dr. pálfalvi lászló
DESCRIPTION
Fizikai mennyiségek mérése harmónikus mozgásegyenlet alapján. Dr. Pálfalvi László. PTE-TTK Fizikai Intézet PTE, Kísérleti Fizika Tanszék. 1. Tehetetlenségi nyomaték mérése torziós lengések alapján torziós szál nélkül. Pálfalvi L.: Fiz. Szemle 2003/4 143-145. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 11
Dr. Dr. Pálfalvi LászlóPálfalvi László
PTE-TTK Fizikai IntézetPTE-TTK Fizikai IntézetPTE, Kísérleti Fizika TanszékPTE, Kísérleti Fizika Tanszék
Fizikai mennyiségek mérése Fizikai mennyiségek mérése harmónikus mozgásegyenlet harmónikus mozgásegyenlet
alapjánalapján
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 22
1. Tehetetlenségi nyomaték 1. Tehetetlenségi nyomaték mérése torziós lengések alapján mérése torziós lengések alapján torziós szál nélkül.torziós szál nélkül.
Pálfalvi L.: Fiz. Szemle 2003/4 143-145Pálfalvi L.: Fiz. Szemle 2003/4 143-145
2. Gázok adiabatikus kitevőjének 2. Gázok adiabatikus kitevőjének ((кк) mérése dugattyú harmónikus ) mérése dugattyú harmónikus rezgőmozgása alapján.rezgőmozgása alapján.
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 33
A harmónikus mozgásegyenlet:A harmónikus mozgásegyenlet:
qq 2
A megoldás:A megoldás:)sin()( 0 tqtq
Pl.: rugóra akasztott test, matematikai-, Pl.: rugóra akasztott test, matematikai-, fizikai-, torziós inga, fahasáb vízben, fizikai-, torziós inga, fahasáb vízben,
Föld átfúrva alagúttal, változó súrlódási Föld átfúrva alagúttal, változó súrlódási együttható, rendszerek kis rezgéseiegyüttható, rendszerek kis rezgései
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 44
1. Tehetetlenségi nyomaték 1. Tehetetlenségi nyomaték mérésemérése
Hengerszimmetrikus testek (tömör, Hengerszimmetrikus testek (tömör, üreges henger pl. befőttes üveg)üreges henger pl. befőttes üveg)
Ismert dinamikai módszerek: Ismert dinamikai módszerek: egyenletesen gyorsuló forgás, torziós egyenletesen gyorsuló forgás, torziós lengések (torziós szál, torziós rugó) lengések (torziós szál, torziós rugó)
*
2D
T
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 55
CélkitűzésekCélkitűzések A tehetetlenségi nyomaték meghatározása A tehetetlenségi nyomaték meghatározása
szolgáló módszer kidolgozásaszolgáló módszer kidolgozása
Tömör és üreges hengerek tehetetlenségi Tömör és üreges hengerek tehetetlenségi nyomatékának mérésenyomatékának mérése
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 66
L
2R
1. ábra
LR
Kis csavarodás esetén:Kis csavarodás esetén:
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 77
Ha eltekintünk a függőleges irányú mozgástól:Ha eltekintünk a függőleges irányú mozgástól:
A forgómozgás alapegyenlete:A forgómozgás alapegyenlete:
0cos2 mgK
RK sin2
A mozgásegyenlet A mozgásegyenlet származtatása elemi útonszármaztatása elemi úton
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 88
A tehetetlenségi nyomaték:
A kis kitérések miatt a következő közelítések engedhetők meg:
1cos sin
2kmR
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 99
Ezeket felhasználva a következő mozgásegyenlethez jutunk:
A periodikus mozgás körfrekvenciája:
kLg
kLg
2
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1010
Azt felhasználva, hogy:
A tehetetlenségi nyomaték kifejezésében szereplő állandóra a következő adódik:
2
T
LgTk 2
2
4
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1111
A mozgásegyenlet meghatározása A mozgásegyenlet meghatározása energetikai megfontolások alapján energetikai megfontolások alapján
A A HH magasságú henger tömegközéppontjának függőleges z magasságú henger tömegközéppontjának függőleges z kootdinátája a felfüggesztéstől mérve:kootdinátája a felfüggesztéstől mérve:
222)
21(
2cos 2
22 HLLRHLHLz
A henger potenciális energiája:
mgzzU )(
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1212
A kinetikus energia a TKP z irányú transzlációjából és a rotációból tevődik össze:
22
21
21),( zmzK
A zárt rendszer teljes E=K+U energiája mozgásállandó, azaz:
0dtdE
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1313
Az energia kifejezhető egyetlen koordináta és annak időderiváltja segítségével:
221
221
21),( 2
22
222 HLmg
LRmg
LRmRE
Az energia megmaradását figyelembevéve a koordinátára a következő mozgásegyenletet kapjuk:
mgLR
LRmR
222
2
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1414
Melynek megoldása:
)sin()( 0 ttahol
LLRmR
mgR
2
2
22
2
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1515
felhasználva, hogy
T 2
valamint2kmR
2
2
2
24
LR
LgTk
adódik.
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1616
Az adott testhez célszerű a fonalhosszat úgy megválasztani, hogy R<<L (pl. R/L < 0,1) fennáljon, ekkor a k-ra vonatkozó összefüggés második tagja elhanyagolható vagyis T2 és L között a
LgkT
22 4
kapcsolat áll fent.
