dr patiño

Transferencia de Calor en Ingeniera Qumica

Gaspar Patino Palacios

Indice general

1. Generalidades 11.1. La Transferencia de Calor y la Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Areas de aplicacion de la transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. La Transferencia de calor en la Ingeniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Modelando la transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. El software que existe en el mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Las Formas de la Transferencia del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Transferencia de calor por Conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1. Ley de Fourier de la conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7.2. Conductividad termica de varios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. Capacidad Calorfica (capacidad de almacenamiento) . . . . . . . . . . . . 151.7.4. Difusividad termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Transferencia de calor por Conveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9. Transferencia de calor por Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10. Analoga entre los Fenomenos de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Modelos matematicos en conduccion de calor. 212.1. Ecuacion diferencial de la conduccion del calor (Ecuacion de Difusion) . . . . . . 21

2.1.1. La Ecuacion de conduccion de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. Coordenadas cilndricas y esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3. Condiciones de frontera e inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Conduccion de calor unidireccional en estado estable 333.1. Conduccion en paredes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Distribucion de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2. Resistencia Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3. Paredes planas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Conduccion en sistemas cilndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1. Paredes cilindricas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Radio Crtico de Aislante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Conduccion en sistemas esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. Conduccion con generacion de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.1. La pared plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2. Sistemas Radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6. Superficies extendidas (aletas de enfriamiento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.1. Un analisis general de conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Conduccion de calor bidimensional en estado estable 57

iii

iv INDICE GENERAL

5. Conduccion de calor en estado transitorio 595.1. Solido semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6. Teora de la Capa Lmite Termica 616.1. Capa Lmite Termica en flujo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Coeficientes de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3. Analoga de Chilton-Colburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4. Espesor de las capas lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Transferencia de Calor por el mecanismo de Conveccion 637.1. Conveccion Forzada en tubos, sobre tubos y sobre bancos de tubos . . . . . . . . 637.2. Conveccion natural en placa plana y espacios cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 637.3. Transferencia de Calor con cambio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4. Transferencia de Calor por Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.5. Transferencia de calor en tanques agitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8. Intercambiadores de calor 678.1. Factor de incrustacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2. Transferencia de calor en tubos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3. Diferencia media logartmica de temperatura (DTML) . . . . . . . . . . . . . . . 678.4. Concepto de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.5. Flujo de fluidos compresibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.6. Temperatura calorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9. Intercambiadores de doble tubo 699.1. Evaluacion de intercambiadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.Cambiadores de carcasa y tubo 7110.1. Descripcion y partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.2. Plantillas de distrubucion y cuenta de tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.3. Tipos de intercambiadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.4. Metodo clasico de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.5. Cada de presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.6. Intercambiadores (1-2) que usan agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.7. Intercambiadores de carcasa y tubos tipo tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.8. Metodo Delawere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.9. Simulacion de intercambiadores de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.Evaporacion 7311.1. Descripcion del equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.2. Elevacion de la temperatura de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.3. Simple y multiple efecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.4. Simulacion de evaporadores de multiple efecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Prologo

Este texto tiene la intencion de ser usado en un primer curso de Transferencia de Calor paraestudiantes de Ingeniera. El texto cubre los principios basicos de transferencia de calor con unamplio rango de aplicaciones en ingeniera. Contiene el material necesario para dominar conbastante eficiencia los temas y el conocimiento que se debe tener en esta area.

Se espera que los estudiantes ya hayan cubierto una secuencia previa de cursos basicos decalculo, termodinamica, ecuaciones diferenciales y flujo de fluidos. Los conceptos relevantes deestos topicos se introducen y se revisan conforme sean necesarios para la mejor comprension decierto tema. El enfasis que se busca en este curso se apoya en la esencia fsica del problema,as como en sus argumentos para desarrollar una comprension intuitiva de la materia.

El texto cubre todos aquellos topicos estandar en transferencia de calor sin focalizar en losaspectos matematicos profundos que pudieran hacer perder del concepto fsico y la compren-sion intuitiva. La parte de matematicas pesadas o complicadas sera puesta en manos de losprocesadores de calculo a traves de programas de computo o en simuladores en transferencia decalor.

En la practica de la ingeniera, la comprension de mecanismos de transferencia de calor esimportante debido a que esta juega un papel crucial en el diseno de vehculos, plantas gener-adoras de energa, refrigeradores, componentes electronicos, edificios, puentes, entre otras cosas.Inclusive un chef necesita tener un conocimiento intuitivo del mecanismo de la transferencia decalor si tiene la intencion de cocinar sus alimentos en forma correcta. Parece tambien intuitivoel considerar que uno siempre usa los principios de transferencia de calor cuando se busca unconfort termico al aislar nuestros cuerpos usando chamarras contra el fro en invierno, o bien,minimizando la exposicion a la energa radiante del sol al colocarnos en sombras frescas duranteel verano. Aceleramos el enfriamiento de una sopa caliente al soplar sobre ella, o bien, tratamosde mantenerla caliente al cubrirla con nuestras manos cuando el clima es fro. Por tanto, yaestamos familiarizados con el uso de la transferencia de calor, nos hayamos dado cuenta de elloo no.

Este curso esta basado en el programa de estudios establecido en la Facultad de IngenieraQumica de la Universidad Autonoma de Yucatan. En el captulo 1 presenta las generalidadesrelacionadas con la transferencia de calor. Se hace una mencion precisa acerca de la diferenciaentre la Transferencia de Calor y la Termodinamica, ademas se toca de manera inicial el propositode modelar los problemas de aplicacion. Se describen los mecanismos de conduccion, convecciony radiacion. La ley de Fourier, las propiedades fsicas del medio donde se transmite el calor,tambien son estudiadas las propiedades fsicas que intervienen en los procesos de transferencia.El capitulo 2 se refiere al establecimiento y analisis de los balances de energa necesarios paraobtener los modelos matematicos que predicen el comportamiento de la transferencia de calor,ello incluye tambien los sistemas coordenados cilndrico y esferico. El captulo 3 da inicio alanalisis y estudio de la transferencia en estado estable y flujo de calor unidireccional. El captulo4 propone la consideracion de sistemas que estan sujetos al flujo de calor en dos direcciones

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vi PRLOGO

pero todava en estado estable. Dentro de este captulo, se pretende que el alumno de riendasuelta a sus potencialidades como programador y as resolver problemas constituidos por unanalisis de diferencias finitas, empleando para su solucion esquemas de metodos numericos. Elcaptulo 5 se vera la conduccion de calor en estado transitorio con una sola variable espacial.Esto pondra en evidencia el tipo de aplicaciones relacionadas con la resolucion matematica ynumerica que podra extrapolarse en casos tridimensionales. El captulo 6 nos presenta la teorade la capa lmite termica y se veran analogas con aquella capa lmite hidrodinamica, de hecho serecurrira al desarrollo matematico analogo proponiendo la utilizacion de numeros adimensionalessimilares. En el captulo 7 se abordara el mecanismo de transferencia por conveccion, ya sea libreo forzada, en tubos o a traves de un banco de tubos. El captulo 8 y el captulo 9 trataran losintercambiadores de calor, sus conceptos, parametros de eficiencia y su diseno. El captulo 10hara una revision de la descripcion, diseno y simulacion de un tipo de unidad clave como lo es uncambiador de carcasa y tubo. Finalmente el captulo 11 considerara el estudio de evaporadoresde efecto simple, doble y multiple.

Nuevamente reitero mi compromiso por aprovechar este curso y espero sinceramente que seade gran ayuda para una mejor comprension de un tema tan fascinante como la Transferencia deCalor.

Gaspar Patino Palacios.Septiembre 2006Facultad de Ingeniera QumicaUniversidad Autonoma de Yucatan.

Captulo 1

Generalidades

Vamos a empezar este captulo con una revision de los conceptos fundamentales de la ter-modinamica que forma el marco de estudio de la transferencia de calor. Primero se presentara larelacion del calor con otras formas de energa y se revisara tambien la primera ley de la ter-modinamica. En seguida se veran los tres mecanismos basicos de la transferencia de calor, queson conduccion, conveccion y radiacion, y se analizara la propiedad de conductividad termica.

Como ya sabemos, la Termodinamica estudia la cantidad de calor que se transfiere cuandoun sistema sigue un proceso de un estado de equilibrio a otro y no hace referencia a que tantotiempo el proceso se lleva a cabo. Pero en ingeniera a veces estamos interesados en la tasa ovelocidad con que el calor se transfiere, la cual es tema de la Transferencia de Calor y con ellocomenzaremos nuestro curso.

1.1. La Transferencia de Calor y la Termodinamica

Todo mundo sabemos por experiencia que una lata fra de refresco, al dejarse en unahabitacion, tiende a calentarse y ademas que si metemos una lata al tiempo a un refriger-ador, esta se enfra. Esto se lleva a cabo debido a la transferencia de energa desde un ambientecalido hacia uno fresco. La transferencia de energa siempre se efectua desde un medio a altatemperatura hacia otro a temperatura mas baja, y esta transferencia se detiene cuando los dosmedios alcanzan la misma temperatura.

De la termodinamica se recuerda que la energa existe en varias formas. En este curso estamosinteresados principalmente en el Calor, que es la forma de energa que puede ser transferidadesde un sistema a otro como resultado de la diferencia de temperatura. La ciencia que se ocupade la determinacion de las tasas o velocidades de tal energa transferida es la Transferenciade Calor.

En realidad, estamos mas interesados en la tasa de transferencia de calor (calor transferidopor unidad de tiempo) que en la cantidad transferida. Por ejemplo podemos determinar lacantidad de calor transferida en una botella de termo (ver Fig. 1.1) cuando se enfra el cafe desde90C hasta 80C con simplemente un analisis termodinamico. Pero un disenador y fabricantede termos basicamente esta interesado en saber cuanto tiempo tardara el cafe en llegar a los80C, y con un analisis termodinamico no se puede responder esta situacion.

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2 CAPITULO 1. GENERALIDADES

Figura 1.1: Normalmente estamos intere-sados en saber el tiempo en que tarda enenfriarse el cafe dentro del termo.

Figura 1.2: Flujo de calor en la direcciondel decremento de temperatura.

La determinacion de la velocidad con que el calor se transfiere de o hacia un sistema, as comoel tiempo de enfriamiento o calentamiento y tambien las variaciones de la temperatura, todo estema de la Transferencia de Calor.

