10−26 −10 −6123 −110 −32

.

B31 =

−16 65 17−63 −17 −8−255 3 11

.

B32 =

−16 65 17−63 −17 −8269 −274 −61

.

B33 =

−1 1 1−1 −1 −2−1 1 0

.

B34 =

−1 1 1−1 −1 −28 −2 1

.

B35 =

−4 8 4−8 −4 −4−16 2 2

.

B36 =

−4 8 4−8 −4 −444 −28 −8

.

B37 =

−9 27 9−27 −9 −6−81 3 6

.

B38 =

−9 27 9−27 −9 −6126 −108 −27

.

B39 =

−16 64 16−64 −16 −8−256 4 12

.

B40 =

−16 64 16−64 −16 −8272 −272 −56

.

B41 =

0 0 00 0 10 1 1

.

B42 =

1 0 00 1 00 0 1

.

B43 =

0 0 00 0 00 0 0

.


B1 =

−21 −3 17−17 −5 10−17 −15 −463 65 −4

.

B2 =

−24 −2 20−18 −8 8−18 −14 −262 66 −2

.

B3 =

−29 −1 25−19 −13 6−19 −13 261 67 2

.

B4 =

−36 0 32−20 −20 4−20 −12 860 68 8

.

B5 =

−13 −2 10−10 −4 4−10 −8 −326 28 −3

.

B6 =

−16 −1 13−11 −7 2−11 −7 −125 29 −1

.

B7 =

−21 0 18−12 −12 0−12 −6 324 30 3

.

B8 =

−28 1 25−13 −19 −2−13 −5 923 31 9

.

B9 =

−7 −1 5−5 −3 0−5 −3 −27 9 −2

.

B10 =

−10 0 8−6 −6 −2−6 −2 06 10 0

.

B11 =

−15 1 13−7 −11 −4−7 −1 45 11 4

.

B12 =

−22 2 20−8 −18 −6−8 0 104 12 10

.

B13 =

−3 0 2−2 −2 −2−2 0 −10 2 −1

.

B14 =

−6 1 5−3 −5 −4−3 1 1−1 3 1

.

B15 =

−11 2 10−4 −10 −6−4 2 5−2 4 5

.

B16 =

−18 3 17−5 −17 −8−5 3 11−3 5 11

.

B17 =

−1 1 1−1 −1 −2−1 1 0−1 1 0

.

B18 =

−4 2 4−2 −4 −4−2 2 2−2 2 2

.

B19 =

−9 3 9−3 −9 −6−3 3 6−3 3 6

.

B20 =

−16 4 16−4 −16 −8−4 4 12−4 4 12

.


14 DATOS Matrices 4 × 4 invertibles

B1 =

−21 1 29 −4−26 6 −9 −725 21 −6 35

−19 −29 16 85

.

B2 =

−14 2 28 −6−19 7 −16 −625 14 −7 32

−20 −28 8 83

.

B3 =

−9 3 27 −8−14 8 −21 −525 9 −8 29

−21 −27 2 81

.

B4 =

−6 4 26 −10−11 9 −24 −425 6 −9 26

−22 −26 −2 79

.

B5 =

−20 0 21 −1−24 4 0 −716 20 −4 26

−10 −20 17 58

.

B6 =

−13 1 20 −3−17 5 −7 −616 13 −5 23

−11 −19 9 56

.

B7 =

−8 2 19 −5−12 6 −12 −516 8 −6 20

−12 −18 3 54

.

B8 =

−5 3 18 −7−9 7 −15 −416 5 −7 17

−13 −17 −1 52

.

B9 =

−19 −1 15 2−22 2 7 −79 19 −2 19

−3 −13 18 37

.

B10 =

−12 0 14 0−15 3 0 −69 12 −3 16

−4 −12 10 35

.

B11 =

−7 1 13 −2−10 4 −5 −59 7 −4 13

−5 −11 4 33

.

B12 =

−4 2 12 −4−7 5 −8 −49 4 −5 10

−6 −10 0 31

.

B13 =

−18 −2 11 5−20 0 12 −74 18 0 142 −8 19 22

.

B14 =

−11 −1 10 3−13 1 5 −64 11 −1 111 −7 11 20

.

B15 =

−6 0 9 1−8 2 0 −54 6 −2 80 −6 5 18

.

B16 =

−3 1 8 −1−5 3 −3 −44 3 −3 5

−1 −5 1 16

.

B17 =

−17 −3 9 8−18 −2 15 −71 17 2 115 −5 20 13

.

B18 =

−10 −2 8 6−11 −1 8 −61 10 1 84 −4 12 11

.

B19 =

−5 −1 7 4−6 0 3 −51 5 0 53 −3 6 9

.

B20 =

−2 0 6 2−3 1 0 −41 2 −1 22 −2 2 7

.

B21 =

−16 −4 9 11−16 −4 16 −70 16 4 106 −4 21 10

.

B22 =

−9 −3 8 9−9 −3 9 −60 9 3 75 −3 13 8

.

B23 =

−4 −2 7 7−4 −2 4 −50 4 2 44 −2 7 6

.

