dr.-ing. r. marklein - get i - ws 06/07 - v 28.11.2006 1 grundlagen der elektrotechnik i (get i)...
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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 28.11.2006
Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 2
2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
Schaltung: Netzwerk (Netz)
6
41
B
C
D
3 55
46
2
A
Graph: Topologie des Netzwerkes (Netz)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 3
2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
Definition: (Topologie)Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt:
Graph mit 4 Knoten und 6 Zweigen sowie 3 Umläufe (= 3 Maschen, wenn
6
41
A
B
C
D
3 55
46
2
Bild 2.78. Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
Definition: (Zweig)Die Verbindung zwischen zwei Knoten nennt man Zweig. Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil.
in dem Umlauf kein Zweig liegt.
Knoten
Umlauf (= Masche)
Zweig
Richtungspfeil
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 4
2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
6 Q6 6RU U U
Definition: (Zweigspannung und Zweigstrom)Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil, durch den die Zählpfeile der Zweigspannung und desZweigstromes (willkürlich) festgelegt werden.
6U
1U 4U
2U3U
5U
6I
1I 4I
2I
3I5I
Graph mit K = 4 Knoten und Z = 6 Zweigen mit Richtungspfeilen und U-Zählpfeile und I-Zählpfeile
Bild 2.79. Festlegung der U- und I-Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
Jede Zweigspannung, z. B. für Zweig 6 U6, kann sich aus einem Ohmschen Spannungsabfall, z. B. UR6,
und einer Quellspannung, z. B. UQ6, zusammensetzen, d. h.
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 5
2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
6 Q6 6RU U U z. B. Zweig 6:
Definition: (Vollständiger Baum)In vollständigem Baum sind alle Knoten miteinander verbunden,
ein vollständiger Baum mit K Knoten hat B = (K - 1) Zweige.
Definition: (Topologie)Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt:
Definition: (Baum)Linienkomplex ohne geschlossenen Umlauf heißt Baum.
Bild 2.78. Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
Bild 2.79. Festlegung der U- und I-Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
6U
1U 4U
2U3U
5U
6
41
A
B
C
D
3 55
4
6 6I
1I 4I
2I
3I5I
2
Graph mit 4 Knoten und 3 Maschen
1
4 1
3
B K
B
Beispiel: Für die Schaltung in Bild 2.78
Anzahl der Zweige für einenvollständigen Baum
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2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
Bild 2.80. Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck
Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen
Bild 2.78. Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
6
41
B
C
D
3 55
46
2
A
Graph
Bäumevollständige
Bäume!
1 1
11
6
44
3 3
3
2
5
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2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
Definition: (Baumzweige)Baumzweige = Zweige eines vollständigen Baumes.
Per Definition können in den Teilen eines Netzes, die durch den Baum abgebildet werden, KEINE Ströme fließen, ohne dass Verbindungszweige geschlossen werden!
Definition: (Verbindungszweige)Verbindungszweige = andere Zweige außerhalb des Baumes.
Ein Netz mit K Knoten und Z Zweigen hat im allgemeinen
V = Z - B = Z - ( K - 1 ) = Z + 1 - KVerbindungszweige.
(Hier: Zweige 1,2,3 = Baumzweige)
6
41
A
B
C
D
3 55
46
2
(Hier: Zweige 4,5,6 = Verbindungszweige)
Baum
6 3 3V Z B
Z.B. gilt für die Schaltungin Bild 2.78
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2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
Anzahl der vollständigen Bäume eines Netzes mit
k Knoten: nb = k(k-2)
C
Bild 2.81. Die möglichen vollständigen Bäume des vollständigen Vierecks (Bild 2.74)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005])
Anzahl der möglichen vollständigen Bäume eines
Netzes mit K Knoten 2K
BN K
2 4 2 24 4 16KBN K
6
41
A
BD
3 55
46
2
Baum
C
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6
41
A
B
C
D
3 55
46
2
Baum
2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze
kein ebenes Netz!