La termodinamica se ocupa de los estados de equilibrio y los cambios de un estado deequilibrio a otro. Por otro lado, la transferencia de calor trata con sistemas que carecen de unequilibrio temico y por tanto es un fenomeno de no-equilibrio. Es por esta razon que el estudio dela transferencia de calor no debe estar basada solamente en los principios de la termodinamica.Sin embargo, las leyes de la termodinamica establecen el marco de trabajo para la transferenciade calor.

La primera ley requiere que la tasa de transferencia de energa hacia un sistema sea iguala la tasa de incremento de energa del sistema; ello nos dara la pauta para establecer nuestrosbalances de energa que eventualmente resultaran en las ecuaciones de transporte del calor. Lasegunda ley requiere que el calor sea transferido en la direccion en que la temperatura decrece(ver Fig. 1.2).

El principal requerimiento para que haya una transferencia de calor es la presencia de unadiferencia de temperatura. No puede haber una transferencia neta de calor entre dos medios quese encuentran a la misma temperatura. La diferencia de temperatura es la fuerza impulsora, taly como sucede con la diferencia de voltaje que es la fuerza impulsora para que fluya la corrienteelectrica, o la diferencia de presion que es la fuerza impulsora para que ocurra el flujo de unfluido en un ducto. La tasa o velocidad de la transferencia de calor en cierta direccion depende dela magnitud del gradiente de temperatura (la diferencia de temperatura por unidad de longitud,tambien conocida como tasa de cambio de temperatura). Es decir, mientras mas grande sea estegradiente, mayor sera la tasa de transferencia de calor.

La primera ley de la termodinamica es la relacion fundamental detras de cada analisis detransferencia de calor. Puede ser aplicada tanto para un sistema cerrado como para un volumende control abierto. El incremento total de energa o la acumulacion de esta es igual a la razonde cambio del calor Q recibido mas la rapidez con que el trabajo W es recibido:

dEdt =

dQdt +

dWdt (1.1)

Algunos autores definen como negativo el trabajo recibido por el sistema. Para la conduccionde calor en solidos, el termino de trabajo dW/dt se considera despreciable. Para la conveccion

1.2. AREAS DE APLICACION DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR 3

en fluidos, el trabajo hecho por las fuerzas de presion es importante, y los cambios en la energacinetica y potencial del fluido son normalmente pequenos en comparacion con la velocidad enque el calor es transferido, dQ/dt.

Para un flujo en estado estable a baja velocidad que pasa por un volumen de control, laprimera ley de la termodinamica toma la forma de una integral de superficie (del volumen decontrol, SC)

dQdt =

ZSC

ZivndA (1.2)

donde i = e+ p/, es la entalpa del fluido conformada por la energa interna e y la presion delfluido p; la densidad del fluido esta denotada por y vn es la velocidad del fluido normal a lasuperficie de control, tomada como positiva si el fluido sale y como negativa si el fluido entra. Enflujos de gases a alta velocidad, la energa cinetica del fluido y el trabajo de disipacion debido ala viscosidad debe tomarse muy en cuenta.

La ecuacion (1.1) y la ec. (1.2) son la base para casi todos los analisis hechos en este curso.Sin embargo, ambas ecuaciones tienen un defecto: ellas no proveen una informacion explcitaacerca de la tasa de calor transferido dQ/dt. Una de las tareas ahora sera proveer ecuacionesadicionales, ya sea en forma teorica o emprica para relacionar dQ/dt con parametros del sistematales como su geometra, propiedades del material, flujos y temperaturas ambientales.

1.2. Areas de aplicacion de la transferencia de calor

Los fenomenos de transferencia de calor juegan un rol importante en muchos problemasindustriales y ambientales. Por ejemplo, considere el area vital de produccion y conversion deenerga. No hay una simple aplicacion en esta area que no involucre los efectos de transferenciade calor en cierta manera. En la generacion de potencia electrica, ya sea por fision o fusionnuclear, en la combustion de materiales fosiles, en los procesos magneto-hidrodinamicos, o enel uso de fuentes de energa geotermica, hay numerosos problemas de transferencia de calorque pueden ser resueltos. Estos problemas involucran conduccion, conveccion y radiacion y serelacionan al diseno de sistemas como calentadores, condensadores y turbinas. A veces se tienela necesidad de maximizar las tasas de transferencia de calor y mantener la integridad de losmateriales en ambientes de alta temperatura. Tambien se tiene el problema de la contaminaciontermica que esta asociado con la descarga de grandes cantidades de desperdicios calorficos delas plantas de potencia hacia el medio ambiente. Numerosas consideraciones de transferencia decalor se relacionan al diseno de torres de enfriamiento para mitigar los problemas ambientalesasociados con la descarga.

A pequena escala, hay muchos problemas de transferencia de calor relacionados con eldesarrollo de sistemas de la conversion de energa solar para el calentamiento de espacios oel acondicionamiento del aire, as como para la produccion de energa electrica. Los procesosde transferencia de energa calorfica tambien afectan el desempeno de sistemas de propulsiontales como los motores de combustion interna y los propulsores de los cohetes. Problemas detransferencia de calor tambien surgen en el diseno de sistemas de calentamiento de agua, en eldiseno de incineradores y equipo de almacenamiento criogenico, en el enfriamiento de equipoelectronico, en el diseno de sistemas de refrigeracion y en muchos otros problemas industriales.Los procesos de transferencia de calor tambien son relevantes en la contaminacion de aire y aguae influencan enormemente el clima local y global.


Figura 1.3: Algunas areas de aplicacion de la Transferencia deCalor.

Tarea 1: Investigacion de aplicaciones de la transferencia de calor. Se discutiran en una sigu-iente clase.

Tarea 2: Investigacion acerca de la historia de como fue evolucionando la comprension de lanaturaleza del calor.

1.3. La Transferencia de calor en la Ingeniera

El equipo de transferencia de calor como los intercambadores de calor, los calentadores,condensadores, radiadores, hornos, refrigeradores y colectores solares fueron disenados en formaprimaria con las bases del analisis de la transferencia de calor. Los problemas de transferencia decalor encontrados en la practica se pueden clasificar en dos grupos: (1) La obtencion de la tasao velocidad de flujo de calor y (2) La obtencion de las dimensiones. El primer grupo se ocupade la determinacion de la tasa de transferencia de calor para un sistema dado a una diferenciade temperatura especfica. Los problemas de dimensionamiento tratan con la determinacion deltamano de un sistema que esta sujeto a cierta tasa de transferencia de calor para una diferenciade temperatura especfica.

Un proceso de transferencia de calor o un equipo puede ser estudiado ya sea en forma ex-perimental (probando y obteniendo datos) o en forma analtica (mediante analisis o calculos).El caso experimental tiene la ventaja de que se trabaja esencialmente con el sistema fsico y losresultados estan dentro de los lmites del error experimental. Sin embargo, es caro, se inviertemucho tiempo y en ocasiones es impractico. Ademas, el sistema que estamos analizando podrano existir. La tecnica analtica tiene la ventaja de que es rapida y barata pero los resultadosobtenidos estan sujetos a la exactitud de las suposiciones y las idealizaciones hechas durante elanalisis. En un esquema analtico de transferencia de calor, frecuentemente se alcanzan resul-tados satisfactorios al reducir a unas cuantas afectaciones fsicas significativas, verificando talesresultados va experimentacion y luego haciendo algunos ajustes finos.

1.4. MODELANDO LA TRANSFERENCIA DE CALOR 5

1.4. Modelando la transferencia de calor

La descripcion de la mayora de los problemas cientficos involucran ecuaciones que rela-cionan el cambio de algunas variables claves con respecto a otras. Normalmente la descripcionde problemas fsicos en transferencia desembocan en ecuaciones diferenciales que proveen unaformulacion matematica precisa para los principios fsicos y las leyes, representando las tasaso velocidades de cambio a traves de derivadas. Algo que debe ser de mucha tranquilidad paraaquellos que no son muy afectos a las ecuaciones ni las matematicas, es que afortunadamente lamayora de los problemas de transferencia de calor encontrados en la practica se pueden resolversin tener que enfrentar las ecuaciones diferenciales ni la complicaciones asociadas con ellas.

Al momento de seleccionar un equipo de transferencia de calor, es importante considerar lasactuales condiciones de operacion. Por ejemplo, cuando se compra un intercambiador de calorque trabajara con agua dura, debemos considerar que algunos depositos de calcio se formarana traves del tiempo causando una gradual disminucion en su desempeno. El intercambiadorde calor debe ser seleccionado tomando en cuenta estas condiciones en lugar de considerar lascondiciones como si estuviera nuevo.

Una solucion que no es consistente con la naturaleza observada del problema, indica que elmodelo matematico usado es demasiado crudo. En tal caso, un modelo que sea mas realista debeser perfeccionado al eliminar o reconsiderar una o algunas de las suposiciones cuestionables delas cuales esta compuesto. Esto resultara en problemas mas complejos que, desde luego, son masdifciles de resolver. Por tanto cualquier solucion a un problema debera ser interpretado bajo elcontexto de como el problema fue formulado.

1.5. El software que existe en el mercado.

Tal vez se pregunte por que debo estudiar los fundamentos de la transferencia de calor, enocasiones difciles? si despues de todo la mayor parte de los problemas que se encuentran en lapractica se pueden resolver mediante uno o varios paquetes de computo o software sofisticadodisponible en el mercado. Este software no solo nos dara los resultados numericos sino quetambien nos proporcionara tales resultados en forma grafica y coloreada cuya presentacion esbastante impresionante. La practica de la ingeniera no se ve realizable sin el uso de estospaquetes. Este tremendo poder computacional que dispone para nosotros el toque magico deun simple boton, tambien tiene algo de perjudicial. Ciertamente eso hace de los ingenieros unosresolvedores de problemas, de manera rapida y facil pero tambien abre las puertas al abuso y ala desinformacion. En manos de gente deficientemente educada en el ramo, este software es comouna arma peligrosa y poderosamente sofisticada en manos de soldados pobremente entrenados.

Si fuera cierto que los estudiantes de ingeniera no necesitan cursos fundamentales porquepracticamente todo puede ser resuelto en las computadoras en forma rapida y facil, entoncestambien sera cierto que quienes contratan a los ingenieros algun da no necesitaran pagar altossalarios a estos, puesto que cualquier persona que sepa usar hasta un procesador de palabraspodra usar uno de estos simuladores.