B24 =

−1 −1 6 5−1 −1 1 −40 1 1 13 −1 3 4

.

B25 =

−15 −5 11 14−14 −6 15 −71 15 6 115 −5 22 13

.

B26 =

−8 −4 10 12−7 −5 8 −61 8 5 84 −4 14 11

.

B27 =

−3 −3 9 10−2 −4 3 −51 3 4 53 −3 8 9

.

B28 =

0 −2 8 81 −3 0 −41 0 3 22 −2 4 7

.

15 Matrices 4 × 4

B1 =

−65 5 11 −1411 5 −15 0

−65 5 11 14−1025 −15 −4 46

B2 =

−195 15 33 −4222 10 −30 0

−76 0 26 −14325 −25 −55 70

B3 =

−65 5 11 −1411 5 −15 0

−76 0 26 −14292 −40 −10 70


B4 =

−68 6 10 −168 12 −12 7

−72 8 10 12−1040 −14 −2 44

B5 =

−204 18 30 −4816 24 −24 14

−76 −6 22 −23340 −30 −50 80

B6 =

−68 6 10 −168 12 −12 7

−76 −6 22 −23316 −66 −14 59

B7 =

−73 7 9 −183 31 −7 26

−91 13 9 10−1105 −13 2 42

B8 =

−219 21 27 −54

6 62 −14 52−76 −24 16 −44365 −35 −45 90

B9 =

−73 7 9 −183 31 −7 26

−76 −24 16 −44356 −128 −24 12

B10 =

−80 8 8 −20−4 68 0 63

−128 20 8 8−1280 −12 8 40

B11 =

−240 24 24 −60−8 136 0 126−76 −60 8 −83400 −40 −40 100

B12 =

−80 8 8 −20−4 68 0 63−76 −60 8 −83412 −244 −40 −89

B13 =

−28 4 5 −115 4 −8 0

−28 4 5 7−244 −8 −3 25

B14 =

−84 12 15 −3310 8 −16 0

−33 0 13 −11140 −20 −25 55

B15 =

−28 4 5 −115 4 −8 0

−33 0 13 −11125 −32 −1 55

B16 =

−31 5 4 −132 11 −5 7

−35 7 4 5−259 −7 −1 23

B17 =

−93 15 12 −394 22 −10 14

−33 −6 9 −20155 −25 −20 65

B18 =

−31 5 4 −132 11 −5 7

−33 −6 9 −20149 −58 −5 44

B19 =

−36 6 3 −15−3 30 0 26−54 12 3 3−324 −6 3 21

B20 =

−108 18 9 −45−6 60 0 52−33 −24 3 −41180 −30 −15 75

B21 =

−36 6 3 −15−3 30 0 26−33 −24 3 −41189 −120 −15 −3

B22 =

−43 7 2 −17−10 67 7 63−91 19 2 1−499 −5 9 19

B23 =

−129 21 6 −51−20 134 14 126−33 −60 −5 −80215 −35 −10 85

B24 =

−43 7 2 −17−10 67 7 63−33 −60 −5 −80245 −236 −31 −104

B25 =

−9 3 1 −81 3 −3 0

−9 3 1 2−33 −3 −2 10

B26 =

−27 9 3 −242 6 −6 0

−10 0 4 −845 −15 −5 40

B27 =

−9 3 1 −81 3 −3 0

−10 0 4 −842 −24 4 40

B28 =

−12 4 0 −10−2 10 0 7−16 6 0 0−48 −2 0 8

B29 =

−36 12 0 −30−4 20 0 14−10 −6 0 −1760 −20 0 50

B30 =

−12 4 0 −10−2 10 0 7−10 −6 0 −1766 −50 0 29

B31 =

−17 5 −1 −12−7 29 5 26−35 11 −1 −2−113 −1 4 6

B32 =

−51 15 −3 −36−14 58 10 52−10 −24 −6 −3885 −25 5 60

B33 =

−17 5 −1 −12−7 29 5 26−10 −24 −6 −38106 −112 −10 −18

B34 =

−24 6 −2 −14−14 66 12 63−72 18 −2 −4−288 0 10 4

B35 =

−72 18 −6 −42−28 132 24 126−10 −60 −14 −77120 −30 10 70

B36 =

−24 6 −2 −14−14 66 12 63−10 −60 −14 −77162 −228 −26 −119

B37 =

−2 2 −1 −5−1 2 0 0−2 2 −1 −1−2 0 −1 1

B38 =

−6 6 −3 −15−2 4 0 0−1 0 −1 −510 −10 5 25

B39 =

−2 2 −1 −5−1 2 0 0−1 0 −1 −513 −16 5 25


B40 =

−5 3 −2 −7−4 9 3 7−9 5 −2 −3−17 1 1 −1

B41 =

−15 9 −6 −21−8 18 6 14−1 −6 −5 −1425 −15 10 35

B42 =

−5 3 −2 −7−4 9 3 7−1 −6 −5 −1437 −42 1 14

B43 =