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1717
A méréshez használt henger A méréshez használt henger
Befőttes üvegBefőttes üveg
Szabályos tömör hengerSzabályos tömör henger
Üreges hengerÜreges henger
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1818
kk meghatározása meghatározásaEgy henger tehetetlenségi nyomatéka nem más, mint a R sugarú a r sugarú hengernek a tehetetlenségi nyomatékának a különbsége
22 *21*
21 rmRM
ahol M* és m* a R és r sugarú képzeletbeli tömör hengerek tömegei: M*= R2H, m* = r2H
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 1919
Innen Innen kk állandóra adódik: állandóra adódik:
21
lim0
k
r
2
4
2 )/(1)/(1
21
*)*( RrRr
RmMk
1lim k
Rr
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2020
k értékének meghatározása üres henger esetén:
0,0 0,2 0,4 0,60,0
0,5
1,0
1,5
2,0
= 0.928 mR2
hengerpalást
T2 (s2 )
L (m)
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2121
k értékének meghatározása tömör henger esetén:
0,0 0,2 0,4 0,60,0
0,4
0,8
1,2
= 0.494 mR2
tömör henger
T2 (s2 )
L (m)
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2222
Henger tehetetlenségi nyomatékaHenger tehetetlenségi nyomatéka
1) Üreges henger esetén:
2) Tömör henger esetén:
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2323
k értékének meghatározása befőttes üveg esetén:
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2424
Befőttesüveg tehetetlenségi Befőttesüveg tehetetlenségi nyomatékanyomatéka
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2525
Csillapodás vizsgálata üres üveg eseténCsillapodás vizsgálata üres üveg esetén
0 100 200 300 400 500 6000
5
10
15
20
25
Data: szarazzModel: ExpDec1Equation: y = A1*exp(-x/t1) + y0Weighting: y No weighting Chi^2/DoF = 0.10579R^2 = 0.99927 y0 -1.32312 ±0.45991A1 26.5672 ±0.47119t1 173.76703 ±7.81721(
fok)
t (s)
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2626
Csillapodás vizsgálata vízzel teli üveg eseténCsillapodás vizsgálata vízzel teli üveg esetén
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
Data: vizessModel: ExpDec1Equation: y = A1*exp(-x/t1) + y0Weighting: y No weighting Chi^2/DoF = 0.79849R^2 = 0.99452 y0 -11.75518 ±5.27392A1 37.32994 ±4.95218t1 15.00537 ±3.56149
(fo
k)
t (s)
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2727
Viszkozitás értékek 20 Viszkozitás értékek 20 ººC-onC-on
A víz viszkozitása: 10A víz viszkozitása: 10-3-3 Pas Pas A levegő viszkozitása 18A levegő viszkozitása 18· · 1010-6-6 Pas Pas
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2828
Az ideális gáz adiabaikus kitevője Az ideális gáz adiabaikus kitevője (fajhőhányadosa)(fajhőhányadosa)
MRfc
2v MRfc
22
p
állandópV
ff
cc 2
v
p
Adiabatikus (Q = 0) kvázisztatikus folyamatok esetén
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 2929
κκ mérési módszerei mérési módszerei
Clement-Desormes módszerClement-Desormes módszer
Hangsebesség mérési módszerekHangsebesség mérési módszerek
Dugattyú harmónikus rezgőmozgása egy Dugattyú harmónikus rezgőmozgása egy lombikhoz csatlakozó csőben (periódikus lombikhoz csatlakozó csőben (periódikus adiabatikus összenyomás)adiabatikus összenyomás)
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3030
A készülék vázlataA készülék vázlata
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3131
mm tömegű műanyag henger mozgásegyenlete: tömegű műanyag henger mozgásegyenlete:
m xt
pA p A mgdd
k
2
2 ,
A dugattyú egyensúlyi helyzetében a gáz A dugattyú egyensúlyi helyzetében a gáz nyomása: nyomása:
p p mgA0 k ,
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3232
Poisson-egyenletet az egyensúlyi és egy Poisson-egyenletet az egyensúlyi és egy tetszőleges állapotra:tetszőleges állapotra:
pV p V 0 0 ,
V V xA 0
Ahol Ahol xx a dugattyúnak az egyensúlyi helyzettől a dugattyúnak az egyensúlyi helyzettől mért távolságát jelöli. Innen:mért távolságát jelöli. Innen:
p p xAV
00
1
.
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3333
A kis térfogatváltozás miatt:A kis térfogatváltozás miatt:
xAV0
1
p p xAV
0
01 .
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3434
A dugattyú mozgásegyenlete:A dugattyú mozgásegyenlete:
m xt
p AV
xdd
2
20
2
0
.
Dp AV
0
2
0
Az effektív rugóállandó:Az effektív rugóállandó:
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3535
A rezgésidő:A rezgésidő:
T mD
mVp A
2 2 0
02
.
Ahonnan:Ahonnan:
4 20
02 2mV
p A T.
64 0
04 2
mVp d T
.
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3636
Numerikus adatokNumerikus adatok
A lombik térfogata:A lombik térfogata: V03114 10 , ,m3
A dugattyú tömege:A dugattyú tömege: ,kg1087,3 3m
A dugattyú átmérője:A dugattyú átmérője: d 119 10 2, .m
Békéscsaba, 2008.03.30Békéscsaba, 2008.03.30 3737
A mért rezgésidők, és a A mért rezgésidők, és a кк