Debemos recordar que todos los paquetes computacionales disponibles hoy en da son so-lamente herramientas, y adquieren un significado especial solo en manos de sus maestros. Eltener el mejor procesador de palabras no hace a una persona un mejor escritor, pero es verdadque hace de su trabajo una forma mas simple y productiva. El uso de calculadoras no eliminala necesidad de ensenar a los ninos la adicion ni la sustraccion, ni los paquetes de ingenierareemplazaran los tradicionales cursos de ingeniera. Todo lo anterior causara simplemente uncambio en el enfasis con que se imparten los cursos. Es decir, que se empleara mas tiempo en


los salones de clase discutiendo los aspectos fsicos de los problemas, con mayor detalle y menostiempo en la mecanica o procedimiento de la solucion.

Tambien es innegable que actualmente las herramientas de programacion nos permiten hacernuestro propio sofware y en este tenor se tienen compiladores en lenguaje FORTRAN, VisualBasic o inclusive en C que pueden resolver calculos tan robustos como el programador lo desee.Empleando los modelos o la teora que acompana la transferencia de calor es posible realizar uncodigo en computadora que efectue una serie de tareas que resuelvan un caso especfico de unproblema de transferencia de calor o bien se pueda abordar el diseno de cierta unidad. Es claroque la profundidad con que se analicen todos los factores involucrados seran tomados en cuentamientras mas exactos sean los modelos inlcuidos en nuestro programa o simulador creado.

Existe en el mercado el software comercial que permite resolver ciertos casos de ingenierao cientficos con gran maestra. Desde luego que mientras mejor se dominen las diferentes ca-pacidades del software, mejor seran los resultados obtenidos y con mayor exactitud. Entre lospaquetes computacionales relacionados con la transferencia de calor se puede mencionar el deFLUENT que es un software principalmente dedicado a la solucion de flujo de fluidos basadoen la Dinamica de Fluidos Computacionales (CFD por sus siglas en ingles) pero tambien puedeabordar con excepcional desempeno la transferencia de calor. El motor de calculo de este simu-lador se basa en la tecnica numerica de discretizacion por medio del volumen finito o volumen decontrol. Otro simulador es CFX de ANSYS que esencialmente efectua lo mismo que el anteriorpero el esquema de discretizacion son los elementos finitos a diferencia de los volumenes finitos.Un paquete que esta a un nivel academico es el llamado MULTIPHYSICS de CMSOL anterior-mente llamado FEMLAB. Este paquete comercial tiene el principal atributo de estar basado enel lenguaje de su precursor MATLAB y por tanto mantiene el ambiente academico-estudiantilpara la exploracion de problemas cientficos y de ingeniera (ver Fig. 1.4).

Figura 1.4: Algunos simuladores comerciales y sus aplicaciones en diversas areas de latransferencia de calor.

1.6. LAS FORMAS DE LA TRANSFERENCIA DEL CALOR 7

1.6. Las Formas de la Transferencia del Calor

De cuantas maneras se puede transferir el calor? como ya probablemente lo hemos constata-do por experiencia, hay tres maneras de la transferencia de calor: por conduccion, por convecciony por radiacion. La conduccion y la radiacion son mecanismos fsicos fundamentales, mientrasque la conveccion es realmente una conduccion de calor afectada por el flujo de un fluido.

La Conduccion es el intercambio de energa mediante el contacto directo entre las moleculasde una sustancia que contienen diferencias de temperatura. Este mecanismo de transferenciaocurre en gases, lquidos o solidos y tiene un fuerte fundamento en la teora cinetica molecular.

La Conveccion puede ser descrita como la conduccion de calor en un fluido que ha sidomagnificada por el movimiento de este. Mas de tres cuartos de todas las publicaciones cientficasde transferencia de calor tienen que ver con la conveccion. Esto se debe a que la conveccion esun topico de gran importancia siendo enormemente influenciada por la geometra, la turbulenciay las propiedades del fluido.

La Radiacion es la transferencia de energa termica en la forma de ondas electromagneticasemitidas por agitacion atomica y subatomica en la superficie del cuerpo. Como toda energaelectromagnetica (la luz, los rayos X, las micro-ondas), la radiacion termica viaja a la velocidadde la luz, pasando facilmente a traves del vaco o inclusive por un gas transparente como eloxgeno o el nitrogeno. Los lquidos que hacen las veces de gas como el bioxido de carbono o elvapor de agua y los vidrios transmiten solo una parte de la radiacion incidente. La mayora delos solidos son esencialmente opacos a la radiacion. El analisis de la radiacion termica tiene susbases en la fsica, comenzando con el trabajo de Maxwell y Planck.

A continuacion abordaremos cada uno de estos mecanismos de transferencia, haciendo unanalisis inicial de su modelacion, las ecuaciones fundamentales que rigen su comportamiento y delos parametros fsicos que intervienen. En los captulos posteriores se ahondara en su aplicacionpractica y se incluiran factores de mayor influencia en sus analisis.

1.7. Transferencia de calor por Conduccion

La conduccion transfiere la energa calorfica desde una region caliente hacia una fra enuna sustancia debido a la interaccion molecular. En fluidos, el intercambio de energa es princi-palmente por impacto directo. En los solidos, el principal mecanismo es relativo a la vibracionen capas, reforzada en el caso de los metales por el paso de los electrones libres a traves deestas capas. Por lo tanto los buenos conductores de electricidad suelen ser tambien buenos con-ductores del calor. Ambas interacciones, la molecular y la de los electrones libres, estan bienfundamentadas en la teora de la fsica atomica.

Como ingenieros, estamos interesados en conocer a nivel macroscopico la cantidad de calorque es transferido por conduccion. Como podemos expresar una ley usando variables macroscopi-cas como la temperatura? El siguiente ejemplo puede ayudarnos en el analisis y ademas nosdara una introduccion a la ley de Fourier de la conduccion.

1.7.1. Ley de Fourier de la conduccion

Consideremos la pared de una casa recubierta con aislamiento. Que afecta la perdida de calordesde el cuarto caliente hacia el lado fro? Primero, sabemos que mientras mas fro se encuentreel exterior, habra una mayor perdida de calor. Mientras mas grande sea la casa, mayor sera laperdida de calor. Pero mientras mayor sea el espesor de la pared, menor sera la perdida de calor:esto nos advierte que al doblar el espesor del aislante, la perdida de calor se reduce a la mitad.


Entonces podemos deducir tres efectos caractersticos en la conduccion de calor y as podemosescribir una expresion:

La conduccion de calor (area de la pared)(Diferencia de temperatura)(Espesor de la pares)

(1.3)

La constante de proporcionalidad es una propiedad del material (en este caso el aislante).Estas deducciones fueron hechas por un matematico y fsico frances, Joseph Fourier; y fueron

publicadas en 1822. Fourier escribio la ecuacion (1.3) en una forma lmite matematica; suponien-do que la temperatura T vara solo en la direccion x, y denotando el Flujo de calor Qx como(Calor transferido por unidad de tiempo):

Qx =dQdt (1.4)

Qx = kAxdTdx Flujo de calor (

Js =Watts) (1.5)

o tambien definiendo el Flux de calor como (Calor por unidad de tiempo por unidad de area):

qx =QxAx

= kdTdx Flux de calor (W/m2) (1.6)

Esta es la Ley de Fourier de la conduccion de calor; es valida para solidos, lquidos y gases.El coeficiente k es una propiedad del material llamada Conductividad Termica. La cantidad Axrepresenta el area normal a la direccion x por la cual atraviesa el flujo de calor. El concepto deFlux de calor tambien suele ser referida como una Densidad de Flujo de calor, al igual que el Fluxde Momentum se define en ocasiones como la Densidad de Flujo de Cantidad de Movimiento(Bird, et al., 1968).

Si la temperatura vara en todas las direcciones T (x, y, z) entonces la ley de Fourier seconvierte en una relacion vectorial involucrando las tres direcciones (haciendo notar que la letraen negritas o en estilo Bold representa un vector):

q = qxi+ qyj+ qzk = kTx i+

Ty j+

Tz k

(1.7)

oq = kT (1.8)

Si suponemos que el material es isotropico, entonces su conductividad k no vara con la direccion.Hay que notar que el signo menos en las ecuaciones (1.6) a (1.8) esta dictado por la segunda

ley de la termodinamica para asegurar que el flujo de calor es positivo en la direccion en que latemperatura decrece.

La conductividad k es una propiedad termodinamica y vara con la temperatura, la presiony la composicion de la sustancia.

El operador en diferentes sistemas coordenados

Si denotamos los vectores unitarios por e, es decir ex = i, ey = j, ez = k, entonces en unsistema coordenado cartesiano tendremos que el operador es

= xex +yey +

zez (1.9)

1.7. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION 9

En coordenadas cilndricas se tiene que

= rer +1

re +

zez (1.10)

En coordenadas esfericas

= rer +1

re +

1

r sene (1.11)

Las definiciones de en diferentes sistemas coordenados servira para determinar el flux de calorq bajo ciertas condiciones direccionales de transporte.

Consideremos un ejemplo sencillo de conduccion de calor en estado estable a traves de unapared plana como en la Fig. (1.6). Consideremos el volumen de control que rodea la pared. Yaque no hay entalpa que sea proporcionada por un fluido a traves de las fronteras, la ecuacion(1.2) predice que dQ/dt = 0 o que Qx que entra por el lado izquierdo, es igual a Qx que sale porel lado derecho. El area Ax es constante y para una pequena diferencia de tempereatura (2C),k sera constante. Con Qx, Ax y k constantes, la ec. (1.5) predice que dT/dx es constante. Porlo tanto, para todos los materiales T (x) es una lnea recta que conecta las temperaturas en lasfronteras de 21C y 19C.

Ejemplo 1.1 La pared de un horno industrial (ver Fig. 1.5) esta construido con ladrillorefractario de 0.15 m de espesor y tiene una conductividad termica de 1.7 W/m K.Durante la operacion en estado estable se hacen mediciones en las superficies internay externa, siendo 1400 y 1150 K respectivamente. Cual es la rapidez de perdida decalor a traves de la pared si tiene 0.5m de alto y 3m de largo?

Solucion: En este problema se considera que es un estado estable, la conduccionse lleva a cabo en una sola direccion (atravesando la pared) y las propiedades delmaterial se consideran constantes.Dado que la transferencia de calor a traves de la pared es por conduccion, el flux decalor puede determinarse a partir de la ley de Fourier. Usando la ecuacion (1.6) ydado que en condiciones de estado estable donde la distribucion es lineal, el gradientede temperatura es T/x

qx = kdTdx = k

Tx = 1,7

1150 14000,15 0

= 2833W/m2 Resp.