Bild 2.82. Vollständiges Fünfeck(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005])
Definition: (Ebenes Netz)Ein Netz, dessen Zweige sich kreuzungsfrei in einer Ebene darstellen lassen, nennt man eben, also ein ebenes Netz.
Kreuzung von Zweigen!
ebenes Netz!
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2.8.3 Umlaufanalyse2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
Schaltung: Netzwerk oder einfach Netz
Bild 2.84. Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])
4
2
1
12
4I
4I
4I
5I
5I
5I
6I 6I
6I
Umlauf 5
Umlauf 63
53
6
Definition: (Maschen) - WiederholungMaschen sind Umläufe, die im Innern keine Zweige enthalten.Hier: M4, M5, M6
6
41
B
C
D
3 55
46
2
A
Graph
Umlauf 4= Masche
4 = Masche 5
= Masche 6
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 11
2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme
Netzstruktur dazu, vollständiger Baum aus Zweigen 1,2,3:
(2.101d)
► Unabhängige Ströme = Ströme in Verbindungszweigen (Hier: I4, I5, I6)
► Abhängige Ströme = Ströme in Baumzweigen (Hier: I1, I2, I3)
► Was abhängig oder unabhängig ist, hängt also von der Festlegung des Baumes ab!
Bild 2.78. Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])
6
41
B
C
D
3 55
46
2
A
Bild 2.83. Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])
1I
B
C
D
Q6I
Q5I
3I2I
1I
3I
2I
1 2 3 0I I I
In allen Verbindungszweigen können die Ströme beliebig vorgegeben sein (symbolisiert durch Stromquellen).
Die Ströme im Baum sind dann(über die Knotengleichungen)
abhängig davon
AQ4I
Unabhängige Ströme in dieVerbindungszweige (I4, I5, I6 )
Abhängige Ströme indie Baumzweige (I1, I2, I3 )
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 12
Bild 2.83. Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])
1I
B
C
D
Q5I
3I2I
2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme
1 4 6I I I
► Unabhängige Ströme nennen wir Umlaufströme (= Maschenstrom, falls Umlauf = Masche ist!).
(Hier: I4, I5, I6 ).
► Im Baum können nur Ströme fließen, wenn über Verbindungszweige geschlossene Stromkreise entstehen (Eigenschaft des Baumes per Definition).
► Nach dem Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) sind demnach die Umlaufströme linear unabhängig.
► Ströme in einem Baumzweig können dann durch Überlagerung der durch diesen Zweig fließenden
Umlaufströme gebildet werden, z. B. gilt für den Strom I1
(2.101a)
Bild 2.84. Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])
4
2
1
12
4I
4I
4I
5I
5I
5I
6I 6I
6I
Umlauf 4
Umlauf 5
Umlauf 6
3
53
6
a b c
AQ4I
Q6I
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 13
6I
R6U1RR1U
Q6U
6R
4I
3RR3U
5I
6
4
5
2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen
1 3 6 Q6R R RU U U U
Spannungen über das Ohmschen Gesetz als Funktion der Umlauf- bzw. Maschenströme formulieren:
Für Masche 6 gilt (siehe Bild 2.76)
1 4 3 5 1 3 6 6 Q6R I R I R R R I U
► Umlauf 6 : Umlaufwiderstand R1 + R3 + R6 für Strom I6
► Umläufe 4 und 6: Kopplungswiderstand R1
► Umläufe 5 und 6: Kopplungswiderstand R3
R1 4 6 1
R3 5 6 3
R6 6 6
U I I R
U I I R
U R I
1 3 6 Q6 0R R RU U U U
6 64 6 1 5 6 3
1 3 6 Q6
4 6 1 5 6 3 6 6 Q6
1 4 3 5 1 3 6 6 Q6
R R R
R II I R I I R
U U U U
I I R I I R R I U
R I R I R R R I U
bzw.
Ergibt, siehe auch Gl. (2.104c):
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 14
2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen
Anders formuliert:
► Jeder unabhängige Strom ergibt einen Umlaufstrom. (Hier: I4, I5, I6 )
► Jeder Umlauf führt auf eine Gleichung → lineares Gleichungssystem (LGS)
► Dazu wird auf jedem Umlauf das 2. Kirchhoffsches Gesetz ausgewertet!