−10 4 −3 −9−9 28 8 26−28 10 −3 −5−82 2 5 −3

B44 =

−30 12 −9 −27−18 56 16 52−1 −24 −11 −3550 −20 15 45

B45 =

−10 4 −3 −9−9 28 8 26−1 −24 −11 −3577 −104 −9 −33

B46 =

−17 5 −4 −11−16 65 15 63−65 17 −4 −7−257 3 11 −5

B47 =

−51 15 −12 −33−32 130 30 126−1 −60 −19 −7485 −25 20 55

B48 =

−17 5 −4 −11−16 65 15 63−1 −60 −19 −74133 −220 −25 −134

B49 =

−1 1 −1 −2−1 1 1 0−1 1 −1 −2−1 1 0 −2

B50 =

−3 3 −3 −6−2 2 2 00 0 −2 −25 −5 5 10

B51 =

−1 1 −1 −2−1 1 1 00 0 −2 −28 −8 2 10

B52 =

−4 2 −2 −4−4 8 4 7−8 4 −2 −4−16 2 2 −4

B53 =

−12 6 −6 −12−8 16 8 140 −6 −6 −1120 −10 10 20

B54 =

−4 2 −2 −4−4 8 4 70 −6 −6 −1132 −34 −2 −1

B55 =

−9 3 −3 −6−9 27 9 26−27 9 −3 −6−81 3 6 −6

B56 =

−27 9 −9 −18−18 54 18 520 −24 −12 −3245 −15 15 30

B57 =

−9 3 −3 −6−9 27 9 260 −24 −12 −3272 −96 −12 −48

B58 =

−16 4 −4 −8−16 64 16 63−64 16 −4 −8−256 4 12 −8

B59 =

−48 12 −12 −24−32 128 32 1260 −60 −20 −7180 −20 20 40

B60 =

−16 4 −4 −8−16 64 16 630 −60 −20 −71

128 −212 −28 −149

16 DATOS: Matrices 5 × 5 invertibles

B1 =

−65 5 11 −14 511 9 5 −15 0

−65 25 5 11 1415 −15 6 −4 4614 −14 6 −3 47

.

B2 =

−68 6 10 −16 68 10 12 −12 7

−72 26 8 10 120 −14 8 −2 44

−16 −12 8 2 46

.

B3 =

−73 7 9 −18 73 11 31 −7 26

−91 27 13 9 10−65 −13 10 2 42−146 −10 10 11 45

.

B4 =

−80 8 8 −20 8−4 12 68 0 63

−128 28 20 8 8−240 −12 12 8 40−496 −8 12 24 44

.

B5 =

−28 4 5 −11 45 7 4 −8 0

−28 19 4 5 78 −8 5 −3 257 −7 5 −2 26

.

B6 =

−31 5 4 −13 52 8 11 −5 7

−35 20 7 4 5−7 −7 7 −1 23−23 −5 7 3 25

.

B7 =

−36 6 3 −15 6−3 9 30 0 26−54 21 12 3 3−72 −6 9 3 21−153 −3 9 12 24

.

B8 =

−43 7 2 −17 7−10 10 67 7 63−91 22 19 2 1−247 −5 11 9 19−503 −1 11 25 23

.

B9 =

−9 3 1 −8 31 5 3 −3 0

−9 13 3 1 23 −3 4 −2 102 −2 4 −1 11

.


B10 =

−12 4 0 −10 4−2 6 10 0 7−16 14 6 0 0−12 −2 6 0 8−28 0 6 4 10

.

B11 =

−17 5 −1 −12 5−7 7 29 5 26−35 15 11 −1 −2−77 −1 8 4 6−158 2 8 13 9

.

B12 =

−24 6 −2 −14 6−14 8 66 12 63−72 16 18 −2 −4−252 0 10 10 4−508 4 10 26 8

.

B13 =

−2 2 −1 −5 2−1 3 2 0 0−2 7 2 −1 −10 0 3 −1 1

−1 1 3 0 2

.

B14 =

−5 3 −2 −7 3−4 4 9 3 7−9 8 5 −2 −3−15 1 5 1 −1−31 3 5 5 1

.

B15 =

−10 4 −3 −9 4−9 5 28 8 26−28 9 10 −3 −5−80 2 7 5 −3−161 5 7 14 0

.

B16 =

−17 5 −4 −11 5−16 6 65 15 63−65 10 17 −4 −7−255 3 9 11 −5−511 7 9 27 −1

.

B17 =

−1 1 −1 −2 1−1 1 1 1 0−1 1 1 −1 −2−1 1 2 0 −2−2 2 2 1 −1

.

B18 =

−4 2 −2 −4 2−4 2 8 4 7−8 2 4 −2 −4−16 2 4 2 −4−32 4 4 6 −2

.

B19 =

−9 3 −3 −6 3−9 3 27 9 26−27 3 9 −3 −6−81 3 6 6 −6−162 6 6 15 −3

.

B20 =

−16 4 −4 −8 4−16 4 64 16 63−64 4 16 −4 −8−256 4 8 12 −8−512 8 8 28 −4

.

dra. georgina pulido. dr. ricardo l´opez. lista no....

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