El Flux de calor representa la velocidad de transferencia de calor a traves de unaseccion unitaria de area. Por lo tanto la perdida de calor en la pared o el flujo decalor sera

Qx = (Axqx) = (0,5 3,0) (2833) = 4250W Resp.

Es importante notar la direccion con que el calor esta fluyendo y tambien es impor-tante hacer una distincion entre el Flux de calor y el Flujo de calor. Algunos autoressuelen denominar al Flux como la Densidad de flujo, por lo que tambien se referira alflux de calor como la densidad de flujo de calor.


Figura 1.5: Transferencia de calor a travesde la pared de un horno industrial.

Figura 1.6: Transferencia de calor a travesde una placa de hierro.

Ejemplo 1.2 Una placa de hierro tiene 40cm de ancho, 70cm de alto y 1cm de espesorcomo se muestra en la Fig. (1.6). Encuentre una expresion analtica que describa ladistribucion de temperatura dentro de la placa y calcule la transferencia total decalor Qx.Solucion: En estado estable, el flujo de calor a traves de la pared representa el pasode energa por el volumen de control y la cantidad que entra es igual a la cantidadde calor que sale (desde luego que en este ejemplo no hemos puesto la consideracionde una generacion o consumo de calor dentro de la pared), por lo tanto podemosdecir que el flujo de calor Qx es es constante. Consecuentemente el flux de calor qxtambien es constante puesto que el area disponible para la transferencia es la misma(no olvidar que el flux involucra el area de transferencia, revisar unidades). De la ec.(1.6)

qx = kdTdx = constante = C1

El signo negativo de C1 asegura que el flux sea positivo. Separando variables e inte-grando esta ecuacion se tiene Z

dT = C1k

Zdx (1.12)

Tomando en cuenta que hay una correspondencia de la temperatura y la posicionen las condiciones de frontera, podemos usarlas como lmites de integracion en ec.(1.12) Z T2

T1dT = C1k

Z x2x1

dx

resolviendo encontramos que la constante C1 es

C1 = kT2 T1x2 x1


Retomando la ec. (1.12), podemos determinar la distribucion de temperatura, argu-mentando que uno de los lmites de integracion corresponde cualquier temperaturaT para cualquier posicion x. Se puede conservar la condicion de frontera en x1 comoel otro lmite de la integral. Resolviendo tenemos:Z T

T1dT = C1k

Z xx1dx

T T1 =C1k (x x1)

sustituyendo el valor de C1

T T1 =T2 T1x2 x1

(x x1)

T =T2 T1x2 x1

(x x1) + T1 Resp. (1.13)

Diferenciando y sustituyendo en la ley de Fourier

qx =QxAx

= kdTdx = kT2 T1x2 x1

(1.14)

en una tabla de propiedades podemos encontrar que la conductividad termica parael hierro a 20C es de k = 81 W/(m K). El flujo total de calor es entonces

Qx = 81

Wm K

(0,4m)(0,7m)

19C 21C0,01m

= 4540 W Resp.

Notar que segun establece la distribucion de temperatura de la ec. (1.13), T (x) estotalmente independiente de la conductividad del material y por lo tanto es la mismaforma para cualquier material.

Ejemplo 1.3 Una tubera de acero que tiene un diametro interno de 0.742 in y unapared de espesor 0.154in se encuentra a una temperatura interna de 200F y unaexterna de 160F (Fig. 1.7). Encuentre el flujo de calor por pie de longitud de tuberay ademas el flux de calor en la pared interna, as como el flux en la pared externa dela tubera. La conductividad termica del acero es 24,8 Btu/h ft F.Solucion: Dado que este es un problema sujeto a conduccion en la direccion radial,la forma apropiada de ley de Fourier es

Qr = kArdTdr (1.15)

indicando con el subndice r la direccion en la que fluye el calor. El area por dondeatraviesa el calor se puede escribir como el producto del permetro por la longitud,Ar = (2r)L = (D)L, y por tanto la ecuacion (1.15) es

Qr = k(2rL)dTdr (1.16)

La primera ley de la termodinamica aplicada a este problema se reduce a la formadQ/dt = 0 lo que indica que la rapidez de transferencia de calor que entra en el


Figura 1.7: Conduccion de calor en la direccion radial con temper-aturas superficiales uniformes.

volumen de control es igual a la que sale. Por lo tanto se puede concluir que el flujode calor, Qr es constante, es decir que el flujo de calor que atraviesa por la paredinterna, Qri es igual al flujo de calor que sale por la pared extena, Qre; entoncesseparando variables de la ec. (1.16) y resolviendo:

QrZ reri

drr = 2kL

Z TeTi

dT = 2kLZ TiTe

dT

Qr lnreri

= 2kL(Ti Te)

Qr =2kL

ln (re/ri)(Ti Te) (1.17)

El diametro externo de la tubera se determina como De = 0,742+ 2(0,154) = 1,050in. Calculando el flujo de calor por longitud de tuberia lo hacemos al sustituir losvalores numericos:

Qr/L =2(24,8 Btu/h ft F )

ln (1,050/0,742) (200 160)F

Qr/L = 17 950 Btu/h ft (17 250W/m) Resp. (1.18)Considerando L = 1 ft para calcular las areas de transferencia:

Ai = 0,74212

ft(1ft) = 0,194 ft2 (0,059m2)

Ae = 1,05012

ft(1ft) = 0,275 ft2 (0,0838m2)

dando

qri =QrAi

=17950

0,194 = 92 500 Btu/h ft2 (292 000W/m2) (1.19)

qre =QrAe

=17950

0,275 = 65 300 Btu/h ft2 (206 000W/m2) (1.20)

Es importante notar que este ejemplo claramente establece la diferencia entre unflujo de calor y un flux de calor. Mientras que el flujo de calor es constante a traves


de todo el espesor de la pared, el flux tiene valores diferentes en la pared interna y enla pared externa. Esto ultimo se debe a que el flux depende del area de transferencia;el efecto produce un menor flux a medida que el area aumenta, es decir el area exte-rior es mayor, por tanto se reflejara un menor flux (comparar las ecs. (1.19) y (1.20)).

PROBLEMAS:

1. (??) Una pared de concreto, tiene una area superficial de 20 m2 y 0.30 m de espesor. Ellasirve para separar un cuarto caliente del aire fro del medio ambiente. La temperatura de lasuperficie interior de la pared es de 25C, mientras que la superficie exterior esta a -15C.La conductividad termica del concreto es de 1 W/m K. Cual es la perdida de calor atraves de la pared? Resp. 133,3W/m2; 2667W

2. (??) El flux de calor a traves de una losa de madera de 50 mm de espesor, cuyas temper-aturas interior y exterior son 40C y 20C respectivamente, es de 40 W/m2. Cual es laconductividad termica de la madera?

3. (??) La temperatura interna y externa de una ventana de vidrio de 5 mm de espesor son15C y 5C respectivamente. Cual es la perdida de calor a traves de la ventana, cuyasdimensiones son 1m por 3m? La conductividad termica del vidrio es de 1.4W/m K. Resp.8400W

4. (??) Un compartimento frigorfico consiste en una cabidad cubica de 2 m por cada lado.Suponiendo que el fondo esta perfectamente aislado. Cual es el mnimo espesor del aislante(k = 0,030 W/m K) que se debe aplicar a la tapa y a las paredes para asegurar que laperdida de calor sea menor a 500 W , cuando las superficies interiores y exteriores son 10y 35C?

5. (??) Cual debe ser el espesor requerido de un muro que tiene una k = 0,75W/m K si latasa de calor es 80% de la tasa que se registra a traves de un muro compuesto que tieneuna k = 0,25 W/m K y un espesor de 100 mm? Ambos muros estan sujetos a la mismadiferencia de temperaturas superficiales. Resp. 375mm

6. (??) Un chip cuadrado de silicon (k = 150 W/m K) tiene 5 mm por lado y un espesorde 1 mm. El chip esta montado en un sustrato de tal forma que sus lados y el fondo estanaislados, mientras que la tapa esta expuesta a un fluido enfriador (Fig. 1.8). Si 4 W sedisipan en los circuitos montados en la superficie del fondo del chip, Cual es la diferenciade temperaturas en estado estable entre las superficies de la tapa y el fondo?

Figura 1.8: Problema 6


1.7.2. Conductividad termica de varios materiales.

Las diferencias de flujo de calor en una pared plana son originadas por las diferentes con-ductividades, k. A 20C el cobre (k = 3,98 W/cmK) tiene diez mil veces mayor conductividadque la lana (k = 4 104 W/cmK). Para una sustancia homogenea como el cobre, k es unapropiedad de transporte que vara con la temperatura y la presion. La lana por otro lado, es unamezcla heterogenea de fibras y espacios con aire. Para lo propositos de ingeniera necesitamos suconductividad aparente k, la cual vara con la temperatura, la densidad (fraccion de huecos)y la presion parcial de los espacios del aire.

Las Figs. 1.9 y 1.10 muestra la conductividad termica de varias sustancias heterogeneas.Existe una diferencia de cinco ordenes de magnitud entre los mas altos (los diamantes) y losmas bajos (los gases densos). La mayora de los metales tienen valores altos de k debido a quepermiten la transferencia de energa mediante el paso libre de los electrones. Por lo tanto existeuna buena correlacion entre la conductividad termica y la conduccion electrica de los materiales.Los gases con baja densidad y poca colision molecular, tienen muy baja conductividad. Lateora cinetica de gases predice que k es inversamente proporcional a la raz cuadrada del pesomolecular, as el helio (PM=4.003) tiene una conductividad mayor que el argon (PM=39.944).

Figura 1.9: Conductividad termica de var-ios materiales a bajas presiones.

Figura 1.10: Conductividad termica devarios materiales en funcion de la temper-atura.

1.8. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION 15

1.7.3. Capacidad Calorfica (capacidad de almacenamiento)

Complementando el concepto de la conductividad termica de un material se tiene la capaci-dad calorfica o capacidad de almacenamiento de calor, es decir la cantidad de energa que estematerial absorbe por unidad de volumen por cada grado que aumenta en su temperatura. Ya quela mayora de las aplicaciones de transferencia de calor involucran libre expansion del material,el calor especfico apropiado es el valor a presion constante, cp. La capacidad calorfica es portanto definida como cp con unidades de J/(cm3 K) o Btu/(ft3 F ).

