dr.-ing. rené marklein - eft i - ws 06 - lecture 5 / vorlesung 5 1 elektromagnetische feldtheorie i...

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 - Lecture 5 / Vorlesung 5 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

5th Lecture / 5. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


ES Fields / ES FelderScalar Electrostatic Potential / Skalares Elektrostatisches Potential

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Given, Prescribed! /Gegeben, vorgeschrieben!

Standard Way: Method of Potentials / Standard Weg: Methode der

Potentiale

e ( ) [V] R

Vacuum / Vakuum

0( ) ( )D R E R

( ), ( ) ?E R D R

Unknown! /Unbekannt!

Electrostatics / Elektrostatik:

Scalar Electrostatic Potential / Skalares elektrostatisches Potential

0, 0, 0y yx xz zE EE EE E

y z z x x y

eyx zDD D

x y z

e ( ) 0 R

0

e ( ) 0 R


Del (Nabla), Grad, Div, and Curl Operator in Cartesian Coordinate System /

Nabla-, Grad-, Div- und Rot-Operator im Kartesischen Koordinatensystem

curl / rot = x y zx y z

× e e e ×

div = x y zx y z

e e e

grad x y zx y z

e e e

Gradient / Gradient

Divergence / Divergenz

Curl / Rotation

x y zx y z

e e e

Del (Nabla) Operator / Nabla-Operator


Del (Nabla) Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinate System / Nabla-Operator im orthogonal krummlinigen Koordinatensystem

Del (Nabla) Operator / Nabla-Operator

1 2 31 2 31 2 3

3

1

1 1 1

1

1

ii

ii

ii

i

h h h

h

h

e e e

e

e1 2 3, , or , 1, 2,3i i

Generalized Curvilinear Coordinates /

Verallgemeinerte krummlinige Koordinaten

is a Vector / ist ein Vektor

The del Operator / Der Nabla-Operator


Vector-analytical Expressions in the Different Coordinate Systems /Vektoranalytische Ausdrücke in den verschiedenen Koordinatensystemen

Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

dR d d dx y zx y z e e e d d dr zr r z e e e d d sin dRR R R e e e

grad x y zx y z

e e e

1r zr r z

e e e

1 1

sinRR R R

e e e

div

A

Ayx zAA A

x y z

1 ( ) 1r z

Ar A A

r r r z

2

2

1 ( ) 1 (sin ) 1

sin sinR

AR A A

R R R R

curl

rot

A

A

A

yzx

x zy

y xz

AA

y z

A A

z x

A A

x y

e

e

e

1

( )1

zr

r z

rz

AA

r z

A A

z r

r A A

r r

e

e

e

(sin )1

sin

( )1 1

sin

1 ( )

R

R

R

A A

R

R AA

R R

R A A

R R

e

e

e


Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

2

divgrad

2

div grad

A

A

A

A

2 2 2

2 2 2x y z

2 2

2 2 2

1 1r

r r r r z

22 2

2

2 2 2

1 1sin

sin

1

sin

RR R R R

R

xx

yy

zz

A

A

A

e

e

e

2 2

2 2

1 2

1 2

rr r

r

zz

AA A

r r

AA A

r r

A

e

e

e

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2cot 2 2

sin

2 1 2cos

sin sin

2 1 2cos

sin sin sin

RR R

R

R

AAA A A

R R R R

AAA A

R R R

AAA A

R R R

e

e

e

Vector-Analytical Expressions in the Different Coordinate Systems /Vektoranalytische Ausdrücke in den verschiedenen Koordinatensystemen


ES Fields / ES FelderScalar Electrostatic Potential / Skalares Elektrostatisches Potential

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

( ) 0C S

E R dR ( ) ×E R 0

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

e( ) ( ) E R R

Irrotational Field can be always Represented by a Gradient Field /Rotationsfreies Feld kann immer als Gradientenfeld dargestellt werden

e

e

( ) ( )

( )

×E R × R

× R

0

because / weil

× 0In General /Im allgemeinen

General Vector Analytic Property / Allgemeine Vektoridentität

e ( ) [V] R

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential


Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor /

Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke


0

0

0( ) b

a

R R

R R

R

00( ) EE R E

00 zEE e

0( ) ( )bzE E R e E R

( ) a R

0R Rba

00 zEE e

x

z

y

Example: Dielectric Sphere in a Homogeneous Electrostatic Field /

Beispiel: Dielektrische Kugel im homogenen elektrostatischen Feld (1)


0 0

e0 03

0 0

0 03 3

cos 0

( )1 cos

cos cos 0

( ) 21 cos 1 sin

R

R

E R R R

E R R RR

E R R

E R RR R

R

e e

E Re e

302

3

2

b a

b a

a

b a

R

0

0

0( ) b

a

R R

R R

R

0R Rba

00 zEE e

x

z

y

0( ) ( )bzE E R e E R

Example: Dielectric Sphere in a Homogeneous Electrostatic Field /

Beispiel: Dielektrische Kugel im homogenen elektrostatischen Feld (2)


0

0

a

b

Example: Dielectric Sphere in a Homogeneous Electrostatic Field / Beispiel: Dielektrische Kugel im homogenen elektrostatischen Feld

(3)


0

02a

b


(4)


0

010a

b


(5)


0

0100a

b


(6/1)


0

0100a

b


(6/2)


0

0100a

b


(6/3)


0

0100a

b


(6/4)


ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (1)

e

e

( )

( ) ( )

( ) ( )

×E R 0

E R R

D R R

Differential Form / Differentialform

0

0 e

e

( ) ( )

( )

( )

D R E R

R

R

Vacuum / Vakuum

because / weil

or / oder

0

0 e

( ) ( )

( )

D R E R

R

Laplace Operator /Laplace-Operator

2

2

ee

0e

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gle

( )( ) 0

( )

0 ( ) 0

ichung

for / Laplace Equation /für Laplace-Gleichung

RR

R

R

Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation / Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-Gleichung

(1)


2

ee

0e

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equation / für

La

( )

place-Gleic

( ) 0( )

0 ( ) 0 hung

RR

R

R

Laplace Operator /Laplace-Operator

2

2 2 22

2 2 2

i j

i j

ij

x y z x y z

x xi j

x xi j

i i

x y z x y z

x x

x x

x x

x y z

e e e e e e

e e

e e

Laplace Operator in Cartesian Coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (2)

Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation / Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-Gleichung

(2)


e2 2 2 e

0e2 2 2

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )

0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z

x y z

ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (2)

Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation / Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-

Gleichung (3)Laplace Operator in Cartesian Coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

Example: pn Junction – pn Diode / Beispiel: pn-Übergang – pn Diode

2

e2

for /für

for /für

0 d( )

d 0

e n

e p

n d xe

xx n x d

nd pd0 x

Example: / Beispiel:

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

x

ye 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!


End of Lecture 5 /Ende der 5. Vorlesung

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