► In jedem Baumzweig fließen mehrere Umlaufströme, hier I4, I5, I6, die den Faktor, mit dem der
andere Strom zum Spannungsfall im aktuellen Umlauf beiträgt, bestimmt. Dies liefert die
sogenannten Kopplungsterme in der Widerstandsmatrix (R-Matrix).
6I
R6U1RR1U
Q6U
6R
4I
3RR3U
5I
6
4
5
1 4 3 5 1 3 6 6 Q6R I R I R R R I U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 15
2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen
Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform:
Q
Q11 11 12 1 1
Q22 21 22 2 2
Q1 2
Umlauf mit :
Umlauf mit :
Umlauf mit :
N
N
NN N N NN N
UI R R R I
UI R R R I
UI R R R I
IR U
1. Für die Schaltung einen vollständigen Baum auswählen.In den Verbindungszweigen Zählpfeile für die unabhängigen Ströme eintragen.
► gesuchte Ströme möglichst in Verbindungszweige legen
► Spannungsquellen möglichst in Verbindungszweige legen
► Stromquellen, falls vorhanden und nicht in Spannungsquellen umgewandelt, in
Verbindungszweige legen
2. Die Elemente des Stromvektors {I}, I1,...,IN, auf der linken Gleichungsseite, sind die
unabhängigen Ströme.
► Jedem unabhängigen Strom wird ein Umlauf, bestehend aus dem zugehörigen
Verbindungszweig zugeordnet, der sich nur über Baumzweige schließt.
► Die Umlaufrichtung wird entsprechend dem Stromzählpfeil gewählt.
Q UR I
Q
: Widerstandsmatrix
: Stromvektor
: Spannungsvektor der Quellspannungen
R
I
U
Widerstandsmatrix ist symmetrisch!
Tij jiR R R R
Der Index ,,T" steht für transponiert!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 16
2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen
Für jeden Umlauf wird jetzt eine Gleichung (Zeile des obigen Gleichungssystems) aufgestellt:
3. Hauptdiagonalelemente: Rij für i = j der Widerstandsmatrix [R] sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden.
4. Nebendiagonalelemente: Rij für i ≠ j der Widerstandsmatrix [R] sind die Kopplungswiderstände:
► positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind.
► negatives Vorzeichen, wenn die Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand entgegengesetzt gerichtet sind. Der Kopplungswiderstand ist die Summe aller Widerstände in den Zweigen, die beiden Umläufen gemeinsam sind. ( Der Umlauf, für den die Gleichung aufgestellt wird und Umlauf zu dem unabhängigen Strom, mit dem die aktuelle Spalte der Widerstandsmatrix multipliziert wird. )
5. Die Elemente des Spannungsvektors {U}, U1,...,UN, auf der rechten Gleichungsseite werden gebildet aus der Summe aller Quellenspannungen des Umlaufs: negatives Vorzeichen, wenn
Spannungszählpfeil in Umlaufrichtung, sonst positives Vorzeichen.
Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform:
Q
Q11 11 12 1 1
Q22 21 22 2 2
Q1 2
Umlauf mit :
Umlauf mit :
Umlauf mit :
N
N
NN N N NN N
UI R R R I
UI R R R I
UI R R R I
IR U
Q UR I
R
Hauptdiagonalelemente
Nebendiagonalelemente
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 17
Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen
Für obiges Beispiel also
1 2 4 2 1 4
2 2 3 5 3 5
Q61 3 1 3 6 6
0
0
R R R R R I
R R R R R I
UR R R R R I
Widerstandsmatrix ist symmetrisch!
Durch Ausnutzung der Baumstruktur in dem Rechenschema werden die Knotengleichungen implizit in die Umlaufgleichungen eingebaut, man braucht sie also nicht aufstellen und lösen!
1I
3I
2I
Tij jiR R R R
Der Index ,,T" steht für transponiert!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 18
Ende der Vorlesung