Una sustancia cuyo volumen especfico (o densidad) no cambia con la temperatura o la pre-sion se le conoce como una sustancia incompresible. Los volumenes especficos de los lquidos ylos solidos permanecen practicamente constantes durante un proceso y por tanto se pueden con-siderar como sustancias incompresibles. Los calores especficos a presion y volumen constante sonidenticos para las sustancias incompresibles. Entonces para solidos y lquidos se puede simplificarla notacion con subndice Cvy Cp y simplemente escribir C. Es decir Cv = Cp = C.

Las sustancias con alta densidad generalmente tienen bajas capacidades calorficas, es porello que la mayora de los solidos y los lquidos tienen capacidades calorficas similares. El niquely el hierro muestran una alta capacidad a altas temperaturas y el agua es un buen medio dealmacenamiento. Los gases tienen una capacidad pobre de almacenamiento debido a sus bajasdensidades.

1.7.4. Difusividad termica

En virtud que la conductividad expresa la rapidez del flujo de calor internamente en unasustancia y la capacidad termica denota su habilidad para almacenar esta energa recibida, seha encontrado que su relacion es una medida de la velocidad de cambio de la temperatura delmaterial. Las sustancias con alta conductividad y baja capacidad raccionaran rapidamente a lascondiciones externas cambiantes. Esta importante relacion es llamada la difusividad termica, :

= kcp(1.21)

Las unidades de energa y temperatura se cancelan y las unidades que quedan para la difusividadtermica son cm2/s o ft2/s. Aqu se completa nuestra triada de propiedades de transferencia decalor; las sustancias que raccionan mas rapido son metales altamente conductivos y la mayora delos gases, los cuales tienen muy baja capacidad calorfica. Los lquidos (aun los metales lquidos),los materiales refractarios tales como el oxido de aluminio y la mayora de los materiales aislantestienen baja difusividad. La difusividad es la propiedad mas importante que afecta la conduccionde calor en estado transitorio, como se vera mas adelante en el capitulo 5.

1.8. Transferencia de calor por Conveccion

Para que exista una transferencia de calor por conveccion se requiere un fluido como unlquido, un gas o una mezcla. Ademas el fluido debe estar en movimiento. Este mecanismo detransferencia involucra el intercambio de energa entre una superficie y fluido adyacente pero sereconoce que tambien pueden existir casos de transferencia involucrando solo a fluidos, tal comola descarga a chorro de un fluido caliente en un recipiente fro. La mayora de los problemastratan con una superficie caliente (o fra) que cede (o recibe) calor hacia (o desde) el fluido.

Se distinguen dos mecanismos de conveccion: La Forzada y la Libre. En la conveccion forzada(Fig. ??), un fluido se hace pasar sobre la superficie de un cuerpo solido y este movimiento es


originado por un agente externo como un ventilador o una bomba. En la conveccion libre onatural (Fig. ??) el fluido que esta cerca a las fronteras del cuerpo solido, circula o se mueve demanera libre debido a la diferencia de densidad originada por la variacion de temperatura entrela superficie solida y el seno del fluido.

El flujo de calor transferido desde el solido es usualmente mayor para la conveccion forzada yse incrementa con la magnitud de la velocidad del fluido. Si la corriente es relativamente menor,por ejemplo un pequeno ventilador (Fig. ??), los efectos de corriente forzada y movimiento librepudieran ser comparables o significativos. Esto es lo que se llama conveccion mezclada y el flujode calor por covenccion sera intermedio o moderado en magnitud.

El mecanismo de conveccion ocurre en la capa lmite cerca de la superficie solida, (Fig.??) para la conveccion forzada. A medida que la velocidad de la corriente del fluido U seincrementa, la capa lmite de velocidad y la capa lmite termica se vuelven mas pequenas,entonces la pendiente de la velocidad y la temperatura del fluido se incrementan.

La ecuacion de cambio para la transferencia convectiva de calor fue expresada por primeravez por Newton en 1701 y por ello se le refiere como la ecuacion de cambio de Newton o bienla Ley de Newton de enfriamiento. Esta ecuacion establece que el flux en la interfase de unasuperficie solida con un fluido es

q = QA = h (Ts T) (1.22)

Donde Ts es la temperatura de la superficie solida y T es la temperatura en el seno del fluido.Nuevamente se retoma que A es el area de transferencia o bien el area normal a la direcciondel flujo de calor. h es el coeficiente convectivo de transferencia de calor dado en W/(m2 K)o Btu/(h ft2 F ). La ec. (1.22) no es una ley sino una definicion del coeficiente h. Una parteimportante en este curso tratara sobre la determinacion de este coeficiente que en general esfuncion del sistema geometrico, propiedades del flujo y del fluido y la magnitud de T.

Aun cuando un fluido se encuentra en regimen turbulento y que pasa por una superficiesolida, existe una capa, algunas veces extremadamente delgada, cerca de la superficie donde elflujo es laminar; tambien las partcuas cercanas a la frontera solida se encuantran en reposo.Dado que esto es siempre cierto, el mecanismo de transferencia de calor entre la superficie delsolido y un fluido debe ser por conduccion a traves la capa de fluido cercana a la superficie. Estapelcula del fluido frecuentemente presenta una resistencia a la transferencia por conveccion yel coeficiente h se refiere por ello al Coeficiente de pelcula.

Dos tipos de transferencia de calor que difieren en alguna manera de la conveccion libre oforzada pero que tambien son tratados cuantitativamente por la ec. (1.22) son los fenomenosde ebullicion y condensacion. Los coeficientes de pelcula asociados con estas dos clases detransferencia son muy altos. La tabla (??) representa algunos ordenes de magnitud de los valoresde h para diferentes mecanismos convectivos.

1.9. Transferencia de calor por Radiacion

La transferencia de calor por radiacion difiere de la conduccion y la conveccion en que nose necesita un medio para su propagacion, de hecho la transferencia de energa por radiacon esmaxima cuando dos superficies que intercambian energa estan separados por un vaco perfecto.El mecanismo exacto de la transferencia de energa radiante no esta completamente comprendida.Hay evidencia que apoya dos argumentos: la ondular y la corpuscular. Toda superficie opacaemite una radiacion termica y absorbe o refleja la radiacion incidente. Una superficie perfectao cuerpo negro emite a una rapidez maxima y absorbe toda la radiacion incidente. El termino

1.10. ANALOGIA ENTRE LOS FENOMENOS DE TRANSPORTE 17

cuerpo negro se deriva del hecho de que una superficie negra absorbe toda la radiacion incidenteen el espectro visible y por tanto no refleja colores que puedan ser vistos por el ojo humano.

Sin embargo, un hecho importante es que el proceso relativamente complejo de esta trasferen-cia puede ser descrito mediante una expresion analtica y razonablemente simple. Experimentoshechos por J. Stefan en 1879 y una teora dada por L. Boltzmann en 1884 muestran que unasuperficie negra emite energa radiante a una tasa que es proporcional a la cuarta potencia dela temperatura absoluta en la superficie. La velocidad de emision de energa en un cuerpo negroesta dado por:

q = QA = T4 (1.23)

aqu tenemos que T es la temperatura absoluta, en K o R; y es la constante de Stefan-Boltzmann, la cual vale = 5,676108W/(m2 K4) o 0,1714108Btu/(h ft2 R4). El fluxde calor emitido por una superficie real es menor que la del cuerpo negro y esta dada por

q = T 4 (1.24)

donde es una propiedad de la superficie llamada emisividad y vara entre 0 1. Estapropiedad indica que tan eficiente es la superficie para emitir comparada con un radiador ideal.Si una radiacion esta incidiendo sobre una superficie, una porcion de ella sera absorbida y lavelocidad con que la energa se absorbe por unidad de superficie puede ser evaluada a partir deuna propiedad de la superficie denominada absortividad a. Es decir,

qabsorbida = aqincidente (1.25)

donde 0 a 1. Mientras que la emision reduce la energa termica del cuerpo, la absorcion laincrementa. Las ecs. (1.24) y (1.25) determinan la tasa a la cual la energa radiante es emitiday absorbida, respectivamente en la superficie.

1.10. Analoga entre los Fenomenos de Transporte

La ley de Fourier que relaciona el flujo de calor con el gradiente de temperatura, tienesemejanza con la relacion de gradiente que ocurre con la transferencia de masa:

JAx = DABddx (A) (1.26)

o en forma vectorial

JA = DAB (A) (1.27)

Esta es la ley de Fick de la difusion de masa. La cantidad DAB es llamada Coeficiente molecularde difusion, el cual vara con la temperatura, la presion y la composicion.

Notar que las ecuaciones (1.8) y (1.27) son matematicamente identicas. Entonces hay unafuerte analoga entre la transferencia de masa y la transferencia de calor. Tanto la teora comola experimentacion de estos dos campos son frecuentemente intercambiables.

Recordemos tambien de la mecanica de fluidos que una ley similar, la de Newton de laviscosidad, relaciona el esfuerzo cortante de la viscosidad con el gradiente de velocidad en unflujo de cizalla u (x), donde u es la componente en x de la velocidad:

= dudy (1.28)


recordemos que es el coeficiente de viscosidad del fluido. Esta es una forma similar a la leyde Fourier, ec. (1.6) y a la ley de Fick, ec (1.26), as que al menos para flujos de cizalla simple,existe una analoga entre el transporte de momentum, de calor y masa.

Pero esta analoga es en realidad muy pequena. Por un lado, las unidades de las ecuaciones(1.6) y (1.26) no son las mismas. Ademas, la densidad de flujo de calor, q, es un vector (tres com-ponentes qx, qy, qz), mientras que los esfuerzos viscosos conforman un tensor (nueve componentesxx, xy, xz, yx, yy, yz, zx, zy, zz). Independientemente de su significado, es un hecho queesta analoga no coincide para casos multidimensionales. De hecho falla; en condiciones de tresdimensiones, las ecuaciones (1.6) y (1.28) toman las siguientes formas generales:

qy = kTy (1.29)

xy = dudy +

dvdx

(1.30)

La ley del esfuerzo cortante ha incluido un gradiente extra que destruye la similaridad matematica.Por lo tanto se debe tomar esta analoga como algo muy fragil y considerar que esta semejanzatiene lugar generalmente en una direccion. A pesar de esto, algunos problemas de flujo viscosoen estado transitorio, son matematicamente identicos a problemas transitorios de conduccion decalor. Inclusive la viscosidad cinematica

= (1.31)

tiene las mismas unidades que la difusividad termica, (ec. 1.21) cm2/s, y tambien denota elmismo significado: la habilidad de un fluido a responder a los cambios bajo condiciones deesfuerzos. La relacion de estos dos,

Pr = =

Cpk (1.32)

es un importante parametro adimensional de los fluidos llamado Numero de Prandtl, el cualtiene un fuerte efecto en problemas de transferencia de calor por conveccion.

De una manera similar, la relacion de la viscosidad cinematica y la difusividad de masa,

Sc =

DAB(1.33)

es un importante parametro llamado el Numero de Schmidt y tiene una fuerte influencia en latransferencia de masa por efectos convectivos.

PREGUNTAS (??):

1. Cual es la diferencia entre la transferencia de calor y la termodinamica?

2. Cuales son las leyes que gobiernan el analisis de la transferencia de calor?

3. Defina los tres mecanismos de transferencia de calor.

4. Proporcione 6 ejemplos de industrias en las cuasles la transferencia de calor es muy im-portante

5. Cual es la ley de Fourier?

6. Cual propiedad de un material determina, (a) la cantidad de energa que este puedealmacenar por unidad de volumen, (b) el calor que este puede conducir bajo condicionesde estado estable, y (c) la tasa a la cual este reacciona a las condiciones transitorias de latemperatura?

1.10. ANALOGIA ENTRE LOS FENOMENOS DE TRANSPORTE 19

7. Describa la conveccion forzada y la conveccion libre.

8. Cual es la ley de Newton del enfriamiento?

Captulo 2

Modelos matematicos en conduccionde calor.

Como primera parte de este curso desarrollaremos la ecuacion diferencial de conduccion decalor en forma general y posteriormente la aplicaremos en forma particular para describir eltransporte del calor en estado estable y en una direccion. Por el caracter matematico que in-volucra el desarrollo de la ecuacion diferencial, esta parte del curso correponde al establecimientode los modelos matematicos en Transferencia de Calor que se seguiran empleando en los demascaptulos por lo que es recomendable poner un especial enfasis al aprendizaje de este primermaterial.

El desarrollo de la ecuacion diferencial de la conduccion de calor parte de un analisis a unvolumen de control similar al de la ecuacion de continuidad, en virtud de que la conservacionde la energa es una cantidad escalar (deferenciandose as del transporte de momentum por seruna cantidad vectorial). Sin embargo, como existen diversos mecanismos en que la energa estransferida, la ecuacion tiene varias formas diferentes.

2.1. Ecuacion diferencial de la conduccion del calor

El principal objetivo en un analisis de conduccion es determinar la distribucion de temper-atura en un medio como resultado de las condiciones de frontera impuestas. Tal distribucionrepresenta la variacion de la temperatura en diferentes posiciones del medio. Una vez que ladistribucion se conoce, el flux de calor en cualquier punto del medio o en sus superficies se puedecalcular a partir de la ley de Fourier. Otras importantes cantidades de interes tambien se puedendeterminar. Para un solido, el conocimiento de la distribucion de la temperatura puede ser usadapara establecer la integridad estructural a traves de los esfuerzos expansiones y deflecciones. Ladistribucion de la temperatura puede ayudar para optimizar el espesor de un material aislante.

Para encontrar esta distribucion de temperatura es necesario apoyarnos en la ecuacion difer-encial del transporte de calor por conduccion, la cual se obtiene si comenzamos a definir unvolumen de control diferencial, posteriormente identificamos los procesos de transferencia deenerga que son relevantes y finalmente introducimos las apropiadas ecuaciones de cambio.

2.1.1. La Ecuacion de conduccion de calor

La ecuacion diferencial basica de conduccion de calor es una combinacion de la primera leyde la termodinamica y la ley de Fourier, aplicadas a un pequeno elemento finito de volumen,como el presentado en la Figura 2.1

21

22 CAPITULO 2. MODELOS MATEMATICOS EN CONDUCCION DE CALOR.

Figura 2.1: Componentes del flux de calor en las 6 caras de unelemento solido cartesiano.

Para tal elemento, la primera ley, en ausencia de trabajo, establece que,

Incremento deenerga del elemento

=Velocidad deentrada de calor

Velocidad desalida de calor| {z }

Calor neto por conduccion

+El calor generadodentro del elemento

(2.1)

Examinando los terminos de las entradas y salidas del flux de calor en la Figura 2.1 vemos queel calor neto por conduccion es

Calorneto por unidad de tiempo = (qx)entrayz (qx)saleyz + (qy)entraxz (qy)salexz + (qz)entraxy (qz)salexy

(2.2)

Calorneto por unidad de tiempo =qx|x qx|x+x

yz +

qy|y qy|y+y

xz

+qz|z qz|z+z

xy (2.3)

Hay que notar que se acepto que la conductividad es isotropica. Los restantes terminos delbalance (2.1) son:

Calor generado por unidad de tiempo = bqxyz (2.4)donde bq = Q/(tV ), es la velocidad de generacion de calor por unidad de volumen.

Cuando la energa del elemento de incrementa, se traduce en un correspondiente aumentode la energa interna termica denotado por Ut ; si el proceso se lleva a cabo a un volumenconstante, se hace intervenir la capacidad calorfica a volumen constante

Incremento de Energa por unidad de tiempo =Ut = mcv

Tt

= (xyz) cvTt (2.5)

Finalmente, sustituyendo las ecs. (2.3), (2.4) y (2.5) en el balance (2.1) obtenemos:

(xyz) cvTt =

qx|x qx|x+x

yz +

qy|y qy|y+y

xz

+qz|z qz|z+z

xy + bqxyz (2.6)

2.1. ECUACION DIFERENCIAL DE LA CONDUCCION DEL CALOR 23

Dividiendo la ecuacion (2.6) entre el volumen del elemento (xyz) y sacando el lmite cuandox 0, y 0 y z 0, se tiene lo siguiente:

cvTt =

qxx

qyy

qzz + bq (2.7)

El signo negativo en el valor de las derivadas espaciales obedece a que la definicion de la derivadaque surge de la ecuacion (2.6) es negativo. Arreglando la ecuacion (2.7) tenemos

Tt = ( q) +

bqcv

(2.8)

Donde = k/ (cv) es la difusividad termica del material. Si en la ecuacion (2.7) sustituimos laley de Fourier de la conduccion (ec. (1.7)), queda

cvTt =

x

kTx

+

y

kTy

+

z

kTz

+ bq (2.9)

o tambien

cvTt = (kT ) + bq (2.10)

Esta ec. (2.9) es la ecuacion diferencial de conduccion de calor para un solido isotropicohomogeneo. Ella debe ser resuelta para encontrar la distribucion de temperatura T (x, y, z, t)de acuerdo a las condiciones de frontera comentadas posteriormente en la seccion (2.1.3). Laspropiedades fsicas , cv y k , podran ser funcion de la temperatura. Recordar que en el caso desolidos cv ' cp. La generacion de calor bq se considera como una funcion conocida del espacio ydel tiempo, y posiblemente de la temperatura.

Para valores constantes de , cv y k , la ec. (2.9) adopta la siguiente forma:

Tt =

2Tx2 +

2Ty2 +

2Tz2

+

bqcv

(2.11)

o tambienTt =

2T + bqcv (2.12)Si no existe una produccion o consumo de calor, la ec. (2.12) se reduce a la ecuacion de

Fourier:Tt =

2T (2.13)

la cual es referida en ocasiones como la segunda ley de Fourier de la conduccion.

Para un sistema que tiene una produccion o consumo pero que no presenta variacion en eltiempo, la ec. (2.12) se reduce a la ecuacion de Poisson:

2T + bqcv = 0 (2.14)Para el caso donde no hay una fuente de calor y ademas se encuentra en estado estable, ladistrubucion de temperatura satisface la ecuacion de Laplace:

2T = 0 (2.15)


2.1.2. Coordenadas cilndricas y esfericas

La ecuacion (2.9) es un forma cartesiana de la ecuacion de conduccion de calor. Muchosproblemas de conduccion podran ser mejor tratados en coordenadas cilndricas o esfericas. Portal razon, aqu se dan dos formas alternativas de la ecuacion de conduccion.

Las coordenadas cilndricas se obtienen mediante la transformacion (ver Figura 2.2)

Figura 2.2: Esquema grafico de coorde-nadas cilndricas.

Figura 2.3: Esquema grafico de coorde-nadas esfericas.

x = r cos ; y = rsen; z = z (2.16)

Cuando estas transformaciones se sustituyen en la ec. (2.9) se obtiene (despues de algunos pasosalgebraicos), la ecuacion de conduccion de calor en coordenadas cilndricas

cvTt =

1

rr

rkTr

+1

r2

kT

+

z

kTz

+ bq (2.17)

Las coordenadas esfericas se definen por un radio r, y dos angulos y , de acuerdo a la siguientetransformacion (ver Figura 2.3)

x = rsen cos; y = rsensen; z = r cos (2.18)

La ecuacion (2.9) se transforma en (despues de algunos pasos algebraicos), la ecuacion deconduccion de calor en coordenadas esfericas

cvTt =

1

r2r

r2kTr

+

1

r2sen

ksenT

+

1

r2sen2

kT

+ bq (2.19)

Una forma directa de obtener las ecuaciones de transporte en coordenadas cilndricas o esfericases mediante el empleo del correspondiente operador nabla, , a partir de las definiciones (1.10)y (1.11) en la ec. (2.10)

2.1.3. Condiciones de frontera e inicial.

La ecuacion diferencial de transporte de calor por conduccion (2.9), siendo de segundo ordenen el espacio y de primer orden en el tiempo, requiere de dos condiciones de frontera por cadadireccion y una condicion inicial para tener una solucion.


Si el problema depende del tiempo, T = T (x, y, z, t), se debe especificar un campo de tem-peratura en todo el dominio como condicion inicial en algun tiempo en particular, es decir

En el tiempo t = to, la temperatura es T = To(x, y, z) (2.20)

El caso mas comun es comenzar en una temperatura uniforme, T = To en todo el dominio delproblema a un tiempo inicial t = 0.

Ya sea que un problema dependa del tiempo o no, las condiciones de frontera se debenespecificar. Las cuatro condiciones de frontera mas comunes se describen a continuacion, donden es la coordenada normal-saliente de la frontera y el subndice b establece un punto en lafrontera. En los casos 2 a 4 la temperatura en la frontera Tb no se conoce hasta que la soluciones encontrada.

1. Una temperatura constante en la frontera (condicion de Dirichlet):

Tb = To = conocida (2.21)

2. Aislamiento en la pared:Tn

b= 0 (2.22)

3. Un flux de calor constante en la pared:

kbTn

b= qo = conocido (2.23)

4. Condiciones convectivas del medio circunvecino establecidas (T, h)

kbTn

b= h(Tb T) (2.24)

donde h del caso 4 es el coeficiente de pelcula o coeficiente de transferencia convectiva del fluidoque esta en contacto con la pared. Este coeficiente de pelcula ha sido previamente comentadoen la seccion 1.8. La T se refiere a la temperatura en el seno del fluido, normalmente tomadaen un punto muy alejado de la superficie que esta a Tb.

Ejemplo 2.1 Escribir la apropiada ecuacion diferencial y las condiciones de fronterapara el transporte de calor en estado estable y en dos dimensiones del cuerpo de laFig. (??). La conductividad es constante.

Solucion: Debido al estado estable T/t = 0, y por la consideracion de transporteen dos dimensiones, T/z = 0. Entonces, suponemos que T = T (x, y). No existegeneracion de calor por lo que la ecuacion (2.11)

Tt =

2Tx2 +

2Ty2 +

2Tz2

+

bqcv

se reduce a2Tx2 +

2Ty2 = 0 (p2.1-1)

Esta es la ecuacion de Laplace en el plano x y. Las condiciones de frontera involu-cradas en este problema son las siguientes:


(a) Una distribucion lineal y conocida de la temperatura en la frontera superior:

T (x,H) = To (1 x/L) (p2.1-2)

(b) Aislamiento en la pared izquierda:

Tx

x=0

= 0 (p2.1-3)

(c) Aislamiento en el fondo:Ty

y=0

= 0 (p2.1-4)

(d) Conveccion conocida del medio que rodea a la pared derecha:kTx

x=L

= h (T (L, y) T) (p2.1-5)

Tanto la ecuacion diferencial (p2.1-1) como las condiciones de frontera (p2.1-2) a(p2.1-5) son lineales. Este problema esta completo y por lo tanto puede ser resueltopor metodos ya sean analticos o numericos.

Ejemplo 2.2 La distribucion de temperatura a traves de una pared de 1 m de espesora cierto instante esta dada por T = a + bx + cx2. Donde T esta en grados Celsiusy x en m, mientras que a = 900C, b = 300C/m y c = 50C/m2. Se tieneuna generacion uniforme de calor de bq = 1000W/m3 y el area de transferencia de lapared es de 10m2. Las propiedades son = 1600kg/m3, k = 40W/m K y cp(' cv) =4kJ/kg K. Determine: (a) el flujo de calor entrando a la pared y el flujo de calorque abandona la pared; (b) la velocidad con que la energa calorfica se almacena enla pared; (c) la velocidad con que la temperatura cambia en x = 0, 0.25 y 0.5mSolucion: A pesar de que el problema no lo establece, debemos hacer la supocisionde que el flujo de calor es unidimensional en la direccion x.(a) Cuando la distribucion de temperatura es conocida, es simple determinar el flujode calor en cualquier punto de la pared o en sus superficies mediante la ley de Fourier.Por lo tanto:

Qentra = Qx(0) = kATx

x=0

= kA(b+ 2cx) (p2.2-1)

ahora se sustituyen valores y ademas hay que tomar en cuenta que en la entradax = 0

Qentra = bkA = (300C/m) (40W/m K)10m2

Qentra = 120kW Resp. (p2.2-2)

de la misma manera

Qsale = Qx(L) = kATx

x=L

= kA(b+ 2cx) (p2.2-3)


se sustituyen valores y pero ahora a la salida x = L

Qsale = kA(b+ 2cL)Qsale = (40W/m K)

10m2

300C/m+ 2

50C/m2

(1m)

Qsale = 160kW Resp. (p2.2-4)

(b) La velocidad con que la energa calorfica se almacena en la pared, Qalmac se puededeterminar al aplicar un balance global de energa en la pared. Para un volumen decontrol,

Qalmac = Qentra Qsale + bqALQalmac = 120kW 160kW +

1000W/m3

10m2

(1m)

Qalmac = 30kW Resp. (p2.2-5)

al ser negativo el almacenamiento, se revela que en realidad el calor se esta perdiendode manera constante en 30kW o bien en 30 kJ/s.(c) La velocidad con que la temperatura cambia en cualquier punto de la pared sepuede determinar con la ecuacion diferencial de conduccion de calor (2.11)

Tt =

kcp

2Tx2

+

bqcp

(p2.2-6)

como la distribucion de temperatura ya es conocida, se tiene que el termino 2T/x2es

2Tx2 = 2c = 2

50C/m2

= 100C/m2 (p2.2-7)

puesto que esta derivada es independiente de la posicion en el medio, entonces elcambio de la temperatura en el tiempo tambien es independiente de la posicion. Alsustituir valores y la ec. (p2.2-7) en la ec. (p2.2-6) se tiene

Tt =

40W/m K(1600kg/m3) (4kJ/kg K)

100C/m2

+

1000W/m3(1600kg/m3) (4kJ/kg K)

Tt = 4,69 10

4C/s Resp. (p2.2-8)

De este resultado se puede ver que la temperatura disminuye con el tiempo en cadapunto dentro de la pared.

PROBLEMAS

1. Considere la conduccion de calor axisimetrico en estado estable y unidireccional de la Fig.2.4 Suponiendo propiedades constantes y sin generacion de calor, dibuje la distribucion detemperatura en coordenadas T x. Explique la forma de la curva resultante.

2. Una tubera de agua caliente con un radio externo r1 tiene una temperatura T1. Unacapa de aislante aplicada para reducir las perdidas de calor tiene un radio externo r2 yuna temperatura T2. Dibuje en coordenadas T r la distribucion de temperatura en elaislante para una transferencia de calor en estado estable, unidireccional y con propiedadesconstantes. Proporcione una explicacion, justificando la forma de la curva resultante.


Figura 2.4: Problema 1.

3. Una esfera hueca con radio interno r1 y radio externo r2 tiene temperaturas superficialesrespectivas de T1y T2, donde T1 > T2. Dibuje la distribucion de temperatura en coor-denadas T r suponiendo una transferencia de calor en estado estable, unidireccional ycon propiedades constantes. Proporcione una explicacion, justificando la forma de la curvaresultante.

4. Suponga la conduccion de calor en estado estable y unidireccional a traves de la formasimetrica mostrada (ver Fig. 2.5). Suponiendo que no hay generacion interna de calor,derive una expresion para la conductividad termica k(x) para estas condiciones: A(x) =(1 x) ; T (x) = 300

1 2x x3

y Q = 6000W donde A esta dada en m2, T en grados

K y x en metros. Resp. k = 20/(1 x)

2 + 3x2

5. Un cono truncado sirve como soporte para un sistema que mantiene la tapa superior a una

temperatura T1, mientras que la base del cono esta a una temperatura T2, (T2 < T1) comose indica en la figura 2.6. La conductividad termica del solido depende de la temperaturade acuerdo a la relacion k = koaT , donde a es una constante positiva y los lados del conoestan aislados. Al aumentar x como se comportan las siguientes cantidades (aumentan,disminuyen o permanecen inalterables): qx, Qx, k y dT/dx?

Figura 2.5: Problema 4. Figura 2.6: Problema 5.

6. Para determinar el efecto de la temperatura en la conductividad y en la distribucion detemperatura en un solido, considere un material para el cual se tiene que k = ko + aT ,donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo.Dibuje la distribucion en estado estable asociada con la transferencia de calor en una paredplana para los siguientes casos: a > 0, a = 0 y a < 0.

7. La conduccion de calor unidimensional, en estado estable sin generacion se presenta enel sistema siguiente (Fig. 2.7). La conductividad termica es 25 W/mK y espesor L es de


0.5 m. Determine las cantidades faltantes para cada caso en la tabla que se presenta acontinuacion y dibuje la distribucion de temperatura, indicando la direccion del flux decalor:

CASO T1 T2 dT/dx (K/m) qxW/m2

1 400 K 300 K2 100C -2503 80C +2004 -5C 40005 30C -3000

Figura 2.7: Problema 7. Figura 2.8: Problema 8.

8. Considere una conduccion unidimensional en estado estable para una pared plana quetiene una conducticidad k = 50 W/mK y un espesor L = 0,25 m, sin generacion internade calor, (Fig. 2.8). Determine el flux de calor y las cantidades faltantes para cada caso enla tabla que se presenta a continuacion y dibuje la distribucion de temperatura, indicandola direccion del flux calor:

CASO T1 (C) T2 (C) dT/dx (K/m)1 50 -20

2 -30 -10

3 70 160

4 40 -80

5 30 200

9. Considere una pared plana de 100mm de espesor con una conductividad termica de 100W/mK. Las condiciones en estado estable son T1 = 400K y T2 = 600K. Determine el fluxde calor, qx y el gradiente de temperatura dT/dx para el sistema coordenado mostrado.(Fig. 2.9). Resp. (a) -200kW/m2, (b) +200kW/m2, (c) -200kW/m2

10. Un cilindro de radio ro, de longitud L, conductividad termica k esta inmerso en un fluidocon coeficiente convectivo h y una temperatura del medio T desconocida. A cierto instantela distribucion de temperatura en el cilindro es T (r) = a+br2, donde a y b son constantes.Obtenga expresiones para el flujo de calor a ro y la temperatura del fluido. Resp. qr =4kLbr2o; T = a+ bro (ro + 2k/h)

11. Secciones de ductos en Alaska corren por encima del suelo y son soportados por columnasde acero (k = 25W/mK) las cuales tienen 1m de altura y un area transversal de 0.005m2.



Bajo condiciones normales de operacion, la temperatura vara a lo largo de una columna yesta dada por la forma T = 100 150x+10x2, donde T y x estan en unidades de C y mrespectivamente. Las variaciones de la temperatura en el area transversal es despreciable.Determine la temperatura y el flujo de calor por conduccion en la junta columna-ducto(x = 0) y en la interfase columna-suelo (x = 1m). Explique la diferencia entre los flujosde calor.

12. Dada la conduccion en estado estable con k constante en todo el dominio (ver Fig. 2.10),escriba la apropiada ecuacion diferencial y las condiciones frontera.

13. Una esfera de radio Ro se encuentra a temperatura Ti cuando repentinamente la superficieexterior se somete a condiciones de conveccion (h, T). Establezca la apropiada ecuaciondiferencial y sus condiciones de frontera e inicial para este caso. Dibuje y comente acercade la distribucion de temperatura final en el equilibrio, si la hay.

14. Para el semi-cilindro de la figura 2.11 y los parametros mostrados, escriba la apropiadaecuacion diferencial y las condiciones de frontera para la conduccion en estado estable.

Figura 2.10: Problema 12.Figura 2.11: Problema 14.

15. Empleando un cascaron esferico como volumen de control entre r y r + dr, deducir laecuacion diferencial de conduccion radial en estado transitorio para una esfera a partir deun balance de calor, incluyendo generacion. Compare el resultado con el caso respectivode la ecuacion (2.19).


16. Un cilindro solido de radio ro esta inicialmente a una temperatura Ti, con ambas tapas(z = 0, L) aisladas. La conductividad es constante y no hay generacion. La superficieexterior se somete repentinamente a efectos convectivos (h, T). Establezca la apropiadaecuacion diferencial de transporte de calor junto con sus condiciones de frontera e inicial.Cual sera la distribucion de temperatura final al equilibrio?

17. La losa de espesorH en la Fig. 2.12 esta a temperatura Ti cuando repentinamente se aplicancondiciones de calentamiento electrico y de conveccion. Establezca la apropiada ecuaciondiferencial y sus condiciones de frontera e inicial. Dibuje la distribucion de temperaturapara un corto, mediano y largo tiempo. Cual es la T (0) y T (H) despues de un largotiempo?


18. Una losa de 10cm de espesor tiene una conductividad de 22W/mK, una densidad de 4500kg/m3 y un calor especfico de 510 J/kg K. Tiene tambien una distribucion temperaturainstantanea de T = 5002500x+6000x2, con T en K y x en m, siendo x = 0 la superficieizquierda. Cuanta energa esta siendo recibida instantaneamente por la losa en W/m2?,cual es la velocidad de cambio de la temperatura en el centro de la losa en K/s?

19. La Fig. 2.13 muestra tres distribuciones de temperatura en una losa de conductividadconstante y sin generacion de calor. Determine cual representa calentamiento, enfriamientoo estado estable y explique sus conclusiones.

Figura 2.13: Problema 19.Figura 2.14: Problema 22.

20. La ecuacion de Fourier en coordenadas cilndricas es

Tt =

2Tr2 +

1

rTr +

1

r22T2

+2Tz2

(2.25)


(a) Que terminos deben ser despreciados para reducirla al caso de una transferencia radialy en estado estable?; (b) Dadas las condiciones de frontera: T = Ti en r = ri y T = To enr = ro; resuelva la ecuacion resultante de (a) para encontrar el perfil de temperatura. (c)Genere una expresion para el flujo de calor Qr, usando el resultado de la parte (b). Resp.(b) T = Ti (Ti To) [ln (r/ri) / ln (ro/ri)]

21. Efectue las mismas operaciones de los incisos (a), (b) y (c) del problema 20 con respectoa un sistema esferico. Resp. (b) T = Ti (Ti To) [(1/r 1/ri) / (1/ro 1/ri)]

22. Comenzando con la ecuacion de Fourier en coordenadas cilndricas (ver ec. 2.25), (a)reduzca esta ecuacion a una forma aplicable para la transferencia en estado estable en ladireccion . (b) Para las condiciones de la Fig. 2.14, es decir, T = To en = 0; T = Ten = , y las superficies radiales aisladas, encuentre la distribucion de temperatura. (c)Genere una expresion para el flujo de calor Q, usando el resultado de la parte (b). Resp.(c) Q = kL ln (ro/ri) (To T) /

23. Resuelva la ecuacion de Poisson (ec. 2.14) para encontrar la distribucion de temperaturaen una pared plana si la generacion interna de calor es bq = bqoex/L. Las condiciones defrontera son T = To en x = 0 y T = TL en x = L.

24. Resuelva el problema 23 con las mismas caractersticas, excepto que la condicion de fronteraen x = L es dT/dx = 0.

25. Resuelva el problema 23 con las mismas caractersticas, excepto que la condicion de fronteraen x = L es dT/dx = (una constante). Resp. TTo = xbqoL2 ex/L + xe/L / 2k

26. En un instante dado de tiempo, la distribucion temperatura dentro de un cuerpo ho-mogeneo esta dado por la siguiente funcion T = x2 2y2 + z2 xy + 2yz. Suponiendopropiedades constantes y sin generacion de calor, determine las regiones donde la temper-atura cambia con el tiempo.

27. Una generacion interna de calor de bq1 = 5 107W/m3 se da en una barra cilndrica decombustible en un ractor nuclear. La barra tiene 50 mm de diametro y bajo condicionesde estado estable, la distribucion de temperatura tiene la forma T = a + br2, donde Testa dada en C y r en metros, mientras que a = 800C y b = 4,167 105C/m2. Laspropiedades de la barra son k = 30W/mK, = 1100kg/m3 y cp = 800J/kgK. (a) Cuales la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud en la barra a r = 0 (el ejecentral) y ro = 25mm (la superficie)?, (b) Si el nivel de potencia del reactor se incrementarepentinamente a bq2 = 108W/m3, cual es el tiempo inicial del cambio de temperatura enr = 0 y r = 25mm? Resp. Qr(ro) =0.980105W/m; (b) T/t = 56,82K/s

28. La distribucion de temperatura en estado estable, unidireccional en una pared de con-ductividad k = 50W/mK y espesor 50mm se observa que es T (C) = a + bx2, dondea = 200C, b = 2000C/m2, y x en metros. (a) Cual es la generacion de calor bq enla pared? (b) Determine los fluxes de calor en las dos caras de la pared; en que maneraestan relacionadas estos fluxes a la generacion de calor?

29. La distribucion de temperatura a traves de un muro de 0.3m de espesor a cierto instantees T (C) = 200 200x+ 30x2, donde x esta dada en metros. La conductividad del muroes 1 W/mK. (a) Tomado como base una unidad de superficie, determine el flujo de calorde entrada y salida y la velocidad de cambio de energa almacenada en el muro. (b) Si la


superficie fra esta expuesta a un fluido a 100C, cual es el coeficiente de conveccion h?Resp. qx=L = 182W/m2; h = 4,3W/m2K

30. La distribucion de temperatura unidireccional en una pared con conductividad k y espesorL, es de la forma T = ax3 + bx2 + cx + d. Derive las expresiones para la generacion decalor en la pared y los fluxes en las dos caras de la pared (x = 0, L).

31. El sistema cilndrico ilustrado tiene una variacion de temperatura despreciable en las di-recciones r y z. Suponga que r = ro ri es pequeno comparado con ri y considere lalongitud del cilindro L como normal a la pagina. (a) Comenzando con un apropiado volu-men de control y considerando generacion de energa y efectos de almacenamiento, derivela ecuacion diferencial que describe la variacion de temperatura con la coordenada angular.(b) Para condiciones de estado estable sin generacion de calor y propiedades constantes,determine la distribucion de temperatura T () en terminos de las constantes T1, T2, ri yro. La distribucion es lineal con respecto a ? (c) Para las condiciones de la parte (b),escriba la expresion para el flujo de calor Q? Resp. T = T2 + (T1 T2) /


32. Una tubera de vapor tiene una capa de aislante con radio interno ri y externo ro. Enun instante particular, la distribucion de temperatura en el aislante es conocida y tienela forma T (r) = C1 ln(r/ro) + C2. Las condiciones son en estado estable o transitorio?,como vara el flujo de calor y el flux con el radio?

Captulo 3

Conduccion unidireccional en estadoestable

Existen muchas aplicaciones de transferencia de calor que involucran conduccion en estadoestable a traves de paredes que son planas, cilndricas o esfericas, con las temperaturas superfi-ciales conocidas. Estas tres geometras son casos especiales de la ecuacion general de conduccionde calor (2.9).

En este captulo estudiaremos situaciones para las cuales el calor es transferido por difusionbajo condiciones de estado estable y en una direccion. El termino unidireccional se refiere alhecho de que solo se necesita una coordenada para describir la variacion espacial. Por lo tantoen un sistema unidireccional o unidimensional los gradientes de temperatura existen a lo largode una sola direccion y el calor se transfiere exclusivamente en esa direccion. El sistema secaracteriza por un estado estable si la temperatura en cada punto del dominio es independientedel tiempo. A pesar de que los modelos en estado estable y unidireccionales en apariencia sonsimples, se pueden usar para representar con mucha exactitud numerosos sistemas de ingeniera.

Empezaremos nuestro estudio suponiendo que no hay generacion interna de calor en lossistemas considerados. El objetivo es determinar expresiones matematicas (modelos) que de-scriban la distribucion de temperatura y el flujo de calor en geometras comunes. El conceptode resistencia termica (analoga a la resistencia electrica) se introduce como una ayuda para re-solver problemas de transferencia de calor. El efecto de la generacion interna en la distribucionde la temperatura y el flujo de calor tambien sera considerado en la seccion 3.5. Finalmente elanalisis de la conduccion se usa para describir el desempeno de superficies extendidas o aletasde enfriamiento, donde el papel de la conveccion en la frontera externa debe ser considerada(Seccion 3.6).

3.1. Conduccion en paredes planas

Para la conduccion unidireccional en una pared plana, la temperatura es funcion solamentede la coordenada en x y el calor se transfiere exclusivamente en esa direccion. En la Fig. 3.1 (a),una pared plana separa dos fluidos de diferentes temperaturas. El calor se transfiere por mediosconvectivos desde el fluido caliente a T,1 hacia una superficie de la pared a Ts,1, posteriormenteel calor fluye por conduccion a traves de la pared y finalmente continua transfiriendose porconveccion desde la otra cara de la pared a Ts,2 hacia el fluido fro a T,2.

Empezaremos considerando las condiciones dentro de la pared. Primero determinaremos ladistribucion de temperatura y a partir de all podremos obtener el flujo de calor.

35

36 CAPITULO 3. CONDUCCION UNIDIRECCIONAL EN ESTADO ESTABLE

Figura 3.1: Transferencia de Calor a traves de una pared plana:(a) Distribucion de temperatura; (b) Circuito Termico equivalente.

3.1.1. Distribucion de Temperatura

La distribucion de temperatura en la pared se puede determinar resolviendo la ecuacion decalor con las apropiadas condiciones de frontera. Para un estado estable sin generacion de calor,la forma de la ecuacion de calor (2.9) se reduce a

ddx

kdTdx

= 0 (3.1)

el argumento sugiere que k dTdx debe ser una constante lo que quiere decir que e

dr patiño

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